2013届人教A版理科数学课时试题及解析(57)排列、组合B.pptx

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排列组合二项式定理概率统计（附高考预测）一、本章知识结构：二、重点知识回顾 1.排列与组合⑪ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.⑫ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.⑬ 排列与组合的主要公式 ①排列数公式：)1()1()!(!+-⋅⋅⋅-=-=m n n n m n n A m n (m ≤n) A n n =n! =n(n ―1)(n ―2) ·…·2·1. ②组合数公式：12)1()1()1()!(!!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯+-⋅⋅⋅-=-=m m m n n n m n m n C m n (m ≤n).③组合数性质：①m n n m n C C -=(m ≤n). ②n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++③1314202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n n C C C C C2.二项式定理 ⑪ 二项式定理(a +b)n =C 0n a n +C 1n a n －1b+…+C r n a n －r b r +…＋C n n b n ，其中各项系数就是组合数C r n ，展开式共有n+1项，第r+1项是T r+1 =C r n a n －r b r .⑫ 二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项T r+1=C r n a n －r b r (r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。

⑬ 二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C r n = C rn n - (r=0,1,2,…,n).②若n 是偶数，则中间项(第12+n 项)的二项公式系数最大，其值为C 2n n；若n 是奇数，则中间两项(第21+n 项和第23+n 项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C21-n n= C21+n n.③所有二项式系数和等于2n ，即C 0n +C 1n ＋C 2n +…+C nn =2n .④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C 0n +C 2n +…=C 1n +C 3n+…=2n ―1. 3.概率（1）事件与基本事件：:S S S ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩随机事件在条件下,可能发生也可能不发生的事件事件不可能事件:在条件下,一定不会发生的事件确定事件必然事件:在条件下,一定会发生的事件基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．（2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化．（3）互斥事件与对立事件：（4）古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型．几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．（5）古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式：()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数．几何概型的概率计算公式：()A P A =构成事件的区域长度(面积或体积)试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)．两种概型概率的求法都是“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同．（6）概率基本性质与公式①事件A 的概率()P A 的范围为：0()1P A ≤≤．②互斥事件A 与B 的概率加法公式：()()()P A B P A P B =+ ． ③对立事件A 与B 的概率加法公式：()()1P A P B +=．（7）如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是p n (k) = C k np k (1―p)n ―k . 实际上，它就是二项式[(1―p)+p]n 的展开式的第k+1项. （8）独立重复试验与二项分布①．一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；②．二项分布的概念：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1)(012)k kn k n P X k C p p k n -==-= ，，，，，．此时称随机变量X服从二项分布，记作~()X B n p ，，并称p 为成功概率．4、统计（1）三种抽样方法 ①简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，…，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性． ②系统抽样系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况．系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样．系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔k ，当N n（Ｎ为总体中的个体数，n 为样本容量）是整数时，N k n=；当N n不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n 整除，这时N k n'=；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l ，再按事先确定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个编号()l k +，将()l k +加上k ，得到第3个编号(2)l k +，这样继续下去，直到获取整个样本． ③分层抽样当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样．分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本．（2）用样本估计总体样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．①用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤．画样本频率分布直方图的步骤：求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．②茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程度，其计算公式为s=．有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，两者实质上是一样的．（3）两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解．分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系：如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其对应的方程叫做回归直线方程．在本节要经常与数据打交道，计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器．（4）求回归直线方程的步骤：第一步：先把数据制成表，从表中计算出211nni i i i i x y x y x ==∑∑，，，；第二步：计算回归系数的a ，b ，公式为1112211()()()n n ni i i i i i i n ni i i i n x y x y b n x x a y bx =====⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑，；第三步：写出回归直线方程 y bx a =+．（4）独立性检验①22⨯列联表：列出的两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为12{,}x x 和12{,}y y 的样本频数表称为22⨯列联表1构造随机变量22()()()())n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）得到2K 的观察值k 常与以下几个临界值加以比较：如果 2.706k >，就有0090的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系；如果 3.841k>就有0095的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果 6.635k>就有0099的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果低于 2.706k≤，就认为没有充分的证据说明变量X和Y是有关系．②三维柱形图：如果列联表1的三维柱形图如下图由各小柱形表示的频数可见，对角线上的频数的积的差的绝对值-较大，说明两分类变量X和Y是有关的，否则的话是无关的．||ad bc图重点：一方面考察对角线频数之差，更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立性检验的思路方法。

2013年数学试卷(理科)解析卷

2013年高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选B．2．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．3．（5分）（2013•新课标Ⅰ）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．4．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．5．（5分）（2013•新课标Ⅰ）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选A．6．（5分）（2013•新课标Ⅰ）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C． D．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A．7．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6与a m，进而得到公差d，由前n项和公式【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，故选C．8．（5分）（2013•新课标Ⅰ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选A．9．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．10．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（）A．B．C．D．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．11．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D12．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n 的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，又由题意，b n+1﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，∴b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．14．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣115．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣16．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2013•新课标Ⅰ）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．18．（12分）（2013•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．19．（12分）（2013•新课标Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：故EX=400×+500×+800×=506.2520．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．21．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．23．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．24．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x ﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（Ⅱ）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a ﹣2，由此解得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．。

2013届高考理科数学一轮复习课件11.2排列、组合

4．某兴趣小组有 4 名男生，5 名女生，从中选派 5 名学生参加一次活动，要求有女生且女生人数必须少于男生的选派方法有________种．(用数字作答)
答案 45
解析据题意知参加活动的情况可分为两类：一类是 4 男 1 女，另一类是 3 男 2 女，分别是 C15，C25C34种不同的情况，故共有 C15＋C25C34＝45 种方法．
n！ n－m！.
规定 0！＝ 1 .
(2)组合数公式
nn－1n－2…n－m＋1
Cmn ＝
m！
规定 C0n＝ 1 .
n！＝ m！n－m！.
3．组合数的两个性质 (1)Cmn ＝ Cnn－m ； (2)Cmn＋1＝ Cmn －1＋Cmn .
1．从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要有甲型与乙型电视机各 1 台，不同的取法有 ________．
再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 A14A55 A22＝960 种方法．
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有：法一：(排除法)A77－A66·A22＝3600(种)．法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A55种方法，此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有 A26种方法，所以一共有 A55 A26＝3600 种方法．
【答案】 A
(2)(2010·山东理)某台小型晚会由 6 个节目组成，演
出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能
排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演
出顺序的编排方案共有( )
A．36 种
B．42 种
C．48 种

2013年全国高考理科数学试题分类汇编10：排列、组合及二项式定理

2013年全国高考理科数学试题分类汇编10：排列、组合及二项式定理一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a（）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-【答案】D2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A ．243B ．252C ．261D ．279【答案】B3 ．（2013年高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是（）A ．56B ．84C ．112D ．168【答案】D5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（）A ．14B ．13C ．12D ．10【答案】B6 ．（2013年上海市春季高考）10(1)x +的二项展开式中的一项是（）A ．45xB ．290xC ．3120xD ．4252x【答案】C7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））使得()3nx n N n+⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B8 ．（2013年高考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（）A ．9B ．10C ．18D ．20【答案】C9 ．（2013年高考陕西卷（理））设函数61,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x>0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为（）A ．-20B ．20C ．-15D ．15【答案】A10．（2013年高考江西卷（理））(x 2-32x )5展开式中的常数项为（）A ．80B ．-80C ．40D ．-40【答案】C 二、填空题11．（2013年上海市春季高考）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2236=23⨯,所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________【答案】483612．（2013年高考四川卷（理））二项式5()x y +的展开式中,含23xy 的项的系数是_________.(用数字作答)【答案】1013．（2013年上海市春季高考）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).【答案】4514．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)【答案】48015．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答) 【答案】59016．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））6x ⎛⎝的二项展开式中的常数项为______.【答案】1517．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ,则=A ________. 【答案】10-18．（2013年高考上海卷（理））设常数a R ∈,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =【答案】2a=-19．（2013年高考北京卷（理））将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.【答案】9620．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））若8x⎛⎝的展开式中4x的系数为7,则实数a=______.【答案】2121．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____________种.(用数字作答).【答案】480。

2013全国各地高考理科数学试题及详解汇编(一).pptx

【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。
【解析】∵|
f
(x)
|=
x2 ln(x
2x, x 0 1), x 0
，∴由|
f
(x)
|≥
ax
x 0
得，
x 2
2x
ax
x 0 且 ln(x 1)
2
2x
ax
可得a x 2 ，则 a ≥-2，排除Ａ，Ｂ，
当 a =1 时，易证ln(x 1) x 对 x 0 恒成立，故 a =1 不适合，排除C，故选 D.
12、设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn，△AnBnCn 的面积为 Sn，n=1,2,3,…
若 b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝cn＋2 an，cn＋1＝bn＋2 an，则( )
4、已知双曲线C ： x2 y2 1（ a 0,b 0 ）的离心率为 5 ，则 C 的渐近线方程为
a2 b2
2
A . y 1 x B . y 1 x C . y 1 x D . y x
4
3
2
【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.
【解析】由题知， c
5
5
，即
=
c2
a 2 b
2
2
= 2k , k z ，∴ cos = cos(2k ) =sin = 2 5 .
2
2
5
16、若函数 f (x) = (1 x2 )(x2 ax b) 的图像关于直线 x =－2对称，则 f (x) 的最大值是
. 【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.
x2 y2

