数学人教版八年级上册12.2直角三角形全等的判定
人教版八年级数学上册12.2《斜边、直角边判定直角三角形全等》优秀教学案例
4.反思与评价:本节课注重学生的个性化评价,关注他们在学习过程中的进步和成长。教师鼓励学生进行自我评价,培养他们的自我监控和自我调整能力,使他们在学习过程中能够不断地反思和提高。
(二)讲授新知
1.利用多媒体课件或教具,直观地展示斜边、直角边判定直角三角形全等的方法。
2.通过讲解和示例,让学生理解和掌握斜边、直角边判定直角三角形全等的方法,并能够运用这一方法解决实际问题。
3.结合实例,讲解全等三角形的性质,提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
(三)学生小组讨论
1.设计具有讨论性和合作性的学习任务,让学生在小组内进行讨论交流,共同解决问题。
2.设计具有挑战性和启发性的问题,引导学生思考,激发他们的求知欲和解决问题的能力。
3.创设轻松、愉快的学习氛围,使学生在课堂上能够自由地表达自己的观点,培养他们的创新意识和思维能力。
(二)问题导向
1.引导学生从问题中发现规律,总结判定方法,提高他们的推理能力和证明能力。
2.采用引导式教学法,让学生在解决问题的过程中,自主地探索和发现知识,培养他们的自主学习能力。
(四)反思与评价
1.引导学生对所学知识进行总结和反思,提高他们的归纳总结能力和思维的严谨性。
2.设计具有挑战性和应用能力。
3.注重学生的个性化评价,关注他们在学习过程中的进步和成长,激发他们的学习动力和自信心。
4.鼓励学生自我评价,培养他们的自我监控和自我调整能力,使他们在学习过程中能够不断地反思和提高。
二、教学目标
(一)知识与技能
1.让学生掌握斜边、直角边判定直角三角形全等的方法,并能够运用这一方法解决实际问题。
人教版八年级上册12.2直角三角形全等的判定教案
二、核心素养目标
1.掌握直角三角形全等的判定方法,培养几何直观与逻辑推理能力;
2.通过实际问题的解决,提高数学抽象与模型构建的能力;
3.在探究直角三角形全等判定过程中,培养数据分析与数学运算的能力;
4.合作交流、探讨全等判定方法,提升学生沟通与合作的核心素养;
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解直角三角形全等判定的基本概念。直角三角形全等是指两个直角三角形的对应边和角完全相同。这种判定是几何学中的重要内容,它在解决实际问题中有着广泛的应用。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何使用SAS、ASA、AAS判定法来确定两个直角三角形是否全等,以及这些方法如何帮助我们解决实际问题。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了直角三角形全等判定的基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形全等的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了直角三角形全等的判定,回顾整个教学过程,我觉得有几个方面值得思考。
首先,关于教学导入,我发现通过提问的方式引导学生思考日常生活中的例子,能有效激发他们的学习兴趣。然而,部分学生对这个问题似乎不太感冒,可能是因为例子不够贴近他们的生活实际。在今后的教学中,我需要更加关注学生的生活经验,寻找更合适的导入方式。
其次,在新课讲授环节,我发现学生们对SAS、ASA、AAS判定方法的理解程度不一。有些学生能迅速掌握,但也有一些学生对此感到困惑。针对这一点,我采取了举例和对比的方式进行讲解,但效果似乎并不理想。我考虑在接下来的课程中,加入更多的互动环节,让学生自己动手操作,以加深他们对这些判定方法的理解。
人教版八年级上册12.2《三角形全等的判定》(角边角)教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
a. “角边角”(ASA)判定全等三角形的条件:两个角和它们夹的边分别相等。
b.应用ASA判定方法判断两个三角形是否全等。
c.理解全等三角形的性质,如对应边、对应角相等,对应边上的中线、高、角平分线相等。
-引导学生观察并总结规律,强调“角边角”中的“边”是特定的一条边。
-通过具体例题,让学生在实际应用中加深对“边”的理解。
针对难点b,教师可采用以下方法:
-在复杂图形中,引导学生先识别出已知的信息,如角和边,再判断是否符合ASA条件。
-通过变式练习,让学生在不同情境下运用ASA判定方法,提高识别和运用能力。
人教版八年级上册12.2《三角形全等的判定》(角边角)教案
一、教学内容
人教版八年级上册12.2《三角形全等的判定》(角边角)教案:
1.知识目标:使学生掌握“角边角”(ASA)判定全等三角形的方法。
2.能力目标:培养学生运用ASA判定方法解决实际问题的能力。
3.教学内容:
a.复习全等三角形的定义及性质。
d.通过具体例题,让学生掌握ASA判定全等三角形的步骤和技巧。
举例:在讲解ASA判定方法时,教师可借助图形,如∆ABC和∆DEF,明确指出当∠A=∠D,∠B=∠E,且边AB=DE时,根据ASA判定方法,可得出∆ABC≌∆DEF。
2.教学难点
a.理解并掌握“角边角”中的“边”是指两个角夹的那条边,而非任意一条边。
b.学习“角边角”(ASA)判定全等三角形的方法。
c.通过例题,让学生掌握ASA判定方法的运用。
d.练习:完成教材P122页练习题12.2的第1、2、3题。
人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十二章全等三角形12.2全等三角形的判定(含解析)
人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十二章全等三角形12.2 全等三角形的判定一:考点归纳考点一、三角形全等的判定定理:(1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS ”)(2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA ”)(3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS ”)。
考点二、直角三角形全等的判定:对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL 定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL ”).考点三、证明的基本方法:⑴明确命题中的已知和求证.(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系)⑵根据题意,画出图形,并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.二:【题型归纳】题型一:直角三角形全等的判定1.如图,已知,,AE BD AC BC DF EF =⊥⊥,垂足分别为点,C F ,且BC EF =.求证:ABC DEF ∆≅∆题型二:SAS的判定2.如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.(1)求证:△AEC≌△BED;(2)若∠1=48°,求∠BDE的度数.题型三:全等三角形判定与性质的综合3.如图,∆ABC中,AC=CB,∠ACB=90°,D为AC延长线上的一点,E在BC边上,连接AE,DE,BD,AE=BD,∆≅∆(1)求证:ACE BCD(2)若∠CAE=15°,求∠EDB的度数.4.如图,AD为ABC的高,AD=BD,E为AC上一点,BE交AD于F,且FD=CD.(1)求证:BFD≌ACD;(2)判断BE与AC的位置关系,并说明理由.三:基础巩固和培优一、单选题1.如图,∠ABD =∠EBC ,BC =BD ,再添加一个条件,使得△ABC ≌△EBD ,所添加的条件不正确的是( )A .∠A =∠EB .BA =BEC .∠C =∠D D .AC =DE2.