高中数学学业分层测评15含解析北师大版选修2_1

合集下载

高中数学北师大版选修2-2练习学业分层测评15 Word版含答案

学业分层测评(十五)(建议用时：分钟)一、选择题．对于以＝()在内汽车作直线运动经过的路程，下列叙述正确的是( )．将等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的是的不足估计值．将等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的是的过剩估计值．将等分，越大，求出的近似替代的精确度越高．将等分，当越大时，求出的就是的准确值【解析】每个小区间左端点的速度不一定是该区间上速度的最小值，右端点的速度也不一定是该区间上速度的最大值，越大，所得估计值近似替代准确值的精确度越高，只有当→＋∞时，估计值才是准确值．【答案】．已知定积分()＝，且()为偶函数，则()＝( )．．．．【解析】偶函数图像关于轴对称，故()＝()＝.故选.【答案】．设()＝则()的值是( )＋＋【解析】被积函数()是分段函数，故将积分区间分为两个区间和，由定积分的性质知选.【答案】．图中阴影部分的面积用定积分表示为( )图(－)(＋)(－)【解析】根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为－＝(－).【答案】．下列各阴影部分的面积不可以用＝求出的是( )【解析】定积分＝的几何意义是求函数()与()之间的阴影部分的面积，必须注意()的图像要在()的图像上方，对照各选项，知中()的图像不全在()的图像上方．【答案】二、填空题．定积分(－)＝．【解析】由定积分的几何意义知，定积分(－)表示由＝，＝与＝－，＝所围成图形面积的相反数．所以(－)＝－(×)＝－.【答案】－．定积分＝. 【导学号：】【解析】如图，＝＋＝.【答案】．由直线＝，＝，＝和曲线＝所围成的曲边梯形，将区间等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是．。

高中数学学业分层测评7(含解析)北师大版选修21

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】由a·b ＝|a ||b |cos θ＝|a||b|可知cos θ＝1，由此可得a 与b 共线；反过来，若a ，b 共线，则cos θ＝±1，a·b ＝±|a ||b |.故a·b ＝|a ||b |是a ，b 共线的充分不必要条件．【答案】 A2．如图227所示，已知三棱锥O ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN .设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为( )图227A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝13【解析】 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →－23OM →＋23ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13OA →＋23×12(OB →＋OC →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13.【答案】 D3．已知e 1、e 2互相垂直，|e 1|＝2，|e 2|＝2，a ＝λe 1＋e 2，b ＝e 1－2e 2，且a 、b 互相垂直，则实数λ的值为( )A.12 B ．14 C ．1D ．2【解析】 ∵a ⊥b ，∴(λe 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝0. 又e 1⊥e 2，∴e 1·e 2＝0.∴λe 21－2e 22＝0.又∵|e 1|＝2，|e 2|＝2， ∴4λ－8＝0，∴λ＝2. 【答案】 D4．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( )【导学号：32550026】A. 2 B ． 3 C. 5D ．7【解析】依题意得|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a·b ＝5＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3，则|a ＋2b |＝ 3.【答案】 B5.如图228所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )图228A.12 B ．22C ．－12D ．0【解析】 ∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos 〈OA →，OC →〉－|OA →|·|OB →|·cos〈OA →，OB →〉又OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3， ∴OA →·BC →＝0，即OA →⊥BC →，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 【答案】 D 二、填空题6．如图229，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AM →＋12A 1A →＝________.(用a 、b 、c 表示)图229【解析】 AM →＋12A 1A →＝AA 1→＋A 1M →－12AA 1→＝12AA 1→＋12A 1C 1→＝12AA 1→＋12(A 1B 1→＋B 1C 1→) ＝12a ＋12b ＋12c ＝12(a ＋b ＋c )．【答案】 12(a ＋b ＋c )7.如图2210，在45°的二面角αl β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．图2210【解析】由CD →＝CA →＋AB →＋BD →， cos 〈AC →，BD →〉＝cos 45°cos 45°＝12，∴|CD →|2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋AB →·BD →＋CA →·BD →) ＝3＋2×(0＋1×1×cos 135°＋1×1×cos 120°) ＝2－2，∴|CD →|＝2－ 2. 【答案】2－ 28．如图2211所示，已知空间四边形ABCD 每条边和对角线都等于1，点E ，F 分别是CD ，AD 的中点，则AB →·EF →＝________.【导学号：32550027】图2211【解析】 ∵EF →綊12CA →，〈AB →，AC →〉＝60°，∴〈AB →，FE →〉＝120°.∴AB →·EF →＝|AB →||EF →|cos 〈AB →，EF →〉＝1×12cos 120°＝－14.【答案】－14三、解答题9．在空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC .M 、N 分别是OA 、BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC .【证明】如图，连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |.又OG →＝12(OM →＋ON →)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋12OB →＋OC →＝14(a ＋b ＋c )，BC →＝c －b ，∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14(a·c －a·b ＋b·c －b 2＋c 2－b·c ) ＝14(|a |2cos θ－|a |2cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG ⊥BC .10．如图2212，点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，其中E ，H 是中点，F ，G 是三等分点，且CF ＝2FB ，CG ＝2GD .求证：EH →与FG →为共线向量．图2212【证明】 ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH →＝AH →－AE → ＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →) ＝12BD →. 又∵CF ＝2FB ，CG ＝2GD ， ∴CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.∴FG →＝CG →－CF →＝23CD →－23CB → ＝23(CD →－CB →) ＝23BD →. ∴BD →＝32FG →.∴EH →＝34FG →.∴EH →与FG →为共线向量．[能力提升]1．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝AC →·AD →＝AB →·AD →＝0，则△BCD 为( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定【解析】 BD →＝BA →＋AD →，BC →＝BA →＋AC →，CD →＝CA →＋AD →， ∴cos 〈BD →，BC →〉＝BA →＋AD →BA →＋AC→|BA →＋AD →|·|BA →＋AC →|＝BA →2|BA →＋AD →||BA →＋AC →|＞0，∴〈BD →，BC →〉为锐角，同理cos 〈CB →，CD →〉＞0，∴∠BCD 为锐角，cos 〈DB →，DC →〉＞0，∴∠BDC 为锐角，即△BCD 为锐角三角形．【答案】 B2．如图2213，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则AC 1的长为( )图2213A.13 B ．23 C.33D ．43【解析】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，∴|AC 1→|＝AB →＋AD →＋AA 1→2＝AB 2→＋AD 2→＋AA 21→＋AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°， ∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°，∴|AC 1→|＝1＋4＋9＋＋＝23. 【答案】 B3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为________．【解析】如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ，∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 【答案】 14a 24．如图2214，正方形ABCD 与正方形ABEF 边长均为1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0＜a ＜2)．图2214(1)求MN 的长度；(2)当a 为何值时，MN 的长最小．【解】 (1)由已知得|AC →|＝2，|CM →|＝|BN →|＝a . AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2AC →，NF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2BF →，∴NM →＝NF →＋FA →＋AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2BF →＋FA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2(BE →＋BA →)＋FA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2(BE →＋BA →)－BE →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2(－BA →＋BC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2BC →＋⎝⎛⎭⎪⎫－a 2BE →，|NM →|＝NM →·NM →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2BC →－a 2BE →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 22－2a 2⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2BC →·BE →＋12a 2＝1－2a ＋a 2(0＜a ＜2)．(2)由(1)知当a ＝22时，|NM →|的最小值为22，即M ，N 分别是AC ，BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22.。

