3-1-1 变化率问题与导数的概念

1．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3

；④y ＝1

x 中．平均变化率最大的是( )

A ．④

B ．③

C ．②

D ．①

[答案] B

[解析] ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.

2．一个物体的运动方程是s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1的瞬时速度为3，则a ＝( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．7

[答案] A

[解析] Δs ＝2(1＋Δt )2＋a (1＋Δt )＋1－(2＋a ＋1)＝2Δt 2＋(4＋a )Δt ，

由条件知lim Δt →0

Δs

Δt ＝lim Δt →0

(2Δt ＋4＋a )＝4＋a ＝3，

∴a ＝－1.

3．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )

A ．f ′(x )＝a

B ．f ′(x )＝b

C ．f ′(x 0)＝a

D ．f ′(x 0)＝b

[答案] C

[解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

＝lim Δx →0

a Δx ＋

b (Δx )2Δx

＝lim Δx →0

(a ＋b Δx )＝a . ∴f ′(x 0)＝a .

4．f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝4，则lim Δx →0

f (x 0＋2Δx )－f (x 0)

Δx

＝________. [答案] 8

[解析] lim Δx →0

f (x 0＋2Δx )－f (x 0)

Δx

＝2lim Δx →0

f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx

＝2f ′(x 0)＝8. 5．某物体做匀速运动，其运动方程是s ＝v t ＋b ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．

[答案] 相等

[解析] v 0＝lim Δt →0

Δs

Δt ＝lim Δt →0

s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt

＝lim Δt →0

v (t 0＋Δt )－v t 0Δt

＝lim Δt →0

v ·Δt Δt ＝v . 6．一物体做自由落体运动，已知s ＝s (t )＝12gt 2

(单位：m)． (1)计算t 从3s 到3.1s 、3.01s ，两段内的平均速度； (2)求t ＝3s 时的瞬时速度(取g ＝9.8)．

[解析] (1)取一小段时间[3,3＋Δt ]，此时物体的位置改变量Δs ＝12g (3＋Δt )2

－12g ·32＝12g (6＋Δt )Δt ，

相应的平均速度v ＝Δs Δt ＝g

2(6＋Δt )

当Δt ＝0.1时，即t 从3秒到3.1秒v ＝29.89g m/s ； 当Δt ＝0.01时，即t 从3秒到3.01秒v ＝29.449g m/s. Δt 越小，v 就越接近时刻t 的速度． (2)v ＝lim Δt →0

Δs Δt ＝lim Δt →0

g

2(6＋Δt )＝3g ＝29.4m/s.

7．已知质点的运动方程为s ＝1

4t 2＋t ，求何时质点的速度为2. [解析] 设在t 0时刻质点的速度为2， ∵s ＝14t 2

＋t ，

Δs ＝14(t 0＋Δt )2＋(t 0＋Δt )－(14t 20＋t 0) ＝12t 0·Δt ＋14(Δt )2＋Δt ， Δs Δt ＝12t 0＋14Δt ＋1， ∴v ＝lim Δt →0

Δs Δt

＝lim Δt →0

(12t 0＋1

4Δt ＋1)

＝1

2t 0＋1.

由1

2t 0＋1＝2得t 0＝2. 即t ＝2时质点的速度为2.