111集合的含义与表示1
1-111集合含义与表示
例3.试分别用列举法和描述法表示下列集合，并
人
体会如何选择适当的表示法来表示集合
教
Ａ 版
（1）方程x2 2 0的所有实数根组成的集合
必
修 一
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合
·
新 课 标
·
数 学
例4:用特征性质描述法分别表示：
人
教
Ａ(1)抛物线
y
=
x
2上点的纵坐标.
{y|
y
=x
2}
修
一
新
{x|x>5,x∈N}
{x ∈R|x=2n,n ∈N+}
课标定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法
称为描述法
数
学
·
·
特征性质描述法（描述法）：
人
教 特征性质描述法（描述法）就是用确定的条
Ａ 版 必
件表示某些对象是否属于这个集合的方法。集合 A可以用它的特征性质p(x)描述为
修
一
A x | p(x)
数
学
像这样把集合中的元素一一列举出来，
元素间用逗号隔开，
写在大括号内表示集合的方法叫做列举法.
人 例1.判断下列集合用列举法表示的是否正确
教
Ａ 版
(1)由1~20以内的所有质数组成的集合表示为：
必
{2,5,7,11,13,15,17,18,19}
修
一 新 课
(2)方程x2 x的所有实数根组成的集合表示为：
(3)集合元素的特性： 确定性 、 互异性 、 无序性
·
2．元素与集合的关系
人
教
Ａ
关系 文字语言 符号
版 必
属于 a属于集合A a∈A
高一数学同步练习答案归纳总结
高一数学同步练习答案归纳总结高一数学上册练习册答案1.1集合111集合的含义与表示1.D.2.A.3.C.4.{1,-1}.5.{x|x=3n+1,n∈N}.6.{2,0,-2}.7.A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.8.1.9.1,2,3,6.10.列举法表示为{(-1,1),(2,4)},描述法的表示方法不,如可表示为(x,y)|y=x+2,y=x2.11.-1,12,2.112集合间的基本关系1.D.2.A.3.D.4.,{-1},{1},{-1,1}.5.6.①③⑤.7.A=B.8.15,13.9.a≥4.10.A={,{1},{2},{1,2}},B∈A.11.a=b=1.113集合的基本运算(一)1.C.2.A.3.C.4.4.5.{x|-2≤x≤1}.6.4.7.{-3}.8.A∪B={x|x3,或x≥5}.9.A∪B={-8,-7,-4,4,9}.10.1.11.{a|a=3,或-22113集合的基本运算(二)1.A.2.C.3.B.4.{x|x≥2,或x≤1}.5.2或8.6.x|x=n+12,n∈Z.7.{-2}.8.{x|x6,或x≤2}.9.A={2,3,5,7},B={2,4,6,8}.10.A,B的可能情形有:A={1,2,3},B={3,4};A={1,2,4},B={3,4};A={1,2,3,4},B={3,4}.11.a=4,b=2.提示:∵A∩綂UB={2}，∴2∈A，∴4+2a-12=0a=4，∴A={x|x2+4__12=0}={2,-6},∵A∩綂UB={2}，∴-6綂UB，∴-6∈B，将x=-6代入B,得b2-6b+8=0b=2,或b=4.①当b=2时,B={x|x2+2__24=0}={-6,4},∴-6綂UB，而2∈綂UB，满足条件A∩綂UB={2}.②当b=4时,B={x|x2+4__12=0}={-6,2},∴2綂UB，与条件A∩綂UB={2}矛盾.1.2函数及其表示121函数的概念(一)1.C.2.C.3.D.4.22.5.-2,32∪32,+∞.6.[1,+∞).7.(1)12,34.(2){x|x≠-1，且x≠-3}.8.-34.9.1.10.(1)略.(2)72.11.-12,234.121函数的概念(二)1.C.2.A.3.D.4.{x∈R|x≠0,且x≠-1}.5.[0，+∞).6.0.7.-15,-13,-12,13.8.(1)y|y≠25.(2)[-2,+∞).9.(0,1].10.A∩B=-2,12;A∪B=[-2,+∞).11.[-1,0).122函数的表示法(一)1.A.2.B.3.A.4.y=x100.5.y=x2-2x+2.6.1x.7.略.8.x1234y__9.略.10.1.11.c=-3.122函数的表示法(二)1.C.2.D.3.B.4.1.5.3.6.6.7.略.8.f(x)=2x(-1≤x0),-2x+2(0≤x≤1).9.f(x)=x2__+1.提示:设f(x)=ax2+bx+c，由f(0)=1,得c=1，又f(x+1)-f(x)=2x，即a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x，展开得2ax+(a+b)=2x,所以2a=2,a+b=0,解得a=1，b=-1.10.y=1.2(02.4(203.6(404.8(601.3函数的基本性质131单调性与(小)值(一)1.C.2.D.3.C.4.[-2,0),[0,1),[1,2].5.-∞,32.6.k12.7.略.8.单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为[1,+∞).9.略.10.a≥-1.11.设-10，∴(x1x2+1)(x2__1)(x21-1)(x22-1)0，∴函数y=f(x)在(-1，1)上为减函数.131单调性与(小)值(二)1.D.2.B.3.B.4.-5,5.5.25.6.y=316(a+3x)(a__)(011.日均利润，则总利润就.设定价为x元，日均利润为y元.要获利每桶定价必须在12元以上，即x12.且日均销售量应为440-(__13)·400，即x23,总利润y=(__12)[440-(__13)·40]-600(12132奇偶性1.D.2.D.3.C.4.0.5.0.6.答案不,如y=x2.7.(1)奇函数.(2)偶函数.(3)既不是奇函数，又不是偶函数.(4)既是奇函数，又是偶函数.8.f(x)=x(1+3x)(x≥0),x(1-3x)(x0).9.略.10.当a=0时，f(x)是偶函数;当a≠0时，既不是奇函数，又不是偶函数.11.a=1，b=1，c=0.提示:由f(__)=-f(x)，得c=0，∴f(x)=ax2+1bx,∴f(1)=a+1b=2a=2b-1.∴f(x)=(2b-1)x2+1bx.∵f(2)3，∴4(2b-1)+12b32b-32b00单元练习1.C.2.D.3.D.4.D.5.D.6.B.7.B.8.C.9.A.10.D.11.{0,1,2}.12.-32.13.a=-1,b=3.14.[1,3)∪(3,5].15.f1217.T(h)=19-6h(0≤h≤11),-47(h11).18.{x|0≤x≤1}.19.f(x)=x只有的实数解，即xax+b=x(_)只有实数解，当ax2+(b-1)x=0有相等的实数根x0，且ax0+b≠0时，解得f(x)=2_+2，当ax2+(b-1)x=0有不相等的实数根，且其中之一为方程(_)的增根时，解得f(x)=1.20.(1)x∈R,又f(__)=(__)2-2|__|-3=x2-2|x|-3=f(x)，所以该函数是偶函数.(2)略.(3)单调递增区间是[-1,0],[1,+∞)，单调递减区间是(-∞,-1],[0,1].21.(1)f(4)=4×13=5.2,f(5.5)=5×1.3+0.5×3.9=8.45,f(6.5)=5×1.3+1×3.9+0.5×65=13.65.(2)f(x)=1.3x(0≤x≤5),3.9__13(56.5__28.6(622.(1)值域为[22,+∞).(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数，则任取x1,x2∈(0,1]且x1f(x2)成立，即(x1__2)2+ax1x20，只要a-2x1x2即可，由于x1,x2∈(0,1]，故-2x1x2∈(-2,0)，a-2，即a的取值范围是(-∞,-2).高一数学练习册及答案一、选择题1.下列各组对象能构成集合的有()①美丽的小鸟;②不超过10的非负整数;③立方接近零的正数;④高一年级视力比较好的同学A.1个B.2个C.3个D.4个①③中“美丽”“接近零”的范畴太广，标准不明确，因此不能构成集合;②中不超过10的非负整数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共十一个数，是确定的，故能够构成集合;④中“比较好”，没有明确的界限，不满足元素的确定性，故不能构成集合.A2.