第6章 动态元件
电路讲义第六章_new
f (t ) f (0 ) e
t
2）一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 3） 零输入响应的衰减快慢取决于时间常数τ，其中RC 电路τ=RC , RL 电 路τ=L/R ，R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 4） 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
【例6-5】 电路中开关SW闭合已久， t=0时SW断开，试求电流 iL(t)，t0。
diL (t ) d u L (t ) L dt dt
C R ） (1) i 的大小取决于 u 的变化率, 与 u 的大
1 1 t uc (t ) ic d uc (t 0 ) ic d C C t0
1 t 1 t iL (t ) u L d iL (t 0 ) u L d L L t0
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
跳变（跃变）：
换路定则：
当 i C 和 u L 为有限值时，状态变量电容电压 u C 和电感电流 i L 无跳变， 即有 u C ( 0 )
u C ( 0 ) ； i L (0 ) i L (0 ) ；
过渡过程：动态电路的特点是，当电路状态发生改变后（换 路后）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个 变化过程称为电路的过渡过程。
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
基本概念：
动态电路：含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 一阶电路：用一阶微分方程描述的电路（或只含一个独立 的动态元件的电路）
换路：电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电 路参数变化； 若换路在t=0时刻进行，则换路前的最终时刻记为t=0- ；换 路后最初时刻记为t=0+ ；换路经历的时间为0-～0+ ；
吉林大学考研考试大纲0506
作者: 吉大长青藤时间: 2006-10-29 07:31 标题: 2005-2006通讯专业课考试范围《电路》科目考试大纲一、主要内容（一）基础知识和电阻电路分析1．电路模型和电路定律（第一章）1）了解实际电路和电路模型的关系。
理解电压、电流参考方向的概念。
理解各种元件的功率和能量的关系。
2）掌握电阻、电容、电感元件的定义。
理解这三种无源元件的性质。
3）掌握电压源、电流源及受控源性质。
4）掌握基尔霍夫的两个定律。
2．电阻电路的等效变换（第二章）1）了解电路的串联、并联及混联。
掌握等效的概念。
2）掌握电阻串联和并联的等效变换，以及电阻的Y形连接与△形连接的等效变换。
3）掌握电压源、电流源的串联和并联的等效变换，能够进行含源电路的等效化简。
4）掌握输入电阻的求解方法。
3．电阻电路的一般分析（第三章）1）掌握电路的图的概念，能够画出电路的图。
2）掌握网孔电流法、回路电流法及结点电压法的分析方法。
4．电路定理（第四章）1）掌握叠加定理、戴维宁定理、诺顿定理，理解最大功率传输定理并掌握应用。
2）了解替代定理、特勒根定理、互易定理。
（二）动态电路分析（第六章）1．动态元件了解状态的概念，掌握初始条件的求解方法。
2．一阶电路的瞬态分析1）掌握一阶电路微分方程的建立和时间常数的求解方法。
2）掌握电路的零输入响应、零状态响应及全响应。
3）掌握求解一阶电路的三要素法。
4）了解单位阶跃响应、冲激响应。
（三）电路的正弦稳态分析1．相量法（第八章）1）了解周期信号，掌握正弦信号的表示方法。
掌握平均值、有效值的概念。
2）掌握正弦信号的相量表示法。
3）掌握基尔霍夫定律的相量形式。
元件伏安关系的相量形式。
2．正弦稳态电路的分析（第九章）1）掌握阻抗与导纳的定义及正弦电路的计算。
2）掌握电路的相量模型、相量图。
能够将电阻电路的分析方法运用于正弦稳态分析。
3）了解正弦稳态电路中电阻元件及动态元件的功率、能量的关系。
4）掌握平均功率、视在功率、功率因数、最大功率传输定理。
电路原理第6章
储能元件
6.1 电容元件
6.2 电感元件
电容、 6.3 电容、电感元件的串并联
6.1 电容元件
如果一个二端元件在任一时刻， 如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间 的关系由uq平面上一条曲线所确定 平面上一条曲线所确定， 的关系由 平面上一条曲线所确定 ， 则称此二端元件 为电容元件。 为电容元件。 q q 电容器 _
结 论
(1) 元件方程的形式是相似的； 元件方程的形式是相似的； (2) 若把 u-i，q-ψ ，C-L， i-u互换 可由电容元件 互换,可由电容元件 ， ， 互换 的方程得到电感元件的方程； 的方程得到电感元件的方程；
(3) C 和 L称为对偶元件 Ψ 、q等称为对偶元素。 称为对偶元件, 等称为对偶元素。 称为对偶元件 等称为对偶元素 * 显然，R、G也是一对对偶元素 显然， 、 也是一对对偶元素 也是一对对偶元素: U=RI ⇔ I=GU I=U/R ⇔ U=I/G
电感器
把金属导线绕在一骨架上构 成一实际电感器， 成一实际电感器，当电流通过 线圈时，将产生磁通， 线圈时，将产生磁通，是一种 储存磁能的部件
i (t)
+
u (t)
-
1）线性电感
韦安特性曲线是通过坐标原点 一条的直线的电感元件称为线性 一条的 直线的电感元件称为线性 电感元件， 电感元件 ， 否则称为非线性电感 元件。 元件。 线性时不变电感元件的特性曲线是一条通过原点不随时 间变化的直线， 间变化的直线，其数学表达式为
