高考数学集合总复习 古典概型
023年高考数学考点复习——事件(互斥、对立、独立)与概率(古典概型)(原卷版)
2023年高考数学考点复习——事件（互斥、对立、独立）与概率（古典概型）考点一、对立与互斥事件例1、关于事件,A B的以下结论，其中一定正确的为（）A．若,A B为对立事件，则,A B可能不是互斥事件B．若,A B为对立事件，则,A B必为互斥事件C．若,A B为互斥事件，则,A B必为对立事件D．若,A B为互斥事件，则,A B不可能为对立事件例2、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列判断正确的是（）A．甲与丙是互斥事件B．乙与丙是对立事件C．甲与丁是对立事件D．丙与丁是互斥事件跟踪练习1、将襄阳五中、钟祥一中、夷陵中学、随州一中校徽各1枚随机地分发给甲、乙、丙、丁，每人分得1枚，事件“甲分得钟祥一中校徽”与事件“乙分得钟祥一中校徽”是（）A．不可能事件B．对立事件C．相互独立事件D．互斥事件2、将一枚质地均匀的骰子向上抛掷1次.设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件3、甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A为“甲击中目标”，事件B为“乙击中目标”，则事件A与事件B（）A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥4、从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个白球与都是红球B．恰好有一个白球与都是红球C．至少有一个白球与都是白球D．至少有一个白球与至少一个红球5、书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本.设事件M表示“两本都是《红楼梦》”；事件N表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件P表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”.下列结论正确的是（）A．M与P是互斥事件B．M与N是互斥事件C．N与P是对立事件D．M，N，P两两互斥6、2021年某省新高考将实行“312++”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B（）A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件D．既不是互斥事件也不是对立事件考点二、独立事件例1、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立例2、先后抛掷两枚骰子，甲表示事件“第一次掷出正面向上的点数是1”，乙表示事件“第二次掷出正面向上的点数是2”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是7”，丁表示事件“两次掷出的点数之和是8”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丁相互独立D．丙与丁相互独立跟踪练习1、坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，B表示“第二次摸得白球”，则事件A与事件B是（）A．互斥事件B．对立事件C．不相互独立事件D．相互独立事件2、袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“第二次摸到白球”，用C表示“第一次摸到黑球”则下列说法正确的是（）A．A与B为互斥事件B．B与C为对立事件C ．A 与B 非相互独立事件D ．A 与C 为相互独立事件3、在一次试验中，随机事件A ，B 满足()()23P A P B ==，则（ ） A ．事件A ，B 一定互斥 B ．事件A ，B 一定不互斥 C ．事件A ，B 一定互相独立D ．事件A ，B 一定不互相独立4、有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ） A ．甲与丁相互独立 B ．乙与丁相互独立 C ．甲与丙相互独立D ．丙与丁相互独立5、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．事件B 与事件1A 不相互独立 B ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 C ．()35P B = D ．()17|11P B A =考点三、 古典概型例1、哥德巴赫猜想作为数论领域存在时间最久的未解难题之一，自1742年提出至今，已经困扰数学界长达三个世纪之久哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和”，如14311=+．根据哥德巴赫猜想，拆分22的所有质数记为集合A ，从A 中随机选取两个不同的数，其差大于8的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45例2、一个学习小组有7名同学，其中3名男生，4名女生.从这个小组中任意选出3名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ） A ．67B ．57C ．27D ．17例3、某中学举行党史学习教育知识竞赛，甲队有A 、B 、C 、D 、E 、F 共6名选手其中4名男生2名女生，按比赛规则，比赛时现场从中随机抽出2名选手答题，则至少有1名女同学被选中的概率是（ ） A ．13B ．25C ．12D ．35跟踪练习1、小华､小明､小李､小章去A ，B ，C ，D 四个工厂参加社会实践，要求每个工厂恰有1人去实习，则小华去A 工厂，且小李没去B 工厂的概率是___________.2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A .任取不同的两点(,,{1,2,3,,8}),i j i j i j A A ≠∈，点P 满足0i j OA OP OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_____________.3、观察一枚均匀的正方体骰子，任意选取其中两个面的点数，点数之和正好等于5的概率为（ ） A ．110B ．115C ．215D ．4154、（多选）根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分m 处（m 为正整数），按这种分法，下列结论正确的是（ ） A ．为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是34B ．为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是14C ．为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1D ．为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是145、（多选）某人决定就近打车前往目的地前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”他决定按如下两种方案打车．方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车就乘此车，否则直接乘坐第三辆车：方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为1p，2p，则下列判断不正确的是（）A．121 2p p==B．121 3p p==C．11 2p=，21 3p=D．11 3p=，21 2p=6、甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率是（）A．29B．23C．14D．127、北京卫视大型原创新锐语言竞技真人秀节目《我是演说家》火爆荧屏，在某期节目中，共有2名女选手和1名男选手参加比赛.已知备选演讲主题共有2道，若每位选手从中有放回地随机选出一个主题进行演讲，则其中恰有一男一女抽到同一演讲主题的概率为（）A．14B．12C．23D．348、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为( )A．121B．17C．521D．139、在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.4，0.4B．0.5，0.5C．0.4，0.5D．0.5，0.410、向上抛一枚均匀的正方体骰子3次，向上点数记为M，点数之和正好等于5的概率为（）A．110B．136C．215D．41511、哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(素数指大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和”，如18=7+11，在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（）A．415B．215C．310D．110。
高三数学总复习 古典概型与几何概型 知识讲解 新人教A版
高考总复习：古典概型与几何概型【考纲要求】1、理解古典概型及其概率计算公式；了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；了解几何概型的意义。
【知识网络】【考点梳理】知识点一、古典概型1. 定义具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。
2. 古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。
（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。
3.古典概型的概率计算公式由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n 种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是1n。
如果某个事件A 包含m 个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A 发生的概率为其所含m 个基本事件的概率之和，即nm A P )(。
所以古典概型计算事件A 的概率计算公式为：试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A A P =)( 4.求古典概型的概率的一般步骤：（1）算出基本事件的总个数n ；（2）计算事件A 包含的基本事件的个数m ；（3）应用公式()m P A n=求值。
5．古典概型中求基本事件数的方法：（1）穷举法；（2）树形图；（3）排列组合法。
利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。
知识点二、几何概型1. 定义：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。
满足以上条件的试验称为几何概型。
2.几何概型的两个特点：（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。
3.几何概型的概率计算公式：随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。
高考数学热点问题专题练习——古典概型知识归纳及例题讲解
古典概型一、基础知识：1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。
例如：在扔骰子的试验中，向上的点数1点，2点，……，6点分别构成一个基本事件2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事件空间，用Ω表示。
3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为12,,,n A A A（1）基本事件两两互斥（2）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设i A 为“出现i 点”，事件A 为“点数大于3”，则事件456A A A A =（3）所有基本事件的并事件为必然事件 由加法公式可得：()()()()()1212n n P P A A A P A P A P A Ω==+++因为()1P Ω=，所以()()()121n P A P A P A +++=4、等可能事件：如果一项试验由n 个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。
5、等可能事件的概率：如果一项试验由n 个基本事件组成，且基本事件为等可证明：设基本事件为12,,,n A A A ，可知()()()12n P A P A P A ===()()()121n P A P A P A +++= 6、古典概型的适用条件：（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个 （2）每个基本事件出现的可能性相等当满足这两个条件时，事件A 发生的概率就可以用事件A 所包含的基本事件个7、运用古典概型解题的步骤：① 确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件 ② ()(),n A n Ω可通过计数原理（排列，组合）进行计算③ 要保证A 中所含的基本事件，均在Ω之中，即A 事件应在Ω所包含的基本事件中选择符合条件的 二、典型例题：例1：从16-这6个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另外两个数的和的概率为________思路：事件Ω为“6个自然数中取三个”，所以()3620n C Ω==，事件A 为“一个数是另外两个数的和”，不妨设a b c =+，则可根据a 的取值进行分类讨论，列举出可能的情况：{}{}{}{}{}{}3,2,1,4,3,1,5,4,1,5,3,2,6,5,1,6,4,2，所以()6n A =。
高考数学冲刺古典概型考点全面解析
高考数学冲刺古典概型考点全面解析高考对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。
而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在数学的众多考点中，古典概型是一个不容忽视的重要部分。
在高考冲刺阶段，对古典概型进行全面且深入的复习，对于提高数学成绩具有重要意义。
一、古典概型的基本概念古典概型是一种概率模型，具有两个重要特征：有限性和等可能性。
有限性指的是试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；等可能性则表示每个基本事件出现的可能性相等。
例如，掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数就是一个古典概型问题。
因为骰子的点数只有 1、2、3、4、5、6 这六种可能，且每种点数出现的可能性相同。
二、古典概型的概率计算公式在古典概型中，事件 A 的概率可以通过以下公式计算：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件个数／试验中所有可能的基本事件个数例如，从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出一个球，求取出红球的概率。
这里试验中所有可能的基本事件个数为 5（3 个红球和2 个白球），取出红球的基本事件个数为 3，所以取出红球的概率为3/5。
三、古典概型的常见题型1、摸球问题这是古典概型中常见的一类问题。
例如，一个袋子里装有 5 个红球和 3 个白球，从中随机摸出 2 个球，求摸出一红一白的概率。
解决这类问题时，首先要确定总的基本事件个数，即从 8 个球中选2 个的组合数。
然后计算摸出一红一白的基本事件个数，可以分两步考虑，先选一个红球，再选一个白球，两者相乘即为摸出一红一白的基本事件个数。
2、掷骰子问题掷骰子问题常常会与其他条件相结合。
比如，同时掷两枚质地均匀的骰子，求点数之和大于 8 的概率。
对于这种问题，需要列出所有可能的基本事件，然后找出点数之和大于 8 的基本事件个数，最后计算概率。
3、抽样问题抽样问题可以分为有放回抽样和无放回抽样。
例如，从 10 件产品中抽取 3 件，有放回抽样和无放回抽样时，抽到特定产品的概率是不同的。
2024年高考复习数学第10章第4节古典概型与事件的相互独立性
1
第四节
古典概型与事件的相互独立性
2
必备知识·回顾教材重“四基”
关键能力·研析考点强“四翼”
3
课时质量评价
2．事件间的独立性关系：已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别
为P(A)，P(B)，则有
事件
A，B同时发生
A，B都不发生
A，B恰有一个发生
不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2，4)，(2，6)，(2，
21−7
8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，故所求概率p＝
＝
21
2
．故选D．
3
1
第四节
古典概型与事件的相互独立性
必备知识·回顾教材重“四基”
2
关键能力·研析考点强“四翼”
3
课时质量评价
(2)(2022·全国甲卷)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随
C)，(A，B，D) ，(B，C，D) ，(A，C，D) ，共有10种不同的情
况．由图可知取到的三点共线的有(O，A，C)和(O，B，D)两种情况，
2
1
所以所求概率为 ＝ ．故选A．
10 5
1
第四节
古典概型与事件的相互独立性
必备知识·回顾教材重“四基”
2
关键能力·研析考点强“四翼”
3
课时质量评价
古典概型中样本点个数的探求方法
频率计算中的k，n均随随机试验的变
频率计算
化而变化，但随着试验次数的增多，
公式
都计算了一
它们的比值逐渐趋近于概率值
古典概型
个比值
高考数学总复习第十二章概率12.2古典概型与几何概型市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
2.直线与圆有公共点,即圆心到直线距离小于或等于半径,由此得
出a≤b,则满足a≤b基本事件个数就能求出来,从而转化成与概率
基本事件相关问题.
