八年级数学下册17勾股定理章末检测卷课件(新版)新人教版
人教版八年级数学下册《第17章 勾股定理》单元练习卷
第17章勾股定理一．选择题（共8小题）1．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A．3，4，5B．1，1，C．8，12，13D．3．若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是（）A．5B．6C．D．5或4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（）A．2B．4C．3D．5．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A．B．3C．D．56．如图，在正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，若将△ABC沿A﹣D的方向平移AD长，得△DEF（B、C的对应点分别为E、F），则BE长为（）A．1B．2C．D．37．如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB ＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（）A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm8．如图，学校教学楼旁有一块矩形花圃，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．A．6B．5C．4D．3二．填空题（共7小题）9．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AC＝4，BC＝3，则CD＝．10．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为．11．如图，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达B点位置，根据图中的数据，点A和点B的直线距离是．12．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为．13．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离为km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C 的距离相等，则C，D间的距离为km．14．如图①，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD 的中点，截面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为cm2．15．如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，平板车的长不能超过米．三．解答题（共7小题）16．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求CD的长．（2）求AB的长．17．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．18．如图，△ABC中，D是BC上的一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC 的面积．19．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2＝BE2+CF2．20．如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE，连接BE，延长DE、BC 相交于点F，则有∠BFE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形．（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；（3）求证：a2+b2＝c2．21．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图2．火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置，连接CF，AB＝a，BC＝b，AC＝c．（1）请你结合图1用文字和符号语言分别叙述勾股定理．（2）请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理：a2+b2＝c2．22．如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝520m，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上（取1.732，结果取整数）？参考答案一．选择题（共8小题）1．D．2．C．3．D．4．A．5．B．6．C．7．D．8．C．二．填空题（共7小题）9．．10．．11．10．12．79．13．（1）20；（2）13；14．2．15．4三．解答题（共7小题）16．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BCD中，∵BC＝15、DB＝9，∴CD＝＝＝12；（2）在Rt△ACD中，∵AC＝20、CD＝12，∴AD＝＝＝16，则AB＝AD+DB＝16+9＝25．17．解：∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，∴AB2＝AD2+BD2，∴△ADB是直角三角形，∠ADB＝90°，∴△ADC是直角三角形，在Rt△ADC中，CD＝＝9．18．解：∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在Rt△ACD中，，∴S△ABC＝，因此△ABC的面积为84．答：△ABC的面积是84．19．证明：延长ED到G，使DG＝DE，连接EF、FG、CG，如图所示：在△EDF和△GDF中，∴△EDF≌△GDF（SAS），∴EF＝FG又∵D为斜边BC中点∴BD＝DC在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（SAS）∴BE＝CG，∠B＝∠BCG∴AB∥CG∴∠GCA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°在Rt△FCG中，由勾股定理得：FG2＝CF2+CG2＝CF2+BE2∴EF2＝FG2＝BE2+CF2．20．（1）△ABE是等腰直角三角形，证明：∵Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到在Rt△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝∠CAE+∠DAE＝90°，又∵AB＝AE，∴△ABE是等腰直角三角形；（2）∵四边形ABFE的面积等于正方形ACFD面积，∴四边形ABFE的面积等于：b2．（3）∵S正方形ACFD＝S△BAE+S△BFE即：b2＝c2+（b+a）（b﹣a），整理：2b2＝c2+（b+a）（b﹣a）∴a2+b2＝c2．21．解：（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝a，BC＝b，AC＝c，则有b2+c2＝a2．（2）∵S梯形BCFG＝S△AFG+S△AFC+S△ACB＝ab+ab+c2＝ab+c2，S梯形BCFG＝•（FG+BC）•BG＝（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，∴ab+c2＝a2+ab+b2，整理得：a2+b2＝c2．22．解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，在Rt△BDE中，BD＝520m，∠D＝30°，∴BE＝BD＝260m，∴DE＝＝260≈450（m）．答：另一边开挖点E离D450m，正好使A，C，E三点在一直线上．。
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时应用勾股定理解数学问题课件新版新人教版
出它的面积；
【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，
∴OB＝ a，
∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .
∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，
∴ ＝3，即a＝2.
∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.
人教新版八年级下册数学《第17章 勾股定理》单元测试卷和答案详解(PDF可打印)
人教新版八年级下册《第17章勾股定理》单元测试卷（1）一、选择题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）1．（3分）已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和5，则斜边的长为（）A．3B．4C．5D．2．（3分）下列定理中，有逆定理的个数是（）①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若两个数互为相反数，他们的奇次幂也互为相反数；③面积相等的长方形周长也一定相等；④若a＝b，则a2＝b2．A．1个B．2个C．3个D．4个3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25和144，则AB的长度为（）A．13B．169C．12D．54．（3分）下列给出的三条线段的长，其中能组成直角三角形的是（）A．62、82、102B．6、8、9C．2、、D．、、5．（3分）下列命题的逆命题不成立的是（）A．如果a＞b，那么a﹣b＞0B．如果a+b＝0，那么a2＝b2C．等边对等角D．如果△ABC是直角三角形（两直角边为a，b，斜边为c），那么a2+b2＝c26．（3分）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（）A．8，10，12B．3，4，5C．5，12，13D．7，24，25 7．（3分）在下列各组数中能组成直角三角形的有（）；（1）9、80、81（2）10、24、25（3）15、20、25（4）8、15、17．A．1组B．2组C．3组D．4组二、填空题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）8．（3分）如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是cm．9．（3分）如图所示，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝15，则S2＝．10．（3分）如图，一根旗杆于离地面3m处断裂，倒向地面，旗杆顶落于离旗杆底部4m处，旗杆断裂之前高米．11．（3分）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了米．12．（3分）如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成个直角三角形．13．（3分）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则小猫在木板上爬动了米．14．（3分）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，S2＝2π，则S3是．三、解答题（本题共计7小题，共计78分，）15．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯足向外移0.8米，那么梯子的顶端沿墙下滑多少米？16．我校有两个课外小组的同学到校外去采集植物标本，已知第一组的速度为30米/分钟，第二组的速度为40米/分钟，且两组行走的路线为直线，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学正好相距1500米．（1）请你判断一下两组同学行走的夹角是否为直角？并说明理由．（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，那么经过多长时间后才能相遇？17．已知图中的每个方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点在格点上，称为格点三角形，请按要求完成下列各题（1）填空：AB＝，BC＝，AC＝；（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．18．如图，台风过后，一颗白杨树在高地某处断裂，白杨树的顶部落在离白杨树根部8米处，已知白杨树高16米，你能求出白杨树在离根部多少米的位置断裂吗？19．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．20．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN 的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音声的影响，试问该校受影响的时间为多少秒？21．为了加强农村“疫情防控”知识，某镇政府采用了移动宣传的形式进行宣传：如图，笔直公路l的一侧有一村庄P，P到公路l的距离为1200米，宣传车M匀速在l上行驶，在车周围1300米以内能听到广播宣传，若至少连续宣传5分钟才有效果，宣传车最高时速是多少？人教新版八年级下册《第17章勾股定理》单元测试卷（1）参考答案与试题解析一、选择题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）1．（3分）已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和5，则斜边的长为（）A．3B．4C．5D．【考点】勾股定理．【分析】直接利用勾股定理计算得出答案．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为3和5，∴斜边的长为：＝．故选：D．2．（3分）下列定理中，有逆定理的个数是（）①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若两个数互为相反数，他们的奇次幂也互为相反数；③面积相等的长方形周长也一定相等；④若a＝b，则a2＝b2．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题与定理．【分析】分别写出各个命题的逆命题，逐项判断即可．【解答】解：①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形的两边相等，正确，有逆定理；②有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是若两个数的奇次幂互为相反数，这两个数互为相反数，正确，有逆定理；③面积相等的长方形周长也一定相等的逆命题是周长相等的长方形面积也相等，为假命题，无逆定理；④若a＝b，则a2＝b2的逆命题是若a2＝b2，则a＝b，为假命题，无逆定理；故有逆定理的个数是2个，故选：B．3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25和144，则AB的长度为（）A．