3）电感的储能 ） 在电压电流采用关联参考方向的情况下， 在电压电流采用关联参考方向的情况下，电感 的吸收功率为 di p (t ) = u (t )i(t ) = i(t ) L dt 当p>0时，电感吸收功率；当p<0时，电感发出功率。 时 电感吸收功率； 时 电感发出功率。 电感在从初始时刻t 到任意时刻t时间内得到的 电感在从初始时刻 0到任意时刻 时间内得到的 能量为
电路第5版 第六章
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为有限值， ③实际电路中通过电容的电流 i 为有限值， 必定是时间的连续函数。 则电容电压 u 必定是时间的连续函数。 u
du →∞ i →∞ dt
0
0
t
0
t 1 t i(ξ)dξ = 1 ∫−∞i(ξ)dξ + 1 ∫tt i(ξ)dξ u(t)= ∫−∞ C C C =u(t )+ 1 ∫tt idξ C
实际电容器的模型 C i ＋ u C ＋ G u － ＋ －
q +
i
q _
ε
C G u －
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实际电容器
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电力电容
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冲击电压发生器
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6.2 电感元件
电感线圈 把金属导线绕在一骨架上构成一实际 电感线圈，当电流通过线圈时，将产生磁通， 电感线圈，当电流通过线圈时，将产生磁通，是 一种抵抗电流变化、储存磁能的部件。 一种抵抗电流变化、储存磁能的部件。
1H=103 mH 1 mH =103 µ H
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3.线性电感的电压、 3.线性电感的电压、电流关系 线性电感的电压
i + L u (t) u、i 取关联 参考方向
根据电磁感应定律与楞次定律
dψ di(t) u(t) = =L dt dt
电感元件VCR 电感元件 的微分关系
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实际电感线圈的模型 i L u (t) L u － － ＋ C u － L G
+
G ＋
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贴片型功率电感
贴片电感
(电路分析)动态元件
动态元件第 1 节动态元件一、电容元件电容器是由两块金属极板，中间隔以绝缘介质（如空气、云母、绝缘纸、电解质等）组成，当电容器的两块金属极板之间加以电压时，两块极板上就会聚集等量异性的电荷（ charge ），从而建立起电场，储存电场能量，当外加电压撤掉后，极板上的电荷可继续存在，因此，电容器是一种能储存电荷的元件。
但是，实际的电容器由于存在介质损耗和漏电流，极板上的电荷会慢慢地消失，时间越长，电荷越少。
1 、伏安特性本章讨论的电容元件，是在忽略了介质损耗和漏电流等因素之后的理想化模型。
电容元件（ capacitor ）的电路符号如图 5.1-1 （ a ）所示。
库伏特性为其中，电荷量 q 的单位是库仑（ coulomb ，简称 C ）； C 称为电容元件的电容量，简称电容（ capacitance ），单位是法拉（ farad ，简称 F ），常用的单位还有微法（ uF ），纳法（ nF ）皮法（ pF ）等，它们之间的换算关系为电容电压与电流取非关联参考方向时，电容元件的伏安关系为电容元件的特性1 、动态性电容上的电流与电压呈微分关系，即任一时刻电容上的电流取决于该时刻电压的变化率，而与该时刻电压本身无关。
电压变化越快，电流也就越大，即使某时刻的电压为 0 ，也可能有电流；如果电容两端电压为直流电压（ DC voltage ），即电压不随时间的变化而变化，那么电容上就无电流通过，这时电容相当于开路，所以，电容具有隔直流作用。
电容元件的特性1 、动态性电容上的电流与电压呈微分关系，即任一时刻电容上的电流取决于该时刻电压的变化率，而与该时刻电压本身无关。
电压变化越快，电流也就越大，即使某时刻的电压为 0 ，也可能有电流；如果电容两端电压为直流电压（ DC voltage ），即电压不随时间的变化而变化，那么电容上就无电流通过，这时电容相当于开路，所以，电容具有隔直流作用。
3 、储能性电容元件吸收的瞬时功率为若，表明电容吸收电能，电容处于充电（ charge ）状态；若，表明电容释放电能，电容处于放电（ discharge ）状态。
第六章 一阶电路
20 - 3 + t=0 2 3v -
+
uR2
C 0.1F
0.5i1 1F
i1
uc -
§6-3完全响应
N uc(0)=U0 N0 Uc(0)=U0 N Uc(0)=0
初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 一,完全响应 du + R0 c uc(t) + Us - - uc (t ) = (U 0 uc(0)=U0 τ=R0C
§6-1零输入响应
初始值的计算: 时的值称初始值. 4,初始值的计算:t=0+时的值称初始值. u(0+),i(0 (0+)和 如:u(0+),i( +), uc(0+), iL(0+).而uc(0+)和 又可称为初始状态. iL(0+)又可称为初始状态. 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, + + _ 即
t
i +
+ R C-
uc
τ
) = uc (∞)(1 e τ ) t ≥ 0
t
称为电容电压的稳态值. 称为电容电压的稳态值.
