[2018年最新整理]微分方程模型建立中的稳定性模型
数学建模-稳定性模型
x (t ) F ( x) rx(1 ) Ex x N E F ( x) 0 x0 N (1 ), x1 0 r 平衡点
产量模型
稳定性判断
F ( x0 ) E r, F ( x1 ) r E
E r F ( x0 ) 0, F ( x1 ) 0
捕鱼业的持续收获
• 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等） • 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。
问题 及 分析
• 在捕捞量稳定的条件下，如何控 制捕捞使产量最大或效益最佳。 • 如果使捕捞量等于自然增长量，渔 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。
产量模型 假设
稳定平衡点 x0 N (1 E / r )
捕捞 • 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 过度 • 开放式捕捞只求利润R(E) > 0
令 E R( E ) T ( E ) S ( E ) pNE(1 ) cE =0 r
ER
r c (1 ) 2 pN
c Es r (1 ) pN
R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 临界强度下的渔场鱼量
c Es xs N (1 ) p r
S(E)
p , c
Es , xs
0
ER E*
T(E) Es r E
捕捞过度
• 鱼销售价格p
• 单位捕捞强度费用c 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE
单位时间利润
R T S pEx cE
E R( E ) T ( E ) S ( E ) pNE(1 ) cE r r c r E ( 1 ) E* 求E使R(E)最大 R 2 pN 2 2 rN c 渔场 x N (1 E R ) N c hR (1 2 2 ) R 4 p N 2 2p 鱼量 r
数学中的微分方程的稳定性与动力学
数学中的微分方程的稳定性与动力学微分方程是数学中的重要工具，用于描述自然界和社会科学中的各种现象。
在微分方程的研究中，稳定性与动力学是两个关键概念。
本文将介绍微分方程的稳定性分析方法和动力学概念，并以实例说明它们的应用。
1. 稳定性分析微分方程的稳定性分析是指对方程解的长期行为进行判断，即确定解是否会趋于稳定或者发散。
常用的稳定性分析方法包括线性稳定性分析和李雅普诺夫稳定性分析。
1.1 线性稳定性分析线性稳定性分析通过判断微分方程的线性化方程的解的行为来确定原方程解的稳定性。
线性化方程将非线性微分方程近似为线性微分方程，并利用线性微分方程的特征值来判断解的行为。
1.2 李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析是通过构造李雅普诺夫函数来判断方程解的稳定性。
李雅普诺夫函数是一个连续可微的正定函数，通过对函数进行变换和求导，可以判断解的长期行为。
2. 动力学系统动力学是研究物体运动和力学规律的科学领域。
在微分方程中，动力学系统是指由微分方程描述的物体或系统的状态随时间变化的规律。
动力学系统可以用相图来描述，相图是在相空间中绘制的系统状态随时间变化的轨迹。
2.1 平衡点与鞍点在动力学系统中，平衡点是指系统状态不再变化的点。
当微分方程的解趋于平衡点时，系统达到稳定状态。
鞍点是指系统状态处于不稳定平衡的点，解在该点附近不稳定。
2.2 相图与轨迹相图是用于描述动力学系统的状态变化的图形。
在相图中，每个点表示一个系统状态，而轨迹则表示系统状态随时间变化的路径。
相图能够直观地展示系统的稳定性和不稳定性。
3. 应用实例微分方程的稳定性与动力学在各个领域有广泛的应用。
以下是两个实例：3.1 生物学中的应用生物学中的许多现象都可以用微分方程来描述和分析。
例如，人口动态模型常用来研究不同群体之间的相互作用与竞争，利用稳定性分析和动力学方法可以预测不同物种的种群数量变化趋势以及生态系统的稳定性。
3.2 经济学中的应用经济学中的供需方程、投资方程等也可以通过微分方程来进行建模和分析。
稳定性模型
