变化中的三角形15分钟练习
人教版八年级上册数学第11章三角形 11.1.1三角形的边 综合练习
人教版八年级上册数学第11章三角形 11.1.1三角形的边综合练习1.三角形的两边长分别为8和6，第三边长是一元一次不等式2x－1＜9的正整数解，则三角形的第三边长是 .2. 已知三角形三边长分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是( )A. 4＜a＜10B. 5＜a＜11C.－5＜a＜－2D.－2＜a＜－53. 已知a，b，c为△ABC的边长，b，c满足(b－2)2＋c－3＝0，且a为方程|a－4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.4. 已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，且三角形的周长是大于14的偶数.(1)求c的值；(2)判断△ABC的形状.5.在△ABC中，AD，CE分别是△ABC的高，且AD＝2，CE＝4，则AB∶BC＝( )A.3∶4B. 2∶1C.1∶2D. 4∶36.如图，在△ABC中，PA，PB，PC是△ABC三个内角的平分线，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝度.7.如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，AB＝3，AC＝5，DE＝2，则点D到AB的距离是 .8. 一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠ABC＝ .9.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，且∠C＝76°，∠A＝60°，则∠BDE的度数为( )A.20°B.22°C.44°D.82°第9题图10. 一个三角形三个内角的度数比为3∶4∶5，则这个三角形一定是( )A.锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D.等腰三角形11.在△ABC中，∠A＝60°＋∠B＋∠C，则∠A等于( )A. 60°B. 30°C.120°D.140°12. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“标准三角形”，其中α为“标准角”.如果一个“标准三角形”的“标准角”为100°，那么这个“标准三角形”的最小内角度数为( )A.30°B.45°C.50°D.60°13.如图，BE，CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，BE，CF相交于D，则∠CDE的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.50°14.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，E是AC边上一点，BE，CD相交于F，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝28°，则∠CFE的度数为( )A.62°B. 90°C.78°D. 68°15. 已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，F是高BE，CD的交点，求∠BFC的度数.16. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是BC边上的高，已知∠BAC＝2∠B，∠B＝2∠DAE，那么∠ACB＝ .17. 如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于 .18.如图，∠AOB＝90°，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO 的平分线交于点F.(1)若∠OCD＝50°(如图1)，试求∠F的度数；(2)当C，D在射线OA，OB上任意移动时(不与点O重合)(如图2)，∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F的度数.19.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状，为什么？(3)如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A 与∠D有什么关系？为什么？【答案】1.3或42. C3.解：解：∵(b－2)2＋c－3＝0，∴b－2＝0，c－3＝0，∴b＝2，c＝3.∵|a－4|＝2，∴a＝6或2.当a＝6，b＝2，c＝3时，不能构成三角形；当a＝2，b＝2，c＝3时，周长为7，是等腰三角形.4, (1)∵6－4＜c＜6＋4，∴2＜c＜10.又∵三角形的周长是大于14的偶数，∴c＞4，且c为偶数，∴c＝6或8.(2)当c＝6时，b＝c＝6，a＝4，此时△ABC为等腰三角形；当c＝8时，b＝6，a＝4，此时△ABC为不等边三角形.5. C6.907. 103 8.75°9. B 10. A 11. C 12. A 13. B 14. A解析：∵∠A＝70°，∠ACD＝20°，∴∠ADC＝90°，∴∠BDF＝180°－∠ADC＝90°.在△BDF中，∠BFD＝180°－∠BDF－∠DBF＝180°－90°－28°＝62°，∴∠CFE＝∠BFD＝62°.15. 解：∵∠A＝55°，BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ABE＝∠ACD＝180°－∠A－90°＝35°，∴∠BCF＋∠CBF＝180°－∠A－∠ABE－∠ACD＝180°－55°－35°－35°＝55°，∵∠BFC＋∠BCF＋∠CBF＝180°，∴∠BFC＝125°.16. 72°17.解：70°18.. (1)∵∠AOB＝90°，∠OCD＝50°，∴∠CDO＝40°，∠ACD＝130°.∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，∴∠ECD＝65°，∠CDF＝20°.∵∠DCE＝180°－∠DCF，∠F＋∠CDF＝180°－∠DCF，∴∠ECD ＝∠F ＋∠CDF ， ∴∠F ＝45°. (2)不变化，∠F ＝45°.∵∠AOB ＝90°， ∴∠CDO ＝90°－∠OCD ，易知∠ACD ＝180°－∠OCD . ∵CE 是∠ACD 的平分线，DF 是∠CDO 的平分线， ∴∠ECD ＝90°－12∠OCD ，∠CDF ＝45°－12∠OCD .∵∠DCE ＝180°－∠DCF ，∠F ＋∠CDF ＝180°－∠DCF ， ∴∠ECD ＝∠F ＋∠CDF ， ∴∠F ＝45°. 19. 解：(1)∠ACD ＝∠B .理由如下： ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠DCB ＝90°，∠B ＋∠DCB ＝90°， ∴∠ACD ＝∠B . (2)△ADE 是直角三角形.∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别在AC ，AB 上，且∠ADE ＝∠B ，∠A 为公共角，∴∠AED ＝∠ACB ＝90°，∴△ADE 是直角三角形.(3)∠A ＋∠D ＝90°.∵在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠C ＝90°，∠E ＝90°，AB ⊥BD ， ∴∠ABC ＋∠A ＝∠ABC ＋∠DBE ＝∠DBE ＋∠D ＝90°，∴∠A ＋∠D ＝90°.。
【精品】初中数学 三角形与多边形复习 练习题
三角形复习三角形有关边1.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为2.一个三角形的两边长为2cm和9cm，第三边长是一个奇数，则第三边的长为+-.3.已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|-c b a4.已知等腰三角形的周长为20．（1）当一边长为6时，另两边的长是多少？（2）当一边长为4时，另两边的长是多少？5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。
ECB6.用三角尺分别画出图中的各边上的高。
7.用三角尺分别画出图中的各边上的中线以及角平分线。
8.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，BC=12，AC=8，AD=6，求BE 的长。
9.如图，△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若AB=5cm ，AC=3cm ，则△ABD 的周长比△ACD 的周长多______________.DCBA10.如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，DF为△ABD中AB边上的中线。
已知AB=5cm，AC=3cm，△ABC的面积为212cm，则（1）△ABD与△ACD的周长之差是（2）△ABD的面积是（3）△ADF的面积是11.小明从家A点去学校B点，有两条路可走，A→D→B；A→C→B，可小明每回上学都走A→C →B，因为他认为该路比另一条要近，小明的想法对吗？为什么？12.如图，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )A、三角形的稳定性B、两点确定一条直线C、两点之间线段最短D、垂线段最短FD CBA三角形有关角1.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60° 2.已知三角形的一个内角是另一个内角的23,是第三个内角的45,则这个三角形各内角的度数分别为( ) A.60°,90°,75° B.48°,72°,60°C.48°,32°,38°D.40°,50°,90°3.已知△ABC 中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A 的度数为( ) A.100° B.120° C.140° D.160°4.在△ABC 中,∠A=12∠B=13∠C,则此三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5.若一个三角形的三个内角不相等，则它的最小角不能大于（ ）A.450B.600C.900D.12006.如图，a ∥b ，则下列式子中值为180°的是( )．A ．∠α＋∠β－∠γB ．∠α＋∠β＋∠γC ．∠β＋∠γ－∠αD ．∠α－∠β＋∠γ7.如图是由平面上五个点A ，B ，C ，D ，E 连接而成，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数是多少？8.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC,AE 是∠BAC 的平分线，已知∠C=420, ∠B=740, 求∠AED 和∠DAE 的度数.9.已知△ABC ，①如图1，若P 点是ABC ACB ∠∠和的角平分线的交点，请说明1902PA ∠=+∠； EDC BAAB D EC②如图2 ，若P 点是ABC ∠∠和外角ACD 的角平分线的交点,你能说明∠P=12∠A 吗? ③如图３，若P 点是外角CBF BCE ∠∠和的角平分线的交点，你能说明1902P A ∠=-∠吗?多边形：1、若一个多边形的内角和与外角和的比为7∶2，求这多边形的边数。
小学数学《三角形的等积变形》练习题(含答案)
内容概述
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；
如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
于是：三角形ABD的面积=12×高÷2=6×高
三角形ABC的面积=（12+4）×高÷2=8×高
三角形ADC的面积=4×高÷2=2×高
所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4/3倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。
巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数=底的倍数
【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。
【例6】如右图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米?
【例7】图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.