uc(t)
u c( ∞) 0 4τ τ t
Us/R 0
i(t)
4τ 稳态 过程
暂态 过程
稳态 过程
暂态 过程
t
t
t
Us e 后再求i(t): 求出uc(t)后再求 : i ( t ) = 后再求 R 的讨论: 二,对uc(t)的讨论: 的讨论
得:l (t ) = il (0 )e i
+
第6章 一阶动态电路分析
第6章一阶动态电路分析6.1 学习要求（1）掌握用三要素法分析一阶动态电路的方法。
（2）理解电路的暂态和稳态以及时间常数的物理意义。
（3）了解用经典法分析一阶动态电路的方法。
（4）了解一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念。
（5）了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件。
6.2 学习指导本章重点：（1）电流、电压初始值的确定。
（2）一阶电路的三要素法分析方法。
（3）时间常数的物理意义及其计算。
本章难点：（1）电流、电压初始值的确定。
（2）一阶电路的三要素法分析方法。
（3）电流、电压变化曲线的绘制。
本章考点：（1）电流、电压初始值的确定。
（2）一阶电路的三要素法分析方法。
（3）时间常数的计算。
（4）电流、电压变化曲线的绘制。
6.2.1 换路定理1．电路中产生过渡过程的原因过渡过程是电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态的中间过程，因为时间极为短暂，又称暂态过程。
电路中产生过渡过程的原因是：（1）内因：电路中的能量不能突变。
电路中的电场能和磁场能不能突变是电路电工技术学习指导与习题解答124 产生过渡过程的根本原因。
（2）外因或条件：换路。
电路工作条件发生变化，如开关的接通或断开，电路连接方式或元件参数突然变化等称为换路。
换路是电路产生过渡过程的外部条件。
2．研究电路过渡过程的意义（1）利用电路的过渡过程改善波形或产生特定的波形。
（2）防止电路产生过电压或过电流损坏用电设备。
3．换路定理与初始值的确定设换路发生的时刻为0=t ，换路前的终了时刻用-=0t 表示，换路后的初始时刻用+=0t 表示。
由于换路是瞬间完成的，因此-0和+0在数值上都等于0。
根据能量不能突变，可以推出电路换路定理为：（1）电容两端电压u C 不能突变，即：)0()0(C C -+=u u（2）电感中的电流i L 不能突变，即：)0()0(L L -+=i i电路中+=0t 时的电流、电压值称为初始值。
初始值的确定步骤如下： （1）求出-=0t 时电路的)0(C -u 和)0(L -i 。
大学物理电路分析基础第6章一阶电路分析.ppt
t
iC d 1(V)
1
其波形如图6-5(c)所示。
第6章 一阶电路分析
6.1.2
通常把由导线绕成的线圈称为电感器或电感线圈。 当 线圈通过电流时, 即在线圈内外建立磁场并产生磁通Φ， 如 图6-6所示。 各线匝磁通的总和称为磁链φ(若线圈匝数为N， 则φ=NΦ )。 可见， 电感器是一种能建立磁场、 储存磁场 能量的器件。
从本例可以看出： (1) 电容电流是可以跳变的。 (2) 电容的功率也是可以跳变的，这是由于电容电流跳 变的原因。 功率值可正可负: 功率为正值， 表示电容从电 源us(t)吸收功率； 功率为负值， 表示电容释放功率且交还 电源。 (3) wC(t)总是大于或等于零，储能值可升可降， 但为连 续函数。
第6章 一阶电路分析
图6-4 例6-1波形图
第6章 一阶电路分析
例 6-2 在图6-5(a)所示电路中， is(t)的波形如图6-5(b)所 示， 已知电容C=2 F， 初始电压uC(0)=0.5 V， 试求t≥0时的 电容电压， 并画出其波形。
第6章 一阶电路分析
图6-5 例6-2题图
第6章 一阶电路分析
dq dt
和电容的定义q(t)=Cu(t)，
可得
i C du
(6-2)
dt
第6章 一阶电路分析
这就是电容元件微分形式的VCR。 若电容端电压u与电流i 参考方向不关联， 则上式右边应加负号， 即
du i C
(6-3)
dt
