高中数学《2.2.6 函数模型及其应用(2)》学案 苏教版必修1
函数模型及其应用(2)教案苏教版必修1【DOC范文整理】
函数模型及其应用（2）教案苏教版必修14.2 函数模型及其应用教学目标：能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，并求解；进一步了解函数模型在解决简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.教学重点：在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中，读懂图表并求解.教学难点：对图、表的理解.教学方法：讲授法，尝试法.教学过程：一、情境创设已知矩形的长为4，宽为3，如果长增加x，宽减少0.5x，所得新矩形的面积为S．将S表示成x的函数；求面积S的最大值，并求此时x的值．二、学生活动思考并完成上述问题．三、例题解析例1 有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABcD的形状，它的下底AB是⊙o的直径，上底cD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数关系式，并求出它的定义域．例2 一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率有如下关系：每间客房定价XX1614住房率65%75%85%95%要使每天收入最高，每间客房定价为多少元？例3 今年5月，荔枝上市．由历年的市场行情得知，从5月10日起的60天内，荔枝的市场售价与上市时间的关系大致可用如图所示的折线ABcD表示．请写出市场售价S与上市时间t的函数关系式，并求出6月20日当天的荔枝市场售价．练习：1．直角梯形oABc中，AB∥oc，AB＝1，oc＝Bc ＝2，直线l：x＝t截此梯形所得位于l左方图形的面积为S，则函数S＝f的大致图象为．一个圆柱形容器的底部直径是dc，高是hc，现在以vc3/s的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x与注入溶液的时间t之间的函数关系式，并写出函数的定义域．．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可能是．某公司将进货单价为10元一个的商品按13元一个销售，每天可卖200个．若这种商品每涨价1元，销售量则减少26个．售价为15元时，销售利润为多少？若销售价必须为整数，要使利润最大，应如何定价？．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格f与时间t满足：f＝，销售量g与时间t满足：g＝求这种商品日销售金额的最大值．四、小结利用图、表建模；分段建模．五、作业课本P110－10．。
高中数学 2.6函数模型及其应用教案四 苏教版必修1
函数模型及其应用教学目标：使学生从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径——构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题．逐步把数学知识用到生产、生活的实际中，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．教学重点：一是实际问题数学化，二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解.教学难点：实际问题数学化.教学过程：［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：设每天从报社买进x份（250≤x≤400）．则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）．y在x ［250，400］上是一次函数．∴x＝400元时，y取得最大值870元．答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元．点评：自变量x的取值范围［250，400］是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘．［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．答案：当A、B距离在起步价以内时，选择第二种方案；当A 、B 距离在（a ，a ＋10）时，选择第二种方案； 当A 、B 距离恰好为a ＋10时，选择两种方案均可以； 当A 、B 距离大于a ＋10时，选择第一种方案．（其中a 为起步价内汽车行驶的里程）点评：信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等． ［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故取出2（1＋8％）3（1＋2％）6万元．［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（ ）解析：由于d 0表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A 、C 选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B ，故只能选择D ．［例5］容器中有浓度为m ％的溶液a 升，现从中倒出b 升后用水加满，再倒出b 升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度 （1－b a）10·m ％ 总结解应用题的策略：一般思路可表示如下：因此，解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t 元时，则每年销售量将减少 85 t 万件．（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？解析：（1）设每年销售是x 万件，则每年销售收入为250x 万元，征收附加税金为y ＝250x ·t ％．依题意，x ＝40－85t ．所求的函数关系式为y ＝250（40－85t ）t ％．（2）依题意，250（40－85 t ）·t ％≥600，即t 2－25t ＋150≤0，∴10≤t ≤15．即税率应控制在10％～15％之间为宜． 注意点：1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本． 本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？解析：设每个涨价x 元，则实际销售价为（10＋x ）元，销售的个数为（100－10x ），则利润为y ＝（10＋x ）（100－10x ）－8（100－10x ）＝－10（x －4）2＋360（0≤x ≤10）． 因此x ＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD （如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR （公园的两边分别落在BC 和CD 上），但不能超过文物保护三角形AEF 的红线EF ．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB ＝CD ＝200m ，BC ＝AD ＝160m ，AE ＝60m ，AF ＝40m ．解析：设PO ＝x ，则S ＝－23 （x －190）2＋23 ×1902，0＜x ＜200，即x ＝190时，最大面积为24067m 2． 总结：解决函数应用题的流程图是：解决函数应用题的基本步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成实际问题，即实际问题数学化．第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解． 第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答． 课后练习1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km 者均按此价收费，行程超过2km ，按1.8元/km 收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km 计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（ ）A ．5～7kmB ．9～11kmC ．7～9kmD ．3～5km 答案：A2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据l g 2＝0.3010，l g 3＝0.4771）A ．5B ．10C ．14D ．15答案：C3．有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m 2（围墙厚度不计）．解析：设矩形宽为x m ，则矩形长为（200－4x ）m ，则矩形面积为S ＝x （200－4x ）＝－4（x －25）2＋2500（0＜x ＜50），∴x ＝25时，S 有最大值2500m 2．4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的23 计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？解答：设两家旅行社的原价为a （a ＞0），家庭孩子个数为x （x ∈N*），甲、乙两家旅行收费分别为f （x ）和g （x ），则f （x ）＝a ＋（x ＋1）·a 2 ＝a 2 x ＋32a （x ∈N*），g （x ）＝（x ＋2）·2a 3 ＝2a 3 x ＋4a3（x ∈N*），g （x ）≥f （x ），得 a 2 x ＋3a 2 ≤2a 3 x ＋4a3，∴x ≥1．因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社． 5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝购买商品获得的优惠商品的标价．试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于13的优惠率？ 答案：（1）优惠率为33％；（2）标价在［625，750］内的商品，购买时可获得不小于13的优惠率．6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t ）＝－13 t ＋1093 ，（t ∈N ，0＜t ≤100），在前40天里价格为f （t ）＝14 t ＋22（t ∈N ，0＜t ≤40），在后60天里价格为f （t ）＝－12 t ＋52（t ∈N ，40＜t ≤100），求这种商品的日销售额的最大值．解析：由题意知，当0＜t ≤40，h （t ）＝－112 （t －10.5）2＋3880948；当40＜t ≤100，h （t ）＝16 （t －106.5）2－2524 ；∴t ＝10或11时，这种商品的日销售额的最大值为808.5．第30、31课时函数模型及其应用［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（）［例5］容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少85t万件．（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AE＝60m，AF＝40m．课后练习1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km 计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（ ）A ．5～7kmB ．9～11kmC ．7～9kmD ．3～5km2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据l g 2＝0.3010，l g 3＝0.4771）A ．5B ．10C ．14D ．153．有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m 2（围墙厚度不计）．4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的23 计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝购买商品获得的优惠商品的标价． 试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于13的优惠率？6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t ）＝－13 t ＋1093，（t ∈N ，0＜t ≤100），在前40天里价格为f （t ）＝14 t ＋22（t ∈N ，0＜t ≤40），在后60天里价格为f （t ）＝－12t ＋52（t ∈N ，40＜t ≤100），求这种商品的日销售额的最大值．。
高中数学《函数的模型及应用》学案苏教版必修
山东省高密市第二中学高中数学《2.2.6 函数的模型及应用（1）》学案 苏教版必修1【自学目标】1． 能根据实际问题的情景建立函数模型，结合对函数性质的研究给出问题的解答；2． 能利用所学的数学知识分析、研究身边的问题，启发引导学生数学地观察世界、感受世界；3． 培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力.【知识要点】 解函数应用题常用函数与方程思想、转化与化归等思想方法，建立恰当的数学模型；能力方面要求注意中逻辑推理嫩里、计算能力、阅读理解能力，在具体的解题过程中主要抓住以下步骤：第一步：阅读理解、认真审题；第二步：引进数学符号，建立数学模型； 第三步：利用数学方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果； 第四步：再转化成具体问题作出规范解答.【预习自测】例1.某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元。
分别写出总成本C （万元）、单位成本P （万元）、销售收入R （万元）、以及利润L （万元）关于总产量x （台）的函数关系式.例2.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ，经过一 定时间t 后的 温度是T ，则()ht a a T T T T ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-210，其中a T 表示环境温度，h 称为半衰期.现在一杯用88C 0热水冲的速溶咖啡，放在24C 0的房间里，如果咖啡降温到C 040需要min 20，那么降温到C 035时，需要多长时间？例3.在经济学中，函数()x f 的边际函数()x Mf 定义为()()()x f x f x Mf -+=1。
某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台()*N x ∈的收入函数为()2203000x x x R -=（单位：元），其成本函数()4000500+=x x C （单位：元），利润是收入与成本之差.（1） 求利润函数()x P 及边际利润函数()x MP ；（2） 利润函数()x P 与边际利润函数()x MP 是否具有相同的最大值？例4．如图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙o 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形的周长y 与腰长x 之间的函数式，并写出它的定义域.CD B A【课内练习】1.某物体一天中的温度T 是时间t 的函数T(t)=t 3-3t+60，时间单位是小时，温度单位是0C ，当t=0时表示中午12：00，其后t 值去为正，则上午8时的温度是（ ）A.80CB.1120CC.580CD.180C2.某商店卖A 、B 两种不同的价格的商品，由于A 连续两次提价20℅，同时B 连续两次降价20℅，结果都以每件23.04元售出这两种商品各一件，则与价格不提不降的情况相比较，商店盈利的情况是（ ）A.多赚5.92元B.少赚5.92元C. 多赚28.92℅D.盈利相同3.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路，该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差。
年高中数学苏教版必修一2.6《函数模型及其应用》ppt学案课件
学习目标 预习导学 典例精析
(1)若应纳税额为 f(x)，试用分段函数表示 1～3 级纳税额 f(x)
的计算公式；
(2)某人 2011 年 10 月份工资为 8 200 元，试计算这个人 10 月份
应缴纳个人所得税多少元． 解析：(1)1 级：f(x)＝x·3%； 2 级：f(x)＝1 500·3%＋(x－1 500)·10%； 3 级：f(x)＝1 500·3%＋3 000·10%＋(x－4 500)·20%.
