机械振动和机械波辅导班讲义

机械振动和机械波机械振动一、基本概念1、机械振动——物体（或物体一部分）在某一中心位置附近所做的往复运动2．回复力：振动物体所受的总是指向平衡位置的合外力，使物体返回平衡位置的力3．平衡位置：恢复力为零的位置，并非合外力为零的位置。

例如单摆。

4．位移：是离开平衡位置的位移5．简谐运动——物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。

表达式为：F = -kx6．振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱，无正负之分。

7．周期和频率：表示振动快慢的物理量。

完成一次全振动所用的时间叫周期，单位时间内完成全振动次数叫频率，大小由系统本身的性质决定，所以叫固有周期和频率。

二、典型的简谐运动1．弹簧振子（1） 回复力、加速度、速度、动能和势能的变化规律（周期性和对称性）①回复力指向平衡位置。

②位移从平衡位置开始。

（2）周期km T π2=，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。

（3）在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

【例1】 如图所示，质量为m 的小球放在劲度为k 的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。

（1）最大振幅A 是多大？（2）在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力F m 是多大？【例2】弹簧振子以O 点为平衡位置在B 、C 两点之间做简谐运动．B 、C 相距20 cm ．某时刻振子处于B 点．经过0.5 s ，振子首次到达C 点．求：（1）振动的周期和频率；（2）振子在5 s 内通过的路程及位移大小；（3）振子在B 点的加速度大小跟它距O 点4 cm 处P 点的加速度大小的比值【例3】一弹簧振子做简谐运动．周期为T （ ）A ．若t 时刻和（t +△t ）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt 一定等于T /2的整数倍D ．若t 时刻和（t+△t ）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则△t 一定等于T 的整数倍C ．若△t ＝T ／2，则在t 时刻和（t －△t ）时刻弹簧的长度一定相等D ．若△t ＝T ，则在t 时刻和（t －△t ）时刻振子运动的加速度一定相同2．单摆。

在一不可伸长、忽略质量的细线下端拴一质点，上端固定，构成的装置叫单摆。

⑴单摆的特点：○1单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型; ○2单摆振动可看作简谐运动的条件：α＜10℃。

○3单摆的等时性，在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振幅、摆球的质量等无关; ④单摆的回复力由重力沿圆弧方向的分力提供⑵ 周期公式：gl T π2=半径方向：rv m mg T 2cos =-θ 向心力改变速度方向切线方向：回复力＝m g sin θ改变速度大小若θ角很小，则有 sin θ ＝ tan θ ＝x / L,而且回复力指向平衡位置，与位移方向相反，所以对于回复力F ，有kx x Lmg L x mg F === k 是常数 1、测量当地的重力加速度测定重力加速度g,g=224TL π （l 为等效摆长，是悬点到球心的距离。

） 2、摆钟（振动周期是2秒的单摆叫秒摆）例4：三根长度相等都为L 的细线一端系于C 点，另两端固定于天花板上相距为L 的A 、B 两点，剩下的一端系一小球。

当小球垂直于纸面振动时，其周期为 ；当小球左右摆动时，其周期为 ；例5：如图，长为l 的轻绳一端系于固定点O ，另一端系质量为m 的小球，将小球从O 点正下方l/4处以一定的初速度水平向右抛出，经一定的时间，绳被拉直。

以后小球将以O 为圆心在竖直平面内摆动，已知绳刚被拉直时，绳与竖直线成600角。

求：⑴小球水平抛出的初速度V 0⑵小球摆到最低点时，拉力T三、简谐运动的图象⑴图象的描绘 1、描点2 实验模拟法 ⑵振动图象的研究方法——把实际振动和图象对应起来可以从图像中得到以下信息：①直接读出振幅（注意单位）②直接读出周期③确定某一时刻物体的位移④判定任一时刻运动物体的速度方向（最大位移处无方向）和加速度方向⑤判定某一段时间内运动物体的速度、加速度、动能及势能大小的变化情况⑥计算一段时间内的路程：A Tt S 4⋅= ⑶振动图象的应用任何复杂的振动都可以看成是若干个简谐振动的合成【例6】 劲度系数为20N ／cm 的弹簧振子，它的振动图象如图所示，在图中A 点对应的时刻（ ）A ． 振子所受的弹力大小为0．5N ，方向指向x 轴的负方向B ．振子的速度方向指向x 轴的正方向C ． 在0～4s 内振子作了1．75次全振动D 。

在0～4s 内振子通过的路程为0．35cm ，位移为0【例7】 摆长为L 的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时，（取作t =0），当振动至 gL t 23π=时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是图中的（ ）四、受迫振动与共振（1）振动能量 = 动能 + 势能 = 最大位移的势能 = 平衡位置的动能由振幅决定，与周期和频率无关（2）阻尼振动和无阻尼振动1、阻尼振动——存在阻力做负功，能量减小，振幅减小（减幅振动）2. 无阻尼振动(等幅振动)在振动中,为保持振幅不变(能量不变)，应及时地补充能量,使A 不变（3）受迫振动1. 得到持续的,等幅振动的最简单的办法是用周期性的外力(驱动力)作用于物体,物体在驱动力作用下的振动,叫受迫振动.2. 物体做受迫振动的频率由驱动力决定,等于驱动力频率,而与固有频率无关（4） 共振——在受迫振动中,驱动力的频率和物体的固有频率相等时,振幅最大（5）、共振的防止和应用（1）利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千……（2）防止共振的有：机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢……【例8】 把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。

