广东省五校2015届高三联考数学理试题 Word版含答案
【名师解析】广东省深圳市2015届高三上学期第一次五校联考地理试题 Word版含解析
【试卷综析】本试卷是高三综合考试试卷,其中1——11题选择题,40、41题为综合题。
考查了高中地理的全部内容。
以基础知识和基本技能为载体,以能力测试为主导,在注重考查学科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,重视学生科学素养的考查。
本试题重点考查点为冰川面积变化原因分析、气候类型、农业地域类型判断、地理位置判读、内外力作用、农业区位、伪“逆城市化”、等高线地形图判读、工业区位、工序判读、地球运动部分知识点、地形特点、农业地域、区域可持续发展、地转偏向力与河流关系、天气系统、农业地域类型、工业布局、产业结构变化原因分析等,考查知识点较多,自然地理和人文地理内容相对均衡,图文形式丰富,设问较好,题量和难度适中。
深圳市2015届高三年级五校联考综合测试文科综合本试卷共41小题,满分300分。
考试用时150分钟。
一、选择题:本大题共35小题,每小题4分,共140分。
在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
【题文】G4据2014年3月14日中国之声《新闻和报纸摘要》报道: 近些年来,祁连山雪线正以年均2米到6.5米的速度不断上升,随着冰雪资源不断减少,河西走廊地区面临着巨大的水资源危机。
1.祁连山地区冰川面积大幅缩减的原因有()①温室气体大量排放②酸性气体的大量排放导致酸雨③臭氧减少紫外线增强④农业生产发展大量引水灌溉⑤过度砍伐森林A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①④⑤【知识点】本题考查冰川面积变化原因分析。
【答案解析】1.C解析:1题,祁连山地区冰川面积大幅缩减的原因主要是全球变暖造成的,而温室气体大量排放、过度砍伐森林、臭氧层破坏都会造成全球气温升高,故而C正确。
【思路点拨】全球变暖原因及影响是常考的知识点,要注意总结和灵活应用,本题难度不大。
补充:【题文】C4 J2 读下图,回答 2~4 题。
2.图中①地最适合发展的农业地域类型是A. 季风水田农业 B.商品谷物农业C.大牧场放牧业 D.乳畜业3.图示四个地点中,按纬度排序从高纬到低纬依次为A. ①②③④B. ④③②①C. ④③①②D. ①②④③4. 若只考虑图示因素影响,图中四个地点最可能位于尼罗河三角洲地区的是A. ①B.②C.③D.④【知识点】本题考查气候类型、农业地域类型判断、地理位置判读。
2015年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试〔XX 卷〕数学〔理科〕一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.〔1〕[2015年XX ,理1,5分]若集合{}|(4)(1)0M x x x =++=,}{|(4)(1)0N x x x =--=,则M N =〔〕〔A 〕{}1,4〔B 〕{}1,4--〔C 〕{}0〔D 〕∅[答案]D[解析]{}{}(4)(1)04,1M x x x =++==--,{}{}(4)(1)01,4N x x x =--==,M N ∴⋂=∅故选D . 〔2〕[2015年XX ,理2,5分]若复数i(32i)z =-〔i 是虚数单位〕,则z =〔〕〔A 〕23i -〔B 〕23i +〔C 〕32i +〔D 〕32i - [答案]A[解析]i(32i)3i 2z =-=+,23i z ∴=-,故选A .〔3〕[2015年XX ,理3,5分]下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是〔〕〔A 〕21y x =+〔B 〕1y x x=+〔C 〕122x x y =+〔D 〕x y x e =+[答案]D[解析]A 和C 选项为偶函数,B 选项为奇函数,D 选项为非奇非偶函数,故选B .〔4〕[2015年XX ,理4,5分]袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰好有1个白球,1个红球的概率为〔〕 〔A 〕521〔B 〕1021〔C 〕1121〔D 〕1 [答案]B[解析]111052151021C C P C ==,故选B . 〔5〕[2015年XX ,理5,5分]平行于直线2++1=0x y 且与圆225x y +=相切的直线的方程是〔〕〔A 〕250250x y x y ++=+-=或〔B 〕250250x y x y ++=+-=或 〔C 〕250250x y x y -+=--=或〔D 〕250250x y x y -+=--=或[答案]A[解析]设所求直线为02=++c y x ,因为圆心坐标为()0,0,则由直线与圆相切可得25521c cd ===+,解得5c =±,所求直线方程为250250x y x y ++=+-=或,故选A .〔6〕[2015年XX ,理6,5分]若变量,x y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩,则32z x y =+的最小值为〔〕〔A 〕4〔B 〕235〔C 〕6〔D 〕315[答案]B[解析]如图所示,阴影部分为可行域,虚线表示目标函数32z x y =+,则当目标函数过点81,5⎛⎫⎪⎝⎭,32z x y =+取最小值为235,故选B .〔7〕[2015年XX ,理7,5分]已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率54e =,且其右焦点为2(5,0)F ,则双曲线C 的方程为〔〕〔A 〕22143x y -=〔B 〕221916x y -=〔C 〕221169x y -=〔D 〕22134x y -= [答案]C[解析]由双曲线右焦点为2(5,0)F ,则5c =,544c e a a ==∴=.2229b c a ∴=-=,所以双曲线方程为221169x y -=,故选C .〔8〕[2015年XX ,理8,5分]若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值〔〕〔A 〕至多等于3〔B 〕至多等于4〔C 〕等于5〔D 〕大于5 [答案]B[解析]当3=n 时,正三角形的三个顶点符合条件;当4=n 时,正四面体的四个顶点符合条件,故可排除A ,C ,D 四个选项,故选B .二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. 〔一〕必做题〔9~13〕〔9〕[2015年XX ,理9,5分]在4x (-1)的展开式中,x 的系数为. [答案]6[解析]()()()4424411r rr rr r Cx C x ---=-,则当2r =时,x 的系数为()22416C -=. 〔10〕[2015年XX ,理10,5分]在等差数列{}n a 中,若3456725a a a a a ++++=,则28a a +=. [答案]10[解析]由等差数列性质得,345675525a a a a a a ++++==,解得55a =,所以285210a a a +==.〔11〕[2015年XX ,理11,5分]设ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若3a =,1sin 2B =,6C π=,则b =.[答案]1[解析]15sin ,266B B ππ=∴=或,又6C π=,故6B π=,所以,23A π=由正弦定理得,sin sin a bA B =,所以1b =. 〔12〕[2015年XX ,理12,5分]某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言〔用数字作答〕. [答案]1560[解析]40391560⨯=.〔13〕[2015年XX ,理13,5分]已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ,()30E X =,()20D X =,则p =.[答案]13[解析]()30E X np ==,()(1)20D X np p =-=,解得13p =.〔二〕选做题〔14-15题,考生只能从中选做一题〕〔14〕[2015年XX ,理14,5分]〔坐标系与参数方程选做题〕已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=,点A 的极坐标为7(22,)4A π,则点A 到直线l 的距离为.[答案]522[解析]222sin()2(sin cos )2422πρθρθθ-=-=sin cos 1ρθρθ∴-=.即直线l 的直角坐标方程为110y x x y -=-+=,即,点A 的直角坐标为()2,2-,A 到直线的距离为2215222d ++==. 〔15〕[2015年XX ,理15,5分]〔几何证明选讲选做题〕如图1,已知AB 是圆O 的直径,4AB =,EC 是圆O的切线,切点为C ,1BC =,过圆心O 作BC 的平行线,分别交EC 和AC 于点D 和点P ,则OD =. [答案]8[解析]如图所示,连结O ,C 两点,则OC CD ⊥,OD AC ⊥90CDO ACD ∴∠+∠=︒90ACD CBA CBA CAB ∠=∠∠+∠=︒,,CDO CAB ∴∠=∠,所以OD OCAB BC=, 所以8OD =.三、解答题:本大题共6题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.〔16〕[2015年XX ,理16,12分]在平面直角坐标系xOy 中,已知向量22,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,()sin ,cos n x x =,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 〔1〕若m n ⊥,求tan x 的值; 〔2〕若m 与n 的夹角为3π,求x 的值. 解:〔1〕()2222,sin ,cos sin cos sin 22224m n x x x x x π⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,m n ⊥,0m n ∴⋅=,即sin 04x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, sin 04x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,444x πππ∴-<-<,04x π∴-=.即4x π=,tan tan 14x π∴==.〔2〕依题意2222sin 4cossin 3422sin cos 22x m n m nx xπππ⎛⎫- ⎪⋅⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭⋅⎛⎫⎛⎫+-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 1sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,又,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,46x ππ∴-=,即56412x πππ=+=. 〔17〕[2015年XX ,理17,12分]某工厂36名工人的年龄数据如下表:工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 9 43 10 36 11 31 12 38 13 39 14 43 15 45 16 39 17 38 18 36 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36 39〔1〕用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;〔2〕计算〔1〕中样本的均值x 和方差2s ;〔3〕36名工人中年龄在x s 与x s 之间有着多少人?所占的百分比是多少〔精确到0.01%〕? 解:〔1〕由题意得,通过系统抽样分别抽取编号为2,6,10,14,18,22,26,30,34的年龄数据为样本.则样本的年龄数据为:44,40,36,43,36,37,44,43,37.〔2〕由〔1〕中的样本年龄数据可得,()1444036433637444337409x =++++++++=,则()()()()()()()()1222222222444040403640434036403740444043409s ⎡=-+-+-+-+-+-+-+-⎢⎣()23740⎤+-⎥⎦= 9100.〔3〕由题意知年龄在100100404099⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,之间,即年龄在[]3743,之间, 由〔1〕中容量为9的样本中年龄、在[]3743,之间的有5人, 所以在36人中年龄在[]3743,之间的有536209⨯=〔人〕,则所占百分比为20100%55.56%36⨯≈.〔18〕[2015年XX ,理18,14分]如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,4PD PC ==,6AB =,3BC =,点E 是CD 边的中点,点F ,G 分别在线段AB ,BC 上,且2AF FB ==,2CG GB =. 〔1〕证明:PE FG ⊥;〔2〕求二面角P AD C --的正切值;〔3〕求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值. 解:〔1〕PD PC =PDC ∴∆为等腰三角形,E 为CD 边的中点,所以PE DC ⊥, PDC ABCD ⊥平面平面,PDC ABCD DC ⋂=平面平面,且PE PDC ⊂平面,∴PE ABCD ⊥平面FG ABCD ⊂平面,PE FG ∴⊥.〔2〕由长方形ABCD 知,AD DC ⊥,PDC ABCD ⊥平面平面,PDC ABCD DC ⋂=平面平面,且AD ABCD ⊂平面AD PDC ∴⊥平面PD PDC ⊂平面,PD AD ∴⊥DC AD PD AD PC PDA DC CAD ⊥⊥⊂⊂由,,且平面,平面.PDC P AD C ∴∠--即为二面角,由长方形ABCD 得6DC AB ==,E 为CD 边的中点,则132DE DC ==,2243437PD DE PE DC PE ==⊥∴=-=,,,7tan 3PE PDC DE ∴∠==即二面角P AD C --的正切值为73.〔3〕如图,连结A ,C ,22AF FB CG GB ==,BF BGAB BC∴=,//FG AC ,PAC ∴∠为直线PA 与直线FG 所成角. 由长方形ABCD 中63AB BC ==,得:226335AC =+= 由〔2〕知AD PD ⊥,34AD BC PD ===,22345AP ∴=+=,由题意知4PC =,22295cos 225AP AC PC PAC AP AC +-∴∠==⋅⋅,所以,直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9525. 〔19〕[2015年XX ,理19,14分]设1a ,函数2()(1)x f x x e a .〔1〕求()f x 的单调区间;〔2〕证明:()f x 在()+∞∞-,上仅有一个零点; 〔3〕若曲线()y f x 在点P 处的切线与x 轴平行,且在点(,)M m a 的切线与直线OP 平行〔O 是坐标原点〕,证明:321m a e≤--. 解:〔1〕2()(1)x f x x e a =+-,22()=2(1)(1)x x x f x xe x e x e '∴++=+,x R ∈时,()0f x '≥恒成立.()f x ∴的单调递增区间为R .〔2〕由〔1〕可知()f x 在R 上为单调递增函数,当x a =,()=(+)(1)aaaf a a e a ea e-=+-1,1a >,()0f a ∴>,()f x ∴在(,)-∞+∞仅有一个零点.〔3〕令点P 为00(,)x y ,曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行,0200()=(1)0x f x x e '∴+=,0=1x ∴-,2(1,)P a e--,∴直线OP 斜率为221op ae k a e -==--, 在点(),M m n 处的切线与直线OP 平行,22()(1)m f m m e a e'∴=+=-.要证明321m a e ≤--,即证32(1)m a e+≤-.要证明32(1)(1)m m +≤+,需证明1m m e +≤,设()1m g m e m =--,()1m g m e '∴=-,令()0,0g m m '==,()g m ∴在∞(-,0)上单调递减,在+∞(0,)上单调递增,()(0)0g m g ∴≥=, 10m e m ∴--≥,1m e m ∴≥-,命题得证.〔20〕[2015年XX ,理20,14分]已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x 相交于不同的两点A ,B .〔1〕求圆1C 的圆心坐标;〔2〕求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;〔3〕是否存在实数k ,使得直线:(4)L y k x 与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值X 围;若不存在,说明理由.解:〔1〕由题意知:圆1C 方程为:22(3)4x y -+=,∴圆1C 的圆心坐标为()3,0. 〔2〕由图可知,令()11,M x y,1|||OM C M =22211||||||OC OM C M =+,2222211113(3)x y x y ∴=++-+,221139()24x y ∴-+=,∵直线L 与圆1C 交于A 、B 两点,∴直线L 与圆1C 的距离:02d ≤< 22110(3)4x y ∴≤-+<,2211930(3)()442x x ∴≤-+--<,1533x ∴<≤ ∴轨迹C 的方程为:22395()(,3]243x y x -+=∈.〔3〕∵直线L :(4)y k x =-与曲线2239()24x y -+=仅有1个交点,联立方程:22(4)5(,3]393()24y k x x x y =-⎧⎪∈⎨-+=⎪⎩, 得:2222(1)(83)160k x k x k +-++=,在区间5(,3]3有且仅有1个解.当2222=(83)64+1=k k k ∆+-()0时,43k =±,此时,125(,3]53x =∈,仅有一个交点,符合题意.当0∆≠时,令2222()(1)(83)16g x k x k x k =+-++,则有:5()(3)0g g ≤解得:[k ∈,∴k 的取值X 围为:[k ∈或43k =±.〔21〕[2015年XX ,理21,14分]数列n a 满足:*121224,2n n n a a na n N . 〔1〕求3a 的值;〔2〕设求数列{}n a 的前n 项和n T ; 〔3〕令111111,(1)(2)23n nn T b a b a n n n,证明:数列{}n a 的前n 项和n S 满足22ln n S n .解:〔1〕由题意知:1212242n n n a a na -++++=-,当=2n 时,121222=42a a ++-;当=3n 时,1232322+3=42a a a ++-,321322233=4(4)224a ++---=,31=4a . 〔2〕1212242n n n a a na -++++=-,12132+(+1)42n n n n a a na n a ++∴+++=-,, 111123243111(+1)()()222222n n n n nn n n n n n n n n n a a a -++-+++--+=-==∴=∴=∴{}n a 是首相为1,公比为12的等边数列,∴1111()1122()212212nn n n T ---==-=--.〔3〕由〔2〕得:1122n n T -=-1111(2)(1)22n n S n -∴=-++,已知不等式:111ln(1)23n n+<+设()ln(1),01xf x x x x =+->+2()01x f x x'∴=>+,()f x 在()∞0,+单调递增, ()ln(1)(0)01x f x x f x ∴=+->=+,ln(1)1xx x∴+>+在()∞0,+上恒成立. 令1=x n,1ln(1)ln(1)ln ln ln(1)ln 2ln1ln n n n n n n +=+-+--++-=,1111ln(1)231n n +>++++111ln 231n n ∴>++++, 111111(2)(1)2(1)2(1ln 2)22ln 2222n n S n n-∴=-++<++<+=+.。
2015年广东省高考数学试题与答案(理科)【解析版】
2015年广东省高考数学试卷(理科)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(5 分)(2015 ?广东)若集合M={x| (x+4)(x+1)=0} ,N={x| (x﹣4)(x﹣1)=0} ,则M ∩N=()A ?{1 ,4} B { ﹣1,﹣4} C {0} D ....考点:交集及其运算.专题:集合.分析:求出两个集合,然后求解交集即可.解答:解:集合M={x| (x+4)(x+1)=0}={ ﹣1,﹣4} ,N={x| (x﹣4)(x﹣1)=0}={1 ,4} ,则M ∩N= ?.故选:D.点评:本题考查集合的基本运算,交集的求法,考查计算能力.2.(5 分)(2015 ?广东)若复数z=i(3﹣2i)(i 是虚数单位),则=()A2﹣3i B 2+3i C 3+2i D 3﹣2i ....考点:复数代数形式的乘除运算.专题:数系的扩充和复数.分析:直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可.解答:解:复数z=i(3﹣2i)=2+3i ,则=2﹣3i,故选:A.点评:本题开采方式的代数形式的混合运算,复数的基本概念,考查计算能力.3.(5 分)(2015 ?广东)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()x Ax+ DB C y=x+ey=2y= y=x+....考点:函数奇偶性的判断.专题:函数的性质及应用.分析:直接利用函数的奇偶性判断选项即可.解答:解:对于A,y= 是偶函数,所以 A 不正确;对于B,y=x+ 函数是奇函数,所以 B 不正确;x对于C,y=2+ 是偶函数,所以 C 不正确;对于D,不满足f(﹣x)=f(x)也不满足f(﹣x)=﹣f(x),所以函数既不是奇函数,也不是偶函数,所以 D 正确.故选:D.1点评:本题考查函数的奇偶性的判断,基本知识的考查.4.(5 分)(2015 ?广东)袋中共有15 个除了颜色外完全相同的球,其中有10 个白球, 5 个红球.从袋中任取 2 个球,所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球的概率为()AB C D 1....考古典概型及其概率计算公式.点:专概率与统计.题:分首先判断这是一个古典概型,从而求基本事件总数和“所取的 2 个球中恰有 1 个白析:球,1 个红球”事件包含的基本事件个数,容易知道基本事件总数便是从15 个球任取2 球的取法,而在求“所取的 2 个球中恰有 1 个白球, 1 个红球”事件的基本事件个数时,可利用分步计数原理求解,最后带入古典概型的概率公式即可.解解:这是一个古典概型,从15 个球中任取 2 个球的取法有;答:∴基本事件总数为105;设“所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球”为事件 A ;则A 包含的基本事件个数为=50;∴P(A)= .故选:B.点考查古典概型的概念,以及古典概型的求法,熟练掌握组合数公式和分步计数原理.评:2 25.(5 分)(2015?广东)平行于直线2x+y+1=0 且与圆x +y =5 相切的直线的方程是()A .2x+y+5=0 或2x+y﹣5=0 B.2x+y+ =0 或2x+y ﹣=0C.2x﹣y+5=0 或2x﹣y﹣5=0 D.2x﹣y+ =0 或2x﹣y﹣=0考圆的切线方程.点:专计算题;直线与圆.题:分设出所求直线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出直线方程中的变量,析:即可求出直线方程.解解:设所求直线方程为2x+y+b=0 ,则,答:所以= ,所以b=±5,所以所求直线方程为:2x+y+5=0 或2x+y﹣5=0故选:A .点本题考查两条直线平行的判定,圆的切线方程,考查计算能力,是基础题.评:26.(5 分)(2015 ?广东)若变量x,y 满足约束条件,则z=3x+2y 的最小值为()A4 B C 6 D....考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:作出不等式组对应的平面区域,根据z 的几何意义,利用数形结合即可得到最小值.解答:解:不等式组对应的平面区域如图:由z=3x+2y 得y=﹣x+ ,平移直线y= ﹣x+ ,则由图象可知当直线y=﹣x+ ,经过点 A 时直线y=﹣x+ 的截距最小,此时z 最小,由,解得,即A(1,),此时z=3×1+2×= ,故选:B.点评:本题主要考查线性规划的应用,根据z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.7.(5 分)(2015?广东)已知双曲线C:﹣=1 的离心率e= ,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线 C 的方程为()3AB C D.﹣=1 .﹣=1 .﹣=1 .﹣=1考点:双曲线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:利用已知条件,列出方程,求出双曲线的几何量,即可得到双曲线方程.解答:解:双曲线C:﹣=1 的离心率e= ,且其右焦点为F2(5,0),可得:,c=5,∴a=4,b= =3,所求双曲线方程为:﹣=1.故选:C.点评:本题考查双曲线方程的求法,双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.8.(5 分)(2015?广东)若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值()A 至多等于 3B 至多等于 4C 等于 5D 大于 5....考点:棱锥的结构特征.专题:创新题型;空间位置关系与距离.分析:先考虑平面上的情况:只有三个点的情况成立;再考虑空间里,只有四个点的情况成立,注意运用外接球和三角形三边的关系,即可判断.解答:解:考虑平面上, 3 个点两两距离相等,构成等边三角形,成立;4 个点两两距离相等,由三角形的两边之和大于第三边,则不成立;n 大于4,也不成立;在空间中, 4 个点两两距离相等,构成一个正四面体,成立;若n>4,由于任三点不共线,当n=5 时,考虑四个点构成的正四面体,第五个点,与它们距离相等,必为正四面体的外接球的球心,且球的半径等于边长,即有球心与正四面体的底面吗的中心重合,故不成立;同理n>5,不成立.故选:B.点评:本题考查空间几何体的特征,主要考查空间两点的距离相等的情况,注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系,属于中档题和易错题.二、填空题(本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.)(一)必做题(11~13题)的展开式中,x 的系数为 6 .49.(5 分)(2015 ?广东)在(﹣1)考点:二项式定理的应用.专题:计算题;二项式定理.4分析:根据题意二项式(﹣1)4 r的展开式的通项公式为T r+1= ?(﹣1)? ,分析可得,r=1 时,有x 的项,将r=1 代入可得答案.解答:4 解:二项式(﹣1)r的展开式的通项公式为T r+1= ?(﹣1)? ,令2﹣=1,求得r=2,4∴二项式(﹣1)的展开式中x 的系数为=6,故答案为:6.点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题10.(5 分)(2015?广东)在等差数列{a n} 中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= 10 .考点:等差数列的通项公式.专题:计算题;等差数列与等比数列.分析:根据等差数列的性质,化简已知的等式即可求出a5 的值,然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后,将a5 的值代入即可求出值.解答:解:由a3+a4+a5+a6+a7=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=25,得到a5=5,则a2+a8=2a5=10.故答案为:10.点评:本题主要考查了等差数列性质的简单应用,属于基础试题11.(5 分)(2015 ?广东)设△ABC 的内角 A ,B,C 的对边分别为a,b,c.若a= ,sinB= ,C= ,则b= 1 .考点:正弦定理;两角和与差的正弦函数.专题:计算题;解三角形.分析:由sinB= ,可得B= 或B= ,结合a= ,C= 及正弦定理可求 b解答:解:∵sinB= ,∴B= 或B=当B= 时,a= ,C= ,A= ,由正弦定理可得,则b=15当B= 时,C= ,与三角形的内角和为π矛盾故答案为: 1点评:本题考查了正弦、三角形的内角和定理,熟练掌握定理是解本题的关键12.(5 分)(2015?广东)某高三毕业班有40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了1560 条毕业留言.(用数字作答)考点:排列、组合的实际应用.专题:排列组合.分析:通过题意,列出排列关系式,求解即可.解答:解:某高三毕业班有40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了=40×39=1560 条.故答案为:1560.点评:本题考查排列数个数的应用,注意正确理解题意是解题的关键.13.(5 分)(2015?广东)已知随机变量X 服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则P= .考点:离散型随机变量的期望与方差.专题:概率与统计.分析:直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可.解答:解:随机变量X 服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,可得np=30,npq=20,q= ,则p= ,故答案为:.点评:本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法,考查计算能力.14.(5 分)(2015?广东)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ﹣)= ,点A 的极坐标为A (2 ,),则点 A 到直线l 的距离为.考点:简单曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:把极坐标方程转化为直角坐标方程,然后求出极坐标表示的直角坐标,利用点到直线的距离求解即可.解答:解:直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ﹣)= ,对应的直角坐标方程为:y﹣x=1,点A 的极坐标为 A (2 ,),它的直角坐标为(2,﹣2).点A 到直线l 的距离为:= .6故答案为:.点评:本题考查极坐标与直角坐标方程的互化,点到直线的距离公式的应用,考查计算能力.15.(2015?广东)如图,已知AB 是圆O 的直径,AB=4 ,EC 是圆O 的切线,切点为C,BC=1.过圆心O 作BC 的平行线,分别交EC 和AC 于D 和点P,则OD= 8 .