考研数学初期复习：函数与极限
2021考研-高数0基础课-第1章 函数与极限 第2节数列极限
【例1】用定义证明下列极限 1) lim qn 0. ( q 1)
n
2) lim n n 1. n
二，收敛数列的性质
1) 唯一性：收敛数列的极限是唯一的；
2) 有界性：收敛数列必有界；
3)
保号性：若
lim
n
xn
x2 k 1
lim
k
x2k
a.
内容小结
1. 数列极限的 " N" 定义及应用 2. 收敛数列的性质:
唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
作业 P26 2; 3; 6; 7；8；
高等数学精讲
第一章 函数与极限
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质
一、数列极限的定义
引例 圆的面积——割圆术
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正 6 2n1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
数列 x1 , x2 , x3 ,, xn , 记为 xn
a,
且
ห้องสมุดไป่ตู้
a 0（或
a 0 ),
则
N ,
当 n N , 时,都有 xn 0（或 xn 0 ),
推论 如果存在 N 0, 当 n N 时，xn 0 （或 xn 0 ）， 则 a 0（或 a 0),
4) 收敛数列与其子列之间的关系
lim
n
xn
a
lim
k
例如
数列 x1 , x2 , x3 ,, xn , 记为 xn
高数考研重点罗列
考研数学高等数学重难点第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重要题型，要掌握求极限的几种经典方法）第一节映射与函数（一般章节）一集合（不用看）二映射（不用看）三函数（了解）第二节数列的极限（一般章节）（本节用极限定义证明极限的题目考纲不作要求，可不看）一数列极限的定义（了解）二收敛数列的性质（了解）第三节函数的极限（一般章节）一函数极限的定义（了解）二函数极限的性质（了解）第四节无穷小与无穷大（重要）一无穷小（重要）二无穷大（了解）第五节极限运算法则（注意运算法则的前提条件是极限存在）第六节极限存在准则（理解）两个重要极限（重要两个重要极限要会证明）第七节无穷小的比较（重要）第八节函数的连续性与间断点（重要基本必考小题）一函数的连续性二函数的间断点第九节连续函数的运算与初等函数的连续性（了解）一连续函数的和、差、积、商的连续性二反函数与复合函数的连续性三初等函数的连续性第十节闭区间上连续函数的性质（重要，不单独考大题，但考大题会用到）一有界性与最大值最小值定理（重要）二零点定理与介值定理（重要）三一致连续性。
（不用看）第二章导数与微分（小题的必考章节）第一节导数概念（重要）一引例（数三可只看切线问题举例）二导数的定义（重难点，考的频率很高）三导数的几何意义（理解）另外：数一数二要知道导数的物理意义，数三要知道导数的经济意义（边际与弹性）四函数可导性与连续性的关系（重要，要会证明）第二节函数的求导法则（考小题）一函数的和、差、积、商求导法则二反函数的求导法则三复合函数的求导法则四基本求导法则与求导公式（要非常熟）第三节高阶导数（重要，考的可能性大）第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数（考小题）、相关变化率（不用看）一隐函数的导数二由参数方程所确定的函数的导数三相关变化率（不用看）第五节函数的微分（考小题）一微分的定义二微分的几何意义三基本初等函数的微分公式与微分运算法则四微分在近似计算中的应用（不用看，基本上只要有近似两个字，考纲俊不作要求）第三章微分中值定理与导数的应用（考大题、难题经典章节）第一节微分中值定理（最重要，与中值定理的应用有关的证明题）一罗尔定理（要会证）二拉格朗日中值定理（要会证）三柯西中值定理（要会证）另外要会证明费马定理第二节洛比达法则（重要，基本上必定要考）第三节泰勒公式（掌握其应用，可以不用证明公式本身）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性（考小题）一函数单调性的判定法二曲线的凹凸性与拐点第五节函数的极值与最大值最小值（考小题为主）一函数的极值及其求法二最大值最小值问题第六节函数图形的描绘（重要）第七节曲率（了解，只有数一数二考，数三不用看）一弧微分（不用看）二曲率及其计算公式（了解）三曲率圆与曲率半径（了解）四曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线（不用看）第八节方程的近似解（只要有近似，考研不考，不用看）第四章不定积分（重要）相对于数一、数三，本章数二考大题的可能性更大第一节不定积分的概念与性质一原函数与不定积分的概念（理解）二基本积分表（全背且熟练准确）三不定积分的性质（理解）第二节换元积分法（重要，其中第二类换元积分法更加重要）一第一类换元法二第二类换元法第三节分部积分法（考研必考）第四节有理函数的积分（重要）一有理函数的积分二可化为有理函数积分的习题举例第五节积分表的使用（不用看）第五章定积分（重要，考研必考）第一节定积分的概念与性质（理解）一定积分问题举例（了解）其中“变速直线运动的路程”数三不用看二定积分定义（理解）三定积分的近似计算（不用看）四定积分的性质（理解）第二节微积分基本公式（重要）一变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系（了解）数三不用看二积分上限的函数及其导数（极其重要，要会证明）三牛顿-莱布尼茨公式（重要，要会证明）第三节定积分的换元积分法与分部积分法（重要，分部积分法更重要）一定积分的换元法二定积分的分部积分法第四节反常积分（考小题）一无穷限的反常积