如图,下列条件中,不能证明ABD ≌ACD 的是( )A .BD DC =,AB AC =B .ADB ADC ∠∠=,BD DC =C .B C ∠=∠,BAD CAD ∠=∠D .B C ∠=∠,BD DC =3.如图,下列条件不能证明ABC DCB △≌△的是( )A .AB =DC ,AC =DB B .AB =DC ,∠ABC =∠DCBC .BO =CO ,∠A =∠D D .AB =DC ,∠ACB =∠DBC4.如图,BE=CF ,AB=DE ,添加下列哪一个条件可以推证△ABC ≌△DEF ()A .BC=EFB .∠A=∠DC .AC//DFD .∠B=∠DEF5.如图,∆ABC 的面积为102cm ,BP 平分∠ABC ,AP 垂直于BP 于P .连接CP ,若∆ACP 的面积为22cm ,则∆ABP 的面积为( )A .12cmB .22cmC .32cmD .42cm6.如图,已知AD 是ABC 的角平分线,增加以下条件:①AB =AC ;②∠B =∠C ;③AD ⊥BC ;④ABD ACD S S ,其中能使BD =CD 的条件有 ( )A .①B .①②C .①②③D .①②③④7.如图,已知AE=CF ,∠AFD=∠CEB ,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF ≌△CBE 的是( )A .∠B=∠DB .BE=DFC .AD=CBD .AD ∥BC8.如图,在△ABC 和△DEC 中,已知CB CE =,还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ,不能添加的一组条件是( ).A .AB DE =,B E ∠=∠ B .AB DE =,AC DC =C .AB DE =,AD ∠=∠ D .A D ∠=∠,BE ∠=∠9.如图,90ACB ∠=︒,AC=BC .AD CE ⊥,BE CE ⊥,垂足分别是点D 、E .若AD=6,BE=2,则DE 的长是( )A .2B .3C .4D .510.如图,△ABC 的面积为1cm 2, AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ,则△PBC 的面积为( )A .0.4 cm 2B .0.5 cm 2C .13 cm 2D .0.6 cm 2二、填空题 11.如图所示,在△ABC 中,AB =CB ,∠ABC =90°,D 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且BE =BD ,连接AE 、DE 、DC .若∠CAE =25°,则∠BDC =_____.12.在△ABC 和△A ′B ′C ′中,若∠A =∠A ′,AB =A ′B ′,请你补充一个条件_____,使得△ABC ≌△A ′B ′C ′.13.如图,在ABC中,点D、E、F分别是BC,AB,AC上的点,若∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠EDF =56°,则∠A=_____°.14.如图,已知在ABC中,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,PR=PS,∠1=∠2,则四个结论:①AR=AS;②PQ∥AB;≌;④BP=CP中,正确的是________.③BPR CPS15.如图,在△ABC 中,AB=AC=12,BC=8,D 为AB 的中点,点P 在线段BC 上以每秒2 个单位的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上以每秒x 个单位的速度由C 点向A 点运动.当△BPD 与以C、Q、P 为顶点的三角形全等时,x 的值为_____.三、解答题16.如图所示,在四边形ABCD中,CD∥AB,∠ABC的平分线与∠BC D的平分线相交于点F,BF与CD的延长线交于点E,连接CE.求证:(1)△BCE是等腰三角形.(2)BC=AB+CD17.如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC =DF,BE=CF.求证:△ABC ≌△DEF;18.如图,D为△ABC外一点,∠DAB=∠B,CD⊥AD,∠1=∠2,若AC=7,BC=4,求AD的长.19.如图,在△ABC中,AB<AC,边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM平分线于点D,垂足为E,DF⊥AC于点F,DG⊥AM于点G,连接CD.(1)求证:BG=CF;(2)若AB=10cm,AC=14cm,求AG的长.20.在ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线,MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时,求证:DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时,求证:DE=AD﹣BE;(3)当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时,线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系?请你直接写出这个数量关系,不要证明.10 / 26参考答案题型归纳1.证明:,AC BC DF EF ⊥⊥ 90C F ︒∴∠=∠=AE BD =AB DE ∴=在Rt ABC ∆和Rt DEF ∆中AB DEBC EF =⎧⎨=⎩()Rt ABC Rt DEF HL ∴∆≅∆ 2.解:(1)证明:∵AE 和BD 相交于点O , ∴∠AOD =∠BOE .在△AOD 和△BOE 中,∠A =∠B ,∴∠BEO =∠2. 又∵∠1=∠2,∴∠1=∠BEO ,∴∠AEC =∠BED .在△AEC 和△BED 中,A BAE BE AEC BED∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEC ≌△BED (ASA ).(2)∵△AEC ≌△BED ,∴EC =ED ,∠C =∠BDE .在△EDC 中,∵EC =ED ,∠1=48°,∴∠C =∠EDC =66°,∴∠BDE =∠C =66°.3.(1)证明:在Rt △ACE 和Rt △BCD 中,AC BCAE BD =⎧⎨=⎩,∴△ACE ≌△BCD (HL );(2)∵△ACE ≌△BCD ,∠CAE=15°,∴CE=CD,∠CBD=∠CAE=15°∴∠CDE=∠CED ,∵∠ACB=90°,∴∠CED=45°,∵∠CED 为△BDE 的外角,∴∠EDB=∠CED-∠CBD=45°-15°=30°.4.证明:(1)在△BDF 和△ADC 中,90ADBD ADCBDF CD DF , ∴△BDF≌△ADC(SAS );(2)BE⊥AC,理由如下:∵△BDF≌△ADC,∴∠DAC=∠DBF,∵∠DAC+∠C=90°,∴∠DBF+∠C=90°,∴∠BEC=90°,∴BE⊥AC.三:基础巩固和培优1.D解:∵∠ABD =∠EBC ,BC=BD ,∴∠ABC=∠EBD ,A.当添加∠A=∠E 时,可根据“AAS”判断△ABC ≌△EBD ,故正确;B.当添加BA=BE 时,可根据“SAS”判断△ABC ≌△EBD ,故正确;C.当添加∠C=∠D 时,可根据“ASA”判断△ABC ≌△EBD ,故正确;D.当添加AC =DE 时,无法判断△ABC ≌△EBD ,故错误;故选:D .2.D解:A 、因为BD DC =,AB AC =,又因为AD=AD ,所以ABD ≌ACD (SSS ),故本选项不符合题意; B 、因为ADB ADC ∠∠=,BD DC =,又因为AD=AD ,所以ABD ≌ACD (SAS ),故本选项不符合题意;C 、因为B C ∠=∠,BAD CAD ∠=∠,又因为AD=AD ,所以ABD ≌ACD (AAS ),故本选项不符合题意;D 、因为B C ∠=∠,BD DC =,AD=AD ,这是边边角,不能证明ABD ≌ACD ,故本选项符合题意. 