【例8】（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如右图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是？
例题精讲
2023年中考数学高频考点提升练习--三角形的动点问题
2023年中考数学高频考点提升练习--三角形的动点问题一、单选题1．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是（）A．3s或4.8s B．3s C．4.5s D．4.5s或4.8s2．如图，在平面直角坐标系中，等边△OBC的边OC在x轴正半轴上，点O为原点，点C坐标为(12，0)，D是OB上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥OB于点G.当G与D重合时，点D的坐标为()A．(1，√3)B．(2，2√3)C．(4，4√3)D．(8，8√3)3．如图，在等腰三角形ACB中，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），DE△AC，DF△BC，垂足分别为E，F，则DE+DF的值等于（）A．125B．3C．245D．64．如图，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连结DE，点F为DE的中点，连结CF.若AB＝2a（a为常数，a＞0），当点C在线段AB上运动时，线段CF的长度l的取值范围是（）A．√3a3≤l≤√3a2B．√3a2≤l≤aC．a2≤l≤√3a3D．√3a3≤l≤a5．如图，在等边△ABC中，BC=12,D、E是BC边上的两点，BD=CE=2，点M,N,P分别是线段AB,AC,DE上的一动点，连接MN、AP,MN与AP交于点G，若四边形AMPN是平行四边形，则点P由点D移动到点E的过程中，下列结论正确的是（）①MG=NG；②△NPC∼△ABC；③当P运动到BC中点时，四边形AMPN是菱形，且菱形面积为18√3；④点P由点D移动到点E的过程中，点G所走的路径长为4A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是（）A．5B．4C．3D．07．在四边形ABCD中，△A＝45°，△D＝90°，AD△BC，BC＝1，CD＝3．点P，Q同时从点A出发，点P以√2个单位长度/秒向点B运动，到达点B停止运动；点Q以2个单位长度/秒沿着AD→DC向点C运动，到达点C停止运动．设点Q运动时间为ts，△APQ的面积为S，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．8．如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（）A．y=﹣2x+1B．y=﹣x+2C．y=﹣3x﹣2D．y=﹣x+2二、填空题9．在△ABC中，AB=AC，BC=5，∠BAC=90°，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE，A、E两点间的最小距离为．10．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝6，△B＝30°，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．11．如图，在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为3和2，点E在CD上，点F在AB的延长线上，且EC=BF，连接FC。
6.2变化中的三角形
2：如 图，一边靠墙，其余三边用 米长的篱笆 ： 一边靠墙，其余三边用12米长的篱笆 围成一个长方形花圃。 围成一个长方形花圃。 （1）如果设花圃靠墙一边的长为 （米）， ）如果设花圃靠墙一边的长为x（ 花圃的面积为多少？ 花圃的面积为多少？ （2）当长 从4米变到 米时， 米变到6米时 ）当长x 米变到 米时， 面积y 的变化如何？ 面积 的变化如何？
A
（1）决定一个三角形的面积的因素 ） 有哪些？ 有哪些？ （2）若△ABC底边 上的高是6厘 ） 底边BC上的高是 厘 底边 上的高是 三角形的顶点C沿底边 沿底边BC 米，三角形的顶点 沿底边 所在直线向点B运动时 运动时， 所在直线向点 运动时，三角形 C 的面积发生了怎样的变化？ 的面积发生了怎样的变化？
B
量是因变量？ （3）这个过程中哪个量是自变量，哪个 量是因变量？ ）这个过程中哪个量是自变量，
A
4cm
B
D
（4）如果三角形的底边长为 x（厘 ） （ ），那么三角形的面积 那么三角形的面积y（ 米），那么三角形的面积 （厘米2） 可以表示为什么？ 可以表示为什么？ （5）当底边长从12厘米变化到 厘 ）当底边长从 厘米变化到3厘 厘米变化到 米时，三角形的面积从________厘 米时，三角形的面积从 厘 C 变化到_______厘米2。 米2变化到 厘米
C B D A
米变到8米时 的变化如何？ （3）当长 从6米变到 米时，面积 y的变化如何？ ）当长x 米变到 米时， 的变化如何 （4）随着 的增加，y 的变化趋势如何？y 什么时候最大？ ）随着x 的增加， 的变化趋势如何？ 什么时候最大？
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理一理： 理一理：
1，到今天为止我们一共学了几种方法来表示自变 ， 量与因变量之间的关系？ 量与因变量之间的关系？ 2，列表与列关系式表示变量之间的关系各有什么 ， 特点？ 特点？ 3，通过这节课，同学们有什么收获？ ，通过这节课，同学们有什么收获？
三角形图形变换多种情况动点专项练习30题(有答案)
三角形图形变换多种情况动点专项练习30题（有答案）1．在等边△ABC中，点D、E分别是边AC、AB上的点（不与A、B、C重合），点P是平面内一动点．设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠a．（1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示．则∠1+∠2=．（用α的代数式表示）（2）若点P在△ABC的外部，如图（2）所示．则∠α、∠1、∠2之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．（3）当点P在边BC的延长线上运动时，试画出相应图形，并写出∠α、∠1、∠2之间的关系式．（不需要证明）2．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点（无作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．3．如图，在等边△ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F．（1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图①，求证：CF+BE=CD；（提示：过点F作FM∥BC交射线AB于点M．）（2）当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图②；当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角时，如图③，请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系，不需要证明；（3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4，则BE=，CD=．4．【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．5．（1）如图1，在等边△ABC中，点P是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AP，以AP为边作等边△APQ，连结CQ．求证：∠ABC=∠ACQ．（2）如图2，在等腰△ABC中，BA=BC，点P是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AP，以AP为边作等腰△APQ，使顶角∠APQ=∠ABC．连结CQ．试探究∠ABC与∠ACQ的数量关系，并说明理由．（3）如图3，在△ABC中，点P是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AP，以AP为边作△APQ，使∠APQ=∠B，连结CQ．若要使∠ACQ=∠ABC一定成立，则△APQ与△ABC之间必须具备什么关系？6．已知：等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，点M在直线BC上，以点M 为旋转中心，将线段MD顺时针旋转60°至MD′，连接ED′．（1）如图1，当点M在点B左侧时，线段ED′与MF的数量关系是；（2）如图2，当点M在BC边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由；（3）当点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由．7．在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，（1）如图1，点D、E分别是AB、AC边的中点，AF⊥BE交BC于点F，连结EF、CD交于点H．求证：EF⊥CD；（2）如图2，AD=AE，AF⊥BE于点G交BC于点F，过F作FP⊥CD交BE的延长线于点P，试探究线段BP，FP，AF之间的数量关系，并说明理由．8．已知△ABC是等边三角形，E是AC边上一点，F是BC边延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）如图1，若E是AC边的中点，猜想BE与EF的数量关系为．（2）如图2，若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（3）如图3，若E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．9．在△ABC，∠BAC为锐角，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）如图1，若△ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若∠ABE=60°，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；②如图3，若AC+AB=AE，求∠BAC的度数．10．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．11．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON=30°，如图③，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；（3）将图①中的三角尺OMN绕点O按每秒30°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第秒时，边MN恰好与边CD平行；在第秒时，直线MN恰好与直线CD垂直．（直接写出结果）12．如图，已知△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC=80°，∠ACB=50°，则∠BPC=度；（2）若∠A=x°，试求∠BPC的度数（用含x的代数式表示）；（3）现将一直线MN绕点P旋转．①当直线MN与AB、AC的交点M、N分别在线段AB和AC上时（如图1），试求∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明理由；②当直线MN与AB的交点M在线段AB上，与AC的交点N在AC的延长线上时（如图2），试问①中的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的数量关系，并说明理由．13．如图，A为x轴负半轴上一点，C（0，﹣2），D（﹣3，﹣2）．（1）求△BCD的面积；（2）若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交CO于P，交CA于Q，判断∠CPQ与∠CQP的大小关系，并说明你的结论．（3）若∠ADC=∠DAC，点B在x轴正半轴上任意运动，∠ACB的平分线CE交DA的延长线于点E，在B 点的运动过程中，∠E与∠ABC的比值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由．14．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC 和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当一个点停止运动时时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．（1）用含有t的代数式表示CP．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？16．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s 的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，经过t秒后，△BPD与△CQP全等，求此时点Q的运动速度与运动时间t．18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l 于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由．19．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．20．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．21．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时．①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC=DC+CE是否成立；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、点E分别在直线BC的异侧，其他条件不变，直接写出BC、DC、CE之间存在的数量关系．22．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．23．如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（2）连接AQ、CP，相交于点M，如图2，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．24．如图（1），Rt△AOB中，，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O 点做与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．25．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E是AB边上一动点（不含端点A、B），连接CE，过点B作CE的垂线交直线CE于点F，交直线CD于点G（如图①）．（1）求证：AE=CG；（2）若点E运动到线段BD上时（如图②），试猜想AE、CG的数量关系是否发生变化，请直接写出你的结论；（3）过点A作AH垂直于直线CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M（如图③），找出图中与BE相等的线段，并证明．26．如图，已知△ABC中，AB=AC=20cm，BC=16cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？27．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD、AC．（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，仍然有DE⊥EC，DE=CE，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；②你能求出BD与AC所成的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由．28．