九年级数学上册第2章对称图形_圆2.5直线与圆的位置关系第4课时切线长定理同步练习新版苏科版66
九年级数学上册第2章对称图形-圆2.5直线与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系导学课件新版苏科版
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第1课时 直线与圆的位置关系
已知⊙O 的半径为 2 cm，直线 l 上有一点 P，OP＝2 cm， 判断直线 l 与⊙O 的位置关系．
解：∵OP＝2 cm，⊙O 的半径 r＝2 cm，∴OP＝r，即圆心 O 到直线 l 的距离等于⊙O 的半径，
∴直线 l 与⊙O 相切．
以上推理是否正确？若不正确，请你写出正确的推理过程．
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第1课时 直线与圆的位置关系
目标突破
目标一 了解直线与圆的位置关系
例 1 教材补充例题 阅读教材，填写下表：
图形
直线 l 与⊙O 的交点个数 ____2____ ____1____ _____0___
圆心 O 到直线 l 的距离 d
___d_<_r___ ___d_＝__r__ ____d_>_r__
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第1课时 直线与圆的位置关系
例 3 教材补充例题 如图 2－5－1，△ABC 中，∠C＝90°，∠B ＝60°，AO＝x，O 在 AB 上，且⊙O 的半径为 1.当 x 在什么范围内取 值时直线 AC 与⊙O 相离、相切、相交？
图 2－5－1
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第1课时 直线与圆的位置关系
解：如图，过点 O 作 OD⊥AC 于点 D. ∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°. ∵AO＝x，∴OD＝21x.
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第1课时 直线与圆的位置关系
[答案] 不正确．正确的推理过程如下： 过点 O 作 OA⊥直线 l 于点 A.
∵OP＝2 cm，∴OA≤2 cm. 又∵⊙O 的半径 r＝2 cm，
苏科版数学九年级上册第二章《直线与圆的位置关系》专题解析
《直线与圆的位置关系》专题解析【考点图解】【技法透析】1．判定直线与圆的位置关系的方法有两种：一是从直线与圆的公共交点的个数来进行判断，另一种是根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系来判断．2．切线的判定方法有三种：一是根据定义，直线与圆只有一个公共点；二是圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；三是切线的判定定理，当已知条件中明确指出圆与直线有公共点时，常用“连半径证垂直”的方法，当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常用“作垂直证半径”的方法．3．切线的性质定理有：①切线与圆只有唯一的公共点；②切线和圆心的距离等于圆的半径；③切线垂直于过切点的半径；④经过圆心垂直于切线的直线必过切点；⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心．4．涉及切线的重要性质还有切线长定理和弦切角定理，其中切线长定理及其对应的基本图形、以及圆的外切三角形、外切四边形所存在的线段之间的关系也是解决问题常用的依据租方法，弦切角定理更是转化圆中相关角的重要定理．5．和圆有关的比例线段定理包括相交弦定理、切割线定理及其推论，统称圆幂定理，它揭示了直线与圆相交后所存在的线段间的比例关系．利用这些定理，可直接进行线段的等积式的变换，或比例线段的转化．【名题精讲】考点1直线与圆的位置关系例1 如图10－1，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，O为AB上一点，OB＝m，⊙O的半径为r＝12，当m在什么范围内取值时，BC与⊙O相离、相切、相交？【切题技巧】要判断OB＝m在什么范围内取值时，BC与⊙O相离、相切、相交，就是要判断圆心O到BC的距离d与⊙O的半径r之间的大小关系．【切题技巧】作OD⊥BC于点Ｄ【借题发挥】判断直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小确定：①若d<r，直线与圆相交；②若d＝r，直线与圆相切；③若d>r，直线与圆相离．【同类拓展】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°；BC＝4cm，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( )A．相离B．相切C．相交D．相切或相交2．如图10－2，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P 在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是( )A．－1≤x≤1 B．－2≤x≤2C．0≤x≤2D．x>2考点2直线与圆相切的综合问题例2 如图10－3，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．(1)求证：PC是⊙O的切线(2)求证：BC＝12AB(3)点M是AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN·MC的值．【切题技巧】(1)证∠OCP＝∠ACB＝90°即可得PC是⊙O的切线，(2)证∠CBO＝∠COB得BC＝OC，从而有BC＝12AB，(3)连MA，MB，先证△BMN∽△CMB得MN·MC＝BM2，再在Rt△ABM中求出BM长即可求值．【规范解答】【借题发挥】切线的证明有两种方法：一种是已知切点，连接圆心和切点证垂直；另一种是不知切点，过圆心向已知直线作垂线，证垂线段长等于半径．【同类拓展】3．如图10－4，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于D，交AC于点E，连接AD，BE交于点M，过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AB于点H，交BE于点G，则以下正确的结论是_______（填序号）①BD＝CD ②DF是⊙O的切线③∠DAC＝∠BDH ④DG＝12BM4．如图10－5，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC 于点D，连接BD．(1)若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；(2)取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．考点3线段相等的证明例3 如图10－6，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD＝BC，CE⊥AD，垂足为E，BE交⊙O于F，AF交CE于P，求证：PE＝PC【切题技巧】由切割线定理得PC2＝PF·PA，要证明PE＝PC，只需证明PE2＝PF·PA，这样通过圆幂定理把线段相等问题转化为线段等积式的证明，由三角形相似可完成，【规范解答】延长DA交⊙O于K，连结BK，OC．