第五章 含有互感元件的电路

互感线圈同名端的判别
a、c为同名端
a、c为异名端
四、互感电压
两互感线圈的互感电动势及互感电压
自感电动势和自感电压：由于线圈中的电流变化而在线圈自身中 自感电动势和自感电压 引起的感应电动势的现象，称为自感现象 自感现象，所产生的感应电动势 自感现象 称为自感电动势 自感电动势，由此而产生的感应电压称为自感电压 自感电压。 自感电动势 自感电压 互感电动势：由于一个线圈中的电流变化而在邻近的另一个线圈 互感电动势 中产生感应电动势的现象称为互感现象 互感现象，所产生的感应电动势称 互感现象 互感电动势。由于一个线圈中的电流变化而在另一个线圈两端建 互感电动势 立的电压称为互感电压 互感电压。 互感电压
线圈2的自感磁通φ22
各类磁通分别通过线圈形成相应的磁链 磁链。 磁链
线圈1的自感磁链
ψ 11
线圈1的漏磁链 ψ σ 1 线圈1对线圈2的互感磁链 ψ 21 线圈2的漏磁链 ψ σ 2 线圈2对线圈2的互感磁链 ψ 12
线圈2的自感磁链 ψ 22
◆磁耦合：一个线圈电流产生的磁场的磁感应线与另一个线 磁耦合： 磁耦合 圈交链的现象，即两个线圈之间通过磁场相互联系的现象。
互感 电感 自感 单位都是亨利（H）
二、耦合系数
工程上常用耦合系数K来表示两个线圈之间磁耦合的紧密程度。
L1 =
ψ 11
i1
K=
M L1L 2
∵
，L2 =
ψ 22
i2
，M＝
ψ 12
i2
＝
ψ 21
i1
ψ 21 ψ 12 K＝ ⋅ ψ 22 ψ 11
0 ≤ ψ 21 ≤ ψ 11 0 ≤ ψ 12 ≤ ψ 22
M 21 =
ψ 21
i1
线圈2对线圈1的互感 系数,用M12表示
M 12 =
ψ 12
i2
理论和实验都证明
M 21 = M 12 = M
M：两个线圈间的互感系数，简称互感
M 21 = M 12 = M
M： 在数值上等于一个线圈流过单位电流时所产生的磁场通过另一个线圈 的磁链。 M的大小取决于两线圈的形状、尺寸、匝数、相对位置，线圈周围磁 介质的磁导率及磁介质的空间分布情况。 对于结构确定、相对位置固定的两线圈，若线圈周围磁介质的磁导率 为常数（磁介质为各向同性的线性物质），则互感系数M是一个非负实 常数。若线圈周围存在铁磁性物质，则互感系数M与线圈中的电流大小 有关。
u 21 = −
dψ 21 dψ 12 , u12 = − dt dt
互感电压与产生它的电流之间的关系可表示为：
di1 di2 u 21 = ± M ，u12 = ± M dt dt
当互感电压的参考极性的正极性端与产生它的电流的参考方向的流入 端为同名端时，式中取“＋”号，反之取“－”号。
u 21 = M
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•
•
•
将 U , ω , L1 , L2 , M 看作已知量，求解上述方程组，可得：
jω L2 − jω M • I1 = U 2 2 (ω M ) − ω L1 L2
•
jω L1 − jω M • I2 = U (ω M ) 2 − ω 2 L1 L2
•
jω L2 + jω M • U I1 = 2 2 (ω M ) − ω L1 L2
di di e21 = − M 1 ，e12 = − M 2 dt dt
e21 = M
di1 di ，e12 = M 2 dt dt
当互感电压的参考方向和互 感电动势的参考方向一致
互感电压与互感磁 链之间的关系为：
u 21 = −e21，u12 = −e12
当互感电压的参考方向和互 感电动势的参考方向相反
互感元件串联： 互感元件串联：互感元件中的线圈以串联方式连接起来。 连接 方式 顺向串联：两线圈的异名端连接在一起，也称正向串联。 顺向 反向串联：两线圈的同名端连接在一起。 反向
顺向串联
反向串联
2.电压与电流的关系 电压与电流的关系
•
I1 = I 2 = I
• • •
•
•
•
• • •
U 1 = jω L1 I 1 + jω M I 2 = jω L1 I + jω M I
di1 di ，u12 = M 2 dt dt
u 21 = − M
di1 di ，u12 = − M 2 dt dt
四、互感元件的电压与电流的关系
确定互感线圈的同名端之后，可将互感线圈用电路符号来表示。
互感元件的电路符号
互感元件：忽略了导线电阻、分布电容和磁介质能耗的互感线圈的理想 互感元件 化电路模型，称为互感元件或耦合电感元件。 前提：互感元件是线性定常元件。 由KVL，得：
同侧并联电路
异侧并联电路
2. 电 压 与 电 的 关 系
同 侧 并 联 电 路