小于2的自然数集用列举法可以表示为()A.{0,1,2}B.{1}C.{0,1}D.{1,2}小于2的自然数为0,1，应选C.C3.下列各组集合，表示相等集合的是()①M={(3,2)}，N={(2,3)};②M={3,2}，N={2,3};③M={(1,2)}，N={1,2}.A.①B.②C.③D.以上都不对①中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.B4.集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，则6-a∈A，那么a为()A.2B.2或4C.4D.0若a=2，则6-a=6-2=4∈A，符合要求;若a=4，则6-a=6-4=2∈A，符合要求;若a=6，则6-a=6-6=0∉A，不符合要求.∴a=2或a=4.B5.(2013-曲靖高一检测)已知集合M中含有3个元素;0，x2，__，则x 满足的条件是()A.x≠0B.x≠-1C.x≠0且x≠-1D.x≠0且x≠1由x2≠0，x2≠__，__≠0，解得x≠0且x≠-1.C二、填空题6.用符号“∈”或“∉”填空(1)22________R,22________{x|x(2)3________{x|x=n2+1，n∈N+};(3)(1,1)________{y|y=x2};(1,1)________{(x，y)|y=x2}.(1)22∈R，而22=87，∴22∉{x|x7}.(2)∵n2+1=3，∴n=±2∉N+，∴3∉{x|x=n2+1，n∈N+}.(3)(1,1)是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而{y|y=x2}表示二次函数函数值构成的集合，故(1,1)∉{y|y=x2}.集合{(x，y)|y=x2}表示抛物线y=x2上的点构成的集合(点集)，且满足y=x2，∴(1,1)∈{(x，y)|y=x2}.(1)∈∉(2)∉(3)∉∈7.已知集合C={x|63__∈Z，x∈N_}，用列举法表示C=________.由题意知3__=±1，±2，±3，±6，∴x=0，-3,1,2,4,5,6,9.又∵x∈N_，∴C={1,2,4,5,6,9}.{1,2,4,5,6,9}8.已知集合A={-2,4，x2__}，若6∈A，则x=________.由于6∈A，所以x2__=6，即x2__6=0，解得x=-2或x=3.-2或3三、解答题9.选择适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;(2)方程(3__5)(x+2)=0的实数解组成的集合;(3)一次函数y=x+6图像上所有点组成的集合.(1)绝对值不大于3的整数是-3，-2，-1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{-3，-2，-1,0,1,2,3};(2)方程(3__5)(x+2)=0的实数解仅有两个，分别是53，-2，用列举法表示为{53，-2};(3)一次函数y=x+6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y=x+6}.10.已知集合A中含有a-2,2a2+5a,3三个元素，且-3∈A，求a的值.由-3∈A，得a-2=-3或2a2+5a=-3.(1)若a-2=-3，则a=-1，当a=-1时，2a2+5a=-3，∴a=-1不符合题意.(2)若2a2+5a=-3，则a=-1或-32.当a=-32时，a-2=-72，符合题意;当a=-1时，由(1)知，不符合题意.综上可知，实数a的值为-32.11.已知数集A满足条件：若a∈A，则11-a∈A(a≠1)，如果a=2，试求出A中的所有元素.∵2∈A，由题意可知，11-2=-1∈A;由-1∈A可知，11--1=12∈A;由12∈A可知，11-12=2∈A.故集合A中共有3个元素，它们分别是-1，12，2.高一数学练习题答案C B AD C D C D C B26 {(1,2)} R {4,3,2,-1｝1或-1或016、x=-1 y=-117、解：A={0，-4} 又(1)若B= ，则，(2)若B={0}，把x=0代入方程得a= 当a=1时，B=(3)若B={-4}时，把x=-4代入得a=1或a=7.当a=1时，B={0，-4}≠{-4}，∴a≠1.当a=7时，B={-4，-12}≠{-4}，∴a≠7.(4)若B={0，-4}，则a=1 ，当a=1时，B={0，-4}，∴a=1综上所述：a18、.解：由已知，得B={2，3｝，C={2，-4｝.(1)∵A∩B=A∪B，∴A=B于是2，3是一元二次方程x2-ax+a2-19=0的两个根，由韦达定理知：解之得a=5.(2)由A∩B ∩ ，又A∩C= ，得3∈A，2 A，-4 A，由3∈A，得32-3a+a2-19=0，解得a=5或a=-2?当a=5时，A={x|x2-5x+6=0｝={2，3｝，与2 A矛盾;当a=-2时，A={x|x2+2__15=0｝={3，-5｝，符合题意.∴a=-2.19、解:A={x|x2-3x+2=0}={1,2},由x2-ax+3a-5=0，知Δ=a2-4(3a-5)=a2-12a+20=(a-2)(a-10).(1)当2(2)当a≤2或a≥10时，Δ≥0，则B≠ .若x=1，则1-a+3a-5=0,得a=2,此时B={x|x2-2x+1=0}={1} A;若x=2，则4-2a+3a-5=0，得a=1,此时B={2,-1} A.综上所述，当2≤a10时，均有A∩B=B.20、解：由已知A={x|x2+3x+2 }得得.(1)∵A非空，∴B= ;(2)∵A={x|x }∴ 另一方面，，于是上面(2)不成立，否则，与题设矛盾.由上面分析知，B= .由已知B= 结合B= ,得对一切x 恒成立，于是，有的取值范围是21、∵A={x|(__1)(x+2)≤0}={x|-2≤x≤1}，B={x|1∵ ，(A∪B)∪C=R，∴全集U=R。
高中数学 111集合的含义和表示(二)课件 湘教版必修1
( )．
• A．5
B．6
C．7
D．8
• 解析 {x|1≤x≤6，x∈N}＝{1，2，3，4，5，6}．
• 答案 B
2．
3． • 将集合{x|2≤x≤8}表示成区间为____________．
• 答案 [2，8]
• 能被3整除的正整数的集合，用描述法可表示为 4． ________．
• 答案 {x|x＝3n，n∈N＋}
名师点睛
1． • 在用列举法表示集合时应注意以下四点： • (1)元素间用“，”分隔； • (2)元素不重复； • (3)不考虑元素顺序； • (4)对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素 有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显 示清楚后方能用省略号．
2． • 使用描述法时应注意以下四点： • (1)写清楚该集合中元素的一般属性或形式(字母或用字 母表示的元素符号)； • (2)说明该集合中元素的特征； • (3)不能出现未被说明的字母； • (4)用于描述的语句力求简明、确切．
(2)使 y＝x2＋1x－6有意义的实数 x 的集合； (3)在坐标平面中第一、三象限上点的集合．
解 (1){x∈R|x2－2＝0}．
(2)要使 y＝x2＋1x－6有意义，须 x2＋x－6≠0，即 x≠2 且 x ≠－3，故可表示成{x|x≠2 且 x≠－3，x∈R}． • (3)第一、三象限上的点的特征是纵横坐标符号相同，
• 提示 集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x， • 满足条件y＝x2＋1中的x∈R， • ∴实质上{x|y＝x2＋1}＝R. • 集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y， • 满足条件y＝x2＋1中的y的取值范围是y≥1， • ∴实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}． • 集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)， • 满足条件y＝x2＋1的(x，y)的集合是抛物线， • ∴实质上{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}． • 由以上可知它们不是相同的集合．
