中考数学(苏科版全国通用)九级复习课件：第22课时相似三角形及其应用(共28张PPT)精品
相似三角形完整版PPT课件
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相似三角形的判定
两角分别相等的两个三角 形相似；两边成比例且夹 角相等的两个三角形相似； 三边成比例的两个三角形
相似。
易错点提示与纠正
忽视相似三角形的定义中对应角 相等和对应边成比例两个条件， 只满足其中一个条件不能判定两
个三角形相似。
在应用相似三角形的性质时，要 注意找准对应边和对应角，避免
出现错误。
利用相似三角形研究电磁学问题
在电磁学中，利用相似三角形原理研究电场、磁场和电磁波的传播规律，如电磁感应、电磁 波辐射等。
06
总结回顾与拓展延伸
知识点总结回顾
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比 例的两个三角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例，面积比等
于相似比的平方。
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
利用比例中项的性质， 可以简化等比数列的 求和过程，提高计算 效率。
通过相似三角形的比 例中项，可以推导出 等比数列的求和公式。
黄金分割点及其性质应用
黄金分割点是指将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分之比等于整条 线段与较长部分之比，其比值为黄金比。
沪科版九年级上册数学教学课件 第22章 相似形 相似三角形的判定 第1课时相似三角形
D'
E'
B
C
△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立.
课程讲授
2 利用平行判定三角形相似
问题3：试着运DE与△ABC中，∠A=∠A.
A
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
D
E
再证明两个三角形的边成比例，
过点D作DF∥AC，交BC于点F.
AD AB
=
DE BC
=
EA CA
D
E
B
C
课程讲授
2 利用平行判定三角形相似
问题3：如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点
D作BC的平行线DE，交AC于点E.△ADE与△ABC之间
有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
△ADE∽△ABC
A
平行移动DE的位置，结论还成立
D
E
△AD'E'∽△ABC 我们发现:
课程讲授
2 利用平行判定三角形相似
练一练：如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC
上，DE∥BC,若BD=2AD，则下列结论正确的是（B ）
A.
AD 1 AB 2
B. AE 1
EC 2
C. AD 1
EC 2
D. DE 1
BC 2
课程讲授
1 相似三角形的有关概念
练一练：如图，△ABC∽△AED,∠AED=∠B,那么下
∵ DE∥BC，DF∥AC，
∴
AD AB
=
AE AC
BF = AE BC AC
∵ 四边形DFCE为平行四边形，
∴ DE=FC，
B
AD ∴ AB
九年级数学下册272《相似三角形》PPT课件
3. 解等式求出三角形的面积。
注意事项：在解题过程中，要确保已知的三边长度是准 确的，避免因为数据不准确而导致错误。同时，要注意 选择合适的公式或方法进行计算。
典型例题四：综合应用举例
• 解题思路：综合运用相似三角形的性质和判定方法，解决 复杂的实际问题。
典型例题四：综合应用举例
解题步骤 1. 分析问题，确定需要使用的相似三角形的性质和判定方法；
利用相似三角形的面积比等于相似比的平 方性质，求解面积问题 通过已知三角形的面积和相似比，计算另 一个三角形的面积 结合图形变换和面积公式，利用相似三角 形解决复杂面积问题
利用相似三角形解决综合问题
综合运用相似三角形 的性质，解决涉及线 段、角度和面积的复 杂问题
结合多种数学方法， 如代数运算、方程求 解等，提高解决问题 的效率
通过分析问题的条件 ，选择合适的相似三 角形性质和定理进行 求解
04
典型例题分析与解题思路展示
典型例题一：已知两边求第三边长度
解题思路：利用相似三角形的性质， 即对应边成比例，可以通过已知的两
边长度求出第三边的长度。
解题步骤
2. 利用相似三角形的性质列出比例式 ；
3. 解比例式求出第三边的长度。
1. 确定已知的两边和夹角；
注意事项：在解题过程中，要确保已 知的两边和夹角是对应的，避免因为 数据不对应而导致错误。
典型例题二：已知两角求第三角大小
01
解题思路：根据三角形内角和为180°的性质，可以通过 已知的两角求出第三角的大小。
04
2. 利用三角形内角和为180°的性质列出等式；
02
解题步骤
对应角相等，对应边成比例的两 个三角形叫做相似三角形。
中考数学一轮复习课件第22讲相似三角形
如图,位似中心是
,
位似比是
.
自学检测2:(3+3分钟)
1.已知线段AB的长度为2,C是线段AB的黄金分
割点,则AC=
或
.
2.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交
于点P,点P是BD的黄金分割点(BP＞PD),
已知AD=1,则BC的长为
.
