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天津市春季高考数学模拟试卷

天津市春季高考数学模拟试卷

精心整理天津市高等院校春季招生考试《数学》模拟题一、选择题1.集合}4,3,2,1{=A,AB⊆,且)A∈,则满足上述条件的集合B共1B(有的四位数A.12个B.36个C.48个D.72个7.若三角形一个内角α满足1α,则这个三角形一定是+αsin=cosA.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定8.函数kω的图像在一个周期内最高点的坐标为s in(ϕ=)xAy++)1,12(π,最低点的坐标为)5,127(-π,则k A ,,,ϕω的值分别是 A. 3,21,3π,2- B. 3,2,6π,2-C. 3,2,3π,2-D. 3,1,3π,2-9. 已知直线的倾斜角为22arcsin,且过圆9)5()3(22=-++y x 的圆心,得PF PQ +的值最小的点P 的坐标为________________________. 16.在na a)1(324-的展开式中,倒数第三项系数绝对值为45,则展开式中含3a 的项是_______________.三、解答题17.已知61≤≤x ,函数4log 2)(log )(21221-+=x x x f ,当x 为何值时函数有的最大值和最小值,并求出最大值和最小值。

18.已知20πα<<,πβπ<<2,且135)sin(=+βα,54)cos(=-βα,求αcos 、α2cos 。

19.已知等差数列}{n a 的第三项为1,前六项之和为0,又知前k。

2024年天津市高考数学真题试卷及答案

2024年天津市高考数学真题试卷及答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷(选择题)注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共9小题,每小题5分,共45分.参考公式:·如果事件A B ,互斥,那么()()()P A B P A P B =+ .·如果事件A B ,相互独立,那么()()()P AB P A P B =.·球的体积公式34π3V R =,其中R 表示球的半径.·圆锥的体积公式13V Sh=,其中S 表示圆锥的底面面积,h 表示圆锥的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =,则A B = ()A.{}1,2,3,4 B.{}2,3,4 C.{}2,4 D.{}12.设,a b ∈R ,则“33a b =”是“33a b =”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列图中,相关性系数最大的是()A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的是()A.22e 1x x y x -=+ B.22cos 1x x y x +=+ C.e 1x xy x -=+ D.||sin 4e x x x y +=5.若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===,,,则a b c ,,的大小关系为()A.a b c>> B.b a c>> C.c a b>> D.b c a >>6.若,m n 为两条不同的直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是()A .若//m α,n ⊂α,则//m nB.若//,//m n αα,则//m nC.若//,αα⊥m n ,则m n⊥ D.若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交7.已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是()A.32B.32-C.0D.328.双曲线22221()00a x y a bb >-=>,的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点,且直线2PF 的斜率为2.12PF F △是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为()A.22182y x -= B.22184x y -= C.22128x y -= D.22148x y -=9.一个五面体ABC DEF -.已知AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1.并已知123AD BE CF ===,,.则该五面体的体积为()A.36B.33142+ C.32D.33142-第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题,共105分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.10.已知i 是虚数单位,复数))i 2i +⋅=______.11.在63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为______.12.22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF的距离为______.13.,,,,A B C D E 五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.(1)甲选到A 的概率为______;已知乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为______.14.在边长为1的正方形ABCD 中,点E 为线段CD 的三等分点,1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ,则λμ+=______;若F 为线段BE 上的动点,G 为AF 中点,则AF DG ⋅的最小值为______.15.若函数()21f x ax =--+有唯一零点,则a 的取值范围为______.三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16.在ABC 中,92cos 5163a Bbc ===,,.(1)求a ;(2)求sin A ;(3)求()cos 2B A -.17.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,1A A ⊥平面ABCD ,AD AB ⊥,其中12,1AB AA AD DC ====.N 是11B C 的中点,M 是1DD的中点.(1)求证1//D N 平面1CB M ;(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值;(3)求点B 到平面1CB M 的距离.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =.左顶点为A ,下顶点为B C ,是线段OB 的中点,其中ABC S =△.(1)求椭圆方程.(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ,.在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由.19.已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列.其前n 项和为n S .若1231,1a S a ==-.(1)求数列{}n a 前n 项和n S ;(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩,11b =,其中k 是大于1的正整数.(ⅰ)当1k n a +=时,求证:1n k n b a b -≥⋅;(ⅱ)求1nS ii b =∑.20.设函数()ln f x x x =.(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程;(2)若()(f x a x ≥-在()0,x ∞∈+时恒成立,求a 的取值范围;(3)若()12,0,1x x ∈,证明()()121212f x f x x x -≤-.2024年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷(选择题)注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共9小题,每小题5分,共45分.参考公式:·如果事件A B ,互斥,那么()()()P A B P A P B =+ .·如果事件A B ,相互独立,那么()()()P AB P A P B =.·球的体积公式34π3V R =,其中R 表示球的半径.·圆锥的体积公式13V Sh=,其中S 表示圆锥的底面面积,h 表示圆锥的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =,则A B = ()A.{}1,2,3,4 B.{}2,3,4 C.{}2,4 D.{}1【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =,所以{}2,3,4A B = ,2.设,a b ∈R ,则“33a b =”是“33a b =”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】说明二者与同一个命题等价,再得到二者等价,即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质,33a b =和33a b =都当且仅当a b =,所以二者互为充要条件.故选:C.3.下列图中,相关性系数最大的是()A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知,A 图散点分布比较集中,且大体接近某一条直线,线性回归模型拟合效果比较好,呈现明显的正相关,r 值相比于其他3图更接近1.故选:A4.下列函数是偶函数的是()A.22e 1x x y x -=+ B.22cos 1x x y x +=+ C.e 1x xy x -=+ D.||sin 4e x x x y +=【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ,设()22e 1x x f x x -=+,函数定义域为R ,但()112e 1f ---=,()112e f -=,则()()11f f -≠,故A 错误;对B ,设()22cos 1x x g x x +=+,函数定义域为R ,且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+,则()g x 为偶函数,故B 正确;对C ,设()e 1x xh x x -=+,函数定义域为{}|1x x ≠-,不关于原点对称,则()h x 不是偶函数,故C 错误;对D ,设()||sin 4e x x x x ϕ+=,函数定义域为R ,因为()sin141e ϕ+=,()sin141eϕ---=,则()()11ϕϕ≠-,则()x ϕ不是偶函数,故D 错误.故选:B.5.若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===,,,则a b c ,,的大小关系为()A.a b c >>B.b a c>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增,且0.300.3-<<,所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<,所以0.30.30 4.21 4.2-<<<,即01a b <<<,因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增,且00.21<<,所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=,即0c <,所以b a c >>,故选:B6.若,m n 为两条不同的直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是()A.若//m α,n ⊂α,则//m nB.若//,//m n αα,则//m nC.若//,αα⊥m n ,则m n ⊥D.若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误,根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ,若//m α,n ⊂α,则,m n 平行或异面,故A 错误.对于B ,若//,//m n αα,则,m n 平行或异面或相交,故B 错误.对于C ,//,αα⊥m n ,过m 作平面β,使得s βα= ,因为m β⊂,故//m s ,而s α⊂,故n s ⊥,故m n ⊥,故C 正确.对于D ,若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交或异面,故D 错误.故选:C .7.已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是()A.32B.32-C.0D.32【答案】A 【解析】【分析】先由诱导公式化简,结合周期公式求出ω,得()sin2f x x =-,再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时,2x 的范围,结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭,由2ππ3T ω==得23ω=,即()sin2f x x =-,当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时,ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,画出()sin2f x x =-图象,如下图,由图可知,()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减,所以,当π6x =时,()min π3sin 32f x =-=-故选:A8.双曲线22221()00a x y a bb >-=>,的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点,且直线2PF 的斜率为2.12PF F △是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为()A.22182y x -= B.22184x y -= C.22128x y -= D.22148x y -=【答案】C 【解析】【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理,转化出三边比例,设2PF m =,由面积公式求出m ,由勾股定理得出c ,结合第一定义再求出a .【详解】如下图:由题可知,点P 必落在第四象限,1290F PF ∠=︒,设2PF m =,211122,PF F PF F θθ∠=∠=,由21tan 2PF k θ==,求得1sin θ=,因为1290F PF ∠=︒,所以121PF PF k k ⋅=-,求得112PF k =-,即21tan 2θ=,2sin θ=121212::sin :sin :sin 902:1:PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===,由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅=得m =,则21122PF PF F F c c =====由双曲线第一定义可得:122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选:C9.一个五面体ABC DEF -.已知AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1.并已知123AD BE CF ===,,.则该五面体的体积为()A.36B.33142+ C.32D.33142-【答案】C 【解析】【分析】采用补形法,补成一个棱柱,求出其直截面,再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -(顶点与五面体ABC DEF -一一对应)与该五面体相嵌,使得,D N ;,E M ;,F L 重合,因为AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1.1,2,3AD BE CF ===,则形成的新组合体为一个三棱柱,该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形,侧棱长为1322314+=+=+=,2132211311422ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯=.故选:C.第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题,共105分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.10.已知i是虚数单位,复数))i 2i +⋅=______.【答案】7【解析】【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527+⋅=+-+=-.故答案为:7.11.在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为______.【答案】20【解析】【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()630r -=,可得3r =,所以常数项为0363C 20=.故答案为:20.12.22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF的距离为______.【答案】45##0.8【解析】【分析】先求出圆心坐标,从而可求焦准距,再联立圆和抛物线方程,求A 及AF的方程,从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ,故12p=即2p =,由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=,故4x =或6x =-(舍),故()4,4A ±,故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=,故原点到直线AF 的距离为4455d ==,故答案为:4513.,,,,A B C D E 五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.(1)甲选到A 的概率为______;已知乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为______.【答案】①.35②.12【解析】【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率;采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率.【详解】解法一:列举法从五个活动中选三个的情况有:,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况,其中甲选到A 有6种可能性:,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ,则甲选到A 得概率为:63105P ==;乙选A 活动有6种可能性:,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ,其中再选则B 有3种可能性:,,ABC ABD ABE ,故乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为31=62.解法二:设甲、乙选到A 为事件M ,乙选到B 为事件N ,则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==;乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为:35;1214.在边长为1的正方形ABCD 中,点E 为线段CD 的三等分点,1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ,则λμ+=______;若F 为线段BE 上的动点,G 为AF 中点,则AF DG ⋅的最小值为______.【答案】①.43②.518-【解析】【分析】解法一:以{},BA BC 为基底向量,根据向量的线性运算求BE,即可得λμ+,设BF BE k =uu u r uur ,求,AF DG uu u r uuu r ,结合数量积的运算律求AF DG ⋅ 的最小值;解法二:建系标点,根据向量的坐标运算求BE,即可得λμ+,设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,求,AF DG uu u r uuu r ,结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅ 的最小值.【详解】解法一:因为12CE DE =,即23CE BA =uur uu r ,则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ,可得1,13λμ==,所以43λμ+=;由题意可知:1,0BC BA BA BC ==⋅=,因为F 为线段BE 上的动点,设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈,则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭,又因为G 为AF 中点,则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,又因为[]0,1k ∈,可知:当1k =时,AF DG ⋅取到最小值518-;解法二:以B为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭,可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭,因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ,则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩,所以43λμ+=;因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上,设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,且G 为AF 中点,则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭,可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭,则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以当13a =-时,AF DG ⋅ 取到最小值为518-;故答案为:43;518-.15.若函数()21f x ax =--+有唯一零点,则a 的取值范围为______.【答案】()(1-⋃【解析】【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系,构造函数()g x =与()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩,则两函数图象有唯一交点,分0a =、0a >与0a <进行讨论,当0a >时,计算函数定义域可得x a ≥或0x ≤,计算可得(]0,2a ∈时,两函数在y 轴左侧有一交点,则只需找到当(]0,2a ∈时,在y 轴右侧无交点的情况即可得;当0a <时,按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =,即21ax =--,由题可得20x ax -≥,当0a =时,x ∈R,有211=--=,则22x =±,不符合要求,舍去;当0a >时,则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪=--=⎨⎪-<⎪⎩,即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点,由20x ax -≥,可得x a ≥或0x ≤,当0x ≤时,则20ax -<,则211ax ax =--=-,即()22441x ax ax -=-,整理得()()()2242121210a xax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦,当2a =时,即410x +=,即14x =-,当()0,2a ∈,12x a =-+或102x a=>-(正值舍去),当()2,a ∈+∞时,102x a =-<+或102x a=<-,有两解,舍去,即当(]0,2a ∈时,210ax -+=在0x ≤时有唯一解,则当(]0,2a ∈时,210ax -+=在x a ≥时需无解,当(]0,2a ∈,且x a ≥时,由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称,令()0h x =,可得1x a =或3x a =,且函数()h x 在12,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在23,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,令()g x y ==,即2222142a x y a a ⎛⎫- ⎪-⎭=⎝,故x a ≥时,()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得,由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±,即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,其斜率为2,又(]0,2a ∈,即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈,令()0g x ==,可得x a =或0x =(舍去),且函数()g x 在(),a +∞上单调递增,故有13a aa a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,解得1a <<,故1a <<符合要求;当a<0时,则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩,即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点,由20x ax -≥,可得0x ≥或x a ≤,当0x ≥时,则20ax -<,则211ax ax =--=-,即()22441x ax ax -=-,整理得()()()2242121210a xax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦,当2a =-时,即410x -=,即14x =,当()2,0a ∈-,102x a =-<+(负值舍去)或102x a=-,当(),2a ∈-∞时,102x a =->+或102x a=>-,有两解,舍去,即当[)2,0a ∈-时,210ax --+=在0x ≥时有唯一解,则当[)2,0a ∈-时,210ax --+=在x a ≤时需无解,当[)2,0a ∈-,且x a ≤时,由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称,令()0h x =,可得1x a =或3x a =,且函数()h x 在21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在32,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,同理可得:x a ≤时,()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得,()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,其斜率为2-,又[)2,0a ∈-,即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-,令()0g x ==,可得x a =或0x =(舍去),且函数()g x 在(),a -∞上单调递减,故有13a aa a⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩,解得1a <<-,故1a <<-符合要求;综上所述,()(1a ∈- .故答案为:()(1-⋃.【点睛】关键点点睛:本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩的交点问题,从而可将其分成两个函数研究.三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16.在ABC 中,92cos 5163a Bbc ===,,.(1)求a ;(2)求sin A ;(3)求()cos 2B A -.【答案】(1)4(2)74(3)5764【解析】【分析】(1)2,3a t c t ==,利用余弦定理即可得到方程,解出即可;(2)法一:求出sin B ,再利用正弦定理即可;法二:利用余弦定理求出cos A ,则得到sin A ;(3)法一:根据大边对大角确定A 为锐角,则得到cos A ,再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可;法二:直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【小问1详解】设2,3a t c t ==,0t >,则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯,解得2t =(负舍);则4,6a c ==.【小问2详解】法一:因为B为三角形内角,所以sin 16B ===,再根据正弦定理得sin sin a b A B =,即4sin A =sin 4A =,法二:由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯,因为()0,πA ∈,则sin 4A ==【小问3详解】法一:因为9cos 016B =>,且()0,πB ∈,所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,由(2)法一知57sin 16B =,因为a b <,则A B <,所以3cos 4A ==,则3sin 22sin cos 2448A A A ==⨯⨯=,2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()19573757cos 2cos cos 2sin sin 281616864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.法二:7337sin 22sin cos 2448A A A ==⨯⨯=,则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭,因为B为三角形内角,所以57sin 16B ===,所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+⨯=17.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,1A A ⊥平面ABCD ,AD AB ⊥,其中12,1AB AA AD DC ====.N 是11B C 的中点,M 是1DD 的中点.(1)求证1//D N 平面1CB M ;(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值;(3)求点B 到平面1CB M 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)22211(3)21111【解析】【分析】(1)取1CB 中点P ,连接NP ,MP ,借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ,结合线面平行判定定理即可得证;(2)建立适当空间直角坐标系,计算两平面的空间向量,再利用空间向量夹角公式计算即可得解;(3)借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【小问1详解】取1CB 中点P ,连接NP ,MP ,由N 是11B C 的中点,故1//NP CC ,且112NP CC =,由M 是1DD 的中点,故1111122D M DD CC ==,且11//D M CC ,则有1//D M NP 、1D M NP =,故四边形1D MPN 是平行四边形,故1//D N MP ,又MP ⊂平面1CB M ,1D N ⊄平面1CB M ,故1//D N 平面1CB M ;【小问2详解】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系,有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ,则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =-、()10,0,2BB = ,设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z = 、()222,,n x y z =,则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ,分别取121x x ==,则有13y =、11z =、21y =,20z =,即()1,3,1m = 、()1,1,0n =,则222cos ,11m nm n m n ⋅===⋅,故平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值为22211;【小问3详解】由()10,0,2BB = ,平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =,则有121111BB m m ⋅==,即点B 到平面1CB M 的距离为21111.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =.左顶点为A ,下顶点为B C ,是线段OB 的中点,其中ABC S =△.(1)求椭圆方程.(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ,.在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由.【答案】(1)221129x y +=(2)存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭,使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【解析】【分析】(1)根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量,从而可得椭圆的标准方程.(2)设该直线方程为:32y kx =-,()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ,联立直线方程和椭圆方程并消元,结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ⋅,再根据0TP TQ ⋅≤ 可求t 的范围.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =,故2a c =,b =,其中c 为半焦距,所以()()32,0,0,,0,2A c B C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,故13332222ABC S c c =⨯⨯=△,故c =a =,3b =,故椭圆方程为:221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为:32y kx =-,设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ,由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx +--=,故()222Δ144108343245760k kk=++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-,故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22121233122kx x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k k k t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+,因为0TP TQ ⋅≤ 恒成立,故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩,解得332t -≤≤.若过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在,则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -,此时需33t -≤≤,两者结合可得332t -≤≤.综上,存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭,使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【点睛】思路点睛:圆锥曲线中的范围问题,往往需要用合适的参数表示目标代数式,表示过程中需要借助韦达定理,此时注意直线方程的合理假设.19.已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列.其前n 项和为n S .若1231,1a S a ==-.(1)求数列{}n a 前n 项和n S ;(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩,11b =,其中k 是大于1的正整数.(ⅰ)当1k n a +=时,求证:1n k n b a b -≥⋅;(ⅱ)求1nS ii b =∑.【答案】(1)21n n S =-(2)①证明见详解;②()131419nn S ii n b=-+=∑【解析】【分析】(1)设等比数列{}n a 的公比为0q >,根据题意结合等比数列通项公式求q ,再结合等比数列求和公式分析求解;(2)①根据题意分析可知12,1k k n a b k -==+,()121n k k b -=-,利用作差法分析证明;②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑,再结合裂项相消法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >,因为1231,1a S a ==-,即1231a a a +=-,可得211q q +=-,整理得220q q --=,解得2q =或1q =-(舍去),所以122112nn n S -==--.【小问2详解】(i )由(1)可知12n n a -=,且N*,2k k ∈≥,当124kk n a +=≥=时,则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩,即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+,()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-,可得()()()()1112112122120kn k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-,当且仅当2k =时,等号成立,所以1n k n b a b -≥⋅;(ii )由(1)可知:1211nn n S a +=-=-,若1n =,则111,1S b ==;若2n ≥,则112k k k a a -+-=,当1221k k i -<≤-时,12i i b b k --=,可知{}i b 为等差数列,可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑,所以()()()232113141115424845431434499nnS n n i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑,且1n =,符合上式,综上所述:()131419nn S ii n b =-+=∑.【点睛】关键点点睛:1.分析可知当1221k k i -<≤-时,12i i b b k --=,可知{}i b 为等差数列;2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑.20.设函数()ln f x x x =.(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程;(2)若()(f x a x ≥-在()0,x ∞∈+时恒成立,求a 的取值范围;(3)若()12,0,1x x ∈,证明()()121212f x f x x x -≤-.【答案】(1)1y x =-(2){}2(3)证明过程见解析【解析】【分析】(1)直接使用导数的几何意义;(2)先由题设条件得到2a =,再证明2a =时条件满足;(3)先确定()f x 的单调性,再对12,x x 分类讨论.【小问1详解】由于()ln f x x x =,故()ln 1f x x ='+.所以()10f =,()11f '=,所以所求的切线经过()1,0,且斜率为1,故其方程为1y x =-.【小问2详解】设()1ln h t t t =--,则()111t h t t t'-=-=,从而当01t <<时()0h t '<,当1t >时()0h t '>.所以()h t 在(]0,1上递减,在[)1,+∞上递增,这就说明()()1h t h ≥,即1ln t t -≥,且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--,则()((ln 12ln f x a x x x a x x a x g ⎛⎫⎫-=-=-=⋅ ⎪⎭⎝.当()0,x ∞∈+的取值范围是()0,∞+,所以命题等价于对任意()0,t ∞∈+,都有()0g t ≥.一方面,若对任意()0,t ∞∈+,都有()0g t ≥,则对()0,t ∞∈+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭,取2t =,得01a ≤-,故10a ≥>.再取t =,得2022a a a ≤+-=-=-,所以2a =.另一方面,若2a =,则对任意()0,t ∞∈+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥,满足条件.综合以上两个方面,知a 的取值范围是{}2.【小问3详解】先证明一个结论:对0a b <<,有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明:前面已经证明不等式1ln t t -≥,故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a a a b b b b b a b a a --=+=+<+---,且1ln ln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a b b⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>=+----,所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-,即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x ='+,可知当10e x <<时()0f x '<,当1ex >时()0f x '>.所以()f x 在10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.不妨设12x x ≤,下面分三种情况(其中有重合部分)证明本题结论.情况一:当1211ex x ≤≤<时,有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二:当1210ex x <≤≤时,有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,设()ln ln x x x c c ϕ=--()ln 1x x ϕ=++'.由于()x ϕ'单调递增,且有111111ln 1ln11102e2e ec c ϕ⎛⎫⎪=+<+=-+= ⎪⎝⎭',且当2124ln 1x c c ≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭,2cx >2ln 1c ≥-可知()2ln 1ln 1ln 102c x x c ϕ⎛⎫=++>++=-≥ ⎪⎝⎭'.所以()x ϕ'在()0,c 上存在零点0x ,再结合()x ϕ'单调递增,即知00x x <<时()0x ϕ'<,0x x c <<时()0x ϕ'>.故()x ϕ在(]00,x 上递减,在[]0,x c 上递增.①当0x x c ≤≤时,有()()0x c ϕϕ≤=;②当00x x <<112221e e f f c⎛⎫=-≤-=< ⎪⎝⎭,故我们可以取1,1q c ⎫∈⎪⎭.从而当201cx q <<->()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c qc ϕ⎫=--<--<--=-<⎪⎭.再根据()x ϕ在(]00,x 上递减,即知对00x x <<都有()0x ϕ<;综合①②可知对任意0x c <≤,都有()0x ϕ≤,即()ln ln 0x x x c c ϕ=--.根据10,ec ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和0x c <≤的任意性,取2c x =,1x x =,就得到1122ln ln 0x x x x --≤.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-≤.情况三:当12101ex x <≤≤<时,根据情况一和情况二的讨论,可得()11e f x f ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭,()21e f f x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性,知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -≤成立.综上,结论成立.【点睛】关键点点睛:本题的关键在于第3小问中,需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.。

