新人教版八年级数学上册角平分线的性质和判定复习题试卷

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人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题(含答案) (90)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题（含答案)如图1，直线AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G和点H 分别是直线AB和CD上的动点，作直线GH，EI平分∥AEF，HI平分∥CHG，EI与HI交于点I.（1）如图，点G在点E的左侧，点H在点F的右侧，若∠AEF=70°，∠CHG=60°，求∠ETH的度数.（2）如图，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，若∠AEF=α，∠CHG=β，其他条件不变，求∠ETH的度数.（3）如图，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，∠GHC的平分线HJ交∠KEG的平分线EJ于点J.其他条件不变，若∠AEF=α，∠CHG=β，求∠EJH的度数.【答案】（1）65°；（2）1122αβ+；（3）1118022αβ︒--. 【解析】【分析】（1）过点I 作IM ∥AB ，由角平分线的性质得到∠AEI=35°，∠CHI=30°，根据平行线的性质，由IM ∥AB 得到∠MIE=∠AEI=35°，由AB ∥CD ，IM ∥AB可得∠MIH=∠CHI=30°，再由∠EIH=∠MIE+∠MIH 计算即可得到答案；（2）过点I 作IM ∥AB ，由角平分线的性质得到∠AEI=1α2，∠CHI=1β2，根据平行线的性质由IM ∥AB 可得∠MIE=∠AEI=1α2，由AB ∥CD ，IM ∥AB 得到IM ∥CD ，结合题意得到∠EIH=∠MIE+∠MIH 计算即可得到答案；（3）过点J 作MN ∥AB ，由角平分线的性质得到∠JEG=1α2，∠JHF=1β2，根据平行线的性质由MN ∥AB 得到∠MJE=∠JEG =1α2，由AB ∥CD ，MN ∥AB 得到MN ∥CD ，结合题意得到∠EJH=180°-∠MJE-∠NJH ，计算即可得到答案.【详解】（1）解：过点I 作IM ∥AB∵EI 平分∠AEF ，HI 平分∠CHG ，∠AEF=70°，∠CHG=60°，∴∠AEI=35°，∠CHI=30°∵IM ∥AB∴∠MIE=∠AEI=35°∵AB∥CD，IM∥AB∴IM∥CD∴∠MIH=∠CHI=30°∴∠EIH=∠MIE+∠MIH=35°+30°=65°（2）解：过点I作IM∥AB∵EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，∠AEF=α，∠CHG=β，∴∠AEI=1α2，∠CHI=1β2∵IM∥AB∴∠MIE=∠AEI=1α2∵AB∥CD，IM∥AB ∴IM∥CD∴∠MIH=∠CHI=1β2∴∠EIH=∠MIE+∠MIH=1α2+1β2（3）解：过点J作MN∥AB∵∠AEF=α∴∠KEB=α∵EJ 平分∠KEB ，HJ 平分∠CHG ，∠KEB =α，∠CHG=β，∴∠JEG=1α2，∠JHF=1β2 ∵MN ∥AB∴∠MJE=∠JEG =1α2∵AB ∥CD ，MN ∥AB∴MN ∥CD∴∠NJH=∠CHJ=1β2∴∠EJH=180°-∠MJE-∠NJH=180°-1α2-1β2. 【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的性质的综合使用.92．材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”.解决问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠，B ，C ∠之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：Ⅰ.如图②，把一块三角尺DEF 放置在ABC △上，使三角尺的两条直角边DE ，DF 恰好经过点B ，C ，若40A ∠=︒，则ABD ACD +=∠∠_____︒.Ⅱ.如图③，BD 平分ABP ∠，CD 平分ACP ∠，若40A ∠=︒，130BPC ∠=︒，求BDC ∠的度数.【答案】（1）详见解析；（2）50︒；BDC ∠=85︒【解析】【分析】（1）连接AD 并延长至点F ，根据三角形外角性质即可得到BDC ∠与A ∠，B ，C ∠之间的数量关系；（2）Ⅰ、由（1）可得，BDC ABD ACD A ∠=∠+∠+∠，再根据40A ∠=︒，90D ∠=︒，即可得出ABD ACD ∠+∠的度数；Ⅱ、根据（1），可得BPC BAC ABP ACP ∠=∠+∠+∠，BDC BAC ABD ACD ∠=∠+∠+∠，再根据BD 平分ABP ∠，CD 平分ACP ∠，即可得出BDC ∠的度数.【详解】解：（1）如图①，连接AD 并延长至点F ，根据外角的性质，可得BDF BAD B ∠=∠+∠，CDF C CAD ∠=∠+∠，又BDC BDF CDF ∠=∠+∠，BAC BAD CAD ∠=∠+∠，BDC A B C ∴∠=∠+∠+∠；（2）Ⅰ.由（1），可得BDC ABD ACD A ∠=∠+∠+∠；又40A ∠=︒，90D ∠=︒，904050ABD ACD ∴∠+∠=︒-︒=︒，故答案为：50︒；Ⅱ.由（1），可得BPC BAC ABP ACP ∠=∠+∠+∠，BDC BAC ABD ACD ∠=∠+∠+∠，1304090ABP ACP BPC BAC ∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，又BD 平分ABP ∠，CD 平分ACP ∠，()1452ABD ACD ABP ACP ∴∠+∠=∠+∠=︒， 454085BDC ∴∠=︒+︒=︒.【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形外角性质及角平分线的定义的运用，熟知三角形的内角和等于180°、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键.93．已知：如图，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 、G 分别是OA 、OB 上的点，且PF ＝PG ，DF ＝EG ．（1）求证：OC 是∠AOB 的平分线．（2）若PF ∥OB ，且PF ＝4，∠AOB ＝30°，求PE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）PE ＝2．【解析】【分析】（1）利用“HL ”证明Rt △PFD 和Rt △PGE 全等，根据全等三角形对应边相等可得PD ＝PE ，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；（2）在Rt △PFD 中，求出PD 即可解决问题.【详解】（1）证明：在Rt △PFD 和Rt △PGE 中，PF PG DF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △PFD ≌Rt △PGE （HL ），∴PD ＝PE ，∵P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴OC 是∠AOB 的平分线；（2）∵PF ∥OB ，∠AOB ＝30°，∴∠PFD ＝∠AOB ＝30°，在Rt △PDF 中，PD ＝12PF ＝2，∴PE ＝PD ＝2．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，熟记性质并求出全等三角形是解题的关键．94．如图，D ，E ，F ，G ，H ，I 是三角形ABC 三边上的点，连结EI ，//EF BC ，//GH AC ，//DI AB ．（1）判断GHC ∠与FEC ∠是否相等，并说明理由．（2）若EI 平分FEC ∠，56C ∠=︒，50B ∠=︒，求EID ∠的度数．【答案】（1）相等，理由见解析；（2）12∠=︒EID【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠FEC ＋∠C ＝180°，∠GHC ＋∠C ＝180°，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠FEC ＋∠C ＝180°，求得∠FEC ＝180°−∠C＝124°，根据角平分线的定义得到∠FEI ＝12∠FEC ＝62°，由平行线的性质得到∠DIC ＝∠B ＝50°，即可得到结论．【详解】（1）GHC FEC ∠=∠，理由：//EF BC ，180FEC C ∴∠+∠=︒，//GH AC ，180GHC C ∴∠+∠=︒，GHC FEC ∴∠=∠；（2）//EF BC ，56C ∠=︒180FEC C ∴∠+∠=︒，180124∴∠=︒-∠=︒FEC C EI 平分FEC ∠，1622∴∠=∠=︒FEI FEC 62∴∠=∠=︒FEI EIC//DI AB ，50B ∠=︒50∴∠=∠=︒DIC B12∴∠=∠-∠=︒EID EIC DIC【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，同旁内角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．95．如图，在△ABC 中，∠BAC=20°，∠ABC=30°.（1）画出BC边上的高AD和角平分线AE；（2）求∠EAD的度数.【答案】（1）见解析；（2）50°【解析】【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，画出的这条线段就是三角形的高，注意钝角三角形较短边上的高在三角形的外部，再结合尺规作角平分线的方法即可解答第（1）问；（2）根据已知条件，在△ABD中运用三角形内角和定理可得到∠BAD的度数，然后由角平分线的定义可得∠BAE=10°，再结合∠EAD=∠BAD-∠BAE即可得到答案.【详解】（1）如图所示，AD为BC边上的高，AE为角平分线.（2）∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°.∵在△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，∴∠BAD=180°-90°-30°=60°.∵∠BAC=20°，AE为∠BAC的平分线，∴∠BAE=10°.∵∠BAD=60°，∠BAE=10°，∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=60°-10°=50°.【点睛】此题考查三角形的角平分线、中线和高，解题关键在于掌握作图法则.96．（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明：（2）如图2，在（1）的结论下，AB的下方点P满足∠ABP=30︒，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP-∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你做出正确的选择并求值．【答案】（1）见详解；（2）②正确，∠MGN的度数为15°，理由见详解．【解析】【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠1=∠2，可得∠2=∠BAC,进而即可得到结论；（2）由角平分线的定义和三角形外角的性质，可得∠MGP=12（∠BPG+∠B），由PQ∥GN，得∠NGP=∠GPQ=12∠BPG，进而由∠MGN=∠MGP-∠NGP，即可得到结论．【详解】（1）AB∥CD，理由如下：∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠BAC，∵∠1=∠2，∴∠2=∠BAC,∴AB∥CD；（2）②∠MGN的度数不变是正确的，理由如下：∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，∴∠GPQ=12∠BPG，∠MGP=12∠DGP，∵AB∥CD，∴∠1=∠DGP，∵∠1=∠BPG+∠B，∴∠MGP=12∠1=12（∠BPG+∠B），∵PQ∥GN，∴∠NGP=∠GPQ=12∠BPG，∴∠MGN=∠MGP-∠NGP=12（∠BPG+∠B）-12∠BPG=12∠B=12×30°=15°，∴∠MGN的度数不变，度数为15°．【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理与平行线的性质和判定定理，理清角的和差倍分关系，是解题的关键．97．已知：在△ABC中,∠ABC=60°,CD平分∠ACB交AB于点D,点E在线段CD上(点E不与点C．D重合)，且∠EAC=2∠EBC．(1)如图1,若∠EBC=27°,且EB=EC,则∠DEB=___°,∠AEC=___°.(2)如图2，①求证：AE+AC=BC；②若∠ECB=30°，且AC=BE，求∠EBC的度数。