3.f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数可转化成开口向上二次函数f(x)图
象对称轴与x轴交点横坐标大于或等于-1,从而得出b≤a,从而不难
得出b≤a包含基本事件数.所以也转化成了与概率基本事件相关问
②等可能性:每个结果发生含有等可能性.
(3)公式:
构成事件的区域长度(面积或体积)
P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
4.随机模拟方法
使用计算机或者其它方式进行模拟试验,方便经过这个试验求出
随机事件概率近似值方法就是随机模拟方法.
3/36
-4知识梳理
考点自测
1.任一随机事件概率都等于组成它每一个基本事件概率和.
C 35 C 13 C 25 C 23
3 (C 1 C 3 A(2)B
2
1 2 2
C(1)D
5 3 5 2 +C 3 C 5 C 3 )
C 25 C 23
C 23
5
D.7
关闭
3
= C 3 A 2 +C 2 C 2 = A 2 +C 2 = 5.
5 2
5 3
2
3
解析
答案
12/36
-13考点1
考点2
考点3
与圆(x-2)2+y2=2有公共点概率为
.
思索怎样把直线与圆有公共点问题转化成与概率基本事件相关
问题?
关闭
依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)有
(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共 36 种,其中满足直线 ax+by=0 与圆
高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.2古典概型课件(共9张PPT)
取2个数,则所取2个数的和能被3整除的概率为
.
解题导引
再由P(A利)=用1-P组( 合)求事知件识A的计概算率.基本事件总数→列出事件“所取2个数的和能被 再2,5由),P(1(,A33),整=4)1,-(除P1,(3 ”,5))求,包(1事,4含件,5A)的,的(2,所概2,率4有),.(2基,2,5本),(2事,3,件4),(→2,3由,5),古(2,4典,5)概,(3,型4,5概),其率包 公式得结论
再由P(A)=1-P( )求事件A的概率.
率问题的处理方法:一是转化为几个互斥事件的和,利用互斥事事件A的对立事件 的概率,
A
再由P(A)=1-P( )A求事件A的概率.
例1 (2017江苏苏北四市第二次调研,5)从1,2,3,4,5,6这六个数中随机地
再(1)由任P何(A分两)=个类1-基P讨(本 事论)求件事思都件是想A互的. 斥概的率..
再由P(A)=1-P( )求事件A的概率.
再由P(A)=1-P( )求事件A的概率.
例2 (2017浙江台州期末质量评估,8)袋子里装有编号分别为“1,2,2,3,
4,5”的6个大小、质量相同的小球,某人从袋子中一次任取3个球,若每
个具球有被 以取下少到两,可的个机特用会点列均的等概举率,则法模取型将出称的基为3个本古球典事编概号件率之模一和型一大,简于列称7古的出典概,概率然型为后: 求( 出) m、n,再利用公式P(A)=
高考数学复习点拨高考数学复习点拨古典概型(1)
古典概型考查要求：1．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点．2．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主．【复习指导】1．掌握解决古典概型的基本方法，列举基本事件、随机事件，从中找出基本事件的总个数，随机事件所含有的基本事件的个数．2．复习时要加强与统计相关的综合题的训练，注重理解、分析、逻辑推理能力的提升．一基础梳理1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和．2．古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件；(2)每个基本事件出现的可能性3．古典概型的概率公式：P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.4、求古典概型的步骤：（1）判断是否为等可能性事件；（2）计算所有基本事件的总结果数n．（3）计算事件A所包含的结果数m．（4）计算一条规律从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．故P(A)＝mn.两种方法(1)列举法：适合于较简单的试验．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．双基自测1、一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为()．A.23 B.14 C.13 D.122．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()．A.16 B.12 C.13 D.233．掷一颗骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率为()．A.13 B.14 C.12 D.234．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b ＞a的概率是()．A.45 B.35 C.25 D.15二、考向探究：考向一基本事件数的探求【例1】►做抛掷两颗骰子的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”；(3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和大于10”．例2、从字母a、b、c、d任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件。
高中数学高考总复习----古典概型与几何概型巩固练习题(含答案解析)
高中数学高考总复习----古典概型与几何概型巩固练习题（含答案解析）1.(2015广东高考)已知5件产品有两件次品，其余为合格品.现从5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A.0.4B.0.6C.0.8D.12.在由数字1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的二位数中，得到的数不能被5和2整除的概率为（）A.0.2B.O.4C.0.6D.0.83．已知三棱锥SABC，在三棱锥内任取一点P，使得V P－ABC<V SABC的概率是()A. B.C. D.4．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是()A. B.C. D.5．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平等线相碰的概率是()A. B.C. D.6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是()A. B.C. D.7．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B.C. D.8．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为()A. B.C. D.9.以连续两次抛掷一枚骰子得到的点数、得点，则点在圆内的概率为.10．某大学有包括甲、乙两人在内的5名大学生，自愿参加2010年上海世博会的服务，这5名大学生中3人被分配到城市足迹馆，另2人被分配到沙特馆．如果这样的分配是随机的，则甲、乙两人被分配到同一馆的概率是________．11．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________．12．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．13.(2015重庆高考)在区间上随机地选择一个数p,则方程有两个负根的概率为.14．若不等式组表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．15.（2015菏泽一模）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．16．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．【参考答案】1.【答案】B【解析】这是一个古典概型,从5件产品任取2件的取法为;基本事件总数为10;设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A,则A包含的基本事件个数为故选B.2．【答案】B【解析】总的事件数为，得到的数不能被5和2整除的个位数只能为1或3，有，故所求概率为0.4.3．【答案】A【解析】当P在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求，由几何概型知，4．【答案】A【解析】5．【答案】A【解析】∵硬币的半径为r，∴当硬币的中心到直线的距离d>r时，硬币与直线不相碰．∴6．【答案】A【解析】要使△ABC有两个解，需满足的条件是，因为A＝30°，所以，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是7．【答案】B【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此8．【答案】A【解析】设这两个实数分别为x，y，则，满足的部分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于的概率为9.【答案】【解析】连续两次抛掷一枚骰子得到的结果有种，点落在圆内的有，，，共4种，故所求的概率为.10．【答案】【解析】依题意得，甲、乙两人被分到同一馆的概率是.11．【答案】【解析】若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人在最后一个小时浏览的景点可能为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率为.12．【答案】【解析】以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，当P落在其内时符合要求．∴13.【答案】【解析】方程有两个负根等价于解关于p的不等式组可得或所求概率为14．【答案】解析：如图，△AOB为区域M，扇形COD为区域M内的区域N，A(3,3)，B(1，－1)，S△AOB＝，S扇形COD＝，所以豆子落在区域N内的概率为15.【解析】（1）∵甲班学生的平均分是85，∴，∴x=5，∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3；（2）甲班7位学生成绩的方差为s2==40；（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则．答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．16．【解析】(1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N＝5×5＝25个．函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以事件“a2≥4b”的概率为，即函数f(x)有零点的概率为.(2)a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，f(1)＝－1＋a－b>0，即a－b>1，此为几何概型．所以事件“f(1)>0”的概率为【巩固练习】1.(2015鄂州三模)已知函数若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A. B. C. D.2.