13B．169C．12D．5【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：AB＝＝13，故选：A．4．（3分）下列给出的三条线段的长，其中能组成直角三角形的是（）A．62、82、102B．6、8、9C．2、、D．、、【考点】勾股定理的逆定理．【分析】先找出两小边，求出两小边的平方和，求出大边的平方，再根据勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：A、（62）2+（82）2≠（102）2，即组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；B、62+82≠92，即组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；C、22+（）2≠（）2，即组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；D、（）2+（）2＝（）2，即组成的三角形是直角三角形，故本选项正确；故选：D．5．（3分）下列命题的逆命题不成立的是（）A．如果a＞b，那么a﹣b＞0B．如果a+b＝0，那么a2＝b2C．等边对等角D．如果△ABC是直角三角形（两直角边为a，b，斜边为c），那么a2+b2＝c2【考点】命题与定理．【分析】写出各个命题的逆命题，然后判断正误即可．【解答】解：A、逆命题为：如果a﹣b＞0，那么a＞b，逆命题成立；B、逆命题为：如果a2＝b2，那么a+b＝0，逆命题不成立；C、逆命题为：等角对等边，逆命题成立；D、逆命题为：如果三角形三边满足a2+b2＝c2，那么该三角形是直角三角形，逆命题成立；故选：B．6．（3分）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（）A．8，10，12B．3，4，5C．5，12，13D．7，24，25【考点】勾股定理的逆定理．【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．【解答】解：A、∵82+102≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项符合题意；B、∵32+42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵52+122＝132，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项不符合题意；D、∵72+242＝252，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项不符合题意；故选：A．7．（3分）在下列各组数中能组成直角三角形的有（）；（1）9、80、81（2）10、24、25（3）15、20、25（4）8、15、17．A．1组B．2组C．3组D．4组【考点】勾股数．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：（1）92+802≠812，根据勾股定理的逆定理，故不是直角三角形；（2）102+242≠252，根据勾股定理的逆定理，故不是直角三角形；（3）152+202＝252，根据勾股定理的逆定理，故是直角三角形；（4）82+152＝172，根据勾股定理的逆定理，故是直角三角形．故选：B．二、填空题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）8．（3分）如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是5cm．【考点】勾股定理的应用．【分析】由题意可知长方体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，利用勾股定理求解即可．【解答】解：由题意知：盒子底面对角长为＝10cm，盒子的对角线长：＝20cm，细木棒长25cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是：25﹣20＝5cm．故答案为：5．9．（3分）如图所示，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝15，则S2＝10．【考点】勾股定理．【分析】由勾股定理得AB2＝BC2+AC2，再结合正方形面积公式得到S3＝S1+S2，即可求出S2的值．【解答】解：∵△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2+AC2，∵以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S3＝15，S1＝5，∴BC2＝5，AB2＝15，S3＝S1+S2，则S2＝S3﹣S1＝15﹣5＝10，故答案为：10．10．（3分）如图，一根旗杆于离地面3m处断裂，倒向地面，旗杆顶落于离旗杆底部4m处，旗杆断裂之前高8米．【考点】勾股定理的应用．【分析】如图，由题意，AC⊥BC，AC＝3米，BC＝4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB，根据勾股定理求出AB即可解决问题．【解答】解：如图，由题意，AC⊥BC，AC＝3米，BC＝4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3米，BC＝4米，AB＝＝＝5（米），∴旗杆折断之前的高度高度＝AC+AB＝3+5＝8（米），故答案为：8．11．（3分）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了9米．【考点】勾股定理的应用．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9．12．（3分）如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成2个直角三角形．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】由勾股定理求出线段AD、AC、AB、BC、BD、CD的平方，由勾股定理的逆定理即可得出结果．【解答】解：由勾股定理得：AD2＝BD2＝12+32＝10，AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝CD2＝25，∵AD2+BD2＝AB2，AC2+AB2＝BC2，∴能够组成2个直角三角形．故答案为：2．13．（3分）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则小猫在木板上爬动了 2.5米．【考点】勾股定理的应用．【分析】要求小猫在木板上爬动的距离，即求木板长，可以设CD＝x，AB＝DE＝y，则根据木板长不会变这个等量关系列出方程组，即可求BC的长度，在直角△ABC中，根据BC，AC即可求AB．【解答】解：已知AE＝1.3米，AC＝0.7米，BD＝0.9米，设CD＝x，AB＝DE＝y，则BC＝0.9+x则在直角△ABC中，y2＝（0.9+x）2+0.72，在直角△CDE中，y2＝x2+（1.3+0.7）2，解方程组得：x＝1.5米，y＝2.5米，故答案为 2.5．14．（3分）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，S2＝2π，则S3是．【考点】勾股定理．【分析】在直角三角形中，利用勾股定理得到a2+b2＝c2，在等式两边同时乘以，变形后得到S2+S3＝S1，将已知的S1与S2代入，即可求出S3的值．【解答】解：在直角三角形中，利用勾股定理得：a2+b2＝c2，∴a2+b2＝c2，变形为：（）2π+（）2π＝（）2π，即S2+S3＝S1，又S1＝，S2＝2π，则S3＝S1﹣S2＝﹣2π＝．故答案为：三、解答题（本题共计7小题，共计78分，）15．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯足向外移0.8米，那么梯子的顶端沿墙下滑多少米？【考点】勾股定理的应用．【分析】在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据EC ＝EB+BC即可求得EC的长度，在直角三角形DEC中，已知DE，EC即可求得DC的长度，根据AD＝AC﹣DC即可求得AD的长度．【解答】解：在直角△ABC中，AC＝＝2.4（m），∴EC＝BC+BE＝1.5m在直角△DEC中，DC＝＝＝2（m），∴AD＝AC﹣DC＝0.4（m），答：梯子的顶端沿墙下滑0.4m．16．我校有两个课外小组的同学到校外去采集植物标本，已知第一组的速度为30米/分钟，第二组的速度为40米/分钟，且两组行走的路线为直线，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学正好相距1500米．（1）请你判断一下两组同学行走的夹角是否为直角？并说明理由．（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，那么经过多长时间后才能相遇？【考点】勾股定理的逆定理．【分析】（1）先分别求出两个小组走的路程，再根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（2）根据路程和÷速度和＝相遇的时间，列式计算即可求解．【解答】解：（1）第一组的路程：30×30＝900（米），第二组的路程：40×30＝1200（米），∵9002+12002＝15002，∴两组同学行走的夹角是直角；（2）1500÷（30+40）＝1500÷70＝21（分钟）．答：经过21分钟后才能相遇．17．已知图中的每个方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点在格点上，称为格点三角形，请按要求完成下列各题（1）填空：AB＝3，BC＝2，AC＝；（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】（1）根据勾股定理即可求得△ABC的三边的长；（2）由勾股定理的逆定理即可作出判断．【解答】解：（1）根据勾股定理即可得到：AB2＝62+32＝45，BC2＝42+22＝20，AC2＝72+42＝65，则AB＝3，BC＝2，AC＝．故答案为3，2，；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵AB2＝45，BC2＝20，AC2＝65，AB2+BC2＝45+20＝65，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．18．如图，台风过后，一颗白杨树在高地某处断裂，白杨树的顶部落在离白杨树根部8米处，已知白杨树高16米，你能求出白杨树在离根部多少米的位置断裂吗？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意结合勾股定理求出答案．【解答】解：设白杨树在离根部x米的位置断裂，根据题意可得：x2+82＝（16﹣x）2，解得：x＝6．答：白杨树在离根部6米的位置断裂．19．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△ACD是直角三角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．【解答】解：连接AC，在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，S△ABC＝AB•BC＝×3×4＝6，在△ACD中，∵AD＝13，AC＝5，CD＝12，∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，＝AC•CD＝×5×12＝30．∴S△ACD+S△ACD＝6+30＝36．∴四边形ABCD的面积＝S△ABC20．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN 的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音声的影响，试问该校受影响的时间为多少秒？【考点】勾股定理的应用．【分析】设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由拖拉机的速度可得出所需时间．【解答】解：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．则有CA＝DA＝100m，在Rt△ABC中，，∴CD＝2CB＝120m，∵18km/h＝18000m/3600s＝5m/s，∴该校受影响的时间为：120÷5＝24（s）．答：该校受影响拖拉机产生的噪声的影响时间为24秒．21．为了加强农村“疫情防控”知识，某镇政府采用了移动宣传的形式进行宣传：如图，笔直公路l的一侧有一村庄P，P到公路l的距离为1200米，宣传车M匀速在l上行驶，在车周围1300米以内能听到广播宣传，若至少连续宣传5分钟才有效果，宣传车最高时速是多少？【考点】勾股定理；一元一次不等式的应用．【分析】作PH⊥l，垂足为H，由勾股定理求出MH＝500，则MM'＝1000，由题意可得5x≤1000，解不等式可得出答案．【解答】解：作PH⊥l，垂足为H，∵PM＝1300米，PH＝1200米，∠PHM＝90°，∴MH＝＝＝500（米），根据对称性可知，M'H＝MH，∴MM'＝1000米，即宣传车能够让P点有效听到的距离为1000米，设宣传车时速是x米/分钟，由题意可得5x≤1000，∴x≤200，200米/分钟＝12km/h．答：宣传车最高时速是12km/h．。
2023-2024学年七年级八年级数学下册第17章勾股定理17.1勾股定理第2课时上课课件新版新人教
米.如果保持梯子底端位置不动，
将梯子斜靠在右墙时，顶端距
离地面 2米，则小巷的宽度为
2.5
（ C ）.
2.4
2
A. 0.7米
B. 1.5米
C. 2.2米
D. 2.4米
0.7 1.5
2.已知一个三角形工件尺寸如图，计算高 l 的长（结果
取整数）. 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
B
64mm D
88mm lA
分析：可以看出，木板横着或者竖 着都不能从门框内通过，只能尝试 斜着能不能通过.门框对角线 AC 的 长度是斜着能通过的最大长度.求出 AC，再与木板的宽比较，就能知道 木板能否通过.
D
C
2m
A
B
1m
因为AC ＞1.5m，所以木板可以 从门框中通过. 聪明的你，
想到了吗？
DC
2m AB
1m
因为AC ＞1.5m，所以木板可以从 门框中通过.
O
BD
A C
O
BD
A C
O
BD
所以梯子的顶端下滑0.5m时，梯子底端并不是也外 移0.5m，而是外移约0.77m.
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤 1.从实际问题中抽象出几何图形； 2.确定所求线段所在的直角三角形； 3.找准直角边和斜边，根据勾股定理建立 等量关系； 4.求得结果.
勾股定理应用的常见类型 1.已知直角三角形的任意两边求第三边； 2.已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； 3.证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题； 4.求解几何体表面上的最短路程问题； 5.构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决 生产、生活中的实际问题.
