21 可靠性特征量(拟定3学时)

4.1失效率单位
失效率的常用单位有：%/小时，%/千小时， 菲特等。其中，菲特是失效率的基本单位1Fit =10-9/h=10-6/103 h，它表示1000个产品工作 100万小时后，只有一个失效。
4.2 平均失效率
平均失效率是指在某一规定时期内失效率的 平均值。如图所示，在（t1，t2）内失效率
0tf t dt 0tdF(t) 0tdR(t)
tR(t) 0
0
R(t
)dt
不可修复产品的平均寿命，是指产品从开始使 用到其失效前的平均工作时间；
可修复产品的平均寿命，是指相邻两次故障间 的平均工作时间。
n
N ni测试产品所有故障数。 i 1
ni第i个产品的故障数；
tij第i个产品的第j -1次故障到第j次故障的工作时间。
不论产品是否可修复，平均寿命的 估计值可用下式表示：
1 n
n
ti
i 1
式中n ——对不可修产品，它代表试验的产品数；
对可修产品，它代表试验产品发生故障次数。
ti——对不可修产品，它代表第i件产品寿命；
对于可修产品，它代表每次故障修复后的工作时间。
1000
nf
1000
53
/110
48.18%
n
三、失效概率密度f（t） 1、失效概率密度 2、失效概率密度的估计值
1、失效概率密度f（t）
失效概率密度是累积失效概率对时间的变化 率，记作f（t）。它表示产品寿命落在包含t的 单位时间内的概率，即产品在单位时间内失效的 概率。其表示式为:
f (t)=dF (t)/ dt =F′(t)
特征寿命：当R (t) =e-1 =0.37 时对应的 Te1 寿命称特征寿命。
t
n
f
t
t n ns tt
f
t
n f t ns tt
例 对100个某种产品进行寿命试验，在 t=100h以前没有失效，而在100~105h 之间有1个失效，到1000h前共有51个失 效，1000~1005h失效1个，分别求出 t=100和t=1000h时，产品的失效率和 失效概率密度。
（1）求产品在100h时的失效率100
R
ns
t
n
nf
t
1
nf
t
n
n
n
n f t 为在规定时间区间内未完成规定功能的
产品数，即失效数。
2、可靠度估计值 R t
（2）对于可修复的产品，可靠度估计值是 指一个或多个产品的无故障工作时间达到或 超过规定时间t的次数ns(t)与观测时间内无 故障工作总次数n 之比。
R
ns t
n
nf
t
1
nf
即
F
t
t
0
f
t
dt
Rt
t
f
t dt
2、失效概率密度的估计值
f t
F t
t
t
F t
1 t
nf
t
n
t
n
f t
n
n f t
nt
式中Δn f (t) 在(t,t+Δt) 时间间隔内失效的产品数。
当产品的失效概率密度f（t）已确定时，由前 述可知，f（t）、F（t）、R （t）之间的关 系可用下图所示。
失效数 1 △nf(t)
累积失效数 1 nf(t)
2
7
10 30 31 10
6
3
10 20 50 81 91 97
解： 工作40h时， Rˆ(40) Ns (40) 100 10 0.9
N
100
F (40) 1 Rˆ(40) 1 0.9 0.1
工作65h时，
Fˆ (65)
Nf
(t)
50
(a)不可修复产品试验
(b)三台可修复产品试验
二、累积失效概率F（t）
1、累积失效概率的定义 2、累积失效概率的估计值
1、累积失效概率的定义
累积失效概率:产品在规定条件和规定时间 内失效的概率。
也可说产品在规定条件和规定时间内完不 成规定功能的概率，故也称为不可靠度，它同 样是时间的函数，记作F（t）。
2、可靠度估计值 R t
一、可靠度R（t）
1、可靠度定义 可靠度是指产品在规定的条件下和规定的
时间内，完成规定功能的概率。它是时间的 函数，记作R（t）。
设T为产品寿命的随机变量，则可靠度 函数为：R（t）=P（T>t）（2-1）
1、可靠度定义
式（2-1）R（t）=P（T>t）的含义： 表示产品的寿命T超过规定时间t 的概率，即
t
ˆ(t) r
t
式中：r——在规定时间内的失效数； ∑t——规定时间内的累积工作时间。