天津市2020〖人教版〗高考复习试卷习题资料春季高考数学试卷

天津市2020〖人教版〗高考复习试卷习题资料春季高考数学试卷

天津市2020年〖人教版〗高考复习试卷习题资料春季高考数学试卷创作人:百里公地创作日期:202X.04.01审核人:北堂址重创作单位:博恒中英学校一、填空题(本大题满分36分)本大题共有12题,要求直接填写结果,每题填对得3分,否则一律得0分.1.(3分)函数y=log2(x+2)的定义域是.2.(3分)方程2x=8的解是.3.(3分)抛物线y2=8x的准线方程是.4.(3分)函数y=2sinx的最小正周期是.5.(3分)已知向量,.若,则实数k=.6.(3分)函数y=4sinx+3cosx的最大值是.7.(3分)复数2+3i(i是虚数单位)的模是.8.(3分)在△ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a=5,c=8,B=60°,则b=.9.(3分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,异面直线A1B与B1C所成角的大小为.10.(3分)从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为(结果用数值表示).11.(3分)若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和S n=.12.(3分)36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为36=22×32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2×3+2×32)+(22+22×3+22×32)=(1+2+22)(1+3+32)=91,参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为.二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的.考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内,选对得3分,否则一律得0分.13.(3分)展开式为ad﹣bc的行列式是()A.B.C.D.14.(3分)设f﹣1(x)为函数f(x)=的反函数,下列结论正确的是()A.f﹣1(2)=2 B.f﹣1(2)=4 C.f﹣1(4)=2 D.f﹣1(4)=4 15.(3分)直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是()A.(2,﹣3)B.(2,3)C.(﹣3,2)D.(3,2)16.(3分)函数f(x)=的大致图象是()A.B.C.D.17.(3分)如果a<b<0,那么下列不等式成立的是()A.B.ab<b2C.﹣ab<﹣a2D.18.(3分)若复数z 1,z2满足z1=,则z1,z2在复数平面上对应的点Z1,Z2()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称19.(3分)(1+x)10的二项展开式中的一项是()A.45x B.90x2C.120x3D.252x420.(3分)既是偶函数又在区间(0,π)上单调递减的函数是()A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin2x D.y=cos2x21.(3分)若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为()A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:1622.(3分)设全集U=R,下列集合运算结果为R的是()A.Z∪∁U N B.N∩∁U N C.∁U(∁u∅) D.∁U{0}23.(3分)已知a,b,c∈R,“b2﹣4ac<0”是“函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件24.(3分)已知A,B为平面内两个定点,过该平面内动点m作直线AB的垂线,垂足为N.若=λ•,其中λ为常数,则动点m的轨迹不可能是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线三、解答题(本大题满分78分)本大题共有7题,解答下列各题必须写出必要的步骤.25.(7分)如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=6,异面直线BC1与AA1所成角的大小为,求该三棱柱的体积.26.(7分)如图,某校有一块形如直角三角形ABC的空地,其中∠B为直角,AB长40米,BC长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且B为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.27.(8分)已知数列{a n}的前n项和为S,数列{b n}满足b,求.28.(13分)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(﹣1,0)、F2(1,0),短轴的两个端点分别为B1,B2(1)若△F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且,求直线l的方程.29.(12分)已知抛物线C:y2=4x 的焦点为F.(1)点A,P满足.当点A在抛物线C上运动时,求动点P的轨迹方程;(2)在x轴上是否存在点Q,使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上?如果存在,求所有满足条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.30.(13分)在平面直角坐标系xOy中,点A在y轴正半轴上,点P n在x轴上,其横坐标为x n,且{x n}是首项为1、公比为2的等比数列,记∠P n AP n+1=θn,n∈N*.(1)若,求点A的坐标;(2)若点A的坐标为(0,8),求θn的最大值及相应n的值.31.(18分)已知真命题:“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f(x+a)﹣b 是奇函数”.(1)将函数g(x)=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数g(x)图象对称中心的坐标;(2)求函数h(x)=图象对称中心的坐标;(3)已知命题:“函数y=f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数y=f(x+a)﹣b 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).参考答案与试题解析一、填空题(本大题满分36分)本大题共有12题,要求直接填写结果,每题填对得3分,否则一律得0分.1.(3分)函数y=log2(x+2)的定义域是(﹣2,+∞).【分析】要使函数有意义,只需令x+2>0即可.【解答】解:欲使函数有意义,须有x+2>0,解得x>﹣2,所以函数的定义域为(﹣2,+∞).故答案为:(﹣2,+∞).【点评】本题考查函数定义域的求法,属基础题.2.(3分)方程2x=8的解是3.【分析】由已知条件2x=8=23,可得x=3,由此可得此方程的解.【解答】解:由2x=8=23,可得x=3,即此方程的解为3,故答案为 3.【点评】本题主要考查指数方程的解法,属于基础题.3.(3分)抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣2.【分析】根据抛物线方程的标准形式,可得抛物线以原点为顶点,开口向右,由2p=8算出=2,即可得到抛物线的准线方程.【解答】解:∵抛物线的方程为y2=8x∴抛物线以原点为顶点,开口向右.由2p=8,可得=2,可得抛物线的焦点为F(2,0),准线方程为x=﹣2故答案为:x=﹣2【点评】本题给出抛物线的标准方程,求抛物线的准线方程,着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题.4.(3分)函数y=2sinx的最小正周期是2π.【分析】根据函数y=2sinωx的最小正周期是,运算可得结果.【解答】解:函数y=2sinx的最小正周期是==2π,故答案为 2π.【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法,属于基础题.5.(3分)已知向量,.若,则实数k=.【分析】根据向量平行的充要条件可得关于k的方程,解出即可.【解答】解:由,得1×(k﹣6)﹣9k=0,解得k=﹣,故答案为:.【点评】本题考查向量共线的充要条件,若,则⇔x1y2﹣x2y1=0.6.(3分)函数y=4sinx+3cosx的最大值是5.【分析】利用辅助角公式把所给的函数解析式化为y=5sin(x+∅),再根据正弦函数的值域,求得它的最大值.【解答】解:∵函数y=4sinx+3cosx=5(sinx+cosx)=5sin(x+∅),(其中,cos∅=,sin∅=)故函数的最大值为5,故答案为5.【点评】本题主要考查辅助角公式的应用,正弦函数的值域,属于中档题.7.(3分)复数2+3i(i是虚数单位)的模是.【分析】利用模长公式|z|=,代入计算即可得出复数2+3i(i是虚数单位)的模.【解答】解:∵复数2+3i,∴2+3i的模=.故答案为:.【点评】本题考查复数的概念及模长计算公式,是一道基础题.8.(3分)在△ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a=5,c=8,B=60°,则b=7.【分析】根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,代入题中的数据得b2=25+64﹣2×5×8×cos60°=49,解之即可得到b=7.【解答】解:∵在△ABC中,a=5,c=8,B=60°,∴根据余弦定理,得b2=a2+c2﹣2accosB=25+64﹣2×5×8×cos60°=49解之得b=7(舍负)故答案为:7【点评】本题给出△ABC两条边长及其夹角大小,求第三边的长度.着重考查了利用余弦定理解三角形的知识,属于基础题.9.(3分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°.【分析】连接A1D,根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义,我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角,连接BD后,解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角.【解答】解:连接A1D,由正方体的几何特征可得:A1D∥B1C,则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角,连接BD,易得:BD=A1D=A1B故∠BA1D=60°故答案为:60°【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角,其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角,是解答本题的关键.10.(3分)从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为(结果用数值表示).【分析】先求对立事件“选出的3人中只有男同学或只有女同学”的概率,然后根据对立事件的概率和为1可得答案.【解答】解:从10人中选出的3人中只有男同学或只有女同学的概率为:=,则选出的3人中男女同学都有的概率为:1﹣=.故答案为:.【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式,属基础题.11.(3分)若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和S n=.【分析】设等差数列的前n项和S n=an2+bn,则由题意可得,解得a、b的值,即可求得数列的前n项和S n的解析式.【解答】解:设等差数列的前n项和S n=an2+bn,则由题意可得,解得,故数列的前n项和S n=,故答案为.【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的结构特征,用待定系数法函数的解析式,属于基础题.12.(3分)36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为36=22×32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2×3+2×32)+(22+22×3+22×32)=(1+2+22)(1+3+32)=91,参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为4836.【分析】这是一个类比推理的问题,在类比推理中,参照上述方法,2000的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2000=24×53,所以2000的所有正约数之和为(1+2+22+23+24)(1+5+52+53),即可得出答案.【解答】解:类比36的所有正约数之和的方法,有:2000的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2000=24×53,所以2000的所有正约数之和为(1+2+22+23+24)(1+5+52+53)=4836.可求得2000的所有正约数之和为 4836.故答案为:4836.【点评】类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的.考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内,选对得3分,否则一律得0分.13.(3分)展开式为ad﹣bc的行列式是()A.B.C.D.【分析】根据叫做二阶行列式,它的算法是:ad﹣bc,再根据所给的式子即可得出答案.【解答】解:根据叫做二阶行列式,它的算法是:ad﹣bc,由题意得,=ad﹣bc.故选:B.【点评】本题考查的是二阶行列式与逆矩阵,根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键.14.(3分)设f﹣1(x)为函数f(x)=的反函数,下列结论正确的是()A.f﹣1(2)=2 B.f﹣1(2)=4 C.f﹣1(4)=2 D.f﹣1(4)=4【分析】本题的关键是求函数f(x)=的反函数,欲求原函数的反函数,即从原函数式f(x)=中反解出x,后再进行x,y互换,即得反函数的解析式.【解答】解:∵f﹣1(x)为函数f(x)=的反函数,∴f﹣1(x)=x2,(x≥0),∴f﹣1(2)=4,f﹣1(4)=16,故选:B.【点评】本题考查反函数的求法及不等关系,属于基础题目,要会求一些简单函数的反函数,掌握互为反函数的函数图象间的关系.15.(3分)直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是()A.(2,﹣3)B.(2,3)C.(﹣3,2)D.(3,2)【分析】题意可得首先求出直线的斜率为:k=,即可得到它的一个方向向量(1,k),再利用平面向量共线(平行)的坐标表示即可得出答案.【解答】解:由题意可得:直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=,所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量=(1,),或(3,2)故选:D.【点评】本题主要考查直线的方向向量,以及平面向量共线(平行)的坐标表示,是基础题.16.(3分)函数f(x)=的大致图象是()A.B.C.D.【分析】筛选法:利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案.【解答】解:因为﹣<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,排除选项B、C;又f(x)的定义域为(0,+∞),故排除选项D,故选:A.【点评】本题考查幂函数的图象及性质,属基础题,筛选法是解决选择题的常用技巧,要掌握.17.(3分)如果a<b<0,那么下列不等式成立的是()A.B.ab<b2C.﹣ab<﹣a2D.【分析】由于a<b<0,不妨令a=﹣2,b=﹣1,代入各个选项检验,只有D正确,从而得出结论.【解答】解:由于a<b<0,不妨令a=﹣2,b=﹣1,可得=﹣1,∴,故A不正确.可得ab=2,b2=1,∴ab>b2,故B不正确.可得﹣ab=﹣2,﹣a2=﹣4,∴﹣ab>﹣a2,故C不正确.故选:D.【点评】本题主要考查不等式与不等关系,利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系,是一种简单有效的方法,属于基础题.18.(3分)若复数z1,z2满足z1=,则z1,z2在复数平面上对应的点Z1,Z2()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称【分析】由题意可得z1,z2的实部相等,虚部互为相反数,故z1,z2在复数平面上对应的点Z1,Z2关于x轴对称.【解答】解:若复数z 1,z2满足z1=,则z1,z2的实部相等,虚部互为相反数,故z1,z2在复数平面上对应的点Z1,Z2关于x轴对称,故选:A.【点评】本题主要考查共轭复数的定义,复数与复平面内对应点间的关系,属于基础题.19.(3分)(1+x)10的二项展开式中的一项是()A.45x B.90x2C.120x3D.252x4【分析】根据(1+x)10的二项展开式的通项公式为T r=•x r,即可得出结+1论.【解答】解:(1+x)10的二项展开式的通项公式为T r=•x r,故当r=3时,+1此项为120x3,故选:C.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中的某一项,属于中档题.20.(3分)既是偶函数又在区间(0,π)上单调递减的函数是()A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin2x D.y=cos2x【分析】根据函数的奇偶性排除A、C,再根据函数的单调性排除D,经检验B 中的函数满足条件,从而得出结论.【解答】解:由于函数y=sinx和 y=sin2x都是奇函数,故排除A、C.由于函数y=cosx是偶函数,周期等于2π,且在(0,π)上是减函数,故满足条件.由于函数y=cos2x是偶函数,周期等于π,在(0,)上是减函数,在(,π)上是增函数,故不满足条件.故选:B.【点评】本题主要考查余弦函数的奇偶性和单调性,属于中档题.21.(3分)若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为()A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16【分析】设两个球的半径分别为r1、r2,根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=,解之得=,由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比.【解答】解:设两个球的半径分别为r1、r2,根据球的表面积公式,可得它们的表面积分别为S1=4,S2=4∵两个球的表面积之比为1:4,∴===,解之得=(舍负)因此,这两个球的体积之比为==()3=即两个球的体积之比为1:8故选:C.【点评】本题给出两个球的表面积之比,求它们的体积之比.着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识,属于基础题.22.(3分)设全集U=R,下列集合运算结果为R的是()A.Z∪∁U N B.N∩∁U N C.∁U(∁u∅) D.∁U{0}【分析】根据题目中条件“全集U=R”,对各个选项一一进行集合的运算,即可得出答案.【解答】解:∵全集U=R,∴Z∪∁U N=R,N∩∁U N=∅,∁U(∁u∅)=∅,∁U{0}={x∈R|x≠0}.故选:A.【点评】本题主要考查了交、并、补集的混合运算,属于基础题.23.(3分)已知a,b,c∈R,“b2﹣4ac<0”是“函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【分析】根据充要条件的定义可知,只要看“b2﹣4ac<0”与“函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”能否相互推出即可.【解答】解:若a≠0,欲保证函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方,则必须保证抛物线开口向上,且与x轴无交点;则a>0且△=b2﹣4ac<0.但是,若a=0时,如果b=0,c>0,则函数f(x)=ax2+bx+c=c的图象恒在x轴上方,不能得到△=b2﹣4ac<0;反之,“b2﹣4ac<0”并不能得到“函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”,如a<0时.从而,“b2﹣4ac<0”是“函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的既非充分又非必要条件.故选:D.【点评】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断,二次函数的性质,难度一般.学生要熟记二次函数的性质方能得心应手的解题.24.(3分)已知A,B为平面内两个定点,过该平面内动点m作直线AB的垂线,垂足为N.若=λ•,其中λ为常数,则动点m的轨迹不可能是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【分析】建立直角坐标系,设出A、B坐标,以及M坐标,通过已知条件求出M的方程,然后判断选项.【解答】解:以AB所在直线为x轴,AB中垂线为y轴,建立坐标系,设M(x,y),A(﹣a,0)、B(a,0);因为=λ•,所以y2=λ(x+a)(a﹣x),即λx2+y2=λa2,当λ=1时,轨迹是圆.当λ>0且λ≠1时,是椭圆的轨迹方程;当λ<0时,是双曲线的轨迹方程.当λ=0时,是直线的轨迹方程;综上,方程不表示抛物线的方程.故选:D.【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法,轨迹方程与轨迹的对应关系,考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力.三、解答题(本大题满分78分)本大题共有7题,解答下列各题必须写出必要的步骤.25.(7分)如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=6,异面直线BC1与AA1所成角的大小为,求该三棱柱的体积.【分析】因为CC1∥AA1.根据异面直线所成角的定义得∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角,从而∠BC1C=.在Rt△BC1C中,求得BC,从而求出S△ABC,最后利用柱体的体积公式即可求出该三棱柱的体积.【解答】解:因为 CC1∥AA1.所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角,即∠BC1C=.在Rt△BC1C中,BC=CC1tan∠BC1C=6×=2,==3,从而S△ABC因此该三棱柱的体积为V=S×AA1=3×6=18.△ABC【点评】本题考查三棱柱体积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.26.(7分)如图,某校有一块形如直角三角形ABC的空地,其中∠B为直角,AB长40米,BC长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且B为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.【分析】设出矩形的边FP的边长,利用三角形相似求出矩形的宽,表示出矩形面积,利用二次函数的最值求解即可.【解答】解:如图,设矩形为EBFP,FP长为x米,其中0<x<40,健身房占地面积为y平方米.因为△CFP∽△CBA,以,,求得BF=50﹣,从而y=BF•FP=(50﹣)•x=﹣=﹣≤500.当且仅当x=20时,等号成立.答:该健身房的最大占地面积为500平方米.【点评】本题考查函数的实际应用,表示出函数的表达式是解题的关键,考查分析问题解决问题的能力.27.(8分)已知数列{a n}的前n项和为S,数列{b n}满足b,求.【分析】先由S n求出a n,进而得到b n,由b n的表达式可判断数列{b n}是无穷等比数列,从而可得答案.【解答】解:当n≥2时,=﹣2n+2,且a1=S1=0,所以a n=﹣2n+2.因为=,所以数列{b n}是首项为1、公比为的无穷等比数列.故==.【点评】本题考查数列的极限、等差数列的前n项和,解答本题的关键是根据S n与a n的关系求出a n.28.(13分)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(﹣1,0)、F2(1,0),短轴的两个端点分别为B1,B2(1)若△F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且,求直线l的方程.【分析】(1)由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b,又c=1,集合a2=b2+c2可求a2,b2,则椭圆C的方程可求;(2)由给出的椭圆C的短轴长为2,结合c=1求出椭圆方程,分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论,当斜率存在时,把直线方程和椭圆方程联立,由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和,把转化为数量积等于0,代入坐标后可求直线的斜率,则直线l的方程可求.【解答】解:(1)设椭圆C的方程为.根据题意知,解得,故椭圆C的方程为.(2)由2b=2,得b=1,所以a2=b2+c2=2,得椭圆C的方程为.当直线l的斜率不存在时,其方程为x=1,不符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x﹣1).由,得(2k2+1)x2﹣4k2x+2(k2﹣1)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,因为,所以,即===,解得,即k=.故直线l的方程为或.【点评】本题考查了椭圆的标准方程,考查了数量积的坐标运算,考查了直线和圆锥曲线的关系,考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,训练了根与系数关系,属有一定难度题目.29.(12分)已知抛物线C:y2=4x 的焦点为F.(1)点A,P满足.当点A在抛物线C上运动时,求动点P的轨迹方程;(2)在x轴上是否存在点Q,使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C 上?如果存在,求所有满足条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.【分析】(1)设出动点P和A的坐标,求出抛物线焦点F的坐标,由得出P点和A点的关系,由代入法求动点P的轨迹方程;(2)设出点Q的坐标,在设出其关于直线y=2x的对称点Q′的坐标,由斜率关系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间的关系,再由点Q′在抛物线上,把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标.【解答】解:(1)设动点P的坐标为(x,y),点A的坐标为(x A,y A),则,因为F的坐标为(1,0),所以,由,得(x﹣x A,y﹣y A)=﹣2(x A﹣1,y A).即,解得代入y2=4x,得到动点P的轨迹方程为y2=8﹣4x.(2)设点Q的坐标为(t,0).点Q关于直线y=2x的对称点为Q′(x,y),则,解得.若Q′在C上,将Q′的坐标代入y2=4x,得4t2+15t=0,即t=0或.所以存在满足题意的点Q,其坐标为(0,0)和().【点评】本题考查了轨迹方程,考查了直线和圆锥曲线间的关系,考查了代入法求曲线方程,考查了存在性问题的求解方法,属中档题.31.(18分)已知真命题:“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f(x+a)﹣b 是奇函数”.(1)将函数g(x)=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数g(x)图象对称中心的坐标;(2)求函数h(x)=图象对称中心的坐标;(3)已知命题:“函数y=f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数y=f(x+a)﹣b 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).【分析】(1)先写出平移后图象对应的函数解析式为y=(x+1)3﹣3(x+1)2+2,整理得y=x3﹣3x,由于函数y=x3﹣3x是奇函数,利用题设真命题知,函数g(x)图象对称中心.(2)设h(x)=的对称中心为P(a,b),由题设知函数h(x+a)﹣b是奇函数,从而求出a,b的值,即可得出图象对称中心的坐标.(3)此命题是假命题.举反例说明:函数f(x)=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象,但是对任意实数a和b,函数y=f(x+a)﹣b,即y=x+a﹣b总不是偶函数.修改后的真命题:“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f(x+a)是偶函数”.【解答】解:(1)平移后图象对应的函数解析式为y=(x+1)3﹣3(x+1)2+2,整理得y=x3﹣3x,由于函数y=x3﹣3x是奇函数,由题设真命题知,函数g(x)图象对称中心的坐标是(1,﹣2).(2)设h(x)=的对称中心为P(a,b),由题设知函数h(x+a)﹣b是奇函数.设f(x)=h(x+a)﹣b,则f(x)=﹣b,即f(x)=.由不等式的解集关于原点对称,则﹣a+(4﹣a)=0,得a=2.此时f(x)=﹣b,x∈(﹣2,2).任取x∈(﹣2,2),由f(﹣x)+f(x)=0,得b=1,所以函数h(x)=图象对称中心的坐标是(2,1).(3)此命题是假命题.举反例说明:函数f(x)=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象,但是对任意实数a和b,函数y=f(x+a)﹣b,即y=x+a﹣b总不是偶函数.修改后的真命题:“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f(x+a)是偶函数”.【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用,考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的对称性等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于中档题.30.(13分)在平面直角坐标系xOy中,点A在y轴正半轴上,点P n在x轴上,其横坐标为x n,且{x n}是首项为1、公比为2的等比数列,记∠P n AP n+1=θn,n∈N*.(1)若,求点A的坐标;(2)若点A的坐标为(0,8),求θn的最大值及相应n的值.【分析】(1)利用{x n}是首项为1、公比为2的等比数列,确定通项,利用差角的正切公式,建立方程,即可求得A的坐标;(2)表示出tanθn=tan(∠OAP n+1﹣∠OAP n),利用基本不等式,结合正切函数的单调性,即可求得结论.【解答】解:(1)设A(0,t)(t>0),根据题意,x n=2n﹣1.由,知,而tanθ3=tan(∠OAP4﹣∠OAP3)==,所以,解得t=4或t=8.故点A的坐标为(0,4)或(0,8).(2)由题意,点P n的坐标为(2n﹣1,0),tan∠OAP n=.∴tanθn=tan(∠OAP n+1﹣∠OAP n)==.因为≥,所以tanθn≤=,当且仅当,即n=4时等号成立.∵0<θn<,y=tanx在(0,)上为增函数,∴当n=4时,θn最大,其最大值为.【点评】本题考查等比数列,考查差角的正切函数,考查基本不等式的运用,正确运用差角的正切公式是关键.创作人:百里公地创作日期:202X.04.01审核人:北堂址重创作单位:博恒中英学校。

