可靠性特征量的估计

5
可靠性特征量的估计
极大似然估计法：
若待估计的特征量是平均寿命 ，根据一组寿命子样观
ˆ ，而根据另一组寿 察值可计算出一个平均寿命点估计值
命子样观察值用同一计算公式可算得另一个 ˆ 值，由于子 样的随机性，所计算得两个 ˆ 值一般是不相同的，所以
平均寿命的点估计值 ˆ
的 值，此 ˆ
Ⅳ
电器产品可靠性特征量的估计
第一节 大子样时可靠性特征量的估计
失效分布类型
分布的参数 可靠性特征量 根据子样观察值，求得与总体可靠性特征量比较接近的一个 估计值(或估计区间)。 求可靠性特征量估计值(或估计区间)的方法常可分为两种： 图估计法：在各种概率纸等特制的坐标纸上作图的方法 缺点：所得结果往往因人而异，精确性较差； 优点：使用方便、直观易懂、截尾寿命试验时也适用。 点估计法 数值分析法：用数理统计的方法来进行计算 区间估计法 缺点：计算量大， 优点：比较精确。
nr
e
i 1
r

ti
9
可靠性特征量的估计
可选似然函数L () 为：
1 r ti ( n r ) tc i 1
L( )
1

r
e

1 r ln L( ) r ln t i (n r )t c i 1 1
1
可靠性特征量的估计
一、可靠性特征量的点估计法 点估计法：根据子样观察值求出可靠性特征量的一个估计值。
(一) 完全寿命试验时可靠性特征量的估计
定义：所谓完全寿命试验是指试验到所有试品均失效时才停止的寿命 试验。抽n个样品进行试验，t1，t2，，tn为寿命子样观察值，则 可把寿命子样观察值的均值 看为总体平均寿命 的点估计值 ， t ˆ 即 1 n ˆ t ti n i 1
15
可靠性特征量的估计
(一) 寿命服从单参数指数分布时平均寿命的区间估计
(1)无替换定数截尾寿命试验时平均寿命的区间估计
P( L U ) 1 a
ˆ r，所以T 也是一个随机变量， ˆ 是一个随机变量，而 T θ 2T/ 也是一个随机变量，
可以证明，在产品寿命服从单参数指数分布的条件下， 随机变量2T/ 服从自由度为2r 的 2 分布，其密度函数为 f(x) ， 由密度函数的性质可知，随机变量2T/ 落在区间a，b内的 概率为
2
19
可靠性特征量的估计
(二) 寿命服从单参数指数分布时平均寿命的下限估计
对使用者来说，一般并不重视平均寿命的置信上限， 仅关心平均寿命的置信下限，即要求以置信度1 a 保证平 均寿命的真实值 大于某一值，亦即要求
) 1 a P( L
由于这种区间估计方法只求平均寿命的一个置信限， 所以这种方法常称为求平均寿命单侧置信限的区间估计法。
P(a 2T
b 2 a (2r )
1 2

b
a
f ( x)dx
b a
b
0
f ( x)dx
a
0
2 a 2
f ( x)dx 1 a / 2 a / 2 1 a
2T

b)
f ( x)dx
P( (2r )


2 1 a 2
(2r ))
品寿命服从位置参数为 的双参数指数分布，所以数据变换后
的这组数据t1，t2，，tr，应服从单参数指数分布，因此， 其平均寿命的点估计值为：
T
r
T ˆ r
t (n r)t T nˆ
i c i 1
T n ˆ ˆ r r
12
可靠性特征量的估计
寿命服从双参数指数分布时 平均寿命的点估计值：
1 r ˆ t1 ti (n r )t r nt1 n(r 1) i 1
ˆ ˆ ˆ
T n ˆ 1 r r

T
t
i 1
r
i
(n r )t c
也是一个随机变量，我们在ˆ
的一切可能值中选出一个使子样观察值出现的概率为最大 值即为平均寿命的极大似然估计值。
6
可靠性特征量的估计
一个产品在t，t+dt内失效的概率为f (t) dt ，共 r 个；
一个产品的寿命大于tr 的概率为R (tr)，共有 n-r 个；
所以在寿命服从单参数指数分布时，寿命子样观察值出现 的概率近似为：
原因：寿命较长 分类： 定数截尾寿命试验
定时截尾寿命试验
有替换 无替换
4
可靠性特征量的估计
电器产品：采用无替换定时截尾寿命试验及 无替换定数截尾寿命试验。
(1) 寿命服从单参数指数分布，无替换定数截尾寿命试验时
可靠性特征量的点估计 试验： 有n个试品进行寿命试验，试验到第 r 个试品失 效时停止试验，寿命数据为t1，t2，，tr。 使用的点估计方法：极大似然估计法。
T ˆ r
10
可靠性特征量的估计
总试验时间：
T
t
i 1
r
i
(n r )t c
寿命服从单参数指数分布时，失效率 与平均寿命 互为倒 数，所以
ˆ r t i (n r )t c i 1

