§5.6 二次曲线方程的化简与分类

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二次曲线化简的方法

知 a12=0
所以曲线的方程为：又由于它是中心曲线故有 ② 当曲线为无心二次曲线时，取它的唯一主直径为 x 轴，而过顶点（即主直径与曲线的交点）且以非渐进主方向为方向的直线（即过顶点垂直于主直径的直线）为 y 轴建立坐标系，这时不妨假设曲线方程为：
由于此时主直径的共轭方向为 0 ：1，所以主直径的方程为：
为新坐标系 x’轴，为 y’轴作坐标变换
变换公式：
解得
代入已知方程可得：
标准方程：
例 3【线心二次曲线】化简曲线为线心二次曲线，有唯一的主直径即中心直线，也是曲线的主直径其方程是：x-y+1=0，取它为新坐标系的 x’轴，在取任意垂直于中心线的直线如：x+y=0 为新坐标系 y’轴作坐标变换
②
方法介绍：
一、直角坐标变换：
1、坐标变换
一般的，在曲线有中心的前提下，为了计算方便，往往先移轴再转轴
非中心二次曲线先转轴再移轴。
① 移轴下（
）二次曲线的新方程为：
化简整理得：
这里有：
在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律：（1）二次项系数不变（2）一次项系数变为 2F1（x0,y0）与 2F2(x0,y0)
而 I3=I3’
所以故可以推知上述内容 ② 无心二次曲线的简化方程是： (正负号任意选取) 分析：如果是无心二次曲线则有：其简化方程为：
因此有：I1’=a22’=I1
而 I3’=I3,所以
从而推知上述内容 ③ 线心二次曲线的简化方程是：
分析：如果是线心二次曲线则有：其简化方程为：因此有 I1’=a22’=I1 而 K1 是线心曲线的不变量，从而我们有 K1’=K1 所以从而推知上述内容
（3）常数项不变。【例题详解方法】例 1【无心二次曲线】化简二次曲线方程，并画出它的图形解：

一般二次曲面方程的化简与分类研究.

一般二次曲面方程的化简与分类研究[摘要]本文通过对一般二次曲面方程进行化简与分类,化简成五类方程和17种标准形式.最后介绍了一般二次曲面方程分类与化简的应用.[关键词]二次曲面;分类;化简;应用１引言对于给定的二次曲面方程,通过特征方程可求出它所对应的主方向.由于二次曲面的每个特征根至少对应一个主方向,也就是说二次曲面至少有一个主径面,而二次曲面的主径面又是二次曲面的对称面,因而选取主径面作为新坐标面,或者选取主方向作为坐标轴方向,就成为化简二次曲面方程的主要方法.2 预备知识定义 2.1[3]果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向,那么这个径面就叫做二次曲面的主径面.显然主径面就是二次曲面的对称面.定义 2.2[4]二次曲面主径面的共轭方向（即垂直于主径面的方向）,或者二次曲面的奇向,叫做二次曲面的主方向.引理 2.1[5]二次曲面平行于非渐近方向的一族平行弦中点的轨迹是一个平面.其方程为1234(,,)(,,)(,,)(,,)0X Y Z x X Y Z y X Y Z z X Y Z φφφφ+++=. (1)注1：二次曲面沿非渐近方程::X Y Z 的所有平行弦中点所在的平面叫做平面共轭于非渐进方向::X Y Z 的径面,而平行弦叫做这个径面的共轭弦.注2：如果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向,那么这个径面就叫做二次曲面的主径面.实际上,主径面垂直于所平分的一组弦,是二次曲面的对称平面. 引理2.2 二次曲面的特征方程为1112131322231323330a a a a a a a a a λλλ--=- 即321230I I I λλλ-+-+=.其中λ是二次曲面的特征根.引理2.3 一般二次曲面的主方向方程组()()()1112131222231323330,0,0.a X a Y a Z a X a Y a Z a X a Y a Z λλλ-++=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ 其中::X Y Z 是二次曲面(2)的非渐近方向.引理2.4 空间直角坐标变换设在空间给定了两个由标架{};;;o i j k 与{}'''';;;o i j k 决定的右手直角坐标系,前面一个叫做旧坐标系,后面的一个叫做新坐标系.它们之间的位置关系完全可由新坐标系的原点'o 在旧坐标系内的坐标,以及新坐标系的坐标矢量在旧坐标系内的分量所决定.2.4.1移轴设'o 在旧坐标系下的坐标为{}000,,x y z ,p 为空间任意一点,它在{};;;o i j k 与{}'''';;;o i j k 下的坐标分别是{},,x y z 与{}''',,x y z .其中移轴表换公式为'0'0'0x x x y y y z z z ⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩, 移轴公式为'0'0'x x x y y y z z z ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩.转轴经过转轴变换后,新旧坐标轴间的交角如下表所示其中转轴变换公式为：'''123'''123'''123cos cos cos ,cos cos cos ,cos cos cos .x x y z y x y z z x y z αααβββγγγ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩, 其中转轴逆变换公式为：'111'222'333cos cos cos ,cos cos cos ,cos cos cos .x x y z y x y z z x y z αβγαβγαβγ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩ 3 二次曲面方程的化简定理以三个主方向所建立的右手直角坐标系为新坐标系而作坐标轴的旋转，那么曲面方程222112233121323142434442222220a x a y a z a xy a xz a yz a x a y a z a +++++++++=.(2)在新坐标系中具有如下形式：''2''2''2'''''''112233142434442220a x a y a z a x a y a z a ++++++=. (3)证明因为二次曲面至少有一个非奇主方向，以这个主方向作为新轴方向，以共轭于这个方向的主径面作为新坐标平面'0x =，建立直角坐标系''''o x y z -，设在这个新坐标系下，曲面的方程为''2''2''2'''''''''''''''112233121323142434442222220a x a y a z a x y a x z a y z a x a y a z a +++++++++=.在新坐标系下,曲面以'x 轴方向作为主方向1:0:0,代入式（1）,得与之共轭的主径面方程为'''''''111213140a x a y a z a +++=.那么这个方程表示坐标平面'0x =的充要条件是''''111213140,0a a a a ≠===.所以曲面在新坐标系下的方程为''2''2''2'''''''''11223323243444112220(0)a x a y a z a y z a y a z a a ++++++=≠.如果'230a =,那么有''2''2''2''''''11223324344411220(0)a x a y a z a y a z a a +++++=≠.如果'230a ≠,可在'''y o z 平面内,将y 轴与z 轴旋转一角度θ（保持x 轴不动）,并且适合''2233'23cot 22a a a θ-=,即经直角坐标变换'''''''''''''cos sin sin cos x x y y z z y z θθθθ⎧=⎪=-⎨⎪=+⎩, 就可使yz 项系数也等于零,从而得到''''2''''2''''2''''''''''''''112233142434442220a x a y a z a x a y a z a ++++++=.由定理可知,经过适当的坐标变换,二次曲面（2）总可以化为''2''2''2''''''''11223314243444112220(0)a x a y a z a x a y a z a a ++++++=≠.4 二次曲面方程的分类下面对(3)中系数的所有可能情形加以讨论.4.1 若'22a 和'33a 都不为零,作移轴变换'''''''24'22''''34'33x xa y y a a z z a ⎧⎪=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩,则方程(3)可化为(I ) ''''2''''2''''2''112233440a x a y a z a +++= 4.2 若'22a 和'33a 中有一个为零,不妨假设'330a =,'220a ≠,则方程（3）化为 ''2''2''''''1122243444220a x a y a y a z a ++++=. (4) ① 若'340a ≠,作移轴变换'''''''24'22'''2'''224424''22342x x a y y a a a a z z a a ⎧⎪=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪-⎪=-⎪⎩, 则方程(4)化为(II ) '''2'''2''''11223420a x a y a z ++=② 若'340a =,作移轴变换'''''''24'22,x x a y y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩, 方程(4)化为(III ) '''2'''211220a x a y c ++=若'24a 和'34a 都为零,则方程（3）化为''2'''''11243444220a x a y a z a +++= (5)③ 若'24a 和'34a 不全部为零,因平面'''''243444220a y a z a ++=.与坐标平面'0x =垂直,则利用坐标变换''''''''''x x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩使这个平面作为新坐标平面'0y =,此时方程（5）化为(IV ) '''2'''112420a x a y +=.④ ''24340a a ==,则方程（5）化为 (V ) '''2'11440a x a +=.综合以上的讨论,二次曲面方程（1）经过直角坐标变换总可以化为以下五种形式之一：(I ) 2220Ax By Cz D +++= （0ABC ≠）;(II ) 2220Ax By Pz ++= （0ABP ≠）; (III ) 220Ax By E ++= （0AB ≠）; (IV ) 220Ax QY += （0AQ ≠）; (V ) 20Ax R += （0A ≠）;这同中心分类是一致的.下面对二次曲面(1)的五种形式中的每一个就系数可能出现的情况作进一步的讨论,以便得出二次曲面的详细分类.5 二次曲面标准形式分类5.1 在方程(I )中, 若0D ≠,把方程(I )的两端除以D 并令222111,,,A B C D a D b D c=±=±=±其中正负号的选取使,,a b c 都是实数. ① 若,,A B C 同号,但与D 异号,则方程(I )化为2222220x y z a b c++=. (6)它表示椭球面.②,,,A B C D 都同号，则得22222x y z a b+=±. (7)它表示虚椭球面.③ 若,,A B C 中有两个同号,且D 与另一个同号,则得22222x y z a b-=±. (8)它表示单叶双曲面.④ 中有两个同号,且D 与这两个同号,则得22221x y a b+=. (9)它表示双叶双曲面.5.2 在方程(I )中,若0D =,在方程(I )中,令222111,,A B C a b c =±=±=±. ① 若,,A B C 中有两个同号,则方程(I )化为2222220x y z a b c+-=. (10) 它表示二次锥面.② 若,,A B C 同号,则得2222220x y z a b c++=. (11)它表示虚二次锥面由此可知,中心型二次曲面有且仅有六种. 5.3 在方程(II )中,令2211,A B P a P b=±=±. ① 若,A B 同号,则得22222x y z a b+=±. (12)它表示椭圆抛物面.② 若,A B 异号,则得22222x y z a b-=±. (13)它表示双曲抛物面.5.4 在方程(III )中,若0E ≠,令2211,A B E a E b=±=±. ① 若,A B 同号,且与E 异号,则得22221x y a b+=. (14) 它表示椭圆柱面.② 若,A B 同号,且与E 同号,则得22221x y a b+=-. (15) 它表示虚椭圆柱面.③ 若,A B 异号,则得22221x y a b-=±. (16)它表示双曲柱面.5.5 在方程(III )中,若0E =① 若,A B 异号,则得22220x y a b-=. (17) 它表示一对相交平面. ② 若,A B 同号,则得22220x y a b+=. (18) 它表示一对虚相交平面或z 轴.5.6 方程(IV )可以化为22x py =. (19) 它表示抛物柱面.5.7 在方程(V ) (ⅴ)中,若0R ≠① 若,A R 异号,则得220x a -=. (20) 它表示一对平行平面.② 若,A R 同号,则得220x a +=. (21) 它表示一对虚平行平面.5.8 在方程(V )中,若0R =,则得20x =. (22) 它表示一对重合平面.由上可知,非中心型二次曲面有且仅有11种.综上所述,一般二次曲面(2)经过坐标变换,总可以简化成十七种标准方程中的一种.6 二次曲面方程的化简与应用例1 化简二次曲面方程2225622666100x y z xy xz yz x y z ++--+-+-+=.解二次曲面的矩阵为13133113115333310---⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭, 1237,0,36I I I ===-,所以曲面的特征方程为327360λλ-+-=,即 (6)(3)(2)0λλλ--+=, 因此二次曲面的三特征根为6,3,2λ=-.(1) 与特征根6λ=对应的主方向::X Y Z 由方程组530,350,0X Y Z X Y Z X Y Z ---=⎧⎪--+=⎨⎪-+-=⎩决定,所以对应于特征根6λ=主方向为::X Y Z =311553::511335----------=8:8:161:1:2-=-, 与它共轭的主径面为20x y z -++=.(2) 与特征根3λ=对应的主方向::X Y Z 由方程组230,320,20X Y Z X Y Z X Y Z ---=⎧⎪--+=⎨⎪-++=⎩决定,所以对应于特征根3λ=的主方向为::X Y Z =311223::211332----------=5:5:(5)1:(1):1--=-, 与它共轭的主径面为30x y z -+-=.(3) 与特征根2λ=-对应的主方向为::X Y Z 由方程组330,330,70.X Y Z X Y Z X Y Z --=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩决定,所以主方向为::X Y Z =311333::177111----=20:20:01:1:0=, 与它共轭的主径面为0x y +=.取这三主径面为新坐标平面作坐标变换,得变换公式为：'''x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解出,,x y z 得''''''''1,1,1,x x y z y x y z z x y ⎧=+++⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=++⎪⎩代入原方程得曲面得简化方程为'2'2'263210x y z +-+=.曲面的标准方程为'2'2'21111632x y z +-=-. 这是一个双叶双曲面.例2 化简二次曲面方程22222342246230x y z xy xz yz x y z +++++-+-+=.解因为1237,10,0I I I ===,所以曲面的特征方程为327100λλλ-+-=,特征根为 5,2,0λ=.非零特征根5λ=所对应的主方向由方程组320,230,20X Y Z X Y Z X Y Z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩决定,所以与5λ=所对应的主方向为::1:1:1X Y Z =,与这主方向共轭的主径面为0x y z ++=.非零特征根2λ=所对应的主方向由方程组20,20,0Y Z X Z X Y Z +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩决定,所以与2λ=所对应的主方向为::1:1:(2)X Y Z =-,与这主方向共轭的主径面为22430x y z +-+=.取上面的两个主径面分别作为新坐标系''''o x y z -的'''y o z 和'''x o z 坐标面,再任意取与这两主径面都垂直的平面,比如 0x y -+=,为'''x o y 坐标面,作坐标变换,得变换公式为'''x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解出,,x y z 得''''''''1,241,41,332x y z y x y z z x y ⎧=--⎪⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=-+⎪⎪⎩代入原方程得'2'2'95204x y +++=, 所以'2'2'52040x y z +++=. 再作移轴''''''''',,40x x y y z z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩得曲面的简化方程为''2''2''520x y ++=.这是一个椭圆抛物面.7 小结二次曲面方程的化简二次曲线一样,它的关键是适当选取坐标系,如果所取的坐标系深红x ）是曲面的对称面,那么新方程里只含有这个对应坐标（例如x）的有一坐标面（例如0平平方项,曲面的方程就比较简单了,二次曲面的主径面就是它的对称面,因而选取主径面作为新坐标面,或者选取主方向为坐标轴的方向,就成为化简二次曲面方程的主要方法了.参考文献[1] 吕林根等.解析几何（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 吴大任等.解析几何引论（第二版）[M].北京:高等教育出版社,1989.[3] 朱鼎勋.空间解析几何[M].上海:上海科学技术出版社,1986.[4] 李厚源.空间解析几何[M].山东:山东科学技术出版社,1983.[5] 南开大学编写组.空间解析几何引论[M]. 北京:高等教育出版社,1989.[6] 郑文晶.解析几何[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2008.6.[7] 崔冠之.唐宗李等编,空间解析几何.北京：中央民族学院出版社.1989.11[8] 华东师范大学数学系几何教研室,解析几何习题集, 华东师范大学出版社,1982.[9] (前苏联)A.B.波格列诺夫、姚志亭译,人民教育出版社,1982.[10] 陈绍菱、傅若男,空间解析几何习题试析,北京师范大学出版社,1984.Classification and Simpification of Generalquadric surface equationLei Song(Grade 06, Class 5, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics, Shaanxi University of Technology, Hanzhong, 723000, Shaanxi)Tutor: Sangang GuoAbstract:This article through carries on the simplification and the classification to the generalquadric equation, simplifies five class equations and 17 standard forms. Finally introduced the generaltwo tunesKey words:Quadratic surface; Classification; Simplification; Using。

