第九章 定积分
《数学分析》第九章 定积分
n
若极限
||T ||0
lim F (i )ti
i 1
n
存在，
则定义此极限值为力所做的功
从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是 计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量 进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归
n 结为形如 f ( i ) xi 的和式极限问题。 i 1
我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为
虽然曲边梯形的准确面积我们不会计算，但是
我们可以用一些小矩形来近似算出它的面积。
y y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
从中可以得到一个什么样的启示？
小曲边梯形的底：
y
y f (x)
f ( i )
[ xi 1 , xi ]
小曲边梯形的高：
f ( i )
小曲边梯形的面积：
O a
第九章
定 积 分
§1定积分概念 §2 牛顿—莱布尼茨公式 §3 可积条件 §4 定积分的性质 §5 微积分学基本定理 §6 定积分的计算 小结与习题
§9.1
定积分概念
一、问题的提出 二、定积分的定义
三、定积分的几何意义
9.1 定积分的概念
教学内容： 1) 定积分概念的引入
2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3)定积分的数学定义 4)定积分的几何意义及简单应用 重 点： 定积分的数学定义 难 点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的 建立
xi 1 xi b
x
⑶ 求和
（积零为整）
y
大曲边梯形的面积
f ( i )
S f ( i )xi
数学《定积分》讲义
第九章 定 积 分1 定积分的定义一、背景1、曲边梯形的面积1()ni i i S f x ξ=≈∆∑2、变力所做的功 1()ni i i W F x ξ=≈∆∑上述问题均可归结为一个特定形式的和式逼近，思想方法：分割、近似求和、取极限.二、定积分的定义定义 1 设闭区间[],a b 内有1n -个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<=，其把[],a b 分成n 个小区间[]1,,1,i i i x x i n -∆==⋅⋅⋅.称这些点或小闭子区间构成[],a b 的一个分割，记为{}01,,n T x x x =⋅⋅⋅或{}12,,n ∆∆⋅⋅⋅∆，小区间i ∆的长度为1i i i x x x -∆=-，同时记{}1max i i nT x ≤≤=∆，称为分割T 的模(或细度).注1 ||||,1,i x T i n ∆≤=⋅⋅⋅. 因而，||||T 可用来刻画[],a b 被分割的细密程度，同时，若T 给定，则||||T 确定，而对同一细度(模), 相应的分割却有无穷多个.定义 2 设f 为[],a b 上的函数,对[],a b 上的分割{}12,,n T =∆∆⋅⋅⋅∆,任取点,i i ξ∈∆1,i n =⋅⋅⋅，作和式1()niii f x ξ=∆∑，称为函数f 在[],a b 上的一个积分和，也称为Riemann 和.注2. Riemann 和与分割T 及i ξ的取法有关. 对同一个分割T ，相应的Riemann 和有无穷多个.定义 3 设f 是[],a b 上的函数，J 为一个确定的数. 若对任给正数0ε>，存在正数0δ>，使得对[],a b 上的任何分割T ，以及其上任选的i ξ，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称f 在[],a b 上可积(或Riemann 可积) ，数J 称为f 在[],a b 上的定积分(或Riemann 积分) ，记作()baJ f x dx =⎰. 其中f 称为被积函数，x 称为积分变量，[],a b 称为积分区间，,a b 分别称为积分的下限、上限.注.1()lim ()nbi i aT i f x dx f x ξ→==∆∑⎰⇔0,0,,,,i i T T εδδξ∀>∃>∀<∀∈∆1()()nbi i ai f x f x dx ξε=∆-<∑⎰定积分的几何意义(f 可积)(1) 0f ≥时，()ba f x dx ⎰就是以,,x a xb x ==轴及()y f x =围成的曲边梯形的面积.(2) 0f ≤时，()baf x dx ⎰为x 轴下方的曲边梯形面积的相反数(负面积) .(3) ()baf x dx ⎰是曲线()y f x =在x 轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方所有曲边梯形的负面积的代数和. (4) 注.()()()bb baaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰，定积分与积分变量无关.三、举例例 1 已知函数2()f x x =在区间[]0,1上可积，求120x dx ⎰.例 2 已知1()1f x x=+，()sin g x x π=在[]0,1上可积. 利用定积分的定义说明 1) 10111lim()1221n dx n n n x→∞++⋅⋅⋅+=+++⎰. 2) 10012(1)1lim (sin sin sin )sin sin n n xdx x dx n n n n ππππππ→∞-++⋅⋅⋅+==⎰⎰.给出一般公式().......ba f x dx =⎰例 3 讨论Dirichlet 函数1()0x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数 在[]0,1上的可积性.四、 定积分的计算 定理 (微积分基本定理)设[]:,f a b R →可积，存在可导函数[]:,F a b R →，使F f '=，则()()|()()bx bx a af x dx F x F b F a ====-⎰上式也称为Newton-Leibniz 公式.例 4 求例2中定积分的值.例 5 1) 211(ln )eex dx x⎰;2) 2⎰;3) 求11()f x dx -⎰，其中210()0x x x f x e x --<⎧=⎨≥⎩， ，;4) 0⎰;5) 221lim nn i in i→∞=+∑;6) 112lim[(1)(1)(1)]n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+.2 可积性条件一、可积的必要条件定理1 若函数f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上有界.注 有界仅是f 可积的必要条件，而非充分条件. 如[]0,1上的()D x . 定理2 设函数f 在[],a b 上可积，则f 在(),a b 内至少有一个连续点. [ 若函数f 在[],a b 上处处不连续，则f 必不可积. ] 二、可积的充要条件设{}12,,n T =∆∆⋅⋅⋅∆为[],a b 上的一个分割，设f 在[],a b 上有界，则f 在每个i ∆上必有上下确界，记{}sup ()ii x M f x ∈∆=，{}inf ()ii x m f x ∈∆=，1,i n =⋅⋅⋅.作和式1()n i i i S T M x ==∆∑，1()ni i i s T m x ==∆∑，分别称为f 关于T 的上和和下和(Darboux 上下和) , 从而i i ξ∀∈∆，1,i n =⋅⋅⋅，1()()()ni i i s T f x S T ξ=≤∆≤∑. (作图几何意义)注 当分割T 确定后，则上和与下和完全确定.性质1 对同一分割T ,上和()S T 是所有积分和1()ni i i f x ξ=∆∑的上确界(相对于i ξ取),下和()s T 是所有积分和1()ni i i f x ξ=∆∑的下确界, 即{}1()inf ()i i n i i i s T f x ξξ∈∆=⎧⎫=∆⎨⎬⎩⎭∑， {}1()sup ()i i n i i i S T f x ξξ∈∆=⎧⎫=∆⎨⎬⎩⎭∑，且 1()()()()()ni i i m b a s T f x S T M b a ξ=-≤≤∆≤≤-∑，其中,M m 分别为f 在[],a b 上的上、下确界.性质2 设T '为分割T 添加p 个新分点后所得到的分割. 则()()()()s T s T s T p M m T '≤≤+- ()()()()S T S T S T p M m T '≥≥--即分点增加后，下和不减，上和不增.性质3 若T 与T '为任意两个分割，T ''为T 与T '所有分点合并组成的分割，记为T T T '''=+，则 ()()s T s T ''≥， ()()S T S T ''≤；()()s T s T '''≥， ()()S T S T '''≤.性质4 对任意两个分割T 、T '，总有()()s T S T '≤.即：对任何两个分割，下和总不大于上和. 因而，所有的上和有下界，所有的下和有上界，从而分别有下、上确界，记为S 和s . 即{}inf ()TS S T =，{}sup ()Ts s T =，称S 和s 分别为f 在[],a b 上的上、下积分，记为()ba S f x dx -=⎰，()b a s f x dx -=⎰.