姜晓千冲刺班线代讲义

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南京海天数学名师姜晓千解读13数学真题线代概率难点

南京海天数学名师姜晓千：解读13数学真题线代概率难点专访姜晓千主持人：各位网友大家好，欢迎大家来到海天考研2013真题点评的直播间，我们今天已经结束了考研的数学科目的考试，上午考试结束后，我们也第一时间请到了海天教育集团辅导名师姜晓千老师来到我们访谈的现场第一时间点评真题。

首先，欢迎姜晓千师的到来，请老师也给各位同学打个招呼。

姜晓千：各位同学大家好！各位网友好。

主持人：姜老师，今天考试结束后，你拿到了2013年的数学真题，你针对线代概率部分做一下特点和难度的点评吧。

姜晓千：好，我抓紧时间看了一下每个题，做了一遍。

张宇老师把高等数学系统全面解读了，下面咱们把线代概率好好说一下，整个难度跟去年还是比较适中的，特点还是以基础题为主，另外有个别的很有特色的题目，下面结合真题给大家解读一下。

首先看一下线性代数第五题，说AB等于C，这个数考向量组等价冲刺班里给大家补充过向量组等价，向量组等价不是秩相等的问题，而是互相线性表示的。

你能把AB分块掌握好了，这个题就不难解答了，答案应该选B，A和C是互相等价的，也就是说可以互相线性表示的。

第六题，给了实对称的相似这个不只相似，包括等价，合同，每一个的定义，每一个的判定，彼此之间的关系，整个知识体系给大家分析得很清楚，今年没有考合同，而是考相似。

充要条件有相同的特征值，这个同学们把特征值求出答案没有什么，答案选B.接着看第7题概率统计，出的八大分布，第二章核心的问题把握住八大分布，尤其重点在于正太分布，这个反复考，今年考正太分布标准化的问题，只要想到标准化这个题就没有什么问题，答案选A.第8题涉及到T分部，F分部，这是统计量里面的三抽。

此题把这两个分布掌握好，就没有问题了。

接着往下看，填空题13题，大家只要听过冲刺班看下讲义，第一页第一题a=正负A等等一系列结论，a如果等于负的A行列式等于负1，直接选一秒钟拿分。

填空题14题，八大分布必须掌握所有的分布，这个题是考指数分布，你可以把这个概率转化成分布函数带上去做，你也可以直接用指数分布无记性，Y小于等于1，1-e的负一次方，这是题的标准答案。

姜晓千高数强化班讲义

姜晓千高数强化班讲义
摘要：
1.姜晓千高数强化班的讲义概述
2.讲义的主要内容和特点
3.讲义对于学习高数的帮助
4.如何有效利用讲义学习高数
5.结论
正文：
姜晓千高数强化班的讲义是一套非常实用的高数学习资料，它涵盖了高数课程中的所有重要知识点，旨在帮助学生深入理解高数概念，掌握解题技巧，提高数学思维能力。

讲义的主要内容和特点有以下几点：
首先，讲义对高数课程中的基本概念和理论进行了深入讲解，使得学生可以全面地理解高数的基本概念和理论体系。

其次，讲义对高数课程中的典型题型进行了详细分析和解答，使得学生可以熟练掌握解题技巧和方法，提高解题效率。

再次，讲义中的例题和习题非常丰富，可以帮助学生更好地巩固所学知识，加深对高数概念的理解。

此外，讲义还提供了一些学习高数的方法和技巧，如如何进行有效的复习，如何解决数学思维定势等，这些对于学习高数都是非常有帮助的。

因此，利用姜晓千高数强化班的讲义学习高数，不仅可以提高学习效率，
还可以提高学习质量。

但是，如何才能有效地利用讲义学习高数呢？
首先，学生需要认真阅读讲义中的每一个章节，对高数课程中的基本概念和理论进行深入理解。

其次，学生需要认真完成讲义中的例题和习题，尤其是对于那些比较难懂的题目，更需要多加思考和练习。

最后，学生需要定期复习讲义中的知识点和解题技巧，以巩固所学知识，加深对高数的理解。

Kira考研概统抢分班讲义(三)