考相似三角形的判定.点:专选作题;创新题型;推理和证明.题:分析:2连接OC,确定OP⊥AC,OP= BC= ,Rt△OCD 中,由射影定理可得OC=OP?OD,即可得出结论.解解:连接OC,则OC⊥CD,答:∵AB 是圆O 的直径,∴BC ⊥AC,∵OP∥BC,∴OP⊥AC,OP= BC= ,2Rt△OCD 中,由射影定理可得OC =OP?OD,∴4= OD,∴OD=8 .故答案为:8.点本题考查圆的直径与切线的性质,考查射影定理,考查学生的计算能力,比较基础.评:三、解答题716.(12 分)(2015?广东)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量=(,﹣),=(sinx,cosx),x∈(0,).(1)若⊥,求tanx 的值;(2)若与的夹角为,求x 的值.考平面向量数量积的运算;数量积表示两个向量的夹角.点:专平面向量及应用.题:分析:(1)若⊥,则?=0,结合三角函数的关系式即可求tanx 的值;(2)若与的夹角为,利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值.解答:解:(1)若⊥,则? =(,﹣)?(sinx,cosx)= sinx﹣c osx=0,即sinx= cosxsinx=cosx,即tanx=1;(2)∵| |=1,| |=1,? =(,﹣)?(sinx,cosx)= sinx﹣c osx,∴若与的夹角为,则? =| |?| |cos = ,即sinx﹣c osx= ,则s in(x﹣)= ,∵x∈(0,).∴x﹣∈(﹣,).则x﹣=即x= + = .点本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用,考查学生的计算能力,比较基评:础.17.(12 分)(2015 ?广东)某工厂36 名工人年龄数据如图:工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄81 40 10 36 19 27 28 342 44 11 31 20 43 29 393 40 12 38 21 41 30 434 41 13 39 22 37 31 385 33 14 43 23 34 32 426 40 15 45 24 42 33 537 45 16 39 25 37 34 378 42 17 38 26 44 35 499 43 18 36 27 42 36 39 (1)用系统抽样法从36 名工人中抽取容量为9 的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;2(2)计算(1)中样本的均值和方差s;(3)36 名工人中年龄在﹣s和+s 之间有多少人?所占百分比是多少(精确到0.01%)?考点:极差、方差与标准差;系统抽样方法.专题:概率与统计.分析:(1)利用系统抽样的定义进行求解即可;2 (2)根据均值和方差公式即可计算(1)中样本的均值和方差s;(3)求出样本和方差即可得到结论.解答:解:(1)由系统抽样知,36 人分成9 组,每组 4 人,其中第一组的工人年龄为44,所以其编号为2,∴所有样本数据的编号为:4n﹣2,(n=1,2,⋯,9),其数据为:44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由平均值公式得= (44+40+36+43+36+37+44+43+37 )=40.2 2由方差公式得s= [(44﹣40)+(40﹣40)2 2+⋯+(37﹣40)] = .2(3)∵s= .∴s= ∈(3,4),∴36 名工人中年龄在﹣s和+s 之间的人数等于区间[37,43]的人数,即40,40,41,⋯,39,共23 人.∴36 名工人中年龄在﹣s和+s 之间所占百分比为≈63.89%.点评:本题主要考查统计和分层抽样的应用,比较基础.18.(14 分)(2015 ?广东)如图,三角形△PDC 所在的平面与长方形A BCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6 ,BC=3 ,点 E 是CD 的中点,点F、G 分别在线段AB 、BC 上,且AF=2FB ,CG=2GB .(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角P﹣A D﹣C的正切值;(3)求直线P A 与直线F G 所成角的余弦值.9考点:二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的性质.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:(1)通过△POC 为等腰三角形可得PE⊥CD,利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论;(2)通过(1)及面面垂直定理可得PG⊥AD ,则∠PDC 为二面角P﹣AD ﹣C 的平面角,利用勾股定理即得结论;(3)连结AC,利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC ,在△PAC 中,利用余弦定理即得直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线FG 所成角∠PAC的余弦值.解答:(1)证明:在△POC 中PO=PC 且E 为CD 中点,∴PE⊥CD,又∵平面PDC⊥平面ABCD ,平面PDC∩平面ABCD=CD ,PE? 平面PCD,∴PE⊥平面ABCD ,又∵FG? 平面ABCD ,∴PE⊥FG;(2)解:由(1)知PE⊥平面ABCD ,∴PE⊥AD,又∵CD⊥AD 且PE∩CD=E ,∴AD ⊥平面PDC,又∵PD? 平面PDC,∴AD ⊥PD,又∵AD ⊥CD,∴∠PDC 为二面角P﹣AD ﹣C 的平面角,在Rt△PDE 中,由勾股定理可得:PE= = = ,∴tan∠PDC= = ;(3)解:连结AC,则AC= =3 ,在Rt△ADP 中,AP= = =5,∵AF=2FB ,CG=2GB ,∴FG∥AC,∴直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线FG 所成角∠PAC,在△PAC 中,由余弦定理得cos∠PAC=== .10定理、勾股点评:本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值,涉及到余弦定理等知识,注意解题方法的积累,属于中档题.2 x)e ﹣a. 19.(14 分)(2015 ?广东)设a>1,函数 f (x)=(1+x;(1)求f(x)的单调区间(2)证明f(x)在(﹣∞,+∞)上仅有一个零点;直线OP (3)若曲线y=f (x)在点P 处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与平行,(O 是坐标原点),证明:m≤﹣1.考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.用.合应题:常规题型;导数的综专.分析:(1)利用f'(x)≥0,求出函数单调增区间(2)证明只有 1 个零点,需要说明两个方面:①函数单调;②函数有零点.杂.为复(3)利用导数的最值求解方法证明,思路较x 2 x 2解答:解:(1)f'(x)=e (x (x+1)+2x+1 )=e ⋯2 分∴f′(x)≥0,∴f(x)=(1+x 2 x)e ﹣a 在(﹣∞,+∞)上为增函数.⋯3 分(2)证明:由(1)问可知函数在(﹣∞,+∞)上为增函数.又f(0)=1﹣a,∵a>1.∴1﹣a<0⋯5 分∴f(0)<0.当x→+∞时,f(x)>0 成立.∴f(x)在(﹣∞,+∞)上有且只有一个零点⋯7 分x 2(3)证明:f'(x)=e (x+1),x0 2设点P(x0,y0)则)f'(x)=e (x0+1),x0 2 ∵y=f (x)在点P 处的切线与x轴平行,∴f'(x0)=0,即:e (x0+1)=0,∴x0=﹣1⋯9 分将x0=﹣1 代入y=f (x)得y0= .∴,∴⋯10 分m令g(m)=e ﹣(m+1),m则g'(m)=e ﹣1,由g'(m)=0 得m=0.当m∈(0,+∞)时,g'(m)>0当m∈(﹣∞,0)时,g'(m)<0∴g(m)的最小值为g(0)=0⋯12 分m∴g(m)=e ﹣(m+1)≥0m∴e≥m+111m∴e (m+1)2 3 ≥(m+1)即:∴m≤⋯14 分点评:本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用,属于综合应用,在高考中属于压轴题目,有较大难度.2 220.(14 分)(2015 ?广东)已知过原点的动直线l 与圆C1:x+y﹣6x+5=0 相交于不同的两点A ,B.(1)求圆C1 的圆心坐标;(2)求线段A B 的中点M 的轨迹 C 的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k (x﹣4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.考轨迹方程;直线与圆的位置关系.点:专创新题型;开放型;圆锥曲线的定义、性质与方程.题:分(1)通过将圆C1 的一般式方程化为标准方程即得结论;析:(2)设当直线l 的方程为y=kx ,通过联立直线l 与圆C1 的方程,利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论;(3)通过联立直线L 与圆C1 的方程,利用根的判别式△=0 及轨迹 C 的端点与点解答:(4,0)决定的直线斜率,即得结论.2 2解:(1)∵圆C1:x﹣6x+5=0 ,+y2 2整理,得其标准方程为:(x﹣3)+y =4,∴圆C1 的圆心坐标为(3,0);(2)设当直线l 的方程为y=kx 、A(x1,y1)、B(x2,y2),联立方程组,2 2消去y 可得:(1+k )x﹣6x+5=0 ,2 2由△=36﹣4(1+k )×5>0,可得k <由韦达定理,可得x1+x2= ,∴线段A B 的中点M 的轨迹 C 的参数方程为,其中﹣<k<,∴线段A B 的中点M 的轨迹 C 的方程为:(x﹣)2+y 2 = ,其中<x≤3;12(3)结论:当k∈(﹣,)∪{ ﹣,} 时,直线L:y=k (x﹣4)与曲线C 只有一个交点.理由如下:联立方程组,消去y,可得:(1+k 2 2)x ﹣(3+8k)x+16k 2=0,2 2令△=(3+8k)﹣4(1+k )?16k 2=0,解得k=±,又∵轨迹 C 的端点(,±)与点(4,0)决定的直线斜率为±,∴当直线L:y=k (x﹣4)与曲线 C 只有一个交点时,k 的取值范围为(﹣,)∪{ ﹣,} .点本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题,注意解题方法的积累,属于评:中档题.+21.(14 分)(2015 ?广东)数列{a n}满足:a1+2a2+⋯na n=4﹣,n∈N.(1)求a3 的值;(2)求数列{a n} 的前n 项和T n;(3)令b1=a1,b n= +(1+ + +⋯+ )a n(n≥2),证明:数列{b n} 的前n 项和S n 满足S n<2+2lnn .考点:数列与不等式的综合;数列的求和.专题:创新题型;点列、递归数列与数学归纳法.分析:(1)利用数列的递推关系即可求a3 的值;(2)利用作差法求出数列{a n}的通项公式,利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{a n} 的前n 项和T n;(3)利用构造法,结合裂项法进行求解即可证明不等式.解答:+解:(1)∵a1+2a2+⋯na n=4﹣,n∈N .∴a1=4﹣3=1,1+2a2=4﹣=2,解得a2= ,∵a1+2a2+⋯+na n=4﹣,n∈N + .+∴a1+2a2+⋯+(n﹣1)a n .﹣1=4﹣,n∈N两式相减得na n=4﹣﹣(4﹣)= ,n≥2,13则a n= ,n≥2,当n=1 时,a1=1 也满足,∴a n= ,n≥1,则a3= ;(2)∵a n= ,n≥1,∴数列{a n} 是公比q= ,1﹣n2.则数列{a n} 的前n 项和T n= =2﹣(3)b n= +(1+ + +⋯+ )a n,∴b1=a1,b2= +(1+ )a2,b3= (1+ + )a3,∴S n=b1+b2+⋯+b n=(1+ + +⋯+ )(a1+a2+⋯+a n)=(1+ + +⋯+ )T n1﹣n)<2×(1+ + +⋯+ ),=(1+ + +⋯+ )(2﹣21,x>1,设f(x)=lnx+﹣.则f′(x)=﹣即f(x)在(1,+∞)上为增函数,∵f(1)=0,即f(x)>0,∵k≥2,且k∈N?时,,∴f()=ln +﹣1>0,即ln >,∴ln ,,⋯,即=lnn,∴2×(1+ + +⋯+ )<2+lnn,即S n<2(1+lnn )=2+2lnn .本题主要考查数列通项公式以及前n 项和的计算,以及数列和不等式的综合,利点评:性力,综合用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键.考查学生的计算能14WORD文档较强,难度较大.152015年广东省高考数学试卷(理科)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(5 分)(2015 ?广东)若集合M={x| (x+4)(x+1)=0} ,N={x| (x﹣4)(x﹣1)=0} ,则M ∩N=()A .{ 1,4} B.{ ﹣1,﹣4} C.{0} D.?2.(5 分)(2015 ?广东)若复数z=i(3﹣2i)(i 是虚数单位),则=()A .2﹣3i B.2+3i C.3+2i D.3﹣2i3.(5 分)(2015 ?广东)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()xA .C.y=2x+ D.y =x+e B.y= y=x+4.(5 分)(2015 ?广东)袋中共有15 个除了颜色外完全相同的球,其中有10 个白球, 5 个红球.从袋中任取 2 个球,所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球的概率为()A .B.C.D.12 25.(5 分)(2015?广东)平行于直线2x+y+1=0 且与圆x +y =5 相切的直线的方程是()A .2x+y+5=0 或2x+y﹣5=0 B.2x+y+ =0 或2x+y ﹣=0C.2x﹣y+5=0 或2x﹣y﹣5=0 D.2x﹣y+ =0 或2x﹣y﹣=06.(5 分)(2015 ?广东)若变量x,y 满足约束条件,则z=3x+2y 的最小值为()A .4 B.C.6 D.7.(5 分)(2015?广东)已知双曲线C:﹣=1 的离心率e= ,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线 C 的方程为()A .B.C.D.﹣=1 ﹣=1 ﹣=1 ﹣=18.(5 分)(2015?广东)若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值()A .至多等于 3 B.至多等于 4 C.等于5 D.大于516二、填空题(本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.)(一)必做题(11~13题)49.(5 分)(2015 ?广东)在(﹣1)的展开式中,x 的系数为.10.(5 分)(2015?广东)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= .11.(5 分)(2015 ?广东)设△ABC 的内角 A ,B,C 的对边分别为a,b,c.若a= ,sinB= ,C= ,则b= .12.(5 分)(2015?广东)某高三毕业班有40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)13.(5 分)(2015?广东)已知随机变量X 服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则P= .14.(5 分)(2015?广东)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ﹣)= ,点A 的极坐标.为A(2 ,),则点 A 到直线l 的距离为15.(2015?广东)如图,已知AB 是圆O的直径,AB=4 ,EC 是圆O的切线,切点为C,BC=1.过圆心O 作BC 的平行线,分别交EC 和AC 于D 和点P,则OD= .三、解答题16.(12 分)(2015?广东)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量=(,﹣),=(sinx,cosx),x∈(0,).(1)若⊥,求tanx 的值;(2)若与的夹角为,求x 的值.17.(12 分)(2015 ?广东)某工厂36 名工人年龄数据如图:年龄工人编号年龄工人编号年龄年龄工人编号工人编号171 40 10 36 19 27 28 342 44 11 31 20 43 29 393 40 12 38 21 41 30 434 41 13 39 22 37 31 385 33 14 43 23 34 32 426 40 15 45 24 42 33 537 45 16 39 25 37 34 378 42 17 38 26 44 35 499 43 18 36 27 42 36 399的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到(1)用系统抽样法从36 名工人中抽取容量为;的年龄数据为44,列出样本的年龄数据2(2)计算(1)中样本的均值和方差s;0.01%)?s和+s 之间有多少人?所占百分比是多少(精确到(3)36 名工人中年龄在﹣18.(14 分)(2015 ?广东)如图,三角形△PDC 所在的平面与长方形A BCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6 ,BC=3 ,点 E 是CD 的中点,点F、G 分别在线段AB 、BC 上,且AF=2FB ,CG=2GB .(1)证明:PE⊥FG;C的正切值;(2)求二面角P﹣A D﹣(3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.2 x)e﹣a. 19.(14 分)(2015 ?广东)设a>1,函数 f (x)=(1+x间;(1)求f(x)的单调区(2)证明f(x)在(﹣∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f (x)在点P 处的切线与x 轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP1.平行,(O 是坐标原点),证明:m≤﹣2 220.(14 分)(2015 ?广东)已知过原点的动直线l 与圆C1:x﹣6x+5=0 相交于不同的两+y点A ,B.(1)求圆C1 的圆心坐标;C的方程;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k (x﹣k 的取值范围;若不存在,说明理由.+21.(14 分)(2015 ?广东)数列{a n}满足:a1+2a2+⋯na n=4﹣,n∈N.(1)求a3 的值;(2)求数列{a n} 的前n 项和T n;18(3)令b1=a1,b n= +(1+ + +⋯+ )a n(n≥2),证明:数列{b n} 的前n 项和S n 满足S n<2+2lnn .19。
广东省深圳市2015届高三上学期第一次五校联考数学(理)试题 Word版含答案
2015届高三年级第一次五校联考理科数学试卷本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.命题人:二高董正林 注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2. 选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效.4. 作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1. 已知a b R ∈,,i 是虚数单位,若a i -与2bi +互为共轭复数,则()2a bi +=( )A .54i -B .54i +C .34i -D .34i +2. 设集合{} 12A x R x =∈-<,{}2,xB y R y x R =∈=∈,则AB =( )A .∅B .[)0 3,C .()0 3,D .()1 3-, 3. 函数()2ln =-f x x x的零点所在的区间为( ) A .()0 1, B .()1 2, C .()2 3, D .()3 4, 4. 已知m (),2a =-,n ()1,1a =-,则 “a =2”是“m //n ”的( ) A .充要条件 B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件5. 一个多面体的三视图如右图所示,则该多面体的体积为( )A .233 B .223C .6D . 76. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中,村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知:①食物投掷地点有远、近两处; ②由于Grace 年纪尚小,所以要么不参与该项任务,但此时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组,一组去远处,一组去近处。
广东省五校2015届高三数学联考试卷理(含解析)
广东省2015届高三五校联考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知A={x|x2﹣4x﹣5=0},B={x|x2=1},则A∩B=()A.{1} B.{1,﹣1,5} C.{﹣1} D.{1,﹣1,﹣5}2.(5分)设条件p:a≥0;条件q:a2+a≥0,那么p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±2x B.C.D.4.(5分)下列命题不正确的是()A.如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线,则两平面垂直B.如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则两平面平行C.如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行D.如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直,则这两条直线垂直5.(5分)已知函数f(x)=则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)的值域为[﹣1+∞)C.f(x)是周期函数D.f(x)是增函数6.(5分)在△ABC中,AB=2,AC=3,•=1,则BC=()A.B.C.2D.7.(5分)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是()A.B.C.D.8.(5分)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则()A.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°B.平面α与平面β垂直C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°二、填空题:本大共5小题,考生作答6小题,每小题5分,满分25分)(一)必做题(9~13题)9.(5分)复数的值是.10.(5分)若数列{a n}满足:a1=1,a n+1=),其前n项和为S n,则=.11.(5分)执行如图的程序框图,那么输出S的值是.12.(5分)已知不等式组所表示的平面区域的面积为4,则k的值为.13.(5分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题,两题都做记第一题的得分)(坐标系与参数方程)14.(5分)(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系下,曲线(t为参数),曲线(a为参数).若曲线C l、C2有公共点,则实数a的取值范围.(几何证明选讲)15.如图,点A,B,C是圆O上的点,且,则∠AOB对应的劣弧长为.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)在平面直角坐标系下,已知A(2,0),B(0,2),C(cos2x,sin2x),.(1)求f(x)的表达式和最小正周期;(2)当时,求f(x)的值域.17.(12分)某校参加2014-2015学年高一年级期2015届中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩分成六段[40,50)、[50,60)、…、[90,100]后得到如图部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分;(3)若从60名学生中随抽取2人,抽到的学生成绩在[40,60)记0分,在[60,80)记1分,在[80,100]记2分,用ξ表示抽取结束后的总记分,求ξ的分布列和数学期望.18.(14分)如图,△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC⊥平面ABC,AB=2,已知AE与平面ABC所成的角为θ,且.(1)证明:平面ACD⊥平面ADE;(2)记AC=x,V(x)表示三棱锥A﹣CBE的体积,求V(x)的表达式;(3)当V(x)取得最大值时,求二面角D﹣AB﹣C的大小.19.(14分)已知数列{a n}中,a1=3,a2=5,其前n项和S n满足S n+S n﹣2=2S n﹣1+2n﹣1(n≥3).令b n=.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若f(x)=2x﹣1,求证:Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+b n f(n)<(n≥1).20.(14分)已知椭圆C1的中心在坐标原点,两个焦点分别为F1(﹣2,0),F2(2,0),点A (2,3)在椭圆C1上,过点A的直线L与抛物线交于B、C两点,抛物线C2在点B,C处的切线分别为l1,l2,且l1与l2交于点P.(1)求椭圆C1的方程;(2)是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标);若不存在,说明理由.21.(14分)已知函数f(x)=e x,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的反函数的图象上的点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ)证明:曲线y=f(x)与曲线y=有唯一公共点.(Ⅲ)设a<b,比较f()与的大小,并说明理由.广东省2015届高三五校联考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知A={x|x2﹣4x﹣5=0},B={x|x2=1},则A∩B=()A.{1} B.{1,﹣1,5} C.{﹣1} D.{1,﹣1,﹣5}考点:交集及其运算.专题:集合.分析:求出集合A,B,然后求解交集即可.解答:解:A={x|x2﹣4x﹣5=0}={﹣1,5},B={x|x2=1}={﹣1,1},则A∩B={﹣1}.故选:C.点评:本题考查集合的交集的运算,是对基本知识的考查.2.(5分)设条件p:a≥0;条件q:a2+a≥0,那么p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:简易逻辑.分析:根据充分必要条件的定义进行判断即可.解答:解:若a≥0,则a2+a≥0,是充分条件,若a2+a≥0,解得:a≥0或a≤﹣1,不是必要条件,故选:A.点评:本题考查了充分必要条件,考查了解不等式问题,本题属于基础题.3.(5分)已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±2x B.C.D.考点:双曲线的简单性质.专题:计算题.分析:由离心率的值,可设,则得,可得的值,进而得到渐近线方程.解答:解:∵,故可设,则得,∴渐近线方程为,故选C.点评:本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求出的值是解题的关键.4.(5分)下列命题不正确的是()A.如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线,则两平面垂直B.如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则两平面平行C.如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行D.如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直,则这两条直线垂直考点:平面与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系.专题:阅读型.分析:本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系,及直线与平面间的位置关系,我们根据空间线与面、面与面的判定及性质定理对四个答案逐一进行分析,即可得到答案.解答:解:如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线,由线面垂直的定义,可得该直线与另一个平面垂直,由面面垂直的判定定理我们可得两平面垂直,故A正确;如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则存在两条相交直线与另一个平面平行,由面面平等的判定定理得两平面平行,故B正确;如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,由线面平行的性质定理,那么这条直线和交线平行,故C正确;如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直,则这两条直线可能垂直,也可能不垂直,故D错误故选D点评:判断空间线线关系、线面关系、面面关系时,掌握掌握空间线面垂直和平等的判定定理和性质定理,是解决问题的关键.5.(5分)已知函数f(x)=则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)的值域为[﹣1+∞)C.f(x)是周期函数D.f(x)是增函数考点:分段函数的应用.专题:函数的性质及应用.分析:由题意,分x>0与x≤0讨论函数在各个部分的取值,从而求函数的值域.解答:解:当x>0时,f(x)=x2+1>1,当x≤0时,f(x)=cosx,故﹣1≤cosx≤1,综上所述,f(x)≥﹣1,故f(x)的值域为[﹣1,+∞).故选B.点评:本题考查了分段函数的应用及函数的值域的求法,属于基础题.6.(5分)在△ABC中,AB=2,AC=3,•=1,则BC=()A.B.C.2D.考点:解三角形;向量在几何中的应用.专题:计算题;压轴题.分析:设∠B=θ,由•=1,利用平面向量的数量积运算法则列出关系式,表示出cosθ,再利用余弦定理表示出cosθ,两者相等列出关于BC的方程,求出方程的解即可得到BC的长.解答:解:根据题意画出相应的图形,如图所示:∵•=1,设∠B=θ,AB=2,∴2•BC•cos(π﹣θ)=1,即cosθ=﹣,又根据余弦定理得:cosθ==,∴﹣=,即BC2=3,则BC=.故选A点评:此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:平面向量的数量积运算,余弦定理,以及诱导公式的运用,熟练掌握定理及法则是解本题的关键.7.