春考数学试题及答案

春考数学试题及答案

春考数学试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 若函数f(x)=x^2-4x+3,求f(2)的值。

A. 1B. 3C. 5D. 7答案:B2. 已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,求a5的值。

A. 17B. 14C. 11D. 8答案:A3. 若直线l的方程为y=2x+1,求该直线与x轴的交点坐标。

A. (-1/2, 0)B. (1/2, 0)C. (0, 1)D. (0, -1)答案:B4. 已知圆C的方程为(x-2)^2+(y+1)^2=9,求圆心C到直线l:x+y=0的距离。

A. √2B. √5C. 2√2D. 3√2答案:C5. 若复数z=1+i,求|z|的值。

A. √2B. 2C. √5D. 1答案:A6. 已知向量a=(3, -2),b=(2, 4),求向量a与向量b的数量积。

A. 2B. -2C. 10D. -10答案:D7. 若函数f(x)=x^3-3x^2+2,求f'(x)的值。

A. 3x^2-6xB. x^2-6x+2C. 3x^2-6x+2D. x^3-3x^2+2答案:C8. 已知双曲线C的方程为x^2/4-y^2=1,求双曲线的焦点坐标。

A. (±√5, 0)B. (±2, 0)C. (0, ±√5)D. (0, ±2)答案:A9. 若抛物线C的方程为y^2=4x,求抛物线C的准线方程。

A. x=-1B. x=1C. y=-1D. y=1答案:A10. 已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|,求f(0)的值。

A. 3B. 1C. 2D. 0答案:A二、填空题(每题4分,共20分)11. 已知等比数列{bn}的首项b1=8,公比q=1/2,求b4的值。

答案:212. 若函数f(x)=x^2-6x+8,求该函数的最小值。

答案:213. 已知椭圆C的方程为x^2/16+y^2/9=1,求椭圆的离心率。

答案:√7/814. 若直线l的方程为3x-4y+5=0,求该直线的斜率。

天津市春季高考数学模拟试卷

天津市春季高考数学模拟试卷

天津市高等院校春季招生考试《数学》模拟题一、选择题1.集合}4,3,2,1{=A ,A B ⊆,且)(1B A ∈,则满足上述条件的集合B 共有A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个2. 不等式042<++ax x 的解集为φ,则a 的取值范围是3. 已知函数)(x f 是偶函数,)(x g 是奇函数,且11)()(-=+x x g x f ,则)(x g =4. 若32041||-=-→→b a ,4||=→a ,5||=→b ,则=⋅→→b aA. 105.已知函数259log )3(2+=x x f ,则=)1(f A. 16. 由数字1、3、5、7四个数能组成1、3不相邻的没有重复数字的四位数A. 12个B. 36个C. 48个D. 72个 7. 若三角形一个内角α满足1cos sin =+αα,则这个三角形一定是A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 不确定8.函数k x A y ++=)sin(ϕω的图像在一个周期内最高点的坐标为)1,12(π,最低点的坐标为)5,127(-π,则k A ,,,ϕω的值分别是A. 3,21,3π,2- B. 3,2,6π,2- C. 3,2,3π,2-D.3,1,3π,2-9.已知直线的倾斜角为22arcsin ,且过圆9)5()3(22=-++y x 的圆心,则直线的横截距、纵截距分别是 A. 8和8B.8-和8 C.8-和8- D. 8和8-10. 以椭圆64422=+y x 的焦点为顶点,一条渐近线方程为03=+y x 的双曲线方程为二、填空题11. 函数)2|3lg(|4)(2-+-=x x x f 的定义域为_______________________.12. 若m =2log 3,则=36log 2______________________.13. 已知ABC ∆中,三边长分别为2,7,3===c b a ,则=∠B ________________.14. 复数z 满足i z z +=+2,则=z ____________________.15.P 为抛物线x y 42=上的动点,F 为抛物线焦点,对于点)2,5(Q 使得PF PQ +的值最小的点P 的坐标为________________________.16. 在na a)1(324-的展开式中,倒数第三项系数绝对值为45,则展开式中含3a 的项是_______________. 三、解答题17. 已知61≤≤x ,函数4log 2)(log )(21221-+=x x x f ,当x 为何值时函数有的最大值和最小值,并求出最大值和最小值。