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(29)等比数列A

作 (二十九 )A [ 第 29等比数列][： 35 分分： 80分]基身1．数列 {( －1) n} 的前 n 和 S n，随意正整数n， S n＝ ()A.n[ － 1 n－ 1]－ 1 n－1＋ 12 B.2C.－1 n＋ 1－ 1 n－ 12 D.22．等比数列 { a n} 中， a2＝ 3， a7·a10＝36， a15＝ ()A．12 B．－ 12C．6 D．－63．等比数列 { a n} 的公比 q＝2，前 n 和 S n，S4的 ()151577a3A. 4B. 2C.4D.24．已知 { a n} 是增等比数列，a2＝ 2， a4－ a3＝ 4，此数列的公比q＝ ________.能力提高5．已知等比数列 { a n} 中， a3＝ 2，其前 n 的 T n＝ a1 a2⋯ a n， T5等于 () A．8 B．10 C．16 D．326．数列 { a n} 是公差不 0 的等差数列， a1＝2，且 a1，a5，a13成等比数列，数列{ a n} 的前 n 和 S n＝ ()22A.n ＋ 7nB.n＋5n4433C.n2＋3n D． n2＋ n247．甲、乙两工厂的月在2012 年元月份同样，甲此后每个月比前一个月增添相同的，乙此后每个月比前一个月增添的百分比同样．到 2012 年 11 月份两工厂的月又同样．比甲、乙两工厂2012 年 6 月份的月大小，有 () A．甲的小于乙的B．甲的等于乙的C．甲的大于乙的D．不可以确立8．已知各均数的数列{ a n } 等比数列，且足a1＋ a2＝ 12， a2a4＝ 1， a1＝()A．9 或1 B.1或 16C.1或1169D．9 或 169169．S n等比数列 { a n} 的前 n 和， 8a2－ a5＝ 0，S4＝ ________.S210．在等比数列 { a n } 中，若 a1＝1，a4＝－ 4，公比 q＝ ________；|a1|＋ |a2 |＋⋯＋ |a n| 2＝________.11．在等比数列 { a n} 中，若 a1＋ a2＋⋯＋ a5＝31，a3＝1，1 ＋1 ＋⋯＋1＝ ________. 164a1a2a512． (13 分 ) 数列 { a n} 是一等差数列，数列2{ b n } 的前 n 和 S n＝ (b n－ 1)，若 a2＝3b1， a5＝b2.(1)求数列 { a n} 的通公式；(2)求数列 { b n} 的前 n 和 S n.难点打破13． (12 分) 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这n＋ 2 个数组成递加的等比数列，将这 n＋ 2 个数的乘积记作 T n，再令 a n＝ lgT n， n≥1.(1)求数列 { a n} 的通项公式；(2)设 b n＝ tana n·tana n＋1，求数列 { b n} 的前 n 项和 S n.作 (二十九 )A【基身】由已知，数列 {( －1) n} 是首与公比均－ 11．D [分析 ] 的等比数列，其前 n 和S n ＝－ 1 [1－－ 1 n ] ＝－ 1 n－ 11－－1 ，故 D.22． A[分析 ] 由等比数列的性，有a 2·a 15＝ a 7·a 10＝ 36， a 15＝36＝ 12，故 A.1－ 24a 23． A[分析 ] 在等比数列 {a n } 中， S 4＝a 1＝ 15a 1， a 3 ＝ a 1·22＝ 4a 1， S 4＝ 15，故1－ 2 a 3 4A.a 4－ a 3＝ a 2q 2－ a 2q ＝ 4，即 2q 2－ 2q ＝ 4，4． 2[分析 ] 因 {a n } 等比数列，所以所以 q 2－q － 2＝ 0，解得 q ＝－ 1 或 q ＝2，又 {a n } 是增等比数列，所以q ＝2.【能力提高】由 a 3＝ 2，得 T 5 ＝a 1 a 2a 3a 4a 5＝a 35＝25＝ 32，故 D . 5． D [分析 ] 6． A [分析 ] 等差数列 {a n } 的公差 d ，a 5＝ a 1＋ 4d ， a 13＝ a 1＋ 12d ，由 a 1， a 5， a 13 成等比数列，得 a 25＝ a 1a 13，即 (a 1＋ 4d)2＝ a 1(a 1＋ 12d)，化，得 4d 2－ a 1d ＝ 0， ∵ a 1＝ 2， d ≠ 0，1 n n －11 n 27n∴ d ＝2， S n ＝ 2n ＋ 2 × 2＝ 4 ＋4 ，故 A.7．C [分析] 甲各个月份的数列{a n } ，乙各个月份的数列 {b n } ，数列{a n } 等差数列、数列 {b n } 等比数列，且a 1＝b 1，a 11＝b 11，故 a 6＝ a 1＋ a 112 ≥ a 1a 11＝ b 1b 11＝ b 62＝ b 6.因为等差数列 {a n } 的公差不等于0，故 a 1 ≠a 11，上边的等不可以建立，故 a 6>b 6.2a 3 a 3 8． D [分析 ] 由已知得 a 3＝ 1，所以 a 3＝ 1 或 a 3＝－ 1，公比 q ，有 q 2＋ q ＝12，当 a ＝ 1 ，解得 q ＝ 1或 q ＝－ 1，此 a ＝9 或 16；3 3 41－ 1 － 1 ＝ 12 无解，故 D.当 a ＝－ 1 ， 23q＋q8a 2－ a 5＝ 0，得 8a 1q ＝ a 1q 4，即 q3＝ 8，即 q ＝ 2.9． 5[分析 ] 由已知条件24， S 4＝ 1＋ q 2＝ 5.又 S ＝ a 1 1－ q ， S ＝ a 1 1－ q2 1－ q 4 1－ q S 21 110．－ 2 n －1 － 332 2 [分析 ] 由 a 4＝ a 1q ＝ q ＝－ 4，可得 q ＝－ 2；所以，数列 {|a n |} 是首2 1n1 2 的等比数列，所以 |a 1|＋ |a 22 1－ 2 2 n － 1 － 1 .，公比 |＋⋯＋ |a n |＝＝22 1－ 211． 31[分析 ] 等比数列 {a n } 的公比 q ，由 a 1＋ a 2＋⋯＋ a 5 ＝31，得16431a 1(1＋ q ＋⋯＋ q )＝16，由 a 3＝ 14，得 a 1q 2＝ 14， a 12q 4＝ 161，111 11＋⋯＋1a 1 1＋ q ＋⋯＋ q 4∴ a 1 ＋a 2＋⋯＋ a 5＝a 1 1＋ q q 4＝a 12q 4＝ 31.212． [解答 ] (1) ∵ S 1 ＝3(b 1 －1)＝ b 1，∴ b 1＝－ 2.2又 S 2＝ 3(b 2－ 1)＝b 1＋b 2＝－ 2＋ b 2， ∴ b 2＝ 4，∴ a 2＝－ 2， a 5＝ 4.a 5－a 2 6∵ {a n } 一等差数列，∴公差 d ＝ 3 ＝ 3＝ 2，即 a n ＝－ 2＋ (n － 2) ·2＝ 2n － 6.2 2②，(2)∵ S n ＋ 1＝(b n ＋ 1－ 1)①， S n ＝ (b n －1) 332①－②得 S n ＋ 1 －S n ＝ 3(b n ＋1 － b n )＝ b n ＋ 1，∴ b n ＋ 1＝－ 2b n ，∴数列 {b n } 是一等比数列，公比 q ＝－ 2， b 1＝－ 2，即 b n ＝ (－ 2)n .2 n ∴ S n ＝ 3[( － 2) － 1]．【点打破】13． [思路 ] 本考等比和等差数列，数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知，考灵巧运用基本知解决的能力，合运算求解能力和新思能力．[解答 ] (1) t 1， t 2，⋯， t n ＋ 2 组成等比数列，此中 t 1 ＝1， t n ＋ 2＝ 100， T n ＝ t 1·t 2·⋯ ·t n ＋ 1·t n ＋ 2，①T n ＝ t n ＋ 2 ·t n ＋ 1·⋯ ·t 2·t 1，②①×②并利用 t i t n ＋ 3－ i ＝ t 1t n ＋ 2＝102(1 ≤i ≤ n ＋ 2)，得T 2＝ (t t ＋ ) ·(t t ＋ ) ·⋯·(t ＋ t ) ·(t ＋ t )＝ 102(n ＋ 2) ．n 1 n 2 2 n 1 n 1 2 n 2 1∴ a n ＝ lgT n ＝ n ＋2， n ∈ N * . (2)由意和 (1)中算果，知b n ＝ tan(n ＋ 2) ·tan(n ＋ 3)， n ≥ 1，另一方面，利用tan k ＋ 1 － tanktan1＝ tan[( k ＋ 1) －k] ＝，得 tan(k ＋ 1) ·tank ＝tan k ＋ 1－tank－1.tan1nn ＋2所以 S n ＝b k ＝tan(k ＋1) ·tankk ＝1k ＝3＝ n ＋2 tan k ＋ 1 － tank － 1k ＝ 3tan1＝t an n ＋ 3 － tan3－ n.tan1。

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(57)排列、组合A

作 (五十七 )A [第 57摆列、合][： 35 分分：80分]基身1． a∈N*，且 a<20 ， (27－ a)(28－ a)⋯ (34－ a)等于 ()827－ a78A ． A 27－aB ．A 34－a C． A 34－a D． A34－a2．从 20 名男同学， 10 名女同学中任 3 名参加体能，到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的不一样法的种数()A．1 260B．4 060C．1 140D．2 8003．某位有 7 个在一同的位，有 3 不一样型的需停放，假如要求节余的 4 个位在一同，不一样的停放方法的种数()A．16B． 18 C． 24 D ．324．一天有文、数学、英、物理、化学、生物、体育七，体育不在第一上，数学不在第六、七上，天表的不一样排法种数()7525A．A7－A5B．A4A5C．A 51A 61A 55D． A 66＋ A 41A 51A 55能力提高5．用 1、2、3、4、 5、6 成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、 5 有且只有两个相，不一样的排法种数()A．18 B．108C． 216D． 4326．从 10 名大学生中 3 个人担当村助理，甲、乙起码有 1 人入，而丙没有入的不一样法的种数()A．85B． 56 C． 49 D ．287．用 0到910个数字，能够成没有重复数字的三位偶数的个数()A ． 324 B． 328C． 360D． 6488．研究性学小有 4 名同学要在同一天上、下午到室做A，B， C，D， E 五个操作，每个同学上、下午各做一个，且不重复，若上午不可以做 D ，下午不可以做 E ，不一样的安排方式共有()A．144 种B．192 种C．216 种D．264 种9． 2010 年上海世博会某国将展出 5 件作品，此中不一样法作品 2 件、不一样画作品 2 件、志性建筑 1 件，在展台大将 5 件作品排成一排，要求 2 件法作品必相， 2 件画作品不可以相，国展出5件作品不一样的方案有________种(用数字作答) ．10．从 5 名男医生、 4 名女医生中 3 名医生成一个医小分，要求男、女医生都有，不一样的方案共有 ________种 (数字回答 )．11．由 0,1,2，⋯， 9 十个数字成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的等于 8 的个数 ________个．12． (13 分)有六名同学按以下方法和要求分，各有不一样的分方法多少种？(1)分红三个，各人数分1、 2、 3；(2)分红三个去参加三不一样的，各人数分1、 2、 3；(3)分红三个，各人数分2、 2、 2；(4)分红三个去参加三不一样的，各人数分2、 2、 2；(5)分红四个，各人数分1,1,2,2；(6)分红四个去参加四不一样的活，各人数分1、 1、 2、 2.难点打破13． (12分 )从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的北京奥运冠军中选出10 名作“夺冠之路”的励志报告．(1)若每个大项中起码选派两人，则名额分派有几种状况？(2)若将 10 名冠军分派到11 个院校中的9 个院校作报告，每个院校起码一名冠军，则有多少种不一样的分派方法？作 (五十七 )A【基身】1． D[ 分析 ] A 348－a＝ (27－ a)(28－ a)⋯ (34－a)．2．D[分析 ]基本领件数是C303，此中不切合要求的基本领件个数是C203＋ C103，故所求的种数 C3－ (C3＋ C3＝ 2 800.3020103 的全摆列，即 4× A 33＝ 24.3． C[分析 ]四个位在一同有四种可能，再乘以4．D[分析]若数学在第一，有排法 A 66种；若数学不在第一，数学排法有 A11A5115 4，体育排法有 A5，其他排法有5，依据乘法原理此的排法是 A 4A 5A5.依据加法原理，的排法种数 A 66＋A 41A51 A 55.【能力提高】C32A 22种方法；第二步，将5． D[分析 ]第一步，先将1、3、 5 分红两，共2、4、6排成一排，共 A 33种方法；第三步：将两奇数插入三个偶数形成的四个空位，共 A 42种方法．由乘法原理，共有 C32A 22A 33A 42＝ 3× 2× 6× 12＝ 432 种排法．6． C[分析 ]方法1：由条件可分两：一是甲、乙两人只有一个入，法有C21·C72＝ 42；另一是甲、乙都入，法有C22·C71＝ 7.因此共有 42＋7＝ 49 种法．故C.方法 2：甲、乙均不入的有C3种，数是 C3，故甲、乙起码一人入的方法数是C3－C73＝799 84－ 35＝ 49.A 92＝ 9× 8＝ 72 个； 0 不排在个位，有 A 41·A81·A 81＝7．B[分析]当 0 排在个位，有4× 8× 8＝ 256 个．由分数原理，得切合意的偶数共有72＋ 256＝ 328 个．故 B.8．D[分析 ]依据意得，上午要做的是A，B，C，E，下午要做的是 A，B，C，D ，且上午做了A，B，C 的同学下午不再做同样的．先安排上午，从 4 位同学中任一人做 E ，其他三人分做A， B， C ，有 C41·A 33＝ 24 种安排方式．再安排下午，分两：①上午就 E 的同学下午 D ，另三位同学A， B，C 位摆列，有 2 种方法，不一样的安排方式有N1＝ 1× 2＝ 2 种；②上午 E 的同学下午A，B，C 之一，此外三位从剩下的两和 D 一共三中，但必与上午的目开，有 3种方法，不一样的安排方式有N2＝C31·3＝ 9 种．于是，不一样的安排方式共有N＝ 24× (2＋9) ＝ 264 种．故 D.9．24[分析 ]把需要相的两个元素看做一个整体，而后与不相的元素外的元素行摆列，在隔出的空位上安排需要不相的元素.2 件法作做看作一个整体，方法数是 A 22＝2，把个整体与志性建筑作品摆列，有A22种摆列方法，此中分开了三个空位，在此中插入 2 件画作品，有方法数 A 32＝ 6.依据乘法原理，共有方法数2×2× 6＝ 24(种) ．10．70[分析 ] 分 1 名男医生 2 名女医生、 2 名男医生 1 名女医生两种状况，或许用接法．直接法： C51C42＋C52C41＝ 70.接法： C93－ C53－ C43＝ 70.2211．210[分析 ] 假如个位数和百位数是0,8，方法数是 A2A 8＝ 112；假如个位数和百位数是 1,9，因为首位不可以排 0，方法数是 A 22C71C71＝ 98.故数是 112＋ 98＝ 210.12． [解答123] (1) 即 C6C5C3＝ 60.(2)即 C61C52 C33A 33＝ 60× 6＝ 360.222C6C4C2＝15.(3)即3A 3222(4)即 C6C4 C2＝ 90.1122C6C5C4C2(5)即 A 22·A22＝ 45.1122(6)C 6C5C4C2＝ 180.【点打破】13． [解答 ] (1) 名分派只与人数相关，与不一样的人没关．每大中派两人，节余两个名，C41＝ 4 种，当节余两人出自同一大，名分派状况有当节余两人出自不一样大，名分派状况有C2＝ 6 种．4∴有 C14＋ C24＝10 种．929(2)从 11 个院校中选9 个，再从 10 个冠军中任取 2 个组合，再进行摆列，有 C11C10A 9＝898 128 000.。