(5分)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是()A.B.C.D.考点:几何概型.专题:压轴题;概率与统计.分析:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,由题意可得0≤x≤4,0≤y≤4,要满足条件须|x﹣y|≤2,作出其对应的平面区域,由几何概型可得答案.解答:解:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,由题意可得0≤x≤4,0≤y≤4,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒,则|x﹣y|≤2,由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比,由图可知所求的概率为:=故选C点评:本题考查几何概型,涉及用一元二次方程组表示平面区域,属基础题.8.(5分)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则()A.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°B.平面α与平面β垂直C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°考点:平面与平面之间的位置关系.专题:空间位置关系与距离.分析:设P1是点P在α内的射影,点P2是点P在β内的射影.根据题意点P1在β内的射影与P2在α内的射影重合于一点,由此可得四边形PP1Q1P2为矩形,且∠P1Q1P2是二面角α﹣l ﹣β的平面角,根据面面垂直的定义可得平面α与平面β垂直,得到本题答案.解答:解:设P1=fα(P),则根据题意,得点P1是过点P作平面α垂线的垂足∵Q1=fβ[fα(P)]=fβ(P1),∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足同理,若P2=fβ(P),得点P2是过点P作平面β垂线的垂足因此Q2=fα[fβ(P)]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P,恒有PQ1=PQ2,∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得,四边形PP1Q1P2为矩形,且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角∵∠P1Q1P2是直角,∴平面α与平面β垂直故选:B点评:本题给出新定义,要求我们判定平面α与平面β所成角大小,着重考查了线面垂直性质、二面角的平面角和面面垂直的定义等知识,属于中档题.二、填空题:本大共5小题,考生作答6小题,每小题5分,满分25分)(一)必做题(9~13题)9.(5分)复数的值是.考点:复数代数形式的乘除运算.分析:复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,然后化为a+bi(a、b∈R)的形式即可.解答:解:复数=故答案为:.点评:本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题.10.(5分)若数列{a n}满足:a1=1,a n+1=),其前n项和为S n,则=15.考点:数列递推式.专题:计算题.分析:由递推关系式可知数列{a n}是以1为首项,为公比的等比数列,从而可解.解答:解:由题意,数列{a n}是以1为首项,为公比的等比数列,所以,∴,故答案为15.点评:本题主要考查数列递推式,考查等比数列的通项及前n项和公式,属于基础题.11.(5分)执行如图的程序框图,那么输出S的值是.考点:程序框图.专题:计算题;图表型.分析:框图首先给变量S,k赋值S=2,k=1,然后判断k<2013是否成立,成立则执行,否则跳出循环,输出S,然后依次判断执行,由执行结果看出,S的值呈周期出现,根据最后当k=2013时算法结束可求得S的值.解答:解:框图首先给变量S,k赋值S=2,k=1.判断1<2013,执行S=,k=1+1=2;判断2<2013,执行S=,k=2+1=3;判断3<2013,执行S=,k=3+1=4;判断4<2013,执行S=,k=4+1=5;…程序依次执行,由上看出,程序每循环3次S的值重复出现1次.而由框图看出,当k=2012时还满足判断框中的条件,执行循环,当k=2013时,跳出循环.又2013=671×3.所以当计算出k=2013时,算出的S的值为.此时2013不满足2013<2013,跳出循环,输出S的值为故答案为.点评:本题考查了程序框图,是当型结构,即先判断后执行,满足条件执行循环,不满足条件,跳出循环,算法结束,解答的关键是算准周期.是基础题.12.(5分)已知不等式组所表示的平面区域的面积为4,则k的值为1.考点:二元一次不等式(组)与平面区域.专题:计算题.分析:先作出不等式组表示的平面区域,根据已知条件可表示出平面区域的面积,然后结合已知可求k解答:解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示由题意可得A(2,2k+2),B(0,2),C(2,0)∴(d为B到AC的距离)==2k+2=4∴k=1故答案为:1点评:本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域,属于基础试题13.(5分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有480种(用数字作答)考点:排列、组合及简单计数问题.专题:排列组合.分析:按C的位置分类,在左1,左2,左3,或者在右1,右2,右3,因为左右是对称的,所以只看左的情况最后乘以2即可.解答:解:按C的位置分类,在左1,左2,左3,或者在右1,右2,右3,因为左右是对称的,所以只看左的情况最后乘以2即可.当C在左边第1个位置时,有A,当C在左边第2个位置时,A和B有C右边的4个位置可以选,有A A,当C在左边第3个位置时,有A A+A A,共为240种,乘以2,得480.则不同的排法共有480种.故答案为:480.点评:本题考查排列、组合的应用,关键在于明确事件之间的关系,同时要掌握分类讨论的处理方法.选做题(14~15题,考生只能从中选做一题,两题都做记第一题的得分)(坐标系与参数方程)14.(5分)(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系下,曲线(t为参数),曲线(a为参数).若曲线C l、C2有公共点,则实数a的取值范围.考点:圆的参数方程;直线与圆相交的性质.专题:计算题.分析:把参数方程化为普通方程,由直线和圆有交点可得圆心到直线的距离小于或等于半径,解不等式求得实数a的取值范围.解答:解:曲线(t为参数)即 x+2y﹣2a=0,表示一条直线.曲线(a为参数)即 x2+(y﹣2)2=4,表示圆心为(0,2),半径等于2的圆.由曲线C l、C2 有公共点,可得圆心到直线的距离小于或等于半径,∴≤2,∴2﹣≤a≤2+,故答案为:.点评:本题考查把参数方程化为普通方程的方法,点到直线的距离公式的应用,直线和圆的位置关系,绝对值不等式的解法.(几何证明选讲)15.如图,点A,B,C是圆O上的点,且,则∠AOB对应的劣弧长为.考点:弧长公式.专题:计算题;压轴题.分析:利用正弦定理求出∠ACB的大小,然后再求∠AOB,最后求出∠AOB对应的劣弧长.解答:解:由正弦定理可知:,得sin∠ACB=,∴∠AOB=,OB=,∠AOB对应的劣弧长:故答案为:点评:本题考查弧长公式,考查计算能力,是基础题.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(12分)在平面直角坐标系下,已知A(2,0),B(0,2),C(cos2x,sin2x),.(1)求f(x)的表达式和最小正周期;(2)当时,求f(x)的值域.考点:平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域.专题:计算题.分析:(1)先计算两个向量的坐标,再利用向量数量积运算性质计算f(x),将所得f(x)解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,最后利用周期公式计算f(x)的最小正周期即可(2)先求内层函数y=2x﹣的值域,再利用正弦函数的图象和性质求y=sin(2x﹣)的值域,最后由y=2t+4的单调性即可得f(x)的值域解答:解:(1)∵A(2,0),B(0,2),C(cos2x,sin2x),∴,∴=(﹣2,2)•(cos2x﹣2,sin2x)=4﹣2cos2x+2sin2x=,∴f(x)═,∴f(x)的最小正周期为,(2)∵∴∴.∴.所以函数f(x)的值域是.点评:本题考察了向量数量积运算的性质和三角变换、三角函数的图象和性质,解题时要能熟练的将函数化为y=Asin(ωx+φ)形式,为利用三角函数的图象和性质求周期和最值创造条件17.(12分)某校参加2014-2015学年高一年级期2015届中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩分成六段[40,50)、[50,60)、…、[90,100]后得到如图部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分;(3)若从60名学生中随抽取2人,抽到的学生成绩在[40,60)记0分,在[60,80)记1分,在[80,100]记2分,用ξ表示抽取结束后的总记分,求ξ的分布列和数学期望.考点:离散型随机变量及其分布列;频率分布直方图;离散型随机变量的期望与方差.专题:计算题;图表型.分析:(1)根据概率之和为1,即频率分布直方图的面积之和为1.(2)根据题意同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,所以用每一组数据的中点值代表这一组数的平均数,即可求得.(3)从60名学生中随抽取2人,根据题意总记分可能为0、1、2、3、4.求出相应的概率,即可求得分布列和期望.解答:解:(1)设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图,有(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,可得x=0.3,所以频率分布直方图如图所示(2)平均分为=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71(3)学生成绩在[40,60)的有0.25×60=15人,在[60,80)的有0.45×60=27人,在[80,100)的有0.3×60=18人,ξ的可能取值是0,1,2,3,4则,,,,所以ξ的分布列为:∴点评:此题把统计和概率结合在一起,比较新颖,也是2015届高考的方向,应引起重视.18.(14分)如图,△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC⊥平面ABC,AB=2,已知AE与平面ABC所成的角为θ,且.(1)证明:平面ACD⊥平面ADE;(2)记AC=x,V(x)表示三棱锥A﹣CBE的体积,求V(x)的表达式;(3)当V(x)取得最大值时,求二面角D﹣AB﹣C的大小.考点:与二面角有关的立体几何综合题;棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.专题:计算题;综合题;转化思想.分析:(1)欲证平面ACD⊥平面ADE,根据面面垂直的判定定理可知在平面ADE内一直线与平面ACD垂直,DE⊥平面ADC,DE⊂平面ADE,满足定理所需条件;(2)根据线面所成角的定义可知∠EAB为AE与平面ABC所成的角,在Rt△ABE中,求出BE,在Rt△ABC中求出AC,最后根据三棱锥的体积公式求出体积即可;(3)利用基本不等式可知当V(x)取得最大值时,这时△ACB为等腰直角三角形,连接CO,DO,根据二面角的平面角的定义可知∠DOC为二面角D﹣AB﹣C的平面角在Rt△DCO中求出此角即可.解答:解:(1)证明:∵四边形DCBE为平行四边形∴CD∥B E,BC∥DE(1分)∵DC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC∴DC⊥BC.(2分)∵AB是圆O的直径∴BC⊥AC且DC∩AC=C∴BC⊥平面ADC.∵DE∥BC∴DE⊥平面ADC(3分)又∵DE⊂平面ADE∴平面ACD⊥平面ADE(4分)(2)∵DC⊥平面ABC∴BE⊥平面ABC∴∠EAB为AE与平面ABC所成的角,即∠EAB=θ(5分)在Rt△ABE中,由,AB=2得(6分)在Rt△ABC中∵(0<x<2)∴(7分)∴=(0<x<2)(8分)(3)由(2)知0<x<2要V(x)取得最大值,当且仅当取得最大值,∵(9分)当且仅当x2=4﹣x2,即时,“=”成立,∴当V(x)取得最大值时,这时△ACB为等腰直角三角形(10分)连接CO,DO∵AC=BC,DC=DC∴Rt△DCA≌Rt△DCB∴AD=DB又∵O为AB的中点∴CO⊥AB,DO⊥AB∴∠DOC为二面角D﹣AB﹣C的平面角(12分)在Rt△DCO中∵,∴,∴∠DOC=60°即当V(x)取得最大值时,二面角D﹣AB﹣C为60°.(14分)点评:本题主要考查了平面与平面垂直的判定,以及体积和二面角的定理等有关知识,求二面角,关键是构造出二面角的平面角,常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角,然后再将其转化为二面角的平面角.19.(14分)已知数列{a n}中,a1=3,a2=5,其前n项和S n满足S n+S n﹣2=2S n﹣1+2n﹣1(n≥3).令b n=.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若f(x)=2x﹣1,求证:Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+b n f(n)<(n≥1).考点:数列递推式;数列的函数特性;不等式的证明.专题:计算题;证明题;压轴题.分析:(Ⅰ)由题意知a n=a n﹣1+2n﹣1(n≥3)(a n﹣a n﹣1)+(a n﹣1﹣a n﹣2)+…+(a3﹣a2)+a2=2n+1.(Ⅱ)由于=.故T n=b1f (1)+b2f(2)+…+b n f(n)=,由此可证明Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+b n f(n)<(n≥1).解答:解:(Ⅰ)由题意知S n﹣S n﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2+2n﹣1(n≥3)即a n=a n﹣1+2n﹣1(n≥3)∴a n=(a n﹣a n﹣1)+(a n﹣1﹣a n﹣2)+…+(a3﹣a2)+a2=2n﹣1+2n﹣2+…+22+5=2n+1(n≥3)检验知n=1、2时,结论也成立,故a n=2n+1.(Ⅱ)由于b n=,f(x)=2x﹣1,∴=.故T n=b1f(1)+b2f(2)+…+b n f(n)==.点评:本题考查数列的性质和综合应用,解题时要认真审题.仔细解答.20.(14分)已知椭圆C1的中心在坐标原点,两个焦点分别为F1(﹣2,0),F2(2,0),点A (2,3)在椭圆C1上,过点A的直线L与抛物线交于B、C两点,抛物线C2在点B,C处的切线分别为l1,l2,且l1与l2交于点P.(1)求椭圆C1的方程;(2)是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标);若不存在,说明理由.考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)利用椭圆的标准方程及其性质即可得出;(2)设出点B,C的坐标,利用A,B,C三点共线即可得出坐标之间的关系,利用导数的几何意义可得切线的斜率,在得出切线的方程,即可得出交点P的坐标代入上面得到的关系式即可得到交点P的轨迹方程.由|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|,则点P在椭圆C1上,而点P又在直线y=x ﹣3上,直线经过椭圆C1的内部一点(3,0),即可判断出其交点个数.解答:解:(1)设椭圆的标准方程为,由题意可得解得.∴椭圆C1的方程为;(2)设点B,C,则,,∵A,B,C三点共线,∴.∴,化为2(x1+x2)﹣x1x2=12.①由x2=4y,得.∴抛物线C2在点B处的切线方程为,化为.②同理抛物线C2在点C处的切线方程为.③设点P(x,y),由②③得,而x1≠x2,∴.代入②得,于是2x=x1+x2,4y=x1x2代入①得4x﹣4y=12,即点P的轨迹方程为y=x﹣3.若|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|,则点P在椭圆C1上,而点P又在直线y=x﹣3上,直线经过椭圆C1的内部一点(3,0),∴直线y=x﹣3与椭圆C1有两个交点,∴满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P有两个(不同于点A).点评:本题主要考查椭圆、抛物线曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归于转化的数学数学方法,以及推理论证能力、计算能力、创新意识.21.(14分)已知函数f(x)=e x,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的反函数的图象上的点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ)证明:曲线y=f(x)与曲线y=有唯一公共点.(Ⅲ)设a<b,比较f()与的大小,并说明理由.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的零点与方程根的关系;函数的单调性与导数的关系.专题:压轴题;导数的概念及应用.分析:(I)先求出其反函数,利用导数得出切线的斜率即可;(II)令h(x)=f(x)﹣=,利用导数研究函数h(x)的单调性即可得出;(III)设b﹣a=t>0,通过作差﹣f()=,构造函数g(t)=(t>0),可得g′(t)==(t>0).令h(x)=e x﹣x﹣1(x>0),利用导数研究其单调性即可.解答:(I)解:函数f(x)=e x的反函数为g(x)=lnx,∵,∴g′(1)=1,∴f(x)的反函数的图象上的点(1,0)处的切线方程为y﹣0=1×(x﹣1),即y=x﹣1;(Ⅱ)证明:令h(x)=f(x)﹣=,则h′(x)=e x﹣x﹣1,h′′(x)=e x﹣1,当x>0时,h′′(x)>0,h′(x)单调递增;当x<0时,h′′(x)<0,h′(x)单调递减,故h′(x)在x=0取得极小值,即最小值,∴h′(x)≥h′(0)=0,∴函数y=h(x)在R上单调递增,最多有一个零点,而x=0时,满足h(0)=0,是h(x)的一个零点.所以曲线y=f(x)与曲线y=有唯一公共点(0,1).(Ⅲ)设b﹣a=t>0,则﹣f()===e a=,令g(t)=(t>0),则g′(t)==(t>0).令h(x)=e x﹣x﹣1(x>0),则h′(x)=e x﹣1>0,∴函数h(x)在(0,+∞)单调递增,∴h(x)>h(0)=0,因此g′(t)>0,∴函数g(t)在t>0时单调递增,∴g(t)>g(0)=0.∴>f().点评:本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识,考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法,考查了推理能力和计算能力.。
2015年广东省高考数学试卷(理科)答案与解析
2015年广东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(5分)(2015•广东)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x﹣4)(x﹣1)=0},则,则y=y=x+y=y=x++4.(5分)(2015•广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个B个球的取法有22x+y+=0=,所以6.(5分)(2015•广东)若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为()对应的平面区域如图:﹣x+x+﹣,经过点x+的截距最小,,解得)×=,7.(5分)(2015•广东)已知双曲线C:﹣=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),﹣=1 B﹣=1 ﹣=1 ﹣=1:﹣e=,=3所求双曲线方程为:﹣二、填空题(本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.)(一)必做题(11~13题)9.(5分)(2015•广东)在(﹣1)4的展开式中,x的系数为6.﹣•﹣==1二项式(的系数为=610.(5分)(2015•广东)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=10.11.(5分)(2015•广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b=1.,可得或B=,结合a=C=及正弦定理可求sinB=或B=B=,A=由正弦定理可得,B=,与三角形的内角和为12.(5分)(2015•广东)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了1560条毕业留言.(用数字作答)=4013.(5分)(2015•广东)已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则P=.q=p=,故答案为:.14.(5分)(2015•广东)已知直线l的极坐标方程为2ρsin(θ﹣)=,点A的极坐标为A(2,),则点A到直线l的距离为.),对应的直角坐标方程为:,=故答案为:15.(2015•广东)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1.过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于D和点P,则OD=8.OP=,OP=BC=OD三、解答题16.(12分)(2015•广东)在平面直角坐标系xOy中,已知向量=(,﹣),=(sinx,cosx),x∈(0,).(1)若⊥,求tanx的值;(2)若与的夹角为,求x的值.)若⊥,则•=0)若与的夹角为,利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求)若⊥•(,﹣sinx﹣sinx=cosx)∵||=1||=1•(,﹣=与的夹角为•=|||=,cosx=,),,∈(﹣)=+=(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值和方差s2;(3)36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人?所占百分比是多少(精确到0.01%)?)中样本的均值)由平均值公式得=[=.∴∈名工人中年龄在+s名工人中年龄在+s之间所占百分比为18.(14分)(2015•广东)如图,三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点E是CD的中点,点F、G分别在线段AB、BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角P﹣AD﹣C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.PE==,PDC===3AP===5PAC=19.(14分)(2015•广东)设a>1,函数f(x)=(1+x2)e x﹣a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明f(x)在(﹣∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP 平行,(O是坐标原点),证明:m≤﹣1..∴,∴20.(14分)(2015•广东)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.联立方程组,,其中﹣<)=,其中<,﹣,联立方程组,±,的端点(,±±的取值范围为(﹣,}21.(14分)(2015•广东)数列{a n}满足:a1+2a2+…na n=4﹣,n∈N+.(1)求a3的值;(2)求数列{a n}的前n项和T n;(3)令b1=a1,b n=+(1+++…+)a n(n≥2),证明:数列{b n}的前n项和S n满足S n<2+2lnn.﹣=﹣﹣﹣,,=++)=1+(1+)1++)1++)++)1+++=lnx+=.时,,(=ln﹣ln>∴ln,1++)<。
【2015广东五校联考】广东省五校协作体2015届高三第一次联考理综化学试题 Word版含答案
广东省五校协作体2015届高三第一次联考试卷2015广东五校联考理综化学(2014年12月)可能用到的相对原子质量:C—12 Fe—56 Zn—65第Ⅰ卷(选择题共118分)一、单项选择题:(本大题共16小题,每小题4分,共64分)7.化学与工农业生产和人类生活密切相关,下列说法中正确的是A.明矾与漂白粉常用于自来水的净化与消毒,这两者的作用原理是一样的B.为了防止中秋月饼的富脂食物因被氧化而变质,常在包装袋里放生石灰C.海轮外壳上镶入锌块,可减缓船体的腐蚀,该方法叫牺牲阳极的阴极保护法D.酸雨就是pH <7的雨水,主要是由大气中的SO2、NO2等造成的8.下列有关物质的性质与应用相对应的是A.Cl2具有漂白性,可用作自来水的消毒B.SiO2具有高沸点,可用作制备光导纤维C.NH3具有还原性,可用作制冷剂D.Na2O2能与CO2反应,可用作潜水艇内的供氧剂9.下列各组离子在溶液中能够大量共存的是A.NH4+、Cl-、Na+、SO42-B.Na+、Ba2+、OH-、SO42-C.Ca2+、H+、S2-、ClO-D.H+、Cl-、Fe2+、NO3-10.n A为阿伏加德罗常数,下列叙述正确的是A.22.4L NH3中含氮原子数为n AB.1 mol Na2O2与水完全反应时转移的电子数为n AC.1 L 0.1mol·L-1碳酸钠溶液的阴离子总数小于0.1n AD.1 mol O2和2 mol SO2在密闭容器中充分反应后的分子数等于2n A11.X、Y、Z、W四种元素在元素周期表中的相对位置如下图所示,其中X、W的质子数之和为21,由此可知B.Y的氢化物(H2Y)不稳定,100℃以上即可分解C.W的非金属性比Y的非金属性弱D.Z的最高价氧化物的水化物是一种强碱12.下列叙述正确的是①装置甲可防止铁钉生锈②装置乙可除去乙烯中混有的乙炔③装置丙可验证HCl气体在水中的溶解性④装置丁可用于实验室制取乙酸乙酯⑤装置戊可用于收集H2、CO2、Cl2、HCl、NO2等气体A.①⑤B.②④C.③④D.③⑤二、双项选择题:(本大题共9小题,每小题6分,共54分。
2015年高考理科数学广东卷(含答案解析)