学位论文-—二次曲线的方程化简、作图及分类教学与应用数学

本科毕业论文题目：二次曲线的方程化简、作图及分类学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2007级5班姓名：曹振佐指导教师：李秀兰职称：教授完成日期： 2011 年 5 月 18 日二次曲线的方程化简、作图及分类摘要:本文给出二次曲线的几种化简方法,其中对合同变换法化简中心二次曲线作了一点探讨.从二次曲线的由不变量所表示的简化方程出发给出了二次曲线作图的一种新方法,从而弥补了通过计算不变量只知简化方程而无法在原坐标系下画出二次曲线图形的缺陷. 特别地我们利用了二次曲线的主直径为新坐标系作坐标变换来化简一般二次曲线的方程,从而使二次曲线的几何理论和代数理论自然地联系在一起,使得一般二次曲线的方程化简、作图以及根据二次曲线标准方程的度量分类也就比较简捷地一起完成了.关键词:坐标变换;不变量;主直径;主方向;合同交换目录1 引言 (4)2预备知识 (4)3 二次曲线的方程的化简 (5)3.1用坐标变换化简二次曲线 (5)3.1.1 化简缺少xy项的二次曲线 (5)3.1.1.1 利用坐标轴平移化简缺少xy项的二次曲线 (5)3.1.1.2 利用配方通过移轴化简缺少xy项的二次曲线 (6)3.1.2 利用转轴化简含有xy项的二次曲线 (6)3.1.3 一般二次曲线方程的化简 (7)3.1.3.1 中心曲线的化简 (7)3.1.3.2 非中心二次曲线的化简 (8)3.2通过主直径,主方向化简二次曲线 (8)3.2.1 中心曲线的化简 (9)3.2.2 无心曲线的化简 (9)3.2.3 线心曲线的化简 (10)3.3用不变量、半不变量化简二次曲线 (11)3.3.1 中心曲线的化简 (11)3.3.2 无心曲线的化简 (11)3.3.3 线心曲线的化简 (12)3.4正交变换化简二次曲线 (12)3.5合同变换法化简有心二次曲线 (13)4 二次曲线的方程的作图 (15)4.1中心二次曲线的作图方法 (15)4.2无心二次曲线的作图方法 (16)4.3线心二次曲线的作图方法 (18)5 二次曲线的方程分类 (18)5.1二次曲线的分类 (18)参考文献 (19)1 引言我们展开一般二次曲线的几何理论的研究,讨论一般二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径与主直径等重要概念与性质,也导出了二次曲线按不同角度的分类和作图.平面上的二次曲线的理论与空间的二次曲线的理论有着十分相识的地方.而平面的情况毕竟要比空间的情况简单得多,因此我们先对一般二次曲线的理论有了比较深入的了解后,再进一步学习空间的一般二次曲线的而理论将不会感到费力而它只是一种自然的推广.有二次曲线方程的系数构成的不变量321I I I ，，以及1K 完全可以画出二次曲线的形状大小,因此研究二次曲线的不变量也就成为解析几何的一个十分重要的中心问题.在这样的意义下,不变量也就最深刻地反映方程与曲线的关系,它也把我们对数形结合的问题提高到一个新的认识.2 预备知识在平面直角坐标系xy O -上,由二元一次方程022233231322212211=+++++a y a x a y a a x a )1(所表示的曲线,叫做二次曲线.我们讨论二次曲线的几何性质以及二次曲线方程的化简,最后对二次曲线进行分类和作图.为了方便起见,我们引进下面一些记号:33231322212211222),(a y a x a y a xy a x a y x F +++++≡ ,1312111),(a y a x a y x F ++≡ , 2322122),(a y a x a y x F ++≡ , 3323133),(a y a x a y x F ++≡ , 222122112),(y a xy a x a y x ++≡Φ , 这样我们容易验证,下面的恒等式成立),(),(),(),(321y x F y x yF y x xF y x F ++≡ ,)1(式也就可以写成),(),(),(),(321y x F y x yF y x xF y x F ++≡ . 我们把),(y x F 的系数所排成的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313232212131211a a a a a a a a a A叫做二次曲线）（1的矩阵.），（y x Φ的系数所排成的矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22121211*a a a aA 叫做），（y x Φ的矩阵.显然二次曲线)1(的矩阵A 的第一、第二与第三行（或列）的元素分别是),(),,(),,(321y x F y x F y x F 的系数.下面我们引用加个符号22111a a +=I ,221212112a a a a =I ,3323132322121312113a a a a a a a a a =I ,33232322331313111a a a a a a a a+=K .这里的1I 是矩阵*A 的主对角元素的和,2I 是矩阵*A 的行列式,3I 是矩阵A 的行列式.3 二次曲线的方程的化简 3.1 用坐标变换化简二次曲线 3.1.1 化简缺少xy 项的二次曲线3.1.1.1 利用坐标轴平移化简缺少xy 项的二次曲线方法将坐标原点移至二次曲线的中心,在新方程中可以消去一次项.中心),(00y x 的坐标00,y x 由中心方程组⎩⎨⎧=++=++,0,0232212131211a y a x a a y a x a )2( 给出. 这样将变换公式 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,,0'0'y y y x x x 代入原方程,即可化简原二次曲线. 例1 化简二次曲线方程01162422=+--+y x y x .解二次曲线的系数矩阵 101048181A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 因为 0440012≠==I ,所以此曲线是中心二次曲线.由中心方程组)2(得⎩⎨⎧=-=-，084,01y x解 2,100==y x .可得变换公式 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=，2,1''y y x x 代入原方程, 整理得 016422=-'+'y x .(椭圆) 3.1.1.2 利用配方通过移轴化简缺少xy 项的二次曲线例2 化简二次曲线方程010*********=++-+y x y x .解将方程的左端配方,得: 036)2(9)5(422=-++-y x .令 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,2,5''y y x x可得变换公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,2,5''y y x x 于是方程化为0369422=-'+'y x .(椭圆) 3.1.2 利用转轴化简含有xy 项的二次曲线方法转轴化简二次曲线方程,只要是旋转适当的角度,就可使方程中的乘积项消去,而由公式12221122cot a a a -=α )3( 给出. 然后将变换公式 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,cos sin ,sin cos ''''ααααy x y y x x 代入原方程. 例3 化简二次曲线方程080609241622=+++-y x y xy x .解这里242,9,16122211-===a a a .由)3(得 247249162cot -=--=α,257)247(12472cos 2-=-+-=α, 542257122cos 1sin =+=-=αα, 532257122cos 1cos =-=+=αα, 所以转轴公式为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=-=-=),34(51cos sin ),43(51sin cos ''''''''y x y x y y x y x x αααα代入原方程,整理得'2'4x y -=.(抛物线) 3.1.3 一般二次曲线方程的化简 3.1.3.1 中心曲线的化简方法一般采用先移轴后转轴较为简便. 例4 化简二次曲线方程021*******=+-++-y x y xy x .解因为 0541232312≠-=--=I 即此曲线为中心曲线. 先移轴,由中心方程组得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-,0523,0523y x y x解得 ⎩⎨⎧=-=.2,200y x故移轴公式为 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,2,2''y y x x 代入原方程,整理得0132'''2'=++-y y x x . )4(对方程)4(进行转轴 1,1,23,133'22'12'11'==-==a a a a .031122cot 12'22'11'=-=-=a a a α , 即 4πα=. 故转轴公式为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=),(22),(22''''''''''y x y y x x 代入方程)4( 整理得最简方程为 0125212''2''=++-y x .(双曲线) 3.1.3.2 非中心二次曲线的化简方法一般采用先转轴后移轴进行化简例5 化简二次曲线方程0168222=+++-y y xy x .解因为 01111112=-=--=I , 所以此曲线是非中心曲线.先进行转轴 02112cot =-=α , 即 4πα=. 故转轴公式为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=),(22),(22''''y x y y x x 代入原方程,得 01624242''2'=++-y x y . )5( 对)5(进行移轴( 实质配方),得:)23(22)2('2'-=+x y .令 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,23,2''''''x x y y 则变换公式为 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,23,2''''''x x y y 则原方程化简为 ''2''22x y =.(抛物线) 3.2 通过主直径,主方向化简二次曲线方法一坐标轴与二次曲线主方向平行,则化简后二次曲线方程中不含xy 项.3.2.1 中心曲线的化简方法取它唯一一对相互垂直的主直径为坐标轴建立坐标系,即原点是曲线的中心.例6 化简二次曲线方程0122422=++++-y x y xy x .解因为 2111=+=I , 0312212≠-=--=I ,所以此曲线是中心曲线.其特征方程为0322=--λλ,因此两特征根为11-=λ, 32=λ.由11-=λ, 32=λ分别对应的两个主方向为1:1:11=Y X ,1:1:22-=Y X . 由两主方向决定的主直径分别为02=-+y x 和0=-y x 取二主直径为新坐标系轴, 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-+=,2,22''y x y y x x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=,1)(22,1)(22''''y x y y x x 代入原方程,化简得 132'2'=-y x .(双曲线)3.2.2 无心曲线的化简方法取它的唯一的一个主直径为x 轴,过顶点垂直于主直径的直线为y 轴建立坐标系(顶点为坐标原点)例7 化简二次曲线方程0168222=+-+-x y xy x .解这里0,4,1,1,12313221211=-==-==a a a a a .因为231322121211a a a a a a ≠= ,所以此曲线是无心曲线. 因为 0,221==I I .其特征方程为022=-λλ,因此两特征根为0,221==λλ.对应于21=λ的非渐近主方向为1:1:11-=Y X .取主直径为 02=--y x 为新坐标系'x 轴,主直径与曲线的交点即顶点为)21,25(过顶点且以非渐近主方向11:Y X 为方向的直线方程为)25(21--=-x y 即03=-+y x .则变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-+=,22,23''y x y y x x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=,21)(22,25)(22''''y x y y x x 代入原方程,整理得 '2'22x y =.(抛物线) 3.2.3 线心曲线的化简方法取它的中心直线为x 轴,任取垂直它的直线为y 轴,建立坐标系. 例8 化简二次曲线方程0322222=--++-y x y xy x .解因为,231322121211a a a a a a ==所以此曲线是线心曲线. 唯一的主直径为 01=+-y x .取主直径为新系的'x 轴,取任一垂直它的直线如0=+y x 为'y 轴,这时变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=+=,21,2''y x y y x x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=--=,21)(22,21)(22''''y x y y x x 代入原方程,得22'±=y .(两条平行直线) 3.3 用不变量、半不变量化简二次曲线 3.3.1 中心曲线的化简方法用不变量、半不变量化简中心曲线,它的最简形式为0232'22'1=++I I y x λλ 例9 化简二次曲线方程0121252522=--++y x y xy x .解 ,288,24,10321-===I I I 特征方程为024102=+-λλ.因此两特征根为.4,621==λλ可知最简形式为 024288462'2=-++y x‘. 即 1322'2'=+y x .(椭圆)3.3.2 无心曲线的化简方法用不变量,半不变量化简无心曲线,它的最简形式为02'132'1=-±x I I y I . 例10 化简二次曲线方程048222=+-++x y xy x .解因为 01644011411,01111,2321≠-=--====I I I . 它的最简形式为 0216222'=--±‘x y . 即 022'2'=±x y .(抛物线) 3.3.3 线心曲线的化简方法用不变量、半不变量化简线心曲线,它的最简形式为:0112'1=+I K y I 例11 化简二次曲线方程0322222=-++++y x y xy x .解这里,231322121211a a a a a a == 即此曲线是线心曲线. 831113111,211-=-+-==K I . 所以它的最简形式为:02822'=-+y . 即 2'±=y .(两条平行的直线) 3.4 正交变换化简二次曲线方法任意实二次型AX X x x ax x x f T i j i ijn ==∑∑==n1n1j 21),,( ,都可以用正交变换QY X =化为平方和2222211n n y y y f λλλ+++= . 这里),2,1(n i i =λ是A 的全部特征根.例12 化简二次曲线方程024241222=+-++y x y xy x .解上式中所有二次项构成实二次型2212),(y xy x y x f ++=.它的系数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1661A .特征矩阵)5)(7(1661)(+-=----=A -E =λλλλλλf . 即 A 的特征根为 5,721-==λλ.当5,721-==λλ时,A 的特征向量分别为)1,1(),1,1(21-==αα单位化得)21,21(),21,21(21-==ββ.以21,ββ为列向量,作正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21212121Q , 正交变换为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=,2121,2121''''y x y y x x代入原方程,得 0857'2''=+-y y x .配方得 0516)45(572''=+--y x . 令⎪⎩⎪⎨⎧-==,45,''''''y y x x 则坐标交换为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=,5222121,5222121''''''''y x y y x x 得标准方程为516572''2''-=-y x .(双曲线)3.5 合同变换法化简有心二次曲线方法对矩阵A 作合同变换,即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡333231232221131211321.........000000c c c c c c c c c d d d E A . 所作变换为⎪⎩⎪⎨⎧++=++=,,23'22'2113'12'11c y c x c y c y c x c x 这样)1(式就化简成0),(32'22'1=++≡d y d x d y x F例13 化简二次曲线方程021*******=+-++-y x y xy x .解系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=215551235231A . 因为451232312-=--=I ,所以此曲线为中心曲线.10510031001555552500004242341555200152104225521333121001015222010012010010001001001001A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥. 这样经变换⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=,2,223'''y y y x x 使原方程化为 01452'2'=+-y x .(双曲线) 检验把变换⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=,2,223'''y y y x x 代入原方程,并整理得01452'2'=+-y x . 经检验,此方法对中心曲线是成立的. 4 二次曲线的方程的作图 4.1 中心二次曲线的作图方法对中心二次曲线0),(:=y x F C 利用不变量可将其简化方程表为0232'22'1=++I I y x λλ. )6( 其中21,λλ是曲线C 的两特征根,且'',y x 轴分别沿1λ和2λ对应的主方向.因此x '轴关于原坐标系中x 轴的倾角α满足2212112111tan a a a a X Y -=-==λλα. 可见要从中心二次曲线C 的简化方程)6(作出其图形,只需以过C 的中心),(00'y x O 且与原坐标系中x 轴的倾角为α直线作为'x 轴,建立直角坐标系'''y x O -,然后在该坐标系下作出)6(所表示的曲线即可.例14 求二次曲线042226565:22=-+-+-y x y xy x C 的简化方程,并作出其图形.解因为不变量128,16,10321-===I I I . 所以解特征方程 016102=+-λλ. 即得曲线C 的两特征根,8,221==λλ且由823-=I I .得曲线的简化方程为 08822'2'=-+y x .即 142'2'=+y x (椭圆)另外通过解中心方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--,0253,02335y x y x 可得曲线的中心 )241,243('O . 过'O 作与x 轴的倾角41arctan πα==的直线 22--y x ,并以此作为'x 轴建立直角坐标系'''y x O -,且在该坐标系下作出方程142'2'=+y x (椭圆)所表示的曲线,如图1所示.4.2 对无心二次曲线0),(:C =y x F ,由于2211,a a 同号,不妨设它们均非负.利用不变量可将其简化方程为012'1312'=-±x I I I y 其中±号可任选, 这里不妨取-号, 即简化方程为 012'1312'=--x I I I y )7( 不难验证新坐标系的'x 轴是该二次曲线的对称轴(主直径),原点O '是曲线的顶点(主直径与曲线的交点).对任意点P ,若设其在旧、新坐标系的坐标为),(y x 和),(''y x ,则数),(y x F 与012'1312'=-±x I I I y 至多差一个正数倍,所以若主直径上某一点)0,(x P （或),0(y P ）的坐标使0)0,(<x F （或0),0(<y F ）则向量P O '便指向'x 轴的正向（因'x 轴正向上的点)0,(x P 使'1312'12x I I I y -±为负), 否则,便指向'x 轴的负向.可见要从简化方程)7(画出无心二次曲线0),(:C =y x F 的图形,只需先求出曲线的主直径和顶点),(00'y x O ,并选取主直径上一点)0,(x P （或),0(y P ）若0)0,(<x F （或0),0(<y F ）,则以O '作为原点,以向量P O '的正向作为'x 轴正向建立直角坐标系'''y x O -;若0)0,(>x F （或0),0(>y F ）则以O '作为原点,以向量O P '的正向作为'x 轴正向建立直角坐标系'''y x O -,并在该坐标系下作出方程)7(所表示的曲线即可.例15 求二次曲线0256102:22=+--+-y x y xy x C 的简化方程,并作出其图形. 解对所给二次曲线0),(:=y x F C 由于231322121211a a a a a a ≠=. 所以曲线是无心的.因为曲线的不变量6402321-===I I I ，，,所以曲线的简化方程为 024'2'=-x y . )8(又曲线的主直径为01=--y x ,顶点为)1,2('O .取主直径上一点)0,1(P ,由于0)0,1(>F ,所以只需以'O 作为原点,以向量O P '的正向作为'x 轴正向建立直角坐标系'''y x O -并在该坐标系下作出方程)8(所表示的曲线即可,如图2所示.4.3 线心二次曲线的作图方法对线心二次曲线0),(:C =y x F 利用不变量可将其简化方程表为02112'=+I K y . （9）不难验证新坐标系的'x 轴是该二次曲线的对称轴（主直径）,所以若曲线的不变量01=K ,则要作出曲线的图形,只需作出主直径即可;若01<K ,只需作出与主直径0131211=++a y a x a 平行的二直线012211211131211=+-±++a a I K a y a x a 即可.例16 求二次曲线03222:22=--++-y x y xy x C 的简化方程,并作出其图形. 解对所给二次曲线0),(:=y x F C 由于231322121211a a a a a a ==. 所以曲线是线心的.