高一数学直线与两圆的位置关系

两圆方程作差所得方程对应的直线与两圆的位置关系简介：对于两个非同心圆的一般方程，若把它们作差，消去二次项后会得到一个二元一次方程，即得到一条直线的方程。

所得直线l 在两圆的5种位置关系下的几何意义以及l 已知两圆1C 、2C 的位置关系如何？笔者针对以上问题探讨如下： 一、预备知识：圆幂定理:二、预备知识：定义点到圆的幂与两圆的根轴 三、定理：根轴与两圆连心线垂直四、两圆相交根轴的几何意义就是公共弦所在直线 五、两圆相切（内切或外切）根轴的几何意义就是公切线 六、两圆相离根轴的几何意义与位置 七、两圆内含根轴的几何意义与位置 八、结论：正文对于两个非同心圆的一般方程，若把它们作差，消去二次项后会得到一个二元一次方程，即得到一条直线的方程。

设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ，把这两个圆的方程作差，消去二次项后，得到的一条直线方程为0)()()(:212121=-+-+-F F y E E x D D l 。

现在我想探讨的问题是：所得直线l 在两圆的5种位置关系下的几何意义以及l 已知两圆1C 、2C 的位置关系如何？笔者针对以上问题探讨如下：一、预备知识：圆幂定理:1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

3.割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A 、B ；C 、D ，则有 PA·PB=PC·PD。

统一归纳为圆幂定理：过任意不在圆上的一点P 引两条直线L1、L2，L1与圆交于A 、B （可重合，即切线），L2与圆交于C 、D （可重合），则有PA·PB=PC·PD。

4．圆幂定理推论：设圆半径为r ，圆心为O ， 若P 在圆外，则()()()22222PA PB PC PD PO r PO r PO r PO r ==+-=-=-=切线长；若P 在圆内，()()2222PA PB PC PD r PO r PO r PO PO r ==--=-=-。

（事实上所有的过P 点与圆相交的直线都满足这个值） 二、预备知识：定义点到圆的幂与两圆的根轴1．定义点到圆的幂：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。

这个值称为点P 到圆O 的幂。

（若P 在圆外，这个值就是切线长的平方） 2．定义两圆的根轴：两个非同心圆相减-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++总是得到一条直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+- 因-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++⇔222222222111()()()()0x a y b r x a y b r ⎡⎤⎡⎤-+----+--=⇔⎣⎦⎣⎦()()()()22222222221122110PO r PO r PO r PO r ⎡⎤⎡⎤---=⇔-=-⎣⎦⎣⎦由此可知：直线l 是到两圆幂相等的点的集合。

两圆的根轴定义：两圆方程相减所得的方程对应的直线叫两圆的根轴，即到两圆幂相等的点的集合。

（不相交时，就是两圆切线长相等的点的集合） 三、定理：根轴与两圆连心线垂直 圆1C 的圆心坐标是)2,2(11E D --，圆2C 的圆心坐标是)2,2(22ED --。

1。

当12D D =时，两圆非同心，则12E E ≠得过两圆心的直线的斜率不存在，而直线l 的斜率为零，故直线l 与过两圆心的直线垂直；2。

当12E E =时，两圆非同心，则12D D ≠得过两圆心的直线的斜率为零，而直线l 的斜率不存在，故直线l 与过两圆心的直线垂直；3。

当12D D ≠且12E E ≠时，得过两圆心的直线的斜率是2121D D E E --，而直线l 的斜率是2121E E D D ---，故直线l 与过两圆心的直线垂直。

四、两圆相交根轴的几何意义就是公共弦所在直线设()111y ,x P 、()222y ,x P 是两圆的交点，则有0F y E x D y x 111112121=++++和2211212120x y D x E y F ++++=成立，即()111y ,x P 满足方程-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++，即()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-；同理()222y ,x P 也满足它，所以直线l 表示两圆相交弦所在直线。