3.已知,△ABC在坐标平面内,三个顶点的坐标分别 为A(0,3),B(3,4),C(2,2). (1)以点B为位似中心,在网格中画出△A2BC2,使 △A2BC2与△ABC位似,且位似比为2:1,并直接写出 △A2BC2的面积.
e f
… m （k b+d+f…+n≠0）
n
则
K
自学检测1:(7分钟)
1.已知3x=4y(x≠0),则下列式子成立的是( )
A. x y 34
B. x y 43
C. x 3 y4
D. x 4 3y
2.已知线段AB=15 mm,CD=3 cm,则线段AB
与CD的比为
；
3.已知a,b,c,d是成比例线段,其中 a=4cm,b=2cm,c=8cm,则线段d的长为 .
边上的中线之比是
,周长之比是
.
2.有一个三角形的边长为3，4，5,另一个和它
类似的三角形的最小边长为7,则另一个三角形的
周长为
.
3.如图,在▱ABCD中,E为CD上一点,连接AE、
BD,且AE、BD交于点F,S△DEF:S△ABF=4:25,
则DE:EC=
.
44..如如图图,,△△AABBCC被中线,D段F∥DEG、∥FBGC分且成A面D积=D相E等=B的E, 三则则 为部D△E分A:FB,即GC:S.被B1C=分S=成2=的S三3,且部.D分E的∥面FG积∥比BSC1,:S2:S3
苏科版九年级下册相似三角形的性质课件
要说明△ACD∽△ABC相似,
已经具备了条件 ,
还需添加的条件是
，
或
或
.
A
D C
B
探索新知 还有没有其他办法判断两个三角形相似?
三组对应
A
边的比相等
A'
B
C B'
C'
AB BC AC
＝ ＝
A'B' B'C' A'C'
是否有△ABC ∽△ A'B'C'?
探索：
已知△ABC（1）作△A′B′C′，使得
中一个三角形框架的三边长分别为4，6，
8．另一个三角形框架的一边长为2，它的另
外两条边长应当是多少？你有几种答案？
提示：三种选法，分别使另一个三角形的
长为2的边与长为4，6，8的边对应．
2:4＝x:6＝y:8 4
x:4＝2:6＝y:8
8 2
x:4＝y:6＝2:8
6
小结 通过这节课的学习，你学习到什么新知识？ 获得了什么经验？还有什么疑问？
3 6
1 2
,
BC B'C'
5 10
1, 2
AC 6 1 ． A'C' 12 2
AB
∴
BC
AC ．
A'B' B'C' A'C'
∴ ABC ∽ A'B'C'．
尝试
△ABC和△DEF的顶点都在边长为1
的小正方形的顶点上．△ABC与△ DEF
相似吗？为什么？
A
B
还有其他方法吗？
F
苏科版中考复习课件(第22课时相似三角形及其应用)
∴AACE＝23.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第22课时┃ 相似三角形及其应用
探究三 三角形相似的判定方法及其应用
命题角度： 1．利用两个角判定三角形相似； 2．利用两边及夹角判定三角形相似； 3．利用三边判定三角形相似.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第22课时┃ 相似三角形及其应用
回归教材
“直角三角形斜边上的高”的模型作用 教材母题 [苏科版九下P56例3] 如图22－6所示，在Rt△ABC
中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，△ACD与△CBD 相似吗？为什么？
图22－6
考点聚焦
归类探究
回归教材
第22课时┃ 相似三角形及其应用
考点聚焦
归类探究
回归教材
第22课时┃ 相似三角形及其应用
探究四 位似 命题角度： 1．位似图形及位似中心的定义； 2．位似图形的性质应用； 3．利用位似变换在网格纸里作图．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第22课时┃ 相似三角形及其应用
例 4 [2014·郴州] 在 13×13 的网格中，已知△ABC 和点 M(1，2)．
求证：AAEB＝ 52－1.(这个比值 52－1叫做 AE 与 AB 的黄金比)
图 22－1 (2)如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个 等腰三角形就叫做黄金三角形．请以图 22－2 中的线段 AB 为腰， 用直尺和圆规，作一个黄金三角形 ABC.(注：直尺没有刻度，作 图不要求写作法，但要保留作图痕迹，并对作图中涉及的点用字
回归教材
第22课时┃ 相似三角形及其应用
用相似三角形解决问题(课件)
Ｂ
Ａ′
Ｂ′
02
知识精讲
建模：
如图，人的身高为O’B’=n，影长为A’B’=n，旗杆的影长为AB=m，求旗
杆OB的高度
物高 ：参照物高 = 物影 ：参照物影
【分析】