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八年级数学下册第十七章《勾股定理》单元测试卷-人教版(含答案)
八年级数学下册第十七章《勾股定理》单元测试卷-人教版(含答案)一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股方圆图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a ，b ，斜边为c ）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则44a b +的值为（ ）A ．68B ．89C ．119D ．1302．如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（）A ．198 B ．2 C ．254 D ．743．已知点M 的坐标为()3,4-，则下列说法正确的是（ ）A ．点M 在第二象限内B ．点M 到x 轴的距离为3C ．点M 关于y 轴对称的点的坐标为()3,4D ．点M 到原点的距离为54．如图，点A 表示的实数是（ ）AB C D5．如图，圆柱的底面周长为12cm ，AB 是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC 上有一点D ，且10cm BC =，2cm DC =．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短路程是（ ）cm ．A ．14B ．12C ．10D ．86．△ABC 的三边长a ，b ，c （b ﹣12）2+|c ﹣13|＝0，则△ABC 的面积是（ ）A ．65B ．60C ．30D ．267．如图，Rt ABC 中，90,4,6B AB BC ∠=︒==，将ABC 折叠，使点C 与AB 的中点D 重合，折痕交AC 于点M ，交BC 于点N ，则线段CN 的长为（ ）.A ．73B ．83C ．3D ．1038．如图，在ABC 中，△B ＝22.5°，△C ＝45°，若AC ＝2，则ABC 的面积是（ ）A B ．C ． D ．9．我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数c 能表示为两个正整数a ，b 的平方和，即22c a b =+，那么称a ，b ，c 为一组广义勾股数，c 为广义斜边数，则下面的结论：△m 为正整数，则3m ，4m ，5m 为一组勾股数；△1，2，3是一组广义勾股数；△13是广义斜边数；△两个广义斜边数的和是广义斜边数；△若2222,12,221a k k b k c k k =+=+=++，其中k 为正整数，则a ，b ，c 为一组勾股数；△两个广义斜边数的积是广义斜边数．依次正确的是（ ）A ．△△△B ．△△△△C ．△△△D ．△△△10．为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB ＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC ＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（ ）A ．1.0 米B ．1.2 米C ．1.25 米D ．1.5 米11．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：△20是“整弦数”；△两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；△若c 2为“整弦数”，则c 不可能为正整数；△若m ＝a 12+b 12，n ＝a 22+b 22，11a b ≠22a b ，且m ，n ，a 1，a 2，b 1，b 2均为正整数，则m 与n 之积为“整弦数”；△若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，三角形纸片ABC 中，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把△ABD 沿着直线AD 翻折，得到△AED ，DE 交AC 于点G ，连接BE 交AD 于点F ．若DG ＝EG ，AF ＝4，AB ＝5，△AEG 的面积为92，则2BD 的值为（ ）A ．13B ．12C ．11D ．10二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．无理数可以用数轴上的点表示．如图，数轴上点A 表示的数是______．14．我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离P A 的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即10P C '=尺，秋千踏板离地的距离P B '就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为________尺．15．如图，在Rt ABC △中，9068C AC BC ∠=︒==，，，将ABC 按如图方式折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为________．16．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是____________米．17．如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_____ m．18．观察下列几组勾股数，并填空：△6，8，10，△8，15，17，△10，24，26，△12，35，37，则第△组勾股数为______．19．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是______cm20．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD△AC于点D，把线段AC绕点C旋转得到线段CE，点E恰好落在AB的延长线上，12BE CD，△BCD的面积是8，则BC的长为________．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．某海上有一小岛，为了测量小岛两端A，B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知B是CD的中点，E是BA延长线上的一点，且△CED＝90°，测得AE＝16.6海里，DE＝60海里，CE＝80海里．(1)求小岛两端A，B的距离．(2)过点C作CF△AB交AB的延长线于点F，求BFBC值．22．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离12PP=式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．(1)已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；(2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；(3)已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．23．某天，暴雨突然来袭，两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A、B两地发出求救信号．于是，第一艘搜救艇以20海里/时的速度离开港口O沿北偏东40°的方向向A地出发，同时，第二艘搜救艇也从港口O出发，以15海里/时的速度向B地出发，2小时后，他们同时到达各自的目标位置．此时，他们相距50海里．的大小）(1)求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？（求BOD(2)由于B地需要被援救的人数较多，故需要搭载人数较少的第一艘搜救艇改道去到B地支援，在从A地前往到B 地的过程中，与港口O最近的距离是多少？24．如图所示，一架云梯长25m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m，这个梯子的顶端距地面有多高？如果梯子顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了4m吗？25．【阅读思考】已知0＜x＜1分析：如图，我们可以构造边长为1的正方形ABCD，P为BC边上的动点．设BP＝x，则PC＝1－x，那么可以用含x的式子表示AP、DP，问题可以转化为AP与PD的和的最小值，用几何知识可以解答(1)AP＋PD的最小值为________(2)的最小值，其中x、y为两正数，且x＋y＝6(3)参考答案1．B2．D3．D4．B5．C6．C7．D8．D9．D10．A11．C12．A13．214．14.515．7 416．817．118．16，63，6519．1620．1021．(1)33.4海里(2)72522．(1)AB＝13(2)AB＝5(3)△DEF是等腰三角形，23．(1)50度(2)24海里24．这个梯子的顶端距地面24m；梯子的底端在水平方向上不是滑动了4m，而是滑动了8m．25．5(2)(3)。
人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)
这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为
人教版数学八年级下册第十七章 勾股定理测试卷(附答案)
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理测试卷一、单选题（共10题；共20分）1.判断以下各组线段为边作三角形，可以构成直角三角形的是（）A. 6，15，17B. 7，12，15C. 13，15，20D. 7，24，252.如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是A. B. C. D.3.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A. 7，24，25B. ，4，5C. ，1，D. 40，50，604.小明搬来一架3.5 米长的木梯，准备把拉花挂在2.8 米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为( )A. 2.7 米B. 2.5 米C. 2.1 米D. 1.5 米5.如图，在中，是上一点，已知，，，，则的长为（）A. B. C. D.6.将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h 的取值范围是（）A. h≤15cmB. h≥8cmC. 8cm≤h≤17cmD. 7cm≤h≤16cm7.将面积为2π的半圆与两个正方形A和正方形B拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（）A. 4B. 8C. 2πD. 168.在四边形中，，若，则的大小为（）A. B. C. D.9.如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺A. 10B. 12C. 13D. 1410.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A. 360B. 400C. 440D. 484二、填空题（共10题；共30分）11.已知一个直角三角形的两边长分别为12和5，则第三条边的长度为________12.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在距离根部处，这棵大树在折断前的高度为________ .13.三角形的三边长为a，b，c，满足（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形是________.14.没有上盖的圆柱盒高为10cm,周长为32cm，点A距离下底面3cm.一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处.则蚂蚁需要爬行的最短路程的长为________cm.15.在△ABC中，∠C=90°，若AB= ，则AB2+AC2+BC2=________。
人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》单元检测卷及答案解析
八年级数学下册第17章《勾股定理》单元检测卷分值：120分时间：90分钟一、选择题.（本大题共12道小题，共36分）1．下列线段能组成直角三角形的一组是（）A ．1，2，2B ．3，4，5C ，2D ．5，6，72．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，下列命题中的假命题是（）A ．如果∠C －∠B ＝∠A ，则△ABC 是直角三角形B ．如果222c b a =-，则△ABC 是直角三角形，且∠C ＝90°C ．如果2()()c a c a b +-=，则△ABC 是直角三角形D ．如果∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶2∶3，则△ABC 是直角三角形3．如图，小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB ＝3(如图).以O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数介于（）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间4．如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（）A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米5．若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足222()()0a b a b c -+-=，则△ABC 是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形6．如图，将一根长厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（）厘米．A．1B．2C．3D．47．我市在旧城改造中，需要在一块如图所示的三角形空地上铺设草坪，如果每平方米草坪的价格为x元，则购买草坪需要的花费大概是（）提示：2≈1.414，3≈1.732A．150x元B．300x元C．130x元D．260x元8．等腰三角形一腰长为5，这一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长为（）A．10B．310C．10或310D．4或3109．如图所示，长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AD＝5，DC＝3，则BF的长是（）A．1B．2C．3D．410．小明想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆上的绳子刚好垂到地面，当她把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端距离地面1米，则旗杆的高是（）A．8米B．10米C．12米D．13米11．如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（）A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm12．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书周髀算经中就有“若勾三、股四、则弦五”的记载。
第十七章 勾股定理 章节达标测试卷2022-2023学年人教版八年级数学下册
第十七章《勾股定理》章节达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列各组长度的线段能构成直角三角形的是( )A．30，40，50 B．7，12，13C．5，9，12 D．3，4，62．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，已知b＝12，c＝13，则a＝( )A．1 B．5 C．10 D．253．下列命题的逆命题不成立的是( )A．如果两个数互为相反数，那么它们的和等于0B．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等C．如果两个数相等，那么它们的平方相等D．如果|a|＝|b|，那么a＝b4．把命题“如果x＝y，那么x＝y”作为原命题，下列对原命题和它的逆命题真假判断正确的是( )A．原命题和逆命题都是真命题B．原命题和逆命题都是假命题C．原命题是真命题，逆命题是假命题D．原命题是假命题，逆命题是真命题5．在三边分别为4、4、6的等腰三角形中，底边上的高是( )A．5 B．3 C．4 D.76．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为( )A. 3 B．2 3 C．3 3 D．4 3(第6题) (第8题) (第9题) (第10题)7．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋|a2＋b2－c2|＝0，则△ABC的形状是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．无法确定8．【2022·张家界】如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC ＝3，则△AOB与△BOC的面积之和为( )A．34B．32C．334D． 39．如图，长方体的底面邻边长分别是5 cm和7 cm，高为20 cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B(点B为棱的中点)，那么所用细线最短为( )A．20 cm B．24 cm C．26 cm D．28 cm 10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )A．9 B．6 C．4 D．3二、填空题(每题3分，共24分)11．已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C＝90°，c ＝10，a∶b＝3∶4，则a＝________.12．已知正方形的面积为8，则其对角线的长为________．13．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：__________________________________________，该逆命题是________(填“真”或“假”)命题．14．【2022·西安高新一中模拟】已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式c2－a2－b2＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为______________．15．【2021·岳阳】《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为____________________．16．