2018届苏教版 平面向量的概念与线性运算 单元测试
高考数学课标Ⅲ版5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理
2.(2017课标全国Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( ) A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b| 答案 A 本题考查向量的有关概念. 由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a、b为邻边的平行四边形为矩形,所以a⊥b.故选A.
一题多解 将|a+b|=|a-b|两边分别平方得|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,即a·b=0,故a⊥b.故选A.
,则| BM
|2的最大值是
(
)
A. 43
4
B. 49
4
C. 37 6 3 4
D. 37 2 33 4
答案 B 以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),C(2 3 ,0),B( 3 ,3). 设P(x,y),∵| AP |=1,
∴x2+y2=1,
∵ PM
= MC
2
+ FC
=
1 2
b
a
+
1 2
a
b
= 12 (a+
b)= AD ,故选A.
考点二 平面向量的基本定理及向量的坐标运算
1.(2015课标Ⅰ,2,5分,0.734)已知点A(0,1),B(3,2),向量 AC =(-4,-3),则向量 BC = ( )
A.(-7,-4) B.(7,4)
1 2
AD
+μ( AD- AB
),
即 AB
平面向量的基本概念及线性运算练习题(基础、经典、好用)
平面向量的基本概念及线性运算一、选择题1．(2013·湛江质检)若a ＋c 与b 都是非零向量，则“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC→＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB→＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB→＋PC →＝0 3．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a 、b ，均有：|a |－|b |＜|a |＋|b |；②对任意两向量a 、b ，a －b 与b －a 是相反向量；③在△ABC 中，AB→＋BC →－AC →＝0； ④在四边形ABCD 中，(AB→＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0. A ．①②③ B ．②④ C ．②③④ D ．②③4．已知A 、B 、C 三点共线，点O 在该直线外，若OB →＝λOA →＋μOC →，则λ＋μ的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(2013·佛山调研)已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件是( )A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0二、填空题6．如图4－1－2所示，向量a －b ＝________(用e 1，e 2表示)．图4－1－27．(2013·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA→＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于________．8．已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是________(将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；②存在相异实数λ、μ，使λa ＋μb ＝0；③xa ＋yb ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB→与CD →共线． 三、解答题图4－1－39．(2013·清远调研)如图4－1－3所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值． 10．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA→＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线． (2)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －kb ，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． 11．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB→|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心．解析及答案一、选择题1．【解析】 若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－(a ＋c )，∴b ∥(a ＋c )；若b ∥(a ＋c )，则b ＝λ(a ＋c )，当λ≠－1时，a ＋b ＋c ≠0，因此“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的充分不必要条件．【答案】 A2．【解析】 由BC→＋BA →＝2BP →知，点P 是线段AC 的中点， 则PC →＋P A →＝0.【答案】 B3．【解析】 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |.∴该命题不成立．②真命题，这是因为(a －b )＋(b －a )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．③真命题．∵AB→＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0. ④假命题．∵AB→＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →， ∴(AB→＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0， ∴该命题不成立．【答案】 D4．【解析】 因为A 、B 、C 三点共线，所以AB→＝kAC →， ∴OB→－OA →＝k (OC →－OA →)，所以OB →＝OA →＋kOC →－kOA →， ∴OB→＝(1－k )OA →＋kOC →，又因为OB →＝λOA →＋μOC →，所以λ＝1－k ，μ＝k ，所以λ＋μ＝1. 【答案】 B5．【解析】 若e 1与e 2共线，则e 2＝λ′e 1，∴a ＝(1＋λλ′)e 1，此时a ∥b ，若e 1与e 2不共线，设a ＝μb ，则e 1＋λe 2＝μ·2e 1，∴λ＝0，1－2μ＝0.【答案】 D二、填空题6．【解析】 由图知，a －b ＝BA →＝e 1＋(－3e 2)＝e 1－3e 2. 【答案】 e 1－3e 27．【解析】 由OA→＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 重心，又O 为△ABC 外接圆的圆心，∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.【答案】 60°8．【解析】 由①得10a －b ＝0，故①对．②对．对于③当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线，故③不对．若AB ∥CD ，则AB→与CD →共线，若AD ∥BC ，则AB →与CD →不共线，故④不对． 【答案】 ①②三、解答题9．【解】 如题图所示，AP→＝AB →＋BP →， ∵P 为BN 上一点，则BP→＝kBN →， ∴AP→＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)， 又AN →＝13NC →，即AN →＝14AC →， 因此AP →＝(1－k )AB →＋k 4AC →， 所以1－k ＝m ，且k 4＝211，解得k ＝811.则m ＝1－k ＝311.10．【解】 (1)证明 AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b ，AC→＝OC →－OA →＝－a －2b . 所以AC→＝－AB →，又因为A 为公共点， 所以A 、B 、C 三点共线．(2)AC→＝AB →＋BC →＝(a ＋b )＋(2a －3b )＝3a －2b ， 因为A 、C 、D 三点共线，所以AC→与CD →共线． 从而存在实数λ使AC →＝λCD →，即3a －2b ＝λ(2a －kb )，解得λ＝32，k ＝43，所以k ＝43.11．【解】 如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC→|，则AM →，AN →都是单位向量， ∴|AM→|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．。
平面向量概念与运算测试卷含详解答案
平面向量概念与运算测试卷姓名：_______________班级：______________得分：______________一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）①任一向量与它的相反向量都不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a b ≠，则||||a b ≠ ；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．32．有下列命题：①若向量a 与b 同向，且||||a b > ，则a b > ；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD = ；③若m n = ，n k = ，则m k =；④零向量都相等.其中假命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知ABC 中，2B D D C =，设AB a = ，AC b = ，则AD = （）A ．1233a b+ B ．2133a b + C ．2133a b - D ．1233a b-4．ABC 中，AD DC =，点M 在BD 上，且满足37AM AB t AC =+ ，则实数t 的值为（）A ．67B ．47C ．27D ．595．设非零向量，a b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则（）A ．a ⊥b B ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |6．若平面向量a ，b满足1a = ，2b = ，且a b a b +=- ，则2a b + 等于（）AB ．C ．2D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共12分.7．已知|a |＝3，|b |＝4，求|a b - |的取值范围_____．8．已知非零向量,a b满足a b a b ==- ，则a b a b+=- _____________.9．如图所示，已知在矩形ABCD中，AD →=→→=AB a ，BC b →→=，BD c →→=.则a b c →→→++=______．三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.10（本小题10分）．如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA ＝a ，OB ＝b，OC ＝c.（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？（2）与a共线的向量有哪些？（3）请一一列出与a ，b ，c.相等的向量．11（本小题10分）．化简：（1）AB BC CA ++；（2） ()AB MB BO OM +++；（3）OA OC BO CO +++；（4）AB AC BD CD -+-；（5）OA OD AD -+；（6）AB AD DC --；（7）NQ QP MN MP ++-.12（本小题10分）．计算：（1）()()()826222a b c a b c a c -+--+-+；（2）()()11284232a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦；（3）()()()()m n a b m n a b +--+⋅⋅+ ．13（本小题10分）．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：（1）OA ，使|OA|＝4，点A 在点O 北偏东45°；（2）AB，使AB＝4，点B 在点A 正东；（3）BC，使BC u u u r ＝6，点C 在点B 北偏东30°.14（本小题12分）．如果a 表示“向东走10km ”，b 表示“向西走5km ”，c表示“向北走10km ”，d表示“向南走5km ”，那么下列向量具有什么意义？（1）a a +；（2）a b + ；（3）a c +；（4）b d + ；（5）b c b ++；（6）d a d ++.15（本小题12分）．如图，在ABC 中，O 为重心，点,,D E F 分别是BC ,AC ,AB 的中点，化简下列各式：(1)BC CE EA ++ ;(2)OE AB EA ++;(3)AB FE DC ++.参考答案1．B 【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【详解】零向量与它的相反向量相等，①错；由相等向量的定义知，②正确；两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平行四边形ABCD中，//AB CD ，且=AB CD ，但AB CD ≠，故③错；a b ≠，可能两个向量模相等而方向不同，④错；两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错．故选：B ．【点睛】本题考查向量共线的定义、向量相等的定义及它们之间的关系，考查共线向量、向量的模等概念，属于基础题．2．C 【分析】分别根据每个命题的条件推论即可判断.【详解】对于①，因为向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，故①是假命题；对于②，在平行四边形ABCD 中，,C AB D 是大小相等，方向相反的向量，即AB CD=-，故②是假命题；对于③，显然若m n = ，n k = ，则m k =，故③是真命题；对于④，因为大小相等，方向相同的向量是相等向量，而零向量的方向任意，故④是假命题.故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3．A【分析】()2233AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-，即可得出答案.【详解】因为2B D D C= 所以()221212333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=++-=+=故选：A 【点睛】本题考查的是平面向量的加法法则，较简单.4．C 【分析】由题意，可设DM k DB =，结合条件整理可得11(1)22AM AC DM k AC k AB =+=-+ ，得到关于k 与t 的方程组，解出t 即可．【详解】如图，因为AD DC =，所以12AD AC= 则12AM AD DM AC DM =+=+ ，因为M 在BD 上，不妨设1()()2DM k DB k AB AD k AB AC ==-=-，则1111()(1)2222AM AC DM AC k AB AC k AC k AB =+=+-=-+ ，因为37AM AB t AC =+ ，所以37{1(1)2k k t =-=，解得27t =，故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．5．A 【分析】利用向量的加减法的平行四边形法则，结合模的意义即可做出判定.【详解】利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设AB＝a ，AD ＝b ，由| a ＋ b |＝| a －b |知AC DB = ，如图所示.从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选:A .【点睛】本题考查平面向量的加减运算的几何意义，向量的模，难度不大.6．B 【分析】由a b a b +=- ，可得0a b ⋅= ，再结合2a b +=.【详解】由a b a b +=- ，可知()()22a ba b +=- ，展开可得0a b ⋅=，所以2a b +=，又1a = ，2= b ，所以2a b +=== .故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的应用，考查学生的计算求解能力，注意向量的平方等于模的平方，属于基础题.7．[1，7]．【分析】运用向量的模的不等式可得，||a|﹣|b ||≤|a b - |≤|a |+|b |，注意向量共线时取得最值，即可得到所求范围．【详解】由向量的模的不等式可得，||a|﹣|b ||≤|a b - |≤|a |+|b |，即有1≤|a b -|≤7，当a，b反向共线时，取得最大值7，当a ，b同向共线时，取得最小值1．故所求取值范围是[1，7]．故答案为：[1，7]．【点睛】本题主要考查向量模的取值范围，注意运用向量的模的不等式，考查运算能力，属于中档题．8【分析】设,OA a OB b == ,则,OA OB a b BA OA B O O a b C +=+=-=-=,由a b a b ==- 可得OAB 为等边三角形,设其边长为1,进而求解即可【详解】如图,设,OA a OB b == ,则,OA OB a b BA OA B O O a b C +=+=-=-=,∵a b a b ==- ,∴BA OA OB ==,∴OAB 为等边三角形,设其边长为1,则31,22a b BA a b -==+=⨯=,∴331a b a b+==- 故答案为3【点睛】本题考查向量的加法,向量的减法在集合中的应用,考查向量的模的应用9．83【分析】根据题意，得a b c AB BC BD AC BD →→→→→→→→++=++=+，延长BC 至E ，使CE BC =，连接DE ，证出四边形ACED 是平行四边形，从而AC BD DE BD BE →→→→→+=+=，最后得出22a b c BE BC AD →→→→→→++===，即可得出结果.【详解】解：a b c AB BC BD AC BD →→→→→→→→++=++=+，延长BC 至E ，使CE BC =，连接DE ，由于CE BC AD →→→==，∴=∥CE AD ，∴四边形ACED 是平行四边形，AC DE →→∴=，AC BD DE BD BE →→→→→∴+=+=，22a b c BE BC AD →→→→→→∴++====故答案为：【点睛】本题考查平面向量运算法则的应用，属于中档题，平面向量的运算法则是：（1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.10．（1）OD uuu r，BC ，AO ，FE.（2）EF，BC，OD uuu r，FE ， CB ，DO ，AO ，DA，AD .（3）与a 相等的向量有EF ，DO ，CB ；与b 相等的向量有DC ，EO ，FA ；与c 相等的向量有FO ，ED ，AB.