学习目标 预习导学 典例精析
月的用水量和水费．
解析：(1)当甲的用水量不超过 4 吨时，即 5x≤4，乙的用水量也
不超过 4 吨时，
y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x；
当甲的用水量超过 4 吨，乙的用水量不超过 4 吨时，即 3x≤4 且
学习目标
5x>4， y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8； 当乙的用水量超过 4 吨时，即 3x>4，y＝24x－9.6.
学习目标 预习பைடு நூலகம்学 典例精析
当 0≤x≤20 时，f(x)为增函数，当 x＝20 时，f(x)取得最大值，最
大值为 60×20＝1 200；
当 20<x≤200 时，f(x)＝13x(200－x)＝－13(x－100)2＋103000，当 x
学习目标
栏
＝100∈(20，200]时，f(x)取得最大值，最大值为10
栏
当 x∈43，＋∞时，
目 链 接
令 24x－9.6＝26.4，解得 x＝1.5.
所以甲户用水量为 5x＝7.5 吨，
付费 S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为 3x＝4.5 吨，
45.苏教版·高中数学必修Ⅰ教案_§2.6函数模型及其应用(2)
§2.6 函数模型及其应用(2)教学目的：熟悉借助“几何图形”和“计算利润”的常用、常见类型以及属于“增长率”、“利息”类型的应用问题，并能掌握其解法．教学过程：一．创设情境通过前一节课的学习，我们已经初步感受到函数模型应用类型问题的形式，以及分析、探索、解决这类问题的基本路数．我们应该是认识到：数学模型来源于实践，是实际问题的抽象和概括，因此首先必须对实际问题要有深刻的理解；其次，应不断培养自己的抽象概括能力和坚实的数学基础；最后，当然需要有较强的运算能力．本节课我们来探究常用、常见的类型的函数模型应用的问题．二．有关“几何图形”类型的应用问题例１（活页65P 第26课时 函数的应用举例(1)例１）如下图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，则盒子的体积V 以x 为自变量的函数表达式为 ；其定义域为 ．解析：2(2),(0,)2a V x a x x =-∈； （需要会计算柱形的体积）新教材 函数\附件\函数模型及其应用(2)课件.gsp例２（活页65P 第26课时 函数的应用举例(1)例２）某房地产公司要在荒地ABCDE(如上图)上划出一块长方形的地面修建一幢公寓楼，已知80EF m =，70BC m =，30BF m =，20AF m =，问：如何设计才能使公寓楼地面面积最大？最大面积是多少？解析：显然，要使面积最大，N 点要在AB 上，设MN x =，GN y =， 则有80702030y x --=，即280(70)3y x =--， 2238033S xy x x ∴==-+2218050(95)33x =-+， 又70,7010060,x x y ≥⎧∴≤≤⎨≥⎩ ， 95x ∴=时，max 180503S =．T例３（活页66P 第26课时 函数的应用举例(1) 课堂练习第３小题）有一批材料可以建成长为200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形（如图），则围成的矩形的最大面积为 2m ．分析：如图，设靠墙的一边长为x ，则外围矩形的另一边长为2004x -，从而这个矩形的面积(2004)S x x =-24200x x =-+24(25)2500x =--+又因为20040x ->，所以050x <<，而25(0,50)∈， 所以25x =时，2max 2500()S m =．点评：此题函数模型是二次函数，常见且简单，因为是填空题，所以有了上述分析过程即可，不需要再组织详细的解答．练习：１．有一块半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．写出这个梯形周长y 与腰长x间的函数式，并写出它的定义域．分析：关键是用半径R与腰长x表示上底．由对称性：CD=AB-2AE 因此只要求出AE即可．解析：设腰长AD=BC=x作DE⊥AB 垂足为E 连结BD，则∠ADB=90︒由此：Rt△ADE∽Rt△ABD，2AD AE AB∴=⋅，即22xAER=，222xCD AB AE RR∴=-=-所以周长222(2)xy R x RR=++-，整理得224xy x RR=-++，因为ABCD 是圆内接梯形，所以0,0,0AD AE CD >>>，即有2200{|0}20x x x x Rx R R⎧⎪>⎪⎪>⇒<<⎨⎪⎪->⎪⎩２．如图，已知⊙O 的半径为R ，由直径AB 的端点B 作圆的切线，从圆周上任一点P 引该切线的垂线，垂足为M ，连AP 设AP=x ，(1)写出AP+2PM 关于x 的函数关系式；(2)求此函数的最值．解析：(1)过P 作PD ⊥AB 于D ，连PB ，设AD=a ，则22x Ra =，即有22x a R=，进一步有222x PM R R=-，所以2()24x f x AP PM x R R=+=-++， 即得 2()4(02)x f x x R x R R=-++≤≤． (2)2117()()24R R f x x R =--+，当2R x =时，max 17()4R f x =； 当2x R =时，min ()2f x R =．点评：涉及“几何图形”类型的问题，对几何知识的应用要求不是太高，但熟练程度要求是较高的，虽然用的是平面几何中的很简单的知识，但是如果想不到，问题就可能被这个小小的“想不到”而卡死．所以，希望同学们适当地把平面几何知识经常回顾回顾，遇到有关问题时要有很强的应用几何知识的意识．三．“计算利润”类型问题例４．某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚得利润最大，并求出最大利润．解：设商品售价定为x 元时，利润为y 元，则(8)[60(10)10]y x x =---210[(12)16]x =---210(12)160x =--+ （10x >），当且仅当12x=时，y 有最大值160，即售价定为12元时,可获得最大利润160元．应用 (课时训练P66练习2)商品降价问题!.四．“增长率”、“利息”类型的问题例５．已知某商品的价格每上涨x %，销售的数量就减少mx %，其中为m 正常数． １．当12m =时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？ ２．如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求m 的取值范围．解析：1．设商品现在定价为a 元，卖出的数量为b 个．由题设：当价格上涨x %时，销售总额为(1%)(1%)y a x b mx =+⋅-即 2[100(1)10000]10000ab y mx m x =-+-+ 取12m =得：2[(50)22500]20000ab y x =--+ 当 50x =时，max 98y ab =， 即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大．2．∵二次函数2[100(1)10000]10000ab y mx m x =-+-+在50(1)(,]m m --∞上递增，在50(1)[,)m m-+∞上递减， ∴欲适当地涨价，即0x >时销售总金额增加，就是需要二次函数 2[100(1)10000]10000ab y mx m x =-+-+在区间50(1)(0,)m m-上递增，所以只需要50(1)0m m->， 就是 0 < m <1 时，适当涨价能使销售总金额增加．点评：本题中的“上涨x %”、“减少mx %”都是属于“增长率”类型的问题．同学们对这类型问题应该并不陌生，初中应该就有类似问题．例６．（教材53P 例５，已经用过的例子）按复利计算一种储蓄的利息：设本金为a 元，每期利率为r ，本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？解析略．点评：这是一个典型的实际应用题的例子，它的函数模型是指数函数，它的类型是“利息”类问题．希望同学们认真温习这个例子的分析、探究和解决过程，真正把这类问题弄透彻．课时训练P67例2.五【课堂小结】本节课探究了 “几何图形”、“计算利润”、“增长率”、“利息”等类型的实际应用问题．六〖课外作业〗活页67P 第27课时 函数的应用举例(2)。
苏教版高中数学必修一函数模型及其应用教案(3)(2)
函数模型及其应用教学三维目标、重点、难点、准备。
1．1教学三维目标（1）知识与技能：使学生学会建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象或对有关发展趋势进行预测。
（2）过程与方法：通过例题与作业中的具体实例，让学生了解函数模型的广泛应用。
（3）情感态度与价值观：利用函数模型解决问题前，进行拟合检验，培养学生的负责态度。
1．2教学重点：由面临的实际问题建立函数模型，检验函数模型，并利用得到的函数模型解决问题。
1．3教学难点：如何根据面临的实际问题建立函数模型。
1．4教学准备：PPT制作与几何画板制作。
1教学过程。
（学生）：（对5种基本初等函数进行回顾）（教师）：（打开PPT）函数建模的基本思想与方法：把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出的关于实际问题的数学描述称为数学建模。
数学建模的形式是多样的。
解应用题的关键是建立数学建模，把实际问题通过分析、联想、抽象转化为数学问题。
函数知识内容丰富、应用广泛，不仅数学问题，而且社会生活、生产和自然科学领域中有许多问题都需要用函数知识来解决，如成本最底、利润最高、用料最省、路程最短等常可归纳为函数的最值问题。
现在同学们来回顾一下以前是如何来解应用题的？它的步骤是怎样的？（打开PPT）运用建模思想解函数应用题的一般步骤是：读(阅读材料，审题，找基本量或关系)；建(提取信息，抽象成数学语言，根据相关定义及数学知识建立模型)；求(根据数学思想和方法，求解函数模型，得出结论)；还(把数学结论还原到实际问题中，通过分析、判断、检验得到实际正确解答，写出答案)。
一.由变量之间的依存关系建立函数关系；（学生）：是不是题目中就已经告诉我们几个量之间的函数关系了？（教师）：是的。
而且我们以前所接触的基本上就是这样的题目。
二.由所掌握的数据资料,即根据确定性,随机性数据建立函数关系,这种往往要画散点图。
（学生）：它是不知道函数关系式的。
苏教版高中数学必修一函数模型及其应用学案(1)(2)
函数模型及其应用【复习目标】1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．【重点难点】将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义．【自主学习】一、课前预习：1.某物体一天中的温度T是时间t的函数: T(t)=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是C ,当t=0表示中午12:00,其后t值取为正,则上午8时的温度是2.某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是3.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x－0.1x2（0<x<240，x∈N），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是4.购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则它购买_________卡才合算【共同探究】例1.某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间（共4次）效果最佳．例2.某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车，已知如果该列火车每次拖4节车厢，能来回16次;如果每次拖7节车厢，则能来回10次.每日来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，问：这列火车每天来回多少次，每次应拖挂多少节车厢才能使营运人数最多?并求出每天最多的营运人数．例3．市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析，发现有如下规律:该商品的价格每上涨 x%(x＞0)，销售数量就减少kx% (其中k为正常数)．目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个．