【原创课件】倾斜角与斜率
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课件2：2.1.1 倾斜角与斜率
(2)设直线 l2 的倾斜角为 α，α＝15°＋75°＝90°，
所以直线 l2 的倾斜角为 90°.
答案：(1)D (2)90°
方法规律 1．解答本题应注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答. 2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出 图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
探究题 3 解析：直线的斜率是由直线的倾斜角决定的，
k＝tan α(a≠90°)．当 0°≤α<90°时，倾斜角越大，斜率越大； 当 90°<α<180°时，斜率是负的，倾斜角越大，斜率也越大. 先通过图形判断出直线的倾斜角在 0°≤α<90°范围内．
根据“直线的倾斜角越大，斜率越大”可知 k1<k2<k3.
倾斜 准，x 轴_正__向___与直线 l__向__上__的方向之间所
α 角 成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x
轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0°
定义
表示或记法
斜率 一条直线的倾斜角 α 的__正__切___值_____
k＝tan α
(2)倾斜角与斜率的对应关系
图示
倾斜角 (范围) 斜率 (范围)
α＝0° __k_＝__0_
0°<α<90° α＝_9__0_°__
__k_>_0__
斜率 不存在
90°<
α<180°
_k_<_0___
由上表可知直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是__0_°___≤__α__<_1_8_0_°__，斜率 k 的
取值范围是_(_－__∞__，__＋__∞__)______.
当 135°≤α<180°时，倾斜角为 α－135°
所以直线 l2 的倾斜角为 90°.
答案：(1)D (2)90°
方法规律 1．解答本题应注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答. 2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出 图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
探究题 3 解析：直线的斜率是由直线的倾斜角决定的，
k＝tan α(a≠90°)．当 0°≤α<90°时，倾斜角越大，斜率越大； 当 90°<α<180°时，斜率是负的，倾斜角越大，斜率也越大. 先通过图形判断出直线的倾斜角在 0°≤α<90°范围内．
根据“直线的倾斜角越大，斜率越大”可知 k1<k2<k3.
倾斜 准，x 轴_正__向___与直线 l__向__上__的方向之间所
α 角 成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x
轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0°
定义
表示或记法
斜率 一条直线的倾斜角 α 的__正__切___值_____
k＝tan α
(2)倾斜角与斜率的对应关系
图示
倾斜角 (范围) 斜率 (范围)
α＝0° __k_＝__0_
0°<α<90° α＝_9__0_°__
__k_>_0__
斜率 不存在
90°<
α<180°
_k_<_0___
由上表可知直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是__0_°___≤__α__<_1_8_0_°__，斜率 k 的
取值范围是_(_－__∞__，__＋__∞__)______.
当 135°≤α<180°时，倾斜角为 α－135°
课件2：2.2.1 第1课时 直线的倾斜角与斜率
【新知初探】
1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与 x 轴 相交，将 x 轴绕着它们的交点按 逆时针方向旋转到与直线重合时所 转的最小正角记为 θ，则称 θ 为这条直线的倾斜角． (2)当直线与 x 轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为 0°． (3)倾斜角 α 的范围为 [0°，180°) ．
的应用．(难点) 核心素养．
5．掌握直线的方向向量和法向量．(重点)
【情境引入】
我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗？如图所示，过一点 P 可以作无数多条直 线 a，b，c，…我们可以看出这些直线都过点 P，但它们的“倾斜 程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？
[跟进训练] 1．已知直线 l1 的倾斜角为 α1＝15°，直线 l1 与 l2 的交点为 A，直线 l1 和 l2 向上的方向之间所成的角为 120°，如图所示，求直线 l2 的倾斜角．
[解] ∵l1 与 l2 向上的方向之间所成的角为 120°，l2 与 x 轴交于点 B， ∴倾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°．