习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观，引领中国走向绿色发展之路的理论之基．小张在数学活动课上用正方形纸片制作成图①的“七巧板”，设计拼成了图②的水杉树树冠，如果已知图①中正方形纸片的边长为2 cm，则图②中水杉树树冠的高(即点A到线段BC的距离)是________cm.17．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆形，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于________．18．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1.在AC上有一动点P，则EP＋BP的最短长度为________．三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)19．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AB＝AC＝13，BD＝1.求：(1)CD的长；(2)BC的长．(第19题)20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝3，CD＝1，∠A＝90°，求∠ADC的度数．(第20题)21．如图，在△ABC中，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，且周长为36 cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1 cm的速度移动；点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2 cm的速度移动．如果同时出发，经过3 s，△PBQ的面积为多少？(第21题)22．【数学建模】小渝和小川是一对好朋友．如图，小渝家住在A处，小川家住在B处，两家相距10千米，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6千米，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等．求小渝家A到见面地点D的距离．23．【数学抽象】阅读下面一段文字，然后回答问题．已知在平面内两点P1(x1，y)，P2(x2，y2)，其两点间的距离P1P2＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2，同时，当两1点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2－x1|或|y2－y1|.(1)已知A(2，4)，B(－3，－8)，试求A，B两点间的距离．(2)已知M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为－1，试求M，N两点之间的距离．(3)已知一个三角形各顶点坐标为D(1，6)，E(－2，2)，F(4，2)，你能判定此三角形的形状吗？说明理由．24．【2022·北京】在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC.(1)如图①，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD ⊥AF；(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图②，若AB2＝AE2＋BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．答案：一、1.A 2.B 3.C 4.D 5.D 6.D 7．C 8．C 9．C 10．D二、11.6 12.4 13. 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假 14．等腰直角三角形 15．(x－6.8)2＋x2＝10216．2＋1 17．2π18．5三、19.解：(1)∵AB＝13，BD＝1，∴AD＝13－1＝12.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5.(2)在Rt△BCD中，BC＝BD2＋CD2＝12＋52＝26.20．解：连接BD.在Rt△BAD中，因为AB＝AD＝2，所以∠ADB＝45°，BD2＝AD2＋AB2＝22＋22＝8.在△BCD中，因为BD2＋CD2＝8＋1＝9＝BC2，所以△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°.所以∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝45°＋90°＝135°.21．解：依题意，设AB＝3k cm，BC＝4k cm，AC＝5k cm，则3k＋4k＋5k＝36，∴k＝3.∴AB＝9 cm，BC＝12 cm，AC＝15 cm.∵AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形且∠B＝90°.点P，Q分别从点A，B同时出发3 s后，BP＝9－1×3＝6 (cm)，BQ＝2×3＝6 (cm)，∴S△PBQ＝12BP·BQ＝12×6×6＝18 (cm2)．22.解：由题意得AB＝10千米，BC＝6千米，AD＝BD，BC⊥AC，∴AC＝AB2－BC2＝102－62＝8(千米)．设AD＝BD＝x千米，则CD＝AC－AD＝(8－x)千米，在Rt△BCD中，BC2＋CD2＝BD2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝25 4.答：小渝家A到见面地点D的距离为254千米.23．解：(1)由题意可知A，B两点间的距离为（2＋3）2＋（4＋8）2＝13.(2)由题意可知，直线MN平行于y轴，∴M，N两点之间的距离为4－(－1)＝5.(3)△DEF是等腰三角形．理由如下：DE＝（－2－1）2＋（2－6）2＝5，EF＝（4＋2）2＋（2－2）2＝6，DF＝（4－1）2＋（2－6）2＝5，∴DE＝DF. ∴△DEF是等腰三角形．24．(1)证明：在△BCD和△FCE中，⎩⎨⎧BC ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE (SAS)． ∴∠DBC ＝∠EFC . ∴BD ∥EF . ∵AF ⊥EF ， ∴BD ⊥AF .(2)解：由题意补全图形如图：CD ＝CH .证明：延长BC 到F ，使CF ＝BC ，连接AF ，EF ， ∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BF . 又∵BC ＝CF ，∴AB ＝AF .由(1)可知BD ∥EF ，△BCD ≌△FCE ，则BD ＝EF ， ∵AB 2＝AE 2＋BD 2， ∴AF 2＝AE 2＋EF 2. ∴∠AEF ＝90°. ∴AE ⊥EF . ∴BD ⊥AE .∴∠DHE ＝90°. 又∵CD ＝CE ， ∴CH ＝CD .。
人教版数学八年级下册 第十七章 勾股定理 单元测试卷(含答案解析)
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理单元测试卷一、单选题（共10题；共20分）1.下列说法：①无理数分为正无理数，零，负无理数；②-4是16的平方根；③如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；④任何实数都有立方根，其中正确的有（）A. 4B. 3C. 2D. 12.若一个直角三角形的三边分别为a、b、c，a2＝144，b2＝25，则c2＝（）A. 169B. 119C. 169或119D. 13或253.如图，∠B＝∠ACD＝90°；AD=13；CD=12；BC=3，则AB的长为（）A. 4B. 5C. 8D. 104.下列各组数是勾股数的是（）A. 12、15、18B. 6、8、12C. 4、5、6D. 7、24、255.一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处．若M，N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 90°6.如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点处，则点表示的数是（）A. B. C. D.7.图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角∠COD=60°，晾衣臂0A=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=5分米，HO=FO=4分米。
当∠AOC=90°，且OB∥CD时，线段OG与OE的长分别为( )A. 3和7B. 3和C. 3和2+D. 和2+8.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯内壁，离杯上沿2cm与蜂蜜正相对的点A处，则蚂蚁从内壁A处到达内壁B处的最短距离为（）A. 13cmB. cmC. 2 cmD. 20cm9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，BC=2，AD⊥BC于D，点F是AB的中点，点E在AD边上，则BE+EF的最小值是( )A. 1B.C. 2D.10.如图，小江同学把三角尺含有60°角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺(含有45°角)的孔洞中。
新人教版八年级下册数学各章专项训练试题第17章 勾股定理(含答案)
第17章勾股定理专项训练专训1.巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．用计算法求平面中最短问题1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．(第1题)2．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C 坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：(1)求A，C之间的距离．(参考数据21≈4.6)(2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)(第2题)用平移法求平面中最短问题3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬( )A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm(第3题)(第4题)4．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________．用对称法求平面中最短问题5．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短，求EP＋BP的最短长度．(第5题)6．高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B 两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．(第6题)用展开法求立体图形中最短问题类型1 圆柱中的最短问题(第7题)7．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．类型2 圆锥中的最短问题8．已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1)此图形的名称为________．(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？2·1·c·n·j·y(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．(第8题)类型3 正方体中的最短问题9．如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．(第9题)类型4 长方体中的最短问题10．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程．(第10题)专训2.巧用勾股定理解折叠问题名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律．利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x ，将此直角三角形的三边长用数或含有x 的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程求出x ；(4)进行相关计算解决问题．巧用全等法求折叠中线段的长1．(中考·泰安)如图①是一直角三角形纸片，∠A ＝30°，BC ＝4 cm ，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C ′处，折痕为BD ，如图②，再将图②沿DE 折叠，使点A 落在DC ′的延长线上的点A ′处，如图③，则折痕DE 的长为( )(第1题) A.83cm B ．2 3 cm C ．2 2 cm D ．3 cm巧用对称法求折叠中图形的面积2．如图所示，将长方形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，求△BED 的面积．(第2题)巧用方程思想求折叠中线段的长3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．(第3题)巧用折叠探究线段之间的数量关系4．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC 于点F，连接CE.(1)求证：AE＝AF＝CE＝CF；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．(第4题)专训3.利用勾股定理解题的7种常见题型名师点金：勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾股定理可以解与直角三角形有关的计算问题，证明含有平方关系的几何问题，作长为n(n为正整数)的线段，解决实际应用问题及专训一、专训二中的最短问题、折叠问题等，在解决过程中往往利用勾股定理列方程(组)，有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化斜为直来解决问题．利用勾股定理求线段长1．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．(第1题)利用勾股定理作长为n的线段2．已知线段a，作长为13a的线段时，只要分别以长为和的线段为直角边作直角三角形，则这个直角三角形的斜边长就为13a.利用勾股定理证明线段相等3．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC.(第3题)利用勾股定理证明线段之间的平方关系4．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.求证：BP2＝BC2＋AP2.(第4题)利用勾股定理解非直角三角形问题5．如图，在△ABC 中，∠C ＝60°，AB ＝14，AC ＝10.求BC 的长．(第5题)利用勾股定理解实际生活中的应用6．在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h ⎝ ⎛⎭⎪⎫即503 m/s ，并在离该公路100 m 处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在点A 的北偏西60°方向上，点C 在点A 的北偏东45°方向上．另外一条公路在y 轴上，AO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15 s ，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速．(参考数据：3≈1.7)(第6题)利用勾股定理探究动点问题7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1 cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒．(1)求BC 边的长；(2)当△ABP 为直角三角形时，借助图①求t 的值；(3)当△ABP 为等腰三角形时，借助图②求t 的值．(第7题)答案专训11．4(第2题)2．解：(1)如图，过点C 作AB 的垂线，交AB 的延长线于点E.∵∠ABC ＝120°，∴∠BCE ＝30°.在Rt △CBE 中，∵BC ＝20 km ，∴BE ＝10 km.由勾股定理可得CE ＝10 3 km.在Rt △ACE 中，∵AC2＝AE2＋CE2＝(AB ＋BE)2＋CE2＝8 100＋300＝8 400， ∴AC ＝2021≈20×4.6＝92(km)．(2)选择乘“武黄城际列车”．理由如下：乘客车需时间t1＝8060＝113(h)，乘“武黄城际列车”需时间t2≈92180＋2040＝1190(h)． ∵113>1190，∴选择乘“武黄城际列车”．(第3题)3．C 点拨：将台阶面展开，连接AB ，如图，线段AB 即为壁虎所爬的最短路线．因为BC ＝30×3＋10×3＝120(cm)，AC ＝50 cm ，在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝16 900，所以AB ＝130 cm.所以壁虎至少爬行130 cm.5．解：如图，连接BD 交AC 于O ，连接ED 与AC 交于点P ，连接BP.(第5题)易知BD ⊥AC ，且BO ＝OD ，∴BP ＝PD ，则BP ＋EP ＝ED ，此时最短．∵AE ＝3，AD ＝1＋3＝4，由勾股定理得ED2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25＝52，∴ED ＝BP ＋EP ＝5.6．解：如图，作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，则点P 即为所建的出口．此时A 、B 两城镇到出口P 的距离之和最小，最短距离为AC 的长．作AD ⊥BB ′于点D ，在Rt △ADC 中，AD ＝A ′B ′＝8 km ，DC ＝6 km.∴AC ＝AD2＋DC2＝10 km ，∴这个最短距离为10 km.(第6题)7．2 2 点拨：将圆柱体的侧面沿AD 剪开并铺平得长方形AA ′D ′D ，连接AC ，如图．线段AC 就是小虫爬行的最短路线．根据题意得AB ＝2π×2π×12＝2.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝22＋22＝8，∴AC ＝8＝2 2.(第7题)8．解：(1)圆锥 (2)扇形(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC 为蜗牛爬行的最短路线．(4)在Rt △ASC 中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125，∴AC ＝125＝5 5.故蜗牛爬行的最短路程为5 5. (第8题)(第9题)9．解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC ′1和AC1.(2)如图，AC ′1＝42＋（4＋4）2＝4 5. AC1＝（4＋4）2＋42＝4 5.