分二无界函数的反常积分第五节反常积分的审敛法T函数（不用看）第六章定积分的应用（考小题为主）第一节定积分的元素法（理解）第二节定积分在几何学上的应用（面积最重要）一平面图形的面积二体积（数三只看旋转体的体积）三平面曲线的弧长（数三不用看，数一数二记住公式即可）第三节定积分在物理学上的应用（数三不用看，数一数二了解）一变力引直线所作的功二水压力三引力第七章微分方程（必考章节，本章相对于数学二相对最重要）第一节微分方程的基本概念（了解）第二节可分离变量的微分方程（理解）第三节齐次方程（理解）一齐次方程二可化为齐次的方程（不用看）第四节一阶线性微分方程（重要，熟记公式）一线性方程二伯努利方程（只有数一考，记住公式即可）第五节可降阶的高阶微分方程（只有数一数二考，理解）一型的微分方程二型的微分方程三型的微分方程第六节高阶线性微分方程（理解）一二阶线性微分方程举例（不用看）二线性微分方程的解的结构（重要）三常数变易法（不用看）第七节常系数齐次线性微分方程（最重要，考大题的备选章节）第八节常系数非齐次线性微分方程（最重要，考大题的备选章节）一型二第九节欧拉方程（只有数一考，了解）第九节常系数线性微分方程的解法举例（不用看）第八章空间解析几何与向量代数（只有数一考，考小题，了解）第一节向量及其线性运算一向量概念二向量的线性运算三空间向量坐标系四利用坐标作向量的线性运算五向量的模、方向角、投影第二节数量积、向量积、混合积一两向量的数量积二两向量的向量积三向量的混合积第三节曲面及其方程一曲面方程的概念二旋转曲面三柱面四二次曲面第四节空间曲线及其方程一空间曲线的一般方程二空间曲线的参数方程三空间曲线在坐标面上的投影第五节平面及其方程一平面的点法式方程二平面的一般方程三两平面的夹角第六节空间直线及其方程一空间直线的一般方程二空间直线的对称式方程与参数方程三两直线的夹角四直线与平面的夹角第九章多元函数微分法及其应用（考大题经典章节，但难度不大）第一节多元函数的基本概念（了解）一平面点集 n维空间二多元函数概念三多元函数的极限四多元函数的连续性第二节偏导数（理解）一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数（重要）第三节全微分（理解）一全微分的定义二全微分在近似计算中的应用（不用看）第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（理解小题）一一个方程的情形二方程组的情形（不用看）第六节多元函数微分学的几何应用（只有数一考，考小题）一一元向量值函数及其导数（不用看）二空间曲线的切线与法平面三曲面的切平面与法线第七节方向导数与梯度（只有数一考，考小题）一方向导数二梯度第八节多元函数的极值及其求法（重要，大题的常考题型）一多元函数的极值及最大值最小值二条件极值、拉格朗日乘数法第九节二元函数的泰勒公式（只有数一考，了解）一二元函数的泰勒公式(了解)二极值充分条件的证明（不用看）第十节最小二乘法（不用看）第十章重积分（重要，数二数三相对于数一，本章更加重要.数二数三基本必考大题）第一节二重积分的概念与性质（了解）一二重积分的概念（了解）二二重积分的性质（了解）第二节二重积分的计算法（重要，数二数三极其重要）一利用直角坐标计算二重积分二利用极坐标计算二重积分三二重积分的换元法（不用看）第三节三重积分（只有数一考，理解）一三重积分的概念（了解）二三重积分的计算（重要）第四节重积分的应用（只有数一考，了解）一曲面的面积二质心三转动惯量四引力第五节含参变量的积分（不用看）第十一章曲线积分与曲面积分（只有数一考，数二数三均不考；数一考大题、考难题经典章节）第一节对弧长的曲线积分（重要）一对弧长的曲线积分的概念（理解）与性质（了解）二对弧长的曲线积分的计算法（重要）第二节对坐标的曲线积分（重要）一对坐标的曲线积分的概念（理解）与性质（了解）二对坐标的曲线积分的计算法（重要）第三节格林公式及其应用（重要）一格林公式（重要）二平面上曲线积分与路径无关的条件（重要）三二元函数的全微分求积（理解）四曲线积分的基本定理（不用看）第四节对面积的曲面积分（重要）一对坐标的曲面积分的概念与性质（了解）二对坐标的曲面积分的计算法（重要）三两类曲面积分之间的联系（了解）第五节对坐标的曲面积分（重要）一对坐标的曲面积分的概念与性质（了解）二对面积的曲面积分的计算法（重要）第六节高斯公式（重要）、通量（不用看）与散度（了解）一高斯公式（重要）二沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件（不用看）三通量与散度（了解）第七节斯托克斯公式（重要）环流量与旋度（了解）一斯托克斯公式（重要）二空间曲面积分与路径无关的条件（不用看）三环流量与旋度第十二章无穷级数（数学二不考，不用看；数一数三考大题、考难题的经典章节）第一节常数项级数的概念与性质（一般考点）一常数项级数的概念（了解）二收敛级数的基本性质（考选择题章节）三柯西审敛原理（不用看）第二节常数项级数的审敛法（理解）一正项级数及其审敛法二交错级数及其审敛法三绝对收敛与条件收敛四绝对收敛级数的性质（不用看）第三节幂级数（重要）一函数项级数的概念（了解）二幂级数及其收敛性（最重要）三幂级数的运算（乘或除不用看）第四节函数展开为幂级数（数一相对数三本节更重要）第五节函数的幂级数展开式的应用（不用看）一近似计算二微分方程的幂级数解法三欧拉公式第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质（不用看）一函数项级数的一致收敛性二一致收敛级数的基本性质第七节傅里叶级数（数三不用看，数一了解）一三角函数系的正交性二函数展开为傅里叶级数三正弦级数和余弦级数第八节一般周期函数的傅里叶级数（数三不用看，数一了解）一周期为2l的周期函数的傅里叶级数二傅里叶级数的复数形式（不用看）。
考研数一归纳知识点
考研数一归纳知识点考研数学一（高等数学）是考研数学中难度较大的科目，它涵盖了高等数学的多个重要领域。