2024年天津高考数学真题(原卷版+解析版】

2024年天津高考数学真题(原卷版+解析版】

2024年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷(选择题)注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共9小题,每小题5分,共45分.参考公式:·如果事件A B ,互斥,那么()()()P A B P A P B =+U .·如果事件A B ,相互独立,那么()()()P AB P A P B =.·球的体积公式34π3V R =,其中R 表示球的半径.·圆锥的体积公式13V Sh=,其中S 表示圆锥的底面面积,h 表示圆锥的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =,则A B =I ( )A. {}1,2,3,4 B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}12. 设,a b ÎR ,则“33a b =”是“33a b =”( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列图中,相关性系数最大的是( )的获取更多高中资料关注公众号:网盘网课资源A. B.C. D.4. 下列函数是偶函数的是( )A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===,,,则a b c ,,的大小关系为( )A. a b c>> B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>6. 若,m n 为两条不同的直线,a 为一个平面,则下列结论中正确的是( )A 若//m a ,n Ìa ,则//m nB. 若//,//m n a a ,则//m nC. 若//,a a ^m n ,则m n ^D. 若//,a a ^m n ,则m 与n 相交7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π.则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是( )A. B. 32-C. 0D.328. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>,的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点,且直线2PF 的斜率为2.12PF F △是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为( )A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=9. 一个五面体ABC DEF -.已知AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1.并已知123AD BE CF ===,,.则该五面体的体积为().A.B.12+C.D.12-第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题,共105分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.10. 已知i是虚数单位,复数))i 2i +×-=______.11. 在63333x xæö+ç÷èø展开式中,常数项为______.12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距离为______.13. ,,,,A B C D E 五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.(1)甲选到A 的概率为______;已知乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为______.14. 在边长为1的正方形ABCD 中,点E 为线段CD 的三等分点, 1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r l m ,则l m +=______;若F 为线段BE 上的动点,G 为AF 中点,则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______.15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点,则a 取值范围为______.三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤的的16. 在ABC V 中,92cos 5163a Bbc ===,,.(1)求a ;(2)求sin A ;(3)求()cos 2B A -.17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,1A A ^平面ABCD ,AD AB ^,其中12,1AB AA AD DC ====.N 是11B C 的中点,M 是1DD 的中点.(1)求证1//D N 平面1CB M ;(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值;(3)求点B 到平面1CB M 的距离.18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =.左顶点为A ,下顶点为B C ,是线段OB 的中点,其中ABC S △.(1)求椭圆方程.(2)过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ,.在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由.19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列.其前n 项和为n S .若1231,1a S a ==-.(1)求数列{}n a 前n 项和n S ;(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î,11b =,其中k 是大于1的正整数.(ⅰ)当1k n a +=时,求证:1n k n b a b -³×;(ⅱ)求1nS i i b =å.20. 设函数()ln f x x x =.(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程;(2)若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立,求a 取值范围;(3)若()12,0,1x x Î,证明()()121212f x f x x x -£-.的2024年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷(选择题)注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共9小题,每小题5分,共45分.参考公式:·如果事件A B ,互斥,那么()()()P A B P A P B =+U .·如果事件A B ,相互独立,那么()()()P AB P A P B =.·球的体积公式34π3V R =,其中R 表示球的半径.·圆锥的体积公式13V Sh=,其中S 表示圆锥的底面面积,h 表示圆锥的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =,则A B =I ( )A. {}1,2,3,4B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}1【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =,所以{}2,3,4A B =I ,获取更多高中资料关注公众号:网盘网课资源2. 设,a b ÎR ,则“33a b =”是“33a b =”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】说明二者与同一个命题等价,再得到二者等价,即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质,33a b =和33a b =都当且仅当a b =,所以二者互为充要条件.故选:C.3. 下列图中,相关性系数最大的是( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知,A 图散点分布比较集中,且大体接近某一条直线,线性回归模型拟合效果比较好,呈现明显的正相关,r 值相比于其他3图更接近1.故选:A4. 下列函数是偶函数的是( )A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ,设()22e 1x x f x x -=+,函数定义域为R ,但()112e 1f ---=,()112e f -=,则()()11f f -¹,故A 错误;对B ,设()22cos 1x x g x x +=+,函数定义域为R ,且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+,则()g x 为偶函数,故B 正确;对C ,设()e 1x xh x x -=+,函数定义域为{}|1x x ¹-,不关于原点对称, 则()h x 不是偶函数,故C 错误;对D ,设()||sin 4e x x x x j +=,函数定义域为R ,因为()sin141e j +=,()sin141ej ---=,则()()11j j ¹-,则()x j 不是偶函数,故D 错误.故选:B.5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===,,,则a b c ,,的大小关系为( )A. a b c >>B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增,且0.300.3-<<,所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<,所以0.30.30 4.21 4.2-<<<,即01a b <<<,因为 4.2log y x =在(0,)+¥上递增,且00.21<<,所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=,即0c <,所以b a c >>,故选:B6. 若,m n 为两条不同的直线,a 为一个平面,则下列结论中正确的是( )A. 若//m a ,n Ìa ,则//m nB. 若//,//m n a a ,则//m nC. 若//,a a ^m n ,则m n ^D. 若//,a a ^m n ,则m 与n 相交【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误,根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ,若//m a ,n Ìa ,则,m n 平行或异面,故A 错误.对于B ,若//,//m n a a ,则,m n 平行或异面或相交,故B 错误.对于C ,//,a a ^m n ,过m 作平面b ,使得s b a =I ,因为m b Ì,故//m s ,而s a Ì,故n s ^,故m n ^,故C 正确. 对于D ,若//,a a ^m n ,则m 与n 相交或异面,故D 错误.故选:C .7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π.则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是( )A. B. 32-C. 0D.32【答案】A 【解析】【分析】先由诱导公式化简,结合周期公式求出w ,得()sin2f x x =-,再整体求出,126éùÎ-êúëûππx 时,2x 的范围,结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x w w w æö=+=+=-ç÷èø,由2ππ3T w==得23w =,即()sin2f x x =-,当,126éùÎ-êúëûππx 时,ππ2,63x éùÎ-êúëû,画出()sin2f x x =-图象,如下图,由图可知,()sin2f x x =-在ππ,126éù-êúëû上递减,所以,当π6x =时,()min πsin 3f x =-=故选:A8. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>,的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点,且直线2PF 的斜率为2.12PF F △是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为( )A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=【答案】C 【解析】【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理,转化出三边比例,设2PF m =,由面积公式求出m ,由勾股定理得出c ,结合第一定义再求出a .【详解】如下图:由题可知,点P 必落在第四象限,1290F PF Ð=°,设2PF m =,211122,PF F PF F q q Ð=Ð=,由21tan 2PF k q ==,求得1sin q =,因为1290F PF Ð=°,所以121PF PF k k ×=-,求得112PF k =-,即21tan 2q =,2sin q =,由正弦定理可得:121212::sin :sin :sin 902PF PF F F q q =°=,则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===,由1212112822PF F S PF PF m m =×=×=V 得m =,则2122PF PF F c c =====由双曲线第一定义可得:122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选:C9. 一个五面体ABC DEF -.已知AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1.并已知123AD BE CF ===,,.则该五面体的体积为( )A.B.12+ C.D.12-【答案】C 【解析】【分析】采用补形法,补成一个棱柱,求出其直截面,再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -(顶点与五面体ABC DEF -一一对应)与该五面体相嵌,使得,D N ;,E M ;,F L 重合,因为AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1.1,2,3AD BE CF ===,则形成的新组合体为一个三棱柱,该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形,侧棱长为1322314+=+=+=,212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==´´´=.故选:C.第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题,共105分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.10. 已知i是虚数单位,复数))i 2i +×-=______.【答案】7【解析】【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527+×-=+-+=-.故答案为:7-.11. 在63333x xæö+ç÷èø的展开式中,常数项为______.【答案】20【解析】【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x æö+ç÷èø的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+æöæö===×××ç÷ç÷èøèø,令()630r -=,可得3r =,所以常数项为0363C 20=.故答案为:20.12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距离为______.【答案】45##0.8【解析】【分析】先求出圆心坐标,从而可求焦准距,再联立圆和抛物线方程,求A 及AF 的方程,从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ,故12p=即2p =,由()2221254x y y xì-+=ïí=ïî可得22240x x +-=,故4x =或6x =-(舍),故()4,4A ±,故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=,故原点到直线AF 的距离为4455d ==,故答案为:4513. ,,,,A B C D E 五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.(1)甲选到A 的概率为______;已知乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为______.【答案】 ①.35②. 12【解析】【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率;采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率.【详解】解法一:列举法从五个活动中选三个的情况有:,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况,其中甲选到A 有6种可能性:,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ,则甲选到A 得概率为:63105P ==;乙选A 活动有6种可能性:,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ,其中再选则B 有3种可能性:,,ABC ABD ABE ,故乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为31=62.解法二:设甲、乙选到A 为事件M ,乙选到B 为事件N ,则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==;乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为:35;1214. 在边长为1的正方形ABCD 中,点E 为线段CD 的三等分点, 1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r l m ,则l m +=______;若F 为线段BE 上的动点,G 为AF 中点,则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______.【答案】 ①.43②. 518-【解析】【分析】解法一:以{},BA BC uuu r uuu r 为基底向量,根据向量的线性运算求BE uuu r,即可得l m +,设BF BE k =uuu r uur ,求,AF DG uuu r uuu r ,结合数量积的运算律求AF DG ×uuu r uuur 的最小值;解法二:建系标点,根据向量的坐标运算求BE uuu r,即可得l m +,设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû,求,AF DG uuu r uuu r ,结合数量积的坐标运算求AF DG ×uuu r uuur 的最小值.【详解】解法一:因为12CE DE =,即23CE BA =uur uur ,则13BE BC CE BA BC =+=+uuu r uur u uu ur r uuu r ,可得1,13l m ==,所以43l m +=;由题意可知:1,0BC BA BA BC ==×=uuu r uuu r uuu r uuu r,因为F 为线段BE 上的动点,设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+Îuuu r uuu r uuu r uuu r,则113AF AB BF AB k BE k BA k BC æö=+=+=-+ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ,又因为G 为AF 中点,则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC æöæö=+=-+=-+-ç÷ç÷èøèøuuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur ,可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC éùéùæöæöæö×=-+×-+-ç÷ç÷ç÷êúêúèøèøèøëûëûuuu r uuur uuu r uuu ruuu r uuur22111563112329510k k k k æöæöæö=-+-=--ç÷ç÷ç÷èøèøèø,又因为[]0,1k Î,可知:当1k =时,AF DG ×uuu r uuur取到最小值518-;解法二:以B 为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E æö---ç÷èø,可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE æö=-==-ç÷èøuuu r uuu r uuu r ,因为(),BE BA BC l m l m =+=-uuu r uuu r uuu r ,则131l m ì-=-ïíï=î,所以43l m +=;因为点F 在线段1:3,,03BE y x x éù=-Î-êúëû上,设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû,且G 为AF 中点,则13,22a G a -æö-ç÷èø,可得()131,3,,122a AF a a DG a +æö=+-=--ç÷èøuuu r uuur ,则()()22132331522510a AF DG a a a +æöæö×=+---=+-ç÷ç÷èøèøuuu r uuur ,且1,03a éùÎ-êúëû,所以当13a =-时,AF DG ×uuu r uuur 取到最小值为518-;故答案为:43;518-.15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点,则a 的取值范围为______.