人教版八年级数学上册角平分线的性质(含答案)

角平分线的性质一、选择题1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF.给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AB=3BF，其中正确的结论共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2.如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E，EG ⊥BC于G，下列结论正确的是（）A．∠C=∠ABC B．BA=BG C．AE=CE D．AF=FD3.如图，已知OQ平分∠AOB，点P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，点M为OB上一点，若∠PNO+∠PMO=180°，则PM和PN的大小关系是（）A.PM＞PNB.PM＜PNC.PM=PND.不能确定4.如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC．若PD=PE=PF，∠BAC=70°，则∠BPC的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°5.如图,△ABC的角平分线CD、BE相交于F,∠A=90°,EG∥BC,且CG⊥EG于G.下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠CGE =2∠DFB.其中正确的结论是（）A.只有①③B.只有①③④C.只有②④D.①②③④6.如图，BD为∠ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD的延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足.下列结论：①∠ABE=∠ACE；②∠BCE+∠BCD=180°；③AE=EC；④BE+BD=2BF，其中正确的是（）A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④二、填空题7.如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD=5，则△ABC的面积= .8.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S=7,DE=2,AB=4,则AC长是．△ABC9.如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE= cm．10.如图，在△ACB中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的角平分线交于点D，AC=3，BC=4，则点D到AB的距离为.三、解答题11.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B.12.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC.求证：∠A+∠C=180°．参考答案1.答案为：A；2.B3.C4.C5.B6.答案为：D.7.答案为：50.8.答案为3．9.答案为：2．10.答案为：1.11.证明:延长AC至E,使CE=CD,连接ED∵AB=AC+CD∴AE=AB∵AD平分∠CAB∴∠EAD=∠BAD∴AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD∴△ADE≌△ADB∴∠E=∠B且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B即∠C=2∠B12.证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．。

【初中数学】人教版八年级上册第1课时角的平分线的性质(练习题)

人教版八年级上册第1课时角的平分线的性质(348) 1.如图，已知∠1=∠2，BA<BC，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180∘2.证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，. 求证：．请你补全已知和求证，并写出证明过程．3.如图，已知AD//BC，∠D=90∘．(1)如图①，若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，CD经过点P．试问：P是线段CD的中点吗？为什么？(2)如图②，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB=35∘，求∠PAD的度数4.如图OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）A.PN<3B.PN>3C.PN≥3D.PN≤35.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm6.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长为（）A.3B.4C.6D.57.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是．8.如图，在△ABC中，两条外角平分线交于点P，PM⊥AC交AC的延长线于点M．若PM=6cm，则点P到AB的距离为．9.如图，已知AB//CD，O是∠BAC与∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC于点E，OE=2，则AB与CD之间的距离为．10.如图，已知点B，D分别在∠DAB的两边上，C为∠DAB的内部的一点，且AB=AD，DC=BC，CE⊥AD交AD的延长线于点E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．试判断CE与CF是否相等，并说明理由．11.如图，利用尺规作∠AOB的平分线OC，其作法如下：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点②分别以D，E为圆心，以大于12C；③画射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．这样作图的原理是一种三角形全等的判定方法，这种判定方法是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS12.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C,D，则下列结论错误的是（）A.PC=PDB.∠CPD=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=OD13.求证：直角三角形的两锐角互余14.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠CAB=50∘，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB,AC于点E,F；EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；②分别以点E,F为圆心，大于12③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A.40∘B.55∘C.65∘D.75∘15.如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径画圆弧，分别交AB，AC于E，EF的长为半径画圆弧，两条圆弧交于点G，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12作射线AG交CD于点H．若∠C=140∘，则∠AHC的大小是（）A.20∘B.25∘C.30∘D.40∘参考答案1.【答案】:证明：如图，过点P 作PE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ． ∵∠1=∠2，PF ⊥BC 于点F ，∴PE =PF ，∠PEA =∠PFC =90∘．在Rt △PEA 与Rt △PFC 中，PA =PC ，PE =PF ，∴Rt △PEA ≌Rt △PFC(HL )，∴∠PAE =∠PCB ．∵∠PAE +∠BAP =180∘，∴∠PCB +∠BAP =180∘．2.【答案】:解：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D,E 求证：PD =PE证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO =∠PEO =90∘．在△PDO 和△PEO 中，{∠PDO =∠PEO ，∠AOC =∠BOC ，OP =OP.∴△PDO ≌△PEO(AAS )，∴PD =PE .3(1)【答案】解：P 是线段CD 的中点．理由如下：如图，过点P 作PE ⊥AB 于点E ．∵AD//BC ，∠D =90∘，∴∠C =180∘−∠D =90∘，即PC ⊥BC ．∵∠DAB 的平分线与∠CBA 的平分线交于点P ，∴PD =PE ，PC =PE ，∴PC=PD，∴P是线段CD的中点.(2)【答案】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E．∵AD//BC，∠D=90∘，∴∠C=180∘−∠D=90∘，即PC⊥BC．在△PBE与△PBC中，{∠PEB=∠C，∠PBE=∠PBC，PB=PB.∴△PBE≌△PBC(AAS)，∴∠EPB=∠CPB=35∘，PE=PC．∵PC=PD，∴PD=PE．在Rt△PAD与Rt△PAE中，{PA=PA，PD=PE∴Rt△PAD≌Rt△PAE(HL)，∴∠APD=∠APE．∵∠APD+∠APE=180∘−2×35∘=110∘，∴∠APD=55∘，∴∠PAD=90∘−∠APD=35∘．4.【答案】:C【解析】:作PM⊥OB于点M．∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，∴PM=PE=3，∴PN≥3. 故选 C5.【答案】:B【解析】:因为BE平分∠ABC，∠ACB=90°，DE⊥AB于点D，所以DE=EC，AE+DE=AE+EC=AC=3cm.故选 B.6.【答案】:A【解析】:如图，过点D作DF⊥AC于点F．∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2.由图可知S△ABC=S△ABD+S△ACD，即12×4×2+12AC×2=7，解得AC=3.故选A．7.【答案】:12【解析】:解：∵∠C=90∘，∴AC⊥CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD．∵BC=9，BE=3，∴△BDE的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12.8.【答案】:6cm【解析】:如图，过点P作PN⊥BC于点N，PQ⊥AB,交AB的延长线于点Q．∵PB，PC分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，PM⊥AC,∴PN=PM，PQ=PN，∴PQ=PM．∵PM=6cm，∴PQ=6cm，即点P到AB的距离为6cm．9.【答案】:4【解析】:如图，过点O作MN，使MN⊥AB于M，交CD于N．∵AB//CD，∴MN⊥CD．∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，∴OM=OE=2.∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，∴ON=OE=2，∴MN=OM+ON=4，即AB与CD之间的距离是4.10.【答案】:解：CE=CF．理由：∵AD=AB，DC=BC，AC=AC，∴△ACD≌△ACB，∴∠DAC=∠BAC，∴AC为∠EAF的平分线．∵CE⊥AE，CF⊥AF，∴CE=CF(角平分线上的点到角两边的距离相等).11.【答案】:A12.【答案】:B【解析】:∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，∴PC=PD，故A项正确．在Rt△OCP与Rt△ODP中，∵OP=OP,PC=PD,∴Rt△OCP≌Rt△ODP，∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C，D两项正确．不能得出∠CPD=∠DOP，故B项错误．故选B13.【答案】:已知：在△ABC中，∠C=90∘．求证：∠A+∠B=90∘．证明：∵∠A+∠B+∠C=180∘，而∠C=90∘，∴∠A+∠B=90∘，即∠A与∠B互余.14.【答案】:C【解析】:根据作图方法可得AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50∘，∠CAB=25∘，∴∠CAD=12∵∠C=90∘，∴∠CDA=90∘−25∘=65∘.故选C.15.【答案】:A【解析】:解：由题意可得AH平分∠CAB．∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180∘，∠HAB=∠AHC．∵∠ACD=140∘，∴∠CAB=40∘．∵AH平分∠CAB，∴∠HAB=20∘，∴∠AHC=20∘.。