北师大版高中数学选修1-1学业分层测评15 Word版含解析

学业分层测评(十五)(建议用时：分钟)学业达标]一、选择题．函数＝()的图像如右图--所示，则导函数＝′()的图像可能是( )图--【解析】由函数的图像可知，在区间(－∞，)和(，＋∞)上，函数()均为减函数，故在这两个区间上，′()均小于.【答案】．函数()＝－＋－的单调减区间为( )．(－∞，)．(－∞，)∪【解析】∵′()＝－＋，令′()<，得<<.∴函数()的单调减区间为.【答案】．＝－在和上分别是( )．增加的，增加的．增加的，减少的．减少的，增加的．减少的，减少的【解析】′＝－＝，当∈时，′＜，函数在上是减少的；当∈时，′＞，函数在上是增加的．【答案】．已知函数()＝＋，则有( )．()<()<() ．()<()<()．()<()<() ．()<()<()【解析】∵函数()的定义域为(，＋∞)，且′()＝＋>，∴()在(，＋∞)上为增加的，∴()<()<()．【答案】．已知函数()＝－－，若()在(－)上单调递减，则的取值范围为( )．≥．＞．≤．＜【解析】∵′()＝－，由题意′()≤在(－)上恒成立，即－≤在(－)上恒成立，∴≥在(－)上恒成立，又∵≤＜，∴≥，经验证当＝时，()在(－)上单调递减．【答案】二、填空题．若函数()＝－＋既有单调增区间，又有减区间，则的取值范围是.【导学号：】【解析】∵′()＝－，由条件知，′()＝需有两个不等实根，∴>.【答案】(，＋∞)．函数()＝－＋＋＋在上单调递减，则实数的范围为．【解析】′()＝－＋＋≤恒成立，则Δ＝＋×≤，∴≤－.【答案】．若函数()＝＋＋的单调减区间为(－)，则的值为．【解析】′()＝＋，∵′()<的解为－<<，∴×＋＝，∴＝－.【答案】－三、解答题．求下列函数的单调区间：()＝－；()＝＋.【解】()函数的定义域为(，＋∞)，′＝－，由′>，得>；由′<，得<<.∴函数＝－的单调增区间为(，＋∞)，单调减区间为()．()函数＝＋的定义域为{∈，且≠}．∵＝＋，∴′＝－.当′>，即>或<－时，函数＝＋单调递增；当′<，即－<<或<<时，函数＝＋单调递减．故函数＝＋的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递减区间为(－)，()．．已知向量＝(，＋)，＝(－，)，若函数()＝·在区间(－)上是增加的，求的取值范围．【解】由题意得()＝(－)＋(＋)＝－＋＋＋，∴′()＝－＋＋.若()在(－)上是增加的，则在(－)上′()≥恒成立．即≥－在区间(－)上恒成立．考虑函数()＝－＝－，∈(－)，显然()<(－)，故≥－在区间(－)上恒成立⇔≥(－)，即≥.而当＝时，′()在(－)上满足′()>，即()在(－)上是增加的．故的取值范围是，＋∞)．。

高二数学北师大版选修2-1学业分层测评19 Word版含答案

学业分层测评(十九)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．方程＋＝表示的曲线是( )【解析】原方程可化为(\\(≥，≥，＋＝，))或(\\(≥，≤，－＝，))或(\\(≤，≤，＋＝－，))或(\\(≤，≥，,－＋＝.))作出其曲线为.【答案】．方程－＋＋＝表示的曲线是( )．一个点．两条互相平行的直线．两条互相垂直的直线．两条相交但不垂直的直线【解析】∵－＋＋＝，∴(＋)－(－)＝，∴＋＝±(－)，∴＋＝或－＋＝，这两条直线相交但不垂直．【答案】．已知定点(－)，()，动点满足直线，的斜率之积为－，则动点满足的方程是( )．＋＝．＋＝(≠±)．＋＝(≠) ．＝(≠±)【解析】设动点的坐标为(，)，则＝(≠－)，＝(≠)．∵·＝－，∴·＝－，整理得＋＝(≠±)．【答案】．已知两定点(－)、()，如果动点满足＝，则点的轨迹所包围的图形的面积等于( )．π．π．π．π【解析】根据题意，用直译法．设动点的坐标为(，)，由已知＝，得＝，两边平方，得＋＋＋＝－＋＋，化简得(－)＋＝.所以点的轨迹是半径为的圆，所以面积是π.【答案】．设圆(＋)＋＝的圆心为，()是圆内一定点，为圆周上任一点．线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为( )－＝．＋＝－＝．＋＝【解析】∵为垂直平分线上一点，则＝，∴＋＝＋＝＝，故的轨迹是以定点、为焦点的椭圆，∴＝，＝，则＝－＝，∴其标准方程为＋＝.【答案】二、填空题．若曲线：＋＋＋＝，当＝时，曲线经过点(，－)．【导学号：】【解析】将点(，－)代入曲线的方程＋＋＋＝，由曲线与方程的概念知，方程成立，即×(－)＋×＋×(－)＋＝，解得＝.【答案】．已知点到定点()的距离和它到定直线：＝的距离的比是常数，设点的轨迹为曲线，则曲线的轨迹方程是．【解析】设点(，)则。