如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC与DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．①当点D恰好落在AB边上时，DE交BC于点F，则线段DF与AC有怎样的关系？请说明理由．②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是，证明你的结论；（2）当△DEC绕点C旋转到图③的位置时，设△BDC的面积为S1，△AEC中的面积为S2，猜想：S1与S2有怎样的数量关系？并证明你的猜想．29．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q 是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB 于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．30．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，直线BM⊥BC，点P是线段AB上一动点，过P点作直线PD⊥PC交直线BM于点D，过P点作线段BC的平行线EF交AC于E，交直线BM于F．（1）△PFB是三角形；（2）试说明：△CEP≌△PFD；（3）当点D在线段FB上时，设AE=x，PC2为y，请求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（4）当点P在线段AB上移动时，点D也随之在直线BM上移动，则△PBD是否有可能成为等腰三角形？如果能，求出所有能使△PBD成为等腰三角形时的AE的长；如果不可能，请说明理由．三角形图形多种情况和动点专项练习30题参考答案：1．解：（1）如图（1），∵∠1+∠2+∠ADP+∠AEP=360°，∠A+α+∠ADP+∠AEP=360°，∴∠1+∠2=∠A+α，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠1+∠2=60°+α．故答案是：60°+α；（2）∠α=∠1﹣∠2+60°．理由如下：如图（2），设AC与PE交于点F，．∵∠1为△PFD的外角，∴∠1=∠α+∠PFD．∵∠2为△AEF的外角，∴∠2+∠A=∠AFE∵∠A=60°，∠AFE=∠PFD∴∠2=60°+∠PFD∴∠1﹣∠2=∠α﹣60°∴∠α=∠1﹣∠2+60°；（3）如图（3）时：∠α=∠2﹣∠1﹣60°；如图（4）时：∠α=∠1﹣∠2+60°．2．证明：如答图1，过点D作DF⊥MN，交AB于点F，则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．∵∠1+∠FDP=90°，∠FDP+∠2=90°，∴∠1=∠2．在△BDF与△PDA中，∴△BDF≌△PDA（ASA）∴BD=DP．（1）答：BD=DP成立．证明：如答图2，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°，∴∠1=∠2．在△BDF与△PDA中，∴△BDF≌△PDA（ASA）∴BD=DP．（2）答：BD=DP．证明：如答图3，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．在△BDF与△PDA中，∴△BDF≌△PDA（ASA）∴BD=DP．3．（1）证明：如图①，过点F作FM∥BC交射线AB于点M，∵CF∥AB，∴四边形BMFC是平行四边形，∴BC=MF，CF=BM，∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC，∴∠EMF=∠ACB，AC=MF，∵∠ADN=60°，∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°，∴∠BDE=∠DAC，∴∠MFE=∠DAC，在△MEF与△CDA中，，∴△MEF≌△CDA（AAS），∴CD=ME=EB+BM，∴CD=BE+CF．（2）如图②，CF+CD=BE，如图③，CF﹣CD=BE；（3）∵△ABC是等边三角形，S△ABC=4，∴易得AB=BC=AC=4，如图②，∵∠ADC=30°，∠ACB=60°，∴CD=AC=4，∵∠ADN=60°，∴∠CDF=30°，又∵CF∥AB，∴∠BCF=∠ABC=60°，∴∠CFD=∠CDF=30°，∴CD=CF，由（2）知BE=CF+CD，∴BE=4+4=8．如图③，∵∠ADC=30°，∠ABC=60°，∴∠BAD=∠ADC=30°，∴BD=BA=4，∴CD=BD+BC=4+4=8，∵∠ADN=60°，∠ADC=30°，∴∠BDE=90°，又∵∠DBE=∠ABC=60°，∴∠DEB=30°，在Rt△BDE中，∠DEB=30°，BD=4，∴BE=2BD=8，综上，BE=8，CD=4或8．4．（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN；（2）解：结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．5．（1）证明：∵△ABC、△APQ是等边三角形，∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，∴∠BAP=∠CAQ，在△BAP和△CAQ中，，∴△BAP≌△CAQ（SAS），∴∠ABC=∠ACQ；（2）解：结论∠ABC=∠ACQ仍成立．理由如下：∵AB=BC，PA=PQ，顶角∠ABC=∠APQ，∴∠BAC=∠PAQ，△ABC∽△APQ，∴．∠BAP=∠BAC﹣∠PAC，∠CAQ=∠PAQ﹣∠PAC∴∠BAP=∠CAQ，∴△BAP∽△CAQ，∠ABC=∠ACQ；（3）若要使∠ACQ=∠ABC一定成立，则△APQ与△ABC之间必须具备BA=BC，顶角∠APQ=∠ABC，PA=PQ．证明：∵AB=AC，PA=PQ，顶角∠ABC=∠APQ，∴∠BAC=∠PAQ，△ABC∽△APQ，∴．∠BAP=∠BAC﹣∠PAC，∠CAQ=∠PAQ﹣∠PAC∴∠BAP=∠CAQ，∴△BAP∽△CAQ，∠ABC=∠ACQ6．解：（1）ED'=MF；（2）ED'与MF的相等关系依然成立证明：连接DE、DF、DD'，∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，DF∥AC，DF=AC，∴四边形DFCE为平行四边形，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠C=60°，∴DE=DF，∠EDF=∠C=60°，∵MD=MD'，∠DMD'=60°，∴△DMD'是等边三角形，∴∠MDD'=60°，MD=DD'，∴∠MDD'=∠EDF，∵∠MDF=∠MDD'﹣∠FDD'∠EDD'=∠EDF﹣∠FDD'，∴∠MDF=∠EDD'，∴△DD'E≌△DMF（SAS），∴ED'=MF．（3）ED'与MF的相等关系依然成立．7．（1）证明：如图，过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M，∵∠BAC=90°，AF⊥BE于G，∴∠1+∠5=∠2+∠5=90°，∴∠1=∠2又∵∠BAC=∠ACM=90°，AB=AC在△ABE和△CAM中，，∴△ABE≌△CAM（ASA），∴AE=CM，∠5=∠M∵AE=EC∴EC=CM∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°∵∠ACM=90°∴∠4=90﹣45°=45°=∠ACF在△EFC和△MFC中，，∴△EFC≌△MCF（SAS），∴∠6=∠M∴∠6=∠5∵AB=AC，点D、E分别是AB、AC边的中点∴AD=AE在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）∴∠1=∠3∴∠3+∠6=90°∴∠EHC=90°∴EF⊥CD．（2）证明：如图，过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M，由（1）得△ABE≌△CAMAE=CM，∠5=∠M，BE=AM由（1）得△ABE≌△ACD∴∠1=∠3∵FP⊥CD于H，∠BAC=90°∴∠3+∠6=∠1+∠5∴∠6=∠5∴∠6=∠8，∠7=∠5∴∠7=∠8∴EP=QP∵∠6=∠5，∠5=∠M∴∠6=∠M∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°∵∠ACM=90°∴∠4=90﹣45°=45°=∠ACF在△QCF和△MCF中，△QCF≌△MCF（ASA）∴FQ=FM∴BP=BE+PE=AM+PQ=（AF+FM）+PQ=AF+FM+PQ=AF+FP∴BP=AF+FP．8．（1）答：猜想BE与EF的数量关系为：BE=EF；证明：（1）∵△ABC是等边三角形，E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF，∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBE=∠F，∴BE=EF；（2）答：猜想BE=EF．证明如下：如图2，过点E作EG∥BC，交AB于点G，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE，∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE与△ECF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF；（3）BE=EF．证明如下：如图3，过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE，∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=60°，∴在△BGE与△ECF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．9．解：（1）AB=AC+CD，理由为：过D作DE⊥AB，如图1所示，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，∴CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=45°，即△BDE为等腰直角三角形，∴CD=DE=EB，则AB=AE+EB=AC+CD；（2）①AB=AC+CE；证明：在线段AB上截取AH=AC，连接EH，如图2所示，∵AD平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAE，在△ACE和△AHE中，，∴△ACE≌△AHE（SAS），∴CE=HE，∵EF垂直平分BC，∴CE=BE，又∠ABE=60°，∴△EHB是等边三角形，∴BH=HE，∴AB=AH+HB=AC+CE；②在线段AB上截取AH=AC，连接EH，作EM⊥AB于点M．如图3所示，同理可得△ACE≌△AHE，∴CE=HE，∴△EHB是等腰三角形，∴HM=BM，∴AC+AB=AH+AB=AM﹣HM+AM+MB=2AM，∵AC+AB=AE，∴AM=AE，在Rt△AEM中，cos∠EAM==，∴∠EAB=30°．∴∠CAB=2∠EAB=60°．10．解：（1）∠CMQ=60°不变．∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°又由条件得AP=BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4﹣t①当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，得4﹣t=2t，t=；②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ=120°不变．∵在等边三角形中，BC=AC，∠B=∠CAP=60°∴∠PBC=∠ACQ=120°，又由条件得BP=CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC=∠MQC又∵∠PCB=∠MCQ，∴∠CMQ=∠PBC=180°﹣60°=120°11．解：（1）在△CEN中，∠CEN=180°﹣30°﹣45°=105°；（2）∵∠BON=∠N=30°，∴MN∥BC，∴∠CEN=180°﹣∠DCO=180°﹣45°=135°；（3）如图，MN∥CD时，旋转角为90°﹣（60°﹣45°）=75°，或270°﹣（60°﹣45°）=255°，所以，t=75°÷30°=2.5秒，或t=255°÷30°=8.5秒；MN⊥CD时，旋转角为90°+（180°﹣60°﹣45°）=165°，或360°﹣（60°﹣45°）=345°，所以，t=165°÷30°=5.5秒，或t=345°÷30°=11.5秒．故答案为：2.5或8.5；5.5或11.5．12．解：（1）∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，∵∠ABC=80°，∠ACB=50°，∴∠PBC=40°，∠PCB=25°，∴∠BPC=180°﹣∠PBC﹣∠PCB=115°，故答案为：115；（2）∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=90°+x°；（3）①∠MPB+∠NPC=90°﹣∠A，理由如下：∵∠BPC=90°+∠A，∴∠MPB+∠NPC=180°﹣∠BPC=180°﹣（90°+∠A）=90°﹣∠A；②原结论不成立，正确的是∠MPB﹣∠NPC=90°﹣∠A，理由如下：由图可知∠MPB+∠BPC﹣∠NPC=180°，由知①：∠BPC=90°+∠A，∴∠MPB﹣∠NPC=180°﹣∠BPC=180°﹣（90°+∠A）=90°﹣∠A13．解：（1）∵点C（0，﹣2），D（﹣3，﹣2），∴CD=3，且CD∥x轴，∴△BCD的面积=×3×2=3；（2）∵BQ平分∠CBA，∴∠ABQ=∠CBQ，∵AC⊥BC，∴∠CBQ+∠CQP=90°，又∵∠ABQ+∠CPQ=90°，∴∠CQP=∠CPQ；（3）在B点的运动过程中，∠E与∠ABC的比值不变．理由如下：在△AOE和△BOC中，∠E+∠EAO+∠AOE=180°，∠ABC+∠BCO+∠BOC=180°，∵CD∥x轴，∴∠EAO=∠ADC，又∵∠AOE=∠BOC（对顶角相等），∴∠E+∠EAO=∠ABC+∠BCO，∴．即在B点的运动过程中，∠E与∠ABC的比值不变．14．解：（1）∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠ABO）=45°，∴∠AEB=135°；（2）∠CED的大小不变．延长AD、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB+∠MBA=270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，∴∠F=45°，∴∠FDC+∠FCD=135°，∴∠CDA+∠DCB=225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE=112.5°，∴∠E=67.5°；（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，∴∠E=∠EOQ﹣∠EAO=（∠BOQ﹣∠BAO）=∠ABO，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAF=90°．在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°；③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°．∴∠ABO为60°或45°．15．解：（1）∵点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，∴BP=3t厘米，∵BC=8厘米，∴CP=（8﹣3t）厘米；（2）点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP全等，理由是：∵AB=AC=10厘米，点D为AB的中点，∴∠B=∠C，BD=5厘米，∵BP=CQ=3t厘米=3厘米，∴CP=8厘米﹣3厘米=5厘米=BD，在△DBP和△PCQ中，，∴△DBP≌△PCQ（SAS）；（3）设当点Q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使△BPD与△CQP全等，∵BD=5厘米，BP=3t厘米，CP=（8﹣3t）厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，∴当BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ时，△BPD与△CQP全等，即①3t=xt，5=8﹣3t，解得：x=3（不合题意，舍去），②3t=8﹣3t，5=xt，解得：x=，即当点Q的运动速度为厘米/时时，能够使△BPD与△CQP全等16．