式(6-2)表明， 任一时刻通过电容的电流i取决于该时刻电容
两端的电压的变化率 du 。若电压恒定不变， 则虽有电压 dt
与电阻元件相类似， 若约束电容元件的q—u平面上的 曲线为通过原点的直线， 则称它为线性电容； 否则， 称为 非线性电容。 若曲线不随时间而变化， 则称为非时变电容； 否则， 称为时变电容。
电力系统自动装置原理-第06章_电力系统自动装置原理
原则2：级差不强调选择性
• 由于实际系统中运行方式和事故的不同，造成 功率缺额具有很大的分散性。若低频减载装置 采用试探法逐级求解，分级切除少量负荷，以 达到比较好的效果。这时要求n较大，这就使得 每级切除的负荷较少，即使两级间无选择性起 动，也不会造成负荷切除量过大，因而频率恢 复值不致于太高 。
26
自动低频减载装置的动作时延
• 原则上，动作应尽可能地快，以便延缓f 的下 降。然而，在事故期间可能的电压下降（f 不一 定不满足要求）可能会引起装置误动作，这时人
为设定一0.3~0.5秒的时间延迟以躲过可能的误
动作。
27
第2节 自动低频减载
一、概述 二、电力系统频率 静特性€ 三、电力系统频率的动 态特性€ 四、自动低频减载 的工作原理€ 五、自动低频减载的接线与运行
Phmax PLmax PLN PLmax
K L*f * P Lmax
Phmax KL* PLNf* 1 KL*f*
13
14
自动低频减载装置的动作顺序
• 为防止非最严重事故下切除过多的负荷，自动低 频减载装置可采取分批断开负荷并逐步修正负荷 切除量的方法进行。自动低频减载装置在系统频 率下降过程中，按照频率的不同数值将负荷切除 分成多级，每级的动作频率由整定值确定。
• 原则1：按选择性确定级差‘ • 原则2：级差不强调选择性‘ • 前后两级动作的频率间隔：前后两级动作的时间
间隔是受频率测量元件的动作误差和开关固有跳 闸时间限制的。
18
原则1：按选择性确定级差
• 该原则强调动作的顺序，后一级只有在前一 级动作以后还不能制止频率下降的情况下才 允许动作。
• 在留有适当的频差裕度fy后，频差应该满足 如下关系： f =2f+ft+fy
模拟电子技术电子教案：第六章--放大电路的反馈
第六章 放大电路的反应〖主要内容〗1、根本概念反应、正反应和负反应、电压反应和电流反应、并联反应和串联反应等根本概念；2、反应类型判断：有无反应？是直流反应、还是交流反应？是正反应、还是负反应？3、交流负反应的四种组态及判断方法；4、交流负反应放大电路的一般表达式；5、放大电路中引入不同组态的负反应后，对电路性能的影响；6、深度负反应的概念，在深度负反应条件下，放大倍数的估算；〖本章学时分配〗本章分为3讲，每讲2学时。
第十九讲 反应的根本概念和判断方法及负反应放大电路的方框图一、 主要内容1、反应的根本概念 1〕什么是反应反应：将放大器输出信号的一局部或全部经反应网络送回输入端。
反应的示意图见以下图所示。
反应信号的传输是反向传输。
开环：放大电路无反应，信号的传输只能正向从输入端到输出端。
闭环：放大电路有反应，将输出信号送回到放大电路的输入回路，与原输入信号相加或相减后再作用到放大电路的输入端。
图示中i X 是输入信号，f X是反应信号，i X '称为净输入信号。
所以有 f i i X X X -='2) 负反应和正反应负反应：参加反应后，净输入信号iX ' <iX ，输出幅度下降。
应用：负反应能稳定与反应量成正比的输出量，因而在控制系统中稳压、稳流。
正反应：参加反应后，净输入信号iX ' >iX ，输出幅度增加。
应用：正反应提高了增益，常用于波形发生器。
3) 交流反应和直流反应直流反应：反应信号只有直流成分；交流反应：反应信号只有交流成分；交直流反应：反应信号既有交流成分又有直流成分。
直流负反应作用：稳定静态工作点；交流负反应作用：从不同方面改善动态技术指标，对Au、Ri、Ro有影响。
2、反应的判断1〕有无反应的判断〔1〕是否存在除前向放大通路外，另有输出至输入的通路——即反应通路；〔2〕反应至输入端不能接地，否那么不是反应。
