第二章 可靠性特征量
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组中值 t i 频数ni 频率 f
* i
累计频率 Fi
205 605 1005
6 28 37 23 9 5 1 1 110
0.05 0.25 0.34 0.21 0.08 0.05 0.01 0.01 1.00
0.05 0.30 0.064 0.85 0.93 0.98 0.99 1.00
1205～1605 1405 1605～2005 1805 2005～2405 2205 2405～2805 2605 2805～3205 3005
1 1 P(t T t t ) F (t t ) F t 1 P(t T t t | T t ) t 1 F t t P(T t ) t F (t t ) F t f t f t 1 t t0 t 1 F t 1 F t R t 因此， (t )表示该产品在t以前正常工作的条件下，在
fi
40
20
205
605
1005
1405
1805
2205
2605
3005
t
图2-2 频率直方图
其图形与图2-1是一致的，只是由于组距缩小 了，分得更细了，因此更接近真实情况。可以设 想，如果试验个数越来越多，分组越来越细，那 么相邻矩形的高度差别就会越来越小，最后折线 就趋于一条光滑的曲线，这条曲线就表示失效时 间在理论上的分布曲线，称为失效密度曲线。它 的数学表达式为：
第二节 可靠性特征量
系统失效 :系统丧失规定的功能。当系统是可修复系统时，称 为系统故障。 系统失效可分为两类： 永久性损坏。如机械损坏 功能故障。所谓功能故障指系统的各种功能出现不利的变化， 或受环境条件的影响功能不能正常发挥，一旦外界条件变好， 系统功能仍能恢复。 据失效的性质，系统失效又可以分为两类: 突然失效。在大多数情况下，元器件的机械或电器的失效是 突然发生的，称为突然失效。突然失效通常使系统完全丧失 规定的功能。 退化失效。 由于老化而使得元器件、材料的参数逐渐变化 而引起的失效，称为退化失效。退化失效多半仅仅使系统的 输出特性变坏，而系统可以继续保持工作能力。
1530 1550 1570 1590 1640 1700 1730 1750 1790 1800 1820 1870 1890 2050 2070 2180 2250 2380 2750 3100
表2-2 失效数据的频数分布表 组号 范围 1 2 3 4 5 6 7 8 合计 5～405 405～805 805～1205
(t, t t ] 中失效的概率。
2.1 可靠性特征量
失效率两种解释： 2.设一批N个同型产品同时独立的工作，n(t)为产品在（ 0，t）时间内的失效个数。先令N ，再令t0 ，有 n ( t t ) n ( t ) 1 lim (t ) N N n (t ) t n(t t ) n(t ) t 0 n(t t ) n(t ) 1 n(t ) N N 1 因为： F t 进而： N n(t ) N n (t ) t t N 1 N F (t t ) F (t ) 1 1 F (t ) t
3.倾斜的数据
4.双峰数据:人为的调整
正态分布?相同的平均值和标准差
结 论
1.大部分有关统计过程控制的教科书和教学都强调把正态 分布作为制作图表和决策的基础. 2.对处于临界应力使用条件下的机械零件(如飞机和民用工 程结构零件)有典型设计规定，要求在最大预计应力和预计 强度较低的3σ值之间一定要有安全系数?(极值分布) 3.达到高质量的“6σ”方法 4.工程变异很大程度上是由人(如设计者、制造者、操作者 及维修者)所引起的。必须总要把人的因素考虑进去，必须 重视能动性、培训、管理。 5.在任何应用统计方法处理科学和工程问题的过程中，所 有的因果关系最终都在科学理论、工程设计、过程或人的 行为等方面有所解释。我们只有寻求变异的原因，才算真 正地受控。
t0
F (t t ) F (t ) 1 f (t ) f (t ) 1 F (t ) t 1 F (t ) R(t )
T:非负随机变量,表示产品从开始工作到发生失效或故障 的时间，即产品的寿命，其概率密度为f(t), 如图所示. 若t表示某一指定时刻， 则T相应的分布函数为： f(t) f(t) t F (t )
F (t ) P(T t ) f (t )dt
0
T t ：产品寿命少于或等于t，即
产品产品在规定条件下和规定时间 内未完成规定功能（即失效）; 0 t T
F (t ) = f (t )dt 0
= 1
是对立事件，按概率互补定理可得:
F ( t ) = 1 R (t ) dF (t ) dR(t ) 2. f (t ) dt dt
= 1 R (t )
