最新高三教案-2018年高中总复习第一轮数学第十三章导数(文)13.2导数的应用精品

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导数的概念教案及说明

导数的概念教案及说明一、教学目标1. 让学生理解导数的定义和几何意义。

2. 掌握导数的计算方法。

3. 能够应用导数解决实际问题，如速度、加速度等。

二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的计算方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义和计算方法。

2. 难点：导数的计算方法和在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。

2. 使用多媒体课件辅助教学。

五、教学过程1. 导入：回顾函数的斜率概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率。

2. 导数的定义：介绍导数的定义，强调极限的思想，引导学生理解导数的含义。

3. 导数的几何意义：通过图形演示，让学生直观地理解导数表示曲线在某一点的切线斜率。

4. 导数的计算方法：讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算等。

5. 应用导数解决实际问题：举例说明导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。

6. 练习：布置练习题，让学生巩固导数的概念和计算方法。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的重要性和应用价值。

8. 作业：布置作业，巩固所学内容。

六、教学反思在教学过程中，注意观察学生的反应，根据学生的实际情况调整教学节奏和难度。

针对学生的薄弱环节，加强讲解和练习。

七、教学评价通过课堂表现、作业和练习，评价学生对导数的理解和应用能力。

鼓励学生积极参与讨论，提高解决问题的能力。

八、课时安排本节课安排2课时，共计45分钟。

九、教学资源1. 多媒体课件2. 练习题3. 相关参考资料十、教学拓展1. 导数的进一步应用，如函数的单调性、极值等。

2. 导数在其他学科中的应用，如物理、化学等。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的函数实例，让学生理解导数的计算过程和应用场景。

2. 小组讨论：鼓励学生分组讨论导数问题，培养合作解决问题的能力。

3. 实际操作：让学生利用计算器求解导数，增强实践操作能力。

高中导数教案

高中导数教案教学目标：让学生理解导数的概念、性质和计算方法，并能够应用导数解决一些实际问题。

教学重点：导数的定义及其计算方法。

教学难点：理解导数的概念和性质。

教学准备：教师准备好课件、教材、黑板、笔等教学工具。

教学过程：步骤一：导入导数的概念1. 教师通过提问激发学生对导数的认识，例如“在日常生活中你们见到过什么与速度有关的例子？”学生可以举例讨论，如车辆行驶的速度、物体下落的速度等。

2. 引导学生思考这些速度的变化过程，及变化率的意义。

步骤二：导数的定义1. 引导学生通过观察速度变化的过程，认识到速度的变化率就是速度的导数。

2. 教师提出导数的定义：“函数f(x)在点x=a处的导数，定义为函数在该点处的变化率。

”3. 通过示例让学生理解导数的定义：例如f(x) = x²，求x=2处的导数。

步骤三：导数的计算方法1. 通过示例教学，引导学生了解导数的计算方法，如常数函数的导数为0，幂函数的导数等。

2. 进一步教授导数法则和求导法则，让学生能够独立计算函数的导数。

步骤四：导数的性质1. 引导学生发现导数的性质，如导数与函数的图形关系、导数与原函数的关系等。

2. 让学生通过练习题来巩固导数的性质和计算方法。

步骤五：应用导数解决实际问题1. 通过实际问题，引导学生应用导数来求解，如求函数的极大值、极小值等。

2. 鼓励学生积极参与讨论，思考并解决问题。

步骤六：总结和评价1. 教师对本节课的教学内容进行总结回顾，强调导数的概念、性质和计算方法。

2. 学生对本节课的收获和问题进行讨论和反思，教师适时进行评价和点评。

步骤七：作业布置1. 布置练习题，巩固学生对导数的理解和计算。

2. 鼓励学生进行综合运用，解决一些较为复杂的导数问题。

教学反思：导数是高中数学的重要内容，学生需要通过理论学习和实践应用来加深对导数的认识。

在教学中，教师需要结合实际问题，引导学生进行思考和讨论，培养学生的分析和解决问题的能力。

高等数学导数的概念教案

1. 让学生理解导数的概念，掌握导数的定义和性质。

2. 培养学生运用导数解决实际问题的能力。

3. 引导学生掌握求导数的基本方法。

二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的性质3. 求导数的方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、性质和求导数的方法。

2. 难点：导数的直观理解和求复杂函数的导数。

四、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如速度、加速度等，引导学生思考导数的概念。

2. 讲解：讲解导数的定义，引导学生理解导数的几何意义。

3. 练习：让学生独立完成一些简单函数的导数计算，巩固导数的求法。

4. 应用：结合实际问题，让学生运用导数解决问题，体会导数的应用价值。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的重要性和求导数的方法。

五、课后作业1. 完成教材上的课后练习题。

2. 找一些实际问题，运用导数解决。

3. 复习本节课的内容，准备下一节课的学习。

1. 评价学生对导数概念的理解程度。

2. 评价学生掌握导数性质和求导数方法的情况。

3. 评价学生在实际问题中运用导数的熟练程度。

七、教学策略1. 采用生动的生活实例引入导数概念，提高学生的学习兴趣。

2. 通过多媒体手段展示导数的几何意义，增强学生的直观感受。

3. 设计具有梯度的练习题，让学生在实践中掌握求导数的方法。

4. 鼓励学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

八、教学资源1. 教材：高等数学导数部分。

2. 多媒体课件：用于展示导数的几何意义和实例分析。

3. 练习题库：用于巩固所学知识和提高解题能力。

4. 网络资源：用于拓展学生视野，了解导数在实际应用中的广泛性。

九、教学反思在教学过程中，要及时关注学生的学习反馈，根据学生的实际情况调整教学节奏和难度。

针对学生的薄弱环节，要加强针对性训练，提高学生的理解能力和应用能力。

注重培养学生的数学思维，激发学生学习高等数学的兴趣。

十、教学拓展1. 导数在微积分学中的应用：极限、积分等。

高考第一轮复习数学：131导数的概念与运算-教案(含习题及答案).