以下是考研数学一的归纳知识点：1. 函数、极限与连续性：- 函数的概念、性质和分类。
- 极限的定义、性质和求法。
- 函数的连续性及其判断方法。
2. 导数与微分：- 导数的定义、几何意义和物理意义。
- 基本导数公式和导数的运算法则。
- 高阶导数的概念和求法。
- 微分的概念和微分中值定理。
3. 积分学：- 不定积分和定积分的概念、性质和计算方法。
- 换元积分法和分部积分法。
- 定积分的应用，如面积、体积和物理量的计算。
4. 级数：- 级数的概念、收敛性判断。
- 正项级数的收敛性判断方法，如比较判别法和比值判别法。
- 幂级数和泰勒级数。
5. 多元函数微分学：- 多元函数的概念、偏导数和全微分。
- 多元函数的极值问题和条件极值问题。
6. 重积分与曲线积分：- 二重积分和三重积分的概念和计算方法。
- 对坐标的曲线积分和曲面积分。
7. 常微分方程：- 一阶微分方程的解法，如可分离变量方程、线性微分方程等。
- 高阶微分方程的解法，如常系数线性微分方程。
8. 解析几何：- 空间直线和平面的方程。
- 空间曲线和曲面的方程。
9. 线性代数：- 矩阵的运算、行列式、特征值和特征向量。
- 线性空间和线性变换的概念。
- 线性方程组的解法。
10. 概率论与数理统计：- 随机事件的概率、条件概率和独立性。
- 随机变量及其分布，包括离散型和连续型随机变量。
- 数理统计中的参数估计和假设检验。
结束语：考研数学一的知识点广泛且深入，要求考生不仅要掌握基础概念和计算方法，还要能够灵活运用这些知识解决实际问题。
因此，考生在复习过程中需要注重理解、练习和总结，以提高解题能力和应试技巧。
希望以上的归纳能够帮助考生更好地准备考研数学一的考试。
考研高数知识点总结
考研高数知识点总结高等数学是考研数学的一个重要组成部分，考研高数考察的内容涉及广泛，难度较大。
要想在考研高数中取得好成绩，必须深入了解各种知识点，并且掌握适当的解题方法。
下面就对考研高数的知识点进行总结，以供考生参考。
一、函数与极限1.1 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，即每个自变量对应且只对应一个因变量。
1.2 极限的概念极限是函数在自变量趋于某个值时，相应因变量的趋势。
1.3 极限的性质极限具有唯一性、局部有界性等性质。
1.4 极限的计算利用夹逼定理、洛必达法则等方法来计算极限。
二、导数与微分2.1 导数的概念导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
2.2 导数的计算利用极限定义、导数的四则运算等方法来计算导数。
2.3 导数的应用利用导数求函数的单调性、凹凸性、极值等。
2.4 微分的概念微分是导数的几何意义。
三、积分与定积分3.1 不定积分不定积分是积分的基本形式，可以求出函数的原函数。
3.2 定积分定积分可以表示函数在某一区间上的总变化量。
3.3 定积分的计算利用牛顿—莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等方法来计算定积分。
四、级数4.1 级数的概念级数是无穷项数列部分和的极限。
4.2 级数收敛与发散讨论级数的收敛性是比较重要的知识点。
4.3 常见级数如调和级数、等比级数、幂级数等。
五、常微分方程5.1 常微分方程的基本概念包括常微分方程的解、初值问题等内容。
5.2 一阶常微分方程一阶微分方程的解法包括可分离变量法、齐次方程、一阶线性微分方程等。
5.3 高阶常微分方程高阶微分方程的解法包括常系数线性齐次微分方程、常系数线性非齐次微分方程等。
总结：考研高数是数学中一个重要的分支，需要考生深入理解各种知识点，并且熟练掌握解题方法。
希望以上内容能够帮助考生更好地备考考研高数。
考研高数知识点总结
考研高数知识点总结高等数学是研究数与其变化规律的一门基础课程，是理工科学生学习的重要课程之一。
在考研数学中，高等数学是必考科目之一，占有较大比重。
下面就考研高等数学知识点进行总结，希望对考生们有所帮助。
一、函数与极限1. 基本概念：函数、反函数、复合函数、有界函数、周期函数等。
2. 极限的定义：数列极限的定义、函数极限的定义等。
3. 极限的性质：极限的唯一性、有界性、局部有界原理等。
4. 极限运算法则：加减乘除、复合函数的极限等相关运算法则。
5. 无穷大与无穷小：无穷大和无穷小的概念、性质及相关推论。
二、导数与微分1. 导数的定义：函数在某一点的导数、导数的几何意义、物理意义等。
2. 基本导数公式：多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等基本函数的导数。
3. 高阶导数：二阶导数、高阶导数及其相关概念。
4. 微分中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
5. 隐函数与参数方程的导数：隐函数的导数、参数方程的导数等相关内容。
三、微分中的应用1. 函数的极值与最值：函数的极值点的判定、极值、最值等相关概念。
2. 函数的单调性与凹凸性：函数的单调区间、凹凸区间等相关概念。
3. 泰勒公式与泰勒展开：泰勒公式的表达形式、泰勒展开的求解方法及应用。
4. 微分的应用：函数的近似计算、误差估计、最优化问题等。
四、不定积分1. 不定积分的概念：定义、性质及运算法则。
2. 基本不定积分公式：多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等基本函数的不定积分公式。
3. 换元积分法：第一类换元法、第二类换元法及其应用。
4. 分部积分法：分部积分法的原理、应用条件及相关例题。
5. 有理函数积分法：有理函数积分的基本思路及方法。
五、定积分及其应用1. 定积分的定义：定积分的严格定义及其几何意义。
2. 定积分的性质：定积分的线性性、定积分的区间可加性等性质。