因为二次曲线的不变量802321-===I I I ，，,又曲线的主直径为01=+-y x ,所以只需在原坐标系下作出直线021=±+-y x ,即为要作的曲线的图形,如图3所示.5 5.1 二次曲线的分类通过适当地选取坐标系,二次曲线的方程总可以写成下面九中标准方程的一种形式:[1]12222=+by a x (椭圆)；[2]12222-=+by a x (虚椭圆)；[3]12222=-by a x (双曲线)；[4]02222=+b y a x (点或称两相交于实点的共轭虚直线)；[5]02222=-by a x (两相交直线)；[6]px y 22=(抛物线)； [7]22a y =(两条平行直线)； [8]22a y -=(两平行共轭虚直线)； [9]02=y (两重合直线)；参考文献:[1]吕林根,许子道.解析几何[M].第4版.北京:高等教育出版社,2006.[2]甘浪舟.利用不变量化简二次曲线方程的作图问题[J].安庆师范学院学报,2004,10(2):45-47.[3]吕林根.解析几何学习指导书[M]北京:高等教育出版社,2006.[4]廖民勋.二次曲线方程的化简及作图[J].广西师院学报(自然科学版),1997,14(2):76-81. [5]傅朝金.中心二次曲线化简的一种新方法及推广[J].湖北师范学院学报(自然科学版),2001,21(2):72-74.[6]苏婷.二次曲线方程化简[J].陕西师范大学继续教育学报,2006(23):247-249. [7]林梦雷.二次曲线方程的化简[J].漳州师范学院学报,1999,12(1):22-26.[8]席高文,刘晓君.二次曲线方程分类与化简的新方法[J].许昌师专学报,2001,20(20):6 -13. [9]Wen K T.Ways for the simplification of the Binary Curve Equation[J].Journal of Bijie Teachers College,1995,(2):66-71.[10] Qu J,Xi F Y.The simplification of the Binary Curve Equation by ParameterFunctions[J].High School Mathematics Teaching,1994,24-25.Second Curve Equation ReductionMapping And ClassificationAbstract:In this paper, we give the conic simplified methods, including several for contract transformation method for simplified center a bit conic are discussed . From the conic by not variable simplified equation said conic mapping is given a new method . Offsetting the knows only through calculating invariant simplified equation and can't in the original coordinate draw the second curve graphics defects. Specifically we use the quadratic curves for the new coordinate the Lord made diameter of coordinate transformation to the simplified general quadric curve equation. Thus the geometry of the conic theory and algebra theory naturally relates in together, generally makes the second curve equation according to the simplified, mapping and the metric standard equationconic classification also is briefly finish together.Key Words: Coordinate transformation; invarient; Lord diameter; Main directions; Contract exchange本科毕业论文题目：逼近法的相关研究学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2007级5班姓名：晁燕萍指导教师：许芝卉职称：副教授完成日期： 2011 年 5 月 20 日逼近法的相关研究摘要：逼近法是在各个学科中应用极广泛的分析论证方法,本文就逼近法中最重要的几种方法加以论述,即二分逼近法、逐次逼近法和逐步逼近法,主要结合实例,介绍其分析论证的思想与方法.逼近法的应用和用法是非常广泛而多样的,最简明直观的是二分逼近法,它和实数连续性的配合运用,是分析论证微积分学中许多重要定理和基础问题的有力工具.逐次逼近法在各学科中也有广泛应用,本文就泛函分析中不动点的有关知识加以说明,此外,介绍了逐步逼近法在微分方程及其初等数论中的重要应用.关键词：逼近; 二分逼近; 逐次逼近; 逐步逼近目录1引言 (1)2二分逼近法 (1)1.2二分逼近法的典型证明方式 (1)2.2二分逼近法在数学分析中的应用 (2)3逐次逼近法以及在泛函分析中的应用 (3)4逐步逼近法 (5)1.4逐步逼近法在微分方程中的应用 (5)2.4一次同余式组的逐步逼近解法 (9)1.2.4用剩余定理求解的方法 (9)2.2.4逐步逼近法 (10)3.2.4两种解法计算量的比较 (12)参考文献 (13)1 引言逼近法是数学分析中贯穿全局的基本方法,它遵循着这样一个简朴实用的原则,以简御繁,以“已知”去研讨“未知”.作为一个分析论证方法,它是这个原则的具体化、数量化.譬如,任一个无理数,都可用有理数去无限逼近它,使误差可以到任意小.又如,数列{}n a 以A 为极限,其意即为用n a a a ,,,21 去逐步逼近常数A.再如,从几何上看定积分,曲边梯形的面积是通过一系列阶梯形逼近计算而得到的.可见,数学的研讨分析中普遍地渗透着逼近法的思想.不只如此,在泛函分析、微分方程和初等数论中也有非常广泛的应用, .以下主要就二分逼近法、逐次逼近法和逐步逼近法在不同学科中的应用加以论述.2 二分逼近法1.2 二分逼近法的典型证明方式二分逼近法在定理或问题分析论证中的思想是：欲找一个具有某一性质p 的实数,则可以从一个具有相应性质*P 的闭区间出发,逐次二等分,得到一个始终保持*P 的闭区间列,以这些闭区间的两个端点值分别形成左右两个夹逼数列,将具有性质p 的实数“夹逼”出来,而实数的连续性则确保了此数的存在,使这种逼近不至于“逼”空.现将二分逼近法典型证明方式说明于下1）确定一个闭区间使其具有某一性质*P .(*P 由性质p 决定)2）逐次二等分得到闭区间列[]{}m m B A ,,则所有的闭区间都具有性质*P ,且1221B B B A A A m m ≤≤≤≤≤≤≤≤(亦可写成：[][][][] ⊃⊃⊃⊃⊃m m B A B A B A B A ,,,,332211) 从而得到左右夹逼数列{}m A 与{}m B 满足：()021l i m l i m =-=-∞→∞→m m m m m m m A B A B 3）由实数的连续性得到实数k ,属于所有的闭区间,使k 满足：()i 具有性质p .这是由于k 属于所有的闭区间,被{}m A 与{}m B 左右夹逼,不妨形象的表示为：m m B k A ←→ ∞→m因而, k 的任意小的邻域内()εε+-k k ,都包含[]m m B A ,（m 足够大）,于是()εε+-k k ,具有*P ,故k 具有性质p .()ii k 是唯一的.事实上,若k 不唯一,设k k '≠,且满足m m B k A ←→,m m B k A ←'→,则对任何m , m m A k B k >'<,,得到m m A B k k -≤'-,而()0lim =-∞→m m m A B ,故k k '=,即k 唯一.2.2 二分逼近法在数学分析中的应用例1 设在[]b a ,上连续的单调递增函数()x f 满足:b b f a a f <>)(,)(,则存在),(b a c ∈,使()c c f =.证明令11,B b A a ==,将[]11,B A 二等分,分点为211B A +, 若221111B A B A f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则命题结论成立. 若221111B A B A f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则取[]22111,,2B A B B A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+, 若221111B A B A f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则取[]22111,2,B A B A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+. 逐次二等分区间,一般的对于区间[]m m B A ,,若22m m m m B A B A f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则命题结论成立; 否则,若22m m m m B A B A f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则取[]11,,2++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+m m m m m B A B B A , 若22m m m m B A B A f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则取[]11,2,++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+m m m m m B A B A A . 从而得到两个夹逼数列{}m A 与{}m B 满足：()i1221B B B A A A m m ≤≤≤≤≤≤≤≤且 ()0l i m=-∞→m m m A B()ii ()()m m m m B B f A A f <>,于是可知存在实数c ,使()∞→←→m B c A m m ,由于()x f 单增,所以()()()m m B f c f A f ≤≤,即:()()()m m m m B B f c f A f A <≤≤< 令()c c f m =∞→,上述证明中,所求的数c 具有的性质p :()c c f =,而构造的闭区间[]{}m m B A ,具有性质*P ,则确定为()()m m m m B B f A A f <>,,从而得到夹逼数列{},m A {}m B 将c “逼出”.在不同问题的论证中性质p 与相应的*P 是具体的,在不同的情况下,必须紧扣实际加以明确,这是正确应用二分逼近法成功论证的关键.二分逼近法是微积分学中许多基本定理证明的重要工具,是逼近法的最简明的形式之一,然而,逼近法的应用却更为广泛,在泛函分析,微分方程等数学分支中也都是一种有效的论证方法.下面通过介绍另一种逼近法来进一步体会这种方法的思想.3 逐次逼近法以及在泛函分析中的应用逐次逼近法,是从一个粗糙的近似解出发,使用某个固定公式逐次加工,使之逐步精确化以得到满足精度要求的近似解.例2 在完备度量空间中,压缩映射必有唯一不动点.证明设()d X X ,=是完备的度量空间,T ：X →X 是压缩映射, 即对于任意X y x ∈,,不等式()()y x d Ty Tx d ,,θ≤成立,其中θ是满足不等式10<≤θ的常数.先证映射T 有不动点.构造X 中的序列{}n x .任取X x ∈0,并令()010201201,,,x T Tx x x T Tx T Tx x Tx x n n n =======- () 2,1=n , 我们证明{}n x 是X 中的基本点列,事实上,()()()()00101021,,,,Tx x d x x d Tx Tx d x x d θθ=≤=()()()()0022112132,,,,Tx x d x x d Tx Tx d x x d θθ≤≤=……… 一般地,可以证明()()001,,Tx x d x x d n n n θ≤+ () ,3,2,1=n于是,对自然数n 与k n +,由广义三角不等式得()()()()n n k n k n k n k n n k n x x d x x d x x d x x d ,,,,1211+-+-+-++++++≤()()0021,Tx x d n k n k n θθθ+++≤-+-+()00,1Tx x d kn n θθθ--=+ ()00,1Tx x d nθθ-≤对任何给定的0>ε,只有n 充分大,则()εθθ<-01,1x x d n因而{}n x 是柯西序列.又因X 是完备的,柯西序列{}n x 是收敛的, 即存在X x ∈,使x x n n =∞→lim ,再由于T 是压缩映射,必为连续映射, 于是.在n n Tx x =+1中,令∞→n ,得到x x T =即x 是不动点.再证唯一性.若x 不唯一,设不动点x x ≠',则x x T '=', 于是存在10<≤θ使()()()x x d x T x T d x x d '='=',,,θ则必有()0,='x x d ,故x x '=,则T 有唯一的不动点.上述证明中,为找出不动点,我们利用压缩映射在完备空间中构造了一个柯西序列去逼近极限点,并证明极限点即为不动点,从而完成了将不动点“逼出”的过程.4 逐步逼近法逐步逼近法也是逼近法中较为重要的一种论证方法,在各学科中都有广泛的应用.诸如在论证常微分方程解的存在唯一性定理、二项分布的一种新的计算方法、以及在初等数论中关于一次同余式组的解法都起到非常重要的作用.此外,逐步逼近法在破解技术难题------袁隆平科技创新方面起到了举足轻重的作用.1.4 逐步逼近法在微分方程中的应用在微分方程研究中,对于一阶或高阶的,显或隐的方程组的等各类方程,能求得精确解得并不多,因而方程的近似解又十分重要的实际意义的,而解的存在和唯一则是求近似解的前提和理论基础,且论证方法还提供了如何求近似解的途径.我们不妨以一阶微分方程解的存在唯一性定理的证明再次体会逼近法的思想.由于定理证明过程较长,我们以突出逼近法思想为重点来简叙其过程. 1）现在先简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想. 首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程()dx y x f y y xx ⎰+=0,0的连续解,再证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个连续函数()x 0ϕ代入上面积分方程右端的y ,就得到函数()()()dx x x f y x xx ⎰+=0001,ϕϕ显然()x 1ϕ也是连续函数,如果()x 1ϕ=()x 0ϕ,那么()x 0ϕ就是积分方程的解,否则,我们又把()x 1ϕ代入积分方程右端的y ,得到()()()dx x x f y x xx ⎰+=0102,ϕϕ如果()x 2ϕ=()x 1ϕ,那么()x 1ϕ就是积分方程的解,否则,我们继续这个步骤,一般地,作函数()()()dx x x f y x xx n n ⎰-+=010,ϕϕ ()1这样就得到连续函数序列()()() ,,,,10x x x n ϕϕϕ如果()()x x n n ϕϕ=+1,那么()x n ϕ就是积分方程的解.如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数()x ϕ,即()()x x n n ϕϕ=∞→lim存在,因而对()1式取极限时,就得到()()()dx x x f y x xx n n n n ⎰-∞→∞→+=010,lim lim ϕϕ()()dx x x f y xx n n ⎰-∞→+=010,lim ϕ()()dx x x f y xx ⎰+=0,0ϕ,即()()()dx x x f y x xx⎰+=0,0ϕϕ,这就是说,()x ϕ是积分方程的解.这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法.2）一阶微分方程解的存在唯一性定理：设()b a f ,在R 上连续且满足利普希茨条件,则方程()y x f dxdy,= ()1 存在唯一解()x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满足初始条件()00y x =ϕ ()2这里()()y a f M Mba h Ry x ,max ,,min ,∈=⎪⎭⎫⎝⎛=证明在区间h x x ≤-0上构造一个连续的函数序列(){}x n ϕ 以()x 0ϕ代入方程()1得 ()()x x f dxdy0,ϕ= ()3 则()()()dx x x f y x xx ⎰+=0001,ϕϕ是()3的且满足条件()2的解再以()x 1ϕ代入方程()1得()()x x f dxdy1,ϕ= ()4则()()()dx x x f y x xx ⎰+=0102,ϕϕ是()4的且满足条件()2的解一般地,继续这一步骤得到()()()dx x x f y x xx n n ⎰-+=010,ϕϕ是方程()()x x f dxdyn 1,-=ϕ 的且满足条件()2的解,从而得到函数序列(){}x n ϕ,可以证明该序列存在极限函数()x ϕ,从而有：()()()dx x x f y x xx ⎰+=0,0ϕϕ是()1的且满足条件()2的解.虽然我们对定理证明只给给予一个简单的叙述,但还是可以体会出逼近法思想在证明中所发挥的关键作用,然而逼近法的作用不仅仅是证明,它还提供了求近似解的途径.以下通过几个实例来体会逼近法在近似计算中的应用.例3 用皮卡逼近法求微分方程1=dxdy过点()1,1的解. 解这里()1,1,1,00===y x y x f()()()⎰⎰+=+=-xx x n n d d f y x 11011,0ςςςϕςϕ ()1(),10=x ϕ代入()1 可得()x x =1ϕ()()x x 01ϕϕ≠,把()x 1ϕ代入()1可得 ()x x =2ϕ,故()()x x 12ϕϕ=,由逐步逼近法 ()x x =1ϕ是微分方程1=dxdy,过点()1,1的解. 例4 用皮卡逼近法求微分方程y dxdy=过点()1,0的解解这里()1,0,,00===y x y y x f()()()()⎰⎰--+=+=xn x x n n d d f y x 01101,0ςςϕςςϕςϕ ()1(),10=x ϕ代入()1 可得()x d x x+=+=⎰1101ςϕ()1!21)1(1202++=++=⎰x x d x xςςϕ()1!21!31)1!21(123203+++=+++=⎰x x x d x x ςςςϕ……由数学归纳法可得：()().1!11!11!11+++-+=-x x n x n x n n n ϕ显然()()x x n n ϕϕ≠+1 () ,3,2,1=n∑∞=0!n n n x 的n 项部分和函数为()x nϕ,可得幂级数∑∞=0!n n n x 的和函数是xe 在()+∞∞-,上 ()xn n e x =∴∞→ϕlim ()+∞<<∞-x由逐步逼近法有x e y = 是微分方程y dxdy=,过点()1,0的解. 例5 对于无法用初等积分法求通解的黎卡提方程22y x dxdy+=,我们可用逼近法求出满足初始条件()000=ϕ的近似解.解 ()00=x ϕ()()()33202021x dx x dx x x x xx==+=⎰⎰ϕϕ()()633)9()(730622122x x dx x x dx x x x xx+=+=+=⎰⎰ϕϕ ()()dxx x x x dx x x x xx⎰⎰+++=+=01410622223)396918929()(ϕϕ5953520792633151173x x x x +++=随着求解次数的增加,近似解()x n ϕ与真正解将越来越接近,因此在允许误差范围内可求出令人满意的解.上面我们结合不同数学分支中的实例,来体会逼近法的思想,尽管构造逼近序列的元素与方法各不相同,但其指导思想却是共同的,那就是用“已知的”、“简”的序列去逼近“未知的”“繁”的,从而达到我们的认识目的.正确领会逼近的思想,提高以逼近思想为指导的分析论证能力,将有助于我们深化对数学知识的认识,也将有助于我们提高数学分析运用能力和解决问题的能力.2.4 一次同余式组的逐步逼近解法用剩余定理求解一次同余式组是一种传统的方法,其缺点是兼容性差,计算量大.笔者将工程实践中的逐步逼近法引入传统的代数理论中,从而使一次同余式组的求解过程的兼容性大大增强,即一次同余式组增加几个条件时只需增加少量计算,而不必像对待一个新问题那样从头算起.设k m m m ,,,21 为两两互质的正整数,k b b b ,,,21 为整数.即求一次同余式组 1b x ≡ ()1mod m2b x ≡ ()2m o d m ()1k b x ≡ ()k mm o d的通解.它的最小正整数解,定义为一次同余式组()1的解.1.2.4 用剩余定理求解的方法令()k j m M M m M j j ki j ,2,1,1===∏=由于k m m m ,,,21 两两互质,故j M 与j m 也互质,故存在2个正整数j n 和()k j N j ,,2,1 =,满足1=+j j j j N M n m ()2 故j j j j j j j n m b b N M b -=从而有()∑∑∑+=-==+-+=kj i iiij j j jj i iiik i iiiNM b n m b bN M b N M b 1111于是j ki iiib NM b ≡∑=1()j m m o d对于任意整数l 有∏∑==+=ki i ki i i i m l N M b x 11()3此为式()1的通解.若∑==ki i i i N M b x 1()M m o d 为通解中的最小正整数解则为式()1的解,若同余式组()1增加了第1+k 个式子,则上述计算过程都需要重复计算,计算量较大.2.2.4 逐步逼近法)1 逐步逼近解法的构思设想一次同余式组i b x ≡ )(m o d i mk i ,,2,1 = 为k 个条件,称i b x ≡ ()i m m o d 为第i 个条件. 显然,对于任意整数1l ,111m l b x += ()4 满足第1个条件1b x ≡ )(m o d 1m逐步逼近法的构思是,选择适当的整数1l ,使式()4在满足第1个条件的同时满足第2个条件.如果存在一个整数1l 使式()4同时满足第1,第2个条件,则进一步假设211111m m l m l b x ++= ()5 对于任意整数2l ,显然式()5同时满足第1,第2个条件,只要适当选择整数2l ,使之再满足第3个条件,……,如此一步一步逼近,直至选择适当121,,,-k l l l ,使∏-=-++++=111212111k i i k m l m m l m l b x ()6满足所有k 个条件,则通解为∏∏=-=-+++++=ki ik i i k m l m l m m l m l b x 1111212111式中l 为任意整数.是()6如果为最小整数解,则为解.)2 逐步逼近解法的理论证明。