性质5 ()()()()bbaa mb a f x dx f x dx M b a ---≤≤≤-⎰⎰性质6. [Darboux 定理] 0lim ()()b a T S T f x dx -→=⎰，0lim ()()ba T s T f x dx →-=⎰.定理 3 (第一充要条件) [],a b 上的有界函数f 可积⇔()()bb a a f x dx f x dx --=⎰⎰定理4 (可积的第二充要条件)[],a b 上的有界函数f 可积⇔ 0ε∀>，存在分割T ，使得()()S T s T ε-<.由于11()()()nni i i i i i i S T s T M m x x ω==-=-∆=∆∑∑，其中i i i M m ω=-称为f 在i ∆上的振幅. 从而有定理4' [],a b 上的有界函数f 可积⇔0ε∀>，存在分割T ，使得1ni i i x ωε=∆<∑.定理4'的几何意义：若f 可积，则曲线()y f x =可用总面积任意小的一系列小矩形覆盖. 反之亦然.三、可积函数类(充分条件)定理 5. 若f 在[],a b 上连续，则f 在[],a b 上可积.定理 6. 若f是[],a b上仅有有限个间断点的有界函数，则f在[],a b上可积.注.改变可积性函数在某些点处的值, 不改变可积性, 也不改变积分值. 定理7. 若f为[],a b上的单调函数，则f在[],a b上可积.例1试用两种方法证明函数0 0()1111xf xxn n n=⎧⎪=⎨<≤⎪+⎩，，，1,2n=⋅⋅⋅在[]0,1上可积.例2 设f 在[],a b 上有界，{}[],n a a b ⊂，lim n na c =.证明：若f 仅在{}n a 上间断，则f 在[],a b 上可积.例3 f 在[],a b 上可积，[][],,a b αβ⊂，则f 在[],αβ上可积.例4 证明定理2: 若f 在[],a b 上可积，则f 在(),a b 内至少有一个连续点(从而有无穷多个连续点) .例5 证明: Riemann 函数[]1, ()0 0,10,1p x p q q p q q f x x ⎧=>⎪=⎨⎪=⎩，和互素,，或中的无理数 在[]0,1上可积，且1()0f x dx =⎰.(第三充要条件)3 定积分的性质一、定积分的性质 1. 线性性质定理 1 设f 在[],a b 上可积，k 为常数，则kf 在[],a b 上可积，且 ()()bbaakf x dx k f x dx =⋅⎰⎰.定理 2 设,f g 在[],a b 上可积，则f g ±在[],a b 上可积，且()()()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.推论. 设,f g 在[],a b 上可积，,αβ为常数，则f g αβ+在[],a b 上可积，且()()()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰.2. 乘积可积性定理 3 设,f g 在[],a b 上可积，则f g ⋅在[],a b 上可积. 注 一般情形下，()()()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx ⋅≠⋅⎰⎰⎰.定理 4 有界函数f 在[],a c 和[],c b 上可积f ⇔在[],a b 上可积，且()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰规定 1) ()0aa f x dx =⎰.2)()()baab f x dx f x dx =-⎰⎰，()b a <.则对任何,,a b c 均有 ()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.4. 关于函数的单调性定理5 设,f g 在[],a b 上可积，且()()f x g x ≤，[],x a b ∀∈，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰.推论 (积分值的估计) 设f 在[],a b 上可积，,M m 分别为f 在[],a b 上的上、下确界，则 ()()()ba mb a f x dx M b a -≤≤-⎰.定理6 若函数f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上可积，且|()||()|bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰.注. 定理 6的逆不真.6. 积分第一中值定理定理 7 若函数f 在[],a b 上连续，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰.几何意义: 称1()ba f x dxb a -⎰为f 在[],a b 上的平均值.定理7' (推广的第一中值定理) 若,f g 在[],a b 上连续，且()g x 在[],a b 上不变号，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.[()1g x ≡时，即为定理7.]二、应用举例例 1 求11()f x dx -⎰. 其中2110() 01x x x f x e x ---≤<⎧=⎨≤<⎩， ，.例 2 求()sin f x x =在[]0,π上的平均值.例 3 若f 在[],a b 上连续，()0f x ≥，且()0f x ≡/，则()0ba f x dx >⎰.例 4比较积分1⎰和21x e dx ⎰的大小.例 5证明：22ππ<<⎰.例 6 若f 在[],a b 上可积，()0f x >，则()0ba f x dx >⎰.例 7 若,f g 在[],a b 上可积，则{}()max (),()M x f x g x =在[],a b 上可积.*例 8 设f 在[],a b 上可积，且()0f x m >>，则1f可积.*例 9 证明：若f 在[],a b 上连续，且()()0b baaf x dx xf x dx ==⎰⎰，则在(),a b 内至少存在两点12,x x 使12()()0f x f x ==. 又若2()0bax f x dx =⎰，此时，f 在(),a b 内是否至少有三个零点?*例 10 设f 在[],a b 上二阶可导，且()0f x ''>，证明: 1) 1()()2ba ab f f x dx b a+≤-⎰ 2) 又若()0f x ≤，[],x a b ∈，则又有2()()ba f x f x dxb a ≥-⎰，[],x a b ∈.*例11证明：(1)11ln(1)11ln2n nn+<++⋅⋅⋅+<+(2)1112lim1lnnnn→∞++⋅⋅⋅+=*例13若f可积，m f M≤≤，g在[,]m M上连续，则复合函数h g f=可积.由此, 若f可积, 则2f,13,f||f, ()f xe, (0)f≥,1(inf0)ff>可积.4 微积分基本定理 定积分的计算一、微积分基本定理 1. 变限积分的可微性设f 在[],a b 上可积，则任何[],x a b ∈，f 在[],a x 上也可积，从而()()xa x f t dt Φ=⎰，[],x ab ∈定义了一个以x 为积分上限的函数, 称为变上限积分.定理1 若f 在[],a b 上可积，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上连续.定理 2 (原函数存在定理，微积分学基本定理)若f 在[],a b 上连续，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上处处可导，且()()()xa d x f t dt f x dx'Φ==⎰，[],x a b ∈.注. 1) 当f 在[],a b 上连续，则()()xax f t dt Φ=⎰为f 的一个原函数，且f 的任一原函数()()xaF x f t dt C =+⎰. 令x a =，则()F a C =. 从而()()()xaf t dt F x F a =-⎰——Newton-Leibniz .2) 定理2. 揭示了导数和定积分之间的深刻联系，同时证明了连续函数必有原函数，并说明变上限积分就是一个原函数. 由于它的重要作用而被称为微积分基本定理.3) 同样可定义变下限积分()()bxxbf t dt f t dt =-⎰⎰. 且当f 连续时，有()()bxd f t dt f x dx =-⎰ 4) 变上限积分()xaf t dt ⎰一般不写作()xaf x dx ⎰.例 1 1)⎰2) 220sin cos t tdt π⎰例 2 设f 在[],a b 上连续，()0f x ≥，且()0f x ≡/，证明: ()0baf x dx >⎰.例 3 设f 为连续函数，,u v 均为可导函数，且复合f u ，f v 均有意义，证明()()()(())()(())()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx''=⋅-⋅⎰.例 4 求1) 230limx x x +→⎰2) 222010cos limx x x t dtx →-⎰二、定积分的换元法定理 3 设f 在[],a b 上连续，Φ满足条件1) ()a αΦ=，()b βΦ=. [](),,a t b t αβ≤Φ≤∈ 2) ()t Φ在[],αβ上有连续导函数，则()(())()baf x dx f t t dt βα'=Φ⋅Φ⎰⎰.