浙教版初中数学第二章一元二次方程专题复习2-根的判别式与韦达定理(含答案)

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浙教版八年级下册数学第二章一元二次方程含答案(满分必备)

浙教版八年级下册数学第二章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、判断一元二次方程式x2-8x-a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（）A.12B.16C.20D.242、方程x2+3x=2的正根是（）A. B. C. D.3、已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=-1，则m的值是（）A.3或-1B.3C.1D.–3或14、若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+ 的值是（）A.3B.﹣3C.5D.﹣55、一件商品的原价是300元，经过两次提价后的价格为363元．如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A.300（1﹣2x）＝363B.300（1＋x）＝363C.300（1﹣x）2＝363D.300（1＋x）2＝3636、一元二次方程x2+x-2=0的两根之积是（）A.-1B.-2C.1D.27、已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（）A.-4B.-1C.1D.48、已知是方程x2-2x-1=0的两个根，则的值为（）A. B.2 C. D.-29、方程x2﹣5＝0的实数解为（）A. B. C. D.±510、已知1是关于x的一元二次方程（m－1）x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是（）A.1B.-1C.0D.无法确定11、下列说法中①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a，b分别是方程x2－7x＋7=0的两个根，则AB边上的中线长为正确命题有（）A.0个B.1个C.2个D.3个12、关于x的一元二次方程mx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m＜1B.m≤1C.m＜1且m≠0D.m≤1且m≠013、用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0时，下列配方正确的是（）A.（x﹣1）2+1＝0B.（x+1）2+1＝0C.（x﹣1）2﹣1＝0D.（x﹣1）2﹣2＝014、下列说法：①长度相等的弧是等弧；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③相等的圆心角所对的弦相等；④方程x2+x+1=0的两个实数根之积为-1．你认为正确的共有( )A.0个B.1个C.2个D.3个15、某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目小分支，主干、枝干和小分支总数共57根，则主干长出枝干的根数为（）A.7B.8C.9D.10二、填空题(共10题，共计30分)16、已知关于x的一元二次方程（m-2）2x2＋（2m＋1）x＋1=0有两个实数根，则m的取值范围是________.17、已知关于x 的一元二次方程x2- x + k = 0 有两个相等的实数根，则k 的值为________．18、如果2+ 是方程的一个根，那么c的值是________.19、如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是________.20、若关于x的方程（a+3）x|a|-1﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的值为________．21、如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是________ ．22、菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是________．23、若方程的两根为、，则________.24、如果关于的一元二次方程有一个根是2 ，那么另一个根是________.25、把方程（2x+1）2﹣x=（x+1）（x﹣1）化成一般形式是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程：x2-3x=5x-127、解方程：（1）x2+2x﹣9999=0（用配方法求解）；（2）3x2﹣6x﹣1=0（用公式法求解）28、某奶茶店每杯奶茶的成本价为5元，市场调查表明，若每杯定价a元，则一天可卖出（800﹣100a）杯，但物价局规定每件商品的利润率不得超过20%，商品计划一天要盈利200元，问每杯应定价多少元？一天可以卖出多少杯？29、已知方程的一根是2，求它的另一根及k的值．30、将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4 的小正方形，做成一个无盖的盒子，如下图所示，已知盒子的容积是400 ，求原铁皮的边长.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、D3、B4、D5、D6、B7、C8、D9、C10、B11、C12、C13、D14、A15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。

初高衔接知识第二讲：一元二次方程与韦达定理(含练习+参考答案)

第二讲：一元二次方程与韦达定理班级：______姓名：__________问题一、一元二次方程的基本知识定义：判别式：求根公式：两根差的绝对值：例1 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －1＝0的两根，求| x 1－x 2|的值．问题二、韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．例1 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例3 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例4 若x 1和x 2分别是一元二次方程x 2＋x －1＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x 的值；（3）x 13＋x 23．问题三、韦达定理与根的分布问题例1 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的（1）一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围；（2）两个根都大于零，求实数a 的取值范围．例2．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的（1）一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围；（2）两根都小于1，求实数a 的取值范围．例3 若一元二次方程x 2-(m +1)x+4=0的两个根都落在[0,3]内，求实数m 的取值范围．参考答案定义：一般的，把形如20ax bx c ++=()0a ≠的方程叫做一元二次方程判别式：240b ac =-≥求根公式：2b x a -±=两根差的绝对值：12||x x a -=问题一例1.122x x -===问题二例1. 解：由题意得121212355675k x x x x x x -⎧+=⎧⎪=-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎪⎩例2. 解：由题意得()()22212120401171021m b ac m m m x x x x ≤⎧⎧-≥⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨-+=+-=⎪⎪⎩⎩例3 解：由题意得24120x x --=解得126,2x x ==-例4 解：（1）12x x -===（2）()()()2212122222212122121131x x x x x x x x +--++===- （3）()()()()()233221212112212121234x x x x x x x x x x x x x x +=+-+=++-=-问题三例1解:（1）1240x x a =-<，4a <（2）由题意得1220174440x x a b ac <⎧⇒<≤⎨-≥⎩例2解：（1）由题意得()()12110x x --<()121210x x x x -++<2a ∴<（2）由题意得122b a -=- ∴()()12211012440x x a b ac ⎧-->⎪⇒-<≤⎨-≥⎪⎩例3解：由题意得 ()()()()21212121240010033330330b ac x x x x m x x x x ⎧-≥⎪+≥⎪⎪≥⇒≤≤⎨⎪-+-≤⎪⎪--≥⎩高一数学衔接知识讲义二练习班级：________姓名：_________1．若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）23．若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）04．已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c ＝0的根的情况是（）（A ）没有实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根（D ）有两个异号实数根5．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则斜边长等于（）（A（B ）3 （C ）6 （D ）96．若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x ＝； 7．以－3和1为根的一元二次方程是；8．若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝_____________；9．写一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数_________________________．10．若一元二次方程x 2+2(m -1)x+2m +6=0有两个实数根，且都比1大，求实数m 的取值范围．11．若方程(m +3)x 2-4mx+2m +1=0的两个实数根异号，且负根的绝对值较大，求实数m 的取值范围．12．若一元二次方程x 2-2ax+a+2=0的两根都在区间（1，3）内，求实数a 的取值范围．参考答案1-5 D C C B B6-9 3-；(3)(1)0x x +-=；12；2710x x +-= 10 解：，则51540m m m m ≥≤-⎧⎪⎪>-⎨⎪<⎪⎩∴514m -<≤-11 解：121200300x x x x m ⋅<⎧⎪+<⎪⎨+≠⎪⎪∆>⎩ ，则2(21)(3)04(m 3)03828-12>0m m m m m m ++<⎧⎪+<⎪⎨≠-⎪⎪∆=-⎩∴132m -<<- 12 解：法一：24480(1,3)2(1)30(3)1150a ab a a f a f a ⎧∆=--≥⎪⎪-=∈⎪⎨⎪=->⎪=->⎪⎩ ∴1125a ≤< 法二：利用韦达定理12121212(1)(1)0(1)(1)0(3)(3)0(3)(3)00x x x x x x x x -->⎧⎪-+->⎪⎪-+-<⎨⎪-->⎪⎪∆≥⎩ ∴1125a ≤< 2416200(1)4502(m 1)122m m f m b a ⎧⎪∆=--≥⎪=+>⎨⎪-⎪-=->⎩。