【初试身手】
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法． ( ) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应． ( ) (3)一个倾斜角 α 不能确定一条直线． ( ) (4)斜率公式与两点的顺序无关． ( ) (5)直线的方向向量与法向量不唯一． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
[跟进训练] 2．已知坐标平面内三点 A(－1,1)，B(1,1)，C(2， 3＋1)． (1)求直线 AB、BC、AC 的斜率和倾斜角； (2)若 D 为△ABC 的边 AB 上一动点，求直线 CD 斜率 k 的变化范围．
直线的斜率与倾斜角ppt
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ，表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性，用于描 述直线的方向和倾斜程度，是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
《直线倾斜角和斜率》课件
斜率决定了直线与x轴之间的夹角，即倾斜角。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
倾斜角与斜率课件
应用于建筑设计、道路坡度计算 和管道输水压力分析等领域。
数学
倾斜角和斜率是解析几何和微积 分中重要的概念。
倾斜角和斜率的常见误区及解决方法
1 常见误解
倾斜角和斜率是同一概念；倾斜角始终为正 角。
2 避免误解和解决问题
明确区分倾斜角和斜率的定义；了解不同情 况下倾斜角的取值范围。
总结
重要性
倾斜角和斜率在数学和实际应用中具有重要作用。
计算倾斜角和斜率的方法
1
倾斜角
Байду номын сангаас
通过三角函数计算，公式为tan(倾斜角)
斜率
2
= 斜率。
通过两点间纵坐标差值除以横坐标差值
计算。
3
计算公式
倾斜角 = arctan(斜率)；斜率 = (纵坐标 差值) / (横坐标差值)。
应用倾斜角和斜率于实际问题中
地理学
工程学
倾斜角和斜率可用于地形图分析、 地震摆动和河道流速计算。
本节课的学习内容
介绍了倾斜角和斜率的概念、计算方法和应用，以及解决常见误区的方法。
参考文献
推荐资料
《高等数学》教材；《地质学基础》教材。
参考文献列表
1. Smith, J. et al. (2018). Introduction to Slope and Y-Intercept. Journal of Mathematics, 25(3), 45-67.
倾斜角与斜率ppt课件
本ppt课件介绍倾斜角和斜率的概念，并探讨它们之间的关系。还将介绍计算 倾斜角和斜率的方法，并应用于实际问题。最后，解决常见误区并总结重点。
倾斜角和斜率的概念
定义
倾斜角是一条线段与x轴正向 的夹角。
《倾斜角与斜率》课件
斜率在经济学中的 应用：描述价格、 需求、供给等变化 趋势
斜率在工程学中的 应用：描述斜坡、 斜面等倾斜角度
斜率在数学中的 应用：描述函数、 曲线等变化趋势
定义不同：倾斜角是直线与水平线之间的夹角，而斜率是直线的倾斜程度，即直 线与水平线之间的夹角的正切值。
取值范围不同：倾斜角的取值范围是[0, 90]度，而斜率的取值范围是实数集。
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目录
01.
02.
03.
04.
倾斜角是表示直线或平面相对于水平面的倾斜程度的角 倾斜角是二面角中的一个角，其范围为0°到90° 倾斜角是直线与水平面之间的夹角，其范围为0°到90° 倾斜角是平面与水平面之间的夹角，其范围为0°到90°
倾斜角是斜率的正切值
斜率是倾斜角的正切值
倾斜角与斜率都是描述直线倾 斜程度的量
圆柱体：倾斜角是圆柱体侧面与底面的 夹角
球体：倾斜角是球体表面与水平面的夹 角
空间几何体：倾斜角是空间几何体与水 平面的夹角
斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量 斜率等于直线或曲线在该点的切线斜率 斜率等于直线或曲线在该点的导数 斜率等于直线或曲线在该点的斜率函数值
斜率公式：y=kx+b，其中k为 斜率，x、y为坐标
几何意义不同：倾斜角表示直线与水平线之间的夹角，而斜率表示直线的倾斜程 度。
计算方法不同：倾斜角的计算方法是通过三角函数计算，而斜率的计算方法是通 过直线的斜率公式计算。
倾斜角是斜率的正切值
斜率是倾斜角的正切值
倾斜角是斜率的倒数
斜率是倾斜角的倒数
倾斜角：表示直线与水平线的夹角，取值范围为0°到90° 斜率：表示直线的倾斜程度，取值范围为正无穷到负无穷 区别：倾斜角是角度，而斜率是比例 联系：倾斜角与斜率都可以用来描述直线的倾斜程度，但倾斜角更直观，而斜率更精确 应用：在几何图形中，倾斜角与斜率可以用来描述直线的倾斜程度，也可以用来计算直线的斜率、倾斜角等参数。
3.1.1 倾斜角与斜率(共25张PPT)
栏目 导引
第三章
直线与方程
【方法感悟】
1．求直线倾斜角的方法： 定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． 分类法：根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论： α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.