例 5 1)⎰2) 220sin cos t tdt π⎰3)10x x dx e e -+⎰4)3212(1)dx x x -+⎰5)120ln(1)1x dx x ++⎰6) 已知32()4f x dx =-⎰，求21(1)xf x dx +.注 在换元法计算定积分时，一要注意积分上下限的变化(这里只需要求,a b 的对应值为,αβ，而不计较,αβ的大小) . 二是要注意代入新变量，直接求定积分的值，而无需变量还原. (此与不定积分是不一样的. 这是因为不定积分求的是被积函数的原函数，其变量应一致，而定积分的结果是一个数值，只需求出即可) .注 定理3换元积分条件，f 可减弱为f 可积，ϕ可减弱为()t ϕ'在[],αβ上可积，且除有限个点外()0t ϕ'>(或()0t ϕ'<) . (保证[][]:,,a b ϕαβ→是11-的.) 例 6 设f 为[],a a -(对称区间) 上的连续奇(偶) 函数，则()0aaf x dx -=⎰(0()2()a aaf x dx f x dx -=⎰⎰) .如求22223(sin3cos 5arctan 1)x x x x x e x dx ππ--⋅+⋅--⎰.例 7 设f 为(,)-∞+∞上以T 为周期的可积函数，证明：对任何实数a R ∈，有()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰.例 8 设f 为连续函数，则1) 22(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;2)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰.由此计算2sin sin cos xdx x x π+⎰和20sin 1cos x x dx xπ⋅+⎰.例 9 设f 在[],a b 上连续，求证：()()bbaaf x dx f a b x dx =+-⎰⎰.由此计算362cos (2)xdx x x πππ-⎰.三、分部积分定理 4 若(),()u x v x 为[],a b 上的连续可导函数，则有定积分分部积分公式()()()()()()bbb a aau x v x dx u x v x u x v x dx ''⋅=⋅-⋅⎰⎰或()()()()()()bb b a aau x dv x u x v x v x du x =⋅-⎰⎰例 10 1) 10x xe dx ⎰ 2)21ln ex xdx ⎰3) 1ln eexdx ⎰4) 1arcsin xdx ⎰5) 2sin x x e dx π⋅⎰6)4⎰例 11 求20sin nxdx π⎰和2cos n xdx π⎰.注 由前两式可推出著名的Wallis 公式：2(2)!!1lim 2(21)!!21m m m m π→∞⎡⎤=⋅⎢⎥-+⎣⎦.四、Taylor 公式的积分型余项 推广的分部积分公式设(),()u t v t 在[,]a b 上有1n +阶连续导函数，则(1)()(1)()()()()()()()(1)()()bn n n n n baau t v t dt u t v t u t v t u t v t +-'⎡⎤⋅=⋅-⋅+⋅⋅⋅+-⋅⎣⎦⎰1(1)(1)()()bn n au t v t dt +++-⋅⎰.设f 在0x 处的某邻域0()U x 有1n +阶连续导函数，0()x U x ∈，则有(1)()1(1)()()()()()()!()0()xxn n n n n n xx x x x t ft dt x t f t n x t f t n f t f t dt +--⎡⎤-=-+-+⋅⋅⋅++⋅⎣⎦⎰⎰()00000()!()![()()()()]!n n f x n f x n f x f x x x x x n '=-+-+⋅⋅⋅+-!()n n R x =(1)1()()()!x n n n x R x f t x t dt n +⇒=-⎰ ——积分型余项注 1) 由推广的第一积分中值定理((1)()n f t +连续，()n x t -在[]0,x x 或[]0,x x 上保持同号) ，则(1)1()()()!x n n n x R x f x t dt n ξ+=-⎰(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++=-+ ——Lagrange 型余项2) 直接由积分第一中值定理，有(1)01()()()()!n n n R x f x x x n ξξ+=-- (1)10001(())(1)()!n n n f x x x x x n θθ++=+--- 00x =时，(1)11()()(1)!n n n n R x f x x n θθ++=-， 01θ≤≤——Cauchy 型余项五、积分第二中值定理 定理 5 设f 在[],a b 上可积,1) 若g 在[],a b 上减，且()0g x ≥，则存在[],a b ξ∈，使()()()()baaf xg x dx g a f x dx ξ=⎰⎰.2) 若g 在[],a b 上增，且()0g x ≥，则存在[],a b η∈，使()()()()bbaf xg x dx g b f x dx η=⎰⎰.推论. 设f 在[],a b 上可积，g 为单调函数，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰.例 12 设()f x 为[]0,2π上的单调递减函数，证明：对任何正整数n ，恒有20()sin 0f x nxdx π≥⎰.定理 6 设函数f 在闭区间[],a b 上连续，函数g 在[],a b 上可导，且导函数()g x '在[],a b 上非负且连续，则存在[],c a b ∈，使得()()()()()()bc baacf xg x dx g a f x dx g b f x dx =+⎰⎰⎰.例 13 证明：当0x >时，有不等式21sin x cxt dt x+≤⎰(0)c >.例 14 设()y f x =为[],a b 上严格增的连续曲线，试证：存在(),a b ξ∈使图中阴影部分面积相同.习 题1. 求)0(F '及)4(πF '. 其中⎰-=202sin )(x t tdt e x F2. 求下列极限(1) ⎰→xx dt t x 020cos 1lim (2) dxe dt e x txt x ⎰⎰∞→020222)(lim3. 求下列积分(1) ⎰⋅2042sin cos πxdx x (2)dx x ⎰-224(3) dx xx⎰+202sin 1cos π (4) dx xx ⎰+411(5) dx x x ⎰-1122)2( (6)dx x a x a2202-⎰(7)dx xx ⎰++311 (8)xdx x 3sin][3π⎰4. 求下列积分 (1) dx xe x⎰-2ln 0(2) ⎰210arccos xdx(3) ⎰-adx x a 022 (4) dx x x⎰-1221(5)⎰-2ln 01dx e x(6)dx ax x aa⎰-+222(7)dx xb x a xx ⎰+⋅202222sin cos cos sin π(8)dx x x ee⎰1ln(9)⎰+20cos sin cos πdx xx x(10)⎰+-adx xa xa 0arctan(11)dx e x x ⎰-⋅202sin π(12)dx xa xa x a⎰+-025. 求下列极限 (1) ∑=+∞→nk n nk 123lim (2) 2213lim k n nk nk n -∑=∞→6. 证明 (1)⎰⎰-=-11)1()1(dx x x dx x x m n n m(2) 若f 在R 上连续, 且⎰=x adt t f x f )()(, 则.0)(≡x f (3) 0sin sin ,m n mx nxdx m n N m nπππ-≠⎧=∈⎨=⎩⎰，(4)⎰-=ππ0cos sin nx mx(5) 设f 在],0[π上连续,且⎰⎰⎰===πππ0cos )(sin )()(xdx x f xdx x f dx x f求证f 在),0(π内至少两个零点.定积分1、定积分的定义1()lim ()nbi i aT i f x dx f x ξ→==∆∑⎰0,0,,,,di i T T εδδξ⇔∀>∃>∀<∀∈∆1()ni i i f x J ξε=∆-<∑. (())baJ f x dx =⎰2、可积函数(充要) 条件1) f 在[],a b 上可积⇒f 在[],a b 上有界⇒f 在(),a b 内至少有一个连续点2) f 在[],a b 上可积⇔()()b ba a f x dx f x dx --=⎰⎰⇔0,,()()T S T s T εε∀>∃-< ⇔10,,ni i i T w x εε=∀>∃∆<∑3) f 在[],a b 上连续⇒f 在[],a b 上可积f 在[],a b 上单调⇒f 在[],a b 上可积f 在[],a b 上仅有限个间断点(或间断点仅有限个聚点) ，则f 在[],a b 上可积. f 在[],a b 上可积，g 与f 仅有限个点处不相等，则g 在[],a b 上可积，且()()bbaag x dx f x dx =⎰⎰4) 可积函数复合未必可积.3、定积分性质1) 线性性质 2) 子区间可积性 3) 乘积可积 4) 区间可加性 5) 单调性 6) 绝对可积性4、微积分基本定理与Newton-Leibniz 公式定理. 