3. 定积分的基本定理：牛顿-莱布尼茨公式及其几何意义。
4. 定积分的应用：面积、定积分表示的物理量、定积分的几何应用等。
考研高数知识点总结
考研高数知识点总结高等数学是考研数学中的重要一部分，对于考研学生来说，掌握高等数学的知识点是非常重要的。
下面是对高等数学知识点的总结，希望对考研学生有所帮助。
一、函数与极限1. 函数的概念：函数的定义域、值域和图像2. 函数的性质：奇偶性、周期性等3. 极限的概念：数列极限和函数极限4. 极限的性质：极限的四则运算、夹逼定理等5. 单调性与有界性：单调递增、单调递减、有界二、导数与微分1. 导数的概念：导数的定义、几何意义、物理意义2. 导数的运算法则：加法减法法则、乘法法则、复合函数法则等3. 高阶导数与隐函数求导4. 微分与微分近似三、高阶导数与泰勒公式1. 高阶导数的定义与运算法则2. 泰勒展开式与泰勒公式四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与运算法则2. 反常积分：可积性、柯西准则、比较判别法等3. 定积分的概念与性质：函数积分的线性性、可加性、区间可加性等4. 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的应用五、多元函数与偏导数1. 多元函数的定义与性质：定义域、值域、图像等2. 偏导数的概念：一阶偏导数、高阶偏导数3. 隐函数求导与全微分的概念4. 多元函数的极值与条件极值六、重积分与曲线曲面积分1. 二重积分的概念与计算方法：极坐标法、换元法、直角坐标系下的积分法2. 三重积分的概念与计算方法：柱面坐标法、球面坐标法、直角坐标系下的积分法3. 曲线积分与曲面积分的概念与计算方法七、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：初值问题、解的存在唯一性2. 高阶线性常微分方程与常系数齐次线性方程3. 常微分方程的解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性非齐次方程法等4. 常微分方程的应用：动力学模型、电路网络分析等八、级数1. 级数的概念与基本性质：收敛、发散、极限、级数的四则运算等2. 正项级数与比较判别法、比值判别法、根值判别法等3. 幂级数与泰勒级数展开高等数学知识点总结完毕，以上知识点对考研的高等数学考试来说是基础中的基础。
考研数学一大纲函数与极限
考研数学一大纲函数与极限随着社会的发展和就业竞争的日益激烈，越来越多的人选择考研来提升自己的学历和竞争力。
而在考研数学中，函数与极限是一个非常重要的知识点。
本文将重点介绍考研数学一大纲中函数与极限相关的内容。
一、函数的概念与性质函数作为数学中的一个基本概念，在考研数学中占据了重要地位。
简单来说，一个函数就是两个集合之间的对应关系。
在函数的研究中，我们要了解函数的定义域、值域、增减性、奇偶性等性质。
同时，对于特殊的函数形式，如指数函数、对数函数、三角函数等，我们也需要熟练掌握其性质和特点。
二、极限的定义与运算极限是研究函数变化趋势的重要工具。
在考研数学中，我们需要了解极限的定义和运算法则。
极限的定义是指当自变量无限接近某个值时，函数的取值也无限接近某个值。
在极限的运算中，我们需要掌握极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等。
三、函数的连续性与可导性函数的连续性和可导性是函数研究中的重要概念。
连续性是指函数在某一点附近没有突变或间断，可导性是指函数在某一点处存在导数。
在考研数学中，我们需要了解函数连续的定义和判定方法，以及导数的定义和计算方法。
同时，对于常见的函数类型，如分段函数、绝对值函数等，我们需要掌握其连续性和可导性的特点。
四、一元函数的高阶导数与泰勒公式在函数的研究中，高阶导数和泰勒公式是非常重要的工具。
高阶导数是指函数的导数再求导的结果，可以了解函数更加详细的变化情况。
而泰勒公式是一种通过已知函数的某些导数值求解函数在其他点的函数值的方法。
在考研数学中，我们需要了解高阶导数的计算方法和应用，以及泰勒公式的推导和使用。
五、一元函数的凸凹性与拐点函数的凸凹性和拐点也是函数研究的重要内容。
凸凹性是指函数图像的弯曲形态，凸函数和凹函数在不同区间上的特点各不相同。
拐点是指函数图像上由凸转凹或由凹转凸的点。
在考研数学中，我们需要了解凸凹性的判定条件和拐点的求解方法。
通过以上内容的学习，我们可以更好地理解和掌握函数与极限的相关知识，为考研数学的学习和应试打下坚实的基础。
考研数学基础经典第一章函数与极限课件
函数与极限2
考研数学基础经典第一章函数与极限
11
•第一个重要极限
•应注意的问题
lim sin x =1 x0 x
在极限 lim
sina(x) a(x)
中
只要a(x)是无穷小
就有
lim
sina(x) a(x)
=1
这是因为 令u=a(x) 则u 0 于是
lim sina(x) =lim sinu =1 a(x) u0 u
x0
x
2 x
2
1
1
limarccotx=0, limarccotx=,limex =,limex =0.
x
x
x0
x0
2 . 极 限 不 存 在 的 例 子
1
limex， limarctanx,limarccotx,limex,limsinx,limcosx,
x x
x
x 0 x
x
1
1
1
limtanx,limcotx,limsin ,limcos ,limarctan .
2
考研数学基础经典第一章函数与极限
5
常用等价无穷小:
当 x0时 ,
sinx~ x, tanx~ x, arcsixn~ x, arctaxn~ x, ln1(x)~ x, ex 1~ x, 1co sx~1x2, ax 1~ xlna,
2
(1x)a 1~ax.
考研数学基础经典第一章函数与极限
6
例1 : 计算下列极限 .