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(4)函数及其表示

课时作业 (四 ) [第 4 讲函数及其表示 ][时间： 45 分钟分值： 100 分]基础热身1．以下各组函数中表示同样函数的是( )552A ． y ＝ x 与 y ＝ xx － 1x ＋3C ．y ＝与 y ＝ x ＋ 31D ． y ＝ x 与 y ＝ x 02．已知 f ：x →sinx 是会合 A(A? [0,2π]) 到会合 B ＝0，1的一个映照，则会合A 中的元2素最多有 ( )A ．4个B ．5 个C ．6 个D ．7 个2111x3．已知 f(x)＝ 1＋x 2，那么 f(1) ＋f(2)＋ f 2 ＋ f(3) ＋f 3 ＋ f(4) ＋ f 4＝()7 9 A ． 3 B.2 C ．4 D. 24．某学校展开研究性学习活动，一组同学获取了下边的一组实验数据：x 1.99 3 4 5.1 6.12y 1.5 4.04 7.5 12 18.01现准备用以下四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，此中最靠近的一个是 ()A ． y ＝ 2x － 2B ． y ＝1 x2 C ．y ＝ log 2x D ．y ＝ 12(x 2－1)能力提高15．函数 y ＝log 2 3x －2 的定义域是 ()A ． [1，＋∞ )2，＋∞B. 32 2 C. 3，1 D.3， 126．函数 f( x)＝ 2x － 2的值域是 ()A ． (－∞，－ 1)B ． (－ 1,0)∪ (0，＋∞ )C ．( －1，＋∞ )D ． (－∞，－ 1)∪ (0，＋∞ )x 2＋ 2x － 1， x ≥ 0， 7．已知函数 f(x)＝则对随意 x 1，x 2∈ R ，若 0<|x 1|<|x 2|，以下不等x 2－ 2x － 1， x<0 ，式恒建立的是 ( )A ． f(x 1)－ f(x 2)>0B ． f( x 1)－ f(x 2 )<0C ．f(x 1)＋ f(x 2)<0D ． f( x 1)＋ f(x 2 )>08．定义在实数集上的函数 f(x)，假如存在函数 g(x)＝ Ax ＋ B(A ，B 为常数 )，使得 f( x)≥ g(x)对于一确实数 x 都建立，那么称 g(x)为函数 f( x)的一个承托函数．给出以下命题：①对给定的函数 f(x)，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②定义域和值域都是R 的函数 f(x)不存在承托函数；x12的一个承托函数．④ g(x)＝ x 为函数 f( x)＝ x2( )此中，正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ． 39．图 K4 － 1 中的图象所表示的函数的分析式为( )图 K4－13A ． y ＝ 2|x － 1|(0≤ x ≤2)B ．y ＝ 332 － |x －1|(0≤x ≤ 2)2C ．y ＝ 3－ |x －1|(0≤x ≤2)2D ． y ＝ 1－ |x －1|(0≤x ≤ 2)10．已知 f2＋ 1＝ lgx ，则 f(x)＝ ________. x－ log 3 x ＋ 1 x>6 ，8，11．设 f(x)＝ 3x －6－ 1 x ≤ 6 知足 f(n)＝－， 9则 f(n ＋ 4)＝ ________.12．设 f(x)的定义域为 D ，若 f(x)知足下边两个条件，则称 f(x)为闭函数．① f(x)在 D 内是单一函数；②存在 [a ，b]? D ，使 f(x)在 [a ， b]上的值域为 [ a ，b]．假如 f(x)＝ 2x ＋1＋ k 为闭函数，那么 k 的取值范围是 ________．13．已知函数 f(x)＝ x 2， g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f[g(x)] ＝4x 2－ 20x ＋ 25，则函数 g(x)＝ ________.14．(10 分 )已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和－ 2，且 f(x)最小值是－ 1，函数 g(x)与 f(x)的图象对于原点对称．(1) 求 f(x)和 g(x)的分析式；(2) 若 h(x)＝f(x)－ λg (x)在区间 [ － 1,1]上是增函数，务实数 λ的取值范围．15． (13 分)解答以下问题：(1)若 f(x ＋ 1)＝2x 2＋1，求 f(x)；(2)若 2f( x)－ f(－ x)＝ x ＋ 1，求 f(x)；x(3)若函数 f(x)＝， f(2)＝ 1，且方程 f(x)＝ x 有独一解，求 f(x)．ax ＋ b难点打破16． (12 分 )设 f( x)＝ax2＋ bx，则能否存在实数a，使得起码有一个正实数b，使函数f(x)的定义域和值域同样？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明原因．课时作业 ( 四)【基础热身】1． D [ 分析 ] 对于 A ，两函数的对应法例不一样；对于 B ，两函数的定义域不一样；对于 C ，两函数的定义域不一样；对于 D ，两函数的定义域都为{ x|x ∈ R ， x ≠ 0} ，对应法例都可化为 y ＝ 1(x ≠ 0)．2． B [ 分析 ] 当 sinx ＝ 0 时， x ＝ 0， π， 2π；1 π 5π 当 sinx ＝ 2时， x ＝ 6， 6 .所以，会合 A 中的元素最多有5 个．x 21 ＝ 1 3． B [分析 ] 2可得 f x 2，由 f(x) ＝1＋ x1＋ x 1 1所以 f(x)＋ f x＝ 1，又∵ f(1) ＝ 2，f(2) ＋ f 1＝1，2f(3) ＋ f 1 ＝1， f(4)＋ f 1＝ 1，3 4∴ f(1) ＋ f(2)＋ f 1 ＋ f(3) ＋f 1 ＋ f(4) ＋ f 1 ＝7.2 3 4 21 x是单一递减的，也不4．D [分析 ] 直线是平均的，应选项 A 不是；指数函数 y ＝ 2 切合要求；对数函数 y ＝ log 2x 的增加是迟缓的，也不切合要求；将表中数据代当选项D 中，基本切合要求．【能力提高】115．D [分析 ]由题知 log 2(3x － 2)≥ 0＝log 21，又知对数函数的真数大于零，所以0<3x－ 2≤ 1，解得 2<x ≤ 1.31 x －1－ 1>－ 1，联合反比率函数的图象可知f(x)∈ (－∞，－ 1)∪ (0， 6． D [分析 ] f x ＝ 2＋∞ )，应选 D. x 2＋ 2x －1， x ≥ 0，7．B[ 分析 ] f(x)＝为偶函数，在区间 (0，＋∞ )上单一递加，所以x 2 －2x － 1， x<0，f(x 1)－f(x 2)<0.8． C [分析 ] ①正确，②错误；③正确；④错误． 9． B [分析 ] 从图象上看出 x ＝0 时 y ＝ 0，代入各个选项就能够清除 A 、 C ，x ＝ 1 时 y＝ 3，代当选项， D 就能够清除． 222＋ 1＝ t(t ＞ 1)，则 x ＝ 2 ，10． lg x － 1(x ＞1)[ 分析 ] 令 x t － 1∴ f(t)＝ lg 2，即 f(x)＝ lg 2(x ＞ 1)．t － 1x － 111．－ 2 [分析 ]因为 x>6 时函数的值域为 (－∞，－ log 37)，－ 8不在 (－∞，－ log 37)内，9n －68所以 n ≤ 6，由 3－1＝－，解得 n ＝ 4，所以 f(n ＋ 4)＝ f(8)＝－ 2.1 92x ＋ 1＋ k 为－ 1，＋∞ 上的增函数，又[分析 ] f(x)＝ f(x)在 [a ， b]12．－ 1<k ≤－ 2 2上的值域为 [a ，b]，∴ f a ＝ a ，2x ＋ 1＝即 f(x)＝ x 在－1，＋∞ 上有两个不等实根，即f b ＝ b ， 2x －k 在－ 1，＋∞ 上有两个不等实根．21，＋∞方法一：问题可化为 y ＝ 2x ＋ 1和 y ＝x － k 的图象在－上有两个不一样交点．对2于临界直线 m ，应有－ k ≥ 1，即 k ≤－ 1 .对于临界直线n ， y ′＝ ( 2x ＋ 1)′＝1 ，令2 22x ＋ 11＝1，得切点 P 横坐标为 0，∴ P(0,1)．2x ＋ 1∴直线 n ： y ＝ x ＋1，令 x ＝ 0，得 y ＝ 1，1∴－ k ＜ 1，即 k>－1.综上，－ 1< k ≤－.方法二：化简方程2x ＋1＝ x － k ，得 x 2－ (2k ＋ 2)x ＋ k 2－ 1＝ 0.g －1≥ 0，2令 g(x) ＝ x 2－ (2k＋ 2)x ＋ k 2－ 1 ，则由根的分布可得1 ，即k ＋ 1>－2>0，1 2≥0，k ＋ 2 k>－ 3， 2 k>－ 1，解得 k>－1.又 2x ＋ 1＝ x －k ，∴ x ≥ k ，∴ k ≤－112.综上，－ 1<k ≤－ .213． 2x － 5 [分析 ] 由 g(x)为一次函数，设 g(x)＝ax ＋ b(a>0)．因为 f[g(x)] ＝ 4x 2 － 20x ＋ 25，所以 (ax ＋ b)2＝ 4x 2－ 20x ＋ 25，2 222即 a x ＋ 2abx ＋ b ＝ 4x － 20x ＋ 25，解得 a ＝ 2， b ＝－ 5，故 g(x)＝ 2x － 5.214． [解答 ] (1) 依题意，设 f(x)＝ ax(x ＋ 2)＝ ax ＋ 2ax(a>0)．∴ f(－ 1)＝－ 1，即 a － 2a ＝－ 1，得 a ＝ 1.∴ f(x)＝x 2＋ 2x.由函数 g(x)的图象与 f(x)的图象对于原点对称，∴ g(x)＝－ f(－ x)＝－ x 2＋ 2x.(2)由 (1) 得 h( x)＝x 2 ＋ 2x － λ(－ x 2＋ 2x)＝ (λ＋ 1)x 2＋ 2(1－λ)x. ①当 λ＝－ 1 时， h(x)＝4x 知足在区间 [ － 1,1] 上是增函数；②当 λ<－ 1 时， h( x)图象的对称轴是 x ＝ λ－ 1，λ＋ 1 λ－ 1则≥ 1，又 λ<－ 1，解得 λ<－1；λ－ 1③当 λ>－ 1 时，同理则需 ≤－ 1，又 λ>－ 1，解得－ 1< λ≤ 0.综上，知足条件的实数 λ的取值范围是 (－∞， 0] ．15． [解答 ] (1) 令 t ＝ x ＋ 1，则 x ＝ t － 1，22所以 f(t)＝ 2(t － 1) ＋ 1＝ 2t － 4t ＋ 3.(2)因为 2f(x)－ f(－ x)＝ x ＋ 1，用－ x 去替代等式中的 x ，得 2f(－ x)－ f(x)＝－ x ＋ 1，2f x － f － x ＝ x ＋ 1，即有2f － x －f x ＝－ x ＋ 1，解方程组消去f(－ x)，得 f(x)＝ x3＋ 1.2＝1，即 2a ＋ b ＝ 2.(3)由 f(2)＝ 1 得 2a ＋ bx11－ b由 f(x) ＝x 得 ax ＋ b ＝x ，变形得 xax ＋ b － 1 ＝ 0，解此方程得： x ＝ 0 或 x ＝ a .又因为方程有独一解，所以 1－ b＝ 0，解得 b ＝ 1， a代入 2a ＋ b ＝ 2 得 a ＝ 1，2所以所求分析式为f(x)＝ 2x.x ＋ 2【难点打破】16． [解答 ] 要使分析式 f(x)＝ ax 2 ＋bx 存心义，则 ax 2＋ bx ＝x(ax ＋ b)≥ 0.当 a>0 时，函数的定义域为－∞，－b∪ [0，＋∞ )，因为函数的值域为非负数，所以a a>0 不切合题意；当 a ＝0 时， f(x)＝ bx ，此时函数的定义域为 [0，＋∞ )，函数的值域也为 [0 ，＋∞ )，切合题意；bb222 b当 a<0 时，函数的定义域为0，－ a ，又 f(x)＝ax ＋ bx ＝a x ＋2a－ 4a ，∵ 0<－ b <－ b ，∴当 x ＝－ b时，函数 f(x)有最大值－ b 2，由题意有－b 2＝－b2，2aa2a4a4aa即 a 2＝－ 4a ，解得 a ＝－ 4.综上，存在切合题意的实数 a ， a 的值为 0 或－ 4.。

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(57)排列、组合A

课时作业(五十七)A[第57讲排列、组合][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．a∈N*，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于()C．A734－a D．A834－aA．A827－a B．A27－a34－a2．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法的种数为()A．1 260 B．4 060C．1 140 D．2 8003．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为()A．16 B．18 C．24 D．324．一天有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育七节课，体育不在第一节上，数学不在第六、七节上，这天课表的不同排法种数为()A．A77－A55B．A24A55C．A15A16A55D．A66＋A14A15A55能力提升5．用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为()A．18 B．108 C．216 D．4326．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56 C．49 D．287．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．328 C．360 D．6488．研究性学习小组有4名同学要在同一天上、下午到实验室做A，B，C，D，E五个操作实验，每个同学上、下午各做一个实验，且不重复，若上午不能做D实验，下午不能做E实验，则不同的安排方式共有()A．144种B．192种C．216种D．264种9．2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有________种(用数字作答)．10．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求男、女医生都有，则不同的组队方案共有________种(数字回答)．11．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为________个．12．(13分)有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？(1)分成三个组，各组人数分别为1、2、3；(2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1、2、3；(3)分成三个组，各组人数分别为2、2、2；(4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2、2、2；(5)分成四个组，各组人数分别为1,1,2,2；(6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1、1、2、2.难点突破13．(12分)从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的北京奥运冠军中选出10名作“夺冠之路”的励志报告．(1)若每个大项中至少选派两人，则名额分配有几种情况？(2)若将10名冠军分配到11个院校中的9个院校作报告，每个院校至少一名冠军，则有多少种不同的分配方法？课时作业(五十七)A【基础热身】1．D[解析] A834－a＝(27－a)(28－a)…(34－a)．2．D[解析] 基本事件总数是C330，其中不符合要求的基本事件个数是C320＋C310，故所求的种数为C330－(C320＋C310＝2 800.3．C[解析] 四个车位连在一起有四种可能，再乘以3的全排列，即4×A33＝24.4．D[解析] 若数学课在第一节，则有排法A66种；若数学不在第一节，则数学课排法有A14，体育课排法有A15，其余课排法有A55，根据乘法原理此时的排法是A14A15A55.根据加法原理，总的排法种数为A66＋A14A15A55.【能力提升】5．D[解析] 第一步，先将1、3、5分成两组，共C23A22种方法；第二步，将2、4、6排成一排，共A33种方法；第三步：将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共A24种方法．由乘法原理，共有C23A22A33A24＝3×2×6×12＝432种排法．6．C[解析] 方法1：由条件可分为两类：一类是甲、乙两人只有一个入选，选法有C12·C27＝42；另一类是甲、乙都入选，选法有C22·C17＝7.所以共有42＋7＝49种选法．故选C.方法2：甲、乙均不入选的有C37种，总数是C39，故甲、乙至少一人入选的方法数是C39－C37＝84－35＝49.7．B[解析] 当0排在个位时，有A29＝9×8＝72个；0不排在个位时，有A14·A18·A18＝4×8×8＝256个．由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72＋256＝328个．故选B.8．D[解析] 根据题意得，上午要做的实验是A，B，C，E，下午要做的实验是A，B，C，D，且上午做了A，B，C实验的同学下午不再做相同的实验．先安排上午，从4位同学中任选一人做E实验，其余三人分别做A，B，C实验，有C14·A33＝24种安排方式．再安排下午，分两类：①上午就选E实验的同学下午选D实验，另三位同学对A，B，C实验错位排列，有2种方法，则不同的安排方式有N1＝1×2＝2种；②上午选E实验的同学下午选A，B，C实验之一，另外三位从剩下的两项和D一共三项中选，但必须与上午的实验项目错开，有3种方法，则不同的安排方式有N2＝C13·3＝9种．于是，不同的安排方式共有N＝24×(2＋9)＝264种．故选D.9．24[解析] 把需要相邻的两个元素看做一个整体，然后与不相邻的元素外的元素进行排列，在隔出的空位上安排需要不相邻的元素.2件书法作做看作一个整体，方法数是A22＝2，把这个整体与标志性建筑作品排列，有A22种排列方法，其中隔开了三个空位，在其中插入2件绘画作品，有方法数A23＝6.根据乘法原理，共有方法数2×2×6＝24(种)．10．70[解析] 分1名男医生2名女医生、2名男医生1名女医生两种情况，或者用间接法．直接法：C15C24＋C25C14＝70.间接法：C39－C35－C34＝70.11．210[解析] 如果个位数和百位数是0,8，则方法数是A22A28＝112；如果个位数和百位数是1,9，则由于首位不能排0，则方法数是A22C17C17＝98.故总数是112＋98＝210.12．[解答] (1)即C16C25C33＝60.(2)即C16C25C33A33＝60×6＝360.(3)即C26C24C22A33＝15.(4)即C26C24C22＝90.(5)即C16C15A22·C24C22A22＝45.(6)C16C15C24C22＝180.【难点突破】13．[解答] (1)名额分配只与人数有关，与不同的人无关．每大项中选派两人，则还剩余两个名额，当剩余两人出自同一大项时，名额分配情况有C14＝4种，当剩余两人出自不同大项时，名额分配情况有C24＝6种．∴有C14＋C24＝10种．(2)从11个院校中选9个，再从10个冠军中任取2个组合，再进行排列，有C911C210A99＝898 128 000.。

