4 第4讲 基本不等式

第4讲 基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24．(简记：和定积最大)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×(教材习题改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析：选C.xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C.若x <0，则x ＋1x ( )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2解析：选D.因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x ≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2.若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5(教材习题改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝10， 所以S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y ＝5时取等号． 答案：25 m 2利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)求不含等式条件的函数最值； (2)求含有等式条件的函数最值； (3)已知不等式恒成立求参数范围．[典例引领]角度一 求不含等式条件的函数最值(1)函数f (x )＝xx 2＋3x ＋1(x >0)的最大值为________．(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．【解析】 (1)因为x >0，则f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1x时等号成立．(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.【答案】 (1)15(2)1角度二 求含有等式条件的函数最值(1)(2017·高考山东卷)若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________．(2)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值为________． 【解析】 (1)由题设可得1a ＋2b ＝1，因为a >0，b >0，所以2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝2＋b a ＋4a b＋2≥4＋2b a ·4ab＝8⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝4ab ，即b ＝2a 时，等号成立. 故2a ＋b 的最小值为8. (2)因为x >0，y >0，所以8＝x ＋2y ＋x ·2y ≤(x ＋2y )＋⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22， 令x ＋2y ＝t ，则8≤t ＋t 24，即t 2＋4t －32≥0，解得t ≥4或t ≤－8，即x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8(舍去)，当且仅当x ＝2y ，即x ＝2，y ＝1时等号成立． 【答案】 (1)8 (2)4角度三 已知不等式恒成立求参数范围已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．【解析】 (x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)， 当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2， 于是(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 【答案】 4利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．[通关练习]1．(2018·石家庄市教学质量检测(一))已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2，3)，则a ＋b 的最小值为________．解析：因为直线l 经过点(2，3)，所以2a ＋3b －ab ＝0， 则3a ＋2b＝1， 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ＝5＋3b a ＋2ab ≥5＋2 6. 当且仅当3b a ＝2ab，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立． 答案：5＋2 62．(2017·高考天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab 的最小值是4. 答案：43．当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，则k 的取值范围是________． 解析：由32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x .因为3x ＋23x ≥22⎝⎛当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，⎭⎪⎫等号成立)，所以3x ＋23x 的最小值为2 2.又当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立， 所以当x ∈R 时，k ＋1<⎝⎛⎭⎫3x ＋23x min， 即k ＋1<22，即k <22－1. 答案：(－∞，22－1)利用基本不等式解决实际问题[典例引领]某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400，600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．(1)利用基本不等式求解实际问题的注意事项①根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值． ②设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． ③解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．④在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．(2)此类问题还常与一元二次函数(如本例(2))、一元二次不等式结合命题，求解关键是构建函数与不等关系，在实际条件下解决．某公司生产的商品A ，当每件售价为5元时，年销售10万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x 元，公司拟投入12(x 2＋x )万元作为技改费用，投入x4万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m 至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？ 解：(1)设商品的销售价格提高a 元， 则(10－a )(5＋a )≥50，解得0≤a ≤5. 所以商品的价格最多可以提高5元．(2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx 万元，若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx ＝12(x 2＋x )＋x4＋50(x >5)即可，此时m ＝12x ＋34＋50x≥2x 2·50x ＋34＝434， 当且仅当12x ＝50x，即x ＝10时，取“＝”．故销售量至少应达到434万件，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性．易错防范(1)使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·ab＝2. 2．(2018·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1.3．一段长为L 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为( ) A.L 28 B.L 24 C.L 22D ．L 2解析：选A.设菜园的长为x ，宽为y ，则x ＋2y ＝L ，面积S ＝xy ， 因为x ＋2y ≥22xy . 所以xy ≤（x ＋2y ）28＝L 28.