【借题发挥】证比例式或平方法是圆中证线段相等的重要方法，证比例式常通过相似三角形或平行线性质得到，当要证相等的线段中有一条是圆的切线时，常采用平方法，而线段的平方常由切割线定理，相似三角形的性质来证，值得注意的是，几何图形中有直径这一条件，常添加辅助线，构成直径上的圆周角是直角，使其杓成直角三角形．【同类拓展】5．如图10－7，AB是半圆的直径，AC⊥AB，在半圆上任取一点D，过点D 作DE⊥CD，交直径AB于点E，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F，问图中除了AB＝AC外，是否还有其它两条线段相等，如果有，指出这两条相等的线段，并给出证明：如果没有，也要说明理由．6．如图10－8，四边形ABCD为正方形，00过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E．(1)求证：DE＝AF；(2)若⊙O的半径为32，AB＝2＋1，求AEED的值．考点4多边形的切圆问题例4 如图10－9，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和⊙O相切（我们称T1，T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形）．(1)设T1，T2的边长分别为a，b，⊙O的半径为r，求r：a及r：b的值；(2)求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．【切题技巧】(1)由圆内接正六边形的特点可知，相邻两个顶点与圆心构造的三角形是等边三角形，所以它的外接圆半径与边长相等，由此不难得出它们的比值；(2)由相切关系和等边三角形的性质可求得它们之间的比值．【规范解答】(1)如图10－10，连接圆心O和Ｔ1的6个顶点可得6个全等的正三角形，且OC⊥AB．∴OA＝AB=b，AC=12 b．【借题发挥】解决正多边形外切圆和内接圆问题的一般方法是转化为等腰三角形或直角三角形问题，特别地，对于三角形的内切圆问题，有一条很有用的结论：如图10－11，⊙O切△ABC 的三边于点D，E，F，则AE＝AF＝12(AB＋AC－BC)，BD＝BF＝12(BC＋AB－AC)，CD＝CE＝12(AC＋BC－AB)．【同类拓展】7．如图10－12，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以BC边上的点O为圆心作圆，分别与AB、AC相切于E，F两点，设AB＝a，AC＝b，则⊙O的半径等于_______．8．如图10－13，△ABC是正三角形，点C在矩形ABDE的边DE上，△ABC的内切圆半径是1，则矩形ABDE的外接圆直径是_______．考点5 直线与圆的动态问题例5 如图10－14，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB ＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上，设运动时间为ts，当t＝0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．(1)当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．【切题技巧】对于(1)按半圆与直线AC，AB相切分两大类，每一大类又可分两小类：①与线段AC相切，切点为E；②与线段AC相切，切点为D；③与线段AB相切，切点为F；④与线段AB的延长线相切，切点为Q．【规范解答】(1)在图10－15中，①如图10－15①，当点E与点C重合时，AC⊥OE，OC＝OE＝6cm．所以AC与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了2cm，所求运动时间为：t＝22＝1(s．)②如图10－15②，当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F．在Rt△FOB中，∠FBO＝30°，OB＝12 cm．则OF＝6cm，即OF等于半圆O的半径，所以AB与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了8cm，所求运动时间为：t＝82＝4(s)．③如图10－15③，当点O运动到BC的中点时，AC⊥OD，OC＝OD＝6cm，所以AC与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了14cm，所求运动时间为：t＝142＝7(s)．④如图10－15④，当点O运动到B点的右侧，且OB＝12cm时，过点O作⊙O上直线AB，垂足为Q．在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，则OQ＝6cm，即OQ等于半圆O所在的圆的半径．所以直线AB与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了32cm，所求运动时间为：t＝322＝16 (s)．因为半圆O在运动中，它所在的圆与AC所在的直线相切只有上述①、③两种情形；与AB 所在的直线相切只有上述②、④两种情形；与BC所在直线始终相交，所以只有当t为1s，4s，7s，16s时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切．(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图②与图③所示的两种情形．①如图10－15②，设OA与半圆O的交点为M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，所求重叠部分面积为：s扇形EOM＝14π×62＝9(cm2)．②如图10－15③，设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则PH＝BH．Rt△OBH中，∠OBH＝30°，OB＝6cm，则OH＝3cm，BH＝33cm，BP＝63cm．S△POB＝12×63×3＝93(cm2)．又因为∠DOP＝2∠DBP＝60°，所以S扇形DOP＝16π×62＝6π(cm2)．所求重叠部分面积为：S△POB＋S扇形DO P＝（93＋6π）(cm2)．【同类拓展】9．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？(2)当t为何值时，PQ与⊙O相切？参考答案1. B2. C3.①②③④4．(1)203(2)略5．BF＝BE 6．(1)略227．aba b219．(1)t＝83（s）(2)t＝2。
九年级数学上册 第2章 对称图形—圆 2.5 直线与圆的位置关系 第2课时 圆的切线的性质与判定同步
