中考数学总复习第5章图形的相似与解直角三角形第2节锐角三角函数及解直角三角形的应用精练试题

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中考总复习解直角三角形

解直角三角形一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●理解三角函数的定义和正弦、余弦、正切的概念，并能运用；●掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；●掌握互为余角和同角三角函数间关系；●掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的概念，并能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理和锐角三角函数解直角三角形；●了解实际问题中的概念，并会用解直角三角形的有关知识解决实际问题．复习策略：●复习本专题应从四方面入手：（1）直角三角形在角方面的关系；（2）直角三角形在边方面的关系；（3）直角三角形的边角之间的关系；（4）怎样运用直角三角形的边角关系求直角三角形的未知元素．同时，解答这类题目时，应注重借助图形来解题，它能使已知条件、所求结论直观化，以便启迪思维，快捷解题．二、学习与应用知识点一：锐角三角函数“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识考点梳理认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。

详细内容请参看网校资源ID：#tbjx4#248924知识框图通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。

（一）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠C是直角，如图（1）正弦：∠A的与的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= ；（2）余弦：∠A的与的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= ；（3）正切：∠A的与的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= ；锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（二）同角三角函数关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A= ；（2）商数关系：tanA= ．（三）互余两角的三角函数关系sinA=cos（），cosA=sin（）．（四）特殊角的三角函数值（五）锐角三角函数的增减性（1）角度在0°～90°之间变化时，正弦值（正切值）随角度的增大（或减小）而（或）．（2）角度在0°～90°之间变化时，余弦值随角度的增大（或减小）而（或）．要点诠释：∠A在0°～90°之间变化时，＜sinA＜，＜cosA＜，tanA＞知识点二：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形．（一）三边之间的关系：a2+b2= （勾股定理）（二）锐角之间的关系：∠A+∠B= °（三）边角之间的关系：sinA= ，cosA= ，tanA=要点诠释：解直角三角形时，只要知道其中的个元素（至少有一个），就可以求出其余未知元素．知识点三：解直角三角形的实际应用（一）仰角和俯角：在视线与所成的角中，视线在上方的是仰角；视线在下方的是俯角．（二）坡角和坡度：坡面与的夹角叫做坡角．坡面的和的比叫做坡面的坡度（即坡角的值）常用i表示．（三）株距：相邻两树间的．（四）方位角与方向角：从某点的方向沿时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．从方向或方向到目标方向所形成的小于°的角叫做方向角．经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。

锐角三角函数与解直角三角形试题解析

2020^^1l m锐角三角展教与鮮直角三角形武题鮮析■汤文卿摘要:锐角三角函数与解直角三角形是中考的重要和必考内容，考题形式多样、问题新颖、内涵丰富、解法灵活，很多问题常常与勾股定理、四边形、全等三角形、相似三角形、圆等知识相结合，紧密联系实际，文章对近年中考数学中的锐角三角函数与解直角三角形常见题型进行分类和解析，同时给出了相应的求解策略.关键词：初中数学；銳角三角函数；解直角三角形锐角三角函数与解直角三角形是近年各地中考数学试题的重要内容，必考知识点，考题形式多样、问题新颖、内涵丰富、解法灵活，很多问题常常与勾股定理、四边形、全等三角形、相似三角形、圆等知识相结合，紧密联系实际，本文对近年中考数学中的锐角三角函数与解直角三角形常见题型进行分类和解析，同时给出相应的求解策略.一、求锐角三角函数值这类问题的常见题型有给出特殊角求其某一个三角函数值（只要熟记特殊角的三角函数值即可），或给出某角的一种三角函数值求此角另外的三角函数值，亦或给出一个图形求其中某个角的三角函数值.例1 (2019年龙东地区）如图1，矩形/IBCD的对角线相交于点6C = 3 :2,过点B 作// A C ，过点C 作C E //D B ，B E ,C E 交于点E ，连接D E ,则 tan Z_£OC =( )(A )f (B )(C )f(D )盖解析:如图2,构作含有的直角三角形：作丄D C 交D C 的延长线于点F ，由已知可设/1S =31VICE /13k ，Jffj sin = sin 厶 BDC ，所以EFEC||，所以=2A :、/讯，所以狀“，由勾股定理得 Cf’ =所以= |~i ，所以 t an z£/)C =盖=|，故选(A )_DF9例(2018年眉山市）如图3,在边长为1的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，X I C D 相交于点 0,则 tanZ/IOZ) = ________.A C A E C解析:如图4,连接狀交(：/)于F ,由正方形性质得BE 丄 CK ，而/_B 0F = /_A 0D , iX tanZ /100 =tanZBOF ,只需求O F 即可.因为4C //B (所以KO ： CO = B K ： AC ^ \ 3 KO ：(J 2 - OK ) = 1 ：3,所以尺0 = f ,所以O F = f (发现0是狀的中作者简介:汤文卿（1966 -),男，江苏省海门人，本科，中学高级教师,主要从事初中数学教学研究•31 .数理化学习/2点），而方厂=^■，所以 tanZ40D = t a n Z B O F =召OF = 2.例3 (2019年自贡市）如图5,在由10个完全相同的正三角形构成的网络图中，Z_a 、乙/3如图所示，则 cos( a + p ) =z ________•图5 图6解析:如图6,连接S C ,易得zl/lCS = 90°，A /tD£S A C EB ，所以 AEBC = ADEA = a ,所以 AABC = a + y 8•设小正二角形的边长为a ，则/4C = 2a ，B C = v ^a ，在 RtA/lBC 中，仙=V^"a ，所以 cos(a + 卢）=cos Z . ABCBCABy f i例4hl (2019年綿阳市）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图” 如图7所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sin0 - cos0)2 =()(A )+ (B )f (C )竽（D )务所以(sin 0 - cos 0)2 = ( - 士)2 =去，故选(A ).V5 5感悟:此题可由勾股定理求出a = 5,得出小直角二角形另外一直角边长为10,从而准确求出sin0、cos0 的值得出所求结果，但不必要.评析:求一个锐角的函数值，一般需将这个角置于一个直角三角形中，再运用锐角三角函数的定义求解，因此巧妙合理的构造直角三角形（所构造的直角三角形既要能含有这个角又要能够运用已知条件）是解题的关键.解题时，常常用到勾股定理、全等三角形（例4)、相似三角形（例3)、四边形（例2)、圆（见例10)、解直角三角形等知识点.另外，例3中的等角转换也是求三角函数的一种好方法.二、由三角函数值反求锐角这类题比较简单，只要牢记3个特殊角（30°、45°、 60°)的函数值，利用对应关系求解即可.例5[1] (2019年甘肃省）在A /15C 中乙C =F x90o，t a i L 4 = 了，贝i j cosB = ________.解析：R t A 仙C 中，因为tao4 = f ,所以Z/l =30。