解：（1）△BPD≌△CQP，理由如下：∵t=1s，∴BP=CQ=3×1=3（cm），∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5（cm），∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP（SAS）；（2）∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，则BP=PC=4，CQ=BD=5，∴点P，点Q运动的时间t==（s），∴v Q===（cm/s），答：当点Q的运动速度为cm/s，能够使△BPD与△CQP全等17．解：（1）∵t=1秒，∴BP=CQ=3×1=3厘米，∵AB=10厘米，点D为AB的中点，∴BD=5厘米．又∵PC=BC﹣BP，BC=8厘米，∴PC=8﹣3=5厘米，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）；（2）∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，∴BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴点P，点Q运动的时间t==秒，∴v Q===（厘米/秒）．18．解：∵△PEC≌△QFC，∴斜边CP=CQ，有四种情况：①P在AC上，Q在BC上，，CP=12﹣2t，CQ=16﹣6t，∴12﹣2t=16﹣6t，∴t=1；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP=12﹣2t=6t﹣16，∴t=3.5；③P到BC上，Q在AC时，此时不存在；理由是：16÷6×2＜12，Q到AC上时，P点也在AC上；④当Q到A点（和A重合），P在BC上时，∵CP=CQ=AC=12．CP=12﹣2t，∴2t﹣12=12，∴t=12符合题意；答：点P运动1或3.5或12时，△PEC与△QFC全等19．（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CD=BE，AD=CE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）△ADC≌△CEB成立，DE=AD+BE．不成立，此时应有DE=AD﹣BE．证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=AD﹣BE．20．解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，，解得；综上所述，存在或使得△ACP与△BPQ全等21．解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）．②∵△ABD≌△ACE，∴BD=CE．∵BC=BD+CD，∴BC=CE+CD．（2）BC+CD=CE．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD=CE．∵BD=BC+CD，∴CE=BC+CD；（3）DC=CE+BC．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD=CE．∵DC=BD+BC，∴DC=CE+BC；22．（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CE+CD=AD+BE；（2）证明：与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；（3）解：DE=BE﹣AD23．解：（1）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4﹣t①当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，得4﹣t=2t，t=；②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（2）∠CMQ=60°不变．在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°24．（1）解：∵∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2，∴∠B=30°，∴OA=OB=，由勾股定理得：AB=3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B，∴OC=BC，在△AOC中，AO2+AC2=CO2，∴+（3﹣OC）2=OC2，∴OC=2=BC，答：OC=2，BC=2．（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，则CP=2﹣t，CQ=t，过P作PH⊥OC于H，∠HCP=60°，∠HPC=30°，∴CH=CP=（2﹣t），HP=（2﹣t），∴S△CPQ=CQ×PH=×t×（2﹣t），即S=﹣t2+t；②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在，∴S=0，③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，∵CO=2，∠NOC=60°，∴CZ=，CP=t﹣2，OQ=t﹣2，∠NOC=60°，∴∠GPO=30°，∴OG=OP=（4﹣t），PG=（4﹣t），∴S△CPQ=S△COQ﹣S△OPQ=×（t﹣2）×﹣×（t﹣2）×（4﹣t），即S=t2﹣t+．④当t=4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，∵∠B=30°，由（1）知BC=2，∴CM=BC=1，有勾股定理得：BM=，∵OB=2，∴OM=2﹣==CK，∴S=PQ×CK=×2×=；综合上述：S与t的函数关系式是：S=；．（3）解：如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB=90°，∵∠B=30°，∠A=90°，∴∠AOB=60°，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=30°，∴∠NOC=90°﹣30°=60°，①OM=PM时，∠MOP=∠MPO=30°，∴∠PQO=180°﹣∠QOP﹣∠MPO=90°，∴OP=2OQ，∴2（t﹣2）=4﹣t，解得：t=，②PM=OP时，此时∠PMO=∠MOP=30°，∴∠MPO=120°，∵∠QOP=60°，∴此时不存在；③OM=OP时，过P作PG⊥ON于G，OP=4﹣t，∠QOP=60°，∴∠OPG=30°，∴GO=（4﹣t），PG=（4﹣t），∵∠AOC=30°，OM=OP，∴∠OPM=∠OMP=75°，∴∠PQO=180°﹣∠QOP﹣∠QPO=45°，∴PG=QG=（4﹣t），∵OG+QG=OQ，∴（4﹣t）+（4﹣t）=t﹣2，解得：t=综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形25．解：（1）∵AC=BC，∴∠ABC=∠CAB．∵∠ACB=90°，∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°．∵BF⊥CE，∴∠BFC=90°，∴∠CBF+∠BCE=90°，∴∠ACE=∠CBF∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，∴∠BCD=∠ACD=45°∴∠A=∠BCD．在△BCG和△ACE中，∴△BCG≌△ACE（ASA），∴AE=CG；（2）不变．AE=CG．理由：∵AC=BC，∴∠ABC=∠CAB．∵∠ACB=90°，∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°．∵BF⊥CE，∴∠BFC=90°，∴∠CBF+∠BCE=90°，∴∠ACE=∠CBF∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，∴∠BCD=∠ACD=45°∴∠A=∠BCD．在△BCG和△ACE中，∴△BCG≌△ACE（ASA），∴AE=CG；（3）BE=CM，：∵AC=BC，∴∠ABC=∠CAB．∵∠ACB=90°，∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°．∵AH⊥CE，∴∠AHC=90°，∴∠HAC+∠ACE=90°，∴∠BCE=∠HAC．∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，∴∠BCD=∠ACD=45°∴∠ACD=∠ABC．在△BCE和△CAM中，∴△BCE≌△CAM（ASA），∴BE=CM．26．解：（1）①因为t=1（秒），所以BP=CQ=6（厘米）∵AB=20，D为AB中点，∴BD=10（厘米）又∵PC=BC﹣BP=16﹣6=10（厘米）∴PC=BD∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD与△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS），②因为V P≠V Q，所以BP≠CQ，又因为∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=8，即△BPD≌△CPQ，故CQ=BD=10．所以点P、Q的运动时间（秒），此时（厘米/秒）．（2）因为V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得，解得（秒）此时P运动了（厘米）又因为△ABC的周长为56厘米，160=56×2+48，所以点P、Q在AB边上相遇，即经过了秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．27．解：（1）BD=AC，BD⊥AC，理由是：延长BD交AC于F，∵AE⊥BC，∴∠AEB=∠AEC=90°，在△BED和△AEC中∴△BED≌△AEC，∴BD=AC，∠DBE=∠CAE，∵∠BED=90°，∴∠EBD+∠BDE=90°，∵∠BDE=∠ADF，∴∠ADF+∠CAE=90°，∴∠AFD=180°﹣90°=90°，∴BD⊥AC；（2）不发生变化，理由是：∵∠BEA=∠DEC=90°，∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，∴∠BED=∠AEC，在△BED和△AEC中∴△BED≌△AEC，∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，∵∠DEC=90°，∴∠ACE+∠EOC=90°，∵∠EOC=∠DOF，∴∠BDE+∠DOF=90°，∴∠DFO=180°﹣90°=90°，∴BD⊥AC；（3）能，理由是：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE=BE，DE=EC，∠EDC=∠DCE=60°，∠BEA=∠DEC=60°，∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，∴∠BED=∠AEC，在△BED和△AEC中∴△BED≌△AEC，∴∠BDE=∠ACE，∴∠DFC=180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）=180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）=180°﹣（60°+60°）=60°28．（1）①DF∥AC；解：如图②所示，∵∠ACB=90°，∠B=∠E=30°，∴∠A=∠CDE=60°，∵AC=DC，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°=∠CDE，∴DF∥AC，∴∠CFD=90°，∠DCF=30°，∴DF=DC=AC；②S1=S2；证明：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，∴AC=AB，∵AD=AC，∴AC=BD，作CG⊥AB，∵△ACD是等边三角形，∴CG=AC，∵DF∥AC，∠ACB=90°，∴∠DFC=90°，∵∠CDE=60°，∴CF=DC=AC，∵DF∥AC，∴CF的长就是△AEC中AC边上的高，∵S1=BD•CG=AC•AC=AC2，S=AC•CF=AC AC=AC2，∴S1=S2；（2）猜想：S1=S2；证明：过D点作DN⊥BC于N，AM⊥CE于M，∵∠ECD=90°，∴∠DCM=90°∴∠DCN=90°﹣∠NCM，又∵∠ACM=90°﹣∠NCM，∴∠ACM=∠DCN，在△ACM与△DCN中，∴△ACM≌△DCN（AAS），∴AM=DN，又∵CE=BC，∴BC•DN=CE•AM，即S1=S229．解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，在△APE和△BQF中，，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．30．解：（1）∵BC⊥BM，∴∠CBM=90°．∵EF∥BC∴∠EFB=90°∵等腰Rt△ABC中AC=BC，∠A=∠ABC=45°∴∠ABM=45°，∴△PFB为等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．（2）∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC．∵BM⊥BC，∴AC∥BM．∵BC∥EF∴四边形CBFE为平行四边形．∵∠ACB=90°∴平行四边形CBFE为矩形，∴EC=FB，∠CEP=∠DFP=90°，∵△PFB为为等腰直角三角形∴FB=FP∴EC=FP∵PC⊥PD，∴∠EPC+∠FPD=90°∵∠EPC+∠ECP=90°∴∠ECP=∠FPD在△EPC和△FDP中，∴△EPC≌△FDP（ASA）；（3）∵∠A=45°，∠AEP=90°，∴∠APE=45°，∴∠A=∠APE，∴AE=PE．∵AE=x，∴EP=x∴EC=2﹣x．在Rt△EPC中由勾股定理，得PC2=EP2+EC2，y=x2+（2﹣x）2∴y=2x2﹣4x+4 （0≤x≤2）（4）解：△PBD可能为等腰三角形，①当点D在BC上方，且PD=BD时，点P与点A重合∴AE=0②如备用图，当点D在B点下方，且PB=BD时，∵AE=PE=x，则PF=2﹣x，∴PB=PF=（2﹣x），∵PE=DF，∴x=2﹣x+（2﹣x），解得：x=，∴AE=．∴能使△PBD成为等腰三角形时的AE的长为：0或．。
三角形中的动态变化问题河南必考题型专题