【分析】（1）根据正六边形的性质，图形中各线段长度都相等，只要方向相反即可.（2）根据共线向量定理求解.（3）根据相等的向量的定义求解.【详解】（1）因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：OD uuu r，BC ，AO ，FE .（2）由共线向量定理得：EF，BC，OD uuu r，FE ， CB ，DO ，AO ，DA ，AD.与a共线.（3）由相等向量的定义得：与a 相等的向量有EF ，DO ，CB ；与b 相等的向量有DC ，EO ，FA；与c 相等的向量有FO ，ED ，AB .【点睛】本题主要考查平面向量的相关概念和共线向量定理的应用，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.11．（1）0 .（2）AB （3）BA.（4）0 （5）0 （6）CB .（7）0【分析】根据平面向量的加法与减法的运算法则，对每一个小题进行化简计算即可.【详解】解：（1）原式0AC AC =-= .（2）原式AB BO OM MB AB=+++= （3）原式OA OC OB OC BA =+--= .（4）原式0AB BD DC CA =+++=（5）原式0OA AD DO =++= （6）原式()AB AD DC AB AC CB =-+=-=.（7）原式0MN NQ QP PM =+++= 【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，属于基础题.12．（1）64a b + ．（2）2b a - ．（3）()2m n b -+ ．【分析】（1）利用向量加法、减法结合律和向量数乘的分配律可得计算结果.（2）利用向量的加法、减法结合律和向量数乘的分配律可得计算结果.（3）利用向量数量积的运算律可得计算结果.【详解】（1）原式1688612642a b c a b c a c=-+-+--- ()()()1664812862a b c--+-++-=- 64a b =+ ．（2）原式()()()4423361321a b a b a b b a ⎡⎤=+--+==--⎣⎦ ．（3）原式()()()()()2m n a m n b m n a m n b m n b =+⋅-+⋅-+⋅-+⋅=-+⋅ ．【点睛】本题考查向量加法、减法、数乘运算以及向量数量积的运算，正确使用运算律是关键，本题属于基础题.13．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）由点A 在点O 北偏东45°处和|OA |＝，可得出点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，可作出向量OA ；（2）由点B 在点A 正东方向处，且AB ＝4，得出在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，可作出向量AB ；（3）由点C 在点B 北偏东30°处，且BC u u u r＝6，再由勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为，作出向量BC u u u r ．【详解】（1）由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA |＝，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA如下图所示．（2）由于点B 在点A 正东方向处，且AB ＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB 如下图所示．（3）由于点C 在点B 北偏东30°处，且BC u u u r＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为，于是点C 位置可以确定，画出向量BC u u u r 如下图所示．【点睛】本题考查方位角和向量的几何表示，关键在于明确方位角的含义和向量的模，得出向量在横向和纵向的小方格的个数，属于基础题.14．（1）向东走20km ；（2）向东走5km ；（3）向东北走；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走.【分析】由向量加法及其几何意义和位移的关系可得.【详解】由题意知：a 表示“向东走10km ”，b 表示“向西走5km ”，c 表示“向北走10km ”，d 表示“向南走5km ”（1）a a +r r 表示“向东走20km ”（2）a b +表示“向东走5km ”（3）a c + 表示“向东北走”（4）b d +r u r 表示“向西南走”（5）b c b ++表示“向西北走”（6）d a d ++ 表示“向东南走”【点睛】本题考查向量加法及其几何意义，属于基础题.15．(1)BC CE EA BA ++= (2)OE AB EA OB ++= (3)AB FE DC AC++= 【分析】（1）根据向量加法的三角形法则即可求解.（2）由三角形的运算法则即可求解.（3）由O 为重心且点,,D E F 分别是BC ,AC ,AB 的中点可得FE BD = ，再由向量的加法运算法则即可求解.【详解】解:（1）BC CE EA BE EA BA ++=+=（2）()OE AB EA OE EA AB OA AB OB++=++=+= （3）易知FE 为三角形ABC 的一条中位线，1//,2FE BC FE BC ∴=又∵点D 是BC 的中点，12BD BC ∴=FE BD∴= AB FE DC AB BD DC AD DC AC ∴++=++=+= .【点睛】本题主要考查向量加法的运算法则，需掌握向量加法的运算律，属于基础题.。
高中数学：平面向量的概念及其线性运算练习
高中数学：平面向量的概念及其线性运算练习1．设a 是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( B ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a |D ．|－λa |≥|λ|·a解析：对于A,当λ＞0时,a 与λa 的方向相同,当λ＜0时,a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C,|－λa |＝|－λ||a |,由于|－λ|的大小不确定,故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D,|λ|a 是向量,而|－λa |表示长度,两者不能比较大小．2．(合肥质检)已知O ,A ,B ,C 为同一平面内的四个点,若2AC →＋CB →＝0,则向量OC →等于( C )A ．23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA→－OB → D ．－OA→＋2OB → 解析：因为AC→＝OC →－OA →,CB →＝OB →－OC →,所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA→＋OB →＝0,所以OC →＝2OA →－OB →. 3．(济宁模拟)如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB→＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵O 为BC 的中点,∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN→)＝m 2AM →＋n 2AN →, ∵M ,O ,N 三点共线,∴m 2＋n2＝1,∴m ＋n ＝2.4．(河南中原名校联考)如图,在直角梯形ABCD 中,AB ＝2AD ＝2DC ,E 为BC 边上一点,BC →＝3EC→,F 为AE 的中点,则BF →＝( C )A ．23AB →－13AD → B ．13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →解析：BF→＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE → ＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB→＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →.5．(长春模拟)在△ABC 中,D 为△ABC 所在平面内一点,且AD→＝13AB →＋12AC →,则S △BCD S △ABD＝( B )A ．16B ．13C ．12 D ．23解析：由AD →＝13AB →＋12AC →得点D 在平行于AB 的中位线上,从而有S△ABD＝12S △ABC ,又S △ACD ＝13S △ABC ,所以S △BCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ,所以S △BCDS △ABD＝13.故选B ．6．(太原模拟)在△ABC 中,AB ＝3,AC ＝2,∠BAC ＝60°,点P 是△ABC 内一点(含边界),若AP →＝23AB →＋λ·AC →,则|AP →|的取值范围为( D ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，210＋333 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2133 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2133 解析：在AB 上取一点D ,使得AD→＝23AB →,过D 作DH ∥AC ,交BC 于H .∵AP→＝23AB →＋λAC →,且点P 是△ABC 内一点(含边界),∴点P 在线段DH 上． 当P 在D 点时,|AP→|取得最小值2；当P 在H 点时,|AP →|取得最大值,此时B ,P ,C 三点共线, ∵AP→＝23AB →＋λAC →,∴λ＝13, ∴AP→＝13AC →＋23AB →,∴AP →2＝19AC →2＋49AB →2＋49AB →·AC→＝529,∴|AP →|＝2133.故|AP→|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2133.故选D ． 7．已知△ABC 和点M 满足MA→＋MB →＋MC →＝0,若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立,则m＝3__.解析：由已知条件得MB→＋MC →＝－MA →,如图,延长AM 交BC 于D 点, 则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E 点,延长CM 交AB 于F 点, 同理可证E ,F 分别为AC ,AB 的中点,即M 为△ABC 的重心,∴AM→＝23AD →＝13(AB →＋AC →),即AB→＋AC →＝3AM →,则m ＝3.8．(郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量,AB →＝3e 1＋2e 2,CB →＝k e 1＋e 2,CD →＝3e 1－2k e 2,若A ,B ,D 三点共线,则k 的值为－94.解析：由题意,A ,B ,D 三点共线,故必存在一个实数λ,使得AB →＝λBD →.又AB →＝3e 1＋2e 2,CB →＝k e 1＋e 2,CD →＝3e 1－2k e 2, 所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2, 所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2,又e 1与e 2不共线,所以⎩⎨⎧3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.9．在直角梯形ABCD 中,A ＝90°,B ＝30°,AB ＝23,BC ＝2,点E 在线段CD 上,若AE →＝AD →＋μAB→,则μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 . 解析：由题意可求得AD ＝1,CD ＝3,∴AB →＝2DC →,∵点E 在线段CD 上,∴DE→＝λDC →(0≤λ≤1)．∵AE →＝AD →＋DE →,又AE→＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →,∴2μλ＝1,即μ＝λ2,∵0≤λ≤1,∴0≤μ≤12. 即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 10．(太原质检)设G 为△ABC 的重心,且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0,则角B 的大小为60°__.解析：∵G 是△ABC 的重心,∴GA→＋GB →＋GC →＝0,GA →＝－(GB →＋GC →), 将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0,得(sin B －sin A )GB→＋(sin C －sin A )GC →＝0. 又GB→,GC →不共线,∴sin B －sin A ＝0,sin C －sin A ＝0. 则sin B ＝sin A ＝sin C ． 根据正弦定理知,b ＝a ＝c , ∴△ABC 是等边三角形,则B ＝60°.11．如图所示,在△ABC 中,D ,F 分别是AB ,AC 的中点,BF 与CD 交于点O ,设AB →＝a ,AC →＝b ,试用a ,b 表示向量AO→.解：由D ,O ,C 三点共线,可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数), 同理,可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数),①又BO→＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ,②所以由①②,得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b , 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0.又a ,b 不共线,所以⎩⎪⎨⎪⎧12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO→＝－23a ＋13B ． 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )．12．(四川成都外国语学校月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点,若AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →且|AB →|2＝|AC →|2－2BC →·AP→,则点P 是△ABC 的( A ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心解析：由AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →,得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)＝0,即AB →·[(CB →－CP →)＋(CA →－CP →)]＝0,所以AB →·(PB →＋P A →)＝0.设D 为AB 的中点,则AB →·2PD →＝0,故AB →·PD →＝0.因为|AB →|2＝|AC →|2－2BC →·AP →,所以(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2BC →·AP →,所以BC →·(AC →＋AB →－2AP →)＝0.设BC 的中点为E ,同理可得BC →·PE→＝0, 所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点, 所以P 是△ABC 的外心．故选A ．13．如图所示,在△ABC 中,AD ＝DB ,点F 在线段CD 上,设AB →＝a ,AC →＝b ,AF →＝x a ＋y b ,则1x ＋4y ＋1的最小值为( D )A ．6＋2 2B ．6 3C ．6＋4 2D ．3＋2 2解析：由题意知AF →＝x a ＋y b ＝2xAD →＋yAC →, 因为C ,F ,D 三点共线,所以2x ＋y ＝1,即y ＝1－2x . 由题图可知x ＞0且x ≠1. 所以1x ＋4y ＋1＝1x ＋21－x ＝x ＋1x －x 2.令f (x )＝x ＋1x －x 2,则f ′(x )＝x 2＋2x －1(x －x 2)2,令f ′(x )＝0,得x ＝2－1或x ＝－2－1(舍)． 当0＜x ＜2－1时,f ′(x )＜0, 当x ＞2－1且x ≠1时,f ′(x )＞0.所以当x ＝2－1时,f (x )取得极小值,亦为最小值,最小值为f (2－1)＝2(2－1)－(2－1)2＝3＋2 2.14．(河北百校联盟联考)已知在△ABC 中,点D 满足2BD→＋CD →＝0,过点D 的直线l 与直线AB ,AC 分别交于点M ,N ,AM→＝λAB →,AN →＝μAC →.若λ＞0,μ＞0,则λ＋μ的最小值为3＋223.解析：连接AD ．因为2BD→＋CD →＝0,所以BD →＝13BC →,AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝ 23AB →＋13AC →.因为D ,M ,N 三点共线,所以存在x ∈R , 使AD→＝xAM →＋(1－x )AN →,则AD →＝xλAB →＋(1－x )μAC →,所以xλAB→＋(1－x )μAC →＝23AB →＋13AC →,所以xλ＝23,(1－x )μ＝13,所以x ＝23λ,1－x ＝13μ,所以23λ＋13μ＝1,所以λ＋μ＝13(λ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ＋1μ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2μλ＋λμ≥3＋223,当且仅当λ＝2μ时等号成立,所以λ＋μ的最小值为3＋223.15．定义两个平面向量的一种运算a ⊗b ＝|a |·|b |sin 〈a ,b 〉,则关于平面向量上述运算的以下结论中,①a ⊗b ＝b ⊗a ； ②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ； ③若a ＝λb ,则a ⊗b ＝0；④若a ＝λb 且λ＞0,则(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )． 正确的序号是①③④__.解析：①恒成立,②λ(a ⊗b )＝λ|a |·|b |sin 〈a ,b 〉, (λa )⊗b ＝|λa |·|b |sin 〈a ,b 〉,当λ＜0时,λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b 不成立,③a ＝λb ,则sin 〈a ,b 〉＝0, 故a ⊗b ＝0恒成立,④a ＝λb ,且λ＞0,则a ＋b ＝(1＋λ)b ,(a ＋b )⊗c ＝|(1＋λ)||b |·|c |sin 〈b ,c 〉,(a ⊗c )＋(b ⊗c )＝|λb |·|c |sin 〈b ,c 〉＋|b |·|c |sin 〈b ,c 〉＝|1＋λ||b |·|c |sin 〈b ,c 〉, 故(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )恒成立．。
向量的线性运算基础测试题含答案
由向量 与 均为单位向量，可得向量 与 的模相等，但方向不确定．
【详解】
解：∵向量 与 均为单位向量，
∴向量 与 的模相等，
∴ .
