用3-2-1_古典概型

①本摸球事件中共有5个球，其中3个白球，2个黑球． ②题目中摸球的方式为一次摸出两个球，每个球被摸取 是等可能的． 解答本题可先列出摸出两球的所有基本事件，再数出均 为白球的基本事件数．
[解析]
(1)方法一：采用列举法：分别记白球为1,2,3
号，黑球为4,5号，有以下基本事件： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)， (3,5)，(4,5)共10个(其中(1,2)表示摸到1号，2号球)．
方法二：采用列表法： 设5个球的编号为：a、b、c、d、e，其中a，b，c为白 球，d，e为黑球． 列表如下：
a a b c d e ( b ，a ) (c，a) ( d ，a ) (e，a) (c，b) (d，b) (e，b) (d，c) ( e ， c) (e，d) b (a，b) c (a，c) (b，c) d ( a ，d ) ( b ，d ) (c，d) e (a，e) (b，e) ( c， e) (d，e)
[解析] 从1,2,3中任取两个数字有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共
3个基本事件；事件A包含(1,3)，(2,3)，共2个基本事件，则 2 P(A)＝ . 3
规律方法：把从 n 个元素中任取出 2 个元素看成一次试验： nn－1 如果这 2 个元素没有顺序， 那么这次试验共有 2 个基本事件； 如果这 2 个元素有顺序，那么这次试验有 n(n－1)个基本事件． 这个结论需要记住，在选择题或填空题中可以直接应用．
幼儿园的小朋友用红、黄、蓝三种颜色的小凳子 布置联欢会的会场，每排三个小凳子，并且任何两排不能完 全相同．求： (1)假设所需的小凳子足够多，那么，根据要求一共能布 置多少排小凳子？ (2)每排的小凳子颜色都相同的概率； (3)每排的小凳子颜色都不同的概率． [分析] 应用表格列出所有的基本事件，查出要求概率的
例 将一枚骰子先后抛掷两次，则： (1)一共有几个基本事件？ (2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？ [解析] 解法三(树形图法)： 一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示．如下图所 示： (1)由图知， 共36个基本事件． (2)点数之和大于 8包含10个基本 事件(已用“√”标出)．
温故知新
3．把标号为1,2,3,4的四个小球随机地分发给甲、乙、 丙、丁四个人，每人分得一个．事件“甲分得1号球”与事 件“乙分得1号球”是( A．互斥但非对立事件 C．相互独立事件
[答案] A
) B．对立事件 D．以上都不对
温故知新 4．下列结论不正确的是(
) [答案] D
－ － A．记事件 A 的对立事件为 A ，若 P(A)＝1，则 P( A )＝0 B．若事件 A 与 B 对立，则 P(A＋B)＝1 C．若事件 A，B，C 两两互斥，则事件 A 与 B＋C 也互斥 D．若事件 A 与 B 互斥，则其对立事件也互斥
结论：事件A与B互斥，其对立事件不一定互斥
温故知新 5．如图，靶子由一个中心圆面I和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成．若 射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30，0.25，则他不命 中靶的概率是________． [答案] 0.1
[解析] 用对立事件的概率来求：不命中靶的 概率为P＝1－(0.35－0.30＋0.25)＝0.1.
例 将一枚骰子先后抛掷两次，则： (1)一共有几个基本事件？ (2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？ [解析] 解法一(列举法)： (1)用(x，y)表示结果，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示 第2枚骰子出现的点数，则试验的所有结果为： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)． 共36个基本事件． (2)“现出的点数之和大于8”包含以下10个基本事件： (3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)， (6,6)．
由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a) 与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件． (2)方法一中“两个都是白球”包括(1,2)，(1,3)，(2,3)三 种． 方法二中包括(a，b)，(b，c)，(c，a)三种.
