第五章连续时间模型和BlackScholes公式PPT课件
Black-Scholes期权定价模型46页PPT
Ito引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
其中，d dG z 是( 一G xa 个 标 G t准1 2 布 2 x 朗G 2b 运2)d 动t。 G x由b d z 于a 和b都是x和t的函数， 因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为
连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是 横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是 和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的 RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
17.07.2021
如果用百分比表示，例如美元对日元汇率变化收益率、日元对美元汇率变化收益率，两者 绝对值不会相等；而且其中一个服从正态分布，另一个就无法服从正态分布；交叉汇率的 收益率难以直接计算。
如果用对数收益率表示，两个相互的汇率收益率绝对值正好相等而符号相反；可以满足同 时服从正态分布的假设；交叉汇率收益率可以直接相加计算。
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几何布朗运动的深入分析
在很短的时间Δt后，证券价格比率的变化值 为： Stt
可见，S在短时间内， S 具有正态分布特征
S
S~(t, t)
S
其均值为 t ，标准差为 t，方差为 2 t 。
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几何布朗运动的深入分析（2）
但态是分，布在的一性个质较：长的ห้องสมุดไป่ตู้间T后， S S 不再具有正
Black-Scholes期权定价模型
第六章
Black-Scholes期权定价模型
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2
Black-Scholes期权定价模型和特性
Black-Scholes期权定价模型和特性Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型，它被用来计算欧式期权的价格。
该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和莱蒙德·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年开发的，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes模型基于一些假设，包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。
它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。
Black-Scholes模型的公式如下：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，C代表期权的买入价格，P代表期权的卖出价格，S代表标的资产的当前价格，X代表期权的行权价格，r代表无风险利率，T代表期权的时间，在期权到期日之间的年份，N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。
Black-Scholes模型的特性有以下几点：1. 理论完备性：Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型，可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。
它提供了一种可行的方法，用来解决期权定价的问题。
2. 自洽性：Black-Scholes模型是自洽的，意味着如果市场满足了模型的所有假设条件，那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。
3. 敏感性分析：Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。
通过改变模型中的参数，例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等，我们可以研究它们如何影响期权的价格。
4. 适用性：Black-Scholes模型广泛适用于欧式期权的定价，包括股票期权、货币期权和商品期权等。
然而，对于美式期权和一些特殊类型的期权，Black-Scholes模型可能不适用。
black-scholes公式
black-scholes公式
黑-斯科尔斯(Black-Scholes)公式是金融工程学中最常用的定价期权的公式，建立了美式期权合理价格的模型。
黑-斯科尔斯公式是利用欧式期权定价公式和事件结构分析理论推导出来的，事件结构分析理论是一种用复利等金融术语的逻辑实现的、先后相互进行的操作。
经典的黑-斯科尔斯公式可以表示为：
C(T, S) = SN(d1) - Xe^-rtN(d2)。
其中，C(T,S)表示期权在时间T时价格S处的价格；X表示期权行权价；r表示无风险利率；t表示行权时间；N(d1)和N(d2)分别表示标准正态分布函数。