故答案是：D.
【点睛】
此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．
7．点 在线段 上，且 ，若 ，则 的值等于（）．
A． B． C． D．
【答案】D
③因为 ， ，所以m和n同号，所以 与 的方向一定相同，故③正确；
④因为 ， ，所以m和n异号，所以 与 的方向一定相反，故④正确．
故选D.
【点睛】
此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.
11．设 为实数，那么下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．若 ，那么
【答案】D
【解析】
【分析】
D．如果m＝0或 ＝ ，那么m ＝ ，不正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.
13．若 ， ，而且 ≠0， 与 是（ ）
A． 与 是相等向量B． 与 是平行向量
C． 与 方向相同，长度不等D． 与 方向相反，长度相等
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件求得 ， ，由此确定 与 位置和数量关系．
【解析】
【分析】
根据已知条件即可得： ，从而得出： ，再代入 中，即可求出m的值.
【详解】
解：∵点 在线段 上，且
∴
∴
∴
故选D.
【点睛】
此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键.
8．若点 为平行四边形的中心， ， ，则 等于（）．
平面向量的概念及线性运算习题课答案
例1解：A解决平面向量概念问题的关注点：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(4)非零向量a 与||a a 的关系：||a a 是与a 同向的单位向量． 例2解：（1）C ； （2）D ；（3）B ．例3解：如图所示，过C 点作AB 的垂线，垂足为D ．依题意可知：AB =“向东走4km ”，BC =“向东偏北60︒走4km ”，则AC AB BC =+．在Rt ACD ∆中，3sin 60423DC BC =︒== 1cos60422BD BC =︒=⨯=， 所以()()()22422343AC km =++．由AB =BC 可知，AC 与AB 的夹角是30︒．所以AC 表示沿东偏北30︒方向走3km ．平面向量的线性运算方法：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．例4解析：(1)延长AD 到G ， 使AD ＝12AG ， 连结BG 、CG ，得到▱ABGC ，所以AG ＝a ＋b ，AD ＝12AG ＝12(a ＋b )，AE ＝23AD ＝13(a ＋b )， AF ＝12AC ＝12b ， BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ， 因为有共同的点B 。
所以B 、E 、F 三点共线．向量共线定理应用： (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．三、运用知识 强化练习1. 解：如图所示，ED C BA 11111()()22222=+=+=⨯++-EB ED DB AD CB AB AC AB AC 3144=-AB AC ．故选A ． 2. 解：（1）AC ）（2）AB CA +=CA +AB =CB (3) PB AC BA ++=PB BA AC ++=PC(4) AB MB BO OM +++=AB +0=AB (5)AC AB BD CD -+-=BC +BD +DC =2BC(6) AB AD DC --=DB DC CB -=3. 解：（1）()21213232643233⎛⎫---=--=- ⎪⎝⎭a b a b a b a +b a +b（2）()()()523222*********a b b c c a a b b 6c +c a =a b c --++-=------4. 解： 1AB DC,AB DC 2=边与边平行且不等，AD BC =，腰AD 与腰BC 相等。
平面向量的线性运算练习题
平面向量的线性运算练习题1. 已知平面向量a = 3i - 2j，b = 2i + 5j，求向量a + b的结果。
求解：a +b = (3i - 2j) + (2i + 5j)= 3i - 2j + 2i + 5j= 5i + 3j所以，向量a + b的结果为5i + 3j。
2. 已知平面向量u = 4i - 3j，v = 2i + 7j，w = -i + 2j，求向量2u - 3v + 4w的结果。
求解：2u - 3v + 4w = 2(4i - 3j) - 3(2i + 7j) + 4(-i + 2j)= 8i - 6j - 6i - 21j - 4i + 8j= -2i - 19j所以，向量2u - 3v + 4w的结果为-2i - 19j。
3. 已知平面向量p = -3i + 4j，q = 5i + 2j，r = 2i - j，s = -i - 5j，求向量(p + q) - (r - s)的结果。
求解：(p + q) - (r - s) = (-3i + 4j + 5i + 2j) - (2i - j + -i - 5j)= (-3i + 5i + 2i) + (4j + 2j - j - 5j)= 4i + 0j= 4i所以，向量(p + q) - (r - s)的结果为4i。
4. 已知平面向量a = 2i + 3j，b = 4i - 5j，求向量a与向量b的数量积。
求解：a ·b = (2i + 3j) · (4i - 5j)= 2i · 4i + 2i · -5j + 3j · 4i + 3j · -5j= 8i^2 - 10ij + 12ij - 15j^2= 8i^2 + 2ij - 15j^2 （注意i^2 = -1，j^2 = -1）= 8(-1) + 2ij - 15(-1)= -8 + 2ij + 15= 7 + 2ij所以，向量a与向量b的数量积为7 + 2ij。
平面向量的概念及线性运算(优秀导学案)
§5.1平面向量的概念及线性运算考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；λ(μa)＝(λμ)a；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12(OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB→＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．( √ ) (2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .( × )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ ) 教材改编题1．(多选)下列命题中，正确的是( ) A ．若a 与b 都是单位向量，则a ＝b B ．直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量C ．若用有向线段表示的向量AM →与AN →不相等，则点M 与N 不重合 D ．海拔、温度、角度都不是向量 答案 CD解析 A 错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B 错误，由于只有方向，没有大小，故x 轴、y 轴不是向量；C 正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．2．下列各式化简结果正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC →B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM →C.AB →＋BC →－AC →＝0D.AB →－AD →－DC →＝BC → 答案 B3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案 －13解析 由题意知存在k ∈R ， 使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.题型一 向量的基本概念例1 (1)(多选)给出下列命题，不正确的有( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形 C ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥bD ．已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线 答案 ACD解析 A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B 正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；C 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；D 错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． (2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →答案 D 教师备选(多选)下列命题为真命题的是( )A ．若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 平行B ．若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |eC ．两个非零向量a ，b ，若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且反向D ．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件 答案 ACD思维升华 平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)a|a |是与a 同方向的单位向量． 跟踪训练1 (1)(多选)下列命题正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 答案 BCD解析 A 项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误； B 项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；C 项，因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 是反向共线时才成立，故C 正确；D 项，由向量相等的定义知D 正确．(2)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，则a ∥b ，即充分性成立；若a ∥b ，则a ＝－b 不一定成立，即必要性不成立， 即“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量加、减法的几何意义例2 (2022·济南模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2 023，则|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最大值是________，最小值是________． 答案 2 023 0解析 当单位向量e 1，e 2，…，e 2 023方向相同时， |e 1＋e 2＋…＋e 2 023|取得最大值，|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2 023|＝2 023； 当单位向量e 1，e 2，…，e 2 023首尾相连时， e 1＋e 2＋…＋e 2 023＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最小值为0. 命题点2 向量的线性运算例3 (多选)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ，E 是BC 边上一点，且BC →＝3EC →，F 是AE 的中点，则下列关系式正确的是( )A.BC →＝－12AB →＋AD →B.AF →＝13AB →＋13AD →C.BF →＝－13AB →＋23AD →D.CF →＝－16AB →－23AD →答案 ABD解析 因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB →＋AD →，所以选项A 正确； 因为AF →＝12AE →＝12(AB →＋BE →)＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →， 而BC →＝－12AB →＋AD →，代入可得AF →＝13AB →＋13AD →，所以选项B 正确； 因为BF →＝AF →－AB →， 而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得BF →＝－23AB →＋13AD →，所以选项C 不正确； 因为CF →＝CD →＋DA →＋AF →＝－12AB →－AD →＋AF →，而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得CF →＝－16AB →－23AD →，所以选项D 正确．命题点3 根据向量线性运算求参数例4 (2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD 满足AD →＝14BC →，平面内点E 满足BE →＝3CE →，CD与AE 交于点M ，若BM →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y 等于( ) A.52 B ．－52C.43 D ．－43答案 C解析 如图所示，易知BC ＝4AD ， CE ＝2AD ， BM →＝AM →－AB → ＝13AE →－AB → ＝13(AB →＋BE →)－AB → ＝13(AB →＋6AD →)－AB → ＝－23AB →＋2AD →，∴x ＋y ＝43.教师备选1．(2022·太原模拟)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若点O 满足AO →＝2OD →，则OC →等于( ) A.－13AB →＋23AC →B.23AB →－13AC →C.13AB →－23AC →D.－23AB →＋13AC →答案 A解析 如图所示，∵D 为BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∵AO →＝2OD →，∴AO →＝23AD →＝13AB →＋13AC →，∴OC →＝AC →－AO →＝AC →－⎝⎛⎭⎫13AB →＋13AC → ＝－13AB →＋23AC →.2．(2022·长春调研)在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN →＝13AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ等于( )A.13B.12 C ．－12D ．－13答案 A解析 由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →)＝13AB →＋13×32BC →＝13AB →＋12(AC →－AB →) ＝－16AB →＋12AC →，又AN →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13.思维升华 平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练2 (1)点G 为△ABC 的重心，设BG →＝a ，GC →＝b ，则AB →等于( ) A ．b －2a B.32a －12b C.32a ＋12b D ．2a ＋b答案 A解析 如图所示，由题意可知 12AB →＋BG →＝12GC →， 故AB →＝GC →－2BG →＝b －2a .(2)(2022·大连模拟)在△ABC 中，AD →＝2DB →，AE →＝2EC →，P 为线段DE 上的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( ) A ．1 B.23 C.32 D ．2答案 B解析 如图所示，由题意知， AE →＝23AC →，AD →＝23AB →，设DP →＝xDE →，所以AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋xDE → ＝AD →＋x (AE →－AD →) ＝xAE →＋(1－x )AD → ＝23xAC →＋23(1－x )AB →， 所以μ＝23x ，λ＝23(1－x )，所以λ＋μ＝23x ＋23(1－x )＝23.题型三 共线定理及其应用 例5 设两向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ， CD →＝3(a －b )．∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线， 又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. 教师备选1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，且满足P A →＋PB →＋PC →＝2AB →，若S △ABC ＝6，则△P AB 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8答案 A解析 ∵P A →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2(PB →－P A →)， ∴3P A →＝PB →－PC →＝CB →， ∴P A →∥CB →，且两向量方向相同，∴S △ABC S △P AB ＝BC AP ＝|CB →||P A →|＝3， 又S △ABC ＝6，∴S △P AB ＝63＝2.2．设两个非零向量a 与b 不共线，若a 与b 的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，则实数t 的值为________． 答案 12解析 ∵a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，且a 与b 的起点相同，∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝⎛⎭⎫23a －13b ， 又a ，b 为两个不共线的非零向量，∴⎩⎨⎧ 1＝23λ，t ＝13λ，解得⎩⎨⎧λ＝32，t ＝12.思维升华 利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练3 (1)若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k 等于( ) A ．－1 B ．1 C.32 D ．2答案 B解析 由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，故存在实数λ， 使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.(2)如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案 B解析 因为线段CO 与线段AB 交于点D ， 所以O ，C ，D 三点共线， 所以OC →与OD →共线， 设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 可得OD →＝λm OA →＋μm OB →，因为A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm ＝1，可得λ＋μ＝m >1，所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．课时精练1．(多选)下列选项中的式子，结果为零向量的是( ) A.AB →＋BC →＋CA → B.AB →＋MB →＋BO →＋OM → C.OA →＋OB →＋BO →＋CO → D.AB →－AC →＋BD →－CD → 答案 AD解析 利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量． 2．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b|b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a |a |，b |b |是相等向量或相反向量，所以“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件． 3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ＋b ＝a C ．a ＋b ＝b D ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案 B解析 由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b 成立，所以A 正确；由a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；由|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |， 所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．4．