2．当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时可直接利用
斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是 否相等，若相等，直线垂直x轴，斜率不 α＝ 60° ，则其斜率 k＝ ________.
答案： 3
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第三章
直线与方程
典题例证技法归纳
【题型探究】
题型一
例1
对直线的倾斜角、斜率的理解
已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交
点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°， 如图所示，求直线l2的倾斜角．
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第三章
直线与方程
当直线 l 由与 y 轴平行的位置变化到 PA 位置时，它的倾斜角 3 由 90° 增大到 PA 的倾斜角， 故斜率的变化范围是(－∞， － ]． 2 综上可知，直线 l 的斜率的取值范围是 3 4 (－∞，－ ]∪[ ，＋∞ )． 2 3
栏目 导引
第三章
直线与方程
知能演练轻松闯关
栏目 导引
第三章
直线与方程
想一想 任何一条直线都有唯一的倾斜角和它对应，是 否也有唯一的斜率和它对应？ 提示：不一定．任何一条直线都有唯一的倾斜角和它对
应，但当倾斜角等于90°时，其斜率不存在．
栏目 导引
第三章
直线与方程
做一做
2. 已知 P1 (3,5)，P2 (－ 1，－ 3)，则直线 P1 P2 的斜率 k 等于 ( ) A． 2 B． 1 1 C. D．不存在 2 － 3－ 5 解析：选 A.k＝ ＝ 2. － 1－ 3
课件_人教版数学必修二《倾斜角与斜率》PPT课件_优秀版
解: P1, P2, P3在一条直线上
k k P1P2
P2P3
即32 13 x1 3x
x 7. 3
20
小结 ① 经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成 过程，能自然过渡到倾斜角的概念。 ② 通过对坡角、坡度概念回顾，经过知识迁移到 直线 的斜率中，并得到了斜率的定义。 ③ 经历用代数方法刻画直线斜率的过程，推导出 过已知两点的 直线的斜率坐标公式。
任一条直线都有倾斜角，也2 都有斜率；1
x
所成的角 叫做直线的
结论：坡度越大，楼梯越陡．
设直线的倾斜程度为k
在RtP2Q1中 P
tan
P2Q P1Q
y2 y1 x1 x2
0 ktany2y1y2y1
x1x2 x2x1
17
三、直线的斜率公式:
经过两点 P1(x1, y1),P2(x2, y2)(x1 x2)
我们把一条直线的倾斜角 的正切值
叫做这条直线的斜率.
用小写字母 k 表示，即： ktan
12
例题:已知直线的倾斜角,求直线的斜率：
1a30 ktan30 3 3
2a45 kta4n51
3a60 kta6n0 3
4a120 ktan1203
5a150ktan150 3
3
13
是否每条直线都有斜率? 0 a180
8
练习:下列图中标出的直线的倾斜角对不对？
y
o x
（1）
y
o
x
（2）
y
o
x （3）
y
ox
（4）
9
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
坡度（比 前 升 ）进 高量 量
10
倾斜角与斜率 课件
【解析】 (1)直线的斜率分别为 k1＝tan60°＝ 3，k2＝tan135° ＝－1；
(2)直线 AB 的斜率 kAB＝－1－4－23＝17； 直线 BC 的斜率 kBC＝0－－1－－14＝－42＝－12； 直线 AC 的斜率 kAC＝2－3－－01＝33＝1. (3)当 m＝2 时，直线 AB 的斜率不存在； 当 m≠2 时，直线 AB 的斜率 kAB＝m4－－32＝m－1 2.