t
f (t )dt
2.1 可靠性特征量
用观测值表示R（t），F（t） 设有N个同型号产品，开始工作时 t=0,到任意时间t时，有n（t）个失效， 则有N-n（t）个能正常工作,则：
N n(t ) R(t ) N n (t ) F (t ) N
R（0）=1，R（≦）=0； F（0）=0，F（≦）=1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.1 可靠性特征量
2.失效率（t） f (t ) 定义： (t ) 为随机变量T的失效率（函数）或故障 R(t ) 率函数。 两种解释： 1.工作到某时刻t时尚未失效或故障的产品，在t时刻以 后的下一个单位时间内发生失效或故障的概率。
失效分布函数与失效密度函数之间有下述关系：
F (t )
dF (t ) f (t ) dt t
(2-7)
0
f (t )dt
(2-8)
F t
i
1.0
0.5
205
605
1005 1405
1805
2205
2605
3005
t
图2-3 累积失效分布函数曲线
第二章 可靠性特征量
不可靠度(寿命分布函数)：
第二章 可靠性特征量和常用的寿命分布
第一节 统计方法在可靠性中应用的前提
第二节 可靠性特征量
第三节 常用寿命分布
习题
统计学方法在可靠性中应用的基本思路
根据历史数据进行推断
可靠性评价：
1.收集和分析零部件和子系统的历史数据 2.根据历史数据计算可靠性特征量 3.根据历史数据作图（概率图、各个特征量的图） 4.根据图形假设历史数据符合某种分布
k
Fk
f t
i 1 i i 1
k
k
ni t N t
ni （2-4） N i 1
k
由此可得
F , F2 ,, Fi 1
。
以失效时间 t 为横坐标，以累计频率 Fi 为纵坐标 画出的直方图如图2-3，称为失效累计频率图。
当数据个数很多，分组又很细，则图形的顶部折线将趋 于一条光滑的曲线，这条曲线就表示时间 T 在理论上的累积 分布曲线。其表达式为： n(t ) (2-5) F (t ) N 或 n(t ) (t ) (2-6) N 式中 F t ——失效累积分布函数或失效概率分布函数，简 称失效分布函数。
880
790
900
800
920
810
920
830
930
840
940
840
950
850
970
860
980
1000 1000 1010 1030 1040 1050 1070 1070 1080
1100 1100 1130 1140 1150 1180 1180 1180 1190 1200 1200 1210 1220 1230 1240 1240 1260 1260 1270 1290 1290 1300 1330 1380 1400 1430 1450 1490 1500 1500
dnt f t Ndt
式中 f t ——失效密度函数。
(2-2)
对于失效密度曲线而言，失效密度曲 线与横坐标轴之间的面积等于1。用积分表 示为： (2-3) f (t )dt 1
0
此式表明，失效时间随机变量在 [0,≦]范围内取值的概率等于1。
若将上例中第1组到第 k 组所有失效频率累加， 称为第 k 组的累积频率，记为 F 。即
以失效时间 为横坐标，以 频率 f i * 除以组 距 t 所得的 商 * fi ni fi t Nt
t
为纵坐标， 画出失效频率 直方图。如图 2-1所示。
图2-1 频率直方图
此直方图的面积值正是失效的频率值，全部矩形 面积的总和为1，由此可以看出为什么坐标不取频 率，而取为频率除以组距的商。从失效频率直方 图中，可以看到110个集成模块的失效时间分布情 况：①分布范围是从5h到3205h：②分布集中在 1005h左右为最多；③每个小的区间所占整个分布 的比例不等。 若将图2-1中的组距分得更小些、组数分得更 多一些，比如将组距=400h缩小一倍，此时的频率 直方图如图2-2所示。
F(t)
f(t)
R (t )
0 t T
2.1 可靠性特征量
1.可靠度的性质 可靠度： P 1 0.5 F(t) R(t)
R=R（t）=P(T≥t)，t≥0
1：为时间t的递减函数 2：0 ≤ R（t）≤1 3：R（0）=1， R（≦）=1
0
t
t
T
可靠度与累积失效分布函数：
1.完成规定功能与未完成规定功能
传统的假设
1.变异的性质不随时间改变。
2.变异以特定的方式分布，可用一个数学函数。 即统计正态分布来描述。
工程中变异与传统正态分布假设的偏离
1.截尾数据
2.选择的结果（截尾分布）
3.倾斜的数据
4.双峰数据
变异是正态分布的吗？
1.截尾数据:零件尺寸、人体尺寸
2.选择的结果:产品的分类销售
F (t ) :产品在规定条件下和规定时间内未完成规定功能（即发