某公共汽车每15分钟一班，乘客甲随机的到达车站，则甲等待的事件不超过3分钟的概率为（）A. B. C. D.3．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A. B.C. D.4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是()A. B.C. D.5.在长为10的线段AB上任取一点M，以AM为半径作圆，则该圆的面积在和之间的概率为（）A. B. C. D.6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B.C. D.7．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A. B.C. D.8．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为()A. B.C. D.9．一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机地放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是()A. B.C. D.10．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为()A. B.C. D.11.(2015江西二模)在区间内随机取两个数a,b，则使得函数有零点的概率为.12．若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为________．13.（2015河东区一模）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（2）现往袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和不大于4的概率．14.（14分）设有关于的一元二次方程．（Ⅰ）若是从1，2，3，4，5四个数中任取的一个数，是从1，2，3，4三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若是从区间[1,5]任取的一个数，是从区间[1,4]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．15．已知复数z＝x＋y i(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．【参考答案】1.【答案】D【解析】求导可得要满足题意需有两个不等实根即即，又a,b的取法共种，其中满足的有共6种故所求的概率为故选D.2.【答案】A【解析】甲等待的事件不超过3分钟的概率为.3．【答案】D【解析】在正六边形中，6个顶点选取4个，共有15种结果．选取的4点能构成矩形只有对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，故所求概率为.4．【答案】A【解析】要使△ABC有两个解，需满足的条件是，因为A＝30°，所以，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是5.【答案】A【解析】以半径为准，概率为.6．【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝7．【答案】D【解析】由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝8．【答案】A【解析】设这两个实数分别为x，y，则，满足的部分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于的概率为9．【答案】A【解析】依题意，将这六个不同的水果分别放入这六个格子里，每个格子放入一个，共有A66＝720种不同的放法，其中满足放好之后每行、每列的水果种类各不相同的放法共有96种(此类放法进行分步计数：第一步，确定第一行的两个格子的水果放法，共有种放法；第二步，确定第二行的两个格子的水果放法，有种放法，剩余的两个水果放入第三行的两个格子)，因此所求的概率等于10．【答案】B【解析】因为f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，所以Δ＝4a2－4(π－b2)≥0，即a2＋b2－π≥0，由几何概型的概率计算公式可知所求概率为11.【答案】【解析】两个数a、b在区间内随机取，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，可得对应的点(a,b)在如图的正方形OABC及其内部任意取，其中A(0,4)，B(4,4),C(4,0),O为坐标原点，若函数有零点，则解之得，满足条件的点(a,b)在直线a-2b=0的下方，且在正方形OABC内部的三角形，其面积为正方形OABC的面积为函数有零点的概率为12．【答案】【解析】直线与两个坐标轴的交点分别为(，0)，(0，)，又当m∈(0,3)时，，∴··<，解得0<m<2，∴P＝三、解答题13.【解析】（I）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝，1红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为．（II）加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和不大于4的有10种情况，所以概率为．14.【解析】设事件为“方程有实根”．当，时，方程有实根的充要条件为．（Ⅰ）基本事件共20个：事件中包含个基本事件，所以事件发生的概率为．（Ⅱ）试验的全部结果构成的区域为，∴,构成事件的区域为，∴,所以所求的概率为．15．【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝＝.(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域内，属于几何概型，该平面区域的图形为下图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，∴三角形OAD的面积为S1＝＝.∴所求事件的概率为。
高三数学古典概型试题答案及解析
高三数学古典概型试题答案及解析1.现有编号分别为1，2，3，4，5的五个不同的语文题和编号分别为6，7，8，9，的四个不同的数学题。
甲同学从这九个题中一次随机抽取两道题，每题被抽到的概率是相等的，用符号（x，y）表示事件“抽到的两题的编号分别为x、y，且”（1）共有多少个基本事件？并列举出来；（2）求甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11的概率．【答案】（1）个基本事件，，，，，，，,，，，，，，,，，，，，,，，，，,，，，,，，,，,，（2）【解析】（1）利用“树图法”或“坐标法”，写出个基本事件.（2）根据，写出满足条件的基本事件，共15个：，,，，,，，，,，，,，,,利用古典概型概率的计算公式即得所求.试题解析：（1）共有个基本事件，，，，，，，,，，，，，，,，，，，，,，，，，,，，，,，，,，,，6分（2）由已知，满足条件的基本事件有：，,，，,，，，,，，,，,. 12分【考点】古典概型.2.对酷爱运动的年轻夫妇，让刚满十个月大的婴儿把“0，0，2，8，北，京”六张卡片排成一行，若婴儿能使得排成的顺序为“2008北京”或“北京2008”，则受到父母的夸奖，那么婴儿受到夸奖的概率为___________．【答案】【解析】由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是把六张卡片排成一行其中包含两张相同的，共有种结果，满足条件的事件是有两个基本事件，∴婴儿受到父母夸奖的概率P＝【考点】简单的排列问题，古典概型概率的计算.3.如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复．则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为()A． B． C． D．【答案】D【解析】只考虑A，B两个方格的排法．不考虑大小，A，B两个方格有4×4＝16(种)排法．要使填入A方格的数字大于B方格的数字，则从1,2,3,4中选2个数字，大的放入A格，小的放入B格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6种，故填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为＝，选D．4.某农科院在3×3的9块试验田中选出6块种植某品种水稻，则每行每列都有两块试验田种植水稻的概率为()A．B．C．D．【答案】C【解析】所求概率为P＝＝＝．5.[2013·江苏高考]现有某类病毒记作Xm Yn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．【答案】【解析】由题意知m的可能取值为1,2,3，…，7；n的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m，n：若m＝1时，n可取1,2,3，…，9，共9种情况；同理m取2,3，…，7时，n也各有9种情况，故m，n的取值情况共有7×9＝63种．若m，n都取奇数，则m的取值为1,3,5,7，n的取值为1,3,5,7,9，因此满足条件的情形有4×5＝20种．故所求概率为.6.（2013•重庆）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为_________．【答案】【解析】记甲、乙两人相邻而站为事件A甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有=6，则甲、乙两人相邻而站的战法有=4种站法∴=7.一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为．【答案】【解析】连续抛掷两次共有种基本事件，向上一面数字之和为5的事件包含2+3与3+2两种情形，共种基本事件，所以概率为【考点】古典概型概率8.如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是____________． (结果用分数表示)【答案】【解析】首先从9个数中任取3个数共有种，至少有2个数同行或同列的取法有种，所求概率为.【考点】古典概型.9.如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是____________． (结果用分数表示)【答案】【解析】首先从9个数中任取3个数共有种，至少有2个数同行或同列的取法有种，所求概率为.【考点】古典概型.10.已知函数f(x)=cos(x),a为抛掷一颗骰子得到的点数，则函数f（x）在[0,4]上零点的个数小于5或大于6的概率为 .【答案】【解析】解：y=f（x）在[0，4]上有5个或6个零点，等价于函数f（x）的周期等于2，即，解得a=3；而所有的a值共计6个，故y=f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6的概率是 1－=.【考点】1.列举法计算基本事件数及事件发生的概率；2.函数零点的判定定理．11.有两张卡片，一张的正反面分别写着数字与，另一张的正反面分别写着数字与，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】能组成的两位数有、、、、、，共个，其中的奇数有、、，共个，因此所组成的两位数为奇数的概率是，故选C.【考点】古典概型12.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为．【答案】【解析】从4人中任选2人，共有，而甲乙两人有且只有一个被选取的方法数为，概率为．【考点】古典概型．13.