d1和d2为下面公式定义的参数：
d1= [(ln(S/X) + (r + 0.5σ^2)T] / [σsqrt(T)]。
d2= d1 - σsqrt(T)。
其中，σ表示资产风险收益率的标准差。
第05章 连续时间马尔可夫链S.ppt
一般地可用归纳法证明 P{T1 T2 Tj t} (1 et ) j 因此，由 P{T1 T2 Tj t} P{X (t) j 1 | X (0) 1}可见对 于一个尤尔过程， P1 j (t ) (1 et ) j1 (1 et ) j et (1 et ) j1, j 1
ji
{ Xn : n 0,1, 2, }为马尔可夫链，称为嵌入马尔可夫链。）
vi 的状态 i 称为瞬时状态，因为一旦进入此状态立即就离 开。不研究瞬时状态,将始终假设对一切 i，0 vi 。如果vi 0， 则称状态 i 为吸收的，因为一旦进入这一状态就永不再离开了。
一个连续时间马尔可夫链称为规则的，若以概率 1 在任意有 限时间内的转移次数是有限的。
证明： P{ i t s | i s} P{X(s y) i,0 y t | X(s) i, X(u) i,0 u s} P{X(s y) i,0 y t | X(s) i}
P{X( y) i,0 y t | X(0) i}
P{ i t}
i
ii i
i
命题 5.3.1 一个尤尔过程，其 X(0)=1，则给定 X(t)=n+1 时，出生时刻 S1,S2,, Sn 的分布如同取自密度为(5.3.2)的母体的容量为 n 的子 样 Y1,Y2,, Yn 的顺序统计量 Y(1),Y(2),, Y(n)的分布。
例 5.3(b) 考虑一尤尔过程，其 X(0)=1。计算在时刻 t 群
以 Pij (t)记马尔可夫链现在处于状态 i，再经过一段时间 t 后处于状态 j 的概率，即 Pij (t) P{X (t s) j | X (s) i}
三、生灭过程
定义：具有状态 0,1,2,的连续时间马尔可夫链若| i j | 1时
Black-Scholes公式
倍，要么以概率1-p下跌为原来的 e
t /n
倍。
当 n 时，这个风险中度分布收敛到一个漂移参数为 r-σ2/2，波动参数为σ的几何布朗运动。 根据套利定理，期权需根据风险中度几何布朗运动的概 分布来定价才能使赌博公平，不然就会存在套利的机
Nankai University
其中W是一个均值为(r-σ2/2) t ，方差为tσ2的正态随机 变量。
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Black-Scholes公式
上述的期权公式用下面的具体形式表示出来即为著名的 Black-Scholes期权定价公式：
C S (0) ( ) Ke rt ( t )
2
1 2 s exp{( r / 2)t} exp{( x 2 2 t x) / 2}dx c 2
1 rt se exp{( x t ) 2 / 2}dx c 2
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Black-Scholes公式的证明
1 rt se exp{( x t ) 2 / 2}dx c 2
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Black-Scholes公式
由于{S(y)，0 ≤y≤t}服从漂移参数为μ、波动参数为σ 的几何布朗运动，作为该模型的n阶近似，我们可以假设 每过t/n个单位时间，证券的价格就会变化一次； 它的新价格或者等于旧价格乘以因子
ue
t/n
1 t / n) , 概率为p (1 2
2
2
E[ S (t )] e
t (
)
S (0)
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几何布朗运动
随机过程课件-c5
⎧1 , i = j lim pij (t ) = ⎨ t →0 ⎩0 , i ≠ j
5 连续时间的马尔可夫链
12
转移速率
5 连续时间的马尔可夫链
13
Q矩阵
若连续时间齐次马尔可夫链具有有限状态空间I={0,1,2,…,n}
λ
λ
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求其平稳分布。
pij(t)极限存在且与i无关，存在平稳分布
5 连续时间的马尔可夫链
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或者
此Markov链是不可约的
5 连续时间的马尔可夫链
28
5 连续时间的马尔可夫链
29
5.3 生灭过程
5 连续时间的马尔可夫链
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Q矩阵
I = {0,1,2,3,...}
⎛ − λ0 ⎜ ⎜ μ1 ⎜ Q=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ − q00 ⎜ ⎜ q10 Q =⎜ ⎜ ⎜ q ⎝ n0 q01 − q11 qn1 q0 n ⎞ ⎟ q1n ⎟ ⎟ ⎟ − qnn ⎟ ⎠
Q= P′ (0)
利用Q可以推出任意时间间隔的转移概率所满足的方程组，从 而求解转移概率。
5 连续时间的马尔可夫链
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微分方程
P′(t)=QP(t) 定理5.5 (科尔莫戈罗夫向前方程) 在适当的正则条件下有
5 连续时间的马尔可夫链
22