(遵义专版)2019年中考数学总复习第1节图形的相似与位似(精练)试题

第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为( B )A.12B．2 C．3 D．4(第1题图)(第2题图)2．(2019泰安中考)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为( B )A．18 B.1095C.965D.2533．(2019遵义十九中一模)如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( D )A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABCC.APAB＝ABACD.ABBP＝ACCB(第3题图)(第4题图)4．(济南中考)如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，DB于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( C )A.22B.32C．1 D.625．(2019滨州中考)在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为__(4，6)或(－4，－6)__．6．(2019随州中考)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝__125或53__时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 7．(汇川升学一模)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D ，G 分别在边AB ，AC 上．若△ABC 的边BC 长为40 cm ，高AH 为30 cm ，则正方形DEFG 的边长为__1207__cm.(第7题图)(第8题图)8．(2019包头中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABO 的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，∠ABO ＝90°，OA 与反比例函数y ＝kx 的图象交于点D ，且OD ＝2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C.若S 四边形ABCD ＝10，则k 的值为__－16__．9．(2019六盘水中考)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连接OE 交AD 于点F ，若CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，则AF ＝__169__． 10．(泰安中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P ，D 分别是BC ，AC 边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB ＝10，BC ＝12，当PD∥AB 时，求BP 的长．解：(1)∵AB＝AC ， ∴∠B ＝∠C. ∵∠APD ＝∠B， ∴∠APD ＝∠B＝∠C. ∵∠APC ＝∠BAP＋∠B， ∠APC ＝∠APD＋∠DPC， ∴∠BAP ＝∠DPC， ∴△ABP ∽△PCD ，∴BP CD ＝AB CP， ∴AB ·CD ＝CP·BP. ∵AB ＝AC ，∴AC ·CD ＝CP·BP；(2)∵PD∥AB，∴∠APD ＝∠BAP. ∵∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C. ∵∠B ＝∠B，∴△BAP ∽△BCA ， ∴BA BC ＝BP BA. ∵AB ＝10，BC ＝12， ∴1012＝BP 10，∴BP ＝253.11．(随州中考)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE∥AC，AE ，CD 相交于点O ，若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( B ) A ．1∶3 B ．1∶4 C ．1∶5 D ．1∶2512．(盘锦中考)如图，四边形ABCD 是矩形，点E 和点F 是矩形ABCD 外两点，AE ⊥CF 于点H ，AD ＝3，DC ＝4，DE ＝52，∠EDF ＝90°，则DF 长是( C )A.158 B.113 C.103 D.165(第12题图)(第13题图)13．(2019杭州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于__78__.14.(2019长春中考)如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，EF 与CD 交于点G. (1)求证：BD∥EF；(2)若DG GC ＝23，BE ＝4，求EC 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∵DF ＝BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形， ∴BD ∥EF ；(2)∵四边形BEFD 是平行四边形， ∴DF ＝BE ＝4. ∵DF ∥EC ， ∴△DFG ∽△CEG ， ∴DG CG ＝DF CE， ∴CE＝DF·CG DG ＝4×32＝6.15.(2019杭州中考)如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC； (2)若AD ＝3，AB ＝5，求AFAG的值．解：(1)∵AG⊥BC，AF ⊥DE ， ∴∠AFE ＝∠AGC＝90°.∵∠EAF ＝∠GAC，∴∠AED ＝∠ACB， ∵∠EAD ＝∠BAC，∴△ADE ∽△ABC ； (2)由(1)可知：△ADE∽△ABC， ∴AD AB ＝AE AC ＝35. ∵∠AFE ＝∠AGC＝90°，∠EAF ＝∠GAC， ∴△EAF ∽△CAG ， ∴AF AG ＝AE AC ， ∴AF AG ＝35. 16 .(2019枣庄中考)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，－4)．(1)请在图中，画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；(2)以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在图中y 轴右侧，画出△A 2B 2C 2，并求出∠A 2C 2B 2的正弦值．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求； (2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求，由图形可知，∠A 2C 2B 2＝∠ACB，过点A 作AD⊥BC 交BC 的延长线于点D ，由A(2，2)，C(4，－4)，B(4，0)，易得D(4，2)， ∴AD ＝2，CD ＝6，AC ＝22＋62＝210， ∴sin ∠ACB ＝AD AC ＝2210＝1010，即sin ∠A 2C 2B 2＝1010.17．(2019连云港中考)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝3，D 为AC 延长线上一点，AC ＝3CD ，过点D 作DH∥AB，交BC 的延长线于点H. (1)求BD·cos ∠HBD 的值； (2)若∠CBD＝∠A，求AB 的长．解：(1)∵DH∥AB，∴∠BHD ＝∠ABC＝90°，∠A ＝∠HDC， ∴△ABC ∽△DHC ， ∴AC CD ＝BCCH＝3， ∴CH ＝1，BH ＝BC ＋CH ＝4，在Rt △BHD 中，cos ∠HBD ＝BH BD， ∴BD ·cos ∠HBD ＝BH ＝4；(2)∵∠CBD＝∠A，∠ABC ＝∠BHD， ∴△ABC ∽△BHD ， ∴BC HD ＝AB BH. ∵△ABC ∽△DHC ， ∴AB DH ＝ACCD＝3， ∴AB ＝3DH ， ∴3DH ＝3DH4，解得DH ＝2， ∴AB ＝3DH ＝3×2＝6.18．(2019眉山中考)如图，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC ＝42，点P 为线段BE 延长线上一点，连接CP ，以CP 为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE 与CD 相交于点F.(1)求证：PC CD ＝CECB；(2)连接BD ，请你判断AC 与BD 有什么位置关系？并说明理由； (3)设PE ＝x ，△PBD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．解：(1)∵△BCE 和△CDP 均为等腰直角三角形， ∴∠ECB ＝∠PCD＝45°， ∠CEB ＝∠CPD＝90°， ∴△BCE ∽△DCP ， ∴PC DC ＝EC CB； (2)AC∥BD.理由如下：∵∠PCE ＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°， ∴∠PCE ＝∠BCD. 又∵PC DC ＝EC CB ，∴△PCE ∽△DCB ， ∴∠CBD ＝∠CEP＝90°， ∴∠ACB ＝∠CBD， ∴AC ∥BD ；(3)作PM ⊥BD ，交BD 的延长线于点M. ∵AC ＝42，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝4. ∵△PCE ∽△DCB ，∴EC CB ＝PE BD ，即442＝x BD， ∴BD ＝2x.∵∠PBM ＝∠CBD－∠CBP＝45°， BP ＝BE ＋PE ＝4＋x ， ∴PM ＝4＋x 2，∴S △PBD ＝12BD ·PM＝12×2x×4＋x 2, ＝12x 2＋2x.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O．若AB＝AC，∠A＝40°，则∠BOE的度数是（）A.60°B.55°C.50°D.40°2．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是（）A．m＞9 B．m≥9C．m＜﹣9 D．m≤﹣93．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A.①③④B.②④C.①②③D.①②③④4．如图，向正六边形的飞镖游戏盘内随机投掷一枚飞镖则该飞镖落在阴影部分的概率( ).A. B. C. D.5．下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．（以上数据来自国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断不合理．．．的是（） A.与2017年相比，2018年年末全国农村贫困人口减少了1386万人 B.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降C.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000万D.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降1.4个百分点6．如果340x y -=，那么代数式23()x y y x y-⋅+的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．使得关于x 的不等式组22141x m x m >-⎧⎨-+≥-⎩有解，且使分式方程1222m xx x --=--有非负整数解的所有的m 的和是（） A ．﹣1B ．2C ．﹣7D ．08．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为4，∠B ＝135°，则劣弧AC 的长是（）A.4πB.2πC.πD.23π9．如图1，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，点P 从点A 出发，沿A C B →→的路径匀速运动到点B 停止，作PD AB ⊥于点D ，设点P 运动的路程为x ，PD 长为y ，y 与x 之间的函数关系图象如图2所示，当12x =时，y 的值是（）A ．6B ．245C ．65D ．210．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD ＝2∠ACB ．若DG ＝5，EC ＝1，则DE 的长为( )A ．2B ．4C ．D ．11．如图，正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF ，连接AF ，则∠OFA 的度数是（）.A.15°B.20°C.25°D.30°12．下列运算正确的是（）A.222()x y x y +=+ B.632x x x ÷= 3=D.32361126xy x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭二、填空题13．分解因式(a －b)(a －9b)＋4ab 的结果是____．14．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△ABC ∽△DBA ．若BD ＝4，DC ＝5，则AB 的长为_____．15．方程3x x -=1xx +的解是_____． 16．使得关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负整数，且使得关于x 的不等式组322144x x x k+≥-⎧⎨-≤⎩有且仅有5个整数解的所有k 的和为_____．17．已知a ，b 是一元二次方程x 2+x ﹣4＝0的两个不相等的实数根，则a 2﹣b ＝_____． 18．书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取2本都是小说的概率是_____．三、解答题19．一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球，记两次取得乒乓球上的数字依次为a 、b ．（1）求a 、b 之积为偶数的概率；（2）若c ＝5，求长为a 、b 、c 的三条线段能围成三角形的概率．20．在正方形ABCD 中，点M 是射线BC 上一点，点N 是CD 延长线上一点，且BM ＝DN ，直线BD 与MN 交于点E ．（1）如图1．当点M 在BC 上时，为证明“BD﹣2DE BM”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M 作CD 的平行线交BD 于点P ．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．（2）如图2，当点M 在BC 的延长线上时，则BD ，DE ，BM 之间满足的数量关系是．（3）在（2）的条件下，连接BN 交AD 于点F ，连接MF 交BD 于点G ，如图3，若1,3AF AD = CM ＝2，则线段DG ＝．21．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AC 边上一点，tan ∠DBC=43，且BC=6，AD=4．求cosA 的值．22．计算：（π0﹣3|+（12）﹣123．已知二次函数y ＝﹣x 2+2mx ﹣m 2﹣1（m 为常数）．（1）证明：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；（2）当自变量x 的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y 的最大值为﹣5，求m 的值．24．（1）计算：10124303)cos -︒⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭（2）先化简，再求值：2222121111a a aa a a a+-+⋅---+，其中a＝﹣12．25．某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）：七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98整理得到如下统计表根据以上信息，完成下列问题（1）填空：a＝；m＝；n＝；（2）两个年级中，年级成绩更稳定；（3）七年级两名最高分选手分别记为：A1，A2，八年级第一、第二名选手分别记为B1，B2，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．(a-3b)214．615．x=﹣3 216．5 17．518．3 10三、解答题19．（1）P（数字之积为偶数）＝56；（2）P（三线段能围成三角形）＝13．【解析】【分析】（1）通过列表法可得a、b所有可能的结果，计算出a、b之积为偶数的次数，然后用a、b之积为偶数的次数除以总次数即可计算a、b之积为偶数的概率；（2）首先列出a、b、c所有可能的结果，根据三角形的性质找到能组成三角形的结果，最后计算能围成三角形的概率.【详解】（1）根据题意列表如下：由以上表格可知：有12种可能结果，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），其积分别为：2，3，4，2，6，8，3，6，12，4，8，12；积为偶数的有2，4，2，6，8，6，12，4，8，12，共10个，则P（数字之积为偶数）＝1012＝56；（2）所有的可能结果有12种，a，b及c的值分别为（1，2，5），（1，3，5），（1，4，5），（2，1，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，1，5），（3，2，5），（3，4，5），（4，1，5），（4，2，5），（4，3，5），能构成三角形的有（2，4，5），（3，4，5），（4，2，5），（4，3，5），共4种，则P（三线段能围成三角形）＝412＝13．【点睛】本题考查了用列举法计算概率的知识，正确理解题意是解题的关键.20．（1）见解析；（2）BD+2DE BM；（3.【解析】【分析】（1）过点M作MP∥CD，交BD于点P，推出PM=DN，证明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（2）过点M作MP∥CD交BD的延长线于点P，推出BM＝PM＝DN，根据AAS证明△EPM≌△EDN，推出EP ＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（3）证明△ABF∽△DNF，得出比例式，得到AB：ND＝1：2，设AB＝x，则DN＝2x，根据BM ＝DN ，列出方程求出AB 的长度，根据DF ∥BM ，得到413,43DF DG BM BG ===即可求解. 【详解】解：（1）如图1，过点M 作MP ∥CD ，交BD 于点P ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C ＝90°，∠CBD ＝∠CDB ＝45°， ∵PM ∥CD ，∴∠NDE ＝∠MPE ，∠BPM ＝∠CDB ＝45°， ∴△BPM 是等腰直角三角形， ∴PM ＝BM，PB =，∵BM ＝DN ， ∴PM ＝DN ，在△EPM 和△EDN 中，,MPE NDE PEM DEN PM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPM ≌△EDN （AAS ）， ∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD ﹣PD ＝BD ﹣2DE ，根据勾股定理得：BP =，即2BD DE -=；（2）如图2，过点M 作MP ∥CD 交BD 的延长线于点P ，∴∠PMB＝∠BCD＝90°，∵∠CBD＝45°，∴△BMP是等腰直角三角形，∴BM＝PM＝DN，与（1）证法类似：△EPM≌△EDN（AAS），∴EP＝ED，∴PB＝BD+PD＝BD+2DE，根据勾股定理得：BP BM，即BD+2DE＝BP BM，故答案为：BD+2DE BM；（3）如图3，∵AB∥CD，∴AB∥DN，∴△ABF∽△DNF，∴AF：FD＝AB：ND，∵AF：FD＝1：2，∴AB：ND＝1：2，设AB ＝x ，则DN ＝2x ， ∵BM ＝DN ， ∴x+2＝2x ，x ＝2， ∴AB ＝AD ＝2，DF ＝43，∴BD = ∵DF ∥BM ，∴413,43DF DG BM BG ===∴142DG =⨯=故答案为：2【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题的能力．用的数学思想是类比推理的思想．21．5【解析】【分析】先在Rt △BDC 中，利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，由AC=AD+DC 求出AC 的长，然后在Rt △ABC 中，根据勾股定理求出AB 的长，从而求出 cosA 的值．【详解】解：在Rt △BDC 中， tan ∠DBC=43，且BC=6 ， ∴ tan ∠DBC=DC BC =6DC =43， ∴CD=8， ∴AC=AD+DC=12，在Rt △ABC 中，，∴ cosA =ACAB =.【点睛】本题主要考查解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．22【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】原式＝1﹣（3+2【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．23．（1）见解析；（2）m的值为﹣5或1．