2019-2020年高中数学第二章《合情推理》教案1 新人教A版

合集下载

高中数学第二章《合情推理》教案1 新人教A版

第二章推理与证明 2.1.1 合情推理（一）教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.教学重点：能利用归纳进行简单的推理.教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.教学过程：一、新课引入：1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想.3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.二、讲授新课：1. 教学概念：① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.② 归纳练习：(i )由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？(ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？(iii )观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样的结论？③ 讨论：(i )统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？(ii )归纳推理有何作用？（发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段）(iii )归纳推理的结果是否正确？（不一定）2. 教学例题：① 出示例题：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n n na a n a +==+L ，试归纳出通项公式.（分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a →如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）② 思考：证得某命题在n ＝n 0时成立；又假设在n ＝k 时命题成立，再证明n ＝k ＋1时命题也成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？（目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系）③ 练习：已知(1)0,()(1)1,f af n bf n ==-= 2,0,0n a b ≥>>，推测()f n 的表达式.3. 小结：①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳.三、巩固练习：1. 练习：教材P38 1、2题.2. 作业：教材P44习题A组 1、2、3题.。

高中数学合情推理教学设计新人教A版选修2

“合情推理”教学设计一、教学内容与内容解析1．内容：归纳推理的含义，会利用归纳进行一些简单的推理.2．内容解析：（1）本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2—2）中第二章《推理与证明》第一节的第一课时。

推理与证明是一种数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

推理与证明思想贯穿于高中数学的整个知识体系，但是作为一章内容出现在高中数学教材中尚属首次。

《推理与证明》是新课标教材的亮点之一，本章内容将推理与证明的一般方法进行了必要的总结和归纳，同时也对后继知识的学习起到引领的作用。

推理一般包括合情推理和演绎推理,合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。

在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。

演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.。

培养和提高学生演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标，合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。

证明通常包括逻辑证明和实验、实践的证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。

本章的内容属于数学思维方法的范畴，把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用他们，以培养言之有理，论证有据的习惯。

学习这一章，要突出体现数学的人文价值和实际应用价值。

本节课所要学习的归纳推理便是合情推理的一种。

归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，前提是其结论的必要条件。

首先，归纳推理的前提必须是真实的，否则，归纳就失去了意义。

其次，归纳推理的结论超过了前提所判定的范围，因此在归纳推理中，前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，重在合乎情理。

2019-2020学年人教A版选修2-2 2.1.1 合情推理学案

2．1.1合情推理学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．知识点一归纳推理思考(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？答属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理．(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．(2)特征：由部分到整体，由个别到一般．知识点二类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？答类比推理．(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．(2)特征：由特殊到特殊的推理．知识点三合情推理思考1归纳推理与类比推理有何区别与联系？答区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．思考2归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定正确．1．定义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理．简言之，合情推理就是合乎情理的推理．2．推理的过程从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想类型一数、式中的归纳推理例1(1)观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)·(3＋3)＝23×1×3×5，……，照此规律，第n个等式可为____________________________________________．(2)已知：f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f n－1(f n－1(x))(n>1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想f n(x)(n∈N*)的表达式为________．答案(1)(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(2)x1－4xx1－2n－1x解析(1)从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n 个等式可为 (n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)． (2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x 1－x 1－x＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x 1－2x1－2×x 1－2x ＝x 1－4x ， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x 1－4x1－4×x 1－4x ＝x 1－8x ， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x 1－8x1－8×x 1－8x＝x 1－16x ， ∴根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.反思与感悟 1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法：(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论．2．数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．跟踪训练1 从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…中，你能总结出什么结论？解第一个式子，左边一个数是1，右边结果是12；第二个式子，左边三个数相加，从2开始，右边结果是32；第三个式子，左边五个数相加，从3开始，右边结果是52；第四个式子，左边七个数相加，从4开始，右边结果是72；…；第n个式子，左边2n－1个数相加，从n开始，右边结果是(2n－1)2.总结结论：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋[n＋(2n－2)]＝(2n－1)2(n∈N*)，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)．类型二几何图形中的归纳推理例2根据如图所示的5个图形及相应圆圈的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有多少个圆圈．解方法一图(1)中的圆圈个数为12－0，图(2)中的圆圈个数为22－1，图(3)中的圆圈个数为32－2，图(4)中的圆圈个数为42－3，图(5)中的圆圈个数为52－4，……故猜测第n个图形中的圆圈个数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.方法二第(2)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有(1＋1)2－1个圆圈．第(3)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有2个圆圈，共有(2＋1)2－2个圆圈．第(4)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有3个圆圈，共有(3＋1)2－3个圆圈．第(5)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有4个圆圈，共有(4＋1)2－4个圆圈．……由上述的变化规律可猜测第n 个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n 个方向，每个方向都有(n －1)个圆圈，共有[(n －1)＋1]2－(n －1)＝(n 2－n ＋1)个圆圈．反思与感悟图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．跟踪训练2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．答案 5n ＋1解析观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n 个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n －1)×5＝5n ＋1. 类型三类比推理例3 (1)在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．可类比得到的结论是________________________________________ ________________________________________________________________________. 答案数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300 解析因为等差数列{a n }的公差d ＝3，所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)10101010d d d ++⋅⋅⋅+144424443个＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300. 即结论为数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.(2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．解如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，如图所示，在四面体P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S21＋S22＋S23成立．反思与感悟 1.类比推理的一般步骤2．中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，向量、复数与实数，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何相关类比点如下：跟踪训练3 (1)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n(n <19，n ∈N *)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式_______________成立．答案 b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n <17，n ∈N *)解析这是由一类事物(等差数列)到与其相似的另一类事物(等比数列)间的类比．在等差数列{a n }的前19项中，其中间项a 10＝0，则a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n .相似地，在等比数列{b n }的前17项中，b 9＝1为其中间项，则可得b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n <17，n ∈N *)．故填b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n <17，n ∈N *)．(2)在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝(a c )2＋(bc )2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. 证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝(m l )2＋(n l )2＋(gl )2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.1．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大答案 A解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色． 2．已知f (x )＝xe x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N .经计算f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－x e x，…，照此规律，则f n (x )＝____________. 答案－1nx －nex3．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．答案 n 2－n ＋62解析前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n 2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，每个图形总的点数记为a n ，则a 6＝______，a n ＝______(n >1，n ∈N *)．答案 15 3n －3解析 n ＝2时，a 2＝3×(2－1)＝3， n ＝3时，a 3＝3×(3－1)＝6， n ＝4时，a 4＝3×(4－1)＝9， n ＝5时，a 5＝3×(5－1)＝12， ∴a 6＝3×(6－1)＝15，故a n ＝3×(n －1)＝3n －3(n >1，n ∈N *)．5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案 1∶8解析设两正四面体体积分别为V 1，V 2， V 1∶V 2＝13S 1h 1∶13S 2h 2＝S 1h 1∶S 2h 2＝1∶8.1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向． 2．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想 ―→归纳、类比―→提出猜想一、选择题1．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )A ．若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” 答案 C解析显然A ，B ，D 不正确，只有C 正确． 2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111…A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113答案B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)答案D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2答案C解析从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.5．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9答案D6．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体A －BCD 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为R ，四面体A －BCD 的体积为V ，则R 等于( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体A －BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.7．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( ) A ．(7,5) B ．(5,7) C ．(2,10) D ．(10,1) 答案 B解析依题意，由和相同的整数对分为一组不难得知，第n 组整数对的和为n ＋1，且有n 个整数对．这样前n 组一共有n (n ＋1)2个整数对．注意到10(10＋1)2<60<11(11＋1)2，因此第60个整数对处于第11组的第5个位置，可得为(5,7)．故选B.8．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1答案 A解析根据“黄金椭圆”的性质是FB →⊥AB →，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，设“黄金双曲线”的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．在“黄金双曲线”中，∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝0.又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，∴b 2－ac ＝0，∴c 2－a 2＝ac .等号两边同除以a 2求得e ＝5＋12.故选A.二、填空题9．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：_______________.答案若a ＋b ＝20，则a ＋b <210，a ，b ∈R ＋10．观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为_______________________________________．答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .11．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ＝n (a 1＋a n )2，由此可类比得到各项均为正数的等比数列{b n }的前n 项积T n ＝________(用n ，b 1，b n 表示)．答案 (b 1b n )n2解析由等差数列中的“求和”类比等比数列中的“求积”，可知各项均为正数的等比数列{b n }的前n 项积T n ＝(b 1b n )n2.三、解答题12．三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，并填写下表：解三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比到空间为面．三角形的中位线对应四面体的中位面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下表：13.已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2成立．那么在四面体A－BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确并给出理由．解类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.猜想正确．如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2，故猜想正确．。