渐近性质
5 连续时间的马尔可夫链
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5 连续时间的马尔可夫链
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回顾
转移概率： pij(s,t)= P{X(s+t)=j|X(s)=i} P(s+t)=P(s)P(t) 转移速率 Q= P′ (0) 科尔莫戈罗夫微分方程 向后方程：P′(t)=QP(t) 向前方程：P′(t)=P(t)Q
投资分析BlackScholes期权定价模型
st xt , a(st ,t) st ,b(st ,t) st dst stdt stdwt
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
ds dt dw
s
证券的预期回报与其价格无关。
（13.6）
2024/6/27
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▪ ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO 过程表示为（省略下标t）
价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观
变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会 对f的值产生影响。
在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。
只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微
分方程求出价格f。
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13.4 几何布朗运动与对数正态分布
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4
wt t t
（13.1）
这里，wt wt wt1,t iidN (0,1)
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
cov(wt , ws ) 0
（13.2）
其中，wt wt wt1, ws ws ws1
Ct St N (d1) Xer N (d2 )
其中，d1
ln(St
/
X
)
(r
2
/
2)
d2 d1 t [0,T ], T t
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B-S买权定价公式推导
▪ （1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票 价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t 的 值股 为票价格为St,则T时刻的股票价格的期望
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10第五章连续时间马尔可夫链ppt课件
利用Q矩阵可以推出任意时间间隔t的转移概 率所满足的方程组，从而可以求解转移概率。
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定理5.4（ 柯尔莫哥洛夫向后方程）
假设 qik qii ，则对一切i,j及t≥0，有 k i pij (t) qik pkj (t) qii pij (t) k i 证明 由C-K方程可以知道：
pij (t h) pik (h) pkj (t) kI
pij (t h) pij (t) pik (h) pkj (t) [1 pii (h)] pij (t)
k i
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两边除以h， h 0 取极限可以得到：
lim lim lim h0
pij (t h) pij (t) h
Pik (t)Pkj (s) kI
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8
定义5.3 对于任一t≥0，记
p j (t) P{X (t) j}, p j p j (0) P{X (0) j},
jI
为绝对概率和初始概率。
分别称{pj(t),j∈I}和{pj,j∈I}为齐次马尔可夫 过程的绝对概率分布和初始概率分布。
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Q矩阵和柯尔莫哥洛夫方程
定理5.3 设pij(t)是齐次马尔可夫过程的转移概率且满足正 则性条件，则下列极限存在：
1.
lim 1
t 0
pii (t) t
vi
qii
2.
lim
t 0
pij (t) t
qij
,i
j
称为转移速率或跳跃强度
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lim
t 0Βιβλιοθήκη pij(t )
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
定价理论-第5章--期权定价理论