浙教版八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)培优讲义(含解析)

第2讲韦达定理命题点一：利用判别式求值例1若关于x的方程ax2＋2(a＋2)x＋a＝0有实数解，则实数a的取值范围是a≥－1 .例2(1)如果关于x的一元二次方程kx2－2k＋1x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( D )A．k＜12B．k＜12且k≠0 C．－12≤k＜12D．－12≤k＜12且k≠0(2)若关于x的一元二次方程12x2－2mx－4m＋1＝0有两个相等的实数根，则(m－2)2－2m(m－1)的值为72．命题点二：巧用韦达定理妙解代数式例3若m，n是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，则m2＋2m＋n的值为 0 .例4(1)已知α，β是方程x2－x－1＝0的两个实数根，则代数式α2＋α(β2－2)的值为 0 ．(2)若关于x的一元二次方程2x2－2x＋3m－1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1x2>x1＋x2－4，则实数m的取值范围是( D )A．m>－53B．m≤12C．m＜－53D．－53＜m≤12命题点三：根据根的范围求值例5已知关于x的方程ax2＋(a＋1)x＋6a＝0有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜1＜x2)，则实数a的取值范围是( C )A．－1＜a＜0 B．a＜－1 C．－18＜a＜0 D．a＜－18例6已知关于x的方程x2＋2px＋1＝0的两个实数根一个大于1，另一个小于1，则实数p的取值范围是p＜－1 ．命题点四：解绝对值方程例7设方程||x2＋ax＝4只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根．解：方程等价于如下两个方程：x2＋ax－4＝0，①x2＋ax＋4＝0. ②∵原方程只有3个不相等的实根，又∵两个方程不可能有公共根，∴必有且只有方程①或②有重根，Δ1＝a2＋16≥0，Δ2＝a2－16≥0.由于Δ1>Δ2，故只可能是Δ2＝0，即a ＝±4. ∴当a ＝4时，相应的根为－2，－2±22； ∴当a ＝－4时，相应的根为2，2±2 2.例8若关于x 的方程x 2－(m ＋5)||x ＋4＝m 恰好有3个实数解，则实数m ＝ 4 . 命题点五：构造方程求值例9已知m 2－2m －1＝0，n 2＋2n －1＝0且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n的值为 3 ．例10已知mn ≠1，且5m 2＋2 018m ＋9＝0，9n 2＋2 018n ＋5＝0，则m n值为( B )A.59B.95C.6703 D ．－402 命题点六：三角形边的问题例11如果方程(x －1)(x 2－2x ＋m )＝0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( C )A ．0≤m ≤1B ．m ≥34 C.34＜m ≤1 D.34≤m ≤1例12△ABC 的一边长为5，另外两边长恰为方程2x 2－12x ＋m ＝0的两个根，则m 的取值范围是112<m ≤18 ．命题点七：整数根问题例13已知整数p ，q 满足p ＋q ＝2 010，且关于x 的一元二次方程67x 2＋px ＋q ＝0的两个根均为正整数，则p ＝－2278 ．例14求满足如下条件的所有k 的值：使关于x 的方程kx 2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数．解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论．当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1. 当k ≠0时，所给方程为二次方程．设两个整数根为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－k ＋1k ＝－1－1k，① x 1·x 2＝k －1k ＝1－1k.② 由①－②，得x 1＋x 2－x 1·x 2＝－2，整理，得(x 1－1)(x 2－1)＝3.∵方程的根都是整数，∴(x 1－1)(x 2－1)＝3＝1×3＝(－1)×(－3)．有x 1－1＝1，x 2－1＝3或x 1－1＝－1，x 2－1＝－3.故x 1＋x 2＝6或x 1＋x 2＝－2，即－1－1k ＝6或－1－1k ＝－2，解得k ＝－17或k ＝1. 又∵Δ＝(k ＋1)2－4k (k －1)＝－3k 2＋6k ＋1，当k ＝－17或k ＝1时，都有Δ＞0.∴满足要求的k 值为0，－17，1.课后练习1．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋m 4＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，若1x 1＋1x 2＝4m ，则m 的值为( A )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在2．已知关于x 的方程x 2－(a 2－2a －15)x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值是( B )A ．5B ．－3C ．5或－3D ．13．已知四个互不相等的正实数a ，b ，c ，d 满足(a 2012－c 2012)(a 2012－d 2012)＝2 012，(b 2012－c 2012)(b 2012－d 2012)＝2 012，则(ab )2012－(cd )2012的值为( A )A ．－2 012B ．－2 011C ．2 012D ．2 011 4．若实数a ，b 满足12a －ab ＋b 2＋2＝0，则实数a 的取值范围是( C )A ．a ≤－2B ．a ≥4C ．a ≤－2或a ≥4D ．－2≤a ≤45．已知关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋5－k ＝0有两个大于2的实数根，则k 的取值范围是( A )A ．－5＜k ≤－4B ．k >－5C ．k ≤－4D ．－4≤k ＜－26．关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2－k ＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝4，则x 21－x 1x 2＋x 22的值为 4 ．7．如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2－m ＝3，n 2－n ＝3，那么代数式2n 2－mn ＋2m ＋2 015＝ 2026 .8．设a ，b 是一元二次方程x 2－x －1＝0的两个根，则3a 3＋4b ＋2a2的值为 11 ．9．若方程||x 2－5x ＝a 有且只有相异的两个实数根，则a 的取值范围是 a ＝0或a >254． 10．若p ＋q ＝198，则方程x 2＋px ＋q ＝0的最大整数解为 200 ．11．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝7，求下列代数式的值：(1)(x 1－x 2)2. (2)x 2x 1＋2＋x 1x 2.解：由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝m ，x 1·x 2＝2m －1.∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝m 2－2×(2m －1)＝7，∴m 2－4m －5＝0. ∴m 1＝5，m 2＝－1.当m 1＝5时，Δ＝m 2－4(2m －1)＝25－36＝－9＜0(不合题意，舍去)；当m 2＝－1时，Δ＝1－(－12)＝13>0. ∴m ＝－1.∴x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－3.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝13，x 2x 1＋2＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2x 1·x 2＝－13.12．已知方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知a ，b 满足a 2－15a －5＝0，b 2－15b －5＝0，求a b ＋ba的值．(2)已知a ，b ，c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值．解：(1)当a ≠b 时，则a ，b 为方程x 2－15x －5＝0的两个根， ∴a ＋b ＝15，ab ＝－5.∴原式＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab ＝152－2×(－5)－5＝－47.当a ＝b 时，原式＝2.综上所述，a b ＋b a的值为－47或2. (2)由条件，得a ＋b ＝－c ，ab ＝16c ，则a ，b 为方程x 2＋cx ＋16c＝0的两个实数根，∴Δ＝c 2－4×16c≥0，c 3≥64，即c ≥4.故正数c 的最小值为4.13．(自主招生模拟题)已知x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)为关于x的方程x3－3x2＋(a＋2)x－a＝0的三个实数根，则4x1－x21＋x22＋x23的值为( A )A．5 B．6 C．7 D.814．(自主招生模拟题)设a，b，c，d为四个不同的实数，若a，b为方程x2－10cx－11d＝0的根，c，d为方程x2－10ax－11b＝0的根，则a＋b＋c＋d＝ 1210 ．15．(自主招生真题)设x为正数，求分式x(x＋1)2的最大值．解：设k＝x(x＋1)2.整理，得kx2＋(2k－1)x＋k＝0.由Δ＝(2k－1)2－4k2≥0，得k≤14，即分式x(x＋1)2的最大值为14.。