第2章对称图形——圆2.5 第2课时切线的性质与判定知识点 1 切线的性质1．如图2－5－7所示，PA切半圆O于点A，如果∠P＝40°，那么∠AOP的度数为( ) A．40° B．50° C．60° D．140°图2－5－7图2－5－82．[2017·吉林] 如图2－5－8，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为( )A．15 B．6 C．7 D．83．如图2－5－9，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过点C的切线与AB的延长线交于点P.若∠P＝40°，则∠D的度数为________．图2－5－9图2－5－104．[教材习题2.5第5题变式] 如图2－5－10，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC.若∠A＝30°，PC＝3，则BP的长为________．5．[2016·盐都区一模] 如图2－5－11，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求AD的长．图2－5－11知识点 2 切线的判定6．如图2－5－12，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D.AB与以点P为圆心，PD长为半径的圆相切吗？请说明理由．图2－5－127．[教材习题2.5第7题变式] 如图2－5－13，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于点P，且PC＝BC.求证：BC是⊙O的切线．图2－5－138．如图2－5－14，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠B ＝60°.(1)求∠ADC的度数；(2)求证：AE是⊙O的切线．图2－5－149．如图2－5－15，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直径，∠BCD ＝120°，过点D 的切线PD 与直线AB 交于点P ，则∠ADP 的度数为( )A ．40°B ．35°C ．30°D ．45°图2－5－15图2－5－1610．[2016·无锡锡北片一模] 如图2－5－16，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，∠CDB ＝20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E＝_________°.图2－5－1711．[2016·宜兴三模] 如图2－5－17，在Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝8，AB ＝10，⊙O 的半径为4.P 是AB 上的一动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点．设AP ＝x(0≤x≤10)，PQ 2＝y ，则y 与x 之间的函数关系式为____________．12．[2017·济宁] 如图2－5－18，已知⊙O 的直径AB ＝12，AC ＝10，D 是BC ︵的中点．过点D 作DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E.(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)求AE 的长．图2－5－1813．如图2－5－19，在△ABC 中，∠A ＝∠B＝30°，过点C 作CD⊥AC，交AB 于点D. (1)作⊙O，使⊙O 经过A ，C ，D 三点(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．图2－5－1914．如图2－5－20，在△A BC 中，AC ＝BC ，AB 是⊙C 的切线，切点为D ，直线AC 交⊙C 于点E ，F ，且CF ＝12AC.(1)求∠ACB 的度数；(2)若AC ＝8，求△ABF 的面积．图2－5－20详解详析1．B [解析] ∵PA 为半圆O 的切线，∴∠PAO ＝90°.∵∠P ＝40°，∴∠AOP ＝90°－40°＝50°.2．D 3.115° 4. 35．解：(1)∵PD 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥CD ， ∴∠OCD ＝90°. ∵OA ＝OC ，∴∠CAD ＝∠OCA， ∴∠COD ＝2∠CAD. ∵∠D ＝2∠CAD， ∴∠D ＝∠COD＝45°.(2)由(1)可知∠D＝∠COD， ∴CD ＝OC ＝OA ＝ 2. ∵∠OCD ＝90°，∴OD ＝OC 2＋CD 2＝2＋2＝2， ∴AD ＝OA ＋OD ＝2＋2.6．解：AB 与以点P 为圆心，PD 长为半径的圆相切．理由：如图，过点P 作PE⊥AB 于点E.∵P 是∠BAC 的平分线上一点，PD ⊥AC ，PE ⊥AB ，∴PE ＝PD ， ∴AB 与以点P 为圆心，PD 长为半径的圆相切． 7．证明：∵PC＝BC ，∴∠CPB ＝∠CBP， 而∠APO＝∠CPB，∴∠CBP ＝∠APO. ∵OC ⊥OA ，∴∠A ＋∠APO＝90°， 而OA ＝OB ，∴∠A ＝∠ABO， ∴∠CBP ＋∠ABO＝90°， ∴OB ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．8． (1)∵∠B 与∠ADC 都是AC ︵所对的圆周角，∴∠ADC ＝∠B＝60°.(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＝30°，∴∠BAE ＝∠BAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°， 即BA⊥AE.∵OA 是⊙O 的半径，∴AE 是⊙O 的切线．9．C [解析] 如图，连接OD.在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠BCD ＋∠BAD＝180°，∠BCD ＝120°，∴∠BAD ＝60°. 又∵OA＝OD ，∴△AOD 是等边三角形， ∴∠ADO ＝60°.∵过点D 的切线PD 与直线AB 交于点P ， ∴∠PDO ＝90°，∴∠ADP ＝30°.故选C . 10．5011．y ＝x 2－645x ＋48[解析] 连接OQ ，OP ，过点O 作OM⊥AB 于点M ，由勾股定理求出OB ，再用面积法求得OM ，然后，用勾股定理求得AM ，则可求PM ，利用OP 2＝PQ 2＋OQ 2＝PM 2＋OM 2，列出等式即可解决问题．12．解：(1)证明：如图，连接OD.∵D 是BC ︵的中点， ∴BD ︵＝DC ︵，∴∠BOD ＝∠BAE， ∴OD ∥AE.∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ， ∴DE 是⊙O 的切线．(2)如图，过点O 作OF⊥AC 于点F. ∵AC ＝10，∴AF ＝CF ＝12AC ＝12×10＝5.∵∠OFE ＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED 是矩形， ∴FE ＝OD ＝12AB.∵AB ＝12，∴FE ＝6， ∴AE ＝AF ＋FE ＝5＋6＝11.13． (1)如图所示：(2)直线BC 与⊙O 相切． 理由如下：连接OC. ∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A＝30°，∴∠COB ＝∠A＋∠ACO＝2∠A＝60°， ∴∠COB ＋∠B＝60°＋30°＝90°， ∴∠OCB ＝90°， 即OC⊥BC.又∵BC 经过半径OC 的外端点C ， ∴直线BC 与⊙O 相切．14．[全品导学号：54602100]解：(1)连接CD. ∵AB 是⊙C 的切线，切点为D ， ∴CD ⊥AB.∵CF ＝12AC ，CF ＝CE ，∴AE ＝CE ， ∴ED ＝12AC ＝EC ，∴ED ＝EC ＝CD ，∴∠ECD ＝60°，∴∠A ＝30°. ∵AC ＝BC ，∴∠ACB ＝120°. (2)过点F 作FM⊥AB 于点M. ∵AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴AB ＝2AD. ∵AC ＝8，∠A ＝30°，CD ⊥AB ， ∴CD ＝4，AD ＝4 3， ∴AB ＝8 3，CF ＝CD ＝4， ∴AF ＝AC ＋CF ＝12.在Rt △AFM 中，由∠A ＝30°，可得MF ＝12AF ＝6，∴S △ABF ＝12AB·MF＝12×8 3×6＝24 3.。
九年级数学上册 第2章 对称图形圆 2.5 直线与圆的位置关系(2)
分析：由于(yóuyú)AB过☉O上的点C，所以连接OC，
只要证明AB⊥OC即可.