第5章期权定价理论期权定价理论是继资产组合理论、资本资产定价模型之后金融领域又一个获得诺贝尔经济学奖的重要理论．1973年，Black和Scholes发表了《期权和公司债务的定价》(The pricing of options and corporate liabilities)一文，提出了著名的期权定价理论．同年，Merton给出了以支付连续红利率股票为标的资产的期权定价公式，并把Black-Scholes期权定价公式推广到无风险利率和标的资产价格的变异性不是常数的重要情况．在本章，我们将以B1ack-Scholes期权定价公式为主线介绍与期权相关的一些知识、股票价格的行为模型、Black-Scholes偏微分方程、Black-Scholes期权定价公式、B1ack-Schotes期权定价公式的拓展模型(支付已知红利的股票欧式期权定价和美式看涨期权定价)等．§5.1 期权概述5.1.1 期权的概念期权是赋予了其拥有者在未来的某时间以事先预定好的价格买卖某种金融资产的权利的合约．从广义上讲，期权也可以指金融资产中含有的任何选择权．一般称期权中规定的金融资产为期权的标的资产，并称对标的资产的商定价格为行权价格．根据交易的买卖类型，可以将期权分为看涨期权和看跃期权．看涨期权是指在指定日期以行权价格买入一定量的金融资产的合约．看跌期权是指可以在指定日期以行权价格卖出一定量的金融资产的合约．期权中指定的日期称为到期日．当投资者认为某种金融资产的价格将要上涨时，就可以购买这种金融资产的看涨期权，或者出售这种金融资产的看跌期权．相反，如果认为某种金融资产的价格将要下跌，则可以采取相反的操作．按期权允许的行权时间划分，期权可分为欧式期权和美式期权．欧式期权是指期权的行权日期是事先指定的期权；美式期权是指可以在到期日之前的任何日期行权的朗权．在交易所交易的大部分期权是美式期权．但是，欧式期权通常比美式期权更容易分析，并且美式期权的一些性质总是可以从欧式期权的性质推导出来．根据行权价格与标的资产市场价格的关系，可将期权分为实值期权、虚值期权和平价期权三种类型．对看涨期权而言，若标的资产价格高于行权价格，期权的买方执行期权特有利可图，此时为实值期权．若标的资产价格低于行权价格，期权的买方格放弃执行期权，此时为虚值期权．对看跌期权而言，标的资产价格低于行权价格为实值期权；标的资产价格高于行权价格为虚值期权．若标的资产价格等于行权价格，则看涨期权和看跃期权均为平价期权．从理论上说，实值期权的内在价值为正，虚值期权的内在价值为负，平价期权的内在价值为零．但实际上，无论是看涨期权还是看跌期权，也无论期权标的资产的市场价格处于什么水平，期权的内在价值都必然大于零或等于零，而不可能为一负值．这是因为期权赋予买方执行期权与否的选择权，而没有规定相应的义务，当期权的内在价值为负时，买方可以选择放弃期权．期权的内在价值定义为期权本身所具有的价值，也就是期权的买方如果立即执行该期权所能获得的收益．一种期权有无内在价值以及内在价值的大小，取决于该期权的行权价格与标的资产市场价格之间的关系．期权的时间价值是指期权的买方购买期权而实际支付的价格超过该期权内在价值的那部分，一般以期权的实际价格减去内在价值求得．在现实的期权交易中，各种期权通常是以高于内在价值的价格买卖的，即使是平价期权或虚值期权，也会以大于零的价格成交．期权的买方之所以愿意支付额外的费用，是因为希望随着时间的推移和标的资产市场价格的变动，该期权的内在价值得以增加，使虚值期权或平价期权变为实值期权，或使实值期权的内在价值进一步提高．买卖期权一般情况下有两种动机：一种是出于投机赚取最大利润的想法，因为期权价格的波动将导致获得更大收益的机会．当然，同时也面临产生更大损失的风险．另一种情况是出于对冲风险的考虑．因为期权的行使不是必须的(期权赋予了其投资者做某事的权利，但持有者不一定必须行使该权利．这一特点使得朋权不同于远期、期货等金融资产．投资者签署远期和期货合约时的成本为零，但投资者购买一张期权合约必须支付期权费)，所以期权作为投资策略的一个部分，在对冲风险方面有更大的选择余地．期权定价就是对这种选择权本身进行定价．如果这种选择权是可以独立交易的，那么这个价格是非常有现实意义的．如果这种选择权不是单独交易的(可能是含在产品中的，如可转换债券中的转换权力)，通过定价也可以对这部分的价值有一定的了解，以便更好地掌握金融资产价值变化的情况．最早的场内期权是股票期权．芝加哥期货交易所于1973年设立了一个新的交易所期权交易所，从而拉开了期权交易的序幕．随着国际金融市场的迅速发展，期权标的资产逐渐拓展到股票指数、利率和外汇等领域．目前，股票期权和股票指数期权在期权市场中所占的比例最大．但是，并不是所有的期权都是在交易所中交易的，在金融机构与大公司之间直接进行的期权交易也非常普遍，这种期权交易称为场外期权交易．场外期权交易的主要特点是金融机构可以根据客户的需要订立期权合约．5.1.2 影响期权价格的因素期权价格由内在价值和时间价值构成，因而凡是影响内在价值和时间价值的因素，就是影响期权价格的因素．大致包括以下几种：(1)行权价格与标的资产价格．行权价格与标的资产价格是影响期权价格的最主要因素．这两种价格的关系不仅决定了期权有无内在价值及内在价值的大小，而且还决定了有无时间价值和时间价值的大小．一般而言，行权价格与标的资产价格之间的差距越大，时间价值越小；反之，则时间价值越大．这是因为时间价值是市场参与者因预期标的资产价格变动引起其内在价值变动而愿意付出的代价．当一种期权处于极度实值或极度虚值时，市场价格变动的空间已很小．只有在行权价格与标的资产价格非常接近或为平价期权时，市场价格的变动才有可能增加期权的内在价值，从们使时间价值随之增大．(2)权利期间．权利期间是指期权剩余的有效时间，即期权成交日至期权到期日的时间．在其他条件不变的情况下，权力期间越长，期权价格越高；反之，期权价格越低．这主要是因为权利期间越长，期权的时间价值越大；随着权利期间缩短，时间价值也逐渐减少；在期权的到期日，权利期间为零，时间价值也为零．通常权利期间与时间价值存在同方向但非线性的关系。
