高二理科下学期数学期中试卷(选修2—2)

2010-2011学年第二学期期中考试卷
高二数学选修2-2(理科)
（满分：150分，时间：120分钟）
说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.
第I 卷 共100分
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．复数
2
5
+i 的共轭复数是（ ） A ．i +2 B ．i -2 C ．i --2 D ．i +-2
2．曲线y=
2
1
212+x 在点（1，1）处切线的倾斜角为（ ） A ．0° B ．45° C ．90° D ．135°
3．有一段演绎推理：“因为对数函数x y a log =是减函数；已知x y 2log =是对数函数，所以x y 2log =是减函数”，结论显然是错误的，这是因为（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．非以上错误 4．用数学归纳法证明等式(3)(4)
123(3)()2
n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的
项是（ ） A ．1
B ．12+
C ．123++
D ．1234+++
5．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a b c ，，都是偶数”，正确的反设为（ ） A ．a b c ，，都是奇数
B ．a b c ，，中至多有一个是奇数
C ．a b c ，，中至少有一个是奇数
D ．a b c ，，中恰有一个是奇数
6．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ） A ．dx x f c
a
⎰
)( B ．|)(|dx x f c
a
⎰
C ．
dx x f dx x f c b
b
a
⎰⎰
+)()( D ．dx x f dx x f b
a
c
b
⎰⎰-)()(
7．设()f x '是函数()f x 的导函数,()y f x '=的图象如右图所示,则()y f x =的 图象最有可能是下图中的（ ）
A B C D 8．函数x e x x f -⋅=)(的单调递增区间是（ ） A ．)1,(-∞
B ．),1(∞+
C ． )1,(--∞
D ．),1(∞+-
9．已知复数z 且1||=z ，则|22|i z --的最小值是（ ） A ．22 B ．122- C ．122+ D ．12- 10．若函数)1ln(221)(2+-=
x x x f 在其定义域的一个子区间)2
1
,(+k k 上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．),2
1(+∞ B ．)2
1
,0[ C ．)1,2
1( D ．)1,0[ 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
11．若复数i m m z )1(12++-=为纯虚数，其中m ∈R ，i 为虚数单位，则m = ；
12．一辆汽车沿直线轨道前进，若司机踩刹车后汽车速度t t v 324)(－=（单位：米/秒），则汽车刹车后前
进 米才停车； 13．观察以下不等式
22222213
1,221151,233
111712344+
<++<+++<⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 可以归纳出对大于1的正整数n 成立的一个不等式222
1111()23f n n +++< ，则不等式右端()f n 的表达式应为 .
三、解答题：本大题共3题，共35分 14．（本小题12分）
已知函数119)(2
3
+--=x ax x x f ，且12)1('
-=f . （I ）求函数)(x f 的解析式； （II ）求函数)(x f 的单调区间和极值.
15．（本小题11分）
某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：
2
5
124200x p -
=,且生产x 吨的成本为x R 20050000+=（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）
1６．（本小题12分）
已知数列}{n a 中，22+=a a （a 为常数）；n S 是}{n a 的前n 项和，且n S 是n na 与na 的等差中项. （I ）求31,a a ；
（II ）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明.
第II 卷 共50分
一、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
17．设P 、Q 是两个非空集合，
定义},|),{(*Q b P a b a Q P ∈∈=.若}2,1,0{=P ，}4,3,2,1{=Q ，则Q P *中的元素个数有（ ）
A ．4个
B ．7个
C ．12个
D ．16个 18．如图，记曲线22x y =与直线2=y 围成的封闭区域为S ， 若随机地撒1000颗豆子在矩形ABCD 中，则区域S 中的豆子数 最有可能是（ ）
A ．888颗
B ．667颗
C ．446颗
D ．225颗学 二、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分
19．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 .（用数字回答） 20．若数列{a n } (n ∈N *
)是等差数列,则通项为b n =
n
a a a n +⋯++21(n ∈N *
)的数列也是等差数列；类比
上述性质，相应地：若数列{n c }是等比数列,且n c ＞0(n ∈N *
)，则通项为n d = (n ∈N *
)的数列也是等比数列．
三、解答题：本大题共2题，共26分 21．(本小题12分)
已知函数3()31,0f x x ax a =--≠. （I ）求()f x 的单调区间；
(II) 若()f x 在1x =-处取得极值，直线m y =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.
22．(本小题14分)
已知函数()247
2x f x x
-=-，[]01x ∈，.
（I ）求()f x 的最值；
(II) 设1a ≥，函数a x a x x g 23)(23--=,]1,0[∈x ；若对于任意[]101x ∈，，总存在[]001x ∈，，使得
()()01g x f x =成立，求a 的取值范围．
附加题 (本小题10分)
已知函数)()1l n ()(R x x e x f x ∈-+=有下列性质：
“若],[b a x ∈，则存在),(0b a x ∈，使得)()
()(0x f a
b a f b f '=--”成立.
（I ）证明：若],[b a x ∈，则唯一．．
存在),(0b a x ∈，使得)()
()(0x f a
b a f b f '=--；
(II) 设A 、B 、C 是函数)(x f 图象上三个不同的点，试判断△ABC 的形状，并说明理由.
安徽省方山中学2010-2011学年第二学期高二数学
选修2-2(理科)试卷答案
第I卷
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
1６。

解：（I ）∵n S 是n na 与na 的等差中项， ∴na na S n n +=2
当2=n 时，a a a a 22)(2221+=+，解得a a =1当3=n 时，a a a a a 33)(23321+=++，解得43+=a a
所以3
'
2
()31,()33,f x x x f x x =--=- 由'
()0f x =解得121,1x x =-=
画出大致图象
结合()f x 的图象可知，m 的取值范围是(3,1)- 22．解：（I ）对函数()f x 求导，得()()
22
4167
2x x f
x x -+-=
-，
()()()
2
21272x x x --=--，令()0f x =，解得 112x =或272
x =
(舍去)，当x 变化时，()f x ，
、()f x 的变化情况如下表： 当x ＝
2
1
时，4)(min -=x f ，当x ＝1时，3)(max -=x f （II ） ()()223g
x x a =-，
,
∵1a ≥，∴当()01x ∈，时， ()()2310g
x a -≤ ，
,因此当()01x ∈，时，()g x 为减函数，
从而当[]01x ∈，时有()()()10g x g g ∈⎡⎤⎣⎦，，即()2
1232g x a a a ⎡⎤∈---⎣⎦
，
由（I ）得，任给[]11x ∈0，，()[]143f x ∈--，
，。