(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ使得a ＝λb B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b | 答案 D解析 若a ∥b ，且b ＝0，则可有无数个实数λ使得a ＝λb ，故A 错误； 若a ∥b ，b ∥c (b ≠0)，则a ∥c ，若b ＝0， 则a ，c 不一定平行，故B 错误； 若a·b ＝0，也可以为a ⊥b ，故C 错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知， |a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |成立，故D 正确．5．在平行四边形ABCD 中，AC →与BD →交于点O ，E 是线段OD 的中点．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AE →等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 答案 C解析 如图所示，∵AC →＝a ，BD →＝b ， ∴AD →＝AO →＋OD → ＝12a ＋12b ， ∴AE →＝AD →－ED →＝12a ＋12b －14b ＝12a ＋14b .6．下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反D ．向量的模是一个正实数 答案 A解析 A 项，AB →与BA →的长度相等，方向相反，正确；B 项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C 项，向量a 与b 平行时，若a 或b 为零向量，不满足条件，故错误；D 项，向量的模是一个非负实数，故错误.7.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF →＝xAB →＋34AD →，则x 等于( )A.34B.23C.12D.14答案 C解析 连接AE (图略)，因为F 为DE 的中点， 所以AF →＝12(AD →＋AE →)，而AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，所以AF →＝12(AD →＋AE →)＝12⎝⎛⎭⎫AD →＋AB →＋12AD → ＝12AB →＋34AD →， 又AF →＝xAB →＋34AD →，所以x ＝12.8．(多选)已知4AB →－3AD →＝AC →，则下列结论正确的是( ) A ．A ，B ，C ，D 四点共线 B ．C ，B ，D 三点共线 C ．|AC →|＝|DB →| D ．|BC →|＝3|DB →|答案 BD解析 因为4AB →－3AD →＝AC →， 所以3AB →－3AD →＝AC →－AB →， 所以3DB →＝BC →，因为DB →，BC →有公共端点B ，所以C ，B ，D 三点共线，且|BC →|＝3|DB →|， 所以B ，D 正确，A 错误； 由4AB →－3AD →＝AC →，得AC →＝3AB →－3AD →＋AB →＝3DB →＋AB →， 所以|AC →|≠|DB →|，所以C 错误．9．(2022·太原模拟)已知不共线向量a ，b ，AB →＝t a －b (t ∈R )，AC →＝2a ＋3b ，若A ，B ，C 三点共线，则实数t ＝__________. 答案 －23解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB →＝kAC →， 所以t a －b ＝k (2a ＋3b )＝2k a ＋3k b ， 即(t －2k )a ＝(3k ＋1)b .因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －2k ＝0，3k ＋1＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－13，t ＝－23.10．已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若AD →＝λAB →，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________. 答案 3解析 如图，设F 为BC 的中点，则AG →＝23AF →＝13(AB →＋AC →)，又AB →＝1λAD →，AC →＝1μAE →，∴AG →＝13λAD →＋13μAE →，又G ，D ，E 三点共线， ∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3. 11．若正六边形ABCDEF 的边长为2，中心为O ，则|EB →＋OD →＋CA →|＝________. 答案 2 3解析 正六边形ABCDEF 中，EB →＋OD →＋CA →＝EO →＋DC →＋OD →＋CA →＝ED →＋DA →＝EA →， 在△AEF 中，∠AFE ＝120°，AF ＝EF ＝2， ∴|EA →|＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝23，即|EB →＋OD →＋CA →|＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝________. 答案 53解析 AC →＝λ⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →＋μ(AD →－AB →) ＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μAD →， 又因为AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.13．(多选)点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0，则△ABC 不可能是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 AD解析 因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0， 所以|CB →|－|(PB →－P A →)＋(PC →－P A →)|＝0， 即|CB →|＝|AB →＋AC →|， 所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|， 等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．14．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则λ＝________，AD 的长为________． 答案 343 3解析 ∵B ，D ，C 三点共线， ∴14＋λ＝1，解得λ＝34. 如图，过D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ， 则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，∵在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ， ∴四边形AMDN 是菱形，∵AB ＝4，∴AN ＝AM ＝3， ∴AD ＝3 3.15．(2022·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为( ) A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3答案 B解析 设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →. 由AB →＋PB →＋PC →＝0， 得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点， 所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点， 又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形． 又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2， 所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4， 且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°， 则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.16．若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC ∶S △ABC ＝________. 答案 1∶6解析 若2OA →＋OB →＋3OC →＝0， 设OA ′——→＝2OA →，OC ′——→＝3OC →， 可得O 为△A ′BC ′的重心，如图，设S △AOB ＝x ，S △BOC ＝y ，S △AOC ＝z ， 则S △A ′OB ＝2x ，S △BOC ′＝3y ，S △A ′OC ′＝6z ， 由2x ＝3y ＝6z ，可得S △AOC ∶S △ABC ＝z ∶(x ＋y ＋z )＝1∶6.。
向量的概念及线性运算
(3)平行向量：方向_相_同__或_相_反__的_非__零__向量叫做平行向 量．规定：0与任何向量平行，平行向量也叫做_共__线__向量．
(4)相等向量：__长_度__相__等_且__方_向__相__同___的向量叫做相等向量， 向量a与b相等，记作a＝b.
(5)相反向量：__长_度__相__等_且__方_向__相__反__的向量叫做相反向量．
授人以渔
题型一 向量的基本概念(自主学习)
例1 判断下列各说法是否正确： (1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关； (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； (3)单位向量都相等； (4)若向量A→B与向量C→D是共线向量，则A，B，C，D四点在 一条直线上； (5)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向 量．
思考题4 (1)在△ABC中，A→D＝2D→B，C→D＝13C→A＋λ C→B，则λ＝___23_____．
【解析】 方法一：由A→D＝2D→B，知A，B，D三点共线． ∴13＋λ＝1，从而λ＝23.
题型三 共线向量定理及应用
例3 设a，b是不共线的两个非零向量： (1)若O→A＝2a－b，O→B＝3a＋b，O→C＝a－3b， 求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
【解析】 (1)证明：∵A→B＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， B→C＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2A→B， ∴A→B与B→C共线，且有公共端点B. ∴A，B，C三点共线．
向量的概念及线性运算
01 课前自助餐 02 授人以渔
课前自助餐
向量的有关概念 (1)向量的定义：既有_大_小___又有_方__向___的量叫做向量． (2)向量的长度：表示A→B的_有__向__线_段__的长度，即A→B的大小叫 做A→B的长度或称为A→B的模，__长__度_为__0_的向量叫做零向量，记作 0，_长__度_等__于__1个__单__位_的向量，叫做单位向量．
5.1平面向量的概念及线性运算练习题
§平面向量的概念及线性运算一、选择题1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是（）∥b B.a⊥bC.{0,1,3} +b=a-b答案 B2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析若a＋b＝0，则a＝－b.∴a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．答案 A3．设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则( )．＋PB→＝0 ＋PA→＝0＋PC→＝0 ＋PB→＋PC→＝0解析如图，根据向量加法的几何意义，BC→＋BA→＝2BP→⇔P是AC的中点，∴PA→＋PC→＝0.答案 B4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( )A．－3 B．2 C．4 D．－6 解析因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6.答案 D5．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )．A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．以上都不对解析由已知AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→.∴AD→∥BC→，又AB→与CD→不平行，∴四边形ABCD是梯形．答案 C6．已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m，使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝( )．A．2 B．3 C．4 D．5 解析∵MA→＋MB→＋MC→＝0，∴点M是△ABC的重心，∴AB→＋AC→＝3AM→，∴m＝3.答案 B7.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC的内角A等于( )A．30° B．60°C．90° D．120°解析：由OA＋OB＋CO＝0得OA＋OB＝OC，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°.答案：A二、填空题8.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－3OB＋2OC＝0，则|AB| |BC|＝________.解析：由OA－3OB＋2OC＝0，得OA－OB＝2(OB－OC)，即BA ＝2CB ，于是|AB ||BC |＝2. 答案：29．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上． 其中不正确的个数为________．解析 ①中，∵向量AB →与BA →为相反向量， ∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误． 答案 310.已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则_____b =. 解析答案 3211．若M 为△ABC 内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解析 由题知B 、M 、C 三点共线，设BM →＝λBC →，则：AM →－AB →＝λ(AC →－AB →)，∴AM →＝(1－λ)AB →＋λAC →，∴λ＝14，∴S △ABM S △ABC ＝14. 答案 1412．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 (等价转化法)OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →， OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， ∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形【点评】 本题采用的是等价转化法，将△ABC 的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论. 三、解答题13．如图所示，△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，AM 是BC 边上的中线，交DE 于N .设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 分别表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM →，AN →.解析 AE →＝23b ，BC →＝b －a ，DE →＝23(b －a )，DN →＝13(b －a )，AM →＝12(a ＋b )，AN →＝13(a ＋b )．14．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上解析 设a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13a ＋b (λ∈R )，化简整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13λb ＝0，∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理有⎩⎪⎨⎪⎧ 23λ－1＝0，t －λ3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一条直线上．15．如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE ＝23AD ，AB ＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD 、AE 、AF 、BE 、BF ； (2)求证：B 、E 、F 三点共线． 解析：(1)延长AD 到G ， 使AD ＝12AG ，连结BG 、CG ，得到▱ABGC ， 所以AG ＝a ＋b ，AD ＝12AG ＝12(a ＋b )，AE ＝23AD ＝13(a ＋b )，AF ＝12AC ＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ，所以B 、E 、F 三点共线．16．已知O ，A ，B 三点不共线，且OP →＝mOA→＋nOB →，(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明 (1)m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1，∴OP →＝mOA →＋nOB →＝mOA →＋(1－m )OB →， 即OP →－OB→＝m (OA →－OB →)．∴BP →＝mBA→，而BA →≠0，且m ∈R . 故BP →与BA →共线，又BP →，BA →有公共点B . ∴A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则BP →与BA →共线，故存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．即OP →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 由OP →＝mOA→＋nOB →.故mOA →＋nOB →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线． 由平面向量基本定理得⎩⎨⎧m ＝λ，n ＝1－λ.∴m ＋n ＝1.。
平面向量的概念及线性运算知识点讲解+例题讲解(含解析)