高二数学北师大版选修2-1学业分层测评18 Word版含答案

学业分层测评(十八)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．若点()到双曲线－＝的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( )．．．【解析】双曲线的渐近线方程为±＝，点()到渐近线的距离为＝，所以＝，所以双曲线的离心率为，故选.【答案】．过双曲线－＝的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则＝()．．．【解析】设，两点的坐标分别为(，)，(，)，将＝＝代入渐近线方程＝±得到，，进而求.由题意知，双曲线－＝的渐近线方程为＝±，将＝＝代入得＝±，即，两点的坐标分别为()，(，－)，所以＝.【答案】．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为＝±的是( )．－＝．－＝－＝．－＝【解析】由双曲线的性质利用排除法求解．由双曲线焦点在轴上，排除选项、，选项中双曲线的渐近线方程为＝±，故选.【答案】．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长(≠)同时增加(＞)个单位长度，得到离心率为的双曲线，则( )．对任意的，，＞．当＞时，＞；当＜时，＜．对任意的，，＜．当＞时，＜；当＜时，＞【解析】分别表示出和，利用作差法比较大小．由题意＝＝；双曲线的实半轴长为＋，虚半轴长为＋，离心率＝＝.因为－＝，且＞，＞，＞，≠，所以当＞时，＞，即＞.又＞，＞，所以由不等式的性质依次可得＞＋＞＋，所以＞，即＞；同理，当＜时，＜，可推得＜.综上，当＞时，＜；当＜时，＞.【答案】．设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )．．【解析】设双曲线方程为－＝(＞，＞)，不妨设一个焦点为()，虚轴端点为(，)，则＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直关系得·＝－，即＝，又－＝，所以－＝，两边同除以，整理得－－＝，解得＝或＝(舍去)．【答案】二、填空题．过双曲线－＝的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，为其右焦点，则＋－的值为．【解析】＋－＝＋－(＋)＝(－)＋(－)＝＋＝＝.【答案】．设是双曲线：－＝的一个焦点．若上存在点, 使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为．【解析】根据题意建立，间的联系，再利用离心率公式计算．不妨设(－)，的中点为(，)．由中点坐标公式可知()．又点在双曲线上，则－＝，故＝，即＝＝.【答案】．若双曲线－＝右支上一点(，)到直线＝的距离为，则＋＝.【导学号：】【解析】由于点(，)在右支上，所以－>.。

高中数学学业分层测评20含解析北师大版选修2_1

学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【解析】点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，即点P 到直线x ＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等，符合抛物线的定义，故点P 的轨迹是抛物线．【答案】 D2．已知双曲线方程为x 2－y24＝1，过P (1,0)的直线L 与双曲线只有一个公共点，则共有L ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】因为双曲线方程为x 2－y24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．【答案】 B3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2 【解析】抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y1＋y22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.【答案】 B4．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】由2x 2－y 2＝2得x 2－y22＝1，∴a 2＝1，b 2＝2，当直线l 与两支相交时需|AB |≥2a ＝2.由|AB |＝4可得直线l 有两条；当直线l 只与右支相交时，需|AB |≥2b2a＝4，由|AB |＝4可得直线l 只有1条．综上，符合题意的直线l 共有3条．【答案】 C5．设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54B ．5 C.52 D ． 5【解析】设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，这条直线与抛物线y ＝x 2＋1相切，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y ＝x2＋1，整理得x 2－kx ＋1＝0，则Δ＝k 2－4＝0，解得k ＝±2，即b a＝2，故双曲线的离心率e ＝c a ＝a2＋b2a2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5. 【答案】 D二、填空题 6．直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为________．【解析】联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋4，x2－y2＝1，消去y 得x 2－(x ＋4)2＝1，则x ＝－178，代入y ＝x ＋4得y ＝158. 故直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－178，158. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－178，158 7．已知直线l 过点P (0,2)且与椭圆x 2＋2y 2＝2只有一个公共点，则直线l 的方程为____________．【导学号：32550096】【解析】当直线l 斜率不存在时，方程为x ＝0，与椭圆x 2＋2y 2＝2有两个公共点，舍去；。

高中数学学业分层测评2(含解析)北师大版选修21

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．“－2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【解析】 ∵－2＜x ＜1x ＞1或x ＜－1，且x ＞1或x ＜－1－2＜x ＜1，∴“－2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的既不充分，也不必要条件．【答案】 C2．a ＜0，b ＜0的一个必要条件为( )A ．a ＋b ＜0B ．a －b ＞0 C.a b ＞1D ．a b ＜－1【解析】 a ＋b ＜0a ＜0，b ＜0，而a ＜0，b ＜0⇒a ＋b ＜0. 【答案】 A3．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ab ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.【答案】 C4．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分条件是( )A ．a ≤0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＜1 【解析】 ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．∴x 1x 2＜0.即1a＜0⇔a ＜0，本题要求的是充分条件．由于{a |a ＜－1}⊆{a |a ＜0}，故答案应为C.【答案】 C5．设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( ) A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】因为0＜x ＜π2，所以0＜sin x ＜1.由x ·sin x ＜1知x sin 2x ＜sin x ＜1，因此必要性成立．由x sin 2x ＜1得x sin x ＜1sin x ，而1sin x＞1，因此充分性不成立．【答案】 B二、填空题6．满足sin α＝12的一个充分条件是α＝____(填一角即可)．【解析】 ∵α＝π6⇒sin α＝12， ∴sin α＝12的一个充分条件可以是α＝π6. 【答案】 π67．已知“x ＞k ”是“3x ＋1＜1”的充分条件，则k 的取值范围是________．【导学号：32550004】【解析】解不等式3x ＋1＜1得，x ＜－1或x ＞2， ∵x ＞k ⇒x ＞2或x ＜－1∴k ≥2.【答案】 [2，＋∞)8．已知p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．若p 是綈q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}，∴∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}．∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，∴m ＞5或m ＜－3.【答案】 (－∞，－3)∪(5，＋∞)三、解答题9．分别判断下列“若p ，则q ”命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p ：sin θ＝0，q ：θ＝0；(2)p ：θ＝π，q ：tan θ＝0；(3)p ：a 是整数，q ：a 是自然数；(4)p ：a 是素数，q ：a 不是偶数．【解】 (1)由于p ：sin θ＝0⇐q ：θ＝0，p ：sin θ＝0 q ：θ＝0，所以p 是q 的必要条件，p 是q 的不充分条件．(2)由于p ：θ＝π⇒q ：tan θ＝0，p ：θ＝π⇐/ q ：tan θ＝0，所以p 是q 的充分条件，p 是q 的不必要条件．(3)由于p ：a 是整数q ：a 是自然数，p ：a 是整数⇐q ：a 是自然数，所以p 是q 的必要条件，p 是q 的不充分条件．(4)由于p ：a 是素数⇔/ q ：a 不是偶数，所以p 是q 的不充分条件，p 是q 的不必要条件．10．已知p ：4x ＋k ≤0，q ：x 2－x －2＜0，且p 是q 的必要条件，求k 的取值范围．【解】由4x ＋k ≤0，得x ≤－k 4；由x 2－x －2＜0，得－1＜x ＜2.设A ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－k 4，B ＝{x |－1＜x ＜2}，由p 是q 的必要条件，得A ⊇B .∴－k 4≥2，∴k ≤－8.即k 的取值范围为(－∞，－8]．[能力提升]1．不等式1－1x ＞0成立的充分条件是( )A ．x ＞1B ．x ＞－1C ．x ＜－1或0＜x ＜1D ．x ＜0或x ＞1【解析】 x ＞1⇒1－1x ＞0，故选A.【答案】 A2．设a ，b 为向量，则“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的() A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉＝|a||b|，∴cos 〈a ，b 〉＝1，∴〈a ，b 〉＝0，∴a·b ＝|a||b|⇒a∥b .而∵a∥b 夹角可为π，∴a·b ＝－|a||b|，∴a·b ＝|a||b|⇐/ a∥b ，故选A.【答案】 A3．(2016·长春高二检测)如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________条件．【解析】否命题为真，则逆命题为真．∴“若B ，则A ”为真，∴B ⇒A ，而原命题为假设A B ，∴A 是B 的必要条件．【答案】必要4．已知p ：x 2－2x －3＜0，若－a ＜x －1＜a 是p 的一个必要条件但不是充分条件，求使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围．【解】由于p ：x 2－2x －3＜0⇔－1＜x ＜3，－a ＜x －1＜a ⇔1－a ＜x ＜1＋a (a ＞0)．依题意，得{x |－1＜x ＜x |1－a ＜x ＜1＋a }(a ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤－1，1＋a ≥3，2a ＞4.解得a ＞2，则使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围是b ≤2，即(－∞，2]．。

