导与练重点班2017届高三数学一轮复习阶段检测试题三理

阶段检测试题(三)(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2016沧州期末)已知数列{a n}中,a1=3,a n+1=2a n+1,则a3等于( C )(A)3 (B)7 (C)15 (D)18解析:因为a1=3,a n+1=2a n+1,所以a2=2a1+1=2×3+1=7,a3=2a2+1=2×7+1=15.2.(2015石家庄二模)如果a<b<0,那么下列不等式成立的是( A )(A)-<- (B)ab<b2(C)-ab<-a2(D)|a|<|b|解析:因为a<b<0,所以-a>-b>0,ab>0,所以->-,即->-.选项A成立;由a<b<0得ab>b2,选项B不成立;由a<b<0,-a>0得-a2<-ab,选项C不成立;由a<b<0得|a|>|b|.选项D不成立.3.(2016天津校级模拟)已知2a+1<0,关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是( C )(A){x|x>5a或x<-a} (B){x|-a<x<5a}(C){x|x<5a或x>-a} (D){x|5a<x<-a}解析:不等式x2-4ax-5a2>0可化为(x-5a)(x+a)>0;因为方程(x-5a)(x+a)=0的两根为x1=5a,x2=-a,且2a+1<0,所以a<-,所以5a<-a,所以原不等式的解集为{x|x<5a,或x>-a}.4.(2016马鞍山模拟)设变量x,y满足约束条件则z=x-3y的最小值为( D )(A)-2 (B)-4 (C)-6 (D)-8解析:根据题意,画出可行域与目标函数线如图所示,由图可知目标函数在点(-2,2)取最小值-8.5.(2016马鞍山模拟)等差数列{a n}前n项和为S n,且-=3,则数列{a n}的公差为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:设等差数列{a n}的公差为d,因为-=3,所以-=3,化简可得2d-d=3,解得d=2.6.(2015甘肃二模)函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线与直线3x-y+2=0平行,若数列{}的前n项和为S n,则S2 015等于( D )(A)1 (B)(C)(D)解析:f′(x)=2x+b,由直线3x-y+2=0可知其斜率为3,根据题意,有f′(1)=2+b=3,即b=1,所以f(x)=x2+x,从而数列{}的通项为==-,所以S2 015=1-+-+…+-=.7.(2016天津校级模拟)设M=a+(2<a<3),N=lo(x2+) (x∈R),那么M,N的大小关系是( A )(A)M>N (B)M=N(C)M<N (D)不能确定解析:因为2<a<3,所以M=a+=(a-2)++2>2+2=4,N=lo(x2+)≤lo=4<M.8.若实数x,y满足则z=的取值范围为( B )(A)(-∞,-4]∪[,+∞)(B)(-∞,-2]∪[,+∞)(C)[-2, ](D)[-4, ]解析:作出不等式组对应的平面区域,如图.因为z=,所以z的几何意义是区域内过任意一点(x,y)与点P(1,-2)的直线的斜率.由题意知C(4,0),所以k PO=-2,k PC==,所以z=的取值范围为z≥或z≤-2,即(-∞,-2]∪[,+∞).故选B.9.设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1.a n+1=a n,b n+1=,c n+1=,则( B )(A){S n}为递减数列(B){S n}为递增数列(C){S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列(D){S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列解析:由b n+1=,c n+1=得,b n+1+c n+1=a n+(b n+c n),①b n+1-c n+1=-(b n-c n),②由a n+1=a n得a n=a1,代入①得b n+1+c n+1=a1+(b n+c n),所以b n+1+c n+1-2a1=(b n+c n-2a1),因为b1+c1-2a1=2a1-2a1=0,所以b n+c n=2a1>|B n C n|=a1,所以点A n在以B n,C n为焦点且长轴长为2a1的椭圆上(如图).由b1>c1得b1-c1>0,所以|b n+1-c n+1|=·(b n-c n),即|b n-c n|=(b1-c1)·()n-1,所以当n增大时|b n-c n|变小,即点A n向点A处移动,即边B n C n上的高增大,又|B n C n|=a n=a1不变,所以{S n}为递增数列.10.