若f 在[],a b 上连续，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上处处可导，且()()()xa d x f t dt f x dx'Φ==⎰. 由此可得()()()baf x dx F b F a =-⎰.注. 若f '可积，则()()()b af x dx f b f a '=-⎰.定理. 若f 在[],a b 上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰在[],a b 上连续.结论 (变限积分的导数)()()(())(())()(())()h x g x f t dt f h x h x f g x g x '''=⋅-⋅⎰5、定积分的积分方法 1) 换元设()y f x =在[],a b 上可积，()x t ϕ=满足ϕ'在[],αβ上可积，且在[],αβ上至多除有限个点使()0t ϕ'=，其余点()0t ϕ'>，(),()a b ϕαϕβ==，则()(())()baf x dx f t t dt βαϕϕ'=⋅⎰⎰[ 注意：积分上下限只需对应，而不管大小. ] 2) 分部积分 (注意具体被积函数的形式) 设,u v ''为[],a b 上可积函数, 则 bbb a aaudv uv vdu =-⎰⎰.6、Taylor 公式与积分中值定理. 1) 可积函数未必有原函数.1, 01;() 1 , 1 2.x f x x -≤≤⎧=⎨<<⎩ 2) 有原函数的函数也未必可积.22211cos 2sin , 0;()0, 0.x x f x x x xx ⎧-+≠⎪=⎨⎪=⎩在[1,1]-上有原函数220, 0;()1sin , 0.x x F x x x =⎧⎪=⎨⋅≠⎪⎩ 但f 在[0,1]上不可积.3) 可积不连续的函数也可能有原函数.习 题 课一、定积分的计算 例 1 1)20πθ⎰2) 1t x t dt -⎰, (1,0,01)x x x ><≤≤3)arctana⎰4) 10(1)xdx x α+⎰5)10ln(1dx ⎰6)0⎰7)121⎰8)2-⎰9) 21,0() , 0x x x f x e x -⎧+<⎪=⎨>⎪⎩ , 求31(2)f x dx -⎰.10) 1(2)2f =，(2)0f '=，20()1f x dx =⎰. 求120(2)x f x dx ''⎰.二、利用定积分定义求和式极限11111()lim ()lim ()nn i i T n i i f x dx f x f n n ξ→→∞===∆=∑∑⎰1()lim ()n ban i b a b af x dx f a i n n→∞=--=+∑⎰例 2 1) 221lim nn i i n i→∞=+∑2) 11lim[(1)]n n n k k n -→∞=+∏3) 12lim 1knnn k n k→∞=+∑4) 444333124lim (12)5n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+三、变限积分的导数例 3 1)2sin b a d x dx dx⎰ 2) 2sin x a d tdt dx ⎰3) 10(arctan )t x e tdt '⋅⎰4)23ln t t d dxdt x⎰ 例 4 1) 设0x ≥时，()f x 连续，且230()x f t dt x =⎰，求()f x .2) 设f 连续，31()x f t dt x c -=+⎰，求c 与(7)f .例 5 1) 设f 在[],a b 上连续，0()()()xF x f t x t dt =-⎰，[],x a b ∈.求证：()()F x f x ''=.2) 设f 在[)0,+∞上连续，且()0f x >，00()()()xx tf t dt x f t dtϕ=⎰⎰.试证：ϕ在()0,+∞上严格增.3) f 为连续可导函数. 试求：()()xa d x t f t dt dx'-⎰.四、求含变限积分未定型极限 例 6 1) 20cos limsin xx x x t dttdt→⎰⎰2) 222020()limxt x x t e dt e dt→∞⎰⎰例 7 1) 设f 在[],a b 上连续，求证：(),x a b ∈时，1lim ()()()()xa h f t h f t dt f x f a n+→+-=-⎰.2) ()f x 在R 上连续，且以T 为周期，求证：0011lim ()()x Tx f t dt f t dt x T→∞=⎰⎰.3)1lim bb -→⎰，(01)b << 存在.4) 设f 在[]0,A (0)A ∀>上可积，lim ()x f x a →+∞=，则01lim()xx f t dt a x →+∞=⎰.五、定积分的极限例 8 1) 求证: 1) 10lim 1nnx dx x +⎰ 2) 120lim (1)n n x dx →∞-⎰3) 2lim sin n n xdx π→∞⎰2) 设f 在[]0,2π上单调，求证：20lim ()sin 0f x xdx πλλ→∞⋅=⎰.六、某些积分不等式1、利用积分关于被积函数的单调性证明不等式.例 9 证明不等式 11201413n x dx n x x n-≤≤-+⎰，n ∈.例 10 证明:1) 211<⋅⋅⋅+< 2) 11ln(1)11ln 2n n n+<++⋅⋅⋅+<+[由此证明11lim(1ln )2n n n ++⋅⋅⋅+-存在，一般称此极限为Euler 常数，记为C ]2、某些不等式的积分形式设函数,f g 在[],a b 上可积，对[],a b 上n 等分, 取[]1,i i i x x ξ-∈，若对任何n ，1i n ≤≤，有11()()nn i i i i b a b af g n n ξξ==--⋅≤⋅∑∑，则有()()b b a a f x dx g x dx ≤⎰⎰. 例 11 1) 证明Schwarz 不等式.设,f g 在[],a b 上可积, 则222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.而当,f g 连续时, 等号成立⇔c ∃，g cf =.2) 设f 在[],a b 上连续，且0f >，则21()()()bba af x dx dx b a f x ⋅≥-⎰⎰.3) 设f 在[]0,1上可积，证明：21120()()f x dx f x dx ≤⎰⎰.4) 设,f g 在[],a b 上可积，则有Minkowski 不等式()111222222()()()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰.例 12 若ϕ在[]0,a 上连续，f 二阶可导，且()0f x ''≥, 则有Jesen 不等式0011(())(())a af t dt f t dt a a ϕϕ≥⎰⎰.3、其它不等式例13 1) 设f 在[]0,1上连续可导，证明：10()()()f x f t f t dt '≤+⎰，[]0,1x ∈.2) 设0a >，f 在[]0,a 上连续可导，则01(0)()()aa f f x dx f x dx a '≤+⎰⎰.3) 设f 在[]0,1上连续可导, 且(0)0,(1)1f f ==, 求证：110()()f x f x dx e -'-≥⎰.4) 设f 二阶可导, 求证：3()()()()224baa b Mf x dx b a f b a +--≤-⎰. 其中[],sup ()x a b M f x ∈''=.。
《高数》定积分课件
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
数学分析完整版本ppt课件
返回
牛 顿（I.Newton 1642.12.25—1727.3.3）
英国数学家和物理学家出生在一个农民家庭，出生前父亲就去世了， 三岁母亲改嫁，由外祖母抚养。1661年入剑桥大学，1665年获学士学位， 1668年获硕士学位。由于他出色的成就，1669年巴鲁（Barrow）把数学 教授的职位让给年仅26岁的牛顿。1703 年被选为英国皇家学会会长。牛 顿一生成就辉煌，堪称科学巨匠。最突出的有四项重大贡献：创立微积 分，为近代数学奠定了基础，推动了整个科学技术的发展。他发现了力 学三大定律，为经典力学奠定了基础；他发现了万有引力为近代天文学 奠定了基础；他对光谱分析的实验，为近代光学奠定了基础 。他的巨著 《自然哲学的数学原理》影响深远，他被公认为历史上伟大的科学家。可 惜他晚年研究神学，走了弯路。
n
n
1
i
2
n
1 n
它的面积
ΔSi
(1
i2 n2
)
1 n
所求的总面积
Sn
n (1 i1
i2 n2
)
1 n
1
1 n3
n
i
2
i 1
1
2n
2 3n 6n 2
1
2 3
我 们 分 别 取 n=10, 50, 100 用 计 算 机 把 它 的 图 象 画 出 来 ， 并 计
算出面积的近似值：
clf, n=10; x=0:1/n:1;
四．小结： 学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念
的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、
斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。
现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中
高等数学-定积分的概念与性质
= σ=1 ( ) .