生失效）的概率，称为累积失效分布函数(累积失效概率)，也 称不可靠度。一般记为F或 F(t)
第二章 可靠性特征量
可靠度
R(t ) P(T t )
t
f (t )dt
f(t)
T t ：产品寿命大于t，即
产品产品在规定条件下和规 定时间内完成规定功能; P(T t ) : 产 品 在 规 定 条 件 下和规定时间内完成规定功 能的概率，称为可靠度，一 般记为 R (t ) 。
5.检验数据是否符合假设的分布
6.根据系统的类型计算系统的可靠性特征量 可靠性设计：假设参数符合正态分布
工程中变异的特点
零部件供应商可能在某个过程中做了小的改动。而 导致了可靠性方面的大变化(更好或更坏）。
零部件可能是根据诸如尺寸或其他可测量参数的准 则选样的，这并不符合大多数统计方法所基于的统 计正态分布假定。 某个过程或参数可能随时间连续地或周期性地变化。 某些变异就性质而论往往是确定性的：如弹簧的变 形是力的函数，对这种情况运用统计技术不一定总 是很适合的。 变异可能是大变异，而不仅仅是连续的；例如．电 平的参数可能在一个范围内变化，也可能变到零。
系统的工作部件失效并不能引起系统的不可靠 失效判据（或失效标准）: 为了判断失效，必须制定判断失效的技术指标.
失效密度函数与累积分布函数 为了研究系统失效的规律，以下面的实验为例 进行分析。
例2-1 测得某型号的N=110（个）集成电路块的失 效时间（从开始工作到失效之间的时间）如表21所示。此表是对所测得的数据进行了初步整理， 按从小到大的顺序排列后，再进行分组处理，比 如分为8组，计算每组中的失效数据的个数（称 为频率），记第 组的频率为 ，再除以总 ni i * 数N即得该组的频率 ，列表如表2-2所示。 f
i
表2-1
160 510 650 200 530 650 260 540 670
110个集成块的失效时间数据
300 560 690 350 580 700 390 600 710 450 600 730 460 610 730 480 630 750 500 640 770
770
870 990
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* i
累计频率 Fi
205 605 1005
6 28 37 23 9 5 1 1 110
0.05 0.25 0.34 0.21 0.08 0.05 0.01 0.01 1.00
0.05 0.30 0.064 0.85 0.93 0.98 0.99 1.00
1205～1605 1405 1605～2005 1805 2005～2405 2205 2405～2805 2605 2805～3205 3005
1 1 P(t T t t ) F (t t ) F t 1 P(t T t t | T t ) t 1 F t t P(T t ) t F (t t ) F t f t f t 1 t t0 t 1 F t 1 F t R t 因此， (t )表示该产品在t以前正常工作的条件下，在
fi
40
20
205
605
1005
1405
1805
2205
2605
3005
t
图2-2 频率直方图
其图形与图2-1是一致的，只是由于组距缩小 了，分得更细了，因此更接近真实情况。可以设 想，如果试验个数越来越多，分组越来越细，那 么相邻矩形的高度差别就会越来越小，最后折线 就趋于一条光滑的曲线，这条曲线就表示失效时 间在理论上的分布曲线，称为失效密度曲线。它 的数学表达式为：
第二节 可靠性特征量
系统失效 :系统丧失规定的功能。当系统是可修复系统时，称 为系统故障。 系统失效可分为两类： 永久性损坏。如机械损坏 功能故障。所谓功能故障指系统的各种功能出现不利的变化， 或受环境条件的影响功能不能正常发挥，一旦外界条件变好， 系统功能仍能恢复。 据失效的性质，系统失效又可以分为两类: 突然失效。在大多数情况下，元器件的机械或电器的失效是 突然发生的，称为突然失效。突然失效通常使系统完全丧失 规定的功能。 退化失效。 由于老化而使得元器件、材料的参数逐渐变化 而引起的失效，称为退化失效。退化失效多半仅仅使系统的 输出特性变坏，而系统可以继续保持工作能力。
1530 1550 1570 1590 1640 1700 1730 1750 1790 1800 1820 1870 1890 2050 2070 2180 2250 2380 2750 3100
表2-2 失效数据的频数分布表 组号 范围 1 2 3 4 5 6 7 8 合计 5～405 405～805 805～1205
(t, t t ] 中失效的概率。
2.1 可靠性特征量