（i） λ1 < λ2 < 0 ， O 是稳定结点； （ii） λ1 = λ2 < 0 ， O 是稳定退化结点； （iii） λ1 > λ2 > 0 ， O 是不稳定结点； （iv） λ1 = λ2 > 0 ， O 是不稳定退化结点； （v） λ1 < 0 < λ2 ， O 是不稳定鞍点； （vi） λ1,2 = α ± βi,α < 0 ， O 是稳定焦点；
⎧ dx(t )
⎪⎪ ⎨ ⎪
dt dy(t)
⎪⎩ dt
= =
ax cx
+ +
by dy
（3）
当 ad − bc = 0 时，有一个连续的奇点的集合。当 ad − bc ≠ 0 时， (0,0) 是这个系统的
1
定理 1 设 F ( x) 是实解析函数，且 x0 系统（2）的奇点。若 F ( x) 在点 x0 处的 Jacobian
（2）当 E > r 时， x&(t) < 0 ，渔场鱼量将逐渐减少至 x1 = 0 ，这时的捕捞其实是
“竭泽而渔”，当然谈不上获得持续产量了。
如何才能做到渔资源在持续捕捞的条件下为我们提供最大的收益？从数学上说，就
是在 x&(t) = 0 或 rx(t)(1− x(t) ) = Ex(t) 的条件下极大化所期望的“收益”，这里的“收 N
x&(t) = − x( x − x2 )
（8）
易知，当 0 < x < x2 时， x&(t) > 0 ； x > x2 时， x&(t) < 0 ，即平衡解 x1 是不稳定的，而
x2 是稳定平衡解。即在捕捞强度 E < r 的情况下，渔场鱼量将稳定在 x2 的水平，因此
微分方程的稳定性模型_图文_图文
1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲 乙一起生存时相互提供食物、促进增长。
2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。
3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。
模型 假设
• 甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律 ; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长 。 • 乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙 提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身 的阻滞作用 (服从Logistic规律)。
假设
• 解释(预测)双方军备竞赛的结局 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一 方军备增加越快；
2）由于经济实力限制，一方军备越大，对 自己军备增长的制约越大；
3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存
在增加军备的潜力。
进一步 假设
1）2）的作用为线性；3）的作用为常数
建模 x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量
r1=1, N1=20, 1=0.1, w=0.2, r2=0.5, 2=0.18
相轨线趋向极限环 结构稳定
实质上，我们并不需求解上面的微分方程以得到x(t) 的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保 持稳定的条件，即时间 t 足够长以后渔场鱼量 x(t) 的趋向，并由此确定最大持续产量。为此可以直接 求上面常微分方程的平衡点并分析其稳定性。
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
由于
讨论方程(1)的稳定性时，可用
对于消耗甲的资源而言
，乙(相对于N2)是甲(相
对于N1)的1 倍。
对甲增长的阻滞 作用，乙小于甲 乙的竞争力弱
2>1 甲的竞争力强
甲达到最大容量，乙灭绝
微分方程稳定性理论简介
任期5年的国家来说， 0.2.
24
对模型和参数的粗略检验 考察第一次 世界大战前夕欧洲的两个国家同盟——法 俄同盟和德奥匈同盟的军备竞赛情况.
两个同盟的经济实力大致相等，且约 为德国的3倍，因为德国的k 0.3，所以这
3. 由于相互敌视或领土争端，每一方 都存在着增加军备的固有潜力.