解
原式 =
lim x ( 3
x
1 x3
1a
b x
)=0
lim( 3
x
2023考研数学高数重要定理：函数与极限
2023考研数学高数重要定理：函数与极限2023考研数学高数重要定理：函数与极限函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f〔x〕-geK1那么函数f 〔x〕在定义域上有下界，K1为下界假如有f〔x〕-leK2，那么有上界，K2称为上界。
函数f〔x〕在定义域内有界的充分要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理〔极限的性〕数列xn不能同时收敛于两个不同的极限。
定理〔收敛数列的有界性〕假如数列xn收敛，那么数列xn一定有界。
假如数列xn无界，那么数列xn一定发散但假如数列xn 有界，却不能断定数列xn一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，〔-1〕n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的要条件而不是充分条件。
定理〔收敛数列与其子数列的关系〕假如数列xn收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.假如数列xn有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列xn是发散的，如数列1，-1，1，-1，〔-1〕n+1…中子数列x2k-1收敛于1，xnk收敛于-1，xn却是发散的同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中定理〔极限的部分保号性〕假如lim〔x-rarrx0〕时f 〔x〕=A，而且A》0〔或A0〔或f〔x〕》0〕，反之也成立。
函数f〔x〕当x-rarrx0时极限存在的充分要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f〔x0-0〕=f〔x0+0〕，假设不相等那么limf〔x〕不存在。
一般的说，假如lim〔x-rarr-infin〕f〔x〕=c，那么直线y=c是函数y=f〔x〕的图形程度渐近线。
假如lim〔x-rarrx0〕f〔x〕=-infin，那么直线x=x0是函数y=f〔x〕图形的铅直渐近线。
4、极限运算法那么定理：有限个无穷小之和也是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小定理假如F1〔x〕-geF2〔x〕，而limF1〔x〕=a，limF2〔x〕=b，那么a-geb.5、极限存在准那么：两个重要极限lim〔x-rarr0〕〔sinx/x〕=1lim〔x-rarr-infin〕〔1+1/x〕x=1.夹逼准那么假如数列xn、yn、zn满足以下条件：yn-lexn-lezn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准那么也成立。
2023考研数学高数必背定理：函数与极限
2023考研数学高数必背定理：函数与极限1500字函数与极限是数学高等教育中的重点内容，也是考研数学高数部分经常出现的题型。
为了帮助考生巩固相关知识，我将为大家介绍一些必背的函数与极限定理，希望对大家的备考有所帮助。
1. 函数的极限定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ时，有|f(x) - A| < ε，那么称函数f(x)在点x0处的极限为A，记作lim(x→x0)f(x) = A。
这个定义表达了函数在某点的极限值是指函数逼近某个常数。
2. 函数极限的性质：a. 唯一性：如果函数在某点的极限存在，那么它一定唯一；b. 保号性：若lim(x→x0)f(x) = A > 0，则存在x0的一个去心邻域，使得当x在该去心邻域内时，f(x) > 0。
3. 无穷大与无穷小：a. 无穷小定义：如果函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义，并且lim(x→x0)f(x) = 0，那么称f(x)是当x趋于x0时的无穷小。
b. 无穷大定义：如果函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义，并且lim(x→x0)|f(x)| = ∞，那么称f(x)是当x趋于x0时的无穷大。
4. 函数连续性定理：a. 第一类函数连续性：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间上的每一个点x0处都满足lim(x→x0)f(x) = f(x0)，那么称函数在区间[a, b]上连续；b. 第二类函数连续性：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且函数在x0的某一去心邻域内有定义，那么函数在点x0处连续的充分必要条件是函数在点x0的左右极限lim(x→x0-)f(x)和lim(x→x0+)f(x)存在且相等。
5. 闭区间上连续函数的性质：a. 有界性：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则函数在[a, b]上有界，即存在正数M，使得|f(x)| ≤ M对于所有的x∈[a, b]成立；b. 最值性：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则函数在[a, b]上必定存在最大值和最小值。
高等数学考研知识点总结
第一讲函数、极限与连续一、考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。
2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5．理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
6．掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。
7．掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极限求极限的方法。
8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
11.掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。
二、内容提要 1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系.（2）复合函数: y=f(u), u=ϕϕ()[()]x y f x ⇒=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域.（3）分段函数: 注意，)}(),(min{)},(),(max{,)(x g x f x g x f x f 为分段函数. （4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。
（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性 *注：1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。
特别：若)(x f 为偶函数且)0(f '存在，则0)0(='f 2、若)(x f 为偶函数，则⎰xdt t f 0)(为奇函数；若)(x f 为奇函数，则⎰xadt t f )(为偶函数；3、可导周期函数的导函数为周期函数。
特别：设)(x f 以T 为周期且)(0x f '存在，则)()(00x f T x f '=+'。
(完整版)高等数学基本知识点大全大一复习,考研必备
大一期末复习和考研复习必备高等数学基本知识点一、函数与极限1、集合的概念⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
2、函数⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。
变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。
通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。
注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。