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为．【答案】【解析】从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人共有种基本事件，而甲乙两人中有且只有一个被选取包含种基本事件，所以所求概率为.【考点】古典概型概率14.已知直线l1：x－2y－1＝0，直线l2：ax－by＋1＝0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}．(1) 求直线l1与l2相交的概率；(2) 求直线l1与l2的交点位于第一象限的概率．【答案】(1) (2)【解析】(1) 直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝.设事件A为“直线l1与l2相交”．a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为(1，1)，(1，2)，…，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(2，6)，…，(5，6)，(6，6)共36种．若l1与l2相交，则l1∥l2，即k1＝k2，即b＝2a.满足条件的实数对(a，b)有(1，2)，(2，4)，(3，6)共三种情况．所以P(A)＝.(2) 设事件B为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，由于直线l1与l2有交点，则b≠2a.联立方程组解得∵l1与l2的交点位于第一象限，∴∵a、b∈{1，2，3，4，5，6}，∴b>2a.∴总事件数共36种，满足b>2a的事件有(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，共6种，∴ P(B)＝15.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是________．【答案】【解析】(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁，乙送给丙)、(甲、乙都送给丙)、(甲、乙都送给丁)共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是P＝＝.16.某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样品的一等品中，随机抽取两件产品，①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．【答案】(1)0.6(2)①{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，②【解析】(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝＝.17.在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是________．【答案】【解析】在数字1、2、3、4四个数中任取两个不同的数有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}共6个基本事件，其中和大于积的有3个，即{1，2}，{1，3}，{1，4}，故其和大于积的概率是＝.18.若任意则就称是“和谐”集合.则在集合的所有非空子集中,“和谐”集合的概率是．【答案】【解析】由题意，和谐集合中不含、，和，和成对出现，和可单独出现，故和谐集合分别为，，，，，，，，，，，，共15个，而集合的非空子集有个，故“和谐”集合的概率是．【考点】1、集合与集合的关系；2、古典概型.19.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是()A．B．C．D．【答案】C【解析】用列举法,从A,B中各任意取一个数,所取数的情况表示为(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中和为4的共有2种情况,所求概率为P==.故选C.20.一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有“ONE”“WORLD”“ONE”“DREAM”的四张卡片随机排成一排,若卡片按从左到右的顺序排成“ONE WORLD ONE DREAM”,则孩子会得到父母的奖励,那么孩子得到奖励的概率为.【答案】【解析】题中四张卡片排成一排一共有12种不同的排法,其中只有一种会得到奖励,故孩子得到奖励的概率为.21.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.(1)求此人被评为优秀的概率;(2)求此人被评为良好及以上的概率.【答案】(1) (2)【解析】解:将5杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料,编号4、5表示B饮料,则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为:(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5),共有10种,令D表示此人被评为优秀的事件,E表示此人被评为良好的事件,F表示此人被评为良好及以上的事件,则(1)P(D)=.(2)P(E)=,P(F)=P(D)+P(E)=.22.从集合A={-1,1,2}中随机选取一个数记为k,从集合B={-2,1,2}中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为()A．B．C．D．【答案】A【解析】k,b的取法有3×3=9种,直线y=kx+b不经过第三象限即k<0,b>0,取法有(-1,1),(-1,2)两种,所以概率为P=.【误区警示】直线y=kx+b不经过第三象限,k<0,b>0缺一不可.23. 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,则从2号箱取出红球的概率是()A．B．C．D．【答案】A【解析】所求概率P=·+·=+==.24.同时抛掷三枚均匀的硬币,出现一枚正面、两枚反面的概率为()A．B．C．D．【答案】C【解析】共23=8种情况,符合要求的有(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)3种,∴P=.25.甲、乙两颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为.【答案】0.95【解析】由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1-(1-0.8)(1-0.75)=0.95.26.袋内装有6个球，这些球依次被编号为1、2、3、……、6，设编号为n的球重n2－6n＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；(2)如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率．【答案】（1）（2）【解析】(1)若编号为n的球的重量大于其编号，则n2－6n＋12＞n，即n2－7n＋12＞0.解得n＜3或n＞4.所以n＝1,2,5,6.所以从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P＝＝.(2)不放回地任意取出2个球，这2个球编号的所有可能情形为：1,2；1,3；1,4；1,5；1,6；2,3；2,4；2,5；2,6；3,4；3,5；3,6；4,5；4,6；5,6.共有15种可能的情形．设编号分别为m与n(m，n∈{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)球的重量相等，则有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.所以m＝n(舍去)，或m＋n＝6.满足m＋n＝6的情形为1,5；2,4，共2种情形．故所求事件的概率为.27.一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．【答案】【解析】列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P＝＝.28.某公司销售、、三款手机，每款手机都有经济型和豪华型两种型号，据统计月份共销售部手机（具体销售情况见下表）款手机款手机款手机已知在销售部手机中，经济型款手机销售的频率是.（1）现用分层抽样的方法在、、三款手机中抽取部，求在款手机中抽取多少部？（2）若，求款手机中经济型比豪华型多的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由分层抽样的定义有，得到，所以计算可得手机总数，从而有部.（2）设“款手机中经济型比豪华型多”为事件，款手机中经济型、豪华型手机数记为，根据，，确定满足事件的基本事件有个事件包含的基本事件为7个，由古典概型概率的计算公式得解.解答本题，关键是事件数的计算，此类问题，常常借助于树图法或坐标法，避免各种情况的遗漏. 试题解析：（1）因为，所以 2分所以手机的总数为： 3分现用分层抽样的方法在在、、三款手机中抽取部手机，应在款手机中抽取手机数为：（部）. 5分（2）设“款手机中经济型比豪华型多”为事件，款手机中经济型、豪华型手机数记为，因为，，满足事件的基本事件有：，，，，，，，，，，，共个事件包含的基本事件为，，，，，，共7个所以即款手机中经济型比豪华型多的概率为 12分【考点】分层抽样，典概型概率的计算.29.甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）设，表示甲乙抽到的牌的数字，如甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为，，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．【答案】(1)详见解析；(2)；(3)不公平.【解析】（1）此题为古典概型的概率计算问题，因为有两张4，所以在列举时，要做一区分，设方片4为4′，甲乙两人抽到的牌不放回，所以在甲抽完以后，乙只能从剩下的牌中抽取，然后一一列举出所以基本事件；（2）在（1）中列举的所以情况看，横坐标为3的有几个基本事件N，其中大于3的有几个基本事件n，,就是甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率;（3）同样在（1）中找到甲抽到的牌的牌面数字大于乙的基本事件，剩下的基本事件为乙大的，分别让他们除以总的基本事件，看谁的概率大，相等，即公平，不相等，就是不公平.试题解析：（1）解：方片4用4′表示，则甲乙二人抽到的牌的所有情况为：（2，3），（2，4），（2，4′），（3，2），（3，4），（3，4′），（4，2），（4，3），（4，4′），（4′，2），（4′，3），（4′，4）共12种不同的情况. 5分（2）解：甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为. 8分（3）解：甲抽到的牌比乙大，有（4，2），（4，3），（4′，2），（4′，3），（3，2）共5种情况.甲胜的概率为，乙胜的概率为，因为，所以此游戏不公平. 13分【考点】古典概型的概率计算30.排一张4独唱和4个合唱的节目表，则合唱不在排头且任何两个合唱不相邻的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】【解析】8个节目所有排法为，要求合唱不相邻，可先把4个独唱排列，有种排法，这里这4个独唱节目形成5个空档(包含前后两个)，由于合唱不排排头，故4个合唱节目只有插进后面四个空档里，有种排法，这样总共有排法，从而所求概率为【考点】古典概型．31.