第三讲一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac∆=-(1) 当Δ=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当Δ=240b ac -=时，因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当Δ=240b ac -<时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x 的不等式组6x ―a ≥―10―1+12x <―18x +32有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a ―5)x 2+4x +1=0有实数根的所有整数a 的值之和为（）A ．35B ．30C ．26D ．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a 的取值范围，再通过根的判别式确定a 的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：6x ―a ≥―10①―8+4x <―x +12②由①得：x ≥a ―106，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴―1<a―106≤0，解得：4<a≤10，∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根，∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得：a≤9，∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程，∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k―12）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k―12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k―3)2，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a 、b 为腰，则a ＝b ＝4，即2k ﹣1＝4，解得k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时，b ＝c ＝2，此时b +c ＝a ，故此种情况不存在．综上所述，△ABC 的周长为10．【例2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a ，b ，c 满足a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，则a ―b +c 的值为（）A ．―1B ．5C ．6D ．―7【答案】B【分析】首先把a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，两边相加整理成a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a 、b 、c 的数值，代入求得答案即可．【详解】解：∵a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a =―，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0∴(a ―1)2+(b +3)2+(c ―1)2=0，∴a =1，b =―3，c =1，∴a ―b +c =1+3+1=5．故选：B ．【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m (x ―a )2+b =0与n (x ―a )2+b =0，称为“同类方程”．如2(x ―1)2+3=0与6(x ―1)2+3=0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)(x ―1)2+1，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)x 2―2(a +6)x +a +7，∴b +8=2(a +6)6=a +7 ，解得：a =―1b =2，∴a x 2+bx +2022=―x 2+2x +2022=―(x ―1)2+2023∴当x =1时，a x 2+bx +2022取得最大值为2023．故答案为：2023．2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+==-，12244ac c x x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-=【知识点精讲】【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===-(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x 的方程220x mx m -+=.（1）若2m =-，方程两根分别为1x ，2x ，求12x x -和3312x x +的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m 的取值范围.【答案】．（14- （2）m <0【解析】（1）由22121212=()4x x x x x x -+-，33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当2m =-时，2222x x +-=即：210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此：2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-（2）220x mx m -+=212128,,22m m m m x x x x ∆=-+==21280002m m m m x x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【变式1】已知两不等实数a ，b 满足222a a =-，222b b =-，求22b a a b +的值.【解析】：b a ,是一元二次方程0222=-+x x 的不等实根则有2,2-=-=+ab b a原式=5)(]3))[(()())(()(22222233-=-++=+-+=+ab ab b a b a ab b ab a b a ab b a 【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)若x 21+x 22=2，求m 的值；(2)令T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，求T 的取值范围．【答案】(1)1 (2)0<T ≤4且T ≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m 是不小于-1的实数，确定m 的取值范围，根据根与系数的关系，用含m 的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x 12+x 22为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，代入用含m 表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m 的取值范围得到m 的值；（2）化简T ，用含m 的式子表示出T ，根据m 的取值范围，得到T 的取值范围．(1)∵关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个实数根，∴Δ=4（m -2）2-4（m 2-3m +3）≥0，解得m ≤1，∵m 是不小于-1的实数，∴-1≤m ≤1，∵方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0x 1，x 2，∴x 1+x 2=-2（m -2）=4-2m ，x 1•x 2=m 2-3m +3．∵x 12+x 22=2，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=2，∴4（m -2）2-2（m 2-3m +3）=2，整理得m 2-5m +4=0，解得m 1=1，m 2=4（舍去），∴m 的值为1；(2)T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，=mx 1(1―x 2)+mx 2(1―x 1)(1―x 1)(1―x 2)=m [(x 1+x 2)―2x 1x 2]1―(x 1+x 2)+x 1x 2=m (4―2m ―2m 2+6m ―6)1―4+2m +m 2―3m +3=―2m(m ―1)2m 2―m=―2m(m ―1)2m (m ―1)=2-2m ．∵当x =1时，方程为1＋2（m ﹣2）＋m 2﹣3m ＋3＝0，解得m =1或m =0．∴当m =1或m =0时，T 没有意义．∴―1≤m <1且m ≠0∴0<2-2m ≤4且T ≠2．即0<T ≤4且T ≠2．【变式3】．已知12x x ，是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；（2）若k 是整数，求使12212x x x x +-的值为整数的所有k 的值．【答案】（1）不存在k ；理由见解析；（2）235k =---，，．【详解】（1）假设存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴()()24004441160k k k k k k ≠⎧⎪⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎪⎩，又1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩∴()()()()222121212121212222529x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k < ．∴不存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．（2）∵()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴要使其值是整数，只需1k +能整除4，∴11k +=±，2±，4±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3，－5．所以k 的值为235k =---，，【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程x 2―2022x +1=0的两根分别为a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab =1，记S 1=11+a +11+b ,S 2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,⋯,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+⋯+S100=______．【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2―2022x+1=0的两根分别为a，b，∴ab=1，∴b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，∴S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1，S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1，S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1，∴S1+S2+S3+⋯+S100=1+1+1+…+1100=100，故答案为：100．。