五、两圆相切（内切或外切）根轴的几何意义就是公切线1.设()111y ,x P 是两圆的切点，则有0F y E x D y x 111112121=++++和2211212120x y D x E y F ++++=成立，即()111y ,x P 满足方程-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++，即()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-； 2.又 由三知根轴与两圆连心线垂直 由1.2.知，根轴的几何意义就是公切线 六、两圆相离根轴的几何意义与位置两圆相离根轴的几何意义是到两圆幂相等的点的轨迹（既到两圆切线长相等的轨迹），但是，结论比较抽象，具体直线l 在哪里？由三定理知根轴与两圆连心线垂直，因此只需探求根轴l 与两圆连心所在直线垂直的垂足K 位置即可设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-，2222222)()(:r b y a x C =-+-，设两圆的圆心分别为12,O O 半径为1,2r r ，以1O 为圆心,1R 为半径作圆,以2O 为圆心, 2R 为半径作圆,满足1212R R OO +=， |那么,新得到的两圆是外切的；再令22221212r r R R -=-显然,原来两圆方程相减所得的方程和新得到的两圆方程相减所得的方程一样,为同一直线,即为新得两圆的公切线.；所以,只需解方程组:解得:2212112121212121222122222221212122112212121212r r R O O R R O O O O R R O O r r R R r r R R r r O O R O O O O⎧⎡⎤-=+⎪⎧+=⎢⎥⎧+=⎪⎪⎪⎣⎦⇔⇔-⎨⎨⎨-=-=-⎡⎤⎪-⎪⎪⎩=+⎢⎥⎩⎪⎣⎦⎩K 内分12O O 所称比1222212121222122211211k k a a x r r O O R b b R r r O O y λλλλλ+⎧=⎪-+⎪+==⇒⎨+-+⎪=⎪+⎩内分点又222221211121212121121211222r r R r O O r r r O O O O r O O O O ⎡⎤-⎡⎤-=+-=-+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦=()()22121212121212121211022O O r r O O r r O O r r O O O O ⎡⎤--=⎡-+⎤⎡-+⎤>⎣⎦⎣⎦⎣⎦； 同理220R r ->；故K 在两圆连心线上两圆之间的线段上且12r r >时，垂足K 在 圆心1O 与线段12O O 中点连线的延长线上；12r r <时，垂足K 在圆心2O 与线段12O O 中点连线的延长线上。

由以上可知：垂足K 的求法与位置已明朗化，抽象的直线l 的位置也已明朗化。

举例如下：设221:1C x y +=，222:(4)(4)16C x y -+-=(()222222121212222222211214174741r r O O R R r r O O λ-+-+====-+-+ 121217041747171161471704174717116147k kk k a a x x b b y y λλλλ⎧+⎪+====⎪+⎪+⎪⇒⎨⎪++⎪====⎪++⎪⎩直线12O O 斜率为1，所以所求根轴方程为：17171881701616y x x y ⎛⎫-=--⇒+-= ⎪⎝⎭此结果验证与直接相减结果一致。

七、两圆内含根轴的几何意义与位置同样两圆内含根轴的几何意义是到两圆幂相等的点的轨迹（既到两圆切线长相等的轨迹） 结论同样抽象，具体直线l 在哪里？根轴与两圆连心线垂直，仍需探求根轴l 与两圆连心所在直线垂直的垂足K 的位置。

圆方程、圆心、半径设法同上，同样以1O 为圆心,1R 为半径作圆,以2O 为圆心, 2R 为半径作圆,满足1212R R OO -=，|那么,新得到的两圆是内切的；再令22221212r r R R -=- 显然,原来两圆方程相减所得的方程和新得到的两圆方程相减所得的方程一样为同一直线,即为新得两圆的公切线.；所以，只需解方程组 121222221212R R O O r r R R ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩ 不妨设12r r >（既12R R >）时：方程组等价于2212112121212121222122222221212121212212121212r r R O O R R O O O O R R O O r r R R r r R R r r O O R O O O O ⎧⎡⎤-=+⎪⎧-=⎢⎥⎧-=⎪⎪⎪⎣⎦⇔⇔-⎨⎨⎨+=-=-⎡⎤⎪-⎪⎪⎩=-⎢⎥⎩⎪⎣⎦⎩K 外分12O O 所称比1222212121222122121211k k a a x r r O O R b b R r r O O y λλλλλ+⎧=⎪-+⎪+=-=-⇒⎨+--⎪=⎪+⎩2222212111211212121121211222r r R r O O r r r O O O O r O O O O ⎡⎤-⎡⎤-=+-=-+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦()2211221212121212121122r O O r r r O O r r O O O O O O ⎡⎤=--=⎡--⎤⎡+-⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦1212OO r r <-）111212121212102R r r r O O r r O O O O ∴-=⎡--⎤⎡+-⎤>⎣⎦⎣⎦；又12R R > 故垂足K 在圆心1O 2O 的延长线上且在圆1O 外部；由以上可知：垂足K 的求法与位置已明朗化，抽象的直线l 的位置也已明朗化。

举例如下：设221:9C x y +=，222:(1)(1)1C x y -+-=()2222221212122222221212315331r r O O R R r r O O λ-+-+=-=-==-----，121250153512135015351213k k k k a a x x b b y y λλλλ⎧⎛⎫+- ⎪⎪+⎝⎭⎪====+⎪-⎪⇒⎨⎛⎫⎪+- ⎪⎪+⎝⎭====⎪+⎪-⎩ 直线12O O 斜率为1，所以所求根轴方程为：5515022y x x y ⎛⎫-=--⇒+-= ⎪⎝⎭，此结果验证与直接相减结果一致。