不开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15s ；在某电压下，电动偏心轮的转速是88r /min 。

已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。

为使共振筛的振幅增大，以下做法正确的是A ．降低输入电压B ．提高输入电压C ．增加筛子质量D ．减小筛子质量【例9】 一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。

当驱动力的频率逐渐增大时，该物体的振幅将：（ ）A ．逐渐增大B ．先逐渐减小后逐渐增大C ．逐渐减小D ．先逐渐增大后逐渐减小【例10】如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有 a 、b 、c 、d 、e五个单摆，让a 摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。

下列说法中正确的有：（ ）A ．各摆的振动周期与a 摆相同B ．各摆的振幅大小不同，c 摆的振幅最大C ．各摆的振动周期不同，c 摆的周期最长D ．各摆均做自由振动机械波一、机械波——机械振动在弹性介质中的传播二、形成条件1、振动的物体――振源。

波源、波的发源地，最先振动的质点，不是自由振动，而应是受迫振动，有机械振动，不一定有机械波，有机械波必有机械振动。

2、传播振动的媒介物――介质。

应具有弹性的媒质，这里的弹性与前述弹性不同，能形成波的媒质叫弹性媒质。

三、波的特点和传播1、把介质看成是由大量的质点构成的，规定离振源近的称为前一质点，离振源远的称为后一个质点。

相邻的质点间存在着相互作用力，振动时，前一质点带动后一质点振动2、各个质点在平衡位置附近往复振动，不随波的传播而迁移（水中的树叶）3、质点做受迫振动，各质点开始振动时的振动方向、频率、振幅，对简谐波而言都和振源相同。

4、各个质点启动同向不同时5、振动速度和波速的区别。

在均匀媒质中波是匀速、直线前进的，波由一种媒质进入另一种媒质，f不变，而v变，而质点的振动是变加速运动，二者没有必然联系，不能混淆。

四、波的分类1横波――质点的振动方向与波的传播方向垂直（水波、绳波……）2、纵波——质点的振动方向与波的传播方向共线（声波）机械波的图象一、波的图象用x表示波的传播方向的各个质点的平衡位置，用y表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的位移，并规定在横波中位移的方向向上为正。

取得方法：1、描点法――找到某一时刻介质的各个质点偏离平衡位置的位移2、拍照二、波的意义横轴：介质各个质点的平衡位置纵轴：某一时刻介质的各个质点偏离平衡位置的位移三、对比振动图象和波的图象4 4 x（m）联系：波动是振动在介质中的传播，两者都是按正弦或余弦规律变化的曲线；振动图象和波的图象中的纵坐标均表示质点的振动位移，它们中的最大值均表示质点的振幅。

区别：①振动图象描述的是某一质点在不同时刻的振动情况，图象上任意两点表示同一质点在不同时刻偏离平衡位置的位移；波的图象描述的是波在传播方向上无数质点在某一时刻的振动情况，图象上任意两点表示不同的两个质点在同一时刻偏离平衡位置的位移。

②振动图象中的横坐标表示时间，箭头方向表示时间向后推移；波的图象中的横坐标表示离开振源的质点的位置，箭头的方向可以表示振动在介质中的传播方向，即波的传播方向，也可以表示波的传播方向的反方向。

③振动图象随时间的延续将向着横坐标箭头方向延伸，原图象形状不变；波的图象随着时间的延续，原图象的形状将沿横坐标方向整个儿地平移，而不是原图象的延伸。

○4在不同时刻波的图象是不同的；对于不同的质点振动图象是不同的。

四、振动方向和波的传播方向的联系前一质点带动后一质点运动1、由传波方向确定振动方向2、由振动方向确定传播方向3、画出一定时间的机械波的图象描绘机械波的物理量一、周期和频率在波动中，各个质点的振动周期是相同的，它们都等于波源的振动周期，这个周期也叫做波的周期。

同样，各个质点的振动频率也是波的频率。

二、波长（λ）和波的推进在波动中，相对于平衡位置的位移总相等的两个相邻质点间的距离，叫做波长1、在横波中，两个相邻的波峰或波谷间的距离等于波长，在纵波中两个相邻的密部或疏部间的距离等于波长。

2、波动在一个周期中向前推进一个波长3、在一个周期内波峰或波谷向前推进一个波长4、波的传播方向就是波峰或波谷的推进方向三、波速——1、波的传播速度（公式）2、波峰或波谷的推进速度3、与波源无关，所以波从一种媒质进入另一种媒质时f 不变、v 变化，波速也是波的能量传播速度。

注意：1、频率或周期取决于振源（受迫振动）2、速取决于介质，波由一种介质进入到另外一种介质时，波速改变，但是频率不变。

例1：以正弦波沿x 轴负方向传播，某时刻波形如图。

v=10m/s ，试画出t 1=1.3s;t 2=1.5s 的波形图例2：一列横波在x 轴上传播，在t 1=0和t 2=0.005s 时的波形图如图，求：①设T ＞(t 2-t 1)，如果波向左传播波速是多大？如果波向右传播波速是多大？②设T ＜(t 2-t 1)，且v=6000m/s 求波的传播方向。