1.1.1集合的含义与表示
1.1.1集合的含义及表示一、集合：把指定的某些对象的全体称为集合，用大写的拉丁字母A,B,C等表示。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素，用小写的拉丁字母a，b，c 等表示。
通常将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内来表示集合，即{},,A a b c=①元素的特性：⑴确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；⑵互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的；⑶无序性：集合中的元素是无先后顺序的。
②元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a A∈；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A∉。
③集合的分类：根据集合中元素个数的多少，把集合分为有限集和无限集两大类。
④集合相等：两个集合中的元素完全相同。
例1 （2011 湖北过关检测题）下面各组对象能否构成集合？⑴某校高一年级的16岁以下的学生；⑵高一数学必修一课本上的所有难题；⑶和2003非常接近的数；⑷方程210x+=的实数解；⑸ a，b，a，c。
⑹所有的正三角形例2 （2011 黄冈调考题）含有三个实数的集合可表示为{a，ba，1}，也可表示为{2a ，a+b ，0}.求20102011a b +的值。
例3 （2011 河源质检题）已知集合{},,2A a a d a d =++，{}2,,B a aq aq =（a为常数），若A=B ，求d ，q 的值。
二、 常用数集:自然数集-----N ；正整数集-----N +；整数集-------Z ； 有理数集-----Q实数集-------R例 4 （2011 岳阳高一统考题）已知集合{}3,M x x n n Z ==∈，{}31,N x x n n Z ==+∈，{}31,P x x n n Z ==-∈且,,a M b N c P ∈∈∈，设d a b c=-+，则（ ） A 、d M ∈ B 、d N ∈ C 、d P ∈ D 、以上都不对三、 集合的表示方法① 列举法：就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法。
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 知识点考点汇总及解题方法规律提炼
第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合的概念 (1)1.1.2集合的表示 (4)1.2集合间的基本关系 (8)1.3.1并集与交集 (13)1.3.2补集及集合运算的综合应用 (17)1.4.1充分条件与必要条件 (20)1.4.2充要条件 (24)1.5.1全称量词与存在量词 (28)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (32)1.1.1集合的概念要点整理1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．温馨提示：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．温馨提示：(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．4．常用的数集及其记法题型一集合的基本概念【典例1】判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？(1)接近于2019的数；(2)大于2019的数；(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；(5)函数y＝x2图象上的点．[思路导引] 构成集合的关键是要有明确的研究对象，即元素不能模糊不清、模棱两可．[解] (1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合．对集合含义的理解给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．题型二元素与集合的关系【典例2】(1)下列关系中，正确的有( )①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个 B．2个 C．3个D．4个(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．[思路导引] 判断一个元素是否为某集合的元素，关键是抓住集合中元素的特征．[解析] (1)12是实数；2是无理数；|－3|＝3，是自然数；|－3|＝3，是无理数．故①②③正确，选C．(2)当x＝0时，63－0＝2；当x＝1时，63－1＝3；当x＝2时，63－2＝6；当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.[答案] (1)C (2)0,1,2判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．题型三集合中元素的特性【典例3】已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．[思路导引] 由集合中元素的确定性和互异性切入．[解析] 若a＝1，则a2＝1，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a≠1；若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍去)，此时集合A中两元素为－1,1，故a＝－1.综上所述a＝－1.[答案] －1[变式] (1)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．(2)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？[解] (1)若a＝2，则a2＝4，符合元素的互异性；若a2＝2，则a＝2或a＝－2，符合元素的互异性．所以a的取值为2，2，－ 2.(2)根据集合中元素的互异性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1.应用集合元素的特性解题的要点(1)集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么．(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．(3)利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．1.1.2集合的表示1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．温馨提示：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．温馨提示：(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母．题型一用列举法表示集合【典例1】 用列举法表示下列集合：(1)方程x (x －1)2＝0的所有实数根组成的集合；(2)不大于10的非负偶数集；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合．[思路导引] 用列举法表示集合的关键是弄清集合中的元素是什么，还要弄清集合中的元素个数．[解] (1)方程x (x －1)2＝0的实数根为0,1，故其实数根组成的集合为{0,1}．(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数，故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}．(3)由⎩⎨⎧ y ＝x y ＝2x －1，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1.