【解析】【分析】（1）根据判别式的值得到△＝﹣4＜0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用配方法得到y＝﹣（x﹣m）2﹣1，则抛物线的对称轴为直线x＝m，讨论：当m＜﹣3时，根据二次函数性质得到x＝﹣3时，y＝﹣5，所以﹣（﹣3﹣m）2﹣1＝﹣5；当﹣3≤m≤﹣1时，x＝m，y的最大值为﹣1，不合题意；当m＞﹣1时，利用二次函数的性质得到x＝﹣1时，y＝﹣5，所以﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5，然后分别解关于m的方程即可得到满足条件的m的值．【详解】（1）证明：△＝4m2﹣4×（﹣1）×（﹣m2﹣1）＝﹣4＜0，所以﹣x2+2mx﹣m2﹣1＝0没有实数解，所以不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）解：y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1＝﹣（x﹣m）2﹣1，抛物线的对称轴为直线x＝m，当m＜﹣3时，﹣3≤x≤﹣1，y随x的增大而减下，则x＝﹣3时，y＝﹣5，所以﹣（﹣3﹣m）2﹣1＝﹣5，解得m1＝﹣5，m2＝﹣1（舍去）；当﹣3≤m≤﹣1时，x＝m，y的最大值为﹣1，不合题意；当m＞﹣1时，﹣3≤x≤﹣1，y随x的增大而增大，则x＝﹣1时，y＝﹣5，所以﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5，解得m1＝1，m2＝﹣3（舍去）；综上所述，m的值为﹣5或1．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．24．（1）4；（2）1a，-2. 【解析】【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算；（2）将原式的分子、分母因式分解，约分后计算减法，再代值计算即可．【详解】（1））0+（13）﹣1+4cos30°﹣﹣＝＝4；（2）2222121111a a a a a a a+-+-+-- ＝22111(1)(1(1)1a a a a a a a +--+--+（））＝21(1)(1)a aa a a a +-++＝1(1)a a a ++＝1a，当a ＝﹣12 时，原式＝11-2＝﹣2．【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值．解答（1）题的关键是根据零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算；解答（2）题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．25．（1）94；（2）94，92，94；八；（3）23【解析】【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解；（2）根据方差的意义进行判断；（3）画树状图展示所有12等可能的结果数，再找出这两人分别来自不同年级的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】（1）n＝110（88+93+93+93+94+94+95+95+97+98）＝94（分）；把七年级的10名学生的成绩从小到大排列，最中间的两个数的平均数是：93+952=94（分），则中位数a=94；七年级的10名学生的成绩中92分出现次数最多，故众数为92分；（2）七年级和八年级的平均数相同，但八年级的方差较小，所以八年级的成绩稳定；（3）列表得：共有12种等可能的结果，这两人分别来自不同年级的有8种情况，∴P（这两人分别来自不同年级的概率）＝82= 123．【点睛】题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB≠AD，对角线AC 、BD 相交于点O ．以下结论不正确的是（）A.梯形ABCD 是轴对称图形B.∠DAC ＝∠DCAC.△AOB ≌△DOCD.△AOD ∽△COB2．下列说法正确的是( )A.打开电视，它正在播天气预报是不可能事件B.要考察一个班级中学生的视力情况适合用抽样调查C.在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确D.甲、乙两人射中环数的方差分别为22S =甲，21S =乙，说明甲的射击成绩比乙稳定3．12019的倒数是（） A.12019 B.﹣12019C.2019D.﹣20194．在四边形ABCD 中，//,AB CD AB AD =，添加下列条件不能推得四边形ABCD 为菱形的是（） A ．AB CD =B ．//AD BCC ．BC CD =D ．AB BC =5．下列各式变形中，正确的是（）A ．2=x B ．2(1)(1)1x x x ---=-C ．x xx y x y=--++D ．22131=x+-24x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭6．如图，在数轴上，点A 表示的数是2，△OAB 是Rt △，∠OAB ＝90°，AB ＝1，现以点O 为圆心，线段OB 长为半径画弧，交数轴负半轴于点C ，则点C 表示的实数是( )A B C．﹣3 D．﹣7．如图，边长为4个单位长度的正方形ABCD的边AB与等腰直角三角形EFG的斜边FG重合，△EFG以每秒1个单位长度的速度沿BC向右匀速运动（保持FG⊥BC），当点E运动到CD边上时△EFG停止运动，设△EFG的运动时间为t秒，△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积为S，则S关于t的函数大致图象为（）A．B．C．D．8．如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB＝AC，BC＝6，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．39．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若AB＝3，菱形ABCD的面积是（）A B．C D10．我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深______尺，葭长_____尺．解：根据题意，设水深OB＝x尺，则葭长OA'＝（x+1）尺．可列方程正确的是（）A.x 2+52 ＝（x+1）2B.x 2+52 ＝（x ﹣1）2C.x 2+（x+1）2 ＝102D.x 2+（x ﹣1）2＝52 11．下列计算正确的是（）A ．3a ﹣a ＝3B ．（a 2）3＝a 6C ．3a+2a ＝2a 2D ．a 2﹣a 2＝a 412．2018年国庆小长假，泰安市旅游再次交出漂亮“成绩单”，全市纳入重点监测的21个旅游景区、旅游大项目、乡村旅游点实现旅游收入近132000000元，将132000000用科学记数法表示为（）A ．1.32×109B ．1.32×108C ．1.32×107D ．1.32×106二、填空题13．已知：如图，△ABC 中，过AB 的中点F 作DE ⊥BC ，垂足为E ，交CA 的延长线于点D ．若EF ＝3，BE ＝4，∠C ＝45°，则DF ：FE 的值为_____．14．如图，OC 是O 的半径，弦AB OC ⊥于点D ，点E 在O 上，EB 恰好经过圆心O ，连接EC .若B E ∠=∠，32OD =，则劣弧AB 的长为__________.15．分解因式：228ax a -=_______．16．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为< x >，即已知n 为正整数，如果n －12≤x＜n ＋12，那么< x >＝n ．例如：< 0 >＝< 0.48 >＝0，< 0.64 >＝< 1.493 >＝1，< 2 >＝2，< 3.5 >＝< 4.12 >＝4，…则满足方程< x >＝1x 1.62+的非负实数x 的值为____. 17．在不透明的袋子中有2个白球，3个红球，除颜色外完全相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率18．截至2019年4月份，全国参加汉语考试的人数约为3500万，将3500万用科学记数法表示为_____．三、解答题19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作ED⊥AE，垂足为E，交AB的延长线于F．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若AD＝，AB＝6，求FD的长．20．如图，在数轴上点A、B、C分别表示－1、－2x＋3、x＋1，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧.（1）求x的取值范围；（2）当AB＝2BC时，x的值为_____.21．化简分式：2222334424x x xx x x x⎛⎫---÷⎪-+--⎝⎭，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．22．2018年4月，无锡外卖市场竞争激烈，美团、滴滴、饿了么等公司订单大量增加，某公司负责招聘外卖送餐员，每月工资：底薪1000元，另加外卖送单补贴(送一次外卖称为一单)，具体方案如下：(1)若某“外卖小哥”4月份送餐600单，求他这个月的工资总额；(2)设这个月“外卖小哥”送餐x单，所得工资为y元，求y与x的函数关系式；(3)若“外卖小哥”本月送餐800单，所得工资6400≤y≤6500，求m的取值范围．23．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，∠OAB＝90°且OA＝AB，OB＝8，（1）求点A的坐标；（2）点P是从O点出发，沿X轴正半轴方向以每秒1单位长度的速度运动至点B的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，交四边形ABCD的边AO或AB于点Q，交OC或BC于点R．设运动时间为t（s），已知t＝3时，直线l恰好经过点 C．求①点P出发时同时点E也从点B出发，以每秒1个单位的速度向点O运动，点P停止时点E也停止．设△QRE的面积为S，求当0＜t＜3时S与t的函数关系式；并直接写出S的最大值．②是否存在某一时刻t，使得△ORE为直角三角形？若存在，请求出相应t的值；若不存在，请说明理由．24．在一条笔直的公路上有A、B两地．甲、乙两人同时出发，甲骑电动车从A地到B地，中途出现故障后停车维修，修好车后以原速继续行驶到B地；乙骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原原速返回，结果两人同时到B地．如图是甲、乙两人与B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的函数图象．（1）A、B两地间的距离为km；（2）求乙与B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的函数关系式；（3）求甲、乙第一次相遇的时间；（4）若两人之间的距离不超过10km时，能够用无线对讲机保持联系，请求出乙在行进中能用无线对讲机与甲保持联系的x取值范围．25．如图，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点D，交BC于点E；分别以点D，E为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 的内部相交于点F ；画射线BF ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，作FH ⊥BC 于点H求证：BG ＝BH ．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．7：314．2π15．2(2)(2)a x x +-16．817．3518．5×107三、解答题19．（1）证明见解析；（2）7. 【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质和角平分线的性质可求得∠1＝∠3，再由“内错角相等，两直线平行”可得AE ∥OD ，然后再由垂线的定义和切线的判定即可证明；（2）连接BD ，由切线的性质及勾股定理可求出BD 的长，然后再根据三角形相似的判定和性质求得BFDF ，然后再在Rt △ODF 中，求DF 即可. 【详解】（1）证明：连接OD ，如图，∵OA ＝OD ，∴∠2＝∠3，∵AD 平分∠EAB ，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AE ∥OD ，∵ED ⊥CA ，∴OD ⊥ED ，∵OD 是⊙O 的半径，∴ED 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，如图，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°．∴BD =2，∵EF 是⊙O 的切线，∴OD ⊥EF ，∴∠4+∠5＝90°，∵∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠3＝∠2，∵∠F ＝∠F ，∴△FBD ∽△FDA ， ∴BF BD DF AD ==∴BF ＝4DF ，在Rt △ODF 中，∵（3+BF ）2＝32+DF 2，∴（3+4DF ）2＝32+DF 2，∴DF ＝7．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行线的判定、切线的性质及判定、勾股定理等知识点，综合性比较强，熟练掌握基础知识是解题的关键.20．(1) 223x<<;(2)1【解析】【分析】(1)根据A、B、C三点在数轴上的位置列不等式组即可得出x的取值范围；（2）分别求出AB、BC的距离，根据AB=2BC列方程即可得出x的值.【详解】（1）由题意得：231123xx x-+>-⎧⎨+>-+⎩①②解不等式①得：x＜2；解不等式②得：x＞23．∴不等式组的解集为：23＜x＜2．（2）∵AB=2BC，∴-2x+3-(-1)=2[x+1-(-2x+3)]-2x+4=2x+2+4x-68x=8解得x=1.故答案为：1【点睛】本题考查数轴的性质、解一元一次不等式组及解一元一次方程，不等式解集遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．21．x+2，3.【解析】【分析】利用分式的运算，先对分式化简单，再选择使分式有意义的数代入求值即可．【详解】2222334424x x x x x x x ⎛⎫---÷ ⎪-+--⎝⎭ ＝22(2)33(224x x x x x x ⎡⎤---÷⎢⎥---⎣⎦）＝233()224x x x x x --÷--- ＝(-2)(2)323x x x x x -⋅--+ ＝x+2，∵x 2﹣4≠0，x ﹣3≠0，∴x≠2且x≠﹣2且x≠3，∴可取x ＝1代入，原式＝3．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟悉掌握分式的运算法则是解题的关键，注意分式有意义的条件．22．(1)若某“外卖小哥”4月份送餐600单，他这个月的工资总额是4800元；(2)见解析；(3)750≤m≤900．【解析】【分析】:(1)根据题意,直接按照第一个标准,由底薪每单补贴,求解即可(2)按照x ＞m,0＜x≤500和0＜x≤500三种情况,分别求解即可;(3)根据(2)中的关系式,分别代入求解,注意要符合工资要求【详解】(1)由题意可得，1000+500×6+(600﹣500)×8＝1000+3000+800＝4800(元)，答：若某“外卖小哥”4月份送餐600单，他这个月的工资总额是4800元；(2)由题意可得，当0＜x≤500时，y ＝1000+6x ，当500＜x≤m 时，y ＝1000+500×6+(x﹣500)×8＝8x ，当x ＞m 时，y ＝1000+500×6+(m﹣500)×8+(x﹣m)×10＝10x ﹣2m ，由上可得，y ＝10006(05008(500102(x x x x m x m x m +⎧⎪⎨⎪-⎩＜≤）＜≤）＞）；(3)若800＜m≤900，y ＝8×800＝6400，符合题意，若700≤m≤800，6400≤﹣2m+10×800≤6500，解得，750≤m≤800，综上所述：750≤m≤900．【点睛】此题考查不等式组的应用，解题关键在于列出方程23．（1）A （4，4）；（2）①2728.S (t 2)33=-+，S 有最大值为283；②t 的值为4或3614. 【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；（2）①首先求出直线OA 、OB 、OC 、BC 的解析式．①求出P 、Q 的坐标即可解决问题；即可表示出QR 和PE 的长，即可得到三角形面积解析式利用配方法求出最值即可；②分三种情况讨论，即∠REO ＝90°或∠ORE ＝90°或∠ROE ＝90°分别求解即可．【详解】解：（1）由题意△OAB 是等腰直角三角形，∵OB ＝8，即B （8，0）∴A （4，4），（2）∵A （4，4），B （8，0），∴直线OA 的解析式为y ＝x ，直线AB 的解析式y ＝﹣x+6，∵t ＝3时，直线l 恰好过点C ，即OP ＝3，OC ＝5，∴PR ＝4，C （3，﹣4），∴直线OC 的解析式为y ＝-43x ，直线BC 的解析式为y ＝43255x -， ①当0＜t ＜3时，Q （t ，t ），R （t ，-43t ）， ∴QR=t-(-43t)=73t ．PE ＝8﹣2t ． ∴S ＝2117728(82)(2)22333PE QR t t t =-=--+． ∴t ＝2时，S 有最大值为283． ②要使△ORE 为直角三角形，则有三种情况：Ⅰ．若∠REO＝90°，如图1，则点P与E点重合，∴8﹣2t＝0，解得t＝4，Ⅱ．若∠ORE＝90°，如图2．△ORP∽△REP，∴OP RPRP PE=，即RP2＝OP•PE，∴24(82) 3tt t⎛⎫=-⎪⎝⎭，解之得：t＝36 17，Ⅲ．当t＞4时，△ORE不可能为直角三角形．故使得△ORE为直角三角形时，t的值为：4或36 17，【点睛】本题考查四边形综合题、一次函数的应用、二次函数的应用、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数或二次函数解决实际问题，属于中考压轴题．24．（1）30；（2）y＝﹣30x+60；（3）甲、乙第一次相遇是在出发后0.6小时；（4）25≤x≤56或76≤x≤2．【解析】【分析】（1）观察图形即可求得A 、B 两地间的距离；（2）乙前往A 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙1=k 1x ，设乙返回B 地距离B 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙2=k 2x+b 2，由待定系数法可求乙与B 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的函数关系式；（3）由相遇问题的数量关系直接求出结论；（4）设甲在修车前y 与x 之间的函数关系式为y 甲1=kx+b ，甲在修车后y 与x 之间的函数关系式为y 甲2=k 3x+b 3，由待定系数法求出解析式建立不等式组求出其解即可．【详解】解：（1）由题意，得A 、B 两地间的距离为30km ．故答案为：30；（2）设乙前往A 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙1＝k 1x ，由题意，得 30＝k 1，∴y 乙1＝30x ；设乙返回B 地距离B 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙2＝k 2x+b 2，由题意，得 22223002k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：223060k b =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝-30x+60．（3）由函数图象，得（30+20）x ＝30，解得x ＝0.6．故甲、乙第一次相遇是在出发后0.6小时；（4）设甲在修车前y 与x 之间的函数关系式为y 甲1＝kx+b ，由题意，得30150.75b k b =⎧⎨=+⎩，解得：k 20b 30=-⎧⎨=⎩， y 甲1＝﹣20x+30，设甲在修车后y 与x 之间的函数关系式为y 甲2＝k 3x+b 3，由题意，得333315 1.25k b 02k b =+⎧⎨=+⎩，解得：332040k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 甲2＝﹣20x+40，当20303010301510x x x -+-≤⎧⎨-⎩…时， ∴25≤x≤56； 306015102x x -+-⎧⎨⎩……，解得：76≤x≤2． ∴25≤x≤56或76≤x≤2．【点睛】本题考查了行程问题的数量关系路程÷时间=速度的运用，运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，不等式组的解法的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．25．详见解析【解析】【分析】由作法可知BF 是∠ABC 的角平分线，再证明△GBF ≌△HBF 即可得到结论.【详解】证明：由作法可知BF 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABF ＝∠CBF ，∵FG ⊥AB ，FH ⊥BC ．∴∠FGB ＝∠FHB ，在△GBF 和△HBF 中，FGB FHB GBF HBF BF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△GBF ≌△HBF （AAS ），∴BG ＝BH ．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定．。