高中数学 2.1.1 合情推理教案新人教A版选修12 (2)(1)

2．1.1 合情推理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)结合已学过的数学实例，了解归纳推理与类比推理的含义．(2)能利用归纳和类比的方法进行简单的推理．(3)体会并认识归纳推理、类比推理在数学发现中的作用．2．过程与方法让学生感受数学知识与实际生活的普遍联系，通过让学生积极参与，亲身经历归纳、类比推理定义的获得过程，培养学生归纳推理、类比推理的思想．3．情感、态度与价值观通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识．●重点难点重点：归纳推理与类比推理概念的理解，归纳推理与类比推理思想方法的掌握．难点：归纳推理、类比推理的应用．通过举例分析归纳推理与类比推理的异同，让学生对两个概念有较深刻的理解，突出本节重点，通过例题讲解总结归纳推理与类比推理的应用方法及解题规律，强化训练有关题型，化解难点．(教师用书独具)●教学建议1．关于归纳推理的教学教学时要从具体的事例出发，让学生参与猜测，引导学生归纳，激发学生学习的兴趣，总结归纳推理的过程，让学生自己去发现归纳推理的应用方法与技巧．通过适量的练习使学生掌握观察、猜测、归纳、论证各环节的规律方法，并能灵活应用．2．关于类比推理的教学类比推理的难度要大于归纳推理，教学时应该借助实例帮助学生学会分析类比对象之间的异同点，学会由已知对象的性质、特征联想类比对象的相应性质特征．通过适量练习让学生逐步掌握类比的技巧方法．引导学生总结并掌握常见的类比结论．●教学流程创设问题情境，引出问题，猜想数列的项及三角形内角和，引入归纳推理的概念．创设问题情境，引出问题，由三角形的性质，推测空间四面体的性质，从而引出类比推理的概念．创设问题情境，通过归纳推理、类比推理的概念，引出合情推理的概念．引导学生分析例题1，找出图案的个数变化，猜想出排列规律，从而计算出第六个图案的个数．总结方法，完成变式训练．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．讲解例题3，指出解题误区及如何避免，总结合情推理的应用类型解题方法．引导学生分析例题2，指出相对应的类比元素，三边对四面，高对高推测结论，并给出证明，总结类比方法，引导学生完成互动探究．课标解读1.了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理．(重点)2．能用归纳和类比进行简单的推理．(难点)3．了解合情推理在数学发现中的作用.归纳推理【问题导思】1．数列{a n }中，a 1＝12，a 2＝34，a 3＝78，a 4＝1516.你能猜出a 5的值吗？【提示】 a 5＝3132.2．直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？【提示】所有三角形内角和都是180°.定义特征由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理【问题导思】已知三角形的如下性质： (1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底乘积的12.1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．【提示】 (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积． (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.2．以上两个推理有什么共同特点？【提示】都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的．定义特征由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理类比推理是由特殊到特殊的推理合情推理【问题导思】 1．归纳推理与类比推理有没有共同点？【提示】二者都是从具体事实出发，推断猜想新的结论．2．归纳推理与类比推理得出的结论一定正确吗？【提示】不一定正确．归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．归纳推理有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )图2－1－1A．26 B．31C．32 D．36【思路探究】本题中图形的变化比较简单，可有两种思路：第一种，直接查个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形．【自主解答】法一有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.法二由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有菱形纹的正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形)，第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31，故选B.【答案】 B1．解答本题时，关键是找出相邻图形间正六边形个数的变化规律．2．对于图形中的归纳推理问题，可从图形中相关元素(点、直线等)的变化规律入手直接求解，也可将其转化为数列问题进行求解．(2012·陕西高考)观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋133<53， 1＋122＋132＋142<74， ………照此规律，第五个．．．不等式为________．【解析】观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.【答案】 1＋122＋132＋142＋152＋162<116类比推理如图2－1－2所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c＝1.图2－1－2证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．【思路探究】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．【自主解答】 p a h a ＝12BC ·p a12BC ·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △PAC S △ABC ，p c h c ＝S △PABS △ABC.∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，∴p ah a＋p bh b＋p ch c＝S△PBC＋S△PAC＋S△PABS△ABC＝1.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设h a，h b，hc，h d分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为p a，p b，p c，p d，可以得到结论p ah a＋p bh b＋p ch c＋p dh d＝1.证明如下：p ah a＝13S△BCD·p a13S△BCD·h a＝V P－BCDV A－BCD，同理，p bh b＝V P－ACDV A－BCD，p ch c＝V P－ABDV A－BCD，p dh d＝V P－ABCV A－BCD.∵V P－BCD＋V P－ACD＋V P－ABD＋V P－ABC＝V A－BCD，∴p ah a＋p bh b＋p ch c＋p dh d＝V P－BCD＋V P－ACD＋V P－ABD＋V P－ABCV A－BCD＝1.1．类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．2．平面图形与空间图形类比如下：平面图形点线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体在本例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A、B、C，那么由a＝b·cos C＋c·cos B可类比四面体的什么性质？【解】在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.合情推理的综合应用在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明； (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．【思路探究】结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．【自主解答】 (1)数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋…＋10d 10个＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30 是等差数列，且公差为300. (2)对于∀k ∈N *，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d .在等比数列与等差数列的类比中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．等差数列有如下性质：若数列{a n }是等差数列，则当b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn时，数列{b n }也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{c n }是正项等比数列，则当d n ＝________时，数列{d n }也是等比数列．【解析】类比等差数列与等比数列的性质：定义中“差”与“商”，中项中“和”与“积”，可猜测当d n＝nc1c2…c n时，{d n}为等比数列．【答案】nc1c2…c n归纳推理在数阵中的应用(12分)观察如图所示的“三角数阵”1 (1)2 2 (2)3 4 3 (3)4 7 7 4 (4)5 11 14 11 5 (5)…………记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．【思路点拨】观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果．(2)由数阵可直接写出答案．(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．【规范解答】由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．(1)6,16,25,25,16,6.4分(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11.8分(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，由此归纳：a n＋1＝a n＋n.12分对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发展结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．2．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误【解析】根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论，故选B. 【答案】 B2．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是( )A ．a n ＝2(n 2＋n ＋1) B ．a n ＝3·2nC ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝2·3n【解析】当n ＝1时，a 1＝32a 1－3，∴a 1＝6，由S n ＝32a n －3，当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－3，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32a n －32a n －1，∴a n ＝3a n －1.∴a 1＝6，a 2＝3×6，a 3＝32×6. 猜想：a n ＝6·3n －1＝2·3n.故选D.【答案】 D3．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．矩形D ．平行四边形【解析】因为平行六面体的六个面全为平行四边形，并且相对的每一对面平行且全等．类比这一性质可知平面中应类比平行四边形更合适．【答案】 D4．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在立体几何中，给出四面体性质的猜想．【解】如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b 2c2＝1.把结论类比到四面体P －ABC 中，我们猜想，在三棱锥P －ABC 中，若三个侧面PAB ，PBC ，PCA 两两互相垂直，且与底面所成的二面角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.一、选择题1．下列关于归纳推理的说法错误的是( ) A ．归纳推理是一种从一般到一般的推理过程 B ．归纳推理是一种从特殊到一般的推理过程 C ．归纳推理得出的结论不一定正确 D ．归纳推理具有由具体到抽象的认知功能【解析】归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论未必正确．故B、C、D正确，A错误．【答案】 A2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；③各个面是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；④各棱长相等，相邻的两个面所成的二面角相等．A．①④B．①②C．①③D．③④【解析】类比推理的原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一原则，只有①②符合．【答案】 B3．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( ) A．01 B．43 C．07 D．49 【解析】72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807,76＝117 649，…，由此看出，末两位数字具有周期性，且周期为4，又2 011＝4×502＋3，由此知72 011的末两位数字应为43，故选B.【答案】 B4．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④【解析】①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①、②、④是合情推理．【答案】 C5．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，f4(x)＝f′3(x)，…，f n(x)＝f′n－1(x)，则f2 013(x)等于( )A．sin x B．－sin x C．cos xD．－cos x【解析】 f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，可以归纳出f 4n (x )＝sin x ，f 4n ＋1(x )＝cos x ， f 4n ＋2(x )＝－sin x ，f 4n ＋3(x )＝－cos x ，∴f 2 013(x )＝f 1(x )＝cos x . 【答案】 C 二、填空题6．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________．【解析】结合等差数列的特点，类比等比数列中b 1b 2b 3…b 9＝29可得，在{a n }中，若a 5＝2，则有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9.【答案】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×97．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图2－1－3)．图2－1－3试求第七个三角形数是________．【解析】观察知第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，∴当n ＝7时，7×7＋12＝28. 【答案】 288．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.【答案】 1∶8 三、解答题9．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f (n )表示这n 条直线交点的个数．(1)求f (4)；(2)当n ＞4时，求f (n )(用n 表示)．【解】 (1)如图所示，可得f (4)＝5. (2)∵f (3)＝2，f (4)＝5＝f (3)＋3，f (5)＝9＝f (4)＋4， f (6)＝14＝f (5)＋5.……∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数． ∴f (n )＝f (n －1)＋n －1，累加得f (n )＝f (3)＋3＋4＋5＋…＋(n －1) ＝2＋3＋4＋5＋…＋(n －1)＝12(n ＋1)(n －2)．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．【解】当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *)．11．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD2＝1AB2＋1AC 2成立．那么在四面体A－BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．【解】猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.猜想正确．如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确.(教师用书独具)三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心面，即平面的线类比到空间为面．三角形的中位线对应四面体的中位面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．【自主解答】三角形四面体三角形的两边之和大于第三边四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边四面体的中位面的面积等于第四个面的面积的14，且中位面平行于第四个面三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．已知椭圆具有以下性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似的性质，并加以证明．【解】类似的性质为：若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M 、P 的坐标为(m ，n )、(x ，y )，则N (－m ，－n )．∵点M (m ，n )在已知双曲线上，∴n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值).。