故一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合为{(1,1)}．题型二用描述法表示集合【典例2】 用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合；(4)不等式3x －2<4的解集．[思路导引] 用描述法表示集合的关键是确定代表元素的属性和表示元素的共同特征．[解] (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }．(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．(4)不等式3x－2<4可化简为x<2，所以不等式3x－2<4的解集为{x|x<2}．用描述法表示集合应注意的3点(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．题型三集合表示方法的应用【典例3】(1)若集合A＝{x|ax2－8x＋16＝0，a∈R}中只有一个元素，则a的值为( )A．1 B．4 C．0 D．0或1(2)已知A＝{x|kx＋2>0，k∈R}，若－2∈A，则k的取值范围是________．[思路导引] 借助描述法求值或范围的关键是弄清集合中元素的特征．[解析] (1)①当a＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}；②当a≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程ax2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64a＝0，即a＝1.从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．综上所述，实数a的值为0或1.故选D．(2)∵－2∈A，∴－2k＋2>0，得k<1.[答案] (1)D (2)k<1[变式] (1)本例(1)中条件“有一个元素”改为有“两个元素”，其他条件不变，求a的取值范围．(2)本例(2)中条件“－2∈A ”改为“－2∉A ”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] (1)由题意可知方程ax 2－8x ＋16＝0有两个不等实根．∴⎩⎨⎧ a ≠0，Δ＝64－64a >0，解得a <1，且a ≠0.(2)∵－2∉A ，∴－2k ＋2≤0，得k ≥1.集合表示方法的应用的注意点(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)与方程ax 2－8x ＋16＝0的根有关问题易忽视a ＝0的情况．集合的表示方法1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集．当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集，一般采用描述法表示集合．对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．【典例1】 用列举法表示下列集合：(1)正整数集；(2)被3整除的数组成的集合．[解] (1)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{1,2,3,4，…}．(2)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{…，－6，－3,0,3,6，…}．[点评] (1){1,2,3,4，…}一般不写成{2,1,4,3，…}；(2)此题中的省略号不能漏掉．2．集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．【典例2】已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？[解] ∵三个集合的代表元素互不相同，∴它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，即满足条件y＝x2＋1中的所有x，∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x，y)的集合，也可认为是坐标平面内的点(x，y)，且这些点的坐标满足y＝x2＋1.∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．[点评] 使用特征性质描述来表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，如本题中元素的属性都与y＝x2＋1有关，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一样．1.2集合间的基本关系1．子集的概念温馨提示：“A是B的子集”的含义是：对任意x∈A都能推出x∈B.2．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B 且B⊆A，则A＝B.3．真子集的概念温馨提示：在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x ∈B，但x∉A.4.空集的概念题型一集合间关系的判断【典例1】判断下列两个集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[思路导引] 集合间基本关系的刻画均是由元素的从属关系决定的．[解] (1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(4)解法一(特殊值法)：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.解法二(列举法)：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.判断集合间关系的3种方法(1)列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．(2)元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．(3)图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．题型二有限集合子集、真子集的确定【典例2】(1)填写下表，并回答问题原集合子集子集的个数∅________________{a}________________{a，b}________________{a，b，c}________________由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集个数呢？(2)求满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M.[解] (1)原集合子集子集的个数∅∅ 1{a}∅，{a} 2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b} 4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8猜想：含n个元素的集合的子集共有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．(1)求解有限集合子集问题的3个关键点①确定所求集合，是子集还是真子集．②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)与子集、真子集个数有关的3个结论 假设集合A 中含有n 个元素，则有： ①A 的子集的个数为2n 个； ②A 的真子集的个数为2n －1个； ③A 的非空真子集的个数为2n －2个．【典例3】 已知集合A ＝{x |－3<x <4}，B ＝{x |1－m <x ≤2m －1}，且A ⊆B ，求实数m 的取值范围．[思路导引] A ⊆B ，即集合A 中的数在集合B 中，特别注意A ＝∅的情况． [解] 由A ⊆B ，将集合A ，B 分别表示在数轴上，如图所示，则⎩⎨⎧1－m ≤－3，1－m <2m －1，4≤2m －1，解得m ≥4.故m 的取值范围是{m |m ≥4}．[变式] (1)本例中若将“A ⊆B ”改为“B ⊆A ”，其他条件不变，求m 的取值范围．