2020年中考数学考点梳理：相似三角形和解直角三角形

知识点：一、比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。

a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a = 4、比例外项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。

5、比例内项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abb a =（或a:b=b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

9、比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 那么ad ＝bc 逆命题也成立，即如果ad ＝bc ，那么a ：b ＝c ：d10、比例的基本性质推论：如果a ：b=b ：d 那么b 2=ad ，逆定理是如果b 2=ad 那么a ：b=b ：c 。

说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。

比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。

11、合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+ 12．等比性质：如果n m d c b a ===K ，（0≠+++m d b Λ），那么ban d b m c a =++++++ΛΛ说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。

13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。

中考总复习：锐角三角函数综合复习--知识讲解(提高)

中考总复习：锐角三角函数综合复习—知识讲解（提高）【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA ＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就Ca bc是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， (1)三边之间的关系：222a b c +=； (2)两锐角之间的关系：∠A+∠B ＝90°； (3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c ==，cos sin b A B c==，1tan tan a A b B==． (4) 如图，若直角三角形ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p ，则由△CBD ∽△ABC ，得a 2＝pc ；由△CAD ∽△BAC ，得b 2＝qc ；由△ACD ∽△CBD ，得h 2＝pq ；由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab ＝ch ．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则 ①CD ＝AD ＝BD ＝12AB ； ②点D 是Rt △ABC 的外心，外接圆半径R ＝12AB ． (6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c abr a b c+-==++．直角三角形的面积： ①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B ===△．（h 为斜边上的高） ②如图所示，1()2ABC S r a b c =++△．【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID ：408468 播放点：例2】1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．10 sin50°(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k表示各边．(3)要求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．【答案与解析】(1)选B．(2)在△ABC，∠C＝90°，3sin5 BCAAB==．设BC＝3k，则AB＝5k(k＞0)．由勾股定理可得AC＝4k，∴4432 cos tan5315k kA Bk k+=+=．(3)由已知，AD是半圆的直径，连接CD，可得∠ACD＝90°∠B＝∠D，所以sinB＝sinD＝23 ACAD=．【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长；(2)题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A＝1，读者可自己尝试完成．举一反三：【变式】（2015•乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB==，AD==2cosA===，故选：D．类型二、特殊角的三角函数值【高清课堂：锐角三角函数综合复习例1】2．解答下列各题： (1)化简求值：tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°；(2)在△ABC 中，∠C ＝90°，化简12sin cos A A -．【思路点拨】第(2)题可以先利用关系式sin 2 A+cos 2A ＝1对根号内的式子进行变形，配成完全平方的形式．【答案与解析】解 (1)tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°(2)∵12sin cos A A -2(sin cos )|sin cos |A A A A =-=-，∴12sin cos A A -cos sin (045)sin cos (4590)A A A A A A -<⎧=⎨-<<⎩°≤°°°．【总结升华】由第(2)题可得到今后常用的一个关系式：1±2sin αcos α=(sin α±cos α)2．例如，若设sin α+cos α＝t ，则21sin cos (1)2t αα=-．举一反三：【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID ：408468 播放点：例1】【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2tan()3β的值. 【答案】∵3sin 22α，且2α为锐角， ∴2α＝60°，α＝30°． ∴12cos sin 22βα===， ∴β＝45°． ∴23tan()tan 3033β==°． 3．（2015春•凉州区校级月考）如图，在锐角△ABC 中，AB=15，BC=14，S △ABC =84，求：（1）tanC 的值；（2）sinA 的值．【思路点拨】（1）过A 作AD ⊥BC 于点D ，利用面积公式求出高AD 的长，从而求出BD 、CD 、AC 的长，此时再求tanC 的值就不那么难了．（2）同理作AC 边上的高，利用面积公式求出高的长，从而求出sinA 的值．【答案与解析】解：（1）过A 作AD ⊥BC 于点D ． ∵S △ABC =BC •AD=84， ∴×14×AD=84，∴AD=12．又∵AB=14， ∴BD==9．∴CD=14﹣9=5．在Rt △ADC 中，AC==13，∴tanC==；（2）过B 作BE ⊥AC 于点E ． ∵S △ABC =AC •EB=84， ∴BE=，∴sin ∠BAC===．【总结升华】考查了锐角三角函数的定义，注意辅助线的添法和面积公式，以及解直角三角形公式的灵活应用．举一反三：【变式】如图，AB 是江北岸滨江路一段，长为3千米，C 为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥.经测量得A 在C 北偏西30°方向，B 在C 的东北方向，从C 处连接两岸的最短的桥长为多少千米？(精确到)【答案】过点C 作CD ⊥AB 于点D.EABCCD 就是连接两岸最短的桥.设CD=x （千米）. 在直角三角形BCD 中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x.在直角三角形ACD 中，∠ACD=30°，所以AD=CD ×tan ∠ACD=x ·tan30°=x.因为AD+DB=AB ，所以x+x=3，x=≈答：从C 处连接两岸的最短的桥长约为. 类型三、解直角三角形及应用4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5DCB ∠=， AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长．【思路点拨】解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程．【答案与解析】解：作DE ∥AC 交CB 于E ，则∠EDC ＝∠ACD ＝90°．∵4cos 5CD DCE CE =∠=，设CD ＝4k(k ＞0)，则CE ＝5k ，由勾股定理得DE ＝3k ．∵△ACD 和△CDB 在AB 边上的高相同，∴AD:DB ＝:2:3ACD CDB S S =△△．即553533AC DE k k ==⨯=． ∴44tan 55CD k A AC k ===．∵AC+CD ＝18， ∴5k+4k ＝18，解得k ＝2． ∴2241241AD AC CD k =+==．∴AB ＝AD+DB ＝AD+32AD ＝541．【总结升华】在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等． 5．如图所示，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50 m 到达点D ，用高为的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高(精确到)．(参考数据：sin10°≈°≈°≈°≈°≈°≈ 【思路点拨】本题是求四边形一边长的问题，可以通过添加辅助线构造直角三角形来解．【答案与解析】解：如图所示，延长CD 交PB 于F ，则DF ⊥PB ． ∴DF ＝DB ·sinl5°≈50× CE ＝BF ＝DB ·cos15°≈50× ∴AE ＝CE ·tan10°≈× ∴≈答：树高约为．【总结升华】一些特殊的四边形，可以通过切割补图形的方法将其转化为若干个直角三角形来解．举一反三：【变式】如图所示，正三角形ABC 的边长为2，点D 在BC 的延长线上，CD ＝3．(1)动点P 在AB 上由A 向B 移动，设AP ＝t ，△PCD 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；(2)在(1)的条件下，设PC ＝z ，求z 与t 之间的函数关系式．【答案】解：(1)作PE ⊥BC 于E ，则BP ＝AB-AP ＝2-t(0≤t ＜2)． ∵∠B ＝60°， ∴1133sin (2)2222PCD S CD PE CD BP B t ===-△，即3333(02)42y t t =-+≤<． (2)由(1)不难得出，3(2)2PE t =-，1(2)2BE t =-． ∴112(2)(2)22EC BC BE t t =-=--=+． ∵22222231(2)(2)2444PC PE EC t t t t =+=-++=-+．∴224(02)z t t t =-+≤<．6．如图(1)所示，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60°．(1)求AO 与BO 的长．(2)若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行．①如图(2)所示，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD ＝2:3，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑了多少米；②如图(3)所示，当A 点下滑到A ′点，B 点向右滑行到B ′点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到P ′点，若∠POP ′＝15°，试求AA ′的长．【思路点拨】（1）在直角△AOB 中，已知斜边AB ，和锐角∠ABO ，即可根据正弦和余弦的定义求得OA ，OB 的长；（2）△APO 和△P′A′O 都是等腰三角形，根据等腰三角形的两底角相等，即可求得∠PAO 的度数，和∠P′A′O 的度数，在直角△ABO 和△A′B′O 中，根据三角函数即可求得OA 与OA′，即可求得AA′的长．【答案与解析】解：(1)Rt △AOB 中，∠O ＝90°，α＝60°，∴∠OAB ＝30°．又AB ＝4米，∴OB ＝12AB ＝2米．OA ＝AB ·sin 60°＝4×2＝米)． (2)①设AC ＝2x ，BD ＝3x ，在Rt △COD 中，OC ＝2x ，OD ＝2+3x ，CD ＝4，根据勾股定理：OC 2+OD 2＝CD 2，∴2222)(23)4x x ++=．∴213(120x x +-=．∵x ≠0，∴13120x +-=．∴1213x =．24213AC x ==．即梯子顶端A 沿NO 下滑了2413米． ②∵点P 和点P ′分别是Rt △AOB 的斜边AB 与Rt △A ′OB ′的斜边A ′B ′的中点，∴PA ＝PO ，P ′A ′＝P ′O ．∴∠PAO ＝∠AOP ，∠P ′A ′O ＝∠A ′OP ′．∴∠P ′A ′O-∠PAO ＝∠POP ′＝15°．∵∠PAO ＝30°，∴∠P ′A ′O ＝45°．∴A ′O ＝A ′B ′·cos 45°＝42⨯=∴AA ′＝OA-A ′O ＝米．【总结升华】解答本题的关键是理解题意．此题的妙处在于恰到好处地利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而求出∠P′A′O=45°，让我们感受到了数学题真的很有意思，做数学题是一种享受．。