北师大版高中数学选修2-1学业分层测评11.docx

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图257，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM的夹角为( )图257A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设D1C1＝a，C1B1＝b，C1C＝c.则D 1(0,0,0)，A (0，b ，c )，D (0,0，c )，C (a,0，c )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b ，12c ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12b ，0.则MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12b ，－12c ，MC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ，12c . ∵∠CMN ＝90°，∴MN →·MC →＝0. 即12b 2－14c 2＝0，即b 2＝12c 2. ∴AD 1→·DM →＝(0，－b ，－c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b ，－12c＝－b 2＋12c 2＝0.∴AD 1与DM 的夹角为90°. 【答案】 D2.如图258，在正四面体A BCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为( )图258A.32B ．23C.12 D ．33【解析】作AO ⊥平面BCD 于O ，则O 是△BCD 的中心，以O 为坐标原点，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则O (0,0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，263，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－33，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，33，63， ∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，263，CE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，233，63， ∴cos 〈OA →，CE →〉＝OA →·CE →|OA →||CE →|＝43263×3＝23. ∴CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为23. 【答案】 B3．过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则平面ABC 与平面PCD 所成锐二面角的度数为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，不妨设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)，从而PD →＝(0,1，－1)，CD →＝(－1,0,0)．设平面ABC 与平面PCD 的法向量分别为n 1，n 2，取n 1＝AP →＝(0,0,1)．设n 2＝(x ，y ，z )，由n 2⊥CD →，n 2⊥PD →，可得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD →＝－x ＝0n 2·PD →＝y －z ＝0，可取n 2＝(0,1,1)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝0＋0＋11×2＝22，所以平面ABC 与平面PCD 所成锐二面角的度数为45°.【答案】 C4．如图259所示，已知点P 为菱形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则平面CBF 与平面DBF 夹角的正切值为( )图259A.36 B ．34 C.33D ．233【解析】设AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0.∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，且OC →为平面BDF 的一个法向量．由BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12可得平面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)． ∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277.∴tan 〈n ，OC →〉＝233.【答案】 D5．P 是二面角αAB β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM ，PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么α与β的夹角大小为( )【导学号：32550047】A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°【解析】设PM ＝a ，PN ＝b ，作ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，则因∠BPM ＝∠BPN ＝45°，故PE ＝a 2，PF ＝b 2.于是EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →)＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF →＝ab cos 60°－a ·b 2cos45°－a 2·b cos 45°＋a 2·b 2＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab 2＝0.因为EM ，FN 分别是α，β内的与棱AB 垂直的两条直线，所以EM →与FN →的夹角就是α与β的夹角．【答案】 D 二、填空题6．若平面α的一个法向量为m ＝(3,3,0)，直线l 的一个方向向量为b ＝(1,1,1)，则l 与α所成角的余弦值为________．【解析】 ∵平面α的法向量为m ＝(3,3,0)，直线l 的一个方向向量为b ＝(1,1,1)．则cos 〈m ，b 〉＝m·b |m ||b |＝1×3＋1×3＋032×3＝63，sin 〈m ，b 〉＝33. ∴l 与α所成角的余弦值为33. 【答案】337．正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________．【导学号：32550048】【解析】建立如图坐标系，设AB ＝1，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，A (0,0,0)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，F (1,0,0)，B (0,1,0)，BF →＝(1，－1,0)．cos θ＝AD →·BF→|AD →|·|BF →|＝12＋0＋01·2＝24.【答案】 248．如图2510所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1C 与AB 夹角的余弦值为________，A 1C 1与平面BB 1C 1C 夹角为________，平面A 1BCD 1与平面ABCD 的夹角为________．图2510【解析】∠A1CD是A1C与AB的夹角，cos∠A1CD＝13＝33；∠A1C1B1是A1C1与面BC1的夹角，∠A1C1B1＝45°；∠A1BA是面A1BCD1与面ABCD的夹角，∠A1BA＝45°.【答案】3345°45°三、解答题9.如图2511，在三棱锥SABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC ＝2，BC＝13，SB＝29.图2511(1)求证：SC ⊥BC ；(2)求SC 与AB 所成角的余弦值．【解】 (1)证明：如图，取A 为原点，垂直于AB 的直线为x 轴，AB ，AS 分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则有AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，得B (0，17，0)、S (0,0，23)、C ⎝⎛⎭⎪⎫21317，417，0， ∴SC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，－23， CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－21317，1317，0. ∵SC →·CB →＝0，∴SC ⊥BC . (2)设SC 与AB 所成的角为α AB →＝(0，17，0)，SC →·AB →＝4，|SC →||AB →|＝417，∴cos α＝SC →·AB →|SC →||AB →|＝1717，即为所求． 10．如图2512，在三棱柱ABO A 1B 1O 1中，OA ⊥OB ，且OB ＝3，OA ＝4，BB 1＝4，D 为A 1B 1的中点．P 为BB 1上一点，且OP ⊥BD .图2512求直线OP 与底面AOB 的夹角的正弦值．【解】以O 点为原点，以OB ，OA ，OO 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由题意，有O (0,0,0)，B (3,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，4，B 1(3,0,4)．设P (3,0，z )，则BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2，4，OP →＝(3,0，z )．∵BD ⊥OP ，∴BD →·OP →＝－92＋4z ＝0，解得z ＝98.∵BB 1⊥平面AOB ，∴BB 1→是底面AOB 的一个法向量，且BB 1→＝(0,0,4)．∴sin ∠POB ＝|cos ∠BPO |＝|OP →·BB 1→||OP →||BB 1→|＝923738×4＝37373. ∴直线OP 与底面AOB 夹角的正弦值为37373.[能力提升]1．平面α的一个法向量为n 1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n 2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为( )A ．－925B ．925C.725D ．以上都不对【解析】 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－925，∴平面α与平面β夹角的余弦值为925.【答案】 B2．已知四棱锥P ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12，AB ＝1，则AC 与PB 所成的角的余弦值为( )A.55 B ．105C.155D ．255【解析】以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，从而AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，PB →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，－12，所以cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝105. 【答案】 B3．正四棱锥S ABCD 中，O 为顶点在底面上的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是________．【解析】如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2，则CA →＝(2a,0,0)，AP→＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →(a ，a,0)．设平面PAC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，设BC 与平面PAC 的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈CB →，n 〉|＝12，∴θ＝30°.【答案】 30°4．如图2513，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．【导学号：32550049】图2513(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F AB P 的余弦值．【解】依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)由E 为棱PC 的中点，得E (1,1,1)． (1)证明：BE →＝(0,1,1)，DC →＝(2,0,0)，故BE →·DC →＝0，所以BE ⊥DC .(2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0.不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量．于是有cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n |·|BE →|＝26×2＝33. 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)，AB →＝(1,0,0)．由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →，0≤λ≤1.故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34.即BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，32.设n 1＝(x ，y ，z )为平面FAB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BF →＝0，即⎩⎨⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面FAB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)．则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010，易知，二面角F AB P 是锐角，所以其余弦值为31010.。