中考复习讲义一元二次方程的解法、判别式和韦达定理(含答案)

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【例6】一元二次方程（a 1 ）x2 ax a2 1 0 的一个根为 0，则 a ________。【答案】1 题型三：“降次”思想【例7】已知 a 是方程 x2 3x 1 0 的一个根，则代数式 a3 10a 2 的值为_________ 【解析】本题难度对于现在学生来讲，稍微有一点大，但是还是建议学生能够学习和掌握。我们都知道解一元二次方程最根本的思想就是“降次”，因此我们在处理高次代数式求值的时候的基本方法就是 “降次”，通过“降次”将代数式转化为我们所熟知的内容，因此本题的主要考查点有二个：①根的考查；②恒等变形【答案】∵ a 是方程 x2 3x 1 0 的一个根 ∴ a2 3a 1 0 ，即 a2 1 3a ∴ a3 a a2 a(1 3a) a 3a2 a 3(1 3a) a 3 9a 10a 3 ∴ a3 10a 2 (10a 3) 10a 2 1
【解析】先确定方程的公共根，再将这个公共根代入某一方程，即可得 a 、 b 满足的关系式【答案】设两方程的公共根为 m ，则 m2 am b 0 ①， m2 bm a 0 ②， ①-②得， (a b)m b a 0 ，∴ (a b)m a b ，解得 m 1 将 m 1 代入①得 a b 1 0 ∴ a b 1 选 D
1
）
B. a 0
C. a 为任何实数
D.不存在
【巩固】已知关于 x 的方程 (a 2) x2 ax x2 1 是一元二次方程，求 a 的取值范围．【解析】整理方程得： (a 3) x2 ax 1 0 ，当 a 3 时，原方程是一元二次方程．【答案】 a3 【例2】若 (m 3) xn2 3nx 3 0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 、 n 的取值范围是（ A. m 0 、 n 3 【答案】B B. m 3 、 n 4 C. m 0 ， n 4 ）

第2章一元二次方程根的判别式问题专题测试（含解析）

浙教版八下数学第2章《一元二次方程》根的判别式问题专题测试考试时间：120分钟满分：120分一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1.一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数的取值为（）A. ＞2B. ≥2C. ＝2D. ＝2.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( )A. B. 且 C. D. 且3.关于的方程的两个根互为相反数，则k值是（）A. -1B.C. 2D. -24.下列方程①，②，③，④没有实数根的是（）A. ①②③④B. ①③C. ②④D. ②③④5.若关于x的方程x2＋2x＋ a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是（）A. B. C. D.6.若关于的一元二次方程有实数根，则的非负整数值是（）A. 1B. 0,1C. 1,2D. 1,2,37.已知的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2-（c2-a2-b2）x+b2=0，则方程根的情况是（）。

A. 有两相等实根B. 有两相异实根C. 无实根D. 不能确定8.已知a、b、c分别为Rt△ABC（∠C=90°）的三边的长，则关于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+（c-a）=0根的情况是（）.A. 方程无实数根B. 方程有两个不相等的实数根C. 方程有两个相等的实数根D. 无法判断9.关于x的方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是（）.A. k为任何实数，方程都没有实数根B. k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C. k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D. 根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种10.已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是________12.若关于x的方程有两个相等的实数根，则式子的值为________13.如果恰好只有一个实m数是关于x的方程的根，则k=________．14.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根，那么k的最小整数值是________.15.若关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m－3=0有一个根是0，则m=________，另一根为________。