→0
其中()称为被积函数，()称为被积表达式，称为积分变量,
[, ]称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限．
15
02 定积分的定义
注（1）定积分)( 是一个数值，它只与被积函数()
和积分区间[, ]有关，而与积分变量的符号无关，即
(2)近似（“以直代曲”）
在区间 [−1 , ] 上任取一点 ，以 ( ) 为高，
y
y=()
以 为底，作小矩形．小矩形的面积为
( ) ，用该结果近似代替[−1 , ]上的小
O
a
x i -1 ξ i x i
b
x
曲边梯形的面积 ，即
≈ ( ) （ = 1, 2, ⋯ , ）．
)(
=
)(
=
)( ．
（2）定积分存在，与区间的分法和每个小区间内 的取法无关.
Hale Waihona Puke （3）按照定积分的定义，记号)( 中的, 应满足关系
< ，为了研究的方便，我们补充规定：
① 当 =
② 当 >
时， = )( = )( 0；
在区间 [1,2] 内， 0 ≤ < 2 < 1 ，
则( )3 < .由性质5.5的推论1，得
2
1
>
2
1 ( )3 ．
28
极限，得 σ=1 ( ) .
→0
如果对于[, ]的任意分法及小区间[−1 , ]上点 的任意
取法，上述极限都存在，则称函数()在区间[, ]上可积，
定积分的概念 课件
梳理 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)≥0， 那么定积分ʃ baf(x)dx表示由 直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x) 所围 成的曲边梯形的面积.这就是定积分ʃ baf(x)dx的几何意义. 注意：f(x)<0(图象在x轴的下方)时，ʃ baf(x)dx<0，－ ʃ baf(x)dx等于曲边梯 形的面积.
n b－a
n
取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx＝ i＝1
n
f(ξi) ，当n→∞时，
i＝1
上述和式无限接近某个 常数 ，这个 常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定
积分，记作 ʃ baf(x)d，x 即 ʃ baf(x＝)
n f，(ξi)这里，a与b分别叫做
知识点三 定积分的性质
思考 你能根据定积分的几何意义解释 ʃ baf(x)dx＝ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx(其中 a<c<b)吗？ 答案 直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲 边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.
梳理 (1)ʃ bakf(x)dx＝ kʃ baf(x)dx (k 为常数). (2)ʃ ba[f1(x)±f2(x)]dx＝ ʃ baf1(x)dx±ʃ baf2(x)dx . (3)ʃ baf(x)dx＝ ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx (其中 a<c<b).
类型一 利用定积分的定义求定积分 例 1 利用定积分的定义，计算 ʃ 21(3x＋2)dx 的值.
类型二 利用定积分的性质求定积分
例 2 已知 ʃ10x3dx＝14，ʃ21x3dx＝145，ʃ21x2dx＝73，ʃ42x2dx＝536，求下列各式的值. (1)ʃ 20(3x3)dx； 解 ʃ 20(3x3)dx＝3ʃ 20x3dx
定积分的知识点总结
定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。
定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。
定积分的符号表示为∫。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。
定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。
二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。
这就是定积分的计算方法。
在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。
这就是黎曼和的基本思想。
2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。
对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。
这个面积就是曲线下的面积。
如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。
3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。
在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。
对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。
其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。
定积分的概念课件北师大选修
x^(n+1)+C等。
02
换元法
通过换元法将复杂的积分转化为简单的积分，如令t=√x，则
dt=1/(2√x) dx。
03
分部积分法
通过分部积分法将两个函数的乘积的积分转化为一个函数的积分和一个
函数的微分的和，如∫x*sin x dx=∫x*d(-cos x)=x*cos x-∫cos x dx。
2023
体积计算
总结词
定积分在体积计算中也有着重要的应用，可以用来计算旋转体的体积。
详细描述
通过将旋转体的边界曲线在平面上进行分割，并利用定积分计算每个小曲边柱体的体积，然后将这些 体积求和，即可得到整个旋转体的体积。例如，利用定积分可以计算球体的体积，即将球体分割成若 干个小球体，每个小球体近似为圆柱体，然后计算所有小圆柱体的体积的总和。
变速直线运动的路程
总结词
定积分还可以用来计算变速直线运动的 路程。
VS
详细描述
变速直线运动的路程可以通过对速度函数 进行定积分来得到。具体来说，先对速度 函数进行积分，得到位移函数，然后再对 位移函数进行定积分，即可得到变速直线 运动的路程。例如，如果速度函数为 v(t)=t^2，则位移函数为 s(t)=∫v(t)dt=t^3/3，最后对s(t)进行定 积分得到总路程为t^4/12。
具之一，可以用 于解决各种实际问题，如物理、工程、经济 等领域的建模问题。
数值计算
定积分在数值计算中也有广泛的应用，例如在计算 物理实验的数据处理、数值天气预报等领域中都有 重要的应用。
科学计算
在科学计算中，定积分可以用于解决各种复 杂的数学问题，如求解偏微分方程、积分方 程等。
换元法
在计算定积分时，有时可以通过换元法简化计算，即通过变量替换将复杂的积分区间变 换为简单的区间，或者将复杂的被积函数变换为容易积分的函数。
定积分的应用课件
液体静压力计算步骤
详细阐述液体静压力计算的步骤，包 括确定计算区域、选择坐标系、列出 被积函数等。
其他物理问题中定积分应用
引力计算
通过定积分求解质点系或连续体 之间的引力问题。
波动问题
将波动问题转化为定积分问题， 进而求解波动过程中的各种物理 量。
01
02
电场强度计算
利用定积分求解电荷分布连续体 所产生的电场强度。
消费者剩余和生产者剩余计算
消费者剩余计算
消费者剩余是消费者愿意支付的价格与实际支付价格之间的差额。在需求曲线和价格线之间的面积表示消费者 剩余，可以通过定积分计算。
生产者剩余计算
生产者剩余是生产者实际得到的价格与愿意接受的最低价格之间的差额。在供给曲线和价格线之间的面积表示 生产者剩余，同样可以通过定积分计算。
01
通过定积分求解绕x轴或y轴旋转一周所得旋转体的体积。
平行截面面积为已知的立体体积计算
02
利用定积分将立体划分为无数个平行截面，通过截面面积和高
度求解体积。
参数方程表示立体体积计算
03
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分求解体积。
曲线弧长求解方法
1 2
直角坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在直角坐标系下的弧长。
参数方程表示曲线弧长计算
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分 求解弧长。
3
极坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在极坐标系下的弧长。
03
定积分在物理学中应用
变力做功问题求解方法
微元法求解变力做功
通过将变力做功的过程划分为无数个微小的 元过程，每个元过程中力可视为恒力，从而 利用定积分求解变力做功。
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
定积分的概念及性质课件
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变 换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或 系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法， 它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余 弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性 质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着 广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转 换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定 义的积分，它通常用于处理一些 在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函 数在一个区间上的总值， 其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。