(1)当k=12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大．(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围．【巩固练习】1.一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为40cm和60cm,现要将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积是．2.商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价5元，该店制定了两种优惠办法：（1）买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款；某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只）.则当购买茶杯数时, 按（2）方法更省钱．3.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出100元的广告费,所得的销售额是1000元.问该企业应该投入广告费,才能获得最大的广告效应．答案：1.8 C︒2.多赚28.92元3.150台4.神州行例1. (1)依题得，60122011033t tyt t≤≤=-+<≤⎧⎪⎨⎪⎩(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则441320132=⇒=+-t t ,因而第二次服药应在11:00； 设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有,4)4(320232320232=+--+-t t 解得t 2=9小时，故第三次服药应在16:00；设第四次服药在第一次后t 3小时（t 3>10），则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，,4)9()4(320232320232=+--+--t t 解得t 3=13.5小时，故第四次服药应在20:30．例2. 设每日来回y 次，每次挂x 节车厢，由题意，y=kx+b ，且当x=4时，y=16;当x=7时，y=10.解得：k=－2，b=24，∴y=－2x+24. 由题意，每次挂车厢最多时，营运人数最多，设每日拖挂W 节车厢，则W=2x y=2x （－2x+24）=－4x 2+48x=－4（x －6）2+144， ∴当x=6时，W max =144，此时，y=12，最多营运15840人．例 3. 解:依题意，价格上涨x%后，销售总金额为: y=a(1+x%)· b(1－kx%)=10000ab ［－kx 2+100(1－k)x+10000］. (1)取k=12，y=10000ab ［－12x 2+50x+10000］,∴x = 50， 即商品价格上涨50%时， y 最大为98ab. (2)因为y=10000ab［－kx 2+100(1－k)x+10000］，此二次函数开口向下，对称轴为x=50(1)k k-，在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x|x ＞0}的一个子集中增大时，y 也增大.所以50(1)k k-＞0，解之0＜k ＜1．巩固练习： 1. 6002cm 2. 大于34 3. 2500。
精品2019-2020年最新高中数学苏教版必修一2.6《函数模型及其应用》一等奖教学设计
【学案导学设计】高中数学2.6函数模型及其应用课时作业苏教版必修1课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式.2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题.3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．1．几种常见的函数模型(1)一次函数：y＝kx＋b(k≠0)(2)二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(3)指数函数：y＝a x(a>0且a≠1)(4)对数函数：y＝log a x(a>0且a≠1)(5)幂函数：y＝xα(α∈R)(6)指数型函数：y＝pq x＋r(7)分段函数2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求函数模型；(5)检验；(6)用函数模型解释实际问题．一、填空题1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：．2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是________．4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________．(填序号)5．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________．6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为________．7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则2000年年底它们的数量约为________头．9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．二、解答题10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？11．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位为：元/10kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：(1)种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝alog b t；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．能力提升12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：为依据，用函数y＝ax＋b或y＝a x＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．13．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22，(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．函数拟合与预测的一般步骤：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．§2.6 函数模型及其应用作业设计1．75解析由表中数据观察可得细菌数y与时间x的关系式为y＝300·2x(x∈Z)．当x＝－2时，y＝300×2－2＝3004＝75.2．300解析由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y ＝ax＋b，将(1,800)，(2,1300)代入得a＝500，b＝300. 当销售量为x＝0时，y＝300.3．减少7.84%解析设某商品价格为a，依题意得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.9216a，所以四年后的价格与原来价格比较(0.9216－1)a＝－0.0784a，即减少7.84%. 4．①解析由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不变，可用一次函数刻画．5．23cm2解析设一段长为xcm，则另一段长为(12－x)cm.∴S＝34(x3)2＋34(4－x3)2＝318(x－6)2＋23≥23(当且仅当x＝6时，取“＝”)．6．15,12解析由三角形相似得24－y24－8＝x20，得x＝54(24－y)，∴S＝xy＝－54(y－12)2＋180.∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.7．2250解析设每台彩电的原价为x元，则x(1＋40%)×0.8－x＝270，解得x＝2250(元)．8．400解析由题意，x＝1时y＝100，代入求得a＝100,2000年年底时，x＝15，代入得y＝400.9．2ln2 1024解析当t＝0.5时，y＝2，∴2＝12k e，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2，当t＝5时，∴y＝e10ln2＝210＝1024.10．解设每床每夜租金为10＋2n(n∈N)，则租出的床位为100－10n(n∈N且n<10)租金f(n)＝(10＋2n)(100－10n)＝20[－(n－52)2＋2254]，其中n∈N且n<10.所以，当n＝2或n＝3时，租金最多，若n＝2，则租出床位100－20＝80(张)；若n＝3，则租出床位100－30＝70(张)；综合考虑，n应当取3，即每床每夜租金选择10＋2×3＝16(元)．11．解(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·b t，Q＝alog b t中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q ＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，可得：⎩⎨⎧ 150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c ，解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252. 所以，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)当t ＝－－322×1200＝150(天)时，芦荟种植成本最低为 Q ＝1200×1502－32×150＋4252＝100(元/10kg)． 12．解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得： ⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b 52＝2a ＋b或⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b ，52＝a 2＋b.(a>0) 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝48(两方程组的解相同)．∴两函数分别为y ＝2x ＋48或y ＝2x ＋48.当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝54；当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝56.由于56与53.9的误差较大，∴选y ＝ax ＋b 较好．13．解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝12a ，即(1－x)10＝12， 解得x ＝1－11012⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a(1－x)m ＝22a ，即1012m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭，m 10＝12，解得m ＝5， 故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为22a(1－x)n . 令22a(1－x)n ≥14a ，即(1－x)n ≥24， 1012n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥3212⎛⎫ ⎪⎝⎭，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．。
2021年高中数学.6《函数模型及其应用》教案一苏教版必修1