*第十三章导数●络体系总览●考点目标定位1.理解导数的定义，会求多项式函数的导数.2.理解导数的物理、几何意义，会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度.3.会用导数研究多项式函数的单调性，会求多项式函数的单调区间.4.理解函数极大（小）值的概念，会用导数求多项式、函数的极值及在闭区间上的最值，会求一些简单的实际问题的最大（小）值.●复习方略指南在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导.课本只给出了两个简单函数的导数公式，我们只要求记住这几个公式，并会应用它们求有关函数的导数即可.从2000年高考开始，导数的知识已成为高考考查的对象，特别是导数的应用是高考必考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空题与解答题，要给予充分的重视.但是，本章内容是限定选修内容，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度，注意与函数、数列、不等式相结合的问题.13.1 导数的概念与运算●知识梳理1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy ；（2）求平均变化率xy∆∆.（3）取极限，得导数f '（x 0）=0lim →∆x xy∆∆.2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. 物理意义：若物体运动方程是s=s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t=t 0处的瞬时速度.3.求导公式(c )'=0，(x n )'=n ·x n －1（n ∈N*）. 4.运算法则如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ），［c ·f （x ）]'= c f '（x ）.●点击双基1.若函数f （x ）=2x 2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则xy ∆∆等于A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2Δx 2解析：Δy=2（1+Δx ）2－1－1=2Δx 2+4Δx ，xy ∆∆=4+2Δx.答案：C2.对任意x ，有f '（x ）=4x 3，f （1）=－1，则此函数为A.f （x ）=x 4－2B.f （x ）=x 4+2C.f （x ）=x 3D.f （x ）=－x 4解析：筛选法. 答案：A3.如果质点A 按规律s=2t 3运动，则在t=3 s 时的瞬时速度为A.6B.18C.54D.81解析：∵s ′=6t 2，∴s ′|t=3=54. 答案：C4.若抛物线y=x 2－x+c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.解析：∵y ′=2x －1，∴y ′|x=－2=－5.又P （－2，6+c ），∴26-+c=－5.∴c=4. 答案：45.设函数f （x ）=（x －a ）（x －b ）（x －c ）（a 、b 、c 是两两不等的常数），则)(a f a '+)(b f b '+)(c f c'=________. 解析：∵f （x ）=x 3－（a+b+c ）x 2+（ab+bc+ca ）x －abc ，∴f '（x ）=3x 2－2（a+b+c ）x+ab+bc+ca. 又f '（a ）=（a －b ）（a －c ），同理f '（b ）=（b －a ）（b －c ）， f ' （c ）=（c －a ）（c －b ）. 代入原式中得值为0. 答案：0 ●典例剖析【例1】（1）设a ＞0，f （x ）=ax 2+bx+c ，曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，则P 到曲线y=f （x ）对称轴距离的取值范围为A.［0，a 1］B.［0，a 21］C.［0，|a b 2|］D.［0，|ab 21-|］（2）（2004年全国，3）曲线y=x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为A.y=3x －4B.y=－3x+2C.y=－4x+3D.y=4x －5（3）（2004年重庆，15）已知曲线y=31x 3+34，则过点P （2，4）的切线方程是______.（4）（2004年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y=3x 2－4x+2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率.解析：（1）∵过P （x 0，f （x 0））的切线的倾斜角的取值范围是［0，4π］，∴P 到曲线y=f （x ）对称轴x=－a b 2的距离d=x 0－（－a b 2）=x 0+ab2.又∵f '（x 0）=2ax 0+b ∈［0，1］，∴x 0∈［a b 2-，a b 21-］.∴d=x 0+a b 2∈［0，a21］.（2）∵点（1，－1）在曲线上，y ′=3x 2－6x ，∴切线斜率为3×12－6×1=－3.∴所求切线方程为y+1=－3（x －1）.（3）∵P （2，4）在y=31x 3+34上，又y ′=x 2，∴斜率k=22=4.∴所求直线方程为y －4=4（x －2），4x －y －4=0. （4）y ′=6x －4，∴切线斜率为6×1－4=2. ∴所求直线方程为y －2=2（x+1），即2x －y+4=0. 答案：（1）B （2）B （3）4x －y －4=0 （4）2x －y+4=0评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用. 思考讨论导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用?答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值等.【例2】曲线y=x 3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少? 剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.解：曲线在点（3，27）处切线的方程为y=27x －54，此直线与x 轴、y 轴交点分别为（2，0）和（0，－54），∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S=21×2×54=54.评述：求切线的斜率是导数的一个基本应用.【例3】已知曲线C ：y=x 3－3x 2+2x ，直线l ：y=kx ，且直线l 与曲线C 相切于点（x 0，y 0）（x 0≠0），求直线l 的方程及切点坐标.剖析：切点（x 0，y 0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.解：∵直线过原点，则k=00x y（x 0≠1）.由点（x 0，y 0）在曲线C 上，则y 0=x 03－3x 02+2x 0， ∴00x y =x 02－3x 0+2. 又y ′=3x 2－6x+2，∴在（x 0，y 0）处曲线C 的切线斜率应为k=f '（x 0）=3x 02－6x 0+2.∴x 02－3x 0+2=3x 02－6x 0+2.整理得2x 02－3x 0=0.解得x 0=23（∵x 0≠0）.这时，y 0=－83，k=－41.因此，直线l 的方程为y=－41x ，切点坐标是（23，－83）.评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识. 【例4】证明：过抛物线y=a （x －x 1）·（x －x 2）（a ≠0，x 1<x 2）上两点A （x 1，0）、B （x 2，0）的切线，与x 轴所成的锐角相等.剖析：利用与x 轴所成的锐角和倾斜角之间的关系，只要求出切线的斜率进行比较即可. 解：y ′=2ax －a （x 1+x 2）， y ′|1x x ==a （x 1－x 2），即k A =a （x 1－x 2），y ′|2x x ==a （x 2－x 1），即k B =a （x 2－x 1）.设两条切线与x 轴所成的锐角为α、β，则tan α=|k A |=|a （x 1－x 2）|， tan β=|k B |=|a （x 2－x 1）|，故tan α=tan β. 又α、β是锐角，则α=β.评述：由tan α=tan β不能直接得α=β，还必须有α、β为锐角时（或在同一单调区间上时）才能得α=β.●闯关训练夯实基础1.函数f （x ）=（x+1）（x 2－x+1）的导数是 A.x 2－x+1 B.（x+1）（2x －1）C.3x 2D.3x 2+1解析：∵f （x ）=x 3+1，∴f '（x ）=3x 2. 答案：C2.曲线y=f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为3x+y+3=0，则 A. f '（x 0）>0 B. f '（x 0）<0 C. f '（x 0）=0 D. f '（x 0）不存在解析：由题知f '（x 0）=－3. 答案：B3.函数f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f '（－1）=4，则a 的值等于________.解析： f '（x ）=3ax 2+6x ，从而使3a －6=4，∴a=310.答案： 3104.曲线y=2x 2+1在P （－1，3）处的切线方程是________________. 解析：点P （－1，3）在曲线上，k=f '（－1）=－4，y －3=－4（x+1），4x+y+1=0. 答案：4x+y+1=05.已知曲线y=x 2－1与y=3－x 3在x=x 0处的切线互相垂直，求x 0.解：在x=x 0处曲线y=x 2－1的切线斜率为2x 0，曲线y=3－x 3的切线斜率为－3x 02.∵2x 0·（－3x 02）=－1，∴x 0=361.答案： 3616.点P 在曲线y=x 3－x+32上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，求α的范围.解：∵tan α=3x 2－1， ∴tan α∈［－1，+∞）.当tan α∈［0，+∞）时，α∈［0，2π）；当tan α∈［－1，0）时，α∈［43π，π）.∴α∈［0，2π）∪［43π，π）.培养能力7.曲线y=－x 2+4x 上有两点A （4，0）、B （2，4）.求：（1）割线AB 的斜率k AB 及AB 所在直线的方程；（2）在曲线AB 上是否存在点C ，使过C 点的切线与AB 所在直线平行?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）k AB =4204--=－2，∴y=－2（x －4）.∴所求割线AB 所在直线方程为2x+y －8=0.（2）y '=－2x+4，－2x+4=－2，得x=3，y=－32+3×4=3. ∴C 点坐标为（3，3），所求切线方程为2x+y －9=0. 8.有点难度哟！若直线y=3x+1是曲线y=x 3－a 的一条切线，求实数a 的值.解：设切点为P （x 0，y 0），对y=x 3－a 求导数是y '=3x 2，∴3x 02=3.∴x 0=±1. （1）当x=1时，∵P （x 0，y 0）在y=3x+1上， ∴y=3×1+1=4，即P （1，4）.又P （1，4）也在y=x 3－a 上，∴4=13－a.∴a=－3. （2）当x=－1时，∵P （x 0，y 0）在y=3x+1上，∴y=3×（－1）+1=－2，即P （－1，－2）.又P （－1，－2）也在y=x 3－a 上，∴－2=（－1）3－a.∴a=1.综上可知，实数a 的值为－3或1.9.确定抛物线方程y=x 2+bx+c 中的常数b 和c ，使得抛物线与直线y=2x 在x=2处相切. 解：y '=2x+b ，k=y ′|x=2=4+b=2， ∴b=－2.又当x=2时，y=22+（－2）×2+c=c ，代入y=2x ，得c=4. 探究创新10.有点难度哟！曲线y=x 3+3x 2+6x －10的切线中，求斜率最小的切线方程.解：y '=3x 2+6x+6=3（x+1）2+3， ∴x=－1时，切线最小斜率为3，此时，y=（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14. ∴切线方程为y+14=3（x+1），即3x －y －11=0. ●思悟小结1.理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解题的关键.2.非多项式函数要化成多项式函数求导.3.要注意含有参数的函数的导数的写法及研究在不定点处切线问题时切点的设法. ●教师下载中心教学点睛1.f '（x 0）=0lim →x x x f x x ∆-∆+)()(00的几种等价形式：f '（x 0）=0lim x x →00)()(x x x f x f --=0lim→h hx f h x f )()(00-+=0lim →h hh x f x f )()(00-- 2.曲线C ：y=f （x ）在其上一点P （x 0，f （x 0））处的切线方程为 y －f （x 0）=f '（x 0）（x －x 0）. 3.若质点的运动规律为s=s （t ），则质点在t=t 0时的瞬时速度为v=s '（t 0）.这就是导数的物理意义.4.直线与曲线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，由解析几何知，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，即切点.拓展题例【例题】曲线y=x 2+1上过点P 的切线与曲线y=－2x 2－1相切，求点P 的坐标.解：设P （x 0，y 0），由题意知曲线y=x 2+1在P 点的切线斜率为k=2x 0，切线方程为y=2x 0x+1－x 02，而此直线与曲线y=－2x 2－1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x 2+2x 0x+2－x 02=0的判别式Δ=4x 02－2×4×（2－x 02）=0.解得x 0=±332，y 0=37.∴P 点的坐标为（332，37）或（－323，37）.。