物高：物影=参照物高：参照物影
∵平行光，∴∠A=∠A’
Ｏ
∵∠B=∠E=90°，∴△AOB∽△A’O’B’
’’
∴ = ，∴ =
∴AC=32m+115m=147m
02
知识精讲
求不能直接测量的物体的高度，通常用“在平行光的照射下，
在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例”的原理解决
结论公式：
物高 ：参照物高 = 物影 ：参照物影
或物高：物影=参照物高：参照物影
【平行投影——测高度】
知识精讲
例1、已知一直立的电线杆在地面上的影长为20m，同时，高为1.4m的测’’ ’’ ’ Nhomakorabea’
∴
= ，即OB=
Ｏ′
a
Ａ
m
Ｂ Ａ′ n Ｂ′
02
知识精讲
Q6：古埃及国王曾请一位学者测量金字塔的高度．当这位学者确认在阳光
下他的影长等于他的身高时（如图），要求他的助手同时测出金字塔的影
长 DB 以及金字塔底部正方形的边长，这样他就知道了金字塔的高度.他是
苏科版九年级下册第6章图形的相似
用相似三角形解决问题
Solve problems with similar triangles
教学目标
01
了解平行投影与中心投影的意义，会利用平行投影与中心
投影画图
02
理解在平行光与点光源的照射下，物体的物高与影长的关
江苏省中考数学第一部分考点研究复习第四章三角形第22课时相似三角形课件
第22课时 相似三角形
考点精讲
相似三角形
比例线段及其性质 相似三角形的性质与判定
比例线 段及其 性质
性质1：a c ad bc(abcd 0)
bd
性质2：如果 a c ,那么a b
cd =①＿＿d ＿＿
bd
b
性质3：若 a c m (b d n 0),
bd
na
n a c m =②＿＿b ＿＿
bd n
பைடு நூலகம்
黄金分割
平行线分线段成比例
黄金分割：一般地，点B把线段AC分成两部分，如果 BC AB ,
AB AC
那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割 点，AB与AC（或BC与AB）的比称为黄金比，它们的比值 为 1，5计算时通常取它的近似值0.618
DB EC AB AC
等
如图5 ，当DE∥BC时，有
AB AC BC AE AD ED
相似三角形的性质
相似三角形的 性质与判定
相似三角形的判定 相似三角形的基本类型
相似多边形
相似三 角形的 性质
相似三角形对应角③ 相等 ， 对应边成比例
相似三角形的对应线段（边、高、④ 中线 、角平 分线）成比例
有平行截线—用平行线的性质，找等角 有一对等角，找另一对等角或该角的两边对应 成比例
有两边对应成比例，找夹角相等或第三边也⑦ 判定思路 ＿对＿应＿＿成＿比例 ＿ 或有一对直角
直角三角形，找一对锐角相等或两条边对应成比例 等腰三角形，找顶角相等或一对⑧ 底角 相等或 底和腰对应成比例
相似三角 形的基本 类型
2
平行线 分线段 成比例
相似三角形的应用ppt课件
3
定义及判定方法
01
02
03
04
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似
。
AAA相似
如果两个三角形的三组对应角 分别相等，则这两个三角形相
似。
SAS相似
如果两个三角形有两组对应边 成比例且夹角相等，则这两个
三角形相似。
SSS相似
如果两个三角形的三组对应边 都成比例，则这两个三角形相
相似三角形的应用ppt课件
2024/1/27
1
contents
目录
2024/1/27
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何问题中应用 • 相似三角形在三角函数中应用 • 相似三角形在物理问题中应用 • 相似三角形在建筑设计中应用 • 总结与展望
2
01
相似三角形基本概念与性 质
2024/1/27
匀变速直线运动
通过相似三角形描述匀变速直线 运动中速度、时间和位移之间的
关系，推导运动学公式。
抛体运动
运用相似三角形分析抛体运动的轨 迹，求解抛体的初速度、角度和射 程等参数。
圆周运动
利用相似三角形研究圆周运动的线 速度、角速度和半径之间的关系， 探讨向心加速度的表达式。
2024/1/27
18
05
似。
2024/1/27
4
相似比与对应边长成比例关系
相似比
两个相似三角形的对应边之间的比值 称为相似比。
对应边长成比例关系
在相似三角形中，任意两边之间的比 值等于其他两边之间的比值，即 a/a'=b/b'=c/c'，其中a、b、c和a'、 b'、c'分别是两个相似三角形的对应边 长。
相似三角形的应用课件初中数学PPT课件
相似三角形在现实生活中的应用