O
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
A
C
B
∴ OC是等腰三角形OAB底边(dǐ biān)AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
∵ OC是☉O的半径,
∴ AB是☉O的切线.
第十二页，共二十三页。
例3 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC中点，☉O与AB 相切于E. 求证(qiúzhèng)：AC 是☉O 的切线．
BC⊥OA于A
BC为☉O的切线
(qiēxiàn).
B
Ｏ
A
C
第四页，共二十三页。
判一判
下列各直线是不是圆的切线？如果(rúguǒ)不是，请说明为什么？
O.
A l
(1)
(1)不是，因为 (yīn wèi)没有垂
O.
O
A
l
B
A
l
(2)
(3)
(2),(3)不是(bù shi)，因为没有经过半径的
外端点A.
（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.
F
F
O
O
A
BA
C E
图1
B
E
C
图2
第十九页，共二十三页。
证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为 ☉O的直径. ∴ ∠D+ ∠DAC=90 °, ∵ ∠D与∠B同对 A C , ∴ ∠D= ∠B, 又∵ ∠CAE= ∠B, ∴ ∠D= ∠CAE, ∴ ∠DAC+ ∠EAC=90°, ∴EF是☉O的切线.
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K12推荐学习2018年秋九年级数学上册 第2章 对称图形—圆 2.5 直线与圆的位置关系 第4课时
第2章 对称图形—圆2.5 第4课时 切线长定理知识点 切线长定理的应用1．如图2－5－32，PA ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点．若∠P ＝60°，PA ＝2，则弦AB 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4图2－5－32图2－5－33.如图2－5－33，CD 是⊙O 的切线，切点为E ，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点A ，B .如果CD ＝7，AC ＝4，那么BD 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．23．[教材习题2.5第13题变式] 如图2－5－34，四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 和⊙O 分别相切．若四边形ABCD 的周长为20，则AB ＋CD 等于( )A ．5B ．8C ．10D ．124．已知线段PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，AB ︵的度数为120°，⊙O 的半径为4，则线段AB 的长为( )A ．8B ．4 3C ．6 3D ．8 3图2－5－34图2－5－35.如图2－5－35，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC的度数为________．6．如图2－5－36，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠AOP＝50°，则∠PAB＝________°，∠OPB＝________°.图2－5－36图2－5－377．如图2－5－37，PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，若⊙O的半径为5，OP＝13，则△PDE的周长为________．图2－5－388．如图2－5－38，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC，PD分别切⊙O于点C，D.若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD的度数为________．9．如图2－5－39，PA，PB为⊙O的两条切线，A，B为切点．如果⊙O的半径为5，∠OPA ＝30°，求两条切线的夹角∠APB的度数及切线PA的长．图2－5－39图2－5－4010．[2016·梁溪区一模] 如图2－5－40，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC 分别与⊙O相切于点E，F，G，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( )A.133B.92C.4 1339D．2 511．如图2－5－41，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB＝70°.求∠P的度数．图2－5－4112．如图2－5－42，△ABC的内切圆⊙O与AC，AB，BC分别相切于点D，E，F，且AB＝5 cm，BC＝9 cm，AC＝6 cm，求AE，BF和CD的长．图2－5－4213．如图2－5－43，PA，PB为⊙O的两条切线，切点分别为A，B，直线CD切⊙O于点E.(1)试探究△PCD的周长与线段PA的数量关系；(2)若∠P＝α，求∠COD的度数．图2－5－4314．如图2－5－44，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD分别交AM，BN 于点D，C，DO平分∠ADC.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R.图2－5－4415．如图2－5－45，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N.(1)求证：OM＝AN；(2)若⊙O的半径R＝3，PB＝9，求OM的长．图2－5－45详解详析1．B2． C3．C4． B5．20°[解析] ∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∴PA＝PB，∴∠BAP＝∠ABP＝1×(180°－40°)＝70°.由PA是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的直径，得∠PAC＝90°，2∴∠BAC＝90°－70°＝20°.6．50 407．24 [解析] ∵PA，PB，DE分别切⊙O于A，B，C三点，∴AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，OA⊥PA.在Rt△OAP中，根据勾股定理，得AP＝12，∴△PDE的周长为PD＋DE＋PE＝PD＋AD＋BE ＋PE＝2PA＝24.8．60°[解析] 连接OC.∵PA＝6，⊙O的半径为2，∴OP＝PA－OA＝4.∵PC，PD分别切⊙O于点C，D，∴∠OPC＝∠OPD，OC⊥PC.∵OP＝2OC，∴∠OPC＝30°，∴∠CPD＝60°.9．解：连接OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB.∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴∠OPA＝∠OPB，∴∠APB＝2∠OPA＝60°.