导数的概念教案及说明

导数的概念教案及说明一、教学目标1. 理解导数的定义及物理意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够运用导数解决实际问题。

二、教学内容1. 导数的定义；2. 导数的计算；3. 导数在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 导数的定义及其几何意义；2. 导数的计算方法；3. 导数在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解导数的定义、计算方法及应用；2. 利用图形展示导数的几何意义；3. 通过例题演示导数的计算过程；4. 引导学生运用导数解决实际问题。

五、教学准备1. 教学课件；2. 练习题；3. 相关实际问题。

第一章：导数的定义1.1 引入导数的概念1.2 解释导数的几何意义1.3 导数的计算方法第二章：导数的计算2.1 基本导数公式2.2 导数的计算规则2.3 高阶导数第三章：导数在实际问题中的应用3.1 运动物体的瞬时速度和加速度3.2 函数的极值问题3.3 曲线的凹凸性和拐点第四章：导数的其他应用4.1 曲线的切线和法线4.2 函数的单调性4.3 函数的凸性第五章：练习与拓展5.1 导数计算的练习题5.2 实际问题的练习题5.3 拓展练习题六、教学过程6.1 导入：通过回顾函数图像，引导学生思考如何描述函数在某一点的瞬时变化率。

6.2 新课讲解：详细讲解导数的定义，通过图形和实例直观展示导数的几何意义。

6.3 例题演示：挑选典型例题，展示导数的计算过程，引导学生理解和掌握计算方法。

6.4 课堂练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

七、导数的计算7.1 基本导数公式：讲解常见函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数等。

7.2 导数的计算规则：介绍导数的四则运算法则、复合函数的导数等。

7.3 高阶导数：讲解函数的二阶导数、三阶导数等高阶导数的概念及计算方法。

八、导数在实际问题中的应用8.1 运动物体的瞬时速度和加速度：结合物理知识，讲解导数在描述物体运动中的应用。

8.2 函数的极值问题：引导学生利用导数求解函数的极值，探讨极值在实际问题中的应用。

高中数学备课教案函数的导数与高阶导数

高中数学备课教案函数的导数与高阶导数高中数学备课教案函数的导数与高阶导数一、导数的定义及性质1.1 导数的定义在高中数学中，我们常常会遇到函数的导数的概念。

导数可以理解为函数在某点处的瞬时变化率，可以通过求导数来研究函数的变化规律。

假设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，在x0处的导数定义为：f'(x0) = lim┬(Δx→0)⁡〖(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx〗其中，lim表示极限，Δx表示自变量x的增量。

上述定义也可以表示为：f'(x0) = dy/dx（当Δx→0）1.2 导数的性质导数具有以下性质：性质1：零值导数若函数y=f(x)在点x0处可导且导数为0，则该点为函数y=f(x)的驻点。

性质2：和差导数若函数y=f(x)和y=g(x)都在点x0处可导，则和、差函数也在点x0处可导，且其导数为：(f±g)'(x0) = f'(x0) ± g'(x0)性质3：常数倍导数若函数y=f(x)在点x0处可导，则其常数倍也在点x0处可导，且导数为：(cf)'(x0) = c × f'(x0)，其中c为常数性质4：乘积导数若函数y=f(x)和y=g(x)都在点x0处可导，则乘积函数也在点x0处可导，且其导数为：(fg)'(x0) = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0)性质5：商导数若函数y=f(x)和y=g(x)都在点x0处可导，且g(x0)≠0，则商函数也在点x0处可导，且其导数为：(f/g)'(x0) = (f'(x0)g(x0) - f(x0)g'(x0))/(g^2 (x0) )二、高阶导数2.1 高阶导数的定义除了一阶导数（即导数）之外，我们还可以研究函数的高阶导数，它表示函数导数的导数。

假设函数y=f(x)，若f'(x)存在导数，则f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，记作f''(x)。

(完整版)高考数学第一轮复习教案——导数

高考复习—-导数复习目标1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2熟记基本导数公式,掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导,掌握两个函数的商的求导法则。

能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数.4．了解复合函数的概念。

会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合.掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。

三、基础知识梳理：导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面: 1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微)；（2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3)应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。

2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

4．瞬时速度物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用,对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述,有了极限工具后,本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度． 5．导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据．对导数的定义,我们应注意以下三点：（1)△x 是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)．（2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，xy∆∆有极限，那么函数y=f （x ）在点0x 处可导或可微，才能得到f （x)在点0x 处的导数．（3)如果函数y=f （x)在点0x 处可导，那么函数y=f （x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x ｜在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法,必须严格按以下三个步骤进行：（1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆; （2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00；（3)取极限，得导数x y x f x ∆∆=→∆00lim )('。

高中数学导数的概念教案

高中数学导数的概念教案
一、教学目标：
1. 理解导数的定义及其物理意义；
2. 掌握导数计算的方法和规则；
3. 能够应用导数解决实际问题；
4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。

二、教学重点和难点：
1. 理解导数的定义及其物理意义；
2. 导数计算的方法和规则；
3. 实际问题应用。

三、教学内容与安排：
第一课时：导数的基本概念
1. 定义：导数是函数在某一点处的瞬时变化率；
2. 物理意义：导数表示了函数的变化速率，可以用来解释速度、加速度等物理现象；
3. 讨论导数存在的必备条件。