随机过程Ch5连续时间的马尔可夫链ppt课件
由柯尔莫哥洛夫向前方程旳矩阵形式可得
例：设有一参数连续，状态离散的马尔可夫
过程X t,t 0，状态空间为I 1,2,, N，
当i j，时qij 1，i, j 1,2,, N，
当i 1,2,, N时，qii (N 1)，求pij t 。
则器件在0, t 正常工作，即寿命超过t的概率为： PX t exdx et
t
已知器件用了t小时，器件寿命超过t h，
即在t,t h器件不坏的概率为：
p00h PX t h / X t
PX
t h, X
PX t
t
PX t h PX t
e t h et
eh
1 h
5.2柯尔莫哥洛夫微分方程
一.连续性条件(正则性条件)
规定lim t 0
pij t ij
1 0
i j i j
或lim Pt I t 0
称此为连续性条件(正则性条件)
阐明：过程刚进入某状态不可能立即又 跳跃到另一状态，这恰好阐明一种物理系统要 在有限时间内发生无限屡次跳跃，从而消耗无 穷多旳能量这是不可能旳，亦即经过很短时间 系统旳状态几乎是不变旳。
定理：设pij (t)是齐次马尔可夫过程的转移概率， 则下列极限存在：
dpij t
dt
t 0
lim
h0
pij h
h
pij 0
lim
h0
pij h ij
h
Hale Waihona Puke qij即: 1dpii t
dt
t 0
lim
h0
pii h 1
h
期权定价的Black-Scholes-Merton模型
dƒ
ƒ S
mS
ƒ t
½
2ƒ S 2
s2S
2
dt
ƒ S
sS
dz
W e set up a portfolio consisting of
1: derivative
+ ƒ : shares S
22
Black-Scholes 微分方程的推导
The value of the portfolio is given by ƒ ƒ S S
函数的过d程x 。a数x,学td表t 达b式x为,t：dz
其中，参数a和b是标的变量 x 和 t 的函数。
股票价格的 Itoˆ 过程
dS mSdt sSdz
其中，m是期望收益率，s是波动率。 等价地，离散时间过程表示为
DS mSDt sS Dt蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模拟是一种工具，可用来评估在 未来某个时期可能实现的各种不同损益的 可能性。它是通过模拟市场价格和波动率 的变动，得到在某个指定时期该证券组合 盈亏的整个概率分布。对于包含许多不同 标的资产的证券组合，在已知这些标的资 产之间相关性的条件下，蒙特卡罗模拟可 用于评估该组合的风险。
N(d 1)e– qT 支付股息率为q 的欧式看跌期权的delta值为
e– qT [N (d 1) – 1]
39
Delta对冲
对冲策略要不断的调整，这种调整过程被 称为再平衡
Delta对冲一个书面的期权涉及到“买高, 卖低” 交易规则
40
运用期货的Delta对冲
期货合约的delta值是现货交易合约的e(r-q)T倍 因此用于delta对冲期货合约的头寸是对应现
Black-Scholes期权定价模型解析
虑任何交易成本和其他费用
二、无收益资产的期权定价公式
• （一）无收益欧式看涨期权的价格
c SN (d1) Xer(T t) N (d2 )
（1）
式中：N(d)为标准正态分布函数值。
• 使用Black-Scholes期权模型可能出现一下问题：
• 1. 计算错误； • 2. 期权市场价格偏离均衡； • 3. 使用的参数错误；
• 4. Black-Scholes期权定价模型建立在众多假定
的基础上，假设与市场实际情况有较大偏差。
d1
ln( S
/
X)
(r 2 T t
/ 2)(T
t)
d2
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
t)
d1
T t
(T-t)为期权的剩余期限，r为无风险利率，X为期权的行权价 格， σ为标的资产价格波动率，S为标的资产价格。
(二)无收益欧式看跌期权的价格
• 在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式（1） 也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。
• 近似为7.2824元。
2．美式看跌期权
• 由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减 小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美 式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只 能通过较复杂的数值方法来求出。
• Black-Scholes不合用于美式期权的定价。
四、Black-Scholes微分分程
欧式期货期权的定价公式
• 对于欧式期货期权，其定价公式为：
《金融衍生品》课件_第五章_连续时间模型1
(8.12)
(8.13)
• 其中Bx 和By 是两个不同的布朗运动，它们的
相关关系由其协方差或者相关系数确定。
• 给定t < ，改变量Bx u − Bx t 和By u −
By t 都服从均值为0、方差为u-t的正态分布。
多维Itô过程
• 若存在过程ρ（可能为随机过程），使得给定t时信息条件下两
Var ∆B t = ∆t.