河南必考题型专题：三角形中的动态变化问题1．有一根直尺，短边的长为4cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长16cm.如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图②、图③.设直尺平移的长度为x cm，且满足0≤x≤12，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积(即图中阴影部分)为S cm2.当x＝0时，S＝________；当x＝4时，S＝________；当x＝6时，S＝________．2．(2017·南阳新野县模拟)如图①，P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB，BC 上的动点，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s.(1)连接AQ，CP交于点M，则在点P，Q运动的过程中，∠CMQ的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；(2)何时△PBQ是直角三角形？(3)如图②，若点P，Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ，CP的交点为M，则∠CMQ的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．3．★(2017·南阳唐河县四模)已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连接DF，CF.[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半](1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系(不用证明)；(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°，若AD＝1，AC＝22，求此时线段CF的长(直接写出结果)．参考答案与解析1．8cm 2 24cm 2 28cm 22．解：(1)∠CMQ 的大小不变，且∠CMQ ＝60°.∵在等边△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠CAP ＝60°.又由题意得AP ＝BQ ，∴△ABQ ≌△CAP ，∴∠BAQ ＝∠ACP ，∴∠CMQ ＝∠ACP ＋∠CAM ＝∠BAQ ＋∠CAM ＝∠BAC ＝60°.(2)设点P ，Q 运动时间为t s ，则AP ＝BQ ＝t cm ，PB ＝(4－t )cm.应分两种情况进行讨论：①当∠PQB ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BPQ ＝30°，∴PB ＝2BQ ，即4－t ＝2t ，解得t ＝43；②当∠BPQ ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BQP ＝30°，∴BQ ＝2BP ，即t ＝2(4－t )，解得t ＝83.综上可知，当点P ，Q 运动时间为43s 或83s 时，△PBQ 是直角三角形． (3)∠CMQ 的大小不变，且∠CMQ ＝120°.∵在等边△ABC 中，BC ＝AC ，∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠PBC ＝∠ACQ ＝120°.又由题意得BP ＝CQ ，∴△PBC ≌△QCA ，∴∠BPC ＝∠MQC .∵∠PCB ＝∠MCQ ，∴∠CMQ ＝∠PBC ＝120°.3．解：(1)DF ＝CF 且DF ⊥CF . 解析：∵∠ACB ＝∠ADE ＝90°，F 为BE 的中点，∴DF ＝12BE ，CF ＝12BE ，∴DF ＝CF .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°.∵BF ＝DF ，∴∠DBF ＝∠BDF .∵∠DFE ＝∠DBF ＋∠BDF ，∴∠DFE ＝2∠DBF .同理得∠CFE ＝2∠CBF ，∴∠EFD ＋∠EFC ＝2∠DBF ＋2∠CBF ＝2∠ABC ＝90°，即∠DFC ＝90°，∴DF ⊥CF ，∴DF ＝CF 且DF ⊥CF .(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：此时点D 落在AC 上，延长DF 交BC 于点G .∵∠ADE ＝90°，则∠CDE ＝90°＝∠ACB ，∴DE ∥BC ，∴∠DEF ＝∠GBF ，∠EDF ＝∠BGF .∵F 为BE 的中点，∴EF ＝BF ，∴△DEF ≌△GBF ，∴DE ＝GB ，DF ＝GF .∵△ADE 是等腰直角三角形，∴AD ＝DE ，∴AD ＝GB .∵AC ＝BC ，∴AC －AD ＝BC －GB ，即DC ＝GC .∵∠ACB ＝90°，∴△DCG 是等腰直角三角形．∵DF ＝GF ，∴DF ＝CF 且DF ⊥CF .(3)CF ＝102. 解析：延长DF 交BA 于点H .∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，AD ＝DE ，∴∠AED ＝∠ABC ＝45°.由旋转可得∠CAE ＝∠BAD ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴AE ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∴∠DEF ＝∠HBF .∵F 是BE 的中点，∴EF ＝BF .∵∠EFD ＝∠BFH ，∴△DEF ≌△HBF ，∴DE ＝HB ，DF ＝HF .连接CH ，CD ，∵CB ＝CA ，∠CAD ＝90°－∠BAC ＝45°＝∠CBH ，AD ＝DE ＝HB ，∴△ADC ≌△BHC ，∴∠ACD ＝∠BCH .∵∠BCH ＋∠HCA ＝90°，∴∠ACD ＋∠HCA ＝90°，即∠DCH ＝90°.又∵DF ＝FH ，∴CF ＝DF .在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝4.∵AD ＝1，∴ED ＝BH ＝1，∴AH ＝3.在Rt △HAD 中，由勾股定理得DH ＝10，∴DF ＝102，∴CF ＝102.。
专题1.2 三角形中四类重要的最值模型 专题讲练(原卷版)
专题1.2 三角形中四类重要的最值模型专题讲练三角形中重要的四类最值模型（将军饮马模型、瓜豆模型（动点轨迹）、胡不归模型、费马点模型等）在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
特殊三角形中的分类讨论则体现了另一种数学思想，希望通过本专题的讲解让大家对这两类问题有比较清晰的认识。
重要模型模型1：将军饮马模型【模型图示】将军饮马拓展型：1）点P位定点，在直线1l，2l上分别找点M，N，使PMN△周长（即MNPNPM++）最小操作：分别作点P关于直线1l，2l的对称点’P和”P，连结”’PP与直线1l，2l的交点为M，N，()”’最小值△PPCPMN=求”’P P 长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°，30°，45°，60°，75°）A ，连结’AP ，AP ，”AP ，由对称性可求A AP P ∠=∠2”’也为特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），”’AP AP AP ==，可得特殊等腰”’△P AP ，利用三边关系求出”’P P 2）点P ，Q 为定点，直线1l ，2l 上分别找M ，N ，使PQMN 周长（即MN PN PM PQ +++）小操作：分别作点P ，Q 关于直线1l ，2l 的对称点’P 和’Q ，连结’’Q P 与直线1l ，2l 的交点为M ，N ，()’’最小值四边形Q P PQ C PQMN +=例1．（2022·广东·九年级专题练习）已知点(1,1)A ，(3,5)B ，在x 轴上的点C ，使得AC BC +最小，则点C 的横坐标为_______．变式1．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）如图，等边ABC D 的边长为4，点E 是AC 边的中点，点P 是ABCD 的中线AD 上的动点，则EP CP +的最小值是_____．例2．（2022·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知()0,1A ，()4,2B ，PQ 是x 轴上的一条动线段，且1PQ =，当AP PQ QB ++取最小值时，点Q 坐标为______.变式2．（2022·成都市·八年级专题练习）如图，四边形ABCD 是平行四边形，4AB =，12BC =，60ABC ∠=°，点E 、F 是AD 边上的动点，且2EF =，则四边形BEFC 周长的最小值为______．例3．（2022·安徽·八年级期末）已知在平面直角坐标系中，点A（－1，－2），点B（4，12），试在x轴上找一点P，使得｜PA－PB｜的值最大，求P点坐标为_________．变式3．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．例4．（2022·江苏·无锡市东林中学八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°变式4．（2022·安徽·合肥市八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB 上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为___．例5．（2022·湖北武汉市·八年级期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9变式5．（2022·湖北黄冈·八年级期末）已知，如图，30AOB ∠=°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ a ∠=，PQN b ∠=，当MP PQ QN ++最小时，则b a -=______．模型2：瓜豆原理 （动点轨迹）【解题技巧】1）动点轨迹为直线时，利用“垂线段最短”求最值。
变化中的三角形练习
变化中的三角形练习一．目标导航1.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响，发展符号感.2.能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系.3.能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系二．基础过关：1.在关系式S=6t 中，当t=1.5时，S=______；当S=24时，t=______.2.已知两变量x ，y 满足2x-3y=5，则y=______.3.一等腰三角形周长是20，底边长y 与腰长x （5＜x ﹤10）之间的关系式是____________.4.设地面气温是20℃，如果每升高1km ，气温下降6℃，则气温t （℃）与高度h （km ）的关系式____________.5.如图某程序计算因变量的值，若输入x 的值是3，则输出的y 的值是______.5题图6.某电影院有1000个座位，门票每张3元可使客满，若每张提高x 元，将有200x 张门票不能售出，提价后每场电影票房收入y 元与提高的票价x 元之间的关系式是___________.7.如图所示程序计算，若开始输入的值为x=3，则最后输出的结果是____________.7题图8.如图，直角三角形ABC 中,点B 沿CB 所在直线远离C 点移动，下列说法错误的是( )8题图A.三角形的面积随之增大B.∠CAB 的度数随之增大C.BC 边上的高随之增大D.边AB 的长度随之增大9.一个圆柱形油桶的高是40cm ，当底面圆的半径R 由小到大变化时，圆柱的体积V 也随之 发生了变化，在这个变化中（ ）A.自变量是底面圆的半径RB.因变量是圆柱的体积VC.变量之间的关系式是V=402RD.以上答案都正确10. A.618 B.638 C.658 D.678 三．能力提升11.（1（2） 当t=25摄氏度时,求声音的传播速度.12.如图，梯形上底的长是x ，下底的长是12，高是6 （1）梯形的面积y 与上底长x 之间的关系式？（2）用表格表示当x 从2变到10时（每次增加1），y 的相应值；（3）当x 每增加1时，y 如何变化？ （4）当x=0时，y 等于什么？此时它表示的图形是什么？13.某电影院共有30排座位，第一排有20个座位，后排每排比前一排多1个座位.（1）你知道第9排有多少个座位吗？第26排呢？（2）每排的座位数y 可以用这排数x 来表示吗？（3）可不可能某一排座位数是52？四．聚沙成塔：14.某校准备在甲、乙两家公司为毕业班学生制作一批纪念册，甲公司提出：每册收材料费5元，另收设计费1500元；乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费.（元）的关系式；（1）写出制作纪念册的册数x与甲公司的收费y1（2）写出制作纪念册的册数x与乙公司的收费y（元）的关系式；2（3）如果该校有300名学生，你认为甲、乙两家公司哪家合算？。
2021年九年级中考数学压轴专题复习：三角形的综合练习
2021中考数学压轴专题复习：三角形的综合练习1、在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=0.6，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A 1B1 C．（1）如图1，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；（2）如图2，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．2、△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP＝BA，0°＜∠PBC ＜180°，DB平分∠PBC，且 DB＝DA．（1）当BP与BA重合时（如图1），求∠BPD的度数；（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数．3、情景观察:如图①,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分别为D、E,CD与AE交于点F．①写出图①中所有的全等三角形；②线段AF与线段CE的数量关系是,并写出证明过程；问题探究:如图②,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足为点D,AD与BC交于点E．求证:AE=2CD．4、已知△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°．探究：如图①，当点A在边EC上，点C在线段BD上时，连结BE、AD．求证：BE=AD，BE⊥AD．拓展：如图②，当点A在边DE上时，AB、CE交于点F，连结BE．若AE=2，AD=4，则的值为．5、如图1，在中，AB=AC，O为BC中点，D为线段OC上的一个动点，AD ⊥BH于H.（1）求证：DO DA DH DB=；（2）如图2，若HD平分∠OHC，求DODB的值；（3）如图3，BH延长线交AC于E，若OE⊥AC，AB=13，BC=10，直接写出tan∠DAC的值6、如图,在△ABC中,CA=CB,AB=10,600<∠<C，AF⊥BC于点F，在FC上截取FD=FB，点E是AC上一点，连接DA、DE，且∠ADE=∠B.(1)求证：ED=EC(2)若∠C=30∘，求BD长；(3)在(2)的条件下,将图1中△DEC绕点D逆时针旋转得到△DE′C′,请问在旋转的过程中,以点D. E. C′、E′为顶点的四边形可以构成平行四边形吗?若可以，请求出该平行四边形的面积；若不可以，请说明理由。
幼儿园思维训练三角形变化案例
幼儿园思维训练三角形变化案例幼儿园思维训练三角形变化案例一、背景介绍幼儿园是儿童成长的重要阶段，也是人生中最重要的时期之一。
在这个阶段，儿童的思维能力正在发展，需要通过各种活动来锻炼和提高。
三角形变化是一种常见的思维训练活动，通过这种活动可以帮助幼儿培养几何学基本概念，提高思维能力和空间想象力。
二、活动内容1.活动名称：三角形变化2.活动目标：通过观察和模仿，让幼儿掌握三角形变化的基本方法，培养幼儿的几何学基本概念和空间想象力。
3.活动时间：每次15-20分钟，每周2-3次，连续进行3-4周。
4.活动方式：小组活动。
5.活动准备：三角形卡片、图形模板、彩色笔、剪刀、胶水等。
6.活动步骤：（1）引导幼儿认识三角形：教师拿出三角形卡片，让幼儿观察和摸索，通过让幼儿自己描述，认知三角形的基本特征。
（2）引导幼儿掌握三角形变化的基本方法：教师用图形模板示范三角形的变化，让幼儿观察和模仿，然后让幼儿自己尝试变化。
（3）开展三角形变化的活动：教师发放三角形卡片和图形模板，让幼儿自己进行变化，然后让幼儿在小组中展示自己的作品。
（4）总结和评价：教师引导幼儿回顾活动过程，总结活动的收获和不足，鼓励幼儿表现优秀的同学，并给予积极评价。
三、活动效果通过本次活动，幼儿们掌握了三角形的基本特征和变化方法，提高了几何学的基本概念和空间想象力，同时也增强了幼儿的观察能力和动手能力。
在活动中，幼儿们积极参与，互相交流，互相学习，展示了自己的创造力和想象力，提高了幼儿的自信心和合作能力。
通过反复的练习和实践，幼儿们渐渐掌握了三角形变化的方法，也培养了他们的思维能力和创造力。
四、启示本次活动的成功举办，为我们提供了一些启示：（1）幼儿教育需要多样化的教学方法和活动形式，以激发幼儿的学习兴趣和创造力。
（2）幼儿教育需要注重引导和培养幼儿的思维能力和创造力，以帮助他们更好地适应未来社会的发展。
（3）教师应该注重对幼儿的引导和激励，以帮助幼儿更好地发挥自己的潜力和创造力。
变化中的三角形
变式探究 ：
问题一：如图所示，圆锥的底面半径是2厘米， 问题一：如图所示，圆锥的底面半径是2厘米，当圆锥的高 由小到大变化时，圆锥的体积也随之而发生了变化。 由小到大变化时，圆锥的体积也随之而发生了变化。 (1)在这个变化过程中， (1)在这个变化过程中，自变量是 圆锥的高 ,因变量是 在这个变化过程中 圆锥的体积 . (2)如果圆锥的高为h (厘米)，那么圆锥的体积V(厘米3)与h 厘米) 那么圆锥的体积V( V(厘米 (2)如果圆锥的高为
问题探究： 问题探究：
利用关系式表示变量关系有何优点？ 利用关系式表示变量关系有何优点？ 关系式表示变量关系有何优点
利用关系式可以根据任何一个自变量的 值求出相应的因变量的值. 值求出相应的因变量的值.
