抛物线中的三角形面积问题(一)

探究抛物线中三角形面积求法

= AB
点标的坐
＝3 ，AC=
＝。
• ∵ AC2+BC2=AB2，
• ∴ ΔABC为直角三角形，并且∠BCA=900，
∴ SΔABC= AC·BC= × ×3 =3。
阅读材料
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：
拓展练习
如图2：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B，抛物线与y轴相交于C点，求ΔABC的面积。
• 解：由
得点A的坐标为（1，2），
点B的坐标为（3，6）；抛物线与y轴交点C的
坐标标可为知（，0A，B=3）如图2，＝由 2。 A、＝，BB、C= C=AC 三， 3 点＝的坐= CB ， 2 ＝
．
2
3
通过这节课的学习,主要探究了抛物线中的三角形面积求法.
B
对于不同形状、不同形式放置在平面直角坐标系的三角形面积求法，要充分挖掘其底边或高的特征而展开问题的分析，要着重抓住水平或竖直的线段长度与点的坐标相互转化为问题解决的切入口。
作业布置:
1.请课后每四人小组找三道你们认为很好的,并渗透抛物线中三角形面积的题目交给我.（要有答案）

抛物线中三角形面积的计算方法

“抛物线中三角形面积及面积的最值”教学设计

教学目标：1：掌握在抛物线中求三角形面积的方法

2.会利用铅锤高乘水平宽计算一般三角形的面积

教学过程：

一、数学思想方法

分三种情况

1：有一边在坐标轴上

图1，2中A,B两点是抛物线与坐标轴的焦点，AB的长度就是B的横坐标减去A的横坐标，C的纵坐标的相反数就是高线。以AB为底边，OC长度为高线就能求出面积。

图3中仍以AB为底边，高线就是点C的纵坐标

2、一边与坐标轴平行

当三角形有一边与x轴平行时，已知A的纵坐标就能求出A,C两点的横坐标，这样就能求出线段AC的长度，高线的长度就是A和B两点的纵坐标之差的绝对值。

2、当三边均不与坐标轴平行时

当三边均不与坐标轴平行时，就采取割补法中的割。分割成两个三角形。分别以AE为底边，高线就是B,C两点的横坐标差的绝对值。AE称作铅垂高，B,C两点横坐标差的绝对值称作水平宽。这种三角形面积的求法就可以采取铅垂高乘水平宽解决。

二、知识应用

•例：如图二次函数与x轴交于点C，与y轴交于点A，B为抛物线与直线AC下方抛物线上一动点，求△ABC面积的最大值。

223 y x x

=--

第五讲+抛物线中三角形的面积问题

第五讲抛物线中三角形的面积问题

一、抛物线内接三角形的面积问题：

例、如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1:5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点。

⑴求此抛物线的函数表达式和顶点M坐标；

⑵求S△MBC；

归纳：怎样求坐标系内任意三角形的面积问题：

二、抛物线中三角形的等积变化：

1、在抛物线上是否存在点D，使得△ABC和△ABD面积相等，若存在，求出点D的坐标，若不存在，

说明理由。

2、在抛物线上是否存在点E，使得△ABC和△BCE面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由。

S△ABC。若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由

3、在抛物线上是否存在点M，使S△MBC= 1

3

4、（2011成都）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7√？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

5、点P（2，-3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C 运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH 的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；

6、在抛物线的对称轴上有一点P的纵坐标为5，在直线上BC求一点M使得S△PBM∶S△ABC=1:5.

7、在直线BC下方抛物线上是否存在一个点F，使得△BCF的面积最大，若存在，求出点F的坐标，并求出最大面积，若不存在，说明理由。

探究抛物线中三角形面积求法

（3）
若 3S△PBD=4 S△CBD，
y
Βιβλιοθήκη Baidu
则符合条件的点P有几个? 3
A（1，4）
C
P
P3
B
-1 O
D
3
x
P
P
（4）连结AC，AD，CD，求S△CAD.
y轴的垂线 x轴的垂线
铅垂高线
y
G E A（1，4）
C
3H
B
D
-1 O F
3
x
已知：m,n是方程 x26x50的两个实数根，
且mn ，抛物线的图像经过点A(m， 0)， B(0， n)．
A
铅垂高
h
C
B
水平宽
a
SAB
C
1 2
ah
即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
= AB
点标的坐
＝3 ，AC=
＝。
• ∵ AC2+BC2=AB2，
• ∴ ΔABC为直角三角形，并且∠BCA=900，
∴ SΔABC= AC·BC= × ×3 =3。
阅读材料
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：