故选:D .3.D解:AB =DC ,AC =DB ,BC =BC ,符合全等三角形的判定定理“SSS”,能推出ABC DCB △≌△ ,故A 选项错误;AB =DC ,ABC DCB ∠=∠,BC =CB符合全等三角形的判定定理“SAS”,能推出ABC DCB △≌△ ,故B 选项错误;在△AOB 和△DOC 中,AOB DOCA D OB OC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴AOB DOC △≌△ (AAS ),∴AB =DC ,∠ABO =∠DCO ,∵OB =OC ,∴∠OBC =∠OCB ,∴∠ABC =∠DCB ,在△ABC 和△DCB 中,AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴ABC DCB △≌△(SAS ),能推出ABC DCB △≌△,故C 选项错误;BC =CB ,AB =DC ,∠ACB =∠DBC ,SSA 不符合全等三角形的判定定理,即不能推出ABC DCB △≌△,故D 选项正确.故选D .4.D解:∵BE =CF ,∴BC =EF ,又∵AB=DE ,A 、添加BC =EF 不能证明△ABC ≌△DEF ,故此选项错误;B 、添加∠A =∠D 不能证明△ABC ≌△DEF ,故此选项错误;C 、添加AC ∥DF 可得∠ACB =∠F ,不能证明△ABC ≌△DEF ,故此选项错误;D 、添加∠B=∠DEF 可利用SAS 判定△ABC ≌△DEF ,故此选项正确;故选:D .5.C解:延长AP 交BC 于D ,∵BP 平分∠ABC ,AP ⊥BP ,∴∠ABP=∠DBP ,∠APB=∠DPB=90°,在△ABP 与△DBP 中,ABP DBPPB PB APB DPB∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩===,∴△ABP ≌△DBP (ASA ),∴AP=PD ,S △PBD =S △ABP∴2ACP PCD S S ∆∆==2cm∴S △ABD =10-4=62cm ,∴△ABP 的面积=3cm 2,故选:C .6.D解:∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD=∠CAD ,∵AB=AC ,AD=AD ,∴△BAD ≌△CAD (SAS ),∴BD=CD ,故①符合题意;∵∠B=∠C ,AD=AD ,∴△BAD ≌△CAD (AAS ),∴BD=CD ,故②符合题意;∵AD ⊥BC ,∴∠ADB=∠ADC=90°,∵AD=AD ,∴△BAD ≌△CAD (ASA ),∴BD=DC ,故③符合题意;∵ABD ACD S S ,∴BD=DC ,故④符合题意;∴①②③④都可以得到BD=CD ;故选D .7.C解:∵AE=CF ,∴AE+EF=CF+EF ,∴AF=CE ,A 、∠B=∠D ,∠AFD=∠CEB ,AF=CE ,满足AAS ,能判定△ADF ≌△CBE ;B 、BE=DF ,∠AFD=∠CEB ,AF=CE ,满足SAS ,能判定△ADF ≌△CBE ;C 、AD=CB ,AF=CE ,∠AFD=∠CEB ,满足SSA ,不能判定△ADF ≌△CBE ;D 、AD ∥BC ,则∠A=∠C ,又AF=CE ,∠AFD=∠CEB ,满足ASA ,能判定△ADF ≌△CBE ; 故选:C .8.C解:∵CB=CE.∴当AB DE =,B E ∠=∠时,满足SAS ,可证△ABC ≌△DEC ,故A 不符合题意; 当AB DE =,AC DC =时,满足SSS ,可证△ABC ≌△DEC ,故B 不符合题意;当AB DE =,A D ∠=∠时,满足是ASS ,不能证明△ABC ≌△DEC ,故C 符合题意; 当A D ∠=∠,B E ∠=∠时,满足AAS ,可证△ABC ≌△DEC ,故D 不符合题意. 故选C .9.C解:∵90ACB ∠=︒,∴∠ACD+∠ECB=90º,∵AD CE ⊥,BE CE ⊥,∴∠ADC=∠CEB=90º,∴∠ECB+∠CBE=90º,∴∠ACD=∠CBE ,在△ACD 和△CBE 中,∵∠ADC=∠CEB=90º,∠ACD=∠CBE ,AC=BC ,∴△ACD ≌△CBE (AAS ),∴AD=CE=6,CD=BE=2,∴ED=EC-CD=6-2=4.故选择:C .10.B解:如图,延长AP 交BC 于T .∵BP ⊥AT ,∴∠BPA =∠BPT =90°,∵BP =BP ,∠PBA =∠PBT ,∴△BPA ≌△BPT (ASA ),∴PA =PT ,∴S △BPA =S △BPT ,S △CAP =S △CPT ,∴S △PBC =12S △ABC =12=0.5,故选:B .11.70°解: ∵∠ABC=90°,∴∠CBD=∠ABC =90°,在Rt △ABE 与Rt △CBD 中,BE BDCBD ABC AB BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD ,∴∠AEB=∠BDC ,∵AB=BC ,∴∠BAC=∠ACB=45°,∵∠AEB 为△AEC 的外角,∠CAE=25°,∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=45°+25°=70°,∴∠BDC=70°.故答案为:70°.12.∠B =∠B ′或∠C =∠C ′或AC =A ′C ′.解:在△ABC 和△A ′B ′C ′中,AB =A ′B ′,∠A =∠A ′, 当添加∠B =∠B ′可利用“ASA ”判断△ABC ≌△A ′B ′C ′; 当添加∠C =∠C ′可利用“AAS ”判断△ABC ≌△A ′B ′C ′; 当添加AC =∠A ′C ′可利用“SAS ”判断△ABC ≌△A ′B ′C ′. 故答案为:∠B =∠B ′或∠C =∠C ′或AC =A ′C ′. 13.68°.解:在△BDF和△CED中∵BF=CD ,∠B=∠C ,BD =CE ,∴△BDF ≌△CED (SAS ),∴∠BFD=∠CDE ,∠BDF=∠CED ,∴∠BDF+∠CDE=180º-∠EDF=180º-56º=124º,∴∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠CDE=124º,∴∠C=∠B=180º-∠BFD-∠BDF=56º,∴∠A=180º-∠B-∠C=180º-56º-56º=68º.故答案为:68º.14.①② 解:在Rt APR ∆和Rt APS ∆中,PS PR AP AP =⎧⎨=⎩, Rt APR Rt APS ∴∆≅∆,()HLAR AS ∴=,①正确,∴1BAP ∠=∠,12∠=∠,2BAP ∴∠=∠,//QP AB ∴,②正确,BRP ∆和QSP ∆中,只有一个条件PR PS =,再没有其余条件可以证明 BRP QSP ∆≅∆,故③④错误; 故答案是:①②.15.2 或 3解:设经过 t 秒后,使△BPD 与△CQP 全等. ∵AB =AC =12,点 D 为 AB 的中点.∴BD =6.∵∠ABC =∠ACB .∴要使△BPD 与△CQP 全等,必须 BD =CP 或 BP =CP . 即 6=8﹣2t 或 2t =8﹣2t .1t =1,2t =2.当t =1 时,BP =CQ =2,2÷1=2. 当t =2 时,BD =CQ =6,6÷2=3. 即点 Q 的运动速度是 2 或 3,故答案为:2 或 3.16.解:(1)∵BF 平分∠ABC , ∴12ABF CBF ABC ∠=∠=∠,∵CD ∥AB ,∴ABF E ∠=∠,∴E CBF ∠=∠,∴BC=CE ,∴△BCE 是等腰三角形.(2)∵CF 平分∠BCE , ∴12BCF BCE ∠=,∵CD ∥AB ,∴180ABC BCE ∠+∠=︒,∴90CBF BCF ∠+∠=︒,∴90BFC ∠=︒,即 CF ⊥BE ,又BC=CE ,∴BF=EF ,在△ABF 和△DEF 中,∵ABF EAFB DFE BF EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABF ≌△DEF ;∴AB=DE ,∴BC=CE=DE+CD=AB+CD ,因此 BC=AB+CD .17.