某校为组建校篮球队，对报名同学进行定点投篮测试，规定每位同学最多投3次，每次在A或B处投篮，在A处投进一球得3分，在B处投进一球得2分，否则得0分，每次投篮结果相互独立，将得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止．投篮方案有以下两种：方案1：先在A处投一球，以后都在B处投；方案2：都在B处投篮．已知甲同学在A处投篮的命中率为0.4，在B处投篮的命中率为0.6.(1)甲同学若选择方案1，求X＝2时的概率；(2)甲同学若选择方案2，求X的分布列和数学期望；(3)甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？请说明理由．【答案】（1）0.288（2）3.168（3）选择方案2通过测试的可能性更大【解析】(1)“在A处投篮命中”记作事件A，不中记作，“在B处投篮命中”记作事件B，不中记作，该同学选择方案1，测试结束后所得总分为2为事件(B)∪(B)，则其概率P1＝P(B)＋P(B)＝(1－0.4)×0.6×(1－0.6)＋(1－0.4)×(1－0.6)×0.6＝0.288.(2)该同学选择方案2，测试结束后，所得总分X所有可能取的值为0,2,4.则P(X＝0)＝(1－0.6)×(1－0.6)×(1－0.6)＝0.064，P(X＝2)＝×0.6×0.42＝0.288，P(X＝4)＝0.6×0.6＋×0.62×0.4＝0.648，∴X的分布列是X024(3)设该同学选择方案1通过测试的概率为P2，P2＝P(A)＋P(BB)＝0.4＋(1－0.4)×0.6×0.6＝0.616，又选择方案2通过测试的概率P3＝0.648>0.616，所以该同学选择方案2通过测试的可能性更大．32.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为 ()．A．0.9B．0.8C．1.2D．1.1【答案】A【解析】依题意得，得分之和X的可能取值分别是0、1、2，且P(X＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴得分之和X的分布列为∴E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.33.把4个颜色各不相同的乒乓球随机的放入编号为1、2、3、4的四个盒子里．则恰好有一个盒子空的概率是（结果用最简分数表示）【答案】【解析】这是古典概型，我们只要计算出两个数，一个是把4个不同的球随机放入四个不同的盒子的所有放法总数为，而恰好有一个盒子是空的方法为，从而所求概率为．【考点】古典概型．34. 把4个颜色各不相同的乒乓球随机的放入编号为1、2、3、4的四个盒子里 ．则恰好有一个盒子空的概率是 （结果用最简分数表示） 【答案】【解析】这是古典概型，我们只要计算出两个数，一个是把4个不同的球随机放入四个不同的盒子的所有放法总数为，而恰好有一个盒子是空的方法为，从而所求概率为．【考点】古典概型．35. 设集合，对于，记，且，由所有组成的集合记为：，（1）的值为________； （2）设集合，对任意，，则的概率为________．【答案】（1）；（2）．【解析】由题意知，a i ，b i ∈M ，a i ＜b i ，∵首先考虑M 中的二元子集有{1，2}，{1，3}，…，{5，6}，共15个，即为C =15个． 又a i ＜b i ，满足的二元子集有：{1，2}，{2，4}，{3，6}，这时，{1，3}，{2，6}，这时，{2，3}，{4，6}，这时，共7个二元子集．故集合A 中的元素个数为k=15-7+3=11．列举A={,,,,，},B={2，3，4，5，6，},+="2," +="3," +=2，+=2,+=2，+ =2共6对．∴所求概率为：p ＝．故答案为：11；．【考点】古典概型及其概率计算公式．36. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若｜a －b ｜≤1，就称甲乙“心相近”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D ．【解析】试验包含的所有事件共有6×6=36种猜数的结果。
高中数学古典概型知识点总结
高中数学古典概型知识点总结高中数学中的古典概型是指基于样本空间，利用等可能性原理计算事件发生概率的方法。
以下是一些关键的知识点总结：1. 样本空间：在进行古典概型的计算时，首先要确定问题的样本空间。
样本空间是指所有可能的结果组成的集合。
2. 事件：在样本空间中，可以定义各种事件，也就是对应某个或某些结果的子集。
常见的事件有简单事件（只包含一个结果）和复合事件（包含多个结果）。
3. 等可能性原理：古典概型的核心思想是等可能性原理，即各个结果发生的概率是相等的。
根据等可能性原理，可以得出事件发生的概率。
4. 计算概率：根据等可能性原理，可以使用计数方法来计算事件发生的概率。
例如，若样本空间中有n个等可能结果，而事件A 包含m个结果，则事件A发生的概率为P(A) = m/n。
5. 排列与组合：在古典概型的计算中，经常需要使用排列与组合的概念。
排列是指从n个元素中选取r个元素并按照一定顺序排列，而组合是指从n个元素中选取r个元素，不考虑顺序。
排列与组合的计算公式如下：- 排列：P(n,r) = n! / (n-r)!- 组合：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)6. 互斥事件与对立事件：互斥事件指两个或多个事件不可能同时发生，而对立事件指两个事件中只有一个会发生。
在古典概型中，可以利用互斥事件和对立事件的概念来计算复杂事件的概率。
7. 概率的性质：概率具有一些重要的性质，包括非负性（概率不会小于0）、正则性（全样本空间的概率为1）、可加性（若事件A 与事件B互斥，则它们的概率之和等于各自的概率和）等。
以上是高中数学中古典概型的一些关键知识点总结。
通过掌握这些知识点，可以更好地理解和应用古典概型方法进行概率计算。
随机事件的概率 古典概型-高考数学复习
相等 若B⊇A，且____A_⊇__B_____，则称事件A与 关系 事件B相等
___A_∪__B____
并事件 (和事件)
若某事件发生_当__且__仅__当__事__件__A_与__事__件__B____ _至__少__有__一__个__发__生____，则称此事件为事件A 与事件B的并事件(或和事件)
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学
返回导航
3．设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满 足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
___A__∪__B_____ __(_或__A_＋__B_)___
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学
返回导航
定义
交事件 若某事件发生_当__且__仅__当__事__件__A_与__事__件__B__同__时_ _发__生___，则称此事件为事件A与事件B的交
(积事件) 事件(或积事件)
高考一轮总复习 • 数学 是对立事件，则 A∪B 为必然事件，再 由概率的加法公式得 P(A)＋P(B)＝1；投掷一枚硬币 3 次，满足 P(A)＋ P(B)＝1，但 A，B 不一定是对立事件，如：事件 A：“至少出现一次正 面”，事件 B：“出现 3 次正面”，则 P(A)＝78，P(B)＝18，满足 P(A)＋ P(B)＝1，但 A，B 不是对立事件，故甲是乙的充分不必要条件．
中的 k 个样本点，则事件 A 的概率 P(A)＝nk.
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
高考数学复习点拨：古典概型及其概率求解
古典概型及其概率求解的基本方法山东 孙天军一．古典概型的创建如果一个试验同时满足以下两个条件：（1）有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的，则称这样的试验为古典概型．判断一个试验是否为古典概型，需要确定这个试验是否具有古典概型的两个特征——“有限性”和“等可能性”．对于“有限性”的判断较易，对于“等可能性"的判断较难,要注意分辨．例1．在两个箱子里，各有一个黑球和一个白球,所有的球除颜色外完全相同．从两个箱子里都摸出一个球，（1）若将试验的结果——“两个白球”、“两个黑球”、“一个白球一个黑球”视为基本事件，能构成古典概型吗？（2）求摸出的球是一个白球与一个黑球的概率． 解：（1）摸出的两个球的所有可能结果可表示为:“黑、黑”，“白、白”,“黑、白”，“白、黑"．这4个结果是有限的，也是等可能的，这种试验是古典概型．但将“摸出一个白球与一个黑球”视为基本事件时，是将“黑、白”与 “白、黑"两个结果合为一个结果，使得3个结果出现的可能性不全均等，故这时的试验不是古典概型． （2)由（1)的分析可知,当试验的结果视为“黑、黑”，“白、白”，“黑、白”,“白、黑”4个结果时,试验为古典概型,“摸出的球是一个白球与一个黑球”所包含的基本事件数为2，故所求概率为42=21 ．二．古典概型概率的计算如果试验的基本事件数有n 个，事件A 包含的基本事件数为m,则事件A 发生的概率 P(A ） =nm ．在保证能创建古典概型的情况下，首先要解决的问题如何求n 与m ，再利用公式计算概率．例2．有两个箱子，里面各装有编号为1、2、3、4、5、6的6个小球，所有的球除编号外完全相同，现从两个箱子里各摸一个球，称为一次试验．若摸出的两个球的编号之和为5，则中奖．求一次试验中奖的概率．解：记“一次试验中奖"为事件Ａ，根据基本事件总数ｎ及事件Ａ包含的基本事件数ｍ的不同求法，可得到下列解法：解法１．列表法:由表格可知：基本事件总数ｎ＝３６Ａ包含的基本事件数ｍ＝４，则所求 概率为P(A ） = 394＝91． 解法２．画树状图：５ ６由树状图可知：基本事件总数ｎ＝３６,Ａ包含的基本事件为１—４，２—３,３-２，４-１,共有４个，则所求概率为P(A ） =394＝91． 解法３．列举数对：将所有基本事件用数对表示为：（１，１）(１，２)(１，３）（１，４）(１，５）（１，６） （２，１)（２，２)(２，３)（２，４）（２,５）（２，６） （３，１）（３，２）（３，３）（３，４)（３，５）（３，６) (４，１）（４，２）(４,３)（４，４)（４,５）（４，６） (５，１）（５,２）（５，３）（５，４)（５,５)(５，６) （６，１）（６，２）（６，３）（６，４）（６，５）（６，６)用此方法也可得到前面的答案．解法４．交点法：在直角坐标系中,用直线ｘ＝１,２,３，４，５，６与直线ｙ＝１，２,３，４,５，６的交点数表示基本事件总数,其中在直线ｘ＋ｙ＝５上的点有４个，故基本事件总数ｎ＝３６，Ａ包含的基本事件数ｍ＝４,则所求概率为P （A) = 394＝91． Ｙ在古典概型的概率的计算中，还要适当结合互斥事件的概率的加。
高中数学高考总复习---古典概型与几何概型知识讲解及考点梳理
1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为
2．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被 取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域 中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。
位数字也即确定.故共有 6×1=6 种不同的结果，即概率为
.
（2）两个玩具的数字之和共有 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 共 11 种不同结果.
从中可以看出，出现 12 的只有一种情况，概率为 .出现数字之和为 6 的共有（1，5），（2，
4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为 . 【总结升华】使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.
