线性代数 2.5-2.6线性方程组
线性代数-线性方程组课件
行最简形矩阵
经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0． 例如
1 0 0 0
4 1 10 1 0
线性方程组有解判别定理
（导学127页例7）
例题3
三、用初等行变换解线性方程组并写出线性方程组的解（非齐次写出 唯一解或一般解；齐次写出一般解）
•
•
例题1
例题2
例题3
行阶梯形矩阵
经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元． 1 1 2 1 4 例如 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0
• ① ② • a. b. c.
线性方程组解的情况判定
•
•
一、齐次线性方程组解的判定及其解法 内容讲解
二、非齐次线性方程组解的判定（用秩来刻画）内容讲解
__ __
{
•
•
AX b有 解 秩A 秩 A AX b无 解 秩A 秩 A
例题1 例题2
{
AX b有唯一解秩A秩 A n AX b有无穷多解 秩A秩 A n
n元线性方程组的矩阵表示形式
•
2、
a11 a12 a1n x1 b1 a 21 a 22 a 2 n x 2 b2 a m 1 a m 2 a mn x n bn 简写为 b Ax
线性代数课程大纲
线性代数课程大纲一、课程介绍线性代数是一门重要的基础数学课程，它研究的是向量空间、线性变换等概念及其代数表达与计算方法。
本课程旨在帮助学生掌握线性代数的基本理论和方法，培养学生的抽象思维和解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 了解线性代数的基本概念和性质，包括向量、矩阵、线性方程组等；2. 掌握线性代数的基本运算法则和矩阵的性质；3. 熟练运用线性代数方法解决实际问题；4. 培养学生的抽象思维和逻辑推理能力；5. 培养学生的团队合作和沟通能力。
三、课程内容1. 向量空间1.1 向量的定义及其运算法则1.2 向量空间的概念与性质1.3 线性相关与线性无关1.4 基与维数2. 矩阵与矩阵运算2.1 矩阵的定义及其运算法则2.2 线性方程组与矩阵的关系2.3 矩阵的行列式和逆矩阵3. 线性变换与特征值特征向量3.1 线性变换的定义与性质3.2 特征值和特征向量的概念与计算3.3 相似矩阵和对角化4. 线性空间的正交性与最小二乘法4.1 正交基与正交投影4.2 最小二乘法的概念与应用4.3 欧氏空间与内积的性质5. 特殊矩阵与特殊线性方程组5.1 对称矩阵与二次型5.2 线性方程组的矩阵形式与解法5.3 基本概念与重要性质四、教学方法1. 理论讲授：从基本概念出发，逐步引入相关性质和运算法则的讲解；2. 示例演练：通过实例分析和计算练习，巩固学生的理论掌握能力；3. 互动讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，促进思维和交流；4. 编程实践：借助计算机编程软件，进行线性代数相关问题的编程实验。
五、考核方式1. 平时表现：包括课堂参与、作业完成情况等，占总评成绩的20%；2. 期中考试：对课程前半部分的理论知识进行考核，占总评成绩的30%；3. 期末考试：对整个课程内容进行综合考核，占总评成绩的50%；六、参考教材1. 《线性代数及其应用》，David C. Lay著；2. 《线性代数导论》，Sebastian Gross, Jay Hill, Isaac Lavendel著；3. 《线性代数与其应用》，朱杰民,胡文苑,徐伟治著。
《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
THANKS
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特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、引言1. 课程目标：使学生理解线性代数的基本概念，掌握线性方程组的求解方法，了解矩阵和行列式的基本性质，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
2. 教学内容：本章主要介绍线性代数的基本概念、线性方程组的求解方法、矩阵和行列式的基本性质。
3. 教学方法：采用讲授法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
二、线性方程组1. 教学目标：使学生理解线性方程组的含义，掌握线性方程组的求解方法，能够运用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容：（1）线性方程组的概念及其解的含义；（2）线性方程组的求解方法（高斯消元法、矩阵法等）；（3）线性方程组在实际问题中的应用。
3. 教学方法：通过具体案例分析，引导学生理解线性方程组的概念，运用高斯消元法和矩阵法求解线性方程组，并讨论线性方程组在实际问题中的应用。
三、矩阵及其运算1. 教学目标：使学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算方法，了解矩阵在数学和实际中的应用。
2. 教学内容：（1）矩阵的概念及其表示方法；（2）矩阵的运算（加法、数乘、乘法）；（3）矩阵的其他相关概念（逆矩阵、转置矩阵等）；（4）矩阵在数学和实际中的应用。
3. 教学方法：通过具体的例子，引导学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算方法，探讨矩阵在其他相关概念中的应用，并了解矩阵在数学和实际中的重要作用。