相似三角形在现实生活中有着广泛的应用，如建筑设计、地理测量、物理实验等。通过了解 这些应用，可以更好地理解相似三角形的重要性和实用性。
THANKS
感谢观看
构造相似三角形，通 过已知条件求解未知 边长。
利用相似三角形证明角相等
通过证明两个三角形相似，进 而证明对应角相等。
利用相似三角形的性质，通过 已知角求解未知角。
构造相似三角形，通过证明对 应角相等来证明两角相等。
利用相似三角形解决面积问题
通过已知相似三角形的边长比例， 利用面积公式求解未知面积。
构造相似三角形，通过已知条件 求解未知面积。
利用相似三角形的性质，通过已 知面积求解未知面积。
03 相似三角形在代 数问题中应用
利用相似三角形建立方程
通过相似三角形的性质，建立比例关 系，从而构建方程。
结合图形与代数方法，将几何问题转 化为代数问题。
利用已知边长和角度，通过相似三角 形对应边成比例的性质，列出方程。
通过比较两个三角形的对应角或对应边来判断它们是否相似。
相似三角形的应用
利用相似三角形可以解决一些实际问题，如测量高度、计算距离等。
易错难点剖析及注意事项提醒
易错点
在判断两个三角形是否相似时， 需要注意对应角和对应边的关系，
避免出现错误。
难点
在实际问题中，如何准确地找到相 似三角形并应用其性质进行求解是 一个难点。
结合相似三角形的性质， 解决一些综合性的问题。
04 相似三角形在三 角函数问题中应 用
利用相似三角形推导三角函数公式
通过相似三角形的性质，推导正弦、余弦、正切等基本三角函数公式。 引导学生理解三角函数公式与相似三角形之间的联系，加深对公式的理解和记忆。
《相似三角形》完整版教学课件
易错点及注意事项
易错点
在判定两个三角形是否相似时，容易 忽略对应角和对应边的关系，导致判 断错误。
注意事项
在解答相似三角形问题时，要注意单 位统一和比例关系的正确应用，避免 计算错误。
拓展知识点介绍
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项。
、建筑物等的高度。
又如，利用相似三角形的性质， 可以测量河流的宽度或海峡的宽
度等。
求解比例尺问题
比例尺是一种表示实际距离与地图上 距离之间比例关系的工具。
例如，已知比例尺和地图上的距离， 可以计算出实际的距离；反之，已知 实际距离和比例尺，也可以计算出地 图上的距离。
利用相似三角形的性质，可以通过比 例尺求解实际距离或地图上距离。
相似比概念
相似比
相似三角形对应边的比值叫做相似比 。
性质
相似三角形的周长之比等于相似比， 面积之比等于相似比的平方。
应用举例
利用相似三角形测量高度
01
通过构造相似三角形，可以测量出建筑物、山峰等高大物体的
高度。
利用相似三角形证明几何题
02
在几何证明题中，经常需要利用相似三角形的性质来证明线段
或角的相等或比例关系。
对应边与相似比关系
在相似三角形中，对应边的长度之比等于相似比。通过已知 的两边长度，可以计算出相似比，进而求出第三边的长度。
面积比与相似比关系
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方。这是因为在相似三角形中，面积与对应边长度的平方成正 比。
利用面积过开方运算求出它们的相似比。
性质应用举例
苏科版九年级下册数学相似三角形的复习 课件共14张
相似三角形
当∠BCF＝∠A 时， ⊿BCF∽⊿BAC.
A AE
F F
.O
B
C
BC是圆O的切线，切点为 C.
(1) ⊿BCF与⊿ BAC 相似吗?
⊿BCF∽ ⊿BAC
BC ? BF BA BC
6 ? BF BF ? 5 6
BF 2 ? 5BF ? 36 ? 0
相似三角形的复习
一、复习：
1、相似三角形的定义是什么？ 答：对应角相等，对应边 成比例
的两个三角形叫做相似三角形. 2、判
B、用判定定理1、2、3、4.
3、相似三角形有哪些性质 对应角相等，对应边成比例
一、简单应用:
1.(1) △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠AED= AD DE
△CAD∽ △ CAB △ CAD∽ △ CBA
小结：相似三角形中的基本图形
A
A
A
D
E
D
E
D
B
CB
CB
C
A
C
A
O
C
O
D
BD
BB
A DC
例2．如图，在正方形ABCD中， 点M、N分别在AB 、BC上， AB=4，AM=1，BN= 3 ．
4
（1）△ADM与△BMN相似 吗？为什么？
（2）连接DN，判断△DMN的形状，图中有 与它相似的三角形吗？为什么？
∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，从而 (AC) =BC
2.如图，DE∥BC, AD:DB=2:3,
则△ ADE ∽ △ ABC
B
的相似比为＿2＿:5＿.