当且仅当x ＝2y ＝L2，即x ＝L 2，y ＝L4时，S max ＝L 28，故选A.4．(2018·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．2 3解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以lg(2x ·8y )＝lg 2， 所以2x＋3y＝2，所以x ＋3y ＝1.因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x3y ≥2＋23y x ·x3y＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号．所以1x ＋13y的最小值为4.故选C.5．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2 a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)． 6．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2，x >－1，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：07．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30. 答案：308．已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式2x ＋m ＋8x －1>0可化为2(x －1)＋8x －1>－m －2， 因为x >1，所以2(x －1)＋8x －1≥22（x －1）·8x －1＝8，当且仅当x ＝3时取等号．因为不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，所以－m －2<8. 解得m >－10. 答案：(－10，＋∞)9．(1)已知0<x <43，求x (4－3x )的最大值；(2)点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，求2x ＋4y 的最小值． 解：(1)已知0<x <43，所以0<3x <4.所以x (4－3x )＝13(3x )(4－3x )≤13⎝⎛⎭⎫3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时“＝”成立．所以当x ＝23时，x (4－3x )取最大值为43.(2)已知点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，所以x ＋2y ＝3.所以2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x＋2y＝223＝4 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4y ，x ＋2y ＝3，即x ＝32，y ＝34时“＝”成立．所以当x ＝32，y ＝34时，2x ＋4y 取最小值为4 2.10.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N )，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜8，14＜s 2＜17.(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？ 解：(1)由试验数据知，s 1＝25n ＋4，s 2＝710n ＋494，所以⎩⎨⎧6＜25n ＋4＜8，14＜710n ＋494＜17，解之得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜10，52＜n ＜9514.又n ∈N ，所以n ＝6.(2)由(1)知，s ＝3v 50＋v 2400，v ≥0.依题意，s ＝3v 50＋v 2400≤12.6，即v 2＋24v －5 040≤0，解得－84≤v ≤60. 因为v ≥0，所以0≤v ≤60. 故行驶的最大速度为60 km/h.1．(2018·湖南省湘中名校高三联考)若正数a ，b 满足：1a ＋2b ＝1，则2a －1＋1b －2的最小值为( ) A ．2 B.322C.52D ．1＋324解析：选A.由a ，b 为正数，且1a ＋2b ＝1，得b ＝2a a －1>0，所以a －1>0，所以2a －1＋1b －2＝2a －1＋12a a －1－2＝2a －1＋a －12≥22a －1·a －12＝2，当且仅当2a －1＝a －12和1a ＋2b ＝1同时成立，即a ＝b ＝3时等号成立，所以2a －1＋1b －2的最小值为2，故选A. 2．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝1，若4x 2＋y 2＋xy －m <0恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪⎣⎡⎭⎫1716，＋∞B.⎝⎛⎭⎫1716，＋∞C.⎝⎛⎭⎫1716，2D.⎝⎛⎭⎫1，1716 解析：选B.4x 2＋y 2＋xy －m <0恒成立，即m >4x 2＋y 2＋xy 恒成立．因为x >0，y >0，2x ＋y ＝1，所以1＝2x ＋y ≥22xy ，所以0<xy ≤24(当且仅当2x ＝y ＝12时，等号成立)．因为4x 2＋y 2＋xy ＝(2x ＋y )2－4xy ＋xy ＝1－4xy ＋xy ＝－4⎝⎛⎭⎫xy －182＋1716，所以4x 2＋y 2＋xy 的最大值为1716，故m >1716，选B. 3．若a 2－ab ＋b 2＝1，a ，b 是实数，则a ＋b 的最大值是________．解析：由a 2－ab ＋b 2＝1，可得(a ＋b )2＝1＋3ab ≤1＋3×（a ＋b ）24， 则14(a ＋b )2≤1，－2≤a ＋b ≤2，所以a ＋b 的最大值是2. 答案：24．若对x ，y ∈[1，2]，xy ＝2，总有不等式2－x ≥a 4－y成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知a ≤(2－x )(4－y )恒成立，则只需a ≤[(2－x )(4－y )]min ，(2－x )(4－y )＝8－4x －2y ＋xy＝8－(4x ＋2y )＋2＝10－(4x ＋2y )＝10－⎝⎛⎭⎫4x ＋4x . 令f (x )＝10－⎝⎛⎭⎫4x ＋4x ，x ∈[1，2]， 则f ′(x )＝－⎝⎛⎭⎫4－4x 2＝4（1－x 2）x 2，f ′(x )≤0， 故f (x )在x ∈[1，2]是减函数，所以当x ＝2时f (x )取最小值0，即(2－x )(4－y )的最小值为0，所以a ≤0.答案：a ≤05．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y≥2 8x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1， 则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8y x ＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.6.如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120°，AB ，AC 的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆．(1)若围墙AP ，AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？(2)已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？解：设AP ＝x 米，AQ ＝y 米．(1)则x ＋y ＝200，△APQ 的面积S ＝12xy ·sin 120°＝34xy .所以S ≤34⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝2 500 3. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＋y ＝200，即x ＝y ＝100时取“＝”． 即AP 与AQ 的长度都为100米时，可使得三角形地块APQ 的面积最大．(2)由题意得100×(x ＋1.5y )＝20 000，即x ＋1.5y ＝200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以PQ 2＝x 2＋y 2－2xy cos 120°＝x 2＋y 2＋xy ＝(200－1.5y )2＋y 2＋(200－1.5y )y ＝1.75y 2－400y ＋40 000＝1.75⎝⎛⎭⎫y －80072＋120 0007⎝⎛⎭⎫0<y <4003，当y ＝8007时，PQ 有最小值200217，此时x ＝2007.即AP 长为2007米，AQ 长为8007米时，可使竹篱笆用料最省．。