四、行列式1. 教学目标：使学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，了解行列式在线性方程组求解中的应用。
2. 教学内容：（1）行列式的概念及其表示方法；（2）行列式的计算方法（按行（列）展开、性质的应用等）；（3）行列式在线性方程组求解中的应用。
3. 教学方法：通过具体的例子，引导学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，并了解行列式在线性方程组求解中的应用。
五、线性空间与线性变换1. 教学目标：使学生了解线性空间的概念，掌握线性变换的定义和性质，了解线性变换在数学和实际中的应用。
线性方程组知识点总结
线性方程组知识点总结一、引言线性方程组是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将对线性方程组的基本概念、求解方法和应用进行总结和介绍。
二、基本概念1. 线性方程组的定义：线性方程组是由若干个线性方程组成的方程集合，形式一般为a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b。
2. 线性方程组的解：线性方程组的解是使得所有方程都成立的一组变量值，分为唯一解、无解和无穷多解三种情况。
3. 线性方程组的系数矩阵：系数矩阵是由线性方程组中各个方程的系数构成的矩阵，记作A。
4. 线性方程组的增广矩阵：增广矩阵是将线性方程组的系数矩阵和常数项列向量合并成一个矩阵，记作[A | b]。
三、求解方法1. 列主元消元法：利用行初等变换将线性方程组转化为简单形式，其中列主元消元法是一种常用的方法。
具体步骤包括选主元、消元和回代三个过程。
2. 矩阵法：利用矩阵的逆、转置等性质，可以通过求解矩阵方程来求解线性方程组。
3. 克拉默法则：克拉默法则是一种利用行列式的性质来求解线性方程组的方法，通过计算线性方程组的系数行列式和常数行列式的比值，可以得到方程组的解。
四、应用领域1. 工程学：线性方程组广泛应用于工程学中的结构分析、电路分析、力学运动等问题的求解。
2. 经济学：线性方程组在经济学中的需求分析、均衡分析、成本分析等方面有着重要应用。
3. 计算机科学：线性方程组在图像处理、数据分析、模型建立等计算机科学的领域中起着关键作用。
五、总结线性方程组是数学中的基础概念，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文总结了线性方程组的基本概念、求解方法和应用领域，希望能为读者提供一定的参考和启发。
建议读者在学习线性方程组时，注重理论与实践的结合，加强对各种方法的理解和运用能力，进一步提升问题求解的能力和水平。
线性代数复习提纲
1.1二阶、三阶行列式了解二阶、三阶行列式的概念;熟练掌握其计算方法..1.2排列了解排列、正逆序数、奇偶排列、对换的概念;熟练掌握逆序数的计算方法、3个定理1.3n阶行列式了解n阶行列式的定义和由二阶、三阶行列式展开式的特点导出的一般规律；;掌握用定义计算特殊n阶行列式的方法;熟记三角形行列式的计算结果..1.4行列式的性质熟练掌握行列式的运算性质;并应用它们进行行列式的运算..转置行列式的概念；行列式的5个性质和两个推论1.5行列式按行列展开掌握余子式和代数余子式的概念;熟练掌握行列式按行列展开的方法..三阶行列式按行列展开式；余子式和代数余子式的概念；行列式按行列展开定理;范德蒙行列式1.6克拉默法则掌握线性方程组解的克拉默运算法则;掌握用克拉默法则判断齐次线性方程组仅有零解和有非零解的方法..1.7数域掌握数域的定义..2.1消元法了解线性方程组的消元解法;熟练掌握矩阵的初等变换方法;熟练掌握用矩阵的初等变换法解线性方程组以及判断方程组无解、有解唯一解、无穷多解的方法..2.2n维向量空间了解向量的定义;掌握向量的运算;熟悉线性方程组的向量表达形式..向量的有关概念；向量的运算法则；n维向量空间的概念；线性方程组的向量表达形式2.3向量间的线性关系掌握向量的线性组合概念;熟练掌握一个向量可由其它向量线性表示的方法;熟练掌握向量组线性相关和线性无关的概念、理论和方法..向量的线性组合概念；判断一个向量可由其它向量线性表示的方法；向量组线性相关和线性无关的概念；判断向量组线性相关和线性无关的方法；判断向量组线性相关和线性无关的一些结论；5个定理2.4向量组的秩了解向量组极大无关组的概念;掌握等价向量组的概念和性质;掌握向量组秩的概念与相关结论..2.5矩阵的秩了解矩阵的秩的概念;熟练掌握求向量组极大无关组的方法;熟练掌握求向量组秩和矩阵秩的方法..矩阵的行秩与列秩的概念；矩阵子式的概念；矩阵秩的概念；求向量组极大无关组、向量组秩、矩阵秩的方法；2.6线性方程组解的判定掌握非齐次线性方程组有无解、有唯一解、无穷多解的判定方法;熟练掌握齐次线性方程组有非零解解、只有零解判定方法..非齐次线性方程组有无解判定方法定理1；非齐次线性方程组有唯一解、无穷多解的判定方法定理2；齐次线性方程组有非零解解、只有零解判定方法推论1、22.7线性方程组解的结构熟练掌握基础解系的概念;熟练掌握用基础解系表示方程组解的方法..齐次线性方程组解的两个性质；齐次线性方程组基础解系的概念;特别强调基础解系中含解向量个数与未知量个数和系数矩阵秩间的关系；齐次线性方程组解的基础解系表示法；非齐次线性方程组与齐次线性方程组解间的关系；非齐次线性方程组解的基础解系表示法；3.1-3.2矩阵的概念与运算了解矩阵的概念;熟练掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、乘法、转置、行列式的运算法则和相应的性质..