八年级数学上册《第十二章角平分线的性质》同步练习题及答案(人教版)

八年级数学上册《第十二章角平分线的性质》同步练习题及答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．点P在∠A0B的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是0B边上的任意一点，则下列不符合题意的是( )A．PQ≤5 B．PQ<5 C．PQ≥5 D．PQ>52．下列条件不能证明两个直角三角形全等的是（）A．斜边和一直角边对应相等B．一直角边和一角对应相等C．两条直角边对应相等D．斜边和一锐角对应相等3．如图，在三角形ABC中∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD=2CD，BC=6cm则点D到AB的距离为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm4．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）5．如图，O是Rt△ABC的角平分线的交点，OD∥AC，AC=5，BC=12，OD等于（）A．2 B．3 C．4 D．16．如图，△ABC的面积为8，AD为BC边上的中线，E为AD上任意一点，连接BE，CE，图中阴影部分的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2 B．9：4 C．2：3 D．4：98．如图AB∥CD，OP⊥CD交AB于点P，OF平分∠AOD，OE⊥OF，∠COE=20°有以下结论：①∠AOF=∠DOF；②∠BAO=40°；③∠POF=∠COE；④∠AOP=2∠COE．其中正确的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二、填空题9．如图,在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE,AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE．点C在线段DE上．若AD=5，BE=2，则AB的长是．10．如图，AD是△ABC的角平分线，AB=3,AC=2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为.11．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝．12．如图AD//BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE=9，则两平行线AD与BC间的距离为.13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝10cm，则△DEB的周长是cm.三、解答题14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE=∠CDF．求证：AD平分∠BAC．15．如图，已知DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AE=CF，DA=DC．求证：AD是∠BAC的平分线．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，若AC=5，BC=12．求点D到AB 的距离．17．如图,已知直线AB//EF,AB//CD,∠ABE=50°,EC平分∠BEF,求∠DCE的度数.18．如图，在△ABC中∠A+∠ABC=90°，点D在AC上，点E在AB上，ED的延长线交BC的延长线于点F，且△AED≌△FCD．（1）求证：BD是△ABC的角平分线；（2）若∠BDC=70°，求∠A的度数．19．如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．参考答案1．C2．B3．C4．D5．A6．C7．A8．A9．710．1011．100°12．1813．1014．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°∵D 是BC 的中点∴BD ＝CD在△BED 和△CFD 中{∠BDE =∠CDF∠BED =∠CFD BD =CD∴△BED ≌△CFD （AAS ）∴DE ＝DF∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于点F∴点D 在∠BAC 的角平分线上∴AD 平分∠BAC ．15．证明：∵DE ⊥AE ，DF ⊥AC∴∠E=∠DFC=90°在Rt △ADE 和Rt △CDF 中∴Rt△ADE≌Rt△CDF∴DE=DF∴DF平分∠EAC．16．解：如图，过点D作DE⊥AB于E∵AC=5，BC=12∴AB= =13∵∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线∴CD=DE在△ACD和△AED中∴△ACD≌△AED（HL）∴AE=AC=5BE=AB﹣AE=13﹣5=8设DE=x则BD=12﹣x在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2∴x2+82=（12﹣x）2解得x= ．答：点D到AB的距离是．17．解：∵AB//EF，∠ABE=50°（已知）∴∠ABE=∠BEF=50°（两直线平行，内错角相等）∵EC平分∠BEF（已知）∠BEF=25°（角平分线的意义）∴∠CEF= 12∵AB//EF,AB//CD（已知）∴CD//EF（平行线的传递性）∴∠CEF+∠DCE=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠DCE=180-25=155°（等式性质）18．（1）证明：∵∠A+∠ABC=90°∴AC⊥BF∵△AED≌△FCD∴∠DEA=∠DCF=90°，DE=DC又EF⊥AB∴BD平分∠ABC∴BD是△ABC的角平分线；（2）解：∵∠BDC=70°∴∠DBC=20°∵BD平分∠ABC∴∠ABC =2 ∠DBC=40°∴∠A =90°- ∠ABC =50°．19．（1）解：∵AM∥BN∴∠A+∠ABN=180°∵∠A=60°∴∠ABN=120°∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN∴∠CBP= 12∠ABP,∠DBP= 12∠NBP∴∠CBD=∠CBP+∠DBP= 12∠ABN=60°（2）解：不变化，∠APB=2∠ADB，理由：∵AM∥BN∴∠APB=∠PBN∠ADB=∠DBN又∵BD平分∠PBN∴∠PBN=2∠DBN∴∠APB=2∠ADB（3）解：在△ABC中，∠A+∠ACB+∠ABC=180°在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°∵∠ACB=∠ABD,∴∠ABC=∠ADB∵AD∥BN，∠A=60°∴∠ABN=120°，∠ADB=∠DBN=∠ABC 由（1）知∠CBD=60°∴∠ABC= 1(∠ABN-∠CBD)=30°2。

八年级数学上册《第十二章-角平分线的性质》同步练习题含答案(人教版)

八年级数学上册《第十二章角平分线的性质》同步练习题含答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．一个角的平分线的尺规作法，其理论依据是全等三角形判定定理（）A．边角边B．边边边C．角角边D．角边角2．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝10，点G是线段OP的中点，连接EG，点F 是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4，则△PGE的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．403．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC＝6cm，则PD的长可以是（）A．7cm B．4cm C．5cm D．3cm4．如图，已知△ABC的周长是20，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是( )A．20 B．25 C．30 D．355．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=24，DE=4，AB=7，则AC=( )A．3 B．4 C．6 D．56．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．57．如图，在△ABC中∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=3，AB=8则△ABD的面积是（）A．12 B．10 C．8 D．68．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，并且满足BD=CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①ΔCDE≅ΔBDF；②∠DBC=∠DCB；③CE=AB+AE④∠BDC=∠BAC，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．已知点P的坐标为（5，a），且点P在第二、四象限角平分线上，则a= 。

10．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是.11．如图，已知AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P， PE⊥AB于点E，若PE＝1，则两平行线AD与BC间的距离为12．如图，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别为4，6，8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB∶S△OAC∶S△OBC＝．13．如图，若BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，当∠BAP＝130°时，∠BPC＝度.三、解答题14．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOE=150°，∠AOB=40°。

人教版八年级上册《12.3角平分线的性质》同步测试题(含答案解析)