在Rt△AOP中，可求得OP＝2OA＝10，∴PA＝OP2－OA2＝5 3.10． A[解析] 如图，连接OE，OF，ON，OG.在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4.∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于点E，F，G，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°.又∵OE＝OF＝OG，∴四边形AFOE，四边形FBGO是正方形，∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE＝3.∵DM是⊙O的切线，∴DN＝DE＝3，MN＝MG，∴CM＝5－2－MG＝3－MN.在Rt△DMC中，DM2＝CD2＋CM2，∴(3＋MN)2＝42＋(3－MN)2，∴MN ＝43，∴DM ＝3＋43＝133.故选A .11．解：连接AB. ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠CBA ＝90°，∴∠BAC ＝90°－∠ACB＝20°. ∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴PA ＝PB ，∠CAP ＝90°， ∴∠PAB ＝90°－20°＝70°.∵PA ＝PB ，∴∠PBA ＝∠PAB＝70°， ∴∠P ＝180°－∠PAB－∠PBA＝40°. 12．解：∵⊙O 与△ABC 的三边都相切， ∴AE ＝AD ，BE ＝BF ，CD ＝CF.设AE ＝x cm ，BF ＝y cm ，CD ＝z cm ， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，y ＋z ＝9，z ＋x ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，z ＝5.即AE ＝1 cm ，BF ＝4 cm ，CD ＝5 cm .13．解：(1)△PCD 的周长＝2PA.理由如下：∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 切⊙O 于点E ， ∴PA ＝PB ，AC ＝CE ，BD ＝DE ，∴△PCD 的周长＝PD ＋DE ＋PC ＋CE ＝PB ＋PA ＝2PA ，即△PCD 的周长＝2PA.(2)如图，连接OA ，OE ，OB.由切线的性质，得OA⊥PA，OB ⊥PB ，OE ⊥CD ，BD ＝DE ，AC ＝CE. ∵OA ＝OE ＝OB ，易证△AOC≌△EOC，△EOD ≌△BOD ， ∴∠AOC ＝∠EOC，∠EOD ＝∠BOD，∴∠COD ＝∠EOC＋∠EOD＝12(∠AOE＋∠BOE)＝12∠AOB.∵∠P ＝α，OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠AOB ＝180°－α， ∴∠COD ＝90°－12α.14解：(1)证明：如图，过点O 作OE⊥CD 于点E.∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD.又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA.∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)过点D作DF⊥BC于点F.∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF.又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9－4＝5.∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴AD＝DE，BC＝CE，∴CD＝DE＋CE＝AD＋BC＝4＋9＝13.在Rt△DFC中，CD2＝DF2＋FC2，∴DF＝CD2－FC2＝12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R为6.15．解：(1)证明：如图，连接OA，则OA⊥PA.∵MN⊥PA，∴MN∥OA.∵OM∥PA，∴四边形ANMO是平行四边形．又∵MN⊥AP，∴▱ANMO是矩形，∴OM＝AN.(2)如图，连接OB，则OB⊥PB，∴∠OBM＝∠MNP＝90°.∵四边形ANMO是矩形，∴OA＝MN.又∵OA＝OB，∴OB＝MN.∵OM∥AP，∴∠OMB＝∠MPN，∴△OBM≌△MNP，∴OM＝MP.设OM＝x，则MP＝x，AN＝x.∵PA＝PB＝9，∴NP＝9－x.在Rt△MNP中，有x2＝32＋(9－x)2，解得x＝5，即OM＝5.。
九年级数学上册对称图形—圆 . 直线与圆的位置关系圆的切线的性质与判定导学
2021/12/11
第十六页，共十七页。
内容(nèiróng)总结
第2章 对称图形——圆。第2课时 圆的切线的性质与判定。第2课时 圆的切线的性质与判定。3．通过思考、讨论与探索(tàn suǒ)，进一步理解圆 的切线的性质．。【归纳总结】判定某直线是圆的切线需满足的两个条件：。【归纳总结】圆的切线的三种判定方法：。(2)数量关系：若圆心到直线的距
目标(mùbiāo)二 会判定一条直线是圆的切线
例 2 教材习题 2.5 第 6 题变式 如图 2－5－3，已知 OA＝OB ＝5 厘米，AB＝8 厘米，⊙O 的直径为 6 厘米．求证：AB 与⊙O
相切．
2021/12/11
图 2－5－3
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第2课时 圆的切线(qiēxiàn)的性质与判定
B．40°
图 2－5－4
C．60° D．70°
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第2课时 圆的切线(qiēxiàn)的性质与判定
[解析] 连接 OC， 则∠BOC＝2∠CDB. 又∵∠CDB＝20°，∴∠BOC＝40°. ∵CE 为⊙O 的切线，∴OC⊥CE， 即∠OCE＝90°， 则∠E＝90°－40°＝50°.
【归纳总结】圆的切线的三种判定方法：
(1)定义：直线与圆有唯一公共(gōnggòng)点时，叫做直线与圆相切．
(2)数量关系：若圆心到直线的距离d等于圆的半径r，则直线是圆的切线．
(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ．
切线的三种判定方法中，常用的是后两种判定方法，在判定切线时，往往需 要添加辅助线．
证明：过点 O 作 OC⊥AB 于点 C. ∵OA＝OB，∴△AOB 是等腰三角形， ∴CA＝CB＝12AB＝4 厘米． ∵OB＝5 厘米，∴OC＝ 52－42＝3(厘米)． 又∵⊙O 的半径为 6×12＝3(厘米)， ∴AB 与⊙O 相切．
苏科(部审)版九年级数学上册《2章 对称图形—圆 2.5 直线与圆的三种位置关系》优质课课件_28
解决问题1: 设⊙O的半径为r，直线a上一点到圆心的
距离为d，若d=r，则直线a与⊙O的位置关系是（ D ）
（A）相交 （B）相切 （C）相离 （D）相切或相交
解决问题2:已知圆的半径等于5,直线l与圆没有交
点,则圆心到直线的距离d的取值范围是 d>5 .