16
进一步假定前两个因素的影响是线性的，
第3个因素的影响是常数，那么x(t)和y(t)的变
化过程可用微分方程组
x(t) x ky g
Hale Waihona Puke y (t )lx y h
(1)
表示，其中的系数均大于或等于零. k, l是对方
军备刺激程度的度量; , 是己方经济实力制
15
模型的假设和构成 为了方便起见，用
军备表示军事力量的总和，如兵力、装备、 军事预算等. 甲乙双方在时刻t的军备分别 记作x(t)和y(t)，假设它们的变化只取决于 下面3个因素：
1. 由于相互不信任及矛盾的发展，一 方军备越大，另一方军备增加得越快;
2. 由于各方本身经济实力的限制，任 一方军备越大，对军备增长的制约作用越 大;
12
军事分析家平可夫: 中日军备竞赛由隐形转向有形 /letter/ 加入日期 2005-5-24 9:02:37 点击次数： 3
防卫厅消息来源声称过去一年以来，航空自卫 队在日本排他经济水域周围监视中国军用飞机的次 数明显增多。它们大半是侦察机。在海上，中国海 军的最新型俄式“现代”导弹驱逐舰的活动也比较 频繁。冷战时代苏联海军太平洋舰队的“现代”级 导弹驱逐舰经常航行在东海海域，目前中国出现的 频率超过了俄罗斯海军。
数学建模4-稳定性模型
稳定性模型
一、微分方程和差分方程的稳定性理论简介
详见《数学模型》7.7节（Page242-Page247），包括一阶微分方程、二阶微分方程和差分方程的平衡点及稳定性，关键记住结论。
二、捕鱼业的持续收获模型
1.渔场鱼量（x）满足的方程：r固有增长率，E单位时间捕捞率（捕捞强度）。
2.根据F（x）=0，当E＜r时有平衡点。
进一步根据图解法（作f（x）=rx（1-x/N）
和h（x）=Ex的图像，求交点）可得最大产量模型：
3．最大效益模型：R单位时间利润，p鱼的销售单价，c单位捕捞率费用
4．捕捞过度模型：令R（E）=0，得E S=r（1-c/pN），为盲目捕捞下的临界强度。
图解法可得，E S存在的必要条件是p>c/N。
三、食饵-捕食者模型
（也首先求微分方程的数值解，然后研究其平衡点和相轨线，得到平衡点为P（，）可以求x（t）和y（t）在一个周期内的平均值）。
得到模型解释如下：
四、差分形式的阻滞增长模型
1．阻滞增长模型的差分形式：（r最大增长率，N最大容量）
2．平衡点及其稳定性
解代数方程x=f（x）=bx（1-x），得非零平衡点x*=1-1/b。
根据|f（x*）|＜1，得1＜b＜3。
图解法：
3．倍周期收敛。
微分、差分方程稳定性方法建模
盲目捕捞模型的结论
在盲目捕捞情况下，渔场的稳定鱼量为：xs=C/p
注意：这个稳定鱼量由两个因素决定，一是捕捞 成本，二是鱼的价格。 这是一个典型的市场经济结果，捕捞量(市场供应 量)、捕捞努力量、渔场最终稳定的保有量等等， 完全由市场的价格杠杆决定。 完全自由的市场经济并不可取，现代经济应该是 一种结合了宏观调控的市场经济。
1. 模型的建立
设同一环境中有甲、乙两个种群，x1(t)、x2(t)分别 记t时刻甲、乙种群的数量；r1、r2为各自固有的增 长率，N1、N2为各自环境最大容量。据此建立下面 的模型： x1’(t) = r1x1(1 - x1/N1 - 1x2/N2) x2’(t)=r2x2(1-2x1/N1-x2/N2)
二阶微分方程 求方程组的平衡点，即求解
x 2 ( t ) g ( x1 , x 2 )
f ( x1 , x 2 ) 0 g ( x1 , x 2 ) 0
设解得实根为x1 x , x2 x , 记为P0 ( x , x )
数学模型 • 微分方程稳定性方法建模
北京理工大学 王宏洲
微分、差分方程稳定性理论
微分和差分方程的稳定理论，是研究方程 的解在自变量 t →+时的发展趋势。反映 在实际问题中，就是已知事物的现在状态， 希望了解其最终的发展趋势。 比如说准备修建拦河大坝，会对下游的河 床及周围的生态系统产生怎样的影响？建 立稳定性模型可以对各种可能的最终结果 进行预测。
0 1 0 1 0 2 0 2
首先将方程组线性化：
x1 ( t ) f x1 ( P0 )( x1 x ) f x2 ( P0 )( x 2 x ) x 2 ( t ) g x1 ( P0 )( x1 x ) g x2 ( P0 )( x 2 x )
《稳定性模型》课件
分为线性稳定性和非线性稳定性。线 性稳定性主要关注线性系统的稳定性 ，而非线性稳定性则关注非线性系统 的稳定性。
02
CATALOGUE
线性稳定性模型
线性稳定性模型的原理
01
线性稳定性模型是一种数学模型，用于描述系统的 动态行为和稳定性。
02
它基于线性微分方程或差分方程，通过分析系统的 平衡点和稳定性来预测系统的长期行为。
稳定性模型的重要性
预测系统行为
通过稳定性模型，可以预测系统在受到扰动后的行为 ，从而提前采取措施进行控制。
系统优化
通过调整系统参数，提高系统的稳定性，优化系统的 性能。
安全保障
稳定性模型有助于确保系统的安全运行，预防系统崩 溃或失控。
稳定性模型的分类
根据时间尺度
