11.3.1因式分解-平方差公式

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因式分解--平方差公式法

②右边两数的和乘以这两个数的差
平方差公式
（1）公式：
2
（4）形象表示： 2 2 □－△＝(□＋△)(□－△)
a b (a b)(a b)
2
2 2 ☆－○＝(☆＋○)(☆－○)
平方差公式
（1）公式：
2
a b (a b)(a b)
2
（5）举例说明：
( x 4)( x 4) (3m 2n)(3m 2n)
(4) 4 4k2 －25m2n2 =(2k+5mn) (2k －5mn)
1 ）a2－82 = (a+8) (a －8) （1
例1：把下列各式分解因式 2 2 4 ( 2 ) 9 x y (1) x 81
解：原式= 解：原式=
(3) 36a 25b
2
解：原式=
2
温故知新
什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有什么联系？提公因式法分解因式基本步骤是什么？
什么叫做公因式？
我们学过哪些乘法公式？
将下列多项式因式分解:
(1) 2x(b-c)-3y(b-c)
(2) 3n(x-2)3+(2-x)2
比一比
• 比一比，看谁算的又快又准确！
322-312
682-672
解：原式=
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1
2 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x2 –1) x–1) +1)(
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6 = x 2 – ( x 3) 2

因式分解之平方差公式

公公式法式之平法方差公式
例1：把-4 ² +25 x ² 因式分解 25y x ² -4y² 因式分解 ..
分析： 25x² - 4y² =(5x)² - (2y)²
(5x)² ( 2y)² 解： 25x² - 4y² =(5x)² - (2y)²
=(5x+2y)(5x-2y)
公公式法式之平法方差公式
速算PK 请学号为20号以后的一个同学报上你的学号，然后将你的学号减去10，最后计算学
号与得数的平方差.
公式法之平方差公式
想一想
你能将 x 2
25 写成两个因式乘积的形式吗？
(x+5)(x-5)
你是怎样得到的？
公式法之平方差公式
知识结构
概念
提公因式法
公因式确定公因式
因式分解
公式法
平方差公式平方差公式完全平方公式
方法
十字相乘法分组分解法
公式法之平方差公式
公式法之平方差公式
公式法之平方差公式
把乘法公式从右到左地使用，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做公式法
将乘法公式中的平方差公式
(a+b)(a-b)=a² -b² 反过来，就变成了： a² -b ² =(a+b)(a-b)
2 - 4y² (6) 9x-2 (5) -x² - y² =(3x+2 y)(3 y) -(x² + y² )
七年级
公式法之平方差公式
交流内容
合作交流 1(1)
展示小组
5
点评小组 6
合作交流 1(2)
合作交流 2 合作交流 3
7
2 4

1.3因式分解公式法-----平方差

2 2
2-y2= (2x+y)(2x-y) 即 4x (2x+y)(2x-y)
2x，字母b改为y得到什么样的多项式？怎样把分解因式？， (2x)2-y2=
（2）把公式a2-b2=（a+b）
(a-b )中的字母a改为5x字母 3 b改为 y 得到什么样的多项式？怎样分解多项式？
2
（3）把公式a2-b2=（a+b） (a-b )中的字母a改为x+y字母b改为2y得到什么样的多项式?怎样把多项式分解因式？（4）把公式a2-b2=（a+b） (a-b )中的字母a改为x+y 字母b改为x-y+1得到什么样的多项式?怎样把多项式分解因式？字母a、b任意改为数、字母、单项式或者多项式，然后把这些多项式分解因式吗？。
作业布置：教材第17页第1题
二、平方差公式的识别下面多项式是否适合用平方差公式分解因式？（1 ） a 2 b 2 （2） a 2 (b2 )
（3） a (b) （4）x6-y6
2 2
5 4
一个多项式是否适合用平方差公式分解因式，怎样辨别呢？
例题讲解 1 用平方差公式分解因式例1分解因式。 (1)x4-y4 （2）9 ( x y ) 4 x y
1.3 因式分解公式法 ----平方差公式
教学目标 1 使学生掌握用平方差公式分解因式； 2 理解多项式中如果有公因式要先提公因式，了解实数范围内与有理数范围内分解因式的区别。重点、难点重点：用平方差公式分解因式。难点：当公式中的字母取多项式时的因式分解。
一、复习检查： 2 2 （1）分解因式：(1) 5x ( x 3 y ) 3 x 2 y 3 y x