2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理讲义新人教A版选修2_2

2.1.1 合情推理1．归纳推理(1)概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类事物的□02全部对象都具有这些特征的推理，或由□03个别事实概括出□04一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)． (2)特征：归纳推理是由□05部分到□06整体、由□07个别到□08一般的推理． (3)一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些□09相同性质；第二步，从已知的□10相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．2．类比推理(1)概念：由两类对象具有某些□11类似特征和其中一类对象的某些□12已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由□13特殊到□14特殊的推理． (3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的□15相似性或□16一致性；第二步，用一类事物的□17性质去推测另一类事物的□18性质，得出一个明确的命题(猜想)． 3．合情推理 (1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过□19观察、□20分析、□21比较、□22联想，再进行□23归纳、□24类比，然后提出□25猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． (2)合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用. ( ) (3)归纳推理是由个别到一般的推理．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)，则可归纳猜想{a n }的通项公式为__________________．(2)数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________．(3)等差数列{a n }中有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，类比以上结论，在等比数列{b n }中类似的结论是__________．答案 (1)a n ＝2n ＋1(n ∈N *) (2)65 (3)b 2n ＝b n －1·b n ＋1(n ≥2且n ∈N *)探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n(n ＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解] 当n ＝1时，a 1＝1，当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12，当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13，当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14，…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列{a n }的通项公式是a n ＝1n.[解法探究] 此题有没有其他解法呢？[解] 因为a n ＋1＝a n 1＋a n ，即1a n ＋1＝1a n＋1，所以1a n ＋1－1a n＝1，又a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为1的等差数列．所以1a n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝1n.拓展提升在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n 项和公式，归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能．【跟踪训练1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为________．答案2n n ＋1解析因为a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝4a 2，所以a 2＝13，所以S 2＝13×4＝43，同理，可得S 3＝64，S 4＝85，归纳可得，S n ＝2nn ＋1.探究2 几何中的归纳推理例2 定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应图中(1)，(2)，(3)，(4)，那么图中的(a )，(b)所对应的运算结果可能是( )A ．B *D ，A *D B ．B *D ，A *C C ．B *C ，A *DD ．C *D ，A *D[解析] 从运算图形中，归纳出“*”表示什么运算，A ，B ，C ，D 分别表示什么图形，即可研究(a )，(b)所对应的运算结果．依题意，运算“*”表示图形叠加，由4个运算图形归纳得出：A 是一条竖直线段，B 是。