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是45. 10．解：分为三种情况：(1)如图①，连接EC ，在Rt △EBC 中，EB ＝12＋8＝20(cm)，BC ＝12×30＝15(cm)． 由勾股定理，得EC ＝202＋152＝25(cm)．(2)如图②，连接EC.根据勾股定理同理可求CE ＝673 cm>25 cm. (3)如图③，连接EC.根据勾股定理同理可求CE ＝122＋（30＋8＋15）2＝ 2 953(cm)>25 cm. 综上可知，小虫爬行的最短路程是25 cm.(第10题)专训21．A2．解：由题意易知AD ∥BC ，∴∠2＝∠3.∵△BC ′D 与△BCD 关于直线BD 对称，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB ＝ED.设EB ＝x ，则ED ＝x ，AE ＝AD －ED ＝8－x.在Rt △ABE 中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2.∴x ＝5.∴DE ＝5.∴S △BED ＝12DE ·AB ＝12×5×4＝10. 解题策略：解决此题的关键是证得ED ＝EB ，然后在Rt △ABE 中，由BE2＝AB2＋AE2，利用勾股定理列出方程即可求解．2-1-c-n-j-y3．(1)证明：在正方形ABCD 中，AD ＝AB ，∠D ＝∠B ＝90°.∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，∴AD ＝AF ，DE ＝EF ，∠D ＝∠AFE ＝90°.∴AB ＝AF ，∠B ＝∠AFG ＝90°.又∵AG ＝AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG(HL)．(2)解：∵△ABG ≌△AFG ，∴BG ＝FG.设BG ＝FG ＝x ，则GC ＝6－x ，∵E 为CD 的中点，∴CE ＝DE ＝EF ＝3，∴EG ＝3＋x.∴在Rt △CEG 中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x ＝2.∴BG ＝2.4．(1)证明：由题意知，AF ＝CF ，AE ＝CE ，∠AFE ＝∠CFE ，又四边形ABCD 是长方形，故AD ∥BC ，∴∠AEF ＝∠CFE.∴∠AFE ＝∠AEF.∴AE ＝AF ＝EC ＝CF.(2)解：由题意知，AE ＝EC ＝a ，ED ＝b ，DC ＝c ，由∠D ＝90°知，ED2＋DC2＝CE2，即b2＋c2＝a2.专训3(第1题)1．解：如图，连接BD.∵等腰直角三角形ABC 中，点D 为AC 边的中点，∴BD ⊥AC ，BD 平分∠ABC(等腰三角形三线合一)，∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，又易知∠C ＝45°， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠C.∴BD ＝CD.∵DE ⊥DF ，BD ⊥AC ，∴∠FDC ＋∠BDF ＝∠EDB ＋∠BDF.∴∠FDC ＝∠EDB.在△EDB 与△FDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠C ，BD ＝CD ，∠EDB ＝∠FDC ，∴△EDB ≌△FDC(ASA)，∴BE ＝FC ＝3.∴AB ＝7，则BC ＝7.∴BF ＝4.在Rt △EBF 中，EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝25，∴EF ＝5.2．2a ；3a3．证明：∵CD ⊥AD ，∴∠ADC ＝90°，即△ADC 是直角三角形．由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.又∵AD2＝2AB2－CD2，∴AD2＋CD2＝2AB2.∴AC2＝2AB2.∵∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋BC2＝2AB2，故BC2＝AB2，即AB＝BC.方法总结：当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：①找出图中证明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三边长的平方关系；③联系已知，等量代换，求之即可．(第4题)4．证明：如图，连接BM.∵PM⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形．∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.同理可得BC2＋CM2＝BM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.∴BP2＝BC2＋AP2.(第5题)5．思路导引：过点A 作AD ⊥BC 于D ，图中出现两个直角三角形——Rt △ACD 和Rt △ABD ，这两个直角三角形有一条公共边AD ，借助这条公共边可建立起两个直角三角形之间的联系．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D.∴∠ADC ＝90°.又∵∠C ＝60°，∴∠CAD ＝90°－∠C ＝30°，∴CD ＝12AC ＝5. ∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC2－CD2＝102－52＝5 3. ∴在Rt △ABD 中，BD ＝AB2－AD2＝11.∴BC ＝BD ＋CD ＝11＋5＝16.方法总结：利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合条件，采用推理或列方程的方法解决问题．【来源：6．思路导引：(1)要求点B 和点C 的坐标，只要分别求出OB 和OC 的长即可．(2)由(1)可知BC 的长度，进而利用速度公式求得汽车在这段限速路上的速度，并与503比较即可． 解：(1)在Rt △AOB 中，∵∠BAO ＝60°，∴∠ABO ＝30°，∴OA ＝12AB. ∵OA ＝100 m ，∴AB ＝200 m.由勾股定理，得OB ＝AB2－OA2＝2002－1002＝1003(m)．在Rt △AOC 中，∵∠CAO ＝45°，∴∠OCA ＝∠OAC ＝45°.∴OC ＝OA ＝100 m ．∴B(－1003，0)，C(100，0)． (2)∵BC ＝BO ＋CO ＝(1003＋100)m ，1003＋10015≈18>503， ∴这辆汽车超速了．7．解：(1)在Rt △ABC 中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，∴BC ＝4 cm.(2)由题意知BP ＝t cm ，①如图①，当∠APB 为直角时，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ，即t ＝4；②如图②，当∠BAP 为直角时，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ，在Rt △ACP 中，AP2＝32＋(t －4)2，在Rt △BAP 中，AB2＋AP2＝BP2，即52＋[32＋(t －4)2]＝t2，解得t ＝254. 故当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或t ＝254.(第7题(2))(3)①如图①，当BP ＝AB 时，t ＝5；②如图②，当AB ＝AP 时，BP ＝2BC ＝8 cm ，t ＝8；(第7题(3))③如图③，当BP ＝AP 时，AP ＝BP ＝t cm ，CP ＝|t －4|cm ，AC ＝3 cm ，在Rt △ACP 中，AP2＝AC2＋CP2，所以t2＝32＋(t －4)2，解得t ＝258. 综上所述：当△ABP 为等腰三角形时，t ＝5或t ＝8或t ＝258.第17章 勾股定理 专项训练专训1.证垂直在解题中的应用名师点金：证垂直的方法：(1)在同一平面内，垂直于两条平行线中的一条直线；(2)等腰三角形中“三线合一”；(3)勾股定理的逆定理：在几何中，我们常常通过证垂直，再利用垂直的性质来解各相关问题．利用三边的数量关系说明直角1．如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，且AB ＝10，BD ＝6，AD ＝8，AC ＝17，求CD 的长．(第1题)利用转化为三角形法构造直角三角形2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝5，CD＝5，AD＝4，求S四边形ABCD.(第2题)利用倍长中线法构造直角三角形3．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，求证：AB⊥AD.(第3题)利用化分散为集中法构造直角三角形4．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连接AD.(1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数；(2)如图②，当α＝90°时，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求∠BPC的度数．(第4题)利用“三线合一”法构造直角三角形5．如图①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC 上的点，且DM⊥DN.(1)求证：CM＋CN＝2BD；(2)如图②，若M，N分别在AC，CB的延长线上，探究CM，CN，BD之间的数量关系．(第5题)专训2.全章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习了勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系．它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长的“数”的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之一．本章的考点可概括为：两个概念，两个定理，两个应用．两个概念a．互逆命题1．有下列命题：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等的角都是直角；⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等．(1)③和⑤是互逆命题吗？(2)你能说出③和⑤的逆命题各是什么吗？(3)请指出哪几个命题是互逆命题．b．互逆定理2．下列四个定理中，存在逆定理的有( )个．(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形；(2)全等三角形的对应角相等；(3)同位角相等，两直线平行．A．0 B．1 C．2 D．33．写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理．(1)全等三角形的对应边相等；(2)同角的补角相等．两个定理a．勾股定理4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD.若AB＝8，BD＝5，求CD的长．(第4题)b．勾股定理的逆定理5．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状(按角分类)．(1)请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为________三角形．(2)小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2＋b2>c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2<c2时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a＝2，b＝4时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？2-1-c-n-j-y两个应用a．勾股定理的应用6．如图，在公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处爆破．已知C与公路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上的另一停靠站B的距离为400 m，且CA⊥CB.为了安全起见，爆破点C周围半径250 m范围内(包括250 m)不得有人进入．问：在进行爆破时，公路AB 段是否有危险？需要暂时封锁吗？(第6题)b．勾股定理逆定理的应用7．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5 n mile的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行40 n mile，乙巡逻艇每小时航行30 n mile，航向为北偏西37°，问：甲巡逻艇的航向？(第7题)答案专训11．解：∵AD2＋BD2＝100＝AB2，∴△ABD为直角三角形，且∠ADB＝90°.在Rt△ACD中，CD2＋AD2＝AC2，∴CD ＝AC2－AD2＝172－82＝15.2．解：连接AC.在Rt △ACB 中，AB2＋BC2＝AC2，∴AC ＝3，∴AC2＋AD2＝CD2.∴△ACD 为直角三角形，且∠CAD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝12×2×5＋12×3×4＝6＋ 5.(第3题)3．证明：如图，延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接CE ，BE.∵D 为BC 的中点，∴CD ＝BD.又∵AD ＝DE ，∠ADC ＝∠BDE ，∴△ADC ≌△EDB ，∴BE ＝AC ＝13.在△ABE 中，AE ＝2AD ＝12，∴AE2＋AB2＝122＋52＝169.又∵BE2＝132＝169，∴AE2＋AB2＝BE2，∴△ABE 是直角三角形，且∠BAE ＝90°，即AB ⊥AD.点拨：本题运用倍长中线法构造全等三角形证明线段相等，再利用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直．4．解：(1)如图①，连接DP ，易知△DCP 为等边三角形，易证得△CPB ≌△CDA ，∴∠BPC ＝∠ADC，∠CDP＝60°，AD＝6，DP＝8，∴AD2＋DP2＝AP2，∴∠ADP＝90°，∴∠ADC＝150°，∴∠BPC＝150°.(第4题)(2)如图②，连接DP，易得△DCP为等腰直角三角形，易证得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，∠CDP＝45°，AD＝1，DP＝2CD＝22，∴AD2＋DP2＝AP2，∴∠ADP＝90°，∴∠ADC＝135°，∴∠BPC＝135°.5．(1)证明：如图①，连接CD，∵DM⊥DN，∴∠MDC＋∠CDN＝90°.∵∠ACB＝90°，AC＝CB，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CDN＋∠NDB＝90°.∴∠MDC＝∠NDB.∵CD⊥AB，∠BCD＝45°，∴CD＝BD.在△CMD和△BND中，∵∠MDC＝∠NDB，∠MCD＝∠NBD，CD＝BD，∴△CMD≌△BND，∴CM＝BN.∴CM＋CN ＝BN＋CN＝BC.在Rt△CBD中，∠B＝45°，∠CDB＝90°，∴BC＝2BD.∴CM＋CN＝2BD.(2)解：CN－CM＝2BD，如图②，连接CD，证法同(1)．(第5题)专训二1．解：(1)由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结论得到的，所以③和⑤不是互逆命题．(2)能．③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0.⑤的逆命题是如果ab>0，那么a>0，b>0.(3)①与④，②与⑥分别是互逆命题．2．C3．解：(1)逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等．原命题与其逆命题都是真命题且都是定理，所以它们是互逆定理．2·1·c·n·j·y(2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．原命题是真命题，但其逆命题是假命题，所以它们不是互逆定理．4．解：设CD＝x，在Rt△ABC中，有AC2＋(CD＋BD)2＝AB2，整理，得AC2＝AB2－(CD＋BD)2＝64－(x＋5)2.①在Rt△ADC中，有AC2＋CD2＝AD2，整理，得AC2＝AD2－CD2＝25－x2.②由①②两式，得64－(x＋5)2＝25－x2，解得x＝1.4，即CD的长是1.4.点拨：勾股定理反映了直角三角形三边长之间的数量关系，利用勾股定理列方程思路清晰、直观易懂．5．解：(1)锐角；钝角(2)a2＋b2＝22＋42＝20，∵c为最长边，2＋4＝6，∴4≤c<6.①由a2＋b2>c2，得c2<20，0<c<25，∴当4≤c＜25时，这个三角形是锐角三角形；②由a2＋b2＝c2，得c2＝20，c＝25，∴当c＝25时，这个三角形是直角三角形；③由a2＋b2<c2，得c2>20，c>25，∴当25<c<6时，这个三角形是钝角三角形．6．思路导引：要判断公路AB 段是否需要暂时封锁，只需要判断点C 到公路l 的距离是否大于250 m ．若大于250 m ，则不需要暂时封锁；若小于或等于250 m ，则需要暂时封锁． 解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D.在Rt △ABC 中，因为BC2＋AC2＝AB2，BC ＝400 m ，AC ＝300 m ，(第6题)所以AB2＝4002＋3002＝5002，所以AB ＝500 m.因为SRt △ABC ＝12AB ·CD ＝12BC ·AC ， 所以500×CD ＝400×300，所以CD ＝240 m.因为240<250，所以公路AB 段有危险，需要暂时封锁．7．解：AC ＝40×0.1＝4(n mile)，BC ＝30×0.1＝3(n mile)．因为AB ＝5 n mile ，所以AB2＝BC2＋AC2，所以∠ACB ＝90°.因为∠CBA ＝90°－37°＝53°，所以∠CAB ＝37°，所以甲巡逻艇的航向为北偏东53°.。
2022春八年级数学下册 第十七章 勾股定理17.1 勾股定理第1课时勾股定理习题课件新人教版
∵S△ABC＝3×3－12×1×2－12×1×3－12×2×3＝72，
∴12AC·BD＝72，∴ 13·BD＝7，
∴BD＝7
13 13 .
【答案】D
*6. (2020·孝感)如图①，四个全等的直角三角形围成一个大正方 形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周 髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”. 在此图形中连接 四条线段得到如图②的图案，记阴影部分的面积为 S1，空白 部分的面积为 S2，大正方形的边长为 m，小正方形的边长为 n， 若 S1＝S2，则mn 的值为________.
13. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20 m， BC＝15 m，CD＝7 m，求四边形 ABCD 的面积.
