第17章 压杆稳定

长度系数μ
Fcr
2 EI
l2
=1
0.7
=0.5
=2
=1
0.5l
表中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等 截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆 端约束越强，压杆的临界力也就越高。 表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式： π 2 EI Fcr l 2 长度因数，它与杆端约束情况有关； l ——压杆的相当长度，它表示某种杆端约束情况 下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为 l 的两 端铰支压杆的临界力。
1.一端固定、另一端自由
Fcr
l
Fcr
l
Fcr
EI
2
2l
2
l
Fcr
2.两端固定
Fcr
Fcr
l 4
l
Fcr
EI
2
FNcr= Fcr
l 2
l 4
l 2
2
拐点
FNcr= Fcr FNcr
l 4
l 2 l 4 拐点
FNcr
3.一端固定、另一端铰支
Fcr
Fcr
Fcr
(a)
Fy l x w A sin kx B cos kx Fcr Fy w Ak cos kx Bk sin kx Fcr
(a) (b)
式中共有四个未知量：A，B，k，Fy。 由边界条件x=0，w =0 得 A=Fy (kFcr)。 由边界条件x=0，w=0 得 B=-Fy l /Fcr。
求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下杆受拉 BD杆的临界压力
2
Fcr
2a
3
EI
2

EI
2
2a
2
故杆系所能承受的最大载荷
FN , BD P max Fcr
Pmax
EI
2
Ed
128a
4
2a
2
2
（b）BD杆受拉其余杆受压 四个杆的临界压力
Fcr
EI
a
2
2
故杆系所能承受的最大载荷： Pmax FN , AB Fcr 2
2 Ed Pmax 2 64a
3
4
[例]图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为 细长压杆（设0<θ <π /2） 。

① 90 ②
求载荷P为最大值时的θ 角。
解：由静力平衡条件可 解得两杆的压力分别为 ：
Fcr
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
Fcr B
Fcr
0.7l l
0.5l
D
l 2l l
C— 挠曲线拐点
B
B
l
l
A
C C A A C— 挠曲 C、D— 挠 曲线拐点 线拐点
2 EI 临界力Fcr 2 EI 2 EI 2 EI F Fcr F 2 Fcr 2 2 cr 欧拉公式 cr (0.5l ) (0.7l ) (2l ) 2 l
§17.3 不同杆端约束下细长压杆临界力 的欧拉公式· 压杆的长度因数
现在来推导另一些杆 端约束条件下求细长中心 压杆临界力的欧拉公式。
推导下端固定、上端自 由的等直细长中心压杆临界 力的欧拉公式。图中xy平面 为杆的弯曲刚度最小的平面。
解: 1. 建立压杆挠曲的近似微分方程
M x Fcr w
Fy 1 w sin kx l cos kx l x Fcr k
再利用边界条件x=l，w=0，由上式得 Fy 1 sin kl l cos kl 0 Fcr k
(c)
由于杆在微弯状态下保持平衡时，Fy不可能等 于零，故由上式得
M x Fcr w Fy l x EIw [Fcr w Fy l x ]
令 k2=Fcr /EI，将上式改写为
Fy l x w k w EI
2
Fy l x w k w k Fcr
2 2
Fy l x w A sin kx B cos kx Fcr
稳定：
（Stable）
理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）
直线平衡状态；
失稳： 理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直 （Unstable） 线平衡状态；
临界力
（Critical force）
压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值
§17.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
思路： 假设压杆在某个压力Fcr作用下在曲线状态 若： 然后设法去求挠曲函数。 平衡，
一、工程中的压杆： 桥墩
一、工程中的压杆： 吊车的顶杆
一、工程中的压杆： 火车卧铺的撑杆
一、工程中的压杆： 压力机的压杆
二、压杆的失效形式
强度不足 —— 粗短压杆
FN [ ] A
失 稳 —— 细长压杆
三、压杆失稳的实例
1.1907年加拿大圣劳伦斯河在架奎
伯克桥时，由于悬臂桁架中的一根压杆 失稳，造成桥梁倒塌，9000吨钢材变成
演播厅屋顶模板倒塌，死5人，伤35人。
第一节 压杆稳定的概念
四、压杆稳定的概念 1.稳定的分类
无穷多个 平衡点— 随遇平衡 2.失稳的定义
一个平衡 点—稳定 平衡
没有平衡 点—不稳 定平衡
压杆从直轴线状态下的稳定平衡转化为微曲状态 下的不稳定平衡成为失稳。
临界压力--使压杆失稳的压力称为临界压力。
Fy l sin kx w cos kx 1 Fcr 4.49
x l
利用此方程还可以进一步求得 该压杆在上列临界力作用下挠 曲线上的拐点在 x = 0.3l 处 ( 图 b) 。
例 试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界
力公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
w A sin kx B cos kx
( 2)
一阶导数为 w Ak cos kx Bk sin kx
根据边界条件x=0，w =0 得 A＝0。 由边界条件x=0，w=0 得 B=-。
( 3)
w 1 cos kx
x=l时 w=， 由(4)式出
(4)
1 coskl
EIw M ( x) Fcr w
Fcr Fcr w w EI EI (1)
2. 求解挠曲线的近似微分方程，并求临界力 令 k2
Fcr 由(1)式得 w k 2 w k 2 EI
( 2)
w A sin kx B cos kx
F
F（较小） F（较小）
F（特殊值） F（特殊值）
QQ
Q Q
轴压 直线平衡
压弯 曲线平衡
恢复 直线平衡
压弯 曲线平衡
失稳 曲线平衡
保持常态、稳定
失去常态、失稳
压杆失稳的现象： 1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯 一的平衡状态；
Ｆ
Ｆ
EIw" M ( x) Fw M
令:k2 F EI
2
M0
x L
Ｆ
x
Fw-M0
M w" k w k F
2
w c cos kx d sin kx M / F
M0
Ｆ
Ｆ
M0
边界条件为:
x 0,w w' 0; x L,w w' 0
M c , d 0, kL 2n 并 kL n F
EI
2
2l 3
2
2l 3
l
拐点
拐点
F' cr
运用欧拉公式计算临界力时需要注意： (1)当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球 形铰)，欧拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形 心主惯性矩 Imin。 (2)当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式 中所取用的I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相 对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：
Fcr l π 亦即 EI
Fcr 2 2 l π EI 2 π EI Fcr 2 l
sin kl 0
两端铰支细长中心压杆临界力公式：
讨论：失稳挠曲线 ——半正弦波曲线
w A sin
x
l
2 杆在任意微弯状态下保持平衡时 为不确定的值。 这是因为推导过程中是用的挠曲 线近似微分方程。
coskl 0
coskl 0
得 coskl = 0。kl的最小值为 kl = /2，亦即
Fcr π l EI 2 从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：
π EI π EI Fcr 2 2 4l 2l
2
2
试推导下端固定、上端铰 支的等直细长中心压杆临界力 的欧拉公式。图(a)中的xy平面 为杆的最小弯曲刚度平面。
1）求得的挠曲函数≡0， 说明只有直线 平衡状态； 2）求得不为零的挠曲函数，说明压杆的 确能够在曲线状态下平衡，即出现失 稳现象。
一、两端铰支细长压杆的临界压力 设： 压杆处于微弯状态， 且 p
x
x F
由
EIw M x M x Fw
FN
y
w k w 0 F 2 k EI
2
M(x)
x y
l
y x
y F
F
w k 2 w 0
w Asin kx B cos kx
x=0，w=0 x=l，w=0
(c)
0 A 1 B 0 sin kl A cos kl B 0
B0
kl 0，π, 2π，