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(28)等差数列B

作 (二十八 )B [ 第 28 等差数列 ][ ： 35 分分： 80 分]基身1．数列 { a n } 随意 n ∈ N *，足 a n ＋ 1＝ a n ＋ 3，且 a 3＝ 8， S 10 等于 ( )A ． 155B ． 160C ．172D ． 2402．等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，若 a 1＋ a 9＋ a 11＝ 30，那么 S 13 的是 ( )A ．65B ．70C ．130D ． 2603．在等差数列 { a n } 中， a 1＝ 0，公差 d ≠ 0，若 a k ＝a 1＋ a 2＋ a 3＋⋯＋ a 7， k ＝ ( )A ．21B ．22C ．23D ． 24 4． S n 等差数列 { a n } 的前 n 和， S 2＝ S 6， a 4＝ 1， a 5＝ ________.能力提高5．已知等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，且足 S 3－S 2＝1，数列 { a n } 的公差 d 是 ()132A. 2 B ．1C ．2D ． 3b n ＝ a 3n ，数列 { b n } 的一个通公式6． { a n } 是首 1，公差 2 的等差数列，令是( )A ． b n ＝ 3n ＋ 2B ． b n ＝4n ＋ 1C ．b n ＝ 6n － 1D ． b n ＝8n － 37．{ a n } 等差数列，公差 d ＝－ 2， S n 其前 n 和．若 S 10＝S 11， a 1＝ ()A ．18B ．20C ． 22D ．248．等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，已知 a 1＝ 13，S 3＝ S 11，当 S n 最大， n 的是 ( )A ．5B ．6C ．7D ． 89．已知数列 { a n } 于随意 p ，q ∈ N *，有 a p ＋ a q ＝ a p ＋q ，若 a 1＝ 1， a 36＝________.910．若数列 { a n } 足1－ 1＝ d(n ∈N * ，d 常数 )，称数列 { a n } 和数列．数a n ＋ 1a n列1和数列，且x ＋ x ＋⋯＋ x ＝ 200， x ＋ x ＝ ________.x n1220516已知数列 { a n } 足 a 1＝ t ，a n ＋ 1－ a n ＋2＝ 0(t ∈ N * ，n ∈N *)，数列 { a n } 的前 n 和11．的最大 f(t)， f(t)＝ ________.12． (13 分) 已知等差数列 { a n } 足： a 3＝ 7， a 5＋ a 7＝ 26， { a n } 的前 n 和 S n .(1)求 a n 及 S n ；(2)令 b n ＝ 21(n ∈ N * )，求数列 { b n } 的前 n 和 T n .a n － 1点打破13． (12 分) 数列 { a n } 足 a 1 ＝0 且1 －1＝1.1－ a n ＋1 1－a n(1)求 { a n } 的通公式；(2)设 b n＝1－an＋1，记S n＝n b k，证明：S n＜1.n k＝ 1作 (二十八 )B【基身】1． A [ 分析 ] 由 a n ＋ 1＝ a n ＋ 3，得 a n ＋1－ a n ＝ 3，数列 { a n } 是公差 d ＝ 3 的等差数列，由 a 3＝ 8，得 a 1＋2d ＝ 8， a 1＝2，因此 S 10＝ 10× 2＋10×9× 3＝ 155，故 A. 22． C [ 分析 ] 等差数列 { a n } 的公差 d ，由 a 1＋ a 9＋ a 11＝ 30，得a 1＋ a 1＋ 8d ＋a 1＋ 10d ＝ 30，即 a 1＋ 6d ＝10，∴ S 13＝ 13a 1＋13× 12d ＝ 13(a 1＋ 6d)＝ 130，故C. 27× 63． B[ 分析 ] 由已知，有a 1＋ (k － 1)d ＝ 7a 1＋2 d ，把 a 1＝ 0 代入，得k ＝ 22，故B.6× 54．－ 1 [ 分析 ] 由 S 2＝ S 6，得 2a 1＋ d ＝6a 1＋ 2 d 解得 4(a 1＋ 3d)＋ 2d ＝ 0，即 2a 4＋ d＝ 0，因此 a 4 ＋(a 4＋d)＝0，即 a 5＝－ a 4＝－ 1.【能力提高】5． C[ 分析 ] 由S 3－S 2＝1，得 1(3a 1＋ 3d)－1(2a 1 ＋d)＝1，解得 d ＝ 2，故 C.3 2 3 26．C [分析 ] 由已知，得 { a n } 的通公式 a n ＝ 2n －1，数列 { b n } 的前 45,11,17,23，即数列 { b n } 是首 b 1＝ 5，公差 6 的等差数列，它的一个通公式 b n ＝ 6n － 1，故 C.7． B [ 分析 ] 由 S 10＝ S 11，得 a 11＝ S 11－ S 10＝ 0，∴ a 1＝ a 11＋ (1－11)d ＝ 0＋ (－ 10)(－ 2)＝ 20.故 B.8．C [ 分析 ] 方法 1：S 3＝S 11 得 a 4＋ a 5＋⋯＋ a 11＝ 0，依据等差数列性可得 a 7＋ a 8＝0，依据首等于 13 可推知个数列减，进而获得 a 7>0， a 8<0 ，故 n ＝ 7 ， S n 最大．方法 2：由 S 3＝ S 11 可得 3a 1＋ 3d ＝ 11a 1＋ 55d ，把 a 1＝ 13 代入得 d ＝－ 2，故 S n ＝ 13n －n(n －1) ＝－ n 2＋ 14n ，依据二次函数性，当 n ＝7 S n 最大．方法 3：依据 a 1＝ 13，S 3＝ S 11，个数列的公差不等于零，明个数列的和先是增的，而后减，依据公差不零的等差数列的前n 和是对于 n 的二次函数，以及二次函数象的称性，当S ＝ S ，只有 n ＝3＋11＝ 7 ， S 获得最大．311 2n9． 4 [分析 ] 因于随意p ， q ∈ N *，有 a p ＋ a q ＝ a p ＋q ，因此 a n ＋ 1－ a n ＝ a 1＝1，数列{ a n } 是以 a 1＝ 1 首，公差 1的等差数列，故 a 36＝ 1＋(36－ 1)× 1＝ 4. 99 9 9 910． 20 [ 分析 ] 由和数列的定，得 x n ＋ 1－ x n ＝ d ，即数列 { x n } 是等差数列， x 1＋ x 20＝ x 2＋ x 19＝⋯＝ x 10＋ x 11，∴ x 1＋ x 2＋⋯＋ x 20＝ 10(x 1＋ x 20)＝ 200，故 x 5＋ x 16＝ x 1＋ x 20＝20.t 2＋ 2t， t 偶数，11.4[ 分析 ] 由已知 a n ＋ 1－ a n ＝－ 2，数列 { a n } 是公差－ 2 的2t ＋ 1 ， t 奇数4等差数列，数列 { a n } 的前 n 和 S n ＝nt ＋n n － 1×(－2)＝－ n 2＋ (t ＋ 1)n2t ＋ 1 2t ＋ 1 2＝－n － 2＋4 .2若 t 奇数，t ＋ 1n ＝t ＋ 1 t ＋ 12 是整数，当， S n 有最大4；22＋ 2t若 t 偶数，t ＋1不是整数，当n ＝ t 或 n ＝ t ＋ 1 ， S n 有最大 t4.22 2t 2＋2t4t 偶数，故 f(t)＝t ＋1 24t 奇数 .12．[解答 ](1) 等差数列 { a n } 的公差 d ，因a 3 ＝ 7 ， a 5 ＋ a 7 ＝ 26 ，因此有a 1＋ 2d ＝ 7，解得 a 1＝ 3， d ＝ 2，2a 1＋ 10d ＝ 26，因此 a n ＝3＋ 2(n － 1)＝ 2n ＋ 1，n n － 12S n ＝ 3n ＋× 2＝ n ＋ 2n.(2)由 (1) 知 a n ＝ 2n ＋ 1，因此 b n ＝ 2 1 ＝ 11 1 1 1 1， 2＝ · ＝ · －n ＋ 1 a n － 1 2n ＋ 1 － 1 4 n n ＋ 1 4 n 因此 T n ＝1·1－ 1＋1－1＋⋯＋ 1－ 14 2 2 3 n n ＋ 1＝11－1 4·n ＋ 1n＝，4 n ＋ 1即数列 { b n } 的前 n 和 T n ＝n .4 n ＋ 1【点打破】13． [解答 ] (1) 由1 － 1 ＝ 1，1－ a n ＋1 1－ a n即 1 是公差1 的等差数列．1－a n又 1 ＝ 1，故 1 ＝ n.1－ a 1 1－a n 1因此 a n ＝1－ n . (2) 明：由 (1)得b n ＝ 1－ a n ＋1＝ n ＋ 1－ n ＝ 1 －1 ， nn ＋ 1· nnn ＋ 1n n1 －11∴ S n ＝∑ b k ＝∑＝ 1－ <1.k ＋ 1k ＝1k ＝1 kn ＋1。

