第二章 可靠性特征量(二)(2016-11-1)

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例题2-5
某种型号的设备用于系统上，已知该设备的失效率为常数 =1.67×10-5/h。系统对设备的要求是可靠度不低于 98%， 求该设备的允许工作时间。若要求可靠度为 99%，则允许 的工作时间又为多少？ 解： 允许工作时间实际是规定可靠水平的可靠寿命。
可靠寿命： t0.98
常见的失效分布类型
(1) 指数分布 (2) 威布尔分布 (3) 正态分布 (4) 对数正态分布
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(1) 指数分布
单参数指数分布
如果随机变量T(可以代表产品寿命)的密度函数为
e t , t 0 f t 0 , t 0 则称T服从单参数指数分布。
其累积分布函数
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(2) 威布尔分布
威布尔分布的可靠性特征量
<4> 寿命方差和标准离差
t 2 f (t )dt 2
2 0

方差
2 2 1 1 1 m m
2 2
离差
2 2 1 1 1 m m
上堂课内容回顾
1)失效密度函数、累积失效分布函数
失效频率直方图的绘制步骤
2)不可修复产品的可靠性特征量
强度指标 R(t)、F(t)、f(t)、(t)
寿命指标
关系图
μ、、tR、t0.5、Te-1
3)可靠性特征量之间的关系
Page 1
产品可靠性指标之间的关系
tf t dt
0
Page 7
2.4 常见失效分布类型
2.4.1 常见的失效分布类型 2.4.2 失效分布类型的估计方法 2.4.3 失效分布类型的检验方法
Page 8
2.4.1 常见失效分布类型
失效分布类型 累积失效分布函数 F(t) 或失效密度函数 f(t)的函 数类型。 表示产品可靠性的所有特征量都与该产品的失 效分布类型有密切的关系。
2 2 2 0 0


令t-=x: 离差
2
1
2

2

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(1) 指数分布
双参数指数分布的可靠性特征量
<5> 可靠寿命tR和中位寿命t0.5
R tR e
两侧取对数:
tR
R
tR ln R
tR 1 ln R
1 2
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(2) 威布尔分布
威布尔分布的可靠性特征量
<5> 可靠寿命和中位寿命
1 m 1 m
tR ln R
t0.5 0.693
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(2) 威布尔分布
威布尔分布的特点
1> 威布尔分布可分为两类
两参数威布尔分布 （=0）
三参数威布尔分布
R t e 0

t
t dt
tR t0.5 Te-1
Page 2
R (t )
第二章 可靠性特征量
2.1 失效密度函数及累积失效分布函数 2.2 可靠性特征量 2.3 失效率曲线 2.4 常见失效分布 2.5 可靠性特征量的估计
Page 3
2.3 失效率曲线
(t)
早期失效
0


令t’=t-: 令x=t’m/t
0:

0
m m 1 t t e t0
t m
t0
dt


0
t
1 m 0 0
m t e t0
t m t0 m
1 m x
dt

x e dx
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(2) 威布尔分布
威布尔分布的可靠性特征量
0
令 t - =x :
x e dx e x dx
x 0


1


Page 21
(1) 指数分布
双参数指数分布的可靠性特征量
<4> 寿命方差2和标准离差
方差
t f t dt t 2 e t dt 2
-1
0
1
t
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(2) 威布尔分布
<3> 尺度参数t0
t0决定了f(t)曲线的高度与宽度。
当t0值比较小时，f(t)曲线高而窄，陡度大。 f(t) t0=0.5 t0=1 t0=5
0
t
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(2) 威布尔分布
威布尔分布的可靠性特征量
<1> 可靠度函数R(t)
t t R t 1 F t e 0 , 1 ,

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(1) 指数分布
单参数指数分布的可靠性特征量
<5> 可靠寿命tR和中位寿命t0.5
1 tR ln R

t0.5 ln 0.5 0.693
1

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(1) 指数分布
单参数指数分布的特点
1> 失效率函数等于常数，指数分布具有“无记忆性”
2> 单参数指数分布的平均寿命与失效率互为倒数
MTTF
f t t e 0

t
t dt
f (t )

f t F t
0 t f t dt
2

(t)
t
R t
f t
÷
F (t )
F t 1 R(t )
指数、正态、对数正态、威布尔
t0
有效寿命
t1
t
2.3 失效率曲线
(t)
早期失效 偶然失效 耗损失效
O
t0
有效寿命
t1
t
耗损失效期 为产品工作的后期，失效率随工作时间的延长而迅速增加。失效原因系 因老化、磨损（又称磨损失效期）、疲劳等所致，是产品性能下降的时 期。 Page 6
第二章 可靠性特征量
2.1 失效密度函数及累积失效分布函数 2.2 可靠性特征量 2.3 失效率曲线 2.4 常见失效分布 2.5 可靠性特征量的估计
m
t t
<2> 失效率函数(t)
m 1 m t f t t t0 R t 0
t t
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(2) 威布尔分布
威布尔分布的可靠性特征量
<3> 平均寿命
tf t dt
<3> 平均寿命
1 m 0 0 1 m x
t
令=t0
1/m:

x e dx
称GAMMA函数，记作(α)