2023中考一轮复习：锐角三角函数及其应用

考点16锐角三角函数及其应用【命题趋势】中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主。

其中，锐角三角函数的性质及解直角三角形多以选择填空题为主，解直角三角形的应用多以解答题为主。

整体难度不大，但是所占分值有3~12分，还是需要考生对这块易拿分的考点多加重视。

【中考考查重点】一、锐角三角函数的定义及其性质二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形四、解直角三角形的应用考向一：锐角三角函数的定义及其性质一．锐角三角函数的定义：在Rt △AABC 中，∠C=90°，AB=c ，BC=a ，AC=b 则：∠A 正弦：caA A =∠=斜边的对边sin ；∠A 余弦：c bA A =∠=斜边的邻边cos ；∠A 正切：baA A A =∠∠=的邻边的对边tan ；二．锐角三角函数的函数关系当∠A ＋∠B=90°时，有以下两种关系：（1）.同角三角函数的关系：AAA cos sin tan =；1cos sin 22=+A A （2）互余两角的三角函数的关系：B A B A sin cos ;cos sin ==;)90(1tan tan ︒=∠+∠=∙B A B A 【同步练习】1．（2021•句容市模拟）在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（）A ．c ＝b sin BB ．b ＝c sin BC ．a ＝b tan BD ．b ＝c tan BACBabc2．（2021•饶平县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝m，∠B＝β，那么AB＝（）A．m⋅sinβB．C．m⋅cosβD．3．（2021•张湾区模拟）如图，小正方形的边长均为1，有格点△ABC，则sin C＝（）A．B．C．D．4．（2021•商河县校级模拟）当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30A＜60°C．60°＜∠A＜90°D．30°＜∠A＜45°5．（2021•桓台县一模）在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A．B．C．D．6．（2021•蒙阴县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，若sin A＝，则cos∠BCD的值为．考向二：特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值表αsin αcos αtan α30°21233345°2222160°23213【同步练习】1．（2021•宜兴市模拟）已知cos α＝，且α是锐角，则α＝（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．（2022•龙岗区一模）Rt △ABC 中∠C ＝90°，sin A ＝，则tan A 的值是（）A ．B ．C ．D ．3．（2021•邵阳模拟）在△ABC 中，若|sin A ﹣|+（cos B ﹣）2＝0，则∠C 的度数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．（2022•无为市校级一模）计算：（1）sin60°•cos30°﹣1；（2）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．考向三：解直角三角形解直角三角形相关：在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b 三边关系：222cba=+两锐角关系：︒=∠∠90BA＋边与角关系：caBA==cossin，cbBA==sincos，baanA=t，abanB=t锐角α是a、b的夹角面积：αsin21abS=【方法提炼】与三角函数有关的倍半角问题倍半角模型①知“半角”求“倍角”→知θ，截取使相等（或中垂线），得2θ②知“倍角”求“半角”→知2θ，延长使相等(或做角平分线），得θ（等腰出，半角现）解题主要思想特别记忆：1.“倍半角”模型也可用于“角平分线”类问题2.“倍半角模型”常常转化为“θ”的正切值来计算3.☆【同步练习】1．（2021•樊城区一模）如图，A 、B 、C 是3×1的正方形网格的三个格点，则tan ∠ABC 的值为（）A ．B ．C ．D ．2．（2021•滨江区校级三模）如图，点A 为∠B 边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示tan B 的值，错误的是（）A ．B ．C ．D ．3．（2021•榆阳区模拟）如图，点A ，B 是以CD 为直径的⊙O 上的两点，分别在直径的两侧，其中点A 是的中点，若tan ∠ACB ＝2，AC＝，则BC 的长为（）A ．B ．2C ．1D ．2时，③当时，②当时，①当7242tan 43tan 432tan 31tan 342tan 21tan ======θθθθθθ相等角倍角半角常构造（或选择）Rt △延长直角边=斜边，得半角作斜边的中垂线，得2倍角可构造K 型相似，得矩形当有特殊tan α值时，可转化为“倍半角”问题主要思想变“求点的坐标”为“求直线与函数图象交点”抓本质——对称全等＋l 1⊥l 2此处k 型相似比已知，矩形对边相等是列方程的等量关系4．（2021•阿城区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，设∠CAB＝α，CD＝h，那么BC的长度为（）A．B．C．D．h•cosα考向四：解直角三角形的应用解直角三角形的应用：仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.俯角：视线在水平线下方的叫俯角坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作lhi=坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，αtan=i坡度越大，坡角越大，坡面越陡【方法提炼】1.在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合平面几何知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题，常见的构造的基本图形有如下几种：（1）不同地点看同一点，如图①（2）同一地点看不同点，如图②（3）利用反射构造相似，如图③2.常用结论：【同步练习】1．（2022•鹿城区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，点A，B分别在墙面ED和地面FD上，且斜边BC∥ED，若AC＝1，∠CBA＝α，则AD的长为（）A．cosα×tanαB．C．D．2．（2022•无为市校级一模）如图，给出了一种机器零件的示意图，其中CE＝1米，BF＝米，则AB＝（）A．（1+）米B．（﹣1）米C．（2﹣）米D．（2+）米3．（2020•秦皇岛一模）如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m1．在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，则sin A的值为（）A．B．C．D．2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin B的值为（）A．B．C．D．13．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°4．下列计算错误的个数是（）①sin60°﹣sin30°＝sin30°；②sin245°+cos245°＝1；③；④．A．1B．2C．3D．45．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（）A．B．C．D．6．把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示的方式放置于桌面上，AB与螺母相切，D为螺母与桌面的切点，∠CAB＝60°．若量出AD＝6cm，则圆形螺母的外直径是（）A．cm B．12cm C．cm D．cm7．计算tan30°•sin60°的结果是．8．如图所示，在一次数学活动课上，初三1班的同学们利用长杆来测量某段城墙的倾斜角α，把一根长为6.6米的长杆AC斜靠在城墙旁，量出杆长2米处在地面投影AE的长约为1米，长杆的底端与墙角的距离AB约为2.7米，则倾斜角α的正切值约为．（结果精确到0.01，参考数据≈1.73）9.如图1是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD，BC与桌面构成如图2，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是cm．10．计算：tan30°sin60°﹣cos245°+tan45°．11．计算：（1）sin60°•cos30°﹣1；（2）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．12．如图，在△ABC中，BC＝4，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB．13．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知支架AB与支架AC所成的角∠BAC＝15°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为0.5米，HF段的长为1.50米，篮板底部水平支架HE的长为0.75米，篮板顶端F到地面的距离为4.4米．（1）则篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为；（2）求底座BC的长（结果精确到0.1米；参考数据：sin15°≈026，cos15°≈097，tan15°≈027，≈1.732，≈1.414）．1.（2021·浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sin B的值是．2.（2021·浙江金华）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（）A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D．米3.（2021·浙江丽水）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD ＝∠α，则下列结论一定成立的是（）A．OE＝m•tanαB．CD＝2m•sinαC．AE＝m•cosαD．S△COD＝m2•sinα4.（2021·浙江温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（）A．+1B．sin2α+1C．+1D．cos2α+15.（2021·浙江绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（）A．B．C．D．26.（2021·浙江杭州）计算：sin30°＝．7.（2021·浙江金华）计算：（﹣1）2021+﹣4sin45°+|﹣2|．8.（2021·浙江嘉兴）计算：2﹣1+﹣sin30°；9.（2021·浙江绍兴）计算：4sin60°﹣+（2﹣）0．10.（2021·浙江衢州）计算：+（）0﹣|﹣3|+2cos60°．11.（2021·浙江金华）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．（1）求矩形对角线的长；（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．12.（2021·浙江台州）图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处．若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，求活动杆端点D离地面的高度DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）13.（2021·浙江嘉兴）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．（1）求点D转动到点D′的路径长；（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）14.（2021·浙江宁波）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC ＝140°时，伞完全张开．（1）求AB的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）15.（2021·浙江绍兴）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）．（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．16.（2021·浙江衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得FA＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．（1）椅面CE的长度为cm．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD的度数达到最小值30°时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）1．（2021•余杭区二模）若sinα＝，则锐角α＝（）A．30°B．45°C．50°D．60°2．（2021•吴兴区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，则tan A的值为（）A．B．C．D．3．（2021•杭州二模）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sin B＝0.5，若AC＝6，则AB的长为（）A．8B．12C．6D．124．（2021•婺城区模拟）若∠A，∠B都是锐角，且tan A＝1，sin B＝，则△ABC不可能是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．锐角三角形D．直角三角形5．（2021•余杭区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．6．（2021•宁波模拟）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（）A．3B．2C．2D．37．（2021•北仑区一模）如图，点A在半径为6的⊙O内，OA＝2，P为⊙O上一动点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（）A．3B．2C．D．28．（2021•吴兴区二模）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为（）A．2B．C．D．9．（2021•金华模拟）如图，点A（x，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα＝，则tanα的值为（）A．B．C．D．10．（2021•越秀区校级三模）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为（）A．B．C．D．11．（2021•拱墅区二模）如图，△ABC中，∠A＝120°，若BM，CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M的余弦值是（）A．B．C．D．12．（2022•温州模拟）一个长方体木箱放置在斜面上，其端点A落在水平地面上，相关数据如图所示，则木箱端点C距地面m的高度是（）A．a•cosα+b•sinαB．a•sinα+b•cosαC．a•sinα+b•sinαD．a•cosα+b•cosα13．（2021•下城区校级四模）在直角三角形ABC中，若cos C＝，则＝．14．（2022•温州模拟）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），且AC＝BD，AF∥BE，sin∠BAF＝0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E 绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B′，D′，E′的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD′．已知直线BE⊥B′E′，CD′＝2CD，那么AB的长为cm，CD′的长为cm．15．（2021•杭州校级模拟）计算：tan45°﹣sin30°cos60°﹣cos245°．16．（2021•鹿城区校级三模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．（1）求BE的长；（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．17．（2021•宁波模拟）把矩形纸片ABCD，先沿AE折叠使点B落在AD边上的B'，再沿AC折叠，恰好点E也落到AD上，记为E'．求：（1）∠B'EE'的度数；（2）∠DAC的正切值．18．（2022•宁波模拟）如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高AB＝5cm，连杆BC＝CD＝20cm，BC，CD与AB始终在同一平面内．（1）如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝143°，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°，如图③，此时连杆端点D离桌面l的高度减小了多少cm？（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）19．（2021•宁波模拟）小甬要外出参加“建党100周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，图②分别是他上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．（1）求DE的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．。

中考数学【锐角三角函数】考点专项复习教案(含例题、习题、答案)

8．
cos 60°＝ 1 ，tan 30°＝
2
，∴cos 60°－tan 30°≠0，
∴(cos 60°－tan 30°)0＝1，解：原式＝例7 分析
2 ＋1
3
十＋2
2 ＝3 2 ＋1．
1 32
1 计算 2
－(π －3.14)0－|1－tan 60°|－
3. 3 ＋1＋ 3 ＋2＝10.
第二十八章
本章小结小结 1 本章概述
锐角三角函数
锐角三角函数、解直角三角形，它们既是相似三角形及函数的继续，也是继续学习三角形的基础．本章知识首先从工作和生活中经常遇到的问题人手，研究直角三角形的边角关系、锐角三角函数等知识，进而学习解直角三角形，进一步解决一些简单的实际问题．只有掌握锐角三角函数和直角三角形的解法，才能继续学习任意角的三角函数和解斜三角形等知识，同时解直角三角形的知识有利于培养数形结合思想，应牢固掌握．小结 2 本章学习重难点【本章重点】通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数(sin A，cos A，tan A)，知道 30°，45°，60°角的三角函数值，会运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题．【本章难点】综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题．【学习本章应注意的问题】在本章的学习中，应正确掌握四种三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值，要善于运用方程思想求直角三角形的某些未知元素，会运用转化思想通过添加辅助线把不规则的图形转化为规则的图形来求解，会用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模型，从而提高分析问题和解决问题的能力．
.
tan 60°＝
解：原式＝8－1－
专题 3 锐角三角函数与相关知识的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力. 例 8 如图 28－124 所示，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，E 为 AC 边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B ＝4．

数学专题复习_图形与几何2：解直角三角形(锐角三角函数)