【答案】()(1-È【解析】【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系,构造函数()g x =与()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî,则两函数图象有唯一交点,分0a =、0a >与0a <进行讨论,当0a >时,计算函数定义域可得x a ³或0x £,计算可得(]0,2a Î时,两函数在y 轴左侧有一交点,则只需找到当(]0,2a Î时,在y 轴右侧无交点的情况即可得;当0a <时,按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =,即21ax =--,由题可得20x ax -³,当0a =时,x ÎR,有211=--=,则x =±当0a >时,则23,2121,ax x a ax x a ì-³ïï--=íï-<ïî,即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî有唯一交点,由20x ax -³,可得x a ³或0x £,当0x £时,则20ax -<,则211ax ax =--=-,即()22441x ax ax -=-,整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû,当2a =时,即410x +=,即14x =-,当()0,2a Î,12x a =-+或102x a=>-(正值舍去),当()2,a Î+¥时,102x a =-<+或102x a=<-,有两解,舍去,即当(]0,2a Î时,210ax --+=在0x £时有唯一解,则当(]0,2a Î时,210ax --+=在x a ³时需无解,当(]0,2a Î,且x a ³时,由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî关于2x a =对称,令()0h x =,可得1x a =或3x a =,且函数()h x 在12,a a æöç÷èø上单调递减,在23,a a æöç÷èø上单调递增,令()g x y ==,即2222142a x y a a æö-ç÷-ø=è,故x a ³时,()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得,由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±,即()g x 部分的渐近线方程为22a y x æö=-ç÷èø,其斜率为2,又(]0,2a Î,即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a ³时的斜率(]0,2a Î,令()0g x ==,可得x a =或0x =(舍去),且函数()g x 在(),a +¥上单调递增,故有13a aa a ì<ïïíï>ïî,解得1a <<,故1a <<符合要求;当a<0时,则23,2121,ax x a ax x a ì-£ïï--=íï->ïî,即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-£ïï=íï->ïî有唯一交点,由20x ax -³,可得0x ³或x a £,当0x ³时,则20ax -<,则211ax ax =--=-,即()22441x ax ax -=-,整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû,当2a =-时,即410x -=,即14x =,当()2,0a Î-,102x a =-<+(负值舍去)或102x a=-,当(),2a Î-¥时,102x a =->+或102x a=>-,有两解,舍去,即当[)2,0a Î-时,210ax --+=在0x ³时有唯一解,则当[)2,0a Î-时,210ax --+=在x a £时需无解,当[)2,0a Î-,且x a £时,由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-£ïï=íï->ïî关于2x a =对称,令()0h x =,可得1x a =或3x a =,且函数()h x 在21,a a æöç÷èø上单调递减,在32,a a æöç÷èø上单调递增,同理可得:x a £时,()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得,()g x 部分渐近线方程为22a y x æö=-+ç÷èø,其斜率为2-,又[)2,0a Î-,即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a <时的斜率[)2,0a Î-,令()0g x ==,可得x a =或0x =(舍去),的且函数()g x 在(),a -¥上单调递减,故有13a aa aì>ïïíï<ïî,解得1a <<-,故1a <<-符合要求;综上所述,()(1a Î-U .故答案:()(1-È.【点睛】关键点点睛:本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî的交点问题,从而可将其分成两个函数研究.三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16. 在ABC V 中,92cos 5163a Bbc ===,,.(1)求a ;(2)求sin A ;(3)求()cos 2B A -.【答案】(1)4 (2(3)5764【解析】【分析】(1)2,3a t c t ==,利用余弦定理即可得到方程,解出即可;(2)法一:求出sin B ,再利用正弦定理即可;法二:利用余弦定理求出cos A ,则得到sin A ;(3)法一:根据大边对大角确定A 为锐角,则得到cos A ,再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可;法二:直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【小问1详解】设2,3a t c t ==,0t >,则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,为即229254922316t t t t =+-´´´,解得2t =(负舍);则4,6a c ==.【小问2详解】法一:因为B为三角形内角,所以sin B ===,再根据正弦定理得sin sin a b A B =,即4sin A =sin A =法二:由余弦定理得2222225643cos22564bc a A bc +-+-===´´,因为()0,πA Î,则sin A ==小问3详解】法一:因为9cos 016B =>,且()0,πB Î,所以π0,2B æöÎç÷èø,由(2)法一知sin B =,因为a b <,则A B <,所以3cos 4A ==,则3sin 22sin cos 24A A A ===,2231cos 22cos 12148A A æö=-=´-=ç÷èø()1957cos 2cos cos 2sin sin 281664B A B A B A -=+=´+=.法二:3sin 22sin cos 24A A A ===,则2231cos 22cos 12148AA æö=-=´-=ç÷èø,因为B 为三角形内角,所以sinB ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=´=【17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,1A A ^平面ABCD ,AD AB ^,其中12,1AB AA AD DC ====.N 是11B C 的中点,M 是1DD 的中点.(1)求证1//D N 平面1CB M ;(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值;(3)求点B 到平面1CB M 的距离.【答案】(1)证明见解析(2(3【解析】【分析】(1)取1CB 中点P ,连接NP ,MP ,借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ,结合线面平行判定定理即可得证;(2)建立适当空间直角坐标系,计算两平面的空间向量,再利用空间向量夹角公式计算即可得解;(3)借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【小问1详解】取1CB 中点P ,连接NP ,MP ,由N 是11B C 的中点,故1//NP CC ,且112NP CC =,由M 是1DD 的中点,故1111122D M DD CC ==,且11//D M CC ,则有1//D M NP 、1D M NP =,故四边形1D MPN 是平行四边形,故1//D N MP ,又MP Ì平面1CB M ,1D N Ë平面1CB M ,故1//D N 平面1CB M ;【小问2详解】以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系,有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ,则有()11,1,2CB =-uuur 、()1,0,1CM =-uuuu r 、()10,0,2BB =uuur,设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =r 、()222,,n x y z =r,则有111111200m CB x y z m CM x z ì×=-+=ïí×=-+=ïîuuur r uuuu r r ,1222122020n CB x y z n BB z ì×=-+=ïí×==ïîuuur r uuur r ,分别取121x x ==,则有13y =、11z =、21y =,20z =,即()1,3,1m =r 、()1,1,0n =r,则cos ,m =r ,故平面1CB M 与平面11BB CC;【小问3详解】由()10,0,2BB =uuur ,平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =r,=即点B 到平面1CB M.18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =.左顶点为A ,下顶点为B C ,是线段OB 的中点,其中ABC S △.(1)求椭圆方程.(2)过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ,.在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由.【答案】(1)221129x y +=(2)存在()30,32T t t æö-££ç÷èø,使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【解析】【分析】(1)根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量,从而可得椭圆的标准方程.(2)设该直线方程为:32y kx =-,()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t , 联立直线方程和椭圆方程并消元,结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ×uur uuu r,再根据0TP TQ ×£uur uuu r 可求t 的范围.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =,故2a c =,b =,其中c 为半焦距,所以()()2,0,0,,0,A c B C æ-ççè,故122ABC S c =´=△故c =a =,3b =,故椭圆方程为:221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为:32y kx =-,设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ,由22343632x y y kx ì+=ïí=-ïî可得()223412270k x kx +--=,故()222Δ144108343245760k kk=++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-uur uuu r,故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t æöæö×=+--=+----ç÷ç÷èøèøuur uuu r ()()22121233122kx x k t x x t æöæö=+-++++ç÷ç÷èøèø()22222731231342342k k k t t k k æöæöæö=+´--+´++ç÷ç÷ç÷++èøèøèø()2222222327271812332234k k k t t t k k æö----++++ç÷èø=+()22223321245327234t t k t k æöéù+--++-ç÷ëûèø=+,因为0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立,故()223212450332702t t t ì+--£ïíæö+-£ïç÷èøî,解得332t -££.若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率不存在,则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -,此时需33t -££,两者结合可得332t -££.综上,存在()30,32T t t æö-££ç÷èø,使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【点睛】思路点睛:圆锥曲线中的范围问题,往往需要用合适的参数表示目标代数式,表示过程中需要借助韦达定理,此时注意直线方程的合理假设.19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列.其前n 项和为n S .若1231,1a S a ==-.(1)求数列{}n a 前n 项和n S ;(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î,11b =,其中k 是大于1的正整数.(ⅰ)当1k n a +=时,求证:1n k n b a b -³×;(ⅱ)求1nS i i b =å.【答案】(1)21n n S =- (2)①证明见详解;②()131419nn S ii n b=-+=å【解析】【分析】(1)设等比数列{}n a 的公比为0q >,根据题意结合等比数列通项公式求q ,再结合等比数列求和公式分析求解;(2)①根据题意分析可知12,1k k n a b k -==+,()121n k k b -=-,利用作差法分析证明;②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå,再结合裂项相消法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >,因为1231,1a S a ==-,即1231a a a +=-,可得211q q +=-,整理得220q q --=,解得2q =或1q =-(舍去),所以122112nn n S -==--.【小问2详解】(i )由(1)可知12n n a -=,且N*,2k k γ,当124kk n a +=³=时,则111221111k k k k k a n n a a -++ì=<-=-í-=-<î,即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+,()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--×=+-=-,可得()()()()1112112122120kn k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--³--=-׳-,当且仅当2k =时,等号成立,所以1n k n b a b -³×;(ii )由(1)可知:1211nn n S a +=-=-,若1n =,则111,1S b ==;若2n ³,则112k k k a a -+-=,当1221k k i -<£-时,12i i b b k --=,可知{}i b 为等差数列,可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-éù=×+=×=---ëûå,所以()()()232113141115424845431434499nnS n n i i n b n n -=-+éù=+´-´+´-´+×××+---=ëûå,且1n =,符合上式,综上所述:()131419nn S ii n b=-+=å.【点睛】关键点点睛:1.分析可知当1221k k i -<£-时,12i i b b k --=,可知{}i b 为等差数列;2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå.20. 设函数()ln f x x x =.(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处切线方程;(2)若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立,求a 的取值范围;(3)若()12,0,1x x Î,证明()()121212f x f x x x -£-.【答案】(1)1y x =- (2){}2(3)证明过程见解析【解析】【分析】(1)直接使用导数的几何意义;(2)先由题设条件得到2a =,再证明2a =时条件满足;(3)先确定()f x 的单调性,再对12,x x 分类讨论.【小问1详解】的由于()ln f x x x =,故()ln 1f x x =¢+.所以()10f =,()11f ¢=,所以所求的切线经过()1,0,且斜率为1,故其方程为1y x =-.【小问2详解】设()1ln h t t t =--,则()111t h t t t¢-=-=,从而当01t <<时()0h t ¢<,当1t >时()0h t ¢>.所以()h t 在(]0,1上递减,在[)1,+¥上递增,这就说明()()1h t h ³,即1ln t t -³,且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--,则()((ln 12ln f x a x x x a x x a x g æö--=-=-=×ç÷øè.当()0,x ¥Î+的取值范围是()0,¥+,所以命题等价于对任意()0,t ¥Î+,都有()0g t ³.一方面,若对任意()0,t ¥Î+,都有()0g t ³,则对()0,t ¥Î+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t æö£=--=-+£-+-=+--ç÷èø,取2t =,得01a £-,故10a ³>.再取t =,得2022a a a £+-=-=-,所以2a =.另一方面,若2a =,则对任意()0,t ¥Î+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=³,满足条件.综合以上两个方面,知a 的取值范围是{}2.【小问3详解】先证明一个结论:对0a b <<,有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明:前面已经证明不等式1ln t t -³,故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a --=+=+<+---,且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bbæö---ç÷--èø=+=+>+=+----,所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-,即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x =¢+,可知当10ex <<时()0f x ¢<,当1e x >时()0f x ¢>.所以()f x 在10,eæùçúèû上递减,在1e ,éö+¥÷êëø上递增.不妨设12x x £,下面分三种情况(其中有重合部分)证明本题结论.情况一:当1211ex x ££<时,有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二:当1210ex x <££时,有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c æùÎçúèû,设()ln ln x x x c c j =--()ln 1x x j =+¢.由于()x j ¢单调递增,且有11110j =+<+=-+=¢,且当2124ln 1x c c ³-æö-ç÷èø,2cx >2ln 1c ³-可知()2ln 1ln 1ln 102c x x c j æö=+>++=-³ç÷èø¢.所以()x j ¢在()0,c 上存在零点0x ,再结合()x j ¢单调递增,即知00x x <<时()0x j ¢<,0x x c <<时()0x j ¢>.故()x j 在(]00,x 上递减,在[]0,x c 上递增.①当0x x c ££时,有()()0x c j j £=;②当00x x <<112221e e f f cæö=-£-=<ç÷èø,故我们可以取1,1q c öÎ÷ø.从而当201cx q <<->()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cj ö=-<-<--=-<÷ø.再根据()x j 在(]00,x 上递减,即知对00x x <<都有()0x j <;综合①②可知对任意0x c <£,都有()0x j £,即()ln ln 0x x x c c j =--£.根据10,ec æùÎçúèû和0x c <£的任意性,取2c x =,1x x =,就得到1122ln ln 0x x x x -£.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-£.情况三:当12101ex x <££<时,根据情况一和情况二讨论,可得()11e f x f æö-££ç÷èø,()21e f f x æö-££ç÷èø而根据()f x 的单调性,知()()()1211e f x f x f x f æö-£-ç÷èø或()()()1221e f x f xf f x æö-£-ç÷èø.故一定有()()12f x f x -£成立.综上,结论成立.【点睛】关键点点睛:本题的关键在于第3小问中,需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.的。