北师大版高中数学选修2-1学业分层测评10.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1．以下四组向量：①a ＝(1，－2,1)，b ＝(－1,2，－1)； ②a ＝(8,4,0)，b ＝(2,1,0)； ③a ＝(1,0，－1)，b ＝(－3,0,3)； ④a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1，－1，b ＝(4，－3,3)．其中a ，b 分别为直线l 1，l 2的方向向量，则它们互相平行的是( ) A ．②③ B ．①④ C ．①②④D ．①②③④【解析】 ①∵a ＝－b ，∴a ∥b . ②∵a ＝4b ，∴a ∥b . ③∵b ＝－3a ，∴a ∥b . ④∵b ＝－3a ，∴a ∥b . 【答案】 D2．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)则线段AB 与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交【解析】 ∵A (9，－3,4)，B (9,2,1) ∴AB →＝(0,5，－3)∵yOz 平面内的向量的一般形式为a ＝(0，y ，z ) ∴AB →∥a∴AB →∥平面yOz .∴AB ∥平面yOz . 【答案】 C3．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152 C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152【解析】 ∵l 1∥l 2，设a ＝λb ， ∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， ∴x ＝6，y ＝152. 【答案】 D4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α⊥β，则λ的值是( )【导学号：32550041】A ．－103B ．6C ．－6D ．103【解析】 ∵α⊥β，∴α的法向量与β的法向量也互相垂直．∴(2,3，－1)·(4，λ，－2)＝8＋3λ＋2＝0，∴λ＝－103. 【答案】 A5．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－32【解析】要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量P A →与平面α的法向量n 是否垂直，即P A →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，P A →＝(1,0,1)，则P A →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，P A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则P A →·n ＝(1，－4，12)·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.【答案】 B 二、填空题6．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8,1)平面α的法向量为(1，y,2)，则y ＝________.【解析】 ∵l ∥α，∴l ⊥α的法向量， ∴2×1－8y ＋1×2＝0，∴y ＝12. 【答案】 12.7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，向量(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，则x ∶y ∶z ＝________.【解析】设n ＝(x ，y ，z )则 n ·AB →＝0，即(x ，y ，z )·(－1,1,0)＝0， ∴－x ＋y ＝0，n ·BC →＝0，即(x ，y ，z )·(0，－1,1)＝0， ∴－y ＋z ＝0， ∴x ∶y ∶z ＝1∶1∶1. 【答案】 1∶1∶18．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(1,1,1)，若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，则b 1＝________，b 2＝________.【解析】设b 1＝(x ，y ，z )，∵b 1∥a ，∴x ＝y ，z ＝0. 又∵b 2＝b －b 1＝(1－x,1－y,1－z )，b 2⊥a ， ∴b 2·a ＝1－x ＋1－y ＝0，得x ＋y ＝2. ∴x ＝y ＝1.即b 1＝(1,1,0)，b 2＝(0,0,1)．【答案】 (1,1,0) (0,0,1) 三、解答题9．用向量方法证明：如果两个相交平面与第三个平面垂直，则它们的交线也与第三个平面垂直．【解】已知：如图，α∩β＝l ，α⊥γ，β⊥γ. 求证：l ⊥γ证明：设平面α，β，γ的法向量分别为a ，b ，c ，直线l 的方向向量为e ，则a·e ＝0，b·e ＝0.因为a ，b 与e 不共面，故存在实数x ，y ，z 使c ＝x a ＋y b ＋z e . 因为a ⊥c ，b ⊥c ，所以⎩⎨⎧a ·(x a ＋yb ＋z e )＝0，b ·(x a ＋y b ＋z e )＝0，⎩⎨⎧x ·a 2＋y a·b ＝0.x a ·b ＋y b 2＝0，因为α与β相交，所以a 与b 不共线，所以a 2a·b ≠a·b b2，所以方程组有唯一解⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0，所以c ＝z e ，即c ∥e ，从而有l ⊥γ.图2-4-410．如图2-4-4所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .证明：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .【证明】 (1)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．连结AC ，AC 交BD 于G . 连结EG .设DC ＝a ，依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，且P A →＝(a,0，－a )，EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2.∴P A →＝2EG →，即P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ＝(a ，a ，－a )．又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，∴PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ，所以PB ⊥平面EFD .[能力提升]1．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )．若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则x ，y ，z 分别为( )A.337、－157、4 B ．407、－157、4 C.407、－2、4D ．4、407、－15【解析】 AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，可解得x ＝407，y ＝－157. 【答案】 B2．如图2-4-5，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ：FD 的值为( )图2-4-5A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，P A ＝a .则B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0,0，a )．设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF →＝(－1，y,0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .∵BF ⊥PE ，∴BF →·PE →＝0，解得y ＝12，则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1. 【答案】 B3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →，其中正确的是________．【导学号：32550042】【解析】 ∵AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0，∴AP ⊥AB ，AP ⊥AD 且AP →是平面ABCD 的法向量．【答案】 ①②③4．如图2-4-6，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC .图2-4-6(1)求证：AC ⊥PB ；(2)设O ，D 分别为AC ，AP 的中点，点G 为△OAB 内一点，且满足OG →＝13(OA →＋OB →)，求证：DG ∥面PBC ；【证明】 (1)因为P A ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，且P A ∩AB ＝A ，所以AC ⊥平面P AB .又因为PB ⊂平面P AB ，所以AC ⊥PB .(2)法一：因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，所以建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz.设AC ＝2a ，AB ＝b ，P A ＝2c ，则A (0,0,0)，B (0，b,0)，C (2a,0,0)，P (0,0,2c )，D (0,0，c )，O (a,0,0)，又因为OG →＝13(OA →＋OB →)，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，0.于是DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，－c ，BC →＝(2a ，－b,0)，PB →＝(0，b ，－2c )．设平面PBC 的一个法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎨⎧2ax 0－by 0＝0，by 0－2cz 0＝0.不妨设z 0＝1，则有y 0＝2c b ，x 0＝ca ，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1因为n ·DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，－c ＝c a ·a 3＋2c b ·b3＋1·(－c )＝0，所以n ⊥DG →.又因为DG ⊄平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .法二：取AB 中点E ，连接OE ，则OE →＝12(OA →＋OB →)．由已知OG →＝13(OA →＋OB →)可得OG →＝23OE →，则点G 在OE 上．连接AG 并延长交CB 于点F ，连接PF .因为O ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以OE ∥BC ，即G 为AF 的中点．又因为D 为线段P A 的中点，又所以DG ∥PF ，又DG ⊄平面PBC ，PF ⊂平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .。