这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。
如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。
这里我们只讨论单值函数。
⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。
由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。
⑶、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。
例：笛卡尔直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。
例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。
考研数学-函数与极限
题型1 函数的性质一、基础知识例1.判别函数ln(y x =的奇偶性. 【答案】 ()()0f x f x +-=,奇函数.例2.在(,)-∞+∞内函数22(1)()1x f x x+=+为 【D 】 (A)奇函数. (B)偶函数. (C)无界函数. (D)有界函数. 例3.(04－34)函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界 【A 】(A)(1,0)-. (B)(0,1). (C)(1,2). (D)(2,3). 练习1.设sin ()tan xf x x xe=，则()f x 是 【C 】(A) 偶函数. (B)周期函数. (C)无界函数. (D)单调函数.题型2 数列的极限二、例题 (1) 考查定义例1.下列命题中正确的是 【D 】(A)当n 越大时,n u A -越小,则{}n u 必以A 为极限 (B) 当n 越大时,n u A -越接近于零,则{}n u 必以A 为极限(C)0,0,N ε∀>∃>当n N >时,有无穷项满足n u A ε-<,则{}n u 必以A 为极限 (D) 0,0,N ε∀>∃>当n N >时,仅有有限多项不满足n u A ε-<,则{}n u 必以A 为极限 (2)利用“单调有界准则”证明极限存在,求递归数列的极限例2.(022)设103x <<,1n x +=(1,2,)n =,证明数列{}n x 的极限存在,并求此极限.【答案】32例3 (06-12-12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. (Ⅰ)证明lim n x x →∞存在,并求该极限 .(Ⅱ)计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【答案】0,16e - 练习1.设1211112,2,,2,n nx x x x x +==-=-证明数列{}n x 的极限存在,并求此极限. 【答案】 12.的极限存在,并求此极限.【答案】23.(96-1)设110,x=1nx+=(1,2,)n =,试证数列{}n x的极限存在,并求此极限.【答案】3（3）利用“夹逼准则”与“定积分的定义”求n项和的极限例4.(04-2)lim ln(1)n n→∞+【B】（A）221ln xdx⎰. （B）212ln xdx⎰. （C）212ln(1)x dx+⎰. （D）221ln(1)x dx+⎰.例5. （98-1）求2sin sin sin lim()1112nn nn n nnπππ→∞++++++. 【答案】2π.练习1.(02-2)1lim 1cosn n→∞+=π.2.(99-4)设函数()(0,1),xf x a a a=>≠则21lim ln[(1)(2)()]nf f f nn→∞=1ln2a.题型3 函数的极限(**)ln ,x a ,x x n．起到简化运算的作用(一) 考查定义、性质、定理例1.设0lim ()lim ()x x x x f x g x →→与都不存在,则 【D 】(A)0lim[()()]x x f x g x →+一定不存在.(B) 0lim[()()]x x f x g x →－一定不存在.(C)当0lim[()()]x x f x g x →+与0lim[()()]x x f x g x →－有一个存在，则另一个一定存在.(D)0lim[()()]x x f x g x →+与0lim[()()]x x f x g x →－都有可能存在.例2．设0x x →时，()f x 不是无穷大，则下述结论正确的是 【D 】 (A)若()g x 是无穷小，则()()f x g x 必是无穷小. (B) 若()g x 不是无穷小，则()()f x g x 必不是无穷小. (C)若在0x x =的邻域内()g x 无界，则()()f x g x 必是无穷大. (D) 若在0x x =的邻域内()g x 有界，则()()f x g x 必不是无穷大. （二）0,00∞∞-∞⋅∞∞，，型未定式极限例3.(07-2) 30arctan sin limx x x x →-=16-. 例4.(07-34)3231lim(sin cos )2x x x x x x x →+∞++++=0. 例5.(06-2) 0ln(1)lim1cos x x x x→+-=2.例6.(06-34-7分)设1sin(,),0,01arctan xy yyf x y x y xyxπ-=->>+求（1）()lim (,)y g x f x y →+∞=;（2）0lim ()x g x +→. 【答案】(1) 11()arctan xg x x x π-=-; (2)π. 例7.(05-34) 12sin lim 2+∞→x xx x = 2.例8.011lim()1x x x e x →++-= 12-. 练习1.0lim ln (0)nx x x n +→>=0.2.(99-2)0x →= 12-. 3.(92-1)x x →4.(93-2) lim )x x x →-∞=－50.5.(99-1) 211lim()tan x x x x →-=13. 6.(91-2)1101lim x x xex e+→-+ 1-.（三）幂指函数求极限（001,0,∞∞）例9.（06-34）()11lim nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭1.例10.（04-2-10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【答案】16-例11. (90-1)设a 是非零常数,则lim()xx x a x a→∞+-2a e . 练习1.(03-1) 21ln(1)lim cos x x x+→=12e -.2.tan 0lim(arcsin )xx x +→=1.3.1ln 0lim(cot )xx x +→= 1e -.(四)无穷小阶的比较例12.(07-1234)当0x +→等价的无穷小量是【B 】(A)1-(B) ln(1.(C) 1. (D) 1-例13.(04-12)把0x +→时的无穷小2cos xt dt α=⎰,2x β=⎰,30t dt γ=排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 【B 】(A),,αβγ. (B),,αγβ. (C),,βαγ. (D),,βγα.练习1.(97-3)设561cos 2()sin ,()56xx x f x t dt g x -==+⎰,则当0x →时,()()f x g x 是的 【C 】(A)同阶非等价. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)低阶无穷小.2.(97-4) 设(),()f x x ϕ在点0x =的某邻域内连续,且当0x →时,()()f x x ϕ是的高阶无穷小,则当0x →时,()sin xf t tdt ⎰是0()xt t dt ϕ⎰的 【C 】(A)同阶非等价. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)低阶无穷小. （五）由无穷小量阶的比较确定未知量的值例14.（05-2）已知当0x →时,2()x kx α=与()x β=是等价无穷小,则常数k =34． 例15. (02-1)设函数()f x 在0x =的某邻域内具有一阶连续函数,且(0)0f ≠,'(0)0f ≠,若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小,试确定,a b 的值.【答案】2,1a b ==- 方法一:导数定义 方法二:连续函数在一点的极限可直接代值 方法三:泰勒定理例16. (06-24)试确定常数,,A B C 的值，使得23(1)1()xe Bx Cx Ax O x ++=++，其中3()O x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.【答案】121,,336A B C ==-= 练习1. (91-1)已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =32-．。