失效率两种解释： 2.设一批N个同型产品同时独立的工作，n(t)为产品在（ 0，t）时间内的失效个数。先令N ，再令t0 ，有 n ( t t ) n ( t ) 1 lim (t ) N N n (t ) t n(t t ) n(t ) t 0 n(t t ) n(t ) 1 n(t ) N N 1 因为： F t 进而： N n(t ) N n (t ) t t N 1 N F (t t ) F (t ) 1 1 F (t ) t
3.倾斜的数据
4.双峰数据:人为的调整
正态分布?相同的平均值和标准差
结 论
1.大部分有关统计过程控制的教科书和教学都强调把正态 分布作为制作图表和决策的基础. 2.对处于临界应力使用条件下的机械零件(如飞机和民用工 程结构零件)有典型设计规定，要求在最大预计应力和预计 强度较低的3σ值之间一定要有安全系数?(极值分布) 3.达到高质量的“6σ”方法 4.工程变异很大程度上是由人(如设计者、制造者、操作者 及维修者)所引起的。必须总要把人的因素考虑进去，必须 重视能动性、培训、管理。 5.在任何应用统计方法处理科学和工程问题的过程中，所 有的因果关系最终都在科学理论、工程设计、过程或人的 行为等方面有所解释。我们只有寻求变异的原因，才算真 正地受控。
t0
F (t t ) F (t ) 1 f (t ) f (t ) 1 F (t ) t 1 F (t ) R(t )
T:非负随机变量,表示产品从开始工作到发生失效或故障 的时间，即产品的寿命，其概率密度为f(t), 如图所示. 若t表示某一指定时刻， 则T相应的分布函数为： f(t) f(t) t F (t )
F (t ) P(T t ) f (t )dt
0
T t ：产品寿命少于或等于t，即
产品产品在规定条件下和规定时间 内未完成规定功能（即失效）; 0 t T
F (t ) = f (t )dt 0
= 1
是对立事件，按概率互补定理可得:
F ( t ) = 1 R (t ) dF (t ) dR(t ) 2. f (t ) dt dt
= 1 R (t )
t
f (t )dt
2.1 可靠性特征量
用观测值表示R（t），F（t） 设有N个同型号产品，开始工作时 t=0,到任意时间t时，有n（t）个失效， 则有N-n（t）个能正常工作,则：
N n(t ) R(t ) N n (t ) F (t ) N
R（0）=1，R（≦）=0； F（0）=0，F（≦）=1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.1 可靠性特征量
2.失效率（t） f (t ) 定义： (t ) 为随机变量T的失效率（函数）或故障 R(t ) 率函数。 两种解释： 1.工作到某时刻t时尚未失效或故障的产品，在t时刻以 后的下一个单位时间内发生失效或故障的概率。
失效分布函数与失效密度函数之间有下述关系：
F (t )
dF (t ) f (t ) dt t
(2-7)
0
f (t )dt
(2-8)
F t
i
1.0
0.5
205
605
1005 1405
1805
2205
2605
3005
t
图2-3 累积失效分布函数曲线
第二章 可靠性特征量
不可靠度(寿命分布函数)：
第二章 可靠性特征量和常用的寿命分布
第一节 统计方法在可靠性中应用的前提
第二节 可靠性特征量
第三节 常用寿命分布
习题
统计学方法在可靠性中应用的基本思路
根据历史数据进行推断
可靠性评价：
1.收集和分析零部件和子系统的历史数据 2.根据历史数据计算可靠性特征量 3.根据历史数据作图（概率图、各个特征量的图） 4.根据图形假设历史数据符合某种分布
k
Fk
f t
i 1 i i 1
k
k
ni t N t
ni （2-4） N i 1
k
由此可得
F , F2 ,, Fi 1
。
以失效时间 t 为横坐标，以累计频率 Fi 为纵坐标 画出的直方图如图2-3，称为失效累计频率图。
当数据个数很多，分组又很细，则图形的顶部折线将趋 于一条光滑的曲线，这条曲线就表示时间 T 在理论上的累积 分布曲线。其表达式为： n(t ) (2-5) F (t ) N 或 n(t ) (t ) (2-6) N 式中 F t ——失效累积分布函数或失效概率分布函数，简 称失效分布函数。
880
790
900
800
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810
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830
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940
840