第九章 定积分
第九章 定积分§9-1定积分的概念 一 几个典型问题1、曲边梯形的面积（四大问题之一）步骤（图示）：1） 任意分割；2） 以直代曲；3） 作和式（得近似值）； 4） 取极限（得精确值）。
2、变速直线运动的路程二 定积分的定义1、定义 设()[]b a x f ,在上有界，1） 任意分割：.,2,1n i x i=∆2） 作乘积：任取[]i i i x x ,1-∈ξ，作乘积i i x f ∆).(ξ 3） 作和式：()ini ix f ∆∑=.1ξ4） 取极限：()ini ix f ∆∑=→.lim1ξλ若不管[]b a ,如何分割，i ξ如何选取，当{}0max 1→∆=≤≤i nv x λ时，上述极限如果存在，则称()x f 在[]b a ,上是可积的，并称此极限值为()[]b a x f ,在上的定积分，记为()()i ni i bax f dx x f ∆=⎰∑=→.lim 0ξλ介绍名称。
引例中：()()dt t v s dx x f A ba b a ⎰=⎰=, 注：()()()dt t f du u f dx x f ba b a b a ⎰=⎰=⎰:1()0:2=⎰dx x f a a()()dx x f dx x f b a Defab⎰-=⎰:32、可积条件充分条件：若()[]b a x f ,在满足下列条件之一，则()[]b a x f ,在上可积：1()[]b a x f ,在上连续；2只有有限个间断点的有界函数3单调函数必要条件：若()[]b a x f ,在上可积，则在[]b a ,上一定有界。
3 几何意义：设()[]b a x f ,在上连续（1） 若()0≥x f ，则();A dx x f ba =⎰ （2） 若()0≤x f ，则();A dx x f ba -=⎰（3） 若()x f 有正有负，则();321A A A dx x f ba +-=⎰（图示）例1 利用几何意义求积分,)2(;)1()1(2220dx x a dx x a ba -⎰-⎰例2 用定义计算积分dx x 210⎰;例3 利用定积分表示下列和式的极限：（1）∑=∞→+n i n n in 111lim（2）()021lim1>++++∞→p n n p pp p n§9-2定积分的性质和积分中值定理一、定积分的性质：设()()x g x f ,在所讨论的区间上都是可积的，则有 性质1 线性()()[]()()()为常数αββαβαdx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰+⎰=+⎰ ()()()()[]()()dx x g x f dx x g x f dx x f A dx x Af b a b a b a b a b a ⎰±⎰=±⎰⎰=⎰⇔且性质2 区间可加性()()()()都成立或或不论b a c c b a b c a dx x f dx x f dx x f bc c a b a <<<<<<⎰+⎰=⎰性质3 保号性若()()0,0≥⎰<≥dx x f b a x f ba 则有且性质4 不等式若()()()()()dx x g dx x f b x a x g x f ba b a ⎰≤⎰≤≤≤则有,性质5 绝对值不等式 ()()()b a dx x f dx x f ba b a <⎰≤⎰性质6 估值不等式()()()[]则有上的最小值和最大值，在分别为和即b a x f M m b x a M x f m ,,≤≤≤≤ ()()()a b M dx x f a b m ba -≤⎰≤-二、积分中值定理若ƒ (x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使()()()a b f dx x f ba -=⎰ξ图示说明几何意义 例1 证明:22211≤⎰≤--dx e ex (用性质3或中值定理都可) 例2 比较大小：()dx x xdx 22121ln ln ⎰⎰与作业P168/1，2，3，4§9-3微积分基本定理 变上限积分为引出牛顿-莱布尼兹公式：()()()a b dx x f ba Φ-Φ=⎰，先做些准备工作设ƒ (x)在[a ，b]上可积，则对于每一个∈x [a ，b]， 都有唯一确定的值与之对应，因此()()x F dt t f Defx a=⎰是一个定义在[a ，b]上的函数，称为积分变上限函数。
9-4——华东师范大学数学分析课件PPT
0, [a,c]与[c,b]上分割T与T, 使得
T
ixi
2
,
T
ixi
2
.
令 T T T, 它是 [a, b] 的一个分割,
ixi ixi ixi .
T
T
T
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
因此, f 在 [a, b] 上可积.
(必要性) 已知 f 在[a,b]上可积， 则 0, T ,
b
f ( x)dx.
a
a
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
性质2
若 f , g 在 [a, b] 上可积, 则 f g 在 [a, b] 上可积,
且
b
( f ( x) g( x))dx
b
f ( x)dx
b
g( x)dx.
a
a
a
证
记 J1
0,
存在分割T,使if xi T
; 又存在分
2M
割 T ，使
T
ig Δxi
2M
.
令T T T ( T 表示把 T 与 T 的所有分割点合
并而成的新分割 ), 则
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
fg i
sup
f ( x)g( x) f ( x)g( x)
n
f (i )Δ xi J
i 1
. k 1
从而
数学分析 第九章 定积分
后退 前进 目录 退出
定积分的概念课件
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指定积分在区间上的 值等于该区间内各小区间的定积分之和。
详细描述
定积分的区间可加性表明，对于任意两个不 相交的区间$[a, b]$和$[c, d]$，有
$int_{a}^{b}f(x)dx+int_{c}^{d}f(x)dx=int_ {a}^{d}f(x)dx$。这意味着可以将一个大区 间分割成若干个小区间，然后求各小区间的 定积分，再将它们相加，得到整个大区间的
体积计算
规则体积
对于规则的立体图形，如长方体、圆柱体、圆锥体等 ，可以直接利用定积分的值来计算其体积。例如，对 于圆柱体，其体积可以通过定积分$int_{a}^{b} 2pi r(h) dr$来计算。
曲顶体积
对于曲顶的立体图形，如球、球缺等，也可以利用定 积分来计算其体积。通过将曲顶立体分割成若干小锥 体，然后求和这些小锥体的体积，最后利用极限思想 得到整个曲顶立体的体积。
定积分的性质
02
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指定积分具有与加法和数乘运算类似的性质。
详细描述
定积分的线性性质允许我们将一个被积函数与常数相加或相乘，其结果等于将相应的常数加到或乘到 该函数的定积分上。即，对于两个函数的定积分，有$int (k_1f+k_2g) dx = k_1int f dx + k_2int g dx$，其中$k_1$和$k_2$是常数。
应用
无穷区间上的积分在解决一些实际问题时非常有用，例如 求某些物理量（如质量、面积等）的无穷累加和。
一致收敛性
定义
01
一致收敛性是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数序列在
某个区间上的一致收敛性。
定积分复习
( x) f (t )dt, x a, b.
点集 有关. i
J是一个确定的 定义3 设f是定义在[a,b]的一个函数， 实数. 若对任给的正数 ，总存在某一正数 ,
使得对
[a,b]的任何分割T，以及在其上任意选取的点集 i ，只
要 || T || ，就有
f ( )x
i 1 i
n
i
J ,
则称函数f在区间[a,b]上可积或黎曼可积；数J称为f在[a,b]
n
分别称为f关于分割T的上和与下和 (或称达布上和与达布 下和,统称达布和). 任给 ， ， 2，…n， 用 T 表示 i i i=1 相应于分法T的积分和， 积分和 T 是数集(多值). 显然有
T f x
i i=1
n
i
且
n i 1
s T f i xi S T
定积分
b
a
f ( x)dx
y o
a S
b
x
就是位于 x 轴下方的曲边梯形
面积的相反数. 即
b
a
f ( x)dx S
y=f (x)
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．
M i sup
,n
为对[a,b]的任一分割.由f在
, n.
[a,b]上有界, 它在每个 i 上存在上、下确界:
xi
f ( x ); mi inf f ( x ), i 1, 2,
x
i
定积分的性质
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
性质3
定积分的性质
积分中值定理
若 f , g 在 [a, b] 上可积，则 f g 在 [a, b] 上也可积.
证 因 f , g 在[a,b]上可积，故在[a,b]上都有界，
即M 0, x [a,b], f (x) M , g(x) M .
则
b
b
f ( x)dx g( x)dx.
a
a
证 设 F ( x) g( x) f ( x) 0, x [a, b], 则
b
b
b
0 a F ( x)dx a g( x)dx a f ( x)dx,
即
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx.