大一高数考研知识点汇总
大一高数考研知识点汇总一、函数与极限1. 函数的概念函数是一个集合关系，表示自变量与因变量之间的对应关系。
可以通过图像、表格或方程式来表示。
2. 极限的概念极限是函数在某一点附近的变化趋势。
可以通过趋近法、代数运算法等方法求得。
3. 极限的性质（1）唯一性：函数在一点的极限唯一存在。
（2）有界性：如果函数在某一点的极限存在，则函数在该点附近有界。
（3）局部性：函数的极限存在与否只与函数在该点附近的情况有关，与其它点无关。
（4）保号性：在函数极限存在的情况下，如果极限大于0，则函数在该点附近恒大于0；如果极限小于0，则函数在该点附近恒小于0。
4. 极限的计算极限的计算方法有：代数运算法、夹逼法、无穷小量法、洛必达法则等。
二、导数与微分1. 导数的概念导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率。
可以用极限来定义导数。
2. 导数的计算（1）基本导数：常数函数的导数为0，幂函数的导数为幂次减1，指数函数的导数为自身乘以常数因子，对数函数的导数为自变量的导数的倒数。
（2）四则运算法则：两个函数的和（差）的导数等于它们各自的导数之和（差），函数的常数倍的导数等于函数的导数乘以该常数。
（3）复合函数的导数：复合函数的导数等于外函数的导数乘以内函数的导数。
3. 微分的概念微分是函数在某一点的局部线性近似，表示函数值的变化量与自变量的变化量的比值。
4. 微分的计算微分可以通过导数来计算，微分等于导数乘以自变量的微小增量。
三、微积分基本定理1. 第一类导数第一类导数是函数的反函数的导数，表示函数曲线与x轴之间的面积。
2. 第二类导数第二类导数是函数的导函数，表示函数曲线的斜率。
3. 基本定理（1）定积分：定积分是求曲线下面积的方法，可以通过定积分求函数在一定区间内的值。
（2）不定积分：不定积分是求函数的原函数，即导函数的逆运算。
（3）牛顿-莱布尼茨公式：定积分与不定积分之间的关系由牛顿-莱布尼茨公式给出。
考研数学复习中应该注意哪些高频考点
考研数学复习中应该注意哪些高频考点考研数学一直以来都是众多考研学子的重点和难点科目。
在复习过程中，准确把握高频考点是提高复习效率和成绩的关键。
下面就来详细说一说考研数学复习中应该注意的那些高频考点。
一、函数与极限函数与极限是考研数学的基础，也是每年必考的内容。
在这部分，极限的计算方法是重点，包括利用等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式等。
同时，函数的连续性、间断点的类型以及闭区间上连续函数的性质也需要重点掌握。
对于等价无穷小替换，要熟练记住常见的等价无穷小，如当x→0 时，sin x~x，tan x~x，1 cos x~（1/2)x²等。
在使用等价无穷小替换时，要注意替换的条件，一般是在乘除运算中可以直接替换，在加减运算中要谨慎使用。
洛必达法则是求未定式极限的有力工具，但在使用时要注意法则的条件，即分子分母同时趋于 0 或者无穷大，并且在求导后极限存在或者为无穷大。
泰勒公式则是处理一些复杂极限的有效方法，要记住常见函数的泰勒展开式，如 e^x，sin x，cos x 等。
二、一元函数微分学导数的定义、几何意义和物理意义是这部分的基础。
要理解导数的定义式，掌握利用定义求导数的方法。
导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义则在运动学、电学等领域有广泛应用。
函数的单调性、极值和最值是重要考点。
通过求导判断函数的单调性，进而求出极值和最值。
需要注意的是，要准确求出导数为 0 的点和导数不存在的点，然后根据这些点将定义域分成若干区间，判断导数在每个区间的正负，从而确定函数的单调性和极值。
此外，中值定理也是高频考点，尤其是罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
要掌握这些定理的条件和结论，并能够熟练运用它们证明相关的等式和不等式。
三、一元函数积分学不定积分和定积分的计算是这部分的重点。
不定积分的计算方法包括换元法、分部积分法等，要熟练掌握这些方法，并能够灵活运用。
定积分的计算除了掌握基本的计算方法外，还要注意定积分的性质，如区间可加性、奇偶性等。
考研数学高等数学复习要点
考研数学高等数学复习要点对于众多考研学子来说，高等数学是考研数学中的重点和难点。
想要在考研数学中取得理想的成绩，扎实掌握高等数学的知识并进行有效的复习至关重要。
以下是一些关键的复习要点，希望能对大家有所帮助。
一、函数、极限与连续函数是高等数学的基础，要熟练掌握函数的性质，如奇偶性、单调性、周期性等。
对于极限的计算，需要掌握常见的极限求解方法，如四则运算法则、等价无穷小替换、洛必达法则等。
连续的概念也是重点，要理解函数在某点连续的定义以及间断点的类型。
在复习函数部分时，要多做一些练习题，通过实际操作加深对函数性质的理解。
对于极限的计算，要注意各种方法的适用条件，避免盲目使用导致错误。
二、一元函数微分学导数的定义和几何意义是必须要清楚的知识点。
常见函数的求导公式要牢记于心，如幂函数、指数函数、对数函数等。
掌握复合函数、隐函数以及参数方程所确定函数的求导方法。
微分中值定理是这部分的重点和难点，尤其是罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，要理解其定理内容并能熟练运用。
在学习一元函数微分学时，要注重理解导数的概念和其实际意义。
对于中值定理的证明题，要多做一些典型例题，总结解题思路和方法。
三、一元函数积分学不定积分和定积分的计算是重点。
熟练掌握基本积分公式，换元积分法和分部积分法。
理解定积分的定义和性质，掌握定积分的计算方法，如牛顿莱布尼茨公式。
掌握反常积分的概念和计算方法。
在积分学的复习中，要多做练习题，提高计算的准确性和速度。
同时，要注意积分的应用，如求平面图形的面积、旋转体的体积等。
四、向量代数和空间解析几何了解向量的概念和运算，掌握空间直线和平面的方程。
理解曲面方程的概念，掌握常见曲面如球面、柱面、旋转曲面的方程。
这部分内容相对较少，但也不能忽视。
要通过做一些相关的练习题，掌握空间图形的方程表示和相关计算。
五、多元函数微分学多元函数的偏导数和全微分的概念及计算方法是重点。
掌握复合函数和隐函数的求导法则，理解多元函数极值和条件极值的概念及求法。
备考考研高数复习指导与基本公式：函数与极限
备考考研高数复习指导与基本公式：函数与极限第一节：函数函数属于初等数学的预备知识，在高数的学习中起到铺垫作用，直接考察的内容比较少，但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。
基础阶段：1.理解函数的概念，能在实际问题的背景下建立函数关系;2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式;3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质;4.理解复合函数和反函数的概念，并会应用它们解决相关的问题;强化阶段：1.了解函数的不同表现形式：显式表示，隐式表示，参数式，分段表示;2.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
冲刺阶段：1.综合应用函数解决相关的问题;2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数，导函数，变上限积分)，并会讨论它们的相关性质。
第二节：极限极限可以说是高等数学的基础，极限的计算也是高等数学中最基本的运算。
在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。
虽在考试中站的分值不大。
但是在其他的试题中得到广泛应用。
因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果基础阶段1.了解极限的概念及其主要的性质。
2.会计算一些简单的极限。
3.了解无穷大量与无穷小量的关系，了解无穷小量的比较方法，记住常见的等价无穷小量。