2019-2020学年人教A版选修2-2 合情推理学案

合情推理[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发展中的作用.知识点一推理的定义与结构形式1.定义：推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.其作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识.2.结构形式：从结构上来说，推理一般分为两部分，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提，另一部分是由已知判断推出的新的判断，叫做结论.思考(1)依据部分对象得到的推理结论可靠吗？(2)推理一般用哪些关联词？答案(1)不一定完全可靠.(2)推理一般可用关联词将“前提”和“结论”联结，常用的关联词有“因为……所以……”“根据……可知……”“如果……那么……”“若……则……”.知识点二归纳推理与类比推理思考归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答案归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠. 知识点三合情推理1.合情推理的含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想思考由合情推理得到的结论可靠吗？答案一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了.题型一归纳推理的应用例1 已知数列{a n }的第1项a 1＝2，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式.解 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n1＋a n(n ＝1,2，…)，∴a 1＝21，a 2＝21＋2＝23，a 3＝231＋23＝25，a 4＝251＋25＝27.由此发现分母依次为1,3,5,7，…，分子都是2. ∴归纳猜想得a n ＝22n －1(n ∈N *).反思与感悟求数列{a n }的通项公式的一般方法：(1)根据已知条件求出数列的前几项(有时题目已给出)，如a 1，a 2，a 3等；(2)通过这些项找出项与序号之间的一般规律，归纳出数列的一个通项公式.跟踪训练1 已知数列11×3，13×5，15×7，…，1(2n －1)(2n ＋1)(n ∈N *)的前n 项的和为S n .(1)求出S 1，S 2，S 3，S 4；(2)猜想该数列的前n 项和S n 并证明. 解 (1)S 1＝13，S 2＝25，S 3＝37，S 4＝49.(2)猜想S n ＝n2n ＋1(n ∈N *).证明如下：∵1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1(n ∈N *). 题型二类比推理的应用例2 在矩形ABCD 中，对角线AC 与两邻边AB ，BC 所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1.在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明.解如图(1)，在矩形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想若其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：如图(2)，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.反思与感悟类比推理是一种主观的不充分的推理，因此，要确认其猜想的正确性，还必须经过严格的逻辑论证.一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得到的命题就越可靠.类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性或相似性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.跟踪训练2 “若直角三角形两直角边的长分别为a ，b ，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径r ＝a 2＋b 22”.对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a ，b ，c ”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球的半径R ＝__________. 答案a 2＋b 2＋c 22解析由求直角三角形外接圆的半径的方法，通过类比得出求三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球的半径的方法为：首先将该三棱锥补全为长方体，而长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径，从而得出该三棱锥的外接球的半径R＝a2＋b2＋c22.合情推理的应用归纳推理、类比推理都是合情推理，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；而类比推理则是通过某两类对象在对比中启发猜想结论.这些结论未必正确，要进一步验证(或证明)其正确性.例3设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确.解f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是质数，∴归纳猜想：当n∈N*时，f(n)＝n2＋n＋41的值都为质数.验证：当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝40×(40＋1)＋41＝41×41.∴f(40)是合数，∴由上面归纳推理得到的猜想不正确.1.已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，….若 6＋a b ＝6a b(a ，b ∈R ), 则( )A.a ＝5，b ＝24B.a ＝6，b ＝24C.a ＝6，b ＝35D.a ＝5，b ＝35答案 C解析观察式子的特点可知，分式ab 的分子a 与根号外的数相同，而分母b 则为该数的平方减1.2.在数学解题中，常会碰到形如“x ＋y1－xy ”的结构，这时可类比正切的和角公式.如：设a ，b是非零实数，且满足a sin π5＋b cosπ5a cos π5－b sinπ5＝tan 8π15，则ba 等于( )A.4B.15C.2D. 3 答案 D解析将已知式变形，则有a sin π5＋b cos π5a cos π5－b sin π5＝a tan π5＋b a －b tan π5＝tan π5＋b a 1－b a tanπ5＝tan 8π15，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，可知只有当b a ＝tan π3＝3时，上式成立.3.已知x ∈(0，＋∞)，观察下列不等式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，…，类比有x ＋ax n ≥n＋1(n ∈N *)，则a ＝________. 答案 n n解析由类比推理可得x ＋a x n ＝...n x x n n ++个＋a xn ≥(n ＋1)·x n ·x n ·…·x n ·ax n ＝n ＋1，此时a ＝n n .4.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.答案1275.根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式. (1)a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1；(2)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n；(3)对一切的n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1. 解 (1)由已知可得a 1＝3＝22－1， a 2＝2a 1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a (n ∈N *).(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1， ∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0.∵对一切的n ∈N *，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7，猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *).1.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).2.类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想).一、选择题1.已知a1＝3，a2＝6，且a n＋2＝a n＋1－a n，则a33为()A.3B.－3C.6D.－6答案 A解析∵a1＝3，a2＝6，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3, ∴周期T＝6，∴a33＝a3＝3.2.