因式分解公式法1——平方差公式

19y
2
4x
2
21 25x
2
9 2 2 3 m 16 n 25
把 x y x y 因式分解．
2 2
因式分解：
1x y y x
2
2
216a b
2
9a b
2
把
x y
4
4
因式分解．
将下列多项式因式分解：
分解因式注意事项：
1、有公因式可提的要先提公因式，再用公式法。
2、分解之后要看每一项是否分解彻底。
3、答案要写成最简形式。
作业
课作：习题3.3A组第1题家作：基训P28 1至9题
分解因式
你会做了吗？
x 25
2
解：原式=
x 5 x 5x 5
2 2
3.3 因式分解—— 公式法1 平方差公式
一、回顾旧知
2-b2 a 1、（a+b)(a-b)=_________. 平方差公式。这个公式叫____________
整式乘法从左边到右边的这个过程叫___________ 。（a+b)(a-b) 2、反过来，a2-b2=__________. 因式分解从左边到右边的这个过程叫___________ 。 3、因此，a2-b2= （a+b)(a-b)是因式分解中的一个公式。
1x
4
16
29x4 36y 2
把 x y x
3 2
5
因式分解．
将下列多项式因式分解：
13x
3
12x
2a
3
ab
2
交流与探讨：归纳:因式分解的一般步骤： 1）提公因式 2）运用公式注意：分解必须彻底。

因式分解的7种方法和4种思路

因式分解的7种方法和4种思路因式分解是数学中一个基本且重要的概念，它是将一个多项式或者表达式，通过分解成若干个因子的乘积的形式来表示。

因式分解涉及到多种方法和思路，并且在不同的数学问题中有着不同的应用。

下面将介绍七种常见的因式分解方法和四种思路。

一、七种因式分解方法：1.公因式提取法：该方法适用于多个项有公因子的情况。

例如：2xy + 4x + 6y 可以提取 x，得到 x(2y+4) + 6y，再可以继续提取2，得到2(x(y+2)+3y)2.完全平方差公式：如果一个多项式可以表示成两个平方数之差的形式，那么就可以使用完全平方差公式进行因式分解。

例如：a^2-b^2=(a+b)(a-b)3.公式法：公式法是运用数学中的一些特殊公式进行因式分解的方法。

例如：a^2 ±2ab+b^2 = (a±b)^2a^3 ± b^3 = (a±b)(a^2∓ab+b^2)4.分组法：分组法适用于多项式中存在一些特殊的关系。

例如：ab + ac + bd + cd，我们可以通过分组成 (ab+ac) + (bd+cd)，然后再提取公因式，变成a(b+c) + d(b+c)，最后变成 (a+d)(b+c)。

5.提取平方根法：如果一个多项式的各项是可以开平方的，那么就可以使用提取平方根的方法进行因式分解。

例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^26.分解差的平方：如果一个多项式是两个平方之差的形式，那么可以使用分解差的平方的方法。

例如：a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)7.组合法：组合法是将一个多项式中的项进行组合，寻找其中的特殊关系，然后进行因式分解。

例如：a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3，可以将其分组为(a^3 + b^3) + 3ab(a + b)，再使用公式法进行因式分解。