矩阵的定义以及几种特殊矩阵；矩阵的加法法则和对应的性质；数与矩阵的乘法法则和对应的性质；矩阵的乘法法则和对应的性质；矩阵的转置概念和对应的性质；矩阵行列式概念和对应的性质3.3可逆矩阵理解可逆矩阵的概念;了解伴随矩阵的概念;熟练掌握用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵的方法..3.4矩阵的分块了解分块矩阵的概念以及矩阵分块的原则;熟练掌握分块矩阵的运算法则..3.5初等矩阵理解三种初等矩阵的概念;掌握初等矩阵在矩阵乘法运算中的作用;熟练掌握利用初等变换求可逆矩阵的方法..三种初等矩阵的概念和它们在矩阵乘法运算中的作用；任意矩阵经过有限次初等变换化成的标准型；可逆矩阵与初等矩阵间的关系定理；利用初等变换求可逆矩阵的方法3.6常见的特殊矩阵了解对角矩阵、准对角矩阵、三角形矩阵、对称矩阵、反对称矩阵的概念和运算性质..4.1向量空间了解向量空间的概念和性质;了解向量空间基以及向量在基下坐标的概念..4.2向量的内积了解内积的概念;掌握内积的性质;熟练掌握n维向量空间两向量内积的坐标表示法;会求向量长度和向量单位化;了解正交向量组的概念;理解标准正交基的概念;熟练掌握向量组的施密特正交化过程..向量内积的概念和性质；n维向量空间两向量内积的坐标表示法；单位向量的概念和向量单位化；正交向量组的概念；正交基、标准正交基的概念；向量组的施密特正交化过程4.3正交矩阵了解正交矩阵的概念;熟练掌握其性质..5.1矩阵的特征值与特征向量了解矩阵特征值与特征向量的概念;熟练掌握求矩阵特征值与特征向量的方法;熟练掌握特征值与特征向量的性质；了解矩阵迹的概念与性质..矩阵特征值与特征向量的概念；求矩阵特征值与特征向量的方法；矩阵特征值与特征向量的性质；矩阵迹的概念与性质；5.2相似矩阵和矩阵对角化的条件了解相似矩阵的概念;掌握相似矩阵的性质;熟练掌握矩阵对角化的条件和对角化的方法.. 5.3实对称矩阵的对角化了解实对称矩阵特征值与特征向量的性质;熟练掌握实对称矩阵对角化的方法..。
线性代数-线性方程组的解
0 0 0 0
R(A) = R(B) < 3,方程组有无穷多解 .
其通解为
x1 x2
=1− = x2
x2
−
x3
x3 = x3
(x2 , x3为任意实数 ).
(2) 当λ ≠ 1时,
1 1 λ
λ2
B ~ 0 1 −1 −λ
0
0
2+λ
(1
+
λ
)2
=
−2
x3
−
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 = c1, x4 = c2，把它写成通常的参数 形式
x1
x2 x3
=
= =
2c2
+
5 3
c2
,
−2c2
−
4 3
c2
c1 ,
,
x4 = c2,
∴
x1 x2 x3 x4
=
c1
2 −2 1 0
+
c2
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5
x4 = a4 + x5
(x5为任意实数 ).
例５ 设有线性方程组
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
B
~
0 0 0
大二线性代数知识点归纳
大二线性代数知识点归纳线性代数是一门研究向量空间和线性映射的数学学科，对于学习数学、物理学、计算机科学等领域都具有重要的作用。
在大二的学习中，线性代数是一门必修课程，本文将对大二线性代数的知识点进行归纳，以帮助读者更好地理解和掌握相关概念和技巧。
一、向量与向量空间1. 向量的定义与性质2. 向量的线性运算（加法和数乘）3. 向量的内积和外积4. 向量的线性相关性与线性无关性5. 极大线性无关组与极大线性无关集6. 向量空间的基与维数二、线性方程组1. 线性方程组的定义与解集2. 齐次线性方程组与非齐次线性方程组3. 初等变换与线性方程组的等价性4. 线性方程组的解的性质与特解的构造5. 齐次线性方程组的矩阵表示三、矩阵与行列式1. 矩阵的定义与性质2. 矩阵的加法与数乘3. 矩阵乘法与矩阵的转置4. 子矩阵与主子式5. 行列式的定义与性质6. 行列式的计算方法（余子式与代数余子式）7. 克拉默法则与逆矩阵的求解四、线性映射与线性变换1. 线性映射的定义与性质2. 线性映射的矩阵表示与性质3. 线性映射的核与像4. 线性映射的维数公式5. 线性变换的定义与性质6. 线性变换的矩阵表示与性质7. 特征值与特征向量五、特殊矩阵与特殊线性变换1. 对称矩阵与正交矩阵2. 对称线性变换与正交线性变换3. 施密特正交化过程与正交矩阵的求解4. 对角矩阵与相似矩阵5. 幂等矩阵与幂零矩阵总结：大二线性代数涵盖了向量与向量空间、线性方程组、矩阵与行列式、线性映射与线性变换、特殊矩阵与特殊线性变换等多个知识点。
通过对以上知识点的归纳和总结，我相信读者对大二线性代数的概念和技巧有了更清晰的理解。
希望读者能够在学习过程中注重理论的学习与实践的运用，通过练习和应用将理论知识转化为实际解决问题的能力。
线性代数是一门重要的数学学科，对于培养科学思维和解决实际问题都具有重要的作用，希望读者能够在以后的学习和工作中充分发挥线性代数的作用。
《线性代数》 线性方程组
A 2
5
3
③+①(-3) 0
1
1
3 8
0 1 6
③+②(-1)
1
0
3 1
2
1
0 0 5
对于齐次线性方程组，要使其有非零解，
则要求： 秩r(A)n 3
故 5 ＝ ， 0 ， ＝ 5 时 当 即 r A 2 ， 3
此时方程组有非零解。 这时系数矩阵变为：
1 3 2
如果常数项 b1,b2,,bm不全为0，则 称为：非齐次线性方程组。
5、方程组的解：
方程组的解是满足方程组的未知量的
一组取值： x 1 c 1 ,x 2 c 2 , ,x n c n .