r
r ˆ T
11
可靠性特征量的估计
(3) 寿命服从双参数指数分布，无替换定时截尾寿命试验时可 靠性特征量的点估计 试验：设有n个试品进行无替换寿命试验，试到t = tc 时试验 停止，共失效r 个试品，其寿命数据为t1，t2，，tr，若 ˆ，则这组寿命数据变为t ，t ，，t ，由于已知产 令 t t 1 2 r
t
i 1
r
i
(n r )t r
13
可靠性特征量的估计
二、可靠性特征量的区间估计 可靠性特征量的点估计值是一个随机变量，即点估计
法的误差具有不确定性。采用什么估计方法来消除点估计 法误差的不确定性呢？
区间估计的概念：这种对总体的某一个可靠性特征量给出 一个估计区间的方法就称为置信区间估计法，简称区间估 计法。 区间估计的具体方法 ：若要对总体某一个可靠性特征量作 出估计，则通过一定的方法定出一个区间( L， U )。该区 间包含的真实值的概率一般用1 a 表示，其数学表达式为 P ( L U ) = 1 a
20
可靠性特征量的估计
对于无替换定数截尾寿命试验，平均寿命下限估计法的置信下限
适当选择a 及b 值， 使之满足下式： a 值的选取 b 值的选取 应满足 a=0

b
a
f ( x)dx 1 a

b
0
f ( x )dx 1 a

b
a
f ( x)dx 1 a
2T 2T 1 a P 2 2 a ( 2r ) a ( 2r ) 1 2 2
无替换定数截尾寿命试 验时平均寿命的置信下 限L及置信上限U 为：
L
2T 2 a ( 2r )
1 2
T
t
i 1
r
i
(n r )t r
寿命服从单参数指数分布时，失效率 与平均寿命 互为倒数，所以
ˆ 1 r ˆ r t i (n r )t r i 1

r ˆ T
8
可靠性特征量的估计
(2) 寿命服从单参数指数分布，无替换定时截尾寿命试验时可靠 性特征量的点估计 试验： 有n个试品进行寿命试验，到规定的截止时间tc时停止 试验(假设失效数为r)，寿命数据为t1，t2，，tr。
使用的点估计方法：极大似然估计法。
一个产品在t，t+dt内失效的概率为f (t) dt ，共 r 个； 一个产品的寿命大于tc 的概率为R (tc)，共 n-r 个； 所以在寿命服从单参数指数分布时，寿命子样观察值出现的概率 近似为：
tc 1 k (dt) r r e
14
可靠性特征量的估计
式中：1 a 称为置信度或置信水平； a 称为显著性水平； 区间( L， U )称为置信区间，
L 称为置信下限， U称为置信上限。
这种区间估计法称为求双侧置信限的区间估计法。 首先应规定置信度 ： 太低时，所作区间估计的正确程度就很差； 太高时，规定的接近于1时，将使所估计的区间过宽， 亦即使区间估计的精确性大大降低； 一般取置信度1 a 为0.9或0.6

寿命子样的方差s2 及标准离差s 也可看成总体寿命方差2 及 寿命标准离差 的点估计值，即
1 ˆ s n 1
2 2

i 1
n
(t i t )
2
1 ˆ s n 1

i 1
n
(t i t ) 2
2
可靠性特征量的估计
1 、当产品寿命服从单参数指数 分布时，失效率 的点估计值 为 2、当产品寿命服从双参数指
1 ˆ ˆ
n

i 1
n
ti
数分布时，其位置参数
的点估计值为 失效率 的点估计值为：
1 n ˆ t1 t i nt1 n(n 1) i 1
ˆ 1 1 n ˆ t i n i 1 n

i 1
n
ˆ t i n
3

r 1 ˆ t i (n r )t r r i 1

ˆ
T r 7
可靠性特征量的估计
所以根据极大似然估计法可得平均寿命的点估计值为
r 1 ˆ t ( n r ) t i r r i 1
ˆ
T r
总试验时间：
P(a
2T

b)
b
a
f ( x)dx
16
可靠性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ征量的估计
适当选择a 及b 值，使之满足下式：


a
b
a
f ( x)dx 1 a
a 值的选取应满足
0
f ( x )dx a / 2
b 值的选取应满足

b
0
f ( x )dx 1 a / 2
17
可靠性特征量的估计
a 值及b值都是自由度为2r 的2 a 2 a ( 2r ) 分布的下侧分位数 2 满足：
(4) 寿命服从双参数指数分布，无 替换定数截尾寿命试验时可靠性特 征量的点估计
1 r ˆ t1 ti (n r )t r nt1 n(r 1) i 1
ˆ ˆ ˆ
T n ˆ 1 r r

T

d ln L( ) 0 d
1 1 r d r ln t i (n r )t c i 1 0 d
r 1 ˆ t i (n r )t c r i 1

所以根据极大似然估计法可 得平均寿命的点估计值为
可靠性特征量的估计
(二) 截尾寿命试验时可靠性特征量的点估计
定义：截尾寿命试验是指不等到试样全部失效就停止的 寿命试验。 截尾 寿命 试验 定数截尾 寿命试验 定时截尾 寿命试验 寿命试验开始后试品的失效数达到 规定的失效数就停止的寿命试验 寿命试验开始后到规定的试验截止时 间(或操作次数) 就停止的寿命试验
t r 1 L( ) X ( dt )r r e

nr

i 1
r
e


ti
为使L ()取得最大值，可令
dL( ) 0 d
d ln L( ) 0 d
( n r )t r
L( )
1

r
e

ti
i 1
r

1 1 r d r ln t i (n r )t r i 1 0 d
2T U 2 a ( 2r )
2
18
可靠性特征量的估计
（2）无替换定时截尾寿命试验时平均寿命的区间估计 可以证明：定时截尾寿命试验时平均寿命的置信下限
L及置信上限U 为
2T L 2 a ( 2 r 2)
1 2
2T U 2 a ( 2r )
2
2 2 2 r 2 —自由度等于2r+2的 分布的下侧分位数 式中 1