例 ：有10个零件在指定运行条件下进行了600 小时的试验。零件失效情况如下：零件1于75小 时时失效，零件2于125小时时失效，零件3于 130小时时失效，零件4于325小时时失效，零件 5于525小时时失效。因此，在试验中有5个零件 发生了失效，总运行时间为4180小时。每小时的 失效率为
R(t)
由于 f (t) dR(t) dt
所以有 (t)dt=-dR(t)/R(t)
产品的寿命特征
在可靠性工程中，规定了一系列与寿命 有关的指标：平均寿命、可靠寿命、特 征寿命和中位寿命等等。这些指标总称 为可靠性寿命特征，它们也都是衡量产 品可靠性的尺度。
五 平均寿命
在寿命特征中最重要的是平均寿命。 它定义为寿命的平均值，即寿命的数学期 望，记作“θ”，数学公式为：
n f t
4
14
43
31
8
ns t 96
82
39
8
0
求(1)t＝500h的可靠度估计值 (2)工作500h后再工作500h的任务可靠度
(1)
R
ns
t
96
0.96
n 100
(2)
R 500
500
500
ns 1000 ns 500
82 96
0.854
例2 在规定时间t=700h和规定条件下，同 时对12个不可修复产品和3个可修复产品进 行全数可靠性试验，试验结果如图2-2(a) 和图2-2(b)所示，图中直线表示产品正常 工作时间，“×” 表示产品出现故障时的时 间，t为规定时间，求以上两种情况的产品 可靠度估计值
65 60 70 60
31
50 15.5
0.655
N
100
100
R(65) 1 Fˆ (65) 1 0.655 0.345
同前例，设工作40h后的1h内失效1个，求 工作满40h时的失效率
解:
4.4 失效率与可靠度间的关系
失效率(t)与可靠度R(t)、失效概率密度
函数f(t)等有以下关系： (t) f (t)
和失效概率密度 f 1000
据题意有：
n =100, ns (1000) =100-51=49, Δnf (1000) =1, Δt =105-100 =5(h)
t
n f t ns tt
1 49 5
0.4%
/
h
f t
n
f
t
1
0.2% / h
nt 100 5
4.失效率单位
4.1 失效率单位 4.2 平均失效率 4.3 平均失效率的观测值 4.4 失效率与可靠度间的关系
R t
nf
t
n
例2-2 有110只电子管，工作500h时有 10只失效，工作到1000h时总共有53只电 子管失效，求该产品分别在500h与1000h 时的累积失效概率。
解：∵ n =110, nf (500)=10, nf (1000) =53
∴
F
500
nf
500
10
/110
9.09%
n
F
第二章 可靠性的基本理论
第一节 可靠性特征量
可靠性特征量： 表示产品总体可靠性水平高低的各种可 靠性数量指标。
第一节 可靠性特征量
一、可靠度R（t） 二、累积失效概率F（t） 三、失效概率密度f（t） 四、失效率λ(t) 五、产品的平均寿命 六、寿命方差和寿命标准差
一、可靠度R（t）
1、可靠度定义
t lim 1 Pt T t t T t t0 t
2.失效率公式
由条件概率
P (t <T < t +Δt/ T >t) = P (t <T < t +Δt)/ P( T >t)
有
t
lim
t 0
Pt T t t PT tt
lim
t 0
F t
t Rt t
F t
dF t d t
由条件概率可得
R t1 t2 t1
P T t1 t2 T t1
Rt1 t2 Rt1
根据样本观测值，任务可靠度估计值
R t1 t2 t1
ns t1 t2 ns t1
例1 对某产品寿命100件的观测结果如下表所示。
寿命 t/h
0~500 501~1000 1001~1500 1501~2000 >2000
六、可靠寿命、特征寿命和中位寿命
前面已经提到可靠度函数R（t）是产品工作 时间t的函数，在t= 0 时，R（0）= 1，当工作 时间增加，R（t）逐渐减小。可靠度与工作时间 有一一对应的关系。有时需要知道可靠度等于给 定值r 时，产品的寿命是多少？