2021年高中数学2.6《函数模型及其应用》教案一苏教版必修1教学目标：1．能根据实际问题的情境建立数学模型，利用计算工具，结合对函数性质的研究，给出问题的解答；2．通过实例，理解一次函数、二次函数等常见函数在解决一些简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；3．在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.教学重点：一次函数、二次函数以及指、对数函数等常见函数的应用．教学难点：从生活实例中抽象出数学模型.教学过程：一、问题情境某城市现有人口总数为100万，如果人口的年自然增长率为1.2﹪，问:（1）写出该城市人口数y(万人)与经历的年数x之间的函数关系式;（2）计算10年后该城市的人口数；（3）计算大约多少年后，该城市人口将达到120万?（4）如果20年后该城市人口数不超过120万，年人口自然增长率应该控制在多少？二、学生活动回答上述问题，并完成下列各题：1．等腰三角形顶角y(单位：度)与底角x的函数关系为．2．某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数，其定义域为．三、数学应用例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元)、单位成本P(万元)、销售收入R(元)以及利润L(万元)关于总产量x台的函数关系式．例2 大气温度y(℃)随着离开地面的高度x(km)增大而降低，到上空11 km为止，大约每上升1 km，气温降低6℃，而在更高的上空气温却几乎没变(设地面温度为22℃)．求：（1） y与x的函数关系式；（2）x＝3.5 km以及x＝12km处的气温．变式：在例2的条件下，某人在爬一座山的过程中，分别测得山脚和山顶的温度为26℃和14.6℃，试求山的高度．四、建构数学利用数学某型解决实际问题时，一般按照以下步骤进行：1．审题：理解问题的实际背景，概括出数学实质，尝试将抽象问题函数化；2．引进数学符号，建立数学模型，即根据所学知识建立函数关系式，并确定函数的定义域；3．用数学的方法对得到的数学模型予以解答，求出结果；4．将数学问题的解代入实际问题进行检验，舍去不合题意的解，并作答.五、巩固练习1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x件时的成本函数是C(x)＝200＋10x＋0.5x2(元)，若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到元．2．有m部同样的机器一起工作，需要m小时完成一项任务．设由x部机器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y(小时)与机器的部数x的函数关系式．3．A，B两地相距150千米，某人以60千米/时的速度开车从A到B，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A，则汽车离开A地的距离x与时间t的函数关系式为．4．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到达终点需16min，快车比慢车晚发车3min，且行驶10min到达终点站.试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式．两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？5．某产品总成本C(万元)与产量x(台)满足关系C＝3000＋20x－0.1x2，其中0＜x ＜240．若每台产品售价25万元，要使厂家不亏本，则最少应生产多少台？六、要点归纳与方法小结1．利于函数模型解决实际问题的基本方法和步骤；2．一次函数、二次函数等常见函数的应用．七、作业课本P84－练习1，2，3．。
高中数学函数模型及其应用教案1(2)苏教版 必修1
函数模型及其应用(2)教学目标：了解数学建模；掌握根据已知条件建立函数关系式；培养学生分析问题、解决问题的能力；培养学生应用数学的意识。
教学重点：根据已知条件建立函数关系式。
教学难点：数学建模意识。
教学过程：一、创设情景，引入新课问题1、某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。
如果用纵轴表示离教室的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（）问题2、王老师今天从二中到金中上课，来的时候坐了出租车。
我们知道金湖出租车的价格，凡上车起步价为2元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.5元/km收费。
问：（1）二中到金中的路程是4公里，问王老师今天坐车用了多少钱？（2）二中到金中的路程是x公里，问王老师今天坐车将用多少钱？二、合作探究求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：三、例题讲解例1.在一定范围内，某种产品的购买量为y t，与单价X元之间满足一次函数关系。
如果购买1000t，每吨为800元，如果购买2000t，每吨为700元，一客户购买400t，单价应该为（ C ）A. 820 元B. 840元C. 860元D. 880元例2 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的表所示：销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12日均销售量/480 440 400 360 320 280 240桶请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好？解：设在进价基础上增加x 元后，日均经营利润为y 元，则有日均销售量为（桶）所以，当时，y 有最大值 所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。
例3：如图，有一块半径为Ｒ的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ＡＢＣＤ的形状，它的下底ＡＢ是⊙Ｏ的直径，上底ＣＤ的端点在圆周上。
高中数学 2.6函数模型(2)教案苏教版必修1
第三十四课时函数模型及其应用（2）【学习导航】知识网络学习要求1．能用指数函数、对数函数解决如复利、人口增长等与增长率有关的问题， 2．提高学生根据实际问题建立函数关系的能力.自学评价1.复利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．（就是人们常说的“利滚利”）．设本金为p ，每期利率为r ，存期为x ，则本金与利息和 ．(1)x y p r =+2.单利在计算每一期的利息时，本金还是第一期的本金．设本金为p ，每期利率为r ，存期为x ，则本金与利息和 ． (1)y p prx p rx =+=+3．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，可以用公式 表示．()1xy N p =+【精典范例】例1：物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是O T ,经过一定时间t 后的温度是T ,则1()()2th a o a T T T T -=-⋅,其中a T 表示环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用88c 热水冲的速容咖啡,放在24c 的房间中,如果咖啡降到40c 需要20min ,那么降温到35c 时,需要多长时间?【解】由题意知()20140248824()2h -=-⋅,即2011()42h=,解之,得10h =,故听课随笔10124(8824)()2tT -=-⋅ ,当35T =时,代入上式, 得1013524(8824)()2t-=-⋅ ,即 10111()264t= ， 两边取对数,用计算器求得25.4t ≈因此,约需要25.4min ,可降温到35c点评: 本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解.本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要求学生借助计算器进行计算.例2：现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg 20.301==）.分析：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、 4个小时后的细胞总数， 【解】1小时后，细胞总数为 1131001002100222⨯+⨯⨯=⨯； 2小时后，细胞总数为 13139100100210022224⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯； 3小时后，细胞总数为 191927100100210024248⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯； 4小时后，细胞总数为 127127811001002100282816⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯; 可见，细胞总数y 与时间x （小时）之间的函数关系为： 31002xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，x N *∈由103100102x ⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，得83102x⎛⎫> ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得3lg 82x >，∴8lg3lg 2x >-， ∵8845.45lg3lg 20.4770.301=≈--， ∴45.45x >.答：经过46小时，细胞总数超过1010个.点评:本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数y 与时间x 之间的函数关系式；解类似xa b >这类的不等式，通常在不等式两边同时取对数，利用对数函数的单调性求解．这种通过观察几个特殊值的特征，从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”，是高中数学中非常重要的一种方法．例3：某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？参考数据：51.09 1.5386=，461.09 1.4116,1.09 1.6771==分析：可分别根据复利与单利的计算方法，分别计算出本息和，再进行比较，判断优劣．【解】本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后收回的本息和是100(110%5)150⨯+⨯=万元，本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回的本息和是5100(19%)153.86⨯+=万元， 因此，按年利率9%的复利一次计算要比按年利率10%的单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元． 点评：我国现行的定期储蓄中的自动转存业务是一种类似复利计息的储蓄．追踪训练一年增加21%，第三1．某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年比第二年增加44%，求这两年的平均增长率 ． 解：设该产品第一年的年产量为a ，两年的平均增长率为x ，则()()()21121%144%a x a +=++解得 1.32132%x =-=2．在银行进行整存整取的定期储蓄，当到期时，银行会将本息和进行自动转存，某人2005年3月1日在银行存入10000元的一年定期，年利为2.25%，若他暂时不取这笔钱，当到2010年3月1日时，该笔存款的本息和为多少元？（精确到0.01元）答案：510000(1 2.25%)11176.78⨯+≈元. 3. 已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，计算经过多少年剩留原来质量的一半？分析：设原来的质量为1，由题意可知 经过100乘1年剩留0.9576， 经过100乘2年剩留20.9576， ……听课随笔经过100乘x 年剩留0.9576x， 依题意有10.95762x=【解】设经过100乘x 年后剩留原来质量的一半，依题意，有10.95762x=， 两边取对数，得lg0.9576lg 2x =- 解得16.00x ≈.10016.001600⨯=（年）.答：约经过1600年剩留原来质量的一半.