第二课时：导数的计算方法
1. 导数的计算法则：和、差、积、商、复合函数的导数；
2. 高阶导数的计算方法；
3. 计算导数的基本技巧。

第三课时：导数的应用
1. 利用导数求函数的极值；
2. 利用导数解决优化问题；
3. 利用导数解决曲线的切线问题。

四、教学方法：
1. 讲授相结合，引导学生主动探究；
2. 注重示范和实例讲解，提高学生的问题解决能力；
3. 课堂小组讨论，促进学生之间的合作与交流。

五、教学评价：
1. 课堂练习与作业；
2. 实际问题解决能力的考核；
3. 学生的课堂表现和参与度。

六、教学反思：
1. 根据学生的理解情况调整教学内容和节奏；
2. 激发学生的学习兴趣，增强学生的主动学习意识；
3. 关注学生的学习过程，及时给予反馈和帮助。

《导数的概念教案》

《导数的概念教案》word版第一章：导数的概念1.1 导入利用实际例子引入变化率的概念，如物体运动的速度、温度变化等。

引导学生思考如何描述函数在某一点的“变化率”。

1.2 导数的定义介绍导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。

解释导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。

强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

1.3 导数的计算介绍导数的计算方法：极限法、导数的基本公式、导数的运算法则。

强调导数计算中需要注意的问题，如函数的连续性、可导性等。

1.4 导数的应用介绍导数在实际问题中的应用，如最优化问题、物理运动问题等。

引导学生思考如何利用导数解决实际问题。

第二章：导数的性质与法则2.1 导数的性质介绍导数的性质，如单调性、连续性、可导性等。

通过实例引导学生理解导数性质的应用。

2.2 导数的运算法则介绍导数的运算法则，如四则运算法则、复合函数运算法则等。

利用导数的运算法则进行函数求导。

2.3 导数的应用利用导数研究函数的单调性、极值、拐点等。

引导学生思考如何利用导数解决实际问题。

第三章：函数的单调性与极值3.1 函数的单调性介绍函数单调性的概念，如何判断函数的单调性。

利用导数判断函数的单调性。

3.2 函数的极值介绍函数极值的概念，如何求解函数的极值。

利用导数求解函数的极值。

3.3 函数的拐点介绍函数拐点的概念，如何求解函数的拐点。

利用导数求解函数的拐点。

第四章：导数在实际问题中的应用4.1 运动物体的瞬时速度与加速度利用导数求解运动物体的瞬时速度与加速度。

解释瞬时速度与加速度的概念及物理意义。

4.2 函数的最值问题利用导数求解函数的最值问题。

解释最值问题的实际意义，如成本最小化、收益最大化等。

4.3 曲线的切线与法线利用导数求解曲线的切线与法线。

解释切线与法线的概念及几何意义。

第五章：高阶导数与隐函数求导5.1 高阶导数介绍高阶导数的概念，如何求解高阶导数。

强调高阶导数在实际问题中的应用，如加速度与瞬时加速度的关系。

数学高中导数专题整理教案

数学高中导数专题整理教案一、导数的定义和计算方法1. 导数的定义：导数表示函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的切线的斜率。

设函数y=f(x)，则函数f(x)在点x处的导数记为f'(x)，即：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h2. 导数的计算方法：a. 基本导数常数函数：f(x) = c，导数为0幂函数：f(x) = x^n，导数为f'(x) = nx^(n-1)指数函数：f(x) = a^x，导数为f'(x) = a^x * ln(a)三角函数：f(x) = sin x，导数为f'(x) = cos x；f(x) = cos x，导数为f'(x) = -sin xb. 导数的四则运算和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)积法则：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)商法则：(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2二、常见函数的导数1. 指数函数的导数f(x) = a^x，导数为f'(x) = a^x * ln(a)2. 对数函数的导数f(x) = log_a(x)，导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))3. 三角函数的导数sin x 的导数为 cos x，cos x 的导数为 -sin x4. 反三角函数的导数f(x) = arcsin x，导数为f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)f(x) = arccos x，导数为f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)f(x) = arctan x，导数为f'(x) = 1 / (1 + x^2)三、导数的应用1. 切线与法线导数表示函数在某点处的切线斜率，因此函数在该点处的切线方程为：y - f(x) = f'(x)(x - x0)而该点处的法线方程为：y - f(x) = -1 / f'(x)(x - x0)2. 凹凸性和拐点函数凹凸性由二阶导数确定，二阶导数大于0表示函数凸，小于0表示函数凹，而二阶导数为0的点为拐点。

高三数学一轮复习导数教案高三全册数学教案

芯衣州星海市涌泉学校导数数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，应选A ；〔2〕21y x '=+，设切点坐标为00(,)x y ，那么切线的斜率为201x +，且20001y x x =++，于是切线方程为20001(21)()y x x x x x ---=+-，因为点〔－1，0〕在切线上，可解得0x ＝0或者者－4，代入可验正D 正确，选D 。

点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。

考点四：借助导数处理单调性、极值和最值例5．〔1〕对于R 上可导的任意函数f 〔x 〕，假设满足〔x －1〕f x '（）0，那么必有〔〕 A ．f 〔0〕＋f 〔2〕2f 〔1〕B.f 〔0〕＋f 〔2〕2f 〔1〕C ．f 〔0〕＋f 〔2〕2f 〔1〕D.f 〔0〕＋f 〔2〕2f 〔1〕〔2〕函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如下列图，那么函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点〔〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个〔3〕函数()11ax x f x e x-+=-。

〔Ⅰ〕设0a >，讨论()y f x =的单调性；〔Ⅱ〕假设对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围。

解析：〔1〕依题意，当x 1时，f 〔x 〕0，函数f 〔x 〕在〔1，＋〕上是增函数；当x1时，f 〔x 〕0，f 〔x 〕在〔－，1〕上是减函数，故f 〔x 〕当x ＝1时获得最小值，即有f 〔0〕f 〔1〕，f 〔2〕f 〔1〕，应选C ；〔2〕函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如下列图，函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A 。