小菜一碟： 小菜一碟：
如图是一个“ 如图是一个“数值转换 机”. （1）当输入的自变量x的 当输入的自变量x -3 输出的因变量y 值为值为-2时，输出的因变量y 的值为————.； . （2）当输出的因变量y的 当输出的因变量y 值为- -1 输入的自变量x 值为-1时，输入的自变量x 的值为———. ：（1） 解：（ ）当x=-2时，y=2×(-2)+1=-4+1=-3； 时 × ； 解得x=-1. （2）当y=-1时，2x+1=-1,解得 ） 时 解得
回顾与反思： 回顾与反思：
1.我们学过哪些方法来表示变量关系？ 1.我们学过哪些方法来表示变量关系？ 我们学过哪些方法来表示变量关系 （1）表格； ）表格； （2）关系式 ）关系式.
2.用表格和关系式来表示变量关系各有什么优点？ 2.用表格和关系式来表示变量关系各有什么优点？ 用表格和关系式来表示变量关系各有什么优点 利用表格可以方便地查出自变量和因变量的对应值； 利用表格可以方便地查出自变量和因变量的对应值；若用 关系式可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的 值. 3.如何求关系式？ 3.如何求关系式？ 如何求关系式 （1）找出变量之间的等量关系，将文字语言转化成符号 ）找出变量之间的等量关系， 语言. 语言 （2）关系式的左边是表示因变量的字母，右边是含有表 ）关系式的左边是表示因变量的字母， 示自变量字母的代数式. 示自变量字母的代数式
七年级数学暑假专题 三角形同步练习 北师大版
初一数学北师大版暑假专题——三角形同步练习（满分100分，答题时间：60分钟）一、选择题（每小题4分，共36分）﹡1. 在下列长度的四根木棒中，能与4cm 、9cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（） A.4cmB.5cmC.9cmD.13cm﹡2. 在下图中，正确画出AC 边上的高的是（）A. B. C. D.﹡3. 如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，且PD ＝PE ，则△APD 与△APE 全等的理由是（）A.SASB.AASC.SSSD.HL﹡4. 已知ΔABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C 满足关系式∠B+∠C=3∠A ，则此三角形（） A.一定有一个内角为45°B.一定有一个内角为60° C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形﹡5. 在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，③∠A=90°－∠B ，④∠A=∠B=12∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（）A.1个B.2个C.3个D.4个﹡6. 在下列条件中，不能说明△ABC ≌△A’B’C 的是（） A.∠A ＝∠A ˊ，∠C ＝∠C ˊ，AC ＝A ˊC ˊ B.∠A ＝∠A ˊ，AB ＝A ˊB ˊ，BC ＝B ˊC ˊ C.∠B ＝∠B ˊ，∠C ＝∠C ˊ，AB ＝A ˊB ˊ D.AB ＝A ˊB ˊ， BC ＝B ˊC ，AC ＝A ˊC ˊ﹡7.如图，∠1=∠2，∠C=∠D ，AC 与BD 相交于点E ，下面结论中错误的是（） A.∠DAE=∠CBE B.△DEA ≌△CEB C.CE=DA D.△EAB 是等腰三角形﹡8.如图，AB=AC，EB=EC，那么图中的全等三角形共有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对﹡9.用尺规作图，利用下列所给条件不能作出唯一直角三角形的是（）A.已知两直角边B.已知两锐角C.已知一直角边和一锐角D.已知斜边和一直角边二、沉着冷静耐心填（每小题4分，共28分）﹡10. 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，他这样做的道理是。
沪科版八年级数学上册第14章-全等三角形知识例题讲解与练习
第14章 全等三角形【知识剖析】一、全等形：能够完全重合的两个图形，叫做全等形. 二、全等三角形的有关概念1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形.2、全等三角形的对应元素：全等三角形中，互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应角；互相重合的顶点叫做对应顶点.3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.注：用全等符号“≌”表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.[例1] 如图，将△ABC 绕其顶点B 顺时针旋转一定角度后得到△DBE ，请说出图中两个全等三角形的对应边和对应角.[例2] （1）如图，△ABE 与△CED 是全等三角形，可表示为△ABE ≌_______，其中∠A=30°，∠B=70°，AB=3cm ，则∠D=_____，∠DEC =_____，CD=_____.（2）如图，△ABC ≌△DCB ，若CD=4cm ，∠A=28°，∠DBC=35°，则AB=_____，∠D=_____，∠ABC=_______.（3）如图，△AOB ≌△COD ，若CD=2cm ，∠B=45°，则AB=_____，∠D=______.[例3] 如图，△ACB ≌△A /CB /，∠A /CB=30°，∠ACB/=110°，则∠ACA/=______.[例4] 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，且AC=BC=4cm ，已知△BCD ≌△ACE ，则四边形AECD 的面积是_________.[例5] 如图，将△ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合，已知AC=5cm ，△ADC 的周长为17cm ，则BC 的长为_______.[例6] 如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C /处，折痕为EF ，若∠EFC /=125°，那么∠ABE 的度数为________.三、全等三角形的判定 1、“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS ）ABC 和△DEF 中，AB DEB E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABC ≌△DEF 2、.（ASA ） 在△ABC 和△DEF 中，∵ B EBC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DEF 3、“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS ） 在△ABC 和△DEF 中，∵B EC F AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF4、“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等.（SSS）在△ABC和△DEF中，∵AB DE BC EF AC DF=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC≌△DEF另外，判定两个直角三角形全等还有另一种方法.：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（HL）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵AB DEAC DF=⎧⎨=⎩∴ Rt△ABC≌Rt△DEF四、全等三角形的证明思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS[例7]如图，已知AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E，求证：BC=ED.[例8]如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC.求证：∠ACE=∠DBF.[例9]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性.[例10] 如图，AC=DF，AD=BE，BC=EF.求证：AC∥DF.[例11]如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：1()2AD AB AC<+[例12]如图，AB∥CD，EC、EB分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.[例13]如图，已知△ABC中，AC=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF 的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角形的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.（1）在图（1）中，DE交AB于M，DF交BC于N.①证明DM=DN；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的.若不发生变化，求出其面积. （2）继续旋转至图（2）的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（3）继续旋转至图（3）的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明.【综合练习】一、选择题1、下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等.其中真命题的个数有( )A、3个B、2个C、1个D、0个2、下列说法正确的是（）A.周长相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.面积相等的两个三角形全等D.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等3、如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A. 相等B. 不相等C. 互余或相等D. 互补或相等4、已知△ABC≌△DEF，若∠A=50°，∠C=30°，则∠E等于（）A. 30°B. 50°C.60°D.100°5、已知△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠C=∠F，若要△ABC≌△DEF，只要满足下列条件中的（）A. AB=DFB.BC=DFC. AC=DED.BC=EF6、如图，AB=AC，EB=EC，那么图中的全等三角形共有（）A. 1对B. 2对C.3对D.4对7、某同学不小心把一块三角形玻璃打碎，变成了如图所示的三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么应带（）去，才能配好.A. ①B.②C.③D.任意一块8、已知：的三边分别为，的三边分别为，且有，则与（）.A．一定全等 B．不一定全等 C．一定不全等 D．无法确定9、如图，已知点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则有( )A、△ABD≌△AFDB、△AFE≌△ADCC、△AEF≌△DFCD、△ABC≌△ADE（第9题）（第10题）（第11题）10、如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（）A．1个 B．2个C．3个D．4个11、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，则点D到AB边的距离为( )A、18B、32C、28D、2412、如果D是△ABC中BC边上一点，并且△ADB≌△ADC，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形二、填空题13、已知：△ABC ≌△A ′B ′C ′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=70°，AB=15cm ，则∠C ′=_________，A ′B ′=__________.14、如图，在△ABC 和△FED ，AD=FC ，AB=FE ，当添加条件__________时，就可得到△ABC ≌△FED.(只需填写一个你认为正确的条件)（第14题） （第15题） （第16题）15、如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是 ． 16、如图，在△ABC 中，AD=DE ，AB=BE ，∠A=80°，则∠CED=_____.17、如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DA 于点F ，交DE 于点G ，∠D=25°，∠E=105°，∠DAC=16°，则∠DGB=_________.18、如图是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC 方向平移得到△DEF.如果AB=8cm ，BE=4cm ，DH=3cm ，那么图中阴影部分面积为_______cm 2. 三、解答题19、如图，在△ABC 中，F 为AC 的中点，E 为AB 上一点，D 为EF 延长线上一点，∠A=∠ACD.求证：//CD AE .20、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH=EB=3，AE=4，求CH 的长.21、如图，已知AD为△ABC的中线，试比较AB+AC与2AD的大小.22、如图，∠ABC=90°，AB=AC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F.求证：EF=CF-AE.23、（1）如图（1），A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD. 求证：BD平分EF；（2）若将图形变为图（2），其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.24、如图（1），已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B、C 在AE的两侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E.（1）求证：BD=DE+CE；（2）若直线AE绕点A旋转到图（2）的位置（BD<CE）时，其余条件不变，问BD与DE、CE 的关系如何？请给予证明；（3）若直线AE绕点A旋转到图（3）的位置（BD>CE）时，其余条件不变，问BD与DE、CE 的关系如何？请直接写出结果，不需证明.。
11.00三角形知识点 常考题型 练习