角平分线的性质测试题时间：60分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共11小题，共33.0分）1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF//AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF.给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、点F，连接EF与AD相交于点O，下列结论不一定成立的是()A. DE=DFB. AE=AFC. OD=OFD. OE=OF3.如图，在△ABC中，∠ABC=50∘，∠ACB=60∘，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是()A. ∠BAC=60∘B. ∠DOC=85∘C. BC=CDD. AC=AB4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC 以点M，N为圆心，大于12于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是()A. 15B. 30C. 45D. 605.为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在()A. 三角形ABC三条高线的交点处B. 三角形ABC三条角平分线的交点处C. 三角形ABC三条中线的交点处D. 三角形ABC三边垂直平分线的交点处6.如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE全等的理由是()A. SASB. AAAC. SSSD. HL7.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足为A，OA=8，PA=6，Q是射线OM上的一个动点，则线段PQ的最小值是()A. 10B. 8C. 4D. 68.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是()A. 三条高线的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 三边垂直平分线的交点9.如图：△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是()①PA=PC②BP平分∠ABC③P到AB，BC的距离相等④BP平分∠APC．A. ①②B. ①④C. ③②D. ③④10.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE的长是()A. 2cmB. 4cmC. 1.2cmD. 2.4cm11.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM=PN恒成立；(2)OM+ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变，其中正确的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共11小题，共33.0分）12.如图，∠AOE=∠BOE=15∘，EF//OB，EC⊥OB，若EC=2，则EF=______．13.如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40∘，∠ADG=130∘，则∠DGF=______．14.如图，△ABC的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且△ABC的周长为18，则△ABC的面积为______．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AB交边BC 以点M、N为圆心，大于12于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是______．16.已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A=______ 度.17.边长为7，24，25的△ABC内有一点P到三边距离相等，则这个距离为______ ．18.如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，若PM=5，则PN的最小值为______．19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=8，AD平分∠BAC，交BC边于点D，若CD=2，则△ABD的面积为______．20.如图，在△ABC中，∠C=90∘，BD平分∠ABC，若CD=3cm，则点D到AB的距离为______ cm．21.随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路(如图所示)，建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有______处.22.已知OC平分∠AOB，点P为OC上一点，PD⊥OA于D，且PD=3cm，过点P作PE//OA交OB于E，∠AOB=30∘，求PE的长度______cm．三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）23.如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B=2∠C，E，F分别是BC，AC的中点，若DE=3，求线段AB的长．24.如图，等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2AD，梯形周长为40，对角线BD平分∠ABC，求梯形的腰长及两底边的长．25.某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到两条公路m、n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置.(要有作图痕迹)四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）26.如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；(2)若∠ABC=30∘，∠C=45∘，ED=2√10，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．27.如图，∠AOB=90∘，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．答案和解析【答案】1. A2. C3. B4. B5. B6. D7. D8. C9. C10. D11. B12. 413. 150∘14. 2715. 3016. 3017. 318. 519. 820. 321. 422. 623. 解：作BH平分∠ABC交AC于H，连结HE，如图，∵BH平分∠ABC，∠ABC，∴∠CBH=12∵∠B=2∠C，∴∠CBH=∠C，∴△HBC为等腰三角形，∵点E为BC的中点，∴HE⊥BC，∵AD⊥BC，∴HE//AD，∴AHHC =DEEC，∵BH为∠ABC的平分线，∴AHHC =BABC，∴DEEC =BABC，即3EC=BA2EC，∴AB=6．24. 解：∵四边形ABCD是等腰梯形，AB//DC，∴AD=BC，∠DBA=∠CDB，又BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBA，∴∠CDB=∠CBD，∴CD=BC，又AB=2AD，AB+AD+CD+BC=40，∴2AD+AD+AD+AD=40，5AD=40，AD=8，∴CD =8，AB =16，即梯形腰长为8，两底边长为8和16，答：梯形的腰长是8，两底边的长分别是8，16．25. 解：作图如图，点P 即为所求作的点．26. 解：(1)四边形EBGD 是菱形．理由：∵EG 垂直平分BD ，∴EB =ED ，GB =GD ，DF =BF ，∴∠EBD =∠EDB ，∵∠EBD =∠DBC ，∴∠EDF =∠GBF ，在△EFD 和△GFB 中，{∠EDF =∠GBF ∠EFD =∠GFB DF =BF∴△EFD≌△GFB ，∴ED =BG ，∴BE =ED =DG =GB ，∴四边形EBGD 是菱形．(2)作EM ⊥BC 于M ，DN ⊥BC 于N ，连接EC 交BD 于点H ，此时HG +HC 最小，在Rt △EBM 中，∵∠EMB =90∘，∠EBM =30∘，EB =ED=2√10，∴EM=1BE=√10，2∵DE//BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM//DN，EM=DN=√10，MN=DE=2√10，在Rt△DNC中，∵∠DNC=90∘，∠DCN=45∘，∴∠NDC=∠NCD=45∘，∴DN=NC=√10，∴MC=3√10，在Rt△EMC中，∵∠EMC=90∘，EM=√10.MC=3√10，∴EC=√EM2+MC2=√(√10)2+(3√10)2=10．∵HG+HC=EH+HC=EC，∴HG+HC的最小值为10．27. 解：PC与PD相等.理由如下：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE=PF(角平分线上的点到角两边的距离相等)又∵∠AOB=90∘，∠PEO=∠PFO=90∘，∴四边形OEPF为矩形，∴∠EPF=90∘，∴∠EPC+∠CPF=90∘，又∵∠CPD=90∘，∴∠CPF+∠FPD=90∘，∴∠EPC=∠FPD=90∘−∠CPF．在△PCE与△PDF中，∵{∠PEC=∠PFD PE=PF∠EPC=∠FPD，∴△PCE≌△PDF(ASA)，∴PC=PD．【解析】1. 解：∵BF//AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，在△CDE与△DBF中，{∠C=∠CBFCD=BD∠EDC=∠BDF，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正确；∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．故选：A．根据等腰三角形的性质三线合一得到BD=CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE=DF，CE=BF，故①④正确．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．2. 解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90∘，在Rt△ADE和Rt△ADF中，{DE=DFAD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE=AF；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAO=∠FAO，在△AEO和△AFO中，{AE=AF∠EAO=∠FAO AO=AO，∴△AEO≌△AFO(SAS)，∴OE=OF；故选C．首先运用角平分线的性质得出DE=DF，再由HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，即可得出AE=AF；根据SAS即可证明△AEG≌△AFG，即可得到OE=OF．本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．3. 解：∵∠ABC=50∘，∠ACB=60∘，∴∠BAC=180∘−∠ABC−∠ACB=180∘−50∘−60∘=70∘，故A选项错误，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×50∘=25∘，在△ABO中，∠AOB=180∘−∠BAC−∠ABO=180∘−70∘−25∘=85∘，∴∠DOC=∠AOB=85∘，故B选项正确；∵CD平分∠ACE，∴∠CBD=12∠ABC=12×50∘=25∘，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12(180∘−60∘)=60∘，∴∠BDC=180∘−85∘−60∘=35∘，∴BC≠CD，故C选项错误；∵∠ABC=50∘，∠ACB=60∘，∴AC≠AB，故D选项错误．故选：B．根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70∘，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB，再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出∠BDC≠∠DBC，根据∠ABC=50∘，∠ACB=60∘，∠ABC≠∠ACB=60∘即可判定AC≠AB．本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．4. 解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90∘，∴DE=CD，∴△ABD的面积=12AB⋅DE=12×15×4=30．故选：B．判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．5. 解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，∴度假村应该在△ABC三条角平分线的交点处．故选B．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．6. 解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠ADP=∠AEP=90∘，在Rt△ADP和△AEP中{AP=APPD=PE，∴Rt△ADP≌△AEP(HL)，故选：D．根据题中的条件可得△ADP和△AEP是直角三角形，再根据条件DP=EP，AP=AP可根据HL定理判定△APD≌△APE．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.结合已知条件在图形上的位置选择判定方法．7. 解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=6，∴PQ=PA=6，故选D．根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出PQ=PA，求出即可．本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，能得出要使PQ最小时Q的位置是解此题的关键．8. 解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．故选：C．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．9. 解：过点P作PD⊥BA与点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．∵AP平分∠DAE，CP平分∠ACF，∴PD=PE=PF．∴点P在∠ABC的平分线上，P到AB，BC的距离相等．故②③正确．故选C．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，过点P作PD⊥BA与点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则PD=PE=PF.点P在∠ABC的平分线上．此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上．10. 解：如图，过点D作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，∵AB=18cm，BC=12cm，∴S△ABC=12×18⋅DE+12×12⋅DE=36，解得DE=2.4cm．故选D．过点D作DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，然后根据△ABC的面积列出方程求解即可．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．11. 解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO=∠PFO=90∘，∴∠EPF+∠AOB=180∘，∵∠MPN+∠AOB=180∘，∴∠EPF=∠MPN，∴∠EPM=∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE=PF，在△POE和△POF中，{PE=PFOP=OP，∴△POE≌△POF，∴OE=OF，在△PEM和△PFN中，{∠MPE=∠NPF PE=PF∠PEM=∠PFN，∴△PEM≌△PFN，∴EM=NF，PM=PN，故(1)正确，∴S△PEM=S△PNF，∴S四边形PMON =S四边形PEOF=定值，故(3)正确，∵OM+ON=OE+ME+OF−NF=2OE=定值，故(2)正确，MN的长度是变化的，故(4)错误，故选：B．如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．12. 解：作EG⊥OA于G，如图所示：∵EF//OB，∠AOE=∠BOE=15∘∴∠OEF=∠COE=15∘，EG=CE=2，∵∠AOE=15∘，∴∠EFG=15∘+15∘=30∘，∴EF=2EG=4．故答案为：4．作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15∘，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30∘，利用30∘角所对的直角边是斜边的一半解题．本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含30∘角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出∠EFG=30∘是解决问题的关键．13. 解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∴AD是∠BAC的平分线，∵∠BAC=40∘，∴∠CAD=1∠BAC=20∘，2∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20∘+130∘=150∘．故答案为：150∘先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD 的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键．14. 解：作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，∵△ABC的三条角平分线交于点O，OE⊥AB，OF⊥BC，OH⊥AC，∴OF=OH=OE=3，×(AB+BC+AC)×3=27，∴△ABC的面积=12故答案为：27．作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到OF=OH= OE=3，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．15. 解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C=90∘，DE⊥AB，∴DE=DC=4，×AB×DE=30，∴△ABD的面积=12故答案为：30．根据角平分线的性质得到DE=DC=4，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．16. 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，△BCE与△BDE重合，∴ED⊥AB，∠EBA=∠EBC，又点D是AB的中点，∴EA=EB，∴∠A=∠EBA=∠EBC.设∠A=∠EBA=∠EBC=x∵∠A+∠EBA+∠EBC=90∘，∴3∠x=90∘，∴x=30∘．∴∠A=30∘．只要证明∠A=∠EBA=∠EBC，设∠A=∠EBA=∠EBC=x列出方程即可解决问题．本题考查翻折变换、垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用翻折不变性，学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．17. 解：∵72+242=252，∴△ABC是直角三角形，根据题意画图，如图所示：连接AP，BP，CP．设PE=PF=PG=x，S△ABC=12×AB×CB=84，S△ABC=12AB×x+12AC×x+12BC×x=12(AB+BC+AC)⋅x=12×56x=28x，则28x=84，x=3．故答案为：3．首先根据三边长确定三角形是直角三角形，再根据题意画出图形，连接AP，BP，CP，根据直角三角形的面积公式即可求得该距离的长．此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形的面积.注意构造辅助线，则直角三角形的面积有两种表示方法：一是整体计算，即两条直角边乘积的一半；二是等于三个小三角形的面积和，即12(AB+AC+BC)x，然后即可计算x的值．18. 解：当PN⊥OA时，PN的值最小，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，∴PM=PN，∵PM=5，∴PN的最小值为5．故答案为：5．根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，从而得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．19. 解：作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90∘，DE⊥AB，∴DE=DC=2，×AB×DE=8，∴△ABD的面积=12故答案为：8．作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE的长，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．20. 解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90∘，BD平分∠ABC，∴DE=CD，∵CD=3cm，∴DE=3cm，即点D到AB的距离为3cm．故答案为：3．过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，从而得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．21. 解：如图所示，加油站站的地址有四处，故答案为：4．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．22. 解：过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB=30∘，OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=15∘，∵PE//OA，∴∠EPO=∠AOP=15∘，∴∠BEP=∠BOC+∠EPO=30∘，∴PE=2PF，∵OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，PF⊥OB于F，PD=3cm，∴PD=PF=3cm，∴PE=6cm，故答案为：6．过P作PF⊥OB于F，根据角平分线的定义可得∠AOC=∠BOC=15∘，根据平行线的性质可得∠EPO=∠AOP=15∘，从而可得PF=PD，即可得出答案．此题主要考查：(1)含30∘度的直角三角形的性质：在直角三角形中，30∘角所对的直角边等于斜边的一半，(2)角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．23. 作BH平分∠ABC交AC于H，连结HE，如图，由于∠B=2∠C，则∠CBH=∠C，于是可判断△HBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得HE⊥BC，易得HE//AD，根据平行线分线段成比例定理得AHHC =DEEC，接着根据角平分线的性质定理得AHHC=BABC，则DE EC =BABC，然后把BC=2EC代入计算即可得到AB=6．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.也考查了等腰三角形的判定与性质和角平分线性质．24. 根据等腰梯形性质得到AD=BC，∠DBA=∠CDB，根据角平分线性质推出∠CDB=∠CBD，推出CD=BC，根据已知梯形的周长求出即可．本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．25. 连接A、B，作AB的垂直平分线，然后作两条公路m和n夹角的平分线，其交点即为加油站的位置．此题考查学生对角平分线的性质和线段垂直平分线的性质的理解和掌握.特别要注意让学生牢记角平分线的性质定理．26. (1)结论四边形EBGD是菱形.只要证明BE=ED=DG=GB即可．(2)作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解决问题．本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型．27. 先过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，构造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF，这两个三角形已具备两个条件：90∘的角以及PE=PF，只需再证∠EPC=∠FPD，根据已知，两个角都等于90∘减去∠CPF，那么三角形全等就可证．本题考查了角平分线的性质，以及四边形的内角和是360∘、还有三角形全等的判定和性质等知识.正确作出辅助线是解答本题的关键．。