高考数学第一轮专项复习教案第十三章导数

*第十三章导数●网络体系总览●考点目标定位1.理解导数的定义，会求多项式函数的导数.2.理解导数的物理、几何意义，会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度.3.会用导数研究多项式函数的单调性，会求多项式函数的单调区间.4.理解函数极大（小）值的概念，会用导数求多项式、函数的极值及在闭区间上的最值，会求一些简单的实际问题的最大（小）值.●复习方略指南在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导.课本只给出了两个简单函数的导数公式，我们只要求记住这几个公式，并会应用它们求有关函数的导数即可.从2019年高考开始，导数的知识已成为高考考查的对象，特别是导数的应用是高考必考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空题与解答题，要给予充分的重视.但是，本章内容是限定选修内容，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度，注意与函数、数列、不等式相结合的问题.13.1导数的概念与运算●知识梳理1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy ；（2）求平均变化率xy ∆∆.（3）取极限，得导数f '（x 0）=0lim→∆x xy ∆∆. 2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率.物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t =t 0处的瞬时速度.3.求导公式(c )'=0，(x n )'=n ·x n －1（n ∈N *）. 4.运算法则如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ），［c ·f （x ）]'= c f '（x ）.●点击双基1.若函数f （x ）=2x 2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则xy ∆∆等于A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2Δx 2解析：Δy =2（1+Δx ）2－1－1=2Δx 2+4Δx ，xy ∆∆=4+2Δx . 答案：C2.对任意x ，有f '（x ）=4x 3，f （1）=－1，则此函数为 A.f （x ）=x 4－2 B.f （x ）=x 4+2 C.f （x ）=x 3D.f （x ）=－x 4解析：筛选法. 答案：A3.如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3s 时的瞬时速度为 A.6B.18C.54D.81 解析：∵s ′=6t 2，∴s ′|t =3=54. 答案：C4.若抛物线y =x 2－x +c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.解析：∵y ′=2x －1，∴y ′|x =－2=－5. 又P （－2，6+c ），∴26-+c =－5.∴c =4. 答案：45.设函数f （x ）=（x －a ）（x －b ）（x －c ）（a 、b 、c 是两两不等的常数），则)(a f a'+)(b f b '+)(c f c'=________. 解析：∵f （x ）=x 3－（a +b +c ）x 2+（ab +bc +ca ）x －abc ，∴f '（x ）=3x 2－2（a +b +c ）x +ab +bc +ca .又f '（a ）=（a －b ）（a －c ），同理f '（b ）=（b －a ）（b －c ）， f '（c ）=（c －a ）（c －b ）. 代入原式中得值为0. 答案：0 ●典例剖析【例1】（1）设a ＞0，f （x ）=ax 2+bx +c ，曲线y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，则P 到曲线y =f （x ）对称轴距离的取值范围为A.［0，a1］B.［0，a21］ C.［0，|ab 2|］D.［0，|ab 21-|］（2）（2019年全国，3）曲线y =x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为A.y =3x －4B.y =－3x +2C.y =－4x +3D.y =4x －5（3）（2019年重庆，15）已知曲线y =31x 3+34，则过点P （2，4）的切线方程是______.（4）（2019年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率.解析：（1）∵过P （x 0，f （x 0））的切线的倾斜角的取值范围是［0，4π］，∴P 到曲线y =f （x ）对称轴x =－ab2的距离d =x 0－（－ab2）=x 0+ab2.又∵f '（x 0）=2ax 0+b ∈［0，1］， ∴x 0∈［ab 2-，ab 21-］.∴d =x 0+ab2∈［0，a21］.（2）∵点（1，－1）在曲线上，y ′=3x 2－6x ， ∴切线斜率为3×12－6×1=－3. ∴所求切线方程为y +1=－3（x －1）. （3）∵P （2，4）在y =31x 3+34上，又y ′=x 2，∴斜率k =22=4.∴所求直线方程为y －4=4（x －2），4x －y －4=0. （4）y ′=6x －4，∴切线斜率为6×1－4=2. ∴所求直线方程为y －2=2（x +1），即2x －y +4=0. 答案：（1）B （2）B （3）4x －y －4=0（4）2x －y +4=0评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用.思考讨论导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用?答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值等.【例2】曲线y =x 3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.解：曲线在点（3，27）处切线的方程为y =27x －54，此直线与x 轴、y 轴交点分别为（2，0）和（0，－54），∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S =21×2×54=54.评述：求切线的斜率是导数的一个基本应用.【例3】已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ，直线l ：y =kx ，且直线l 与曲线C 相切于点（x 0，y 0）（x 0≠0），求直线l 的方程及切点坐标.剖析：切点（x 0，y 0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.解：∵直线过原点，则k =00x y （x 0≠1）.由点（x 0，y 0）在曲线C 上，则y 0=x 03－3x 02+2x 0， ∴00x y =x 02－3x 0+2.又y ′=3x 2－6x +2，∴在（x 0，y 0）处曲线C 的切线斜率应为k =f （x 0）=3x 02－6x 0+2. ∴x 02－3x 0+2=3x 02－6x 0+2. 整理得2x 02－3x 0=0. 解得x 0=23（∵x 0≠0）.这时，y 0=－83，k =－41.因此，直线l 的方程为y =－41x ，切点坐标是（23，－83）.评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识.【例4】证明：过抛物线y =a （x －x 1）·（x －x 2）（a ≠0，x 1<x 2）上两点A （x 1，0）、B （x 2，0）的切线，与x 轴所成的锐角相等.剖析：利用与x 轴所成的锐角和倾斜角之间的关系，只要求出切线的斜率进行比较即可.解：y ′=2ax －a （x 1+x 2），y ′|1x x ==a （x 1－x 2），即k A =a （x 1－x 2），y ′|2x x ==a （x 2－x 1），即k B =a （x 2－x 1）.设两条切线与x 轴所成的锐角为α、β，则tan α=|k A |=|a （x 1－x 2）|，tan β=|k B |=|a （x 2－x 1）|，故tan α=tan β. 又α、β是锐角，则α=β.评述：由tan α=tan β不能直接得α=β，还必须有α、β为锐角时（或在同一单调区间上时）才能得α=β.●闯关训练夯实基础1.函数f （x ）=（x +1）（x 2－x +1）的导数是 A.x 2－x +1B.（x +1）（2x －1）C.3x 2D.3x 2+1解析：∵f （x ）=x 3+1， ∴f '（x ）=3x 2. 答案：C2.曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为3x +y +3=0，则A.f '（x 0）>0B.f '（x 0）<0C.f '（x 0）=0D.f '（x 0）不存在解析：由题知f '（x 0）=－3.答案：B3.函数f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f '（－1）=4，则a 的值等于________. 解析：f '（x ）=3ax 2+6x ，从而使3a －6=4，∴a =310.答案：3104.曲线y =2x 2+1在P （－1，3）处的切线方程是________________. 解析：点P （－1，3）在曲线上，k =f '（－1）=－4，y －3=－4（x +1），4x +y +1=0.答案：4x +y +1=05.已知曲线y =x 2－1与y =3－x 3在x =x 0处的切线互相垂直，求x 0. 解：在x =x 0处曲线y =x 2－1的切线斜率为2x 0，曲线y =3－x 3的切线斜率为－3x 02.∵2x 0·（－3x 02）=－1，∴x 0=361.答案：3616.点P 在曲线y =x 3－x +32上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，求α的范围.解：∵tan α=3x 2－1， ∴tan α∈［－1，+∞）.当tan α∈［0，+∞）时，α∈［0，2π）；当tan α∈［－1，0）时，α∈［43π，π）.∴α∈［0，2π）∪［43π，π）.培养能力7.曲线y =－x 2+4x 上有两点A （4，0）、B （2，4）.求：（1）割线AB 的斜率k AB 及AB 所在直线的方程；（2）在曲线AB 上是否存在点C ，使过C 点的切线与AB 所在直线平行?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）k AB =4204--=－2，∴y =－2（x －4）.∴所求割线AB 所在直线方程为2x +y －8=0.（2）y '=－2x +4，－2x +4=－2，得x =3，y =－32+3×4=3. ∴C 点坐标为（3，3），所求切线方程为2x +y －9=0. 8.有点难度哟！若直线y =3x +1是曲线y =x 3－a 的一条切线，求实数a 的值. 解：设切点为P （x 0，y 0），对y =x 3－a 求导数是y '=3x 2，∴3x 02=3.∴x 0=±1.（1）当x =1时，∵P （x 0，y 0）在y =3x +1上， ∴y =3×1+1=4，即P （1，4）. 又P （1，4）也在y =x 3－a 上， ∴4=13－a .∴a =－3. （2）当x =－1时，∵P （x 0，y 0）在y =3x +1上，∴y =3×（－1）+1=－2，即P （－1，－2）. 又P （－1，－2）也在y =x 3－a 上， ∴－2=（－1）3－a .∴a =1.综上可知，实数a的值为－3或1.9.确定抛物线方程y=x2+bx+c中的常数b和c，使得抛物线与直线y=2x在x=2处相切.解：y'=2x+b，k=y′|x=2=4+b=2，∴b=－2.又当x=2时，y=22+（－2）×2+c=c，代入y=2x，得c=4.探究创新10.有点难度哟！曲线y=x3+3x2+6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程.解：y'=3x2+6x+6=3（x+1）2+3，∴x=－1时，切线最小斜率为3，此时，y=（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14.∴切线方程为y+14=3（x+1），即3x－y－11=0.●思悟小结1.理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解题的关键.2.非多项式函数要化成多项式函数求导.3.要注意含有参数的函数的导数的写法及研究在不定点处切线问题时切点的设法.●教师下载中心教学点睛第1页共4页 1.f '（x 0）=0lim →x xx f x x ∆-∆+)()(00的几种等价形式： f '（x 0）=0lim x x →00)()(x x x f x f -- =0lim→h h x f h x f )()(00-+ =0lim →h h h x f x f )()(00-- 2.曲线C ：y =f （x ）在其上一点P （x 0，f （x 0））处的切线方程为 y －f （x 0）=f '（x 0）（x －x 0）.3.若质点的运动规律为s =s （t ），则质点在t =t 0时的瞬时速度为v =s '（t 0）.这就是导数的物理意义.4.直线与曲线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，由解析几何知，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，即切点.拓展题例【例题】曲线y =x 2+1上过点P 的切线与曲线y =－2x 2－1相切，求点P 的坐标.解：设P （x 0，y 0），由题意知曲线y =x 2+1在P 点的切线斜率为k =2x 0，切线方程为y =2x 0x +1－x 02，而此直线与曲线y =－2x 2－1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x 2+2x 0x +2－x 02=0的判别式Δ=4x 02－2×4×（2－x 02）=0.解得x 0=±332，y 0=37. ∴P 点的坐标为（332，37）或（－323，37）.。

高三数学一轮复习导数教案

导数又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以⎪⎭⎫⎝⎛-+=+4222n x m y ，消去n m ,得()()92822=++-y x 。

点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。

考点六：导数实际应用题例8．请您设计一个帐篷。

它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。

试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

解析：设OO 1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为2223(1)82x x x +-=+-（单位：m ）。

于是底面正六边形的面积为（单位：m 2）：222223333(1)6(82)(82)42x x x x x +-=+-=+-。

帐篷的体积为（单位：m 3）：233313()(82)(1)1(1612)232V x x x x x x ⎡⎤=+--+=+-⎢⎥⎣⎦求导数，得23()(123)2V x x '=-；令()0V x '=解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。