强化阶段：1.理解极限的概念，理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二)/了解数列极限和函数极限的概念(数三);▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质，极限的四则运算法则，极限存在的两个准则，两个重要极限，等价无穷小替换，洛必达法则，泰勒公式);3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数);4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系，会进行无穷小量的比较，记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二)/理解无穷小量的概念，会进行无穷小量的比较，记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用，了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三)。
冲刺阶段：深入理解极限理论在微积分中的中心地位，理解高等数学中其它运算(求导，求积分)与极限之间的关系，建立完整的理论体系。
函数与极限知识总结
函数与极限知识总结一、函数函数是用一个或多个变量来表示两个数集之间的映射关系的规则。
常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
1.函数的定义域与值域：函数的定义域是指函数的自变量可以取的值的范围。
函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
2.函数的性质：函数可以有奇偶性、单调性等性质。
奇函数满足关系f(-x)=-f(x)，偶函数满足关系f(-x)=f(x)。
单调性指函数在定义域内是否递增或递减。
3.函数的图像：函数的图像是函数在坐标系中的表示，可以通过绘制函数的关键点和描绘函数的变化趋势得到。
二、极限极限是函数在其中一点附近的值的趋势。
极限可以分为左极限和右极限，分别表示自变量在该点从左边和右边逼近时函数的值。
常见的极限类型有无穷极限、常数极限、无界函数的极限等。
1.极限的定义：设函数f(x)在点x=a的邻域内有定义，如果对于任何给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0＜，x-a，＜δ时，有，f(x)-b，＜ε成立，那么就说实数b是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim┬(x→a)f(x)=b。
2.极限的性质：极限的运算可以使用四则运算法则，即两个函数极限之和等于两个函数极限的和，乘积等于极限的乘积。
此外，极限还具有保号性、夹逼定理等重要性质。
3.极限的计算方法：通过函数的性质、极限的定义、夹逼定理等方法可以进行极限的计算。
常见的极限计算方法包括直接代入法、拉比特法则、洛必达法则等。
三、重要的函数与极限1.常函数：常函数的函数值在定义域内始终保持不变，可以表示为f(x)=c，其中c为常数。
常函数的性质：定义域为全体实数，值域为{c}。
2.反函数：对于函数f(x)，如果存在函数g(x)使得f(g(x))=x，称函数g(x)为函数f(x)的反函数。
反函数的性质：反函数与原函数的图像关于y=x对称。
3.指数函数：指数函数的形式为f(x)=a^x，其中a为底数，a>0且a≠1指数函数的性质：指数函数的值域为正实数，函数图像具有递增或递减的特点。
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考研数学初期复习：函数与极限
一：函数
函数属于初等数学的预备知识，在高数的学习中起到铺垫作用，直接考察的内容比较少，但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。
基础阶段：
1.理解函数的概念，能在实际问题的背景下建立函数关系;
2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式;
3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质;
4.理解复合函数和反函数的概念，并会应用它们解决相关的问题;
强化阶段：
1.了解函数的不同表现形式：显式表示，隐式表示，参数式，分段表示;
2.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
冲刺阶段：
1.综合应用函数解决相关的问题;
2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数，导函数，变上限积分)，并会讨论它们的相关性质。
二：极限
极限可以说是高等数学的基础，极限的计算也是高等数学中最基本的运算。
在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。
虽在考试中站的分值不大。
但是在其他的试题中得到广泛应用。
因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果
基础阶段
1.了解极限的概念及其主要的性质。
2.会计算一些简单的极限。
3.了解无穷大量与无穷小量的关系，了解无穷小量的比较方法，记住常见的等价无穷小量。
强化阶段：
1.理解极限的概念，理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二)/了解数列
极限和函数极限的概念(数三);
▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质，极限的四则运算法则，极限存在的两个准则，两个重要极限，等价无穷小替换，洛必达法则，泰勒公式);
3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数);
4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系，会进行无穷小量的比较，记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二)/理解无穷小量的概念，会进行无穷小量的比较，记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用，了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三)。
冲刺阶段：
深入理解极限理论在微积分中的中心地位，理解高等数学中其它运算(求导，求积分)与极限之间的关系，建立完整的理论体系。
函数与极限的基本公式与定理
1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。
定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.
5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。
单调有界数列必有极限。
6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。
不连续情形：1、在点x=x0没有定义;2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在;3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。
如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。
非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。
定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。
定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。
反三角函数在他们的定义域内都是连续的。
定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。
如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。
定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)<0)，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。
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