也可记c1为 ,c2,： ,cn） （
例如：
显然，
5x1 x2 2x3 0 2x1 x2 x3 0 9x1 2x2 5x3 0
经济数学基础
《线性代数》
第三章 线性方程组
本章重点：
•线性方程组的解的判定和求法
本章难点：
•解的判定定理
一、线性方程组的有关概念
1、n元线性方程组为：
a11x1 a12x2 a1nxn b1,
a21x1 a12x2 a1nxn b2,
am1x1 am2x2 amnxn bm.
ai： j 第 i个方,第 程 j个未知 xj的量 系数；
1 1 0 x1 1
1
0
2x2
2
0 3 4 x3 3
由线性方程组可惟一确定增广矩阵；反之 由增广矩阵，也可以惟一确定线性方程组。
【例2】已知方程组的增广矩阵如下，试写出
它的线性方程组
1 1 0 1
A 1 0 2 2
【解】：x1x2 1
2023大学_大学线性代数课后答案
2023大学线性代数课后答案大学线性代数内容简介第一章矩阵与行列式1.0 预备知识1.0.1 集合1.0.2 数集1.0.3 数域1.0.4 求和号1.1 线性型和矩阵概念的引入1.1.1 矩阵的定义1.1.2 常用矩阵1.2 矩阵的运算1.2.1 矩阵的线性运算1.2.2 矩阵的乘法1.2.3 方阵的幂与方阵多项式1.3 方阵的行列式1.3.1 行列式的递归定义1.3.2 排列1.3.3 行列式的等价定义1.4 行列式的'基本性质1.4.1 转置行列式1.4.2 行线性性1.4.3 行列式的初等变换1.5 Laplace定理1.5.1 子式余子式代数余子式1.5.2 Laplace定理1.5.3 行列式的按行展开与按列展开 1.5.4 方阵乘积的行列式1.6 行列式的计算1.6.1 三角化1.6.2 降阶法与镶边法1.6.3 归纳与递推1.7 可逆矩阵1.7.1 可逆矩阵1.7.2 矩阵可逆的条件1.7.3 逆矩阵的求法1.8 分块矩阵1.8.1 矩阵的分块1.8.2 分块矩阵的运算1.8.3 分块对角矩阵习题一第二章线性方程组理论2.1 解线性方程组的消元法2.1.1 线性方程组的矩阵形式2.1.2 线性方程组的初等变换2.1.3 梯矩阵和简化梯矩阵2. 2向量空间Kn2.2.1 向量空间Kn及其运算性质2.2.2 子空间2.3 向量组的秩2.3.1 线性组合、线性方程组的向量形式 2.3.2 线性相关与线性无关2.3.3 极大线性无关组、向量组的秩2.4 矩阵的相抵标准形2.4.1 初等矩阵和矩阵的初等变换2.4.2 矩阵的秩2.5 Cramer法则2.5.1 Cramer法则2.5.2 求逆矩阵的初等变换法2.5.3 矩阵方程2.6 线性方程组解的结构2.6.1 线性方程组相容性判别准则2.6.2 齐次线性方程组的解空间2.6.3 非齐次线性方程组解的结构2.7 分块矩阵的初等变换2.7.1 分块矩阵的初等变换2.7.2 分块初等矩阵2.7.3 行列式和矩阵计算中的分块技巧习题二第三章相似矩阵3.1 方阵的特征值与特征向量3.1.1 方阵的特征值与特征向量3.1.2 特征值与特征向量的求法3.1.3 特征向量的性质3.2.1 矩阵相似的概念3.2.2 相似矩阵的性质3.3 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.1 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.2 特征值的代数重数和几何重数3.3.3 矩阵Jordan标准形3.4 方阵的最小多项式3.4.1 方阵的化零多项式3.4.2 最小多项式3.4.3 最小多项式与方阵相似于对角矩阵的条件 3.5 相似标准形的若干简单应用3.5.1 行列式求值与方阵求幂3.5.2 求与给定方阵可交换的方阵习题三第四章二次型与对称矩阵4.1 二次型及其标准形4.1.1 二次型及其矩阵表示4.1.2 二次型的标准形4.1.3 实对称矩阵的合同标准形4.2 惯性定理与二次型分类4.2.1 惯性定理4.2.2 二次型的分类4.3 正定二次型4.3.1 正定二次型4.3.2 二次型正定性判别法4.4 正交向量组与正交矩阵4.4.1 向量的内积4.4.2 正交向量组4.4.3 正交矩阵4.5 实对称矩阵的正交相似标准形4.5.1 实对称矩阵的特征值和特征向量 4.5.2 实对称矩阵的正交相似标准形 4.5.3 用正交替换化二次型为标准形习题四第五章线性空间与线性变换5.1 线性空间的概念5.1.1 线性空间的定义5.1.2 线性空间的简单性质5.1.3 线性子空间5.2 线性空间的同构5.2.1 基底，维数与坐标5.2.2 基变换与坐标变换5.2.3 线性空间的同构5.3 欧氏空间5.3.1 欧氏空间的定义与基本性质5.3.2 标准正交基5.3.3 欧氏空间的同构5.4 线性变换5.4.1 线性变换的概念与运算5.4.2 线性变换的性质5.5 线性变换的矩阵5.5.1 线性变换在给定基下的矩阵5.5.2 线性变换在不同基下矩阵间的关系习题五索引参考文献大学线性代数目录《大学数学线性代数》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材“大学数学”系列教材之一，秉承上海交通大学数学基础课程“基础厚、要求严、重实践”的特点编写而成。
线性代数 第2章 线性方程组
2.3.1几类特殊矩阵
2.3矩阵
2.3.1几类特殊矩阵 对角矩阵
2.3矩阵
2.3.1几类特殊矩阵
2.3矩阵
2.3.1几类特殊矩阵