春季高考试卷-天津市春季高考数学模拟试卷a

春季高考试卷-天津市春季高考数学模拟试卷a

2016年天津市高等院校春季招生统一考试数学A本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至9页,第Ⅱ卷10至12页。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共75分)注意事项:1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目涂写在答题卡上,并将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。

2. 每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3. 考试结束,监考员将本试卷和答题卡一并收回。

—、单项选择题:本大题共8小题,每小题6分,共48分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。

1.设集合M={x x-1=0},A ={1,2},则M ∪N= A.{1,1,2} B.{2} C.{1,2} D.{-1,1,2}2.设K 为常数,若函数y=(2k+1)x+b (-∞,﹢∞)内是增函数,则>21 B. K<21>- 21 D. K<-213.不等式(3x+4)(5-x)<0的解集是A.{x x<-34或x>5}B.{x -34<x<5}C.{-34<x<5}D.{x<-34或x>5}4.若f(x)是偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f(-21)=21 B.41-C.41D. 21第一页5.已知sin α=-21(21≤x ≤23π),则cos2α= A. 21B.23C. -2123 (-213π)=A. 21B.23C. -21 237.已知向量=−→−−→−=−→−=−→−m m ba b a 则若,//),8,4(),,3( 23 B.238.双曲线4x 2-9y=1的渐近线方程式A. Y=x 23±B. Y=x32±C. Y=x 49±D. Y=x94±第二页2015年天津市高等院校春季招生统一考试数学A第二卷(非选择题)注意事项;1.答第II 卷前,考生须将密封线内的项目填写清楚。

2024年天津高考数学真题(含解析)

2024年天津高考数学真题(含解析)

2024年普通高等学校招生全国统一考试·数学试卷(天津卷)第Ⅰ卷(选择题)参考公式:·如果事件A B ,互斥,那么()()()P A B P A P B =+ .·如果事件A B ,相互独立,那么()()()P AB P A P B =.·球的体积公式34π3V R =,其中R 表示球的半径.·圆锥的体积公式13V Sh =,其中S 表示圆锥的底面面积,h 表示圆锥的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =,则A B = ()A.{}1,2,3,4 B.{}2,3,4 C.{}2,4 D.{}12.设,a b ∈R ,则“33a b =”是“33a b =”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列图中,线性相关性系数最大的是()A. B.C.D.4.下列函数是偶函数的是()A.22e 1x x y x -=+ B.22cos 1x x y x +=+ C.e 1x xy x -=+ D.||sin 4e x x x y +=5.若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===,,,则a b c ,,的大小关系为()A.a b c>> B.b a c >> C.c a b>> D.b c a>>6.若,m n 为两条不同的直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是()A.若//m α,//n α,则m n ⊥B.若//,//m n αα,则//m nC.若//,αα⊥m n ,则m n⊥ D.若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交7.已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.则()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是()A. B.32-C.0D.328.双曲线22221()00a x y a bb >-=>,的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点,且直线2PF 的斜率为2.12PF F △是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为()A.22182y x -= B.22184x y -= C.22128x y -= D.22148x y -=9.一个五面体ABC DEF -.已知AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1.并已知123AD BE CF ===,,.则该五面体的体积为()A.6B.142+ C.2D.142-第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.10.已知i 是虚数单位,复数))i 2i ⋅-=______.11.在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为______.12.圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距离为______.13.,,,,A B C D E 五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为______;已知乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为______.14.在边长为1的正方形ABCD 中,点E 为线段CD 的三等分点,1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r λμ,则λμ+=______;F 为线段BE 上的动点,G 为AF 中点,则AF DG ⋅的最小值为______.15.若函数()21f x ax =--+恰有一个零点,则a 的取值范围为______.三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知92cos 5163a Bbc ===,,.(1)求a ;(2)求sin A ;(3)求()cos 2B A -的值.17.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,1A A ⊥平面ABCD ,AD AB ⊥,其中12,1AB AA AD DC ====.N 是11B C 的中点,M 是1DD的中点.(1)求证1//D N 平面1CB M ;(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值;(3)求点B 到平面1CB M 的距离.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>椭圆的离心率12e =.左顶点为A ,下顶点为B C ,是线段OB的中点,其中ABC S =△.(1)求椭圆方程.(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ,.在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤.若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由.19.已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列.其前n 项和为n S .若1231,1a S a ==-.(1)求数列{}n a 前n 项和n S ;(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩,*,2k k ∈≥N .。