（3）应用公式
求值。
5．古典概型中求基本事件数的方法： （1）穷举法； （2）树形图； （3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不 重复不遗漏。 知识点二、几何概型 1. 定义： 事件 A 理解为区域Ω的某一子区域 A，A 的概率只与子区域 A 的几何度量（长度、面积 或体积）成正比，而与 A 的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。 2.几何概型的两个特点： （1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的； （2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。 3.几何概型的概率计算公式： 随机事件 A 的概率可以用“事件 A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与 “试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。
举一反三： 【变式】某校要从艺术节活动中所产生的 4 名书法比赛一等奖的同学和 2 名绘画比赛一等 奖的同学中选出 2 名志愿者，参加广州亚运会的服务工作。求：（1）选出的 2 名志愿者都 是获得书法比赛一等奖的同学的概率；（2）选出的 2 名志愿者中 1 名是获得书法比赛一等 奖，另 1 名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率. 【解析】把 4 名获书法比赛一等奖的同学编号为 1，2，3，4 . 2 名获绘画比赛一等奖的同 学编号为 5，6.
2025年高考数学总复习课件82第十章第四节古典概型与事件的相互独立性
第四节 古典概型与事件的相互独立性
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
4．(教材改编题)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色 球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．
3 5
解析：所求概率p＝C31C·52C21 ＝ 35.
第四节 古典概型与事件的相互独立性
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
2.古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k k n(A)
个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝___n_＝____n_(_Ω．) 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 注意点： 一个试验是否为古典概型，在于样本点是否具有两个特点——有限性和等可能 性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确判断试验的类型是解 决概率问题的关键．
第四节 古典概型与事件的相互独立性
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
核心回扣 1.古典概型 具有以下特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称 古典概型． (1)有限性：样本空间的样本点只有__有__限__个__； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性__相__等__．
如图1，有6种取法；
(2)所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2，也有6种取法．所
以所取的4个点在同一个平面的概率p＝1720 ＝ 365.
第四节 古典概型与事件的相互独立性
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
高考数学考点归纳之古典概型与几何概型
高考数学考点归纳之古典概型与几何概型一、基础知识1•古典概型(1) 古典概型的特征：①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征一一有限性和等可能性•(2) 古典概型的概率计算的基本步骤：①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；③利用古典概型的概率公式P(A) = m，求出事件A的概率•(3) 频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型(2 )几何概型的基本特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等•(3)计算公式：构成事件A的区域长度面积或体积_________P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积•几何概型应用中的关注点1关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率• 2确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性A. 3_ 10 考点一古典概型［典例精析］(1)(2018全国卷n )我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果•哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”， 如30 = 7 + 23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()C.15(2)(2019武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次， 得到的点数依次记为 a 和b ,贝U 方程ax 2 + bx + 1 = 0有实数解的概率是()7 1 A.36 B.2 19 5 C — D — C.36D.18［解析］⑴不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个 不同的数，共有 C 1o = 45种情况，而和为30的有7+ 23,11+ 19,13 + 17这3种情况，所以所 求概率P =45=1_ *1 < a <6, a € N ,⑵投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为1 w b < 6, b € N *,组合有36种.若方程ax 2 + bx + 1 = 0有实数解， 贝U △= b 2— 4a > 0，所以 b 2> 4a.当b = 1时，没有a 符合条件；当 b = 2时，a 可取1;当b = 3时，a 可取1,2 ;当b = 4 时，a 可取 1,2,3,4 ;当 b = 5 时，a 可取 1,2,3,4,5,6 ;当 b = 6 时，a 可取 1,2,3,4,5,6.满足条件的组合有1919种，则方程ax 2 + bx + 1 = 0有实数解的概率 P =--.36［答案］(1)C (2)C［题组训练］1. (2019 益阳、湘潭调研)已知 a € { — 2,0,1,2,3}, b € {3,5}，则函数 f(x) = (a 2— 2)e x + b 为 减函数的概率是()所以a 和b 的3 21解析：选 C 若函数 f(x) = (a 2— 2)e x + b 为减函数，则 a 2— 2v 0,又 a € { — 2,0,1,2,3},故只有a = 0, a = 1满足题意，又b € {3,5}，所以函数f(x)= (a 2 — 2)e x + b 为减函数的概率是2•从分别标有1,2,…，9的9张卡片中不放回地随机抽取 2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )5 4 A — B —A.18B .93•将A , B , C , D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是 ( )1 A .2 1 B.4 C 1 C • 61解析：选B A , B , C ,D 4名同学排成一排有 A 4= 24种排法.当A , C 之间是B 时，4 + 2 1有2X 2=4种排法，当A , C 之间是D 时，有2种排法，所以所求概率P =-24-=4.考点二几何概型类型(一)与长度有关的几何概型［例1］ (2019濮阳模拟)在［— 6,9］内任取一个实数 m ,设f(x) = — x 2 + mx + m ,则函数f(x) 的图象与x 轴有公共点的概率等于()27A B A.15 B .153 11C5 D.亦［解析］•/ f(x)=— x 2+ mx + m 的图象与 x 轴有公共点，二 △= m 2+ 4m > 0,. m < — 4 或m > 0,.••在 ［—6,9］内取一个实 数m ，函数f(x)的图象 与x 轴有公共点的概 率P =[—4— — 6 ] + 9— 0 = 9——6 — ［答案］D解析：选C 由题意得，所求概率5X 4X 2 9X 859. 11狗，故选D . 15类型(二)与面积有关的几何概型［例2］(1)(2018潍坊模拟)如图，六边形ABCDEF 是一个正六边形,(2)由题意知圆O 的面积为n 3,正弦曲线y = sin x , x € ［- n, n ］ x 轴围成的区域记为 M ，根据图形的对称性得区域 M 的面积S = 2 / o sin xdx =- 2COS x|o = 4，由几何概型的概 率计算公式可得，随机往圆 O 内投一个点A ,则点A 落在区域M 内的概率P =刍.n［答案］(1)C (2)B类型(三)与体积有关的几何概型［例3］ 已知在四棱锥 P-ABCD 中，PA 丄底面 ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA = AB = 22，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ,则四棱锥 O -ABCD 的体积不小于3的概率为2［解析］当四棱锥O -ABCD 的体积为3时，设O 到平面ABCD 的距离为 12 1h ,则 3x 22x h = 3,解得 h = 1 如图所示，在四棱锥 P-ABCD 内作平面EFGH 平行于底面 ABCD ，且1平面EFGH 与底面ABCD 的距离为2.PH 3因为PA 丄底面ABCD ，且FA = 2,所以pA = 4,若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是A.4B.12 C.3(2)(2019洛阳联考)如图，圆O : x 轴围成的区域记为 M (图中阴影部分 A 落在区域M 内的概率是()4 ArB. nD.［解析］ ⑴设正六边形的中心为点 O,BD 与AC 交于点G,BC = 1,则BG = CG , Z BGC =120°在厶BCG 中，由余弦定理得1= BG 2+ BG 2- 2BG 2COS 120°得BG =彳，所以&BCG=2 x BG x BG x sin 120 °= 2 xf x 33 x 学=器，因为1S 六边形 ABCDEF = S A BOC x 6 = ~ x 1 x 1 x Sin 60°x 6= 乎，所以该点恰好在图中阴影部分的概率P = 1-6G BCG S 六边形ABCDEF23.又四棱锥P-ABCD与四棱锥P-EFGH相似,所以四棱锥 O -ABCD 的体积不小于2的概率P = V 四棱锥P -EFGH3 V 四棱锥P-ABCD “亠 27［答案1 64类型（四）与角度有关的几何概型［例4］如图，四边形 ABCD 为矩形，AB = 3，BC = 1，以A 为 圆心，1为半径作四分之一个圆弧 斥「，在/ DAB 内任作射线 AP ,则 射线AP 与线段BC 有公共点的概率为 _____________________ .［解析］连接AC ,如图， 因为tan / CAB =器二彳,所以/ CAB =才，满足条件的事件是直线AP 在/ CAB 内，且AP 与AC 相交时，即直线n/ CAB 61AP 与线段BC 有公共点，所以射线 AP 与线段BC 有公共点的概率 P =/DAB =n=勺2 (1)［答案1 3［题组训练］1.（2019豫东名校联考）一个多面体的直观图和三视图如图所示，点 M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体 ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体： F-AMCD 内的概率为（）'；A.|1所以它飞入几何体 F-AMCD 内的概率P = — = 2.I 3 2 2a2•在区间［0, n ］随机取一个数x ，则事件“ sin x + cos ”发生的概率为解析：1 1 1选 D 由题图可知 V F -AMCD = 3 X S 四边形 AMCD X DF = 4a 3, V ADF -BCE =尹3,C.3 PH 3 = 3 3= 27 PA 4 64.1sin x + cos x >解析：由题意可得20< x < n解得2. （2019漳州一模）甲、乙、丙、丁、戊 5名同学参加"《论语》知识大赛”，决出第 1 名到第5名的名次•甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，故所求的概率为 12_ 77 12答案：右3. （2018唐山模拟）向圆（x — 2）2+ （y — ,3）2= 4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为 _________ .解析：如图，连接CA , CB ，依题意，圆心 C 到x 轴的距离为 3,所1 2 1 以弦AB 的长为2.又圆的半径为2，所以弓形 ADB 的面积为2x 2 nX 2 —1 2X 2 X 3 = ^n — . 3,所以向圆（x — 2）2+ （y — . 3）2= 4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P =1-1 答案：16 ［课时跟踪检测］1.