专训12.3.1角平分线的性质+判定-八年级上册考点专训(解析版)(人教版)

专训12.3.1角平分线的性质+判定1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积是_______．【答案】30【分析】作DE AB ⊥于E ，如图，利用基本作图得到AP 平分∠BAC ，根据角平分线的性质得4DC DE ==，然后根据三角形面积公式．【详解】解：作DE AB ⊥于E ，如图，由作法得AP 平分∠BAC ，∴4DC DE ==，∴△ABD 的面积=1154302⨯⨯=．故答案为：30．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．2．如图，OC 是AOB ∠的角平分线，点P 是OC 上一点，PM OB ⊥于点M ，点N 是射线OA 上的一个动点，若6PM =，则PN 的最小值为______．【答案】6【分析】根据垂线段最短可得PN ⊥OA 时，PN 最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM =PN ，从而得解．【详解】当PN ⊥OA 时，PN 的值最小，∵OC 平分∠AOB ，PM ⊥OB ，∴PM =PN ，∵PM =6，∴PN 的最小值为6．故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．3．如图，在ABC 中，AD 为BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ．若ABC 的面积是228cm ，20cm AB =，8cm AC =，则DE =____cm ．【答案】2【分析】先根据角平分线的性质得出DE =DF ，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴DE =DF ，∴S △ABC =S △ABD +S △ACD =12AB •DE +12AC •DF ，∵△ABC 面积是28cm 2，AB =20cm ，AC =8cm ，∴12×20DE +12×8DF =10DE +4DF =14DE =28，解得DE =2cm ．故答案为：2．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．4．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，过点D 作DE AB ⊥于E ，若3BE =，BDE 的周长为11，则BC =______．【答案】8【分析】利用角平分线的性质推出DE DC =，再根据三角形的周长计算得出答案．【详解】解：∵AD 平分BAC ∠，过点D 作DE AB ⊥于E ，90C ∠=︒，∴DE DC=∴BDE 的周长311BE BD DE BE BD CD BE BC BC =++=++=+=+=，∴8BC =．故答案为：8【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记定理是解题的关键．5．如图所示，AD 是△ABC 的平分钱，DF ⊥AB 于点F ，DE ＝DG ，若S △DEF ＝2，S △ADG ＝9：则△ADE 的面积为________．【答案】5【分析】过点D 作DH ⊥AC 于H ，根据角平分线的性质得到DH ＝DF ，进而证明Rt △DEF ≌Rt △DGH ，根据全等三角形的性质得到△DEF 的面积＝△DGH 的面积=2，同理：△ADF 的面积＝△ADH 的面积=7，进而即可求解．【详解】解：过点D 作DH ⊥AC 于H，∵AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，DH ⊥AC ，∴DH ＝DF ，在Rt △DEF 和Rt △DGH 中，∵DF DH DE DG ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △DEF ≌Rt △DGH （HL ），∴△DEF 的面积＝△DGH 的面积=2，同理可证，Rt △ADF ≌Rt △ADH ，∴△ADF 的面积＝△ADH 的面积=9-2=7，∴△ADE 的面积=7-2=5．故答案是：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．6．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=︒是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，垂足为E ，若2,CD DE ==_______．【答案】2【分析】根据角平分线的性质定理即可完成．【详解】∵AD 平分∠CAB ，且∠C =90°，DE AB⊥∴DE =CD =2故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，关键是清楚定理的条件：一是角平分线，二是经过角平分线的点的直线，且这两条直线垂直角的两边，即要有两个垂直，具体在有些题目中，往往缺少一个或两个垂直，这时要作一个垂直或两个垂直．7．如图在ABC 中，=90ACB ∠︒，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于D ，如果+=3AE DE ，那么=AC ________．【答案】3【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE =DE ，然后求出AC =AE +DE ．【详解】解：∵∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，∴CE =DE ，∴AC =AE +CE =AE +DE =3．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．8．如图，在ABC 中，90C ∠=，AD 是BAC ∠的平分线，若2CD =，6AB =，则ABD 的面积是________．【答案】6【分析】设点D 到AB 的距离为h ，根据角平分线的性质即可求解【详解】设点D 到AB 的距离为h ，AD 是BAC ∠的平分线，90C = ∠，2CD =DC AC ∴⊥，2CD h == 6AB =∴1162622ABC S AB h =⨯=⨯⨯=△故答案为：6【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟悉角平分线的性质是解题的关键．9．如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，点D 是OB 上的动点，若PC ＝1cm ，则PD 的长的最小值为___．【答案】1cm【分析】根据垂线段最短可知，当PD OB ⊥时最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD PC =，从而得解．【详解】解：垂线段最短，∴当PD OB ⊥时PD 最短，OP 是AOB ∠的平分线，PC OA ⊥，PD PC ∴=，1PC = ，1PD ∴=，即PD 长度最小为1．故答案为：1cm ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，解题的关键是：确定出PD 最小时的位置是解题的关键．10．如图，//AB CD ，108CDM ∠=︒，GF 交MEB ∠的角平分线EF 于点F ，120BGF ∠=︒．则F ∠=______．【答案】84︒【分析】根据//AB CD ，求出AED ∠，由对顶角相等及角平分线性质求出FEG ∠，最后根据三角形的外角性质求出F ∠即可．【详解】解：//,108AB CD CDM ∠=︒ ，72AED ∴∠=︒，72MEG ∴∠=︒，EF 是MEB ∠的角平分线，1362FEG MEG ∴∠=∠=︒，120BGF ∠=︒ 为三角形的外角，BGF FEG F ∴∠=∠+∠，1203684F ∴∠=︒-︒=︒，故答案是：84︒．【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角、角平分线的性质、三角形的外角，解题的关键是掌握相关的性质，灵活运用．11．如图，AD 是ABC 的角平分线．若90,B BD ∠=︒=，则点D 到AC 的距离是_________．【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得．【详解】如图，过D 作DE AC ⊥，则D 到AC 的距离为DEAD平分CAB ∠，90,B BD ∠=︒=，∴DE BD ==∴点D 到AC【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识，理解点到直线的距离的定义，熟知角平分线的性质是解题关键．12．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥，垂足为E ，若4BC =，1.6DE =，则BD 的长为______．【答案】2.4【分析】先根据角平分线的性质可得 1.6CD DE ==，再根据线段的和差即可得．【详解】解：AD 平分BAC ∠，90C ∠=︒，DE AB ⊥， 1.6DE =，1.6CD DE ∴==，4BC = ，4 1.6 2.4BD BC CD ∴=-=-=，故答案为：2.4．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．13．如图，在 ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，EF ∥BC 交BD 于点G ，若∠BEG ＝130°，则∠DGF ＝_____°．【答案】25【分析】根据角平分线的定义得到∠EBG ＝∠CBG ，根据平行线的性质得到∠EGB ＝∠CBG ，等量代换得到∠EBG ＝∠EGB ，再根据三角形的内角和定理和对顶角的性质于是得到结论．【详解】解：∵EF ∥BC ，∴∠EGB ＝∠CBG ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBG ＝∠CBG ，∴∠EBG ＝∠EGB ，∵∠BEG ＝130°，∴∠EGB ＝1801302︒︒-＝25°，∴∠DGF ＝∠EGB ＝25°．故答案为：25．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．14．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点O ，作射线AO ，交BC 于点E ．已知14CB =，8BE =，则点E 到AB 的距离为________．【答案】6【分析】如图，过点E 作ET ⊥AB 于T ．证明ET =EC ，可得结论．【详解】解：如图，过点E 作ET ⊥AB 于T ．∵BC =14，BE =8，∴EC =BC -BE =6，由作图可知，AE 平分⊥CAB ，∵EC ⊥AC ，ET ⊥AB ，∴ET =EC =6，故答案为：6．【点睛】本题考查作图——复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．判断正误：三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三顶点的距离相等__．【答案】⨯【分析】根据三角形角平分线的性质分析，即可得到答案．【详解】由角平分线性质可知：三角形的三条角平分线交于一点，这点到三角形的三边的距离相等；故答案为：⨯．【点睛】本题考查了三角形角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质，从而完成求解．16．如图，在AOB 和COD △中，OA OB =，OC OD =，OA OC <，36AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①36AMB ∠=︒，②AC BD =，③OM 平分AOD ∠，④MO 平分AMD ∠．其中正确的结论是______（填序号）．