一元二次方程-韦达定理的应用及答案

一元二次方程韦达定理的应用知识点：一元二次方程根的判别式：当△>0 时________方程_____________，当△=0 时_________方程有_______________ ，当△<0 时_________方程___________ .韦达定理的应用：1.方程的一个根，求另一个根和未知系数2.求与方程的两个根有关的代数式的值3.方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值4.两数的和与积，求这两个数例 1.关于 x 的一元二次方程 2223840x mx m m --+-=.求证：当 m>2 时,原方程永远有两个实数根.例 2.关于 x 的方程22(1)10kx x x k -++-=有两个不相等的实数根.(1)求 k 的取值范围;(2)是否存在实数 k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?假设存在，求出 k 的值;假设不存在，说明理由.例 3.关于 x 的方程222(3)410x k x k k --+--=(1)假设这个方程有实数根，求 k 的取值范围;(2)假设这个方程有一个根为 1，求 k 的值;例 4.关于 x 的一元二次方程21(2)302x m x m +-+-= (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。

(2)假设这个方程的两个实数根12,x x 满足1221x x m +=+，求 m 的值。

例 5.当 m 为何值时，方程28(1)70x m x m --+-=的两根：(1) 均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数，一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于 2.例 6. a,b,c,是△ ABC 的三边长，且关于 x 的方程 22(1)2(1)0b x ax c x --+-=有两个相等的实根，求证：这个三角形是直角三角形。

例 7.假设 n>0 ，关于 x 的方程21(2)04x m n x mn ---=有两个相等的正的实数根，求m n的值。

初中数学一元二次方程根的判别式与韦达定理

根的判别式与韦达定理中考要求例题精讲板块一根的判别式☞定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a+= 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．☞判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．☞根的判别式的应用：☞⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340x x +-=；⑵20ax bx +=（0a ≠）【解析】略【答案】⑴22340x x +-=∵2342(4)410∆=-⨯⨯-=> ∴方程有两个不相等的实数根． ⑵∵0a ≠∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零 ∵22()40b a b ∆=--⋅⋅=∵无论b 取任何数，2b 均为非负数 ∴0∆≥，故方程有两个实数根【巩固】不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【解析】由方程可得3680∆=+>，所以方程有两个不相等的实数根．【答案】A【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：⑴22340x x +-=；⑵232x +=212x +=；⑷22(21)220m x mx +-+=；⑸2210x ax a ++-=220-+=；⑺4(1)30x x +-=；⑻2(1)(2)x x m --=【解析】略【答案】⑴两个不等的实数根；⑵两个相等的实数根；⑶无实数根；⑷无实数根；⑸两个不等的实数根；⑹无实数根；⑺两个不相等的实数根；⑻两个不相等的实数根【例2】已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++= 的根的情况（）． A ．有2个负根 B ．有2个正根 C ．有2个异号的实根 D ．无实根【解析】方程 2222()()0x a b c x a b c ++++++=的判别式为：2222()4()a b c a b c ∆=++-++222333222a b c ab bc ca =---+++222222222(2)(2)(2)a ab b b bc c c bc a a b c =-+-+-+-+-+----222222[()()()]a b b c c a a b c =--+-+-+++∵a ，b ，c 不全为0，∴0∆<．∴原方程无实数根．故选D ．【答案】D☞⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；【例3】 m 取什么值时，关于x 的方程222(3)6x mx +-=有两个相等的实数根【解析】略【答案】1m =±【巩固】如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A ． 1k <B ． 0k ≠C ．10k k <≠且D ． 1k >【解析】由题可得363600k k ∆=->⎧⎨≠⎩所以 10k k <≠且【答案】C【巩固】方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0 【答案】9k <且0k ≠【巩固】若关于x 的二次方程2(1)220m x mx m -++-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0【答案】23m >且1m ≠【巩固】若关于x 的一元二次方程2(1)210k x x ++-=有实数根，则k 的最小整数值为【解析】注意题目要求以及二次项系数不为0的条件【答案】2k =-【巩固】已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，求m 的范围．【解析】注意分两种情况讨论：若0m =，则原方程可化为101x x +=⇒=-满足题意；若0m ≠，则由题意可知221(21)404104m m m m ∆=+-≥⇒+≥⇒≥-．综上可知，14m ≥-【答案】14m ≥-【例4】关于x的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【解析】由题意，得4(1)4(12)010120k k k k ++->⎧⎪+≥⎨⎪-≠⎩解得12k -≤<且12k ≠【答案】12k -≤<且12k ≠【巩固】关于x的方程210x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为________．【解析】240k ⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，解得1k >【答案】1k >【巩固】已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -【解析】∵0>△，∴2m >∴|1||1||2|23m m m m --+-=-【答案】23m -【巩固】已知关于x的一元二次方程20x m -=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．【解析】由题意可知，原方程的判别式21(41303m m m ∆=+=+>⇒>-．又101m m -≥⇒≤，故113m -<≤．【答案】113m -<≤【巩固】k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【解析】需要分两种情况来讨论：⑴ 当10k -=时，原方程是一元一次方程，有一个实数根45x =； ⑵ 当10k -≠时，方程是一元二次方程，故0∆≥，解得214k ≥-且1k ≠，所以当214k ≥-且1k ≠时方程有两个实数根．综上所述，当214k ≥-时，方程有实数根．【答案】214k ≥-【例5】关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是．【解析】由一元二次方程根的情况可知240b ac -≥，即()()284660a --⨯⨯-≥，解得263a ≤，故max 8a =．【答案】8【巩固】若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，求：正整数a ．【解析】0∆≥，即()()22414450a a a +-+-≥，解不等式得3a ≤，即123a =，，．【答案】1，2，3【例6】已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【解析】∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根．∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+=∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -=∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．【答案】1-【巩固】当a b 、为何值时，方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根？【解析】要使关于x 的一元二次方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根，则必有0∆≥，即()()22241434420a a ab b +-+++≥，得()()22210a b a ++-≤．又因为()()22210a b a ++-≥，所以()()22210a b a ++-=，得1a =，12b =-．【答案】1a =，12b =-【例7】已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【解析】22220a x b x c ++=的422224(2)(2)b a c b ac b ac ∆=-=+-，∵二次方程20ax bx c ++=有两个实数根， ∴240b ac ->，∴220b ac ->，∴422224(2)(2)0b a c b ac b ac ∆=-=+->∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C ．【答案】C【巩固】若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【解析】∵方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，∴20m +=，得2m =-．∴方程2(1)220m x mx m +-+-=，即为方程2440x x -+-=，∴244(1)(4)0∆=-⨯-⨯-=． ∴方程2(1)220m x mx m +-+-=有2个相等的实数根．故选C ．特别注意方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根．若20m +≠，则方程要么有2个根（相等或不相等），要么没有实数根．条件指明，该方程只有1个实数根，所以20m +=，且10m +≠．【答案】C☞⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；【例8】对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．【解析】略【答案】∵210m +≠，故方程为一元二次方程．()()()2222422414442016m m m m m m ∆=--++=---()424241616444m m m m =---=-++()222m =-+∵220m +≠，∴0∆<，故方程无实根．【巩固】求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．【解析】略【答案】∵2(2)10x m x m -+++=是关于x 的一元二次方程∴[]22(2)4(1)m m m ∆=-+-+= ∵20m ≥∴原方程有两个实数根．【巩固】已知实数a 、b 、c 、r 、p 满足2pr >，20pc b ra -+=，求证：一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【解析】略【答案】2(2)4b ac ∆=-，因2b pc ra =+，则222()4()()2(2)pc m ac pc ra ac pr ∆=+-=++-．又2pr >，所以当0ac ≥时，0∆≥；当0ac <时，40ac ->，2()40pc ra ac ∆=+->．因此，一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【巩固】证明：无论实数m 、n 取何值时，方程2()0mx m n x n +++=都有实数根【解析】注意分类讨论.【答案】⑴若0m =，则方程为nx n =-，当0n ≠时，有实数根1x =-；当0n =时，方程的根为任意实数⑵当0m ≠时，原方程为一元二次方程 22()4()0m n mn m n ∆=+-=-≥ ∴方程必有实数根综合⑴⑵可知，原结论成立【巩固】已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．【解析】略【答案】当0m =时，()22250mx m x m -+++=可化为450x -+=，此时方程有根，故0m ≠ 故214(2)4(5)0404m m m m m ∆=+-+<⇒-<⇒>．方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠的判别式为： 224(2)4(5)4(94)0m m m m ∆=+--=+>故方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠有两个实数根．板块二韦达定理☞ 如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．☞利用韦达定理求代数式的值【例9】不解方程224)0x x +-=，求两根之和与两根之积【解析】韦达定理成立的前提条件是0∆≥ 【答案】令此方程的两个实数根为1x 、2x由韦达定理得12x x +==，12x x ⋅==【巩固】设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值⑴12(3)(3)x x --；⑵211211x xx x +++；⑶12x x -【解析】不解方程，即利用韦达定理将12x x +、12x x 的整体构造出来【答案】由韦达定理得1274x x +=，1234x x ⋅=-⑴12121237(3)(3)3()939344x x x x x x --=-++=--⨯+=；⑵221221112121212121212(1)(1)()2()10111(1)(1)132x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++-+++===+++++++ ⑶2221212127397()()4()4()4416x x x x x x -=+-=-⨯-=，∴12x x -=【巩固】已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x⑴12x x += ；⑵12_______x x ⋅=；⑶1211_______x x +=；⑷2212_______x x +=【解析】略【答案】⑴2-；⑵32-；⑶43；⑷7【巩固】已知α、β是方程2520x x ++=的值．【解析】注意α，β均为负数，很多学生求出的结果均为负值【答案】由韦达定理可得，5αβ+=-，2αβ=∴22222()2522a a ββαβαβαβαβαβ+++=++===☞利用韦达定理求参数的值【例10】若3-、2是方程20x px q -+=的两个根，则________p q += 【解析】略【答案】7-【巩固】若方程210x px ++=的一个根为1，则它的另一根等于，p 等于【解析】部分学生喜欢将1x =p 的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。