二次曲线方程的化简与分类

(x0 cos y0 (x0 sin
sin )
y0 cos
)
（5.6-4）
平面直角坐标变换公式（5.6-3）是由新坐标系原
点的坐标 (x0, y0 ) 与坐标轴的旋转角决定的。
确定坐标变换公式，除了上
面的这种情况外，还可以有
其它的方法。
y
M x/ y/
例如给出了新坐标系的两坐标轴在旧坐标
tg Y a12 a11 , X a22 a12
(aa1211X()aX22a12)YY
0, 0.
ctg 2
1 tg 2 2tg
1 (
2
a12 )2 a22 a12
a22
1 ( a12 )( a11 )
a22 a12
2a12
a11 a22 2a12
a22
因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置。
例 1 已知两垂直的直线 l1: 2x y 3 0 与
l2 : x 2 y 2 0 ，取 l1为Ox 轴，l2 为Oy 轴，求
坐标变换公式。
解设 M (x, y) 的新坐标为 (x, y)，那么有
x x 2 y 2 , y 2x y 3 ,
5
5
根据上面的符号选取法则得变换公式为
项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而
与一次项系数及常数项无关。
2o 一次项系数一般要改变。新方程的一次
项系数
a13 a13 cos a23 sin , a23 a13 sin a23 cos ,
解出 a13, a23 得
a13 a13 cos a23 sin , a23 a13 sin a23 cos ,

§5.6 二次曲线方程的化简与分类

§5.6 二次曲线方程的化简与分类一、平面坐标变换1.移轴和转轴：如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x', y')，则移轴公式为或式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为或式中α为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵.2. 一般坐标变换公式为或3.设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0,其中A1A2＋B1B2＝0，如果取l1 为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x'，y'), 则有其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的.二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响1．在移轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数不变；（2）一次项系数变为 2F1(x0, y0)与 2F2(x0, y0)；（3）常数项变为F(x0, y0).从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失.2．在转轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数一般要改变. 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关.（2）一次项系数一般要改变. 新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关. 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项.（3）常数项不变. 从而当二次曲线方程中a12≠0时，选取旋转角α，使,则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失.三、二次曲线的方程化简1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴.例1．利用移轴与转轴, 化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.（1）5x2＋4xy＋2y2－24x－12y＋18＝0；（2）x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0；（3）5x2＋12xy－22x－12y－19＝0；（4）x2＋2xy＋y2＋2x＋2y＝0.解：（1）因为I2＝＝6≠0，所以曲线为中心曲线，由解得中心为(2, 1)，作移轴变换代入曲线原方程，整理得5x'2＋4x'y'＋2y'2－12＝0.由ctg2α＝，即,得 tgα＝－2，tgα＝.不妨取tgα＝，则由图5-1可得sinα＝，cosα＝,作转轴变换代入上述化简方程得6 x"2＋y"－12＝0.即.（如图5-2）.（2）因为I2＝＝0，故曲线为无心曲线，由ctg2α＝＝0,得α＝.作转轴变换代入原方程，整理得＝ 0,配方得＝0.作移轴变换得到 x"2＋y"＝0, 即 x"2＝－y". （如图5-3）.（3）因为I2＝＝－36≠0，所以曲线是中心曲线，由,得中心 (1, 1)，作移轴变换代入原方程，整理得5x'2＋12x'y'－36＝0.由ctg2α＝, 即,解得tg α＝－，tg α＝.不妨取tg α＝，则由图5-４可得sinα＝，cosα＝,作转轴变换代入上述方程整理得9 x"2－4y"2＝36,即.（如图5 – 5）.（４）因为I2＝＝0，故曲线为线心曲线，由ctg2α＝＝0,得α＝，作转轴变换代入原方程，整理得＝0, 配方：. 作移轴变换就有x"2＝, （如图5-6）.2. 利用转轴来消去二次曲线方程的xy项，其几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置.如果二次曲线的特征根确定的主方向为，则由得，所以.因此通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上就是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置. 如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合. 因此二次曲线方程的化简，也可以先求出二次曲线的主直径，以它作为新坐标轴，作坐标变换即可.例2. 以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，写出相应的坐标变换公式，并作出图形.（1）8x2＋4xy＋5y2＋8x－16y－16 ＝0；（2）x2－4xy－2y2＋10x＋4y ＝0；（3）4x2－4xy＋y2＋6x－8y＋3＝0；（4）4x2－4xy＋y2＋4x－2y＝0.解：（1）因为I1＝8＋5＝13，I2＝＝36≠0，故曲线为中心曲线，特征方程为λ2－13λ＋36＝0,解之得λ1＝4，λ2＝9，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝－1:2，X2 : Y2＝2:1.由于F1(x, y)＝8x＋2y＋4，F2(x, y)＝2x＋5y－8，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为x－2y＋5＝0, (x')2x＋y＝0, (y')得坐标变换公式为从而有正变换公式（注意此变换的系数矩阵就是上一变换矩阵的转置矩阵）代入原方程并整理得9 x'2＋4y'2－36＝0,即.同时 cosα＝，sinα＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，由图6-7可得tgα＝，从而可确定α并作出图形，如图5-8.（２）因为I1＝1－2＝－1，I2＝＝－6 ≠0，故曲线为中心曲线，特征方程为λ2＋λ－6＝0.解之得λ1＝2，λ2＝－3，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝－2: 1，X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝x－2y＋5，F2(x, y)＝－2x－2y＋2，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为2x－y＋4＝0, (x')x＋2y－3＝0, (y')得坐标变换公式为从而有正变换公式代入原方程并整理得－3 x'2＋2y'2－1＝0.即－.同时sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，如图5—10.（3）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0,,故曲线为无心曲线，特征方程为λ2－5λ＝0,解之得λ1＝5，λ2＝0，由λ1确定的非渐近主方向X1 : Y1＝－2: 1，由λ2确定的渐近主方向为X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝4x－2y＋3，F2(x, y)＝－2x＋y－4，，从而由λ1确定的唯一主直径为2x－y＋2＝0,将它取为O'x'轴，由解得曲线的顶点为，过它且垂直于2x－y＋2＝0的直线方程为x＋2y＋＝0,将它取为轴O 'y'，得坐标变换公式为，从而有正变换公式代入原方程并整理得5y' 2 －x'＝0.即y' 2 ＝x'.同时sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝, 如图5-12.（4）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0, ，故曲线为线心曲线，特征方程为λ2－5λ＝ 0,解之得λ1＝5，λ2＝0，由λ1确定的非渐近主方向X1 : Y1＝－2: 1，由λ2确定的渐近主方向为X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝4x－2y＋2，F2(x, y)＝－2x＋y－1，从而由λ1确定的唯一主直径为2x－y＋1＝0,将它取为O'x'轴，过原点与它垂直的直线x＋2y＝0取为O'y'轴，得坐标变换公式为从而有正变换公式代入原方程并整理得5y' 2 －1＝0,即y' 2 ＝.同时 sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝,如图5-14.四、二次曲线的分类1.不论采用哪种方法化简方程，尽管所化简的曲线方程其形式可能不一致，但它们所刻划的几何图形相对于原坐标系而言是完全一致的.2.适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个：(I) 中性心线： a11x2＋a22y2＋a33＝0，a11a22≠ 0；(II)无心曲线： a22y2＋2a13 x＝0，a22a13≠ 0；(III) 线心曲线： a22y2＋a33＝0，a22≠ 0.3.二次曲线以上三种简化方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：(I) 中性心线：[1] ＝ 1 (椭圆)；[2] ＝－1 (虚椭圆)；[3] ＝ 1 (双曲线)；[4] ＝ 0 (点或称两相交于实点的共轭虚直线)；[5] ＝ 0 (两相交直线)；(II) 无心曲线：[6] y2＝2px (抛物线)；(III) 线心曲线：[7] y2＝a2 (两平行直线)；[8] y2＝－a2 (两平行共轭虚直线)；[9] y2＝ 0 (两重合直线).例3. 试证中心二次曲线ax2＋2hxy＋ay2＝d的两条主直径为x2－y2＝0，曲线的两半轴的长分别是及.证明：因为曲线为中心曲线，所以I1＝a＋a＝2a，I2＝＝a2－h2 ≠ 0, a ≠±h,特征方程为λ2－2aλ＋(a2－h2)＝ 0,解之得λ1＝a＋h，λ2＝a－h，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝1: 1，X2 : Y2＝－1: 1,由于F1(x, y)＝ax＋hy，F2(x, y)＝hx＋ay，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为x＋y＝0, (y') x－y＝0, (x')即曲线的两条主直径为x2－y2＝0. 将它们分别取作O'y'轴与O'x'轴，得坐标变换公式为从而求得正变换公式代入曲线原方程整理得（依题意d ≠0）,即.所以两半轴长分别为和.例4. 已知≠0，且a1 a2＋b1 b2＝0，试求二次曲线(a1x＋b1y＋c1)2＋(a2x＋b2y＋c2)2＝1的标准方程与所用的坐标变换公式.解：因为a1 a2＋b1 b2＝0，所以直线a1x＋b1y＋c1＝0 与a2x＋b2y＋c2＝0互相垂直，分别取为O'y'轴与O'x'轴，得坐标变换公式为[其中a i, b i (i=1,2)不全为0]式中正负号的选取使得第一式中x的系数与第二式中y的系数相同，代入原方程得.由a1 a2＋b1 b2＝0 知λ≠ 0则a1＝λb2，b1＝－λa2，从而,注意到a2，b2不全为0，≠ 0, 代入得＝1,或令λ'=≠ 0，有＝1.作业题：1. 试证在任意转轴下，二次曲线新旧方程的一次项系数满足关系式.2. 利用坐标变换方法或主直径方法，化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.(1) 2xy－4x－2y＋3＝0；(2) 5x2＋8xy＋5y2－18x－18y＋9＝0；(3) x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0;(4) x2－3xy＋y2＋10x－10y+21＝0;(5) x2－xy＋y2＋2x－4y＝0；(6) x2+6xy＋y2＋6x+2y－1＝0；(7) x2－2xy＋y2＋2x－2y－3＝0；(8) x2+2xy＋y2＋2x＋y＝0.。