【答案】①②④【分析】由SAS 证明△AOC ≌△BOD 得出，得出∠OAC ＝∠OBD ，由扇形内角和：∠AMB=180-∠OBD-∠MGB ＝180°-∠OAC -∠OGA =∠AOC =36°，得出∠AMB ＝∠AOB ＝36°，①正确；由△AOC ≌△BOD 得出AC ＝BD ，②正确；作OG ⊥AM 于G ，OH ⊥DM 于H ，如图所示：则∠OGA ＝∠OHB ＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG ＝OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分∠AMD ，④正确；假设MO 平分∠AOD ，则∠DOM ＝∠AOM ，由全等三角形的判定定理可得△AMO ≌△DMO ，得AO ＝OD ，而OC ＝OD ，所以OA ＝OC ，而OA ＜OC ，故③错误；即可得出结论．【详解】解：设AC 与OB 交于G∵∠AOB ＝∠COD ＝36°，∴∠AOB +∠BOC ＝∠COD +∠BOC ，即∠AOC ＝∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OAC ＝∠OBD ，∵∠OGA ＝∠MGB ，∴∠AMB=180-∠OBD-∠MGB ＝180°-∠OAC -∠OGA =∠AOC =36°，∴∠AMB ＝∠AOB ＝36°，故①正确；∵△AOC ≌△BOD （SAS ），∴AC=BD ，故②，作OG ⊥AM 于G ，OH ⊥DM 于H，如图所示，则∠OGA ＝∠OHB ＝90°，∵△AOC ≌△BOD ，∴S △OAC =S △OBD ，即AC·OG =BD·OH ，∵AC ＝BD ，∴OG ＝OH ，∴MO 平分∠AMD ，故④正确；假设MO 平分∠AOD ，则∠DOM ＝∠AOM ，在△AMO 与△DMO 中，AOM DOM OM OM AMO DMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMO ≌△DMO （ASA ），∴AO ＝OD ，∵OC ＝OD ，∴OA ＝OC ，而OA ＜OC ，∴假设不正确，OM 不能平分AOD∠故③错误；正确的序号有①②④．故答案为①②④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和性质、角平分线的判定与性质，反证法等知识；掌握全等三角形的判定与性质、三角形的内角和性质、角平分线的判定与性质，反证法等知识，证明三角形全等是解题的关键．17．如图，已知ABC ∆中，90,C AC BC ∠=︒=，点D 在BC 上，DE AB ⊥，点E 为垂足，且DC DE =，联结AD ，则ADB ∠的大小为___________．【答案】112.5°【分析】首先根据角平分线的判定方法判定AD 是∠BAC 的平分线，然后利用外角性质求∠ADB 的度数即可.【详解】解：∵∠C ＝90°，DE ⊥AB∴∠C=∠AED=90°，在Rt∆ACD 和Rt∆AED 中DE DC AD AD =⎧⎨=⎩，∴Rt∆ACD ≌Rt∆AED ，∴∠CAD=∠EAD ，∴AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝12∠BAC ，∵∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴∠B ＝∠CAB ＝45°，∴∠CAD ＝22.5°，∴∠ADB=∠CAD ＋∠C ＝112.5°.故答案为：112.5°．【点睛】本题考查了角平分线的判定方法以及三角形外角的性质，角平分线的判定方法是：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．18．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在边AC 上，DE ⊥AB 于点E ，DC =DE ，∠A =32°，则∠BDC 的度数为________．【答案】61°【分析】首先利用直角三角形的性质求得∠ABC的度数，然后利用角平分线的判定方法得到BD为∠ABC的平分线，再求出∠ABD的度数，根据三角形外角的性质进而求得结论．【详解】解：∵∠A=32°，∠ACB=90°，∴∠CBA=58°，∵DE⊥AB，DC⊥BC，DC=DE，∴BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠EBD，∴∠CBD=12∠CBA=12×58°=29°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=32°+29°=61°．故答案为：61°．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是根据已知条件得到BD为∠ABC的平分线，难度不大．19．数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线．小明用直尺画角平分线的方法如下：（1）用直尺的一边贴在∠AOB的OA边上，沿着直尺的另一条边画直线m；（2）再用直尺的一边贴在∠AOB的OB边上，沿着直尺的另一条边画直线n，直线m与直线n交于点D；（3）作射线OD．射线OD是∠AOB的平分线．请回答：小明的画图依据是____________________．【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上【分析】根据角平分线的判定定理即可得出答案．【详解】∵作图时使用同一把尺子，尺子的宽度是一致的，∴点D 到OA 和OB 的距离是一样的，∴射线OD 是∠AOB 的平分线（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线判定定理是解题关键．20．如图，ABC 中，ABC ∠、EAC ∠的角平分线BP 、AP 交于点P ，延长BA 、BC ，则下列结论中正确的有_______．（将所有正确序号填在横线上）①CP 平分ACF ∠；②2180ABC APC ︒∠+∠=，③2ACB APB =∠∠；④若PM BE ⊥，PN BC ⊥，则AM CN AC +=．【答案】①②③④【分析】①作PD ⊥AC 于D ．由角平分线的性质得出PM=PN ，PM=PD ，得出PM=PN=PD ，即可得出①正确；②首先证出∠ABC+∠MPN=180°，证明Rt △PAM ≌Rt △PAD （HL ），得出∠APM=∠APD ，同理：Rt △PCD ≌Rt △PCN（HL ），得出∠CPD=∠CPN ，即可得出②正确；③由角平分线和三角形的外角性质得出∠CAE=∠ABC+∠ACB ，∠PAM=12∠ABC+∠APB ，得出∠ACB=2∠APB ，③正确；④由全等三角形的性质得出AD=AM ，CD=CN ，即可得出④正确；即可得出答案．【详解】解：①作PD ⊥AC 于D ．∵PB 平分∠ABC ，PA 平分∠EAC ，PM ⊥BE ，PN ⊥BF ，∴PM=PN ，PM=PD ，∴PM=PN=PD ，∴点P 在∠ACF 的角平分线上，故①正确；②∵PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，∴∠ABC+∠MPN=180°，在Rt △PAM 和Rt △PAD 中，PA PA PM PD=⎧⎨=⎩，∴Rt △PAM ≌Rt △PAD （HL ），∴∠APM=∠APD ，同理：Rt △PCD ≌Rt △PCN （HL ），∴∠CPD=∠CPN ，∴∠MPN=2∠APC ，∴∠ABC+2∠APC=180°，②正确；③∵PA 平分∠CAE ，BP 平分∠ABC ，∴∠CAE=2∠PAM ，∵∠CAE=∠ABC+∠ACB ，∠PAM=12∠ABC+∠APB ，∴∠ACB=2∠APB ，③正确；④∵Rt △PAM ≌Rt △PAD （已证），∴AD=AM ，∵Rt △PCD ≌Rt △PCN （已证），∴CD=CN ，∴AM+CN=AD+CD=AC ，④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解．21．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，DE ⊥BC ，垂足为E ．若AD ＝DE 且∠C ＝50°，则∠ABD ＝_____°．【答案】20︒【分析】利用三角形的内角和定理先求解ABC ∠，再利用角平分线的性质定理的逆定理证明：BD 平分,ABC ∠从而可得答案．【详解】解：9050A C ∠=︒∠=︒ ，，180905040ABC ∴∠=︒-︒-︒=︒，90,,A DE BC DA DE ∠=︒⊥= ，BD ∴平分,ABC ∠1202ABD ABC ∠=∠=︒，故答案为：20.︒【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义及性质定理的逆定理，掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．22．如图，BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=60°，∠ADG=120°，则∠DGF=_____________【答案】150°【分析】先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．【详解】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∴AD是∠BAC的平分线，∵∠BAC=60°，∴∠CAD=12∠BAC=30°，∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=30°+120°=150°．故答案为：150°．【点睛】本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键．23．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝80°，则∠BOC 的度数为_________．【答案】130°根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O 是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，然后求出∠OBC+∠OCB ，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∵O 到三边AB 、BC 、CA 的距离OF=OD=OE ，∴点O 是三角形三条角平分线的交点，∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）=12×100°=50°，在△OBC 中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-50°=130°．故答案为：130°．【点睛】本题考查了到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用．24．如图，ABC 中，A 60∠=︒，AB>AC ，两内角的平分线CD 、BE 交于点O ，OF 平分BOC ∠交BC 于F ，（1）BOC 120∠=︒；（2）连AO ，则AO 平分BAC ∠；（3）A 、O 、F 三点在同一直线上；（4）OD=OE ；（5）BD+CE=BC ．其中正确的结论是__________．（填序号）【答案】①②④⑤．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB 度数，求出∠EBC+∠DCB 度数，根据三角形内角和定理求出∠BOC 即可判断①，过O 作OM ⊥AB 于M ，OQ ⊥AC 于Q ，ON ⊥BC 于N ，根据角平分线性质求出OQ=OM=ON ，根据角平分线性质求出AO 平分∠BAC 即可判断②；假设,,A O F 三点共线，利用三角形的外角的性质逆推可得：ABC ACB ∠=∠，与已知条件AB>AC ，得ACB ∠＞ABC ∠，互相矛盾，可判断③，证MOD QOE ≌，即可推出OD=OE ，从而判断④，通过全等求出BM=BN ，CN=CQ ，代入即可求出BD+CE=BC ，从而判断⑤．