解:证明:∵BE =CF ,∴BE +EC =CF +EC ,∴BC =EF ,在△ABC 和△DEF 中,∵AB DEAC DF BC EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△ABC ≌△DEF (SSS ).18.解:证明:延长AD ,BC 交于点E .∵CD ⊥AD ,∴∠ADC =∠EDC =90°.在△ADC 和△EDC 中12ADC EDCCD CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△ADC≌△EDC(ASA).∴∠DAC=∠DEC,AC=EC,AD=ED.∵AC=7,∴EC=7.∵BC=4∴BE=11∵∠DAB=∠B,∴AE=BE=11.∴AD=5.5.答:AD的长为5.5.19.解:(1)证明:如图所示,连接DB.∵AD是△ABC的外角平分线,DG⊥AB,DF⊥CA,∴DF=DG .∵DE 垂直平分BC ,∴DC=DB ,在Rt △CDF 与Rt △BDG 中DF DG DC DB=⎧⎨=⎩ ∴Rt △CDF ≌Rt △BDG (HL ),∴BG=CF .(2)解:∵∠GAD=∠FAD ,∠AGD=∠AFD ,AD=AD , ∴在△ADG 与△ADF 中GAD FAD AGD AFD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADF (AAS ),∴AG=AF ,∵BG=CF∴AG=()()111410222AC AB -=-=(cm). 20.解:(1)证明:∵AD ⊥MN ,BE ⊥MN , ∴∠ADC =∠CEB =90°,∴∠DAC+∠ACD =90°,∵∠ACB =90°,∴∠BCE+∠ACD =90°,∴∠DAC =∠BCE ,在△ADC 和△CEB ,ADC CEBDAC ECB AC CB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADC ≌△CEB (AAS ), ∴CD =BE ,AD =CE ,∴DE =CE+CD =AD+BE ;(2)证明:∵AD ⊥MN ,BE ⊥MN , ∴∠ADC =∠CEB =90°, ∴∠DAC+∠ACD =90°, ∵∠ACB =90°,∴∠BCE+∠ACD =90°,∴∠DAC =∠BCE ,∵AC=BC ,∴△ADC ≌△CEB ,∴CD =BE ,AD =CE ,∴DE =CE ﹣CD =AD ﹣BE ;(3)解:DE =BE ﹣AD ,理由如下:∵AD ⊥MN ,BE ⊥MN ,∴∠ADC =∠CEB =90°, ∴∠DAC+∠ACD =90°, ∵∠ACB =90°,∴∠BCE+∠ACD =90°,∴∠DAC=∠BCE,∵AC=BC,∴△ADC≌△CEB,∴CD=BE,AD=CE,∴DE=BE﹣AD.。
人教版数学八年级上册12.2三角形全等的判定HL教学设计
(三)情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情,激发学生学习几何学的积极性。
2.培养学生严谨、认真的学习态度,养成勤奋思考、善于总结的学习习惯。
3.培养学生面对困难时,保持积极向上的心态,勇于克服困难,寻求解决问题的方法。
4.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力,体会数学在生活中的重要性,增强学生的应用意识。
(二)讲授新知
1.教学内容:讲解HL判定法的条件和运用。
教学过程:
-详细讲解HL判定法的条件:两个直角三角形,其中一个三角形的斜边和另一个三角形的直角边相等,且这两个三角形还有一个角相等。
-结合图形,演示HL判定法的运用,让学生直观感受全等三角形的形成过程。
-通过例题,讲解如何运用HL判定法证明直角三角形全等,并强调注意事项。
(2)探究:提出问题,让学生通过观察、操作、思考,发现全等三角形的HL判定法。
(3)讲解:详细讲解HL判定法的条件和运用,结合实例进行分析。
(4)练习:设计梯度性练习题,让学生独立运用HL判定法解决问题,巩固所学知识。
(5)总结:引导学生总结全等三角形的判定方法,提高学生的抽象概括能力。
3.教学策略:
(四)课堂练习
1.教学内容:设计梯度性练习题,让学生独立运用HL判定法解决问题和拓展题,涵盖不同难度层次。
-让学生独立完成练习题,巩固所学知识。
-教师批改练习,给予反馈,针对共性问题进行讲解。
(五)总结归纳
1.教学内容:引导学生总结全等三角形的判定方法,提高学生的抽象概括能力。
-设计一道实际问题,让学生运用全等三角形的性质和判定方法解决问题,培养学生的应用意识。
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第12章12.2 三角形全等的判定(第4课时)
第十二章全等三角形12.2.三角形全等的判定第4课时直角三角形全等的判定一、教学目标【知识与技能】掌握直角三角形全等的条件:“斜边、直角边”.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.【过程与方法】经历探究直角三角形全等条件的过程,体会一般与特殊的辩证关系.【情感、态度与价值观】通过画图、探究、归纳、交流,发展学生的实践能力和创新精神.二、课型新授课三、课时第4课时,共4课时。
四、教学重难点【教学重点】掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法——HL.【教学难点】熟练选择判定方法,判定两个直角三角形全等.五、课前准备教师:课件、三角尺、直尺、圆规等。
学生:三角尺、直尺、圆规。
六、教学过程(一)导入新课小明去公园玩,在公园看到了如下两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等,小明说只要测量出左边滑梯AB的长度就可以知道右边滑梯有多高了,小明的说法正确吗?(出示课件2-4)(二)探索新知1.师生互动,探究直角三角形全等的判定方法教师问1:判定两个三角形全等的条件有哪些?(出示课件6)学生回答:SSS、SAS、AAS、ASA教师提出问题:前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用?(出示课件7)教师问2:两个直角三角形,除了直角相等外,还要满足几个条件,这两个直角三角形就全等了?(出示课件8)(让学生观察课件中的两个直角三角形并思考回答:分析:1.再满足一边一锐角对应相等,就可用“AAS”或“ASA”证全等了.2.再满足两直角边对应相等,就可用“SAS”证全等了.教师问3:那么,如果满足斜边和一条直角边对应相等,这两个直角三角形全等吗?学生不能作肯定回答,经过小组讨论,只能作出猜测:可能全等.教师讲解:现在不要求马上给出结论.看看通过动手探究,你是否能得出结论.直角三角形我们用Rt△表示.教师问4:如图,已知AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,△ABC≌△DEF 吗?(出示课件9)学生讨论并回答:证明三角形全等不存在SSA定理.所以一般的三角形不一定全等.教师问5:如果这两个三角形都是直角三角形,即∠B=∠E=90°,且AC=DF,BC=EF,现在能判定△ABC≌△DEF吗?(出示课件10)我们完成下边的问题:思考:任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°,再画一个Rt△A′B′C′,使B′C′=BC,A′B′=AB,把画好的Rt△A′B′C′剪下,放到Rt△ABC 上,看看它们是否全等.(课件出示11-14,师生一起看题)(学生独立探究,动手作图)分析:画法直接由教师给出,而不安排学生画出,是考虑学生画图有一定的难度,况且作图不是本节课的重点.教师问6:Rt△ABC就是所求作的三角形吗?学生回答:是要求作的三角形.教师问7:画好后,把Rt△A′B′C′剪下,放到Rt△ABC上,看它们全等吗?学生动手做后回答:全等.教师问8:这样你发现了什么结论?