【点拨】将不规则四边形分割成特殊的三角形，再 利用特殊的三角形性质求面积．
解：如图，连接AC. 因为∠B＝∠D＝90°， 所以△ABC与△ACD都是直角三角形．
在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， 得 AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625，则 AC＝25 m. 在 Rt△ACD 中， 根据勾股定理，得 AD2＝AC2－CD2＝252－72＝576，则 AD＝24 m. 故 S 四边形 ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝12AB·BC＋12AD·CD＝12×20×15＋12 ×24×7＝234(m2)．
(A) A. 18
B. 9
C. 6
D. 无法计算
3. (中考·滨州)在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为( A )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为 AB 边上的高， CE＝BE，AD＝2，CE＝5，则 CD 等于( C )
八年级数学下册《第十七章 勾股定理》 单元测试卷及答案(人教版)
八年级数学下册《第十七章勾股定理》单元测试卷及答案(人教版)一、单选题1．我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深______尺，葭长_____尺.解：根据题意，设水深OB＝x尺，则葭长OA'＝（x+1）尺.可列方程正确的是（）A．x2+52 ＝（x+1）2B．x2+52 ＝（x﹣1）2C．x2+（x+1）2 ＝102D．x2+（x﹣1）2＝522．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E为BC边上两点，∠DAE=45°，过A 点作AF⊥AE，且AF=AE，连接DF、BF.下列结论：①△ABF≌△ACE，②AD平分∠EDF；③若BD=4，CE=3，则AB=6√2；④若AB=BE，S△ABD=12S△ADE，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．在△ABC中，AB=10，AC=17，BC边上的高AD=8，则△ABC的面积为（）A．72B．84C．36或84D．72或844．如图，在△ABC中，△C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（）A．8B．7C．6D．55．如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为8m，则BB′的长为（）A．1m B．2m C．3m D．4m6．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1B．2020C．2021D．20227．如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的边长分别为4和6，则正方形B的面积为（）A．26B．49C．52D．648．要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（）A．(3√5+7)m B．(5√3+7)m C．(7√5+3)m D．(3√7+5)m9．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（）A．3米B．4米C．5米D．7米10．如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，将对角线BC 绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是（）A．√2B．√2+1C．1﹣√2D．﹣√2二、填空题11．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为AB中点，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，BE=2，CD=5，则DE=．12．如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，以AB为边作等边三角形ABD，使点D与点C在AB同侧，连接CD，则CD=．13．如图，已知Rt△ABC，△C=90°，BD是角平分线，BD=5，BC=4，则D点到AB的距离是。
人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》章末综合测试题(含答案)
人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》章末综合测试题一．选择题（共10小题，满分30分）1．判断下列各组数能作为直角三角形三边的是（）A．3，4，6B．4，5，7C．2，3，D．7，6，2．已知三角形的三边分别为6，8，10，则最长边上的高等于（）A．10B．14C．4.8D．2.43．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（）A．6B．7C．8D．94．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是9、16、1、9，则最大正方形E的边长是（）A．35B．C．70D．无法确定5．下面的三角形中：①△ABC中，∠C＝∠A﹣∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③△ABC中，a：b：c＝5：12：13；④△ABC中，三边长分别为，其中，直角三角形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，分别以数轴的单位长度1和2为直角边长作Rt△OBC，然后以点B为圆心，线段BC的长为半径画弧，交数轴于点A，那么点A所表示的数为（）A．B．1+C．+2D．3.27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长（）A．2B．3C．4D．58．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿直插到离岸边6米远的水底，竹竿高出水面2米，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（）A．7m B．8m C．9m D．10m9．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和3（m＜3），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A．m2+6m+9＝0B．m2﹣6m+9＝0C．m2+6m﹣9＝0D．m2﹣6m﹣9＝0 10．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（）A．或B．或12或4C．或或12D．或12或4二．填空题（共6小题，满分18分）11．若一个直角三角形的两直角边长分别是1、2，则第三边长为．12．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．13．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为．14．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，分别以点A、点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长为．15．如图，斜靠在一面墙上的一根竹竿，它的顶端A距离地面的距离AO为4m，底端B远离墙的距离BO为3m，当它的顶端A下滑2m时，底端B在地面上水平滑行的距离是m．16．如图①，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若直角三角形一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”设AB＝a，则图中阴影部分面积为（用含a的代数式表示）三．解答题（共8小题，满分52分）17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别表示∠A、∠B、∠C的对边．（1）如图1，已知：a＝7，c＝25，求b；（2）如图2，已知：c＝25，a：b＝4：3，求a、b．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝12，BC＝5，求BD的长．19．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）△ABC的周长为；（2）∠ABC＝度；（3）△ABC的面积为．20．某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行20nmile，“海天”号每小时航行15nmile，它们离开港口两个小时后，“远航”号到达A处，“海天”号到达B处，A，B相距50nmile，且知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？21．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，请算出旗杆的高度．22．为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC＝24m，（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？23．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．（1）如图1，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿CB匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇．设点P的速度为xcm/s．则点Q的速度可以表示为cm/s（用含x的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，两点在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持原速度不变，沿B→A→C的路径匀速运动，如图2．两点在AC边上点D处再次相遇后停止运动．又知AD＝1cm．求点P原来的速度x的值．24．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）AC＝cm；（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形（直接写出结果）？参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：A、∵32+42≠62，∴不能作为直角三角形三边；B、∵42+52≠72，∴不能作为直角三角形三边；C、∵22+（）2≠32，∴不能作为直角三角形三边；D、∵62+（）2＝72，∴能作为直角三角形三边．故选：D．2．【解答】解：∵三角形的三边长分别为6，8，10，符合勾股定理的逆定理62+82＝102，∴此三角形为直角三角形，则10为直角三角形的斜边，设三角形最长边上的高是h，根据三角形的面积公式得：×6×8＝×10h，解得h＝4.8．故选：C．3．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，故选：C．4．【解答】解：正方形A、B、C、D的面积分别是9、16、1、9，由勾股定理得，正方形G的面积为：9+16＝25，正方形H的面积为：1+9＝10，则正方形E的面积为：25+10＝35，最大正方形E的边长＝，故选：B．5．【解答】解：①△ABC中，∠C＝∠A﹣∠B，即∠C+∠B＝∠A，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，故①正确；②△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故②正确；③∵△ABC中，a：b：c＝5：12：13，∴a2+b2＝c2，即△ABC是直角三角形，故③正确；④∵△ABC中，三边长分别为，∴（）2+（）2≠（）2，即△ABC不是直角三角形，故④错误；即正确的个数是3个，故选：C．6．【解答】解：∵Rt△OBC中，OC＝2，OB＝1，∴BC＝＝，∵以点B为圆心，线段BC的长为半径画弧，交数轴于点A，∴BA＝BC＝，∴OA＝1+，∴点A所表示的数为1+，故选：B．7．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵AE为△ABC的角平分线，ED⊥AB，∴AD＝AC＝6，∴BD＝10﹣6＝4，故选：C．8．【解答】解：在直角△ABC中，AC＝6m．AB﹣BC＝2m．设河深BC＝xm，则AB＝2+x（m）．根据勾股定理得出：∵AC2+BC2＝AB2∴62+x2＝（x+2）2解得：x＝8．即河水的深度为8m，故选：B．9．【解答】解：如图，m2+m2＝（3﹣m）2，2m2＝32﹣6m+m2，m2+6m﹣9＝0．故选：C．10．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，∴BC＝12cm．①当BP＝BA＝13时，∴t＝s．②当AB＝AP时，BP＝2BC＝24cm，∴t＝12s．③当PB＝P A时，PB＝P A＝t cm，CP＝（12﹣t）cm，AC＝5 cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，∴（t）2＝52+（12﹣t）2，解得t＝s．综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝s或12s或s，故选：C．二．填空题（共6小题）11．【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别是1和2，∴斜边＝＝，故答案为．12．【解答】解：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，由勾股定理得：AC＝＝4，所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+×π×（）2+×3×4﹣×π×（）2＝6．故答案为：6．13．【解答】解：由题意得，OB＝6，OA＝8，∴AB＝＝10，则AC＝10，∴OC＝AC﹣OA＝2，∴点C坐标为（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）．14．【解答】解：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，由作图可知：MN是AB的垂直平分线，∴O是AB的中点，∴CO＝AB＝，故答案为：．15．【解答】解：∵∠C＝90°，AO＝4m，BO＝5m，∴AB＝＝5m；∵梯子的顶端A下滑2m，∴OA′＝4﹣2＝2m，∴OB′＝＝＝（m），∴BB′＝B′C﹣BC＝﹣3（m）．∴底端B在地面上水平滑行的距离是（﹣3）m．16．【解答】解：如图，设AC＝x，则BC＝AD＝a+x，∵∠ADC＝30°，∴AD＝AC，∴a+x＝x，∴x＝，∴AC＝，∴图中阴影部分面积＝4×AC2＝4××（）2＝（2+）a2．故答案为：（2+）a2．三．解答题（共8小题）17．【解答】解：（1）b＝，（2）设a＝4x，b＝3x，可得：c＝＝5x＝25，解得：x＝5，所以a＝20，b＝15．18．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13，∵AB•CD＝AC•BC∴CD＝＝，∴BD＝＝．19．【解答】解：（1）AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝5，△ABC的周长＝2++5＝3+5；（2）∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°．（3）△ABC的面积为2×÷2＝5．故答案为：3+5；90；5．20．【解答】解：如图所示：由题意得：P A＝2×20＝40（nmile），PB＝2×15＝30（nmile），AB＝50nmile，∵402+302＝502，∴P A2+PB2＝AB2，∴△P AB是直角三角形，∴∠APB＝90°，∵“远航”号沿东北方向航行，∴“海天”号沿西北方向或东南方向航行．21．【解答】解：设旗杆的高度为x米，根据勾股定理，得x2+92＝（x+3）2，解得：x＝12；答：旗杆的高度为12米22．【解答】解：（1）连接AC，在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝62+82＝102，在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，而102+242＝262，即AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD＝•AC•BC﹣AD•CD，＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．（2）需费用96×200＝19200（元）．23．【解答】解解：（1）设点Q的速度为ycm/s，由题意得3÷x＝4÷y，∴y＝x，故答案为：x；（2）AC＝＝5，CD＝5﹣1＝4，在B点处首次相遇后，点P的运动速度为（x+2）cm/s，由题意得＝，解得：x＝（cm/s），经检验x＝是原方程的根，答：点P原来的速度为cm/s．24．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，∴AC＝cm，故答案为：3；（2）如图，过P作PD⊥AB于D，∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，∴PD＝PC，BC＝BD＝4，∴AD＝5﹣4＝1，设PD＝PC＝y，则AP＝3﹣y，在Rt△ADP中，AD2+PD2＝AP2，∴12+y2＝（3﹣y）2，解得y＝，∴CP＝，∴t＝；当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，此时，t＝；综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为或；（3）分四种情况：①如图，当P在AB上且AP＝CP时，∠A＝∠ACP，而∠A+∠B＝90°，∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠B＝∠BCP，∴CP＝BP，∴P是AB的中点，即AP＝AB＝，∴t＝；②如图，当P在AB上且AP＝CA＝3时，t＝；③如图，当P在AB上且AC＝PC时，过C作CD⊥AB于D，则CD＝，∴Rt△ACD中，AD＝，∴AP＝2AD＝，∴t＝；④如图，当P在BC上且AC＝PC＝3时，BP＝4﹣3＝1，∴t＝＝3．综上所述，当t＝或或或3s时，△ACP为等腰三角形．。