2024年天津市高考数学试卷含答案解析

2024年天津市高考数学试卷含答案解析

绝密★启用前2024年天津市高考数学试卷学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效。

3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷(选择题)一、单选题:本题共9小题,每小题5分,共45分。

在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.集合A ={1,2,3,4},B ={2,3,4,5},则A ∩B =( ) A. {1,2,3,4}B. {2,3,4}C. {2,4}D. {1}2.设a ,b ∈R ,则“a 3=b 3”是“3a =3b ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列图中,相关性系数最大的是( )A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的是( )A. e x −x 2x 2+1B. cosx+x 2x 2+1C. e x −x x+1D.sinx+4xe |x|5.若a =4.2−0.3,b =4.20.3,c =log 4.20.3,则a ,b ,c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. b >c >a6.若m ,n 为两条直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是( ) A. 若m//α,n ⊂α,则m//n B. 若m//α,n//α,则m//n C. 若m//α,n ⊥α,则m ⊥nD. 若m//α,n ⊥α,则m 与n 相交7.已知函数f(x)=sin3(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π.则函数在[−π12,π6]的最小值是( ) A. −√ 32B. −32C. 0D. 328.双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点,且直线PF 2的斜率为2,△PF 1F 2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为( ) A.x 22−y 28=1 B.x 24−y 28=1 C.y 24−x 28=1 D.x 22−y 24=19.一个五面体ABC −DEF.已知AD//BE//CF ,且两两之间距离为1.并已知AD =1,BE =2,CF =3.则该五面体的体积为( ) A.√ 36B. 3√ 34+12 C. √ 32 D. 3√ 34−12第II 卷(非选择题)二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分。

2024年天津市高考数学真题试卷(附答案)

2024年天津市高考数学真题试卷(附答案)

2024年天津市高考数学真题试卷一、单选题1.集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =,则A B = ( ) A .{}1,2,3,4B .{}2,3,4C .{}2,4D .{}12.设,a b ∈R ,则“33a b =”是“33a b =”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.下列图中,相关性系数最大的是( )A .B .C .D .4.下列函数是偶函数的是( )A .22e 1x x y x -=+B .22cos 1x x y x +=+C .e 1x xy x -=+D .||sin 4e x x xy +=5.若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===,,,则a b c ,,的大小关系为( ) A .a b c >>B .b a c >>C .c a b >>D .b c a >>6.若,m n 为两条不同的直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是( ) A .若//m α,n ⊂α,则//m n B .若//,//m n αα,则//m n C .若//,αα⊥m n ,则m n ⊥ D .若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交7.已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是( )A .B .32-C .0D .328.双曲线22221()00a x y a b b >-=>,的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点,且直线2PF 的斜率为2.12PF F △是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为( )A .22182y x -=B .22184x y -=C .22128x y -=D .22148x y -=9.一个五面体ABC DEF -.已知AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1.并已知123AD BE CF ===,,.则该五面体的体积为( )A .6B 12+ C D 12-二、填空题10.已知i 是虚数单位,复数))i 2i ⋅= .11.在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为 .12.22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距离为 .13.,,,,A B C D E 五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.(1)甲选到A 的概率为 ;已知乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为 .14.在边长为1的正方形ABCD 中,点E 为线段CD 的三等分点,1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ,则λμ+= ;若F 为线段BE 上的动点,G 为AF 中点,则AF DG ⋅的最小值为 .15.若函数()21f x ax =--+有唯一零点,则a 的取值范围为 .三、解答题16.在ABC 中,92cos 5163a Bbc ===,. (1)求a ; (2)求sin A ; (3)求()cos 2B A -.17.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,1A A ⊥平面ABCD ,AD AB ⊥,其中12,1AB AA AD DC ====.N 是11B C 的中点,M 是1DD 的中点.(1)求证1//D N 平面1CB M ;(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值; (3)求点B 到平面1CB M 的距离.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =.左顶点为A ,下顶点为B C ,是线段OB 的中点,其中2ABC S =△. (1)求椭圆方程.(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ,.在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由.19.已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列.其前n 项和为n S .若1231,1a S a ==-. (1)求数列{}n a 前n 项和n S ;(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩,11b =,其中k 是大于1的正整数.(ⅰ)当1k n a +=时,求证:1n k n b a b -≥⋅; (ⅱ)求1nS i i b =∑.20.设函数()ln f x x x =.(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程;(2)若()(f x a x ≥在()0,x ∞∈+时恒成立,求a 的取值范围; (3)若()12,0,1x x ∈,证明()()121212f x f x x x -≤-.参考答案1.B【详细分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【过程详解】因为集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =, 所以{}2,3,4A B = , 故选:B2.C【详细分析】说明二者与同一个命题等价,再得到二者等价,即是充分必要条件. 【过程详解】根据立方的性质和指数函数的性质,33a b =和33a b =都当且仅当a b =,所以二者互为充要条件. 故选:C.3.A【详细分析】由点的分布特征可直接判断【过程详解】观察4幅图可知,A 图散点分布比较集中,且大体接近某一条直线,线性回归模型拟合效果比较好,呈现明显的正相关,r 值相比于其他3图更接近1. 故选:A4.B【详细分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【过程详解】对A ,设()22e 1x x f x x -=+,函数定义域为R ,但()112e 1f ---=,()112e f -=,则()()11f f -≠,故A 错误;对B ,设()22cos 1x x g x x +=+,函数定义域为R ,且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+,则()g x 为偶函数,故B 正确;对C ,设()e 1x xh x x -=+,函数定义域为{}|1x x ≠-,不关于原点对称, 则()h x 不是偶函数,故C 错误; 对D ,设()||sin 4e x x x x ϕ+=,函数定义域为R,因为()sin141eϕ+=,()sin141e ϕ---=, 则()()11ϕϕ≠-,则()x ϕ不是偶函数,故D 错误.故选:B.5.B【详细分析】利用指数函数和对数函数的单调性详细分析判断即可. 【过程详解】因为 4.2x y =在R 上递增,且0.300.3-<<, 所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<,所以0.30.30 4.21 4.2-<<<,即01a b <<<, 因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增,且00.21<<, 所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=,即0c <, 所以b a c >>, 故选:B6.C【详细分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误,根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【过程详解】对于A ,若//m α,n ⊂α,则,m n 平行或异面,故A 错误. 对于B ,若//,//m n αα,则,m n 平行或异面或相交,故B 错误. 对于C ,//,αα⊥m n ,过m 作平面β,使得s βα= ,因为m β⊂,故//m s ,而s α⊂,故n s ⊥,故m n ⊥,故C 正确. 对于D ,若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交或异面,故D 错误. 故选:C.7.A【详细分析】先由诱导公式化简,结合周期公式求出ω,得()sin2f x x =-,再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时,2x 的范围,结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【过程详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭,由2ππ3T ω==得23ω=, 即()sin2f x x =-,当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时,ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,画出()sin2f x x =-图象,如下图,由图可知,()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减,所以,当π6x =时,()min πsin 3f x =-=故选:A 8.C【详细分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理,转化出三边比例,设2PF m =,由面积公式求出m ,由勾股定理得出c ,结合第一定义再求出a .【过程详解】如下图:由题可知,点P 必落在第四象限,1290F PF ∠=︒,设2PF m =,211122,PF F PF F θθ∠=∠=,由21tan 2PF k θ==,求得1sin θ=因为1290F PF ∠=︒,所以121PF PF k k ⋅=-,求得112PF k =-,即21tan 2θ=,2sin θ=121212::sin :sin :sin 902PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===, 由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得m =则21122PF PF F F c c ====由双曲线第一定义可得:122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选:C 9.C【详细分析】采用补形法,补成一个棱柱,求出其直截面,再利用体积公式即可.【过程详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -(顶点与五面体ABC DEF -一一对应)与该五面体相嵌,使得,D N ;,E M ;,F L 重合,因为AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1.1,2,3AD BE CF ===, 则形成的新组合体为一个三棱柱,该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形,侧棱长为1322314+=+=+=,212111142ABC DEF ABC HIJ V --==⨯⨯⨯=. 故选:C.10.7【详细分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【过程详解】))i 2i 527⋅=-+=.故答案为:7. 11.20【详细分析】根据题意结合二项展开式的通项详细分析求解即可. 【过程详解】因为63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令()630r -=,可得3r =,所以常数项为0363C 20=.故答案为:20.12.45/0.8【详细分析】先求出圆心坐标,从而可求焦准距,再联立圆和抛物线方程,求A 及AF 的方程,从而可求原点到直线AF 的距离.【过程详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ,故12p=即2p =, 由()2221254x y y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=,故4x =或6x =-(舍),故()4,4A ±,故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=, 故原点到直线AF 的距离为4455d ==, 故答案为:4513.3512【详细分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率;采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率. 【过程详解】解法一:列举法 从五个活动中选三个的情况有:,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况,其中甲选到A 有6种可能性:,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE , 则甲选到A 得概率为:63105P ==; 乙选A 活动有6种可能性:,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE , 其中再选则B 有3种可能性:,,ABC ABD ABE ,故乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为31=62.解法二:设甲、乙选到A 为事件M ,乙选到B 为事件N ,则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==; 乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为:35;1214.43518-【详细分析】解法一:以{},BA BC 为基底向量,根据向量的线性运算求BE,即可得λμ+,设BF BE k =uu u r uur ,求,AF DG uu u r uuu r ,结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值;解法二:建系标点,根据向量的坐标运算求BE ,即可得λμ+,设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,求,AF DG uu u r uuu r ,结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值.【过程详解】解法一:因为12CE DE =,即23CE BA =uur uu r ,则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ,可得1,13λμ==,所以43λμ+=; 由题意可知:1,0BC BA BA BC ==⋅=, 因为F 为线段BE 上的动点,设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈,则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭ , 又因为G 为AF 中点,则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 又因为[]0,1k ∈,可知:当1k =时,AF DG ⋅ 取到最小值518-;解法二:以B 为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭,可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭, 因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ,则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩,所以43λμ+=; 因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上,设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,且G 为AF 中点,则13,22a G a -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭, 则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以当13a =-时,AF DG ⋅ 取到最小值为518-;故答案为:43;518-.15.()(1-⋃【详细分析】结合函数零点与两函数的交点的关系,构造函数()g x =与()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩,则两函数图象有唯一交点,分0a =、0a >与0a <进行讨论,当0a >时,计算函数定义域可得x a ≥或0x ≤,计算可得(]0,2a ∈时,两函数在y 轴左侧有一交点,则只需找到当(]0,2a ∈时,在y 轴右侧无交点的情况即可得;当0a <时,按同一方式讨论即可得.【过程详解】令()0f x =,即21ax =--, 由题可得20x ax -≥,当0a =时,x ∈R,有211=--=,则2x =±,不符合要求,舍去; 当0a >时,则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪=--=⎨⎪-<⎪⎩,即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点, 由20x ax -≥,可得x a ≥或0x ≤,当0x ≤时,则20ax -<,则211ax ax =--=-,即()22441x ax ax -=-,整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦,当2a =时,即410x +=,即14x =-, 当()0,2a ∈,12x a =-+或102x a=>-(正值舍去),当()2,a ∈+∞时,102x a =-<+或102x a=<-,有两解,舍去, 即当(]0,2a ∈时,210ax -+=在0x ≤时有唯一解, 则当(]0,2a ∈时,210ax -+=在x a ≥时需无解, 当(]0,2a ∈,且x a ≥时,由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称,令()0h x =,可得1x a =或3x a =,且函数()h x 在12,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在23,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,令()g x y ==,即2222142a x y a a ⎛⎫- ⎪-⎭=⎝,故x a ≥时,()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得, 由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±, 即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,其斜率为2,又(]0,2a ∈,即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈,令()0g x ==,可得x a =或0x =(舍去), 且函数()g x 在(),a +∞上单调递增,故有13a aa a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,解得1a <<,故1a <符合要求;当a<0时,则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩,即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点,由20x ax -≥,可得0x ≥或x a ≤,当0x ≥时,则20ax -<,则211ax ax =--=-,即()22441x ax ax -=-,整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦,当2a =-时,即410x -=,即14x =, 当()2,0a ∈-,102x a =-<+(负值舍去)或102x a =-, 当(),2a ∈-∞时,102x a =->+或102x a=>-,有两解,舍去, 即当[)2,0a ∈-时,210ax -+=在0x ≥时有唯一解, 则当[)2,0a ∈-时,210ax -+=在x a ≤时需无解, 当[)2,0a ∈-,且x a ≤时,由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称,令()0h x =,可得1x a =或3x a =, 且函数()h x 在21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在32,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,同理可得:x a ≤时,()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得, ()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,其斜率为2-,又[)2,0a ∈-,即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-, 令()0g x ==,可得x a =或0x =(舍去), 且函数()g x 在(),a -∞上单调递减,故有13a aa a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩,解得1a <<-,故1a <<-符合要求;综上所述,()(1a ∈- .故答案为:()(1-⋃.【名师点评】关键点名师点评:本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩的交点问题,从而可将其分成两个函数研究. 16.(1)4(2)4 (3)5764【详细分析】(1)2,3a t c t ==,利用余弦定理即可得到方程,解出即可;(2)法一:求出sin B ,再利用正弦定理即可;法二:利用余弦定理求出cos A ,则得到sin A ; (3)法一:根据大边对大角确定A 为锐角,则得到cos A ,再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可;法二:直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【过程详解】(1)设2,3a t c t ==,0t >,则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯,解得2t =(负舍); 则4,6a c ==.(2)法一:因为B为三角形内角,所以sin B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =,即4sin 16A =sin A =法二:由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯,因为()0,πA ∈,则sin A ==(3)法一:因为9cos 016B =>,且()0,πB ∈,所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,由(2)法一知sin B =因为a b <,则A B <,所以3cos 4A ==,则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()1957cos 2cos cos 2sin sin 281616864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.法二:3sin 22sin cos 2448A A A ==⨯=, 则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭,因为B 为三角形内角,所以sin B ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+=17.(1)证明见解析(2)11【详细分析】(1)取1CB 中点P ,连接NP ,MP ,借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ,结合线面平行判定定理即可得证;(2)建立适当空间直角坐标系,计算两平面的空间向量,再利用空间向量夹角公式计算即可得解;(3)借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【过程详解】(1)取1CB 中点P ,连接NP ,MP ,由N 是11B C 的中点,故1//NP CC ,且112NP CC =,由M 是1DD 的中点,故1111122D M DD CC ==,且11//D M CC , 则有1//D M NP 、1D M NP =,故四边形1D MPN 是平行四边形,故1//D N MP , 又MP ⊂平面1CB M ,1D N ⊄平面1CB M , 故1//D N 平面1CB M ;(2)以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系,有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ,则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB =,设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =、()222,,n x y z = ,则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ , 分别取121x x ==,则有13y =、11z =、21y =,20z =,即()1,3,1m = 、()1,1,0n =,则cos ,11m nm n m n ⋅===⋅,故平面1CB M 与平面11BB CC的夹角余弦值为11; (3)由()10,0,2BB = ,平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =,则有111BB mm⋅==,即点B到平面1CB M的距离为11.18.(1)221129x y+=(2)存在()30,32T t t⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭,使得0TP TQ⋅≤恒成立.【详细分析】(1)根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量,从而可得椭圆的标准方程. (2)设该直线方程为:32y kx=-,()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t,联立直线方程和椭圆方程并消元,结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t表示TP TQ⋅,再根据0TP TQ⋅≤可求t的范围.【过程详解】(1)因为椭圆的离心率为12e=,故2a c=,b=,其中c为半焦距,所以()()2,0,0,,0,2A cB C⎛⎫--⎪⎪⎝⎭,故122ABCS c=⨯=△故c=a=,3b=,故椭圆方程为:221129x y+=.(2)若过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为:32y kx=-,设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t,由22343632x yy kx⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx+--=,故()222Δ144108343245760k k k=++=+>且1212221227,,3434kx x x xk k+==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t=-=-,故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22121233122kx x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k kk t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+ ()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+, 因为0TP TQ ⋅≤ 恒成立,故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩,解得332t -≤≤.若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在,则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -,此时需33t -≤≤,两者结合可得332t -≤≤.综上,存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭,使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【名师点评】思路名师点评:圆锥曲线中的范围问题,往往需要用合适的参数表示目标代数式,表示过程中需要借助韦达定理,此时注意直线方程的合理假设.19.(1)21n n S =- ①(2)证明见过程详解;②()131419nn S ii n b=-+=∑【详细分析】(1)设等比数列{}n a 的公比为0q >,根据题意结合等比数列通项公式求q ,再结合等比数列求和公式详细分析求解;(2)①根据题意详细分析可知12,1k k n a b k -==+,()121n k k b -=-,利用作差法详细分析证明;②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑,再结合裂项相消法详细分析求解.【过程详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为0q >,因为1231,1a S a ==-,即1231a a a +=-,可得211q q +=-,整理得220q q --=,解得2q =或1q =-(舍去),所以122112n n n S -==--.(2)(i )由(1)可知12n n a -=,且N*,2k k ∈≥,当124kk n a +=≥=时,则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩,即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+,()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-,可得()()()()1112112122120k n k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-,当且仅当2k =时,等号成立, 所以1n k n b a b -≥⋅;(ii )由(1)可知:1211nn n S a +=-=-,若1n =,则111,1S b ==;若2n ≥,则112k k k a a -+-=,当1221k k i -<≤-时,12i i b b k --=,可知{}i b 为等差数列,可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑, 所以()()()232113141115424845431434499nn S n n i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑, 且1n =,符合上式,综上所述:()131419nn S ii n b =-+=∑.【名师点评】关键点名师点评:1.详细分析可知当1221k k i -<≤-时,12i i b b k --=,可知{}i b 为等差数列;2.根据等差数列求和详细分析可得()()1211213143449k k k k ii bk k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑.20.(1)1y x =- (2){}2(3)证明过程见解析【详细分析】(1)直接使用导数的几何意义;(2)先由题设条件得到2a =,再证明2a =时条件满足; (3)先确定()f x 的单调性,再对12,x x 分类讨论. 【过程详解】(1)由于()ln f x x x =,故()ln 1f x x ='+.所以()10f =,()11f '=,所以所求的切线经过()1,0,且斜率为1,故其方程为1y x =-. (2)设()1ln h t t t =--,则()111t h t t t'-=-=,从而当01t <<时()0h t '<,当1t >时()0h t '>.所以()h t 在(]0,1上递减,在[)1,+∞上递增,这就说明()()1h t h ≥,即1ln t t -≥,且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--,则()((ln 1f x a x x x a x x a x g⎛⎫⎫-=-=-=⋅ ⎪⎭⎝. 当()0,x ∞∈+()0,∞+,所以命题等价于对任意()0,t ∞∈+,都有()0g t ≥.一方面,若对任意()0,t ∞∈+,都有()0g t ≥,则对()0,t ∞∈+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭,取2t =,得01a ≤-,故10a ≥>.再取t =,得2022a a a ≤+-=--=-,所以2a =.另一方面,若2a =,则对任意()0,t ∞∈+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥,满足条件. 综合以上两个方面,知a 的取值范围是{}2. (3)先证明一个结论:对0a b <<,有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明:前面已经证明不等式1ln t t -≥,故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a--=+=+<+---,且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a ab b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bb⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>+=+----, 所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-,即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x ='+,可知当10e x <<时()0f x '<,当1e x >时()0f x '>.所以()f x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.不妨设12x x ≤,下面分三种情况(其中有重合部分)证明本题结论.情况一:当1211ex x ≤≤<时,有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二:当1210ex x <≤≤时,有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,设()ln ln x x x c c ϕ=-()ln 1x x ϕ=+'由于()x ϕ'单调递增,且有1111111ln 1ln11102e2e ec c ϕ⎛⎫⎪=+<+=-+= ⎪⎝⎭', 且当2124ln 1x c c ≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭,2c x >2ln 1c ≥-可知 ()2ln 1ln 1ln 102c x x c ϕ⎛⎫=+>+=-≥ ⎪⎝⎭'. 所以()x ϕ'在()0,c 上存在零点0x ,再结合()x ϕ'单调递增,即知00x x <<时()0x ϕ'<,0x x c <<时()0x ϕ'>.故()x ϕ在(]00,x 上递减,在[]0,x c 上递增.①当0x x c ≤≤时,有()()0x c ϕϕ≤=;②当00x x <<112221e e f f c⎛⎫=-≤-=< ⎪⎝⎭,故我们可以取1,1q c ⎫∈⎪⎭.从而当201cx q <<-> ()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cϕ⎫=-<-<--=-<⎪⎭.再根据()x ϕ在(]00,x 上递减,即知对00x x <<都有()0x ϕ<;综合①②可知对任意0x c <≤,都有()0x ϕ≤,即()ln ln 0x x x c c ϕ=-.根据10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和0x c <≤的任意性,取2c x =,1x x =,就得到1122ln ln 0x x x x -≤.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-≤. 情况三:当12101ex x <≤≤<时,根据情况一和情况二的讨论,可得()11e f x f ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭()21e f f x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性,知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -≤成立. 综上,结论成立.【名师点评】关键点名师点评:本题的关键在于第3小问中,需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.。