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
性质4
f 在[a, b]上可积的充要条件是: c (a, b),
f 在 [a, c] 与 [c, b] 上都可积. 并且
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
证(充分性) 若 f 在 [a, c] 与 [c, b] 上可积,则
积分中值定理
性质1
若 f 在 [a,b] 上可积， k 为常数, 则 k f 在[a, b]
上也可积，且
b
k f (x)d x k
b
f (x)d x.
a
a
证 记
J
b
f (x)d x.
由 f 在 [a, b] 上可积, 故
《定积分的概念》课件
详细描述
微积分基本定理指出，一个定积分可 以用被积函数的不定积分来表示。这 个定理是计算定积分的基石，因为它 提供了一种将定积分问题转化为求不 定积分问题的途径。
பைடு நூலகம்
微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用广泛，包括计算面积、体积、速度和加速度等。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算各种物理量，如物体的运动速度、加速度，以及平面图形的面积 等。这些应用在科学、工程和经济学等领域都有广泛的应用。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法 和分部积分法等。
VS
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定 积分的方法；换元法是通过换元公式将复 杂的积分转化为简单的积分；分部积分法 则是通过将两个函数的乘积进行求导，再 利用微积分基本定理计算定积分的方法。 这些方法在解决实际问题时各有优缺点， 需要根据具体情况选择合适的方法。
通过将物体的运动轨迹分割成无数小的线段，再利用定积分计算这些线
段上的速度和加速度的积分和，可以求得物体的整体速度和加速度。
定积分在经济学中的应用
计算边际成本和边际收益
在经济学中，定积分可以用于计算边际成本和边际收益，这是通过将成本或收益函数在一定的范围内进行分割，再利 用定积分计算这些分段上的成本或收益的积分和，可以求得整体的边际成本和边际收益。
预测市场需求
通过将市场需求函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的需求函数的积分和，可以预测整体的 市场需求。
评估投资项目的风险
通过将投资项目的风险函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的风险函数的积分 和，可以评估整体的投资项目的风险。
定积分的概念定积分应用
THANKS
谢谢
总结词
定积分在弹性力学中用于计算物体在受力作用下的应力和应变。
详细描述
在弹性力学中，物体在受力作用下的应力和应变可以通过将弹性力学方程与定积分相结合来计算。通过确定物体 的受力分布和边界条件，可以计算出物体的应力和应变。
热传导中的温度分布
总结词
定积分在热传导中用于计算物体内部的温度分布。
详细描述
在热传导问题中，物体内部的温度分布可以通过将热传导方程与定积分相结合来计算。通过确定物体 的热源、边界条件和初始温度分布，可以计算出物体在不同时刻的温度分布。
积分区间
由积分下限和积分上限 确定的闭区间，表示为 $[a, b]$。
定积分的几何意义
定积分表示曲线与直线$y = x$ 及$x$轴所夹的面积，即曲线下
方间的距离。
当定积分的积分区间为$[a, b]$ 时，定积分的值等于曲线与直线 $y = x$及$x$轴所夹的面积在 $x=a$和$x=b$处的面积差。
恒力做功的计算
在物理学中，恒力做功可以直接用力 和位移的乘积来计算。然而，当作用 力是变力时，不能简单地用力和位移 的乘积来计算。
定积分的引入
为了计算变力做功，我们需要引入定 积分的概念。通过将变力函数在位移 区间上进行积分，可以得到变力做功 的值。
04
CHAPTER
定积分在经济学中的应用
边际和弹性
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
生产者剩余
定积分可用于计算消费者剩余，即消费者愿 意支付的价格与实际支付的价格之间的差额。 通过积分可以求出整个需求曲线下方的面积， 即总消费者剩余。
定积分也可用于计算生产者剩余，即生产者 愿意接受的价格与实际接受的价格之间的差 额。通过积分可以求出整个供给曲线上方的 面积，即总生产者剩余。
定积分的概念 课件
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们此处将 ξi 取为[xi，xi＋1] 的右端点也无妨)
(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14nn＋ 2 12＝411＋2n＋n12，
∴1x3dx＝lim
[解析] ∵y＝x3＋3x 为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形 在 x 轴上方部分面积与在 x 轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知1 (x3＋
－1
3x)dx＝0.
『规律总结』 若函数f(x)的图象是某些特殊的图形，其面积运用几何方法 容易求解，求定积分时还可以利用几何意义求解．
定积分的概念
1．定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b 将区
间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)， n b－a
作和式 Sn＝n f(ξi)Δx＝___i＝_1___n___f(_ξ_i)___(其中 Δx 为小区间长度)，当 n→∞时，上
2
5352－2xdx＝12×2×1＝1. ∴50f(x)dx＝20xdx＋32(4－x)dx＋5352－2xdx＝2＋32＋1＝92.
利用定积分求平面图形的面积
将下列曲线围成的平面区域的面积用定积分表示. (1)y＝0，y＝ x，x＝2； (2)y＝x－2，x＝y2.
[思路分析] 可先作出函数图象，再根据图象及几何意义把围成的平面区域的 面积进行表示．
kb
f(x)dx
定积分的概念 课件
定积分的概念
1．定积分的概念 如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0＜x1 ＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成 n 个小 区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1，2，…， n)，作和 sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…f(xn)Δ x，当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在 时，如图③所示，则∫baf(x)dx＝S 上－S 下，若 S 上＝S 下， 则∫baf(x)dx＝0．
温馨提示 在利用定积分的几何意义求定积分时， 要特别注意曲边梯形所在的位置，以此为依据确定积分 值的符号．
4．定积分的性质 (1)∫bakf(x)dx＝_k_∫__ba_f(_x_)_d_x_ (k 为常数)； (2)∫ba[f1(x)±f2(x)]dx＝_∫__baf_1_(x_)_d_x_±__∫__ba_f2_(_x_)d_x__； (3)∫baf(x)dx＝∫__caf_(_x_)d__x_＋__∫__bcf_(_x_)d_x_，其中 a＜c＜b.
(2)∫21xdx 表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面 积，由于这个梯形的面积为32，所以∫21xdx＝32.
(3)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形 为以原点为圆心，以 3 为半径的上半圆，如图 ③所示，其面积 S＝12·π·32＝92π.
由定积分的几何意义，知∫3－3 9－x2dx＝92π.