数学试卷 第1页(共16页) 数学试卷 第2页(共16页)绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:样本数据1x ,2x ,⋅⋅⋅,n x 的方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦,其中x 表示样本均值.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=,{|(4)(1)0}N x x x =--=,则M N = ( )A .∅B .{1,4}--C .{0}D .{1,4} 2.若复数i(32i)z =-(i 是虚数单位),则z =( )A .32i -B .32i +C .2+3iD .23i - 3.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )A .x y x e =+B .1y x x=+C .122x xy =+D.y 4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( )A .1B .1121C .1021 D .5215.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是( )A.20x y -=或20x y -= B.20x y +或20x y += C .250x y -+=或250x y --=D .250x y ++=或250x y +-=6.若变量x ,y 满足约束条件458,13,02,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤则32z x y =+的最小值为( )A .315B .6C .235D .47.已知双曲线C :22221x y a b -=的离心率54e =,且其右焦点为2(5,0)F ,则双曲线C 的方程为( )A .22143x y -=B .221169x y-= C .221916x y -=D .22134x y -= 8.若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值( )A .大于5B .等于5C .至多等于4D .至多等于3二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题)9.在41)的展开式中,x 的系数为 .10.在等差数列{}n a 中,若3456725a a a a a ++++=,则28a a += . 11.设ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a =,1sin 2B =,π6C =,则b = .12.某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言(用数字作答).13.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p .若()30E X =,()20D X =,则p = . (二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程)已知直线l的极坐标方程为π2sin()4ρθ-,点A的极坐标为7π)4A ,则点A 到直线l 的距离为 .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页(共16页) 数学试卷 第4页(共16页)15.(几何证明选讲)如图,已知AB 是圆O 的直径,4AB =,EC 是圆O 的切线,切点为C ,1BC =.过圆心O 作BC 的平行线,分别交EC 和AC 于点D 和点P ,则OD = .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m (22=,n (sin ,cos )x x =,π(0,)2x ∈. (Ⅰ)若m ⊥n ,求tan x 的值; (Ⅱ)若m 与n 的夹角为π3,求x 的值.17.(本小题满分12分)(Ⅰ)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据; (Ⅱ)计算(Ⅰ)中样本的均值x 和方差2s ;(Ⅲ)36名工人中年龄在x s -与x s +之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?18.(本小题满分14分)如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,4PD PC ==,6AB =,3BC =.点E 是CD 边的中点,点F ,G 分别在线段AB ,BC 上,且2AF FB =,2CG GB =.(Ⅰ)证明:PE FG ⊥;(Ⅱ)求二面角P AD C --的正切值; (Ⅲ)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19.(本小题满分14分)设1a >,函数2()(1)x f x x e a =+-. (Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)证明:()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点;(Ⅲ)若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点),证明:1m .20.(本小题满分14分)已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ,B . (Ⅰ)求圆1C 的圆心坐标;(Ⅱ)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(Ⅲ)是否存在实数k ,使得直线L :(4)y k x =-与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分14分)数列{}n a 满足:1212242n n n a a na -+++⋅⋅⋅+=-,*n ∈Ν. (Ⅰ)求3a 的值;(Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n T ; (Ⅲ)令11b a =,1111(1)(2)23n n n T b a n n n-=++++⋅⋅⋅+≥,证明:数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.数学试卷 第5页(共16页) 数学试卷 第6页(共16页)2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】由题意可得{1,4}{1,4}M N M N =--==∅I ,,. 【提示】求出两个集合,然后求解交集即可. 【考点】交集及其运算 2.【答案】B【解析】由题意可得i(32i)23i z =-=-,因此23i z =+. 【提示】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可. 【考点】复数的基本计算以及共轭复数的基本概念 3.【答案】D【解析】A 选项,()()f x f x -===,偶函数;B 选项,()11()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭,奇函数; C 选项,11()22()22x x x x f x f x ---=+=+=,偶函数;D 选项,1()e ()()ex x f x x x f x f x --=-+=-+=≠≠-,因此选D .【提示】直接利用函数的奇偶性判断选项即可. 【考点】函数的奇偶性的判定 4.【答案】B【解析】任取两球一共有215151415712C ⨯==⨯⨯种情况,其中一个红球一个白球一共有11105105C C =⨯g ,因此概率为1051015721⨯=⨯. 【提示】首先判断这是一个古典概型,从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球,1个红球”事件包含的基本事件个数,容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法,而在求“所取的2个球中恰有1个白球,1个红球”事件的基本事件个数时,可利用分步计数原理求解,最后带入古典概型的概率公式即可. 【考点】古典概型及其概率计算公式 5.【答案】A【解析】与直线210x y ++=平行的直线可以设为20x y m ++=,= ∴||5m =,解得5m =±,因此我们可以得到直线方程为:250x y ++=或250x y +-=.【提示】设出所求直线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出直线方程中的变量,即可求出直线方程.【考点】解析几何中的平行,圆的切线方程 6.【答案】B【解析】依据题意,可行域如右图所示,初始函数为032l y x =- :,当0l 逐渐向右上方平移的过程中,32z x y =+不断增大,因此我们可以得到当l 过点41,5E ⎛⎫⎪⎝⎭的时候,min 235z =.【提示】作出不等式组对应的平面区域,根据z 的几何意义,利用数形结合即可得到最小值.【考点】线性规划问题 7.【答案】C数学试卷 第7页(共16页) 数学试卷 第8页(共16页)【解析】已知双曲线22221x y C a b-=:,54c e a ==,又由焦点为()25,0F,因此45435c a c b =⇒==⇒=,因此双曲线方程为221169x y -=.【提示】利用已知条件,列出方程,求出双曲线的几何量,即可得到双曲线方程. 【考点】圆锥曲线的离心率求解问题 8.【答案】B【解析】解:考虑平面上,3个点两两距离相等,构成等边三角形,成立; 4个点两两距离相等,由三角形的两边之和大于第三边,则不成立;n 大于4,也不成立;在空间中,4个点两两距离相等,构成一个正四面体,成立;若4n >,由于任三点不共线,当5n =时,考虑四个点构成的正四面体,第五个点,与它们距离相等,必为正四面体的外接球的球心,由三角形的两边之和大于三边,故不成立; 同理5n >,不成立. 故选:B .【提示】先考虑平面上的情况:只有三个点的情况成立;再考虑空间里,只有四个点的情况成立,注意运用外接球和三角形三边的关系,即可判断. 【考点】棱锥的结构特征 二、填空题 9.【答案】6【解析】展开通式为144(1)m m m C ---,令2m =可得14124244(1)(1)4m m m C C x ----=-=,因此系数为6.【提示】根据题意二项式41)的展开的通式为144(1)m m m C ---,分析可得,2m =时,有x 的项,将2m =代入可得答案. 【考点】二项式定理的运用 10.【答案】10【解析】根据等差中项可得:345675525a a a a a a ++++==,55a =,因此285210a a a +==.【提示】根据等差数列的性质,化简已知的等式即可求出5a 的值,然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后,将5a 的值代入即可求出值. 【考点】等差中项的计算 11.【答案】1【解析】由1sin 2B =,得π6B =或者5π6B =,又因为π6C =,因此π6B =,2π3A =,根据正弦定理可得sin sin a bA B =1sin 1sin 2a b B A ===g g . 【提示】由1sin 2B =,可得π6B =或者5π6B =,结合a ,π6C =及正弦定理可求b .【考点】正弦定理,两角和与差的正弦函数 12.【答案】1560【解析】某高三毕业班有40人,每人给彼此写一条留言,因此每人的条数为39,故而一共有40391560⨯=条留言.【提示】通过题意,列出排列关系式,求解即可. 【考点】排列与组合的实际应用 13.【答案】13【解析】根据随机变量X服从二项分布(,)B n p ,根据()30()(1E X n p D X n p p===-=,,可得()21()3D X p E X -==,化简后可得13p =. 【提示】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可. 【考点】离散型随机变量的期望与方差 14.【答案】2【解析】考察基本的极坐标和直角坐标的化简以及点到直线距离问题.由数学试卷 第9页(共16页) 数学试卷 第10页(共16页)2sin 4πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭l 的直角坐标系方程为10x y --=,由7π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得它的直角坐标为()2,2A -, 因此,点A 到直线l的距离为d ==. 【提示】把极坐标方程转化为直角坐标方程,然后求出极坐标表示的直角坐标,利用点到直线的距离求解即可. 【考点】简单曲线的极坐标方程 15.【答案】8 【解析】连接OC ,根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠,又因为AB 为直径, 因此可得90CAO B ∠+∠=︒,90ACO B ∠+∠=︒, ∵OP BC ∥∴90AC OP ACO COP ⊥∠+∠=︒,, 因此可得COP B ∠=∠,因此Rt Rt DOC ABC △∽△, 故而可得21OD OC AB BC ==,∴8OD =. 【提示】连接OC ,根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠,AB 为直径以及OP BC ∥得出Rt Rt DOC ABC △∽△即可求出OD 的值.【考点】相似三角形的判定 三、解答题16.【答案】(Ⅰ)tan 1x =(Ⅱ)5π12x =【解析】∵m n ⊥u r r,π(sin ,cos )sin 22224m n x x x x x ⎛⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭u r r g g , ∴||1||1m n ==u r r, ,因此:(Ⅰ)若m n ⊥u r r ,可得πsin 04m n x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u r r g ,∴ππππ44x k x k -=⇒=+,又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π04k x ==,,因此可得πtan tan 14x ==.(Ⅱ)若m u r 和n r 的夹角为π3,可得ππ1sin ||||cos 432m n x m n ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭u r r u r r g g, ∴ππ2π46x k -=+或π5π2π46x k -=+, 又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴πππ,444x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴ππ46x -=,解得5π12x =.【提示】(Ⅰ)若m n ⊥u r r ,则0m n =u r rg ,结合三角函数的关系式即可求tan x 的值.(Ⅱ)若m u r 和n r 的夹角为π3,利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值.【考点】平面向量数量积的运算,数量积表示两个向量的夹角 17.【答案】(Ⅰ)444036433637444337, , , , , , , , (Ⅱ)40x =21009s =(Ⅲ)23人63.89%.【解析】(Ⅰ)根据系统抽样的方法,抽取9个样本,因此分成9组,每组4人.又因为第一组中随机抽样可抽到44,因此按照现有的排序分组.故而每组中抽取的都是第二个数,因此我们可得样本数据为第2个,第6个,第10个,第14个,第18个,第22个,第26个,第30个,第34个, 分别为:444036433637444337, , , , , , , , (Ⅱ)由平均值公式得444036433637444337409x ++++++++==,由方差公式得数学试卷 第11页(共16页) 数学试卷 第12页(共16页)22222212291100()()()(994440)(4040)(3740)s x x x x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦-+-=+-+.(Ⅲ)103s ===,因此可得21364333x s x s -=+=,,因此在x s -和x s +之间的数据可以是444036433637444337, , , , , , , , ,因此数据一共有23人,占比为23100%63.89%36⨯≈.【提示】(Ⅰ)利用系统抽样的定义进行求解即可.(Ⅱ)根据均值和方差公式即可计算(Ⅰ)中样本的均值x 和方差2s . (Ⅲ)求出样本和方差即可得到结论. 【考点】极差,方差与标准差,分层抽样方法 18.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)证明:由PD PC =可得三角形PDC 是等腰三角形, 又因为点E 是CD 边的中点,因此可得PE CD ⊥,又因为三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,而且相交于CD ,因此PE ⊥平面ABCD ,又因为FG 在平面ABCD 内,因此可得PE FG ⊥,问题得证.(Ⅱ)因为四边形ABCD 是矩形,因此可得AD CD ⊥, 又因为PE ⊥平面ABCD ,故而PE AD ⊥, 又PECD E =,因此可得AD ⊥平面PDC ,因此,AD PD AD CD ⊥⊥,所以P AD C PDE ∠--=∠.在等腰三角形PDC 中,46PD CD AB ===,,132DE CD==.因此可得PE ==tan 3PE PDE DE ∠==. (Ⅲ)如图所示,连接AC AE ,.∵22AF FB CG GB ==,, ∴BF BGAB BC=,BFG BAC △∽△,GF AC ∥, 因此,直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线AC 所成角PAC ∠, 在矩形ABCD 中,点E 为CD中点,因此AE ==,而且AC =.又PE ⊥面ABCD ,三角形PAE 为直角三角形,故5PA ==,因此在PAC △中,54PA PC AC ===,,,因此可得222cos 2PA AC PC PAC PA AC +-∠==g .【提示】(Ⅰ)通过等腰三角形PDC 可得PE CD ⊥,利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论.(Ⅱ)通过(Ⅰ)及面面垂直定理可得PE AD ⊥,则PDE ∠为二面角P AD C ∠--的平面角,利用勾股定理即得结论.(Ⅲ)连结连接AC AE ,,利用勾股定理及已知条件可得GF AC ∥,在PAC △中,利用余弦定理即得直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线FG 所成角PAC ∠的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的性质 19.【答案】(Ⅰ)单调增区间为R (Ⅱ)见解析 (Ⅲ)见解析【解析】()()()()2222e 1e 12e 1e x x x xf x x x x x x '=++=++=+Qg ,因此:(Ⅰ)求导后可得函数的导函数()()21e 0x f x x '=+≥恒成立,因此函数在(,)-∞+∞上是增函数.数学试卷 第13页(共16页) 数学试卷 第14页(共16页)故而单调增区间为R .(Ⅱ)证明:令2()(1)e 0x f x x a =+-=可得2(1)e xx a +=,设212(1)e x y x y a =+=,,对函数21(1)e xy x =+, 求导后可得21(1)e 0x y x '=+≥恒成立,因此函数21(1)e xy x =+单调递增,因此可以得到函数图像. 函数2()(1)e x f x x a =+-有零点,即方程2(1)e xx a +=有解, 亦即函数212(1)e xy x y a =+=,,图像有交点.当0x =时,11y =,因此根据函数的图像可得:212(1)e xy x y a =+=,有且只有一个交点,即2()(1)e xf x x a =+-有且只有一个零点.(Ⅲ)证明:设点P 的坐标为00(,)x y ,故而在点P 处切线的斜率为:0200()(1)e 0xf x x '=+=,01x =-,因此21,1e P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.在点M 处切线的斜率为:22()(1)e em OP f m m k a '=+==-, 因为1a >,因此20ea ->.欲证1m ≤-,即证322(1)(1)e e m m a m +≤-=+,1e m m +≤,设()e 1x g x x =--,求导后可得()e 1xg x '=-,0x =,令()e 10xg x '=-=,因此函数在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增.因此可得()(0)0g x g ≥=,所以()e 10xg x x =--≥,e 1x x ≥+,e 1m m ≥+问题得证.【提示】(Ⅰ)利用()0f x '≥,求出函数单调增区间.(Ⅱ)证明只有1个零点,需要说明两个方面:函数单调以及函数有零点. (Ⅲ)利用导数的最值求解方法证明.【考点】利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程 20.【答案】(Ⅰ)1(3,0)C(Ⅱ)2230x y x +-=,其中5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦(Ⅲ)存在34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭【解析】依题意得化成标准方程后的圆为:22(3)4x y -+=,因此:(Ⅰ)根据标准方程,圆心坐标为1(3,0)C . (Ⅱ)数形结合法:①当动线l 的斜率不存在是,直线与圆不相交. ②设动线l 的斜率为m ,因此l y mx =:, 联立22650y mxx y x =⎧⎨+-+=⎩,则22(1)650m x x +-+=根据有两个交点可得:()22224362010056151A B A B m m x x m x x m ⎧∆=-+>⇒≤<⎪⎪⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎩,故而点M 的坐标为2233,11m m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭,令223131x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,因此由此可得2230x y x +-=,其中235,313x m ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦. (Ⅲ)证明:联立2230(4)x y x y k x ⎧+-=⎨=-⎩,所以,2222(1)(83)160k x k x k +-++=因此,当直线L 与曲线相切时,可得29160k ∆=-=,解得34k =±. 设2230x y x +-=,5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的两个端点是C D 、,设直线L 恒过点(4,0)E数学试卷 第15页(共16页) 数学试卷 第16页(共16页)因此可得53C ⎛ ⎝⎭,5,3D ⎛ ⎝⎭,故而可得77CE DE k k ==-, 由图像可得当直线L 与曲线有且只有一个交点的时候,34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭.【提示】(Ⅰ)通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论(Ⅱ)设当直线l 的方程为y mx =,通过联立直线l 与圆1C 的方程,利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论. (Ⅲ)通过联立直线L 与圆1C 的方程,利用根的判别式0∆=及轨迹C 的端点与点(4,0)E 决定的直线斜率,即得结论.【考点】轨迹方程,直线与圆的位置关系 21.【答案】(Ⅰ)14(Ⅱ)1122n n T -=- (Ⅲ)见解析【解析】由给出的递推公式可得: ①当1n =时,1431a =-=②当2n ≥时,121122(1)42n n n n a a n a na --+++⋅⋅⋅+-+=-, 121212(1)42n n n a a n a --+++⋅⋅⋅+-=-, 所以12n n n na -=,112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭其中1n =也成立,因此可得11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N(Ⅰ)因此231124a ⎛⎫== ⎪⎝⎭.(Ⅱ)∵11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N ,所以数列{}n a 的公比12q =,利用等比数列的求和公式可得: 111121*********n nn n T -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-. (Ⅲ)因为()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭11b a =,1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,1233111323a a b a +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭, 123111123n n n a a a a b a n n +++⋅⋅⋅+⎛⎫=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭,因此,欲证22ln n S n <+,即证1111112122ln ln 2323n n n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅+<+⇐++⋅⋅⋅+< ⎪⎝⎭,将ln n 化简为132l n l n l n l n l n1221n n n n n -=++⋅⋅⋅++--,即证1111l n l n l n 11n n n n n n n-⎛⎫>⇐-=--> ⎪-⎝⎭, 令()ln 1g x x x =-+,所以11()1xg x x x-'=-=,因此函数在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减,因此()(1)0g x g ≤=, 又因为111n-<,因此11111()0l l n1g g x nnn n⎛⎫⎛⎫⎛-<=⇒⇒-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝, 问题得证.【提示】(Ⅰ)利用数列的递推关系即可求3a 的值.(Ⅱ)利用作差法求出数列{}n a 的通项公式,利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{}n a 的前n 项和n T .(Ⅲ)利用构造法,结合裂项法进行求解即可证明不等式.【考点】数列与不等式的综合,数列的求和。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理)真题(Word版)
绝密★启用前 试卷类型:B2015年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】数学【理科】本试题共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、 座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型【A 】填涂在答题卡相应位置 上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求做大的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏 涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡得整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x 表示样本均值.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.1、若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=,{|(4)(1)0}N x x x =--=,则MN =A 、∅B 、{}1,4--C 、{}0D 、{}1,4 2、若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 ),则z =A 、3-2iB 、3+2iC 、2+3iD 、2-3i 3、下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是A 、xe x y += B 、x x y 1+= C 、x xy 212+= D 、21x y += 4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为 A 、1 B.2111 C. 2110 D. 215 5、平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是A 、052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x6、若变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为A 、531 B. 6 C. 523 D. 4 7、已知双曲线C :12222=-by a x 的离心率e =45,且其右焦点F 2( 5 , 0 ),则双曲线C 的方程为A 、13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值A 、大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分、 【一】必做题【9-13题】9、在4)1(-x 的展开式中,x 的系数为 .10、在等差数列{n a }中,若2576543=++++a a a a a ,则82a a += . 11、设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a,b,c .若a =3,sinB=21,C=6π,则b = . 12、某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言.【用数字做答】13、已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p .若()30E X =,()20D X =,则p = .【二】选做题【14-15题,考生只能从中选做一题】14、(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-)πθρ,点A 的极坐标为A(22,47π),则点A 到直线l 的距离为 . 15.【几何证明选讲选作题】如图1,已知AB 是圆O 的直径,AB=4,EC 是圆O 的切线,切点为C , BC=1,过圆心O 做BC 的平行线,分别交EC 和AC 于点D 和点P ,则OD= . 图1三、解答题:本大题共6小题,满分80分、解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤、 16、【本小题满分12分】在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m =【22,22-】,n =【sin x ,cos x 】,x ∈【0,2π】.【1】若m ⊥n ,求tan x 的值 【2】若m 与n 的夹角为3π,求x 的值.17、【本小题满分12分】【1】用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;【2】计算【1】中样本的平均值x 和方差2s ;【3】36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人?所占的百分比是多少【精确到0.01%】? 18、【本小题满分14分】如图2,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,4PD PC ==,6AB =,3BC =.点E 是CD 边的中点,点F ,G 分别在线段AB ,BC 上,且2AF FB =,2CG GB =.【1】证明:PE FG ⊥;【2】求二面角P AD C --的正切值; 【3】求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值. 图219、【本小题满分14分】设a>1,函数a e x x f x -+=)1()(2. (1) 求)(x f 的单调区间 ;(2) 证明:)(x f 在【∞-,+∞】上仅有一个零点;(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行【O 是坐标原点】,证明:123--≤ea m 20、【本小题满分14分】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ,B . 【1】求圆1C 的圆心坐标;【2】求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;【3】是否存在实数k ,使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点:若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由. 21、【本小题满分14分】数列{}n a 满足1212242-+-=+⋅⋅⋅++n n n na a a , *N n ∈. (1) 求3a 的值;(2) 求数列{}n a 前n 项和Tn ; (3) 令11b a =,n n n a nn T b )131211(1+⋅⋅⋅++++=-【2≥n 】,证明:数列{n b }的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<。
广东省广州市2015届高三毕业班综合测试数学(理)(一)试题Word版含解析