Kira 提问：所有的随机变量都有数学期望吗? >>真题演练 (2017,数一三，22) 设随机变量 X ， Y 相互独立，且 X 的概率分布为
2 y, 0 y 1 1 P X 0 P X 2 , Y 的概率密度为 f y 2 0, 其他
x4 )， 2
>>真题演练 (2011，数一三，14）设二维随机变量 ( X , Y ) ~ N ( , , , ， 0) ,则
2 2
E ( XY 2 ) _____
四、随机变量的矩、协方差和相关系数 1. 随机变量的矩 ① K 阶原点矩 ② K 阶中心矩 • Ak=E(X ),
【专题】求随机变量函数分布之——已知 X 和 Y 的分布，求 Z=g(X，Y)的分布 Kira 提问：请问 Z 是一维随机变量还是二维随机变量? 类型一：当 X 和 Y 都是离散型随机变量（没难度，随便考） >> 真题演练（2011，数三,22）已知随机变量 X ， Y 的概率分布分别为： X P
2 y, 0 y 1 1 P X 0 P X 2 , Y 的概率密度为 f y 2 0, 其他
(II)求 Z X Y 的概率密度.
Kira 备注：这道题是 2008 年数一三 22 题几乎原题，旧题重考.
2
2018 Kira 考研概统醒脑抢分班
3. 相关系数的定义及性质 • 相关系数定义：若随机变量 X，Y 的方差和协方差均存在, 且 DX>0,DY>0，则称下式为 X 与 Y 的相关系数
XY
• 相关系数性质：
cov( X , Y ) DX DY
① -1 XY 1， XY = YX ，XX =1； ② |XY|=1 X 与 Y 以概率 1 线性相关，即存在常数 a, b 使 P{Y= aX+b}=1； ③ X 与 Y 不相关 XY=0; 4. 四个重要等价命题