解：∵∠A=60°，∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，∴()1602ABC ACB ∠+∠=︒，∵BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∴1122EBC ABC DCB ACB ∠=∠∠=∠，，∴()1602EBC DCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=︒，∴()180120BOC EBC DCB ∠=︒-∠+∠=︒，∴①正确；过O 作OM ⊥AB 于M ，OQ ⊥AC 于Q ，ON ⊥BC 于N ，∵O 是∠ABC 和∠ACB 的角平分线交点，∴OM=ON ，ON=OQ ，∴OQ=OM ，∴O 在∠A 平分线上，∴②正确；如图，若,,A O F 三点共线，BOF BAO ABO COF OAC OCA ∴∠=∠+∠∠=∠+∠，，BOF COF BAO CAO ∠=∠∠=∠ ，，ABO ACO ∴∠=∠，ABC ACB ∴∠=∠，∵AB ＞AC ，∴∠ABC ＜∠ACB ，所以：A 、O 、F 不在同一直线上，∴③错误；∵120BOC ∠=︒，∴120DOE ∠=︒，OM ⊥AB ，OQ ⊥AC ，ON ⊥BC ，∴∠AMO=∠AQO=90°，∵∠A=60°，∴∠MOQ=120°，∴∠DOM=∠EOQ ，在OMD 和OQE 中，MOD EOQ OMD OQE OM ON ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴OMD OQE ≌（AAS ），∴OE=OD ，∴④正确；在Rt BNO 与Rt BMO 中，BO BO ON OM=⎧⎨=⎩∴()Rt BNO Rt BMO HL ≌，BN BM BD DM∴==+同理，Rt CNO Rt CQO ≌，CN CQ CE EQ ∴==-，∴BN CN BD DM CE EQ +=++-，∵DM=EQ，∴BC=BD+CE ，∴⑤正确；故答案为：①②④⑤．【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，全等三角形的性质和判定的应用，掌握以上知识是解题的关键．25．如图，已知OQ 平分∠AOB ，且PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，根据角平分线的性质，则有___________；反之如果PM=PN ，且___________，那么OP 平分∠AOB．【答案】PM=PN PM ⊥OA ，PN ⊥OB【分析】依据角平分线的定理和逆定理可知．【详解】解： OQ 平分∠AOB ，且PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，PNO PMONOP MOP OP OP∠=∠⎧⎪∴∠=∠⎨⎪=⎩()PMO PNO AAS ∴≅ PM PN∴=反之PM=PN ，且PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，PM PNOP OP=⎧∴⎨=⎩()Rt PMO Rt PNO HL ∴≅ POM PON∴∠=∠∴OP 平分∠AOB故答案为：PM=PN ；PM ⊥OA ，PN ⊥OB【点睛】本题考查角平分线性质及其逆定理、全等三角形的判定与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．26．如图，已知点D 是△ABC 的两外角平分线的交点，下列说法：（1）AD =CD ；（2）D 到AB 、BC 的距离相等；（3）D 到△ABC 的三边的距离相等；（4）点D 在∠B 的平分线上；其中正确的说法的序号是________________.【答案】（2）,（3）,（4）【解析】试题解析：如图，过点D 作DE BA ⊥交BA 的延长线于E ，作DF BC ⊥交BC 的延长线于F ，作DG AC ⊥于G ，∵点D 是ABC 的两外角平分线的交点，DE DG DF DG ∴==，，故()2正确；DE DF DG ∴==，故()3正确；∴点D 在B Ð的平分线上，故()4正确；只有AB BC =时，AE CF =，AD CD =，故()1错误.综上所述，说法正确的是()2()3()4.故答案为()2()3()4.点睛:角平分线上的点到角两边的距离相等.27．如图，90,C D E ∠=∠=︒为CD 中点，AE 平分,DAB ∠若32,DEA ∠= 则ABE ∠的度是__________．【答案】32︒【分析】根据已知条件以及直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、四边形的内角和是360︒可求出64ABC ∠=︒，再根据角平分线的判定和性质即可求得答案．【详解】解:过点E 作EF AB ⊥于点F ，如图：∵90D ∠=︒,32DEA ∠=︒∴90903258DAE DEA ∠=︒-∠=︒-︒=︒∵AE 平分DAB∠∴2258116DAB DAE ∠=∠=⨯︒=︒∵90C D ∠=∠=︒∴在四边形ABCD 中，360909011664ABC ∠=︒-︒-︒-︒=︒∵EF AB ⊥，90D ∠=︒，AE 平分DAB∠∴EF ED=∵E 为CD 中点∴ED EC=∴EF EC =∵EF AB ⊥，90C ∠=︒∴BE 平分ABC∠∴11643222ABE ABC ∠=∠=⨯︒=︒故答案是：32︒【点睛】本题重点考查了角平分线的定义、判定和性质，涉及到的知识点有直角三角形的两锐角互余和四边形的内角和，其中证得EF EC =是解题的关键．28．如图，在OAB ∆和OCD ∆中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠= ，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40CMD ∠= ；③OM 平分AOD ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的序号是__________．【答案】①②④【分析】由SAS 证明△AOC ≌△BOD 得出∠OCA=∠ODB ，AC=BD ，①正确；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD ，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD ，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；作OG ⊥MC 于G ，OH ⊥MB 于H ，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS 证明△OCG ≌△ODH （AAS ），得出OG=OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分∠BMC ，④正确；先假设OM 平分∠AOD ，推出OA=OC 与条件中OA OC >相矛盾，推出③错误．【详解】解：∵∠AOB=∠COD=40︒，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD ，即∠AOC=∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≅△BOD ，∴∠OCA=∠ODB ，AC=BD ，①正确；∵△AOC ≅△BOD∴∠OAC=∠OBD ，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD ，∴∠AMB=∠AOB=40︒，∴∠CMD=∠AMB=40︒，②正确；作OG ⊥MC 于G ，OH ⊥MB 于H ，如图2所示：则∠OGC=∠OHD=90︒，在△OCG 和△ODH 中，OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCG ≅△ODH ，∴OG=OH ，∵OG ⊥MC ，OH ⊥MB∴MO 平分∠BMC ，④正确；∵∠AOB=∠COD ，假设OM 平分∠AOD ，∵OM 平分∠AOD，∴∠AOM=∠DOM ，∵△AOC ≌△BOD ，∴∠COM=∠BOM ，∵MO 平分∠BMC ，∴∠CMO=∠BMO ，在△COM 和△BOM 中，∴△COM ≌△BOM(ASA)，∴OB=OC ，∵OA=OB ，∴OA=OC ，与OA>OC 矛盾，故假设不成立，OM 不平分∠AOD∴③错误；故答案为：①②④【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．29．如图，52A ∠=︒，O 是ABC ∠、ACB ∠的角平分线交点，P 是ABC ∠、ACB ∠外角平分线交点，则BOC ∠=______︒，BPC ∠=_____︒，联结AP ，则PAB ∠=______︒，点O ____（选填“在”、“不在”或“不一定在”）直线AP 上．【答案】1166426在【分析】∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）,∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ），据此可求∠BOC 的度数；∠BCP=12∠BCE=12（∠A+∠ABC），∠PBC=12∠CBF=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，据此可求∠BPC的度数；作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，利用角平分线的性质定理可证明PG=PH，于是可证得AP 平分∠BAC，据此可求∠PAB的度数；同理可证OA平分∠BAC，故点O在直线AP上．【详解】解：∵O点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A）=90°-12∠A，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°+12∠A=90°+12∠A=90°+26°=116°；如图，∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，∴∠BCP=12∠BCE=12（∠A+∠ABC），∠PBC=12∠CBF=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC=180°-12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]=180°-12（∠A+180°）=90°-12∠A=90°-26°=64°．如图，作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，连接AP，∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，PG⊥AB，PH⊥AC，PK⊥BC，∴PG=PK，PK=PH，∴PG=PH，∴AP平分∠BAC，∴PAB∠=26°同理可证OA平分∠BAC，点O在直线AP上．故答案是：(1)116；(2)64；(3)26；(4)在.【点睛】此题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理及三角形内角和定理，熟知定理并正确作出辅助线是解题关键．30．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是__【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上【分析】根据角平分线的性质即可证明.【详解】因为直尺的宽度一样，故点P 到AO 与BO 的距离相等，故可知PO 为角平行线.【点睛】此题主要考查角平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质.31．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