(2016资阳模拟)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给五个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,问最小1份为( A )(A) (B)(C) (D)解析:设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,(其中d>0)则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,所以a=20;由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=7(2a-3d);所以24d=11a,所以d=,所以,最小的1份为a-2d=20-=.11.(2016温江校级模拟)某企业拟生产甲、乙两种产品,已知每件甲产品的利润为3万元,每件乙产品的利润为2万元,且甲、乙两种产品都需要在A,B两种设备上加工,在每台设备A、每台设备B上加工1件甲产品所需工时分别为1 h和2 h,加工1件乙产品所需工时分别为2 h和1 h,A设备每天使用时间不超过4 h,B设备每天使用时间不超过5 h,则通过合理安排生产计划,该企业在一天内的最大利润是( D )(A)18万元(B)12万元(C)10万元(D)8万元解析:设应生产甲、乙两种产品各x,y件,企业获得的利润为z=3x+2y,则x,y满足的约束条件画出可行域,如图,可知最优解为(2,1),即应生产A产品2件,B产品1件,可使企业获得最大利润,最大利润为8万元.12.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+<m2-3m有解,则实数m的取值范围是( B )(A)(-1,4) (B)(-∞,-1)∪(4,+∞)(C)(-4,1) (D)(-∞,0)∪(3,+∞)解析:因为不等式x+<m2-3m有解,所以(x+)min<m2-3m,因为x>0,y>0,且+=1,所以x+=(x+) (+)=++2≥2+2=4,当且仅当=,即x=2,y=8时取“=”,所以(x+)min=4,故m2-3m>4,即(m+1)(m-4)>0,解得m<-1或m>4,所以实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015甘肃一模)等比数列{a n}中,a4=2,a5=5,则数列{lg a n}的前8项和等于. 解析:因为等比数列{a n}中a4=2,a5=5,所以a4·a5=2×5=10,所以数列{lg a n}的前8项和S=lg a1+lg a2+…+lg a8=lg(a1.a2 (8)=lg(a4·a5)4=4lg(a4·a5)=4lg 10=4.答案:414. (2016山东省师大附中高三二模)若对于任意的x∈[0,1],不等式1-ax≤≤1-bx恒成立,则a的最小值为,b的最大值为.解析:a≥(1-),b≤(1-),设f(x)= (1-),令=t∈[1,],f(x)=y=∈[,]a≥f(x)max=,b≤f(x)min=.答案:15.(2016唐山统考)数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),2S n-na n=n,若S20=-360,则a2= .解析:因为2S n-na n=n,①所以当n≥2时,2S n-1-(n-1)a n-1=n-1,②所以①-②得,(2-n)a n+(n-1)a n-1=1,③所以(1-n)a n+1+na n=1,④所以③-④得,2a n=a n-1+a n+1(n≥2),所以数列{a n}为等差数列,因为当n=1时,2S1-a1=1,所以a1=1,因为S20=20+d=-360,所以d=-2.所以a2=1-2=-1.答案:-116.设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为.解析:因为=1+的最小值为,所以的最小值为,而表示点(x,y)与(-1,-1)连线的斜率,易知a>0,所以可行域如图中阴影部分所示,所以()min===,所以a=1.答案:1三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)(2015达州期末)已知f(x)=x2-(a+)x+1.(1)当a=时,解不等式f(x)≤0;(2)若a>0,解关于x的不等式f(x)≤0.解:(1)当a=时,不等式f(x)=x2-x+1≤0,所以(x-) (x-2)≤0,所以不等式的解为x∈{x≤x≤2}.(2)因为不等式f(x)= (x-) (x-a)≤0,当0<a<1时,有>a,所以不等式的解集为{xa≤x≤};当a>1时,有<a,所以不等式的解集为{x≤x≤a};当a=1时,不等式的解为x=1.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(1)=.(1)当n∈N*时,求f(n)的表达式;(2)设a n=n·f(n),n∈N*,求证:a1+a2+a3+…+a n<2;(3)设b n=(9-n),n∈N*,S n为{b n}的前n项和,当S n最大时,求n的值.解:(1)令x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)·f(1)=f(n),所以{f(n)}是首项为,公比为的等比数列,所以f(n)= ()n.