（2019衡水联考）2017年8月1日是中国人民解放军建军 90周年， 中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币•如图所示是一枚 8克圆形金质纪念币，直径 22 mm ，面额100元•为了测算图中军旗部分的面 积，现用1粒芝麻向硬币内投掷 100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是 （）A. 363 n 10 2mm 2 363 n B.2 mm 2C.726 n 2 mm 2 D.3；20_n mm 2解析：选A向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是 S = 1°0X nx 112 =现采用分层抽样的方法从中抽取 7名同学去某敬老院参加献爱心活动但是你俩都没得到第一名”； 对乙说“你当然不会是最差的”， 从上述回答分析, 丙是第名的概率是（ ） 1 A.51 B.31 C.4 1D.6 解析：选B 由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊 •又因为 所有的限制条件对丙、丁或戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等可能事件, 所以丙 1 是第一名的概率是I 3.（2019郑州模拟）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有 5张奖票（其中 3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在 3张为中奖 票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到第4人抽完结束的概率为（ ） 1 B.1 2D.5 解析：选C 将5张奖票不放回地依次取出共有A 5= 120（种）不同的取法，若活动恰好 在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票， 共有C 2C 1A =36（种）取法，所以P =蛊=鲁. 4.（2019长沙模拟）如图是一个边长为 8的正方形苗圃图案，中间黑色 大圆与正方形的内切圆共圆心， 圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的 2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自 黑色区域的概率为（ ） n A.8nC.1—n解析：选C 正方形的面积为82,正方形的内切圆半径为4,中间黑色大圆的半径为2,黑 色小圆的半径为1,所以白色区域的面积为 nX 42—nX 22-4 XnX 12= 8 n,所以黑色区域的面积 82 — 8 n n 为82— 8 n 在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为 P == 1—刁 82 5.（2019郑州模拟）已知圆C : x 2+ y 2= 1,直线I : y = k （x + 2），在［—1,1］上随机选取一个数k ,则事件“直线I 与圆C 相离”发生的概率为（ ） 2— ,2 B.2 A.1 C 3-V3 C. 32 — ,3 D. 2解析：选C 圆C : x 2+ y 2= 1的圆心C(0,0)，半径r = 1,圆心到直线I : y = k(x + 2)的距离d = |0； 0+ 2F=-^L ,直线|与圆C 相离时d > r ,即丁鉴> 1,解得k v —申或 \jk + — 1 yj k + 1 yj k + 134 1(3,7), (4,6)中任选3组，有C 4= 4种选法，故这7个数的平均数是5的概率P = 36 = 了7•一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为 a , b , c ,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称这个三位数为“好数”(如213,134)，若a , b , c € {1,2,3,4}，且a , b ,c 互不相同，则这个三位数为“好数”的概率是 ____________ .解析：从1,2,3,4中任选3个互不相同的数并进行全排列，共组成A 4= 24个三位数，而“好数”的三个位置上的数字为 1,2,3或1,3,4,所以共组成2A 3 = 12个“好数”，故所求概8•太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化， 相对统一的形式美•按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标n系中，圆0被函数y = 3s“6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小 圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为解析：根据题意，大圆的直径为函数y = 3si^ 的最小正周期 T ,又T = 3= 12,所以6 n612大圆的面积 S = n •- 2= 36n, 一个小圆的面积 S ' = n*2= n,故在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率 P =%=令=补.S 36 n 181答案：18 9.(2018天津高k >f,故所求的概率 3P =2- f1——13 —3_6•从1〜9这9个自然数中任取 7个不同的数，则这7个数的平均数是 5的概率为解析：从1〜9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C 7= 36 种，从(1,9), (2,8),24 12.考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动(1) 应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？⑵设抽出的7名同学分别用 A ，B , C ，D ，E , F ，G 表示，现从中随机抽取 2名同学 承担敬老院的卫生工作•① 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；② 设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率. 解：(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3 : 2 : 2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3人，2人，2人.⑵①从抽取的7名同学中随机抽取 2名同学的所有可能结果为{A , B}, {A , C} , {A ,D} , {A , E} , {A , F}, {A , G} , {B , C} , {B , D} , {B , E} , {B , F} , {B , G} , {C , D}, {C , E}, {C , F}, {C , G}, {D , E}, {D , F} , {D , G} , {E , F} , {E , G} , {F , G},共 21种.②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是 A , B , C ,来自乙年级的是 D , E , 来自丙年级的是 F , G ,则从抽出的7名同学中随机抽取的 2名同学来自同一年级的所有可 能结果为{A , B} , {A , C} , {B , C} , {D , E}, {F , G},共 5 种.5所以事件M 发生的概率P(M =—. 10.在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ,B ,C ,D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者•(1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (2) 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (3)求五名志愿者中仅有一人参加 A 岗位服务的概率A 41⑵记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务 ”为事件E ,那么P(E) =10,所以甲、9乙两人不在同一岗位服务的概率是P( E ) = 1 — P(E) =后.1.(2019太原联考)甲、乙二人约定 7: 10在某处会面，甲在 7: 00〜7: 20内某一时刻4解：(1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ,那么P(E A ) =A * * 3 __1 C 5A L 40 ,即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是140.1=4所以仅有一人参加A 岗位服2B1答案:——> > ------ >P B + P C + 2 PA = 0,现将一粒黄豆随机撒在随机到达，乙在7: 05〜7:20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙 5分钟的概率是（） 1 A.81 B.4 3 C.8 5 D.8 解析：选C 建立平面直角坐标系如图， x , y 分别表示甲、乙二人 到达的时刻，则坐标系中每个点 （x , y ）可对应甲、乙二人到达时刻的可能 y — x > 5, 性，则甲至少等待乙5分钟应满足的条件是 0W x w 20, 其构成的区域 5< y < 20, 为如图阴影部分，则所求的概率1X 15X 15-2 3 P = =— 20 X 15 8' 2.（2019开封模拟）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 2X 2X 3的长方体框架，一个建筑工人欲从 A 处沿脚手架攀登至 B 处，则其 最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为 （ ） 解析：选B 根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，•••一共要走 3 次向上，2次向右，2次向前，共7次，.••最近的行走路线共有 A 7= 5 040（种）.•••不能连续向 上，.••先把不向上的次数排列起来，也就是 2次向右和2次向前全排列为 A 4.接下来，就是 把3次向上插到4次不向上之间的空当中， 5个位置排3个元素，也就是 A 5，则最近的行 走路线中不连续向上攀登的路线共有 A 4A 5= 1 440（种），•其最近的行走路线中不连续向上 1 440 2 攀登的概率p =両r 7.故选B. 3•已知等腰直角厶 ABC 中，/ C = 90°在/ CAB 内作射线 AM ，则使/ CAM V 30°的概 率为 解析：如图，在/ CAB 内作射线AM 0, 使/ CAM 0= 30° 于是有 P(/ CAM / CAM 0 30 V 30 )=TCAB"— 245一3.△ ABC 内,则黄豆落在△ PBC 内的概率是（1A]4•已知 P 是厶ABC 所在平面内一点，且1根据几何概型的概率计算公式2 3解析：选C 以PB, PC为邻边作平行四边形PBDC,连接PD交BC于点0,则再B + R6 = _PD .--- B ---- B ------ B•/ PB + PC + 2 PA = 0,二-6+_P CT=- 2-，即可6= - 2"P A ,由此可得，P是BC边上的中线A0的中点，点P到BC的距离等于点A到BC的距离,,1 1 S^PBC 的2, •••S APBC=2S S BC,.・.将一粒黄豆随机撒在△ ABC内，黄豆落在△ PBC内的概率P =王；二12.5.点集Q = {(x, y)|0w x w e, 0< y w e}, A= {(x, y)|y>e x, (x, y) € Q}，在点集Q 中任取一个元素a，则a€ A的概率为()1A.—eB.4e—1C.-ee2-1 D.—2 e解析：选B 如图，根据题意可知Q表示的平面区域为正方形BCDO , 面积为e2, A表示的区域为图中阴影部分，面积为/ 0 (e- e x)dx= (ex-1e x)|0= (e- e)-(—1) = 1，根据几何概型可知 a € A的概率P=二.故选B.e n a/ C1L 电*6.如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形边AB, AC A ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为H,其余.此图由三ABC的斜边BC,直角P1, P2, P3，则部分记为川.在整个图形中随机取一点，此点取自I ,n，川的概率分别记为C.p2= p3D.p1 = p2+ p3解析：选A不妨设△ ABC为等腰直角三角形，AB= AC = 2, 则BC = 2 2,A. p1 = p2B.p1= p3所以区域I的面积即△ ABC的面积，1为S1 = X 2X 2= 2,区域H的面积S2= T X 12—nX22- 2 = 2,区域川的面积S3=nX2"-2 =n- 2.得 P1=p2=dk ，P3=n 2，所以 P 1M p 3,卩2工P 3, P 1工P 2 + P 3, 故选 A.X 2 3 V 27.双曲线 C :孑一詁=1(a > 0, b > 0)，其中 a € {1,2,3,4} , b € {1,2,3,4}，且 a , b 取到其 中每个数都是等可能的， 则直线I: y =x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点的概率为 ()1 A.1 5 D.5解析：选B 直线I : y = x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点，贝U b > 1，总基本事件a 数为 4X 4= 16,满足条件的(a , b)的情况有(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)，共 6 个, 故概率为3.818.在区间［0,1］上随机取两个数 a , b ,则函数f(x)= x 2 + ax + 4b 有零点的概率是1解析：函数 f(x)= x 2 + ax + 4b 有零点，则 △= a 2— b > 0，二 b < a 2,「.函数 f(x)= x 2 + ax (3)因为有两人同时参加 A 岗位服务的概率3务的概率P 1= 1 — P 2=；.2 / o a 2da 1 + 4b 有零点的概率 P = 1 % 1 = 3.3 B.3C.2。
高考数学知识点之古典概型定义及计算
高考数学知识点之古典概型定义及计算
古典概率通常又叫事前概率，是指当随机事件中各种可能发生的结果及其出现的次数都可以由演绎或外推法得知，下面小编给大家介绍高考数学知识点之古典概型定义及计算，赶紧来看看吧!