2.3矩阵
2.3.1几类特殊矩阵 对称矩阵
2.3矩阵
2.3.1几类特殊矩阵 同型矩阵
相等矩阵
2.3矩阵
2.3矩阵
2.3.1几类特殊矩阵
邻接矩阵
①
④
②
③
2.3.2矩阵的运算 矩阵加法
其中：
2.2线性方程组的矩阵表示
2.2.2线性方程组的矩阵表示
2.2线性方程组的矩阵表示
2.2.3线性方程组的分类
2.2线性方程组的矩阵表示
2.2.3线性方程组的分类
2.2线性方程组的矩阵表示
2.2.3线性方程组的分类
2.2线性方程组的矩阵表示
2.2.4不定方程组及其矩阵表示
2.2线性方程组的矩阵表示
2.3矩阵
2.3.2矩阵的运算
2.3矩阵
2.3.2矩阵的运算
2.3矩阵
2.3矩阵
2.3.2矩阵的运算
矩阵加法的运算规律如表2-1矩阵加法的运算所示。 表2-1 矩阵加法的运算
条件 交换律 结合律
其他
2.3.2矩阵的运算
2.3矩阵
数乘矩阵
数乘矩阵是算
2.3.2矩阵的运算
方阵的幂
2.3矩阵
2.3.2矩阵的运算 矩阵转置
2.3矩阵
2.3.2矩阵的运算
22..33矩矩阵阵
2.3.2矩阵的运算
22..33矩矩阵阵
2.3.2矩阵的运算
22..33矩矩阵阵
2.3.3矩阵的用途
2.3矩阵
线性代数的基本理论
线性代数的基本理论线性代数是数学领域中的一个重要分支，也被广泛应用于科学和工程领域。
它主要研究向量空间、线性变换、矩阵、行列式等内容。
本文将介绍线性代数的基本理论，探讨向量空间、线性变换、矩阵、行列式等概念的本质和基本性质。
一、向量空间向量空间是线性代数的基本概念之一，其定义为一个非空集合V和定义在V上的两种运算：向量加法和数量乘法，满足以下条件：- 对于V中任意两个元素u和v，其和u + v也在V中。
- 对于V中任意一个元素u和任意一个标量c，它们的积cu也在V中。
- 含有零元素0，即对于V中任意一个元素u，有 u + 0 = u。
- 对于任意一个元素u，存在其相反元素-u，使u + (-u) = 0。
其中，v和u是向量，c是标量。
向量空间常被表示为[V, +, ·]。
向量空间是线性代数研究的对象之一，主要研究向量空间的基本性质和相应的运算法则。
例如，向量空间的维数、基、坐标表示、变换和变换矩阵等都是线性代数中的重要概念和研究方向。
二、线性变换线性变换是指从一个向量空间到另一个向量空间的一个函数，满足以下两个条件：- 对于任意两个向量u和v，变换T(u+v) = T(u) + T(v)。
- 对于任意一个向量u和任意一个标量c，变换T(cu) = cT(u)。
线性变换涉及向量空间的变换，因此它在许多领域中都有广泛应用。
例如，在图像处理和计算机视觉领域中，线性变换被用于图像变形和展示。
在机器学习和数据分析领域中，线性变换被用于降维和特征提取。
在线性变换中，常常涉及到变换矩阵的概念。
变换矩阵是一种将向量从一空间变换到另一空间的特殊矩阵，它是表示线性变换的一种方式。
例如，在二维空间中进行旋转变换时，可以用一个旋转矩阵来表示。
三、矩阵矩阵是一种重要的数学工具，在线性代数中也有广泛应用。
矩阵是一个矩形阵列，由一组数按照一定的顺序排列而成。
矩阵的每一个数都被称为它的元素，通常用a[i,j]表示矩阵的第i行第j列的元素。
线代知识点总结
线代知识点总结一、线性代数的基本概念1.1 向量向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。
在数学中，向量可以用坐标表示，如二维向量可以表示成(x, y)，三维向量可以表示成(x, y, z)。
向量还可以表示为列向量或行向量。
1.2 矩阵矩阵是由一组按照长方阵列的数按照一定规律排列的数集合，其中横的一排叫做行，纵的一排叫做列。
矩阵通常用大写字母表示，如A，B等。
1.3 线性组合给定一组向量{v1, v2, …, vn}和一组标量{c1, c2, …, cn}，称c1v1 + c2v2 + … + cnvn为这组向量的线性组合。
其中c1, c2, …, cn为标量，v1, v2, …, vn为向量。
1.4 线性相关与线性无关如果存在一组不全为零的标量{c1, c2, …, cn}，使得c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0，则称向量{v1, v2, …, vn}线性相关；否则称线性无关。
1.5 矩阵运算矩阵加法：矩阵A和矩阵B相加，得到的结果矩阵的对应元素为A和B对应元素之和。
矩阵乘法：矩阵A与矩阵B相乘，得到的结果矩阵C的第i行第j列元素为A的第i行与B的第j列对应元素乘积的和。
1.6 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
如果矩阵A的维度为m×n，则它的转置矩阵记作A^T，维度为n×m。
1.7 矩阵的逆如果矩阵A存在逆矩阵B，即AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A可逆。
非奇异矩阵（行列式不为0）的逆矩阵存在且唯一。
1.8 行列式行列式是一个与方阵相关的标量值，用来描述一个方阵的某些性质。
一个n阶方阵的行列式记作|A|，可以表示成一个数值。
1.9 矩阵的秩矩阵A的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大数目。
秩的计算可以通过行、列简化矩阵后观察矩阵中非零行或列的数量得出。