北师大版高中数学选修2-1学业分层测评3.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】根据充分、必要条件的定义直接利用数轴求解即可．将p，q对应的集合在数轴上表示出来如图所示，易知，当p成立时，q不一定成立；当q 成立时，p一定成立，故p是q成立的必要不充分条件．【答案】 C2．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】分别判断由“x>1”能否推出“x3>1”和由“x3>1”能否推出“x>1”．由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x 3>1时，x >1也成立．因此“x >1”是“x 3>1”的充要条件，故选C.【答案】 C3． l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线，q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【解析】根据空间两条直线的位置关系和充要条件的定义进行判断．若l 1，l 2异面，则l 1，l 2一定不相交；若l 1，l 2不相交，则l 1，l 2是平行直线或异面直线，故p ⇒q ，qp ，故p 是q 的充分不必要条件．【答案】 A4．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】当a ＝1时，N ＝{1}，显然满足N ⊆M ，所以充分性成立；因为N ⊆M ，所以a 2＝1或a 2＝2，即a ＝±1或a ＝±2，故必要性不成立，所以选A.【答案】 A5．已知a ，b 为实数，命题甲：ab ＞b 2，命题乙：1b ＜1a ＜0，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当a ＝2，b ＝1时，ab ＞b 2，但1b ＜1a ＜0不成立；当1b ＜1a ＜0时，ab 2＜0，则1b ×ab 2＞1a ×ab 2，即ab ＞b 2成立，所以选B.【答案】 B二、填空题6．若p ：x 2－1＞0，q ：(x ＋1)(x －2)＞0，则綈p 是綈q 的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”其中一个)．【解析】綈p ：x 2－1≤0，∴－1≤x ≤1，綈q ：(x ＋1)(x －2)≤0，－1≤x ≤2， ∴－1≤x ≤1⇒－1≤x ≤2而－1≤x ≤1－1≤x ≤2，∴綈p 是綈q 的充分不必要条件．【答案】充分不必要7．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的充要条件是________．【解析】对a 分a ＝0和a ≠0两种情况讨论．【答案】 ⎩⎨⎧ a ＞0b 2－4ac ＜0或⎩⎨⎧a ＝b ＝0c ＞08．若命题“若p ，则q ”为真，则下列说法正确的是________． ①p 是q 的充分条件； ②p 是q 的必要条件； ③q 是p 的充分条件； ④q 是p 的必要条件．【解析】由充分条件与必要条件的定义知，①④正确．【答案】 ①④ 三、解答题9．命题p ：x ＞0，y ＜0，命题q ：x ＞y ，1x ＞1y ，则p 是q 的什么条件？【导学号：32550007】【解】 p ：x ＞0，y ＜0，则q ：x ＞y ，1x ＞1y 成立；反之，由x ＞y ，1x ＞1y ⇒y －xxy ＞0，因y －x ＜0，得xy ＜0，即x ，y 异号，又x ＞y ，得x ＞0，y ＜0.所以“x ＞0，y ＜0”是“x ＞y ，1x ＞1y ”的充要条件．10．已知a ，b ，c 均为实数，求证ac ＜0是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件．【证明】①充分性．若ac＜0，则Δ＝b2－4ac＞0.所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根，设其两根为x1，x2，因为ac＜0，所以x1·x2＝ca＜0，即x1，x2的符号相反，所以方程有一个正根和一个负根．②必要性．若方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，设其两根为x1，x2，不妨设x1＜0，x2＞0，则x1·x2＝ca＜0，所以ac＜0.由①②知ac＜0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件．[能力提升]1．“若a，b∈R＋，a2＋b2＜1”是“ab＋1＞a＋b”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a，b∈R＋，若a2＋b2＜1，则a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＜1＋2ab＋(ab)2，即(a＋b)2＜(1＋ab)2，所以a＋b＜1＋ab成立；当a＝b＝2时，有1＋ab＞a＋b 成立，但a2＋b2＜1不成立，所以“a2＋b2＜1”是“ab＋1＞a＋b”的充分不必要条件．【答案】 C2．已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(a x＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵f(x)＝(a x＋b)2＝a2x2＋2a·b x＋b2，且f(x)＝(a x＋b)2为偶函数，∴2a·b＝0，即a·b＝0，所以a⊥b；若a⊥b，则有a·b＝0，∴f(x)＝(a x＋b)2＝a2x2＋2a·b x＋b2＝a2x2＋b2为偶函数，∴“函数f(x)＝(a x＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，故选C.【答案】 C3．已知命题p ：实数x 满足－2≤1－x －13≤2；命题q ：实数x 满足x 2－2x ＋(1－m 2)≤0(m ＞0)．若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．【导学号：32550008】【解析】令A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2≤1－x －13≤2＝{x |－2≤x ≤10}， B ＝{x |x 2－2x ＋(1－m 2)≤0，m ＞0} ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．∵“若綈p ，则綈q ”的逆否命题为“若q ，则p ”，而綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件，∴p ⇒q ，即A ⊆B ，故⎩⎨⎧m ＞0，1－m ≤－2，10≤1＋m ，解得m ≥9.【答案】 [9，＋∞)4．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数x 都成立的充要条件是0<a <4.【解】 (1)必要性：若ax 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立，由二次函数性质有：⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0，即⎩⎨⎧a >0a 2－4a <0，∴0<a <4.(2)充分性：若0<a <4，对函数y ＝ax 2＋ax ＋1，其中Δ＝a 2－4a ＝a (a －4)<0且a >0，∴ax 2－ax ＋1>0(x ∈R )恒成立．由(1)(2)命题得证．。