抛物线内接三角形面积公式及其应用

计算抛物线内接三角形的面积，是各类考试中的经典问题。本文介绍了一种仅用顶点横坐标表示的抛物线内接三角形的面积公式，对公式给出了完整的证明，并尝试用它来解决了一些2018年中考问题，取得了很好的效果。

关键词：抛物线内接三角形面积公式

定理：设抛物线y=ax^2+bx+c内接三角形△ABC，三个顶点的坐标分别为

(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则△ABC的面积为S△ABC=|a(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)|/2

可以看出，这个公式只用到抛物线的二次项系数，以及三个顶点的横坐标，公式本身简洁对称，形式优雅，非常容易记忆。

抛物线与三角形的面积

抛物线与三角形面积相结合的问题涉及代数、几何的许多定理、公式，有一定的难度，近年来的中考试题中，经常出现抛物线与三角形面积结合的综合题，以考查学生的综合运用所学知识解决问题的能力。

这节课我们共同来探索一下顶点都在抛物线2y ax bx c =++上的三角形面积的求法。

1、已知抛物线: 224233

y x x =--+

(1)求抛物线与坐标轴交点坐标及顶点坐标; (2)画出抛物线的草图;

(3)设抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，顶点为D 。

求：①△DAB 和△CAB 的面积； ②四边形ABCD 的面积； ③△ACD 的面积

(4)求直线AC 的解析式；

（5）抛物线上有一动点P 在直线AC 上方，

问：是否存在一点P ，使△PAC 的面积最大，若存在，求出△PAC 的最大面积及P 点坐标；若不存在，请说明理由。

2、如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请

说明理由.

练习：1、在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？

抛物线焦点三角形的面积

引言

抛物线是一个非常重要的数学概念，它在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。在本文中，我们将探讨抛物线焦点三角形的面积。

什么是抛物线焦点三角形

抛物线焦点三角形是指以一个抛物线的两个焦点和抛物线上一点为三个顶点的三角形。它具有一些特殊的性质，其中最重要的就是其面积的计算方法。

抛物线的基本性质

在进一步研究抛物线焦点三角形之前，我们先了解一下抛物线的基本性质：

1.抛物线是一个平面曲线，具有轴对称性。

2.抛物线有两个焦点，定义为F1和F2。

3.抛物线上任意一点P到焦点F1和F2的距离之和是一个固定值，等于抛物线

的焦距。

抛物线焦点三角形的性质

抛物线焦点三角形具有以下重要性质：

1.抛物线焦点三角形的三个顶点分别为两个焦点F1和F2以及抛物线上的一点

P。

2.抛物线焦点三角形的高是从点P到抛物线的准线的垂直距离。

3.抛物线焦点三角形的底是由两个焦点F1和F2之间的距离。

抛物线焦点三角形的面积计算

抛物线焦点三角形的面积可以通过高和底的长度计算得出。具体计算方法如下：

1.首先，我们需要计算抛物线焦点之间的距离，也就是底的长度。

2.然后，我们需要确定抛物线焦点到抛物线准线的垂直距离，也就是高的长度。

3.最后，我们可以使用三角形的面积计算公式：面积 = 0.5 * 底 * 高计算

出抛物线焦点三角形的面积。

抛物线焦点三角形面积的计算示例

为了更好地理解抛物线焦点三角形面积的计算方法，我们以一个具体的示例进行说明：

假设抛物线的焦点F1和F2的坐标分别为(0, 0)和(2, 0)，而抛物线上的点P的坐标为(1, 1)。现在我们来计算抛物线焦点三角形的面积。

抛物线焦点三角形的面积

Is有一边在坐标轴上：S=1∕2xa-xb×yc,有一边与坐标轴（X轴）平行：S=1∕2xa-xb×yc-ya o（得出结论）

2、抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线I（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。它在几何光学和力学中有重要的用处。抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。（原因解释）

3、抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。（内容延伸）

抛物线焦点三角形面积公式

P2∕2Sina o

任意抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的切线I1,12相交于P点。那么WAB称作阿基米德三角形。该三角形满足以下特性：

1P点必在抛物线的准线上

2、MAB为直角三角形,且角P为直角

3、PFj1AB（即符合射影定理）

另外，对于任意圆锥曲线（椭圆，双曲线、抛物线）均有如下特

抛物线焦点三角形面积公式

焦点三角形面积=b*b*tan（r∕2）（其中b为短半轴长J表示椭圆周角）设焦点为f1,f2,椭圆上任意点为a,设角f1af2为角r推导方式是设三角形另外一点是a z af1+af2=2aaf1向量-af2向量=f2f1向量。