分为长期稳定性和短期稳定性。长期 稳定性关注系统在长时间内的行为， 而短期稳定性关注系统在短时间内的 行为。
THANKS
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动态稳定性模型的应用实例
气候模型的稳定性分析
动态稳定性模型可以用于分析气候系统的稳 定性和动态行为，预测气候变化和极端气候 事件。
经济模型的稳定性分析
在经济模型中，动态稳定性模型可以用于分析经济 系统的稳定性和周期性波动，预测经济趋势和政策 效果。
社会动态模型的稳定性分 析
在社会动态模型中，动态稳定性模型可以用 于分析社会系统的稳定性和动态行为，研究 社会现象和演化过程。
非线性稳定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ模型的应用实例
1 2 3
机械系统中的振动分析
非线性稳定性模型可以用于分析机械系统的振动 行为，研究系统的共振和稳定性，优化机械设计 。
化学反应动力学模型
在化学反应动力学中，非线性稳定性模型可以用 于研究化学反应的动态行为和稳定性，预测化学 反应的产物和反应速率。
微分方程的稳定性
λ1t
，( 当
λ1 = λ 2 )
其中 λ1 , λ2 为特征方程 r 2 + p r + q = 0 的两根 . 这里 λ1 +λ2 = - p , λ1 •λ2 = q
有时候 , 初始条件的微小变化会导致解的性态随时间变 大后 , 产生显著的差异 , 这时称 系统是不稳定 的 ; 有时候 , 初始条件变化导致解的性态差异会随时间变大 后而消失 , 这时称该 系统是稳定 的. 在实际问题中, 初始状态不能精确地而只能近似地确定, 在实际问题中 初始状态不能精确地而只能近似地确定 所以稳定性问题的研究对于用微分方程方法建立的模型 具有十分重要的实际意义。 具有十分重要的实际意义。 也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中 也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中, 长远 来看, 来看 最终发展结果与精确的初始状态究竟如何 , 两者 之间没有多大关系, 初始状态刻画得精确不精确是无关 之间没有多大关系 紧要的。 紧要的。
(1) 当 p ＞ 0 , q ＞ 0 时, 如果 p2 – 4q ≥ 0，由 λ1 +λ2 = - p , λ1 •λ2 = q , ， 推得 λ1 与 λ2 均为负数 ， 故当 t → +∞ 时，e λ1 t 与 e λ2 t 均趋于零 ， 系统稳定 ; 如果 p2 – 4q ＜ 0，由 λ1 +λ2 = - p , λk = α±βi ， ± 中 α 为负数 （ k = 1 ，2 ） ， 故当 t → +∞ 时，eλk t = eαt（ sinβt ± cosβt ） 系统仍为稳定的 （ k = 1 ，2 ） 也均趋于零 ， 系统仍为稳定的 ；
微分方程稳定性
目录摘要 (3)ABSTRACT (4)前言 (5)微分方程稳定性分析原理 (6)捕鱼业的持续收获模型 (10)种群的相互竞争模型 (14)参考文献 (18)摘要微分方程稳定性理论是微分方程的一个重要的理论。
微分方程理论就是通过一些定量的计算来研究系统的稳定性，也就是系统在受到干扰项偏离平衡状态后能否恢复到平衡状态或者是平衡状态附近的位置。
用微分方程描述的物质运动的特点依赖于初值，而初值的计算或者测定不可避免的又会出现误差和干扰。
如果描述这个系统运动的微分方程的特解是不稳定的，则初值的微小误差和干扰都会导致严重的后果。
因此，不稳定的特解不适合作为我们研究问题的依据，只有稳定的特解才是我们需要的。
本文就一阶微分方程和二阶微分方程的平衡点及稳定性进行了分析，并且建立了捕鱼业持续收获模型和两种群相互竞争模型。
【关键词】微分方程；平衡点；稳定性；数学建模ABSTRACTDifferential equation stability theory is an important theory of differential equations. Differential equation theory is to study the stability of the system by some quantitative calculation, also is the system in the disturbance of deviating from the equilibrium state after the item will return to equilibrium or is near the equilibrium position. Using differential equation to describe the characteristics of the material movement depends on the initial value, and the calculation of initial value or