二、线性方程组与矩阵2.1 线性方程组线性方程组是由一系列的线性方程组成，形式通常为a1x1 + a2x2 + … + anxn = b。
线性代数与线性方程组
线性代数与线性方程组线性代数是数学中的一个重要分支，研究的对象是向量空间以及其中的线性变换。
而线性方程组是线性代数中的一个重要概念，涉及到找到一组满足线性关系的未知数的值。
线性代数与线性方程组是密切相关的，本文将从线性代数的基本概念入手，逐步介绍线性方程组的解法以及相关应用。
一、向量与向量空间向量是线性代数中的基本概念，它表示了空间中的一个点或方向。
向量可以用有序数对或有序数组来表示，具有大小和方向的性质。
向量可以进行加法和数乘运算，同时也满足一些特定的性质，如交换律、结合律等。
向量空间是由一组向量构成的集合，其中的向量可以进行线性组合和线性变换。
向量空间有许多重要的性质和定理，对于理解线性方程组的解法非常重要。
二、矩阵与线性变换矩阵是线性代数中的又一个重要概念，它是一个按照行列排列的矩形阵列，其中的元素可以是数、向量或其他矩阵。
矩阵可以进行加法、数乘和乘法运算，它与线性方程组之间存在着密切的联系。
线性变换是指将一个向量空间映射为另一个向量空间的变换，可以通过矩阵来表示。
线性变换具有保持加法和数乘运算的性质，它在解决线性方程组的过程中起着重要的作用。
三、线性方程组的定义与解法线性方程组是由一组线性方程组成的方程集合，其中的方程是关于未知数的线性关系。
解线性方程组的过程可以通过消元法、矩阵运算等方法来实现。
消元法是线性方程组解法中的基本思想，它通过逐步将方程组中的未知数消去，最终得到方程组的解。
而矩阵运算则是通过将线性方程组转化为矩阵形式来解决，采用高斯消元法或矩阵求逆的方法求解。
四、线性方程组的应用线性方程组在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
在物理学中，线性方程组可以用来描述物理量之间的关系，求解线性方程组可以得到物理模型的解析解。
在工程学中，线性方程组可用于描述电路、力学系统等的平衡关系，求解线性方程组可以得到工程问题的解决方案。
在经济学中，线性方程组可以用来描述供给需求关系等经济现象，求解线性方程组可以得到经济模型的稳定解。
线性代数(行列式新)
b b ba
将第 2,3,,n 列都加到第一列上,得
a n 1 b b b b
a n 1 b a b b
D a n 1 b b a b
a n 1 b b b a
-28-
1 b bb 1 a bb
a (n 1)b 1 b a b
1 b ba
1b bb
ri r1 a (n 1)b
-2-
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
例如：
a22 a23 a2n
M11
a32
a33
a3n
an2 an3 ann n1
A11 (1)11 M11
a21 a23 a2n
M12
a31
a33
a3n
an1 an3 ann n1
A12 (1)12 M12
-26-
推论5 由 |A| 的各元素的代数余子式 Aij 所构成
矩阵的转置矩阵 A11 A21 An1
A
A12
A22
An2
A1n
A2n
Ann
称为 A 的伴随矩阵。
由行列式展开定理
AA A A A E
伴随矩阵——研究可逆矩阵
-27-
例6 解
a bbb
ba bb计算 n 阶行源自式 D b b a ba11 a1k p11
设为 D1
p11 pkk
ak1 akk pk1 pkk
对 D2 作运算 ci kc j , 把 D2 化为下三角形行列式
b11 b1n q11
0
设为 D2
q11 qnn
bn1 bnn qn1 qnn
考研数学：线性代数分析之线性方程组-
考研数学：线性代数分析之线性方程组勤能补拙，滴水穿石，成功离我们并不会太遥远，只要用心我们就可以得到自己想要的。
接下来我们就线性方程组进行简单的分析。
线性代数的入门学习就是：线性方程组。
我们可以把线性方程组看作是线性代数的一个基石，我们是通过研究线性方程组来建立的线性代数这门学科。
线性方程组的求解可以分为齐次线性方程组与非齐次线性方程组，其中每类中都有具体线性方程组求解和抽象线性方程组求解之分。
方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。
关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：(1)、方程组是否有解，即解的存在性问题;(2)、方程组如何求解，有多少个解;(3)、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。
高斯消元法是求解线性方程组的最基本也是最直接的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：(1)、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去;(2)、交换某两个方程的位置;(3)、用某个常数k乘以某个方程。
我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。
任意的线性方程组我们都可以通过高斯消元法来化解成为阶梯形方程组。
通过阶梯形方程组我们可以直观的判断线性方程组解的情况。
通过矩阵表示出线性方程组，对该矩阵(如果是非齐次线性方程组，则是对其的增广矩阵)做相应的初等变化，我们可以将其化解为阶梯形矩阵，同样我们可以直观的得到其解的情况。