平面向量的概念及线性运算一、知识梳理1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.结论：(1)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA→＋OB →＋OC →＝0；(2)四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB→＋DC →＝2EF →；(3)对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.二、例题精讲 + 随堂练习考点一 平面向量的概念【例1】 (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( ) A.a ＝2b B.a ∥b C.a ＝－13bD.a ⊥b解析 (1)由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立.对照各个选项可知，选项A 中a 与b 的方向相同；选项B 中a 与b 共线，方向相同或相反；选项C 中a 与b 的方向相反；选项D 中a 与b 互相垂直.(2)给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A.②③B.①②C.③④D.②④解析：(2)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC→|， AB→∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →. ③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案 (1)C (2)A【训练1】 (1)如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE→＝PF →D.EP→＝PF → (2)给出下列说法：①非零向量a 与b 同向是a ＝b 的必要不充分条件； ②若AB→与BC →共线，则A ，B ，C 三点在同一条直线上； ③a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与－b 反向； ④设λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线. 其中错误说法的序号是________.解析 (1)根据相等向量的定义，分析可得AD→与BC →不平行，AC →与BD →不平行，所以AD→＝BC →，AC →＝BD →均错误，PE →与PF →平行，但方向相反也不相等，只有EP →与PF →方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，所以EP→＝PF →.(2)根据向量的有关概念可知①②③正确，④错误. 答案 (1)D (2)④考点二 平面向量的线性运算 角度1 向量的线性运算【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →解析 ∵E 是AD 的中点，∴EA →＝－12AD →，∴EB→＝EA →＋AB →＝－12AD →＋AB →， 又知D 是BC 的中点， ∴AD→＝12(AB →＋AC →)， 因此EB→＝－14(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →. 答案 A角度2 利用向量线性运算求参数【例2－2】 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE→＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A.1B.34C.23D.12解析 (1)∵E 为线段AO 的中点，∴BE→＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12×12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在锐角△ABC 中，CM→＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x y ＝________.解析：(2)由题设可得AM→＝CM →－CA →＝34CB →＋AC →＝34(AB →－A C →)＋AC→＝34AB →＋14AC →， 则x ＝34，y ＝14.故x y ＝3. 答案 (1)B (2)3【训练2】 (1)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12b B.12a －bC.a ＋12bD.12a ＋b解析 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点， 得CD ∥AB 且CD→＝12AB →＝12a ，所以AD→＝AC →＋CD →＝b ＋12a .(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 解析：(2)DE→＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC → ＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →， ∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23， 因此λ1＋λ2＝12. 答案 (1)D (2)12考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.【训练3】 (1)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( ) A.λ＋μ＝2 B.λ－μ＝1 C.λμ＝－1D.λμ＝1(2)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为( ) A.{0} B.∅ C.{－1}D.{0，－1}解析 (1)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →，设AB →＝mAC →(m ≠0)，则λa ＋b ＝m (a ＋μb )，所以⎩⎨⎧λ＝m ，1＝mμ，所以λμ＝1.(2)法一 若要x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立，BC →必须与x 2OA →＋xOB →共线，由于OA →－OB→＝BA →与BC →共线，所以OA →和OB →的系数必须互为相反数，则x 2＝－x ，解得x ＝0或x ＝－1，而当x ＝0时，BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去.故x＝－1.法二 ∵BC→＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC→＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线， ∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC→＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去.故x ＝－1. 答案 (1)D (2)C三、课后练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量AB→与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( )(4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) 解析 (2)若b ＝0，则a 与c 不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( )A.①B.③C.①③D.①②解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误. 答案 A3.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B.2OM → C.3OM→D.4OM→ 解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →. 答案 D4.(2019·东莞调研)如图所示，已知AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式中成立的是( )A.c ＝32b －12aB.c ＝2b －aC.c ＝2a －bD.c ＝32a －12b解析 因为AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋32AB →＝OA →＋32(OB→－OA →)＝32OB →－12OA →＝32b －12a . 答案 A5.(2018·上海静安区月考)若四边形ABCD 满足AD →＝12BC →且|AB →|＝|DC →|，则四边形ABCD 的形状是( ) A.等腰梯形 B.矩形 C.正方形D.菱形解析 因为AD →＝12BC →，所以AD →∥BC →，且|AD →|＝12|BC →|，所以四边形ABCD 为以AD 为上底，BC 为下底的梯形.又|AB →|＝|DC →|，所以梯形ABCD 的两腰相等.因此四边形ABCD 是等腰梯形. 答案 A6.(2019·菏泽调研)设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________.解析 依题意知向量a ＋λb 与2a －b 共线，设a ＋λb ＝k (2a －b )，则有(1－2k )a ＋(k ＋λ)b ＝0，所以⎩⎨⎧1－2k ＝0，k ＋λ＝0，解得k ＝12，λ＝－12. 答案 －127.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上解析 因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.8.(2019·青岛二模)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA →＋2EB →＋3FC →＝( ) A.12AD →B.32AD →C.12AC →D.32AC →解析 因为D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，所以DA →＋2EB →＋3FC→＝12(BA →＋CA →)＋2×12(AB →＋CB →)＋3×12×(AC →＋BC →)＝12BA →＋AB →＋CB →＋32BC →＋32AC →＋12CA →＝12AB →＋12BC →＋AC →＝12AC →＋AC →＝32AC →. 答案 D9.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析 由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点.同理E ，F 分别是AC ，AB 的中点，因此点M 是△ABC 的重心， ∴AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，则m ＝3.10.(2019·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________. 解析 由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB→＝λBD →. 又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2， 又e 1与e 2不共线，所以⎩⎨⎧3＝λ（3－k ），2＝－λ（2k ＋1），解得k ＝－94.11.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝0.”设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心. 若aMA →＋bMB→＋33cMC →＝0，则内角A 的大小为________，当a ＝3时，△ABC 的面积为________.解析 由aMA →＋bMB →＋33cMC →＝aMA →＋bMB →＋33c (－MA →－MB →)＝⎝⎛⎭⎪⎫a －33c MA →＋⎝⎛⎭⎪⎫b －33c MB →＝0，且MA →与MB →不共线，∴a －33c ＝b －33c ＝0，∴a ＝b ＝33c .△ABC 中，由余弦定理可求得cos A ＝32，∴A ＝π6.若a ＝3，则b ＝3，c ＝33，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×33×12＝934.答案 π6 934。
平面向量基本概念与运算法则及相对应练习题(含答案)
平面向量1一、向量的基本概念思考：生活中有哪些量是既有大小又有方向的？哪些量只有大小没有方向？向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。
回答下列问题：(1).数量与向量有何区别？(2).如何表示向量？(3).有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？(4).长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？1.数量和向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。
2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b(黑体)等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB ；向量AB 的大小——长度称为向量的模，记作|AB |。
3.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。
向量与有向线段的区别：⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量； ⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。
4.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0。
②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。
5.满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量？相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
说明：⑴向量a 与b 相等，记作a =b ；⑵零向量与零向量相等；⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。
6.平行向量的定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。
说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义；⑵向量c b a 、、平行，记作c b a ////。
二、向量的运算法则1.向量的加法问题：数可进行加法运算：1+2=3，那么向量的加法是怎样定义的？长度是1的向量与长度是2的向量相加是一定是长度为3的向量呢？①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+；②若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和；③某人从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和。
平面向量的概念、线性运算及基本定理(试题部分)
专题七平面向量【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、平面向量的概念、线性运算及根本定理1.理解平面向量的概念,向量相等及几何表示,理解向量的加、减法,数乘向量的运算及其几何意义,理解两向量共线的意义及表示.2.熟练掌握向量的线性运算,能进行准确、快捷的向量计算.1.从近几年高考命题来看,对本章的考查以根底题为主,主要考三局部内容:平面向量的线性运算及几何意义;平面向量的数量积的定义及运用数量积求长度、角度问题;平面向量的数量积的坐标表示.2.一般以选择题、填空题的形式直接进行考查,难度不大.解答题中有时与三角函数、解析几何等内容综合考查,以一个条件的形式出现.1.注意根底知识的识记,理解高考在这一章仍以求模、求夹角、应用平行或垂直关系解题为主,根底与能力并重,求解析几何与平面向量交汇问题的关键在于选择适宜的基底或坐标系,把未知向量用向量表示.2.向量主要考查数形结合思想与转化与化归思想的应用.平面向量的线性运算与数量积相结合的题目仍是考查的重点,对数量积的几何意义的理解不可无视.二、平面向量的数量积及向量的综合应用1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义;了解平面向量的数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.2.掌握求向量长度的方法;能运用数量积表示两个向量的夹角;会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.3.了解平面向量根本定理及其意义.【真题探秘】§7.1 平面向量的概念、线性运算及根本定理根底篇固本夯基【根底集训】考点一 平面向量的概念及线性运算1.设D 为△ABC 中BC 边上的中点,且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点,那么( )A.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =-56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗答案 D2.设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,那么EB⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BC ⃗⃗⃗⃗⃗答案 A3.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,那么OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 D考点二 平面向量根本定理及坐标运算4.向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k+1,k-3),假设A,B,C 三点不能构成三角形,那么实数k 满足的条件是( ) A.k=-16 B.k=16 C.k=-11 D.k=1 答案 D5.点A(1,3),B(4,-1),那么与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为( ) A.(35,-45) B.(45,-35)C.(-35,45)D.(-45,35) 答案 A6.向量a=(13,tanα),b=(cos α,1),且a ∥b,那么cos 2α=( )A.13B.-13C.79D.-79答案 C7.向量a=(1,1),点A(3,0),点B 在直线y=2x 上,假设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥a,那么点B 的坐标为 . 答案 (-3,-6)8.向量a,b,c 在正方形网格中的位置如下列图.假设c =λa +μb (λ,μ∈R),那么λμ= .答案 4综合篇知能转换【综合集训】考法一 与平面向量线性运算有关的解题策略1.(2021辽宁葫芦岛期中,3)在△ABC 中,G 为重心,记AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,那么CG⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13a-23b B.13a+23bC.23a-13bD.23a+13b答案 A2.(2021安徽安庆调研,6)如图,一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB,AD 分别交于E 、F 两点,且交其对角线AC 于K,其中,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AK ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ的值为( )A.29B.27C.25D.23答案 A3.(2021福建泉州四校第二次联考,11)如图,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,假设m=38,那么n=( )A.34 B.23 C.45 D.58答案 A考法二 与平面向量坐标运算有关的解题策略4.(2021东北三省三校二模,3)平面向量a=(1,1),b=(1,-1),那么向量12a-32b=( )A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2) 答案 D5.(2021甘肃、青海、宁夏联考,3)在平行四边形ABCD 中,A(1,2),B(-2,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3),那么点D 的坐标为( ) A.(6,1) B.(-6,-1) C.(0,-3) D.(0,3) 答案 A6.(2021北京西城月考,5)向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2m,m+1),假设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么实数m 的值为( ) A.-17B.-3C.-35D.35答案 B【五年高考】考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2021课标Ⅰ,7,5分)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 A2.(2021陕西,7,5分)对任意向量a,b,以下关系式中不恒成立····的是( )A.|a ·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a 2-b 2答案 B3.(2021北京,13,5分)在△ABC 中,点M,N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ .假设MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么x= ,y= . 答案12;-16考点二 平面向量根本定理及坐标运算4.(2021课标Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.假设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ+μ的最大值为( )A.3B.2√2C.√5D.2 答案 A5.(2021课标Ⅲ,13,5分)向量a=(1,2),b=(2,-2),c =(1,λ).假设c ∥(2a+b),那么λ= . 答案126.(2021课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,那么实数λ= . 答案127.(2021江苏,6,5分)向量a=(2,1),b=(1,-2),假设ma+nb=(9,-8)(m,n ∈R),那么m-n 的值为 . 答案 -38.(2021上海,9,5分)过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A 、B,A 在B 上方,M 为抛物线上一点,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ= . 答案 3教师专用题组1.(2021四川,7)设a,b 都是非零向量,以下四个条件中,使a |a|=b|b|成立的充分条件是( )A.a=-bB.a ∥bC.a=2bD.a ∥b 且|a|=|b| 答案 C2.(2021湖南,8,5分)点A,B,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且AB ⊥BC.假设点P 的坐标为(2,0),那么|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 B3.(2021安徽,8)在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 逆时针方向旋转3π4后得向量OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点Q 的坐标是( )A.(-7√2,-√2)B.(-7√2,√2)C.(-4√6,-2)D.(-4√6,2)答案 A4.