八年级初二上册数学人教版《角平分线的性质》练习试题测试卷(含答案)

《12.3 角平分线的性质》课时练一、选择题1．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，连结AO，若△OAB、△OBC、△OCA的面积比为1：1：，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形2．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，AB＝7cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则EB的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．不能确定3．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，测得BE＝3，则△BDE的周长是（）A．15B．12C．9D．64．如图，△ABC外角∠CBD，∠BCE的平分线BF、CF相交于点F，则下列结论成立的是（）A．AF平分BC B．AF⊥BC C．AF平分∠BAC D．AF平分∠BFC 5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4m，AB ＝10m，则△ABD的面积是（）A ．20m 2B ．30m 2C ．40m 2D ．无法确定 6．三条笔直的公路两两相交，若要建一座仓库，使它到三条公路的距离相等，则可供选择的点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．AD 是△ABC 的角的平分线，AB ＝5，AC ＝3，则S △ABD ：S △ACD ＝（）A ．1：1B ．2：1C ．5：3D ．3：58．如图，AB ∥CD ，点P 到AB 、BC 、CD 距离都相等，则∠P ＝（）A ．120°B ．90°C ．75°D ．60°9．如图，若OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，则下列结论中错误的是（）A ．PC ＝PDB ．OC ＝PC C ．∠CPO ＝∠DPOD ．OC ＝OD 10．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，△ABC 面积是28cm 2，AB ＝16cm ，AC ＝12cm ，则DE 的长为（）A．2B．2.4C．3D．3.2二．填空题11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，已知CD＝3，则D到AB的距离是．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，∠1＝∠2，CB＝8，BD＝5．则点D 到AB的距离为．13．如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为．14．如图，△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，过D作AC的垂线DE交AC于E，DE＝5，则D到AB的距离是．15．如图△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC＝DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB；⑤∠BAC＝∠BDE．其中正确的是（写序号）三．解答题16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O到AB，BC三边的距离相等，求∠AOC的度数．17．已知，如图，A，B，C，D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△P AB的面积与△PCD的面积相等．求证：射线OP是∠MON的平分线．18．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝6，AP平分∠BAC并交BC于点P．（1）求S△ABP 与S△ACP的比值；（2）求BP的长．19．已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．（1）求证：PD＝PE＝PF；（2）点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由．参考答案一、选择题1．C 2．A 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．B 10．A 二．填空题（共5小题）11．312．313．814．515．①②④⑤三．解答题（共4小题）16．解：∵点O到AC、BC、AB三边的距离相等，∴AO，CO分别平分∠CAB，∠ACB，∵∠ABC＝90°，∴∠CAB+∠BCA＝90°，∴∠CAO+∠ACO＝45°，∴∠AOC＝180°﹣45°＝135°，17．证明：过P点作PE⊥ON，PF⊥OM，∵△P AB的面积与△PCD的面积相等，AB＝CD，∴PE＝PF，∵PE⊥ON，PF⊥OM，∴射线OP是∠MON的平分线．18．解：（1）过P作PE⊥AB，PF⊥AC，∵AP平分∠BAC并交BC于点P．PE⊥AB，PF⊥AC ∴PE＝PF，∴S△ABP 与S△ACP的比＝；（2）∵＝＝，∴＝＝，∴PB＝BC＝．19．（1）证明：∵BM平分∠ABC，PE⊥BC，PD⊥AB，∴PE＝PD，∵CN平分∠ACB，PE⊥BC，PF⊥AC，∴PE＝PF，∴PD＝PE＝PF．（2）解：结论：点P在∠BAC的平分线上。

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角平分线内容及典型例题一. 复习内容：1. 角平分线的作法．2. 角平分线的性质及判定．3. 角平分线的性质及判定的应用．二. 知识要点：1. 角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．①推导已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．①推导已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在R t△PAO和R t△PBO中，∴R t△PAO≌R t△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）3. 角平分线性质及判定的应用①为推导线段相等、角相等提供依据和思路；②实际生活中的应用．例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．4. 画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．三. 重点难点：1. 重点：角平分线的性质及判定2. 难点：角平分线的性质及判定的应用【考点分析】本讲内容作为基础内容来讲，它在中考题中偶尔以选择题或填空题的形式出现，但角平分线的性质及判定有时出现在综合题题目当中，因此还是比较重要的．【典型例题】例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．又∵AC＝AC′（已知），∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．∴∠ABC＝∠ABC′．（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）（三角形内角和定理）．即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性．例2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理．根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出∠1＝∠2，再利用平行线推得∠3＝∠4，最后用角平分线的定义得证．解：AD平分∠BAC．∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．评析：由角平分线的判定判断出PD平分∠EPF是解决本例的关键．“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”．例3. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．解：AP平分∠BAC．结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．同理PF＝PE，∴PD＝PF．∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标．分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m；点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号．解：（1）∵点P在公路与铁路所夹角的平分线上，∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，又∵点P到公路的距离是400m，∴点P（学校）到铁路的距离是400m．（2）学校所在位置的坐标是（400，－400）．评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等．例5.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．分析：由于点D在∠CAB的平分线上，若过点D作DE⊥AB于E，则DE＝DC．于是有BD＋DE＝BD＋DC＝BC＝AC，只要知道AC与AE的关系即可得出结论．解：能．过点D作DE⊥AB于E，则△BDE的周长等于AB的长．理由如下：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE．在R t△ACD和R t△AED中，，∴R t△ACD≌R t△AED（HL）．∴AC＝AE．又∵AC＝BC，∴AE＝BC．∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB．评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的联系．本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化．这是初中几何中常用的一种数学思想．【方法总结】学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．练习题一. 选择题1. 如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A. PC＞PDB. PC＝PDC. PC＜PDD. 不能确定2. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D 到AB的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则（）A. BC＞AEB. BC＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能4. （2007年浙江义乌）如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（）A. DC＝DEB. ∠AED＝90°C. ∠ADE＝∠ADCD. DB＝DC6. 到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定7. 如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB 于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 以上都不对8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处二. 填空题9. 如图所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．10. 如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．11. 如图所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是____________________．12. 如图所示，∠B＝∠C，AB＝AC，BD＝DC，则要证明AD是∠BAC的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加∠B与∠C互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD与DC已经分别是__________的距离．13. 如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C 在__________．14. 如图所示，在R t△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．15. （1）∵OP平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴__________（依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP平分∠AOB（依据：___________）．三. 解答题16. 已知：如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE ＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．17. 如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF ＋∠BAF＝180°．（1）求证：DE＝DF；（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？18. 如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC ＝BC．19. 如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）（2）求出仓库G到铁路的实际距离．四. 探究题20. 有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；（3）连接AD、BC相交于点E；（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．你认为他这种作法对吗？试说明理由．。