二、四种因式分解思路：1.提取公因子的思路：当一个多项式中的几个项具有公因子时，可以使用公因子提取法将公因子提取出来，从而进行因式分解。

公式法-平方差公式

11.3公式法――平方差公式【教材依据】本节课是冀教版数学七年级下册第十一章因式分解第三节公式法第一课时内容。

【教材分析】因式分解是初中数学的一个重要内容，它贯穿、渗透在各种代数式问题中，为以后学习分式运算、解方程和方程组提供必要的基础。

本节课是在学习了正式的乘法、乘法公式和提公因式因式分解之后，让学生利用逆向思维而得到平方差公式因式分解的方法，而运用平方差公式分解因式又是分解因式的一个重要内容。

它对学习机完全平方式因式分解和后面要学习的分式化简和计算，对九年级学习一元二次方程的解法和二次函数都有着重要的影响，所以学好本节课至关重要，【学情分析】学生在本册第八章已经学习了整式的运算，前一节学习了提公因式法分解因式。

已经初步体会到了乘法公式与因式分解的互逆关系，通过对乘法公式22b -a b -a b a =+））（（的逆向变形，容易得出））（（b -a b a b -a 22+=，但准确理解和掌握公式的结构特征，进行因式分解对学生来说还存在着一定的难度，学生归纳、类比、概括的能力有待加强。

【指导思想】以新课标要求“培养学生的合作探究和归纳总结”的教育理念为指导，引导学生通过复习旧知逐步过渡到新知，贯穿类比、还原的数学思想方法，通过小组讨论和学生讲解习题的过程培养学生数学文字语言应用和准确应用数学符号表达问题的能力。

采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质。

【教学目标】知识与技能：会用平方差公式进行因式分解。

过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维。

情感态度与价值观:在探究的过程中培养学生独立思考的习惯。

【教学重难点】【重点】能说出平方差公式的结构特征。

【难点】能较熟练地应用平方差公式分解因式。

【教学过程】复习导入：在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式成绩的形式。

平方差公式的推导与应用(1)

解答技巧
同样识别出这是一个平方差的形式，其中$a = 4y$ ，$b = z$。然后应用平方差公式进行因式分解，得到$(4y + z)(4y - z)$。
注意事项及易错点提示
注意观察多项式的形式
在应用平方差公式之前，需要仔细观察多项式的形式，确保它符合平方差的形式。
注意因式分解的彻底性
在得到因式分解结果后，需要检查是否分解彻底，即是否还可以进一步分解。
平方差公式的推导与应用
汇报人：XX 20XX-01-31
目录
• 平方差公式基本概念 • 平方差公式推导过程 • 平方差公式在因式分解中应用 • 平方差公式在二次根式化简中应用 • 平方差公式在解一元二次方程中应用 • 平方差公式在数列求和等数学问题中应用
01
平方差公式基本概念
平方差公式定义及表示方法
平方差公式与完全平方公式的区别
平方差公式表示两个数的平方差，可以拆分为两个因式；而完全平方公式是一个二项式的平方，表示为一个三项式。
平方差公式重要性及应用领域
平方差公式的重要性
平方差公式是数学中的基础公式之一，对于简化计算、因式分解、解方程等方面都有重要作用。
平方差公式的应用领域
平方差公式在代数、几何、三角等领域都有广泛应用，如计算面积、体积、求解一元二次方程等。同时，在物理、化学、工程等学科中也会涉及到平方差公式的应用。
两种方法比较与联系
代数法与几何法的比较
代数法注重公式的推导和计算，几何法注重图形的变换和理解。两种方法各有优劣，互为补充。
代数法与几何法的联系
代数法和几何法都是数学中常用的方法，它们在某些情况下可以相互转化。例如，在平方差公式的推导中，代数法和几何法都得到了相同的结果，体现了数学的内在联系和一

11.3公式法第2课时完全平方公式

11.3公式法――完全平方公式教学设计思想：利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质．教学目标知识与技能：1．会用完全平方公式对多项式进行因式分解，提高分解因式的灵活性2．提高全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．过程与方法：3．经历用公式法分解因式的探索过程，进一步体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的认识，体会从正逆两方面认识和研究事物的方法情感态度价值观：4．通过学习进一步理解数学知识间有着密切的联系。