学生回答:有一条斜边和直角边相等的两个直角三角形全等》教师板书:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边,直角边”或“HL”).总结点拨:(出示课件15)“斜边、直角边”判定方法文字语言:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).几何语言:在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中,AB=A′B′,BC=B′C′,∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).警示注意:(1)一是“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法;二是应用“HL”时,虽只有两个条件,但必须先有两个三角形是Rt△的条件.(2)“SSA”可以判定两个直角三角形全等,但是“边边”指的是斜边和一直角边,而“角”指的是直角.例1:如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC﹦BD.求证:BC﹦AD.(出示课件17)师生共同解答如下:证明:∵ AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠C与∠D 都是直角.在Rt△ABC 和Rt△BAD 中,AC=BD .∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).∴ BC﹦AD.例2:如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE. 求证:BC=BE.(出示课件22)师生共同解答如下:证明:∵AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,且AD=AF,AC =AE,∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴CD=EF.∵AD=AF,AB=AB,∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).∴BD=BF.∴BD-CD=BF-EF. 即BC=BE.总结点拨:(出示课件23)证明线段相等可通过证明三角形全等解决,作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.例3:如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系?师生共同解答如下:解:在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF .∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等).∵∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.(三)课堂练习(出示课件29-34)1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有()A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等2. 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E ,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长为()A.1 B.2 C.3 D.43.如图,△ABC中,AB=AC,AD是高,则△ADB与△ADC________(填“全等”或“不全等”),根据_______________(用简写法).4. 如图,在△ABC中,已知BD⊥AC,CE ⊥AB,BD=CE.求证:△EBC≌△DCB.5. 如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC, AE=CF.求证:BF=DE.6. 如图,有一直角三角形ABC,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动,问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等?参考答案:1.D2.A3. 全等HL4. 证明:∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠BEC=∠BDC=90 °.在Rt△EBC 和Rt△DCB 中,CE=BD,BC=CB .∴Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).5. 证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90 °.∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中,AB=CD,AF=CE.∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.6. 解:(1)当P运动到AP=BC时,∵∠C=∠QAP=90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中,∵PQ=AB,AP=BC,∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),∴AP=BC=5cm;(2)当P运动到与C点重合时,AP=AC.在Rt△ABC与Rt△QPA中,∵PQ=AB,AP=AC,∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL),∴AP=AC=10cm,∴当AP=5cm或10cm时,△ABC才能和△APQ全等.(四)课堂小结今天我们学了哪些内容:1.直角三角形“HL”判定方法2.灵活选择三角形全等的判定方法来解决问题(五)课前预习预习下节课(12.3)教材48页到49页的相关内容。
数学人教版八年级上第十二章12.2三角形全等的判定
12.2三角形全等的判定
1.三角形全等的判定方法一:边边边(SSS)
(1)边边边:三边
..对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).这个判定方法告诉我们:当三角形的三边确定后,其形状、大小也就随之确定,这就
是三角形的稳定性
...,它在实际生活中应用非常广泛.
(2)书写格式:
①先写出所要判定的两个三角形;
②列出条件:用大括号将两个三角形中相等的边分别写出;
③得出结论:两个三角形全等.
如下图,在△ABC和△A′B′C′中,
∵AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′,
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
警误区书写判定两个三角形全等的条件在书写全等的过程中,等号左边表示同一个三角形的量,等号右边表示另一个三角形的量.如上图,等号左边表示△ABC的量,等号右边表示△A′B′C′的量.
符号“∵”表示“因为”,“∴”表示“所以”,在以后的推理中,这样书写简捷、方便.要注意它们的区别.
(3)作一个角等于已知角.
已知:∠AOB.
求作:∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.
作法:如上图所示,①以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;
②画一条射线O′A′,以点O′为圆心,OC长为半径画弧,交O′A′于点C′;
③以点C′为圆心,CD长为半径画弧,与上一步中所画的弧交于点D′;
④过点D′画射线O′B′,则∠A′O′B′=∠AOB.
【例1】如图所示,已知AB=DC,AC=DB,
求证:△ABC≌△DCB.