一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为( ) A .M N B .()U M N ð C .()U MN ð D .()()U U M N 痧 【答案】B考点:集合的交集、补集运算. 2.已知向量()3,4a =,若5λ=a ,则实数λ的值为( )A .15 B .1 C .15± D .1± 【答案】D考点:1、向量的数乘运算;2、向量的模.3.若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示(如图1),其中茎为十位数,叶为个位数,则这组数据的中位数和平均数分别是( )A .91, 91.5B .91, 92C .91.5, 91.5D .91.5, 92图17432109878【答案】C 【解析】试题分析:由茎叶图知:这组数据的中位数是919291.52+=,平均数是()1888791979492909391.58x =+++++++=,故选C . 考点:1、茎叶图;2、样本的数字特征.4.直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是( )A .相交B .相切C .相离D .不能确定 【答案】A考点:直线与圆的位置关系.5.若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++>⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是( )A .()1,-+∞B .[)1,-+∞C .(),1-∞-D .(],1-∞- 【答案】A考点:线性规划.6.已知某锥体的正视图和侧视图如图2,则该锥体的俯视图可以是( )侧视图正视图222222A .B .C .D . 【答案】C考点:1、三视图;2、锥体的体积.7.已知a 为实数,则1a ≥是关于x 的绝对值不等式1x x a +-≤有解的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】B考点:1、绝对值不等式;2、充分与必要条件.8.已知i 是虚数单位,C 是全体复数构成的集合,若映射:f C →R 满足: 对任意12,z z C ∈,以及任意λ∈R , 都有()()()()()121211f z z f z f z λλλλ+-=+-, 则称映射f 具有性质P . 给出如下映射:① 1:f C →R , ()1f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R ); ② 2:f C →R , ()22f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R ); ③ 3:f C →R , ()32f z x y =+, z x y =+i (,x y ∈R ); 其中, 具有性质P 的映射的序号为( )A .① ② B.① ③ C.② ③ D.① ② ③ 【答案】B考点:1、映射;2、复数的运算;3、新定义.二、填空题(本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分) (一)必做题(9~13题)9.已知tan 2α=,则tan 2α的值为 . 【答案】43-考点:倍角的正切.10.已知e 为自然对数的底数,若曲线y x =e x 在点()1,e 处的切线斜率为 . 【答案】2e 【解析】试题分析:()1x y x e '=+,所以曲线xy xe =在点()1,e 处的切线斜率为12x k y e ='==.考点:1、导数的几何意义;2、导数的运算法则.11.已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=,则()3P X >等于 . 【答案】0.1587考点:正态分布. 12.已知幂函数()223(m m f x xm --+=∈Z )为偶函数,且在区间()0,+∞上是单调增函数,则()2f 的值为 .【答案】16考点:1、幂函数的性质;2、函数值.13.已知,n k ∈N *,且k n ≤,k C k n n =C 11k n --,则可推出C 12n +C 23n +C 3n k ++C k n n ++C (n n n =C 01n -+C 11n -++C 11k n --++C 11)n n --12n n -=⋅,由此,可推出C 122n +C 223n +C 32n k ++C 2k n n ++C n n = .【答案】()212n n n -+⋅ 【解析】 试题分析:()122232201111111C 2C 3C C C C 2C C C k n k n n n n n n n n n n k n n k n ------+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ()()()()0111121111111111C C C C C 2C 1C 1C k n k n n n n n n n n n n k n ------------⎡⎤=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦ ()()()()10122122222221C C C C 21212n k n n n n n n n n n n n n n n ----------⎡⎤⎡⎤=+-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=+-⋅=+⋅⎣⎦⎣⎦.考点:推理与证明.(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线1C 与2C 的交点的极坐标...为 .【答案】4π⎫⎪⎭考点:1、参数方程与普通方程互化;2、直角坐标与极坐标互化.15.(几何证明选讲选做题)如图3,BC 是圆O 的一条弦,延长BC 至点E ,使得22BC CE ==,过E 作圆O 的切线,A 为切点,BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ,则DE 的长为 . 图3所以D C D ∠BA =∠A ,因为AE 是圆O 的切线,所以C C ∠EA =∠BA ,因为DC D C ∠A =∠BA +∠BA ,所以DC C D C D ∠A =∠A +∠EA=∠EA ,所以D E =AE =考点:1、切割线定理;2、弦切角定理.三、解答题 (本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分12分)已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的解析式; (2)求0sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭;(2)4.考点:1、三角函数的图象与性质;2、两角和的正弦公式.17.(本小题满分12分)袋子中装有大小相同的白球和红球共7个,从袋子中任取2个球都是白球的概率为17,每个球被取到的机会均等.现从袋子中每次取1个球,如果取出的是白球则不再放回,设在取得红球之前已取出的白球个数为X.(1)求袋子中白球的个数;(2)求X的分布列和数学期望.【答案】(1)3;(2)分布列见解析,35.…………………………11分 ∴4241301237735355EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………12分 考点:1、古典概型;2、解方程;3、离散型随机变量的分布列与数学期望. 18.(本小题满分14分)如图4,在边长为4的菱形ABCD 中,60DAB ︒∠=,点E ,F 分别是边CD ,CB 的中点,ACEF O =,沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ,连接PA,PB,PD ,得到如图5的五棱锥P ABFED -,且PB =(1)求证:BD ⊥平面POA ; (2)求二面角--B AP O 的正切值.图4OFEDCB A图5【答案】(1)证明见解析;(2)3. AA考点:1、线面垂直;2、二面角;3、空间向量及坐标运算;4、同角三角函数的基本关系. 19.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的各项均为正数,其前n 项和为n S ,且满足111,1n a a +==,n ∈N *. (1)求2a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式;(3)是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值; 若不存在, 请说明理由.【答案】(1)3;(2)21n a n =-;(3)不存在正整数k ,使k a ,21k S -,4k a 成等比数列.考点:1、等差数列的通项公式;2、等比数列的性质;3、等差数列的前n 项和. 20.(本小题满分14分)已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点,直线0+=x 与椭圆1C 交于A ,B 两点,且点A 的坐标为(1),点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点,点Q 满足0AQ AP ⋅=,0BQ BP ⋅=,且A ,B ,Q 三点不共线.(1)求椭圆1C 的方程; (2)求点Q 的轨迹方程;(3)求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.【答案】(1)22142x y +=;(2)2225x y +=,除去四个点)1-,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,(),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭;(3)2,点Q 的坐标为22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.考点:1、椭圆的方程;2、双曲线的方程;3、直线与圆锥曲线;4、基本不等式;5、三角形的面积;6、动点的轨迹方程. 21.(本小题满分14分)已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. (1)若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立,求a 的取值范围;(2)已知e 为自然对数的底数,证明:∀n ∈N *22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <. 【答案】(1)[)1,+∞;(2)证明见解析.考点:1、用导数判断函数的单调性;2、参数的取值范围;3、用导数证明不等式;4、放缩法.。
2015年广东高考数学理科卷带详解
2015年高考数学广东卷(理科)一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1. (15广东高考)若{|(4)(1)0}M x x x =++=,{|(4)(1)0}N x x x =--=,则M N =( )A. ∅B. {1,4}--C. {0}D. {1,4} 【参考答案】 A【测量目标】 一元二次方程、集合的基本运算.【试题分析】 因为{|(4)(1)0}M x x x =++=={4,1}--,{|(4)(1)0}N x x x =--=={1,4},所以M N =∅,故选A.2. (15广东高考)若复数i(32i)z =- (i 是虚数单位),则z =( )A. 3-2iB. 3+2iC. 2+3iD. 2-3i【参考答案】 D【测量目标】 复数的基本运算.【试题分析】 因为i(32i)23i z =-=+,所以23i z =-,故选D. 3. (15广东高考)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )A. e xy x =+ B. 1y x x =+C. 122xx y =+ D. y =【参考答案】 A【测量目标】 函数的奇偶性.【试题分析】 令()e x f x x =+,则(1)1e f =+,1(1)1e f --=-+即(1)(1)f f -≠,(1)(1)f f -≠-,所以e x y x =+既不是奇函数也不是偶函数,而B 、C 、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数,故选A.4. (15广东高考)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( ) A.521 B. 1021 C. 1121D. 1 【参考答案】 B【测量目标】 排列组合、古典概型的计算.【试题分析】 从袋中任取2个球共有215C 105=种,其中恰好1个白球1个红球共有11105C C 50=种,所以恰好1个白球1个红球的概率为501010521=,故选B. 5. (15广东高考)平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是( )A. 20x y -=或20x y -=B. 20x y +=或20x y += C. 250x y -+=或250x y --= D. 250x y ++=或250x y +-= 【参考答案】 D【测量目标】 直线与圆的位置关系.【试题分析】 设所求切线方程为20x y c ++==5c =±,所以所求切线的直线方程为250x y ++=或250x y +-=,故选D.6. (15广东高考)若变量x ,y 满足约束条件4581302x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤则32z x y =+的最小值为( )A.315 B. 6 C.235D.4 【参考答案】 C【测量目标】 二元一次不等式的线性规划问题.【试题分析】 不等式所表示的可行域如下图所示, 由32z x y =+得322z y x =-+,依题当目标函数直线l : 322z y x =-+经过41,5A ⎛⎫⎪⎝⎭时,z 取得最小值即min 42331255z =⨯+⨯=,故选C.第6题图7. (15广东高考)已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率54e =,且其右焦点()25,0F ,则双曲线C 的方程为( )A.22143x y -= B. 221169x y -= C. 221916x y -= D. 22134x y -= 【参考答案】 B【测量目标】 双曲线的标准方程及其简单基本性质.【试题分析】 因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为54c e a ==,所以5c =,4a =,2229b c a =-=所以所求双曲线方程为221169x y -=,故选B.8. (15广东高考)若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值( ) A. 大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 【参考答案】 C【测量目标】 空间想象能力、推理能力. 【试题分析】 正四面体的四个顶点是两两距离相等的,即空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值至多等于4,故选C.二、填空题:本大题共7个小题,考生作答6小题,每小题5分,共30分. (一) 必做题(9~13题) 9. (15广东高考)在)41的展开式中,x 的系数为______________.【参考答案】 6【测量目标】 二项式定理. 【试题分析】由题可知()414C1rrr r T -+=-=()424C1r rr x--,令412r-=解得2r =,所以展开式中x 的系数为()224C 1-=6,故应填入6. 10. (15广东高考)在等差数列{}n a 中,若3456725a a a a a ++++=,则28a a +=_____________.【参考答案】 10【测量目标】 等差数列的性质.【试题分析】 因为{}n a 是等差数列,所以37462852a a a a a a a +=+=+=,345675525a a a a a a ++++==即 55a =,285210a a a +==,故应填入10.11. (15广东高考)设ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =1sin 2B =,π6C =,则b =_______________. 【参考答案】 1【测量目标】 正弦定理解三角形. 【试题分析】 因为1sin 2B =且()0,πB ∈,所以π6B =或5π6B =,又π6C =,所以π6B =, πA BC =--=2π3,又a =sin sin a b A B =即2πsin3=πsin 6b解得1b =,故应填入1.12. (15广东高考)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了_______________条毕业留言.(用数字作答) 【参考答案】 1560【测量目标】 排列组合问题.【试题分析】 依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数,所以全班共写了240A 40391560=⨯=条毕业留言,故应填入1560.13. (15广东高考)已知随机变量X 服从二项分布B (),n p ,若E (X )=30,D (X )=20,则p =__________.【参考答案】13【测量目标】 二项分布的性质.【试题分析】 依题可得E (X )=np =30且D (X )=(1)np p -=20,解得13p =,故应填入13. (二) 选做题(14~15题,考生从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)(15广东高考)已知直线l 的极坐标方程为π2sin 4ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=,点A 的极坐标为7π,4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则点A 到直线l 的距离为_______________.【参考答案】2【测量目标】 极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离.【试题分析】 依题已知直线l :π2sin 4ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭=和点7π,4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭可化为l :10x y -+=和(2,2)A -,所以点A 与直线l 的距离为d =2. 15.(几何证明选讲选做题)(15广东高考)如图,已知AB 是圆O 的直径,AB =4,EC 是圆O 的切线,切点为C , 1BC =,过圆心O 做BC 的平行线,分别交EC 和AC 于点D 和点P ,则OD =_________________.第15题图【参考答案】 8【测量目标】 直线与圆、直角三角形的射影定理. 【试题分析】 如图所示,第15题图连接OC ,因为OD BC ∥,又BC AC ⊥,所以OP AC ⊥,又O 为AB 线段的中点,所以1122OP BC ==,在Rt OCD △中,12OC =2AB =,由直角三角形的射影定理可得2OC OP OD =⋅,222812OC OD OP===,故应填入8. 三 、解答题:本大题共6个小题,满分80分. 16. (15广东高考)(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m=,n =(sin x ,cos x ),x ∈(0,π2). (1)若m ⊥n ,求tan x 的值; (2)若m 与n 的夹角为π3,求x 的值. 【测量目标】(1)向量数量积的坐标运算;(2)两角和差公式的逆用、知角求值、值知求角等问题.【试题分析】 (1)∵m=22-(),n =(sin x ,cos x )且m ⊥n , ∴m ·n=(22-⋅(sin x ,cos x )=2sin x-2cos x =sin (x -π4),又x ∈(0,π2), ∴x -π4∈ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭,∴x -π4=0即x =π4,∴tan x =tan π4=1; (2)由(1)依题知cos π3=⋅⋅m n m nπsin()x -(π4x -), ∴sin (π4x -)=12又π4x -∈(-π4,π4), ∴π4x -=π6即5π12x =.17. (15广东高考)(本小题满分12分)(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的平均值x和方差2s;(3)36名工人中年龄在x-s与x+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?【测量目标】(1)系统抽样;(2)样本的均值与方差;(3)样本数据统计等知识.【试题分析】(1)依题所抽样本编号是一个首项为2,公差为4的等差数列,故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37;(2)由(1)可得其样本的均值为x1[44409=++364336++37444337]40++++=,方差为2s19=[()()2244404040-+-+ 222(3640)(4340)(3640)-+-+-23740+-()2244404340+-+-()()2+-(3740)]=1 9[22224+043+-++()2222243433-+-+++-()()()]=1009;(3)由(2)知s10=3,∴x-s=3623,x+s=4313,年龄在x-s与x+s之间共有23人,所占百分比为2336≈63.89%.18. (15广东高考)(本小题满分14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F、G分别在线段AB、BC上,且AF=2FB,CG=2GB.证明:(1)PE⊥FG;(2)求二面角P-AD-C的正切值;(3)求直线P A与直线FG所成角的余弦值.第17题图【测量目标】(1) 直线与直线垂直的判定;(2)二面角的正切值;(3)异面直线所成角的余弦值.【试题分析】(1)证明:∵PD =PC 且点E 为CD 的中点,∴PE ⊥DC ,又平面PDC ⊥平面ABCD ,且平面PDC 平面ABCD =CD ,PE ⊂平面PDC , ∴PE ⊥平面ABCD ,又FG ⊂平面ABCD , ∴PE ⊥FG .(2)∵ABCD 是矩形,∴AD ⊥DC ,又平面PDC ⊥平面ABCD ,且平面PDC 平面ABCD =CD ,AD ⊂平面ABCD , ∴AD ⊥平面PDC ,又CD 、PD ⊂平面PDC ∴AD ⊥DC ,AD ⊥PD ,∴∠PDC 即为二面角P -AD -C 的平面角,在Rt △PDE 中,PD =4,DE =12AB =3,PE =∴tan ∠PDC =PE DE 即二面角P -AD -C ; (3)如图所示,连接AC第18题图∵AF =2FB ,CG =2GB 即AF CGFB GB==2 ∴AC ∥FG ,∴∠P AC 为直线P A 与直线FG 所成角或其补角,在△P AC 中,P A ==5,AC ==,由余弦定理可得cos ∠P AC =2222PA AC PC PA AC +-⋅=25,∴直线P A 与直线FG .设a >1,函f (x )=2+e xx a -(1). (1)求()f x 的单调区间;(2)证明:()f x 在(-∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点M (m ,n )处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点),证明:1m . 【测量目标】(1)利用导数求函数的单调区间;(2)函数的零点问题;(3)直线与曲线的位置关系. 【试题分析】(1)依题2()(1)e x f x x ''=+22(1)(e )(1)e 0x x x x '++=+≥. ∴()f x 在(-∞,+∞)上是单调增函数; (2)证明:∵1a >,∴(0)10f a =-<且22()(1)e 10a f a a a a a =+->+->, ∴()f x 在(0,)a 上有零点又由(1)知()f x 在(-∞,+∞)上是单调增函数, ∴()f x 在(-∞,+∞)上仅有一个零点; (3)由(1)知令()0f x '=得x =-1,又2(1)e f a -=-,即2(1,)eP a --, ∴22e 10eop a k a --==---,又2()(1)e m f m m '=+,∴22(1)e emm a +=-,令()e 1m g m m =--,则()e 1mg m '=-,∴由()g m '>0得m >0,由()g m '<0得0m <, ∴函数()g m 在(,0-∞)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, ∴min ()(0)0g m g ==,即()0g m ≥在R 上恒成立, ∴e 1mm +≥,∴22(1)e e m a m -=+≥23(1)(1)(1)m m m ++=+m 1+,∴1m .已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ,B. (1)求圆1C 的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线L :(4)y k x =-与曲线C 只有一个交点:若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.【测量目标】(1)圆的标准方程;(2)轨迹方程;(3)直线的斜率,数形结合思想. 【试题分析】 (1)由22650x y x +-+=得22(3)4x y -+=, ∴圆1C 的圆心坐标为(3,0);(2)设M (x ,y ),则∵点M 为弦AB 中点,即1C M AB ⊥, ∴1C M AB k k ⋅=-1即3y yx x⋅-=-1, 令y kx =为直线l 方程,则l 与圆1C 相切时22(1)650k x x +-+=∆=-202160k += , ∴k =代入圆1C 方程有2246505x x x +-+=,[]1,5x ∈ ∴53x =, ∴M 点轨迹方程中5(,3]3x ∈,∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为2239()24x y -+= 5(,3]3x ∈.(3)由(2)知点M 的轨迹是以3(,0)2C 为圆心32r =为半径的部分圆弧EF (如图所示,不包括两端点),第20题图且55(,(,3333E F -,又直线L :(4)y k x =-过定点(4,0)D ,当直线L 与圆C相切时,由32=得34k =±,又0(35743DE DF k k -=-=-=-,结合上图可知33,4477k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦ 时,直线L :(4)y k x =-与曲线C 只有一个交点.21. (15广东高考)(本小题满足14分) 数列{}n a 满足1212242n n n a a na -++++=- ,*n ∈N . (1)求3a 的值;(2)求数列{}n a 前n 项和n T ; (3)令11b a =,1111123n n n T b a n n -⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭(2n ≥),证明{}n b 的前n 项和n S ,满足2+2ln n S n <.【测量目标】(1)递推数列求某一项的值;(2)等比数列前n 项和;(3)数列与不等式比较大小,放缩法.【试题分析】(1) 依题3312312(23)(2)a a a a a a =----=3121322234(4)224--++---=, ∴314a =; (2)依题当n >1时,n n a =(122n a a na +++ )-(1212(1)n a a n a -+++- )=4-122n n -+-(4-212n n -+)=12n n-, ∴ 11()2n n a -=,又101242a +=-=1也适合此式,∴ 11()2n n a -=,∴数列{}n a 是首项为1,公比为12的等比数列,故11()2112nn T -=-=2-11()2n -;(3)依题由12111(1+++)2n n n a a a b a n n -+++=+ 知11b a =,1221(1)22a b a =++, 123311(1)323a ab a +=+++,∴ 12n n S b b b =+++ =(111+++2n )(12n a a a +++ )=(111+++2n)n T =(1112n +++ )(1122n --)<112(1)2n⨯+++ , 记1()ln 1(1)f x x x x =+->,则22111()0x f x x x x-'=-=> ∴()f x 在(1,+∞)上是增函数,又(1)0f =即()0f x >,又2k ≥且k +∈N 时,1k k ->1 ∴1()ln 10111kkf k k k k =+->---即ln 1kk ->1k ,12131ln ,ln ,,ln ,21321nn n <<<- 即有11123ln ln ln 23121nn n +++<+++- =ln n , ∴1112(1)23n ⨯++++ 22ln n <+,即22ln n S n <+ .。
2015年高考理科数学广东卷-答案