determination of the inevitable will appear the error and interference. If the special solution of the differential equation describing the system movement is unstable, the initial value of small errors and interference will lead to serious consequences.Therefore, special solution is not suitable for the unstable as the basis of our research question, only stable solution is we need. In this paper, the first order differential equation of second order differential equation and the balance and the stability are analyzed, and the fishing sustained yield model is established and two species and two species competing models.【key words】Differential equations; Balance; Stability; Mathematical modeling前言在现实世界里，无论是在自然科学或者是社会科学的各领域中，存在着许许多多的变化规律可以用某些特定的数学模型来进行描述。
数学建模之稳定性模型详解
f
(x1, x2)
r1x11
x1 N1
1
x2 N2
0
g(x1,
x 2
)
r 2
x 2
12
x1 N1
x2 N2
0
平衡 P 1(N 点 1,0 )P ,2 ： (0 ,N 2),
P 3 N 11 (1 1 2 1),N 12 (1 1 2 2) ,P 4(0,0)
仅当1, 2 < 1或1, 2 > 1时，P3才有意义
(相对于N1) 的 1 倍。
1
1
对甲增长的阻滞 作用，乙大于甲 乙的竞争力强
模型
模型 分析
x1(t)r1x11N x11 1 N x22
x2(t)r2x212
N x11 N x22
t 时 x1(t),x2(t)的趋 (平向 衡点及其稳定性)
(二阶)非线性
x (t) f (x ,x )
1
1 2 的平衡点及其稳定性
产量模型 x (t)F(x)r(x 1x)Ex N
F(x)0
x N(1E),x0
平衡点
0
r1
稳定性判断 F (x 0 ) E r , F (x 1 ) r E
E r F (x 0 ) 0 ,F (x 1 ) 0 x0稳定,x1不稳定
E r F (x 0 ) 0 ,F (x 1 ) 0 x0不稳,定 x1稳定
3）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时x(t), y(t)
很小，但因 x0,y0，也会重整军备。
4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减, 如 x(t)=0，
也会因 xkyg 使该方重整军备，
即存在互不信任( k0) 或固有争端( g 0 ) 的单方面
数学建模稳定性模型
1
x2 N2
x2 (t)
r2 x2 1 2
x1 N1
x2 N2
t 时x1(t), x2 (t)的趋向 (平衡点及其稳定性)
(二阶)非线性
x (t) f (x , x )
1
1 2 的平衡点及其稳定性
(自治)方程 x (t) g(x , x )
2
12
f (x , x ) 0
平衡点P0(x10, x20) ~ 代数方程
称P0是微分方程的稳定平衡点
记系数矩阵
A
a c
b d
2 p q 0
p
(a
d
)
q det A
特征方程 det(A I ) 0
特征根
1, 2
(
p
p2 4q) / 2
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线性常系数 微分方程组
x(t) ax by y(t) cx dy
的平衡点及其稳定性
r1 x1 1
x1 N1
1
x2 N2
x2 (t)
r2 x2 1 2
x1 N1
x2 N2
对于消耗甲的资源而言，
乙(相对于N2)是甲(相对于 1 1
N1) 的 1 倍。
对甲增长的阻滞 作用，乙大于甲 乙的竞争力强
当前您正浏览第十八页，共四十五页。
模型
模型 分析
x1 (t )
r1 x1 1
x1 N1
R(E) T (E) S(E)
pNE (1
E ) cE
令 =0
r
R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER
临界强度下的渔场鱼量
ER
r (1 2
c) pN
数学建模 微分方程稳定性理论简介
