专题--图形相似----第一讲：成比例线段与平行线分线段成比例

专题 图形的相似
第一讲：成比例线段与平行线分线段成比例
一、成比例线段
知识点1、 相似的图形
一般而言，形状相同，大小、位置不一定相同的图形就是相似图形，但是全等图形也是相似图形。

注意：形状相同的图形的对应线段的条数相同，对应线段长的比值相等，因此可以看做的把其中一个图形放大或者缩小一点的倍数得到另外一个。

知识点2、两条线段的比
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们的长度之比，即AB:CD=m:n,或写成
n
m
CD AB =，其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项。

如果把
n m 表示成比值k ，那么k CD
AB =，或者AB=k ·CD 。

注意：1、求两条线段的比的时候两条线段的长度单位要统一，当长度单位不统一时，要先化成同一单位长度；
2、两条线段的比是一个没有单位的正实数，与所选线段的单位无关，只要选取相同的长度单位即可。

★知识点
3、成比例线段
对于四条线段a,b,c,d ，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d
c
b a =，那么这四条线段是成比例线段，简称比例线段。

注意：1、如果
c
b
b a =，那么b 叫做a 和
c 的比例中项； 2、在比例式a:b=c:
d 中，d 叫做a ，b ，c 的第四比例项；
3、成比例线段是有顺序的，即a,b,c,d 是成比例线段，则是a:b=c:d 知识点
4、比例的性质
1、比例的基本性质：如果
d
c
b a =，那么ad=b
c ； 如果ad=bc （a ，b ，c ，
d 都不等于0），那么
d
c b a = 2、等比性质：如果
)0...(...≠+++===n d b n
m
d c b a ，那么
b a n d b m
c a =++++++...... 3、合比性质：如果
d c b a =，那么d
d
c b b a +=+
4、分比性质：如果
d c b a =，那么d
d
c b b a -=
- 【例题解析】
例1、观察下列图形，指出 是相似图形.
例2、线段AB 被点M 分成
32=BM AM ,则=MB AB ,=AM
MB
例3、如果
的值。

求x
y
y y x ,54=- 例4、如图所示，EF
BE
AD AB =,且AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 是BC 的中点， 求
EF,BF 的长。

例5、已知
0,2≠++===f d b f
e
d c b a 且 （1）求
f
d b e
c a ++++的值； （2）若a-2c+3e=5,求b-2d+3f 的值。

二、平行线分线段成比例
知识点1、平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例。

知识点2、平行线分线段成比例定理的推论：
平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。

【例题解析】
例1、如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，AB=3，DE=2，EF=4，求BC 的长。

例2、如图所示，在△ABC 中，点D,E 分别在AB,AC 边上，DE ∥BC ，若AD ：AB=3:4，AE=6，则AC 等于
例2图 例3图 例3、如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，求证：AC
AB
DC BD 。

【巩固练习】 基础题
知识点1 线段的比
1．如图，线段AB∶BC＝1∶2，则AC∶BC 等于( )
A ．1∶3
B ．2∶3
C ．3∶1
D ．3∶2
2. 在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝10 cm ，在△DEF 中，ED ＝EF ＝12 cm ，DF ＝8 cm ，
则AB 与EF 之比= ， AC 与DF 之比= ． 知识点2 比例线段
3. 已知 a 、b 、c 、d 四条线段依次成比例， 其中 a ＝3 cm ， b ＝(x －1)cm ， c ＝5 cm ，
d ＝(x ＋1)cm.则x 的值= ． 知识点3 比例的基本性质
4．已知x 3＝y
2
，那么下列式子中一定成立的是( )
A ．2x ＝3y
B ．3x ＝2y
C ．x ＝2y
D ．xy ＝6 5.已知a 2＝b 3＝c 4≠0，则a －b c 的值为( )
A.14 B ．－14 C ．2 D.12 6. 已知x 4＝y 5＝z
7
，则下列等式成立的是( )
A.x －y x ＋y ＝19
B.x ＋y ＋z z ＝716
C.x ＋y ＋z x ＋y －z ＝83 D ．y ＋z ＝3x 知识点5 等比性质的简单应用
7．(兰州中考)如果a b ＝c d ＝e f ＝k(b ＋d ＋f≠0)，且a ＋c ＋e ＝3(b ＋d ＋f)，那么k ＝________.
知识点6 平行线分线段成比例定理
8.(乐山中考)如图，l 1∥l 2∥l 3，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F.
已知AB BC ＝32，则DE
DF 的值为( )
A.32
B.23
C.25
D.3
5
知识点7 平行线分线段成比例定理的推论
9.(成都中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10.已知线段a 、b 、c ，求作线段x 使ax ＝bc ，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作
法正确的是( )
中档题
11.已知三条线段的长分别为1 cm 、2 cm 、 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，
试求出另外一条线段的长．
12.若x 2＝y 7＝z 5，设A ＝y x ＋y ＋z ，B ＝x ＋z y ，C ＝x ＋y －z x ，则A ，B ，C 的大小顺序为( )
A ．A>B>C
B ．A<B<
C C ．C>A>B
D ．A<C<B
13. 已知a ＋b ＋c≠0，且a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋a b ＝p ，则直线y ＝px ＋p 不经过( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 14. 阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知
x a －b ＝y b －c ＝z
c －a (a 、b 、c 互不相等)，求x ＋y ＋z 的值． 解：设x a －b ＝y b －c ＝z
c －a ＝k ，则
x ＝k(a －b)，y ＝k(b －c)，z ＝k(c －a)， ∴x ＋y ＋z ＝k(a －b ＋b －c ＋c －a)＝k×0＝0. ∴x ＋y ＋z ＝0.
依照上述方法解答下列问题：
a ，
b ，
c 为非零实数，且a ＋b ＋c≠0，当
a ＋
b －
c c ＝a －b ＋c b ＝－a ＋b ＋c
a
时，求（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）
abc 的值．
15. 如图，F 是□ABCD 的边CD 上一点，连接BF 并延长交AD 的延长线于点E.求证：DE AE ＝DF
DC
.
16. 如图，在△ABC 中，DF ∥AC ，DE ∥BC. 求证：AE·CB＝AC·CF.
综合题
17.在△ABC 中，AB ＝12，点E 在AC 上，点D 在AB 上，若AE ＝6，EC ＝4，且AD DB ＝AE
EC .
(1)求AD 的长；
(2)试问DB AB ＝EC
AC 能成立吗？请说明理由．
18. 已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且(a －c)∶(a＋b)∶(c －b)＝－2∶7∶1，则△ABC
是( )
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
19. 如图，在矩形ABCD 中，E 是边CB 延长线上的点，且EB ＝AB ，DE 与AB 相交于点F ，AD
＝2，CD ＝1，求AE 及DF 的长．。