古典概型的判定
学法指导 (1)一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特 征：有限性和等可能性． (2)并不是所有的试验都是古典概型，下列三类试验都 不是古典概型； ①基本事件个数有限，但非等可能． ②基本事件个数无限，但等可能． ③基本事件个数无限，也不等可能．
规纳总结：要写出所有的基本事件可采用的方法较 多．例如，列举法、列表法、树形图法，但不论采用哪种方 法，都要按一定的顺序进行，做到不重漏．
一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个 黑球，从中一次摸出两个球． (1)共有多少个基本事件？ (2)两个都是白球包含几个基本事件？
[分析]
由题目可获取以下主要信息：
下列概率模型中，是古典概型的个数为( (1)从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率； (2)从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；
)
(3)在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合 的概率；
(4)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概 率． A．1 C．3 B．2 D．4
[解析] 由对立事件、互斥事件的概率及概率计算公式知，A， B，C均正确． 对于D，若投掷一枚骰子，事件A为出现1点，事件B为出现B点， 事件A与事件B为互斥事件； 事件A的对立事件为：出现2点或3点或4点或5点； 事件B的对立事件为：出现1点或3点或4点或5点。 很明显，事件A的对立事件与事件B的对立事件不是互斥事件。
[分析]
判断一个概率模型是否是古典概型，关键是看
它是否满足两个条件：①有限性；②等可能性．
[解析]
第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]
内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限 性”． 第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个， 而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能 性； 第3个概率模型不是古典概型，而是以后将学的几何概 型；
故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同，因此每个 球被摸到的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模 型为古典概型. (2)由豆子落在桌面上的位置有无数个，即有无数个基本 事件，所以以豆子所落的位置为基本事件的概率模型不是古 典概型．
(3)由于运动员击中每一环的可能性不同，故以击中的环 数为基本事件的概率模型不是古典概型．
2．古典概型 (1)定义：如果一个概率模型满足： ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个基本事件出现的可能性 相等 ． 那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(2)计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率为
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 . P(A)＝
跟踪训练 从1,2,3中任取两个数字，设取出的数字中含有3为事件A，则 2 P(A)＝________. [答案] 3
跟踪训练 1. 抛掷一枚骰子，下列不是基本事件的是( A ) A．向上的点数是奇数 B．向上的点数是3 C．向上的点数是4 D．向上的点数是6
[解析] 向上的点数是奇数包含三个基本事件：向上的点数是1，向 上的点数是3，向上的点数是5，则A项不是基本事件，B，C，D项 均是基本事件．
探 究 新 知
(2)将一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上，将豆子所落 的位置看作一个基本事件，是否是古典概型？ (3)一名射击运动员射击，把击中的环数看成基本事件， 是否是古典概型？
[分析]
判断一概率模型是否为古典概型，关键是看是

否满足古典概型的特点：有限性与等可能性．
[解析]
(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，
例 将一枚骰子先后抛掷两次，则： (1)一共有几个基本事件？ (2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？ [解析] 解法二(列表法)： 如下图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的 和，基本事件与所描点一一对应． (1)由图知，基本事件总数为36. (2)总数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出)．
第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因 此两面出现的可能性不相等． 故选A.
[答案] A
下列概率模型是否为古典概型． (1)袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每 球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球，有多少种 不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件，是否 为古典概型？
m 基本事件数，利用公式P(A)＝ . n
[解析]
(1)所有可能的基本事件共有27个，如下表所示：
(2)设“每排的小凳子颜色都相同”为事件A，由上表可 3 1 知，事件A的基本事件有1×3＝3个，故P(A)＝ ＝ . 27 9 (3)设“每排的小凳子颜色都不同”为事件B，由上表可 6 2 知，事件B的基本事件有2×3＝6个，故P(B)＝27＝9.
建模应用引路
古典概型概率的求法
学法指导 1．对于古典概型，任何事件A的概率为： A包含的基本事件的个数m P(A)＝ . 基本事件的总数n 2．求古典概型概率的步骤为： (1)判断是否为古典概型； (2)算出基本事件的总数n； (3)算出事件A中包含的基本事件个数m；
m (4)算出事件A的概率，即P(A)＝ n . 在运用公式计算时，关键在于求出m，n.在求n时，应注 意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错． 3．对于事件总数较多的情况，在解题时，没有必要一一 列举出来，只将我们解题需要的列举出来分析即可． 4．处理较复杂事件的概率时，往往结合互斥事件的概率 加法公式和对立事件的概率公式求解．