1+ (-x )21+ x 2 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)答案解析一、选择题1. 【答案】D【解析】由题意可得M ={ -1, -4},N = {1, 4},M N = ∅ .【提示】求出两个集合,然后求解交集即可. 【考点】交集及其运算2. 【答案】B【解析】由题意可得 z = i(3 - 2i) = 2 - 3i ,因此 z = 2 + 3i . 【提示】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可. 【考点】复数的基本计算以及共轭复数的基本概念3. 【答案】D【解析】A 选项, f (-x ) = = = f (x ) ,偶函数;B 选项, f (-x ) = -x + 1 = -⎛ x + 1 ⎫ = - f ( x ) ,奇函数;-x x ⎪ ⎝ ⎭C 选项, f (-x ) = 2- x+ 1 2- x= 1 + 2x = f (x ),偶函数; 2x D 选项, f (-x ) = -x + e - x = -x + = 1e x≠ f (x ) ≠ - f (x ) ,因此选 D .【提示】直接利用函数的奇偶性判断选项即可. 【考点】函数的奇偶性的判定4. 【答案】B【解析】任取两球一共有C 2=15⨯14= 15⨯ 7 种情况,其中一个红球一个白球一共有C 1 C 1 = 10 ⨯ 5 ,15因此概率为10 ⨯ 5 = 10. 15 ⨯ 7 211⨯ 210 5【提示】首先判断这是一个古典概型,从而求基本事件总数和“所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球” 事件包含的基本事件个数,容易知道基本事件总数便是从 15 个球任取 2 球的取法,而在求“所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球”事件的基本事件个数时,可利用分步计数原理求解,最后带入古典概型的概率公式即可.【考点】古典概型及其概率计算公式5. 【答案】A⎝ ⎭【解析】与直线2x + y +1= 0 平行的直线可以设为2x + y + m = 0 ,= 5 ,∴| m |= 5 ,解得m = ±5 ,因此我们可以得到直线方程为: 2x + y + 5 = 0 或2x + y - 5 = 0 .【提示】设出所求直线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出直线方程中的变量,即可求出直线方程. 【考点】解析几何中的平行,圆的切线方程6. 【答案】B【解析】依据题意,可行域如右图所示,初始函数为l :y =- 3x ,0 2当l 0 逐渐向右上方平移的过程中, z = 3x + 2y 不断增大,⎛ 4 ⎫23 因此我们可以得到当l 过点 E 1, 5 ⎪ 的时候, z min = 5 .【提示】作出不等式组对应的平面区域,根据 z 的几何意义,利用数形结合即可得到最小值. 【考点】线性规划问题7. 【答案】Cx 2 y 2c 5 【解析】已知双曲线C : - = 1,e = = , a 2 b2a 4 又由焦点为 F (5, 0) ,因此c = 5 ⇒ a = 4c = 4 ⇒ b = 3 ,2因此双曲线方程为 x 5 y 2 - = 1 .16 9【提示】利用已知条件,列出方程,求出双曲线的几何量,即可得到双曲线方程. 【考点】圆锥曲线的离心率求解问题8. 【答案】B22 +12 c 2 - a 2 24 4 2【解析】解:考虑平面上,3 个点两两距离相等,构成等边三角形,成立; 4 个点两两距离相等,由三角形的两边之和大于第三边,则不成立;n 大于 4,也不成立;在空间中,4 个点两两距离相等,构成一个正四面体,成立;若 n > 4 ,由于任三点不共线,当 n = 5 时,考虑四个点构成的正四面体,第五个点,与它们距离相等,必为正四面体的外接球的球心,由三角形的两边之和大于三边,故不成立; 同理 n > 5 ,不成立. 故选:B .【提示】先考虑平面上的情况:只有三个点的情况成立;再考虑空间里,只有四个点的情况成立,注意运用外接球和三角形三边的关系,即可判断. 【考点】棱锥的结构特征 二、填空题9. 【答案】6【解析】展开通式为C m-1(x )m (-1)4-m ,令m = 2 可得Cm -1(x )m (-1)4-m = C 1 ( x )2 (-1)4-2 = 4x ,因此系数为 6. 44【提示】根据题意二项式( -1)4 的展开的通式为C m -1 ( x )m (-1)4-m ,分析可得, m = 2 时,有 x 的项,将m = 2 代入可得答案. 【考点】二项式定理的运用10. 【答案】10【解析】根据等差中项可得: a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 = 5a 5 = 25 , a 5 = 5 ,因此a 2 + a 8 = 2a 5 = 10 .【提示】根据等差数列的性质,化简已知的等式即可求出 a 5 的值,然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后,将a 5 的值代入即可求出值. 【考点】等差中项的计算11. 【答案】1【解析】由sin B = 1 ,得 B = π 或者 B = 5π ,2 6 6又因为C = π ,因此 B = π , A = 2π,6 6 3 根据正弦定理可得 a= bb = asin B =3 1 = 1. sin A sin B sin A 3x 23 【提示】由sin B= 1 ,可得 B = π 或者 B = 5π ,结合a = , C = π及正弦定理可求b .2 6 6 6【考点】正弦定理,两角和与差的正弦函数12. 【答案】1560【解析】某高三毕业班有 40 人,每人给彼此写一条留言,因此每人的条数为 39,故而一共有40⨯ 39 =1560 条留言.【提示】通过题意,列出排列关系式,求解即可. 【考点】排列与组合的实际应用 13. 【答案】 13【解析】根据随机变量 X 服从二项分布 B (n , p ) ,根据 E (X ) = np = 30,D (X ) = np (1- p ) = 20 ,可得1- p =D ( X ) = 2,化简后可得 p = 1 . E ( X ) 3 3【提示】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可.【考点】离散型随机变量的期望与方差 14. 【答案】 5 22 【解析】考察基本的极坐标和直角坐标的化简以及点到直线距离问题.由2ρ sin ⎛θ -π ⎫ =可得直线l 的4 ⎪ ⎝ ⎭ 直角坐标系方程为 x - y -1 = 0,由 A ⎛2 2, 7 π⎫ 可得它的直角坐标为 A (2, -2) , 4 ⎪ ⎝ ⎭ 因此,点A 到直线l 的距离为 d =| 2 + 2 + 1| = 5 2. 22【提示】把极坐标方程转化为直角坐标方程,然后求出极坐标表示的直角坐标,利用点到直线的距离求解即可. 【考点】简单曲线的极坐标方程15. 【答案】8【解析】连接OC ,根据△AOC 为等腰三角形可得∠CAO = ∠ACO ,又因为 AB 为直径,2m n = sin ⎛ x - π ⎫= |m | |n |cos π = 1 4 ⎪ ⎝ ⎭3 2 因此可得∠CAO + ∠B = 90︒ , ∠ACO + ∠B = 90︒ , ∵OP ∥BC ∴ AC ⊥ OP ,∠ACO + ∠COP = 90︒ , 因此可得∠COP = ∠B ,因此Rt △DOC ∽Rt △ABC ,故而可得 OD = OC = 2,∴ OD = 8 .AB BC 1【提示】连接 OC , 根据△AOC 为等腰三角形可得 ∠CAO = ∠ACO , AB 为直径以及 OP ∥BC 得出R t △D O C ∽t ABC 即可求出OD 的值.【考点】相似三角形的判定 三、解答题 16. 【答案】(Ⅰ)tan x =1 (Ⅱ) x = 5π12⎛ 2 2 ⎫ m n = , - (sin x , c os x ) =2 sin x - 2 cos x = sin ⎛ x - π ⎫【解析】∵ m ⊥ n , 2 2 ⎪2 2 4 ⎪ , ⎝ ⎭⎝ ⎭∴|m | =1, |n | =1,因此:(Ⅰ)若m ⊥ n ,可得m n = sin ⎛ x - π ⎫= 0 ,4 ⎪ ⎝ ⎭∴x - π = k π ⇒ x = π+ k π , 4 4 又∵ x ∈⎛ 0, π ⎫ , k = 0,x = π ,2 ⎪ 4 ⎝ ⎭因此可得tan x = tan π= 1 .4(Ⅱ)若m 和 n的夹角为 π ,可得 , 3 ∴ x - π = π + 2k π 或 x - π = 5π+ 2k π ,4 6 4 6 又∵ x ∈⎛ 0, π ⎫ ,∴ ⎛ x - π ⎫∈⎛ - π , π ⎫ , 2 ⎪ 4 ⎪ 4 4 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ∴ x - π = π ,解得 x = 5π .4 6 12【提示】(Ⅰ)若m ⊥ n ,则m n = 0 ,结合三角函数的关系式即可求tan x 的值.(Ⅱ)若m 和 n 的夹角为 π,利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求 x 的值.3【考点】平面向量数量积的运算,数量积表示两个向量的夹角 17.【答案】(Ⅰ) 44, 40, 36, 43, 36, 37, 44, 43, 37s 2 100 9 (Ⅱ) x = 40 s 2 =100 9 (Ⅲ)23 人 63.89% .【解析】(Ⅰ)根据系统抽样的方法,抽取 9 个样本,因此分成 9 组,每组 4 人.又因为第一组中随机抽样可抽到 44,因此按照现有的排序分组.故而每组中抽取的都是第二个数,因此我们可得样本数据为第 2 个, 第 6 个,第 10 个,第 14 个,第 18 个,第 22 个,第 26 个,第 30 个,第 34 个, 分别为: 44, 40, 36, 43, 36, 37, 44, 43, 37(Ⅱ)由平均值公式得 x =44 + 40 + 36 + 43 + 36 + 37 + 44 + 43 + 37 = 40 ,9由方差公式得s 2 = 1 ⎡⎣(x - x )2 + (x - x )2 + ⋅⋅⋅ + (x - x )2 ⎤⎦ = (44 - 40)2 + (40 - 40)2 +L + (37 - 40)2 = 100 . 9 1 2 9 9(Ⅲ) s = = = 10,因此可得 x - s = 36 2,x + s = 431 ,3 3 3 因此在 x - s 和 x + s 之间的数据可以是44, 40, 36, 43, 36, 37, 44, 43, 37 ,因此数据一共有 23 人,占比为 23⨯100% ≈ 63.89%.36【提示】(Ⅰ)利用系统抽样的定义进行求解即可.(Ⅱ)根据均值和方差公式即可计算(Ⅰ)中样本的均值 x 和方差 s 2 . (Ⅲ)求出样本和方差即可得到结论. 【考点】极差,方差与标准差,分层抽样方法18. 【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) 73 (Ⅲ) 9 5.25【解析】(Ⅰ)证明:由 PD = PC 可得三角形 PDC 是等腰三角形, 又因为点 E 是CD 边的中点,因此可得 PE ⊥ CD ,又因为三角形PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,而且相交于 CD ,因此 PE ⊥ 平面 ABCD ,又因为 FG 在平面 ABCD 内,因此可得 PE ⊥ FG ,问题得证. (Ⅱ)因为四边形 ABCD 是矩形,因此可得 AD ⊥ CD , 又因为 PE ⊥平面 ABCD ,故而 PE ⊥ AD , 又 PE I CD = E ,因此可得 AD ⊥平面 PDC ,2 AD 2 + CD 2 5 5 因此 AD ⊥ PD , AD ⊥ CD ,所以∠P - AD - C = ∠PDE .在等腰三角形 PDC 中, PD = 4,CD = AB = 6 , DE = 1CD = 3 .2 因此可得 PE == 7 ,故而可得tan ∠PDE = PE = 7. DE 3(Ⅲ)如图所示,连接 AC ,AE .∵AF = 2FB ,CG = 2GB , ∴ BF = BG, △BFG ∽△BAC , GF ∥AC , AB BC因此,直线 PA 与直线 FG 所成角即为直线 PA 与直线 AC 所成角∠PAC , 在矩形 ABCD 中,点 E 为CD 中点,因此 AE = = 3 ,而且 AC = = 3 .又 PE ⊥面 ABCD ,三角形 PAE 为直角三角形,故 PA = = 5,因此在△PAC 中, PA = 5,PC = 4,AC = 3 , PA 2 + AC 2 - PC 29因此可得cos ∠PAC ==5 . 2PA AC 25【提示】(Ⅰ)通过等腰三角形 PDC 可得 PE ⊥ CD ,利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论. (Ⅱ)通过(Ⅰ)及面面垂直定理可得 PE ⊥ AD ,则∠PDE 为二面角∠P - AD - C 的平面角,利用勾股定理即得结论.(Ⅲ)连结连接 AC ,AE ,利用勾股定理及已知条件可得GF ∥AC ,在△PAC 中,利用余弦定理即得直线PA 与直线 FG 所成角即为直线 PA 与直线 FG 所成角∠PAC 的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的性质19. 【答案】(Ⅰ)单调增区间为R(Ⅱ)见解析 (Ⅲ)见解析【解析】 f '(x ) = 2x e x + (1+ x 2 )e x = (1+ 2x + x 2 )e x = (x +1)2e x ,因此: PD 2 - CE 2AD 2 + DE 2 PE 2 + AE 210 (Ⅰ)求导后可得函数的导函数 f '( x ) = ( x +1)2e x ≥ 0 恒成立,因此函数在(-∞,+∞) 上是增函数.故而单调增区间为R .(Ⅱ)证明:令 f (x ) = (1+ x 2 )e x - a = 0 可得(1 + x 2 )e x= a ,设 y = (1+ x 2 )e x ,y = a ,对函数 y = (1 + x 2 )e x,121求导后可得 y ' = (x +1)2 e x ≥ 0 恒成立,因此函数 y 1 = (1 + x )e 单调递增,因此可以得到函数图像. 2 x函数 f (x ) = (1 + x 2 )e x - a 有零点,即方程(1 + x 2 )e x= a 有解,亦即函数 y = (1+ x 2 )e x,y = a ,图像有交点.12当 x = 0 时, y =1,因此根据函数的图像可得: y = (1+ x 2 )e x,y = a 有且只有一个交点,1 1 2即 f (x ) = (1 + x 2 )e x- a 有且只有一个零点.(Ⅲ)证明:设点 P 的坐标为(x 0 , y 0 ) ,故而在点 P 处切线的斜率为: f '(x 0 ) = (x 0 +1)2 e x0 = 0 , x = -1,因此 P ⎛ -1, 2 -1⎫ . e ⎪ ⎝ ⎭在点 M 处切线的斜率为: f '(m ) = (m +1)2 e m = k = a - 2 , e因为a >1 ,因此a - 2> 0 .e欲证m1 ,即证(m +1)3 ≤ a -2 = (m +1)2 e m , m +1≤ e m , e 设 g (x ) = e x - x -1 ,求导后可得 g '(x ) = e x-1 , x = 0 ,令 g '(x ) = e x-1 = 0 ,因此函数在(-∞,0) 上单调递减,在(0, +∞) 上单调递增.因此可得 g (x ) ≥ g (0) = 0 ,所以 g (x ) = e x - x -1 ≥ 0 , e x ≥ x +1, e m ≥ m +1问题得证.【提示】(Ⅰ)利用 f '(x ) ≥ 0 ,求出函数单调增区间.(Ⅱ)证明只有 1 个零点,需要说明两个方面:函数单调以及函数有零点. (Ⅲ)利用导数的最值求解方法证明.OP3 ⎥ ⎩⎨ 3 ⎥ ⎩3 ⎥ 【考点】利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程 20.【答案】(Ⅰ) C 1 (3,0)2 2x ∈⎛ 5 ⎤(Ⅱ) x + y - 3x = 0 ,其中 ,3 ⎝ ⎦(Ⅲ)存在k ⎛ 2 5 2 5 ⎫ ⎧ 3 ⎫∈ - 7 , 7 ⎪ U ⎨± 4 ⎬ ⎝⎭ ⎩ ⎭【解析】依题意得化成标准方程后的圆为: (x - 3)2 + y 2= 4 ,因此:(Ⅰ)根据标准方程,圆心坐标为C 1 (3,0) .(Ⅱ)数形结合法:①当动线l 的斜率不存在是,直线与圆不相交. ②设动线l 的斜率为m ,因此l :y = mx ,⎧ y = mx联立⎨x 2 + y 2 - 6x + 5 = 0 ,则(1+ m 2 )x 2- 6x + 5 = 0⎧∆ = 36 - 20(m 2 + 1) > 0 ⇒ 0 ≤ m 2 < 4 ⎪ ⎪ 根据有两个交点可得: ⎪x ⎪A + xB 5 = 6 ,m 2 + 1 ⎪ ⎪⎩x A g x B =5m 2 + 1 故而点 M 的坐标为⎛ 3 , 3m ⎫ ,m 2+1 m 2 +1⎪⎧x = ⎪ 令⎨ ⎪ y = ⎪⎩ ⎝ ⎭3 m 2 + 1 3m ,m 2+ 12 2 x =3 ∈⎛ 5 ⎤ 因此由此可得 x + y - 3x = 0 ,其中 m 2 +1 ,3 . ⎝ ⎦⎧x 2 + y 2 - 3x = 0(Ⅲ)证明:联立⎨ y = k (x - 4) ,所以, (k 2 +1)x 2 - (8k 2 + 3)x +16k 2= 0因此,当直线 L 与曲线相切时,可得∆ = 9 -16k 2 = 0 ,解得k =± 3.42 2x ∈⎛ 5 ⎤设 x + y - 3x = 0 , ,3 的两个端点是C 、D , ⎝ ⎦⎝ ⎭ 2 32 设直线 L 恒过点 E (4,0)C ⎛ 5 , 2 5 ⎫D ⎛ 5 , - 2 5 ⎫因此可得 3 3 ⎪ , 3 3 ⎪ , ⎝ ⎭ ⎝ ⎭故而可得k =2 5 ,k = - 2 5,CE7 DE7由图像可得当直线 L 与曲线有且只有一个交点的时候,k ⎛ 2 5 2 5 ⎫ ⎧ 3 ⎫∈ - 7 , 7 ⎪ U ⎨± 4 ⎬ . ⎝ ⎭ ⎩ ⎭【提示】(Ⅰ)通过将圆C 1 的一般式方程化为标准方程即得结论(Ⅱ)设当直线l 的方程为 y = mx ,通过联立直线l 与圆C 1 的方程,利用根的判别式大于 0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论.(Ⅲ)通过联立直线 L 与圆C 1 的方程,利用根的判别式∆= 0 及轨迹C 的端点与点 E (4,0) 决定的直线斜率,即得结论.【考点】轨迹方程,直线与圆的位置关系21.【答案】(Ⅰ) 14 (Ⅱ)T n = 2 - 12n -1(Ⅲ)见解析【解析】由给出的递推公式可得: ①当n =1 时, a 1 = 4 - 3 =1②当n ≥ 2 时, a + 2a+ ⋅⋅⋅ + (n -1)a + na = 4 -n + 2,12n -1na + 2a + ⋅⋅⋅ + (n -1)a= 4 -n +1, 2n -112n -12n -2n⎛ 1 ⎫n -1所以na n = 2n -1 , a n = 2 ⎪其中n =1 也成立,因此可得a n⎛ 1 ⎫n -1= ⎪ ⎝⎭(n ∈ N * )⎛ 1 ⎫2(Ⅰ)因此a = ⎪ ⎝⎭ = 1. 411 / 11 2 n n n n n n n n(Ⅱ)∵ a n ⎛ 1 ⎫n -1 = ⎪ ⎝ ⎭ (n ∈ N * ) , 所以数列{a }的公比q = 1 ,利用等比数列的求和公式可得:n 2⎡ ⎛ 1 ⎫n ⎤1⨯⎢1- 2 ⎥ n T = ⎢⎣ ⎝ ⎭ ⎥⎦ ⎡ ⎛ 1 ⎫⎤ 1 . n 1 2 ⎢1- 2 ⎪⎥ = 2 - 2n -11- ⎣ 2 ⎝ ⎭⎦ (Ⅲ)因为b = T n -1 + ⎛1+ 1 + 1 + ⋅⋅⋅ + 1 ⎫ a (n ≥ 2) n n 2 3 n ⎪ n⎝ ⎭ b = a , b = a 1 + ⎛1+ 1 ⎫ a , b = a 1 + a 2 + ⎛1+ 1 + 1 ⎫a ,1 12 2 2 ⎪ 23 3 2 3 ⎪ 3 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ b = a 1 + a 2 + a 3 + ⋅⋅⋅ + a n + ⎛1+ 1 + 1 + ⋅⋅⋅ + 1 ⎫ a , n n 2 3 n ⎪ n ⎝ ⎭ 因此,欲证 S < 2 + 2ln n ,即证 ⎛ + 1 + 1 + ⋅⋅⋅ + 1 ⎫ < 2 + 2ln n ⇐ 1 + 1 + ⋅⋅⋅ + 1 < ln n , n 2 1 2 3 n ⎪ 2 3 n ⎝ ⎭ n n -1 3 2 ln n > 1 ⇐ -ln n -1 = - ⎛ 1 ⎫ 1 将ln n 化简为ln n = ln + ln + ⋅⋅⋅ + ln + ln ,即证 n -1 n - 2 2 1 令 g (x ) = ln x - x +1,所以 g '(x ) = 1 -1 = 1- x ,x x n -1 n n ln 1- ⎪ > , ⎝ ⎭ 因此函数在(0,1) 上单调递增,在 (1, +∞) 上单调递减,因此 g (x ) ≤ g (1) = 0 , 1 ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 1 ⎛ 1 ⎫ 1 又因为1 - < 1 ,因此 g 1- ⎪ < g (x ) = 0 ⇒ l ⇒ ln 1- ⎪ - (1- ) +1 < 0 ⇒ -ln 1- ⎪ > , ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 问题得证. 【提示】(Ⅰ)利用数列的递推关系即可求a 3 的值.(Ⅱ)利用作差法求出数列{a n }的通项公式,利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{a n } 的前n 项和T n .(Ⅲ)利用构造法,结合裂项法进行求解即可证明不等式.【考点】数列与不等式的综合,数列的求和。
2015年广东省高考数学试卷(理科)含解析
2015年广东省高考数学试卷(理科)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(5分)(2015•广东)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x﹣4)(x﹣1)=0},则M∩N=()A.{1,4} B.{﹣1,﹣4} C.[0} D.∅2.(5分)(2015•广东)若复数z=i(3﹣2i)(i是虚数单位),则=()A.2﹣3i B.2+3i C.3+2i D.3﹣2i3.(5分)(2015•广东)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=B.y=x+C.y=2x+D.y=x+e x4.(5分)(2015•广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为()A.B.C.D.15.(5分)(2015•广东)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B.2x+y+=0或2x+y﹣=0C.2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D.2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06.(5分)(2015•广东)若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为()A.4B.C.6D.7.(5分)(2015•广东)已知双曲线C:﹣=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.﹣=1 B.﹣=1C.﹣=1D.﹣=18.(5分)(2015•广东)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值()A.至多等于3 B.至多等于4 C.等于5 D.大于5二、填空题(本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.)(一)必做题(11~13题)9.(5分)(2015•广东)在(﹣1)4的展开式中,x的系数为.10.(5分)(2015•广东)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=.11.(5分)(2015•广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b=.12.(5分)(2015•广东)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)13.(5分)(2015•广东)已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则P=.14.(5分)(2015•广东)已知直线l的极坐标方程为2ρsin(θ﹣)=,点A的极坐标为A(2,),则点A到直线l的距离为.15.(2015•广东)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1.过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于D和点P,则OD=.三、解答题16.(12分)(2015•广东)在平面直角坐标系xOy中,已知向量=(,﹣),=(sinx,cosx),x∈(0,).(1)若⊥,求tanx的值;(2)若与的夹角为,求x的值.17.(12分)(2015•广东)某工厂36名工人年龄数据如图:工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 9 404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值和方差s2;(3)36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人?所占百分比是多少(精确到0.01%)?18.(14分)(2015•广东)如图,三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点E是CD的中点,点F、G分别在线段AB、BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角P﹣AD﹣C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.19.(14分)(2015•广东)设a>1,函数f(x)=(1+x2)e x﹣a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明f(x)在(﹣∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP 平行,(O是坐标原点),证明:m ≤﹣1.20.(14分)(2015•广东)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.21.(14分)(2015•广东)数列{a n}满足:a1+2a2+…na n=4﹣,n∈N+.(1)求a3的值;(2)求数列{a n}的前n项和T n;(3)令b1=a1,b n=+(1+++…+)a n(n≥2),证明:数列{b n}的前n项和S n满足S n<2+2lnn.2015年广东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(5分)(2015•广东)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x﹣4)(x﹣1)=0},则M∩N=()A.{1,4} B.{﹣1,﹣4} C.[0} D.∅考点:交集及其运算.专题:集合.分析:求出两个集合,然后求解交集即可.解答:解:集合M={x|(x+4)(x+1)=0}={﹣1,﹣4},N={x|(x﹣4)(x﹣1)=0}={1,4},则M∩N=∅.故选:D.点评:本题考查集合的基本运算,交集的求法,考查计算能力.2.(5分)(2015•广东)若复数z=i(3﹣2i)(i是虚数单位),则=()A.2﹣3i B.2+3i C.3+2i D.3﹣2i考点:复数代数形式的乘除运算.专题:数系的扩充和复数.分析:直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可.解答:解:复数z=i(3﹣2i)=2+3i,则=2﹣3i,故选:A.点评:本题开采方式的代数形式的混合运算,复数的基本概念,考查计算能力.3.(5分)(2015•广东)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=B.y=x+C.y=2x+D.y=x+e x考点:函数奇偶性的判断.专题:函数的性质及应用.分析:直接利用函数的奇偶性判断选项即可.解答:解:对于A,y=是偶函数,所以A不正确;对于B,y=x+函数是奇函数,所以B不正确;对于C,y=2x+是奇函数,所以C不正确;对于D,不满足f(﹣x)=f(x)也不满足f(﹣x)=﹣f(x),所以函数既不是奇函数,也不是偶函数,所以D正确.故选:D.点评:本题考查函数的奇偶性的判断,基本知识的考查.4.(5分)(2015•广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为()A.B.C.D.1考点:古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析:首先判断这是一个古典概型,从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球,1个红球”事件包含的基本事件个数,容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法,而在求“所取的2个球中恰有1个白球,1个红球”事件的基本事件个数时,可利用分步计数原理求解,最后带入古典概型的概率公式即可.解答:解:这是一个古典概型,从15个球中任取2个球的取法有;∴基本事件总数为105;设“所取的2个球中恰有1个白球,1个红球”为事件A;则A包含的基本事件个数为=50;∴P(A)=.故选:B.点评:考查古典概型的概念,以及古典概型的求法,熟练掌握组合数公式和分步计数原理.5.(5分)(2015•广东)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B.2x+y+=0或2x+y﹣=0C.2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D.2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0考点:圆的切线方程.专题:计算题;直线与圆.分析:设出所求直线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出直线方程中的变量,即可求出直线方程.解答:解:设所求直线方程为2x+y+b=0,则,所以=,所以b=±5,所以所求直线方程为:2xy+5=0或2x+y﹣5=0故选:A.点评:本题考查两条直线平行的判定,圆的切线方程,考查计算能力,是基础题.6.(5分)(2015•广东)若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为()A.4B.C.6D.考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:作出不等式组对应的平面区域,根据z的几何意义,利用数形结合即可得到最小值.解答:解:不等式组对应的平面区域如图:由z=3x+2y得y=﹣x+,平移直线y=﹣x+,则由图象可知当直线y=﹣x+,经过点A时直线y=﹣x+的截距最小,此时z最小,由,解得,即A(1,),此时z=3×1+2×=,故选:B.点评:本题主要考查线性规划的应用,根据z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.7.(5分)(2015•广东)已知双曲线C:﹣=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.﹣=1 B.﹣=1C.﹣=1D.﹣=1考点:双曲线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:利用已知条件,列出方程,求出双曲线的几何量,即可得到双曲线方程.解答:解:双曲线C:﹣=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),可得:,c=5,∴a=4,b==3,所求双曲线方程为:﹣=1.故选:C.点评:本题考查双曲线方程的求法,双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.8.(5分)(2015•广东)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值()A.至多等于3 B.至多等于4 C.等于5 D.大于5考点:棱锥的结构特征.专题:创新题型;空间位置关系与距离.分析:先考虑平面上的情况:只有三个点的情况成立;再考虑空间里,只有四个点的情况成立,注意运用外接球和三角形三边的关系,即可判断.解答:解:考虑平面上,3个点两两距离相等,构成等边三角形,成立;4个点两两距离相等,由三角形的两边之和大于第三边,则不成立;n大于4,也不成立;在空间中,4个点两两距离相等,构成一个正四面体,成立;若n>4,由于任三点不共线,当n=5时,考虑四个点构成的正四面体,第五个点,与它们距离相等,必为正四面体的外接球的球心,由三角形的两边之和大于三边,故不成立;同理n>5,不成立.故选:B.点评:本题考查空间几何体的特征,主要考查空间两点的距离相等的情况,注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系,属于中档题和易错题.二、填空题(本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.)(一)必做题(11~13题)9.(5分)(2015•广东)在(﹣1)4的展开式中,x的系数为6.考点:二项式定理的应用.专题:计算题;二项式定理.分析:根据题意二项式(﹣1)4的展开式的通项公式为T r+1=•(﹣1)r•,分析可得,r=1时,有x的项,将r=1代入可得答案.解答:解:二项式(﹣1)4的展开式的通项公式为T r+1=•(﹣1)r•,令2﹣=1,求得r=2,∴二项式(﹣1)4的展开式中x的系数为=6,故答案为:6.点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题10.(5分)(2015•广东)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=10.考点:等差数列的通项公式.专题:计算题;等差数列与等比数列.分析:根据等差数列的性质,化简已知的等式即可求出a5的值,然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后,将a5的值代入即可求出值.解答:解:由a3+a4+a5+a6+a7=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=25,得到a5=5,则a2+a8=2a5=10.故答案为:10.点评:本题主要考查了等差数列性质的简单应用,属于基础试题11.(5分)(2015•广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b=1.考点:正弦定理;两角和与差的正弦函数.专题:计算题;解三角形.