线性代数考研讲义完整版

考研数学线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1,a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2,…………a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=b m,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由m⨯n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m⨯n型矩阵.例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个4⨯5矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a11 a12…a1n a11 a12…a1n b1A= a 21 a22…a2n 和(A|)= a21 a22…a2n b2…………………a m1 a m2…a mn a m1 a m2…a mnb m为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,⋯ ,a n的向量可表示成a1(a1,a2,⋯ ,a n)或a2,┆a n请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1⨯n矩阵,右边是n⨯1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个m⨯n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为,2,⋯ ,n时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(1,2,⋯ ,n).1矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个m⨯n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m⨯n矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个m⨯n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m⨯n的矩阵,记作c A,法则为A 的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A.④数乘结合律: c(d)A=(cd)A.⑤ c A=0⇔ c=0 或A=0.转置:把一个m⨯n的矩阵A行和列互换,得到的n⨯m的矩阵称为A的转置,记作A T(或A').有以下规律:① (A T)T=A.② (A+B)T=A T+B T.③ (c A)T=c A T.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当是列向量时, T表示行向量,当是行向量时, T表示列向量.向量组的线性组合:设1,2,…,s是一组n维向量, c1,c2,…,c s是一组数,则称c 11+c22+…+c s s为1,2,…,s的(以c1,c2,…,c s为系数的)线性组合.n维向量组的线性组合也是n维向量.(3) n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法.对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|γ).(2)用(B|γ)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ⋯,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|γ0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|η),则η就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵⇒A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵⇐A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵⇔A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2.下列命题中哪几个成立?(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1)a21 a22 (2)……… .a n1 a n2…a nn如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|.意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式:a11 a12a21 a22 = a11a22-a12a21 .a11 a12 a13a21 a22 a23 = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32-a13a22a31- a11a23a32-a12a21a33.a31 a32 a33一般地,一个n阶行列式a11 a12 (1)a21 a22 (2)………a n1 a n2…a nn的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为:n nj j j a a a 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项. 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数(意义见下面),则项n nj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21n j j j τ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:023********,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.至此我们可以写出n 阶行列式的值:a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(n n n nj j j j j j j j j a a a τ-∑ … … …a n1 a n2 … a nn这里∑n j j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n阶行列式的第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij的余子式,记作M ij.称A ij=(-1)i+j M ij为元素a ij的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.3.其它性质行列式还有以下性质:①把行列式转置值不变,即|A T|=|A| .②某一行(列)的公因子可提出.于是, |c A|=c n|A|.③对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如+2|=|,1|+|,2|.|,④把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.⑥某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.⑦如果A与B都是方阵(不必同阶),则A * = A O =|A||B|.O B * B范德蒙行列式：形如1 1 1 (1)a 1 a 2 a 3 … a na 12 a 22 a 32 … a n 2… … … …a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-i的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于).(i j ji a a -∏< 因此范德蒙行列式不等于0⇔ a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D 1/D, D 2/D,⋯,D n /D),这里D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A|)作初等行变换,使得A变为单位矩阵: (A|)→(E|η),η就是解.用在齐次方程组上:如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A|≠0.二. 典型例题1.利用性质计算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ②1+x 1 1 1 ③1+a 1 1 1a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例31+x1 1 1 11 1+x2 1 1 .1 1 1+x3 11 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 33x2-29 x3 6 -6例7求x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x4和x3的系数.0 b x+1 12 2 1 x例8 设4阶矩阵A =(, 1, 2 ,3),B =(, 1, 2 ,3),|A | =2, |B |=3 ,求|A +B | . 例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 yy-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01)2 2 2 20 -7 0 05 3 -2 23.几个n 阶行列式两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a nb 1c 2 0 … 0 0证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)n i i i i n i b b a c c --+=-∑.… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出).例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111n n ii i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏.… … … …b n … 0c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出).另一个常见的n 阶行列式:例13 证明a+b b 0 … 0 0a a+b b … 0 0… … … … = 110n n n n i ii a b a b a b ++-=-=-∑(当a ≠b 时). 0 0 0 … a+b b0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.4.关于克莱姆法则的题例14设有方程组x 1+x 2+x 3=a+b+c,ax 1+bx 2+cx 3=a 2+b 2+c 2,bcx 1+acx 2+abx 3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等.(2)在此情况求解.参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x3(x+4). ③ a3(a+10). 例2 1875.例3 x1x2x3x4+x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3.例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a2-a3+a4-a5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x1=a,x2=b,x3=c..第三讲矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设a11 a12...a1n b11 b12...b1s c11 c12 (1)A= a21 a22...a2n B= b21 b22...b2s C=AB=c21 c22 (2)………………………a m1 a m2…a mn ,b n1 b n2…b ns ,c m1 c m2…c ms ,则c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a in b nj.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.③矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A 0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A 0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质(c A)B=c(AB).③结合律(AB)C= A(BC).④ (AB)T=B T A T.2. n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质: |AB|=|A||B|.如果AB=BA,则说A和B可交换.方幂设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E.显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:①A k A h= A k+h.② (A k)h= A kh.但是一般地(AB)k和A k B k不一定相等!n阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0,对n阶矩阵A规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+ a1A+a0E.称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.乘法公式一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有:(A ±B )2=A 2±2AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ).二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A 的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则 A 11 A 12 B 11 B 12 = A 11B 11+A 12B 21 A 11B 12+A 12B 22A 21 A 22B 21 B 22 A 21B 11+A 22B 21 A 21B 12+A 22B 22要求A ij 的列数B jk 和的行数相等.准对角矩阵的乘法:形如A 1 0 0A = 0 A 2 0………0 0 …A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A1,A2,…,A k都是方阵.两个准对角矩阵A10 ...0 B10 0A= 0 A2 ...0 , B= 0 B2 0………………0 0 …A k 0 0 …B k如果类型相同,即A i和B i阶数相等,则A1B10 0AB = 0 A2B2 …0 .………00 …A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是m⨯n矩阵B是n⨯s矩阵.A的列向量组为1,2,…,n,B的列向量组为,2,…,s, AB的列向量组为1,2,…,s,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块1法则的特殊情形):①AB的每个列向量为:i=A i,i=1,2,…,s.即A(1,2,…,s)=(A1,A2,…,A s).②=(b 1,b2,…,b n)T,则A= b11+b22+…+b n n.应用这两个性质可以得到:如果i=(b1i,b2i,…,b ni)T,则=A I=b1i1+b2i2+…+b ni n.i即:乘积矩阵AB的第i个列向量i是A的列向量组1,2,…,n的线性组合,组合系B i类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵从左侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(i≠j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设B=(1,2,…,s),则X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=i,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.(A|B)→(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)→(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵. 此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0⇒B=0；AB=AC⇒B=C.(左消去律)；BA=0⇒B=0；BA=CA⇒B=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C⇔B=A-1C. BA=C⇔B=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0.证明“⇒”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|≠0. (并且|A-1|=|A|-1.)“⇐”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c≠0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵,并且E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵①计算逆矩阵的初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:(A|E) (E|A-1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.②伴随矩阵若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A11 A21…A n1A*= A12 A22…A n2 =(A ij)T.………A1n A2n…A mn请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是对于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc 0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A；n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.计算题例1=(1,-2,3) T,=(1,-1/2,1/3)T, A= T,求A6.讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A= T,则A k=(T)k-1A=(tr A)k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如T的地方可把它当作数处理.① 1 -1 1T= -1 1 -1 ，求T.（2003一）②设=(1,0,-1)T, A=T,求|a E-A n|.③n维向量=(a,0,⋯,0,a)T, a<0, A=E-T, A-1=E+a-1 T,求a. (03三,四)④ n维向量=(1/2,0,⋯,0,1/2)T, A=E- T, B=E+2 T,求AB. (95四)⑤ A=E- T,其中,都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求T.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n=A n-2+A2-E. (2) 求A n.例4设A为3阶矩阵, 1,2,3是线性无关的3维列向量组,满足A 1=1+2+3, A2=22+3, A3=22+33.求作矩阵B,使得A(1,2,3)=(1,2,3)B. (2005年数学四)例5设3阶矩阵A=(1,2,3),|A|=1,B=(1+2+3,1+22+33,1+42+93),求|B|.(05)例6 3维向量1,2,3,1,2,3满足+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+3-2+3=0,1已知1,2,3|=a,求|1,2,3|.例7设A是3阶矩阵,是3维列向量,使得P=(,A,A2)可逆,并且A 3=3A-2A2.又3阶矩阵B满足A=PBP-1.(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A,求X.-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A= -1 1 1 , A*X=A-1+2X,求X.1 -1 1例11 4阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E,已知1 0 0 0A*= 0 1 0 0 ,求B. (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11.2 13 0 0 -1例13设1=(5,1,-5)T,2=(1,-3,2)T,3=(1,-2,1)T,矩阵A满足A 1=(4,3) T, A2=(7,-8) T, A3=(5,-5) T,求A.2.概念和证明题例14 设A是n阶非零实矩阵,满足A*=A T.证明:(1)|A|>0.(2)如果n>2,则|A|=1.例15 设矩阵A=(a ij)3 3满足A*=A T,a11,a12,a13为3个相等的正数,则它们为(A) 3/3.(B) 3. (C)1/3. (D) 3. (2005年数学三)例16 设A和B都是n阶矩阵,C= A0 ,则C*=0 B(A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * |A|A*(C) A|B* 0 (D ) |B A* 00 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆.讨论: 如果f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c) 0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设是n维非零列向量,记A=E-T.证明(1) A 2=A⇔T =1.(2)T =1⇒ A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B都是n阶矩阵,证明E-AB可逆⇔ E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab≠0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆⇔ B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B都是n阶对称矩阵, E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.例27 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 如果A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C为(A) E.(B) -E. (C) A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例1 35A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1①3.②a2(a-2n). ③-1. ④E. ⑤4.例2 O.例3 (1)提示: A n=A n-2+A2-E⇔A n-2(A2-E)=A2-E ⇔ A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例 4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例 6 –4a.例7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19E(i,j).例22提示:用克莱姆法则.例如证明 ,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:计算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系设1,2,…,s是一个n维向量组.如果n维向量等于1,2,…,s的一个线性组合，就说可以用1,2,…,s线性表示.如果n维向量组1,2,…,t中的每一个都可以可以用1,2,…,s线性表示,就说向量,2,…,t可以用1,2,…,s线性表示.1判别“是否可以用1,2,…,s线性表示? 表示方式是否唯一？”就是问：向量方程x 11+x22+…+x s s=是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以1,2,…,s为增广矩阵的线性方程组.反之,判别“以A为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“是否可以用A的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题.向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系: 乘积矩阵AB的每个列向量都可以表示为A的列向量组的线性组合,从而AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示;反之,如果向量组1,2,…,t可以用1,2,…,s线性表示,则矩阵(1,2,…,t)等于矩阵(1,2,…,s)和一个s t矩阵C的乘积.C可以这样构造: 它的第i个列向量就是i 对1,2,…,s的分解系数(C不是唯一的).。