A
D
苏教版九年级数学下册《相似三角形》教学课件
如图：四边形ABCD中∠A=∠BCD=90°，过C作对角线BD的垂线交BD、 AD于点 E、F，
求证：
；
变式：如图：若过BD上任一点E作BD的垂线交 AD、CD于F、G，又有什么结论呢？你 会证明吗 ?
如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD, AB⊥BC,对角线 AC⊥BD,垂足为E,AD=BD,过点E作EF∥AB交AD于F, 试说明 (1)AF=BE （2） AF2=AE·EC
时，填空 AD·AB = AC2
请证明你的结论
变题1，若△ABC中，AC2=AD·AB，你能说明 ∠1与∠B相等吗？
解：∠1= ∠B 因为AC2=AD·AB
又因为∠A= ∠A 所以△ABC ∽ △CBD 所以∠1= ∠B
变题2，将8题中∠ACB变化为90°，CD⊥AB， 你 能得出AC2=AD·AB吗？你还能得出类似的结论吗？
理由：相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比 等于相似比。
5. 如图，△ABC ∽ △DEF，且BC：EF=1：2， △ABC
的周长为6cm，则△DEF的周长为_1_2___cm。若 △DEF面积为12cm2，则△ABC的面积为__3____cm2.
4题图
理由：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的 平方。
理由：两边成比例，且夹角相等的
两个三角形相似。
（2） 若∠B=50°，则∠1=_____5_0_°_时，△ABC
理由：两角分别相等的两个三角形相似。
（3）若△ABC ∽ △AED，可得
AB AE
AC
AD
，
则AD·AB=__A_E_·_A_C___
理由：三角形相似的对应边成比例。
6题图
∽△AED
2021年江苏中考数学(苏科版)一轮复习课时训练(22) 相似三角形的应用
课时(二十二)相似三角形的应用夯实基础1.[2019·连云港] 在如图K22-1所示的部分象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似()图K22-1A.①处B.②处C.③处D.④处2.如图K22-2,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为()图K22-2A.4B.4√2C.6D.4√33.墙壁D处有一盏灯,小明站在A处测得他的影长与身高相等,都为1.6 m,小明向墙壁走0.6 m到B处发现影子刚好落在A点,则灯泡与地面的距离CD是()图K22-3A .2 mB .2.6 mC .2.56 mD .2.8 m4.[2019·绍兴] 如图K22-4①,长、宽均为3,高为8的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为6,绕底面一条棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图②是此时的示意图,则图②中水面高度为 ( )图K22-4A .245 B .325C .12√3417D .20√34175.[2020·河南]如图K22-5,在△ABC 中,∠ACB=90°,边BC 在x 轴上,顶点A ,B 的坐标分别为(-2,6)和(7,0).将正方形OCDE 沿x 轴向右平移,当点E 落在AB 边上时,点D 的坐标为( )图K22-5A .32,2 B .(2,2) C .114,2D .(4,2)6.[2019·广元] 如图K22-6,过点A 0(0,1)作y 轴的垂线交直线l :y=√33x 于点A 1,过点A 1作直线l 的垂线,交y 轴于点A 2,过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点A 3,…,这样依次下去,得到△A 0A 1A 2,△A 2A 3A 4,△A 4A 5A 6,…,其面积分别记为S 1,S 2,S 3,…,则S 100为( )图K22-6A .(3√32)100B .(3√3)100C .3√3×4199D .3√3×23957.[2019·凉山州] 在▱ABCD 中,E 是AD 上一点,且点E 将AD 分为2∶3的两部分,连接BE ,AC 相交于F ,则S △AEF ∶S △CBF = .8.如图K22-7,放映幻灯片时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上.若光源到幻灯片的距离为20 cm,光源到屏幕的距离为60 cm,且幻灯片中图形的高度为6 cm,则屏幕上图形的高度为 cm .图K22-79.[2019·永州] 如图K22-8,已知点F 是△ABC 的重心,连接BF 并延长,交AC 于点E ,连接CF 并延长,交AB 于点D ,过点F 作FG ∥BC ,交AC 于点G.设三角形EFG ,四边形FBCG 的面积分别为S 1,S 2,则S 1∶S 2= .图K22-810.[2020·凉山州]如图K22-9,一块材料的形状是锐角三角形ABC ,边BC=120 mm,高AD=80 mm,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC 上,其余两个顶点分别在AB ,AC 上,这个正方形零件的边长是多少?图K22-9拓展提升11.[2019·绵阳] 如图K22-10,在四边形ABCD中,AB∥DC,∠ADC=90°,AB=5,CD=AD=3,点E是线段CD的三等分点,且靠近点C,∠FEG的两边与线段AB分别交于点F,G,连接AC分别交EF,EG于点H,K.