分析:由sinB=,可得B=或B=,结合a=,C=及正弦定理可求b解答:解:∵sinB=,∴B=或B=当B=时,a=,C=,A=,由正弦定理可得,则b=1当B=时,C=,与三角形的内角和为π矛盾故答案为:1点评:本题考查了正弦、三角形的内角和定理,熟练掌握定理是解本题的关键12.(5分)(2015•广东)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了1560条毕业留言.(用数字作答)考点:排列、组合的实际应用.专题:排列组合.分析:通过题意,列出排列关系式,求解即可.解答:解:某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了=40×39=1560条.故答案为:1560.点评:本题考查排列数个数的应用,注意正确理解题意是解题的关键.13.(5分)(2015•广东)已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则P=.考点:离散型随机变量的期望与方差.专题:概率与统计.分析:直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可.解答:解:随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,可得np=30,npq=20,q=,则p=,故答案为:.点评:本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法,考查计算能力.14.(5分)(2015•广东)已知直线l的极坐标方程为2ρsin(θ﹣)=,点A的极坐标为A(2,),则点A到直线l的距离为.考点:简单曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:把极坐标方程转化为直角坐标方程,然后求出极坐标表示的直角坐标,利用点到直线的距离求解即可.解答:解:直线l的极坐标方程为2ρsin(θ﹣)=,对应的直角坐标方程为:y﹣x=1,点A的极坐标为A(2,),它的直角坐标为(2,﹣2).点A到直线l的距离为:=.故答案为:.点评:本题考查极坐标与直角坐标方程的互化,点到直线的距离公式的应用,考查计算能力.15.(2015•广东)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1.过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于D和点P,则OD=8.考点:相似三角形的判定.专题:选作题;创新题型;推理和证明.分析:连接OC,确定OP⊥AC,OP=BC=,Rt△OCD中,由射影定理可得OC2=OP•OD,即可得出结论.解答:解:连接OC,则OC⊥CD,∵AB是圆O的直径,∴BC⊥AC,∵OP∥BC,∴OP⊥AC,OP=BC=,Rt△OCD中,由射影定理可得OC2=OP•OD,∴4=OD,∴OD=8.故答案为:8.点评:本题考查圆的直径与切线的性质,考查射影定理,考查学生的计算能力,比较基础.三、解答题16.(12分)(2015•广东)在平面直角坐标系xOy中,已知向量=(,﹣),=(sinx,cosx),x∈(0,).(1)若⊥,求tanx的值;(2)若与的夹角为,求x的值.考点:平面向量数量积的运算;数量积表示两个向量的夹角.专题:平面向量及应用.分析:(1)若⊥,则•=0,结合三角函数的关系式即可求tanx的值;(2)若与的夹角为,利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值.解答:解:(1)若⊥,则•=(,﹣)•(sinx,cosx)=sinx ﹣cosx=0,即sinx=cosxsinx=cosx,即tanx=1;(2)∵||=1,||=1,•=(,﹣)•(sinx,cosx)=sinx ﹣cosx,∴若与的夹角为,则•=||•||cos =,即sinx ﹣cosx=,则sin(x ﹣)=,∵x∈(0,).∴x ﹣∈(﹣,).则x ﹣=即x=+=.点评:本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用,考查学生的计算能力,比较基础.17.(12分)(2015•广东)某工厂36名工人年龄数据如图:工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 9 404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值和方差s2;(3)36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人?所占百分比是多少(精确到0.01%)?考点:极差、方差与标准差;分层抽样方法.专题:概率与统计.分析:(1)利用系统抽样的定义进行求解即可;(2)根据均值和方差公式即可计算(1)中样本的均值和方差s2;(3)求出样本和方差即可得到结论.解答:解:(1)由系统抽样知,36人分成9组,每组4人,其中第一组的工人年龄为44,所以其编号为2,∴所有样本数据的编号为:4n﹣2,(n=1,2,…,9),其数据为:44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由平均值公式得=(44+40+36+43+36+37+44+43+37)=40.由方差公式得s2=[(44﹣40)2+(40﹣40)2+…+(37﹣40)2]=.(3)∵s2=.∴s=∈(3,4),∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37,43]的人数,即40,40,41,…,39,共23人.∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%.点评:本题主要考查统计和分层抽样的应用,比较基础.18.(14分)(2015•广东)如图,三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点E是CD的中点,点F、G分别在线段AB、BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角P﹣AD﹣C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.考点:二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的性质.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:(1)通过△POC为等腰三角形可得PE⊥CD,利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论;(2)通过(1)及面面垂直定理可得PG⊥AD,则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角,利用勾股定理即得结论;(3)连结AC,利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC,在△PAC中,利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线FG所成角∠PAC的余弦值.解答:(1)证明:在△POC中PO=PC且E为CD中点,∴PE⊥CD,又∵平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PCD,∴PE⊥平面ABCD,又∵FG⊂平面ABCD,∴PE⊥FG;(2)解:由(1)知PE⊥平面ABCD,∴PE⊥AD,又∵CD⊥AD且PE∩CD=E,∴AD⊥平面PDC,又∵PD⊂平面PDC,∴AD⊥PD,又∵AD⊥CD,∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角,在Rt△PDE中,由勾股定理可得:PE===,∴tan∠PDC==;(3)解:连结AC,则AC==3,在Rt△ADP中,AP===5,∵AF=2FB,CG=2GB,∴FG∥AC,∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线FG所成角∠PAC,在△PAC中,由余弦定理得cos∠PAC===.点评:本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值,涉及到勾股定理、余弦定理等知识,注意解题方法的积累,属于中档题.19.(14分)(2015•广东)设a>1,函数f(x)=(1+x2)e x﹣a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明f(x)在(﹣∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP 平行,(O是坐标原点),证明:m≤﹣1.考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:常规题型;导数的综合应用.分析:(1)利用f'(x)≥0,求出函数单调增区间.(2)证明只有1个零点,需要说明两个方面:①函数单调;②函数有零点.(3)利用导数的最值求解方法证明,思路较为复杂.解答:解:(1)f'(x)=e x(x2+2x+1)=e x(x+1)2…2分∴f′(x)≥0,∴f(x)=(1+x2)e x﹣a在(﹣∞,+∞)上为增函数.…3分(2)证明:由(1)问可知函数在(﹣∞,+∞)上为增函数.又f(0)=1﹣a,∵a>1.∴1﹣a<0…5分∴f(0)<0.当x→+∞时,f(x)>0成立.∴f(x)在(﹣∞,+∞)上有且只有一个零点…7分(3)证明:f'(x)=e x(x+1)2,设点P(x0,y0)则)f'(x)=e x0(x0+1)2,∵y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,∴f'(x0)=0,即:e x0(x0+1)2=0,∴x0=﹣1…9分将x0=1代入y=f(x)得y0=.∴,∴…10分令;g(m)=e m﹣(m+1)g(m)=e m﹣(m+1),则g'(m)=e m﹣1,由g'(m)=0得m=0.当m∈(0,+∞)时,g'(m)>0当m∈(﹣∞,0)时,g'(m)<0∴g(m)的最小值为g(0)=0…12分∴g(m)=e m﹣(m+1)≥0∴e m≥m+1∴e m(m+1)2≥(m+1)3即:∴m≤…14分点评:本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用,属于综合应用,在高考中属于压轴题目,有较大难度.20.(14分)(2015•广东)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.考点:轨迹方程;直线与圆的位置关系.专题:创新题型;开放型;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论;(2)设当直线l的方程为y=kx,通过联立直线l与圆C1的方程,利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论;(3)通过联立直线L与圆C1的方程,利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点(4,0)决定的直线斜率,即得结论.解答:解:(1)∵圆C1:x2+y2﹣6x+5=0,整理,得其标准方程为:(x﹣3)2+y2=4,∴圆C1的圆心坐标为(3,0);(2)设当直线l的方程为y=kx、A(x1,y1)、B(x2,y2),联立方程组,消去y可得:(1+k2)x2﹣6x+5=0,由△=36﹣4(1+k2)×5>0,可得k2<由韦达定理,可得x1+x2=,∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为,其中﹣<k<,∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为:(x﹣)2+y2=,其中<x≤3;(3)结论:当k∈(﹣,)∪{﹣,}时,直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点.理由如下:联立方程组,消去y,可得:(1+k2)x2﹣(3+8k)x+16k2=0,令△=(3+8k)2﹣4(1+k2)•16k2=0,解得k=±,又∵轨迹C的端点(,±)与点(4,0)决定的直线斜率为±,∴当直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点时,k的取值范围为(﹣,)∪{﹣,}.点评:本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题,注意解题方法的积累,属于中档题.21.(14分)(2015•广东)数列{a n}满足:a1+2a2+…na n=4﹣,n∈N+.(1)求a3的值;(2)求数列{a n}的前n项和T n;(3)令b1=a1,b n=+(1+++…+)a n(n≥2),证明:数列{b n}的前n项和S n满足S n<2+2lnn.考点:数列与不等式的综合;数列的求和.专题:创新题型;点列、递归数列与数学归纳法.分析:(1)利用数列的递推关系即可求a3的值;(2)利用作差法求出数列{a n}的通项公式,利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a n}的前n项和T n;(3)利用构造法,结合裂项法进行求解即可证明不等式.解答:解:(1)∵a1+2a2+…na n=4﹣,n∈N+.∴a1=4﹣3=1,1+2a2=4﹣=2,解得a2=,∵a1+2a2+…+na n=4﹣,n∈N+.∴a1+2a2+…+(n﹣1)a n﹣1=4﹣,n∈N+.两式相减得na n=4﹣﹣(4﹣)=,n≥2,则a n=,n≥2,当n=1时,a1=1也满足,∴a n=,n≥1,则a3=;(2)∵a n=,n≥1,∴数列{a n}是公比q=,则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n.(3)b n=+(1+++…+)a n,∴b1=a1,b2=+(1+)a2,b3=(1++)a3,∴S n=b1+b2+…+b n=(1+++…+)(a1+a2+…+a n)=(1+++…+)T n=(1+++…+)(2﹣21﹣n)<2×(1+++…+),设f(x)=lnx+﹣1,x>1,则f′(x)=﹣.即f(x)在(1,+∞)上为增函数,∵f(1)=0,即f(x)>0,∵k≥2,且k∈N•时,,∴f()=ln+﹣1>0,即ln>,∴ln,,…,即=lnn,∴2×(1+++…+)<2+lnn,即S n<2(1+lnn)=2+2lnn.点评:本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算,以及数列和不等式的综合,利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键.考查学生的计算能力,综合性较强,难度较大.。
广东省五校高三数学联考试卷 理(含解析)
广东省2015届高三五校联考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知A={x|x2﹣4x﹣5=0},B={x|x2=1},则A∩B=()A.{1} B.{1,﹣1,5} C.{﹣1} D.{1,﹣1,﹣5}2.(5分)设条件p:a≥0;条件q:a2+a≥0,那么p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±2x B.C.D.4.(5分)下列命题不正确的是()A.如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线,则两平面垂直B.如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则两平面平行C.如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行D.如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直,则这两条直线垂直5.(5分)已知函数f(x)=则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)的值域为[﹣1+∞)C.f(x)是周期函数D.f(x)是增函数6.(5分)在△ABC中,AB=2,AC=3,•=1,则BC=()A.B.C.2D.7.(5分)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是()A.B.C.D.8.(5分)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则()A.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°B.平面α与平面β垂直C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°二、填空题:本大共5小题,考生作答6小题,每小题5分,满分25分)(一)必做题(9~13题)9.(5分)复数的值是.10.(5分)若数列{a n}满足:a1=1,a n+1=),其前n项和为S n,则=.11.(5分)执行如图的程序框图,那么输出S的值是.12.(5分)已知不等式组所表示的平面区域的面积为4,则k的值为.13.(5分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题,两题都做记第一题的得分)(坐标系与参数方程)14.(5分)(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系下,曲线(t为参数),曲线(a为参数).若曲线C l、C2有公共点,则实数a的取值范围.(几何证明选讲)15.如图,点A,B,C是圆O上的点,且,则∠AOB对应的劣弧长为.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)在平面直角坐标系下,已知A(2,0),B(0,2),C(cos2x,sin2x),.(1)求f(x)的表达式和最小正周期;(2)当时,求f(x)的值域.17.(12分)某校参加2014-2015学年高一年级期2015届中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩分成六段[40,50)、[50,60)、…、[90,100]后得到如图部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分;(3)若从60名学生中随抽取2人,抽到的学生成绩在[40,60)记0分,在[60,80)记1分,在[80,100]记2分,用ξ表示抽取结束后的总记分,求ξ的分布列和数学期望.18.(14分)如图,△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC⊥平面ABC,AB=2,已知AE与平面ABC所成的角为θ,且.(1)证明:平面ACD⊥平面ADE;(2)记AC=x,V(x)表示三棱锥A﹣CBE的体积,求V(x)的表达式;(3)当V(x)取得最大值时,求二面角D﹣AB﹣C的大小.19.(14分)已知数列{a n}中,a1=3,a2=5,其前n项和S n满足S n+S n﹣2=2S n﹣1+2n﹣1(n≥3).令b n=.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若f(x)=2x﹣1,求证:Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+b n f(n)<(n≥1).20.(14分)已知椭圆C1的中心在坐标原点,两个焦点分别为F1(﹣2,0),F2(2,0),点A (2,3)在椭圆C1上,过点A的直线L与抛物线交于B、C两点,抛物线C2在点B,C处的切线分别为l1,l2,且l1与l2交于点P.(1)求椭圆C1的方程;(2)是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标);若不存在,说明理由.21.(14分)已知函数f(x)=e x,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的反函数的图象上的点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ)证明:曲线y=f(x)与曲线y=有唯一公共点.(Ⅲ)设a<b,比较f()与的大小,并说明理由.广东省2015届高三五校联考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知A={x|x2﹣4x﹣5=0},B={x|x2=1},则A∩B=()A.{1} B.{1,﹣1,5} C.{﹣1} D.{1,﹣1,﹣5}考点:交集及其运算.专题:集合.分析:求出集合A,B,然后求解交集即可.解答:解:A={x|x2﹣4x﹣5=0}={﹣1,5},B={x|x2=1}={﹣1,1},则A∩B={﹣1}.故选:C.点评:本题考查集合的交集的运算,是对基本知识的考查.2.(5分)设条件p:a≥0;条件q:a2+a≥0,那么p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:简易逻辑.分析:根据充分必要条件的定义进行判断即可.解答:解:若a≥0,则a2+a≥0,是充分条件,若a2+a≥0,解得:a≥0或a≤﹣1,不是必要条件,故选:A.点评:本题考查了充分必要条件,考查了解不等式问题,本题属于基础题.3.(5分)已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±2x B.C.D.考点:双曲线的简单性质.专题:计算题.分析:由离心率的值,可设,则得,可得的值,进而得到渐近线方程.解答:解:∵,故可设,则得,∴渐近线方程为,故选C.点评:本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求出的值是解题的关键.4.(5分)下列命题不正确的是()A.如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线,则两平面垂直B.如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则两平面平行C.如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行D.如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直,则这两条直线垂直考点:平面与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系.专题:阅读型.分析:本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系,及直线与平面间的位置关系,我们根据空间线与面、面与面的判定及性质定理对四个答案逐一进行分析,即可得到答案.解答:解:如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线,由线面垂直的定义,可得该直线与另一个平面垂直,由面面垂直的判定定理我们可得两平面垂直,故A正确;如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则存在两条相交直线与另一个平面平行,由面面平等的判定定理得两平面平行,故B正确;如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,由线面平行的性质定理,那么这条直线和交线平行,故C正确;如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直,则这两条直线可能垂直,也可能不垂直,故D错误故选D点评:判断空间线线关系、线面关系、面面关系时,掌握掌握空间线面垂直和平等的判定定理和性质定理,是解决问题的关键.5.(5分)已知函数f(x)=则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)的值域为[﹣1+∞)C.f(x)是周期函数D.f(x)是增函数考点:分段函数的应用.专题:函数的性质及应用.分析:由题意,分x>0与x≤0讨论函数在各个部分的取值,从而求函数的值域.解答:解:当x>0时,f(x)=x2+1>1,当x≤0时,f(x)=cosx,故﹣1≤cosx≤1,综上所述,f(x)≥﹣1,故f(x)的值域为[﹣1,+∞).故选B.点评:本题考查了分段函数的应用及函数的值域的求法,属于基础题.6.(5分)在△ABC中,AB=2,AC=3,•=1,则BC=()A.B.C.2D.考点:解三角形;向量在几何中的应用.专题:计算题;压轴题.分析:设∠B=θ,由•=1,利用平面向量的数量积运算法则列出关系式,表示出cosθ,再利用余弦定理表示出cosθ,两者相等列出关于BC的方程,求出方程的解即可得到BC的长.解答:解:根据题意画出相应的图形,如图所示:∵•=1,设∠B=θ,AB=2,∴2•BC•cos(π﹣θ)=1,即cosθ=﹣,又根据余弦定理得:cosθ==,∴﹣=,即BC2=3,则BC=.故选A点评:此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:平面向量的数量积运算,余弦定理,以及诱导公式的运用,熟练掌握定理及法则是解本题的关键.7.(5分)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是()A.B.C.D.考点:几何概型.专题:压轴题;概率与统计.分析:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,由题意可得0≤x≤4,0≤y≤4,要满足条件须|x﹣y|≤2,作出其对应的平面区域,由几何概型可得答案.解答:解:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,由题意可得0≤x≤4,0≤y≤4,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒,则|x﹣y|≤2,由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比,由图可知所求的概率为:=故选C点评:本题考查几何概型,涉及用一元二次方程组表示平面区域,属基础题.8.(5分)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则()A.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°B.平面α与平面β垂直C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°考点:平面与平面之间的位置关系.专题:空间位置关系与距离.分析:设P1是点P在α内的射影,点P2是点P在β内的射影.根据题意点P1在β内的射影与P2在α内的射影重合于一点,由此可得四边形PP1Q1P2为矩形,且∠P1Q1P2是二面角α﹣l ﹣β的平面角,根据面面垂直的定义可得平面α与平面β垂直,得到本题答案.解答:解:设P1=fα(P),则根据题意,得点P1是过点P作平面α垂线的垂足∵Q1=fβ[fα(P)]=fβ(P1),∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足同理,若P2=fβ(P),得点P2是过点P作平面β垂线的垂足因此Q2=fα[fβ(P)]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P,恒有PQ1=PQ2,∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得,四边形PP1Q1P2为矩形,且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角∵∠P1Q1P2是直角,∴平面α与平面β垂直故选:B点评:本题给出新定义,要求我们判定平面α与平面β所成角大小,着重考查了线面垂直性质、二面角的平面角和面面垂直的定义等知识,属于中档题.二、填空题:本大共5小题,考生作答6小题,每小题5分,满分25分)(一)必做题(9~13题)9.(5分)复数的值是.考点:复数代数形式的乘除运算.分析:复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,然后化为a+bi(a、b∈R)的形式即可.解答:解:复数=故答案为:.点评:本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题.10.(5分)若数列{a n}满足:a1=1,a n+1=),其前n项和为S n,则=15.考点:数列递推式.专题:计算题.分析:由递推关系式可知数列{a n}是以1为首项,为公比的等比数列,从而可解.解答:解:由题意,数列{a n}是以1为首项,为公比的等比数列,所以,∴,故答案为15.点评:本题主要考查数列递推式,考查等比数列的通项及前n项和公式,属于基础题.11.(5分)执行如图的程序框图,那么输出S的值是.考点:程序框图.专题:计算题;图表型.分析:框图首先给变量S,k赋值S=2,k=1,然后判断k<2013是否成立,成立则执行,否则跳出循环,输出S,然后依次判断执行,由执行结果看出,S的值呈周期出现,根据最后当k=2013时算法结束可求得S的值.解答:解:框图首先给变量S,k赋值S=2,k=1.判断1<2013,执行S=,k=1+1=2;判断2<2013,执行S=,k=2+1=3;判断3<2013,执行S=,k=3+1=4;判断4<2013,执行S=,k=4+1=5;…程序依次执行,由上看出,程序每循环3次S的值重复出现1次.而由框图看出,当k=2012时还满足判断框中的条件,执行循环,当k=2013时,跳出循环.又2013=671×3.所以当计算出k=2013时,算出的S的值为.此时2013不满足2013<2013,跳出循环,输出S的值为故答案为.点评:本题考查了程序框图,是当型结构,即先判断后执行,满足条件执行循环,不满足条件,跳出循环,算法结束,解答的关键是算准周期.是基础题.12.(5分)已知不等式组所表示的平面区域的面积为4,则k的值为1.考点:二元一次不等式(组)与平面区域.专题:计算题.分析:先作出不等式组表示的平面区域,根据已知条件可表示出平面区域的面积,然后结合已知可求k解答:解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示由题意可得A(2,2k+2),B(0,2),C(2,0)∴(d为B到AC的距离)==2k+2=4∴k=1故答案为:1点评:本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域,属于基础试题13.(5分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有480种(用数字作答)考点:排列、组合及简单计数问题.专题:排列组合.分析:按C的位置分类,在左1,左2,左3,或者在右1,右2,右3,因为左右是对称的,所以只看左的情况最后乘以2即可.解答:解:按C的位置分类,在左1,左2,左3,或者在右1,右2,右3,因为左右是对称的,所以只看左的情况最后乘以2即可.当C在左边第1个位置时,有A,当C在左边第2个位置时,A和B有C右边的4个位置可以选,有A A,当C在左边第3个位置时,有A A+A A,共为240种,乘以2,得480.则不同的排法共有480种.故答案为:480.点评:本题考查排列、组合的应用,关键在于明确事件之间的关系,同时要掌握分类讨论的处理方法.选做题(14~15题,考生只能从中选做一题,两题都做记第一题的得分)(坐标系与参数方程)14.(5分)(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系下,曲线(t为参数),曲线(a为参数).