考研数一线性代数讲义

(B) -(m+n) (C) n-m (D) m-n
(A) m+n
(5) 已知 α 1 , α 2 为 2 维列向量，矩阵 A= ( 2α 1 + α 2 , α 1 − α 2 ) ， B = (α 1 , α 2 ) 若行列式|A|=6，则|B|=_______ （-2）
(6) 设 A 为 n 阶正定阵，证明 A+E 的行列式大于 1 (7) 设 A 为 m 阶矩阵，B 为 n 阶矩阵，并且|A|=a，|B|=b, |C|=_____ （8）已知实矩阵 A=(aij)3×3 满足条件（1）aij=Aij,其中 Aij 是 aij 的代数余子式;（2）a11 ≠ 0 计算行列式 |A|（提示：利用伴随矩阵行列式公式和行列式按行或列展开的公式） (9) 设 A 为 n 阶非零方阵，A 是 A 的伴随矩阵，A 是 A 的转置矩阵，当 A = A 时，证明： | A |≠ 0
−1 −1
2 2
= A (2) (kA) −1 =
1 −1 −1 −1 −1 (3) ( AB) = B A ；反之， B −1 A−1 = ( AB)−1 A k
−1 −1 ( A1 A2 ... As ) −1 = As As −1 ... A1 −1 ；注意等式 AB −1 = ( BA−1)−1 的应用。
a11 a 22 a nn =
a11 a 22 * a nn =
a11 a 22 * a nn = a11 .a 22 ...a nn
3
副对角行列式 D =
a11 a 21 a n1 1 x1
n −1 x1
a12 a 22
0
a1,n −1 a 2,n −1
0
a1n
0 0