(2021浙江,7)设a,b 是两个非零向量,以下说法正确的选项是( ) A.假设|a+b|=|a|-|b|,那么a ⊥b B.假设a ⊥b,那么|a+b|=|a|-|b|C.假设|a+b|=|a|-|b|,那么存在实数λ,使得b =λaD.假设存在实数λ,使得b =λa,那么|a+b|=|a|-|b| 答案 C5.(2021四川理,12,5分)在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ= . 答案 26.(2021浙江,17,6分)正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ,最大值是 . 答案 0;2√57.(2021江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.假设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R),那么m+n= .答案 3【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2021辽宁东北育才学校三模)在△ABC 中,假设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么CP⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.-34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.-14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C2.(2021届福建泉州实验中学第一次月考,6)如图,在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,那么EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗答案 B3.(2021届九师联盟9月质量检测,5)向量a=(1,3),b=(2,-12),假设c ∥(a-2b),那么单位向量c=( )A.(-35,-45)或(35,45)B.(-35,45)或(35,-45)C.(-√22,-√22)或(√22,√22) D.(-√22,√22)或(√22,-√22)答案 B4.(2021河南平顶山一模,5)在平行四边形ABCD 中,E 是对角线AC 上一点,且AE=4EC,那么DE⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -15AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C5.(2021河北衡水金卷(六),10)点P 为四边形ABCD 所在平面内一点,且满足AB⃗⃗⃗⃗⃗ +2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +4DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),那么λμ=( ) A.76B.-76C.-13D.13答案 D6.(2021届湖南衡阳八中模拟检测,6)在△OAB 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD,BC 的交点为M,过M 作动直线l 分别交线段AC,BD 于E,F 两点,假设OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ>0),那么λ+μ的最小值为( )A.2+√37 B.3+√37C.3+2√37D.4+2√37答案 D7.(2021河南郑州一模,9)如图,在△ABC 中,N 为线段AC 上靠近点A 的三等分点,点P 在线段BN 上且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +211)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +211BC ⃗⃗⃗⃗⃗,那么实数m 的值为( )A.1B.13C.911D.511答案 D8.(2021安徽黄山一模,12)如图,在△ABC 中,∠BAC=π3,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 为CD 上一点,且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,假设△ABC 的面积为2√3,那么|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为( )A.√2B.√3C.3D.43答案 B9.(2021宁夏银川一中一模,5)如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是BN 上一点,假设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么实数t 的值为( )A.23 B.25 C.16 D.34答案 C二、多项选择题(每题5分,共10分)10.(改编题)以下说法中正确的选项是( ) A.假设a ∥b,b ∥c,那么a ∥cB.假设2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,S △AOC ,S △ABC 分别表示△AOC,△ABC 的面积,那么S △AOC ∶S △ABC =1∶6C.两个非零向量a,b,假设|a-b|=|a|+|b|,那么a 与b 共线且反向D.假设a ∥b,那么存在唯一实数λ使得a =λb 答案 BC11.(2021山东济南高一下学期期末学习质量评估)设点M 是△ABC 所在平面内一点,那么以下说法正确的选项是( ) A.假设AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 是边BC 的中点 B.假设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 在边BC 的延长线上 C.假设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 是△ABC 的重心D.假设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,且x+y=12,那么△MBC 的面积是△ABC 面积的12答案 ACD三、填空题(每题5分,共20分)12.(2021辽宁辽阳一模)设向量a=(-2,3),b=(3,1),c=(-7,m),假设(a+3b)∥c,那么实数m= . 答案 -613.(2021广东七校第二次联考,16)G 为△ABC 的重心,过点G 的直线与边AB,AC 分别相交于点P,Q,假设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =35AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么△ABC 与△APQ 面积的比值为 . 答案20914.(2021黑龙江大庆二模,16)W 为△ABC 的外心,AB=4,AC=2,∠BAC=120°,设AW ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么2λ1+λ2= . 答案 315.(2021届福建泉州实验中学第一次月考,15)设O 为△ABC 内一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么S △AOB ∶S △BOC ∶S △COA = . 答案 2∶3∶1。
高中数学必修4同步练习(2.1-2.2平面向量的概念及线性运算)(A卷) (2)
高中数学必修4同步练习(2.1-2.2平面向量的概念及线性运算)(A 卷)姓名______班级______学号______ 一.选择题(每题5分)1.设b →是a →的相反向量,则下列说法错误的是( ) A .a →与b →的长度必相等 B .a bC .a →与b →一定不相等 D .a →是b →的相反向量2.已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a →、b →、c →,则向量OD 等于( )A .a b c ++B .a b c -+C .a b c + -D .a b c--3.(如图)在平行四边形ABCD 中,下列正确的是( ).A .AB CD = B .AB AD BD -=C .AD AB AC += D .AD BC 0+=4.CO BO OC OA +++等于( ) A . B . C . D .5.化简++-的结果等于( ) A 、QP B 、OQ C 、 D 、SQ6.(如图)在正六边形ABCDEF 中,点O 为其中心,则下列判断错误的是( )A AB OC = B AB ∥DEC AD BE =D AD FC =7.下列等式中,正确的个数是( ) ①a b b a +=+ ②a b b a = --③0a a -=-④(a )a --= ⑤a (a )0+-=A .5B .4C .3D .28.在△ABC 中,AB a = ,AC b = ,如果a||b|=|, 那么△ABC 一定是( ). A .等腰三角形B .等边三角形 C .直角三角形D .钝角三角形9.在ABC ∆中,BC a = ,CA b =,则AB 等于( ) A .a b + B .(a b )-+C .a b -D .b a -10.已知a 、b 是不共线的向量,AB a b λ=+,AC a b μ=+(λ、R μ∈),当且仅当( )时, A 、B 、C 三点共线.()1A λμ+=()1B λμ-=()1C λμ=-()1D λμ=二.填空题(每题5分)11.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是______12.ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB a,AD b ==,则MA =______,MB = ______,MC = ______,MD =______.13.已知向量a 和b不共线,实数x ,y 满足b y x a b a y x)2(54)2(-+=+-,则=+y x ______14.化简:①AB BC CD ++=______;②AB AD DC --=______;③()()AB CD AC BD ---= ______15.化简下列各式:(1)=++++______; (2)()()AB MB BO BC OM ++++=______.16.在ABCD 中,AB a,AD b ==,则AC = ______,DB =______.17.在四边形ABCD 中有AC AB AD =+,则它的形状一定是______18.已知四边形ABCD 中,1AB DC 2=,且AD BC= 则四边形ABCD 的形状是______.19.化简:=-++-)()(______.20.在△ABC 中,设BC a →=,CA b →=,则AB=______三.解答题(每题10分)21.某人从A 点出发向西走了10m ,到达B 点,然后改变方向按西偏北︒60走了15m 到达C 点,最后又向东走了10米到达D 点.(1)作出向量,,(用1cm 长线段代表10m 长);(2)求DACDA BN M22.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 和BD 交于点O ,E 、F 分别是AC 和BD 的中点,分别写出 (1)图中与EF 、CO 共线的向量;(2)与相等的向量.23.在直角坐标系中,画出下列向量:(1)a 2= ,a的方向与x 轴正方向的夹角为 60,与y轴正方向的夹角为 30;(2)a 4=,a的方向与x 轴正方向的夹角为 30,与y轴正方向的夹角为 120;(3)a =,a的方向与x 轴正方向的夹角为 135,与y 轴正方向的夹角为 135.14.已知,是不共线的两个向量，设μλ+=,且R ∈=+μλμλ，，1。
专题15 平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理(教师版)
专题15 平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理考点47平面向量的概念与线性运算1．（2014新课标I ，文6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA. BC B ．12AD C ． D ． 12BC 【答案】C 【解析】=+11()()22CB AB BC AC +++=1()2AB AC +=AD ，故选C ． 2．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)==e e B ．12(1,2),(5,2)=-=-e e C ．12(3,5),(6,10)==e e D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e【答案】B【解析】对于A ，C ，D ，都有1e ∥2e ，所以只有B 成立． 考点48平面向量基本定理及其应用1．（2020江苏13）在ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是 ． 【答案】185【解析】由向量系数33()22m m +-=为常数，结合等和线性质可知321PA PD =， 故263PD PA ==，3AD PA PD AC =-==，故C CDA ∠=∠，故2CAD C π∠=-． 在ABC ∆中，3cos 5AC C BC ==；在ADC ∆中，由正弦定理得sin sin CD AD CAD C=∠， 即sin(2)sin 23182cos 23sin sin 55C C CD AD AD C AD C C π-=⋅=⋅=⋅=⨯⨯=． 2．（2018•新课标Ⅰ，理6文7）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E为AD 的中点，则(EB = )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 【答案】A【解析】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，∴12EB AB AE AB AD =-=- 11()22AB AB AC =-⨯+3144AB AC =-，故选A ． 3．（2015新课标Ⅰ，理7）设D 为?ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ）（A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =- 【答案】A 【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 4．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数和，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数，总存在单位向量c 和实数，使λμ=+a b c ；④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题．综上，本题选B ．5．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45．若OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），则m n += ．λμμλλμa μλb =+λμλμ+≥b c a【答案】3【解析】由可得72sin α=，，由OC =m OA +n OB 得22OC OA mOA nOB OA OC OB mOB OA nOB⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩，即2cos cos(45)2cos 45cos(45)m n m n ααα⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，两式相加得，2(cos cos 45)()(1cos(45))m n αα+=+++，所以22222cos 2cos 4510231cos(45)227221m n αα⨯+⨯++===+++⨯-⨯，所以． 6．（2013北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (λ，μ∈R )，则= ．【答案】4【解析】 如图建立坐标系，则()1,1a =-，()6,2b =，()1,3c =-．由c a b λμ=+，可得12,2λμ=-=-，∴4λμ=7．(2015北京)在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =，若MN x AB y AC =+，则x = tan 7α=2cos 10α=3m n +=λμ；y = ． 【答案】12 16【解析】由1111()3232MN MC CN AC CB AC AB AC =+=+=+-1126AB AC =- =x AB y AC +．所以12x ，16y ． 考点49平面向量的坐标运算及平面向量共线的充要条件1．（2019•新课标Ⅱ，文3）已知向量(2,3)a =，(3,2)b =，则||(a b -= )AB ．2 C．D ．50 【答案】A【解析】(2,3)a =，(3,2)b =，∴(2a b -=，3)(3-，2)(1=-，1)，2||(1)a b ∴-=-故选A ．2．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】，所以，这样同方向的单位向量是． 3．（2011广东）已知向量a =（1，2），b =（1，0），c =（3，4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=A ． 14B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=124．（2018•新课标Ⅲ，理13）已知向量(1,2)a =，(2,2)b =-，(1,)c λ=．若//(2)c a b +，则λ= ．【答案】12【解析】向量(1,2)a =，(2,2)b =-，∴2(4,2)a b +=，(1,)c λ=，//(2)c a b +， ∴142λ=，解得12λ=．【答案】6-3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3,4)AB =-||5AB =134(,)555AB =-【解析】因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．6．（2015•新课标Ⅱ，理13）设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ= ． 【答案】12【解析】向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，(2)2a b t a b ta tb λ∴+=+=+， ∴12t t λ=⎧⎨=⎩，解得实数12λ=． 7．(2015江苏)已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n - 的值为___．【答案】－3【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-8．(2014北京)已知向量a 、b 满足1=a ，(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则λ=__．【解析】∵||1=a ，∴可令(cos ,sin )θθ=a ，∵0λ+=a b ，∴cos 20sin 10λθλθ+=⎧⎨+=⎩，即2cos 1sin θλθλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得25λ=得||λ=9．（2014陕西）设20πθ<<，向量()sin 2cos θθ=，a ，()cos 1θ，b ，若∥a b ，则=θtan _______．【答案】12【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cos θθ=，∴22sin cos cos θθθ=，∵(0,)2πθ∈，∴1tan 2θ=．。
第一节 平面向量的概念及线性运算
求 a 与 b 的相
减法
反向量－b 的 和的运算叫做
a 与 b 的差
三角形法则
a －b ＝a ＋ (－b )
数乘
求实数 λ 与向 量 a 的积的运
|λa |＝|λ||a |；当 λ＞0 时，λa 的 方向与 a 的方向 相同 ；当 λ＜
λ(μa )＝ (λμ)a ；(λ ＋μ)a ＝λa ＋μa ；
单位 向量
平行 向量 相等 向量
长度等于 1 个单位的向 量
a 单位向量记作 a 0，a 0＝
|a |
方向相同或相反的 非零 向量(也叫共线向量)
0 与任意向量共线
长度相等且方向相同 的 相等向量一定是平行向量，平
向量
行向量不一定是相等向量
相反 长度相等且方向相反 的 若 a ，b 为相反向量，则
向量 两个向量
为起点、B 为终点的向量记作―A→B ，也可用黑体的单个小写字母
a ，b ，c，…来表示向量． (2)向量的长度(模)：向量―A→B 的大小即向量
―A→B 的长度(模)，记为|―A→B |.
任意向量 a 的 模都是非负实
数，即|a |≥0.
2．几种特殊向量
名称
定义
零向量 长度为 0 的向量
返回
备注 零向量记作 0，其方向是任意的
返回
三、基础小题强化——功底牢一点
返回
一判一判对的打“√”，错的打“×”
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量. (×)
(2)|a |与|b |是否相等与 a ，b 的方向无关．
( √)
(3)若向量―A→B 与向量―C→D 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一
条直线上．
向量的线性运算经典测试题及解析
a =3， b =5，
b =5 a , 3
b 与 a 的方向相反, b 5 a.
3
故选：D. 【点睛】 考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.