高三春考数学试卷答案

高三春考数学试卷答案

一、选择题(每题5分,共50分)1. 选择题答案:A解析:根据题目条件,我们知道a和b都是正数,且a+b=10。

根据算术平均数大于等于几何平均数的性质,我们可以得到 \(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\)。

将a+b=10代入,得到 \(\frac{10}{2} \geq \sqrt{ab}\),即5 ≥\(\sqrt{ab}\)。

平方两边得到25 ≥ ab。

因此,ab的最大值是25,当且仅当a=b=5时取到。

所以正确答案是A。

2. 选择题答案:C解析:函数f(x) = 2x - 3在实数域上单调递增,因此f(3) > f(2)。

将x=3和x=2代入函数,得到f(3) = 23 - 3 = 3,f(2) = 22 - 3 = 1。

因此,3 > 1,所以正确答案是C。

3. 选择题答案:B解析:这是一个关于数列的问题。

数列的通项公式为an = 3^n - 2^n。

要找出数列中第一个大于100的项,我们可以逐个计算an的值。

当n=1时,a1 = 3^1 -2^1 = 1;当n=2时,a2 = 3^2 - 2^2 = 5;当n=3时,a3 = 3^3 - 2^3 = 19;当n=4时,a4 = 3^4 - 2^4 = 65;当n=5时,a5 = 3^5 - 2^5 = 191。

因此,第一个大于100的项是a5,所以正确答案是B。

4. 选择题答案:D解析:这是一个关于不等式的问题。

不等式 |x-2| > 3 可以分解为两个不等式:x - 2 > 3 或 x - 2 < -3。

解这两个不等式,得到x > 5 或 x < -1。

因此,x的取值范围是 (-∞, -1) ∪ (5, +∞)。

所以正确答案是D。

5. 选择题答案:C解析:这是一个关于函数极值的问题。

函数f(x) = x^3 - 3x在实数域上连续,且f'(x) = 3x^2 - 3。

春季高考历年真题天津市春季高考数学试卷

春季高考历年真题天津市春季高考数学试卷

2013 年天津市高等院校春季招生统一考试数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至9页,第Ⅱ卷 10 至 12 页。

共 150 分。

考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题共75分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目涂写在答题卡上,并将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。

2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3.考试结束,监考员将本试卷和答题卡一并收回。

—、单项选择题:本大题共15 小题,每小题 5 分,共 75 分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。

1. 已知全集 U={1,2,3,4 ,5,6} ,A, ={1,2,3,6},B={3, 5},则B∩ =C u A=A.{5}B.{3,4,5}C.{3 ,4,5,6}D.{1,2,3,4,5,6}12. 已知 log a4=- 2,则 a=1A. 16B=2C.8D=163.条件“χ=0”是结论“ yx=0”的A. 充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 函数 f(x)=lg( 21)的定义域是21A.1,- ∞) B.1,1)∪( 1,+∞)(2(2C.(-1,1 )∪( 1,+∞)D. (0,1 )∪( 1,+∞)第一页5.在数列 {a n} 中,若 a2=2,且满足 a n=3n-1(n≥2), 则α5=A.162B. 54C.17D. 14236.若α= 3π,则α是A. 第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角7.在下列函数中,周期为π的奇函数是A. f(x)=sinxB. f(x)=cosxC. f(x)=sin2xD. f(x)=cos2x8.在 ABC中,已知 AB=4,BC=6,∠ B=60°,则 AC=A. 28B.27C. 76D.2199.已知点 A=(3,1 ),B=(1,2),C=(1, 2),D=(2 ,1), 则向量AC A. (6, -3) B.(4,1)C. (-1,2)D.(3,0)10.若点 M(1,2), N( -2,3 ),P(4,b) 在同一条直线上,则 b=13A. 2B.2C. 1D. -111.已知点 a(-1,0 ),B(5,0), 则线段 AB为直径的圆的标准方程是A. ( x-3 )2+y2=3B.(x-3 )2+y2=9C. ( x-2 )2+y2=3D.(x-2 )2+y2=912. 顶点为坐标原点,准线为直线x=-1 的抛物线的标准方程是A. y2B. y2=4x=-4xC. y2=2xD. y2=-2x13.已知如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1的直观图,应该为虚线的线段共有A.1 条B.2条第二页C.3条D.4条2013 年天津市高等院校春季招生统一考14. 从 13 名学生中选出两人担任正、副组长,不同的选举结果共有数学A.26种B.78种C.156 种D.169种第二卷(非选择题)15. 从不超过 20 的正整数中任取一个数恰好是 3 的倍数的概率为注意事项;A.1B.1 1. 答第 II卷前,考生须将密封线内的项目填写清楚。

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