【选修延伸】一、函数与图像高考热点1.（1998全国文11，理10）向高为H 的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）【解】答案B分析：如上图所示，取水深2Hh =时，注水量0'2V V V =>，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量之半.A 中0'2V V <，C 、D 中0'2VV =，故排除A 、C 、D ，选B .思维点拔：（1）解答应用题的基本步骤：①设：合理、恰当的设出变量；②写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题；③算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；④答：将数学问题的解还原到生活实际问题，给出最终的答案.（2）在用数学方法解决实际问题时的能力要求有：①阅读理解能力；②抽象概括能力；③数学语言的运用能力；④分析、解决数学问题的能力.（3）分析图表是数学应用的一个重要方面，特别要能够结合图表分析函数，应好好体会．追踪训练二1．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控手段以达到节约用水的目的．某市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+损耗费．该市规定：（1）若每户每月用水量不超过最低限量m 立方米时，只付基本费9元和每月的定额损耗费a 元；（2）若每户每月用水量超过m 立方米时，除了付基本费和损耗费外，超过部分每立方米付n 元的超额费；（3）每户每月的损耗费不超过5元．（Ⅰ）求每户月水费y （元）与月用水量x （立方米）的函数关系；（Ⅱ）该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示，试分析一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求,,m n a的值．（Ⅰ）由题意，每月用水量为x （立方米），支付费用y （元），则()9,0059,a x m y a x m n a x m +<≤⎧⎪=<≤⎨+-+>⎪⎩其中（Ⅱ）∵05a <≤，∴9914a <+≤，由表知，一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米，将4x =和5x =分别代入y 的解析式，得189(4)269(5)m n a m n a =+-+⎧⎨=+-+⎩，由②-①得8n =，从而823a m =- ③，又∵三月份用水量为2.5立方米，若2.5m >，将 2.5x =代入()9y xm n a =+-+ 得()10982.5m a =+-+，即819,a m =-这与③矛盾，∴2.5m ≤，即三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量．此时有109a =+， ∴1a =，代入③得3m =，综上：一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且3,8,1m n a ===．点评：本例中对三月份的用水量是否超过最低限量的分析采用了假设检验的思想①② 听课随笔【师生互动】。
高中数学 2.6函数模型及其应用学案 苏教版必修1
【金版学案】2015-2016年高中数学 2.6函数模型及其应用学案苏教版必修11．解决实际问题通常按实际问题―→建立数学模型―→得到数学结果―→解决实际问题的程序进行，其中建立数学模型是关键．2．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若每涨价1元，则日销售量减少10个，为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个14元．3．我们已学过的函数有：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、分段函数、反比例函数、幂函数等．4．仅由变量的取值确定函数关系时，通常需要画散点图，观察图象，选择出最接近这一图象的函数类型，然后将已知数据代入求出具体函数表达式，这种方法称为数据拟合．,一、分段函数分段函数模型解实际应用问题是常见题型，也是高考常考题型．现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其写作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围．二、数据拟合建立函数模型，就必须考虑用什么函数来模拟，在选择函数模型时，可以通过图表直观分析，联想具有此性质的比较熟悉又比较简单的函数模型．在建立模拟函数的过程中，我们只可能建立近似的函数模型，因此所建立的函数模型只能近似地反映客观现实的量与量之间的关系，而且有时需要通过检验选择最佳模型．基础巩固1．某商场售出两台取暖器，第一台提价20%以后按960卖出，第二台降价20%以后按960元卖出，这两台取暖器卖出后，该商场(C)A．不赚不亏 B．赚了80元C．亏了80元 D．赚了160元解析：960＋960－9601＋20%－9601－20%＝－80.2．用一根长12 m 的铁丝折成一个矩形的铁框架，则能折成的框架的最大面积是________．解析：设矩形长为x m ，则宽为12(12－2x ) m ，用面积公式可得S 的最大值．答案：9 m 23．在x g a %的盐水中，加入y g b %的盐水，浓度变为c %，则x 与y 的函数关系式为________．解析：溶液的浓度＝溶质的质量溶液的质量＝x ·a %＋y ·b %x ＋y 可得：c %，解得y ＝a －c c －b x ＝c －ab －cx .答案：y ＝c －ab －cx4．某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新标价在价目卡上，并说明按该价的20%销售．这样仍可获得25%的纯利，求此个体户给这批服装定的新标价y 与原标价x 之间的函数关系式为________．解析：由题意得20%y －0.75x ＝0.7x ×25%⇒y ＝7516x .答案：y ＝7516x5．如果本金为a ，每期利率为r ，按复利计算，本利和为y ，则存x 期后，y 与x 之间的函数关系是______________________________________________________________．解析：1期后y ＝a ＋ar ＝a (1＋r )；2期后y ＝a (1＋r )＋a (1＋r )r ＝a (1＋r )2； …归纳可得x 期后y ＝a (1＋r )x.答案：y ＝a (1＋r )x6．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，n 年后这批设备的价值为________万元．解析：1年后价值为：a －ab %＝a (1－b %)，2年后价值为：a (1－b %)－a (1－b %)·b %＝a (1－b %)2，∴n 年后价值为：a (1－b %)n.答案：a (1－b %)n7．某供电公司为了合理分配电力，采用分段计算电费政策，月用电量x (度)与相应电费y (元)之间的函数关系的图象如右图所示．(1)填空：月用电量为100度时，应交电费______元；(2)当x ≥100时，y 与x 之间的函数关系式为__________； (3)月用电量为260度时，应交电费________元．解析：由图可知：y 与x 之间是一次函数关系，用待定系数法可求解析式．答案：(1)60 (2)y ＝12x ＋10 (3)1408．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：每户每月用水量 水价不超过12 m 3的部分 3元/m 3超过12 m 3但不超过18 m 3的部分 6元/m 3超过18 m 3的部分 9元/m 33. 解析：设每户每月用水量为x ，水价为y 元，则 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，0<x ≤12，36＋（x －12）×6，12<x ≤18，36＋36＋（x －18）×9，x ＞18，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，0<x ≤12，6x －36，12<x ≤18，9x －90，x >18.∴48＝6x －36.∴x ＝14. 答案：149．国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫做税率为8个百分点，即8%)，计划收购m 万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x 个百分点，预计收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调整后，不低于原计划的78%，试确定x 的范围．解析：(1)y ＝120×m ·[1＋(2x )%]×(8%－x %)＝－0.024m (x 2＋42x －400)(0<x ≤8)．(2)由题可知，－0.024m (x 2＋42x －400)≥120×m ×8%×78%，即x 2＋42x －88≤0，(x ＋44)(x －2)≤0， 解得－44≤x ≤2.又∵0<x ≤8，∴0<x ≤2.10．有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO 的三边组成，隧道的最大高度为4.9 m ，AB ＝10 m ，BC ＝2.4 m ．现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4 m ，宽为2 m 的装有集装箱的汽车要通过隧道．问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁至少多少米才不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部，AO 、BC 为壁)?解析：由已知条件分析，得知抛物线顶点坐标为(5，2.5)，C 点的坐标为(10，0)，所以设抛物线的解析式为y ＝a (x －5)2＋2.5.①把(10，0)代入①得0＝a (10－5)2＋2.5，解得a ＝－110，y ＝－110(x －5)2＋2.5.当y ＝4－2.4＝1.6时，1.6＝－110(x －5)2＋2.5，即(x －5)2＝9，解得x 1＝8，x 2＝2.显然，x 2＝2不符合题意，舍去，所以x ＝8.OC －x ＝10－8＝2.故汽车应离开右壁至少2 m 才不至于碰到隧道顶部．11．某地区上年度电价为0.8元/(kW ·h)，年用电量为a kW ·h ，本年度计划将电价下降到0.55元/(kW ·h)至0.75元/(kW ·h)之间，而用户期望电价为0.4元/(kW ·h)．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区的电力成本价为0.3元/(kW ·h)．(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；[注：收益＝实际电量×(实际电价－成本价)](2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?解析：(1)设下调后的电价为x 元/(kW ·h)，依题意知用电量增至kx －0.4＋a (kW ·h)．电力部门的收益为：y ＝⎝⎛⎭⎪⎫k x －0.4＋a (x －0.3)，0.55≤x ≤0.75.(2)依题意有⎝⎛⎭⎪⎫0.2a x －0.4＋a (x －0.3)≥[a (0.8－0.3)]×(1＋20%)且0.55≤x ≤0.75.整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75⇒0.60≤x ≤0.75，即当电价最低定为0.60元/(kW ·h)时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.12．为了夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建隔热层，某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)．若不建隔热层，每年能源消耗费8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和，求k 的值及f (x )的表达式．解析：设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费为6x ，故f (x )＝20×C (x )＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．