(2)本例若将集合A ，B 分别改为A ＝{3，m 2}，B ＝{1,3,2m －1}，其他条件不变，求实数m 的值．[解] (1)由B ⊆A ，将集合A ，B 分别表示在数轴上，如图所示．∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，1－m ≥2m －1，解得m ≤23；当B ≠∅时，有⎩⎨⎧2m －1>1－m ，2m －1<4，1－m ≥－3，解得23<m <52.综上可知，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <52. (2)由A ⊆B ，按m 2＝1和m 2＝2m －1两种情况分类讨论． ①若m 2＝1，则m ＝－1或m ＝1.当m ＝－1时，B 中元素为1,3，－3，适合题意； 当m ＝1时，B 中元素为1,3,1，与元素的互异性矛盾． ②若m 2＝2m －1，则m ＝1，由①知不合题意． 综上所述，m ＝－1.由集合间的关系求参数的2种方法(1)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．(2)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．1.3.1并集与交集1．并集的概念及表示2.交集的概念及表示温馨提示：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．3．并集、交集的运算性质【典例1】(1)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( ) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{1,2} D．{0}(2)已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤4} C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}[思路导引] 由并集的定义，结合数轴求解．[解析] (1)A∪B＝{0,1,2,3,4}，选A.(2)在数轴上表示两个集合，如图．∴P∪Q＝{x|x≤4}．选C.[答案] (1)A (2)C求集合并集的2种方法(1)定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果．(2)数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．题型二交集的运算【典例2】(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}(2)设A＝{x∈N|1≤x≤5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( )A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3}[思路导引] 既属于集合A，又属于集合B的所有元素组成的集合，借助图示方法求解．[解析] (1)在数轴上表示出集合A与B，如下图．则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．选A.(2)A＝{x∈N|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，图中阴影部分表示的是A∩B，∴A∩B＝{2}．选A.[答案] (1)A (2)A求集合交集的2个注意点(1)求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果．(2)在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰．题型三由集合的并集、交集求参数【典例3】 (1)设集合A ＝{x |－1<x <a }，B ＝{x |1<x <3}且A ∪B ＝{x |－1<x <3}，求a 的取值范围．(2)已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，B ＝{x |2－k ≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．[思路导引] (1)画出数轴求解．(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ；若A ∩B ＝A ，则A ⊆B .[解] (1)如下图所示，由A ∪B ＝{x |－1<x <3}知，1<a ≤3. (2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .若B ＝∅，则2－k >2k －1，得k <1；若B ≠∅，则⎩⎨⎧2－k ≤2k －1，2－k >－3，2k －1≤4，解得1≤k ≤52.综上所述，k ≤52.[变式] 本例(2)若将“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B . ∴⎩⎨⎧2－k ≤－3，2k －1≥4，解得k ≥5.由集合交集、并集的性质解题的策略、方法及注意点(1)策略：当题目中含有条件A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A ∩B ＝A 转化为A ⊆B ，A ∪B ＝B 转化为A ⊆B .(2)方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．(3)注意点：当题目条件中出现B⊆A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝∅的情况．1.3.2补集及集合运算的综合应用要点整理1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.2．补集温馨提示：∁U A的三层含义：(1)∁U A表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合．题型一补集的运算【典例1】(1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________________；(2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________________.[思路导引] 借助补集定义，结合数轴及Venn图求解．[解析] (1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．[答案] (1){x|x<－3或x＝5} (2){2,3,5,7}求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．题型二交集、并集、补集的综合运算【典例2】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁U A，A∩B，∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.[解] 把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁U A)∩B＝{x|－U3<x≤－2或x＝3}．解决集合交、并、补运算的2个技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．题型三利用集合间的关系求参数【典例3】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．U[思路导引] 理清集合间的关系，分类求解．[解] 由已知A＝{x|x≥－m}，得∁U A＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁U A)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.[变式] (1)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U A)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？