在判断线性方程组解的情况时，齐次线性方程组，我们只关心解的唯一性，以及不唯一情况下如何表示出所有解;非齐次线性方程组，我们首先要进行判断解是否存在，之后是唯一性，以及通解的表示。
对于齐次而言，判断唯一性的根本是通过r(A)与n之间的关系，如果r(A)=n 则该线性方程组的解唯一;当r(A)对于非齐次线性方程组而言，当系数矩阵的秩与增广矩阵秩不相等时，无解;当两者相等且等于n时，有唯一解;当两者相等且小于n时，有无穷多的解。
再讨论过线性方程组解的情况后，我们接下来讨论，在线性方程组有无穷多解的情况下，如何表示这些解，也就是其通解的情况。
线代总结1 线性代数中的线性方程组
线代总结1 线性代数中的线性方程组第四节线性方程组的解一．线性方程组的一般形式为:（Ⅰ）还可表示为A x=b,其中被称为系数矩阵。
称为增广矩阵。
，当b=0时，称方程组A x=0为齐次线性方程组，当b≠0时，称方程组A x=b为非齐次线性方程组。
如的系数矩阵是，是非齐次线性方程组。
如的系数矩阵是，是齐次线性方程组。
第一章介绍了利用行列式的性质来讨论线性方程组的解，下面我们将介绍利用矩阵的性质来讨论线性方程组的解。
定理5 设线性方程组（Ⅰ）的增广矩阵可由初等变换化为，则A x=b 与B x=d是同解的方程组注意：如果是齐次线性方程组b=0，只需对其系数矩阵进行初等变换换。
定理5可知求解线性方程组无论是齐次线性方程组还是非齐次线性方程组，首先将其系数矩阵A或增广矩阵施以初等行变换化简成为行最简形矩阵，再利用系数矩阵的秩数讨论其解。
下面分别讨论齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的情况。
1. 齐次线性方程组的解定理6 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是R(A)<n。
证明：必要性已知方程组A x=0有非零解，用反证法证明。
设R（A）=n，则在A 中必有一个n阶非零子式，从而所对应的n个方程只有零解，这与已知矛盾。
因此R（A）≠n，即R（A）<n。
充分性已知R（A）=r<n，则A的行最简形矩阵只含r个非零行，其余n-r行都为零，这n-r个行所对应的变量是自由变量，可以任意取值，所以，可知方程组有非零解。
例7 求解线性方程组解：系数矩阵将A施以初等行变换可知R（E）=3，方程组Ex=0只有零解。
又知方程组A x=0与E x=0是同解的，所以A x=0只有零解。
例8 求解齐次线性方程组解：系数矩阵将A施以初等行变换B为最简形矩阵，R（B）=2〈3，由定理6知，方程组Bx=0有非零解B所对应的方程组为这个方程组中有4个未知量，两个方程，故应有4-2=2个自由未知量。
用向量表示为此解是方程组Bx=0的通解，再由定理5知，它也是方程组Ax=0的通解。
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进一步，对行阶梯形矩阵作行初等变换，
我们还可以把矩阵A = ( aij )m n化成如下的行标 准形
0 0 1 * 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 * * 0 * * * * * 0 1 * 0 * * 1 * * 0 0 0 0 0 0 0 * * 0 * * 0 * *
交换第i , j列
第j行的k倍加到第i行
A B ACi ( k )
k 0乘第i列
A B ACi j ( k )
第j列的k倍加到第i列
5. 初等变换与逆矩阵的关系
结论1 对于任意 m n 矩阵 A，存在 m 阶初等 矩阵 P1 , P2 , · · · , Ps 和 n 阶初等矩阵 Q1 , Q2 , · · ·, Qt , 使得 I O
注：（1）作初等变换时不能用等号
要用 。
（2）在作初等变换时，尽量使 用行初等变换。
3 3 3 3 1 2 1 0 r1 r2 A 1 2 1 0 3 3 3 3 1 2 1 2 1 3 1 3
3. 初等矩阵的性质 可以直接验证，初等矩阵具有以下性质： (1) 初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵； (2) 初等矩阵均为可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵. 其中
Rij
1
Rij
Ri k
1
R 1
i k
Ri j k Ri j k
1
0
r行
0 0
m-r行
行最简形矩阵 定义 一个行阶梯矩阵若满足
(1) 每个非零行的第一个非零元为 1 ;
(2) 每个非零行的第一个非零元所在列的其
它元全为零, 则称之为行最简形矩阵.
1 3 0 2 0 0 0 0 1 4 0 0 3 2 3 0 0 1 3 0 1 0 0 0
第五节 矩阵的初等变换与初等矩阵
二、 矩阵的初等变换 定义 1 设 A = ( aij )m n , 则以下三种变换： (1) 互换 矩阵A 的第i行(列)与第j行（列）的 位置，记为 ri r j ci c j ； (2) 用一个非零的数乘以 A 的第i行(列)记 为 kri kci ； (3) 将 A 的第j行(列)元素的 k 倍加到第i行(列) 上.记为 ri krj ci kc j 称为矩阵 A 的行(列)初等变换. 一般将矩阵的行、 列初等变换统称为矩阵的初等变换.