基础30讲线代和线代辅导讲义

基础30讲线代和线代辅导讲义一、线性代数的基础概念1.1 矩阵和向量•矩阵的定义和基本运算•向量的定义和基本运算•线性组合和线性相关性1.2 线性方程组•齐次线性方程组和非齐次线性方程组•列向量和矩阵的关系•矩阵的秩和解空间的性质二、矩阵的特征值和特征向量2.1 特征值和特征向量的定义•特征值和特征向量的基本概念•特征方程和特征多项式2.2 对角化和相似矩阵•对角化矩阵的性质和条件•相似矩阵的定义和性质•可对角化的判定条件2.3 特征值的计算方法•特征值的代数重数和几何重数•特征值计算的方法：特征方程、特征多项式、行列式等三、线性变换和线性映射3.1 线性变换和线性映射的定义•线性变换和线性映射的概念•线性变换和线性映射的基本性质：保持向量相加和标量乘积不变3.2 标准矩阵和基变换•线性变换和线性映射的表示：标准矩阵•基变换和基变换矩阵的求解3.3 线性变换和线性映射的应用•线性变换和线性映射在几何中的应用•线性变换和线性映射在工程中的应用四、矩阵的奇异值分解4.1 奇异值分解的定义•奇异值和奇异向量的基本概念•奇异值分解的意义和应用4.2 奇异值的计算方法•奇异值计算的方法：特征值分解、SVD分解等•奇异值的几何和代数性质4.3 矩阵的逆和伪逆•逆矩阵和伪逆矩阵的定义和性质•奇异值分解和矩阵的逆关系以上是关于基础30讲线性代数和线性代数辅导讲义的详细内容介绍。

通过学习这些内容，你将对线性代数的基础概念、矩阵的特征值和特征向量、线性变换和线性映射以及矩阵的奇异值分解有更深入的理解和应用能力。

无论是在理论研究中还是在实际问题中，线性代数都起着非常重要的作用。

希望这些讲义能够帮助你更好地掌握线性代数的知识，提高数学建模和问题求解的能力。

《线性代数(经管类)》讲义

2 0
7025
7025
725
5 31 2
2列 + 5×1列 1
0
0 按第二行展开 31
2 = 81
37 5
7 37 5
10/53
abbb babb 例 2 计算行列式 D4 = b b a b bbba
解：方法 1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取 0
解：观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第一行的元素是 a12 = 1 ，利用这个元素可以把这一
列其它两个非零元素化为 0，然后按第二列展开.
2141
2141
3 −1 2 1 2行 +1×1行 5 D4 = 5 2 3 2 3行 + (−2) ×1行 1
062 0 −5 0
56 按第二列展开 − 1 − 5
n
之和等于零.即 ai1 Ak1 + ai2 Ak 2 + L + ain Akn = 0(i ≠ k )
或 a1 j A1s + a2 j A2s + L + anj Ans = 0( j ≠ s)
8/53
（三）行列式的计算
行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，
那么，三阶行列式 D3 定义为
a11 a12 a13 D3 = a21 a22 a23 = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31
a31 a32 a33
3
3
∑ ∑ 我们把它称为 D3 按第一列的展开式，经常简写成 D3 = ai1 Ai1 = (−1)i+1 ai1Mi1

考研线性代数精讲讲义

性质4ห้องสมุดไป่ตู้
某行列是两个元素之和, 则可拆成两个行列式之和.
a11 b1 a12 b2 a13 b3 a11 a12 a13 b1 b2 b3
a21
a22
a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23 .
a31
a32
a33
a31 a32 a33 a31 a32 a33
性质5 某行列元素的k倍加到外一行(列)对应元素上,行列式的值不变.
线性代数的考试基本情况
▪一、满分34分；2个选择+1个填空+2个解答； ▪二、数一数二数三考试内容基本统一
（数一：向量空间） ▪三、一个核心——秩，一个方法——初等变换.
第1章行列式
▪主要内容
▪1.行列式的定义及性质； ▪2.行列式的展开公式
一、行列式的定义
▪1.排列和逆序
排列由n个数1, 2, , n组成的一个有序数组称为一个n级排列, n级排列共有n!个.
.
x x n1
n1
1
2
x n 1 n
▪
第2章矩阵及其运算
主要内容:
▪ 1.矩阵的基本运算
▪ 2.幂、转置、伴随、逆
▪ 3.初等变换与初等矩阵
▪ 4.秩
▪▪一、矩阵的定义及其基本运算
▪1.矩阵的定义
由m n个数,排成的m行n列的表格
a11 a12 a21 a22 an1 an2
a1n
a2
n
称为一个m
n的矩阵,
记为A.
ann
若m n,则称为n阶方阵；
若A与B都是m n的矩阵,则称A与B是同型矩阵；
若A与B是同型矩阵且对应元素aij bij ,则A B.