第四节 微分方程稳定性理论简介这里简单介绍下面将要用到的有关内容：一、 一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程()dxf x dt= （1） 右端不显含自变量t ，代数方程()0f x = （2）的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足0lim ()t x t x →∞= （3）则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。
判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。
将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为：0'()()dxf x x x dt=- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。
0x 也是（4）的平衡点。
关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论：若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。
若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是0'()0()f x t x t ce x =+ （5）其中C 是由初始条件决定的常数。
二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性方程的一般形式可用两个一阶方程表示为112212()(,)()(,)dx t f x x dtdx t g x x dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （6）右端不显含t ，代数方程组1212(,)0(,)0f x x g x x =⎧⎨=⎩ （7） 的实根0012(,)x x 称为方程（6）的平衡点。
记为00012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足101lim ()t x t x →∞= 202lim ()t x t x →∞= （8） 则称平衡点00012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐近稳定）。
数学建模之稳定性模型解答48页PPT
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
Hale Waihona Puke 6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
数学建模之稳定性模型解答
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
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dN k(K N)N dt
共有两个平衡点：N=0和N=K，分别对应微分方程的两
两个特殊解。前者为No=0时的解而后者为No=K时的解。
当No<K时，积分曲线N=N(t)位于N=K的下方；当No>K时，则 位于N=K的上方。从图3-17中不难看出，若No>0，积分曲线在N 轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于K。这说明，平衡点N=0和
定义2 设x0是（3.28）的平衡点，称： （1）x0是稳定的，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，
只要|x(0根)-据x0这|<一δ定，义就，有L|xo(gt)is-txic0方|<ε对所有的t都成立。
程的平衡点N=K是稳定的
（2）且x为0是渐渐近近稳稳定定的的，，而如平果衡它点是稳定的且ltim x(t) 。x0 0
令p=当a+pd当<, q0p=时>a0d，时-b零c，=点|零A|稳，点定则不稳1,2定 ；12 ( p p2 4q) ，记 p2 4q。 ② 若q<0，λ1λ2<0 当c1=0时，零点稳定 当c1≠0时,零点为不稳定的鞍点
③ q=0，此时λ1=p，λ2=0，零点不稳定。
（2） △=0，则λ1=λ2:
cx1
dx2
a
f
' x1
(0,
0)
b
f
' x2
(0,
0)
c
g' x1
(0,
0)
d
g' x2
(0, 0)
（3.30）
讨记论（A特1）征ac 若值db△与>λ零10、，点λ可2稳为能定A出的的现特关以征系下值情则形λ1、：λ2是方程： ① d若etq（>0A，-λλI）1λ2=>λ02。- (a+b) λ+ (ad – bc )=0的根
• 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性。