(2)设T n为{a n}的前n项和,因为a n=n·f(n)=n·()n,所以T n=+2×()2+3×()3+…+n×()n,T n=()2+2×()3+3×()4+…+(n-1)×()n+n×()n+1,两式相减得T n=+()2+()3+…+()n-n×()n+1,所以T n=2-()n-1-n×()n<2.(3)因为f(n)= ()n,所以b n=(9-n)=(9-n)=,所以当n≤8时,b n>0;当n=9时,b n=0;当n>9时,b n<0.所以当n=8或9时,S n取得最大值.19.(本小题满分12分)(2015怀化一模)某单位有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10(a-)万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?(2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少?解:(1)由题意得10(1 000-x) (1+)≥10×1 000,即x2-500x≤0,又x>0,所以0<x≤500.即最多调整500名员工从事第三产业.(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a-)x万元,从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000-x) (1+x)万元,则10(a-)x≤10(1 000-x) (1+x),所以ax-≤1 000+2x-x-x2,所以ax≤+1 000+x,因为x>0,即a≤++1恒成立,因为+≥2=4,当且仅当=,即x=500时等号成立.所以a≤5,又a>0,所以0<a≤5,即a的取值范围为(0,5].20.(本小题满分12分)(2015高考天津卷)已知数列{a n}满足a n+2=qa n(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和{a n}的通项公式;(2)设b n=,n∈N*,求数列{b n}的前n项和.解:(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q≠1,故a3=a2=2,由a3=a1·q,得q=2.当n=2k-1(k∈N*)时,a n=a2k-1=2k-1=;当n=2k(k∈N*)时,a n=a2k=2k=,所以{a n}的通项公式为a n=(2)由(1)得b n==,n∈N*,设{b n}的前n项和为S n,则S n=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,S n=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,上述两式相减,得S n=1+++…+-=-=2--,整理得,S n=4-,n∈N*.所以,数列{b n}的前n项和为4-,n∈N*.21.(本小题满分12分)(2015沈阳一模)已知数列{a n},{c n}满足条件:a1=1,a n+1=2a n+1,c n=.(1)求证数列{a n+1}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{c n}的前n项和T n,并求使得a m>对任意n∈N都成立的正整数m的最小值.解:(1)因为a n+1=2a n+1,所以a n+1+1=2(a n+1),因为a1=1,a1+1=2≠0,所以数列{a n+1}是首项为2,公比为2的等比数列.所以a n+1=2×2n-1,所以a n=2n-1.(2)因为c n==(-),所以T n=(-+-+…+-)=(-)==.所以==6+,n∈N*,所以6+≤15,所以当n=1时,取得最大值15.要使得a m>对任意n∈N*都成立,结合(1)的结果,只需2m-1>15,由此得m>4.所以正整数m的最小值是5.22.(本小题满分12分)(2015衡水一模)已知数列{a n}的前n项和为S n,函数f(x)=px3-(p+q)x2+qx+q(其中p,q均为常数,且p>q>0),当x=a1时,函数f(x)取得极小值,点(n,2S n)(n∈N*)均在函数y=2px2-qx+q-f′(x)的图象上.(1)求a1的值;(2)求数列{a n}的通项公式.解:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=px2-(p+q)x+q,令f′(x)=0,得x=1或x=.又因为p>q>0,故有0<<1.再由f′(x)在x=1的左侧为负,右侧为正,故当x=1时,函数f(x)取得极小值.再由f′(x)在x=的左侧为正,右侧为负,故当x=时,函数f(x)取得极大值.由于当x=a1时,函数f(x)取得极小值,故a1=1.(2)函数y=2px2-qx+q-f′(x)=px2+px,点(n,2S n)(n∈N*)均在函数y=2px2-qx+q-f′(x)的图象上,故有2S n=pn2+pn,①故2S n-1=p(n-1)2+p(n-1),(n>1)②①-②可得2a n=2pn,所以a n=pn.再由a1=1可得p=1,故a n=n.综上可得,数列{a n}的通项公式为a n=n.。