分析:已知两边对应相等,由图形可知BC为两个三角形的公共边,所以△ABC≌△DCB(SSS).。
人教版八年级数学上册12.2.4《直角三角形全等的判定》教学设计
人教版八年级数学上册12.2.4《直角三角形全等的判定》教学设计一. 教材分析《直角三角形全等的判定》是人教版八年级数学上册第12.2.4节的内容,本节课主要让学生掌握HL(斜边-直角边)判定两个直角三角形全等的方法,并能够运用该方法解决实际问题。
本节课是学生在学习了三角形的基本概念、全等三角形的性质及判定方法的基础上进行的,是对全等三角形判定方法的进一步拓展和深化。
二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了三角形的基本概念、全等三角形的性质及判定方法,能够运用SSS、SAS、ASA、AAS判定两个三角形全等。
但是,对于直角三角形全等的判定方法,学生可能还比较陌生,需要通过实例分析、自主探究等方式,让学生理解和掌握HL判定两个直角三角形全等的方法。
三. 教学目标1.让学生掌握HL(斜边-直角边)判定两个直角三角形全等的方法。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和合作交流能力。
四. 教学重难点1.教学重点:掌握HL(斜边-直角边)判定两个直角三角形全等的方法。
2.教学难点:如何让学生理解和运用HL判定两个直角三角形全等。
五. 教学方法1.情境教学法:通过生活实例,引发学生的思考,激发学生的学习兴趣。
2.自主探究法:引导学生通过合作交流、动手操作,自主发现HL判定两个直角三角形全等的方法。
3.讲解法:教师对HL判定两个直角三角形全等的方法进行讲解,帮助学生理解和掌握。
4.练习法:通过适量练习,让学生巩固所学知识,提高运用能力。
六. 教学准备1.教学课件:制作课件,展示直角三角形全等的判定方法。
2.学习材料:准备相关的学习材料,如三角形模型、直角三角形等。
3.教学设备:准备黑板、粉笔、投影仪等教学设备。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个生活实例,如建筑工人测量高度,引入直角三角形全等的概念。
提问:如何判断两个直角三角形全等呢?2.呈现(10分钟)展示直角三角形全等的判定方法,引导学生观察、思考,引导学生发现HL判定两个直角三角形全等的方法。
人教版八年级数学上册优秀教学案例:12.2三角形全等的判定直角三角形全等的判定
在学生小组讨论环节,我会将学生分成小组,让他们在小组内进行讨论和交流。我会设计一些具有挑战性的题目,让学生通过合作来解决问题。
我会鼓励学生互相帮助,共同思考和探索,共同解决问题。同时,我还会组织小组之间的交流和分享,让学生能够从其他小组的学习经验中获得启发和借鉴。
(四)总结归纳
在总结归纳环节,我会对所学内容进行概括和总结。我会引导学生回顾和总结三角形全等的判定方法,并强调判定条件和注意事项。
(三)情感态度与价值观
在本章节的教学中,我希望学生能够培养对数学学科的兴趣和热情。通过解决实际问题,让学生感受到数学的实用性和魅力,增强他们对数学学科的自信心。同时,通过小组讨论和交流,培养学生的合作意识和团队精神,让他们能够学会与他人共同学习和进步。
此外,我还希望学生能够培养正确的数学思维方式和科学的方法。在解决三角形全等问题时,引导学生运用逻辑思维和推理能力,培养他们的解决问题能力和创新意识。同时,通过教学过程中的引导和鼓励,让学生能够面对困难和挑战,培养他们坚持不懈、勇于探索的精神。
在实际教学过程中,我发现学生在学习三角形全等判定时,容易混淆判定方法和条件。为了提高教学效果,我设计了以下优秀教学案例,旨在帮助学生深入理解三角形全等的判定方法,提升他们的几何素养和解决问题的能力。
本案例以生活情境为导入,让学生观察和分析实际生活中的三角形全等问题,激发学生的学习兴趣。接着,我通过讲解和示范,引导学生掌握三角形全等的判定方法,特别是直角三角形全等的判定方法。在实践环节,我设计了丰富多样的练习题,让学生在动手操作和思考中巩固所学知识。最后,我组织学生进行小组讨论和交流ห้องสมุดไป่ตู้分享他们的学习心得和经验,提高学生的合作意识和沟通能力。
4.反思与评价的环节:通过引导学生进行反思和评价,培养学生的自我意识和自我监控能力。同时,通过对学生的学习进行评价,给予适当的反馈和指导,激发他们的学习动力,促进他们的学习进步。
人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定(四)(HL)教学设计
作业要求:
1.请同学们认真完成作业,注意书写规范,保持卷面整洁。
2.对于基础巩固题和提高拓展题,要求学生在规定时间内独立完成,注重解题过程的逻辑性和完整性。
4.培养学生运用几何画板、实物模型等工具辅助解题的能力,提高学生的实践操作能力。
(三)情感态度与价值观
1.培养学生严谨、认真的学习态度,养成善于观察、思考、总结的学习习惯。
2.培养学生的团队合作意识,学会倾听、表达、沟通,提高解决问题的能力。
3.增强学生对数学美的感悟,激发学生对数学学科的兴趣和热爱。
人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定(四)(HL)教学设计
一、教学目标
(一)知识与技能
1.理解三角形全等的定义,掌握全等三角形的性质。
2.学习并掌握“HL”(斜边和直角边)判定全等的方法,能够准确识别和运用HL判定全等三角形。
3.能够运用三角形全等的判定方法解决实际问题,如求三角形的边长、角度等。
4.培养学生勇于探索、积极进取的精神风貌,提高学生的自信心和自尊心。
二、学情分析
八年级学生已具备一定的几何基础,掌握了三角形的基本概念和相关性质,对全等三角形有了初步的认识。在此基础上,学生对“HL”判定全等三角形的定理学习具备了一定的接受能力。然而,学生在实际应用中,可能对判定方法的运用和证明过程存在一定的困难。因此,在教学过程中,教师需要关注以下几点:
3.实践应用题:结合生活实际,让学生收集身边的直角三角形图形,如墙角、桌面等,并运用“HL”判定全等三角形的方法,求出其中未知边长或角度。通过实际操作,培养学生的几何应用能力。
初中数学人教版八年级上册 12.2 三角形全等的判定(边角边) 教学设计
三角形全等的判定《“边角边”判定定理》教学设计一、教学目标1.知识与技能目标理解并掌握三角形全等的“边角边”判定定理。
能够运用“边角边”判定定理进行三角形全等的证明和相关计算。