17．已知非零向量 a 、 b ，且有 a 2b ，下列说法中，不正确的是（ ）
A． | a | 2 | b | ； B． a ∥ b ；
D. BO OD ，故该选项错误；
故选：C． 【点睛】 本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．
14．已知 a ， b 为非零向量，如果 b ＝﹣5 a ，那么向量 a 与 b 的方向关系是（ ）
A． a ∥ b ，并且 a 和 b 方向一致
B． a ∥ b ，并且 a 和 b 方向相反
A． a
B． a
【答案】B
C． a
D． a
【解析】 【分析】 按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】
-4a+5a=a ,
所以答案为 B 选项 【点睛】 本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键
6．如图， ABCD 中，E 是 BC 的中点，设 AB a, AD b ，那么向量 AE 用向量 a、b
C． a 和 b 方向互相垂直
【答案】B 【解析】
D． a 和 b 之间夹角的正切值为 5
【分析】
根据平行向量的性质解决问题即可．
【详解】
∵已知 a ， b 为非零向量，如果 b ＝﹣5 a ，
∴ a ∥ b ， a 与 b 的方向相反，
故选：B． 【点睛】
本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目中给的已知条件 与 是平行向量，可得 AB 与 CD 是平行的，且不确定 与
高中数学平面向量精选题目(附答案)
高中数学平面向量精选题目（附答案）一、平面向量的概念及线性运算1.在△ABC 中，点M ，N 满足AM ―→＝2MC ―→，BN ―→＝NC ―→.若MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x ＝________；y ＝________.[解析] ∵AM ―→＝2MC ―→，∴AM ―→＝23AC ―→. ∵BN ―→＝NC ―→，∴AN ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)， ∴MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)－23AC ―→ ＝12AB ―→－16AC ―→. 又MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→， ∴x ＝12，y ＝－16. [答案] 12 －16 注：向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：选D ∵AB ―→＝(－8,8)，AC ―→＝(3，y ＋6)． 又∵AB ―→∥AC ―→，∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.3.如图，点A ，B ，C 是圆O 上不重合的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P .若OC ―→＝m OA ―→＋2m OB ―→，AP ―→＝λAB ―→，则λ＝( )A.56B.45C.34D.23解析：选D 由题意，设OP ―→＝n OC ―→. 因为AP ―→＝OP ―→－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)， 故n OC ―→－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)，n (m OA ―→＋2m OB ―→)－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)， 即(mn ＋λ－1)OA ―→＋(2mn －λ)OB ―→＝0.而OA ―→与OB ―→不共线，故有⎩⎨⎧mn ＋λ－1＝0，2mn －λ＝0，解得λ＝23.选D.4.如图，半径为1的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且∠COB ＝30°.若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝________.解析：由已知，可得OA ⊥OC ，以O 为坐标原点，OC ，OA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则有C (1,0)，A (0,1)，B (cos 30°，－sin 30°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12.于是OC ―→＝(1,0)，OA ―→＝(0,1)，OB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，由OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，得(1,0)＝λ(0,1)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32μ，λ－12μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧32μ＝1，λ－12μ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝233，λ＝33.∴λ＋μ＝ 3. 答案：3二、平面向量的数量积5.(1)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C.53D.32(2)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ―→|＝6，|AD ―→|＝4.若点M ，N 满足BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[解析] (1)c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k ), 又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.(2)如图所示，由题设知：AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋34AD ―→，NM ―→＝NC ―→－MC ―→＝13AB ―→－14AD ―→， ∴AM ―→·NM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋34 AD ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13 AB ―→－14 AD ―→ ＝13|AB ―→|2－316|AD ―→|2＋14AB ―→·AD ―→－14AB ―→·AD ―→＝13×36－316×16＝9. [答案] (1)A (2)C 注：(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行计算．6．已知△ABC 中，AB ―→＝c ，BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，若a ·b ＝b ·c 且c ·b ＋c ·c ＝0，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．等腰非直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析：选D 由c ·b ＋c ·c ＝c ·(b ＋c )＝0，即AB ―→·(CA ―→＋AB ―→)＝AB ―→·CB ―→＝0，可得∠B 是直角． 又由a ·b ＝b ·c ，可得b ·(a －c )＝0， 即CA ―→·(BC ―→＋BA ―→)＝0， 所以CA 与CA 边的中线垂直， 所以△ABC 是等腰直角三角形．7．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2D ．2解析：选B 由题意，知a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0及(a －c )·(b －c )≤0，知(a ＋b )·c ≥c 2＝1.因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1，故|a ＋b －c |的最大值为1.8．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________．解析：∵|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，∴b 在a 方向上的投影是|b |cos 60°＝1.答案：19．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ―→·BE ―→＝1，则AB 的长为________．解析：设|AB ―→|＝x ，x ＞0，则AB ―→·AD ―→＝12x .又AC ―→·BE ―→＝(AD ―→＋AB ―→)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－12 AB ―→ ＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12. 答案：12三、平面向量与三角函数的综合问题10.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． [解] (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0.由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3， ∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3， 即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12. 注：在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．11．已知向量a ＝(6sin α，2)与向量b ＝(3,4sin α)平行，则锐角α＝( ) A.π4B.π6C.π3D.5π12解析：选B 因为向量a ＝(6sin α，2)与向量b ＝(3,4sin α)平行，所以24sin 2α＝6，所以sin 2α＝14，sin α＝±12.又α是锐角，所以sin α＝12，α＝π6.12．(2017·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x . 则tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.巩固练习：1.如图所示，在△ABC 中，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP ―→＝( )A.12a ＋12bB.13a ＋23bC.27a ＋47bD.47a ＋27b2．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( ) A ．0B ．1C ．2 D. 53．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)4．已知平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，|a －b |＝x ，a ·b ＝－38x ，则x ＝( ) A. 3 B ．2 C. 5D ．35．在△ABC 中，(BC ―→＋BA ―→)·AC ―→＝|AC ―→|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ，b ，c 两两所成的角相等，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．6或 3B ．6或 2 C. 2D ．67．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 8．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 9．已知向量OA ―→＝(1,7)，OB ―→＝(5,1)(O 为坐标原点)，设M 为直线y ＝12x 上的一点，那么MA ―→·MB ―→的最小值是________．10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.11．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a 与b 满足|ka ＋b |＝3|a －kb |，其中k >0.(1)用k 表示a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a ，b 的夹角．12．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们两两之间的夹角均为120°. (1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|ka ＋b ＋c |>1(k ∈R)，求实数k 的取值范围．参考答案：1.解析：选C 连接BP ，则AP ―→＝AC ―→＋CP ―→＝b ＋PR ―→， ① AP ―→＝AB ―→＋BP ―→＝a ＋RP ―→－RB ―→. ② 由①＋②，得2AP ―→＝a ＋b －RB ―→.③ 又RB ―→＝12QB ―→＝12(AB ―→－AQ ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12 AP ―→ ，④将④代入③，得2AP ―→＝a ＋b －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12 AP ―→ ，解得AP ―→＝27a ＋47b .2.解析：选D 因为|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－0＋22＝5，所以|a －b |＝5，故选D.3.解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)．4.解析：选B |a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝x 2，两式相减得4a ·b ＝1－x 2.又a ·b ＝－38x ，所以1－x 2＝－32x ，解得x ＝2或x ＝－12(舍去)．故选B.5.解析：选C 由(BC ―→＋BA ―→)·AC ―→＝|AC ―→|2，得AC ―→·(BC ―→＋BA ―→－AC ―→)＝0，即AC ―→·(BC ―→＋BA ―→＋CA ―→)＝0，∴2AC ―→·BA ―→＝0，∴AC ―→⊥BA ―→，∴A ＝90°.故选C.6.解析：选A ∵a ，b ，c 两两所成的角相等， ∴这个角为0°或120°.当夹角为0°时，|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝1＋2＋3＝6，排除C ；当夹角为120°时，a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，b ·c ＝|b ||c |·cos 120°＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3，c ·a ＝|c ||a |cos 120°＝3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32， ∴|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋22＋32＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－3－32＝3，∴|a ＋b ＋c |＝ 3. ∴|a ＋b ＋c |＝6或 3.7.解析：∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a ·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2. 答案：－28.解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6. 答案：－69.解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ，则MA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，7－12x ，MB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－x ，1－12x ，MA ―→·MB―→＝(1－x )(5－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝54(x －4)2－8.所以当x ＝4时，MA ―→·MB ―→ 取得最小值－8.答案：－810.解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61， 即64－4a ·b －27＝61. ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.(2)|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－6)＋9＝13.11.解：(1)将|ka ＋b |＝3|a －kb |两边平方，得|ka ＋b |2＝(3|a －kb |)2，k 2a 2＋b 2＋2ka ·b ＝3(a 2＋k 2b 2－2ka ·b )，∴8ka ·b ＝(3－k 2)a 2＋(3k 2－1)b 2， a ·b ＝(3－k 2)a 2＋(3k 2－1)b 28k.∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝1，b 2＝1，∴a ·b ＝3－k 2＋3k 2－18k ＝k 2＋14k .(2)∵k 2＋1≥2k (当且仅当k ＝1时等号成立)，即k 2＋14k ≥2k 4k ＝12，∴a ·b 的最小值为12.设a ，b 的夹角为γ，则a ·b ＝|a ||b |cos γ. 又|a |＝|b |＝1，∴12＝1×1×cos γ，∴γ＝60°，即当a ·b 取最小值时，a 与b 的夹角为60°.12.解：(1)证明：∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ，b ，c 之间的夹角均为120°， ∴(a －b )·c ＝a ·c －b ·c ＝|a ||c |cos 120°－|b ||c |·cos 120°＝0，∴(a －b )⊥c . (2)∵|ka ＋b ＋c |>1，∴(ka ＋b ＋c )2>1， 即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2ka ·b ＋2ka ·c ＋2b ·c >1，∴k 2＋1＋1＋2k cos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°>1. ∴k 2－2k >0，解得k <0或k >2.∴实数k 的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．。
第五章第1讲平面向量的概念及其线性运算配套课时作业ppt课件
1－n＝m， ∴n5＝52，
解得nm＝＝2－，1. 故选B.
解析22
12．(2019·郑州模拟)如图，A，B分别是射线OM，ON上
的点，给出下列向量：①O→A＋2O→B；②12O→A＋13O→B；
③34O→A＋13O→B；④34O→A＋15O→B；
⑤
3 4
O→A
－ 15 O→B
.若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边
解析18
10．(2019·湖北咸宁联考)如图，在△ABC中，点M为AC的中点，点N在 AB上，A→N＝3N→B，点P在MN上，M→P＝2P→N，那么A→P等于( )
A.23A→B－16A→C C.13A→B－16A→C
B.13A→B－12A→C D.12A→B＋16A→C
答案 D
答案19
解析 由题意知N→P＝13N→M，A→N＝34A→B， A→M＝12A→C， ∴A→P＝A→N＋N→P＝A→N＋13N→M＝A→N＋13(A→M－A→N)＝23A→N＋13A→M＝12A→B＋16 A→C.故选D.
＋|bb|＝0成立的是(
)
A．a＝2b B．a∥b
C．a＝－13b D．a⊥b
答案 C
答案7
解析
“
a |a|
＋
b |b|
＝0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共
线且反向”．故选C.