一般二次曲线的化简与分类

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结构设计
在建筑和土木工程中，二次曲线可以用来描述结构的形状和受力情况，例如拱桥的拱形结构和高层建筑的抗风设计。
机械设计
在机械设计中，二次曲线可以用来描述机器零件的形状和运动轨迹，例如曲轴和凸轮的设计。
航空航天
在航空航天领域中，二次曲线可以用来描述飞行器的飞行轨迹和气动外形，例如飞机和导弹的设计。
二次曲线标准形式的性质
总结词
二次曲线的标准形式具有一些重要的几何和代数性质。
详细描述
例如，圆的标准形式是$x^2 + y^2 = r^2$，它表示一个以原点为中心、半径为$r$的圆；双曲线的标准形式是$x^2 - y^2 = r^2$或$y^2 = mx + n$，表示两条渐近线与坐标轴成45°的角。这些性质在解决几何问题时非常有用。
未来研究方向与展望
研究方向
未来对于二次曲线化简与分类的研究可以从多个方向展开，如探索新的化简与分类方法、研究二次曲线的性质和特点、将二次曲线化简与分类应用于实际问题中等。
VS
展望
随着数学和其他学科的发展，二次曲线化简与分类的研究将不断深入，有望在理论和应用方面取得更多的突破和创新。同时，随着计算机技术的发展，也可以利用计算机进行二次曲线化简与分类的计算和模拟，提高研究的效率和精度。
虚轴焦点
当判别式小于0时，二次曲线与x轴无交点，但与y 轴有两个交点，即有两个虚轴焦点。
无焦点
当判别式等于0时，二次曲线与x轴只有一个交点，即没有焦点。
根据对称性的分类
对称二次曲线
当二次曲线关于x轴或y轴对称时，称为对称二次曲线。
非对称二次曲线
当二次曲线既不关于x轴也不关于y轴对称时，称为非对称二次曲线。

二次曲线的基本性质及方程式

二次曲线的基本性质及方程式二次曲线是一类具有特定形状和性质的曲线，它的方程可以通过一些特定的形式描述。

本文将介绍二次曲线的基本性质以及常见的方程式。

一、二次曲线的基本性质1. 二次曲线的定义：二次曲线是平面上所有满足二次方程的点的集合。

其一般形式为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为常数，且A和C不能同时为0。

2. 二次曲线的对称性：二次曲线通常具有关于x轴、y轴或者原点的对称性。

当A=C且B=0时，二次曲线关于x轴对称；当A=0且B=C时，二次曲线关于y轴对称；当A=C且B≠0时，二次曲线关于原点对称。

3. 二次曲线的类型：根据方程中各项的系数，可以确定二次曲线的类型。

当B^2-4AC>0时，二次曲线为双曲线；当B^2-4AC=0时，二次曲线为抛物线；当B^2-4AC<0时，二次曲线为椭圆。

4. 二次曲线的焦点和准线：对于双曲线和抛物线，它们都有焦点和准线。

焦点是曲线上所有点到两个定点（称为焦点）的距离之和相等的点；准线是与曲线中所有点到直线的距离相等的直线。

而对于椭圆来说，它也有两个焦点，但没有准线。

二、二次曲线的方程式1. 双曲线的方程式：双曲线的一般方程为Ax^2 - Cy^2 = 1，其中A和C为正常数。

在此一般方程的基础上，双曲线还有一些常见的特殊形式，如横轴为主轴、纵轴为主轴的双曲线方程。

2. 抛物线的方程式：抛物线的一般方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

抛物线还可以表达为以顶点为中心的顶点式方程或焦点为中心的焦点式方程。

3. 椭圆的方程式：椭圆的一般方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中h、k分别为椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标；a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。

椭圆的方程式还可以表达为标准方程或参数方程。

三、应用举例1. 双曲线的应用：双曲线在数学和物理中有广泛的应用。

5.3二次曲线方程的化简与分类

直角坐标变换下其函数值保持不变，则称这函数为二次曲线的正交不变量，简称不变量. 如果这函数值仅在旋转坐标变换下保持不变，就称这函
数为二次曲线的半不变量.
定理5.3.1 在直角坐标变换下，二次曲线（5.1）有三个不变量I1，I2，I3与一个半不变量K1. 证明把直角坐标变换式（5.15）代入二次曲线方程（5.2）得
T
M X0 T 1 X0 B a33 I3.
T
0
A
T
B a33
M 0
X0 1
1 B
B a33
所以是二次曲线的不变量.
把旋转坐标变换式（5.17）代入二次曲线方程（5.2）得：
F x , y X

T
M T 1 0

0 A T 1 B M
. （两重合直线）
(9) y 2 0

证明根据定理5.3.1，考虑二次曲线的三个简
化方程的系数的各种不同情况：情况1 中心曲线：
1 x 2 y
2 2
I3 I2
0
. 异号时，方程
(1)
当 I2
1 2 0
2 2
而I3与
.
I 1 1 2
可化为： x
a
T

B a33
2 2 a13
所以,
2 a1 3

I3 2

I3 I1

(1) 当 a13 0 时， I 3 0 ，曲线是无心曲线， X 对（5.23）式作平移坐标变换： X X . 其中： a a
0
X
x , y
0
0

二次曲线方程的化简与应用

山西师范大学现代文理学院（数计系）毕业论文论文题目：二次曲线方程的化简与应用学生姓名：刘彦雪学号： 1290110415专业：数学与应用数学班级： 1204班指导教师：范青龙二零一四年十一月四号目录摘要 (2)（一）、二次曲线的相关定义 (2)（二）、平面直角坐标变换 (3)2.1二次曲线方程的化简与分类 (3)2.2 利用系数的影响规律化简方程 ............................................... 错误!未定义书签。

（三）、应用举例.. (7)（四）、结束语 (10)参考文献 (11)二次曲线方程的化简与应用刘彦雪摘要二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是教学的一个难点，这方面的研究文献较多，分别总结出很多有效的方法。

文献给出了通过对二次曲线方程配方变形、直角坐标变换对二次曲线方程进行分类、化简;然后根据直线与二次曲线相交时参数t 的几何意义,确定二次曲线的标准方程.从而解决了利用坐标系的平移,旋转对二次曲线方程分类,化简时运算复杂或无法确定图形具体位置等问题.本论文首先对定义进行归纳总结，运用验证类比以及大量的举例对二次曲线化简作了说明，其次给出了一些方法和过程及证明，然后作出了归纳总结。

关键词定义；二次曲线；平面直角坐标变换（一）、相关定义1.1.在平面上，由二元二次方程()22111222132333,2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= 所表示的曲线,叫做二次曲线.1.2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线;没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线;有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线.无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线.1.3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标,这种变换称为坐标变换.1.4 由曲线方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,它的函数值不变,就称这个函数是该曲线的一个正交不变量,简称不变量. 1.5 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径。

解析几何课5二次曲线

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2. ( X , Y ) 0，这时又可分三种情况：
1 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y 0. 此时(4)是关于t的一次方程 , 直线( 2)与二次曲线 (1)有唯一实交点 . 2 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y 0.
定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心. 定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是： F1 ( x0 , y0 ) a11 x0 a12 y0 a13 0 (5.2 1) F2 ( x0 , y0 ) a12 x0 a22 y0 a23 0 推论坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项.
F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点.
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定理5.3.1 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是 (x-x0)F1 (x0,y0)+ (y-y0)F2 (x0,y0)=0， (x0,y0)是它的切点. 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确定，或者说过点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1) 的切线. 推论如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是：
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§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
1.二次曲线的渐近方向定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向. 定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的. 即1)椭圆型：I2>0 2)抛物型： I2＝0 3)双曲型： I2<0

二次曲线方程的化简与分类

二次曲线方程是指以二次项和常数项的多项式形式构成的曲线。

它的一般模式是，形式为$ax^2+bx+c=0$。

这里$a,b,c$是实数或复数，且$a≠0$。

一般而言，根据$ax^2+bx+c=0$中存在二次项次级导数存在不变加（减）点，这样的曲线叫做二次曲线。

根据方程的性质，可以将二次曲线分为以下几类：（1）抛物线：当$a>0$时，$ax^2+bx+c=0$为一抛物线，其两根为$x=-\frac{b}{2a}±\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$，抛物线两端形状分别为拱顶和顶点，且$x_1<x_2$；（2）拉普拉斯曲线：当$a<0$时，$ax^2+bx+c=0$为一拉普拉斯曲线，其根绝无，拉普拉斯曲线两端形状分别为顶点和拱底，拉普拉斯曲线不具有实根；（3）直线：当$a=0$时，$bx+c=0$成立，这是一条直线，其根为$x=-\frac{c}{b}$，直线有一定的斜率；（4）静止：当$a,b,c$均为0时，$ax^2+bx+c=0$成立，这是一条不动线，一般由于不符合实际需求，所以不会出现。

二次曲线方程的化简仅到这四类，不能太具体。

而根据方程$ax^2+bx+c=0$的模式，可以将方程化简为$y=ax^2+bx+c$，并通过幂级数法作变换，得出其他分类，如可采用二次型$y=a(x-h)^2+k$，或一般型$y=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$，或极坐标$(r,\theta )=acos2\theta+bsin2\theta +c$。

总而言之，二次曲线方程是以二次项和常数项的多项式形式构成的曲线，可分为抛物线、拉普拉斯曲线、直线和静止；而方程的化简还可采用二次型、一般型和极坐标等方式。

二次曲线方程的化简

二次曲线方程是一种数学形式，用来表达一条曲线的几何特征的方程。

它是一元二次方程的一般形式，其关键是表示二维坐标系中的曲线。

一般来说，二次曲线方程可以表示为 y = ax² + bx + c，其中，a, b, c 为
任一实数。

了解了这样一个形式，我们可以计算它在x轴上的拐点，
可以利用求根公式求出这样一个方程的拐点，其根是：
x1 = [-b + √(b² - 4ac) ] / 2a
x2 = [-b - √(b² - 4ac) ] / 2a
这样我们就可以以a,b,c为参数，来写出一个二次曲线的方程表达式。