81.11三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.注意：已知两边可得第三边的取值范围是：两边之差<第三边<两边之和3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.注意：①三角形的三条高是线段；②画三角形的高时，只需要三角形一个顶点向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段.注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点，交点叫重心．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段.注意：①三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°推论：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.三角形的一个外角和与之相邻的内角互补. 过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角． ⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线.例题精选1.(2015郴州中考)以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A.1cm ，2cm ，4cmB.4cm ，6cm ，8cmC.5cm ，6cm ，12cmD.2cm ，3cm ，5cm2.(2015恩施中考)如图，AB ∥CD ，直线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EG 平分∠BEF ，交CD 于点G ，∠1=50°，则∠2等于 ( )A.50°B.60°C.65°D.90°3.(2015来宾中考)如图，在△ABC 中，已知∠A=80°，∠B=60°，DE ∥BC ，那么∠CED 大小是( )A.40°B.60°C.120°D.140°4.(2015南平中考)正多边形的一个外角等于30°，则这个多边形的内角和为 ( )A.720B.1260C.1800D.23405.(2015来宾中考)如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是 ( )A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形7．下列说法错误的是( )．A ．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点B ．钝角三角形有两条高线在三角形外部C ．直角三角形只有一条高线D ．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线3．如果多边形的内角和是外角和的k 倍，那么这个多边形的边数是( )．A ．kB ．21k +C ．22k +D ．22k -4．四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是( )．A ．四边形的边长B ．四边形的周长C ．四边形的某些角的大小D ．四边形的内角和5．如图ABC ，D ，E 分别为BC 上两点，且BD DE EC ==，则图中面积相等的三角形有( )对．A ．4B ．5C ．6D ．76．在下列条件中：①∠A ＋∠B ＝∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，③∠A ＝90°－∠B ，④∠A ＝∠B －∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形为( )．A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．以上都不对8．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( )．A.12A ∠=∠+∠B.212A ∠=∠+∠C.3212A ∠=∠+∠D.()3212A ∠=∠+∠9．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角之间的关系是( )．A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．互余7．如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，DF 是△CDE 的中线，若S △DEF ＝2，则S △ABC 等于( )A ．16B ．14C ．12D ．109．如图，四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，BC 上，将△BMN 沿MN 翻折，得△FMN ，若MF ∥AD ，FN ∥DC ，则∠D 的度数为( )A ．115°B ．105°C ．95°D ．85°10．如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系是( )A .∠1＋∠2＝∠3＋∠4B .∠1＋∠2＝∠4－∠3C .∠1＋∠4＝∠2＋∠3D .∠1＋∠4＝∠2－∠36.(2015遂宁中考)若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形有 条对角线.10．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有_____________．11．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，化简：a b c a b c -+---=__________.12．等腰三角形的周长为20 cm ，一边长为6 cm ，则底边长为__________．13．如图，ABD ∠与ACE ∠是ABC 的两个外角，若70o A ∠=，则ABD ACE ∠+∠=______.14．四边形ABCD 的外角之比为1∶2∶3∶4，那么:::A B C D ∠∠∠∠=15．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，那么这个多边形是__________边形．14．若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为________．16．如图，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=_______.17．如图，点D ，B ，C 在同一直线上，60o A ∠=，50o C ∠=，25oD ∠=，则1∠=_______.18．如图，小亮从A 点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了__________米．19．一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的13，这个正多边形是几边形？20．如图，直线AD 和BC 相交于点O ，//AB CD ，95o AOC ∠=，50o B ∠=，求A ∠和D ∠.21．如图，经测量，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数．22．如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R 的扇形草坪(图中阴影部分)．⑴图①中草坪的面积为__________；⑵图②中草坪的面积为__________；⑶图③中草坪的面积为__________；⑷如果多边形的边数为n ，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为__________．24．⑴如图，一个直角三角板XYZ 放置在ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY ，XZ 分别经过点B ，C ，ABC 中，若∠A ＝30°，则ABC ACB ∠+∠=______，XBC XCB ∠+∠=_____；⑵若改变直角三角板XYZ 的位置，但三角板XYZ 的两条直角边XY ，XZ 仍然分别经过B ，C ，那么∠ABX ＋∠ACX 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出ABX ACX ∠+∠的大小．25．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．⑴如图①，若AB ∥CD ，点P 在AB ，CD 外部，则有∠B ＝∠BOD ，又因为∠BOD 是△POD 的外角，故∠BOD ＝∠BPD ＋∠D.得∠BPD ＝∠B －∠D.将点P 移到AB ，CD 内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD ，∠B ，∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；⑵在如图②中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，如图③，则∠BPD ，∠B ，∠D ，∠BQD 之间有何数量关系？(不需证明)；(3)根据(2)的结论求如图④中∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数．第11章《三角形》测试题(时间150分满分120分)一、填空题:（每题1.5分，共21分）1、如图ABC 的面积等于252cm ，AE ED =，2BD DC =．则AEF BDE S S += 10 2cm ，四边形CDEF S =2032cm .2225102AEFDEFBAE BDE S S x x y AE DE x y x y S S y ==⎧+=⇒⇒++=⇒+=⎨==⎩ ()2105222225BDFCDFCDF ABD ACD S S x y S BD CD S S y x ==+=⇒=⎧⎪=⇒⎨=⇒=+⎪⎩()51032225253x x y y x y ⎧=⎪+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨=+⎪⎩⎪=⎪⎩2053CDEF S x ⇒=+= 2、一个多边形的所有内角和与一个外角的和为1350°，这个多边形的边数为 9 ，这个外角的度数为90o。
2021年人教版初中数学八年级上三角形相关压轴题专项练习
数学八年级（上）2021年人教版八年级上三角形相关综合题专项练习1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD 上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG＝180°．（1）AD与EF平行吗？请说明理由；（2）点H在FE的延长线上，若∠EDH＝∠C，∠F＝2∠H﹣40°，求∠BAC的度数．2．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，且A'与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝30°．（1）求∠1﹣∠2的度数；（2）若保持△A′DE的一边与BC平行，求∠ADE的度数．3．已知：如图，点E在四边形ABCD的边BA的延长线上，CE与AD交于点F，∠1＝∠E，∠B＝∠D．（1）求证：AD∥BC；（2）如图，若点P在线段BC上，点Q在线段BP上，且∠2＝∠3，FM平分∠EFP，∠4＝20°，求∠5的度数．4．图①，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）．（1）若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D．①若∠BAO＝60°，则∠D＝°；②猜想：∠D的度数是否随A，B的运动而发生变化？并说明理由；（2）若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，求∠D的度数；（3）若将“∠MON＝90°”改为“∠MON＝α（0°＜α＜180°）”，∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，其余条件不变，则∠D＝（用含α，n的代数式表示）．5．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD 于点M，且∠FEM＝∠FME．（1）猜想直线AB与直线CD有怎样的位置关系？说明你的理由；（2）若点G为直线CD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①如图2，当点G在射线FD上运动时，若β＝56°，求α的度数；②当点G在直线CD上运动时，请直接写出α和β的数量关系．6．已知：△ABC中，BE是△ABC的角平分线，BD是△ABC的AC边上的高，过点A作AF∥BE，交直线BD于点F．（1）如图1，若∠ABC＝74°，∠C＝32°，则∠AFB＝°；（2）若（1）中的∠BAC＝α，∠ACB＝β（α＞β），求∠AFB；（用α，β表示）；（3）如图2，（2）中的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，求出∠AFB．（用α，β表示）7．如图①，直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC ＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于点E．（1）求∠AEC的度数；（2）若线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC的度数．8．在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为倍角三角形；（2）如图，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F；①说明∠ABO＝2∠E的理由；②若△AEF为4倍角三角形，直接写出∠ABO的度数．9．在△ABC中，∠A＝70°，点D、E分别是边AC、AB上的点（不与A、B、C重合），点P 是平面内一动点（P与D、B不在同一直线上），设∠PEB＝∠1，∠DPE＝∠2，∠PDC＝∠3．（1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则∠2＝；（用含有∠1、∠3的代数式表示）（2）若点P在△ABC的外部，如图（2）所示，则∠1、∠2、∠3之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．（3）当点P在边CB的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并写出对应的∠1、∠2、∠3之间的关系式．（不需要证明）10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．（1）如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝度；（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）①如图3，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数；②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4）．将原来条件“∠A＝140°，∠D＝80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BEC的度数为．11．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B 在射线OM上运动（点B不与点O重合）．（1）如图1，MN⊥PQ，若∠BAO＝30°，∠BAO与∠ABO的角平分线相交于点E，∠AEB 的度数为，（2）如图2，MN⊥PQ，∠BAP与∠ABM的角平分线相交于点E，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（3）如图3，若∠MOQ＜90°，∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于点E，延长BA至点G，∠OAG的角平分线与射线EO相交于点F，点A、B在运动的过程中，试探索∠F与∠ABO 之间的等量关系，并证明你的结论．12．∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB ＝°；（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．①若∠BAO＝60°，则∠D＝°；②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；（3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．参考答案1．解：（1）AD∥EF，理由如下：∵∠BDA+∠CEG＝180°，∠BDA+∠CDA＝180°，∴∠CEG＝∠CDA．∴AD∥EF．（2）∵∠EDH＝∠C，∴DH∥AC．∴∠H＝∠AGF．∵AD∥EF，∴∠F＝∠BAD，∠AGF＝∠CAD．∴∠H＝∠CAD．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD．∴∠F＝∠H．∵∠F＝2∠H﹣40°，∴∠F＝∠H＝40°．∵∠F＝∠BAD＝∠H＝∠CAD，∴∠BAC＝80°．2．解：（1）由折叠可知，∠A′＝∠A＝30°，在△A′EF中，∠A′+∠2+∠A′FE＝180°，∴∠2＝180°﹣∠A′﹣∠A′FE＝150°﹣∠A′FE，在△ABC中，∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝60°，在四边形BCDF中，∠1+∠C+∠B+∠BFD＝360°，∴∠1＝360°﹣∠C﹣∠B﹣∠BFD＝210°﹣∠BFD，∵∠BFD＝∠A′FE，∴∠1﹣∠2＝210°﹣150°＝60°；（2）当DA'∥BC时，如图，∠A′DA＝∠ACB＝90°，∵△ADE沿DE折叠到△A′DE，∴∠ADE＝∠A′DE＝∠ADA′＝45°，当EA'∥BC时，如图，∠2＝∠ABC＝60°．由（1）知，∠1﹣∠2＝60°，∴∠1＝∠2+60°＝120°，∵△ADE沿DE折叠到△A′DE，∴∠ADE＝∠A′DE＝∠ADA′＝（180°﹣∠1）＝30°．综上所述∠ADE的度数为：45°或30°．3．（1）证明：∵∠1＝∠E，∴BE∥CD，∴∠D＝∠EAD，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠EAD，∴AD∥BC；（2）解：如图，∵FM平分∠EFP，∴∠EFM＝∠PFM，即∠6+∠7＝∠4+∠2，由（1）知，AD∥BC，∴∠4+∠7＝∠3，∵∠2＝∠3，∴∠6+∠7＝∠4+∠7+∠4，∴∠6＝2∠4，∵∠6＝∠5，∴∠5＝2∠4，∵∠4＝20°，∴∠5＝40°．