6.1 捕鱼业的持续收获
背景
• 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等）
• 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。
问题 及分
析
• 在捕捞量稳定的条件下，如何控 制捕捞使产量最大或效益最佳。
dx1 dt
f
' x1
(0,
0)
x1
f
' x2
(0,
0)
x2
o(
x12 x22 )
dx2
dt
g
' x1
(0,
0)
x1
g
' x2
(0,
0)
x2
o(
x12 x22 )
考察（3.29）的线性近似方程组:
dx1 dt
ax1
bx2
其中：
dx2
dt
N=0则是不稳定的。
（3）x0是不稳定的，如果（1）不成立。
微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过解 析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。
解析方法
定理1 设xo是微分方程 dx 的f (平x)衡点：
dt
若 f '(xo ),则 0xo是渐近稳定的 若 f '(xo ),则 0xo是渐近不稳定的
非线性方程组（3.29）平衡点稳定性讨论可以证明有下面 定理成立:
定理2 若（3.30）的零点是渐近稳定的，则（3.29）的平衡点 也是渐近稳定的；若（3.30）的零点是不稳定的，则（3.29） 的平衡点也是不稳定的。
稳定性模型
• 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状 态是否稳定。
① λ有两个线性无关的特征向量 当p>0时，零点不 稳定 当p<0时，零点稳定
② 如果λ只有一个特征向量 当p≥0时，零点不 稳定 当p>0时，零点稳定
（2） △<0，此时 1,2 a i (2a p,2 )
若a>0，零点稳定 若a=0，有零点为中心的周期解
综上所述：仅当p<0且q>0时， （3.30）零点才是渐近稳定 的；当p=0且q>0时（3.30）有周期解，零点是稳定的中心（非渐 近稳定）；在其他情况下，零点均为不稳定的。
N=K有着极大的区别。
定义1 自治系统 dx 为坐标 的空间Rn。dt
f
( x)的相空间是指以（x1,…,xn）
特别，当n=2时，称相空间为相平面。 空间Rn的点集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)满足(3.28)，i=1,…,n}称 为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。
图3-17
一般的微分方程或微分方程组可以写成： dx f (t, x) dt
定义 称微分方程或微分方程组
dx f (x) dt
（3.28）
为自治系统或动力系统。
若方程或方程组f(x)=0有解Xo，X=Xo显然满足（3.28）。称 点Xo为微分方程或微分方程组（3.28)的平衡点或奇点。
例 Logistic模型
f '(xo ) 0 的情况可类似加以讨论。
考察两阶微分方程组：
dx1 dt
f
(x1, x2 )
dx2
Hale Waihona Puke dtg(x1, x2 )
（3.29）
令 x' x，作xo一坐标平移，不妨仍用x记x’，则平衡
点xo的稳定性讨论转化为原点的稳定性讨论了。将 f(x1,x2)、g(x1,x2)在原点展开，（3.29）又可写成:
微分方程稳定性模型
0 稳定性分析 1 捕鱼业的持续收获 2 军备竞赛 3 种群的相互竞争 4 种群的相互依存 5 种群的弱肉强食
0 稳定性问题
在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与 时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研 究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但 我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救 这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用 到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将研 究几个与稳定性有关的问题。
证 由泰勒公式，当x与xo充分接近时，有：
高阶f (微x)分 方f (程xo )与高f 阶'(x微o )(分x 方x程o )组 o x xo
xf，(<x故由x)<ox于时0o是，平大理简衡x必o渐从衡家论单点是有进而点有。介的平f(稳xx的兴为绍稳衡单)定>稳趣了一定点减0的定可下下性，，。。性参两两判故从无讨阅节阶别f而(论x论微的微方xo在)单较分需分法=哪增为方要方。0种。；复程，程情若当杂定我组况x，性们平f>下' (xx都oo，时)有则，x0当→又x有o