人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》单元同步检测试题(含答案)
第十七章《勾股定理》单元检测题题号一二三总分21 22 23 24 25 26 27 28分数一、选择题：(每题3分，共30分)1．下列各组数中，是勾股数的是（）A．9，40，41 B．2，2，2 C．5，4，41D．3，2，52．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25C．斜边长为25 D．三角形的面积为203．在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（）A．6，8，10 B．1，2，3C．2，3，5D．4，5，74．如图，在数轴上点A，B所表示的数分别为-1，1，CB⊥AB，BC=1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（）A．5B．51-C．2D．25-5．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．4 B．3 C．2 D．56. 如图，在正方形网格中，每个正方形的边长为1，则在△ABC 中，边长为无理数的边数是( )A ．0 B.1 C ．2 D.37．如图，数轴上的点A 表示的数是1，OB ⊥OA ，垂足为O ，且BO=1，以点A 为圆心，AB 为半径画弧交数轴于点C ，则C 点表示的数为（ ）A ．﹣0.4B ．﹣2C ．1﹣2D ．2﹣18．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON ＝30°．公路PQ 上A 处距O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以20米/秒的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为（ ）A ．16秒B ．18秒C ．20秒D ．22秒9．三角形的三边长为22()2a b c ab +=+，则这个三角形是（ ） A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的一条角平分线．若AC ＝6，AB ＝10，则点D 到AB 边的距离为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．4二、填空题：（每题3分，共30分）11．如图，O 为数轴原点，数轴上点A 表示的数是3，AB ⊥OA ，线段AB 长为2，以O 为圆心，OB 为半径画弧交数轴于点C ．则数轴上表示点C 的数为_________.12．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S 2，则S 1＋S 2等_________．13．已知△ABC 的三边长分别为1，3，10，则△ABC 的面积为_____． 14．如图，已知Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，5AB =，12BC =，点D 在AC 上，ABD △是等腰三角形且AB BD ≠，则AD =__________．15.所谓的勾股数就是使等式222a b c +=成立的任何三个正整数.我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m ，n(m ＞n)，取a ＝22m n -，b ＝2mn ，c ＝22m n +，则a ，b ，c 就是一组勾股数.请你结合这种方法，写出85(三个数中最大)，84和________组成一组勾股数.16.如图，一架梯子AB 长2.5m ，顶端A 靠墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5m ，则梯子顶端A 下落了_______m.17.有一个棱长为1m且封闭的正方形体纸箱，一只蚂蚁沿纸箱表面从顶点A爬到顶点B，那么这只蚂蚁爬行的最短路程是 m．18.如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=3,P是以CD为直径半圆上的一个动点,连接BP,则BP最大值是．19．如图，正方形的边长均为1，可以计算出，图（1）中正方形的对角线长为2；图（2）中长方形的对角线长为5；图（3）中长方形对角线的长为10，那么第n个长方形的对角线的长为_____．20．有一块田地的形状和尺寸如图，则它的面积为_________.三、解答题：（共60分）21．（10分）A，B两个居民楼在公路同侧，它们离公路的距离分别为AE＝200米，BF ＝70米，它们的水平距离EF ＝390米．现欲在公路旁建一个超市P ，使超市到两居民楼的距离相等，则超市应建何处？为什么？22．（10分）已知某实验中学有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，学校计划在空地上种植草坪，经测量∠A=90°，AC=3m ，BD=12m ，CB=13m ，DA=4m ，若每平方米草坪需要300元，间学校需要投入多少资金买草坪?23．（10分）如图，ABC 中，10,8,6AB cm AC cm BC cm ===，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A C B A ---运动一周，设运动时间为t 秒()0t >．问：当t 为何值时，PA PB =？24. （10分）如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠QPN=30°,点A 处有一所中学,AP=160m.假设拖拉机行驶时,周围100m 以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到噪声影响？请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？25. （10分）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．26. （10分）如图,等边△ABC,其边长为1,D是BC中点,点E,F分别位于AB，AC边上,且∠EDF=120°．（1）直接写出DE与DF的数量关系；（2）若BE,DE,CF能围成一个三角形,求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形,直接给出结果即可）（3）思考：AE+AF的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由．参考答案一、选择题：1.A2.A3.D4.B5.A6.D7.C8.A9.C10.C二、填空题：11．13 12．213．3 214．5或13 215. 答案：1316.答案为：0.517.18.答案为：+2．1921n．20．96．三、解答题21．超市应建在距离E处150米的位置. 22．学校需要投入10800元买草坪23．t=258或19224.解：作AB⊥MN，垂足为B。
人教版八年级下册第17章《勾股定理》章末综合测试(带答案)
人教版八年级下册第17章《勾股定理》章末综合测试满分100分班级__________姓名__________成绩__________一．选择题（共10小题，30分）1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．4，5，6B．5，7，12C．3，5，D．1，，2．已知点A的坐标为（2，﹣1），则点A到原点的距离为（）A．3B．C．D．13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13B．26C．34D．474．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以1为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（）A．1B．﹣1C．1﹣D．5．若等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则底边上的高为（）A．6B．7C．9D．126．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．37．满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a：b：c＝1：2：3C．∠A＝∠B＝2∠C D．a＝1，b＝2，c＝8．下列说法正确的是（）A．一个三角形的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形B．三边长度分别为1，1，的三角形是直角三角形，且1，1，是组勾股数C．三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形D．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则另一边的长度一定是49．如图，一架云梯AB长为25米，顶端A靠在墙AC上，此时云梯底端B与墙角C距离为7米，云梯滑动后停在DE的位置上，测得AE长为4米，则云梯底端B在水平方向滑动了（）米A．4B．6C．8D．1010．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．4米B．5米C．6米D．7米二．填空题（共8小题，24分）11．如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式．12．已知直角坐标平面上点P（3，2）和Q（﹣1，5），那么PQ＝．13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝．14．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于．15．如图所示的网格是正方形网格，∠APB＝°．16．如图，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，以AB为直径的半圆过点C，再分别以BC、AC为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为．17．观察下列式子：当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a＝，b＝，c＝．18．现有两根长6分米和3分米的木条，小华想再找一根木条为老师制作一个直角三角形教具，则第三根木条的长度应该为分米．三．解答题（共8小题，46分）19．（5分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，求△ABC的面积．20．（5分）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝13，BD＝12，CD＝．（1）求AD的长；（2）求△ABC的周长．21．（5分）勾股定理是初中数学学习的重要定理之一，这个定理的验证方法有很多，你能验证它吗？请你根据所给图形选择一种方法画出验证勾股定理的方法并写出验证过程．22．（5分）如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD﹣DC＝1．求DC的长．23．（6分）平面直角坐标系中如果任意两点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则A、B两点之间的距离可表示为|AB|＝；在平面直角坐标系中．（1）若点C的坐标为（3，4），O为坐标原点，则C、O两点之间的距离为．（2）若点E（﹣2，3）、F（4，﹣5），求E、F两点之间的距离．24．（6分）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）25．（6分）如图，有一块等腰三角形草地，测得腰CA＝CB，AB＝6米，腰比底边上的高多1米，现在园艺师想更换一下草坪，已知每平方米草坪售价200元，请你帮园艺师计算一下全部更换草坪需要少资金？26．（8分）如图，已知∠MAN＝30°，点B在射线AM上，且AB＝6，点C在射线AN上．（1）若△ABC是直角三角形，求AC的长；（2）若△ABC是等腰三角形，则满足条件的C点有个；（3）设BC＝x，当△ABC唯一确定时，直接写出x的取值范围．参考答案一．选择题（共10小题）1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．4，5，6B．5，7，12C．3，5，D．1，，【解答】解：A、∵52+42≠62，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项错误；B、∵52+72≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵32+（）2≠52，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D、∵12+（）2＝（）2，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项正确；故选：D．2．已知点A的坐标为（2，﹣1），则点A到原点的距离为（）A．3B．C．D．1【解答】解：点A的坐标为（2，﹣1）到原点O的距离：OA＝＝．故选：C．3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13B．26C．34D．47【解答】解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝32+52＝34，同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝22+32＝13，∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝47，故选：D．4．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以1为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（）A．1B．﹣1C．1﹣D．【解答】解：∵正方形的边长为1，∴BC＝＝，∴AC＝，即|A﹣1|＝，故点A表示1﹣．故选：C．5．若等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则底边上的高为（）A．6B．7C．9D．12【解答】解：如图：AB＝AC＝13，BC＝10．△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC；∴BD＝DC＝BC＝5；Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5；由勾股定理，得：AD＝＝＝12．故选：D．6．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．3【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故选：D．7．满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a：b：c＝1：2：3C．∠A＝∠B＝2∠C D．a＝1，b＝2，c＝【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形；B、∵12+22≠32，∴△ABC不是直角三角形；C、∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝75°，∠C＝37.5°，∴△ABC不是直角三角形；D、∵12+（）2＝22，∴△ABC是直角三角形．故选：D．8．下列说法正确的是（）A．一个三角形的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形B．三边长度分别为1，1，的三角形是直角三角形，且1，1，是组勾股数C．三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形D．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则另一边的长度一定是4【解答】解：A、一个三角形的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形，正确，符合题意；B、因勾股数必须都是整数，故原命题错误，不符合题意；C、∵122+352≠362，∴三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形错误，不符合题意；D、在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则另一边的长度是4或，故错误，不符合题意，故选：A．9．如图，一架云梯AB长为25米，顶端A靠在墙AC上，此时云梯底端B与墙角C距离为7米，云梯滑动后停在DE的位置上，测得AE长为4米，则云梯底端B在水平方向滑动了（）米A．4B．6C．8D．10【解答】解：在直角△ABC中，已知AB＝25米，BC＝7米，∴AC＝＝＝24米，在直角△CDE中，已知CE＝CE+EA＝24米，DE＝AB＝25米，AE＝4米，∴CE＝AC﹣AE＝20米，∴CD＝＝＝15米，∴BD＝15﹣7＝8米故云梯底端B在水平方向滑动了8米，故选：C．10．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．4米B．5米C．6米D．7米【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝4米，故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，故选：D．二．填空题（共8小题）11．如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式c2＝a2+b2．【解答】解：依题意得：ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），整理，得c2＝a2+b2．