图形与几何2：:解直角三角形二.知识框图三.知识要点1.直角三角形边角关系．（1）三边关系：勾股定理：222a b c += ；勾股定理的逆定理：若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形. 若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形。

（若c 2>a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形，若c 2<a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为锐角三角形）（2）三角关系：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B =∠C=90°．（3）边角关系（锐角三角函数的概念）sin A A ∠=的对边斜边，叫做A ∠的正弦；cos A A ∠=的邻边斜边，叫做A ∠的余弦；tan A A A ∠=∠的对边的邻边，叫做A ∠的正切.2.特殊角的三角函数值3.三角函数常用公式互为余角的三角函数关系．sin（90°－A）=cosA， cos（90°－A）=sin A tanA×tan（90°－A）=1 同角的三角函数关系．①平方关系：sin2A+cos2A=l ②弦切互化：sin tancosAAA4. 测量中常用的概念：仰角、俯角、坡度、坡比、倾斜角、方位角等北东MNBA四.典型例题（考点）例1.计算ooo5sin302cos60tan 45-－ o o oo2cos 45tan 30sin 45tan 60-+⋅例2．如图所示，已知：在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=4+，•求△ABC 的面积（结果可保留根号）．例3.已知：如图所示，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，E•为边AC•的中点，BC=14，AD=12，sinB=45，求：（1）线段DC 的长；（2）tan ∠EDC 的值．例4.如图，MN 表示某隧道挖掘工程的一段设计路线，MN 的方向为南偏东30°.在M 的南偏东60°方向上有一个点A ，以点A 为圆心、600米为半径的圆形区域为土质疏松地带（危险区）.取MN 上一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°.已知MB ＝400米，请你通过计算回答，如果不改变方向，挖掘路线是否会通过这1.411.73）Ａ图形与几何（2）（解直角三角形）一、填空题1.在ABC Rt △中，490tan 3C A ∠==，，则sin B 的值是（）Ａ．35Ｂ．45Ｃ．34 Ｄ．432.Rt ABC △中，90C ∠=，a b c ，，分别A B C ∠∠∠，，的对边，下列关系中错误的是（）Ａ．cos b c B =Ｂ．tan b a B = Ｃ．sin b c B = Ｄ．tan a b A =3.如图，CD 是ABC Rt △斜边上的高，43AC BC ==，，则cos BCD ∠的值是（）A.35 B.34 C.43 D.454.如图，已知一坡面的坡度i =α为（）Ａ．15Ｂ．60°Ｃ．30Ｄ．455.如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于（） A. 5 B.552 C. 55D.326.住宅小区有一块草坪如图所示，已知3AB =米，4BC =米，12CD =米，13DA =米，且AB BC ⊥，这块草坪的面积是（）Ａ．24米2Ｂ．36米2Ｃ．48米2 Ｄ．72米27.已知：如图8，梯形ABCD 中，451208AD BC B C AB ===∥，∠，∠，，则CD 的长为（）Ｂ．Ｄ．8.如图，PT 切⊙O 于T ，BP 为经过圆心O 的割线，如果 PT ＝4，PA ＝2那么cos∠BPT 等于（）A ．45B ．12C ．38D ．349.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC 和△DEF ，•数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S △ABC ，小颖画的三角形面积记作S △DEF ，那么你认为（）A ．S △ABC >S △DEFB ．S △ABC <S △DEF C ．S △ABC =S △DEFD ．不能确定小敏画的三角形小颖画的三角形10.已知α为锐角，且αtan 为方程0322=--x x 的一个实数根，则αsin 的值为（）A.22 B. 1010 C. 10103 D. 3 二、填空题1.直角三角形的两边长分别为6、8，则第三边的长为．2.锐角A 满足()2sin 15A -=A =∠___________．3.如图，小亮在操场上距离旗杆AB 的C 处，用测角仪测得旗杆顶端A 的仰角为30．已知9BC =米，测角仪的高CD 为1.2米，那么旗杆AB 的高为米（结果保留根号）．4.在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°则BC= ,S △ABC ＝三、解答题：1.计算：tan 45cos60sin 30+t an 30°＋cos 230°－sin 245°tan 45°2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a,b,c 分别是∠A,∠B, ∠C 的对边. (1)已知a=3,c=23,求∠A; (2)已知a=6,b=2,求c 及∠A; (3)已知c=104,∠A=45°,求a 及b3．已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F•处，•如果AB=8cm ，BC=10cm ，(1)求EC 的长；(2)在线段BC 上还能找到点P 使∠APE=90°吗，求出此时的BP 长.4.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠= ，45C ∠=，BE CD ⊥于点E ，1AD =，CD =BE 的长度.5.如图，一块四边形土地，其中120ABD AB AC BD CD AB ∠==，⊥，⊥，，CD =，求这块土地的面积6.阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为∆ABC 的三边，且满足a c b c a b 222244-=-，试判断∆ABC 的形状。

三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形-中考数学专题复习试题

三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形教学准备一. 教学目标：（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。

（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。

（3）培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力二. 教学重点、难点：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。

难点是综合应用这些知识解决问题的能力。

三. 知识要点：知识点1 三角形的边、角关系①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边；③三角形三个内角的和等于180°；④三角形三个外角的和等于360°；⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

知识点2 三角形的主要线段和外心、内心①三角形的角平分线、中线、高；②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

知识点3等腰三角形等腰三角形的识别：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；③三边相等的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形；⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

等腰三角形的性质：①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；④等边三角形的三个内角都等于60°。

知识点4直角三角形直角三角形的识别：①有一个角等于90°的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第五章图形的相似与解直角三角形第二节锐角三角函数及解直角三角形的应

第二节锐角三角函数及解直角三角形的应用,怀化七年中考命题规律)年份题型题号考察点考察内容分值总分2021选择10解直角三角形一三角函数值与一边长，求另一直角边442021填空13解直角三角形的应用以爬土坡为背景，利用解直角三角形求坡角332021选择5解直角三角形利用解直角三角形，求锐角三角函数值3填空14解直角三角形直角三角形中的锐角函数值求锐角36命题规律纵观怀化七年中考，锐角三角函数及解直角三角形四年没有考察，而且三年考察的都是最根本的题，以选择题与填空题的形式出现．命题预测预计2021年怀化中考可能会以填空题的形式出现，解答题也有可能出现，应强化训练不留死角.,怀化七年中考真题及模拟)解直角三角形及其应用 (4次)1．(2021怀化中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm ，那么BC 的长度为( C )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm2．(2021怀化中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，那么cos B 的值等于( B )A .35B .45C .34D .553．(2021怀化中考)如图，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4 m ，此时，他离地面高度为h ＝2 m ，那么这个土坡的坡角∠A＝__30__°.4．(2021怀化中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝12，那么∠A＝__30°__．5．(2021 怀化学业考试指导)青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃，如下图，一天，灰太狼在自家城堡顶部A 处测得懒羊羊所在地B 处的俯角为60°，然后下到城堡的C 处，测得B 处的俯角为30°，AC ＝40 m ，假设灰太狼以5 m /s 的速度从城堡底部D 处出发，几秒钟后抓到懒羊羊？(结果准确到个位)解：7 s 后，灰太狼能抓到懒羊羊．,中考考点清单)锐角三角函数的概念在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，那么∠A 的正弦 sin A ＝∠A的对边斜边＝①ac余弦 cos A ＝∠A 的邻边斜边＝②bc正切tan A ＝∠A 的对边∠A的邻边＝③ab特殊角的三角函数值三角函数30° 45° 60° sin α 12 ④__22__32 cos α3222⑤__12__tanα⑥__33__13解直角三角形解直角三角形常用的关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么三边关系⑦__a2＋b2＝c2__两锐角关系⑧∠A＋∠B＝90°边角关系sin A＝cos B＝ac cos A＝sin B＝bc tan A＝ab解直角三角形的应用仰角、俯角在视线及水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫⑨__仰角__，视线在水平线下方的角叫⑩__俯角__．坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h与⑪水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面及水平线的夹角α叫坡角．i＝tanα＝⑫hl.续表方位角指北或指南方向线及目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做⑬__方位角__，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向).角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找直角三角形中的边角替代所要求的元素；(2)解实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的边角计算问题．,中考重难点突破)锐角三角函数及特殊角三角函数值【例1】(2021 乐山中考)如图，△ABC 的三个顶点均在格点上，那么cos A 的值为( )A .33B .55C .233D .255【学生解答】D1．(2021乐山中考)如图，在Rt ΔABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，那么以下结论不正确的选项是( C )A ．sinB ＝AD AB B ．sin B ＝ACBCC ．sin B ＝AD AC D ．sin B ＝CDAC解直角三角形的实际应用【例2】(2021 内江中考)“马航事件〞的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船与飞机到相关海域进展搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测到在点A 俯角为30°方向的F 点处有疑似飞机残骸的物体(该物体视为静止)．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800 m 到达B 点，此时测得点F 在点B 俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F 点的正上方点C 时(点A ，B ，C 在同一直线上)，竖直高度CF 约为多少米？(结果保存整数，参考数值：3≈)【解析】在Rt △ACF 中，利用tan 30°＝CFBC ＋AB即可．【学生解答】解：∵∠BCF＝90°，∠CBF ＝45°，∴BC ＝CF ，∵∠CAF ＝30°，∴tan 30°＝CF AB ＋BC ＝CF AB ＋CF ＝CF 800＋CF ＝33，解得CF ＝4003＋400≈400×(1.7＋1)＝1 080(m )．【点拨】所求边CF 是两个直角三角形的公共边，充分抓住两个直角三角形的联系，运用三角函数与列方程求解．2．(2021丹东中考)某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB 的高度．他们在C 处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6 m 到达D 处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．(测角器的高度忽略不计，结果准确到0.1m ，参考数据：sin 48°≈710，tan 48°≈1110，sin 64°≈910，tan 64°≈2)解：依题意，得∠ADB＝64°，∠ACB＝48°.在△ADB中，tan64°＝ABBD，那么BD＝ABtan64°≈12AB.在Rt△ACB中，tan48°＝ABCB，那么CB＝ABtan48°≈10 11AB，∴CD＝BC－BD，1011AB－12AB＝6，∴AB＝1329≈(m)，∴建筑物的高度约为14.7 m.。