0
x 1e x dx
1 1 m
(1+1/m)的值可根据m值由函数表查询得到。(P38, 表3-1)
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(2) 威布尔分布

t
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(2) 威布尔分布
<2> 位置参数
决定了分布的起始点。
当 m, t0 不变 (m=2,t0=1) ， 取不同值时的失效密度曲线： 。 =-1 =0 =1
失效了，即贮存期失效；
f (t)
<0: 表示有些元件开始工作时已经 >0: 在时间以前不失效，也被称
作最小保证寿命。
R(t) 1
(t)
O
t
O
t
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(1) 指数分布
单参数指数分布的可靠性特征量
<3> 平均寿命 （指数分布时，平均寿命用 表示）
0
tf t dt
t e t dt
0

t e
1
t 0
e t dt
0


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<2> 失效率函数(t)
t R t 0 f t
t t
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(1) 指数分布
双参数指数分布的可靠性特征量
<3> 平均寿命
tf t dt
0
t e
0

t
dt
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(2) 威布尔分布
威布尔分布的特点
1> 威布尔分布可分为两类
对于两参数情况
若m=1,
（=0） t m m m 1 f t t e t0 t0
f t
令=1/t0,
1 e t0

t ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
f t e t
e t , R t 1 F t 1 , 0t t0
<2> 失效率函数(t)
t
R t f t
e t
e
t

指数分布的失效率函数(t)等于常数！
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(1) 指数分布
单参数指数分布的可靠性特征量
ln R t0.98 ln R t0.99


ln 0.98 1.67 10 h ln 0.99 1.67 10 h
5 4
1210h 600h
Page 25
t0.99

(2) 威布尔分布
失效密度函数 m 形状参数 t 尺度参数 m t m1 e t0 , t f t t 0 位置参数 t 0 ,
3> 单参数指数分布的平均寿命与寿命标准离差相等
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(1) 指数分布
双参数指数分布
如果随机变量T(可以代表产品寿命)的密度函数为
t , t e f t t 0 , 则称T服从双参数指数分布。
为位置参数
其累积分布函数
t 1 e , t F t e dt 0 0 , t
m=2 m=1 m=0.5
m=1: f(t)为指数曲线
m>1: f(t)呈单峰型
t
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(2) 威布尔分布
m对失效率曲线的影响
(t)
m>1
m=1 m<1
m<1: (t)随时间单调下降 (早期失效) m=1: (t)为常数(偶然失效) m>1: (t) 呈随时间递增迅 速上升(耗损失效)
t 1 e , 0t t F t e dt 0 0 , t 0 t
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(1) 指数分布
单参数指数分布
f(t) F(t) 1

O
t
O
t
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(1) 指数分布
单参数指数分布的可靠性特征量
<1> 可靠度函数R(t)
1 t0.5 ln 0.5 0.307 0.693
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(1) 指数分布
双参数指数分布的特点
1> 失效率函数(t)在t≥时等于常数，在t<时等于0。
2> 双参数指数分布的平均寿命与失效率不再互为倒数
3> 双参数指数分布的寿命标准离差与失效率仍互为 倒数，但与平均寿命不再相等 指数分布是最为常用的分布之一，对应于产品的最佳工 作期——偶然失效期。
t0
t
早期失效期 是失效率较高又迅速下降的时期。其失效原因是，批量产品中混杂各种 劣质或隐患的产品，多为设计上的失误，制造上的差错、缺陷，或包装 运输上的损坏等。 Page 4
2.3 失效率曲线
(t)
早期失效 偶然失效
O
偶然失效期 失效呈随机性，失效率低，基本恒定（又称恒定失效期）。产品在规定的条 件下正常工作，失效则由于偶然因素引起，是产品的最佳工作时期。 偶然失效期也是产品有效工作的时期，这段时间称为有效寿命。 Page 5
t t
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(1) 指数分布
双参数指数分布
f(t) F(t) 1

O

t
O

t
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(1) 指数分布
双参数指数分布的可靠性特征量
<1> 可靠度函数R(t)
t e , R t 1 F t 1 ,
t t
(1) 指数分布
单参数指数分布的可靠性特征量
<4> 寿命方差2和标准离差
t f t dt t 2 et dt 2
2 2 2 0 0
t e
2
t 0
2 te t dt 2
0


2
2
2 2
累积失效分布函数
t 1 e t0 , F t 0 ,
m
t t
Page 26
(2) 威布尔分布
m，t0 ， 的意义
<1> 形状参数m m 取值大小决定了威布尔分布曲线的形状，受其影响 最显著的是失效密度曲线。 f(t)
m=3
m<1: f(t)随时间单调下降