方法归纳
(1) 求 直 线 的 斜 率 通 常 有 两 种 方 法 ： 一 是 已 知 直 线 的 倾 斜 角 α(α≠90°)时，可利用斜率的定义，即 k＝tanα 求得；二是已知直线 所经过的两点的坐标时，可利用过两点的直线的斜率公式计算求 得．
(2)使用斜率公式 k＝yx22－ －yx11求斜率时，要注意其前提条件是 x1≠x2，若 x1＝x2，即两点的横坐标相等时，直线斜率不存在．
倾斜角与斜率
知识点一 直线的倾斜角
1．直线 l 的倾斜角的概念 一个前提：直线 l 与 x 轴相交； 一个基准：取 x 轴作为基准； 两个方向：x 轴正方向与直线 l 向上方向． 2．倾斜角的范围 当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0°.因此， 直线的倾斜角α的取值范围为[0°，180°)．
【答案】 D
方法归纳
根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图；然后根 据定义找直线向上的方向与 x 轴的正方向的夹角，即为直线的倾斜 角．画图时一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论二 直线的斜率 [例 2] (1)已知两条直线的倾斜角分别为 60°，135°，求这两条 直线的斜率； (2)已知 A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线 AB，BC，AC 的斜率； (3)求经过两点 A(2,3)，B(m,4)的直线的斜率．
2-1-1倾斜角与斜率 课件(共43张PPT)
④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；
⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝ 22，则α＝45°.
其中正确命题的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 (1)都不满足倾斜角的定义，图(3)中α与倾斜角的 大小一样，但不是倾斜角．
(2)任意一条直线有唯一的倾斜角；倾斜角不可能为负；倾 斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，② ③错误．④中当α＝0°时，sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为 135°，故⑤错误．
答：不对．
当x1≠x2时，k＝yx22－ －yx11＝xy11－－xy22； 当x1＝x 2时，斜率不存在．
课时学案
题型一 倾斜角的求法
例1 (1)下列图中标出的直线的倾斜角中正确的有___0_____ 个．
(2)给出下列命题：
①任意一条直线有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30π；
③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；
2．斜率与倾斜角的关系
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0°
0°<α<90°
90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0
k>0
不存在
k<0
k的增减性 相同 随α的增大而增大 无 随α的增大而增大
3.任意过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率均为k＝
y2－y1 x2－x1
对吗？
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜 角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方 向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，我们 可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也 就表示了直线的方向．
相关主题
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求经过下列两点的直线的斜率，并 判断这些直线的倾斜角是锐角、钝 角还是直角。
① A(3,2), B(4,1)
② C(1,2), D(6,2)
③ P(3,0),Q(3,2)
已知点 P(1,2) ，点 Q 在 y 轴上，
若直线 PQ的倾斜角为 45，求点Q
的坐标。
m 已知 为任意实数，直线 PQ 过
3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点) 2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．(难点) 3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)
当倾斜角 为钝角时，直线的斜率
如何求？请举例。
已知 P1(x1, y1) ，P2 (x2, y2 ) 是直线 l 上任意两个不同的点，则直线 l 的
点 P(-1, 2),Q(m, 4) ，求直线 PQ
的斜率。
Hale Waihona Puke 判断下列命题的正误①每一条直线都有唯一确定的倾斜角（ ）
②每一条直线都有斜率（ ）
③直线的倾斜角为 ，则直线的斜率
为 tan （ ）
④若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率
也相等。（ ）
已知下列直线的倾斜角，求直线的 斜率：
（1） 0。 （2） 30。 （3） =45。 （4） 60。 （5） 90。 （6） =120。 （7） =135。（8） 150。
斜率 k y2 y1 ，当直线与坐标轴平
x2 x1
行或重合时(如下图),上述结论还成 立吗?公式与两点的顺序有关吗？
直线的倾斜角与斜率的关系
倾斜角 0 0 90 90 90 180
斜率 k
下图中， 能表示直线 l的倾斜角
大小的是 ( )
A．① B．①②
C．①③ D．②④