故答案是：c2＝a2+b2．12．已知直角坐标平面上点P（3，2）和Q（﹣1，5），那么PQ＝5．【解答】解：∵P（3，2）和Q（﹣1，5），∴PQ＝，故答案为：513．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝9．【解答】解：设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，∴9x2+16x2＝152，解得：x＝3或﹣3（舍去），∴BC＝3x＝9．故答案为：9．14．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于．【解答】解：∵52+122＝132，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，设斜边上的高为h，则S△ABC＝×5×12＝×13h，解得：h＝，故答案为．15．如图所示的网格是正方形网格，∠APB＝135°．【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝45°，∴∠APB＝135°．故答案为：135．16．如图，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，以AB为直径的半圆过点C，再分别以BC、AC为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为30．【解答】解：∵52+122＝169＝132，∴△ABC是直角三角形，S阴影＝π（）2+π（）2﹣[π（）2﹣×5×12]＝30．故答案为：30．17．观察下列式子：当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1．【解答】解：∵当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…∴勾股数a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1．故答案为：2n，n2﹣1，n2+1．18．现有两根长6分米和3分米的木条，小华想再找一根木条为老师制作一个直角三角形教具，则第三根木条的长度应该为3或3分米．【解答】解：第三根木条的长度应该为或分米；故答案为：3或3．三．解答题（共8小题）19．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，求△ABC的面积．【解答】解：过点A作AD⊥BC交BC于点D，∵AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，∴BD＝CD＝5cm，AD⊥BC，由勾股定理得：AD＝＝12（cm），∴△ABC的面积＝×BC×AD＝×10×12＝60（cm2）．20．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝13，BD＝12，CD＝．（1）求AD的长；（2）求△ABC的周长．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AD＝＝5；（2）在Rt△ADC中，AC＝＝2，则△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+12++2＝25++2．21．勾股定理是初中数学学习的重要定理之一，这个定理的验证方法有很多，你能验证它吗？请你根据所给图形选择一种方法画出验证勾股定理的方法并写出验证过程．【解答】解：则由图形可知：（a+b）2﹣4×ab＝a2+b2+2ab﹣4×ab＝c2，整理得：a2+b2＝c2．答案不唯一．22．如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD ﹣DC＝1．求DC的长．【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示．∵AD＝AC，AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，DE＝CE．∵∠ABC＝45°，∴∠BAE＝45°，∴AE＝BE．在Rt△ABE中，AB＝4，∴AE2+BE2＝AB2，即BE2+BE2＝（4）2，∴BE＝4，∴BD+DC＝4．又∵BD﹣DC＝1，∴DC+1+DC＝4，∴DC＝2．23．平面直角坐标系中如果任意两点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则A、B两点之间的距离可表示为|AB|＝；在平面直角坐标系中．（1）若点C的坐标为（3，4），O为坐标原点，则C、O两点之间的距离为5．（2）若点E（﹣2，3）、F（4，﹣5），求E、F两点之间的距离．【解答】解：（1）∵O为原点，∴O坐标为（0，0），∵点C的坐标为（3，4），∴CO＝＝5，故答案为：5；（2）∵点E（﹣2，3）、F（4，﹣5），E、F两点之间的距离可表示为|EF|＝，∴EF＝＝＝10．24．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝15（米），∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣1×7＝10（米），∴AD＝＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米．25．如图，有一块等腰三角形草地，测得腰CA＝CB，AB＝6米，腰比底边上的高多1米，现在园艺师想更换一下草坪，已知每平方米草坪售价200元，请你帮园艺师计算一下全部更换草坪需要少资金？【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∵AC＝BC，∴AD＝AB＝3，∵腰比底边上的高多1米，∴AC＝CD+1，∵AC2＝AD2+CD2，∴（CD+1）2＝32+CD2，解得：CD＝4，∴S△ABC＝AB•CD＝×6×4＝12（m2），∴全部更换草坪需要12×200＝2400（元），答：全部更换草坪需要2400元资金．26．如图，已知∠MAN＝30°，点B在射线AM上，且AB＝6，点C在射线AN上．（1）若△ABC是直角三角形，求AC的长；（2）若△ABC是等腰三角形，则满足条件的C点有3个；（3）设BC＝x，当△ABC唯一确定时，直接写出x的取值范围．【解答】解：（1）当∠ABC＝90°时，∵∠A＝30°，∴BC＝，∴设BC＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中，由勾股定理得36+x2＝4x2，解得x＝2，x＝﹣2（舍去）．∴AC＝4，当∠ACB＝90°时，∵∠A＝30°∴BC＝，∴AC＝3．（2）如图3，当AC＝BC时，满足题意．如图4，当AC＝AB时，满足题意．如图3，当AB＝BC时，满足题意．故答案为：3．（3）当BC≥6或BC＝3时，△ABC唯一确定．即x＝3或x≥6．。
人教版八年级下册第十七章《勾股定理》章末过关测试卷(含答案)
人教版八年级下册第十七章《勾股定理》章末过关测试卷一．选择题（共10小题，满分30分）1．下列各组数据中，不是勾股数的是（）A．3，4，5B．7，24，25C．8，15，17D．5，6，92．已知点A的坐标为（2，﹣1），则点A到原点的距离为（）A．3B．C．D．13．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，则AC的长是（）A．3B．4C．3或D．4．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）A．AC＝1，BC＝，AB＝2B．AC：BC：AB＝3：4：5C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A：∠B：∠C＝3：4：55．如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（）A．2.8B．2C．2﹣1D．2+16．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m7．在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高，DC＝2，则BD等于（）A．2B．4C．6D．88．如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是（）A．13m B．17m C．18m D．25m9．意大利著名画家达•芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（）A．S1＝a2+b2+2ab B．S1＝a2+b2+abC．S2＝c2D．S2＝c2+ab10．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．设直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，且a：b＝4：3，则大正方形面积与小正方形面积之比为（）A．25：9B．25：1C．4：3D．16：9二．填空题（共6小题，满分18分）11．在平面直角坐标系中，点P（﹣4，3）到原点O的距离是．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝．13．如图，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动米．14．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．15．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．16．如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为cm．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（1）如图1，在如下6×6的正方形网格中（每个小正方形边长均为1），画出一个面积为17的正方形；（2）在如，2所示的数轴上找到表示的点A（保留画图痕迹）．18．如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，DA＝24m，求这块草地的面积．19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝10，BD＝8，∠ACD＝45°．（1）求线段AD的长；（2）求△ABC的周长．20．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝60°，AD＝4，CD＝10，求BD 的长．21．清明时节，某校八年级近300名师生前往山东曲阜、台儿庄两地，参加为期三天的研学旅行活动．途中在某服务区短暂停歇后，1号大巴车以80km/h的速度离开服务区向西北方向行驶，3号大巴车在同时同地以60km/h的速度向东北方向行驶，问：它们离开服务区0.5h后相距多远？22．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt △ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：A、32+42＝52，是勾股数；B、72+242＝252，是勾股数；C、82+152＝172，是勾股数；D、52+62≠92，不是勾股数．故选：D．2．【解答】解：点A的坐标为（2，﹣1）到原点O的距离：OA＝＝．故选：C．3．【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝＝．故选：D．4．【解答】解：A、∵12+（）2＝4，22＝4，∴12+（）2＝22，∴AC＝1，BC＝，AB＝2满足△ABC是直角三角形；B、∵32+42＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴AC：BC：AB＝3：4：5满足△ABC是直角三角形；C、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝×180°＝90°，∴∠A：∠B：∠C＝1：2：3满足△ABC是直角三角形；D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝×180°＝75°，∴∠A：∠B：∠C＝3：4：5，△ABC不是直角三角形．故选：D．5．【解答】解：由题意可得，AB＝2，BC＝2，AB⊥BC，∴AC＝2，∴AD＝2，∴点D表示数为：2﹣1，故选：C．6．【解答】解：由题意得BC＝8m，AC＝6m，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝10米．所以大树的高度是10+6＝16米．故选：C．7．【解答】解：∵AB＝AC＝10，CD＝2，∴AD＝10﹣2＝8，∵BD是AC边上的高，∴∠BDA＝90°，由勾股定理得：BD＝＝＝6，故选：C．8．【解答】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度＝＝12，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是12+5＝17米．故选：B．9．【解答】解：观察图象可知：S1＝S2＝a2+b2+ab＝c2+ab，故选：B．10．【解答】解：∵a：b＝4：3，∴大正方形面积与小正方形面积之比为（a2+b2）：（a﹣b）2＝b2：b2＝25：1．故选：B．二．填空题（共6小题）11．【解答】解：点P（﹣4，3）到原点的距离为＝5．故答案为：5．12．【解答】解：设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，∴9x2+16x2＝152，解得：x＝3或﹣3（舍去），∴BC＝3x＝9．故答案为：9．13．【解答】解：由题意可知梯子的长是不变的，由云梯长10米，梯子顶端离地面6米，可由勾股定理求得梯子的底部距墙8米．当梯子顶端离地面8米时，梯子的底部距墙为6米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动8﹣6＝2（米）．14．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，根据勾股定理得：AB＝＝10，则S阴影＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB＝π+π+×6×8﹣π＝24．故答案为：2415．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，设D′F＝x，则AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝•AF•BC＝10．故答案为：10．16．【解答】解：设在杯里部分长为xcm，则有：x2＝32+42，解得：x＝5，所以露在外面最短的长度为7cm﹣5cm＝2cm，故吸管露出杯口外的最短长度是2cm，故答案为：2．三．解答题（共7小题）17．【解答】解：（1）如图1，正方形ABCD为所作；（2）如图2，点A为所作．18．【解答】解：如图，连接AC，如图所示．∵∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，∴AC＝＝＝25m．∵AC＝25m，CD＝7m，AD＝24m，∴AD2+DC2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°，∴S△ABC＝×AB×BC＝×20×15＝150m2，S△ACD＝×CD×AD＝×7×24＝84m2，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝234m2．19．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝10，BD＝8，∴AD＝＝6．（2）∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，∴△ACD为等腰直角三角形，又∵AD＝6，∴CD＝6，AC＝6，∴C△ABC＝AB+BD+CD+AC＝24+6．20．【解答】解：延长AD、BC，两条延长线相交于点E，∵在Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，∴∠E＝90°﹣60°＝30°．∴AB＝BE，∴在Rt△DCE中，∠E＝30°，CD＝10，∴DE＝2CD＝20，∴AE＝AD+DE＝20+4＝24．∴在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，解得：AB＝8，∴在Rt△ABD中，BD＝＝4．21．【解答】解：根据题意得：80×0.5＝40（km），60×0.5＝30（km），根据勾股定理得：＝50（km），则0.5h后两辆大巴车相距50km．22．【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b ﹣a）2，∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2．；（2）由图可知，（b﹣a）2＝2，4×ab＝10﹣2＝8，∴2ab＝8，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝2+2×8＝18．23．【解答】解：（1）设存在点P，使得P A＝PB，此时P A＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，P A＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，解得：t＝，当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，∴当或6时，P在△ABC的角平分线上；（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，∴t＝，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，∴BE＝BC＝，∴PB＝AB，即2t﹣3﹣4＝，解得：t＝，②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，解得：t＝5，③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，∴BF＝BP，∵∠ACB＝90°，由射影定理得；BC2＝BF•AB，即32＝×5，解得：t＝，∴当时，△BCP为等腰三角形．。