教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式．难点：灵活运用完全平方公式分解因式．关键：把握住因式分解的基本思路，观察多项式的特征，灵活地运用“换元”和“划归思想”教学用具多媒体或小黑板课时安排1课时教学过程设计一、复习1．问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解．我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法．2．把下列各式分解因式：（1）ax4－ax2（2）16m4－n4．解（1） ax4－ax2=ax2（x2－1）=ax2（x+1）（x－1）（2） 16m4－n4=（4m2）2－（n2）2=（4m2+n2）（4m2－n2）=（4m2+n2）（2m+n）（2m－n）．问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?答：有完全平方公式．请写出完全平方公式．完全平方公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2, （a－b）2=a2－2ab+b2．这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解．二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=（a+b）2； a2－2ab+b2=（a－b）2．这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方．式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式．运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式．问：具备什么特征的多项式是完全平方式?答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子（或数）的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子（或数）的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式．问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?（1）x2+6x+9；（2）x2+xy+y2；（3）25x4－10x2+1；（4）16a2+1．答：（1）式是完全平方式．因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=（x+3）2．（2）不是完全平方式．因为第三部分必须是2xy．（3）是完全平方式．25x4=（5x2）2，1=12，10x2=2×5x2·1，所以25x4－10x2+1=（5x－1）2．（4）不是完全平方式．因为缺第三部分．请同学们用箭头表示完全平方公式中的a ，b 与多项式9x 2+6xy+y 2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?答：完全平方公式为：a 2+2ab+b 2=（a+b ）2．9x 2+6xy+y 2=（3x ）2+2·（3y ）·y+y 2=（3x+y ）2．a 2+2ab+b 2=（a+b ）2其中a=3x ，b=y ，2ab=2·（3x ）·y．例3 把下列各式分解因式；（1）t 2＋22t ＋121；（2）m 2＋41n 2-mn （1）分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“t 2”是t 的平方，第三项“121”是11的平方，第二项“22t ”是t 与11的积的2倍．所以多项式t 2＋22t ＋121是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式．（2）问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?解：（1）t 2＋22t ＋121=t 2＋2×11t ＋112=（t ＋11）2；（2）m 2＋41n 2-mn =m 2－2·m ·21n+（21n ）2 =（m －21n ）2 例4 把下列各式分解因式：（1）ax 2＋2a 2x ＋a 3;（2）（x ＋y ）2－4（x ＋y ）＋4;（3）（3m-1）2＋（3m-1）+41 解：（1）ax 2＋2a 2x ＋a 3=a （x 2＋2ax ＋a 2）=a （x ＋a ）2；（2）（x ＋y ）2－4（x ＋y ）＋4=（x ＋y ）2－2·（x ＋y ）·2＋22=（x ＋y －2）2（3）（3m-1）2＋（3m-1）+41 =（3m-1）2－2·（3m-1）·21＋（21）2 =（3m －1＋21）2 =（3m －21）2 注：例4让有学生自己完成，并找部分学生上台讲解，出现问题，老师及时给予纠正三、课堂练习（投影）1．填空：（1）x 2－10x+（）2=（）2；（2）9x 2+（）+4y 2=（）2；（3）1－（）+m 2/9=（）2．2．下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多项式改变为完全平方式．（1）x 2－2x+4；（2）9x 2+4x+1；（3）a 2－4ab+4b 2；（4）9m 2+12m+4；（5）1－a+a 2/4．3．把下列各式分解因式：（1）a 2－24a+144；（2）4a 2b 2+4ab+1；（3）91 x 2+2xy+9y 2；（4）41 a 2－ab+b2 答案：1．（1）25，（x －5） 2；（2）12xy ，（3x+2y ） 2；（3）32m , （1－31m ） 2．（1）不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x 2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x 2－2x+1，它是完全平方式．（2）不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x 2+6x+1，它是完全平方式．（3）是完全平方式，a 2-4ab+4b 2=（a －2b ）2．（4）是完全平方式，9m 2+12m+4=（3m+2） 2．（5）是完全平方式，1－a+a 2/4=（1－21a ）2 3．（1）（a －12） 2；（2）（2ab+1） 2；（3）（31 x+3y ） 2；（4）（21a －b ）2．四、小结运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：1．首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解．有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解．2．在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a 2+2ab+b 2=（a+b ） 2；如果是负号，则用公式a 2－2ab+b 2=（a －b ） 2．3．特别强调：分解因式时，有公因式时应先提取公因式，再看能否用公式法进行因式分解。