若BG=32,∠FEG=45°,则HK=()图K22-10A.2√23B.5√26C.3√22D.13√2612.[2019·衢州] 如图K22-11①,由两个长为2,宽为1的长方形组成“7”字图形.图K22-11(1)将一个“7”字图形按如图②摆放在平面直角坐标系中,记为“7”字图形ABCDEF,其中顶点A位于x轴上,顶点B,D位于y轴上,O为坐标原点,则OBOA的值为.(2)在(1)的基础上,继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1,摆放第三个“7”字图形得顶点F2.依此类推,…,摆放第n个“7”字图形得顶点F n-1,…,则顶点F2019的坐标为.13.[2020·徐州]我们知道:如图K22-12①,点B把线段AC分成两部分,如果BCAB =ABAC,那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为√5-12.图K22-12(1)在图①中,若AC=20 cm,则AB的长为cm;(2)如图②,用边长为20 cm的正方形纸片进行如下操作:对折正方形ABCD得折痕EF,连接CE,将CB折叠到CE 上,点B对应点H,得折痕CG.试说明:G是AB的黄金分割点;(3)如图③,小明进一步探究:在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E(AE>DE),连接BE,作CF⊥BE,交AB 于点F,延长EF,CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时,E,F恰好分别是AD,AB的黄金分割点.请猜想小明的发现,并说明理由.【参考答案】1.B2.B3.C[解析]利用相似三角形的相似比,列出方程,通过解方程求出灯泡与地面的距离即可.根据题意得:BG=AF=AE=1.6 m,AB=0.6 m, ∵BG ∥AF ∥CD ,∴△EAF ∽△ECD ,△ABG ∽△ACD , ∴AE ∶EC=AF ∶CD ,AB ∶AC=BG ∶CD , ∴CE=CD.设AC=x m,则CD=CE=(1.6+x )m,∴1.6x+1.6=0.6x,解得:x=0.96,∴CD=1.6+0.96=2.56(m), 故选C .4.A [解析]如图所示.设DM=x ,则CM=8-x , 根据题意得:12(8-x+8)×3×3=3×3×6,解得:x=4,∴DM=4,已知∠D=90°,由勾股定理得:BM=√BD 2+DM 2=√32+42=5,过点B 作BH ⊥AH 于H ,∵∠HBA+∠ABM=∠ABM+∠DBM=90°,∴∠HBA=∠DBM ,∴Rt△ABH∽Rt△MBD,∴BHAB =BDBM,即BH8=35,解得BH=245,即水面高度为245.故选A.5.B[解析]∵点A,B的坐标分别为(-2,6)和(7,0),∴OC=2,AC=6,OB=7,∴BC=9,正方形OCDE的边长为2.将正方形OCDE沿x轴向右平移,当点E落在AB边上时,如图,设正方形与x轴的两个交点分别为G,F.∵EF⊥x轴,EF=GF=DG=2,∴EF∥AC,D,E两点的纵坐标均为2,∴EFAC =BFBC,即26=BF9,解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2,∴D点的横坐标为2,∴点D的坐标为(2,2).6.D[解析]由一次函数解析式可得∠A1OA0=60°,A0O=1,A0A1=√3,A0A2=3,∴S1=3√32,A2A3=4√3,A2A4=12,∴S2=24√3,S n=24S n-1,∴S n=S1·24(n-1),∴S100=3√32×2396=3√3×2395.故选D.7.4∶25或9∶25[解析]在▱ABCD中,∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF.如图①,当AE∶DE=2∶3时,AE∶AD=2∶5,∵AD=BC,∴AE∶BC=2∶5,∴S△AEF∶S△CBF=4∶25;如图②,当AE∶DE=3∶2时,AE∶AD=3∶5,∵AD=BC,∴AE∶BC=3∶5,∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.故答案为4∶25或9∶25.8.189.1∶8 [解析]∵F 是△ABC 的重心,∴EF ∶BF=1∶2,∴EF ∶BE=1∶3,∵FG ∥BC ,∴△EFG ∽△EBC ,∴S △EFG S △EBC=EF BE2=19,∴S1∶S 2=1∶8.10.解:设正方形零件的边长为x mm,则KD=EF=x ,AK=80-x , ∵EF ∥BC ,∴△AEF ∽△ABC , ∵AD ⊥BC ,∴EF BC =AKAD , ∴x120=80-x 80,解得:x=48.答:正方形零件的边长为48 mm . 11.B [解析]∵∠ADC=90°,CD=AD=3, ∴AC=3√2,∵AB=5,BG=32,∴AG=72, ∵AB ∥DC , ∴△CEK ∽△AGK , ∴CEAG =CKAK =EKKG,∴172=CK AK =EKKG,∴CKAK =EK KG =27,∵CK+AK=3√2,∴CK=2√23, 过E 作EM ⊥AB 于M ,则四边形ADEM 是矩形,∴EM=AD=3,AM=DE=2, ∴MG=32,∴EG=√EM 2+MG 2=3√52, ∵EK KG =27,∴EK=√53,∵∠HEK=∠KCE=45°,∠EHK=∠CHE , ∴△HEK ∽△HCE , ∴HEHK =EC EK=√53=√5,∴设HE=3x ,HK=√5x , ∵△HEK ∽△HCE ,∴EH HC=HK EH,∴√5x+2√23=√5x3x , 解得:x=√106,∴HK=5√26, 故选B .12.