2019年中考数学复习第5章图形的相似与解直角三角形第20课时锐角三角函数与解直角三角形精讲试题word版本

第20课时锐角三角函数与解直角三角形题号,30三角形一般与圆综合考查毕节中考真题试做30°,45°,60°角的三角函数值1.(2018·毕节中考)计算：⎝⎛⎭⎪⎫－13－1－12＋3 tan 30°－(π－3)0＋||1－3.解：原式＝(－3)－23＋3×33－1＋(3－1)＝－3－23＋3－1＋3－1＝－5.解直角三角形2.(2017·毕节中考)如图,在▱ABCD中,过点A作AE⊥DC,垂足为点E,连接BE,F为BE上一点,且∠AFE＝∠D.(1)求证：△ABF∽△BEC；(2)若AD＝5,AB＝8,sin D＝45,求AF的长.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB ∥CD,AD ∥BC,AD ＝BC. ∴∠D ＋∠C ＝180°,∠ABF ＝∠BEC. ∵∠AFB ＋∠AFE ＝180°,∠AFE ＝∠D, ∴∠C ＝∠AFB. ∴△ABF ∽△BEC ； (2)解：∵AE ⊥DC,AB ∥DC, ∴∠AED ＝∠BAE ＝90°.在Rt △ADE 中,AE ＝AD·sin D ＝5×45＝4.在Rt △ABE 中,根据勾股定理,得 BE ＝AE2＋AB2＝42＋82＝4 5. ∵△ABF ∽△BEC, ∴AF BC ＝AB BE , 即AF 5＝845,∴AF ＝2 5.毕节中考考点梳理锐角三角函数的概念特殊角的三角函数值\ 锐角α α解直角三角形1.(2018·柳州中考)如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,BC ＝4,AC ＝3,则sin B ＝ACAB ＝( A )A .35B .45C .37D .34(第1题图)(第3题图)2.若∠A＋∠B ＝90°,则下列各式成立的是( D )A .sin A ＝cos AB .tan A ＋tan B ＝1C .sin A ＝sin BD .sin A ＝cos B3.(2018·广州中考)如图,旗杆高AB ＝8 m ,某一时刻,旗杆影子长BC ＝16 m ,则tan C ＝__12__.4.(2018·滨州中考)在△ABC 中,∠C ＝90°,若tan A ＝12,则sin B ＝55.(2018·贵阳中考)如图①,在Rt △ABC 中,以下是小亮探究a sin A 与bsin B之间关系的方法：∵sin A ＝a c ,sin B ＝bc,∴c ＝a sin A ,c ＝bsin B ,∴a sin A ＝b sin B. 根据你掌握的三角函数知识.在图②的锐角△ABC 中,探究a sin A ,b sin B ,c sin C之间的关系,并写出探究过程.解：a sin A ＝b sin B ＝c sin C .证明如下：过A 作AD ⊥BC 于点D,过B 作BE ⊥AC 于点E.在Rt △ABD 中,sin B ＝ADc ,即AD ＝c si n B.在Rt △ADC 中,sin C ＝ADb ,即AD ＝b sin C.∴c sin B ＝b sin C,即b sin B ＝csin C .同理可得a sin A ＝csin C ,则a sin A ＝b sin B ＝csin C.6.(2018·遵义中考)如图,吊车在水平地面上吊起货物时,吊绳BC 与地面保持垂直,吊臂AB 与水平线的夹角为64°,吊臂底部A 距地面1.5 m .(计算结果精确到0.1 m ,参考数据sin 64°≈0.90,cos 64°≈0.44,tan 64°≈2.05)(1)当吊臂底部A 与货物的水平距离AC 为5 m 时,吊臂AB 的长为______m ； (2)如果该吊车吊臂的最大长度AD 为20 m ,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)解：(1)在Rt △ABC 中,∠BAC ＝64°,AC ＝5, ∴AB ＝ACcos 64°≈5÷0.44≈11.4.∴吊臂AB 的长为11.4 m .故应填：11.4； (2)过点D 作DH ⊥地面于点H,交水平线于点E.在Rt △ADE 中,AD ＝20,∠DAE ＝64°,EH ＝1.5,∴DE ＝sin 64°×AD ≈20×0.90＝18.0,即DH ＝DE ＋EH ≈18.0＋1.5＝19.5.答：从地面上吊起货物的最大高度是19.5 m .中考典题精讲精练30°,45°,60°角的三角函数值例1 (2018·广安中考)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＋|3－2|－12＋6 cos 30°＋(π－3.14)0.【解析】对照30°,45°,60°角的三角函数值表,然后按照实数的运算方法计算出结果.【答案】解：原式＝9＋2－3－23＋6×32＋1＝12.解直角三角形例2 (2018·潍坊中考)如图,点M 是正方形ABCD 边CD 上一点,连接AM,作DE ⊥AM 于点E,BF ⊥AM 于点F,连接BE.(1)求证：AE ＝BF ；(2)已知AF ＝2,四边形ABED 的面积为24,求∠EBF 的正弦值.【解析】(1)由正方形的性质,可得BA ＝AD,∠BAD ＝90°.由DE ⊥AM,BF ⊥AM,可得∠ABF ＝∠DAE.对于△ABF 和△DAE,可由AAS 得到△ABF ≌△DAE,结论可证；(2)设AE ＝x,由(1)中结论可得BF ＝x,DE ＝AF ＝2.利用S 四边形ABED＝S △ABE ＋S △ADE 可列方程求出x 得到EF 的长.在Rt △BFE 中利用勾股定理可求出BE 的长.最后利用正弦的定义可求结果.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形, ∴BA ＝AD,∠BAD ＝90°. ∵DE ⊥AM 于点E,BF ⊥AM 于点F, ∴∠AFB ＝∠DEA ＝90°,∴∠ABF ＋∠BAF ＝90°,∠DAE ＋∠BAF ＝90°, ∴∠ABF ＝∠DAE. 在△ABF 和△DAE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB＝∠DEA，∠ABF＝∠DAE，AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE(AAS ),∴BF ＝AE ； (2)解：设AE ＝x,则BF ＝x,DE ＝AF ＝2. ∵四边形ABED 的面积为24, ∴12·x·x ＋12·x·2＝24, 解得x 1＝6,x 2＝－8(舍去),∴EF ＝x －2＝4. 在Rt △BEF 中,BE ＝42＋62＝213, ∴sin ∠EBF ＝EF BE ＝4213＝21313.解直角三角形的应用例3 (2018·烟台中考)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有效降低交通事故的发生,许多道路在事故易发路段设置了区间测速.如图,学校附近有一条笔直的公路l,其间设有区间测速,所有车辆限速40 km /h .数学实践活动小组设计了如下活动：在l 上确定A,B 两点,并在AB 路段进行区间测速.在l 外取一点P,作PC ⊥l,垂足为点C.测得PC ＝30 m ,∠APC ＝71°,∠BPC ＝35°.上午9时测得一汽车从点A 到点B 用时6 s ,请你用所学的数学知识说明该车是否超速.(参考数据：sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70,sin 71°≈0.95,cos 71°≈0.33,tan 71°≈2.90)【解析】先根据角的正切分别得出AC ＝PC tan ∠APC,BC ＝PC tan ∠BPC,再根据线段的和与差得出AB 的长,继而根据速度＝路程时间,求得该车通过AB 路段的车速.若该车通过AB 路段的车速超过40 km /h ,则该车超速；否则,该车没有超速.【答案】解：在Rt △APC 中,AC ＝PC tan ∠APC ＝30 tan 71°≈30×2.90＝87. 在Rt △BPC 中,BC ＝PC tan ∠BPC ＝30 tan 35°≈30×0.70＝21, 则AB ＝AC －BC ＝87－21＝66, ∴该汽车的实际速度为666＝11(m /s ).又∵40 km /h ≈11.1 m /s ,11<11.1, ∴该车没有超速.1.计算：|－2|－(2 019＋2)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋2 cos 30°－27.解：原式＝2－1＋2＋2×32－33＝3＋3－3 3 ＝3－2 3.2.如图,在△ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC,点D 为边AC 的中点,DE ⊥BC 于点E,连接BD,则tan ∠DBC 的值为( A )A .13B .2－1C .2－ 3D .143.(2018·扬州中考)如图,在平行四边形ABCD 中,DB ＝DA,点F 是AB 的中点,连接DF 并延长,交CB 的延长线于点E,连接AE.(1)求证：四边形AEBD 是菱形；(2)若DC ＝10,tan ∠DCB ＝3,求菱形AEBD 的面积. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥CE,∴∠DAF ＝∠EBF. ∵∠AFD ＝∠BFE,AF ＝FB, ∴△AFD ≌△BFE,∴AD ＝BE.∵AD ∥EB,∴四边形AEBD 是平行四边形. 又∵DB ＝DA,∴四边形AEBD 是菱形； (2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴CD ＝AB ＝10,AB ∥CD, ∴∠ABE ＝∠DCB,∴tan ∠ABE ＝tan ∠DCB ＝3. ∵四边形AEBD 是菱形, ∴AB ⊥DE,AF ＝FB,EF ＝DF, ∴tan ∠ABE ＝EFBF ＝3.∵BF ＝102,∴EF ＝3102,∴DE ＝310. ∴S 菱形AEBD ＝12AB·D E ＝1210×310＝15.4.如图,一块三角形空地上种植草皮绿化,已知AB ＝20 m ,AC ＝30 m ,∠A ＝150°,草皮的售价为a 元/m 2,则购买草皮至少需要( C )A .450a 元B .225a 元C .150a 元D .300a 元(第4题图)(第5题图)5.一个公共房门前的台阶高出地面 1.2 m ,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列关系或说法正确的是( B )A .斜坡AB 的坡度是10° B .斜坡AB 的坡度是tan 10°C .AC ＝1.2 tan 10° mD.AB＝1.2cos 10°m6.(2018·重庆中考A卷)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7 m,升旗台坡面CD的坡度i＝1∶0.75,坡长CD＝2 m,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1 m,则旗杆AB的高度约为(参考数据：sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.6)( B )A.12.6 mB.13.1 mC.14.7 mD.16.3 m。

中考复习-锐角三角函数和解直角三角形

探究提高在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题．
知能迁移3 一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得 C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行 40m到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．(参考 3 数值：tan 31°≈ ) 5
；
(2)角与角的关系：
(3)边与角的关系：
1 2 sinA＝cosB＝a ，cosA＝sinB＝ b ； c c
；
tanA＝b ，tanB＝ a
a
b
1．正确理解三角函数的概念书写三角函数时，若锐角用一个大写字母或者一个小写希腊字母表示的，表示它的正弦时，习惯省略角的符号，如sin A；若锐角是用三个大写字母或数字表示的，表示它的正弦时，不能省略角的符号，如sin∠ABC，余弦和正切的写法同理．由定义可以看出，锐角A的正弦、余弦、正切都是它所在直角三角形的两边的比，因此都是正数；因为锐角A 的取值范围是0<∠A<90°，则三角函数的取值范围是0<sin A<1,0<cos A<1，tan A>0；当∠A确定时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应．
探究提高此类问题常与仰角、俯角等知识相关，通常由视线、水平线、铅垂线构成直角三角形，再利用边与角之间存在的三角函数式，变形求得物体高度．
知能迁移2 (2011· 潜江)五月石榴红，枝头鸟儿歌．一只小鸟从石榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处．从A处看房屋 3 顶部C处的仰角为30°，看房屋底部D处的俯角为45°，石榴树与该房屋之间的水平距离为3 m，求出小鸟飞行的距离AC和房屋的高度CD.

中考数学复习专题(五)解直角三角形的实际应用(含答案)