温馨提示 注意积分结果的符号问题．因为定积分∫
baf(x)dx 是介于 x 轴、函数 f(x)的图象以及直线 x＝a，x＝ b 之间的各部分面积的代数和，在 x 轴上方的取正号，在 x 轴下方的取负号．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第九章 定积分§9-1定积分的概念 一 几个典型问题1、曲边梯形的面积（四大问题之一）步骤（图示）：1） 任意分割；2） 以直代曲；3） 作和式（得近似值）； 4） 取极限（得精确值）。
2、变速直线运动的路程二 定积分的定义1、定义 设()[]b a x f ,在上有界，1） 任意分割：.,2,1n i x i=∆2） 作乘积：任取[]i i i x x ,1-∈ξ，作乘积i i x f ∆).(ξ 3） 作和式：()ini ix f ∆∑=.1ξ4） 取极限：()ini ix f ∆∑=→.lim1ξλ若不管[]b a ,如何分割，i ξ如何选取，当{}0max 1→∆=≤≤i nv x λ时，上述极限如果存在，则称()x f 在[]b a ,上是可积的，并称此极限值为()[]b a x f ,在上的定积分，记为()()i ni i bax f dx x f ∆=⎰∑=→.lim 0ξλ介绍名称。
引例中：()()dt t v s dx x f A ba b a ⎰=⎰=, 注：()()()dt t f du u f dx x f b a b a b a ⎰=⎰=⎰:1()0:2=⎰dx x f a a()()dx x f dx x f b a Defab⎰-=⎰:32、可积条件充分条件：若()[]b a x f ,在满足下列条件之一，则()[]b a x f ,在上可积：1()[]b a x f ,在上连续； 2只有有限个间断点的有界函数3单调函数必要条件：若()[]b a x f ,在上可积，则在[]b a ,上一定有界。
3 几何意义：设()[]b a x f ,在上连续（1） 若()0≥x f ，则();A dx x f b a =⎰ （2） 若()0≤x f ，则();A dx x f b a -=⎰（3） 若()x f 有正有负，则();321A A A dx x f b a +-=⎰ （图示）例1 利用几何意义求积分,)2(;)1()1(2220dx x a dx x aba -⎰-⎰例2 用定义计算积分dx x 210⎰;例3 利用定积分表示下列和式的极限：（1）∑=∞→+n i n n in 111lim（2）()021lim1>++++∞→p n n p pp p n§9-2定积分的性质和积分中值定理一、定积分的性质：设()()x g x f ,在所讨论的区间上都是可积的，则有 性质1 线性()()[]()()()为常数αββαβαdx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰+⎰=+⎰ ()()()()[]()()dx x g x f dx x g x f dx x f A dx x Af ba b a b a b a b a ⎰±⎰=±⎰⎰=⎰⇔且性质2 区间可加性()()()()都成立或或不论b ac c b a b c a dx x f dx x f dx x f b c c a b a <<<<<<⎰+⎰=⎰性质3 保号性若()()0,0≥⎰<≥dx x f b a x f b a 则有且性质4 不等式若()()()()()dx x g dx x f b x a x g x f b a b a ⎰≤⎰≤≤≤则有,性质5 绝对值不等式 ()()()b a dx x f dx x f ba b a <⎰≤⎰性质6 估值不等式()()()[]则有上的最小值和最大值，在分别为和即b a x f M m b x a M x f m ,,≤≤≤≤ ()()()a b M dx x f a b m b a -≤⎰≤-二、积分中值定理若ƒ (x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b ]，使()()()a b f dx x f b a -=⎰ξ 图示说明几何意义 例1 证明:22211≤⎰≤--dx e ex (用性质3或中值定理都可) 例2 比较大小：()dx x xdx 22121ln ln ⎰⎰与 作业P168/1，2，3，4§9-3微积分基本定理 变上限积分为引出牛顿-莱布尼兹公式：()()()a b dx x f b a Φ-Φ=⎰，先做些准备工作 设ƒ (x)在[a ，b]上可积，则对于每一个∈x [a ，b]， 都有唯一确定的值与之对应，因此()()x F dt t f Defxa=⎰是一个定义在[a ，b]上的函数，称为积分变上限函数。
注:()dt t f xa ⎰中x 是积分上限变量,在[a ，b]上变化;t 是积分变量,在[a ，x]上变化。
图示从图中讨论()()()()x f x Axx F x x F dx x dF x x =∆∆=∆-∆+=→∆→∆00lim lim Th1（积分上限函数的求导定理）若ƒ (x)在[a,b]上连续，则F(x)在[a,b]上一定可导，且有()()()x f dt t f dxd dx x dF x a =⎰= 注 1. F(x)也一定连续.2. F(x)是ƒ (x)在上的一个原函数.3. 此定理也证明了连续的原函数一定存在. 例1. 求 F ′(x)，其中:(1) F(x)= dt t x 22cos -⎰ , (2) F(x)=dt t x21cos ⎰ ,(3) F(x)= dt t x 212cos 2+-⎰ , (4) F(x)=dt t xx 22cos 2⎰例2．求220022sin limln (1)x x xt dtt t dt →⎰+⎰二．牛顿-莱不尼兹公式Th2：若ƒ (x)在[a,b]上连续，Ф（x ）是ƒ (x)的任意一个原函数，则有()()()ba Defb ax a b dx x f )(Φ=Φ-Φ=⎰说明：()dx x f b a ⎰ 等于ƒ (x)的任一个原函数在[a ，b]上的增量问题：若21,ΦΦ是ƒ (x)的两个原函数，()()()()1122b a b a Φ-Φ=Φ-Φ？ 答：相等。
不妨设()为常数c c +Φ=Φ12 证：由定理知()dt t f xa ⎰也是ƒ (x)的一个原函数，于是有()()[]b a x c dt t f x x a ,,0∈+⎰=Φ说明：定理1，2统称为微积分基本定理，Th1揭示了微分与积分在概念上的联系，连续函数的积分上限函数的导数就是被积函数，Th2是Th1的直接推论，它把定积分的计算化为求原函数的问题，称为牛顿—莱布尼兹公式，是定积分的基本公式。
例3 计算：（1）dx x x x 113322401+++⎰- （2）dx x 2cos 120-⎰π（3）()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=⎰,1,21,1,1,220x x x x x f dx x f（4）2ln 2ln 1ln ln 1212-=-==⎰----x xdx（5）dx x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎰21041sin π （6）()tdt t 220cos sin 1-⎰π作业P169/6，7§9-4定积分换元法和分部积分法复习：定积分的基本公式（N-L 公式）：⎰=bab a x F dx x f |)()(（F(x)是ƒ(x)的任一个原函数）是求定积分的最基本原理，定积分的线性性质及对积分区间的可加性是求定积分的基本工具。
下面讨论求定积分的基本方法：一、定积分的换元法⎰⎰⎰+=⋅=c x d x f A dx x x f A dx x g )]([)([)(')]([)(ϕϕϕϕ⎰⎰⎰=⋅=⋅=bab abab a x AF x d x f A dx x x f A dx x g |)]([)]([)]([)(')]([)(ϕϕϕϕϕ例1． ()()1211212142022020222-==⎰=⎰e e x d e dx xe x x x 典型错误：()()1211212121220)4(2022202022-==⎰=⎰=⎰e e dt e t x x d e dx xe t t x x 令注：1.用凑微分法尽量不要引入新的变量,否则积分上下限要改变.2.用凑微分时不变积分基本公式一定要熟()()()()[]()()C t F dt t t f dtt dx t x dx f +⎰==⎰易积出令..''ϕϕϕϕ 条件：x=ψ(t)具有连续的导数ψ′(t)()()()()[]()()βαβαϕϕϕϕ1..''t F dt t t f dtt dx t x dxx f b a =⎰==⎰令 条件：（1）ψ(α)=a ，ψ(β)=b ，（2）x=ψ(x)具有连续的导数ψ′(t)且a ≤ψ(t)≤b(α≤t ≤β) 注：1.用变量替代法计算定积分时积分上下限一定要改变。
2.若被积函数含有nnt b ax b ax ta x a x t a x a x t a x x a =++=+=-=-令令令令,tan ,sec ,sin ,222222例2．()0220>-⎰a dx x a a例3．dx x x32211+⎰-例4．dx e x 12ln 0-⎰例5 xdx x arctan 10⎰二、定积分的分部积分法()()()()()()x du x v x v x u x dv x u ⎰-=⎰.()()()()()()[]()()[]()()[]()()[]()()x du x u x v x u x du x v x v x u x du x v x v x u x dv x u b a ba ba ba ba b a ⎰-=⎰-=⎰-=⎰... ——定积分的分部积分公式 条件：u=u （x ），v=v （x ）在[a ，b]上具有连续导数注：u （x ）v （x ）上不要忘记写上[]b a例6xdx x arctan 10⎰例7 ()20cos x x xdx π⎰-三．利用简化定积分计算的公式１．奇偶函数在关于原点对称区间上的积分设ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上可积，则有()()()()()图示是奇函数，当是偶函数，当⎩⎨⎧⎰=⎰--x f x f dx x f dx x f aa a a,0,2 例8()dx xx x 2221211arcsin -+⎰-２ wallis 公式()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧------⎰⎰为偶数，当为奇数，当n n n n n n n n n n xdx xdx n n ,2.21,23,1,1.3223,12cos 1sin 2020πππ注wallis 公式在计算［０，2π］上正弦或余弦函数高次方的积分非常方便。