(1)12 (2)6062√55,405√5 [解析](1)因为∠DBC+∠BDC=90°,∠DBC+∠OBA=90°,所以∠BDC=∠OBA ,又∠DCB=∠BOA=90°,所以△CDB ∽△OBA ,所以OB ∶OA=CD ∶CB=12.(2)过点C 作CH ⊥y 轴于H 点,过点F 作FM ⊥x 轴于M 点,连接AC ,延长HC 交FM 于N 点,因为OB ∶OA=1∶2,AB=1,所以由勾股定理得OB=√55,OA=2√55.因为∠CDH=∠ABO ,∠DHC=∠BOA=90°,CD=AB ,所以△DHC ≌ △BOA ,所以四边形OACH 为矩形,DH=√55,HC=2√55,易证△MAF ∽△OBA ,由AF=3得,AM=3√55,FM=6√55,易求 ∠FNC=90°,在直角三角形NCF 中,CN=AM=3√55,CF=√2,NF=√CF 22=√55,在直角三角形ABC 中,AC=√5,F 点的坐标为2√55+3√55,√5+√55;根据规律,F 1比F 的横坐标增加3√55个单位,纵坐标增加√55个单位,点F 1的坐标为2√55+3√55×2,√5+√55×2;F 2比F 1的横坐标增加3√55个单位,纵坐标增加√55个单位,点F 2的坐标为2√55+3√55×3,√5+√55×3;…,所以F 2019的坐标为2√55+3√55×2020,√5+√55×2020,即6062√55,405√5.13.解:(1)(10√5-10)(2)如图,延长CG 交DA 的延长线于点J ,由折叠可知:∠BCG=∠ECG , ∵AD ∥BC ,∴∠J=∠BCG=∠ECG , ∴JE=CE.由折叠可知:E ,F 分别为AD ,BC 的中点, ∴DE=AE=10,在Rt △CDE 中,由勾股定理可得:CE=2+CD 2=√102+202=10√5, ∴EJ=10√5,∴AJ=JE -AE=10√5-10, ∵AJ ∥BC ,∴△AGJ ∽△BGC ,∴AGBG =AJBC=10√5-1020=√5-12,∴BGAB =√5-12,∴G是AB的黄金分割点.(3)PB=BC.理由如下:∵E为AD的黄金分割点,且AE>DE,∴AE=√5-12a.∵CF⊥BE,∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90°,∴∠ABE=∠FCB,在△BEA和△CFB中,{∠ABE=∠BCF, AB=BC,∠A=∠FBC=90°,∴△BEA≌△CFB,∴BF=AE=√5-12a,∴AFBF =BFAB=√5-12,即F是AB的黄金分割点,∵AE∥BP,∴△AEF∽△BPF,∴AEPB =AFBF=BFAB,∵AE=BF,∴PB=AB,∴PB=BC.。
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第22课时┃ 相似三角形及其应用
考点3 相似三角形的判定
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成 的三角形与原三角形__________ 相似 比 如果两个三角形的三组对应边的________ 相等，那 么这两个三角形相似 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应 的________ 夹角 相等，那么这两个三角形相似 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 ________________，那么这两个三角形相似 两个角对应相等 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与 原直角三角形相似
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第22课时┃ 相似三角形及其应用
考点5 位似
两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交 位似图形 于一点，对应边互相平行(或在一条直线上)，像 定义 这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心 位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不 位似与相 仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互 似的关系 相平行(或在一条直线上) (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心 的距离的比等于____________ ；(2)位似图形对 相似比 位似图形 应点的连线或延长线相交于一点； 的性质 平行 或在一条直线上)； (3)位似图形对应边________( (4)位似图形对应角相等
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第22课时┃ 相似三角形及其应用
以坐标原 点为中心 的位似变 换 位似 作图
在面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似 中心， 相似比为 k， 那么位似图形对应点的坐标的比等于 ________ k 或－k (1)确定位似中心 O； (2)连接图形各顶点与位似中心 O 的线段(或延长 线)； (3)按照相似比取点； (4)顺次连接各点，所得图形就是所求作的图形