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(67)数学证明

作 (六十七 )[第 67数学明 ][ ： 45分分： 100分 ]基身1．在用反法明命“已知a、b、c∈ (0,2) ，求 a(2－ b)、b(2－ c)、c(2－ a)不行能都大于 1” ，反假正确的选项是()A ．假 a(2－b) 、b(2－ c)、 c(2－ a)都小于 1B．假 a(2－ b)、 b(2－ c)、 c(2－ a)都大于 1C．假 a(2－ b)、 b(2－ c)、 c(2－ a)都不大于 1D．以上都不1，△ ABC 的形状是 ()2．在△ ABC 中，已知 sinA＋ cosA＝2A ．角三角形B．直角三角形C．角三角形D．不可以确立a＋1， b＋1， c＋13． a， b， c 均正数，那么()b c aA ．都不大于 2B．都不小于 2C．起码有一个不大于2D．起码有一个不小于24．已知 a，b 是不相等的正数， x＝a＋b，y＝a＋b，x，y的大小关系是________．2能力提高5．一个点从 A 出挨次沿中段抵达B、C、 D、 E、F、 G、 H、 I、 J 各点，最后又回到 A(如 K67 － 1 所示 )，此中： AB⊥ BC，AB∥ CD∥ EF∥ HG∥ IJ，BC∥ DE ∥ FG ∥HI ∥ JA.欲知此点所走行程，起码需要量n 条段的度，n＝ ()K67－1A．2 B．3 C．4 D． 56．已知ab＝ ad－ bc，46＋ 1214 ＋⋯＋2 004 2 006＝()c d8101618 2 008 2 010A．－ 2 008 B ．2 008C．2 010 D ．－ 2 0107．△ ABC 的三内角 A、B、C 的分a、b、c，且 a、b、c 成等比数列， cosA、cosB、 cosC 成等差数列，△ABC ()A ．等三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形ax－ 58．已知对于 x 的不等式x2－a<0 的解集 M，且 3∈ M,5?M ，数 a 的取范()55∪ (9,25]A.1，∪ (9,25)B. 1，33C. 1， 5 ∪ [9,25)D. 1，5∪ [9,25]3 3 9．若 a ， b ， c 是不全相等的正数，出以下判断： ① (a － b)2＋ (b － c)2＋ (c － a)2≠ 0；② a>b 与 a<b 及 a ＝ b 中起码有一个建立；③ a ≠ c ， b ≠ c ， a ≠ b 不可以同建立．此中判断正确的个数是 ()A ．0B ．1C ．2D ． 3 10．察下表： 1 2 3 43 4 5 6 74 5 6 78 9 10⋯⋯2第________行的各数之和等于 2 009 .11．如 K67－2 所示，由若干个点成形如三角形的形，每条(包含两个端点 )有 n(n>1， n ∈ N )个点，每个形的点数a n ，9 ＋ 9 ＋9＋⋯＋9 ＝a 2a 3 a 3a 4 a 4a 5a 2 010a 2 011________.K67－212．若直 ax ＋ 2by － 2＝ 0(a>0，b>0)始均分 x 2＋ y 2－ 4x － 2y －8＝ 0 的周， 1a＋ 2的最小 ________． b13．假如函数 f(x)在区 D 上是凸函数，那么于区 D 内的随意 x 1， x 2，⋯， x n ，都有f x 1 ＋ f x 2 ＋⋯＋ f x n≤ f x 1＋ x 2＋⋯＋ x n .若 y ＝ sinx 在区 (0， π)上是凸函数，那么在 n n△ABC 中， sinA ＋sinB ＋ sinC 的最大是 ________．114． (10 分)已知 a ， b ，c ∈ (0,1)．求： (1－ a)b ， (1－ b)c ， (1－ c)a 不可以同大于 4.15. (13 分) 比 n n ＋1 与 (n ＋ 1)n (n ∈ N *) 的大小．当 n ＝1 ，有 n n ＋1________(n ＋ 1)n ( 填＞、＝或＜ )；当 n＝2 ，有 n n ＋1________(n ＋ 1)n ( 填＞、＝或＜ )；当 n ＝3 ，有 n n ＋1________(n ＋ 1)n ( 填＞、＝或＜ )；当 n ＝4 ，有 n n ＋1________(n ＋ 1)n ( 填＞、＝或＜ )．猜想一个一般性，并加以明．难点打破*131222 16． (12 分 )数列 { a n}( n∈N )中， a1＝ 0， a n＋1是函数 f n( x)＝ x － (3a n＋ n)x ＋ 3n a n x 的32极小值点，求通项a n.作 (六十七 )【基身】1． B[ 分析 ] “不行能都大于1”的否认是“都大于 1”，故 B.1212．C[分析 ] 由 sinA ＋cosA ＝ 2，得，(sinA ＋ cosA) ＝ 1＋ 2sinAcosA ＝4，∴ sinAcosA<0.π∵ A ∈ (0， π)，∴ sinA>0，cosA<0，∴ A ∈ ， π.故 C.21＋b ＋ 1＋ c ＋1≥ 6，故 D.3． D [ 分析 ] 因 a ＋ bc a4． x<y[ 分析 ] x 2－ y 2＝a ＋b ＋ 2ab－ (a ＋ b)2－ a ＋ b － 2 ab － a － b 2.∵ a ，b 是不相等的正数， ∴ a ≠ b ，∴ (a － b)2>0，＝ 2 ＝2－ a － b2∴<0，∴ x 2<y 2.又∵ x>0， y>0，∴ x<y. 2 【能力提高】 5． B[分析 ] 只要量 AB ， BC ， GH 3 条段的．4 612 142 004 2 0066．A [分析 ] ∵ 8 10 ＝－ 8， 16 18＝－8，⋯，2 008 2 010＝－ 8，区 [4,2010] 中共有 1 004 个偶数，若每四个偶数一，共有 251 ，∴ 46 ＋12 14 ＋⋯＋ 2 004 2 006＝ ( － 8)＋ (－ 8)＋⋯＋ (－ 8＝－ 8× 2518 1016 182 0082 010251个＝－ 2 008，故 A.7． A[分析 ] ∵cosA ， cosB ，cosC 成等差数列，A ＋C A － C ∴ 2cosB ＝ cosA ＋cosC ＝ 2cos 2 cos 2B A －C ＝ 2sin 2cos 2 ，2∴ cos(A － C)＝ 2cos2A －C－ 1＝2cos B－ 1.①22Bsin 2∵ a ， b ， c 成等比数列，∴ b 2＝ ac ，∴ sin 2B ＝ sinAsinC ，2∴ 2sin B ＝ cos(A －C)＋ cosB ，∴ cos(A － C)＝ 2sin 2B － cosB ，② 将①代入②整理得：(2cosB － 1)(cosB －3)(cosB ＋ 1)＝ 0.∵ 0<B<π，∴ cosB ＝ 1，2π∴ B ＝，∴ cos(A － C)＝ 1，3∵－ π<A － C<π，∴ A ＝ C ，∴ A ＝B ＝ C ＝ π3，进而△ ABC 等三角形，故 A.3a － 53∈M ， 9－ a<0，a>9或a<5， ? a ∈ 1，58．B [分析 ] (1) 当 a ≠ 25 ，??335?M5a －5≥ 01≤ a<2525－ a∪(9,25) ．25x － 51， 3∈M 且 5?(2)当 a ＝ 25 ，不等式2<0 ，解之得M ＝ (－∞，－ 5)∪， 5 x － 25 5M ，∴ a ＝ 25 知足条件，综上可得 a ∈5∪ (9,25] ．1， 39． C [ 分析 ] ①②正确；③中 a ≠ c ， b ≠ c ， a ≠ b 可能同时建立，如 a ＝1， b ＝ 2， c ＝3.选 C.n 行的各数之和为 (2n － 1)2,2n － 1＝ 2 009，n ＝ 1 005.10．1 005 [ 分析 ] 由题意概括出第 11.2 009[ 分析 ] a n ＝ 3(n － 1)， a n a n ＋1 ＝9n( n － 1)，裂项乞降即可．2 0101＋ 2＝ (a ＋b) 1＋ 212．3＋ 22 [ 分析 ] 由题知直线经过圆心 (2,1) ，则有 a ＋ b ＝ 1，所以 aba b＝ 3＋ba ＋2ab ≥ 3＋ 2 2.3 3A ＋B ＋ Cπ 3313. 2[ 分析 ] sinA ＋ sinB ＋ sinC ≤ 3sin3＝ 3sin 3＝ 2.14． [解答 ] 证明：假定三式同时大于1，4 即 (1－ a)b>1， (1－ b)c>1， (1－ c)a>1，4 4 4三式同向相乘，得 (1－ a)a(1－ b)b(1－ c)c>641.① 又 (1－ a)a ≤ 1－ a ＋ a 2＝1，241 1(1－ b)b ≤，(1－ c)c ≤ .4 4所以 (1－ a)a(1－b) b(1 －c)c ≤ 1，64与①式矛盾，即假定不建立，故结论正确． 15．[解答 ] < < > >结论：当 n ≥ 3 时， n n ＋1 n *>(n ＋1) (n ∈ N )恒建立．证明：①当 n ＝3 时， 34＝ 81>64＝ 43 建立；②假定当 n ＝ k(k ≥ 3)时建立，即 k ＋1k建立，即 k >( k ＋ 1) k ＋1 kk ＋ 1 k >1，则当 n ＝ k ＋ 1 时，k ＋ 2 k ＋ 1 kk ＋1 ∵ k ＋ 1 ＋＋1 ＝ kk >1， k ＋ 1＝ (k ＋ 1) · k 1>(k ＋ 1) · k k ＋ 2 k ＋ 2 k ＋ 1 k ＋ 1∴ (k ＋ 1)k ＋ 2>(k ＋ 2)k ＋1，即当 n ＝ k ＋ 1 时也建立．∴当 n ≥ 3 时， n n ＋1>(n ＋ 1)n (n ∈ N *) 恒建立．【难点打破】16． [思路 ] 先求导，再分类议论求出a n＋1的关系式，最后运用“概括 ——猜想—— 证明”的思想求通项 a n .2 22 2[解答 ] 易知 f ′ n (x)＝ x － (3a n ＋ n )x ＋ 3n a n ＝ (x － 3a n )(x － n )，令 f ′ n (x)＝ 0，得 x ＝ 3a n 或 x ＝n 2 ，2(1)若 3a n <n ，当 x<3a n 时， f ′ n (x)>0 ，f n (x)单一递加；当 3a n <x<n 2 时， f ′ n (x)<0， f n (x)单一递减；当 x>n 2 时， f ′ n ( x)>0 ，f n (x)单一递加，故 f n (x)在 x ＝n 2 时，获得极小值．(2)若 3a n >n 2，仿 (1)可得， f n (x)在 x ＝ 3a n 时获得极小值． (3)若 3a n ＝ n 2， f ′ n (x)≥0， f n (x)无极值．因 a 1＝ 0，则 3a 1<12，由 (1)知， a 2＝12＝ 1. 因 3a 2＝ 3<22，由 (1)知 a 3＝ 22＝ 4，因 3a 3＝ 12>32，由 (2)知 a 4＝ 3a 3＝ 3× 4，因 3a 4＝ 36>42，由 (2)知 a 5＝ 3a 4＝ 32× 4，由此猜想：当 n≥ 3 时， a n＝4× 3n － 3 .下边用数学概括法证明：当n≥ 3 时， 3a n>n2.事实上，当n＝3 时，由前面的议论知结论建立．假定当 n＝k(k≥ 3)时， 3a k>k2建立，则由 (2)知 a k＋1＝3a k>k2，进而 3a k＋1－(k＋1)2>3k2－(k＋ 1)2＝ 2k(k－ 2)＋2k－ 1>0 ，所以 3a k＋1 >(k＋1) 2.故当 n≥ 3 时， a n＝4× 3n－3，于是由 (2)知，当 n≥ 3 时， a n＋1＝ 3a n，而 a3＝ 4，n－ 3所以 a n＝4× 3，0 n＝1 ，综上所述， a n＝ 1 n＝ 2 ，4× 3n－3 n≥ 3 .。

2013年理科全国各省市高考真题——概率与排列组合(带答案)

2013年全国各省市理科数学—概率与排列组合1、2013新课标I理T3.为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（A）简单的随机抽样（B）按性别分层抽样（C）按学段分层抽样（D）系统抽样2、2013辽宁理T5.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，20,40,40,60,60,80,820,100.数据的分组一次为[)[)[)[)若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A）45（B）50（C）55（D）603、2013重庆理T4.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y的值分别为（）A、2,5B、5,5C、5,8D、8,84、2013福建理T4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。

已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A.588B.480C.450D.1205、2013安徽理T5.某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A）这种抽样方法是一种分层抽样（B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数6、2013陕西理T4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 147、2013湖南理T2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法8、2013江西理T4.总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(66)合情推理与演绎推理