解决问题3:直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到
(2)直线和圆有两个公共点,叫做直 线和圆相交，这条直线叫圆的割 线
(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离
判断
练习1
１、直线与圆最多有两个公共点 。… （√ ）
２、若直线与圆相交，则直线上的点都在圆内。(× )
3 、若A是⊙O上一点， 则直线AB与⊙O相切 。(× )
4 、若C为⊙O外的一点，则过点C的直线CD与 ⊙O 相交或相离。………（ × ）
和⊙O的位置 关系是（ C ）：
A．相离
B.相交
C.相切
D.相切或相交
3.判断:若直线和圆相切,则该直线和圆一定有一个公共点.( √ )
4.等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.7的圆
与直线BC的位置关系是 相离 ,以A为圆心,
3
为半径的圆与直线BC相切.
课外思考题:已知点A的坐标为(1,2),⊙A的半径为3.
BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆
与AB有怎样的位置关系？为什么？
分析 （1）r=2cm；（2）r=2.4cm (3)r=3cm。
B
2.4cm
解根：据过直C线作与C圆D⊥的A位B置，关垂系足的为数D。量
特征，必须在用Rt圆△心AB到C直中线，的距离d与
半径r的大小进行比较；
AB=
2
2=
九年级数学上学期期末考点大串讲专题02 对称图形——圆(23个考点)
专题02对称图形——圆（23个考点）【知识梳理+解题方法】一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．三．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．四．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．五．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．六．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则P A•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝P A•PB（相交弦定理推论）．八．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．九．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．十．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．十一．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．十二．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．十三．切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．十四．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．十五．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．十六．切线长定理（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．十七．切割线定理（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方＝P A•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC＝P A•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2＝P A•PB＝PC•PD．十八．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．十九．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．二十．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．二十一．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．二十二．圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl（5）圆锥的体积＝×底面积×高注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．二十三．圆柱的计算（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积（4）圆柱的体积＝底面积×高．【专题过关】一．圆的认识（共1小题）1．（2021秋•泰州月考）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．垂径定理（共2小题）2．（2021秋•常熟市校级月考）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）3．（2021秋•广陵区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（）A．2B．4C．5D．6三．垂径定理的应用（共3小题）4．（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米5．（2021秋•启东市校级月考）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF ＝CD＝16cm，则球的半径为（）A．10cm B．10cm C．10cm D．8cm6．（2021秋•姜堰区期末）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，问木材的直径CD是寸．（1尺＝10寸）四．圆心角、弧、弦的关系（共2小题）7．（2020秋•梁溪区校级期中）下列语句，错误的是（）A．直径是弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦8．（2021秋•溧水区期中）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证OE＝OF．五．圆周角定理（共2小题）9．（2022•建湖县二模）如图，已知AB是半圆O的直径，∠DAC＝36°，D是弧AC的中点，那么∠BAC 的度数是（）A．54°B．27°C．36°D．18°10．（2022•姑苏区校级一模）如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝．六．圆内接四边形的性质（共1小题）11．（2021秋•姜堰区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．70°C．80°D．90°七．相交弦定理（共2小题）12．（2021秋•锡山区校级月考）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．13．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．八．点与圆的位置关系（共2小题）14．（2021秋•滨湖区校级月考）已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为4cm，则点A（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．与⊙O的位置关系无法确定15．（2022•常州模拟）已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（）A．OP＞4B．0≤OP＜4C．OP＞2D．0≤OP＜2九．确定圆的条件（共2小题）16．（2021秋•连云港月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．①B．②C．③D．④17．（2021春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．一十．三角形的外接圆与外心（共3小题）18．（2021秋•苏州期末）如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（0，0）B．（2，3）C．（5，2）D．（1，4）19．（2022•苏州二模）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若＝，则AD的最小值为．20．（2022•建邺区一模）如图①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接CD，过点B作BE∥CD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F．（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；（2）如图②，若AB为⊙O直径，AB＝7，BF＝1，求CD的长．一十一．直线与圆的位置关系（共4小题）21．（2022•宿豫区校级开学）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆一定与（）A．x轴相交B．y轴相交C．x轴相切D．y轴相切22．（2022•徐州）如图，点A、B、C点圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．23．（2022•鼓楼区校级二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P（1，3）是“垂距点”．（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5）中，是“垂距点”的点为；（2）求函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是．24．（2022•虎丘区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO 于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝5，CF＝3，求MF的长．一十二．切线的性质（共3小题）25．（2022•镇江）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝6，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α≤360°），B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（）A．1B．2C．3D．426．（2022•锡山区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且DE⊥CE，连接AC，DC．（1）求证：∠ABD＝2∠A；（2）若DE＝2CE，AC＝8，求BE的长度．27．（2022•如东县一模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，以AB为直径作⊙O交AC与点D，过点D的切线交BC于点E．（1）求∠BED的度数；（2）若AB＝6，求图中阴影部分的面积．一十三．切线的判定（共1小题）28．（2020•江阴市模拟）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sin B＝，BD＝5，求BF的长．一十四．切线的判定与性质（共6小题）29．（2022•高新区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ADE＝30°，AB＝6，求的长．30．（2022•南京一模）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若DN＝1，AD＝4，求⊙O的半径r．31．（2022•盐城一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（2）若点E是半圆ADB的一个三等分点，求阴影部分的面积．32．（2022•海陵区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：①∠A＝30°；②CD是⊙O的切线；③OB＝BD．