若曲线C l、C2有公共点,则实数a的取值范围.考点:圆的参数方程;直线与圆相交的性质.专题:计算题.分析:把参数方程化为普通方程,由直线和圆有交点可得圆心到直线的距离小于或等于半径,解不等式求得实数a的取值范围.解答:解:曲线(t为参数)即 x+2y﹣2a=0,表示一条直线.曲线(a为参数)即 x2+(y﹣2)2=4,表示圆心为(0,2),半径等于2的圆.由曲线C l、C2 有公共点,可得圆心到直线的距离小于或等于半径,∴≤2,∴2﹣≤a≤2+,故答案为:.点评:本题考查把参数方程化为普通方程的方法,点到直线的距离公式的应用,直线和圆的位置关系,绝对值不等式的解法.(几何证明选讲)15.如图,点A,B,C是圆O上的点,且,则∠AOB对应的劣弧长为.考点:弧长公式.专题:计算题;压轴题.分析:利用正弦定理求出∠ACB的大小,然后再求∠AOB,最后求出∠AOB对应的劣弧长.解答:解:由正弦定理可知:,得sin∠ACB=,∴∠AOB=,OB=,∠AOB对应的劣弧长:故答案为:点评:本题考查弧长公式,考查计算能力,是基础题.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(12分)在平面直角坐标系下,已知A(2,0),B(0,2),C(cos2x,sin2x),.(1)求f(x)的表达式和最小正周期;(2)当时,求f(x)的值域.考点:平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域.专题:计算题.分析:(1)先计算两个向量的坐标,再利用向量数量积运算性质计算f(x),将所得f(x)解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,最后利用周期公式计算f(x)的最小正周期即可(2)先求内层函数y=2x﹣的值域,再利用正弦函数的图象和性质求y=sin(2x﹣)的值域,最后由y=2t+4的单调性即可得f(x)的值域解答:解:(1)∵A(2,0),B(0,2),C(cos2x,sin2x),∴,∴=(﹣2,2)•(cos2x﹣2,sin2x)=4﹣2cos2x+2sin2x=,∴f(x)═,∴f(x)的最小正周期为,(2)∵∴∴.∴.所以函数f(x)的值域是.点评:本题考察了向量数量积运算的性质和三角变换、三角函数的图象和性质,解题时要能熟练的将函数化为y=Asin(ωx+φ)形式,为利用三角函数的图象和性质求周期和最值创造条件17.(12分)某校参加2014-2015学年高一年级期2015届中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩分成六段[40,50)、[50,60)、…、[90,100]后得到如图部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分;(3)若从60名学生中随抽取2人,抽到的学生成绩在[40,60)记0分,在[60,80)记1分,在[80,100]记2分,用ξ表示抽取结束后的总记分,求ξ的分布列和数学期望.考点:离散型随机变量及其分布列;频率分布直方图;离散型随机变量的期望与方差.专题:计算题;图表型.分析:(1)根据概率之和为1,即频率分布直方图的面积之和为1.(2)根据题意同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,所以用每一组数据的中点值代表这一组数的平均数,即可求得.(3)从60名学生中随抽取2人,根据题意总记分可能为0、1、2、3、4.求出相应的概率,即可求得分布列和期望.解答:解:(1)设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图,有(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,可得x=0.3,所以频率分布直方图如图所示(2)平均分为=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71(3)学生成绩在[40,60)的有0.25×60=15人,在[60,80)的有0.45×60=27人,在[80,100)的有0.3×60=18人,ξ的可能取值是0,1,2,3,4则,,,,所以ξ的分布列为:∴点评:此题把统计和概率结合在一起,比较新颖,也是2015届高考的方向,应引起重视.18.(14分)如图,△AB C内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC⊥平面ABC,AB=2,已知AE与平面ABC所成的角为θ,且.(1)证明:平面ACD⊥平面ADE;(2)记AC=x,V(x)表示三棱锥A﹣CBE的体积,求V(x)的表达式;(3)当V(x)取得最大值时,求二面角D﹣AB﹣C的大小.考点:与二面角有关的立体几何综合题;棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.专题:计算题;综合题;转化思想.分析:(1)欲证平面ACD⊥平面ADE,根据面面垂直的判定定理可知在平面ADE内一直线与平面ACD垂直,DE⊥平面ADC,DE⊂平面ADE,满足定理所需条件;(2)根据线面所成角的定义可知∠EAB为AE与平面ABC所成的角,在Rt△ABE中,求出BE,在Rt△ABC中求出AC,最后根据三棱锥的体积公式求出体积即可;(3)利用基本不等式可知当V(x)取得最大值时,这时△ACB为等腰直角三角形,连接CO,DO,根据二面角的平面角的定义可知∠DOC为二面角D﹣AB﹣C的平面角在Rt△DCO中求出此角即可.解答:解:(1)证明:∵四边形DCBE为平行四边形∴CD∥BE,BC∥D E(1分)∵DC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC∴DC⊥BC.(2分)∵AB是圆O的直径∴BC⊥AC且DC∩AC=C∴BC⊥平面ADC.∵DE∥BC∴DE⊥平面ADC(3分)又∵DE⊂平面ADE∴平面ACD⊥平面ADE(4分)(2)∵DC⊥平面ABC∴BE⊥平面ABC∴∠EAB为AE与平面ABC所成的角,即∠EAB=θ(5分)在Rt△ABE中,由,AB=2得(6分)在Rt△ABC中∵(0<x<2)∴(7分)∴=(0<x<2)(8分)(3)由(2)知0<x<2要V(x)取得最大值,当且仅当取得最大值,∵(9分)当且仅当x2=4﹣x2,即时,“=”成立,∴当V(x)取得最大值时,这时△ACB为等腰直角三角形(10分)连接CO,DO∵AC=BC,DC=DC∴Rt△DCA≌Rt△DCB∴AD=DB又∵O为AB的中点∴CO⊥AB,DO⊥AB∴∠DOC为二面角D﹣AB﹣C的平面角(12分)在Rt△DCO中∵,∴,∴∠DOC=60°即当V(x)取得最大值时,二面角D﹣AB﹣C为60°.(14分)点评:本题主要考查了平面与平面垂直的判定,以及体积和二面角的定理等有关知识,求二面角,关键是构造出二面角的平面角,常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角,然后再将其转化为二面角的平面角.19.(14分)已知数列{a n}中,a1=3,a2=5,其前n项和S n满足S n+S n﹣2=2S n﹣1+2n﹣1(n≥3).令b n=.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若f(x)=2x﹣1,求证:Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+b n f(n)<(n≥1).考点:数列递推式;数列的函数特性;不等式的证明.专题:计算题;证明题;压轴题.分析:(Ⅰ)由题意知a n=a n﹣1+2n﹣1(n≥3)(a n﹣a n﹣1)+(a n﹣1﹣a n﹣2)+…+(a3﹣a2)+a2=2n+1.(Ⅱ)由于=.故T n=b1f (1)+b2f(2)+…+b n f(n)=,由此可证明Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+b n f(n)<(n≥1).解答:解:(Ⅰ)由题意知S n﹣S n﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2+2n﹣1(n≥3)即a n=a n﹣1+2n﹣1(n≥3)∴a n=(a n﹣a n﹣1)+(a n﹣1﹣a n﹣2)+…+(a3﹣a2)+a2=2n﹣1+2n﹣2+…+22+5=2n+1(n≥3)检验知n=1、2时,结论也成立,故a n=2n+1.(Ⅱ)由于b n=,f(x)=2x﹣1,∴=.故T n=b1f(1)+b2f(2)+…+b n f(n)==.点评:本题考查数列的性质和综合应用,解题时要认真审题.仔细解答.20.(14分)已知椭圆C1的中心在坐标原点,两个焦点分别为F1(﹣2,0),F2(2,0),点A (2,3)在椭圆C1上,过点A的直线L与抛物线交于B、C两点,抛物线C2在点B,C处的切线分别为l1,l2,且l1与l2交于点P.(1)求椭圆C1的方程;(2)是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标);若不存在,说明理由.考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)利用椭圆的标准方程及其性质即可得出;(2)设出点B,C的坐标,利用A,B,C三点共线即可得出坐标之间的关系,利用导数的几何意义可得切线的斜率,在得出切线的方程,即可得出交点P的坐标代入上面得到的关系式即可得到交点P的轨迹方程.由|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|,则点P在椭圆C1上,而点P又在直线y=x ﹣3上,直线经过椭圆C1的内部一点(3,0),即可判断出其交点个数.解答:解:(1)设椭圆的标准方程为,由题意可得解得.∴椭圆C1的方程为;(2)设点B,C,则,,∵A,B,C三点共线,∴.∴,化为2(x1+x2)﹣x1x2=12.①由x2=4y,得.∴抛物线C2在点B处的切线方程为,化为.②同理抛物线C2在点C处的切线方程为.③设点P(x,y),由②③得,而x1≠x2,∴.代入②得,于是2x=x1+x2,4y=x1x2代入①得4x﹣4y=12,即点P的轨迹方程为y=x﹣3.若|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|,则点P在椭圆C1上,而点P又在直线y=x﹣3上,直线经过椭圆C1的内部一点(3,0),∴直线y=x﹣3与椭圆C1有两个交点,∴满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P有两个(不同于点A).点评:本题主要考查椭圆、抛物线曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归于转化的数学数学方法,以及推理论证能力、计算能力、创新意识.21.(14分)已知函数f(x)=e x,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的反函数的图象上的点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ)证明:曲线y=f(x)与曲线y=有唯一公共点.(Ⅲ)设a<b,比较f()与的大小,并说明理由.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的零点与方程根的关系;函数的单调性与导数的关系.专题:压轴题;导数的概念及应用.分析:(I)先求出其反函数,利用导数得出切线的斜率即可;(II)令h(x)=f(x)﹣=,利用导数研究函数h(x)的单调性即可得出;(III)设b﹣a=t>0,通过作差﹣f()=,构造函数g(t)=(t>0),可得g′(t)==(t>0).令h(x)=e x﹣x﹣1(x>0),利用导数研究其单调性即可.解答:(I)解:函数f(x)=e x的反函数为g(x)=lnx,∵,∴g′(1)=1,∴f(x)的反函数的图象上的点(1,0)处的切线方程为y﹣0=1×(x﹣1),即y=x﹣1;(Ⅱ)证明:令h(x)=f(x)﹣=,则h′(x)=e x﹣x﹣1,h′′(x)=e x﹣1,当x>0时,h′′(x)>0,h′(x)单调递增;当x<0时,h′′(x)<0,h′(x)单调递减,故h′(x)在x=0取得极小值,即最小值,∴h′(x)≥h′(0)=0,∴函数y=h(x)在R上单调递增,最多有一个零点,而x=0时,满足h(0)=0,是h(x)的一个零点.所以曲线y=f(x)与曲线y=有唯一公共点(0,1).(Ⅲ)设b﹣a=t>0,则﹣f()===e a=,令g(t)=(t>0),则g′(t)==(t>0).令h(x)=e x﹣x﹣1(x>0),则h′(x)=e x﹣1>0,∴函数h(x)在(0,+∞)单调递增,∴h(x)>h(0)=0,因此g′(t)>0,∴函数g(t)在t>0时单调递增,∴g(t)>g(0)=0.∴>f().点评:本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识,考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法,考查了推理能力和计算能力.。
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广东五校2015届高三年级联考试题数 学 (理科)本试卷共4页,21小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后,用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知{}2 |450 A x x x =--=,{}2 | 1 B x x ==,则AB =( )A .{} 1B .{} 1 , 1 , 5 -C . {} 1 -D .{} 1 , 1 , 5 --2.设条件p :0≥a ;条件q :02≥+a a ,那么p 是q 的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a xA .2y x =±B .x y 2±=C .x y 22±= D .12y x =±4.下列命题不正确...的是 A .如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线,则两平面垂直;B .如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则两平面平行;C .如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;D .如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直,则这两条直线垂直.5.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是 ( )A.()x f 是偶函数B. ()x f 的值域为[)+∞-,1C.()x f 是周期函数D. ()x f 是增函数6.在△ABC 中,AB=2,AC=3,1=∙,则___BC =. C. 7.节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 ( )A .14B .12C .34D .788.在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则 ( )A .平面α与平面β所成的(锐)二面角为045 B .平面α与平面β垂直 C .平面α与平面β平行 D .平面α与平面β所成的(锐)二面角为060二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分) (一)必做题(9~13题)9. 复数121ii+-的值是 . 10.若数列{}n a 满足:1111,()2n n a a a n N *+==∈,其前n 项和为n S ,则44S a = . 11. 执行如图的程序框图,那么输出S 的值是 .12. 已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4,则k 的值为__________.13.将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题,两题都做记第一题的得分)14.(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系下,曲线1:C 22x t ay t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数),曲线2:C 2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数).若曲线1C 、2C 有公共点,则实数a 的取值范围____________.15.(几何证明选讲)如图,点,,A B C 是圆O 上的点,且2,120AB BC CAB ==∠=,则AOB ∠对应的劣弧长为 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分12分)在平面直角坐标系下,已知(2,0)A ,(0,2)B ,(cos 2,sin 2)C x x ,()f x AB AC =⋅u u u r u u u r .(1)求()f x 的表达式和最小正周期; (2)当02x π<<时,求()f x 的值域。
17.(本题满分12分)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[)50,40,[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:(Ⅰ)求分数在[)70,80内的频率,并补全这个 频率分布直方图;(Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组 区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的 平均分;(Ⅲ)若从60名学生中随机抽取2人,抽到 的学生成绩在[)60,40记0分,在[)80,60记1分, 在[]100,80记2分,用ξ表示抽取结束后的总记分, 求ξ的分布列和数学期望.18.(本题满分14分)如图,△ABC 内接于圆O,AB 是圆O 的直径,四边形DCBE 为 平行四边形,DC ⊥平面ABC ,2AB =,第17题图第15题图已知AE 与平面ABC 所成的角为θ,且tan 2θ=. (1)证明:平面ACD ⊥平面ADE ;(2)记AC x =,()V x 表示三棱锥A -CBE 的体积,求()V x 的表达式; (3)当()V x 取得最大值时,求二面角D -AB -C 的大小. 19.(本题满分14分)已知数列{}n a 中,13a =,25a =,其前n 项和n S 满足()121223n n n n S S S n ---+=+≥, 令11n n n b a a +=⋅.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若()12x f x -=,求证:()()()121126n n T b f b f b f n =+++<(1n ≥).20.(本题满分14分)已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两个焦点分别为1(2,0)F -,2F ()20,,点(2,3)A 在椭圆1C 上,过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点,抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,,且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程;(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标); 若不存在,说明理由.21.(本题满分14分)已知函数()e ,x f x x =∈R .(1) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(2) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2112y x x =++有唯一公共点. (3) 设a <b , 比较2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由.数学(理科)参考答案一、选择题:(每题5分,共40分)二、填空题(每题5分,共30分) 9.1322i -+ 10.15 11.2112.1 13.48014.22a ≤≤( 或 [2 ) 15.2三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分12分)解: 解:(1)(2,2)AB =-uu u r ,(2cos2,sin 2)AC x x =-+u u u r …………1分∴()f x =(2,2)(cos 22,sin 2)x x -⋅-42cos 22sin 2x x =-+)44x π=-+,∴()f x )44x π=-+, …………6分 ∴()f x 的最小正周期为ππ==22T …………8分 (2)∵02x π<<∴2444x ππ-<-<1)42≤-πx . ∴224)(2+≤<x f .所以函数()f x 的值域是]224,2(+. …………12分17.(本题满分12分)(Ⅰ)设分数在[)70,80内的频率为x ,根据频率分布直方图, 则有(0.010.01520.0250.005)101x +⨯++⨯+=, 可得0.3x =,所以频率分布直方图如右图所示.………………4分(求解频率3分,画图1分) (Ⅱ)平均分为:450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. …………7分(Ⅲ)学生成绩在[)60,40的有0.256015⨯=人,在[)80,60的有0.456027⨯=人,在[]100,80的有0.36⨯=人.并且ξ的可能取值是0,1,. …………………………8分则2152607(0)118C P C ξ===;11152726027(1)118C C P C ξ===; 112151827260207(2)590C C C P C ξ+===; 11271826081(3)295C C P C ξ===;21826051(4)590C P C ξ===. 所以ξ的分布列为………………………………………………………11分7272078101234118118590295E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+…………………12分18.(本题满分14分)解:(1)证明:∵四边形DCBE 为平行四边形 ∴//CD BE ,//BC DE ------1分∵ DC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ∴DC BC ⊥. ----------2分 ∵AB 是圆O 的直径 ∴BC AC ⊥且DC AC C=∴BC ⊥平面ADC .∵DE//BC ∴DE ⊥平面ADC ---------------------------------------3分 又∵DE ⊂平面ADE∴平面ACD ⊥平面ADE----------------4分(2)∵ DC ⊥平面ABC ∴BE ⊥平面ABC∴EAB ∠为AE 与平面ABC 所成的角,即EAB ∠=θ-------------------5分 在R t△ABE 中,由tan BE AB θ==2AB =得BE =分 在R t△ABC 中∵AC =02x <<)∴1122ABC SAC BC ∆=⋅=分 ∴1()3C ABE E ABC ABC V x V V S BE --∆===⋅6=02x <<)-----8分 (3)由(2)知02x <<要()V x 取得最大值,当且仅当=取得最大值,OEDBCA∵222224(4)()42x x x x +--≤=------------------------------------------------------9分 当且仅当224x x =-,即x =“=”成立,∴当()V x取得最大值时AC =,这时△ACB 为等腰直角三角形------------10分解法1:连结CO ,DO∵AC=BC,DC=DC∴Rt DCA ∆≌Rt DCB ∆ ∴AD=DB 又∵O 为AB 的中点 ∴,CO AB DO AB ⊥⊥ ∴DOC ∠为二面角D -AB -C 的平面角------------12分 在Rt DCO ∆中 ∵112CO AB ==,DC BE ==∴tan DCDOC CO∠== ∴DOC ∠=60 即当()V x 取得最大值时,二面角D -AB -C 为60°.------------------------14分解法2:以点O 为坐标原定,OB 为轴建立空间直角坐标系如图示: 则B(1,0,0),C(0,1,0), ∴(0,1,3),(1,0,0)OD OB =平面ABC 的法向量(0,0,CD =,-------------------11分设平面ABD 的法向量为(,,)m a b c = 由,m OB m OD ⊥⊥得0,0a b ==令1c =,则b =∴(0,m =-------------12分设二面角D -AB -C 的大小为θ,则1cos 2||||m CD m CD θ⋅===⋅∴60θ=,即二面角D -AB -C 的大小为60°.------------------------------------14分19.(本题满分14分) 解:【解】(1)由题意知()111223n n n n n S S S S n -----=-+≥即()1123n n n a a n --=+≥-------2分∴()()()112322n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+-------3分()1221222225222212213n n n n n n ----=++++=++++++=+≥-----6分检验知1n =、2时,结论也成立,故21n n a =+. -------7分(2)由于()()()()()()()11111212111111222212121212121n n n n n n n n n n b f n +-++++-+⎛⎫=⋅=⋅=- ⎪++++++⎝⎭ --------9分故()()()1222311111111122121212122121n n n n T b f b f b f n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦---------11分1111111212212126n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭. ---------14分20.(本题满分14分)(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化(1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22x a b)0,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ………3分 解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即4a =, ………1分 ∵2c =, ∴22212b a c =-=. ………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ………3分 (2)解法1:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x --=,)413,2(211x x BA --=, ∵C B A ,,三点共线, (∴BC BA //. ……4分 ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得:1212212x x x x ()+-=. ① ………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-,即211412x x x y -=. ② 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 22x x 而21x x ≠,则 )(2121x x x +=. ……………9分 代入②得 2141x x y =, ……………10分 则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y . ………11分若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, …12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. …………14分 解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P , 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . …………4分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=. ………5分 ∵21141x y =, ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……6分 同理, 20202y x x y -=. ② ………7分 综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ………8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的, ∴直线L 的方程为y x xy -=002, ………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y . ………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ………11分若121PF PF AF +=+P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上,12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……14分 解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y k x =-+,由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x kx k -+-=. ……4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =, ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+, ∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ………11分 ∴()()2222311612k k -+=. 化简得271230k k --=.(*) …………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ………13分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ………14分21.(本题满分14分)解:(1) f (x)的反函数x x g ln )(=,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=(1)g'.1(1)g'x1(x)g'==⇒=k .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 。