基本事件的定义：
一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
等可能基本事件：
若在一次试验中，每个基本事件发生的可能*都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。
古典概型：
如果一个随机试验满足：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
(2)每个基本事件的发生都是等可能的;
那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型.
古典概型的概率：
如果一次试验的等可能事件有n个,考试技巧，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是;如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为。
古典概型解题步骤：
(1)阅读题目，搜集信息;
(2)判断是否是等可能事件，并用字母表示事件;
(3)求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m;
(4)用公式求出概率并下结论。
求古典概型的概率的关键：
求古典概型的概率的关键是如何确定基本事件总数及事件A包含的基本事件的个数。
高考数学复习《概率 古典概型》
1. 理解古典概型及其概率计算公式； 2. 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
1. 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是 互斥 的． (2)任何事件(除不可能事件外)都可以表示成 基本事件 的和． 2. 古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型： (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个； (2)每个基本事件出现的可能性 相等 ． 3. 古典概型的概率公式
方法二：“至少有一个5点或6点”的对立事件是“没有5点或6点”，如上表， “没有5点或6点”包含16个基本事件，没有5点或6点的概率为P＝3166＝49，
故至少有一个5点或6点的概率为 1－49＝59.
【考情分析】 从近两年的高考试题来看，古典概型是高考的热点，可在选择题、填空题中 单独考查，也可在解答题中与统计或随机变量的分布列一起考查，属容易或 中档题，以考查基本概念、基本运算为主． 预计2012年高考中，古典概型仍然是考查的重点，同时应注意古典概型与统 计、离散型随机变量结合命题．
【互动探究】 在本例中，条件不变，求任取1个小正方体，至少有一个面涂色的概率
解析：方法பைடு நூலகம்(间接法)：由例题知，表面无色的概率为217，∴至少有一面涂色的概
率是1－217＝2276.
方法二(直接法)：至少有一面涂色包括3种情况，一面涂色，两面涂色，三面涂色， ∴至少有一面涂色的概率是8＋2172＋6＝2267.
解析：抽出的2张均为红桃的概率为CC221532＝117. 答案：117
3. (2010·山东)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号为 1,2,3,4. (1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋 中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
高考数学总复习 10-5 古典概型与几何概型课件 新人教B版
一、解答概率初步题解题要点 1．求解古典概型概率，首先要找准基本事件，判断 的标准就是有限性和等可能性．基本事件空间中基本事 件的计算方法和事件 A 中包含的基本事件计算方法必须 保持一致，计数时可以采取一一列举的方法，也可以采 用模型化方法或用计数原理求，并辅以必要的文字说明． 2．注意事件是否互斥；遇到“至多”、“至少”等 事件时，注意对立事件概率公式的应用．
是等可能事件 . ③一周七天中，“周一晴天”，“周二晴 天”，„，“周六晴天”，“星期天晴天” . 它们是等可 能事件，不是彼此互斥事件．
2．“概率为 0 的事件”与“不可能事件”是两个不 同的概念，应区别． 3．计算古典概型和几何概型的概率时，一定要把握 基本事件的等可能性． 4． 抽样方法要区分有无放回抽样， 是否与顺序有关．
分析：(1)依分层抽样的定义知，各个个体被抽到的 机会均等，可求 x、 y； (2)将 B、 C 高校抽取的人编号，可列举试验“从中 任选两人”所包含的所有基本事件，及事件“这 2 人都 来自高校 C”所包含的基本事件，由古典概型可求概率．
x 2 y 解析：(1)由题意可得， ＝ ＝ ，所以 x＝ 1， y 18 36 54 ＝ 3. (2)记从高校 B 抽取的 2 人为 b1， b2，从高校 C 抽取 的 3 人为 c1， c2， c3，则从高校 B， C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有 (b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2， c2)， (b2， c3)， (c1， c2)，(c1， c3)， (c2， c3)共 10 种．
3．几何概型 区域 A 为区域 Ω 的一个子区域，如果每个事件发生 的概率只与构成该事件的区域 A 的几何度量 (长度、面积 或体积 )成正比，而与 A 的位置和形状无关，则称这样的 概率模型为几何概率模型． μA 几何概型的概率 P(A)＝ ，其中 μA 表示构成事件 A μΩ 的区域长度(面积或体积 )．μΩ 表示试验的全部结果所构成 区域的长度(面积或体积 )．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
古典概型导学目标： 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．自主梳理1．基本事件有如下特点：(1)任何两个基本事件是________的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成______________．2．一般地，一次试验有下面两个特征(1)有限性．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)等可能性．每个基本事件出现的可能性相同，称这样的概率模型为古典概型． 判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性．3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是________；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P(A)＝________.自我检测1．(2011·滨州模拟)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率为( )A .16B .14C .112D .192．(2011·临沂高新区期末)一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是( )A .112B .110C .325D .121253．(2010·辽宁)三张卡片上分别写上字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．4．有100张卡片(编号从1号到100号)，从中任取1张，取到卡号是7的倍数的概率为________．5．(2011·大理模拟)在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(用分数表示).探究点一 基本事件的概率例1 投掷六个面分别记有1,2,2,3,3,3的两颗骰子．(1)求所出现的点数均为2的概率；(2)求所出现的点数之和为4的概率．变式迁移1一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球．问：(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？探究点二古典概型的概率计算例2班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；(2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率．变式迁移2同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．探究点三古典概型的综合问题例3(2009·山东)汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种A类轿车10辆．(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．变式迁移3为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．(1)求该总体的平均数；(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．分类讨论思想的应用例(12分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．多角度审题本题属于求较复杂事件的概率，关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，联想掷骰子试验，把红桃2、红桃3、红桃4和方片4分别用数字2,3,4,4′表示，抽象出基本事件，把复杂事件用基本事件表示，找出总体I包含的基本事件总数n及事件A 包含的基本事件个数m ，用公式P(A)＝m n求解． 【答题模板】解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同情况．[6分](2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为23.[9分] (3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，故甲胜的概率P 1＝512，同理乙胜的概率P 2＝512.因为P 1＝P 2，所以此游戏公平．[12分] 【突破思维障碍】(1)对一些较为简单、基本事件个数不是太大的概率问题，计数时只需要用枚举法即可计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，但应特别注意：计算时要严防遗漏，绝不重复．(2)取球模型是古典概型计算中的一个典型问题，好多实际问题都可以归结到取球模型上去，特别是产品的抽样检验，解题时要分清“有放回”与“无放回”，“有序”与“无序”等条件的影响．【易错点剖析】1．题目中“红桃4”与“方片4”属两个不同的基本事件，应用不同的数字或字母标注．2．注意“抽出的牌不放回”对基本事件数目的影响．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·浙江宁波十校联考)将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为( )A .1936B .12C .59D .17362．(2009·福建)已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458569 683 431 257 393 027 556 488730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.153．(2011·西南名校联考)连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A .512B .712C .13D .124．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P(a ，b)，记“点P(a ，b)落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2,5D ．3,45．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A.112B.110C.15D.310二、填空题(每小题4分，共12分)6．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人． 7．(2011·上海十四校联考)在集合{x |x ＝n π6，n ＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________． 8．(2009·江苏)现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·北京朝阳区模拟)袋子中装有编号为a ，b 的2个黑球和编号为c ，d ，e 的3个红球，从中任意摸出2个球．(1)写出所有不同的结果；(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；(3)求至少摸出1个黑球的概率．10．(12分)(2010·天津滨海新区五校联考)某商场举行抽奖活动，从装有编号0,1,2,3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．(1)求中三等奖的概率；(2)求中奖的概率．11．(14分)(2011·广州模拟)已知实数a ，b ∈{－2，－1,1,2}．(1)求直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率；(2)求直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率．。