∆B t
∆t.
= ∆B t
2
− ∆B t
= 0，
2
= E ∆B t
∆B 2 t = E ∆B 4 t − ∆B 2 t 2
= E ∆t 2 z 4 − ∆t 2 = ∆t 2 E z 4 − 1 = 2∆t 2
• z是标准正态分布，E[z 4 ]=3.
• 到期时，股票价格对数分布：
不同计价物下的尾部概率，如计算 ≥ 的概率：
(8.35)
Z为服从标准正态分布的随机变量。
尾部概率的计算
标准正态分布随机变量Z小于等于d的概率记为N(d)（累
计概率分布函数）。
(8.36)
这里，
(8.37)
十一、波动率
• 假设存在两个几何布朗运动X和Y，它们的
分方程为：
dG =
dt +
dx
(8.9)
如果x是一个伊藤过程，y的全微分方程是
一个什么样的形式？
2、Itô引理
dG =
dt +
dx +
2
1 2
2
2 1
第五章--连续时间模型和Black-Scholes公式课件
令 t 0 得到
第五章--连续时d 间G 模 型和 BG x lacd k-x Sch ole s公G t式d t1 2 2 x G 2b 2 d t
(9 )
再将dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz，代入（9）得到：
d G G xa G t1 2 2 x G 2b 2 d t G xb d z证 毕
U i=B ti 1B ti 1 22 t (5.9)
几何布朗运动模型
B B ti1
ti
具有下面的性质：
1、 Bti1 Bti 是一个正态随机变量，方差为 t ，均值为0； 2、这些差是相互独立的随机变量。
第五章--连续时间模型和Black-Scholes公式
第二步：计算系列数值 U1、U2…Un 的均值和方差。
第五章 连续时间模型和Black-Scholes公式
第五章--连续时间模型和Black-Scholes公式
5.1 连续时间股票模型
令S（t）代表某股票在t时刻的价格，假设 S（t）服从几何布朗
运动，即股票价格变动由模型 d S S d tS d W （ 1 ）
来决定。其中S代表股票价格， 代表期望回报率， 代表资 产波动率，dW代表标准布朗运动。
t
右边在的几表何达布式朗是运一动个模均型值中为， 有 两2 2个 t变，量方：差波为动 率2 t 的 正和态漂随移机率变量 ，。
但在定价欧式看涨期权时只需要估计 。公式中并没有用到
但这两个值如何来用股票价格估计我们还需要给出。
第五章--连续时间模型和Black-Scholes公式
几何布朗运动参数估计
用无风险利率r贴现该值，得到 ertt=aertSt b，将（5.11）
变为b=0 aS0 并代入上式得到：ert t= aertSt0aS0所以：
Black-Scholes公式
其中
rt 2t / 2 ln( K / S (0)) t
是标准正态分布函数。 下面我们简单证明一下Black-Scholes公式。
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Black-Scholes公式的证明
为表述简洁，s表示标的证券的初始价格，该证券价格的 演变过程服从波动率σ的几何布朗运动，r表示利率； C(s,t,K,σ,r)表示执行价格为K，到期日为t的看涨期权的 价格，则我们要证明
P( s, t , K , , r ) C ( s, t , K , , r ) Ke rt s
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Black-Scholes公式的应用
t /n
倍，要么以概率1-p下跌为原来的 e
t /n
倍。
当 n 时，这个风险中度分布收敛到一个漂移参数为 r-σ2/2，波动参数为σ的几何布朗运动。 根据套利定理，期权需根据风险中度几何布朗运动的概 分布来定价才能使赌博公平，不然就会存在套利的机
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2
2
E[ S (t )] e