因式分解的几种方法

因式分解的几种方法因式分解是数学中的重要概念，它在代数、数论、微积分等领域都有着重要的应用。

因式分解的方法多种多样，本文将介绍几种常见的方法，包括质因数分解、公式法、配方法、分组分解等。

通过对这些方法的了解，读者可以更好地掌握因式分解的技巧和应用。

一、质因数分解质因数分解是最基本的因式分解方法之一。

其基本思想是将一个数表示为若干个质数的乘积。

对于一个正整数n，存在唯一的一组质数p1, p2, ..., pk 使得n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak，其中p1, p2, ..., pk分别是质数，a1, a2, ..., ak为正整数。

这个过程就是质因数分解。

质因数分解的步骤一般如下：1. 找出n的最小素数因子p1（即p1是n的因子且p1是质数）；2. 将n整除以p1得商n1，若n1>1，则重复步骤1直至n1为1；3. 将所有的质因子与相应的指数相乘即得到n的质因数分解。

对于数字180，它的质因数分解为180 = 2^2 * 3^2 * 5。

二、公式法公式法是一种通过代数公式或相关定理进行因式分解的方法。

这些公式和定理通常是对特定形式的多项式或函数进行因式分解的有效工具。

二次平方差公式(x^2 - y^2 =(x+y)(x-y))、完全平方公式(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2)等都是进行因式分解时常用的公式。

一些高阶多项式的因式分解也可以通过相关的定理进行。

这种方法适用于特定形式的多项式，可以通过大量的练习和积累来掌握和运用。

三、配方法配方法是一种对多项式进行因式分解的常用方法。

其基本思想是通过对多项式进行重新组合，使其呈现出一个已知的因式分解形式。

对于二次三项式 ax^2 + bx + c，可以通过配方法展开成完全平方形式，然后进行因式分解为两个一次因式的乘积。

这种方法需要熟练的代数技巧和灵活的思维，适用于求解多项式的因式分解和积分。

四、分组分解分组分解是一种对多项式进行因式分解的常用方法，特别适用于四项式的因式分解。

初二所有数学公式归纳总结

初二所有数学公式归纳总结大家都知道，学习数学，什么都不多，公式最多。

一起来看看初二的公式都有哪些吧。

下面是店铺分享给大家的初二所有数学公式归纳，希望大家喜欢!初二所有数学公式归纳(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子： a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

(五)分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m+ n)=(m +n)•(a +b).这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.(六)提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数.2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数.3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式.(七)分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式.3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2，(x-y)3=-(y-x)3.5.分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然，简单的分式之分子分母可直接乘方.6.注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减.(八)分数的加减法1.通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来.2.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变.3.一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备.4.通分的依据：分式的基本性质.5.通分的关键：确定几个分式的公分母.通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.7.同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

