4 第4讲 基本不等式

第4讲 基本不等式

1．基本不等式：ab ≤

a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．

(3)其中a ＋b

2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．

2．几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫

a ＋

b 22

(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥

⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2

4

．(简记：和定积最大)

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1

x 的最小值是2.( )

(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫

a ＋

b 22成立的条件是ab >0.( )

(3)“x >0且y >0”是“x y ＋y

x ≥2”的充要条件．( )

(4)若a >0，则a 3＋1

a 2的最小值是2a .( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)×

(教材习题改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81

D ．82

解析：选C.xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22

＝⎝⎛⎭⎫

1822

＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C.

若x <0，则x ＋1

x ( )

A ．有最小值，且最小值为2

B ．有最大值，且最大值为2

C ．有最小值，且最小值为－2

D ．有最大值，且最大值为－2

解析：选D.因为x <0，所以－x >0，－x ＋1

－x ≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所

以x ＋1

x

≤－2.

若x >1，则x ＋4

x －1的最小值为________．

解析：x ＋4x －1＝x －1＋4

x －1＋1≥4＋1＝5.

当且仅当x －1＝4

x －1，即x ＝3时等号成立．

答案：5

(教材习题改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．

解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝10， 所以S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫

x ＋y 22

＝25，当且仅当x ＝y ＝5时取等号． 答案：25 m 2

利用基本不等式求最值(高频考点)

利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)求不含等式条件的函数最值； (2)求含有等式条件的函数最值； (3)已知不等式恒成立求参数范围．

[典例引领]

角度一 求不含等式条件的函数最值

(1)函数f (x )＝

x

x 2＋3x ＋1

(x >0)的最大值为________．

(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋1

4x －5

的最大值为________．

【解析】 (1)因为x >0，则f (x )＝

x x 2＋3x ＋1

＝1

x ＋1x

＋3≤

12x ·1x

＋3＝15，当且仅当x ＝1x

时等号成立．

(2)因为x <5

4

，所以5－4x >0，

则f (x )＝4x －2＋1

4x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.

当且仅当5－4x ＝1

5－4x ，即x ＝1时，等号成立．

故f (x )＝4x －2＋1

4x －5的最大值为1.

【答案】 (1)1

5

(2)1

角度二 求含有等式条件的函数最值

(1)(2017·高考山东卷)若直线x a ＋y

b

＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为

________．

(2)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值为________． 【解析】 (1)由题设可得1a ＋2

b ＝1，因为a >0，b >0，

所以

2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝2＋b a ＋4a b

＋2≥4＋2b a ·4a

b

＝8⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝4a

b ，即b ＝2a 时，等号成立. 故2a ＋b 的最小值为8. (2)因为x >0，y >0，

所以8＝x ＋2y ＋x ·2y ≤(x ＋2y )＋⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22

， 令x ＋2y ＝t ，则

8≤t ＋t 2

4，即t 2＋4t －32≥0，

解得t ≥4或t ≤－8，

即x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8(舍去)，

当且仅当x ＝2y ，即x ＝2，y ＝1时等号成立． 【答案】 (1)8 (2)4

角度三 已知不等式恒成立求参数范围

已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫

1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为