13．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5解析：由表可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x 元之后，日均销售利润为y 元，在此情况下的日均销售量为：480－40(x －1)＝520－40x ，由x >0和520－40x >0⇒0<x <13.于是得：y ＝(520－40x )x －200＝－40x 2＋520x －200.由二次函数性质知，当x ＝6.5时y 有最大值，所以当单价定为11.5元/桶时，就可获得最大利润．14．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯； (2)按总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若设购买茶杯数为x 个，付款数为y 元，试分别建立两种优惠办法中y 与x 之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱．解析：由优惠办法(1)可得函数关系式为y 1＝20×4＋5(x －4)＝5x ＋60(x ≥4，x ∈N )， 由优惠办法(2)可得y 2＝(5x ＋20×4)×92%＝4.6x ＋73.6(x ≥4，x ∈N )，对以上两种优惠办法作比较得 y 1－y 2＝0.4x －13.6(x ≥4，x ∈N )． 令y 1－y 2＝0，得x ＝34.可知当购买34个茶杯时，两种办法付款相同； 当4≤x ＜34时，y 1＜y 2，优惠办法(1)更省钱； 当x ＞34时，y 1＞y 2，优惠办法(2)更省钱．15．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金．如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？解析：设客房租金每间提高x 个2元，则将有10x 间客房空出，客房租金的总收入为 y ＝(20＋2x )(300－10x )＝－20x 2＋600x －200x ＋6 000＝－20(x 2－20x ＋100－100)＋6 000＝－20(x －10)2＋8 000，由此得到，当x ＝10时，y max ＝8 000.即每间租金为20＋10×2＝40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8 000元．能力提升16．如图，△ABO 为正三角形，直线x ＝t 截三角形△ABO 左侧的阴影图形面积为S ，当直线自左向右匀速移动时(0≤t ≤a )，阴影图形面积S 关于t 的函数图象大致是( )解析：由已知可求出S 关于t 的函数解析式：S ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，0≤t ≤a 2，－32t 2＋3at －34a 2，a2＜t ≤a .答案：A17．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地面上，y 轴垂直于地面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关，炮弹射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解析：(1)在y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)中，令y ＝0得x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10. ∴炮弹的最大射程为10千米．(2)∵a >0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k >0，使ka －120(1＋k 2)a 2＝3.2成立．即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根，由Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇒a ≤6，此时k ＝20a ＋（－20a ）2－4a 2（a 2＋64）2a2＝10＋36－a 2a>0(不考虑另一根)．∴当a 不超过6千米，炮弹可以击中目标．18．为了预防甲型H1N1流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比，药物释放完毕后，y与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数解析式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？解析：(1)从图中可以看出线段的端点分别为(0，0)、(0.1，1)，∴在t ∈[0，0.1]时，表达式为y ＝10t .∵点(0.1，1)也在y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 上， ∴a ＝0.1.∴当t ≥0.1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1.∴函数解析式y ＝⎩⎨⎧10t ，0≤t ≤110，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －110，t ＞110. (2)依题意，如果学生进入教室，则有y ＜0.25. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1＜14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫142t －0.2＜14.又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x是减函数， ∴2t －0.2＞1.∴t ＞0.6.因此至少要经过0.6小时后，学生才能回到教室．。
高中数学函数模型及其应用教案1 苏教版必修1
函数模型及其应用（1）教学目的：使学生了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型：指数函数、对数函数以及幂函数，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义。
教学重难点：通过图象对指数函数、对数函数、幂函数模型的增长速度对比，让学生理解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义。
建立实际问题的函数模型是难点。
教学过程一、复习提问写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式，你知道它们的变化规律吗？二、新课例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，则各方案的函数模型为：比其它2个方案快得多，称为“指数爆炸”。
投资5天以下选方案一，投资5――8天选方案二，投资8天以上选方案三。
再看累计回报数表P114。
投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案，投资8－－10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。
例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过log＋1，y＝1.002x。
其中哪个模型利润的25%。
现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝x2能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可。
不妨先作函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果。
高中数学《函数模型及其应用》学案11 苏教版必修1
函数模型及其应用一．课标要求：1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
二．命题走向函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。
高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。
出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。
预测2007年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。
（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。
三．要点精讲1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。
苏教版高中数学必修一函数模型及其应用学案(2)(1)
2012高一数学 函数模型及其应用（2）学案一、学习目标：1、 能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，并求解；2、 进一步了解函数模型在解决简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；一、 复习旧知：问题1、函数的表示方法有、 、 、问题2、某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（ ）二、 问题解决：问题3、有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求出它的定义域．问题4、 一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率有如下关系： 每间客房定价 20 18 16 14 住房率65%75%85%95%要使每天收入最高，每间客房定价为多少元？A BO C DE问题5、今年5月，荔枝上市．由历年的市场行情得知，从5月10日起的60天内，荔枝的市场售价与上市时间的关系大致可用如图所示的折线ABCD 表示(市场售价的单位为元／500g)．请写出市场售价S (t )(元)与上市时间t (天)的函数关系式，并求出6月20日当天的荔枝市场售价．练习反馈：练习：1．直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x2．一个圆柱形容器的底部直径是d cm ，高是h cm ，现在以v cm3/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x (cm)与注入溶液的时间t (s)之间的函数关系式，并写出函数的定义域．3．向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可能是( )元一个销售，每天可卖200个．若这种商（1）售价为15元时，销售利润为多少？ A C D B hH CD（2）若销售价必须为整数，要使利润最大，应如何定价？课堂小结：课后作业：1、基础达标1、某地高山上温度从山脚开始每升高100m降低0.6℃。
高中数学 26函数模型及其应用(二)学案 苏教版必修1 学案
§2.6 函数模型及其应用（二）【学习目标】:1．数学模型与建模，解决实际问题的一般步骤；2．通过例题培养学生应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力.【学习过程】：一、复习引入：解决实际问题的步骤:①审题：即；②建模：即；③解模：即；④还原：即．解决实际问题的程序：二、例题分析：例1．我市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲俱乐部每张球台每小时5元；乙俱乐部按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家俱乐部中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.(1) 设在甲俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤≤x40)，在乙俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤≤x40)，试求f(x)和g(x)；(2) 你认为小张选择哪家俱乐部比较合算？请说明理由．例2．某公司有价值a万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价．假如售价y万元与技术改造x万元之间的关系满足：①y与2a x-和x的乘积成正比；②当4ax=时，22ay=；③02xta x≤≤-，其中t为常数，且[0,1]t∈．(Ⅰ)设()y f x=，试求出()f x的表达式，并求出()y f x=的定义域；（Ⅱ）求出售价y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．例3．有时可用函数0.115ln,(6)()4.4,(6)4axa xf xxxx⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（*x N∈），()f x表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。