两式都两边平方再整理得mn=2b八2/Q-cOSa）（O度可以不考虑）面积就是1∕2mnsina,把上面带入即得。｛注：m,n为af1和af2的长｝

抛物线上三角形面积

1、如图，抛物线2(1)y x k =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,3)c -。

（1）求抛物线的对称轴及k 的值；

（2）抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA ＋PC 的值最小，求此时点P 的坐标；

（3）点M 是抛物线上一动点，且在第三象限．

① 当M 点运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出

△AMB 的最大面积及此时点M 的坐标；

② 当M 点运动到何处时，四边形AMCB 的面积最大？

求出四边形AMCB 的最大面积及此时点M 的坐标．

2、如图，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ．

（1）求抛物线和直线AB 的解析式；

（2）求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △；

（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使

S △PAB =8

9S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．

x C O y A B D 1

3、如图，已知抛物线2

=-++与一直线

y x bx c

相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m 的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD 交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

例谈抛物线中三角形面积最值问题的解法

知识导航

三角形面积的最值问题一般比较简单，但抛物线中的三角形面积最值问题却较为复杂，这类三角形的面积常与动点的坐标有关，因而此类问题的难度一般较大.解题时需灵活运用平面几何知识、函数的图象和性质、基本不等式、三角形的性质和面积公式、抛物线的定义和性质等知识.那么，如何解答此类问题呢？一般可运用构造法和分割法来求解.下面我们结合实例来进行探讨.

一、构造法

构造法是指通过添加辅助线，构造出三角形的底或高，以能直接利用三角形的面积公式求得问题的答案.通常，可过三角形的一个顶点作x 轴或y 轴的垂线，使其与三角形的一条边相交，从而确定三角形的底或高，这样就可以根据三角形的面积公式进行计算了.

例1.如图1所示，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为（-3，-4），线段OB 绕原点逆时针旋转后与x 轴的正半轴重合，点B 的对应点为A ，如果点P 是抛物线上的一个动点且在x 轴的上方，当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？

解析：由于点P 是抛物线上的一个动点，所以我们无法确定△PAB 的形状，也就无法确定三角形的高和底，不能直接利用三角形的面积公式来求解，需要构造出三角形的高和底.可过点P 作PE 垂直x 轴交AB 于点E ，则S △ABP =S △APE +S △BPE ，此时△APE 的底为PE ，高为A 到PE 的距离；△BPE 的底为PE ，高为B 到PE 的距离，而A 、B 到PE 的距离之和为A 、B 的横坐标之差.当|PE |最大时，△PAB 的面积最大.借助两点间的距离公式和二次函数的性质便可顺利求得△PAB 面积的最值.

抛物线上动点p的三角形面积-定义说明解析

抛物线上动点p的三角形面积-概述说明以及解释

1.引言

1.1 概述

在数学中，抛物线是一种具有特定形状的曲线，其形状类似于开口向上的U形。它是由一个定点和一条直线（称为准线或直线段）确定的曲线，其中定点被称为焦点，准线表示为直线段AB。抛物线是一种非常重要的曲线，广泛应用于物理学、工程学等领域。

本文将围绕着抛物线上的动点P展开讨论。在抛物线上，动点P具有自由运动的能力，并且可以在曲线上任意选择不同的位置。我们将重点研究动点P所形成的三角形的面积，并探究如何计算这个面积。

通过研究动点P在抛物线上的运动以及三角形的面积计算方法，我们可以深入理解抛物线曲线的几何特征，并且可以应用这些知识解决实际问题。同时，对抛物线上动点P的三角形面积的意义和应用也将在文章中进行探讨。

最后，在总结部分我们将对本文的内容进行总结，并展望未来对抛物线相关问题的研究方向。本文旨在提供一个清晰的抛物线上动点P三角形面积的计算方法，并希望读者通过阅读本文能够对抛物线的几何特性有更

深入的了解。

【1.2 文章结构】

本文将分为以下几个部分来探讨抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。每个部分的内容如下：

（1）引言：在引言部分，我们将概述本文的主题和研究对象，并介绍文章的结构和目的。同时，我们也将对抛物线的定义和性质进行简要介绍。

（2）正文：在正文部分，我们将分为三个小节来详细阐述抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。首先，我们会介绍抛物线的定义和性质，包括其数学表达和几何特征。然后，我们会讨论动点P在抛物线上的运动规律，这一部分将包括动点P在不同位置的情况下的三角形面积的变化规律。最后，我们将介绍具体的计算方法，包括利用向量、坐标和参数方程等不同的方法来计算动点P的三角形面积。

6.抛物线求三角形面积(割补法铅垂法)

抛物线与三角形面积问题

———割补法、铅垂法

例1：在平面直角坐标系中，已知A（1，1）、B（7，3）、C（4，7），求△ABC 的面积．解：过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D。1.如图，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴

于点B .