课时作业(六十六) [第66讲合情推理与演绎推理][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q >1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7B ．b 4＋b 8<b 5＋b 7C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 4＋b 7<b 5＋b 8 2．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P (n )表示第n 秒时机器狗所在的位置坐标，且P (0)＝0，则下列结论中错误的是( )A ．P (2 007)＝403B ．P (2 008)＝404C ．P (2 009)＝403D ．P (2 010)＝4043．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －am n －m；现已知等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝( )A.m －n b m a nB.n －m b n a mC.n －m b n a mD.n －m b m a n4．有下列推理：①A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 的轨迹为椭圆；②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式；③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πab ；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．以上推理不是归纳推理的序号是________． (把所有你认为正确的序号都填上) 能力提升5．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，n ∈N ，则f 2 013(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面正三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝08．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误是( ) A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错 C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错9．把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2 009，则i 与j 的和为( )12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24 A ．105 B ．106 C ．107 D ．108 10．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OAB ·OC →＝0. 将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．11．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看做(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________②，②式可以用语言叙述为：________________.12．在计算“11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)(n ∈N *)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1，由此得11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，相加，得11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1.类比上述方法，请你计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1n (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)”，其结果为________．13．如图K66－1，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)……试用n 表示出第n 个图形的边数a n ＝________.14．(10分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图K66－2为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．(1)试给出f (4)，f (5)的值，并求f (n )的表达式(不要求证明)；(2)证明：1f (1)＋1f (2)＋1f (3)＋…＋1f (n )<43.图K66－215．(13分) 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图K66－3为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值．图 3难点突破16．(12分)规定C mx ＝x ·(x －1)·…·(x －m ＋1)m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C m n (m ，n 是正整数，且m ≤n 的一种推广)．(1)求C 5－15的值；(2)组合数的两个性质：①C m n ＝C n －m n .②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1.是否都能推广到C mx (x ∈R ，m 是正整然)的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由．(3)已知组合数C m n 是正整数，证明：当x ∈Z ，m 是正整数时，C mx ∈Z .课时作业(六十六)【基础热身】1．A [解析] 在等差数列{a n }中，由于4＋6＝3＋7时有a 4·a 6>a 3·a 7，所以在等比数列{b n }中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b 4＋b 8>b 5＋b 7或b 4＋b 8<b 5＋b 7.∵b 4＝b 1q 3，b 5＝b 1q 4，b 7＝b 1q 6，b 8＝b 1q 7∴(b 4＋b 8)－(b 5＋b 7)＝(b 1q 3＋b 1q 7)－(b 1q 4＋b 1q 6) ＝b 1q 6·(q －1)－b 1q 3(q －1)＝(b 1q 6－b 1q 3)(q －1) ＝b 1q 3(q 3－1)(q －1)．∵q >1，b n >0，∴b 4＋b 8>b 5＋b 7.故选A.2．D [解析] 显然每5秒前进一个单位，且P (1)＝1，P (2)＝2，P (3)＝3，P (4)＝2，P (5)＝1，∴P (2 007)＝P (5×401＋2)＝401＋2＝403，P (2 008)＝404，P (2 009)＝403，P (2 010)＝402，故选D.3．B [解析] 等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n 和a m ，等差数列中的bn －am 可以类比等比数列中的b na m ，等差数列中的bn －am n －m 可以类比等比数列中的n －mb n a m .故b m ＋n ＝n －m b na m.4．①③④ [解析] ①为演绎推理，②为归纳推理，③④为类比推理．【能力提升】5．C [解析] f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ＝f 1(x )， f 6(x )＝(cos x )′＝－sin x ＝f 2(x )， f n ＋4(x )＝…＝…＝f n (x )，故可猜测f n (x )以4为周期，有f 4n ＋1(x )＝f 1(x )＝cos x ，f 4n ＋2(x )＝f 2(x )＝－sin x ， f 4n ＋3(x )＝f 3(x )＝－cos x ，f 4n ＋4(x )＝f 4(x )＝sin x ，所以f 2 013(x )＝f 503×4＋1(x )＝f 1(x )＝cos x ，故选C.6．A [解析] 两条直线平行，同旁内角互补——大前提，∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前提， ∠A ＋∠B ＝180°——结论．故A 是演绎推理，而B 、D 是归纳推理，C 是类比推理．故选A.7．A [解析] 类比直线方程求法得平面方程为(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0即x ＋2y －z －2＝0.8．A [解析] y ＝a x 是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．9．C [解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1 923,2 009＝1923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.10．V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 [解析] 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积．11.⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 12.n 2＋3n 4(n ＋1)(n ＋2) [解析] ∵1k (k ＋1)(k ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1k (k ＋1)－1(k ＋1)(k ＋2)，依次裂项，求和得n 2＋3n 4(n ＋1)(n ＋2). 13．3×4n －1 [解析] a 1＝3，a 2＝12，a 3＝48，可知a n ＝3×4n －1. 14．[解答] (1)f (4)＝37，f (5)＝61.由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，f (4)－f (3)＝37－19＝3×6，f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1) ＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1. 又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1.(2)证明：当k ≥2时，1f (k )＝13k 2－3k ＋1<13k 2－3k ＝13⎝⎛⎭⎫1k －1－1k .所以1f (1)＋1f (2)＋1f (3)＋…＋1f (n )<1＋13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋13⎝⎛⎭⎫1－1n <1＋13＝43. 15．[解答] (1)f (5)＝41.(2)由题图可得f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4.由上式规律，可得f (n ＋1)－f (n )＝4n .因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ，所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，所以f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) …＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时， 1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1 ＝11＋12×22－2×2＋1－1＋12×32－2×3＋1－1＋…＋12n 2－2n ＋1－1 ＝11＋12×2×(2－1)＋12×3×(3－1)＋…＋12n (n －1)＝11＋12×⎣⎡⎦⎤12×1＋13×2＋…＋1n (n －1) ＝1＋12×⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n.【难点突破】16．[解答] (1)根据新规定直接进行演算即可C 5－15＝(－15)(－16)(－17)(－18)(－19)5！＝－11 628.(2)性质①不能推广．反例：当x ＝2，m ＝1时，C 12有意义，但C 2－12无意义．性质②能推广，且推广形式不变：C m x ＋C m －1x ＝C m x ＋1(x ∈R ，m 是正整数)．证明如下：C m x ＋C m －1x＝x (x －1)(x －2)…(x －m ＋1)m ！＋x (x －1)(x －2)…(x －m ＋2)(m －1)！＝x (x －1)(x －2)…(x －m ＋2)m ！·(x ＋1)＝1m ！·(x ＋1)[(x ＋1)－1][(x ＋1)－2]…[(x ＋1)－m ＋1]＝C m x ＋1. (3)需要就x 与m 的大小做出逻辑划分并进行严密的论证．当x ≥m 时，x ，m 都是正整数，C m n 就是组合数，结论显然成立；当0≤x <m 时，C m x＝x (x －1)(x －2)…0…(x －m ＋1)m ！＝0∈Z ，结论也成立；当x <0时，C m x ＝x (x －1)(x －2)…(x －m ＋1)m ！＝(－1)m 1m ！(－x ＋m －1)(－x ＋m －2)…(－x ＋1)(－x )＝(－1)m C m－x ＋m －1 ∵－x ＋m －1>0，∴C m －x ＋m －1是正整数，故C m x ＝(－1)m C m－x ＋m －1∈Z .综上所述，当x ∈Z ，m 是正整数时，C m x ∈Z .。

2013届高考数学(理)一轮复习课件：11.2排列与组合(人教A版)

A3 种方法，故共有A2 A3 A3 =720种. 3 2 5 3
【反思・感悟】无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可，但要看清是全排列还是选排列问题；有限制条件的排列问题，用直接法或间接法.
组合问题的应用【方法点睛】组合问题的常见题型 (1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
修三门，则每位同学不同的选修方案种数是______.
(3)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，
如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为______.
【解析】(1)由2x-7=x或2x-7+x=20，得x=7或x=9.
(2)分两类：第一类A、B、C三门课程都不选，有 C3 =35种方 7 案；第二类A、B、C三门课程中选一门，剩余7门课程中选两
(3)中注意n的取值范围.
【规范解答】(1)选D.Crn
n! r! n r ! n 1! n n Crn11. r r 1［ n 1 r 1］ r ! !
9! 9! 6 , 9 x ! 11 x ! 6 也就是 1 , 9 x ! 11 x 10 x 9 x ！
(2)今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将
这9个球排成一列有______种不同的方法.(用数字作答)
(3)某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程
甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行.那么安排这6项工程的不同排法种数是______.(用数字作答)
2 当n=3时，有 C3 C3 7； 4

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(1)集合及其运算

课时作业(一) [第1讲集合及其运算][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．已知全集是实数集R ，M ＝{x |x ≤1}，N ＝{1,2,3,4}，则(∁R M )∩N 等于( )A ．{4}B ．{3,4}C ．{2,3,4}D ．{1,2,3,4}3．已知集合A ＝{y |y ＝lg x ，x >1}，B ＝{x |0<|x |≤2，x ∈Z }，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－2，－1} B ．A ∪B ＝{x |x <0}C ．A ∪B ＝{x |x ≥0}D ．A ∩B ＝{1,2}4．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图K1－1(阴影区域及其边界)，其中为凸集的是( )图K1－1A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④能力提升5．已知集合M ＝{－4，－3，－2，－1，0,1,4}，N ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，且M ，N 都是全集I 的子集，则图K1－2( )A ．{－1，－2，－3}B ．{0,1,2,3}C ．{2,3}D ．{0，－1，－2，－3}6．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N )7．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是( )A ．－3≤m ≤4B ．－3<m <4C ．2<m <4D ．2<m ≤48．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m >0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )A ．m >－1且n <5B ．m <－1且n <5C ．m >－1且n >5D ．m <－1且n >59．设集合A ＝{x |y ＝ln(x －3)}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝1－4＋5x －x 2，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4，＋∞)10．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．11．若全集U ＝{0,1,2,4,16}，集合A ＝{0,2，a }，∁U A ＝{1，a 2}，则a 的值为________．12．设数集M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫n －13≤x ≤n ，且M 、N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________．13．已知集合A ＝{x |1≤log 2x ≤2}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．14．(10分) 已知集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{x |x 2＋ax －6<0}，C ＝{x |x 2－2x －15<0}．(1)若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围；(2)是否存在a 的值使得A ∪B ＝B ∩C ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．15．(13分)设函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝1－a 2－2ax －x 2的定义域为集合B .(1)求证：函数f (x )的图象关于原点成中心对称；(2)a ≥2是A ∩B ＝∅的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)？并证明你的结论．难点突破16．(12分)集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．作业手册课时作业(一)【基础热身】1．B [解析] 因为M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，所以P ＝M ∩N ＝{1,3}，所以集合P 的子集共有∅，{1}，{3}，{1,3}4个．2．C [解析] 因为∁R M ＝{x |x >1}，所以(∁R M )∩N ＝{2,3,4}．3．D [解析] A ＝{y |y >0}，B ＝{－1，－2,1,2}，故A ∩B ＝{1,2}．4．B [解析] 只有②③两个图形内任意两点所连线段仍在图形内．【能力提升】5．C [解析] 根据补集和交集的运算，把N 中属于M 的元素去掉即可．6．D [解析] 方法一：∵M ∪N ＝{1,2,3,4}，∴(∁U M )∩(∁U N )＝∁U (M ∪N )＝{5,6}．故选D.方法二：∵∁U M ＝{1,4,5,6}，∁U N ＝{2,3,5,6}，∴(∁U M )∩(∁U N )＝{5,6}．故选D.7．D [解析] ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，又B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2＜m ≤4.8．A [解析] ∵P ∈A ，∴m >－1，又∁U B ＝{(x ，y )|x ＋y －n >0}，∵P ∈(∁U B )，∴n <5，故选A.9．B [解析] 集合A ，B 均是函数的定义域，求出定义域后计算即可．集合A ＝(3，＋∞)，集合B 中的x 满足－4＋5x －x 2>0，即x 2－5x ＋4<0，即得1<x <4，即集合B ＝(1,4)，故A ∩B ＝(3,4)．故选B.10．1 [解析] ∵A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，∴a ＋2＝3或a 2＋4＝3，又∵a 2＋4＝3不符合题意，无解．∴a ＝1，经检验，符合题意．11．4 [解析] a 只可能等于4.12.112 [解析] 由题意，知集合M 的“长度”是34，集合N 的“长度”是13，由集合M 、N 是{x |0≤x ≤1}的子集，知当且仅当M ∪N ＝{x |0≤x ≤1}时，集合M ∩N 的“长度”最小，最小值是34＋13－1＝112. 13．(－∞，－2] [解析] 集合A 是不等式1≤log 2x ≤2的解集，求出这个集合，根据集合之间的关系得a ，b 满足的条件，即可求出a －b 的取值范围．由题意，集合A ＝[2,4]，因为A ⊆B ，故a ≤2，b ≥4，故a －b ≤2－4＝－2，即a －b 的取值范围是(－∞，－2]．14．[解答] A ＝{x |－1<x <3}，C ＝{x |－3<x <5}．(1)由A ∪B ＝B 知，A ⊆B ，令f (x )＝x 2＋ax －6，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝(－1)2－a －6≤0，f (3)＝32＋3a －6≤0，解得－5≤a ≤－1，即a 的取值范围是[－5，－1]．(2)假设存在a 的值使得A ∪B ＝B ∩C ，由A ∪B ＝B ∩C ⊆B 知A ⊆B ，由A ∪B ＝B ∩C ⊆C 知B ⊆C ，于是A ⊆B ⊆C ，由(1)知若A ⊆B ，则a ∈[－5，－1]，当B ⊆C 时，由Δ＝a 2＋24>0，知B 不可能是空集，于是⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＝(－3)2－3a －6≥0，f (5)＝52＋5a －6≥0，－3<－a 2<5，解得a ∈⎣⎡⎦⎤－195，1，综合a ∈[－5，－1]知存在a ∈⎣⎡⎦⎤－195，－1满足条件． 15．[解答] (1)证明：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ 2x ＋1－1>0，由2x ＋1－1>0⇔x －1x ＋1<0⇔(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x <1，∴A ＝(－1,1)，故f (x )的定义域关于原点对称．又f (x )＝lg 1－x x ＋1，则f (－x )＝lg 1＋x －x ＋1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x x ＋1－1＝－lg 1－x x ＋1＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．即函数f (x )的图象关于原点成中心对称．(2)B ＝{x |x 2＋2ax －1＋a 2≤0}，得－1－a ≤x ≤1－a ，即B ＝[－1－a,1－a ]．若A ∩B ＝∅，则只需要－1－a ≥1或者1－a ≤－1，解得a ≤－2或者a ≥2，故A ∩B ＝∅等价于a ≤－2或者a ≥2，而{a |a ≥a |a ≤－2或a ≥2}．所以，a ≥2是A ∩B ＝∅的充分不必要条件．【难点突破】16．[解答] (1)①当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅满足B ⊆A .②当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，可得2≤m ≤3. 综上，m 的取值范围是m ≤3.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又A ∩B ＝∅，则①若B ＝∅，即m ＋1>2m －1，得m <2，满足条件．②若B ≠∅，则要满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得m >4.综上，m 的取值范围是m <2或m >4.。