浙教版备考2023年中考数学一轮复习21一元二次方程根的判别式和根与系数的关系附答案教师版

浙教版备考2023年中考数学一轮复习21一元二次方程根的判别式和根与系数的关系附答案教师版一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）若方程2+B+=0有两个相等的实数解，则下列方程中无实数解的是（）A．2+B+=3B．2+B+=2C．2+B+=1D．2+B+=−1【答案】D2．（3分）关于x的一元二次方程2+4+2=0的两实数根1，2，则(12+2)(22+2)的值是（）A．8B．32C．8或32D．16或40【答案】B3．（3分）已知，是一元二次方程2+3−2=0的两根，则2+5+2的值是（）A．-5B．-4C．1D．0【答案】B4．（3分）已知实数a、b满足2=2−2，2=2−2，且≠，则+的值（）A．0B．−4C．4D．−2【答案】B5．（3分）关于x的一元二次方程B2+2−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．>−1B．>1C．≠1D．>−1且≠0【答案】D6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1，x2=n，则代数式（m+n）2022的值为（）A．1B．0C．32022D．72022【答案】A7．（3分）方程2+=5+6的两个实数根的和与积分别是（）A．-5，6B．-4，6C．4，-6D．-1，6【答案】C8．（3分）方程2x2+x-4=0的解的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有一个实数根【答案】A9．（3分）已知关于x的一元二次方程(+1)2+2B+(+1)=0（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误．．的是（）．A．1可能是方程2+B+=0的根B．-1可能是方程2+B+=0的根C．0可能是方程2+B+=0的根D．1和-1都是方程2+B+=0的根【答案】D10．（3分）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字−1，1，2．随机摸出一个小球（不放回），将其数字记为，再随机摸出另一个小球，将其数字记为，则关于的方程2+B+=0有实数根的概率是（）A．12B．13C．23D．56【答案】A二、填空题（每题4分，共24分）(共6题；共24分)11．（4分）如果关于x的一元二次方程2+(2−3p+6=0的一个根为3，那么此方程的另一个根为．【答案】212．（4分）关于x的一元二次方程2−(2+1)+2−2=0有实数根，则k的取值范围是．【答案】≥−9413．（4分）若一元二次方程2−(2+3)+2=0有两个不相等的实数根1，2，且1+2=12，则的值是．【答案】314．（4分）设1，2是方程2−2−5=0的两个实数根，则12+22的值为．【答案】1415．（4分）已知关于x的一元二次方程B2+2+2−=0有两个相等的实数根，1+则的值等于．【答案】216．（4分）对于一元二次方程B2+B+=0(≠0)，有下列说法：①若++=0，则2−4B≥0；②若方程B2+=0有两个不相等的实根，则方程B2+B+=0必有两个不相等的实根；③若是方程B2+B+=0的一个根，则一定有B++1=0成立；④若0是一元二次方程B2+B+=0的根，则2−4B=(2B0+p2．其中说法正确的有（填序号）．【答案】①②④三、解答题（共8题，共66分）(共8题；共66分)17．（6分）已知关于x的一元二次方程2+3+−2=0的两个实数根分别为1，2，若(1+1)(2+ 1)=−1，求k的值．【答案】解：∵方程2+3+−2=0的两个实数根分别为1，2，∴1+2=-3，12=k-2，∵(1+1)(2+1)=−1，∴12+(1+2)+1=−1，∴−2+(−3)+1=−1，解得k=3，当k=3时，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；即k的值是3．18．（6分）已知关于的一元二次方程2−6−=0（为常数）．设，为方程的两个实数根，且+ 2=14，试求出方程的两个实数根和的值．【答案】解：∵，为方程2−6−=0的两个实数根，∴+=6，∵+2=14，解得：=−2，=8．将=−2代入2−6−=0中，得：4−(−12)−=0，解得：=16．19．（8分）已知方程2−(+1)+=0．（1）（4分）判断此方程是否有实数根，有几个实数根？（2）（4分）设此方程的两实数根为1、2，且11+12=23，求m的值．【答案】（1）解：由题意得=2−4B=[−(+1)]2−4=2+2+1−4=(−1)2，∴当=1时，=0，此时方程有两个相等的实数根，当≠1时，>0，此时方程有两个不相等的实数根，∴此方程有实数根，当=1时，此时方程有两个相等的实数根，当≠1时，此时方程有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程2−(+1)+=0的两实数根为1、2，∴1+2=+1，12=，∵11+12=23，∴1+212=23，∴3(1+2)=212，∴3+3=2，∴=−3．20．（8分）已知关于的方程2−(−2)−24=0（1）（4分）求证：无论取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；（2）（4分）若这个方程的两个实数根1、2满足|2|−|1|=2，求的值及相应的1、2．【答案】（1）证明：由题意得，在一元二次方程中，=1，=−(−2)，=−24，∴=2−4B=[−(−2)]2−4×1×(−24)∴=2−4+4+2=22−4+4=2(−2)2+2，∵2(−2)2+2≥2，即2(−2)2+2>0，∴无论取什么实数，方程总有两个相异的实数根．