（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是，结论是（只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；（2）在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．33．（2022•洪泽区一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，CD是过点C的直线，AE⊥CD，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC，AC恰好平分∠EAB．（2）若AC＝2，∠CAB＝30°，求阴影部分的面积．34．（2022•无锡模拟）如图，以BC为底的等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，过点A作AD∥BC交BO的反向延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若四边形ADBC是平行四边形，且AD＝4，求⊙O的半径．一十五．弦切角定理（共1小题）35．（2021•江阴市校级三模）如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（）A．50°B．60°C．100°D．120°一十六．切线长定理（共2小题）36．（2022•相城区校级自主招生）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是．37．（2021秋•兴化市月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．一十七．切割线定理（共1小题）38．（2020秋•溧阳市期末）已知：如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，P A＝4，那么PC的长等于（）A．6B．2C．2D．2一十八．三角形的内切圆与内心（共1小题）39．（2021秋•泰兴市期中）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（）A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm一十九．正多边形和圆（共2小题）40．（2022•惠山区校级二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF 的度数是（）A．18°B．36°C．54°D．72°41．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝．二十．弧长的计算（共4小题）42．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（）A．B．C．πD．2π43．（2022•海门市二模）如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF ＝EC．连接AF，∠EAF＝25°．（1）求的长；（2）延长AF交⊙O于点M，连接BM．若EC＝EB，求∠AMB的度数．44．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．45．（2022•南通一模）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求∠ACB的度数；（2）若BC＝6，求的长．二十一．扇形面积的计算（共1小题）46．（2022•张家港市一模）如图，点C为扇形OBA的半径OB上一点，将△AOC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且：＝3：1，若此扇形OAB的面积为，则的长为（）A．B．C．D．二十二．圆锥的计算（共2小题）47．（2022•高新区二模）斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（）A．B．2C．D．448．（2022•淮阴区校级一模）圆锥的高是，底面半径是1，则圆锥的侧面积是（）A．2πB．C．4πD．π二十三．圆柱的计算（共2小题）49．（2022•锡山区一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（）A．12cm2B．24cm2C．12πcm2D．24πcm250．（2022•宜兴市校级一模）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是．答案与解析【专题过关】一．圆的认识（共1小题）1．（2021秋•泰州月考）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；②弦不一定是直径，错误，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，正确的有3个，故选：C．【点评】考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．二．垂径定理（共2小题）2．（2021秋•常熟市校级月考）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【分析】连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．【解答】解：如图所示，连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．∵点A的坐标为（0，4），∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．故选：C．【点评】此题主要考查了垂径定理，根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心是解题关键．3．（2021秋•广陵区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（）A．2B．4C．5D．6【分析】由垂径定理可求得AB⊥CD及CE的长，再利用勾股定理可求解OE的长，进而可求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，∵CD＝16，∴CE＝8，在Rt△COE中，OE＝，∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，故选：B．【点评】本题主要考查垂径定理，勾股定理，求解OE的长是解题的关键．三．垂径定理的应用（共3小题）4．（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）。
九年级数学上册 第2章 对称图形圆 2.5 直线与圆的位置关系(4)
（2）若∠BPA=60 °,则OP= .6
A
O
P
B
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3.如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB
上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已
知PA=7，∠P=40°.则 ⑴ △PDE的周长是 14 ⑵ ∠DOE= 70°.
； P
DA
C
O
E 解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.∵PA、PB是☉O的两条切线 B
☉O于A、B。∠OPA=∠OPB。切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.。已知，如图PA、 PB是☉O的两条切线，A、B为切点.
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12/12/2021
第十六，共十六页。
直线(zhíxiàn)与圆的位置关系（4）
2021/12/12
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【导入新课】
同学(tóng xué)们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间， 你能从中抽象出什么样数学图形？
12/12/2021
第二页，共十六页。
【讲授新课】
1.切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线， 这点和切点(qiēdiǎn)之间的线段的 长叫做切线长．
点C是☉O上异于A、B的点，则∠ACB=
65 °或. 115 °
A
P O
B
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【小结 】 (xiǎojié)
切线(qiēxiàn)长原 理
切线 (qiēxiàn)长 定理
作用
辅助线
图形的轴对称性
提供了证线段和
角相等的新方法
① 分别连接圆心和切点；
② 连接两切点；
③ 连接圆心和圆外一点.
九年级数学上册 第2章 对称图形圆 2.5 直线与圆的位置关系(3)
cm1？
（2）若移动点O的位置(wèi zhi)，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都相
切，求☉O的半径r的取值范围.
A
F D O·
CE
B
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解：如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的 切点(qiēdiǎn)分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为
正方形. ∴OB＝BC＝3，
第十二页，共十三页。
内容 总结 (nèiróng)
直线与圆的位置关系（3）。求作：和△ABC的各边都相切的圆.。1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交 点(jiāodiǎn)为O.。2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.。1.OA=OB=OC。2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、
No ∠ABC、∠ACB。设AF=xcm，则AE=xcm.。∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，。BF=BD=AB-AF=13-x(cm).。
解:设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm). 由 BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
解得 x=4.
∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到 某条边上，从而(cóng ér)建立方程.
2.三角形内切圆的圆心叫做(jiàozuò)这个三角形的内心.
3.这个三角形叫做(jiàozuò)这个圆的外切三角形.
4.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.
A
D
F
I
┐
B
E
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
苏科版九年级数学上册《2章 对称图形—圆 2.5 直线与圆的位置关系 切线》优质课课件_11
响水县2018年初三中考 数学一轮复习课
三、巩固反馈
3.已知：如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB 相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E. (1)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论． (2)求证：点D是AB的中点；
切线判定： 有点连线证垂直
“无点”作垂证等径
运用切线性质与判定定理解决问题
距离中考还有88天
祝射阳初级中学再创辉煌
响水县2018年初三中考 数学一轮复习课
三、巩固反馈
2.已知：如图，在△ABC中，CB＝CA，以BC为直径的⊙O与边AB
相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.