北师大版高中数学选修2-1学业分层测评12.docx

学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216a B ．66a C.156aD ．153a【解析】以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a ，0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )．∵点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→.∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3.∴|MN →| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 【答案】 A2．已知平面α的法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (x,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为103，则x ＝( ) 【导学号：32550053】A ．－1B ．－11C ．－1或－11D ．－21【解析】 PA →＝(x ＋2,2，－4)，而d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA →·n |n |＝103，即|－2(x ＋2)－4－4|4＋4＋1＝103，解得x ＝－1或－11. 【答案】 C3．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长是1，则直线DA 1与AC 间的距离为( ) A.13 B ．23 C.33D ．34【解析】建系如图A (1,0,0)，A 1(1，0,1)，C (0,1,0)，AC →＝(－1,1,0)，DA 1→＝(1,0,1)，设n ＝(x ，y ，z )，令⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0n ·DA 1→＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋y ＝0x ＋z ＝0令x ＝1则n ＝(1,1，－1)DA →＝(1,0,0)，DA 1→与AC 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DA →·n |n|＝33. 【答案】 C4．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5B ．41C ．4D ．2 5【解析】设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )．则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)． ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ， ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)．∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－45，∴BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，95，125， ∴|BD →|＝ 16＋8125＋14425＝5.【答案】 A5．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83 B ．38 C.43D ．34【解析】如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2，0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)．∴D 1B 1→＝(2,2,0)， D 1A →＝(2,0，－4)，AA 1→＝(0,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量，则n ⊥D 1B 1→，n ⊥D 1A →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1B 1→＝0，n ·D 1A →＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0.令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．∴由AA 1→在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |n |＝43. 【答案】 C 二、填空题6．如图265所示，在直二面角D AB E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB ＝90°，则点D 到平面ACE 的距离为________．图26 5【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，E (1,0,0)，D (0，－1,2)，C (0,1,2).AD →＝(0,0,2)，AE →＝(1,1,0)，AC →＝(0,2,2)，设平面ACE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AC →＝0.即⎩⎨⎧x ＋y ＝0；2y ＋2z ＝0.令y ＝1，∴n ＝(－1,1，－1)．故点D 到平面ACE 的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝233. 【答案】2337．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．【导学号：32550054】【解析】设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵n ·AB →＝0，n ·AC →＝0， ∴⎩⎨⎧(x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0，(x ，y ，z )·(4，0，6)＝0，即⎩⎨⎧2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0，⇒⎩⎨⎧x ＝－32zy ＝－z令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)．又AD →＝(－7，－7,7)，∴点D 到平面ABC 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×(－7)＋2×(－7)－2×732＋22＋(－2)2＝4917＝491717. 【答案】 4917178．如图267所示，正方体的棱长为1，E ，F ，M ，N 分别是棱的中点，则平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离为________．图267【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0)，B 1(1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，D 1(0,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1. ∵E ，F ，M ，N 分别是棱的中点， ∴MN ∥EF ，A 1E ∥B 1N . ∴平面A 1EF ∥平面B 1NMD 1.∴平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离即为A 1到平面B 1NMD 1的距离．设平面B 1NMD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴n ·D 1B 1→＝0，且n ·B 1N →＝0. 即(x ，y ，z )·(1,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝0.∴x ＋y ＝0，且－12x ＋z ＝0，令x ＝2，则y ＝－2，z ＝1.∴n ＝(2，－2,1)，n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－23，13.∴A 1到平面B 1NMD 1的距离为d ＝|A 1B 1→·n 0| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(0，1，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－23，13＝23.【答案】23三、解答题9．如图268，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝3，CC 1＝2.图268(1)求证：直线CD 1∥平面A 1BC 1； (2)求直线CD 1与平面A 1BC 1间的距离．【证明】 (1)建系如图，则C (0,4,0)，D 1(0,0,2)，B (3,4,0)，A 1(3,0,2)，C 1(0,4,2)，所以CD 1→＝(0，－4,2)，BA 1→＝(0，－4,2)，BC 1→＝(－3,0,2)，BC →＝(－3,0,0)．∵CD 1→＝BA 1→，∴CD 1∥BA 1，又因为CD 1平面A 1BC 1，BA 1平面A 1BC 1，所以CD 1∥平面A 1BC 1.(2)设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BC 1→＝0，即⎩⎨⎧－4y ＋2z ＝0，－3x ＋2z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12z ，x ＝23z .取z ＝6，则x ＝4，y ＝3，∴n ＝(4,3,6)，则BC →·n ＝(－3，0,0)·(4,3,6)＝－12，|n |＝61.所以点C 到平面A 1BC 1的距离即直线CD 1到平面A 1BC 1的距离，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·n |n |＝|－12|61＝126161. 10．如图269，已知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4，M ，N ，D 分别是SC ，AB ，BC 的中点，求点A 到平面SND 的距离．图269【解】建立如图所示的空间直角坐标系，则N (0,2,0)，S (0,0,2)， D (－1,4,0)， ∴NS →＝(0，－2,2)， SD →＝(－1,4，－2)．设平面SND 的法向量为n ＝(x ，y,1)． ∴n ·NS →＝0，n ·SD →＝0， ∴⎩⎨⎧－2y ＋2＝0，－x ＋4y －2＝0，∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.∴n ＝(2,1,1)．∵AS →＝(0,0,2)．∴点A 到平面SND 的距离为|n ·AS →||n|＝26＝63. [能力提升]1．若正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )A.33 B ．1 C. 2D ． 3【解析】如图所示，直线AB 1与底面ABCD 所成的角为∠B 1AB ，而A 1C 1到底面ABCD 的距离为AA 1，在Rt △ABB 1中，B 1B ＝AB ·tan 60°＝ 3.所以AA 1＝BB 1＝ 3.【答案】 D2．如图2610，P ABCD 是正四棱锥，ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB ＝2，PA ＝6，则B 1到平面PAD 的距离为( )图2610A ．6B ．355C.655D ．322【解析】以A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面PAD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，∵AD →＝(0,2,0)，AP →＝(1,1,2)， ∴AD →·n ＝0，且AP →·n ＝0.∴y ＝0，x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－2,0,1)．∵B 1A →＝(－2,0,2)，∴B 1到平面PAD 的距离d ＝|B 1A →·n ||n |＝655. 【答案】 C3.如图2611所示，已知边长为42的正三角形ABC 中，E ，F 分别为BC 和AC 的中点，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝2，设平面α过PF 且与AE 平行，则AE 与平面α间的距离为________．【导学号：32550055】图2611【解析】设AP →，AE →，EC →的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，选取{e 1，e 2，e 3}为空间向量的一个基底，易知e 1·e 2＝e 2·e 3＝e 3·e 1＝0，AP →＝2e 1，AE →＝26e 2，EC →＝22e 3，PF →＝PA →＋AF →＝PA →＋12AC →＝PA →＋12(AE →＋EC →)＝－2e 1＋6e 2＋2e 3.设n ＝x e 1＋y e 2＋e 3是平面α的一个法向量，则n ⊥AE →，n ⊥PF →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0n ·PF →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x e 1＋y e 2＋e 3)·26e 2＝0(x e 1＋y e 2＋e 3)·(－2e 1＋6e 2＋2e 3)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧26y |e 2|2＝0－2x |e 1|2＋6y |e 2|2＋2|e 3|2＝0⇒⎩⎨⎧y ＝0，x ＝22.∴n ＝22e 1＋e 3.∴直线AE 与平面α间的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2e 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫22e 1＋e 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪22e 12＋|e 3|2＝233. 【答案】 2334．已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离．【解】 (1)建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，如图所示．则P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1，设平面PEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·EF →＝0且n ·PE →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋12y ＝0，x ＋12y －z ＝0.令x ＝2，则y ＝2，z ＝3，所以n ＝(2,2,3)，所以点D 到平面PEF 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DE →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋14＋4＋9＝31717，因此，点D 到平面PEF 的距离为31717. (2)因为AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，所以点A 到平面PEF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AE →·n |n |＝117＝1717，所以AC 到平面PEF 的距离为1717.。