（2）解：据题意得，=1，=−(−2)，=−24，1+2=−=−2，1·2==−24≤0，∵方程总有两个不相等的实数根，∴1、2异号或有一个为0，由|2|−|1|=2，①当1≥0、2<0时，−2−1=2，即−(−2)=2，解得=0，此时，方程为2+2=0，解得1=0，2=−2；②当1≤0，2>0时，2+1=−2=2，解得=4，此时，方程为2−2−4=0，解得1=1+5，2=1−5，21．（9分）阅读材料，解答问题：材料1为了解方程(2)2−132+36=0，如果我们把2看作一个整体，然后设=2，则原方程可化为2−13+36=0，经过运算，原方程的解为1，2=±2，3，4=±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2已知实数m，n满足2−−1=0，2−−1=0，且≠，显然m，n是方程2−−1=0的两个不相等的实数根，由书达定理可知+=1，B=−1．根据上述材料，解决以下问题：（1）（2分）直接应用：方程4−52+6=0的解为；（2）（3分）间接应用：已知实数a，b满足：24−72+1=0，24−72+1=0且≠，求4+4的值；（3）（4分）拓展应用：已知实数m，n满足：14+12=7，2−=7且>0，求14+2的值．【答案】（1）1=2，2=−2，3=3，4=−3（2）解：∵≠，∴2≠2或2=2(=−p①当2≠2时，令2=，2=，∴≠则22−7+1=0，22−7+1=0，∴，是方程22−7+1=0的两个不相等的实数根，∴+=72B=12，此时4+4=2+2=(+p2454；②当2=2(=−p时，2=此时4+4=24=2=综上：4+4=454或（3）解：令12=，−=，则2+−7=0，2+−7=0，∵>0，∴12≠−即≠，∴，是方程∴+=−1B=−7，故14+2=2+2=(+p2−2B=15．22．（9分）阅读理解：【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x，y，z构成“友好数”.【材料二】若关于x的一元二次方程B2+B+=0(a≠0)的两根分别为1，2，则有：1+2=−，1⋅2=.问题解决：（1）（2分）实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由；（2）（3分）若1(，1)，2(−1，2)，3(+1，3)三点均在函数=（k为常数且≠0）的图象上，且这三点的纵坐标1，2，3构成“友好数”，求实数t的值；（3）（4分）设三个实数1，2，3是“友好数”且满足0<1<3<2，其中1，2是关于x的一元二次方程B2+B+=0(≠0)的两个根，3是抛物线=B2+B+o≠0)与x轴的一个交点的横坐标.①++的值等于；②设=，=2+B2，求y关于x的函数关系式.【答案】（1）解：∵62＝4×9，∴4，6，9可以构成“友好数”；（2）解：∵y1，y2，y3构成“友好数”，∴有三种可能：①12=23，由题得12=23，即t2＝（t﹣1）（t+1），无解.②22=13，由题得22=13，即（t﹣1）2＝t（t+1），解得=13.③32=12，由题得32=12，即（t+1）2＝t（t﹣1），解得=−13.∴满足条件的=13或=−13；（3）解：①0②由①得a+b+c＝0，两边同除以a，得1++=0，∴=−−1，∴=2+B2=()2+=()2−−1=2−−1，即函数关系式为：=2−−1.23．（10分）定义，若关于x的一元二次方程B2+B+=0(≠0)的两个实数根为1，2（1≤2），分别以1，2为横坐标和纵坐标得到点o1，2)，则称点M为该一元二次方程的的衍生点.（1）（3分）若方程为2−3=0，写出该方程的的衍生点M的坐标.（2）（3分）若关于x的一元二次方程2−(5+1)+5=1的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值.（3）（4分）是否存在b，c，使得不论k（≠0）为何值，关于x的方程2+B+=0的衍生点M始终在直线=B+2(+3)的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由.【答案】（1）解：∵2−3=0，∴x（x-3）=0，解得：1=0，2=3，故方程x2-3x=0的衍生点为M（0，3）.（2）解：∵2−(5+1)+5=1整理得：2−(5+1)+5−1=0，设方程的两根分别为1、2，且1≤2，由于过点M向两坐标轴作垂线，两条垂线与x轴y轴恰好围成一个正方形，当1=2时，∴△=2−4B=[−(5+1)]2−4×1×(5−1)=0，整理得：52−2+1=0，此时方程无解，当1<2时，则1+2=0，∴5+1=0，解得=−15.（3）解：存在.理由如下：∵直线=B+2(+3)=o+2)+6∴直线过定点o−2，6)，∴x2+bx+c=0两个根为1=−2，2=6，∴∴−2+6=−，−2×6=，∴=−4，=−12.24．（10分）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是RtΔABC和RtΔBED 的边长，已知A=2，这时我们把关于x的形如B2+2B+=0二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）（3分）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）（3分）求证：关于x的“勾系一元二次方程”B2+2B+=0，必有实数根；（3）（4分）若x=-1是“勾系一元二次方程”B2+2B+=0的一个根，且四边形ACDE的周长是62，求ΔABC的面积．【答案】（1）解：当a=3，b=4，c=5时，勾系一元二次方程为32+52+4=0（2）解：依题意得△=（2）2-4ab=2c2-4ab，∵a2+b2=c2，∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，即△≥0，故方程必有实数根；（3）解：把x=-1代入得a+b=2c∵四边形ACDE的周长是62，即2(a+b)+2c=62，故得到c=2，∴a2+b2=4，a+b=22∵(a+b)2=a2+b2+2ab∴ab=2，故ΔABC的面积为12ab=1.。