结论1：我们可以将一个矩阵A = ( aij )m n通过 ai 0, i 1,2, r 行初等变换换成如下的形式：
0 0 a1 0 0 0 0 0 0 * * * * * r行 ak * * * * ar * * 0 0 0 0 m-r行 0 0 0 0 * a2
(2) 用非零常数 k 乘以 I 的第 i 行(列)，得到的 矩阵记作 Ri k ( Ci k Ri k )
1 1 i行 I 1 1 i 列 1
1 1 i行 k Ri k 1 i 列 1
1 1 ... ... ... 0 ( i行 ) 1 I 1 0 ... ... ... 1 ( j行 ) 1 ( i 列 ) ( j 列 ) 1 0 ... ... ... 1 ( i行 ) 1 Rij 1 1 ... ... ... 0 ( j行 ) ( i 列 ) ( j 列 ) 1
4. 初等变换与初等矩阵的关系 矩阵的初等变换和初等矩阵有着非常密切的关系. 由下面的定理给出. 定理 1 设 A = ( aij ) 是 m n 矩阵，则 (1) 对 A 进行一次行初等变换，相当于用一个m 阶的初等矩阵左乘 A ; (2) 对 A 进行一次列初等变换，相当于用一个n 阶的初等矩阵右乘 A . 左行右列
1 2 1 0 r2 1r1 1 2 1 0 r3 r1 0 3 2 1 1 1 1 1 0 0 1 2 0 3 1 3
1 r2 3
有了初等变换的概念，我们可以将复杂的
矩阵给它简化，通常我们化成下面三种形式:
C j i k Ri j k )
1 1 ... ... ... 1 Ri j k 1 0 ... ... ... ( i列)
k ( i行 ) ( j 行 ) 1 ( j列) 1
1 0 I4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 c1 c 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 C12 0 1
2 1 3 5 AC12 5 4 6 7 8 7 9 10
我们以下面的矩阵 B 为例.
2 1 1 1 1 1 2 1 B 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 4 9
行阶梯形矩阵
1 0 B2 0 0
0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 B3 0 0
1 0 0 0 1 0 r1 r2 I 3 0 1 0 1 0 0 R12 0 0 1 0 0 1
4 5 6 7 R12 A 1 2 3 5 7 8 9 10
1 2 3 5 2 1 3 5 A 4 5 6 7 A 5 4 6 7 c1 c 2 7 8 9 10 8 7 9 10
(3) 将 E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行(或第 i 列的 k 倍加到第 j 列) ( i < j )，得到的初等矩阵记作
Ri j k
(
1 1 ... ... ... 0 ( i行 ) 1 I 1 ( j 行 ) 0 ... ... ... 1 ( i列) ( j 列 ) 1
1 0 0 0
0 1 0 0
1 4 0 0
0 0 1 0
0 1 3 0
1 0 0 0
另外，
定理 任意矩阵 A1 都可以经过初等变换 化为 I O 1 r 0 O O 0 这种形式称为标准形. 矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形之间的关系： 结论： 任何矩阵经单纯的行初等变换必能化为行阶梯 形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化成标准 形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵.
1
Ps P2 P 1 AQ1Q2 Qt O O
Ps P2 P 1 AQ 1Q2 Qt I n
A Ps Ps1 P 1 I n Q 1Q2 Qt
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 B1 0 4 0 3 3 0
1 2 1
4 1 1 1 0 0 0 2 6 0 0 0 0
行最简形矩阵
标准形矩阵
1. 初等矩阵的定义 定义 2 由单位矩阵 I 经过一次初等变换得 到的矩阵称为初等矩阵. 2. 初等矩阵 六种初等变换对应于六种初等矩阵. 一般地，对 于 n 阶单位矩阵 I，有 (1) 交换 I 的第 i、j 行(列) ( i < j )，得到的初等 矩阵记作 Rij ( Cij Rij )
r Ps P2 P AQ Q Q 1 1 2 t O O
结论 2 对于任意 m n 矩阵 A，存在 m 阶可逆 矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q，使得
Ir O PAQ O O
定义2.13 若矩阵 A经过行（列）初等变 换可化为B，则称A与B行（列）等价，若 矩阵 A经过初等变换可化为B，则称A与B 等价
初等矩阵的主要作用是通过它将矩阵 的初等变换转化为矩阵的乘法.
A B Rij A
交换第i , j行
A B Ri ( k ) A
k 0乘第i行
A B Ri j ( k ) A
A B ACij
Cijห้องสมุดไป่ตู้ Cij
1
C i k
1
C 1
i k
C i j k C i j k
1
4 5 6 7 1 2 3 5 r1 r2 1 2 3 5 A 4 5 6 7 A 7 8 9 10 7 8 9 10
0
行阶梯形矩阵的定义
定义 满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯 形矩阵 ( 或称梯矩阵 ): (1) 零行(元素全为零的行)都在矩阵的最下面 (2) 非零行(元不全为零的行)中第一个非零元前 面零的个数逐行增加 例如 1 2 3 4 5 1 3 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 4 0 1 0 0 0 2 5 6 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
定理2.5 m n 矩阵 A与B等价当且仅当存 在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q，使得 PAQ B 特别地，任一m n 矩阵 A都等价