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(57)排列、组合B

课时作业 (五十七 )B [第 57 讲摆列、组合][时间： 35 分钟分值：80分]基础热身1．由 0,1,2,3,4 这五个数字构成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的次序排成一个数列 { a n} ，则 a19＝ ()A．2 014B．2 034C． 1 432D． 1 4302．有 20 个部件，此中 16个一等品， 4 个二等品，若从 20 个部件中随意取 3 个，那么起码有 1 个一等品的不一样取法种数是()A．1 136B．1 600C． 2 736D． 1 1203．某学校有教员工100 人，此中教师80 人，职员 20 人．现从中选用10 人构成一个考察团出门学习观察，则这10 人中恰巧有8 名教师的不一样选法的种数是()A ． C802C208B． A802A 2088282C．A 80C20D． C80C204．某外商计划在 5 个候选城市投资 3 个不一样的项目，且在同一城市投资项目不超出2个，则他不一样的投资方案有()A．60 种B．70 种C． 100 种 D ．120 种能力提高5．某校开设 10 门课程供学生选修，此中A， B，C 三门因为上课时间同样，至多项选择一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不一样的选修方案种数是() A．120 B．98C． 63 D ．566．从 1,3,5,7 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6,8中任取 2 个数字，构成没有重复数字的四位数，此中能被 5整除的四位数共有 ()A．252 个B．300 个C．324 个D．228 个7． 2011 年，哈三中派出 5 名优异教师去大兴安岭地域的三所中学进行教课沟通，每所中学起码派一名教师，则不一样的分派方法有()A．80 种B．90 种C． 120 种 D ．150 种8．某校高三师生为“庆元旦·迎新年”举行了一次联欢晚会，高三年级8 个班中每个班的学生准备了一个节目，且节目单已排好．节目开演前又增添了 3 个教师的节目，此中有2 个独唱节目， 1 个朗读节目，假如将这 3 个节目插入原节目单中，要讨教师的节目不排在第一个和最后一个，而且教师的2个独唱节目不连续演出，那么不一样的排法有()A．294 种B．308 种 C．378 种D． 392 种9．将甲、乙、丙、丁四名学生疏到两个不一样的班，每个班起码分到一名学生，且甲、乙两名学生不可以分到同一个班，则不一样的分法的总数为________(用数字作答 )．10．有五名男同志去外处出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不一样的住宿安排有________种 (用数字作答 )．11．将 24 个志愿者名额分派给 3 个学校，则每校起码有一个名额且各校名额互不同样的分派方法共有 ________种．12．(13 分)一次数学考试的第一大题有11 道小题，此中第 (1) ～(6) 小题是代数题，答对一题得 3 分；第 (7) ～ (11)题是几何题，答对一题得 2 分．某同学第一大题对 6 题，且所得分数许多于此题总分的一半，问该同学有多少种答题的不一样状况？难点打破13． (12 分 )(1)10 个优异指标名额分派给 6 个班级，每个班起码一个，共有多少种不一样的分派方法？(2)在正方体的过随意两个极点的全部直线中，异面直线有多少对？课时作业 (五十七 )B【基础热身】C 31A 32＝ 18，故第 191． A [分析 ] 千位是 1 的四位偶数有个是千位数字为2 的四位偶数中最小的一个，即 2 014.2． A [分析 ] 方法一：将“起码有1 个是一等品的不一样取法”分三类：“恰有1 个一等品”，“恰有2 个一等品”，“恰有3 个一等品”，由分类计数原理有：C 161C 42＋ C 162C 41＋ C 163＝ 1136(种 )．C 203－C 43＝ 1 136(种 )．方法二：考虑其对峙事件：“3 个都是二等品”，用间接法： 3． D [分析 ] 因为结果只与选出的是哪 8 名教师和哪两名职员相关，与次序没关，是组合问题．分步计数，先选 8 名教师再选 2 名职员，共有 C 808C 202种选法．4．D [分析 ] 在五个城市中的三个城市各投资一个，有方法数A 53＝ 60，将三个项目分为两组投资到五个城市中的两个，有方法数C 31 A 52＝ 60，故不一样的投资方案有 120 种．【能力提高】 3215．B [分析] 分两类： (1) 不包括 A ，B ，C 的有C 7种选法；(2)包括 A ，B ，C 的有 C 7·C 3种选法．所以共有 C 73＋ C 72·C 31＝ 98(种 )选法，故应选 B.6． B [分析 ] (1)若只是含有数字 0，则选法是2 12 13C 3C 4，能够构成四位数C 3C 4A 3＝ 12× 6＝72 个； 1 2 1 2 3(2)若只是含有数字 5，则选法是 C 个；3C 4，能够构成四位数 C 3C 4A 3＝18× 6＝ 108(3)若既含数字 0，又含数字 5，选法是 C 31C 41，排法是若 0 在个位，有 A 33＝6 种，若 5 在个位，有21 12× A 2＝ 4 种，故能够构成四位数C 3C 4(6＋ 4)＝ 120 个．依据加法原理，共有72＋108＋ 120＝ 300 个．1 1 3 12 27． D [分析 ] 分组法是 (1,1,3) ， (1,2,2) ，共有 C 5C 4C 3＋ C 5C 4C 23A 2 A 2 ＝ 25，再分派，乘以 A 3，2 2即得总数 150.8． D [分析 ] 依据题意可将教师的 1 个朗读节目排在学生的 8 个节目中的 7 个空中的任一个，共有 7 种排法，而后将教师的 2 个独唱节目排在 9 个节目中的 8 个空中的 2 个空中，故共有 C 71A 82＝ 392 种不一样的排法．应选 D.1C 42 A 22＝ 14，若只是甲、乙分到一个班级，则分法是 A 22 ＝ 9．8 [分析 ] 总的分法是 C 4＋ 2A 2C 21A 22＝ 4，故总数是 14－2，若甲、乙分到同一个班级且这个班级分到 3 名学生，则分法是 2－ 4＝ 8.10． 72 [分析 ] 甲、乙住在同一个房间，此时只好把此外三人分为两组，这时的方法1 3C 51C 42C 22 3总数是 C 3A3＝ 18，而总的分派方法数是把五人分为三组再进行分派，方法数是2 A 3＝A 290，故不一样的住宿安排共有 90－ 18＝ 72 种．11．222 [分析 ] 总数是 C 232＝ 253，如有两个学校名额同样，则可能是 1,2,3,4,5,6,7,9,10,11个名额，此时有 10C 2＝ 30 种可能，若三个学校名额同样，即都是 8 个名额，则只有 1 种情3况，故不一样的分派方法数是253－ 30－ 1＝ 222.12． [解答 ] 依题意可知此题的总分的一半是 14 分，某同学在 11 题中答对了6 题，则起码答对两道代数题，至多答对 4 道几何题，所以有以下答题的状况：(1)代数题恰巧对 2 道，几何题恰巧对 4 道，此时有 C 62C 54＝75 种状况；(2)代数题恰巧对 3 道，几何题恰巧对 3 道，此时有 3 3C 6C 5 ＝200 种状况；(3)代数题恰巧对 4 道，几何题恰巧对 2 道，此时有 C 64C 52＝150 种状况；(4)代数题恰巧对 5 道，几何题仅对 1 道，此时有 5 1C 6C 5＝ 30 种状况；(5)代数题全对，几何题全错，此时有 C 66C 50＝ 1 种状况．由分类计数原理得全部可能的答题状况有456 种．【难点打破】13． [解答 ] (1)因为是 10 个名额，故名额和名额之间是没有区其他，我们不如把这10 10个名额在桌面上从左到右一字摆开，这样在相邻的两个名额之间就出现了一个空挡，个名额之间就出现了9 个空挡，我们的目的是把这10 个名额分红 6 份，每份起码一个，那我们只需把这9 个空挡中的 5 个空挡上各放上一个隔板，两头的隔板外面的 2 部分，隔板和隔板之间的 4 部分，这样就把这10 个指标从左到右分红了 6 份，且知足每份起码一个名额，我们把从左到右的 6 份挨次给1,2,3,4,5,6 班就解决问题了．这里的在 9 个空挡上放 5 个隔板的不一样方法数，就对应了切合要求的名额分派方法数．这个数不难计算，那就是从9 个空挡中选出 5 个空挡放隔板，不一样的放法种数是C95＝126.(2)方法一：连成两条异面直线需要 4 个点，所以在正方体 8 个极点中任取 4 个点有 C84种取法．每 4 个点可分共面和不共面两种状况，共面的不切合条件，去掉．因为在 6 个表面和6 个体对角面中都有四点共面，故有(C84－ 12)种．不共面的 4 点可构成四周体，而每个四周体有 3 对异面直线，故共有 3(C84－ 12)＝ 174 对．方法二：一个正方体共有12 条棱、 12条面对角线、 4 条体对角线，计 28 条，任取两条有 C282种状况，除掉此中共面的状况：(1)6个表面，每个面上有 6 条线共面，共有6C62条；(2)6 个体对角面，每个面上也有 6 条线共面，共有 6C62条； (3) 从同一极点出发有 3条面对角线，随意两条线都共面，共有8C32条，故共有异面直线C228－ 6C26－ 6C 26－ 8C23＝ 174 对．。