如图所示，在杨辉三角中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10，…，记其前n项和为S n，则S19等于()A.129B.172C.228D.283答案 D解析由组合数的性质，如数列1,3,3,4,6,5,10，…，其实是由组合数C22，C13，C23，C14，C24，C15，C25，…组成的.∴S19＝C22＋C13＋C23＋C14＋C24＋…＋C111＋C211＝C33＋C23＋C24＋…＋C211－C23＋C23＋C13＋C14＋…＋C111＝C312＋C212－3＝283.3.数列5,9,17,33，x，…中的x等于()A.47B.65C.63D.128答案 B解析5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.4.根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111 … A.1 111 110 B.1 111 111 C.1 111 112 D.1 111 113答案 B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111. 5.设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，猜想a n 等于( )A.2cosθ2nB.2cosθ2n －1C.2cos θ2n ＋1D.2 sin θ2n答案 B解析方法一 ∵a 1＝2cos θ，a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2， a 3＝2＋a 2＝21＋cosθ22＝2cos θ4，…，猜想a n ＝2cosθ2n －1. 方法二验n ＝1时，排除A 、C 、D ，故选B.6.设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c ，类比这个结论可知：四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为R ，四面体ABCD 的体积为V ，则R 等于( ) A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，所以R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.二、填空题7.已知数列{a n}满足条件(n－1)·a n＋1＝(n＋1)·a n－n－1，且a2＝6，设b n＝a n＋n(n∈N*)，则数列{b n}的通项公式b n＝________.答案2n2解析a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，b1＝2，b2＝8，b3＝18，b4＝32.可以通过求数列{a n}的通项公式来求数列{b n}的通项公式.我们发现a1＝1＝1×1；a2＝6＝2×3；a3＝15＝3×5；a4＝28＝4×7；…，猜想a n＝n×(2n－1)，进而猜想b n＝2n2－n＋n＝2n2.8.将自然数按如下规则排列在平面直角坐标系中：①每一个自然数对应一个整点(横、纵坐标均为整数的点)；②0在原点，1在(0,1)，2在(1,1)，3在(1,0)，4在(1，－1)，5在(0，－1)，9在(－1,2)，…，所有自然数按顺序顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上且所有整点上均有自然数，则数字(2n＋1)2(n∈N*)的坐标为__________.答案(－n，n＋1)解析9的坐标为(－1,2)，且9＝(2×1＋1)2,25的坐标为(－2,3)，且25＝(2×2＋1)2,49的坐标为(－3,4)，且49＝(2×3＋1)2，…，所以(2n＋1)2的坐标为(－n，n＋1).9.如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第1群，第2群，……，第n群，……，第n群恰好有n个数，则第n群中n个数的和是____________.12 34 6 5812107162420149324840281811…答案 3×2n －2n －3解析根据规律观察可得每排的第一个数1,2,4,8,16，…构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以第n 群的第一个数是2n －1，第n 群的第2个数是3×2n －2，…，第n 群的第n －1个数是(2n －3)×21，第n 群的第n 个数是(2n －1)×20，所以第n 群的所有数之和为2n －1＋3×2n－2＋…＋(2n －3)×21＋(2n －1)×20，根据错位相减法求和得其和为3×2n －2n －3.10.设f (x )＝12x ＋2.利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________. 答案 3 2解析 ∵6－(－5)＝11，∴f (－5)，f (－4)，…，f (5)，f (6)，共有12项.课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法是倒序相加法，即 ∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a n ＋a 1，令S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1， ∴2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)＝n (a 1＋a n )， ∴S n ＝n (a 1＋a n )2.同理，∵f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝12x ＋2＋2x2＋2×2x ＝2＋2x2(2x ＋2)＝22. 令T n ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (5)＋f (6)，则T n ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2T n ＝[f (－5)＋f (6)]＋[f (－4)＋f (5)]＋…＋[f (6)＋f (－5)] ＝12×22＝6 2. ∴T n ＝3 2. 三、解答题11.在平面几何中，有这样一个命题：一边长为a 的正三角形内任意一点P 到三边的距离之和等于边长的32倍.请你用类比推理的方法，在立体几何中寻找一个类似的命题.解在棱长为a 的正四面体S －ABC 中，P 为正四面体内任意一点，连接P A ，PB ，PC ，PS (如图所示)，则正四面体被分割为四个小三棱锥P －ABC ，P －SAB ，P －SBC ，P －SCA ，设P 到四个面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4.由于正四面体的四个面的面积相等，故V S －ABC ＝V P －ABC ＋V P －SAB ＋V P －SCA ＋V P －SBC＝13S △ABC (h 1＋h 2＋h 3＋h 4). 又S △ABC ＝34a 2，V S －ABC ＝212a 3， ∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a . 故在立体几何中可得到的命题是：棱长为a 的正四面体内任意一点P 到四个面的距离之和等于棱长的63倍. 12.如图所示，点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF cos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系，并予以证明.(1)证明 ∵CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥PM ，CC 1⊥PN ，∴CC 1⊥平面PMN .∴CC 1⊥MN .(2)解在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1 cos x ，其中x 为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角.∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角为∠MNP .在△PMN 中，PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP .∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP . ∵SBCC 1B 1＝PN ·C 1C ，SACC 1A 1＝MN ·CC 1，SABB 1A 1＝PM ·BB 1，∴S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1 cos x .13.(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程).(1)证明设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )，依题意，得A (－a,0)，B (a,0)，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a ). 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a，同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)解－(a 2＋b 2).。

高中数学 2.1.1合情推理教案新人教A版选修22

2.1.1合情推理教学建议1.教材分析本节主要内容是合情推理的两种常用思维方法:归纳推理和类比推理.前者是由部分到整体、由个别到一般的推理,后者是由特殊到特殊的推理.合情推理可以为发现、探索新的结论提供思路,但其结论未必正确.本节重点是了解合情推理的含义,能利用归纳和类比进行简单的推理,难点是用归纳和类比进行推理,作出猜想.2.主要问题及教学建议(1)关于合情推理的含义归纳推理和类比推理在学生以前的学习过程中已有渗透,对其含义的教学,建议教师多以学生熟悉的例子为载体,引导他们提炼、概括归纳和类比的含义及推理方法,培养他们应用这种思维方法的意识,不必在字面上深究.(2)关于合情推理的方法及结论教学中建议教师从具体的例子出发,多分析能够进行归纳的共性和进行类比的特性,指导学生如何进行归纳和类比,通过归纳和类比能够得出什么样的结论.至于结论的正确性,可以向学生说明,由合情推理的过程可以看出,合情推理的结论往往超过了前提所涵盖的范围,因此推理所得的结论未必正确.备选习题1.已知=2=3=4,…,若=6(a,b∈R),则a+b=.解析:根据题意,由于=2=3=4,…,那么可知=6,a=6,b=6×6-1=35,所以a+b=41.答案:412.根据所给数列前几项的值,…,猜想数列{a n}的通项公式.思路分析:根据数列中前几项的值给出数列的一个通项公式,主要是对数列各项的特征进行认真观察,结合常见数列的通项公式,对已知数列进行分解、组合,从而发现其中的规律,猜想出通项公式.解:;…;于是猜想数列{a n}的通项公式a n=.3.在平面上,设h a,h b,h c分别是△ABC三条边上的高,P为△ABC内任意一点,P到相应三边的距离分别为p a,p b,p c,可以得到结论=1.证明此结论,并通过类比写出在空间中的类似结论,并加以证明.思路分析:此题可用类比的方法,将四面体类比三角形,体积类比面积等.证明:如图所示,连接PA,PB,PC,则,同理,.∵S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC,∴=1.类比上述结论得出以下结论:如图所示,在四面体ABCD中,设h a,h b,h c,h d分别是四面体ABCD的四个顶点到对面的距离,P为四面体ABCD内任意一点,P到相应四个面的距离分别为p a,p b,p c,p d,可以得到结论=1.证明如下:,同理,,.∵V四面体PBCD+V四面体PACD+V四面体PABD+V四面体PABC=V四面体ABCD,∴==1.。

高中数学第2章《合情推理》教案新人教A版选修1-2

2.1 合情推理【使用说明】预习课本第22页——第27页；时间10分钟。

并讨论完成学案中问题、合作探究启发类题。

【重点难点】了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；难点是归纳中猜想的准确性，类比中是什么特性的对比。

一．学习目标：1、了解合情推理的含义，能利用归纳法得出一般性的结论；2、利用类比方法找出猜想物与类比物的对应特征，并进行简单的推理；3、小组合作探究，增强合作探究能力，体验成功的快乐。

二．知识链接：1、哥德巴赫猜想是什么？费马大定理是什么？2、数学建模在学习数学中的作用如何？举例说明。

三、问题解决、讨论解答：1、情境引入：通过计算可得下列等式：┅┅将以上各式分别相加得：即：2、合情推理概念是什么？有什么特点？合情推理在方法上表现为哪些？我们常用哪些方法？3、归纳推理：归纳推理是由到的推理.例1：费马数都是质数吗？Fn=22n+1是质数。

（n∈N+）说明了什么？2、类比：类比物与猜想物指的是什么？类比推理是由到的推理。

例2：鲁班发明锯子是受了什么的启发？这是采用的什么方法？猜想物与类比物各是什么？例3、潜水艇的发明是受了什么的启发？这是采用的什么方法？猜想物与类比物各是什么？例4、火星与地球有哪些类比特征？能够得出什么结论？3、归纳与类比有什么区别？归纳与类比又有什么联系？它们的结论如何？怎么才说明是正确的？4、圆与球有什么可以类比？解：圆的概念与性质球的概念与性质圆的周长球的面积圆的面积球的体积圆心与弦中点连线与弦垂直球心与截面圆心连线与截面垂直与圆心距离相等的两弦相等与球心距离相等的两截面面积相等圆方程：（x－a）2+(y－b)2=r2 （x－a）2+(y－b)2+(z－c)2=r2注：根据以上各例，你们认为类比的步骤是什么？四、合作、探究、启发：1、类比平面内的直角三角形的勾股定理，猜想出空间中相应四面体有什么相应的性质？四、合作、探究、启发：2、下图示是某市高中学生对学习的反应调查统计结果，请根据表格中的数据，判断出该市高中生对学习数学的普遍印象吗？3、归纳推理可以由一般到特殊推导。

高中数学第二章推理与证明 2.1.1 合情推理教学设计新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修

合情推理教学目标：1.了解合情推理的含义；理解归纳推理的概念，能利用归纳的方法进行一些简单的推理.2.培养学生的归纳探索能力，提高学生的创新意识.3.培养学生勇于创新而又不失严谨的思维习惯和在探索真理时锲而不舍的钻研精神.重点与难点：本节课的教学重点是归纳推理的概念理解和应用；教学难点是提高学生从特殊到一般的归纳能力.教学方式：本节课采用的是启发式教学，综合使用了讲授、问答、活动等多种教学方式.教学工具：多媒体、圆纸片、硬币.教学过程：推理.三问：对比（1）、（3）这两个推理，你能发现它们的相同点和不同点吗？3. 归纳推理的概念形成幻灯片：看下面的例子，试写出一般性结论.(1)1+3=4；1+3+5=9；1+3+5+7=16.(2)一元一次方程有一个实数根；一元二次方程最多有两个实数根；一元三次方程最多有三个实数根.提问：什么是归纳推理？学生发言，教师点评.总结：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出该类事物的所有对象都具有这种性质的推理，称为归纳推理（简称归纳）.回顾给出定义的过程，其本身就是归纳（从特殊到一般）的过程，所以可以说“我们归纳出了归纳”. （这两个“归纳”上有点区别，第一个重在归纳总结，第二个才是归纳推理.）二问的目的是：引导学生归纳合情推理的概念.三问的目的是：引出归纳推理（不必出现类比推理这个名词）.纯数学的实例，使学生体会归纳推理的含义.引导学生概括归纳推理的概念.现学现用，而且这句话本身很有趣，有利于激发学生的兴趣.三. 经典探究，深化新知幻灯片：汉诺塔问题汉诺塔问题的探索，完整体现了归纳推理的过程，很具有代2111112222n n -个个2(N*)n ∈21111122223333n n n -=个个2个3.*41,N n n ++∈，计算)10(,),f 的值，并归纳一般性结论.。

专题2.1.1合情推理教案新人教A版选修1_2

合情推理【教材分析】本章内容属于数学思维方法的范畴，即把过去渗透在具体数学内容中的思维方法以集中显示的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识的使用。

推理是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。

通过本节的学习，有利于发展学生的思维能力，提高学生的数学素养，让学生感受合情推理在数学以及日常生活中的作用，从而架起数学与生活的桥梁，形成严谨的理性思维和科学精神。

【学情分析】a知识分析：学生在中学阶段已经接触过推理，比如等差数列求和公式的推导。

b能力分析学生对推理本质的把握需要进一步提升，对合情推理的思维过程需要进一步明确。

【教学目标】a．知识目标：（1）了解合情推理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认识合情推理在数学发现中的作用。

b．能力目标：（1）通过探索、研究、归纳总结形成本节知识结构；（2）提高学生进行合情推理的能力。

c．情感目标：（1）体会合情推理的意义和重要性；（2）体会合情推理有助于培养学生进行归纳的严谨作风和思维习惯。

【教学重点和难点】重点：合情推理的定义及归纳推理的定义。

难点：进行简单的合情推理，归纳推理的基本方法，如何提高数学思维能力。

【教学方法】本节课采用范例分析、媒体演示、分层教学等启发发现法进行教学；课堂学习上，鼓励学生采取回顾复习、分组讨论、归纳总结等课堂讨论法进行学习；教法与学法协助提高，从而达到举一反三、触类旁通、提高课堂学习效率的效果。

【教学过程】自然合理地提出问题，用进行举例。

提及两大猜想产归纳推理的概念：由某类事物的部分推出整体，个别推出一般介绍其他学科中运用归纳推理得通过第培养学生进行巩固本节知识，发。

2019版高中数学第二章合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理学案新人教A版选修2-2

2．1.1 合情推理学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．知识点一归纳推理思考(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？答案属于归纳推理．梳理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特征：由部分到整体，由个别到一般的推理．知识点二类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？答案类比推理．梳理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．(2)特征：由特殊到特殊的推理．知识点三合情推理思考归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．梳理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理．(2)推理的过程从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想1．类比推理得到的结论可作为定理应用．( ×)2．由个别到一般的推理为归纳推理．( √)3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ×)类型一归纳推理命题角度1 数、式中的归纳推理例1 (1)观察下列等式：1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为_____________________________________________________．(2)已知f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f n－1(f n－1(x))(n>1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想f n(x)(n∈N*)的表达式为________．考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案(1)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(2)x1－4xx1－2n－1x解析(1)观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n ，则第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)． (2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x1－2x 1－2×x1－2x＝x1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x1－4x 1－4×x1－4x＝x1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x1－8x 1－8×x1－8x＝x1－16x， ∴根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x .引申探究在本例(2)中，若把“f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))”改为“f n (x )＝f (f n －1(x ))”，其他条件不变，试猜想f n (x ) (n ∈N *)的表达式．解 ∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f (f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1－2x 1－x1－2x＝x1－3x， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x1－3x 1－x1－3x＝x1－4x.因此，可以猜想f n (x )＝x1－nx.反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征； ③提炼出等式(或不等式)的综合特点； ④运用归纳推理得出一般结论．(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． ①通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；②根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，满足S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3，a 4的值； (2)猜想a n 的表达式．考点归纳推理的应用题点归纳推理在数列中的应用解 (1)因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)，所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32，又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34，又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34，解得a 4＝38.(2)由(1)知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322，a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．命题角度2 图形中的归纳推理例2 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36 考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案 B解析有菱形纹的正六边形的个数如下表：由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B. 反思与感悟归纳推理在图形中的应用策略跟踪训练2 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案 C解析归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n 个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n ＝8＋(n －1)×6＝6n ＋2. 类型二类比推理命题角度1 数列中的类比推理例3 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案T 8T 4 T 12T 8解析由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性：设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1，则T 4＝b 41q 6，T 8＝b 81q1＋2＋…＋7＝b 81q 28，T 12＝b 121q 1＋2＋…＋11＝b 121q 66， T 16＝b 161q1＋2＋…＋15＝b 161q 120， ∴T 8T 4＝b 41q 22，T 12T 8＝b 41q 38， T 16T 12＝b 41q 54，即⎝ ⎛⎭⎪⎫T 8T 42＝T 12T 8·T 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫T 12T 82＝T 8T 4·T 16T12，故T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．反思与感悟已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d ，q 分别是公差和公比)：跟踪训练3 若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列，且c n >0，则有数列d n ＝________(n ∈N *)也是等比数列．考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案nc 1c 2c 3…c n解析数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列．类比猜想：若数列{c n }是各项均为正数的等比数列，则当d n ＝nc 1c 2c 3…c n 时，数列{d n }也是等比数列．命题角度2 几何中的类比推理例4 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比解如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，如图所示，在四面体P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S21＋S22＋S23成立．反思与感悟(1)类比推理的一般步骤(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，向量与实数，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下跟踪训练4 在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明．考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比解在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l2 ＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22 C.lr2D ．不可类比考点类比推理的应用题点平面曲线的类比答案 C解析扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则S 扇＝lr2.2．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色为( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案 A解析由题图知，三白二黑周而复始相继排列，根据36÷5＝7余1，可得第36颗应与第1颗珠子的颜色相同，即白色． 3．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )A ．28B ．76C ．123D ．199考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 C解析利用归纳法：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝3＋1＝4，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案 1∶8解析设两个正四面体的体积分别为V 1，V 2，则V 1∶V 2＝13S 1h 1∶13S 2h 2＝S 1h 1∶S 2h 2＝1∶8.5．按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为________．考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案 40解析图1中的点数为4＝1×4，图2中的点数为8＝2×4，图3中的点数为12＝3×4，…，所以图10中的点数为10×4＝40.1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向． 2．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想一、选择题1．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )A ．若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类比出“(a ＋b )n＝a n＋b n” 考点类比推理的应用题点类比推理的方法、形式和结论答案 C解析显然A ，B ，D 不正确，只有C 正确．2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B ．△ C.D ．○考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案 A解析观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111…A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行．则其中正确的结论是( )A．①② B．②③C．③④ D．①④考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案 B解析根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论．5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．6．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0172小于( ) A.4 0312 017 B.4 0322 017 C.4 0332 017D.4 0342 017考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 C解析观察可以发现，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1，所以当n ＝2 016时不等式为1＋122＋132＋…＋12 0172<4 0332 017. 7．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体A －BCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体A －BCD 的体积为V ，则R 等于( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案 C解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.8．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点的个数为( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案 B解析由已知中的图形我们可以得到：当n ＝1时，顶点共有12＝3×4(个)，当n ＝2时，顶点共有20＝4×5(个)，当n ＝3时，顶点共有30＝5×6(个)，当n ＝4时，顶点共有42＝6×7(个)， …，则第n 个图形共有顶点(n ＋2)(n ＋3)个，故选B. 二、填空题 9．观察下列等式： 12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋32＝6； 12－22＋32－42＝－10； …；照此规律，第n 个等式为________．考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2解析 12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋3＋…＋n ) ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.10．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________．考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大解析平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．11．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3；四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则猜想其四维测度W ＝________. 考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 2πr 4解析 ∵二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l .三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .∴四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ，则W ′＝V ＝8πr 3，∴W＝2πr 4.12．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝________.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案n解析根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝(2)2＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n .13．圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)在点P (x 0，y 0)处切线的方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y－b )＝r 2，由此类比，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)在点P (x 0，y 0)处的切线方程为______________．考点类比推理的应用题点平面曲线之间的类比答案x 0x a 2＋y 0y b 2＝1 解析类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.三、探究与拓展14．正整数按下表的规律排列，则上起第2 017行，左起第2 018列的数应为( )A ．2 016×2 017B ．2 017×2 018C ．2 018×2 019D ．2 019×2 020考点归纳推理的应用题点归纳推理在数阵(表)中的应用答案 B解析由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1，根据题意，左起第2 018列的第一个数为2 0172＋1，由连线规律可知，上起第2 017行，左起第2 018列的数应为2 0172＋2 017＝2 017×2 018. 15．已知在Rt△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD2＝1AB2＋1AC 2成立．那么在四面体A －BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由．考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比解类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.猜想正确．理由如下：如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．。

人教A版高中数学选修合情推理教案(2)

§2.1.1. 1合情推理1．教学目标：(1)知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

(2)过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

(3)情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

2．教学重点：归纳推理及方法的总结。

3．教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

6．教学过程：学生探究过程：①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

④思考：整个过程对你有什么启发？⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

(2)追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠—“歌德巴赫猜想”。

世界近代三大数学难题之一。

哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。

1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。

如6＝3＋3，12＝5＋7等等。

公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

(b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

2019-2020年高中数学 第二章《合情推理》教案1 新人教A版

高中数学 第二章《合情推理》教案1 新人教A版

高中数学 合情推理教学设计 新人教A版选修2

2019-2020学年人教A版选修2-2 2.1.1 合情推理 学案

高中数学 2.1.1 合情推理教案 新人教A版选修12 (2)(1)