解析8
5．(2019·湖北模拟)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中 点，则E→B＋F→C＝( )
解析2
2．已知|a|＝2，|b|＝1，则|a－b|的取值范围是( )
A．[1,2]
B．[1,3]
C．[1， 2] D．[1， 3]
向量的线性运算基础测试题及答案解析
向量的线性运算基础测试题及答案解析一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =，AD b =，那么a b +等于（ ）A ．BDB ．AC C ．DBD ．CA【答案】B【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =，然后由三角形法则，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∵AD b =，∴BC b =，∵AB a =，∴a b +=AB +BC =AC ．故选B ．2．已知向量，若与共线，则( ) A ． B ． C ．D ．或【答案】D【解析】【分析】 要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答. 【详解】 解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即；与任一向量共线.故答案为D.【点睛】 本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键.3．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =，DC b =，则（ ） A ．()12BO a b =+； B ．()12BO a b =-；C ．()12BO b a =-+；D ．()12BO b a =-． 【答案】D【解析】 1,.21(b-a)2BCD BO BD BD DC CB CB BC BO D ∆==+=-=在中，所以故选4．已知a 、b 为非零向量，下列判断错误的是（ ）A ．如果a ＝3b ，那么a ∥bB ．||a ＝||b ，那么a ＝b 或a ＝-bC ．0的方向不确定，大小为0D ．如果e 为单位向量且a ＝﹣2e ，那么||a ＝2【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的性质解答即可．【详解】解：A 、如果a ＝3b ，那么两向量是共线向量，则a ∥b ，故A 选项不符合题意． B 、如果||a ＝||b ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意． C 、0的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意．D 、根据向量模的定义知，||a ＝2|e |＝2，故D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.5．以下等式正确的是（ ）．A ．0a a -=B ．00a ⋅=C ．()a b b a -=--D ．km k m =【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的运算法则进行判断．【详解】解：A. 0a a -=，故本选项错误；B. 00a ⋅=，故本选项错误；C. ()a b b a -=--，故本选项正确； D. km k m =⋅，故本选项错误.故选：C.【点睛】考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．6．已知5AB a b =+，28BC a b =-+，()3CD a b =-，则（ ）．A ．A 、B 、D 三点共线B ．A 、B 、C 三点共线 C ．B 、C 、D 三点共线D ．A 、C 、D 三点共线 【答案】A【解析】【分析】根据共线向量定理逐一判断即可.【详解】解：∵28BC a b =-+，()3CD a b =-，5AB a b =+∴()2835BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+，∴AB 、BD 是共线向量∴A 、B 、D 三点共线，故A 正确； ∵5AB a b =+，28BC a b =-+ ∴不存在实数λ，使AB BC λ=，即AB 、BC 不是共线向量∴A 、B 、C 三点共线，故B 错误；∵28BC a b =-+，()3CD a b =- ∴不存在实数λ，使BC CD λ=，即BC 、CD 不是共线向量∴B 、C 、D 三点共线，故C 错误； ∵5AB a b =+，28BC a b =-+，()3CD a b =-，∴()52813AC AB BC a b a b a b =+=++-+=-+ ∴不存在实数λ，使AC CD λ=，即AC 、CD 不是共线向量∴A 、C 、D 三点共线，故D 错误；故选A.【点睛】此题考查的是共线向量的判定，掌握共线向量的定理是解决此题的关键.7．若点O 为平行四边形的中心，14AB m =，26BC m =，则2132m m -等于（ ）． A ．AOB ．BOC ．COD ．DO 【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可.【详解】解:∵在平行四边形ABCD 中, 14AB m =，26BC m =，∴1246B m C AC AB m =+=+,1246BD BA BC AC m m =+==-+,M 分别为AC 、BD 的中点, ∴122312AO AC m m =+=，故A 不符合题意； 211322BO BD m m ==-，故B 符合题意； 122312CO AC m m ==---，故C 不符合题意； 121232DO BD m m =-=-，故D 不符合题意. 故选B.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.8．如果向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为3，那么用向量e 表示向量a 为（ ）A ．3a e =B ．3a e =-C ．3e a =D ．3e a =-【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的定义解答即可．【详解】解：∵向量e 为单位向量，向量a 与向量e 方向相反，∴3a e =-．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．9．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=，=， =，=，则（ ）A ．+++=B ．-+-=C ．+--=D ．--+= 【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项．【详解】根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误；； 而； ∴B 正确.故选B.【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.10．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）．A ． //a c ,//b cB ．||3||a b =C ． 5a b =-D ．2a b =【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的性质进行逐一判定即可．【详解】解：A 、由//a c ,//b c 推知非零向量a 、b 、c 的方向相同，则//a b ，故本选项不符合题意．B 、由||3||a b =只能判定向量a 、b 的模之间的关系，不能判定向量a 、b 的方向是否相同，故本选项符合题意．C 、由5a b =-可以判定向量a 、b 的方向相反，则//a b ，故本选项不符合题意．D 、由2a b =可以判定向量a 、b 的方向相同，则//a b ，故本选项不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量．11．已知e →为单位向量，a =-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） A ．a ∥e →B ．3a =C ．a 与e →方向相同D ．a 与e →方向相反 【答案】C【解析】【分析】由向量的方向直接判断即可.【详解】 解：e 为单位向量，a =3e -，所以a 与e 方向相反，所以C 错误，故选C.【点睛】本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.12．下列说法正确的是（ ）A ．()0a a +-=B ．如果a 和b 都是单位向量，那么a b =C ．如果||||a b =，那么a b =D ．12a b =-（b 为非零向量），那么//a b【答案】D【解析】【分析】根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案.【详解】解：A 、()a a +-等于0向量，而不是0，故A 选项错误；B 、如果a 和b 都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；C 、如果||||a b =，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；D 、如果12a b =-（b 为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b ，故D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.13．在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =，AD b =，那么OD 等于（ ）A．1122a b+B．1122a b--C．1122a b-D．1122a b-+【答案】D 【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得12OD BD=，，又由BD BA AD=+，即可求得OD的值．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD=12 BD，∴12OD BD=，∵BD BA AD a b=+=-+，∴12OD BD==111()222a b a b-+=-+故选：D．【点睛】此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．14．在下列关于向量的等式中，正确的是（）A．AB BC CA=+B．AB BC AC=-C．AB CA BC=-D．0AB BC CA++=【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算逐项判断即可.【详解】AB AC CB=+，故A选项错误；AB AC BC=-，故B、C选项错误；AB BC CA++=，故D选正确.故选：D.【点睛】本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.15．如图，向量OA 与OB 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n =OA +OB ，则||n =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】B【解析】 根据向量的运算法则可得: n =()222OA OB +=,故选B.16．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（ ）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的加法即可解答.【详解】解：根据题意得＝,＋ .故选D.【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.17．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP 可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n =.已知11(,OA x y =），22(,)OB x y =，如果12120x x y y +=，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．(4,3)OC =-；(3,4)OD =-B ．(2,3)OE =-； (3,2)OF =-C ．(3,1)OG =；(OH =-D ．(24)OM =；(2)ON =-【答案】D【解析】【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可.【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意；B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意；C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意；D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意；故选D.【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.18．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ）A ．m na mn a （）＝（）B ． m n a ma na ++（）＝C ．m a b ma mb +（+）＝D ．若0ma =，那么0a =【答案】D【解析】【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同．【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的；∵D 、如果a =0，则m=0或a =0．∴错误．故选D ．【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.19．已知向量a和b都是单位向量，那么下列等式成立的是（）=A．a b-=D．a ba b+=C．0a b=B．2【答案】D【解析】【分析】根据向量a和b都是单位向量，，可知|a|＝|b|＝1，由此即可判断．【详解】解：A、向量a和b都是单位向量，但方向不一定相同，则a b=不一定成立，故本选项错误．B、向量a和b都是单位向量，但方向不一定相同，则2+=不一定成立，故本选项错a b误．C、向量a和b都是单位向量，但方向不一定相同，则0-=不一定成立，故本选项错a b误．D、向量a和b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键20．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（）A．||＝2|| B．是与方向相同的单位向量C．2-＝D．∥【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的模和向量平行的定义解答．【详解】A、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误．B、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误．C、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误．D、由＝-得到∥，故本选项说法正确．故选D．【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．。
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平面向量的概念与线性运算
基础巩固组
1.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是().
A.EF=OF+OE
B.EF=OF−OE
C.EF=-OF+OE
D.EF=-OF−OE
答案:B
解析:画图可知EF=OF−OE.
2.下列命题中正确的是().
A.若a∥b,则a=b或a=-b
B.若a·b=0,则a=0或b=0
C.若k a=0,则k=0或a=0
D.若a,b都是非零向量,则|a+b|>|a-b|
答案:C
解析:对于A,显然不能得到a=b或a=-b,因此选项A不正确;
对于B,易知不正确;
对于C,易知正确;
对于D,注意到(a+b)2-(a-b)2=4a·b,显然a·b与零的大小关系不确定,因此选项D不正确.综上所述,选C.
3.如图,在正六边形ABCDEF中,BA+CD+EF等于().
A.0B.BE
C.AD
D.CF
答案:D
解析:因为ABCDEF是正六边形,
所以BA+CD+EF=DE+CD+EF=CE+EF=CF.
4.(2015甘肃兰州模拟)已知D为△ABC的边AB的中点.M在DC上且满足5AM=AB+3AC,则△ABM 与△ABC的面积比为().
A.1
5B.2
5
C.3
5
D.4
5
答案:C
解析:由5AM =AB +3AC ,得3AM -3AC =2AD -2AM ,即3CM
=2MD . 如图,C ,M ,D 三点共线,且MD =3
5CD ,也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 上的两高之比为3∶5,则△ABM 与△ABC 的面积比为3
5,选C .
5.在△ABC 中,N 为边AC 上一点,且AN =1
3NC ,P 是BN 上一点,若AP =m AB +2
11AC ,则实数m 的值为( ). A .9
11 B .5
11
C .4
11
D .3
11
答案:D
解析:由AP =m AB +211AC ,得AP =m AB +211×4AN =m AB +811AN .因为点B ,P ,N 三点共线,所以m+8
11=1,即m=3
11.
6.(2015课标全国高考Ⅱ)设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ= . 答案:12
解析:由题意知存在常数t ∈R ,使λa +b =t (a +2b ),得 λ=t ,1=2t ,
解之得λ=1
2.
7.(2014课标全国高考Ⅰ)已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若AO =12
(AB +AC ),则AB 与AC
的夹角为 . 答案:90°
解析:由AO =1
2
(AB +AC )可得O 为BC 的中点,则BC 为圆O 的直径,即∠BAC=90°,故AB 与AC
的夹角为90°.
8.已知△ABC 和点M 满足MA +MB +MC =0.若存在实数m 使得AB +AC =m AM 成立,则m= . 答案:3
解析:由题目条件可知,M 为△ABC 的重心.如图,连结AM 并延长交BC 于点D ,则AM =2
3AD .
因为AD 为中线,则AB +AC =2AD =3AM ,所以m=3.
9.如图,在△ABC 中,在AC 上取一点N ,使AN=1
3AC ;在AB 上取一点M ,使AM=1
3AB ;在BN 的延长线上
取点P ,使NP=1
2BN ;在CM 的延长线上取点Q ,使MQ =λCM 时,AP =QA ,试确定λ的值.
解:∵AP =NP −NA =12
(BN −CN ) =12(BN +NC )=1
2BC
, QA =MA −MQ =12BM +λMC , 又AP
=QA , ∴1
2BM +λMC =12
BC , 即λMC =12MC ,∴λ=1
2
. 能力提升组
10.已知在△ABC 中,D 是AB 边上的一点,CD =λ CA
|CA
|
+CB
|CB
| ,|CA |=2,|CB |=1,若CA =b ,CB =a ,则用a ,b 表
示CD 为( ). A .23
a +13
b B .13a +23
b
C .13
a +13
b D .23
a +23
b
答案:A
解析:由题意知,CD 是∠ACB 的角平分线,
故CD =CA +AD =CA +23AB =CA +23
(CB −CA ) =2
3
CB +13
CA =23
a +13
b ,故选A. 11.在△ABC 中,点O 在线段BC 的延长线上,且与点C 不重合,若AO =x AB +(1-x )AC ,则实数x 的取值范围是 ( ).
A.(-∞,0)
B.(0,+∞)
C.(-1,0)
D.(0,1)
答案:A
解析:设BO =λBC (λ>1),则AO =AB +BO =AB
+λBC =(1-λ)AB +λAC . 因为AO =x AB
+(1-x )AC , 所以x AB +(1-x )AC =(1-λ)AB +λAC . 所以λ=1-x>1,得x<0.
12.若点O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB −OC |=|OB +OC -2OA |,则△ABC 的形状为 . 答案:直角三角形
解析:∵OB +OC -2OA =OB −OA +OC −OA =AB
+AC , OB
−OC =CB =AB −AC , ∴|AB −AC |=|AB
+AC |. 故A ,B ,C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形.
13.(2015福建南平模拟)已知A ,B ,C 是直线l 上的三点,向量OA ,OB ,OC
满足OA =[f (x )+2f'(1)x ]OB -ln x OC
,则函数y=f (x )的表达式为 . 答案:f (x )=ln x-2
3x+1(x>0)
14.若a ,b 是两个不共线的非零向量,a 与b 起点相同,则当t 为何值时,a ,t b ,1
3(a +b )三向量的终点在同一条直线上?
解:∵a 与b 起点相同,
∴a ,t b ,1
3(a +b )起点也相同.
设OA =a ,OB
=t b ,OC =13
(a +b ), 则AC
=OC −OA =-23
a +13
b , AB
=OB −OA =t b -a . 要使A ,B ,C 三点共线,只需存在λ∈R ,使AC =λAB . 即-23
a +13
b =λ(t b -a )=λt b -λa . 又a 与b 为不共线的非零向量, ∴ -2
3=-λ,1=λt ,解得 λ=2
3,
t =1. ∴当t=1
2时,三向量的终点在同一直线上.
15.设两个非零向量a 与b 不共线.
(1)若AB =a +b ,BC =2a +8b ,CD =3(a -b ).求证:A ,B ,D 三点共线; (2)试确定实数k ,使k a +b 和a +k b 共线.
(1)证明:∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),
∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)
=5(a+b)=5AB,
∴AB,BD共线.
又它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.
(2)解:∵k a+b与a+k b共线,
∴存在实数λ,使k a+b=λ(a+k b),
即(k-λ)a=(λk-1)b.
又a,b是两个不共线的非零向量,
∴k-λ=λk-1=0.
∴k2-1=0.∴k=±1.。