需要注意的是，当参数a的值为0的时候，方程实际上就是一个一次函数，不再是二次函数了。

二次曲线方程的化简对数学中一些概念的理解非常重要，例如，曲线
的极值，切线斜率，矩形轴对称，椭圆形等等。

其实，二次曲线方程化简的技巧可以分为三种：平移法、标准形式化
简法和具体数值求解法。

（1）平移法：将原始方程中的每一项的常数项“平移”到右边，令原始方程的左边变为0，从而表达出一个标准的二次曲线方程。

（2）标准形式化简法：把方程中的变量变为标准形式，这样只要把变量重新合并就可以得到一个标准的二次曲线方程。

（3）具体数值求解法：意味着直接利用求根公式计算出二次曲线方程
的解。

总的来说，二次曲线方程的化简是一个非常重要的数学知识点，对于理解数学形状的概念有很大的帮助。

要想掌握其中的知识，需要深入研究，努力理解，并在此基础上不断练习。

5.6二次曲线方程的化简与分类

与2F2 ( x0 , y0 ); (3)常数项系数变为 F ( x0 , y0 )
x x / cos y / sin 把转轴公式： y x / sin y / cos
/ / / /2 / / / / /2
代入二次曲线方程可得：
/ / / / /
ห้องสมุดไป่ตู้
F ( x , y ) a11 x 2a12 x y a22 y 2a13 x 2a23 y a33 0
a11/ a11 cos2 2a12 sin cos a22 sin 2 , / 2 2 a12 (a22 a11 ) sin cos a12 (cos sin ), / 这里： a22 a11 sin 2 2a12 sin cos a22 cos2 , / / a13 a13 cos a23 sin , a23 a13 sin a23 cos , a / a 33 33
定理5.6.1 适当选取坐标系，二次曲线的方程
总可以化成下列三个简化方程中的一个：
( I ) a11 x 2 a22 y 2 a33 0, a11a22 0; ( II ) a22 y 2 2a13 x 0, a22 a13 0; ( III ) a22 y 2 a33 0, a22 0.
x y [5] 2 2 0 (两相交直线) a b
2
2
[6] y 2 px (抛物线)
2
[7] y a (两平行直线)
2 2
[8] y a (两平行共轭虚直线)
2 2
[9] y 0 (两重合直线)
2
《解析几何》－Chapter 5

二次曲线方程的化简与分类

§7 二次曲线方程的化简与分类一方程的化简：1 中心曲线方程的化简：对中心曲线F （x,y ）=0，令O ′（0x ，0y ）为其中心，若将坐标原点平移至O ′，则新方程中将不含一次项，再选取适当的θ角，作旋转变换，还可消去方程中的交叉乘积项，最终中心曲线的方程可化简为033222211='+''+''a y a x a （1）由于022112≠''='a a I ， ∴''2211,a a 全不为0，从而中心曲线（1）关于新系的x ′， y ′轴对称，即以中心曲线的二主直径作为坐标轴建立新坐标系时，则曲线的方程便简化为（1）例1：化简二次曲线方程x ²-xy+y ²+4x-2y=0解：所给二次曲线的二主直径为x+y+2=0 ，x-y+2=0 取坐标变换公式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--='-+=')2(21)2(21y x y y x x 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'+'='-'=2)(21)(21y x y y x x代入原方程有x ′²+3y ′²-8=0即138822='+'y x 2 无心曲线方程的化简：对无心曲线F （x,y ）=0，选取适当的θ角作旋转变换，可消去方程中的交叉乘积项，即方程简化为022332313222211='+''+''+''+''a y a x a y a x a由于02211=''a a ∴''2211,a a 有且仅有一为0，不妨设'11a =0 ，再配方有 0)(2)(0132022='+''+'+''x x a y y a作平移⎪⎩⎪⎨⎧'+'='''+'=''00y y y x x x则方程最终简化为0213222=''"+''"x a y a （2）由于 231322121211:::a a a a a a ≠= ∴013≠"a从而无心曲线（2）关于x ″轴对称，即x ″轴是其一主直径，且x ″州与曲线的交点是新坐标系的坐标原点。

二次曲线的方程化简与分类

x y
A2 x A1x
B2 y C2 z
A22 B22 B1 y C1z
A2 A22 B22
cos ，
A12B2B12 A22 B22
sin ，
（﹡）
A1 A12 B12
sin ，
B1 A12 B12
cos
．
（*）的符号选取要使得第一式右端 x 的系数与第二式
与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失.
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2．二次曲线方程的化简与分类
2. 转轴：
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x xcos ysin
y
x sin
y
cos
转轴变换规律：
1°二次项系数一般要改变．
定理2 通过适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：
[1] x2 y2 1 (椭圆) a2 b2
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2．二次曲线方程的化简与分类
数学科学学院
[2]
x2 a2
y2 b2
1 (虚椭圆)
a12 0 ．为此，取，使得
a12 a22 a11sin cos a12 cos2 sin2 0 ，
即 a22 a11 sin 2 2a12 cos 2 0 ，
cot 2 a11 a22
∴
2a12
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§5.6 二次曲线的方程化简与分类

解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章

解析⼏何第四版吕林根课后习题答案第五章第五章⼆次曲线⼀般的理论§5.1⼆次曲线与直线的相关位置1. 写出下列⼆次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y .（1）22221x y a b +=；（2）22221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++=（5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）22100100001a A b ?? ?= - ；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b=3(,)1F x y =-；（2）22100100001a A b ?? ?=- -；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-.（3）0001000p A p -??= ? ?-??；1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020305022A ?? ?=-；15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35(,)22F x y x =+；（5）1232171227342A ??-- ? ? ?=---；11(,)232F x y x y =--；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342F x y x y =-+-. 2. 求⼆次曲线22234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.（1）550x y --=（2）220x y ++=；（3）410x y +-=；（4）30x y -=；（5）2690x y --=.提⽰：把直线⽅程代⼊曲线⽅程解即可，详解略（1）15(,),(1,0)22-；（2??，??；（3）⼆重点(1,0)；（4）11,26??；（5）⽆交点.3. 求直线10x y --=与222210x xy y x y -----=的交点. 解：由直线⽅程得1x y =+代⼊曲线⽅程并解⽅程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k 的值，使得（1）直线50x y -+=与⼆次曲线230x x y k -+-=交于两不同的实点；（2）直线1,{x kt y k t=+=+与⼆次曲线22430x xy y y -+-=交于⼀点；（3）10x ky --=与⼆次曲线22(1)10xy y k y -+---=交于两个相互重合的点；（4）1,{1x t y t=+=+与⼆次曲线222420x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4）4924k >. §5.2⼆次曲线的渐进⽅向、中⼼、渐进线1. 求下列⼆次曲线的渐进⽅向并指出曲线属于何种类型的（1）22230xxy y x y ++++=；（2）22342250x xy y x y ++--+=；（3）24230xy x y --+=.解：（1）由22(,)20X Y X XY Y φ=++=得渐进⽅向为:1:1X Y =-或1:1-且属于抛物型的；（2）由22(,)3420X Y X XY Y φ=++=得渐进⽅向为:(2:3X Y =-且属于椭圆型的；（3）由(,)20X Y XY φ==得渐进⽅向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的.2. 判断下列曲线是中⼼曲线，⽆⼼曲线还是线⼼曲线.（1）22224630x xy y x y -+--+=；（2）22442210x xy y x y -++--=；（3）2281230y x y ++-=；（4）2296620x xy y x y -+-+=.解：（1）因为2111012I -==≠-，所以它为中⼼曲线；（2）因为212024I -==-且121241-=≠--，所以它为⽆⼼曲线；（3）因为200002I ==且004026=≠，所以它为⽆⼼曲线；（4）因为293031I -==-且933312--==-，所以它为线⼼曲线； 3. 求下列⼆次曲线的中⼼.（1）225232360x xy y x y -+-+-=；（2）222526350x xy y x y ++--+=；（3）22930258150x xy y x y -++-=.解：（1）由510,3302x y x y --=-++=??得中⼼坐标为313(,)2828-；（2）由5230,2532022x y x y ?+-=+-=??得中⼼坐标为(1,2)-；（3）由91540,15152502x y x y -+=??-+-=知⽆解，所以曲线为⽆⼼曲线. 4. 当,a b 满⾜什么条件时，⼆次曲线226340x xy ay x by ++++-=（1）有唯⼀中⼼；（2）没有中⼼；（3）有⼀条中⼼直线.解：（1）由330,2302x y b x ay ?++=++=??知，当9a ≠时⽅程有唯⼀的解，此时曲线有唯⼀中⼼；（2）当9,9a b =≠时⽅程⽆解，此时曲线没有中⼼；（3）当9a b ==时⽅程有⽆数个解，此时曲线是线⼼曲线.5. 试证如果⼆次曲线22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= 有渐进线，那么它的两个渐进线⽅程是Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=式中00(,)x y 为⼆次曲线的中⼼.证明：设(,)x y 为渐进线上任意⼀点，则曲线的的渐进⽅向为00:():()X Y x x y y =--，所以Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=.6. 求下列⼆次曲线的渐进线.（1）226310x xy y x y --++-=；（2）2232340x xy y x y -++-+=；（3）2222240x xy y x y ++++-=.解：（1）由1360,2211022x y x y ?-+=--+=??得中⼼坐标13(,)55-.⽽由2260X XY Y --=得渐进⽅向为:1:2X Y =或:1:3X Y =-，所以渐进线⽅程分别为210x y -+=与30x y += （2）由310,22332022x y x y ?-+=-+-=??得中⼼坐标13(,)55-.⽽由22320X XY Y -+=得渐进⽅向为:1:1X Y =或:2:1X Y =，所以渐进线⽅程分别为20x y -+=与210x y --=（3）由10,10x y x y ++=??++=?知曲线为线⼼曲线，.所以渐进线为线⼼线，其⽅程为10x y ++=.7. 试证⼆次曲线是线⼼曲线的充要条件是230I I ==，成为⽆⼼曲线的充要条件是230,0I I =≠. 证明：因为曲线是线⼼曲线的充要条件是131112122223a a a a a a ==也即230I I ==；为⽆⼼曲线的充要条件是131112122223a a a a a a =≠也即230,0I I =≠. 8. 证明以直线1110A x By C ++=为渐进线的⼆次曲线⽅程总能写成111()()0A x By C Ax By C D +++++=. 证明：设以1110A x By C ++=为渐进线的⼆次曲线为 22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，则它的渐进线为Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=，其中00(,)x y 为曲线的中⼼，从⽽有Φ00(,)x x y y --=111()()0A x By C Ax By C ++++= ，⽽Φ00(,)x x y y --=0 因为00(,)x y 为曲线的中⼼，所以有11012013a x a y a +=-，12022023a x a y a +=- 因此Φ000033(,)(,)(,)x x y y F x y x y a φ--=+-，令0033(,)x y a D φ-=-，代⼊上式得即111(,)()()F x y A x By C Ax By C D =+++++，所以以1110A x By C ++=为渐进线的⼆次曲线可写为111()()0A x By C Ax By C D +++++=.9.求下列⼆次曲线的⽅程.