(2)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U B)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？[解] (1)由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁U A＝{x|x<－m}，又(∁U A)∩B≠∅，所以－m>－2，解得m<2.(2)由已知得A＝{x|x≥－m}，∁U B＝{x|x≤－2或x≥4}．又(∁U B)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.利用集合关系求参数的2个注意点(1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．[针对训练]5．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}．(1)若A∪(∁R B)＝R，求实数a的取值范围；(2)若A(∁R B)，求实数a的取值范围．[解](1)∵B＝{x|1<x<3}，B＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁R因而要使A∪(∁R B)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.(2)∵A＝{x|x<a}，∁R B＝{x|x≤1或x≥3}．要使A(∁R B)，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.1.4.1充分条件与必要条件要点整理1．命题及相关概念2．充分条件与必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．温馨提示：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．题型一充分、必要条件的概念及语言表述【典例1】将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分条件、必要条件的语言表述：(1)两个全等三角形的对应高相等；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．[解] (1)若两个三角形是全等三角形，则它们的对应高相等，所以“两个三角形是全等三角形”是“它们的对应高相等”的充分条件；“对应高相等”是“两个三角形是全等三角形”的必要条件．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，所以“两个三角形等底等高”是“这两个三角形是全等三角形”的不充分条件；“两个三角形是全等三角形”是“这两个三角形等底等高”的不必要条件．(1)对充分、必要条件的理解①对充分条件的理解：i)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．ii)充分条件不是唯一的，如x>2，x>3都是x>0的充分条件．②对必要条件的理解：i)所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．ii)必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．(2)用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤第一步：分析定理的条件和结论；第二步：将定理写成“若p，则q”的形式；第三步：利用充分、必要条件的概念来表述定理．题型二充分条件、必要条件的判定【典例2】判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？(1)p：x>1，q：x2>1；(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(3)已知：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac>0，q：函数图象与x轴有交点．[思路导引] 判断“若p，则q”命题的真假及“若q，则p”命题的真假．[解] (1)由x>1可以推出x2>1，因此p是q的充分条件；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p不是q的必要条件．(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p不是q的充分条件；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当Δ>0时，其图象与x轴有交点，因此p是q的充分条件；反之若函数的图象与x轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ>0，因此p不是q的必要条件．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p 的必要条件；②如果命题：“若p ，则q ”为假命题，那么p 不是q 的充分条件，同时q 也不是p 的必要条件．显然，p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p ⇒q ，只是说法不同而已．题型三充分条件、必要条件与集合的关系【典例3】 (1)已知p ：关于x 的不等式3－m 2<x <3＋m 2，q ：0<x <3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．(2)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－3x ＋1，x ∈R }，B ＝{x |x ＋2m ≥0}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围．[思路导引] p 是q 的充分条件转化为对应集合A ⊆集合B ，q 是p 的必要条件转化为集合A ⊆集合B .[解] (1)记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |0<x <3}， 若p 是q 的充分条件，则A ⊆B .注意到B ＝{x |0<x <3}≠∅，分两种情况讨论：①若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m 2，解得m ≤0，此时A ⊆B ，符合题意； ②若A ≠∅，即3－m 2<3＋m 2，解得m >0， 要使A ⊆B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≥0，3＋m 2≤3，m >0，解得0<m ≤3. 综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)由已知可得 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y | y ≥－54， B ＝{x |x ≥－2m }．因为q 是p 的必要条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以－2m ≤－54，所以m ≥58，即m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m |m ≥58. [变式] 本例(1)中若将“若p 是q 的充分条件”改为“p 是q 的必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．[解] 记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |0<x <3}，若p 是q 的必要条件，则B ⊆A .应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≤0，3＋m 2≥3，解得m ≥3.综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≥3}．(1)利用充分、必要条件求参数的思路根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p ，q 等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．