初中数学：平方差公式法因式分解怎么做？三步观察,一个套路

因式分解就是把一个多项式分解成几个整式相乘的形式。

而公式法因式分解是因式分解法里运用最广泛最灵活的一个。

一个多项式，能够迅速的看出怎么套用乘法公式进行因式分解，这是我们必须具备的数学能力。

今天，方老师就和同学们讲解，怎么运用平方差公式来因式分解。

依据：平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2。

利用平方差公式的逆运算，将多项式a2-b2 变为了两个整式式相乘的形式， a2-b2=(a+b)(a-b)。

这个过程为因式分解，这种因式分解的方法叫平方差公式法。

首先观察和判定，一个二项式具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式？具备以下三个特征条件：
①系数都是平方数，(系数是完全平方数)；②字母指数都要成双，(指数是偶数次方)；
③两项符号相反．(两项符号要一正一负)
总结：如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.
例1、最基础的题型，观察多项式，是否符合条件里的①②③。

然后根据平方差公式的逆运算套用公式，就好。

例2、因式分解的步骤，一般来说，都是一提二套。

先提出公因式2x来，然后再套用平方差公式。

例3、把m+n和m-n看做是一个整体，然后再观察题目，是否符合条件①②③。

计算到最后，需要再提公因式，一定要分解到不能再分为止。

例4、仔细观察题目，多项式也是符合条件①②③的，此题再仿照例3，细心计算，去括号的时候注意符号，别搞错了。

平方差公式法因式分解，其实没有难度，只要平时多练习，多总结，熟能生巧。

因式分解时公式法平方差公式

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观察平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)的项、指数、符号有什么特点？（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．
（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式， “平方差”是得分解因式的多项式
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例4 分解因式:
分解因式, 必须进行
Байду номын сангаас(1)x4-y4;
(2)
a3b
–
ab.
到每一个多项式都
不能再分
分析:(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形解为式止,这. 样
就可以利用平方差公式进行因式分解
了.(2)a3b-ab有公因式ab,应先提出公因式,再
进一步分解.
解:(1) x4-y4
(2) a3b-ab
= (x2+y2)(x2-y2)
=ab(a2-1)
= (x2+y2)(x+y)(x-y)
=ab(a+1)(a-1).
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……
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1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式．
2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．
3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式．直到每个多项式因式都不能分解为止．
由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．
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[例1]分解因式：（1）4x2-9 （2）(x+p)2-(x+q)

河北教育出版社初中数学七年级下册平方差公式的运用(市一等奖)

《11.3.1公式法分解因式--平方差公式的运用》教学设计
邢台市第二十四中学王立芬
【教材内容】
本节课是冀教版数学七年级下册第十一章因式分解第三节公式法第一课时内容。
【教材分析】
因式分解是初中数学的一个重要内容，是代数式恒等变形的重要手段之一。它贯穿、渗透在各种代数式问题之中，为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式的恒等变形提供必要的基础。本节课是在学习了整式的乘法、乘法公式和提公因式法因式分解之后，让学生利用逆向思维而得到平方差公式因式分解的方法，而运用平方差公式分解因式又是因式分解中的一个重要内容。它对学习完全平方公式因式分解和后面即将要学习的分式化简和计算，对九年级学习一元二次方程的解法和二次函数等都有着重要的影响，所以学好本节课对后面的学习至关重要！
我们可以发现，刚才因式分解的过程中我们是逆用平方差公式的方法，像这样逆用乘法公式将一个多项式分解因式的过程叫做公式法分解因式。今天我们主要学习使用平方差公式进行因式分解。
平方差公式反过来可得：a2-b2=(a+b)(a-b)
这个公式叫做因式分解中的平方差公式。
学生思考：(1)当一个多项式具有什么特点时可用平方差公式因式分解？
观察第(3)、(4)题，从等式左边到等式右边的因式分解是用的提公因式法吗？如果不是，用的是什么方法呢？
【设计意图】实际背景的设置，拉近学生与数学知识的距离，同时激发学生学习兴趣，为学生学习新知打基础。
三、学习新知
(一）探究学习
1.观察(a+b)(a-b)=a2-b2, a2-b2=(a+b)(a-b)
3.已学过哪一种分解因式的方法?
【设计意图】通过对已学的有关知识的回顾，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫。