高等数学 第五章 定积分 习题课

x
x
∴ ∵
∴
Q( x ) ≡ c , Q ( 0) = 0 ,
Q( x ) ≡ 0 . 证毕 .
d x f (t)(x −t)dt 0 d x∫ = f (x) (x − x) =0?
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例 6 . 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续且 f ( x ) > 0 ,
F ( x ) = ∫ f ( t ) dt + ∫
(1) . 若在 [ a , b ] 上 , f ( x ) ≥ 0 , 且 ∫ f ( x ) dx = 0 ,
a
b
则在 [ a , b ] 上 f ( x ) ≡ 0 .
( 2) . 若在 [ a , b ] 上 , f ( x ) ≥ 0 , 且 f ( x ) ≡ 0 , /
则 ∫ f ( x ) dx > 0 .
由于 f ( x ) 连续 ,
2h
h
对于 ε = h , ∃δ > 0 , 当 x − c < δ 时 ,
f ( x ) − f (c ) < ε
b
c −δ
a
b
(
c
)
f (c ) − ε < f ( x ) < f (c ) + ε 成立 ,
即 h < f ( x ) < 3h .
∫a f ( x ) dx = ∫a
∫a f = ∫a f + ∫c f ∫a
b b c b b b
b
5 . 在[a , b]上
f ( x) ≥ 0 f ( x) ≤ 0
⇒ ⇒
f ( x ) ≥ g( x ) ⇒
∫a f ≥ 0 b ∫a f ≤ 0 b b ∫a f ≥ ∫a g
1
b
dx = b − a
∫a f
b
≤∫ f
a
b
6 . 在 [ a , b ] 上 , m ≤ f ( x) ≤ M
重复应用罗彼塔法则可 知上面最后一个等号成 立 .
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例9. 求 ∫
2
−2
x ln x + x 2 + 1 dx .
(
)
解 . 被积函数是奇函数 :
− x ln − x + ( − x ) 2 + 1
=
(− x + x ln
(
(
)
( − x )2 + 1 + x + x 2 + 1 + x + x2 +1
4
换 同 换 ! 元 时 限
六. 分部积分法
∫a u( x ) dv( x ) =
b
b u( x )v ( x ) a
− ∫ v ( x ) du( x )
a
b
条件 : u( x ) , v ( x ) 有一阶连续导数 .
注意列表计算方法 :
−D
D −1
ϕ ( x)
⋮ ⋮ ⋮
ψ ( x)
⋮
⋮ ⋮ ⋮
f +∫
c +δ
c −δ
f +∫
b
c +δ
f ≥∫
c +δ
c −δ
f
>∫
c +δ
c −δ
h = 2δ h > 0 .
此题的结论可以应用 注意条件中 f ( x ) 的连续性
(1) 是 ( 2) 的逆否命题 .
(3) . 设 q( x ) = g ( x ) − f ( x ) .
对 q( x ) 应用 (1) 的结论 , 则有 (3) .
a b
(3) . 若在 [ a , b ] 上 , f ( x ) ≤ g ( x ) , 且 ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx ,
a a b b
则在 [ a , b ] 上 f ( x ) ≡ g ( x ) .
9
证 . ( 2) . 设 f ( c ) = 2 h > 0 , c ∈ ( a , b ) ,
b a
a
b
dt =− b dt <0, ∫a f ( t ) f (t )
F (b) = ∫ f ( t ) dt + 0 > 0 ,
∴
F ( x ) = 0 在 ( a , b ) 内有且仅有一个根 .
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1 sin x 0 ≤ x ≤π 2 例 7 . 设 f ( x) = 0 x < 0或 x >π
求 Φ ( x ) = ∫ f ( t ) dt 在 ( − ∞ , + ∞ ) 内的表达式 .
0 x
解 . 当 x < 0时 ,
Φ ( x ) = ∫ 0 dt = 0 ,
0
x
0
π
当 0 ≤ x ≤ π 时 , Φ ( x ) = ∫ 1 sin t d t = 1 − cos x ,
x
当 x >π 时,
x
x t
= x ∫ f ( t ) dt − ∫ t f ( t ) dt − ∫ ∫ f ( u) du d t 0 0 0 0
x x
x t
Q′( x ) = ∫ f ( t ) dt + x f ( x ) − x f ( x ) − ∫ f ( u) du ≡ 0 ,
0 0
x +a n
x +a
ln n t dt . t+2
常数 a > 0 , n 为自然数
ln n ξ a ln n ξ ln t dt = ( x + a − x) = t+2 ξ +2 ξ +2
x +a n
x <ξ < x +a
lim ⌠ x → +∞ ⌡ x
a ln n ξ a ln n ξ ln t dt = lim = lim =0. t+2 x → +∞ ξ + 2 ξ → +∞ ξ + 2
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例 4 . 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 连续 , 在 ( a , b ) 可导 , 且 f ′( x ) ≤ 0 , x 1 F ( x) = f ( t ) dt x − a ∫a a ξη x b 证明 : 在 ( a , b ) 内 F ′( x ) ≤ 0 . x 1 ⋅ f ( x) − 1 证 . F ′( x ) = 2 ∫a f ( t ) dt 积分中值定理 x −a ( x − a)
⇒ m (b − a ) ≤ ∫ f ≤ M (b − a )
a
b
分 值 理 7 . (积 中 定 )
f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续
⇒ 在 [ a , b ] 上至少存在一点 ξ , 使
∫a f (x)dx = f (ξ)∫adx = f (ξ)(b−a)
* 8 . 改变被积函数在有限多 个点上的函数值 ,
b b
β
f ( x ) ≡ g (ϕ ( x ))ϕ ′ ( x ) , α = ϕ (a ) , β = ϕ (b ) .
2
∫a f ( x ) dx ====== ∫α f (ϕ (t ))ϕ ′ (t ) dt
b
x =ϕ ( t )
β
ϕ ( t ) 单调 , 可导 .
= ϕ −1 (a ) , β = ϕ −1 (b ) . α
a a
x
x
Φ 3 ( x ) = ∫ x f ( t ) dt ,
a
x
求 Φ′i ( x ) . ′ 解 . Φ1 ( x ) = Φ′2 ( x ) = x f ( x ) ,
x ⋅ x f ( t ) dt ′ = x f ( t ) dt + x f ( x ) . Φ′ ( x ) = ∫ ∫a 3 a
5
七 . 反常积分
1 . 无穷区间上反常积分
∫a
+∞
f ( x ) dx = F ( x ) a
+∞
F(+∞ = lim F(x) )
x→ +∞
反常积分收敛与发散的 概念 .
2 . 无界函数的反常积分 (瑕积分)
x = b 是 f ( x ) 的无穷间断点
∫a
b
f ( x ) dx = F ( x ) a
0 0
( n − 1) ( n − 3) ⋯ 4 ⋅ 2 n ( n − 2) ⋯ 5 ⋅ 3 = ( n − 1) ( n − 3) ⋯ 3 ⋅1 ⋅ π n ( n − 2) ⋯ 4 ⋅ 2 2
n 为奇数 n 为偶数
7
3.
1 (收 ) 敛 = p −1 +∞ ⌠ dx = ( p积 ) 分 p ⌡ x 1 = + ∞ (发 ) 散
P233−810?
d 1 − cos 2 x − cos 2 x −t 2 ⋅ (cos x )′ = e ⋅ sin x . 例 2. ∫cos x e dt = − e dx
例 3 . 设 Φ1 ( x ) = ∫ x f ( x ) dx , Φ 2 ( x ) = ∫ t f ( t ) dt ,
x 0
0
2
2
Φ ( x ) = ∫ f ( t ) d t = ∫0
0 1 − cos x ∴ Φ ( x) = 2 1
π
1 sin t d t + x 0 d t = 1 . ∫π 2
x<0
0 ≤ x ≤π
x >π
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例 8 . 求 lim ⌠ x → +∞ ⌡ x 解. ⌠ ⌡x