4．解：（1）①∵AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，∴∠BAD＝，∠CBA＝．∵∠D+∠BAD＝∠CBA，∴∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝＝．∵∠MON＝90°，∴∠D＝45°．故答案为：45．②不变化，理由如下：与①同理可得：∠D＝，是定值．（2）由（1）知：∠D＝∠CBA﹣∠BAD．∵∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，∴∠D＝＝．∵∠MON＝90°，∴∠D＝30°．（3）与（2）同理：∠D＝∠CBA﹣∠BAD．∵∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，∴∠D＝＝．∵∠MON＝α，∴∠D＝．故答案为：．5．解：（1）结论：AB∥CD．理由：如图1中，∵EM平分∠AEF交CD于点M，∴∠AEM＝∠MEF，∵∠FEM＝∠FME．∴∠AEM＝∠FME，∴AB∥CD．（2）①如图2中，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝β＝56°，∴∠AEG＝124°，∵∠AEM＝∠MEF，∠HEF＝∠HEG，∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF＝∠AEG＝62°，∵HN⊥EM，∴∠HNE＝90°，∴α＝∠EHN＝90°﹣∠HEN＝28°．②结论：α＝β或α＝90°﹣β．理由：当点G在F的右侧时，可得α＝β．∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝β，∴∠AEG＝180°﹣β，∵∠AEM＝∠MEF，∠HEF＝∠HEG，∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF＝∠AEG＝90°﹣β，∵HN⊥EM，∴∠HNE＝90°，∴α＝∠EHN＝90°﹣∠HEN＝β．当点G在FM上时，可得α＝90°﹣β．理由：∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠EGF＝β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF＝（∠AEF﹣∠FEG）＝∠AEG＝β，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，即α＝90°﹣β；当点G在点M的左侧时，可得α＝90°﹣β．理由：∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠EGF＝β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF＝（∠AEF﹣∠FEG）＝∠AEG＝β，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，即α＝90°﹣β．6．解：（1）∵∠ABC＝74°，BE平分∠ABC，∴∠CBE＝＝37°，△CBE中，∠AEB＝∠C+∠CBE＝32°+37°＝69°，∵BF⊥AC，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣69°＝21°，∵AF∥BE，∴∠AFB＝∠EBD＝21°，故答案为：21；（2）∵∠BAC＝α，∠ACB＝β，∴∠ABC＝180°﹣α﹣β，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝＝90°﹣﹣，△CBE中，∠AEB＝∠C+∠CBE＝β+90°﹣α﹣β＝90°﹣α+β，∵∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣（90°﹣α+β）＝α﹣β，∵AF∥BE，∴∠AFB＝∠EBD＝α﹣β；（3）如图2，（2）中的结论不成立，理由如下：∵∠BAC＝α，∠ACB＝β，∴∠ABC＝180°﹣α﹣β，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝＝90°﹣﹣，△ABC中，∠DAB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∵AF∥BE，∴∠FAB＝∠ABE，∵∠D＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°，∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠ABD＝180°﹣（90°﹣﹣）﹣（α﹣90°）＝180°+﹣α．7．解：（1）∵PQ∥MN，∴∠ADC＝∠QAD＝30°（两直线平行，内错角相等），∴∠PAD＝180°﹣30°＝150°，而AE平分∠PAD，∠PAC＝50°，∴∠CAE＝，又∵PQ∥MN，∠CAQ＝130°，∴∠ACD＝180°﹣∠CAQ＝180°﹣130°＝50°（两直线平行，同旁内角互补），而CE平分∠ACD，∴∠ACE＝25°，在△ACE中，∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠CAE＝180°﹣25°﹣25°＝130°，（2）∵PQ∥MN，∴∠D1C＝∠QA1D1＝30°（两直线平行，内错角相等），∠PAC＝∠ACD1＝50°（同上），∴∠A1AC＝180°﹣50°＝130°，而CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝25°，而∠AA1D1＝180°﹣∠QA1D1＝180°﹣30°＝150°，A1E平分∠AA1D1，∴∠AA1E＝75°，在四边形ACEA1中，∠A1EC＝360°﹣∠AA1E﹣∠ACE﹣∠A1AC＝360°﹣75°﹣25°﹣130°＝130°．8．解：（1）∵∠E＝40°，∠F＝35°，∴∠D＝180°﹣40°﹣35°＝105°，∴∠D＝3∠F，∴△ABC为3倍角三角形，故答案为：3；（2）①∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，∴∠BAO＝2∠EAQ，∠BOG＝2∠EOQ，由外角的性质可得：∠BOQ＝∠BAO+∠ABO，∠EOQ＝∠EAQ+∠E，∴∠ABO＝2∠E．②∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝（∠BAO+∠OAG）＝90°，∵△EAF是4倍角三角形，∴∠E＝×90°＝22.5°或×90°＝18°，∵∠ABO＝2∠E，∴∠ABO＝45°或36°．9．解：（1）∵∠AEP＝180°﹣∠1，∠ADP＝180°﹣∠3，∴180°﹣∠1+180°﹣∠3+∠2+70°＝360°，即∠2＝∠1+∠3﹣70°；故答案为：∠1+∠3﹣70°．（2）结论：∠3＝∠1+∠2﹣70°．如图：根据三角形外角的性质可知，∠4＝∠1﹣70°，∠3＝∠5+∠2，由对顶角可知：∠5＝∠4＝∠1﹣70°，∴∠3＝∠1﹣70°+∠2＝∠1+∠2﹣70°．（3）如图①，由外角的性质得：∠4＝∠3﹣70°，∠1＝∠5+∠2，由对顶角可知：∠5＝∠4＝∠3﹣70°，∴∠1＝∠3﹣70°+∠2＝∠3+∠2﹣70°．如图②，由外角的性质得：∠4＝∠3﹣70°，∠5＝∠2+∠1，由对顶角可知：∠5＝∠4，∴∠3﹣70°＝∠1+∠2，即∠3＝∠1+∠2+70°．综上：∠1＝∠3+∠2﹣70°或∠3＝∠1+∠2+70°．10．解：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，∵∠B＝∠C，∴∠C＝70°．（2）∵BE∥AD，∴∠ABE+∠A＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，∵∠ABC的角平分线BE交DC于点E，∴∠ABC＝80°，∴∠C＝360°﹣（140°+80°+80°）＝60°．（3）①∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，∴∠EBC+∠ECB＝70°，∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．②∵∠F＝40°，∴∠FBC+∠BCF＝180°﹣40°＝140°，∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，∴∠EBC+∠ECB＝70°，∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．11．解：（1）∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠BAO＝30°，∴∠ABO＝60°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°，∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．故答案为：135°．（2）不会发生变化．∵∠BAP与∠ABM的角平分线相交于点E，∴∠EAB＝∠PAB，∠EBA＝∠MBA，∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠PAB＝∠ABO+∠AOB＝90°+∠ABO，∠MBA＝∠BAO+∠AOB＝90°+∠BAO，∴∠EAB+∠EBA＝（90°+∠ABO+90°+∠BAO）＝90°+（∠ABO+∠BAO），∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝90°+45°＝135°，∴∠AEB＝180°﹣135°＝45°．（3）∠ABO+∠F＝90°．如图：∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于点E，∴∠1＝∠BAO，∠2＝∠BOQ，由外角的性质可得：∠ABO＝∠BOQ﹣∠BAO，∠E＝∠2﹣∠1，∴∠E＝∠ABO．∵AE平分∠BAO，AF平分∠GAO，∴∠EAF＝90°，∴∠E+∠F＝90°，即∠ABO+∠F＝90°．12．解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，∴∠AEB＝135°；故答案为：135°；（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴∠ABN＝150°，∵BC是∠ABN的平分线，∴∠OBD＝∠CBN＝150°＝75°，∵AD平分∠BAO，∴∠DAB＝30°，∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，故答案为：45；②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD＝α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2α，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝45°+α，∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°；（3）∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，∴∠AOE＝135°，∴，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，∴，在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，则①当∠EAF＝3∠E时，得∠E＝30°，此时∠ABO＝60°；②当∠EAF＝3∠F时，得∠E＝60°，此时∠ABO＝120°＞90°，舍去；③当∠F＝3∠E时，得，此时∠ABO＝45°；④当∠E＝3∠F时，得，此时∠ABO＝135°＞90°，舍去．综上可知，∠ABO的度数为60°或45°．。
练习17 力的作用之三角形相似法-2021年高考物理一轮复习习题课(必修1)
力的作用习题课--三角形相似练习1、如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。
现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前()A．BC绳中的拉力F T越来越大B．BC绳中的拉力F T越来越小C．AC杆中的支撑力F N越来越大D．AC杆中的支撑力F N越来越小2、如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆承受弹力的最大值一定，轻杆A端用铰链固定，滑轮在A端正上方(滑轮大小及摩擦均可忽略)，B端吊一重物，重力大小为G.现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉(均未断)，在AB杆达到竖直前，以下分析正确的是()A．绳子越来越易断B．绳子越来越不易断C．AB杆越来越易断D．AB杆越来越不易断3、(2019·浙江温州高三新高考适应性考试)如图所示的起重装置，A为固定轴，AB为轻杆，B端系两根轻绳，一根在下面拴一重物，另一根绕过无摩擦定滑轮，在绳端施加拉力，使杆从位置Ⅰ缓缓移到位置Ⅱ的过程中，绕过定滑轮的那根绳的张力F以及轻杆在B端受到的作用力F N的变化情况是()A.F减小，F N大小不变，方向由沿杆向外变为沿杆向里B.F减小，F N大小不变，方向始终沿杆向里C.F不变，F N先变小后变大，方向沿杆向里D.F不变，F N变小，方向沿杆向里4、（多选）如图所示，将一劲度系数为k 的轻弹簧一端固定在内壁光滑、半径为R 的半球形容器底部O ′处(O 为球心)，弹簧另一端与质量为m 的小球相连，小球静止于P 点．已知容器与水平面间的动摩擦因数为μ，OP 与水平方向间的夹角为θ＝30°.下列说法正确的是( )A ．水平面对容器有向右的摩擦力B ．弹簧对小球的作用力大小为12mg C ．容器对小球的作用力大小为mg D ．弹簧原长为R ＋mg k5、(2019·浙江余姚选考模拟)（多选）如图所示，质量均为m 的小球A 、B 用劲度系数为k 1的轻弹簧相连，B 球用长为L 的细绳悬于O 点，A 球固定在O 点正下方，当小球B 平衡时，绳子所受的拉力大小为F T1，弹簧的弹力大小为F 1；现把A 、B 间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k 2(k 2>k 1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力大小为F T2，弹簧的弹力大小为F 2，则下列关于F T1与F T2、F 1与F 2大小之间的关系，正确的是( )A.F T1>F T2B.F T1＝F T2C.F 1＜F 2D.F 1＝F 26、(2019·山东省“评价大联考”三模)如图，用硬铁丝弯成的光滑半圆环竖直放置，直径竖直，O 为圆心，最高点B 处固定一光滑轻质滑轮，质量为m 的小环A 穿在半圆环上。
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2.变化中的三角形
一、三角形底边为8 cm，当它的高由小到大变化时，三角形的面积也随之发生了变化.
1.在这个变化过程中，高是_________，三角形面积是_________.
2.如果三角形的高为h cm，面积S表示为_________.
3.当高由1 cm变化到5 cm时，面积从_________cm2变化到_________cm2.
4.当高为3 cm时，面积为_________cm2.
5.当高为10 cm时，面积为_________cm2.
二、出租车的车费y（元）随着路程x(k m)变化而变化，有一种出租车的计费y与路程x间的关系可以近似地用关系式：y=1.2x+2.6(x≥2)来表示.
1.在上式中_________是自变量，y是_________.
2.计算一下：当x=2时，y=_________;当x=3时，y=_________；当x=10时，y=_________.
3.小明家距火车站15 k m，如果乘这种出租车需付_________元车费.
4.小明的爸爸付了7.4元车费，他乘出租车行了_________k m的路程.
三、长方形的长为10 cm，宽为x cm.
1.长方形的面积y与x间的关系式是_________.
2.填下表：
四、打电话时电话费随时间的变化而变化，有一种手机的电话费用y（元）与通话时间x(分）之间的关系可近似地表示为y=5+0.25x.
1.小张打了100分钟电话，费用为多少元？
2.小张这个月的电话费是55元，他打了多少分钟电话？
五、选做题
1~6个月婴儿生长发育得非常快，他们的体重y（克）随着月龄x(月）的变化而变化.一个刚出生的婴儿的体重是3200克，体重y与月龄之间的关系可以用y=3200+700x来表示，当月龄x的值分别是1，2，3，4，5，6时，计算这个婴儿相应的体重，并将所得结果用表格表示.
2.变化中的三角形
一、自变量因变量 2.S=4h 3.4 20 4.12 5.40
二、1.x因变量 2.5 6.2 14.6 3.20.6 4.4
三、1.y=10x 2.10 20 30 8 3.10
四、1.30元 2.200分
五、略。