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(66)合情推理与演绎推理

作 (六十六 ) [第 66 合情推理与演推理 ][ ： 45 分分： 100 分 ]基身1．在等差数列 { a n } 中，若 a n >0，公差 d>0，有 a 4·a 6>a 3·a 7，比上述性，在等比数列 { b n } 中，若 b n >0 ，公比 q>1， b 4 ，b 5， b 7， b 8 的一个不等关系是 ( )A ． b 4＋ b 8>b 5＋ b 7B ．b 4＋ b 8<b 5＋ b 7C ．b 4＋ b 7>b 5＋ b 8D ． b 4＋ b 7<b 5＋ b 82．定一机器狗每秒只好前或退后一步，程序机器狗以“前3 步，而后再退 2 步”的律移．假如将此机器狗放在数原点，面向正方向，以 1 步的距离1 个位度移，令 P(n)表示第 n 秒机器狗所在的地点坐，且P(0) ＝0，以下中的是 ()A ． P(2 007) ＝ 403B ．P(2 008) ＝ 404C ．P(2 009) ＝ 403D ． P(2 010) ＝ 404a m ＝ a ，a n ＝ b(m ≠ n ， m 、 n ∈ N * )， a m ＋ n 3．已知命：若数列 { a n } 等差数列，且＝ bn － am ；已知等比数列 { b n }( b n >0， n ∈ N * ) ， b m ＝ a ， b n ＝ b(m ≠ n ， m 、 n ∈ N * )，若比n－ m上述，可获得 b m ＋ n ＝ ( )A.m － n b mn － m b nnB.maaC. n － m b n a mD. n － m b m a n4．有以下推理： ① A ， B 定点，点 P 足 |PA|＋ |PB|＝ 2a>|AB|， P 的迹；②由 a 1＝1， a n ＝ 3n － 1，求出 S 1，S 2 ，S 3，猜想出数列的前 n 和 S n 的表达式；2 22 2x 2 y 2 ③由 x ＋y ＝ r 的面 S ＝ πr ，猜想出a 2＋ b 2＝ 1 的面 S ＝ πab ；④科学家利用的沉浮原理制造潜艇．以上推理不是推理的序是________．(把全部你正确的序都填上 ) 能力提高5． f 0(x)＝ sinx ， f 1 (x)＝ f 0 ′(x)，f 2(x)＝ f 1′ (x)，⋯， f n (x)＝ f n － 1′ (x)， n ∈N ， f 2 013(x)＝( )A ． sinxB ．－ sinxC ．cosxD ．－ cosx6．下边几种推理程是演推理的是()A ．两条直平行，同旁内角互，由此若∠A ，∠B 是两条平行直被第三条直所截得的同旁内角， ∠A ＋∠B ＝ 180°B ．某校高三 (1)班有 55 人，高三 (2)班有 54 人，高三 (3)班有 52 人，由此得出高三全部班人数超 50 人C ．由平面正三角形的性，推空四周体的性D ．在数列 { a } 中， a＝ 1， a ＝ 1 a n－1＋1(n ≥ 2)，由此出 { a } 的通公式n1 nn7．我把平面内与直垂直的非零向量称直的法向量，在平面直角坐系中，利用求点迹方程的方法，能够求出点 A(－ 3,4)，且法向量 n ＝ (1，－ 2)的直 (点法式 ) 方程： 1× (x ＋ 3)＋ (－ 2)× (y － 4)＝ 0，化得 x － 2y ＋ 11＝ 0. 比以上方法，在空直角坐系中，点 A(1,2,3) 且法向量 n ＝ (－ 1，－ 2,1)的平面的方程 ( )A ． x ＋ 2y － z －2＝ 0B ． x － 2y － z －2＝ 0C ．x ＋ 2y ＋ z － 2＝ 0D ． x ＋ 2y ＋ z ＋2＝ 018．“因指数函数x是增函数 (大前提 )，而 y ＝ x是指数函数 (小前提 )，所以 y ＝y ＝ a3 1x是增函数 ()”，上边推理的是 () 3A ．大前提致B ．小前提致C ．推理形式致D ．大前提和小前提都致a ij (i ，j ∈N * )是位于个三 9．把正整数按必定的排成了以下所示的三角形数表．角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第j 个数，如 a 42＝ 8.若 a ij ＝ 2 009， i 与 j 的和 ()12 43 5 76 8 10 12 9 11 13 15 1714 16 18 20 22 24A ． 105B ． 106C ． 107 10．于命：若 O 是段 AB 上一点，有将它比到平面的情况是：D ． 108→ → → →|OB| ·OA ＋|OA| ·OB ＝ 0.若 O 是△ ABC 内一点，有 → → →S △OBC ·OA ＋ S △ OCA ·OB ＋ S △ OAB ·OC ＝ 0. 将它比到空的情况是：若 O 是四周体 ABCD 内一点，有 ________．11．半径r 的的面 S(r )＝ πr 2，周 C(r)＝ 2πr ，若将 r 看做 (0，＋∞ )上的量，2(πr)′＝ 2πr ①，①式能够用言表达：的面函数的数等于的周函数．于半径R 的球，若将R 看做 (0，＋∞ )上的量，你写出似于①的式子：________________ ②，②式能够用言表达：________________.12．1 ＋ 1 ＋⋯＋ 1*)” ，某同学学到了以下一种方法：在算“ 1×2 2× 3n n ＋1 (n ∈ N先改写第 k ： 1 ＝1－ 1，k k ＋ 1 k k ＋ 1由此得1 ＝ 1－ 1， 1 ＝1－1，⋯， 1 ＝ 1－ 1，1× 2 1 2 2× 3 2 3n n ＋ 1 n n ＋ 1相加，得1 ＋ 1 ＋⋯＋ 1 ＝ 1－ 1 ＝ n1× 2 2×3 n n ＋ 1 n ＋ 1 n ＋ 1.比上述方法，你算“ 1 ＋ 1 ＋⋯＋ 1 *1× 2×3n ＋ 2 (n ∈ N )”，其果2× 3×4 n n ＋ 1 ________．13．如 K66 －1，将一个 1 的正三角形的每条三平分，以中一段向形外作正三角形，并擦去中一段，得 (2)，这样下去，得 (3) ⋯⋯K66－1用 n 表示出第 n 个形的数 a n ＝ ________.14．(10 分 )蜜蜂被是自然界中最优秀的建筑，个蜂巢能够近似地看作是一个正六形，如 K66 － 2 一蜂巢的截面．此中第一个有 1 个蜂巢，第二个有 7 个蜂巢，第三个有 19 个蜂巢，按此律，以 f(n)表示第 n 个的蜂巢数．(1) 出 f(4) ， f(5)的，并求 f(n)的表达式 ( 不要求明 )；(2) 1＋1＋1＋⋯＋14明： f 1f 2 f 3f n <3.K66－215． (13 分 ) 某少量民族的刺有着悠长的史，如 K66 － 3她刺最的四个案，些案都是由小正方形组成，小正方形数越多刺越美丽．按同的律刺(小正方形的放律同样 )，第 n 个形包括 f(n)个小正方形．(1) 求出 f(5) 的；(2) 利用合情推理的“ 推理思想”，出f(n ＋ 1)与 f(n)之的关系式，并依据你获得的关系式求出 f(n)的表达式；(3)1 ＋ 1 ＋ 1 ＋⋯＋ 1 的．求f 1f 2 － 1 f 3 －1f n － 1K66－3点打破16．(12 分) 定 C x m ＝ x ·x － 1 ·⋯·x － m ＋ 1，此中 x ∈ R ，m 是正整数，且C x 0＝ 1，是合数 C n m (m ，n 是正整数，且m ！m ≤ n 的一种推行 )．5(1)求 C － 15的； m n － m mm － 1m m (2) 合数的两个性：①C n ＝ C n .② C n ＋ C n ＝ C n ＋1.能否都能推行到 C x ( x ∈ R ，m 是正整然 )的情况？若能推行，写出推行的形式，并出明；若不可以，明原因．(3)已知合数 C n m 是正整数，明：当 x ∈ Z ， m 是正整数， C x m ∈ Z .作 (六十六 )【基身】1． A [ 分析 ] 在等差数列 { a n } 中，因为 4＋ 6＝3＋ 7 有 a 4·a 6>a 3·a 7，所以在等比数列{ b n } 中，因为 4＋ 8＝ 5＋ 7，所以有 b 4＋ b 8>b 5＋ b 7 或 b 4＋b 8<b 5＋b 7.∵ b 4＝ b 1q 3， b 5＝ b 1q 4， b 7＝ b 1q 6， b 8＝b 1q 7∴ (b 4＋ b 8)－ (b 5＋ b 7) ＝ (b 1q 3＋ b 1q 7)－ (b 1q 4＋ b 1q 6) ＝ b 1q 6·(q －1)－ b 1q 3( q －1)＝ (b 1q 6 －b 1 q 3 )(q － 1) ＝ b 1q 3(q 3－1)( q － 1)．∵ q>1 ，b n >0，∴ b 4＋ b 8>b 5 ＋ b 7.故 A.2．D [分析 ] 然每 5 秒前一个位，且 P(1) ＝ 1，P(2)＝ 2，P(3)＝ 3，P(4)＝ 2，P(5)＝ 1，∴ P(2 007)＝ P(5× 401＋ 2)＝ 401＋ 2＝ 403，P(2 008) ＝404， P(2 009) ＝ 403，P(2 010) ＝ 402，故 D.b n 和 a m ，等差数列中的3． B [ 分析 ] 等差数列中的 bn 和 am 能够比等比数列中的bnbn －am n － m b nbn － am 能够比等比数列中的m能够比等比数列中的ma ，等差数列中的n － ma.n － m b n故 b m ＋n ＝am.4．①③④ [分析 ] ① 演推理，② 推理，③④ 比推理．【能力提高】5． C [ 分析 ] f 1(x)＝ (sinx)′＝ cosx ， f 2(x)＝ (cosx)′＝－ sinx ，f 3(x)＝ (－ sinx) ′＝－ cosx ， f 4(x)＝ (－ cosx)′＝ sinx ，f 5(x)＝ (sinx)′＝ cosx ＝ f 1 (x)， f 6(x)＝ (cosx)′＝－ sinx ＝ f 2(x)， f n ＋ 4(x) ＝⋯＝⋯＝ f n (x)，故可猜 f n (x)以 4 周期，有f 4n ＋1(x)＝ f 1(x)＝cosx ，f 4n ＋ 2(x)＝ f 2(x)＝－ sinx ， f 4n ＋3(x)＝ f 3(x)＝－ cosx ， f 4n ＋4(x)＝ f 4(x)＝ sinx ，所以 f 2 013(x)＝ f 503× 4＋ 1(x)＝ f 1(x)＝ cosx ，故 C.6． A [ 分析 ] 两条直平行，同旁内角互 —— 大前提，∠ A ，∠ B 是两条平行直被第三条直所截得的同旁内角—— 小前提，∠ A ＋∠ B ＝ 180°—— ．故 A 是演推理，而B 、 D 是推理，C 是比推理．故 A.7． A [ 分析 ] 比直方程求法得平面方程( － 1)×(x － 1)＋ (－ 2)× (y － 2)＋ 1×(z －3)＝ 0 即 x ＋ 2y － z － 2＝ 0.8． A[ 分析 ] y ＝ a x 是增函数个大前提是的，进而致．9． C [ 分析 ] 由三角形数表能够看出其奇数行奇数列，偶数行偶数列， 2 009 ＝2× 1005－ 1，所以 2 009 第 1 005 个奇数，又前 31 个奇数行内数的个数的和 961，前 32个奇数行内数的个数的和1 024，故2 009 在第 32 个奇数行内，所以 i ＝ 63，因第 63 行的第一个数 2× 962－ 1＝ 1 923,2 009＝ 1923＋2(m － 1)，所以 m ＝ 44，即 j ＝44，所以 i ＋ j＝107.→ → →→[ 分析 ] 平面上的段度10． V O － BCD ·OA ＋ V O －ACD ·OB ＋ V O －ABD ·OC ＋ V O －ABC ·OD ＝ 0 比到平面上就是形的面，比到空就是几何体的体．4 3 2 11. 3πR ′＝ 4πR 球的体函数的数等于球的表面函数2＋ 3n＝11 1n [分析] ∵1－，挨次裂，乞降12.4 n ＋ 1 n ＋2k k ＋ 1 k ＋22 k k ＋ 1k ＋ 1 k ＋ 2n 2＋ 3n得4 n ＋1 n ＋2 .13． 3× n －1[分析 ] a 1＝ 3， a 2＝ 12， a 3＝48，可知 a n ＝ 3× 4 n －14. 14． [解答 ] (1) f(4) ＝ 37， f(5) ＝61.因为 f(2)－ f(1)＝ 7－1＝ 6， f(3) － f(2) ＝ 19－ 7＝ 2×6， f(4) － f(3) ＝ 37－ 19＝ 3× 6，f(5) －f(4)＝ 61－ 37＝ 4× 6，⋯所以，当 n ≥ 2 ，有 f(n)－ f(n － 1)＝6(n － 1)，所以 f(n)＝ [f(n)－ f( n － 1)]＋ [f(n － 1)－ f(n － 2)] ＋⋯＋ [ f(2)－ f(1)] ＋ f(1)＝ 6[(n － 1)＋ (n － 2)＋⋯＋ 2＋ 1]＋ 1＝ 3n 2－ 3n ＋ 1.又 f(1) ＝1＝ 3× 12－ 3× 1＋ 1，所以 f(n) ＝3n 2－ 3n ＋ 1.1 1 1 1 1 － 1 (2) 明：当 k ≥ 2， f k ＝ 3k 2－ 3k ＋1<3k 2－ 3k＝3k.k － 1 所以 1 ＋ 1＋ f 1 ＋⋯＋11 1－ 1＋ 1－ 1 ＋⋯＋ 1 － 1f 1 f 2 3 f n<1＋3 2 2 3 n － 1 n＝ 1＋1 1－ 1 <1＋ 1＝ 4.3n3 315． [解答 ] (1) f(5) ＝ 41. (2)由可得 f(2) － f(1)＝ 4＝ 4×1， f(3) － f(2)＝ 8＝ 4×2， f(4) － f(3)＝ 12＝ 4× 3， f(5) － f(4)＝ 16＝ 4× 4. 由上式律，可得 f(n ＋1)－ f(n)＝ 4n.因 f(n ＋ 1)－ f(n)＝ 4n ，所以 f(n ＋1)＝ f(n)＋ 4n ，所以 f(n)＝ f(n － 1)＋ 4(n － 1)＝ f(n － 2)＋ 4(n － 1)＋ 4(n －2)＝ f(n － 3)＋ 4(n － 1)＋ 4(n －2)＋ 4(n － 3) ⋯＝ f(1) ＋ 4(n － 1)＋ 4(n － 2)＋ 4(n －3) ＋⋯＋ 4＝ 2n 2－ 2n ＋ 1.(3)当 n ≥ 2 ，1 ＋ 1 ＋ 1 ＋⋯＋ 1 f 1 f2 － 1 f3 － 1 f n － 11 1 11＝ 1＋ 2× 22－ 2× 2＋1－ 1＋2× 32－ 2× 3＋1－ 1＋⋯＋2n 2－ 2n ＋1－ 111 11 ＝ 1＋2×2× 2－1 ＋ 2×3× 3－ 1 ＋⋯＋ 2n n － 11 1 1 ＋ 1 ＋⋯＋ 1＝ 1＋2× 2× 1 n n － 13×21 1 ＋ 1 1 1 － 1＝ 1＋2× 1－ 2－＋⋯＋n2 3n － 1＝ 1＋1 1－1 ＝3－ 1.2n 2 2n【点打破】16． [解答 ] (1) 依据新定直接行演算即可5－ 15 －16 － 17 －18 － 19C－15＝5！＝－11 628.2， m ＝ 1 ， C122－ 1无心．性(2)性 ①不可以推行．反例：当 x ＝2存心，但 C②能推行，且推行形式不：mm －1mC x ＋ C x ＝ C x ＋ 1(x ∈ R ，m 是正整数 )．明以下： C x m ＋ C xm － 1＝x x －1x － 2 ⋯ x － m ＋ 1＋ x x － 1 x － 2 ⋯ x － m ＋ 2m ！m － 1 ！＝ x x － 1 x － 2 ⋯ x － m ＋ 2 ·(x ＋1) ＝m ！1mm ！ ·(x ＋ 1)[( x ＋ 1)－ 1][( x ＋ 1)－ 2]⋯ [(x ＋ 1)－ m ＋ 1]＝ C x ＋1 .(3)需要就 x 与 m 的大小做出区分并行密的．当 x ≥ m ， x ， m 都是正整数， C n m 就是合数，然建立；当 0≤x<m ， C x m ＝x x －1 x －2 ⋯0⋯x －m ＋ 1＝ 0∈ Z ，也建立；m ！当 x<0 ， C x m＝x x －1x － 2 ⋯ x － m ＋ 1m ！＝(－1) m 1(－ x ＋m － 1)(－ x ＋m － 2)⋯ (－ x ＋1)( －x) ＝ (－1) m mm ！ C －x ＋m－1m∵－ x ＋ m － 1>0，∴ C － x ＋ m － 1是正整数，mm m故 C x ＝ (－ 1) C － x ＋ m － 1∈ Z .上所述，当 x ∈ Z ，m 是正整数， C m x ∈ Z .。

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课时作业（五十七）B ［第57讲排列、组合］［时间：35分钟分值：80分］基础热身1.由0,123,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{d“}，则G9 = （）A. 2 014B. 2 034C. 1 432D. 1 4302.有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有I 个一等品的不同取法种数是（）A. 1 136B. 1 600C. 2 736D. I 1203.某学校有教职工100人，其中教师80人，职员20人.现从中选取10人组成一个考察团外出学习考察，则这10人中恰好有8名教师的不同选法的种数是（）A. CsoCfoB. A go A 20C. AI0C20D. CI0C204.某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一城市投资项目不超过2个，则他不同的投资方案有（）A. 6（）种B. 70 种C. 100 种D. 12（）种能力提升5.某校开设10门课程供学生选修，其中A, B, C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A. 120B. 98C. 63D. 566.从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8 'I'任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有（）A. 252 个B. 300 个C. 324 个D. 228 个7.2011年，哈三中派出5名优秀教师去大兴安岭地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A. 80 种B. 90 种C. 120 种D. 150 种8.某校高三师生为“庆元旦•迎新年”举行了一次联欢晚会，高三年级8个班中每个班的学生准备了一个节目，且节目单已排好.节目开演前又增加了3个教师的节目，其中有2个独唱节日，1个朗诵节日，如果将这3个节日插入原节目单中，要求教师的节口不排在第一个和最后一个，并且教师的2个独唱节目不连续演出，那么不同的排法有（）A. 294 种B. 308 种C. 378 种D. 392 种9.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的总数为 _______ （用数字作答）.10.有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，口每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有 _______ 种（用数字作答）.11.将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共冇 _______ 种.12.（13分）一次数学考试的第一大题有11道小题，其中第（1）〜（6）小题是代数题，答对一题得3分；第（7）〜（11）题是几何题，答对一题得2分.某同学第一大题对6题，且所得分数不少于木题总分的一半，问该同学有多少种答题的不同情况？难点突破13.(12分)(1)10个优秀指标名额分配给6个班级，每个班至少一个，共有多少种不同的分配方法？(2)在正方体的过任意两个顶点的所冇直线中，界面直线冇多少对？课时作业(五十七)B【基础热身】1. A |解析］千位是1的四位偶数有C|AH18,故第19个是千位数字为2的四位偶数中最小的一个，即2014.2. A ［解析］方法一：将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类计数原理C|6C H C?6C I+C J6=1136(种).方法二考虑其对立事件：“3个都是二等品”，用间接法：©o—CRl 136(种).3. D ［解析］由于结果只与选出的是哪8名教师和哪两名职员有关，与顺序无关，是组合问题.分步计数，先选8名教师再选2名职员，共有C殳°C；。