(2)从集合角度看充分、必要条件：设命题p 、q 分别对应集合A 、B ，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件．1.4.2充要条件要点整理充要条件如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q .此时p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件．我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．温馨提示：(1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇔q，则p是q的充要条件．③若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．④若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．⑤若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．(2)“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p 是s的充要条件．题型一充要条件的判断【典例1】在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(2)若a，b∈R，p＝a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(3)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.[思路导引] 判断是否p⇒q，q⇒p.[解] (1)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(2)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(3)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁U A⊇∁U B，并且∁U B⊆∁U A⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p 是q的充要条件．[变式] 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？[解] 作出“⇒”图，如右图所示，。
1.1.1-1集合的含义与表示知识要点
1.1.1-1集合的含义与表示知识要点 一知识要点1．集合的概念（1）集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成为一个集合（set ）。
常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B 。
（2）元素：集合中每个对象称为该集合的元素（element ），简称元素常用小写的拉丁字母来表示，如a 、b 、c ……2．关于集合的元素的特征（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素可以交换位置.3．常用数集及记法（1）自然数集：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：自然数集内排除0的集合记作N *或N + ，{},3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q（5）实数集：全体实数的集合记作R ．4．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)A ，记作a ∈A ．注意“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)A ，记作a ∉A5．集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；各元素之间用逗号分开。
注：1．大括号不能缺失.2．有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100)自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…}３．区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素.a 表示这个集合的一个元素.４．用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.（2）描述法：把集合中的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{|()}x p x 的形式。
1.1.1 集合的含义与表示
1.1.1 集合的含义与表示知识点：1.一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）(简称为集)。
注意：集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示，元素常用小写字母,,,a b c d …表示.2.元素与集合的关系：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈.如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.3.集合中元素的特征(三要素)：确定性、互异性、无序性.解释：对于一个给定的集合，它的元素必须是明确的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合中元素的确定性； 一个给定集合的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现，这就是集合的互异性；集合中的元素具有无序性，即集合中的元素是没有顺序的，如果两个集合中的元素完全相同，那么这两个集合相等.4. 常用数集的记法：自然数集：N ； 有理数集： Q ； 整数集： Z ；实数集： R ； 正实数集： +R ； 正整数集： *N N +或 .5.集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法.列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用大括号“{ }”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法；描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x 是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.6、注意：类似“高个子”、“接近100”、“难题”等都没有具体的衡量标准，是模棱两可的、不确定的，都不符合集合的概念。
7、认识集合：一看代表元素；二看元素性质。
集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y ＝x 2＋1}、{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }和{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ∈R }，这三个集合是不相同的．8、用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn 图．用Venn 图、数轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法。
111集合的含义与表示(1)
思考1：设集合A表示“1～15以内的所有质数”，那 么3，4，5，6这四个元素哪些在集合A中？哪些不在集合A 中？
思考2：对于一个给定的集合A，那么某元素a与集合A 有哪几种可能关系？
3：元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A， 记作a∈A.