(1)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
三、巩固反馈
2.已知：如图，在△ABC中，CB＝CA，以BC为直径的⊙O与边AB
相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.
(1)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
(2)求证：点D是AB的中点；
响水县2018年初三中考 数学一轮复习课
四、课堂检测
1、⊙O的半径为R，直线l与⊙O有公共点，如果圆心到直线l的
考点3 圆的切线的性质与判定
导练回归
3、如图，在△ABC中，AB=AC. （1）若⊙A与BC相切于点D，则BD与CD相等吗？为什么？ （2）若BC经过⊙A上的点D，且BD=CD，则BC是⊙A的切线吗？
总结1：连接圆心与切点得垂直
总结2：有点（公共点）连线证垂直
D
响水县2018年初三中考 数学一轮复习课
反之数量关系也决定位置关系。
响水县2018年初三中考 数学一轮复习课
考点2 切线的定义
导练回归
2、如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的 圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移， 使⊙P与y轴相切，则平移的距离为 1个或5个__单_．位
苏科(部审)版九年级数学上册《2章 对称图形—圆 2.5 直线与圆的位置关系 切线长定理》优质课课件_13
为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学采用了如 下办法：将锅盖平放在水平桌面上，用一个锐角 为30°的三角板和一个刻度尺，按图中所示的方 法得到相关数据，进而可求得锅盖的半径，若测
得PA=5cm，则锅盖的半径长是多少？
5 3cm.
O
O
BB
AP
小结
1、本节学习了切线长的定义，注意和切线比较。学习了
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
求证：内切圆O的半径r a b c 2
A
F
EO
CD
B
幻灯片 17
2、记住圆外切四边形的性质，并比较圆内接四边形
3、希望同学们在以后的学习中要勇于探索和实践，养成科 学的学习态度。同时还要注意总结作辅助线的方法，和解题 时要注意运用“数形结合”的思想方法。
A
O
p
B
思考：
已 AB知切△于A点BDC、中E，、F。C若B9C0=，a 内，切A圆C=Ob和,A边BB=cC、CA、
从你实验的观察和你 的证明你能得出怎样
的结论呢？
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的
切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角。
请你们结合图形用
A
数学语言表达定理
O
B PA、PB分别切⊙O于A、B, 连结PO
p
PA = PB ∠OPA=∠OPB
学以致用
一判断
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
AB= 9cm
A
2 F
E 4
7
C
B
D
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，
九年级数学上册圆 . 点和圆、直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系切线长及切线长定理
下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾
(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是
多少？”( ) A．3步 B．5步
C．6步
C
D．8步
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第七页，共十三页。
*5.(遵义)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和
形状，并说明理由．
如图，半圆(bànyuán)O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB上，
若BG＝－1，则△ABC的周长为( )
A
A．4＋2 2 B．6 C．2＋2 2 D．4
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知识点二：三角形的内切圆
例2 如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，如果(rúguǒ)AE＝2， CD＝1，BF＝3，求内切圆的半径r.
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如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点(qiēdiǎn)分别为点D，E，F，若 ∠DEF＝52°，则∠A＝ ______7_6_°__ ．
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1．(丽水)如图所示，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论：①
内切圆
角平分线
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知识点一：切线(qiēxiàn)长定理
例1 (安顺)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过 点D的切线(qiēxiàn)交BC于点E.
(1)求证：EB＝EC；
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第2章对称图形—圆
2.5 第4课时切线长定理[^&*@%]
知识点切线长定理的应用
1．如图2－5－32，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若∠P＝60°，PA＝2，则弦AB的长为( ) [#~@%^]
A．1 B．2 C．3 D．4
图2－5－32
图2－5－33 [%@~^#]
[@^#%&]
.如图2－5－33，CD是⊙O的切线，切点为E，AC，BD分别与⊙O相切于点A，B.如果CD＝7，AC＝4，那么BD等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2
3．[教材习题2.5第13题变式] 如图2－5－34，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切．若四边形ABCD的周长为20，则AB＋CD等于( )
A．5 B．8 C．10 D．12
4．已知线段PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，AB ︵的度数为120°，⊙O 的半
径为4，则线段AB 的长为( )
A ．8
B ．4 3
C ．6 3
D ．8 3
图2－5－34
图2－5－35 [^&*#@]
.如图2－5－35，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝40°，则∠BAC 的度数为________．
6．如图2－5－36，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，∠AOP ＝50°，则∠PAB ＝________°，∠OPB ＝________°.
图2－5－36 [*&#@%]
图2－5－37 7．如图2－5－37，PA ，PB ，DE 分别切⊙O 于点A ，B ，C ，若⊙O 的半径为5，OP ＝13，则△PDE 的周长为________．
图2－5－38
8．如图2－5－38，P 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，PC ，PD 分别切⊙O 于点C ，D.若PA ＝6，⊙O 的半径为2，则∠CPD 的度数为________．
9．如图2－5－39，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，A ，B 为切点．如果⊙O 的半径为5，∠OPA ＝30°，求两条切线的夹角∠APB 的度数及切线PA 的长．
图2－5－39
[%@*~#]
图2－5－40 [@#*~%]
10．[2016·梁溪区一模] 如图2－5－40，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( )
A.133
B.92
C.4 1339 D ．2 5 [*@%#~]
11．如图2－5－41，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝70°.求∠P 的度数．。