(1) 证明：当7x≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x+-总是下降；(2) 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],(]133127，。
苏教版高中数学必修一函数模型及其应用学案(2)
函数模型及其应用（1）【本课重点】 ：能根据实际问题建立适当的数学模型，重点掌握一次、二次、反比例以及分段函数模型；体会数学建模的基本思想【预习导引】 ： 1、某 地 高 山 上 温 度 从 山 脚 起 每 升 高 100 米 降 低 0.7 ℃ 。
已 知 山 顶 的 温 度是14.1℃，山 脚的温 度 是26℃。
则 此 山 高 米。
2、某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，则生产x 台计算机的总成本C= ____________（万元），单位成本P= （万元），销售收入R= （万元），利润L= （万元），若要创利不低于100万元，则至少应生产这种计算机______(台)。
3、某汽车运输公司购买了豪华型大客车投入客运，据市场分析，每辆客车的总利润y 万元与营运年数x(x *N ∈)的函数关系式为y=-x 2+12x-25,则每辆客车营运 年使其营运年平均利润最大。
【典例练讲】：例1、 某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km ，慢车到终点需要16min ，快车比 慢车晚发3min ，且行使10min 后到达终点站。
试分别写出两车所行路程关于慢车行使时间的函数关系式。
两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？例2、某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55—0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y 亿度与 (x-0.4)成反比例，又当x=0.65元时，y=0.8。
（1）求y 与x 之间的函数关系式。
（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？ [收益=用电量×（实际电价-成本价）]例3、在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-，某公司 每月最多生产100台报警系统装置,生产x 台()x N *∈的收入函数为()2300020R x x x =-（单位：元），其成本函数为()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差。
苏教版数学高一-数学苏教版必修一学案 函数模型及其应用(2)
第19课时函数模型及其应用(2)教学过程一、问题情境在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题.例如:如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则关于时间x的总产值y可以用公式y=N(1+p)x表示.二、数学建构问题1某公司拟投资1000万元,有两种获利的方案可供选择:一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息;另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元?(参考数据:1.094≈1.4116, 1.095≈1.5386, 1.096≈1.6771)题目中涉及两种投资方式回报的比较,生活中常常出现.两种投资方式一种涉及单利,一种涉及复利(即利滚利),可分别根据单利与复利的计算方法计算出本息和,再进行比较,判断优劣.具体解答如下:本金1000万元,年利率为10%,按单利计算,5年后收回的本息和是1000×(1+10%×5)=1500(万元);本金1000万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回的本息和是1000×(1+9%)5=1538.6(万元).因此,按年利率为9%的每年复利一次计算要比按年利率为10%的单利计算更有利,5年后多得利息38.6万元.三、数学运用【例1】(教材P98例2)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-T a=(T0-T a)·,其中T a表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡,放在24℃的房间中,如果咖啡降温到40℃需要20min,那么降温到35℃时,需要多长时间?(结果精确到0.1)(见学生用书课堂本P69) [处理建议]题目中给出了一个关系式,同时给出了若干个变量之间的关系,看似有点复杂,但用后面给出的具体数据对号入座后,并不难得到答案.[规范板书]解由题意知40-24=(88-24)·,即=,解得h=10.故T-24=(88-24)·.当T=35时,代入上式,得35-24=(88-24)·,即=,两边取对数,用计算器求得t≈25.4.因此,约需要25.4min,可降温到35℃.[题后反思]本题是利用已知的函数模型来解决物理问题,需由已知条件先确定函数关系式,然后再求解.本题的实质为已知自变量的值,求对应的函数值的数学问题.由于运算比较复杂,要求学生能够借助计算器进行计算.【例2】现有某种细胞100个,其中有占总数的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超过1010?(参考数据:lg3≈0.477, lg2≈0.301)(见学生用书课堂本P70) [处理建议]现有细胞100个,可以先逐个研究1h、2h、3h、4h后的细胞总数,找到规律后寻找出相应的函数关系式.[规范板书]解1h后,细胞总数为×100+×100×2=×100;2h后,细胞总数为××100+××100×2=×100;3h后,细胞总数为××100+××100×2=×100;4h后,细胞总数为××100+××100×2=×100;可见,细胞总数y与时间x(h)之间的函数关系式为y=100×,x∈N*.由100×>1010,得>108,两边取以10为底的对数,得x lg>8,∴x>.∵=≈45.45,∴x>45.45.答:约经过46h,细胞总数将超过1010.[题后反思]本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数y与时间x(h)之间的函数关系式;解类似a x>b这类不等式,通常在不等式的两边同时取对数,然后利用对数函数的单调性求解.这种通过观察几个特殊值的特征,从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”,在数学中会经常用到.【例3】(教材P99例3)在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利润是收入与成本之差.(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值?(见学生用书课堂本P70)[处理建议]题中提到两个函数,比较直接,带领学生读懂题意后就能写出要研究的函数MP(x);本题涉及两个函数,一个是一次函数,一个是二次函数,处理起来并不困难,关键是读懂题意.[规范板书]解由题意知,x∈[1, 100],且x∈N*.(1)P(x)=R(x)-C(x)=3000x-20x2-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000,MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-[-20x2+2500x-4000]=2480-40x.(2)P(x)=-20+74125,当x=62或x=63时,P(x)的最大值为74120(元).因为MP(x)=2480-40x是单调减函数,所以当x=1时,MP(x)的最大值为2440(元).因此,利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值.[题后反思]本题中边际利润函数MP(x)在x=1时取得最大值,这说明生产第二台与生产第一台的总利润差最大,即第二台报警系统利润最大.MP(x)=2480-40x是单调减函数,这说明随着产量的增加,每台利润与前一台利润相比在减少.通过上述几个例子,我们可以看出,解决实际问题通常按实际问题→建立数学模型→得到数学结果→解决实际问题的步骤进行,其中建立数学模型是关键.*【例4】某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店,并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).(例4)已知该种消费品的进价为每件40元;该店每月销售q(百件)与销售价p(元/价)之间的关系用右图中的一条折线(实线)表示;职工每人每月工资为600元,该店应交付的其他费用为每月13200元.(1)若当销售价p为52元/件时,该店正好收支平衡,求该店的职工人数;(2)若该店只安排40名职工,则该店最早可在几年后还清所有债务?此时每件消费品的价格定为多少元?[规范板书]解(1)设该店的月利润为S元,有职工m名,则S=q(p-40)×100-600m-13200.又由图可知q=所以,S=由已知,当p=52时,S=0,即(-2p+140)(p-40)×100-600m-13200=0,解得m=50.即此时该店有50名职工.(2)若该店只安排40名职工,则月利润S=当40≤p≤58时,求得p=55时,S取最大值7800元;当58<p≤81时,求得p=61时,S取最大值6900元.综上,当p=55时,S有最大值7800元.设该店最早可在n年后还清债务,依题意有12n×7800-268000-200000≥0.解得n≥5.所以,该店最早可在5年后还清债务,此时消费品的单价定为55元.[题后反思]①本题有效信息必须从图象上去读取,由于给出的图象是两段线段,故建立的函数关系式为分段函数,分段函数应特别注意函数关系与定义域间的对应;②对于分段函数的最值问题,应先在各自的定义域上求出各段的最值,然后加以比较,最后确定出最值.四、课堂练习1.复利就是把前一期的利息和本金加在一起做本金,再计算下一期的利息(就是人们常说的“利滚利”).设本金为p,每期利率为r,存期为x,则到期后本金与利息和为y=p(1+r)x,x∈N*.2.单利就是在计算每一期的利息时,本金还是第一期的本金.设本金为p,每期利率为r,存期为x,则到期后本金与利息和为y=p(1+rx),x∈N*.3.某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤的次数为14.(参考数据:lg2≈0.3010, lg3≈0.4771)(第4题)4.有一批材料可以建成200m的围墙,如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图),则围成的矩形的最大面积为2500m2.(围墙厚度不计)五、课堂小结建立函数模型就是将实际应用问题转化成数学问题,是数学化解决实际应用问题的关键,一般通过对函数性质的研究来解决数学问题,从而达到解决实际应用问题的目的.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
山东省高密市第二中学高中数学《2.2.6 函数模型及其应用（2）》学
案苏教版必修1
【自学目标】
1.学会分析问题，准确地选择函数模型；
2. 学会解决常见的函数问题，如增长率问题、最佳效益问题；
3. 培养分析问题、解决问题的能力.