t (
)
S (0)
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几何布朗运动
用Δ表示一个小的时间增量，并假定，在每个Δ时间单 内，证券的价格或者以概率p增长u倍，或者以概率（1p）下跌d倍，其中
u e
, d e
,
1 p (1 ) 2
2
2
E (Y ) e
Var (Y ) e
2 2 2
e
2 2
e
2 2
(e 1)
Black-Scholes方程
Black-Scholes 方程：2222102σ∂∂∂++-=∂∂∂V V V SrSrV tSS这个表达式就是表示期权价格变化的Black-Scholes 偏微分方程。
它同时适合欧式看涨期权、欧式看跌期权、美式看涨期权和美式看跌期权，只是它们的终值条件和边界条件不同，其价值也不相同。
欧式看涨期权的终边值条件分别为{}(,)max 0,=-T V S T S K ，00(,) →⎧=⎨→∞⎩S V S T S S通过求解带有终边值条件的偏微分方程，得出欧式看涨期权的的解析解：()12(,)()()--=-r T t V S t SN d K eN d其中：22()--∞=⎰xd N d edx，21=d21σ=-d d ，T为期权的执行日期，K 为期权的执行价格。
基于Black-Scholes 期权定价模型，在其他条件不变的前提下考虑有交易成本的期权定价。
交易费用可看作是投资者因买卖股票产生的直接费用，一般由股票多头支付，并通常以交易成本额的固定比例M 来表示。
若股票头寸发生变化了ω份额的变化，即购买(0)ω>或出售(0)ω<价值为ωS的股票头寸，则产生的交易成本为ωM S 。
δπδδ=-∆V S222212μσδσδμδσδω⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=+++-++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭V V V V V V S S t S Z S t S t M S S S t S S S222212σδω⎛⎫∂∂=+- ⎪∂∂⎝⎭V V S t M S S t 在时刻t 标的股票价格为S 时，资产为(),∂∆=∂V S t S，经过时间δt ，资产为(),δδ∂∆=++∂V S S t t S，由套期保值策略产生的交易份额ω为()(),,ωδδ∂∂=++-∂∂V V S S t t S t SS因为时间和标的股票改变都很小，利用泰勒定理，将上式第一项展开()()()()222,,,,ωδδδδ∂∂∂∂=++-=++∂∂∂∂∂ V V V V S S t t S t SS t tS t SSSS t结合18式 看到了18页。
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由此，在t时刻S资t产 价S0格e的12动 2 t态 连tzi 续时zi 间~N可0表,1达为：4
3 还能离散S地ti得1 到任S 意ti 时e间12序2 列ti10ti =t0ti<1tti1zi<t2<zi…~N<t0m,1的资产5价2格020为/1/：13
WT
，如果
将围绕该直线波动，因此
我们（采用对数纸）描述股价的对数图，我们可以看见这些点落在 5 一条直线上，如果模型更接近现实的话，会有一些点偏离直20线20/。1/13
5.3 连续时间模型的分析
方程 dS Sdt SdB是一个随机微分方程（SDE），大多数的
SDE没有简洁的的封闭形式的解，但幸运的是这个方程存在。其解
n
令U 表示均值，则U n1 Ui 样本方差S 2 表示为：
n
S 2 = n 1 1
为
i 1
Ui U
2
U的观i测1 值均值为
1 2
2
t
r
1 2
2
t
t zi
zi ~N 0,1
8
通常以通过产生随机数或拟随机数来模拟资产的几个路径，不妨设 S0n , S1n ,..., Skn 为n资产价格路径（n=1，2，…N）则由（8）可得：
4