2〕正、负反应极性的判断之一—瞬时极性法〔1〕在输入端，先假定输入信号的瞬时极性；可用“+〞、“-〞或“↑〞、“↓〞表示；〔2〕根据放大电路各级的组态，决定输出量与反应量的瞬时极性;〔3〕最后观察引回到输入端反应信号的瞬时极性，假设使净输入信号增强，为正反应，否那么为负反应。
电路邱关源电子教案第六章
第六章 一阶电路第一节 动态电路的方程及其初始条件一、动态电路：含有动态元件电容和电感的电路。
1、特点：当动态电路状态发生改变时（换路），需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个变化过程称为电路的过渡过程。
换路：由开关动作引起电路结构或参数的改变。
电容电路：CutS 闭合前，电路处于稳定状态，0C u=S 闭合后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态，C S u U = 电感电路：tLiS 闭合前，电路处于稳定状态，0L i =S 闭合后很长时间，电路达到新的稳定状态，SL U i R= 2、动态电路的方程CuLi一阶RC 电路（含有电阻和一个电容）一阶电路一阶RL 电路（含有电阻和一个电感） c S Ri u U += c du i Cdt = L L S Ri u U += L L diu L dt= c c S du RCu U dt +=—一阶线性微分方程 L L S diRi L U dt+=二、电路的初始条件及换路定则1、电路的初始条件（初始值）：变量（电压或电流）及其(1)n -阶导数在0t +=时的值。
0t -=换路前一瞬间 认为换路在 t =0时刻进行0t +=换路后一瞬间(0)f +)-2、换路定则当电容电流和电感电压为有限值时，则有：（1）(0)(0)C C u u +-=，(0)(0)C C q q +-=；换路前后瞬间电容电压（电荷）保持不变。
（2）(0)(0)L L i i +-=，(0)(0)L L +-ψ=ψ；换路前后瞬间电感电流（磁链）保持不变。
证明：0001111()()d ()d ()d (0)()d t t t C C u t i i i u i C C C C ξξξξξξξξ-----∞-∞==+=+⎰⎰⎰⎰0t +=时刻 001(0)(0)()d C C u u i C ξξ+-+-=+⎰(0)(0)C C u u +-=得证0001111()()d ()d ())d (0)()t t t L L i t u u u i u d L L L L ξξξξξξξξ-----∞-∞==+=+⎰⎰⎰⎰0t +=时刻 001(0)(0)()L L i i u d L ξξ+-+-=+⎰(0)(0)L L i i +-=得证三、初始值的确定（求(0)f +）求初始值的步骤:1由换路前电路求(0)C u -和(0)L i -（换路前电路一般为稳定状态，则C 为开路，L 为短路）； 2由换路定则得(0)C u + 和(0)L i +。
第六章一阶电路
意义: 意义:
能量不能发生突变
3,换路定则: ,换路定则: 有限, (1)若ic有限,则: uc (0+)= uc (0-) 或q (0+)= q (0-) ) 有限, (2)若uL有限,则: iL (0+)=iL (0-) 或 Ψ (0+)= Ψ (0-) ) 举例: 图示电路, 开关K闭合,电路稳定;t=0时刻 时刻, 举例: 图示电路,t<0 ,开关K闭合,电路稳定;t=0时刻, 开关K打开, 开关K打开,求uc(0+)和iL (0+). t<0 ,开关 闭合,电路稳定,有 开关K闭合 电路稳定, 闭合, uc (o-)= 10V 根据换路定则, 根据换路定则,有 uc (o+)= uc (o-)=10V iL (o+)=iL (o-)=5A iL (o-)= 5A
L 9 = s R 5
τ
9 8 9 = e A t >0 5 5
t
5t
iL (t) = iL (∞) +[iL (0 + ) iL (∞)]e
6 12 9 = e A t ≥0 5 5
5t
τ
例3:
图示电路.t<0,开关K打开,电路稳定.t=0,开关 图示电路.t<0,开关K打开,电路稳定.t=0, K闭合.求 t>0时uC (t)和u(t). 闭合. t>0时 (t)和u(t).