浙教版初中数学八年级下册第二单元《一元二次方程》(标准难度)(含答案解析)

浙教版初中数学八年级下册第二单元《一元二次方程》（标准难度）（含答案解析）考试范围：第二单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若x=0是关于x的一元二次方程(k−1)x2+3x+k2−1=0(k为系数)的根，则k的值为( )A. k=1B. k=−1C. k≠1D. k=±12. 下列方程是一元二次方程的是( )A. x2+1x2=1 B. ax2+bx+c=0(a,b,c均为常数)C. (2x−1)(3x+2)=5D. (2x+1)2=4x2−33. 若m，n是方程x2−2022x−1=0的两个根，则(m2−2022m+3)·(n2−2022n+4)的值为．( )A. 16B. 12C. 20D. 304. 在《九章算术》“勾股”章里有求方程x2+34x−71000=0的正根才能解答的题目，以上方程用配方法变形正确的是( )A. (x+17)2=70711B. (x+17)2=71289C. (x−17)2=70711D. (x−17)2=712895. 用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值.对于方程−4x2+3=5x，下列叙述正确的是( )A. a=−4，b=5，c=3B. a=−4，b=−5，c=3C. a=4，b=5，c=3D. a=4，b=−5，c=−36. 下列方程中，有两个相等实数根的是( )A. x2−2x=3B. x2+1=0C. x2+1=2xD. x2−2x=07. 若函数y={x 2+3(x≤2)3x(x>2)，则当函数值y=9时，自变量x的值是( )A. ±√6B. 3C. 3或±√6D. 3或−√68. 若16m+2<0，则关于x的方程mx2−(2m+1)x+m−1=0的根的情况是．( )A. 没有实数根B. 只有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根9. 如图，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要504m2，则修建的路宽应为( )A. 1mB. 1.5mC. 2mD. 2.5m10. 某校准备修建一个面积为200m2的矩形花圃，它的长比宽多10m.设花圃的宽为xm，则可列方程为．( )A. x(x−10)=200B. 2x+2(x−10)=200C. x(x+10)=200D. 2x+2(x+10)=20011. —个长方形的面积为9m2，并且长比宽多8m，设长方形的宽为x m，则列方程为( )A. 2x(x+8)=9B. 2[x+(x+8)]=9C. x(x−8)=9D. x(x+8)=912. 小滨家2019年年收入25万元，2021年年收入达到36万元，求这两年小滨家年收入的平均增长率.设这两年年收入的平均增长率为x，根据题意所列方程为( )A. 25x2=36B. 25(1+x)=36C. 25(1+x)2=36D. 25[1+(1+x)+(1+x)2]=36第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知关于x的一元二次方程(k−1)x2+6x+k2−1=0的常数项为0，则k的值为．14. 若方程x2−2x+m=0可以配方成(x−n)2=5(m,n为常数)，则方程x2−2x+m=3的根为．15. 已知(a2+b2)(a2+b2−1)=6，则a2+b2的值为．16. 我市某企业为节约用水，自建污水净化站．7月份净化污水3000吨，9月份增加到3630吨，则这两个月净化的污水量平均每月增长的百分率为______%.三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。

浙教版初中数学第二章 一元二次方程专题复习2-根的判别式与韦达定理(含答案)

浙教版八年级下册数学第二章 一元二次方程含答案(满分必备)

初高衔接知识第二讲 ：一元二次方程与韦达定理(含练习+参考答案)