S =S ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ n
n
1
2
2
t
tin
i1 i
就是几何布朗运动。
S S e
Bt
2
2
t
t
0
(5.8)
这正是具有连续时间变量T的离散模型（5.7）
这里，Bt是均值为0，方差为t的正态随机变量。由此得到的是股价 的几何布朗运动模型（GBM）。注意：
ln
St S0
Bt
资产波动率，dW代表标准布朗运动。
5.2 离散模型
首先看离散资产价格模型。设在时刻 t ti i t 时的资产价格
S(t为i )
， t然后0设
得到在0≤t ≤T上离散时间的资产价
格S模(t型i1：) S(ti ) tS(ti ) tiS(ti ) i ~N 0,1 （2）
金融市场学
第五章 连续时间模型和Black-Scholes公式
1
2020/1/13
5.1 连续时间股票模型
令S（t）代表某股票在t时刻的价格，假设 S（t）服从几何布朗 运动，即股票价格变动由模型
dS Sdt SdW （1）
来决定。其中S代表股票价格， 代表期望回报率， 代表
S ( t )、S (2 t )…S ( L t )
其令次t 看连0或续L 资产价，格得模到型极，限由形(2式)式S分t别 表S0示iL01 1 t t zi
2
2020/1/13
由t
0和log 1
2
...
1则有
S =S e
r
2
2
T WT
T
0
（5.7）
其中WT是均值为0，方差为T的随机正态分布变量，
WT T z z ~ N 0,1
现将（5.7）两边取对数，得到lnST
=
ln
S0
r
2
2
T
WT
ln
S0
r
2
2
T
是一个线性公式，
资产价格路径的随机模拟
可以用（5）计算资产价格路径的计算机模拟。假设以
0=t0<t1<t2<…<tm =T模拟S（t）的值，则可根据公式：
S S e
1 2
2
ti1
ti
ti1ti zi
i1 i
zi ~N 0,1
6
来计算
S M i i1
故轨迹
2
2
t
右边的表达式是一个均值为 。
2
2
t
，方差为 2t 的正态随机变量
在几何布朗运动模型中，有两个变量：波动率 和漂移率
，但在定价欧式看涨期权时只需要估计 。公式中并没有用到
6 但这两个值如何来用股票价格估计我们还需要给出。 2020/1/13
几何布朗运动参数估计
假设有一段时间[0,T]内的股价记录。这段时间由n个长度相等 的子区间 t 组成，再假设已知每个子区间末的股价，将股价 表示为：S{i ：第i个子区间末的股价}，样本观测值为n+1个。
第一步：计算时间序列值：
Ui ln Si1 ln Si 得到数值序列U1、U2…Un 由几何布朗运动 模型U i 值满足如下等式：
Ui = Bti1
Bti
1
2
2
t
(5.9)
几何布朗运动模型
B B ti1
ti
具有下面的性质：
1、Bti1 Bti 是一个正态随机变量，方差为 t ，均值为0； 2、这些差是相互独立的随机变量。
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2020/1/13
第二步：计算系列数值 U1、U2…Un 的均值和方差。
2
log
S t
S0
L 1 i0
t
t zi
1
2
2 tzi2
（3）
S t
对（3）用中心极限定理，则 期
log
S0
可表示为具有数学
12
2
望
2t
和方差S t
log
S0
~
N的正 态随12机变2 量t,。 即2t ：
(9)
2020/1/13
其中 t 代表t-1到t的时间间隔，r代表无风险利率， 代表资产波 动率， in 代表相互独立的标准正态分布随机数。在估计期权价格
时，我们需要估计到期日的现金流，可以通过多次价格路径模拟
来估计。下面通过一些例子来看一看离散方法在模拟资产价格路
径等方面的应用。
对数正态模型
ti ,
Si
就是离散资本几个路径，也可以用公式：
S t
t
S t e
1 2
2
t
t zi
zi ~N 0,1
7
由于在风险中性世界里，所以资产的期望收益率μ 等于无风险利率r
故（7）可以重写为：
S t
t
S t e