第22课时
相似三角形及其应用
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第22课时┃ 相似三角形及其应用
考 点 聚 焦
考点1 相似图形的有关概念
形状相同的图形称为相似图形 如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比 相等，那么这两个多边形相似 相似多边形对应边的比称为相似比k 如果两个三角形的对应角相等，对应边成比 例，则这两个三角形相似．当相似比k＝1时， 两个三角形全等
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相似图形 相似 多边 形 定义 相似 比
相似三 角形
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第22课时┃ 相似三角形及其应用 考点2 比例线段
比例 线段
黄金 分割
定义 防错提醒 对于四条线段a，b，c，d，如果其 中两条线段的长度的比与另两条线 求两条线段的比时， 段的长度的比相等，即a∶b＝ 对这两条线段要用同 c∶d，那么，这四条线段叫做成比 一长度单位 例线段，简称比例线段 在线段AB上，点C把线段AB分成 两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果 AC BC __________ 一条线段的黄金 AB＝AC ，那么称线段AB被点C 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金 分割点有______ 两 个 分割点，AC与AB的比叫做黄金 0.618 比，黄金比约为________
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第22课时┃ 相似三角形及其应用
考点6 相似三角形的应用
几何图形 常见 证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的 的证明与 问题 面积大小等 计算 建模 建立相似三角形模型 思想 相似三角 (1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形 形在实际 常见 求解； 生活中的 题目 (2)测量底部可以到达的物体的高度； 应用 类型 (3)测量底部不可以到达的物体的高度； (4)测量不可以到达的河的宽度
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图 22－2
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第22课时┃ 相似三角形及其应用
(1)从“AB＝2BC”入手，设 BC＝a，根据题意，用 含 a 的代数式表示 AB，BC 的值，进一步可证得结论；(2)作线段 AB 的垂直平分线，得 AB 的中点 D，过点 B 作直线 AB 的垂线， 然后在上述垂线上作线段 BE＝BD，接着类比(1)的做法作出黄金 三角形 ABC 的底边长 AF，最后利用图中的 AB，AF 的长作为腰 长、底边长作出黄金三角形 ABC. 解：(1)设 BC＝a(a>0)，则 AB＝2a，CD＝a. 在 Rt△ABC 中，AC＝ AB2＋BC2＝ 5a. ∴AE＝AD＝AC－CD＝( 5－1)a， 5－ 1 AE （ 5－1）a ∴AB＝ ＝ . 2a 2 (2)如图所示：
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判定定理1 判定定理2 判定定理3 判定定理4 拓展
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第22课时┃ 相似三角形及其应用
考点4 相似三角形及相似多边形的性质
三 角 形 相 似 多 边 形
(1)相似三角形周长的比等于相似比 (2)相似三角形面积的比等于相似比的平方 (3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于 相似比 (1)相似多边形周长的比等于相似比 (2)相似多边形面积的比等于相似比的平方
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第22课时┃ 相似三角形及其应用
归 类 探 究
探究一 比例线段
命题角度： 1．比例线段； 2．黄金分割在实际生活中的应用．
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第22课时┃ 相似三角形及其应用
例 1 [2014· 无锡] (1)如图 22－1，Rt△ABC 中，∠B＝90°， AB＝2BC.现以 C 为圆心、CB 长为半径画弧交边 AC 于点 D，再 以 A 为圆心，AD 长为半径画弧交边 AB 于点 E. 5－1 5－ 1 AE 求证： AB＝ 2 .(这个比值 2 叫做 AE 与 AB 的黄金比) 图 22－1 (2)如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比， 那么这个 等腰三角形就叫做黄金三角形． 请以图 22－2 中的线段 AB 为腰， 用直尺和圆规，作一个黄金三角形 ABC.(注：直尺没有刻度，作 图不要求写作法，但要保留作图痕迹，并对作图中涉及的点用字 母进行标注)