可靠寿命TR，就是给定可靠度R 时对应的TR寿命。即 R (TR)= R
产品在规定的时间t 内完成规定功能的概率。 根据可靠度的定义，可以得出：
（1）R（0）= 1 ；（2）R（∞）= 0 。
即开始使用时，所有产品都是好的；只要时 间充分大，全部产品都会失效。
可靠度与时间的关系曲线如下图所示。
R(t) 1.0
0
t
2、可靠度估计值 R t
（1）对于不可修复的产品，可靠度估计值是指 在规定的时间区间（0，t）内，能完成规定功能 的产品数ns(t)与在该时间区间开始投入工作的 产品数n之比。
四、失效率λ(t)
1.失效率的定义 2.失效率公式 3.失效率的估计值
1.失效率的定义
失效率是工作到某时刻尚未失效的产 品，在该时刻后单位时间内发生失效的概 率。记作λ(t)，称为失效率函数，有时也 称为故障率函数。
按上述定义，失效率是在时刻t 尚未失 效的产品在t~t+Δt 的单位时间内发生失效 的条件概率，即：
有时也称为累积失效分布函数（简称失效 分布函数）。其表示式为：
F(t) =P (T≤t) =1-P(T>t) =1-R (t)
从上述定义可以得出：F（0）=0，F（∞）=1。 由此可见，R（t）和F（t）互为对立事件。失效分布 函数F（t）与时间关系曲线如下图所示。
2、累积失效概率的估计值
F
t
1
1
Rt
即
t
F t Rt
Rt Rt
工程实际中，失效率与时间关系曲线有各 种不同的形状，但典型的失效率曲线呈浴盆状，
该曲线有明显的三个失效期，见下图。
但对机械设备的失效率曲线如图(d)所示,
它的早期、偶然和耗损三个失效期不明显。
跑合期
正常工 作期
耗损期
3.失效率的估计值
产品失效率的估计值
和失效概率密度 f 100
据题意有：
n =100, ns (100) =100, Δnf (100) =1, Δt =105-100 =5(h)
t
n
f
t
t n ns tt
f
t
n f t ns tt
1 100
5
0.2%
/
h
f t
n
f
t
1
0.2% / h
nt 100 5
（2）求产品在1000h时的失效率 1000
＝5/4180＝0.001196
例： 假设某系统的运行周期为169小时 （如图所示）。在此期间，发生了6次故 障，工作时间为142小时。每小时的失效 率为
＝6/142＝0.04225
系统的运行新情况图示
例:今有某种零件100个，已工作了6年，工作满5年时 共有3个失效，工作满6年时共有6个失效。试计算这批 零件工作满5年时的失效率。
的平均值为 (t) 1 t2 (t)dt
t2 t1 t1
失效率及其在有效寿命期间的均值
4.3 平均失效率的观测值
(1)对于不可修复的产品是指在一个规定的时期内 失效数与累积工作时间之比。
(2)对于可修复的产品是指它的使用寿命期内的某 个观测期间一个或多个产品的故障发生次数与累
积工作时间之比。即 ˆ(t) r
解 时间以年(a)为单位，则 t 1a
5பைடு நூலகம்
n
f
t
t n ns tt
f
t
n
f
5 1 n ns 5t
f
5
63
100 31
0.0309 /
a
3.09%/
a
如果时间为103h为单位，则 t 1a 8.76 10 3 h
5
n
f
t
t n ns tt
f
t
n
f
5 1 n ns 5t
f
5
63
t
n
n
n
n f t 为无故障工作时间未达到规定时间的次数。
2、可靠度估计值 R t
按规定，计算无故障工作时间总次数 时，每个产品的最后一次无故障工作时间 若不超过规定时间则不予计入。
2、可靠度估计值 R t
从时刻t1工作到时刻t1+t2的条件可靠
度称为任务可靠度，记为 R t1 t2 t1
0.35%/ 103 3.5/ 106 h
100 3 8.76103
例:对某批产品进行寿命试验，抽样数n=100，记录其失效 时间，如下表所示。试求工作40h和65h的可靠度。
时间t，h
10- >20 >30 >40 >50 >60 >70 >80 20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90