辅导讲义(线性代数第二讲)

178第二章矩阵矩阵本质上就是一个数表，它是线性代数中一个非常重要而且应用十分广泛的概念，贯穿了线性代数的始终，复习时要高度重视，概念要清晰，符号要习惯，运算要准确、迅速、简捷。

1. 理解矩阵的概念，熟练几种特殊的矩阵；2. 了解单位矩阵, 对角矩阵, 三角矩阵, 对称矩阵以及它们的基本性质；3. 掌握矩阵的线性运算, 乘法, 转置及其运算规则；4. 理解逆矩阵的概念; 掌握可逆矩阵的性质; 会用伴随矩阵求矩阵的逆；5. 了解分块矩阵的概念, 了解分块矩阵的运算法则。

一、考试内容 2.1 矩阵的定义由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成如下m 行n 列的形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n mna a a a a a a a a A (2)12222111211称为一个n m ⨯矩阵，当n m =时，矩阵A 称为n 阶矩阵或者叫n 阶方阵。

只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵，又称为行向量；反之，只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。

两个矩阵的行数和列数都相等时，就称它们为同型矩阵。

如果是同型矩阵，而且对应元素都相等，则称两矩阵为相等矩阵。

元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O 。

注意不同型的零矩阵是不同的。

2.2 矩阵的加法设有两个n m ⨯阶矩阵)(ij a A =和)(ij b B =，那么矩阵A 与B 的和记作B A +，规定为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a B A (2)21122222221211112121111 运算法则：（1）A B B A +=+ （2）)()(C B A C B A ++=++ （3）A O A =+ （4）)(B A B A -+=- 注意：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算。

辅导讲义(线性代数第四讲)

n 元齐次线性方程组 Ax 0 解的结构：
1）对系数矩阵作初等行变换可得：
A
Ir 0
B 0
；
2）写出与原方程组同解的方程组：
x1 k1,r1xr1 k1,n xn
x2
k 2,r 1 xr 1
k2,n xn ，其中 xr1, xr2,, xn 为自由未知量。
xr kr ,r1xr1 kr ,n xn
xr1 1 0 0
3）分别取
xr2
0
,
1 ,,
0
，得到
Ax
0的
n
r
个线性无关的解：
xn 0 0 1
k1,r1
k2,r
1
k1,r2
k2,r 2
1
kr,r 1
1
,2
kr,r2 0
,Leabharlann 010 0
k1,n
k2,n1
,nr
kr,n 0
即为一个基础解系。
0
1
4）所以齐次线性方程组 Ax 0 得通解为 x c11 c22 cnr nr ， c1, c2 ,cnr 为任意常数。 ※ n 元非齐次线性方程组 Ax b
n 元齐次线性方程组 Ax b 解的判定：
若 r(A) r(A) r(Ab) ，则方程组无解；
若 r(A) r(A) r(Ab) n 时，方程组有唯一解；
D1 D
,
x2
D2 D
,
,
xn
Dn D
，
其中 Dj 是把 D 中的第 j 列元素换成方程组右端的常数列，其余元素不变所得的行列式。
注意：1）克莱姆法则只适用于方程的个数与未知量的个数相等的线性方程组；

线性代数辅导讲义

线性代数辅导讲义线性代数辅导讲义_________________________________线性代数是一门重要的基础学科，它是许多学科的基础，如应用数学、工程学、物理学、经济学和计算机科学等。

它既可以用于描述实际问题，又能用于解决实际问题。

线性代数是学习数学的基础，许多大学和高中都开设了这门课程。

线性代数的内容主要包括：向量空间、矩阵论、行列式、线性方程和相关应用。

其中，向量空间是研究向量的一个重要分支，它将向量的表示、线性相关性、基和子空间等方面进行了深入的探讨。

矩阵论是研究矩阵的一个分支，它主要涉及到矩阵的表示、特征分解、幂运算、正定性、特征值和特征向量等。

行列式是对一个特定的m×n矩阵A的函数，它由m×n个未知数构成，可以用来表示某些特殊的几何形体。

线性方程是一个或多个未知数的一元或多元函数的零点方程，其中未知数的个数小于方程的阶数。

它的解可以用来解决实际问题，如课题优化、信号处理、图像处理、最小二乘法和特征分析等。

随着数学与计算机技术的发展，线性代数的应用也越来越广泛，如信号处理、机器学习和深度学习。

此外，由于人工智能技术的发展，大量数据需要通过大量数学模型进行处理，因此对于这些技术来说，学习和掌握线性代数是必不可少的。

本文探讨了线性代数的相关内容，以帮助读者加深对这门学科的理解。

向量空间、矩阵论、行列式、线性方程是其中的几个重要部分，而随着信息技术的发展，它们都变得越来越重要。

因此，学习并掌握这些内容是有必要的。

在学习这门学科时，可以通过多样化的方式来加强理解，如看书、上课、上课后自学或与他人交流来加强理解。

此外，可以通过实际应用来学习，如使用Matlab、Maple、Mathematica或Excel 来分析数据；或者使用Python、C++或Java来进行机器学习或深度学习。