（1）以点（0，1）为中⼼，且通过（2，3），（4，2）与（-1，-3）；（2）通过点（1，1），（2，1），（-1，-2）且以直线10x y +-=为渐进线. 解：利⽤习题8的结论即可得：（1）40xy x --=；（2）2223570x xy y x ---+=.§5.3⼆次曲线的切线1. 求以下⼆次曲线在所给点或经过所给点的切线⽅程.（1）曲线223457830x xy y x y ++---=在点（2，1）；（2）曲线曲线223457830x xy y x y ++---=在点在原点；（3）曲线22430x xy y x y +++++=经过点（-2，-1）；（4）曲线225658x xy y ++=经过点()；（5）曲线222210x xy y x y -----=经过点（0，2）.解：（1）910280x y +-=；（2）20x y -=；（3）10,30y x y +=++=；（4）1150,0x y x y +-=-+=；（5）0x =.2. 求下列⼆次曲线的切线⽅程并求出切点的坐标.（1）曲线2243530x xy y x y ++--+=的切线平⾏于直线40x y +=；（2）曲线223x xy y ++=的切线平⾏于两坐标轴.解：（1）450x y +-=，(1,1)和480x y +-=，(4,3)-；（2）20y ±=，(1,2),(1,2)--和20x ±=，(2,1),(2,1)--. 3. 求下列⼆次曲线的奇异点.（1）22326410x y x y -+++=；（2）22210xy y x +--=；（3）2222210x xy y x y -+-++=.解：（1）解⽅程组330,220x y +=??-+=?得奇异点为(1,1)-；（2）解⽅程组10,0y x y -=??+=?得奇异点为(1,1)-.4.试求经过原点且切直线4320x y ++=于点（1，-2）及切直线10x y --=于点（0，-1）的⼆次曲线⽅程. 解：利⽤（5.3-5）可得226320x xy y x y +-+-=.5.设有共焦点的曲线族2222221x y a h b h+=++，这⾥h 是⼀个变动的参数，作平⾏于已知直线y mx =的曲线的切线，求这些切线切点的轨迹⽅程. 解：设切点坐标为00(,)x y ，则由（5.3-4）得曲线的切线为0022221x x y ya hb h+=++，因为它平⾏与y m x =，所以有2220000x b my a h x my +=-+，代⼊220022221x y a h b h +=++整理得222220000(1)()0m x m x y m y m a b +----=，所以切点的轨迹为22222(1)()0mx m xy my m a b +----=.§5.4⼆次曲线的直径1. 已知⼆次曲线223754510x xy y x y +++++=.求它的（1）与x 轴平⾏的弦的中点轨迹；（2）与y 轴平⾏的弦的中点轨迹；（3）与直线10x y ++=平⾏的弦的中点轨迹.解：（1）因为x 轴的⽅向为:1:0X Y =代⼊（5.4-3）得中点轨迹⽅程6740x y ++=；（2）因为y 轴的⽅向为:0:1X Y =代⼊（5.4-3）得中点轨迹⽅程71050x y ++=；（3）因为直线10x y ++=的⽅向为:1:1X Y =-代⼊（5.4-3）得中点轨迹⽅程310x y ++=. 2.求曲线224260x xy x y +---=通过点（8，0）的直径⽅程，并求其共轭直径. 解：（1）把点（8，0）代⼊(2)(21)0X x Y y -+-= 得:1:6X Y =，再代⼊上式整理得直径⽅程为1280x y +-=，其共轭直径为122230x y --=.3.已知曲线22310xy y x y --+-=的直径与y 轴平⾏，求它的⽅程，并求出这直径的共轭直径. 解：直径⽅程为10x -=，其共轭直径⽅程为230x y -+=.4.已知抛物线28y x =-，通过点（-1，1）引⼀弦使它在这点被平分. 解：430x y ++=.5. 求双曲线22164x y -=⼀对共轭直径的⽅程，已知两共轭直径间的⾓是45度. 解：设直径和共轭直径的斜率分别为',k k ，则'23kk =.⼜因为它们交⾓45度，所以''11k k kk -=+，从⽽13k =-或2，'2k =-或13，故直径和共轭直径的⽅程为30x y +=和20x y -=或20x y +=和30x y -=.6.求证：通过中⼼曲线的直线⼀定为曲线的直径；平⾏于⽆⼼曲线渐进⽅向的直线⼀定为其直径. 证明：因为中⼼曲线直径为中⼼线束，因此过中⼼的直线⼀定为直径；当曲线为⽆⼼曲线时，它们的直径属于平⾏直线束，其⽅向为渐进⽅向，所以平⾏于⽆⼼曲线渐进⽅向的直线⼀定为其直径. 7．求下列两条曲线的公共直径.（1）223234440x xy y x y -+++-=与2223320x xy y x y --++=；（2）220x xy y x y ----=与2220x xy y x y ++-+=. 解：（1）210x y -+=；（2）5520x y ++=.8.已知⼆次曲线通过原点并且以下列两对直线 320,5540x y x y --=??--=?与530,210y x y +=??--=?为它的两对共轭直径，求该⼆次曲线的⽅程. 解：设曲线的⽅程为22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a=+++++=，则由（5.4-3）和（5.4-5）可得1112221323331111,,1,,,0222a a a a a a ==-=-=-=-=，所以曲线的⽅程为220x xy y x y ----=.§5.5⼆次曲线的主直径与主⽅向1.分别求椭圆22221x y a b +=，双曲线22221x y a b-=，抛物线22y px =的主⽅向与主直径.解：椭圆的主⽅向分别为1：0和0：1，主直径分别为0,0x y ==；双曲线的主⽅向分别为1：0和0：1，主直径分别为0,0x y==；抛物线的主⽅向分别为0：1和1：0，主直径分别为0y =. 2.求下列⼆次曲线的主⽅向与主直径. （1）22585181890x xy y x y ++--+=；（2）22210xy x y -+-=；（3）229241618101190x xy y x y -+--+=.解：（1）曲线的主⽅向分别为1：（-1）和1：1，主直径分别为0,20x y x y -=+-=；（2）其主⽅向分别为1：1和1：（-1），主直径分别为0,20x y x y +=-+=；（3）其主⽅向分别为3：（-4）和4：3，主直径分别为3470x y -+=；（4）任何⽅向都是其主⽅向，过中⼼的任何直线都是其主直径.3.直线10x y ++=是⼆次曲线的主直径，点（0，0），（1，-1），（2，1）在曲线上，求该曲线的⽅程.解：设⼆次曲线⽅程为22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，把点坐标（0，0），（1，-1），（2，1）分别代⼊上⾯⽅程同时利⽤直线10x y ++=为其主直径可得111222132333774,,4,,4,022a a a a a a ==-==-==，所以所求曲线⽅程为22474780x xy y x y -+-+=.4.试证⼆次曲线两不同特征根确定的主⽅向相互垂直.证明：设12,λλ分别曲线的两不同特征根，由它们确定的主⽅向分别为11:X Y 与22:X Y 则1111211112122111,,a X a Y X a X a Y Y λλ+=??+=?与1121222212222222,a X a Y X a X a Y Y λλ+=??+=?，所以11211211112121212212()()X X YY a X a Y X a X a Y Y λλ+=+++11212211222221221221()(),a X a Y X a X a Y X X X Y Y λλ=+++=+从有121212()()0X X YY λλ-+=，因为12λλ≠，所以12120X X YY +=，由此两主⽅向11:X Y 与22:X Y 相互垂直.§5.6⼆次曲线⽅程的化简与分类1. 利⽤移轴与转轴，化简下列⼆次曲线的⽅程并写出它们的图形.（1）225422412180x xy y x y ++--+=；（2）222410x xy y x y ++-+-=；（3）25122212190x xy x y +---=；（4）222220x xy y x y ++++=. 解（1）因为⼆次曲线含xy 项，我们先通过转轴消去xy ，设旋转⾓为α，则324ctg α=，即21324tg tg αα-=，所以12tg α=或-2.取2tg α=-，那么sin α=，cos α=，所以转轴公式为''''2),2).x x y y x y ?=+??=-+代⼊原⽅程化简再配⽅整理得新⽅程为''2''26120x y +-=；类似的化简可得（2）''2''250y +=；（3）''2''294360x y --=；（4）''2210x -=.2.以⼆次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列⽅程，并写出的坐标变换公式与作出它们的图（1）22845816160x xy y x y +++--=；（2）22421040x xy y x y --++=；（3）22446830x xy y x y -++-+=；（4）2244420x xy y x y -++-=. 解：（1）已知⼆次曲线的距阵是 8242584816?? ?- ? ?--??， 18513I =+=，2823625I ==，所以曲线的特征⽅程为213360λλ-+=，其特征根为14λ=，29λ=，两个主⽅向为11:1:2X Y =-，22:2:1X Y =；其对应的主直径分别为8200x y -+=，7740x y +-=. 取这两条直线为新坐标轴得坐标变换公式'''')1,2) 2.x x y y x y ?=--??=++代⼊已知曲线⽅程并整理得曲线在新坐标系下的⽅程为 '2'294360x y +-=.（2）已知⼆次曲线的距阵是 225222520-?? ?- ? ???坐标变换公式''''2)1,) 2.x x y y x y ?=--??=++代⼊已知曲线⽅程并整理得曲线在新坐标系⽅程为'2'23210-+-=. （3）已知⼆次曲线的距阵是423214343----，坐标变换公式''''92),101).5 x x yy x y=--=++代⼊已知曲线⽅程并整理得曲线在新坐标系下的⽅程为'2' 50-=. （4）坐标变换公式''''22),51).5x x yy x y=--=++代⼊已知曲线⽅程并整理得曲线在新坐标系下的⽅程为'2510y-=.3.试证在任意转轴下，⼆次曲线的新旧⽅程的⼀次项系数满⾜关系式'2'222 13231313a a a a+=+.证明：设旋转⾓为α，则''131323cos sina a aαα=-，''231323sin cosa a aαα=+，两式平⽅相加得'2'22213231313a a a a+=+.4.试证⼆次曲线222ax hxy ay d++=的两条主直径为220x y-=，曲线的两半轴的长分别为. 证明：求出曲线的两主直径并化简即可得.§5.7应⽤不变量化简⼆次曲线的⽅程1. 利⽤不变量与半不变量，判断下列⼆次曲线为何种曲线，并求出它的化简⽅程与标准⽅程. （1）22 66210x xy y x y++++-=；（2）223234440x xy y x y-+++-=；（3）2243220x xy y x y-++-=；（4）22442210x xy y x y-++--=；（5）222246290x xy y x y-+--+=；（6）；（7）22 22240x xy y x y++++-=；（8）22 4412690x xy y x y-++-+=.解：（1）因为12I=，213831I==-，13331116311=-，322II=-，⽽特征⽅程2280λλ--=的两根为124,2λλ==-，所以曲线的简化⽅程（略去撇号）为224220x y --=曲线的标准⽅程为 2221012x y --=，曲线为双曲线；类似地得下⾯：（2）曲线的简化⽅程（略去撇号）为 222480x y +-=，曲线的标准⽅程为 22142x y +=，曲线为椭圆；（3）曲线的简化⽅程（略去撇号）为22(2(20x y +=，曲线的标准⽅程为22011x y -=，曲线为两相交直线；（4）曲线的简化⽅程（略去撇号）为250y -=，双曲线的标准⽅程为2y =，曲线为抛物线；（5）曲线的简化⽅程（略去撇号）为2233((022x y +=，曲线的标准⽅程为220x y +=，曲线为⼀实点或相交与⼀实点的两虚直线；（6）曲线的简化⽅程（略去撇号）为220,0,0)y x a y a -=≤≤≤≤（，曲线的标准⽅程为2y =，0,0)x a y a ≤≤≤≤（曲线为抛物线的⼀部分；（7）曲线的简化⽅程（略去撇号）为 2250y -=，曲线的标准⽅程为 252y =，曲线为两平⾏直线；（8）曲线的简化⽅程（略去撇号）为 250y =，曲线的标准⽅程为 20y =，曲线为两重合直线.2. 当λ取何值时，⽅程 2244230x xy y x y λ++---= 表⽰两条直线.解：⽅程 2244230x xy y x y λ++---=表⽰两条直线当且仅当3222110213I λ-=-=---，即4λ=.3. 按实数λ的值讨论⽅程2222250x xy y x y λλ-+-++= 表⽰什么曲线.解：因为12I λ=，2(1)(1)I λλ=-+，3(53)(1)I λλ=+-，12(51)K λ=-，所以当λ的值变化时，1231,,,I I I K 也随着变化，它们的变化关系如下表：4. 设221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++= 表⽰两条平⾏直线，证明这两条直线之间的距离是d = . 证明：曲线的⽅程可简化为：这⾥当曲线表⽰两条平⾏的实直线时，10K <.所以这两条直线之间的距离是d =5. 试证⽅程 221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++= 确定⼀个实圆必须且只须212124,0I I I I =<.证明：当曲线 221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=表⽰⼀个实圆的充要条件是其特征⽅程2120I I λλ-+=有相等实根且120I I <，即21240I I ?=-=且120I I <，从⽽⽅程确定⼀个实圆必须且只须212124,0I I I I =<.6. 试证如果⼆次曲线的10I =，那么20I <. 证明：因为111220I a a =+=即1122a a =-，所以1112222211221211121222()a a I a a a a a a a==-=-+，⽽11122,,a a a 不全0，所以有20I <. 7. 试证如果⼆次曲线的230,0I I =≠，那么10I ≠，⽽且120I I <.证明：当230,0I I =≠时，由5.2节习题7知，曲线为⽆⼼曲线，从⽽有10I ≠，⽽且120I I <.。