2.过程与方法目标通过观察、操作、猜想、推理等活动,培养学生的空间观念和逻辑推理能力。
经历探索“边角边”判定定理的过程,体会分类讨论和转化的数学思想。
3.情感态度与价值观目标在合作探究中,培养学生的团队协作精神和勇于探索的品质。
感受数学的严谨性,激发学生对数学的兴趣。
二、教学重难点1.教学重点“边角边”判定定理的内容及应用,探索“边角边”判定定理的过程。
2.教学难点“边角边”判定定理的证明,灵活运用“边角边”判定定理解决复杂问题。
三、教学方法讲授法、探究法、讨论法、练习法四、教学过程(一)导入新课教师活动:展示两个形状相同但大小不同的三角形,提问:这两个三角形全等吗?为什么?回顾已学的三角形全等判定方法(如:边边边),引出本节课的主题:探索新的三角形全等判定方法。
学生活动:观察三角形,思考老师的问题,回答:不全等,因为大小不同。
回忆已学知识,准备学习新知识。
活动预设:学生可能对三角形全等的概念理解不够清晰,教师需要进一步引导和解释。
设计意图:通过直观的展示,引发学生对三角形全等条件的思考,培养直观想象素养。
复习旧知,为引入新知做好铺垫,建立知识的连贯性。
(二)新课讲授1.实验探究教师活动:提出问题1:如果已知两个三角形的两条边和一个角对应相等,这两个三角形一定全等吗?给出两组三角形的边和角的条件,一组是两边及其夹角相等,另一组是两边及其非夹角相等。
提出问题2:先试着画出两边及其夹角相等的三角形,然后剪下来与同桌的对比,能重合吗?提出问题3:再画出两边及其非夹角相等的三角形,剪下来对比,能重合吗?巡视各小组,指导作图方法。
学生活动:思考老师提出的问题1。
小组合作,按照给定条件作图。
对比所作三角形,回答问题2 和3。
活动预设:部分学生可能在作图过程中出现误差,教师及时给予纠正和指导。
人教版数学八年级上册12.2三角形全等的判定(角边角判定三角形全等)教学设计
(二)教学设想
1.创设情境,导入新课
通过呈现生活中全等三角形的实例,如拼图游戏、建筑图案等,激发学生的学习兴趣,引导学生关注全等三角形的特点和判定方法。
2.自主探究,合作交流
将学生分成小组,让他们观察、讨论全等三角形的性质,自主发现“角边角”判定法则。在此过程中,教师巡回指导,解答学生的疑问,引导学生深入探讨。
3.案例分析,突破难点
设计具有挑战性的问题,如:如何在一个复杂图形中找出全等三角形?如何运用“角边角”判定法则解决实际问题?通过案例分析和讨论,帮助学生突破学习难点。
4.课堂练习,巩固知识
设计不同难度的练习题,让学生在课堂上进行练习,巩固所学知识。同时,教师及时反馈,针对学生的错误进行指导,提高学生的解题能力。
7.要求学生家长参与作业的检查和评价,了解学生的学习情况,关注学生在几何学习中的进步和困惑,共同促进学生的全面发展。
针对以上学情,教师应采取适当的教学策略,如设计生动有趣的导入环节,激发学生的学习兴趣;注重启发式教学,引导学生主动探究和发现几何规律;加强课堂练习,巩固学生对全等判定方法的掌握;鼓励学生积极参与合作交流,提高他们的表达能力和团队协作能力。通过有针对性的教学,帮助学生克服学习难点,提升几何学科素养。
三、教学重难点和教学设想
3.教师结合具体实例,讲解“角边角”判定法则的应用,让学生理解并掌握这个判定方法。
4.强调在运用“角边角”判定法则时,需要注意的要点,如角度的对应关系、边的对应关系等。
(三)学生小组讨论,500字
1.教师将学生分成小组,让他们观察和分析一些含有全等三角形的图形,讨论如何运用“角边角”判定法则。
2.学生在小组内分享自己的观点和发现,通过合作交流,共同解决问题。
中学人教版八年级数学上册12.2全等三角形的判定-直角三角形全等的斜边直角边定理教案
一、教学内容
本节教学内容选自中学人教版八年级数学上册第12章12.2节,主要围绕全等三角形的判定,特别是直角三角形全等的斜边直角边定理(HL)展开。具体内容包括:
1.理解全等角形的基本概念;
2.掌握直角三角形全等的斜边直角边定理(HL);
五、教学反思
在本次全等三角形判定的教学中,我发现学生们对于斜边直角边定理(HL)的理解和应用存在一些挑战。在课堂上,我尝试了多种教学方法,希望能够帮助学生更好地掌握这一知识点。
首先,通过引入日常生活中的实际问题,我发现学生们对于全等三角形的概念产生了浓厚的兴趣。他们开始意识到,原来数学知识与我们的生活息息相关。然而,在理论介绍环节,我发现部分学生对于全等三角形的判定条件还不够熟悉,尤其是在斜边直角边定理(HL)的应用上。
本章节的核心素养目标旨在培养学生以下能力:
1.培养学生逻辑推理与数学抽象能力,通过全等三角形判定方法的探讨,理解并掌握直角三角形全等的斜边直角边定理(HL),提高学生运用数学语言进行表达和逻辑推理的能力;
2.培养学生直观想象与空间观念,通过实际操作和观察,使学生能够直观地感知直角三角形全等的性质,形成对几何图形的深入认识;
在讲授过程中,我尽量用简单的语言和直观的图形来解释斜边直角边定理(HL)。同时,通过案例分析,让学生们看到这个定理在实际问题中的应用。但我也发现,对于一些学生来说,这个定理仍然难以消化。因此,在接下来的实践活动中,我让学生们分组讨论,并进行了实验操作,希望他们能通过亲身体验来加深理解。
在小组讨论环节,我观察到学生们积极参与,热烈讨论。他们提出的问题和观点让我意识到,学生们在理解全等三角形判定方法上还存在一些误区。于是,我及时给予了引导和启发,帮助他们澄清概念,解决问题。在成果分享环节,我鼓励学生们大胆表达自己的观点,这对于提高他们的自信心和表达能力非常有帮助。
初中数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定
例1 如图12-2-1,AB=CD,BE=CF,AF=DE. 求证:△ABE ≌△DCF.
图12-2-1
证明:∵AF=DE,∴AF-EF=DE-EF,即AE=DF. 在△ABE和△DCF中,AB=DC, BE=CF, AE=DF, ∴△ABE ≌△DCF(SSS).
对于本题中“AF=DE”这个条件的运用是证明的突 破口,由“AF=DE”得到对应边相等,即AE=DF. 证明中积累图形情境下的小结论,掌握证明题的 小技巧,可以迅速地获得解题思路.
在本题的证明过程中,有些同学想当然地把 DE=DF直接作为已知条件来利用,从而导致错 误.在证明时,要结合图形、已知、求证等各种信 息,综合运用后分析找到适合的解题思路,按照严 谨的推理步骤完成证明过程.需要特别指出的是, 当我们学习了角平分线的性质后,可直接得出 DE=DF.