本文介绍了学习和掌握线性代数的一些常见方法，并介绍了它在信息技术中的应用。

希望本文能够帮助读者对这门学科有更深入的理解，从而使他们能够在信息时代中发挥关键作用。

线性代数考研讲义完整版

线性代数考研讲义完整版前言线性代数是数学中的重要分支，也是计算机科学和物理学等领域中不可或缺的基础知识。

在考研数学中，线性代数是必考内容，因此对线性代数的掌握程度也是考生考研数学成绩的重要指标之一。

在本篇文章中，我们将介绍线性代数考研讲义的完整版，包括向量、矩阵、行列式、线性方程组、特征值、特征向量等知识点，帮助考生全面掌握线性代数的基本原理和应用。

第一章向量1.1 向量的基本概念•向量是有大小和方向的量，在平面和空间中表示为有向线段。

•向量的大小称为模长，方向由箭头所指示。

•向量之间可以进行加、减、数乘等运算。

1.2 向量的几何意义•向量可以表示平移和旋转等变换。

•向量运算可以表示点与直线、点与面的关系。

1.3 向量的坐标表示•向量的坐标表示可以转化为矩阵的形式。

•两个向量的数量积可以表示为它们坐标的点积。

1.4 向量的线性运算•向量加、减、数乘的线性运算满足交换律、结合律、分配律等基本性质。

•向量组的线性运算可以表示为矩阵的形式。

第二章矩阵2.1 矩阵的基本概念•矩阵是一个由数个数排成的矩形数表。

•矩阵可以表示为行向量和列向量的组合形式。

•矩阵的大小也称为维数，行数和列数分别表示为矩阵的行数和列数。

2.2 矩阵的运算•矩阵加法、减法、数乘等运算满足基本性质。

•矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。

•矩阵的转置、伴随矩阵等运算也具有重要的应用意义。

2.3 矩阵的初等变换•矩阵的初等变换包括交换矩阵的两行（列）、某行（列）乘以一个非零数、某行（列）乘以非零数加到另一行（列）上等三种操作。

•矩阵的初等变换可以通过矩阵乘法表示为简单矩阵的乘积，也称为初等矩阵。

第三章行列式3.1 行列式的定义•行列式是一个数值函数，是一个方阵中各行各列对应元素的代数和。

•若行列式的值为零，则该矩阵为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。

3.2 行列式的性质•行列式可以表示为对角线元素的乘积形式。

•行列式的任意两行（列）互换改变行列式的符号，相同的两行（列）使行列式为零。

线代知识点总结冲刺

线代知识点总结冲刺1. 向量向量是线性代数中的基本概念之一。

在二维空间中，向量通常表示为 (x, y)，表示从原点出发到某一点的有向线段。

在三维空间中，向量通常表示为 (x, y, z)。

向量可以进行加法和数量乘法运算，这些运算满足交换律、结合律和分配律。

2. 矩阵矩阵是线性代数中的另一个重要概念。

一个 m×n 的矩阵是一个由 m 行和 n 列元素组成的数表。

每一个元素可以是实数或复数。

对于一个矩阵 A，我们用 A(i, j) 表示第 i 行第 j 列的元素。

矩阵还可以进行加法、数量乘法和矩阵乘法等运算。

3. 线性方程组线性方程组是线性代数中的基本问题之一。

一个典型的线性方程组可以表示为：a11*x1 + a12*x2 + ... + a1n*xn = b1a21*x1 + a22*x2 + ... + a2n*xn = b2...am1*x1 + am2*x2 + ... + amn*xn = bm其中，aij 表示矩阵的元素，bi 表示常数。

线性方程组可以用矩阵和向量的形式更加简洁地表示为 Ax = b，其中 A 是系数矩阵，x 是未知向量，b 是常数向量。

解线性方程组就是找到使等式成立的未知向量 x。

4. 行列式和矩阵的逆行列式是矩阵的一个重要性质，它可以使用恰当的方式将矩阵映射成一个实数。

行列式非零的矩阵称为可逆矩阵，而行列式为零的矩阵称为奇异矩阵。

可逆矩阵的逆矩阵可以通过行列式的求值和伴随矩阵的转置来计算。

5. 特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个重要概念。

对于一个 n×n 的矩阵 A，如果存在一个实数λ 和一个非零向量 x，使得Ax = λx 成立，则λ 称为 A 的特征值，x 称为 A 的特征向量。

特征值和特征向量在矩阵的对角化和矩阵的谱分解中有重要的应用。

除了以上的基本知识点外，线性代数还涉及到向量空间、子空间、线性映射、内积空间和正交性、正交基和正交变换等内容。

辅导讲义(线性代数第一讲)