（湖南株洲第23题）如图示一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A 测得正前方的桥的左端点P 的俯角为α其中tanα=23，无人机的飞行高度AH 为5003米，桥的长度为1255米． ①求点H 到桥左端点P 的距离；②若无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这架无人机的长度A B ．【答案】①求点H 到桥左端点P 的距离为250米；②无人机的长度AB 为5米．②设BC ⊥HQ 于C ．在Rt △BCQ 中，∵BC =AH =5003，∠BQC =30°， ∴CQ =tan 30BC︒=1500米，∵PQ =1255米，∴CP =245米，∵HP =250米，∴AB =HC =250﹣245=5米．答：这架无人机的长度AB 为5米．.考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．（内蒙古通辽第22题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA 的位置时俯角030=⊥EOA ，在OB 的位置时俯角060=∠FOB .若EF OC ⊥，点A 比点B 高cm 7.求（1）单摆的长度（7.13≈）；（2）从点A 摆动到点B 经过的路径长（1.3≈π）.【答案】（1）单摆的长度约为18.9cm（2）从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm则在Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP=12 x，在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ=32x，由PQ=OQ﹣OP 3﹣12x=7，解得：x3（cm），.答：单摆的长度约为18.9cm；（2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB3，∴∠AOB=90°，则从点A摆动到点B经过的路径长为907+73180π⨯（）≈29.295，答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm．考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、轨迹.（湖南张家界第19题）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD 两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）【答案】4.2m．考点：解直角三角形的应用．（海南第22题）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度B C．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）【答案】水坝原来的高度为12米．.考点：解直角三角形的应用，坡度.（乌鲁木齐第21题）一艘渔船位于港口A的北偏东60方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，,B C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救≈≈≈，结果取整数）援的艇的航行速度.(sin370.6,cos370.8,3 1.732【答案】救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．【解析】试题分析：辅助线如图所示：BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，在Rt△ABD中，根据勾股定理可求AD，在Rt△BCE中，根据三角函数可求CE，EB，在Rt△AFC中，根据勾股定理可求AC，再根据路程÷时间=速度求解即可．试题解析：辅助线如图所示：答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题（浙江省绍兴市）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）【答案】（1）38°；（2）20.4m．【解析】试题分析：（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；（2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．试题解析：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°，∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；（2）由题意得：CE=AB=30m，在Rt△CBE中，BE=CE•tan20°≈10.80m，在Rt△CDE中，DE=CD•tan18°≈9.60m，∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，则教学楼的高约为20.4m．考点：1．解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2．应用题；3．等腰三角形与直角三角形．（·湖北随州·8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．解：如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×=810，∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴EF=BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，∵tan∠AEF=，∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像AB的高度为95尺．2. （·吉林·7分）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°，求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）解：如图，∠B=α=43°，在Rt△ABC中，∵sinB=，∴AB=≈1765（m）．答：飞机A与指挥台B的距离为1765m．3.（·江西·8分）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）解：（1）作OC⊥AB于点C，如右图2所示，由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，∴∠BOC=9°∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm，即所作圆的半径约为3.13cm；（2）作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示，∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE，∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°，∴∠OAB=81°，∠OAD=72°，∴∠BAD=9°，∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm．4. （·辽宁丹东·10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48°在Rt△ADB中，tan64°=，则BD=≈AB，在Rt△ACB中，tan48°=，则CB=≈AB，∴CD=BC﹣BD即6=AB﹣AB解得：AB=≈14.7（米），∴建筑物的高度约为14.7米．5.（·四川宜宾）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A 点的仰角β=60°，求树高AB（结果保留根号）解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=，则CF====x，在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），在直角△ABF中，tan∠AEB=，则BE===（x+4）米．∵CF﹣BE=DE，即x﹣（x+4）=3．解得：x=，则AB=+4=（米）．答：树高AB是米．6.（·湖北黄石·8分）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．（·湖北荆门·6分）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小和小明同时分别从A处和B 处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小的行走速度为米/秒．若小明与小同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设AD =x 米，小明的行走速度是a 米/秒， ∵∠A =45°，CD ⊥AB ，∴AD =CD =x 米， ∴AC =x ．在Rt △BCD 中， ∵∠B =30°， ∴BC ===2x ，∵小的行走速度为米/秒．若小明与小同时到达山顶C 处，∴=，解得a =1米/秒．答：小明的行走速度是1米/秒．8.（·四川内江）(9分)如图，禁渔期间，我渔政船在A 处发现正北方向B 处有一艘可疑船只，测得A ，B 两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．[考点]三角函数、解决实际问题。

中考数学复习：锐角三角函数及解直角三角形

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基础全练
挑战高分
中考创新练
17.(2022·四川内江)如图所示,九(1)班数学兴趣小组为了测量河对岸的古
树A,B之间的距离,他们在河边与AB平行的直线l上取相距60 m的C,D
两点,测得∠ACB=15°,∠BCD=120°,∠ADC=30°.
(1)求河的宽度;
(2)求古树A,B之间的距离.(结果保留根号)
锐角三角函数及解直角三角形
挑战高分
基础全练
中考创新练
综合模拟练
基础全练
1.(2022·广西北部湾)如图,某博物馆大厅电梯的截面图中,AB的长为12
米,AB与AC的夹角为α,则高BC是( A )
A.12sin α米
12
C.
米
sin
B.12cos α米
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D.
米
cos
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−45
22°=
≈0.4,

5
5
5
∴BF≈ (x-45),∴ x+60= (x-45),解得x=92,
2
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2
故大楼MN的高度为92米.
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基础全练
挑战高分
中考创新练
16.(2022·浙江舟山)小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1,纸飞机机尾
的横截面是一个轴对称图形,其示意图如图2.已知AD=BE=10 cm,CD=
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中考数学思维方式讲义第5讲解直角三角形专题

第5讲解直角三角形专题【考点透视】一、锐角三角函数与解直角三角形：1.锐角三角函数的槪念，通过画图找出直角三角形中边角关系：2.准确经历30°、45。

、60°的三角函数值并进行讣算：已知三角函数值求相应锐角：3.三角函数与直角三角形的相关应用.二、几何直线型：一、利用有关三角形、平行四边形、特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）、梯形等的性质、判定及其相关结论进行相关计算推理；二、解决几何图形的三大变换问题。

【思想方式】一、本专题所研究的锐角三角函数，所涉及的角都是锐角，研究如此的角，能够与直角三角形直接联系起来。

利用直角三角形的边角关系求图形中的某些边或角时，都是通过数值讣算，这是数形结合的一种方式。

因此在分析问题时，最好画出它的平面或截而示用意，依照图中边角关系去进行il•算, 便于解答、避免犯错。

有些图形尽管不是直角三角形，但可添加适当的辅助线耙它们分割成一些直角三角形和矩形，如等腰三角形、梯形等问题。

从而能够运用直角三角形的有关知识去解决这些图形中求边角的问题。

二、“一招制胜”一一分离图形法【出色知识】考点1:有关三角函数的重要概念【例1】（1）如下图正方形网格中，每一个小正方形的边长都相等，点A. B. G Q都在这些小正方形的极点上，线段M与Q相交于P、那么tanZBPD的值为________________ 。

（2）已知△磁中，ZA. Z万是锐角，且sinJ=tan5=2, AB二29cm,那么- _______ 变式训练^1.（泰安市）直角三角形纸片的两直角边长别离为6, 8,现将△ A3C如图那样折叠，使点A与点B重合, 折痕为DE,那么tan ZCBE的值是（）242.如图，已知△MG AB=AC=1. ZA=36° , ZABC的平分线別交M于点D,那么肋的长是,cosA的值是・（结果保留根号）值。

考点2:有关三角函数的计算【例2】已知“是锐角，且sin( a +15J- *计算爲-4cosa-(兀-3.14)° + tan a+ [£ j的变式训练：计算：(-1)2OH -(If3 + (cos68 +-)°+|3>/3-8sin602 n I考点3:锐角三角函数之间的关系及三角函数增减性【例3】若0° <"<45°，且sin "cos"二仝匕，那么sin"的值为_________________16 变式训练：1.已知为锐角，以下结论：< 1 > sina + cosa = 1 〈2>若是a >45。

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题（含答案）知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数正弦: sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦: cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切: tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.来源:学&科&网]2.特殊角的三角函数值[来度数三角函数[来源:Z 。

xx 。

]30°[来源:学#科#网] 45° 60°sinA1222 32 cosA32 2212tanA 331 33、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）变式练习1：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为注意：根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.[(4，3)，那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【解析】D 如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.变式练习2：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则sinA ＝________．【解析】∵在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22AB BC +＝32＋42＝5，∴sin A ＝BC AC ＝45. 变式练习3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝( D )A ．4B ．6C ．8D ．10变式练习4：如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠1＝__32__. ,知识点二：解直角三角形 1.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； (3)边角之间的关系：,tan ,cos ,sin ;,tan ,cos ,sin abB c a B c b B b a A c b A c a A ======（sinA＝=cosB=ac，c osA＝sinB=bc，tanA＝ab.）变式练习1：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.变式练习2：如图，Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI ＝90°.若AC＝a，求CI的长．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＝60°，∵AC＝a，∴CD＝AC·sin60°＝32a，依此类推CH＝(32)3a＝338a，在Rt△CHI中，∵∠CHI＝60°，∴CI＝CH·tan60°＝338a×3＝98a.变式练习3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )A.433B．4 C．8 3 D．4 3,灵活选择解直角三角形的方法顺口溜：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.变式练习4：如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了__100__米．, ,变式练习5：一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为___40＋4033___海里/小时．知识点三：解直角三角形的应用1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）2.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．注意：解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解变式练习1：如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10 m ，到达B 点，点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈ 1.732)解：如解图，由题意可知∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60°，AB ＝10 m ，∵∠CBD ＝∠CAB ＋∠BCA ，∴∠BCA ＝∠CBD －∠CAB ＝60°－30°＝30°＝∠CAB ， ∴BC ＝AB ＝10 m ．在Rt △BCD 中，∵sin ∠CBD ＝CDBC，∴CD ＝BC ·sin ∠CBD ＝10×sin60°＝10×32＝53≈5×1.732≈8.7 m ．答：这棵树CD 的高度大约是8.7 m ．变式练习2：如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB (结果取整数；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)．解：设AB ＝x 米，在Rt △ABD 中，∠D ＝26.6°，∴BD ＝tan 26.6x≈2x ，在Rt △ABC 中，tan α＝AB BC ＝34，∴BC ＝43x ，∵BD －BC ＝CD ，CD ＝200，∴2x－43x＝200，解得x＝300.答：小山岗的高AB约为300米．变式练习3：如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B 处测得M的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m，求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：如解图，过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝30°，AB＝3.5 m，设MH＝x m，则AH＝x m，BH＝x·tan30°＝33x≈0.58x m，∴AB＝AH－BH＝x－0.58x＝0.42x＝3.5 m，解得x≈8.3，则MN＝x＋1＝9.3 m.答：旗杆MN的高度约为9.3 m.变式练习4：小明去爬山，如图，在山脚看山顶的角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )A. (600－2505)米B. (6003－250)米C. (350＋3503)米D. 500 3 米【解析】B如解图，∵BE∶AE＝5∶12，∴设BE＝5k，AE＝12k，∴AB＝2()5K＋(12k)2＝13k，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13，∵AB＝1300米，∴AE＝1200米，BE ＝500米，设EC＝FB＝x米，∵∠DBF＝60°，∴DF＝3x米，则DC＝(3x＋500)米，又∵∠DAC＝30°，∴AC＝3CD，即1200＋x＝3(3x＋500)，解得x＝600－2503，∴DF＝3x＝(6003－750)米，∴CD＝DF＋CF＝(6003－250)米，即山高CD为(6003－250)米．变式练习5：某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)解：如解图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，过点B作BH⊥水平线交水平线于点H，由题意∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32米，∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16米，BD＝AB·cos30°＝32×32＝163米，∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)米，∴BH＝BC·sin30°＝(16＋163)×12＝(8＋83)米．答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83)米．变式练习6：如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位，其中3≈1.732) 解：∵CD∥BE，∴∠EBC＋∠DCB＝180°.∵∠ABE＝60°，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝90°.…………(4分)由题知，BC＝80×12＝40(海里)，∠ACB＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝403≈40×1.732≈69.3(海里)．答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里．。

中考数学复习专题课件锐角三角函数与解直角三角形的实际应用

（D ） A．1.59 m B．2.07 m C．3.55 m D．3.66 m
6．(2021·遵义)小明用一块含有 60°(∠DAE＝60°)的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度 AB 为 1.62 m，小明与树之间的水平距离 BC 为 4 m，则这棵树的高度约为 88..55 m.(结果精确到 0.1 m，参考数据： 3≈1.73)
(1)证明：∵AB＝AC＝AD， ∴点 B，C，D 在以点 A 为圆心，BD 为直径的圆上． ∴∠BCD＝90°，即 DC⊥BC.
(2)解：过点 E 作 EF⊥BC，垂足为 F.
在 Rt△BCD 中，
BC cos B＝BD，BC＝1.8.
BC
1.8
∴BD＝cos B＝cos 55°≈3.16.
∴BE＝BD＋DE≈3.16＋2＝5.16.
13．(2022·安顺)随着我国科学技术的不断发展，5G 移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现 5G 网络全覆盖，2021～2025 年拟建设 5G 基站 3 000 个，如图，在斜坡 CB 上有一建成的 5G 基站塔 AB，小明在坡脚 C 处测得塔顶 A 的仰角为 45°，然后他沿坡面 CB 行走了 50 m 到达 D 处，D 处离地平面的距离为 30 m 且在 D 处测得塔顶 A 的仰角 53°.(点 A，B，C，D，E 均在同一平面内， CE 为地平线，参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43) (1)求坡面 CB 的坡度； (2)求基站塔 AB 的高．
4 10＋4a ∴3＝ 4a ，解得 a＝7.5， ∴AB＝AF－BF＝10＋a＝17.5 m.
答：基站塔 AB 的高为 17.5 m.