根轨迹法-自动控制

实验二·线性系统的根轨迹
一、实验目的
1. 熟悉MA TLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。

2. 利用MA TLAB 语句绘制系统的根轨迹。

3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。

4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。

二、实验内容
1.请绘制下面系统的根轨迹曲线
22()(22)(613)
K
G s s s s s s =++++ (1)
2
(12)
()(1)(12100)(10)
K s G s s s s s +=++++ (2)
2(0.051)
()(0.07141)(0.0120.11)
K G s s s s s +=
+++ (3)
同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。

2. 在系统设计工具rltool 界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并观察增加极、零点对系统的影响。

三、实验内容及分析
对于系统1：
1）求解在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。

Matlab 文本如下： figure(1) num=[1];
den=[1 8 27 38 26 0]; %K=1:0.5:30; G=tf(num,den); rlocus(G); grid
xlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis') title('Root Locus') [K,r]=rlocfind(G);
G_c=feedback(G,30);%k=30时的阶跃响应曲线 figure(2) step(G_c)
title('k=30时的阶跃响应曲线')
得到的图形如下：
-12
-10
-8-6-4
-2
2
4
6
-10-50
510
0.840.92
0.980.16
0.30.46
0.6
0.720.840.92
0.982
4
6
8
10120.16
0.30.46
0.6
0.72Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
在根轨迹和虚轴的交接处得到K 值为：30.5666，由于闭环系统稳定的条件是极点全位于左半平面，所以在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围为：（0,30.5666），从下图可以看出，当K=30时，系统处于临界阻尼状态。

0510152025303540
0.010.020.030.040.05
0.060.07k=30时的阶跃响应曲线
Time (sec)
A m p l i t u d e
2）用系统设计工具rltool 界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并观察增加极、零点对系统的影响。

den=[1 8 27 38 26 0]; num=[1];
G=tf(num,den); rltool(G)
上图是添加了一个零点之后的根轨迹图，其中零点值为：-2.56。

可以测出，系统临界稳定时K的值增大到41.7。

添加合适的零点有助于改善系统动态和稳态性能。

对于系统2：
1）求解在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K值的范围。

Matlab文本如下：
figure(1)
num=[1 12];
den=[conv([1,1],conv([1,12,100],[1,10]))];
%K=1:0.5:10;
G=tf(num,den);
zet=[0.1:0.1:1];
wn=[1:10];
sgrid(zet,wn);
hold on;
rlocus(G);
xlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis')
title('Root Locus')
[K,r]=rlocfind(G);
G_c=feedback(G,1082.3); %k=1082.3时的阶跃响应曲线
figure(2)
step(G_c)
title('k=1082.3时的阶跃响应曲线')
得到图形如下：
-60
-50
-40
-30
-20
-10
10
20
30
-50-40
-30-20
-1001020
30
40500.84
0.920.98
0.160.3
0.46
0.6
0.72
0.84
0.920.98
10
20
30
40
50
600.16
0.3
0.46
0.6
0.72
Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
20406080100120
00.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
x 10
-3
k=1082.3时的阶跃响应曲线
Time (sec)
A m p l i t u d e
在根轨迹和虚轴的交接处得到K 值为：1082.3，由于闭环系统稳定的条件是极点全位于左半平面，所以在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围为：（0,1082.3），从下图可以看出，当K=30时，系统处于临界阻尼状态。

2） 用系统设计工具rltool 界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并观
察增加极、零点对系统的影响。

num=[1 12];
den=[conv([1,1],conv([1,12,100],[1,10]))];
G=tf(num,den);
rltool(G)
添加了一个值为-11.5的零点，使得该系统在添加零点在（-11.5,0）的区间内时，该系统都为稳定系统。

对于系统3：
1）求解在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K值的范围。

Matlab文本如下：
figure(1)
num=[0.05 1];
den=[conv([0.0714],[0.012,0.1,1])];
%K=1:0.5:10;
G=tf(num,den);
zet=[0.1:0.1:1];
wn=[1:10];
sgrid(zet,wn);
hold on;
rlocus(G);
xlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis')
title('Root Locus')
[K,r]=rlocfind(G);
G_c=feedback(G,1); %k=1时的阶跃响应曲线
figure(2)
step(G_c)
得到图像如下：
-70
-60
-50
-40
-30-20
-10
10
-20-15
-10
-5
5
10
15
20
0.9840.996
0.35
0.58
0.760.860.92
0.960.9840.996
10
2030405060
700.35
0.58
0.76
0.86
0.92
0.96
Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
该系统为稳定系统，K=（0，无穷）。

2） 用系统设计工具rltool 界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并观察增加极、零点对系统的影响。

num=[0.05 1];
den=[conv([0.0714],[0.012,0.1,1])]; G=tf(num,den); rltool(G)
四、实验结果与心得
通过根轨迹图，可以得到以下结论：
1.可以利用根轨迹图，确定使得系统稳定的K值范围。

2.可以利用根轨迹图，在给定K值的情况下，求解系统的动态性能和稳态误差。

3.附加零点相对开环极点的位置选配得当，才能使得系统的稳态性能的动态性能得到显著的改善。