二次曲线方程的化简与分类

－92－§5.8 二次曲线方程的化简与分类1．坐标变换下二次曲线方程的系数变化规律设二次曲线Γ 的方程为F (x , y )≡022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a(1)为了选择适当的坐标变换以使曲线Γ在新坐标系下的方程最为简单，我们必须先了解在坐标变换下二次曲线方程的系数的变化规律．因为一般的坐标变换总可以看成是由移轴与转轴组成的，我们首先分别考察在移轴与转轴下，二次曲线Γ 的方程（1）的系数是怎样变化的．在移轴（5.7－1）⎩⎨⎧+'=+'=00y y y x x x下，设二次曲线Γ 的新方程为 ))((2)(),(0012201100y y x x a x x a y y x x F +'+'++'≡+'+'0)(2)(2)(330230132022=++'++'++'+a y y a x x a y y a化简整理得：022233231322212211='+''+''+''+'''+''a y a x a y a y x a x a这里⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++='=++='=++='='='='),(222),(),(,,00330230132022001220113300223022012230011301201113222212121111y x F a y a x a y a y x a x a a y x F a y a x a a y x F a y a x a a a a a a a a (2)因此可得命题5.8.1 在移轴（5.7－1）下，二次曲线方程（1）的系数的变换规律为： 1°二次项系数不变；2°一次项系数变为),(2001y x F 与),(2002y x F ； 3°常数项变为),(00y x F ．因为当（x 0，y 0）为二次曲线（1）的中心时，有),(001y x F = 0，0),(002=y x F ，所以当二次曲线有中心时，作移轴使新原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中就不再包含一次项．把转轴公式（5.7－3），即⎩⎨⎧'+'='-'=ααααcos sin sin cos y x y y x x 代入（1），得在转轴（5.7－3）下二次曲线（1）的新方程为022233231322212211='+''+''+''+'''+''a y a x a y a y x a x a这里－93－⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧='+-='+='+-='-+-='++='3333231323231313222122112222121122122221221111cos sin sin cos cos cos sin 2sin )sin (cos cos sin )(sin cos sin 2cos a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a αααααααααααααααα (3)于是有命题5.8.2 在转轴（5.7－3）下，二次曲线方程（1）的系数的变换规律为： 1°二次项系数一般要改变．新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关．2°一次项系数一般要改变．新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，与二次项系数及常数项无关．3°常数项不变．从（3）中的ααααcos sin sin cos 231323231313a a a a a a +-='+='中解出2313,a a ，得ααααcos sin sin cos 231323231313a a a a a a '+'='-'=则可看到，在转轴下，二次曲线方程（1）的一次项系数2313a a 、的变换规律与点的坐标x ，y 的变换规律完全一致．当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项；当原方程无一次项时，通过转轴也不会产生一次项．二次曲线方程（1）里，若012≠a ，我们往往使用转轴使新方程中的012='a ．为此，只要取旋转角α，使0)sin (cos cos sin )(2212112212=-+-='ααααa a a a 即可．令 02cos 22sin )(121122=+-ααa a a 得 12221122cot a a a -=α (5.8－1)因为余切的值可以是任意实数，所以总有α 满足（5.8－1），也就是说总可以经过适当的转轴消去（1）中的xy 项．2．确定坐标变换步骤的基本原则对任何一条二次曲线的方程，我们都可以先移轴、后转轴进行坐标变换，也可以先转轴、后移轴进行坐标变换，两种方法都可以将方程化简．如果决定先转轴，则根据（5.8－1）可以确定坐标系的旋转角．因而无论对于何种类型的二次曲线，先转轴总是可行的．如果决定先平移，就得先确定把旧坐标系的原点移到何处．对于中心二次曲线，我们一般把新坐标系的中心定为曲线的中心，而中心可以先求出．但对于无心二次曲线，为了得到曲线的标准方程，应该把新坐标系的中心定为曲线的顶点，而顶点却不易先求出．于是，我们在利用坐标变换对二次曲线的方程进行化简时，一般都按照下面的原则进行：先根据I 2判断曲线的类型．如果I 2 ≠ 0，说明曲线是中心型的．应先求出中心，再移轴，然后转轴．－94－如果I 2＝0，说明曲线是非中心型的，先转轴，消去交叉项xy 后把所得的方程配方，一般就可以确定新坐标系的原点，再移轴．经验证明，这里给出的原则可以在一定程度上减少方程化简的运算量．3．二次曲线方程的化简实例与方法分析以下通过对几个例题的分析，说明如何具体地对一个给定的二次曲线方程进行化简．例1 化简二次曲线方程01124422=+-+++y x y xy x ，并画出它的图形．解 I 2 = 1 × 4 － 2 2 = 0，曲线是抛物型（非中心型）的，应先转轴．设旋转角为α，则应有：434412cot -=-=α 即 43tan 2tan 12-=-αα所以 02tan 3tan 22=--αα从而得 21tan -=α 或 tan α＝2取tan α＝2（若取tan α＝－ 1 / 2，同样可将原方程化简），则有51cos ,52sin ==αα所以得转轴公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='-'=)2(51)2(51y x y y x x 代入原方程化简整理得转轴后的新方程为01555252=+'-'+'y x x配方得05552='-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+'y x 再作移轴⎪⎩⎪⎨⎧'=''+'=''y y x x 55曲线方程就化为最简形式052=''-''y x或写成标准方程为y x ''=''52这是一条抛物线．它的顶点是新坐标系O"－x"y" 的原点，原方程的图形可以根据它在坐标系O"－x"y" 中的标准方程作出，如图5.8.1所示．作图要点：坐标系O －xy 旋转角度︒≈44.63)5/2arcsin(，成O'－x'y'，再把坐标系O'－x'y' 平移到（5/5-，0），图5.8.1－95－得 O"－x"y"．在新坐标系O"－x"y" 中可根据抛物线的标准方程y x ''=''52作图．为了看出曲线在原坐标系中的位置，作图时需要将新旧坐标系同时画出．例2 化简二次曲线方程018122424522=+--++y x y xy x并画出它的图形．解因 I 2＝5 × 2 － 22＝6≠0，所以曲线为中心二次曲线．解方程组⎩⎨⎧=-+≡=-+≡0622),(01225),(21y x y x F y x y x F 得中心为 (2，1)．取 (2，1) 为新原点，作移轴⎩⎨⎧+'=+'=12y y x x 原方程变为0424522=-'+''+'y y x x①这里实际上只需计算F (2，1)＝－ 4，因为移轴时二次项系数不变．再转轴消去y x ''项．令434252cot =-=α 即 43tan 2tan 12=-αα所以 02tan 3tan 22=-+αα从而得 21tan =α 或 tan α＝－ 2取tan α＝1 / 2，可得51sin ,52cos ==αα，用转轴公式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧''+''='''-''='y x y y x x 52515152代入①，可将方程化简为12622=''+''y x标准方程是112222=''+''y x 这是一个椭圆，它的图形如图5.8.2图5.8.2所示．要比较准确地画出新旧坐标系和曲线的图形，必须掌握好比例、新旧原点的位置以及坐标轴的旋转角．本题中坐标轴的旋转角︒≈=6.26)5/1arcsin(α．注本题转轴时若取tan α＝－ 2，则可得52s i n ,51c o s -==αα（旋转角是︒-≈-=4.6352arcsin α），所得的转轴公式是－96－⎪⎪⎩⎪⎪⎨''+''-='y x y 515255 得到的标准方程为 121222=''+''y x ，图形相对于原坐标系的位置不变．此时O"x"轴的正向恰好是图5.8.2中y" 轴的反向．利用转轴消去二次曲线方程的xy 项的几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置．这是因为，如果二次曲线的特征根λ确定的主方向为X ︰Y ，那么有⎩⎨⎧=-+=+-0)(0)(22121211Y a X a Y a X a λλ 由此可得平行于主方向的斜率为12112212tan a a a a X Y-=-==λλα ∴122211221212112212221222212222121tan 2tan 12cot a a a a a a a a a a a a a -=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=λλλλλααα 因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置．如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合．根据消去二次曲线方程中交叉项的几何意义，我们在化简二次曲线（1）的方程时，也可以先求出曲线的主直径，然后以它作为新坐标轴，作坐标变换．例3 化简二次曲线方程021*******=+-++-y x y xy x并作出它的图形．解法1 I 2＝1 × 1 － 45232-=⎪⎭⎫⎝⎛- < 0，所给的二次曲线是双曲型的．令 ⎩⎨⎧=-+-=+-0102301032y x y x解得中心坐标为 (－ 2，2) ．作坐标平移⎩⎨⎧+'=-'=22y y x x 就将原方程化为01322=+'+''-'y y x x令 03112cot =--=α 得转轴应取的旋转角为 π / 4．故转轴xx'yy'x"y"OO'图5.8.3－97－⎪⎪⎩⎪⎪⎨''+''=')(212y x y就把二次曲线的方程化简为01252122=+'+'-y x 即15/2222='-'y x 这是一条双曲线，其图形如图5.8.3所示．解法2I 1＝1 ＋ 1＝2， I 2＝1 × 1 － 45232-=⎪⎭⎫⎝⎛-于是曲线的特征方程是04522=--λλ 解得两特征根为25,2121=-=λλ因而曲线的两个主方向为1X ︰231-=Y ︰1)121(=--︰12X ︰232-=Y ︰1)125(-=-︰1曲线的两条主直径为0523523=⎪⎭⎫⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-y x y x与0523523=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--y x y x 即x ＋ y ＝0 与x － y ＋ 4＝0取x － y ＋ 4＝0为x' 轴，x ＋ y ＝0为y' 轴，根据（5.7－7）可取坐标变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--='+='242y x y y x x 反解出x 与y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'+'=-'-'=2212122121y x y y x x代入已知曲线方程，经过整理得曲线在新坐标系下的标准方程为15/2222='-'y x 这是一条双曲线．在作图时，必须首先确定x' 轴的正向．在变换公式的x' 表达式的右端，x 项的系数为,21y 项的系数为,21把这些系数与公式（5.7－7）比较就知道21cos ,21sin ==αα，－98－因此x' 轴与x 轴的交角为4π=α，同时从坐标变换公式也可以直接看到新坐标系的原点的旧坐标是 (－ 2，2)．当新坐标系确定之后，曲线就可以在新坐标系里按标准方程作出，其图形还是图3－7，可认为移轴和转轴是一次完成的．两种解法相比，解法1显得简便一些，其计算量小，步骤也比较规范，具有较强的“可操作性”．但解法2强调直接根据主直径得出一般坐标变换公式，在理论上有一定的价值．无心二次曲线只有一条主直径，若按解法2选其为坐标轴后，另一条坐标轴如何确定呢？我们可以求出这条主直径与二次曲线的交点——二次曲线的顶点，然后取过顶点垂直于已知主直径的直线作为另一条坐标轴，则可写出一般坐标变换公式，进而将二次曲线的方程化简．例4 化简二次曲线方程02222=++++y x y xy x ．解由于I 1 = 1 ＋ 1 = 2，I 2 = 1 × 1 － 12= 0，曲线是非中心型的．解特征方程022=-λλ，得特征根为 λ 1 = 2， λ 2 = 0．曲线的非渐近主方向为对应于λ 1 = 2的主方向X ︰Y ＝1︰1，所以曲线的主直径为021)1(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++y x y x即 x ＋ y ＋43= 0将此主直径的方程与原曲线的方程02222=++++y x y xy x 联立，即求得曲线的顶点为(3 / 16，－15 / 16)．过顶点且以求得的非渐近主方向为方向的直线为116/15116/3+=-y x 即 x － y －89= 0这也是过顶点垂直于主直径的直线．取主直径043=++y x 为新坐标系的x' 轴，取直线089=--y x 为y' 轴，作坐标变换，则变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='--='24/328/9y x y y x x 解出x 与y 得到 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'+'-=+'+'=1615)(21163)(21y x y y x x代入已知方程，经过整理得02222='+'x y ，化为标准方程就是 x y '-='422 这是一条抛物线．若要画出这条抛物线，必须确定代表x' 轴的直线的正向．设x' 轴与x 轴的交角为α，则根据变换公式有21sin -=α，21cos =α，因此4π-=a ，于是x '轴的正向就能确定了．新坐标轴作出后，就能在新坐标系下，根据抛物线的标准方程来作出它的图形（图形略）．－99－例5 化简二次曲线的方程 0322222=--++-y x y xy x ．解所给二次曲线的矩阵为A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----311111111 A 的第一行和第二行的元素成比例，这表示F 1 (x ，y ) = 0和F 2 (x ，y ) = 0是同一条直线，曲线为线心曲线，它的惟一的一条直径即曲线的中心直线，也就是曲线的主直径，其方程就是F 1 (x , y ) = 0：x － y ＋ 1 = 0取其为新坐标系的x' 轴，再取任意垂直于此中心直线的直线，比如x ＋ y ＝0为新坐标系的y' 轴作坐标变换，则变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--='+='212y x y y x x 解出x 与y ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'+'=-'-'=212121212121y x y y x x代入已知方程，经过整理得0422=-'y即 2y '= 2 或 y'＝2± 这是两条平行直线（图5.8.4）．对于线心曲线，我们可以直接从原方程分解为两个一次因式，从而可立即作出它的图形．如例5的方程可以改写为 03)(2)(2=--+-y x y x 就是 0)1)(3(=--+-y x y x因此原方程表示两条直线图5.8.4x － y ＋ 3 = 0 与 x － y － 1 = 0它们的图象如图5.8.4所示．当二次曲线的方程表示两条实直线时，直接分解得到两个一次方程通常是最简单有效的化简方法，因为这样可避免进行坐标变换．除了线心曲线外，中心二次曲线是两条相交直线时，也可对原方程直接分解．例6 化简二次曲线方程021*******=+---+y x y xy x ．解计算得I 2 < 0，I 3 = 0，可知所给二次曲线是退化的双曲型曲线，表示两条相交直线．直接将原方程左边分解因式，得(x － y ＋ 3)(2x ＋ 3y － 7) = 0故原二次曲线的方程表示两条相交直线x － y ＋ 3 = 0 和 2x ＋ 3y － 7 = 0－100－ 4．二次曲线的简化方程通过上面的例子，我们可以得出下面的一般结论．命题 5.8.3 通过适当的坐标变换，二次曲线的方程总可以化成下面三个简化方程中的一个：（I ）0,0221133222211≠=++a a a y a x a ；（II ）0,021********≠=+a a x a y a ；（III ）0,02233222≠=+a a y a ．证二次曲线可分为中心曲线、无心曲线与线心曲线三类，现按这三种情况来讨论． 1°当已知二次曲线为中心曲线时，取它的一对既共轭又相互垂直的主直径作为坐标轴建立直角坐标系．设二次曲线在这样的坐标系下的方程为022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a因为这时原点就是曲线的中心，所以方程中没有一次项，即02313==a a其次，二次曲线的两条主直径（即坐标轴）的方向为1︰0与0︰1，它们互相共轭，因此必有012=a ．所以曲线的方程为（I ）033222211=++a y a x a又因为它是中心曲线，所以又有0221121222112≠=-=a a a a a I2°当已知二次曲线为无心曲线时，取它的惟一主直径为x 轴，取过顶点（即主直径与曲线的交点）且以非渐近主方向为方向的直线（即过顶点垂直于主直径的直线）为y 轴建立坐标系，这时假设曲线的方程为022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a因为这时主直径的共轭方向为X ︰Y ＝0︰1，所以主直径的方程为0232212=++a y a x a它就是x 轴，即与直线y ＝0重合，所以有0,0222312≠==a a a又因为顶点与坐标原点重合，所以 (0，0) 满足曲线方程，从而又有a 33 = 0．其次，由于曲线为无心曲线，所以231322121211a aa a a a ≠=，而,0,02212≠=a a 所以有0,01311≠=a a ．因而曲线的方程为（II ）0,02132213222≠=+a a x a y a3°当已知二次曲线为线心曲线时，取它的中心直线（即曲线的惟一直径，也是主直径）为x 轴，任意垂直于中心直线的直线为y 轴建立坐标系，设曲线的方程为022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a因为线心曲线的中心直线的方程是0131211=++a y a x a与0232212=++a y a x a中的任何一个，而第二个方程表示x 轴的条件为－101－02312==a a ，022≠a但第一个方程在012=a 的条件下，不可能再表示x 轴，所以它必须是恒等式，因而有01311==a a ，所以线心曲线的简化方程为：（III ）0,02233222≠=+a a y a命题证毕．5．二次曲线的分类根据命题5.8.3中二次曲线的三种简化方程系数的各种不同情况，我们可以写出二次曲线的各种标准方程，从而得出二次曲线的分类．（I ）中心曲线0,0221133222211≠=++a a a y a x a当033≠a 时，方程可化为122=+By Ax其中 33223311,a a B a a A -=-=．如果A > 0，B > 0，那么设221,1b B a A ==就得方程[1]12222=+b y a x （椭圆）如果A < 0，B < 0，那么设221,1b B a A -=-= 就得方程[2]12222-=+b y a x （虚椭圆）若A 与B 异号，不失一般性，可设A ＞0，B ＜0（在相反情况下，只要把两坐标轴Ox 和Oy 对调）．设221,1b B a A -==则得方程[3]12222=-by a x （双曲线）当033=a 时，如果a 11与a 22同号，可以假设a 11＞0，a 22＞0（在相反情况只要在方程两边同乘－ 1），再设2222111,1b a a a ==就得方程[4]02222=+b y a x （点椭圆，也可看作相交于实点的二共轭虚直线）如果a 11与a 22异号，那么类似地有－102－ [5] 02222=-b y a x （两相交直线）（II ）无心曲线0,021********≠=+a a x a y a不妨设a 13与a 22异号（同号时令x = － x'，y = y'即异号），令p a a =-2213，即得 [6] px y 22= （抛物线）（III ）线心曲线033222=+a y a ，a 22≠0 方程可以改写为：22332a a y -= 当a 33与a 22异号时，设2233a a -2a =，则得方程 [7] 22a y = （两平行实直线）若a 33与a 22同号，设2233a a 2a =，则得方程 [8]22a y -= （两平行共轭虚直线）当a 33＝0时，得方程为[9] 02=y （两重合实直线）于是我们就得到了下面的命题：命题5.8.4 通过适当地选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面9种标准方程中的一种形式： [1] 12222=+b y a x （椭圆）； [2] 12222-=+b y a x （虚椭圆）； [3] 12222=-b y a x （双曲线）； [4] 02222=+b y a x （点椭圆，或看成相交于实点的两共轭虚直线）； [5] 02222=-b y a x （两相交直线）； [6] px y 22=（抛物线）； [7]22a y = （两平行直线）； [8] 22a y -= （两平行共轭虚直线）；[9] 02=y （两重合直线）．根据此命题，二次曲线共分为9类．其中，把圆、虚圆和点圆分别归入 [1]、[2] 和 [4]类中．。

第3讲_二次曲面方程的化简

二次型
第1节二次型的概念节第2节二次型的矩阵处理节第3节二次曲面的化简节
第3节二次曲面的化简节
二次曲面的一般形式为若令并记则二次曲面方程可写为因 A 为实对称矩阵，所以存在正交变换的x=Py，使得其中当的正交变换，消去二次曲面中的交叉项，化为如下形式这样再对上式作一次平移变换就能将其化为易于判断形状的标准方程了。例：化二次曲面为标准方程，并判断此二次曲面是什么形状。解：令
则原方程可写为
求得 A 的特征值与特征向量
若记
即有若令
则有
这是一个椭圆抛物面。这是一个椭圆抛物面。

二次曲线方程的化简与坐标变换

二次曲线方程是描述二次曲线的重要数学工பைடு நூலகம்，但在某些情况下，原方程可能较为复杂，不便于分析和计算。此时，我们可以通过直角坐标变换来化简方程。直角坐标变换包括平移变换和旋转变换两种基本形式，通过选择合适的变换方式，可以消除方程中的某些项，使方程形式更为简洁。具体来说，平移变换可以改变曲线的位置而不改变其形状，通过适当的平移，可以将曲线的中心移至坐标原点，从而简化方程。旋转变换则可以改变曲线的方向，通过选择合适的旋转角度，可以消去方程中的交叉项，进一步化简方程。在实际操作中，我们通常需要综合运用这两种变换方式，以达到最佳的化简效果。经过直角坐标变换后，我们可以得到化简后的二次曲线方程，其一般形式更为简洁明了，便于后续的分析和计算。