当1<x<2时，()0V x '>,V(x)为增函数；当2<x<4时，()0V x '<,V(x)为减函数。

所以当x=2时,V(x)最大。

答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大。

点评：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。

例9．已知函数f(x)=x 3+ x 3，数列｜x n ｜(x n ＞0)的第一项x n＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在))(,(11++n n x f x 处的切对求极值，应要求学生画表格来单调性情况，这样可避免把不是极值的函数值也作为极值。

高中总复习第一轮数学第十三章导数13.3 导数的综合应用教案 (理) 新人教a版

13.3 导数的综合应用巩固·夯实基础一、自主梳理1.利用导数研究函数的单调性,从而可解决比较大小、极值问题、单峰函数的最值问题.2.利用导数的几何意义研究曲线的切线问题.3.利用导数解决物体的运动速度问题.二、点击双基1.某物体作s=2(1-t)2的直线运动，则t=0.8 s 时的瞬时速度为( )A.4B.-4C.-4.8D.-0.8 解析:s ′=-4(1-t),∴当t=0.8 s 时，v=-0.8.答案:D2.函数f(x)=x 3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A.b>0 B.b<21 C.0<b<22D.b<1 解析:f ′(x)=3x 2-6b,令f ′(x)=0，得x=±2b. ∵f(x)在(0,1)内有极小值，∴0<2b<1.∴0<b<22. 答案:C3.函数f(x)=a x +log a (x+1)在［0，1］上的最大值与最小值之和为a,则a 的值为( ) A.41 B.21 C.2 D.4 解析:f ′(x)=a x lna+11+x log a e. ∵x ∈［0,1］,∴当a>1时,a x lna+11+x log a e>0. ∴f(x)为增函数.当0<a<1时,a x lna+11+x log a e<0, ∴f(x)为减函数.∴f(0)+f(1)=a.∴a=21. 答案:B4.已知曲线y=31x 3+34,则过点P(2,4)的切线方程是___________________. 解析:y ′=x 2,当x=2时,y ′=4.∴切线的斜率为4.∴切线的方程为y-4=4(x-2)，即y=4x-4.答案:4x-y-4=05.设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为____________. 解析:设底面边长为x,则高为h=234xV , ∴S 表=3×234xV ·x+2×43x 2=x V 34+23x 2. ∴S ′=-234x V +3x. 令S ′=0，得x=34V .答案:34V诱思·实例点拨【例1】设x>-2,n ∈N *,比较(1+x)n 与1+nx 的大小.剖析:从条件最易想到归纳——猜想——证明，但证明由n=k 到n=k+1时，(1+x)k+1=(1+x)k ·(1+x)过渡到(1+x)k 时不等方向不确定，故需按1+x 的符号讨论证明.但本题若用导数解就比较简单了.解:设f(x)=(1+x)n -1-nx,当n=1时，f(x)=0,∴(1+x)n =1+nx.当n ≥2，n ∈N *时,f ′(x)=n(1+x)n-1-n=n ［(1+x)n-1-1］,令f ′(x)=0,得x=0.当-2<x<0时，f ′(x)<0,f(x)在(-2,0)上为减函数；当x>0时，f(x)>0.∴f(x)在［0,+∞］上为增函数.∴当x>-2时，f(x)≥f(0)=0.∴(1+x)n ≥1+nx.综上,得(1+x)n ≥1+nx.讲评:构造函数法是比较两个多项式的大小或证明不等式常用的方法.链接·拓展本题可用归纳——猜想——证明法解.当n=1时，(1+x)1=1+x.当n=2时，(1+x)2=1+2x+x 2≥1+2x.当n=3时，(1+x)3=1+3x+3x 2+x 3=1+3x+x 2(3+x)≥1+3x.猜想:(1+x)n ≥1+nx.证明:当x ≥-1时，(1)当n=1时，(1+x)n ≥1+nx 成立.(2)假设n=k 时，(1+x)k ≥1+kx 成立，那么(1+x)k+1=(1+x)k ·(1+x)≥(1+x)·(1+kx)=1+(k+1)x+kx 2≥1+(k+1)x.∴当n=k+1时，(1+x)n ≥1+nx 成立.由(1)(2)可知，当x ≥-1时，对n ∈N *，(1+x)n ≥1+nx.当-2<x<-1时，当n=1时，(1+x)n =1+x ；当n ≥2时，|1+x|<1.∴|1+x|n <1.而1+nx<1-n ≤-1,∴(1+x)n >1+nx.综上,得(1+x)n ≥1+nx 正确.【例2】已知函数f(x)=bx ax +-26的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0. (1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调区间.剖析:(1)f ′(1)即为x+2y+5=0的斜率,从而得出一个关于a 、b 的关系式.点M(-1,f(-1))在切线上,又得出一个关于a 、b 的等量关系式.从而可求出a 、b.(2)利用导数可求y=f(x)的单调区间.解:(1)由函数f(x)的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,知-1+2f(-1)+5=0,即f(-1)=-2,f ′(-1)=-21. ∵f ′(x)=222)()6(2)(b x ax x b x a +--+, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--++-=+--,21)1()6(2)1(,2162b a b a b a 即⎪⎩⎪⎨⎧-=++-+-=.21)1()6(2)1(,422b a b a b a 解得a=2,b=3(∵b+1≠0,b=-1舍去).∴所求的函数解析式是f(x)=3622+-x x . (2)f ′(x)=222)3(6122+++-x x x . 令-2x 2+12x+6=0,解得x 1=3-23,x 2=3+23. 当x<3-23或x>3+23时,f ′(x)<0;当3-23<x<3+23时,f ′(x)>0.所以f(x)=3622+-x x 在(-∞,3-23)内是减函数,在(3-23,3+23)内是增函数,在(3+23,+∞)内是减函数.讲评:本题主要考查函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.【例3】用总长14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架.如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.解:设容器底面短边长为x m,则另一边长为(x+0.5) m,高为 4)5.0(448.14+--x x =3.2-2x(m). 设容积为y m 3,则y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0<x<1.6),整理,得y=-2x 3+2.2x 2+1.6x.所以y ′=-6x 2+4.4x+1.6.令y ′=0,即-6x 2+4.4x+1.6=0,所以15x 2-11x-4=0.解得x=1或x=-154(不合题意,舍去). 从而在定义域(0,1.6)内只有x=1处使得y ′=0.由题意,若x 过小(接近0)或过大(接近1.6)时,y 值很小(接近0).因此,当x=1时,y 有最大值且y max =-2+2.2+1.6=1.8,此时,高为3.2-2×1=1.2.答:容器的高为1.2 m 时,容积最大,最大容积改为1.8 m 3.讲评:在实际问题中,有时会遇到函数在区间内仅有一个点使f ′(x)=0,如果函数在这点有极大(小)值,那么这点是使函数取最大(小)值的点.这所说的区间不仅适用于闭区间,也适用于开区间或无穷区间.【例4】已知函数f(x)=lnx,g(x)=21ax 2+bx,a ≠0. (1)若b=2,且函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a 的取值范围;(2)设函数f(x)的图象C 1与函数g(x)的图象C 2交于点P 、Q,过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N.证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.(1)解:b=2时,h(x)=lnx-21ax 2-2x, 则h ′(x)=x 1-ax-2=-xx ax 122-+. 因为函数h(x)存在单调递减区间,所以h ′(x)<0有解.又因为x>0,则ax 2+2x-1>0有x>0的解.①当a>0时,y=ax 2+2x-1为开口向上的抛物线,ax 2+2x-1>0总有x>0的解;②当a<0时,y=ax 2+2x-1为开口向下的抛物线,而ax 2+2x-1>0有x>0的解,则Δ=4+4a>0,且方程ax 2+2x-1=0至少有一正根,此时,-1<a<0.综上所述,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).(2)证明:设点P 、Q 的坐标分别是(x 1,y 1)、(x 2,y 2),0<x 1<x 2,则点M 、N 的横坐标为x=221x x +, C 1在点M 处的切线斜率为k 1=212x x +,C 2在点N 处的切线斜率为k 2=ax+b 221|x x x +==2)(21x x a ++b. 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行,则k 1=k 2,即212x x +=2)(21x x a ++b. 则1212)(2x x x x --=2a (x 22-x 12)+b(x 2-x 1) =(2a x 22+bx 2)-(2a x 12+bx 1) =y 2-y 1=lnx 2-lnx 1.所以ln 12x x =12121)1(2x x x x +-. 设t=12x x ,则lnt=t t +-1)1(2,t>1. ① 令r(t)=lnt-t t +-1)1(2,t>1, 则r ′(t)=t 1-2)1(4+t =22)1()1(+-t t t . 因为t>1时,r ′(t)>0,所以r(t)在［1,+∞］上单调递增.故r(t)>r(1)=0.则lnt>tt +-1)1(2. 这与①矛盾,假设不成立.故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.讲评:本题主要考查函数的性质、导数,分类讨论的思想,以及分析问题和解决问题的能力.注意运用导数研究函数的单调性及切线问题.。