题型一 “边边边”的运用 例10 如图12-2-12,已知AB=BC,AD=DC,
图12-2-6
图12-2-7
证明:如图12-2-7.∵AB∥CD,∴∠1=∠2.
∵AF=CE,∴AF+EF=CE+EF,即AE=CF. 在△ABE和△CDF中,∠1=∠2, ∠ABE=∠CDF,AE=CF, ∴△ABE ≌△CDF(AAS).
应用“AAS”证明两个三角形全等时,一定要注 意它和“ASA”的主要区别在边与角的关系上, 前者是一组等角的对边相等,后者是两组等角的 夹边相等,使用时一定要弄清楚.
求证△AEB ≌△AFC,必须找到这对三角形的“对 应”元素,选取适当的三角形全等的判定方法,而 ∠1与∠2不是相应三角形的对应角,不能直接使用, 应该先转化为∠EAB=∠FAC.
凭对图形的直观印象,误把未知当条件参与证明 例9 如图12-2-11,在△ABC中,AD是角平分线, BD=CD,DE,DF分别垂直于AB,AC,垂足分别为E, F.求证:BE=CF .
人教版数学八年级上册:12.2.4-直角三角形全等判定HL-课件(共30张PPT)
并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,
求证:△ABC≌△DEF
A
变式1:若把∠BAC=∠EDF,改为BC=EF , △ABC与△DEF全等吗?请说明思路。
B
PC
D
小结
E
QF
思维拓展
已知:如图,在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,
并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,
求证:△ABC≌△DEF
12.2.4全等三角形判定 HL
旧知回顾
判断两个三角形全等的方法 我们已经学了哪些呢?
2
SSS ASA SAS AAS
3
三边对应相
等的两个三角形
全等。(简写成
B
“边边边”或“SSS”)
E
A C
D F
4
两边和它们夹角 对应相等的两个三 角形全等。(简写成 B “边角边”或“SAS”)
E
A C
D F
AB=DC BE=CF
A
B
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)
∴AE=DF
20
2.如图, △ABC中,AB=AC,AD是高 求证:BD=CD ;∠BAD=∠CAD
证明:∵AD是高
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ADB和Rt△ADC中
A
{ AB=AC(已知) AD=AD(公共边)
∴ Rt△ADB≌Rt△ADC(HL)
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD
等腰三角形三线合一
B
D
C
3.如图,C是路段AB的中点,两人从C同时出发 以相同的速度分别沿两条直线行走,并同时到 达D,E两地,此时,DA⊥AB,EB⊥AB,
D、E与路段AB的距离相等吗?为什么?
八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.2三角形全等的判定(第4课时图文详解)
判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS,还有直角三角形 特殊的判定方法:HL.
八年级数学上册第12章全等三角形
1.如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证:BF=DE
B
A
E
F
C
D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∵ AE=CF
∴AF=CE 又∵ AB=CD
A
E
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)
∴ BF=DE
D
B
八年级数学上册第12章全等三角形
我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些? 1、边边边(SSS) 2、边角边(SAS) 3、角边角(ASA) 4、角角边(AAS)
八年级数学上册第12章全等三角形
A 如图,AB ⊥ BE于B,DE⊥BE于E,
(1)若A= D,AB=DE,
F
E
B
C
则△ ABC与 △DEF 全等 (填“全等”或“不全
等”)根据 ASA (用简写法).
D
八年级数学上册第12章全等三角形
(2)若A=D,BC=EF,则 △ABC与△ DEF 全等 (填
“全等”或“不全等”)根据 AAS .(用简写法)
(3)若AB=DE,BC=EF,则△ABC与△ DEF 全等 (填“全 等”或“不全等”)根据 SAS (用简写法)
八年级数学上册第12章全等三角形
第12章全等三角形
八年级上册
八年级数学上册第12章全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第4课时
八年级数学上册第12章全等三角形
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
C A'
B
C'
B'
在使用“HL”时, 应注意什么?
(1)“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
(2)注意分别相等.
A
(3)“HL”仅适用直角三角形.
书写格式应为:
C
B
在Rt△ABC 与Rt△DEF中,
AB=DE,
D
AC=DF,
E
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). F
“HL”判定方法的运用
(4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF,则 A
△ABC与△DEF 全等 (填“全等”或
“不全等”)根据_S_S__S_(用简写法). B
F C
E
D
思考:
1:如图:Rt△ACB、与Rt△A1C1B1中,∠C与∠C1是直角, 用我们已经学过的知识,除了两直角相等以外,你还能补
充哪些条件就能使这两个直角三角形全等?
(2)判定两个直角三角形全等有哪些方法?
结束语
当你尽了自己的最大努力时,失败也是伟大的 ,所以不要放弃,坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
谢谢大家
荣幸这一路,与你同行
A
A1
C
B
C1
B1
2: 如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相 等,这两个直角三角形全等吗?
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写为“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言: A
∵ 在Rt△ABC 和 Rt△A′ B ′ C′中
AB =A′B′
BC =B′C′
∴ Rt△ABC ≌ Rt△A′ B′ C′(HL)
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人:XXXXXX 时 间:XX年XX月XX日
§12.2 三角形全等的判定 (第4课时)
Hale Waihona Puke 想一想:1:如图:(1) △ABC≌△DEF,指出它们的对应
顶点、对应角、对应边。
AD
AB——DE AC——DF
BC——EF
∠A——∠D
B
E
∠B——∠DEF
C
F ∠ACB——∠F
2:我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些?
(SSS)、(SAS)、(ASA)、(AAS)
A 如图,AB ⊥ BE于B,DE⊥BE于E,
(1)若A= D,AB=DE,
F
E
B
C
则△ABC与△ DEF 全等 (填“全等”或“不
全等”)根据 ASA (用简写法).
D
(2)若A=D,BC=EF,则△ABC与△DEF 全等 (填
“全等”或“不全等”)根据 AAS (用简写法).
(3)若AB=DE,BC=EF,则△ABC与△DEF 全等 (填“全 等”或“不全等”)根据 SAS (用简写法).
变式1 如图,AC⊥BC,BD⊥AD,要证△ABC ≌△BAD,需要添加一个什么条件?请说明理由. (1) AD = BC (HL);
(2) AC = BD ( HL);
(3) ∠DAB = ∠CBA (AAS); D
C
(4) ∠DBA = ∠CAB (AAS).
A
B
例1 如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC =BD.
求证:BC =AD.
D
C
A
B
变式1:
如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 求证:BF=DE BD平分EF吗?
B
F
A
E
G
C
D
变式2:
如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
想一想:BD平分EF吗?
B
E
C
A
FG
D
课堂小结
(1)“HL”判定方法应满足什么条件?与之前所学 的四种判定方法有什么不同?