（1）求抛物线和直线AB 的解析式.

（2）求CAB S .2.如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,-4)三点,D 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点,连接DC,DB,

（1）求抛物线的表达式.

（2）求△BCD 面积的最大值,并写出D 点的坐标.

x

C O y A B 1

1C (4,7)

B (7,3）

A (1,1)

o x y D

121-=⨯k k (3)x y A B C P E O x y A B

C Q

O

(2)3.如图,二次函数的图象经过点A(0,1),它的顶点B(1,3).

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)过点A 作AC⊥AB 交抛物线于点C,P 是直线AC 上方抛物线上的

一点,当△APC 面积最大时,求点P 的坐标和△APC 面积的最大

值.(提示：若两条直线互相垂直，则)

4.如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(-3，0)两点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.

抛物线中的三角形面积问题(一)

抛物线中的三角形面积问题（一）

导师团数学组供稿

一．求面积

1. 常见三角形的面积

已知抛物线223y x x =-++与坐标轴的交点及顶点D 如图所示：

（1）求S △BOC

(2) 求S △BAC

(3) 求S △BDC

法一：连原点

法二：过点D 作X 轴的垂线

二．面积相等

已知抛物线24y x x =-+与坐标轴的交点及与直线y=-0.5x+2的交点

A 、

B 如图：

（1）在抛物线上求异于点A 的点P ，使S △BOP=S △BOA

(2)在抛物线上求点M,使S △ABM=S △ABO

方法小结：关注高相等或底相等得到面积相等；常用平行线求交点的方法；必要时转化为坐标轴上的线段

抛物线三角形面积最大值公式

在数学中，我们经常需要研究最大化或最小化某个量的问题。本文将探讨一个

有趣的数学问题：如何求解抛物线上的三角形面积的最大值，并给出相应的公式。

问题引入

考虑一个抛物线y=ax2+bx+c，我们希望找到一条直线y=mx+n和抛物线所围成的三角形的最大面积。

解决方法

为了求解这个问题，我们首先需要确定直线和抛物线的交点。令二者相交时的

x值为x0，则有：

ax02+bx0+c=mx0+n

化简可得：

mx0=ax02+bx0+c−n

整理后可得：

ax02+(b−m)x0+(c−n)=0

这是一个一元二次方程，我们可以根据二次函数的性质求解出x0。

接下来，我们需要计算三角形的面积。设两条线与x轴围成的三角形面积为S，则有：

$$ S = \\frac{1}{2}(\\text{底边} \\times \\text{高}) = \\frac{1}{2}|x_1-

x_2|\\times|y_1-y_2| $$

求解最大值

我们的目标是求解三角形面积的最大值。根据前面的讨论，我们将三角形的面

积公式代入：

$$ S = \\frac{1}{2}|x_0-x_1|\\times|y_0-y_1| $$

其中，x0为抛物线和直线的交点x坐标，(x1,y1)为抛物线上的点。

将直线方程y=mx+n代入上式，求解最大值问题可以转化为对S的求导问题，即求 $\\frac{dS}{dx_0}=0$。

通过对 $\\frac{dS}{dx_0}$ 求导，并令导数为零，可以得到抛物线三角形面积

的最大值。这个最大面积对应的x坐标即为我们要找的交点x0。

抛物线中的三角形面积

拓展
（6）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
y
D（1，4）
源自文库
C
P
P3
3
A
-1 O
P
B
3
x
3
P
（7）若 3S△PAB=4 S△CAB，
则符合条件的点P有几个?
3个
y
PD（1，4）
C
3
4
A
-1 O
P
B
3
x
4
P
（8）点E是此抛物线(在第一象限内)上的一个动点，设
yD
C
B(3,0) C(O,3) D(1,4)
o Bx
△BCD
此的时边，，割没那补有么法大△家BC期D待的的面横积向可或以纵用向别
的方法来求吗？
阅读材料
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：
在A△直oA角DB/坐DB标系x 中S计A算BC三角121形A面B4积 D的4D基8本方法： 2
寻找横向或纵向的边为底，再利用面积公式
如图：抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴的另一交点为B点，

抛物线中三角形面积问题

抛物线中三角形的面积

教学目标：

1、掌握抛物线中三角形面积的计算方法，会根据面积求点的坐标。

2、感受转化思想在数学学习中的重要作业

3、培养学生合作交流能力，语言表达能力。

教学重点：三角形面积计算和点坐标的计算

教学难点：用平行线进行三角形的转化

解决措施：利用白板，展示图形的变形转化过程，让学生对图形的变化有直观的认识。教学设计