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850
970
860
980
1000 1000 1010 1030 1040 1050 1070 1070 1080
1100 1100 1130 1140 1150 1180 1180 1180 1190 1200 1200 1210 1220 1230 1240 1240 1260 1260 1270 1290 1290 1300 1330 1380 1400 1430 1450 1490 1500 1500
dnt f t Ndt
式中 f t ——失效密度函数。
(2-2)
对于失效密度曲线而言，失效密度曲 线与横坐标轴之间的面积等于1。用积分表 示为： (2-3) f (t )dt 1
0
此式表明，失效时间随机变量在 [0,≦]范围内取值的概率等于1。
若将上例中第1组到第 k 组所有失效频率累加， 称为第 k 组的累积频率，记为 F 。即
以失效时间 为横坐标，以 频率 f i * 除以组 距 t 所得的 商 * fi ni fi t Nt
t
为纵坐标， 画出失效频率 直方图。如图 2-1所示。
图2-1 频率直方图
此直方图的面积值正是失效的频率值，全部矩形 面积的总和为1，由此可以看出为什么坐标不取频 率，而取为频率除以组距的商。从失效频率直方 图中，可以看到110个集成模块的失效时间分布情 况：①分布范围是从5h到3205h：②分布集中在 1005h左右为最多；③每个小的区间所占整个分布 的比例不等。 若将图2-1中的组距分得更小些、组数分得更 多一些，比如将组距=400h缩小一倍，此时的频率 直方图如图2-2所示。
F(t)
f(t)
R (t )
0 t T
2.1 可靠性特征量
1.可靠度的性质 可靠度： P 1 0.5 F(t) R(t)
R=R（t）=P(T≥t)，t≥0
1：为时间t的递减函数 2：0 ≤ R（t）≤1 3：R（0）=1， R（≦）=1
0
t
t
T
可靠度与累积失效分布函数：
1.完成规定功能与未完成规定功能
传统的假设
1.变异的性质不随时间改变。
2.变异以特定的方式分布，可用一个数学函数。 即统计正态分布来描述。
工程中变异与传统正态分布假设的偏离
1.截尾数据
2.选择的结果（截尾分布）
3.倾斜的数据
4.双峰数据
变异是正态分布的吗？
1.截尾数据:零件尺寸、人体尺寸
2.选择的结果:产品的分类销售
F (t ) :产品在规定条件下和规定时间内未完成规定功能（即发
生失效）的概率，称为累积失效分布函数(累积失效概率)，也 称不可靠度。一般记为F或 F(t)
第二章 可靠性特征量
可靠度
R(t ) P(T t )
t
f (t )dt
f(t)
T t ：产品寿命大于t，即
产品产品在规定条件下和规 定时间内完成规定功能; P(T t ) : 产 品 在 规 定 条 件 下和规定时间内完成规定功 能的概率，称为可靠度，一 般记为 R (t ) 。
5.检验数据是否符合假设的分布
6.根据系统的类型计算系统的可靠性特征量 可靠性设计：假设参数符合正态分布
工程中变异的特点
零部件供应商可能在某个过程中做了小的改动。而 导致了可靠性方面的大变化(更好或更坏）。
零部件可能是根据诸如尺寸或其他可测量参数的准 则选样的，这并不符合大多数统计方法所基于的统 计正态分布假定。 某个过程或参数可能随时间连续地或周期性地变化。 某些变异就性质而论往往是确定性的：如弹簧的变 形是力的函数，对这种情况运用统计技术不一定总 是很适合的。 变异可能是大变异，而不仅仅是连续的；例如．电 平的参数可能在一个范围内变化，也可能变到零。
系统的工作部件失效并不能引起系统的不可靠 失效判据（或失效标准）: 为了判断失效，必须制定判断失效的技术指标.
失效密度函数与累积分布函数 为了研究系统失效的规律，以下面的实验为例 进行分析。
例2-1 测得某型号的N=110（个）集成电路块的失 效时间（从开始工作到失效之间的时间）如表21所示。此表是对所测得的数据进行了初步整理， 按从小到大的顺序排列后，再进行分组处理，比 如分为8组，计算每组中的失效数据的个数（称 为频率），记第 组的频率为 ，再除以总 ni i * 数N即得该组的频率 ，列表如表2-2所示。 f
i
表2-1
160 510 650 200 530 650 260 540 670
110个集成块的失效时间数据
300 560 690 350 580 700 390 600 710 450 600 730 460 610 730 480 630 750 500 640 770
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