高中数学学业分层测评4(含解析)北师大版选修2-1(2021学年)

201７-201８学年高中数学学业分层测评4(含解析)北师大版选修2-1 编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2０1７-201８学年高中数学学业分层测评4(含解析）北师大版选修2-1)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2０17-2018学年高中数学学业分层测评4（含解析)北师大版选修2-1的全部内容。

学业分层测评(四）(建议用时:４5分钟）[学业达标]一、选择题１．将“a2＋b2＋２ab＝(ａ+b)2”改写成全称命题是（）A．存在ａ０,b0∈R,使a错误!＋b错误!+2a0b0=（a0＋ｂ0）2B.存在a0＜０，b0＞0，使ａ错误!+ｂ错误!＋2a0b0=(a0＋ｂ0)2C.存在ａ０>0,b0>0,有a错误!+b错误!＋２ａ０ｂ0=(a0＋b０）２D．对所有a,ｂ∈R,有a2+b2+2ab=(a+ｂ)2【解析】a2+b２＋２ab=（ａ+b)２是全称命题,隐藏了“对所有a,b∈R”．【答案】Ｄ2.下列命题中的真命题是( )A．存在ｘ0∈N，使４x0〈-３B.存在ｘ0∈Z,使2ｘ0－１=0Ｃ.对任意ｘ∈R，２ｘ＞x２D．对任意x∈R，ｘ2＋2＞0【解析】当x∈Ｒ时,x2≥0,∴ｘ２+2≥2>0【答案】Ｄ３．已知命题ｐ:∃x0∈Ｒ,sｉn x０＜错误!x0，则綈p为（）A.∃x0∈R,ｓｉn x0＝错误!x０B.∀ｘ∈Ｒ，ｓiｎx<＼f(１,２)xC.∃x0∈Ｒ,sin x0≥＼ｆ(1,2)x0D．∀x∈R，ｓin ｘ≥＼ｆ(1,2)ｘ【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈p:∀x∈R,ｓｉn x≥错误!x.【答案】Ｄ４．非空集合A、B满足A B,下面四个命题中正确的个数是（)①对任意x∈A，都有ｘ∈Ｂ；②存在x０∉Ａ,使ｘ0∈B；③存在x０∉B，使x0∈Ａ；④对任意x∉B,都有x∉A.2017-2018学年高中数学学业分层测评4（含解析）北师大版选修2-1A.１B.2Ｃ.３D．4【解析】根据A B知,①②④正确，③错误.【答案】C5．下列命题中的假命题是( ）A.对任意ｘ∈R,2x－1＞0B．对任意x∈N＊,(x-１）2＞0C.存在x∈R,lg x<1Ｄ．存在x∈R，tan x=２【解析】Ａ项,∵x∈R,∴ｘ-1∈R，由指数函数性质得2x－１>0;B项，∵x∈Ｎ*，∴当ｘ=1时，(x－１)2=0，与（x－1)2>0矛盾;Ｃ项，当x=＼ｆ(1,１0）时,lg错误!=-1＜1;显然D正确．【答案】Ｂ二、填空题6.下列命题,是全称命题的是_____＿__;是特称命题的是_____＿__．【导学号:32５50011】①正方形的四条边相等;②有两个角是４5°的三角形都是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数.【解析】①②③都是省略了全称量词的全称命题.④是特称命题．【答案】①②③④7．“所有的自然数都大于零”的否定是___＿_＿＿_．【解析】改变量词并否定判断词．【答案】存在一个自然数小于或等于零8.若命题“存在x0∈R,ｘ错误!+mｘ０+２m－３＜０”为假命题，则实数m的取值范围是___＿___＿．【解析】由题意可知,命题“对任意x∈R,ｘ2+ｍx＋2ｍ－3≥0”为真命题，故Δ＝m２-４(2m－3)＝ｍ2-８ｍ＋１2≤0,解得2≤m≤6.【答案】[２,6］三、解答题９.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断真假．（１)对任意的实数a、b，关于x的方程ａx＋b=０恰有唯一解;（2)存在实数x,使得＼ｆ（1,x２－２x+３）＝＼ｆ(3,4）。