6-5 一阶电路"三要素"分析法 一阶电路"三要素"
三要素公式: 三要素公式
y(t) y(∞) = [ y(0+ ) y(∞)]e
y(∞) —稳态值 稳态值
t
τ
其中: 其中: y(0+) — 初始值 说明: 说明: 1,应用条件: ,应用条件: 一阶电路; 一阶电路;开关激励 2,时间常数计算: ,时间常数计算:
第6章一阶电路(first-ordercircuit)
放电时间长
t
t
uc U0e
0
U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
2
3
U0 e -2
U0 e -3
0.135 U0 0.05 U0
5
U0 e -5 0.007 U0
：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
工程上认为, 经过 3－5, 过渡过程结束。
uc I0
t1时刻曲线的斜率等于
duC dt
守恒
结
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
论
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
4、换路定律
qc (0+) = qc (0－) 换路瞬间，若电容电流保持为有限值， uC (0+) = uC (0－) 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
L (0+)= L (0－) 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
特点：
当动态电路状态发生改变时（换路）需要经 历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变 化过程称为电路的过渡过程。
例 电阻电路
+ i R1
us
-
R2
（t=0）
i
i US / R2
i US (R1 R2 )
t
0
过渡期为零
电容电路
(t = 0)
i
R+
Us
S
uC
–
S未动作前，电路处于稳定状态
i = 0 , uC = 0
A=U0
t
uc U0e RC t 0
i
uC R
U0 R
e
t RC
I0e
t RC
t0
或
i C duC dt
第6章(3)正弦稳态电路的功率
单位：瓦 (6.5-3)
在正弦稳态情况下，平均功率不仅与电压、电流的有 效值有关，而且与电压、电流的位相差有关。 式中 λ = cos ϕ 称为功率因数(power factor) ϕ = ϕu − ϕi 称功率因数角(power-factor angle) 通常所说的功率，都是指平均功率而言。平均功 率又叫有功功率(active power)。
Q = UI sin ϕ = UI sin ϕ Z
(6.5-27)
②Reactive Power in Terms of Z or Y : 对于不含 独立源的一端口，无功功率也可以 用阻抗或导纳计算。根据式(6.5-6)和(6.5-18)， (6.5-18)，即 2 * * (6.5-28a) Q = Im(UI ) = Im( ZII ) = I Im( Z ) = I 2 X (ω )
p (t ) = UI cos ϕ + UI cos(2ωt + 2ϕu − ϕ ) = UI cos ϕ + UI cos ϕ cos(2ωt + 2ϕu ) + UI sin ϕ sin(2ωt + 2ϕu )
(6.5-2) 上式中第一项始终大于(或小于、或等于零)，它是 瞬时功率中的不可逆部分；第二项是瞬时功率中的 可逆部分，其值正负交替，说明能量在外施电源和 二端网络之间来回交换。
第六章 正弦电路的稳态分析
注： i) 如果一端口只由R、L、C等无源元件组成，则功率 因数角φ＝阻抗角φZ，且|φZ|≤900，所以平均功率P≥0， 一端口吸收能量。根据能量守恒可知，P为一端口中电阻 元件所消耗的总功率（∵L、C元件不耗能）。 ii) 如果一端口除无源元件外尚有受控源(亦有功率因 数角φ＝阻抗角φZ)， |φZ|可能＞900。其平均功率P为负 值，说明该一端口对外提供能量。 iii) 如果一端口内含有独立电源，则功率因数角φ为 端口电压与端口电流的位相差。P可能为正，也可能为负 值。即一端口可能吸收能量，也可能对外提供能量。
6第六章一阶动态电路
例1
is
iR
iC
iL
+
uR
S(t=0) -
+
+
uC
-
-uL
10 is iR ic iL
t iL u L
is
iC uC
iR
uR
0- 5A 0
0
0 10V 5A 10V
0+ 5A -10V 15A -10A 10V 0
0
三、电路中其他初始电压、电流的求解方法
由t=0+电路来求得
具体求法是：
中国石油大学（北京）
t
t
uc (t) uc (0 )e uc ()(1 e ) t 0
t
t
iL(t) iL(0 )e iL()(1 e ) t 0
f (t) f () f (0 ) f () et / t 0
中国石油大学（北京）
二、换路定律
若电容电流、电感电压为有限值，则uC 、 iL不能跃变，即换路前后一瞬间的uC 、iL是相 等的，可表达为：
uC(0+)=uC(0-) iL(0+)=iL(0-)
必须注意：只有uC 、 iL受换路定律的约束而保持不 变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。
中国石油大学（北京）
iL ( t )
IS
iL(0) 0 , for t 0
uC (t ) US (1 et / ) uc ()(1 et / )
iL (t ) IS (1 e t / ) iL ()(1 et / )
t0 t0
中国石油大学（北京）
3-5 一阶电路的全响应
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第6章 一阶电路● 本章重点1、暂态及其存在原因的理解；2、初值求解；3、利用经典法求解暂态过程的响应；4、利用三要素法求响应；5、理解阶跃响应、冲激响应。
● 本章难点1、存在两个以上动态元件时，初值的求解；2、三种响应过程的理解；3、含有受控源电路的暂态过程求解；4、冲激响应求解。
● 教学方法本章主要是RC 电路和RL 电路的分析，本章采用讲授为主，自学为辅的教学方法，共用6课时。
课堂上要讲解清楚零输入响应、零状态响应、全响应、稳态分量、暂态分量、阶跃响应、冲激响应等重要概念，还列举大量例题加以分析和求解。
使学生理解动态电路响应的物理意义并牢固掌握响应的求解方法。
● 授课内容6.1 动态电路的方程及其初始条件 一、暂态及其存在原因暂态：从一种稳态到达另一种稳态的中间过程（动态过程、过渡过程）。
存在原因：1）含有动态元件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==dt di C u C dtdi L u L ::2）存在换路：电路结构或参数发生变化描述方程：微分方程一阶电路：能够用一阶微分方程描述电路； 二阶电路：能够用二阶微分方程描述电路； n 阶电路：能够用n 阶微分方程描述电路。
解决方法：经典法、三要素法。
二、换路：指电路中开关的突然接通或断开，元件参数的变化，激励形式的改变等。
换路时刻0t （通常取0t ＝0），换路前一瞬间：0_t ，换路后一瞬间：0t +。
换路定则 c 0c 0()()u t u t +-= L 0L 0()()i t i t +-= C 0C 0()()i t i t +-≠， L 0L 0()()u t u t +-≠， R 0R 0()()i t i t +-≠， R 0R 0()()u t u t +-≠ 三、初始值的计算： 1. 求(),()u t i t ：①给定C 0L 0(),()u t i t --；②0t t <时，原电路为直流稳态 ： C —断路 L —短路③0t t -=时，电路未进入稳态 ： 0C 0C ()()|t t u t u t --==， 0L 0L ()()|t t i t i t --== 2. 画0t +时的等效电路： C 00()()u t u t +-=，L 0L 0()()i t i t +-=C —电压源 L —电流源3. 利用直流电阻电路的计算方法求初始值。
例1已知：0t <时，原电路已稳定,0t =时，打开开关S 。
求：0t +=时，各物理量的初始值。
解： 1. 求C L (0),(0)u i --：0t -=时，C L (0)7.5V,(0)0.25A u i --==2. 画0t +=时的等效电路：3. 0t +=时：R1(0)0.2510u +=⨯= R27.5(0)0.5A 15i +==L R1C (0)(0)10(0)0u u u +++=-+-= 2C L R (0)(0)(0)0.25i i i A +-+=-=-例2：已知：0t <时，原电路已稳定，0t =时，打开开关S 。
求：0t +=时，1(0),(0)i i ++。
解：1. 求C (0)u -： C (t ) 7.5V + _0t -=时：C 1111C (0)14(0)10(0)4(0)(0)(0)4(0)(0)2A (0)28Vu i i i i i i i u ---------==+⎧⎪+=⎪⎨==⎪⎪=⎩ 2. 作0t +=时的等效电路：0t +=时：11(0)(0)414(0)7(0)28i i i i +++++=⎧⎨=+⎩ 184(0)A,(0)A 33i i ++∴==6.2 一阶电路的零输入响应R C S KVL :()()(0)u t u t u t ++=≥C C C R C VAR :,du dui C u Ri RC dt dt ===C C S C (0)(0)?du RCu u t dt u +⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩ 零输入响应：指输入为零，初始状态不为零所引起的电路响应。
一、RC 放电过程已知：0t -=时，电容已充电至0U ，t = 求0t +≥后的C R C (),(),()u t u t i t 。
1. 定性分析：0t -=时，C 0(0)u U -=，R S 0(0)uU U -=-，S 0C (0)U U i R --= 0t +=时，C C 0(0)(0)u u U +-== R 0(0)u U +=-0(0)C U i R+=- C ,t u ，R C ,u i ； C R C ,0,0,0t u u i →∞→→→10i 1(0+) +_ +_Uu C +_C UC (0-)2. 定量分析：0t +≥时，C C C 00(0)(0)du RC u t dt u U +⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩ C ()et RCu t K -=令0t +=，C 0(0)1u K U +=⋅=C 0()e(0)tRCu t U t -+∴=≥R C 0()()e (0)t RCu t u t U t -+=-=-≥0R C ()()e(0)tRC U u t i t t R R-+==-≥()(0)e(0)tRCf t f t -++=≥3. 时间常数： RC τR[]τ⋅⎡⎤⎡⎤=⋅⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦伏特库仑安培秒＝＝秒安培伏特安培 C 0:()u t τ的物理意义衰减到36.8％C 0()u t 所需时间C 0()e (0)t RC u t U t -+=≥0C 00()et RCu t u -=00C 000C 0()e ee()0.368t t RCRCRCu t u U u t τττ+---+===⨯τ的几何意义：由0C 0[,()]t u t 点作C ()u t 的切线所得的次切距。
4t τ≥时，电路进入新的稳态,4(4)()e 1.82%()0u t u t u t τ-+==≈_u R (t )+ C + _u C (t 0+τ)=36.8%211422()4e V (0)2s ()4e V (0)4st t u t t u t t ττ-+-+=≥==≥=可见，时间常数反映了物理量的变化快慢，τ越小，物理量变化越快。
二、RL 放磁过程已知0t -=时，L 0(0)i I -=，求0t +≥时的L L (),()i t u t . 利用对偶关系：LC L C i u L C u i GRRC 串联：C C C 00(0)(0)du RC u t dt u U ++⎧+=⎪≥⎨⎪=⎩ RL 并联：LL L 00(0)(0)di GLi t dti I ++⎧+=⎪≥⎨⎪=⎩L 0()e(0)t GLi t I t -+=≥ L GL Rτ==0L ()e(0)tGLI u t t G-+=-≥ ()(0)e(0)tf t f t τ-++=≥综上所述，一阶电路的零输入响应变化模式相同，即()(0)e(0)tf t f t τ-++=≥故求一阶电路的零输入响应时，确定出(0)f +和τ以后，就可以唯一地确定响应表达式。
6.3 一阶电路的零状态响应零状态响应：指初始状态为零，而输入不为零所产生的电路响应。
1、RC 充电过程已知C (0)0u =，求0t ≥时的C R C ,,u u i 。
(t ) _u L (t ) + _(t ) U+ _ C (t )+_U +_u (0)_1. 定性分析：0t +=时，(0)0C u += R S (0)u U += SC (0)U i R+= C ,tu ，R C ,u i ； C S R C ,,0,0t u U u i →∞→→→ 2. 定量分析： C C S C (0)(0)0du RCu U t dtu +⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩C C p C h ()()()u t u t u t =+Cp ()u t 为非齐次微分方程任一特解， Ch ()u t 为对应齐次微分方程的通解， cp u —强制响应，与输入具有相同形式， c p S ()u t A A U =⇒=，cp S ()u t U ∴=/ch ()e t RCu t K -=—固有响应，与电路结构有关。
∴ C S ()etRCu t U K -=+0t +令＝ C S S(0)0u U K K U +=+=⇒=- C S S S()e(1e )(0)ttRCRCu t U U Ut --+∴=-=-≥ R S C S ()()e t RCu t U u t U -=-= (0)t +≥ S R C ()e tRCU u i t R R-== (0)t +≥C Cp Ch S C ()()()e()(1e )(0)ttRCu t u t u t U K u t τ--+=+=+=∞-≥其中：S U 为稳态响应（C ()u ∞），et RCK -为暂态响应（必将衰减为0）RC τ=为时间常数Uu C (t 0t 0)C 0S ()(1e)t u t U τ-=-0C 0S ()(1e)t u t U τττ+-+=-01S S S (1e )(1e )(1e )t tU U U ττ---⎡⎤=-+---⎢⎥⎣⎦[]C 0S C 0()63.2%()u t U u t =+-即充电过程中时间常数的物理意义为由初始值上升了稳态值与初始值差值的63.2%处所需的时间。
4t τ≥ 时，电路进入新的稳态。
3. 充电效率η()100%()()C R C W W W η∞⨯∞+∞22C C S1()()22C W Cu U ∞=∞= 222S R CS 0()(e )2tRC U C W Ri dt R dt U R -∞∞∞===⎰⎰50%η∴=例：已知：0t <时，原电路已稳定，0t =时合上S ，求0t +≥时的C 0(),()u t u t 。
解：已知(0)0C u =1. C ()u ∞： t →∞时，C 2()V 3u ∞=2. 求τ eq 23R =Ω2s τ∴=)Ω1.5C 2()(1e )V (0)3t u t t -+∴=-≥1.50C 12()1()e V (0)33t u t u t t -+=-=+≥二、RL 充磁过程已知：L (0)0i =。
求：0t +≥时的L ()i t 利用对偶关系RL 充磁过程 LL S L (0)(0)0di GLi I t dti +⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩ L S L ()(1e)()(1e )(0)t tGLi t I i t τ--=-=∞-≥例：已知：0t <时，原电路已稳定，0t =时合上S ，求0t +≥时的L o (),()i t i t解：已知L (0)0i =1. 求L ()i ∞ t →∞时 L ()3A i ∴∞=2. 求τ102s 5L R τ∴===2L ()3(1)A (t i t e t -∴=-≥L L o 410()20.5e 6diidt i t +==+ 5Ω(t )i 0(t L (∞)5Ω5ΩL (t )I S =U S /6.4 一阶电路的完全响应完全响应：指输入与初始状态均不为零时所产生的电路响应。