高考第一轮复习数学：13.2 导数的应用高考数学第一轮复习教案集新课标人教版高考数学第一轮

13.2 导数的应用●知识梳理1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.（1）求f'（x）.（2）确定f'（x）在（a，b）内符号.（3）若f'（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f'（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数.2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.（1）求f'（x）.（2）f'（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f'（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.●点击双基y=x2（x－3）的减区间是A.（－∞，0）B.（2，+∞）C.（0，2）D.（－2，2）解析：y′=3x2－6x，由y′<0，得0<x<2.答案：Cf（x）=ax2－b在（－∞，0）内是减函数，则a、b应满足A.a<0且b=0B.a>0且b∈RC.a<0且b≠0D.a<0且b∈R解析：f'（x）=2ax，x<0且f'（x）<0，∴a>0且b∈R.答案：Bf（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，则f［g（x）］A.在（－2，0）上递增B.在（0，2）上递增C.在（－2，0）上递增D.在（0，2）上递增解析：F （x ）=f ［g （x ）］=x 4－4x 2+6，F '（x ）=4x 3－8x ，令F '（x ）>0，得－2<x <0或x >2，∴F （x ）在（－2，0）上递增.答案：C4.在（a ，b ）内f '（x ）>0是f （x ）在（a ，b ）内单调递增的________条件.解析：∵在（a ，b ）内，f （x ）>0，∴f （x ）在（a ，b ）内单调递增.答案：充分●典例剖析【例1】设f （x ）=x 3－3ax 2+2bx 在x =1处有极小值－1，试求a 、b 的值，并求出f （x ）的单调区间.剖析：由已知x =1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f （x ）上，得方程组解之可得a 、b . 解：f '（x ）=3x 2－6ax +2b ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯+⨯-=+⨯-⨯,112131,021613232b a b a 即⎩⎨⎧=+-=+-.0232,0263b a b a 解之得a =31，b =－21. 此时f （x ）=x 3－x 2－x ，f '（x ）=3x 2－2x －1=3（x +31）（x －1）. 当f '（x ）>0时，x >1或x <－31，当f '（x ）<0时，－31<x <1. ∴函数f （x ）的单调增区间为（－∞，－31）和（1，+∞），减区间为（－31，1）. 评述：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.【例2】（2004年全国，19）已知函数f （x ）=ax 3+3x 2－x +1在R 上是减函数，某某数a 的取值X 围.剖析：在R 上为减函数，则导函数在R 上恒负.解：f '（x ）=3ax 2+6x －1.（1）当f '（x ）<0时，f （x ）为减函数.3ax 2+6x －1<0（x ∈R ），a <0时，Δ=36+12a <0，∴a <－3.∴a <－3时，f '（x ）<0，f （x ）在R 上是减函数.（2）当a =－3时，f （x ）=－3（x －31）3+98. 由y =x 3在R 上的单调性知：a =－3时，f （x ）在R 上是减函数，综上，a ≤－3. 评述：f （x ）在R 上为减函数⇒f '（x ）≤0（x ∈R ）.【例3】（2004年全国，21）若函数y =31x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试某某数a 的取值X 围.剖析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力.解：f '（x ）=x 2－ax +a －1=0得x =1或x =a －1，当a －1≤1，即a ≤2时，函数f （x ）在（1，+∞）上为增函数，不合题意.当a －1>1，即a >2时，函数f （x ）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a －1）上为减函数，在（a －1，+∞）上为增函数.依题意，当x ∈（1，4）时，f '（x ）<0，当x ∈（6，+∞）时，f '（x ）>0，∴4≤a －1≤6.∴5≤a ≤7.∴a 的取值X 围为［5，7］.评述：若本题是“函数f （x ）在（1，4）上为减函数，在（4，+∞）上为增函数.”我们便知x =4两侧使函数f '（x ）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题.●闯关训练夯实基础a >0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是A.0B.1C.2解析：f '（x ）=3x 2－a 在［1，+∞)上，f '（x ）≥0恒成立，即a ≤3x 2在［1，+∞）上恒成立，∴a ≤3.答案：Df （x ）=x 4－4x 3+10x 2，则方程f （x ）=0在区间［1，2］上的根有A.3个 C.1个解析：f '（x ）=4x （x 2－3x +5）在［1，2］上，f '（x ）>0，∴f （x ）在［1，2］上单调递增.∴f （x ）≥f （1）=7.∴f （x ）=0在［1，2］上无根.答案：Df （x ）的导函数y =f '（x ）的图象如下图，则函数f （x ）的单调递增区间为________.解析：在［－1，0］和［2，+答案：［－1，0］和［2，+∞)y =－34x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值X 围是________. 解析：y ′=－4x 2+b ，若y ′值有正、有负，则b >0.答案：b >0f （x ）=x 3－21ax 2+3x +5（a >0），求f （x ）的单调区间. 解：（1）f '（x ）=3x 2－ax +3，判别式Δ=a 2－36=（a －6）（a +6）.1°0<a <6时，Δ<0，f '（x ）>0对x ∈R 恒成立.∴当0<a <6时，f '（x ）在R 上单调递增.2°a =6时，y =x 3－3x 2+3x +5=（x －1）3+4.∴在R 上单调递增.3°a >6时，Δ>0，由f '（x ）>0⇒x >6362-+a a 或x<6362--a a .f '（x ）<0⇒6362-+a a <x <6362--a a . ∴在（63622-+a a ，+∞）和（－∞，6362--a a ）内单调递增，在（6362--a a ，6362-+a a ）内单调递减. f （x ）=x 3－22x －2x +5. （1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ∈［1，2］时，f （x ）<m 恒成立，某某数m 的取值X 围.解：（1）f '（x ）=3x 2－x －2=0，得x =1，－32.在（－∞，－32）和［1，+∞)上f '（x ）>0，f （x ）为增函数；在［－32，1］上f '（x ）<0，f （xf （x ）的单调增区间为（－∞，－32]和［1，+∞)，单调减区间为［－32，1］. （2）当x ∈［1，2］时，显然f '（x ）>0，f （x ）为增函数，f （x ）≤f （2）=7. ∴m >7.培养能力f （x ）=x 3－ax －1.（1）若f （x ）在实数集R 上单调递增，某某数a 的取值X 围；（2）是否存在实数a ，使f （x ）在（－1，1）上单调递减?若存在，求出a 的取值X 围，若不存在，请说明理由；（3）证明f （x ）=x 3－ax －1的图象不可能总在直线y =a 的上方.解：f '（x ）=3x 2－a ，（1）3x 2－a >0在R 上恒成立，∴a <0.又a =0时，f （x ）=x 3－1在R 上单调递增，∴a ≤0.（2）3x 2－a <0在（－1，1）上恒成立，即a >3x 2在（－1，1）上恒成立，即a >3. 又a =3，f （x ）=x 3－3x －1，f '（x ）=3（x 2－1）在（－1，1）上，f '（x ）<0恒成立，即f （x ）在（－1，1）上单调递减，∴a ≥3.（3）当x =－1时，f （－1）=a －2<a ，因此f （x ）的图象不可能总在直线y =a 的上方.f （x ）=ax 4+bx 2+c 的图象经过点（0，1），且在x =1处的切线方程是y =x －2.（1）求y =f （x ）的解析式；（2）求y =f （x ）的单调递增区间.解：（1）由题意知f （0）=1，f '（1）=1，f （1）=－1.∴⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=.1,124,1c b a b a c∴c =1，a =25，b =－29， f （x ）=25x 4－29x 2+1. （2）∵f '（x ）=10x 3－9x ，由10x 3－9x >0，得x ∈（－10103，0）∪（10103，+∞），则f （x ）的单调递增区间为（－10103，0）和（10103，+∞）. 9.已知函数f （x ）=2ax －x 3，a >0，若f （x ）在x ∈（0，1］上是增函数，求a 的取值X 围.解：f '（x ）=2a －3x 2在（0，1]上恒为正，∴2a >3x 2，即a >23x 2. ∵x ∈（0，1]， ∴23x 2∈（0，23]. ∴a >23.当a =23时也成立.∴a ≥23. 探究创新10.有点难度哟！证明方程x 3－3x +c =0在［0，1］上至多有一实根.证明：设f （x ）=x 3－3x +c ，则f '（x ）=3x 2－3=3（x 2－1）.当x ∈（0，1）时，f '（x ）<0恒成立.∴f （x ）在（0，1）上单调递减.∴f （x ）的图象与x 轴最多有一个交点.因此方程x 3－3x +c =0在［0，1）上至多有一实根.●思悟小结1.f '（x ）>0⇒f （x ）为增函数（f '（x ）<0⇒f （x ）为减函数）.2.f （x ）是增函数⇒f '（x ）≥0（f （x ）为减函数⇒f '（x ）≤0）.●教师下载中心教学点睛f （xf （x ）在x 0处连续，在x 0两侧的导数异号，那么点x 0是函数f （x ）的极值点. f （x ）的极值的步骤如下：（1）求f （x ）的定义域，求f '（x ）；（2）由f '（x ）=0，求其稳定点；（3）检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取极小值；如果左右同号，那么f （x ）在这个根处不取极值.f （x ）的最值的方法：（1）求f （x ）在给定区间内的极值；（2）将f （x ）的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.拓展题例【例1】若函数f （x ）=ax 3－x 2+x －5在（－∞，+∞）上单调递增，求a 的取值X 围. 解：f '（x ）=3ax 2－2x +1>0恒成立.∴⎩⎨⎧<>,0,0Δa 即⎩⎨⎧<->.0124,0a a ∴a >31. 当a =31时，f （x ）在（－∞，+∞）上单调递增. ∴a ≥31. 【例2】求证：x >1时，2x 3>x 2+1.证明：令f（x）=2x3－x2－1，则f'（x）=6x2－2x=2x（3x－1）. 当x>1时，f'（x）>0恒成立.∴f（x）在（1，+∞）上单调递增.又∵f（1）=0，∴f（x）在（1，+∞）上恒大于零，即当x>1时，2x3>x2+1.。