【知识要点】
1.用已知函数模型解决实际问题
数学应用题一般文字叙述较长，反映的时间背景新颖，知识涉及广，
这就要求有较强的阅读理解能力、捕捉信息的能力、归纳抽象的能力.
2.增长率问题
在实际问题中，常常遇到平均增长率问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值为y，用公式y=N(1+P)x表示，解决平均增长率，要用这个公式.
3.最佳效益问题
实际问题中中的最佳效益问题，即函数的最值问题.求函数最值的方法
较多.
【预习自测】
例1.某丁在甲、乙俩地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B 地8台，已知从甲地调运一台至A地、B地的费用分别为400元和800元，从乙地调运一台到A地、B地的运费分别是300元和500元
（1）若从乙地要调运x台至A地，求总运费y（元）与x之间的函数关系式
（2）若总运费不得超过9000元，问共有几种调运方案
（3）求出总运费最低的调运方案及最低的运费
例2.渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量。
已知鱼群的年增长量y吨与空闲率和实际增长量x 的乘积成正比，比例系数为k（k>0）。
（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）
（1）写出y 关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）求鱼群年增长量的最大值；
（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.
例3.在某服装批发市场，季节性服装当季节来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每天削价2元，直到16周末，该服装已不再销售。
（1） 试建立价格p （元）与周次t 之间的函数关系； （2） 若此服装每周进价q （元）与周次t 之间的关系式为
N t t t q ∈∈+--=],16,0[,12)8(125.02，试问该服装第几周每件销售利润最大？
例4.某城市现有人口数为100万人，如果年增长率为1.2%，试解答以下问题： （1） 写出该城市人口总数y （万人）与年份x （年）的函数关系式； （2） 计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；
（3） 计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）
（4） 如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？
【课内练习】
1.某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：
x 1 2 3 …… y
1
3
8 …… 下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A ．12-=x y
B ．12
-=x y
C ．12-=x y
D ．25.25.12+-=x x y
2.已知A 、B 两地相距150km ，某人开车以60km/h 的速度从A 到达B 地，在B 地停留1小时后，再以50km/h 的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离x 随时间变化的关系式是
3.某厂年生产化肥8000吨，计划5年后把产量提高到14000吨， 则平均每年增长的百分数是（精确到0.1%） 参考数据：
,1461.04.1lg =098.175.1,119.175.1,0486.31119lg ,2430.075.1lg 65====
1. 设距地面高度x （km ）的气温为y （℃），在距地面高度不超过11km 时，y 随着
x 的增加而降低，且每升高1km ，大气温度降低6℃；高度超过11km 时，气温
可视为不变。
设地面气温为22℃，试写出)(x f y =的解析式，并分别求高度为3.5km 和12km 的气温。
【归纳反思】
就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍微 复杂一点的问题就无法下手了. 【巩固提高】
1.（一次函数模型）某公司市场营销的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是（ ） A310元 B300元 C290元 D280元
2.（二次函数模型）将进货单价为8元的某商品按10元一个售出时，能卖出200个，已知这种商品每涨价1元，其销售量减少20个，为了获得最大利润，售价应定为（ ） A11元 B12元 C13元 D14元
3.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现每间客房每天的
(A)0.6
0.4
0.2
63O
t S (B)S t O 360.20.40.6
(C)S
t
O 360.2
0.4
0.6 0.6 0.4 0.2 6 3 O t
S (D)
价格与住房率之间的关系如下：
每间每天定价/元 20 18 16 14 住房率
65℅
75℅
85℅
95℅
要使每天收入达到最高，每天定价应为（ ） A20元 B18元 C16元 D14元
4.（分段函数模型）电讯费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟，收费0.2元；超过3分钟，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计算，则通话费S （元）与通话时间t （分钟）的函数图象（如下图）可表示为（ ）
5.某种菌类生长很快，长度每天增长1倍，在20天长成4米，那么长成0.25米要（ ） A1.25天 B5天 C16天 D12天
6.有一批材料可以建成长200米的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成矩形的最大面积是 .
7.十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数（记作n ）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式是：%100⨯=消费支出总额
食品消费水平总额
n ，各种家庭的n
如下表所示：
家庭类
贫困
温饱
小康
富裕
最富裕
n
n>60
50℅<n ≤60℅
40℅
30℅<n ≤40℅
n ≤30
≤50
根据某地区家庭抽样调查统计预测1998年至2005年间每户家庭支出总额每年平均增加1000元，其中食品消费支出总额每年平均增加300元。
（1）若1998年该地区家庭刚达到温饱，且该年度消费支出总额为10000元，问2003年能否达到小康？请说明理由。
（2）若2003年比1998年的消费支出总额增加40%，而其中食品消费支出总额增加20%，问2005年能否达到小康？请说明理由。
8.某城市自来水厂向全市供应生产与生活用水，蓄水池现有水9前吨，水厂每小时向池中注
8，问：
入2千吨水，同时向全市供水，x小时内供水总量为x
（1）多少小时时池内水量最少？
（2）当蓄水池水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象，那么出现这种紧张情况有多长时间？
（3）为了保证生产，生活的需要，决定扩大生产每小时向池内注水3千吨，能否消除供水紧张现象？为什么？
9.假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征收8元（收税率为8个百分点，即8%），计划可收购m万担，为减轻农民的负担，决定税率降低x个百分
2个百分点。
点，这样收购量预计可增加x
（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（2）当x不低于2个百分点时，求税率调节后的税收金额比税率调节前的税收金额最少要减少多少个百分点？
函数的模型及应用（2） 【预习自测】
例1.（1）),104(10600
200N x x x y ∈≤≤+-=（2）有3种 （3）8600,10min ==y x 例 2.（1）)0(,)(00m m x x x m m m k
y -<<--=（2）m m m k y 4)(20max -=（3）
40m m m k -<
< 例3.（1）⎪⎩
⎪
⎨⎧∈≤≤--∈≤≤∈≤≤+=),161)(10(220),106(20)
,51(210N t t t N t t N t t t P （2）第5周，利润最大 例4（1）x y %)2.11(100+= （2）112.7万 （3）15 （4）%09.0
【课内训练】
1.B
2.⎪⎩⎪
⎨⎧≤<-≤<≤<=6
5.3,603605.35.2,1505
.20,60t t t t t y .3.%8.11.4.⎩⎨⎧>-≤≤-=11,44110,622x x x y 当5.3=x 时，
1=y 当12=x 时44-=y .
【巩固提高】。