4、利用行列式行列展开及余子式和代数余子式解题
12345 11122 【例1.21】设 D 3 2 1 4 6 ，则（1）A31 A32 A33 （ 22211 43210
（A）当 m n 时，必有行列式 AB 0
（B）当 m n 时，必有行列式 AB 0
（C）当 n m时，必有行列式 AB 0
【分析】
（D）当 n m 时，必有行列式 AB 0
【例1.12】已知 n 阶 (n 3) 行列式 A a ，将 A 中的每一列都减去其余各列之和得到新的行列
0
i j
其中 Ast 是 ast 的代数余子式。
注意：见到代数余子式马上想到展开定理，想到伴随矩阵。
43000
14300
例行列式 0 1 4 3 0 =
。
00143
00014
分析对于此类三对角行列式，一般采用的是递推法。按第一列展开，有
4300
3000
430
1 D5 4 0
4 1
3 4
0 (1)21 1
x 4 ，其系数显然是 2。而含 x3 的项只能是在 2x (x 3) (x 2) (x 1) 和 x 1 (x 2) (x 1) 中，
故 x3 的系数为 11。
1.2 行列式的性质性质 1．行列式和它的转置行列式相等；性质 2．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号；
1
性质 3．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于用该数乘此行列式的任意一行（列）；
n
6．若 A 是 n 阶矩阵， i (i 1,2,, n) 是 A 的特征值，则 A i ； i 1
7．若 A ～ B ，则 A B 。

姜晓千高数强化班讲义

姜晓千高数强化班讲义摘要：I.引言- 介绍姜晓千高数强化班讲义- 阐述讲义对高数学习的重要性II.姜晓千高数强化班讲义的内容- 知识点全面梳理- 经典例题解析- 学习方法与策略III.姜晓千高数强化班讲义的优点- 深入浅出，易于理解- 注重基础，强化提高- 贴近考试，实用性强IV.姜晓千高数强化班讲义的使用建议- 结合个人基础进行学习- 制定合理的学习计划- 积极参与讨论与互动V.总结- 强调姜晓千高数强化班讲义的价值- 鼓励大家努力学习，提高高数水平正文：姜晓千高数强化班讲义是高数学习的重要参考资料，适用于准备考研、专升本等考试的同学。

本文将从讲义的内容、优点及使用建议三个方面进行详细介绍，帮助大家更好地利用讲义，提高高数学习效果。

首先，姜晓千高数强化班讲义的内容非常全面，覆盖了高数的所有知识点。

讲义对每个知识点都进行了详细梳理，使得同学们能够系统地掌握高数知识。

此外，讲义还提供了大量的经典例题，以及详细的解析过程，帮助同学们深入理解知识点，提高解题能力。

其次，姜晓千高数强化班讲义的优点在于它的深入浅出和实用性。

讲义用简洁明了的语言讲解了高数知识，使得同学们能够更容易地理解。

同时，讲义还注重基础知识的巩固，通过强化训练，提高同学们的高数水平。

此外，讲义贴近考试，提供的解题方法与策略具有很强的实用性，有助于同学们在考试中取得好成绩。

最后，关于如何使用姜晓千高数强化班讲义，建议大家结合自身的基础进行学习。

基础较好的同学可以适当跳过一些简单内容，而基础较薄弱的同学则需下功夫打牢基础。

同时，制定合理的学习计划，确保每个阶段的学习目标都能达成。

此外，积极参与讨论与互动，不仅能够解决学习中遇到的问题，还能拓宽视野，提高学习兴趣。

总之，姜晓千高数强化班讲义是一份高质量的学习资料，对提高我们的高数水平有很大帮助。

姜晓千冲刺班概率讲义

j
Y 的边缘概率分布为
p j P Y y j pij ( j 1, 2, )
i
（2）条件概率分布在已知 X xi 的条件下， Y 的条件概率分布为
P Y y j | X xi
在已知 Y y j 的条件下， X 的条件概率分布为
pij pi
P X xi | Y y j
f ( x, y)dxdy ；
D
性质（1）（2）构成联合概率密度的充要条件，用于反求参数；性质（3）用来计算随机变量取值的概率.
5
海天冲刺线代概率主讲：姜晓千
（二）边缘概率密度设 ( X , Y ) 概率密度为 f ( x, y ) ，则 X 与 Y 的边缘概率密度分别为
f X ( x)
（2）确定 Y g ( X ) 在 X 的正概率密度区间 a, b 的值域 , ，当 y < 时， FY ( y) 0 ；当 y 时， FY ( y) 1 ；当 y 时， FY ( y )
g (x ) y

f X ( x)dx .
f ( x, y ) f X ( x)
题型三
二维随机变量函数的分布
【解题思路与方法】（一）已知二维连续型随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) ，求 Z g (X ,Y ) 的概率密度. （1）设 Z 的分布函数为 FZ ( z ) ，由分布函数的定义得
FZ ( z ) P Z z P g ( X , Y ) z
n i 1
Bi .
P( B j | A)
P( A | B j ) P( B j )
P( A | B ) P( B )