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13.2 导数的应用
巩固·夯实基础
一、自主梳理
1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤
(1)求f′(x).
(2)确定f′(x)在(a,b)内的符号.
(3)若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数；
若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数.
2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤
(1)求f′(x).
(2)f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.
二、点击双基
1.(2005广东高考)函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为( )
A.(2,+∞)
B.(-∞,2)
C.(-∞,0)
D.(0,2)
解析:由题意f′(x)=3x2-6x<0,
∴0<x<2.
答案:D
2.函数f(x)=ax2-b在(-∞,0)内是减函数,则a、b应满足( )
A.a<0且b=0
B.a>0且b∈R
C.a<0且b≠0
D.a<0且b∈R
解析:∵f′(x)=2ax,x<0且f′(x)<0,
∴a>0且b∈R.
答案:B
3.(2005杭州第二次质量检测)函数f(x)=ax3+(a-1)x2+48(b-3)x+b的图象关于原点成中心对称,则f(x)( )
A.在［-43,43］上为增函数
B.在［-43,43］上非单调函数
C.在［43,+∞］上为增函数,在(-∞,-43)上为减函数
D.在(-∞,-43)上为增函数,在［43,+∞)上也为增函数
解析:因为f(x)=ax3+(a-1)x2+48(b-3)x+b的图象关于原点成中心对称,
所以f(x)为奇函数.
所以a=1,b=0.
所以f(x)=x3-144x.
所以f′(x)=3x2-144.
令f′(x)≥0,
所以3x2-144≥0.
所以x≥43或x≤-43.
所以函数f(x)在(-∞,-43]上为增函数,在［43,+∞)上也为增函数.
答案:D
4.在(a,b)内f ′(x)>0是f(x)在(a,b)内单调递增的__________________条件.
解析:∵在(a,b)内f(x)>0,∴f(x)在(a,b)内单调递增.
答案:充分
诱思·实例点拨
【例1】(2004全国高考)已知函数f(x)=ax 3+3x 2-x+1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围. 剖析:f(x)在R 上为减函数,则导函数在R 上恒负.
解:f ′(x)=3ax 2+6x-1.
(1)当f ′(x)<0时,f(x)为减函数.
3ax 2+6x-1<0(x ∈R),a<0时,Δ=36+12a<0,
∴a<-3.
∴a<-3时,f ′(x)<0,f(x)在R 上是减函数.
(2)当a=-3时,f(x)=-3(x-3
1)3+98. 由y=x 3在R 上的单调性知:a=-3时,f(x)在R 上是减函数,
综上,a ≤-3.
讲评:f(x)在R 上为减函数⇒f ′(x)≤0(x ∈R).
【例2】已知函数f(x)=ax 3+bx 2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),且在点P 处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.
(1)求a 、b 的值;
(2)若f(x)在区间［m,m+1］上单调递增,求m 的取值范围.
剖析:(1)由点P(-1,2)在曲线上,且f ′(-1)=-3便可求出f(x)的解析式.(2)借助导数可求f(x)的单调区间,依据子集关系可求出m 的值.
解:(1)f ′(x)=3ax 2+2bx,
由题意知⎩
⎨⎧-=-=-,3)1(',2)1(f f 即⎩⎨⎧-=-=+-,
323,2b a b a 解之,得⎩⎨
⎧==.3,1b a (2)f ′(x)=3x 2+6x=3x(x+2)≥0,
得x ≤-2或x ≥0,
∴f(x)的单调增区间为(-∞,-2)和［0,+∞］.
从而［m,m+1］⊆(-∞,-2)或［m,m+1］⊆［0,+∞］,
∴m+1≤-2或m ≥0.
∴m ≤-3或m ≥0.
讲评:曲线在某点的切线的斜率就是曲线在该点处的导数值.
链接·提示
求函数的单调区间的具体步骤为:
(1)确定f(x)的定义域;
(2)计算导数f ′(x);
(3)求出f ′(x)=0的根;
(4)用f ′(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干区间,列表考查这若干个区间内f ′(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间.
【例3】设f(x)=x 3-3ax 2+2bx 在x=1处有极小值-1,试求a 、b 的值,并求出f(x)的单调区间. 剖析:由已知x=1处有极小值-1,点(1,-1)在函数f(x)上,得方程组解之可得a 、b.
解:f ′(x)=3x 2-6ax+2b,由题意知
⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯+⨯-=+⨯-⨯,
112131,021613232b a b a 即⎩⎨⎧=+-=+-.
0232,0263b a b a 解之,得a=31,b=-2
1. 此时f(x)=x 3-x 2-x,f ′(x)=3x 2-2x-1=3(x+
31)(x-1). 当f ′(x)>0时,x>1或x<-
31; 当f ′(x)<0时,-3
1<x<1. ∴函数f(x)的单调增区间为(-∞,-
31)和(1,+∞),减区间为(-31,1). 讲评:极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.。

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