异 侧 并 联 电 路
I = I1+ I 2 U = jω L1 I 1 + jω M I 2 U = j ω L2 I 2 + j ω M I 1
•
• • • • • •
•
•
•
I = I1+ I 2 U = jω L1 I 1 − jω M I 2 U = jω L2 I 2 − jω M I 1
互感线圈的同名端
上图中：a和d两端点、b和c两端点为同名端； a和c两端点、b和d两端点为异名端。
两耦合线圈同名端的判定方法： 两耦合线圈同名端的判定方法：
1.方法一 方法一：根据定义来确定； 方法一 2.方法二 方法二：设有两个电流各自从分别属于两线圈的两端点流入线圈，若 方法二 一个线圈的自感磁通的方向与另一个线圈电流产生的互感磁通的方向相 同，则两电流的流入端就是两线圈的同名端；若一个线圈的自感磁通的 方向与另一个线圈电流产生的互感磁通的方向相反，则两电流的流入端 为异名端。
第五章
第一节 第二节 第三节
含有互感元件的电路
互感和互感电压 互感元件的串联和并联 具有互感元件电路的计算
第五章小结 第五章小结
第一节
一、互感系数
互感和互感电压
两线圈之间的互感
线圈1的自感磁通 φ11
线圈1的漏磁通 φσ 1 线圈1对线圈2的互感磁通 φ21 线圈2的漏磁通 φσ 2 线圈2对线圈1的互感磁通 φ12
顺 向 串 联
U 2 = jω L2 I 2 + jω M I 1 = jω L2 I + jω M I U = U 1 + U 2 = jω ( L1 + L2 + 2 M ) I
U 1 = jω L1 I 1 − jω M I 2 = jω L1 I − jω M I
• • • • •
•
•
•
•
•
根据电磁感应定律可确定，两个耦合线圈的互感电动势与互感磁链之间 的关系为：
dψ 21 e21 = ± dt dψ 12 e12 = ± dt
当互感电动势的参考方向与引起该 互感电动势的互感磁链的参考方向 （即互感磁通的参考方向）符合右 手螺旋定则时，式中取“－”号， 反之取“＋”号。
∴
0 ≤ K ≤1
K的大小取决于两线圈的结构、相对位置和线圈周围磁介质的性质、 磁介质的空间分布情况。 K值越大：表明两线圈之间的磁耦合越紧密。 K＝0，表明不存在互感磁链（即表明两线圈之间无磁耦合） 。 K＝1，表明每一线圈电流所产生的磁通全部与另一线圈交链（全耦合）。
三、同名端
同极性端(同名端) 同极性端(同名端)：具有磁耦合的两个线圈，在同一变化磁通（指的是 同时与两线圈交链的磁感应线所形成的变化磁通）作用下，产生感应电动 势，两线圈中同时为感应电动势的正极或同时为感应电动势的负极的两个 端点。用点号“·”或星号“＊”来表示。 异名端： 异名端：互感线圈中不是同名端的两端点。
•
jω ( L1 + L2 − 2 M ) • I= U (ω M ) 2 − ω 2 L1 L2
•
jω L1 + jω M • I2 = U 2 2 (ω M ) − ω L1L2
•
jω ( L1 + L2 + 2 M ) • I= U 2 2 (ω M ) − ω L1 L2
耦合线圈、互感线圈
前提：电流的参考方向和自感磁链的参考方向（即自感磁通的参 前提 考方向）符合右手螺旋定则 右手螺旋定则。 右手螺旋定则
两线圈自感系数分别为：
L1 =
ψ 11
i1
， L2 =
ψ 22
i2
耦合线圈的互感系数：互感磁链与产生它的电流之比，M 。 耦合线圈的互感系数
前提：互感磁链的参考方向（即互感磁通的参考方向）与产生互感 磁链的电流的参考方向符合右手螺旋定则。 线圈1对线圈2的互感系数，用M21表示
= 6280 cos100π t V u2 = − M di1 d (10 sin 100π t ) =− V dt dt = 10 × 100π × sin(100π t − 90o ) V
= 3140 sin(100π t − 90o ) V
第二节 互感元件的串联和并联
一、互感元件的串联 1.两种串联方式 两种串联方式
•
•
反 向 串 联
U 2 = j ω L2 I 2 − j ω M I 1 = j ω L2 I − j ω M I U = U 1 + U 2 = jω ( L1 + L2 − 2 M ) I
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•
•
•
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U = jω ( L1 + L2 ± 2 M ) I
顺向串联时，2M前取“＋”号；反向串联时，2M前取“－” 号。