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A， 记作aA.
集合，求实数a、b.
例3.已知2 1，x，x2 x ，求实数 x的值.
通常用小写字母a, b, c, … 表示元素.
观察下列对象： （1）1～15以内的所有质数； （2）绝对值小于3的整数； （3）高一（九）班全体同学； （4）平面内到定点的距离等于定长的所有的点.
思考1：上述4个集合中的元素分别是什么？ 思考2：组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中 的元素个数的多少是否有限制？ 思考3：试列举一个集合的例子，并指出集合中的元素.
观察下列对象： （1）1～15以内的所有质数； （2）绝对值小于3的整数； （3）高一（九）班全体同学； （4）平面内到定点的距离等于定长的所有的点.
1.集合的概念: 一般地，指定的某些对象的全体称为集合，
简称“集”. 集合中每个对象叫做这个集合的元素.
2.集合的表示:
通常用大写字母A, B, C, … 表示集合.
实数集：记作 R
3.14 ____Q, 0 ____ N*,
____Q, 2 ____ Q,
注意：自然 数集包括0
0 ____ Z 2 ____ R
考察下列集合： （1）小于9的所有正奇数组成的集合； （2）15以内的质数组成的集合.
思考1、这两个集合分别含有哪些元素？ （1）1，3，5，7； （2）2，3，5，7，11，13；
1.1.1集合的含义与表示
3
2.集合: 集合常用大写字母表示，元素常用小 写字母表示.
一般用大括号”{ }”表示集合,也常用 大写的拉丁字母A、B、C…表示集合. 用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素
4
3.集合与元素的关系: 如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a∈A. 如果a不是集合A的元素，就说a不属 于集合A，记作aA. 例如：A表示方程x2＝1的解. 2A，1∈A.
Hale Waihona Puke 12• 例2试分别用列举法和描述法表示下 列集合： • (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集 合； • (2)由大于10小于20的所有整数组成 的集合。 思考题 结合此例,试比较用自然语言、 列举法和描述法表示集合时各自的特点和 适用的对象。
13
• 练习与思考 教材P5练习1、2
14
课堂小结
那么{(1，2)}，{(2，1)}是否为同一集合?
7
判断下列例子能否构成集合 中国的直辖市
√
× ×
身材较高的人
著名的数学家
高一(3)班眼睛很近视的同学
×
注:像”很”,”非常”,”比较”这些不确定的词 都不能构成集合
8
5.集合的表示方法 1、列举法： 无序 互异
将集合中的元素一一列举出来，并 用花括号{ }括起来的方法叫做列 举法
5
4.常用的数集:
N：自然数集(含0)
N+或N*：正整数集(不含0)
Z：整数集
Q：有理数集
R：实数集
6
5.集合元素的性质: ⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一. ⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同 的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}. ⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.
(整理)1.1.1集合的含义与表示.
1．1．1集合的含义与表示1. 元素：我们把研究的对象统称为元素；常用小写字母a , b , c …表示元素。
2. 集合：把能够确定的不同元素的全体叫做集合,简称集.常用大写字母A ，B ，C …表示。
3. 集合的性质:(1)确定性:元素必须是确定的。
是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象，若有，则能构成集合，否则不能构成集合。
(2)互异性:元素必须是互异不相同的。
(3)无序性: 元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合。
4. 集合相等：构成两个集合的元素是一样的。
5. 集合与元素的关系:如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . 6. 重要的数集:N ：自然数集(含0)N+：正整数集(不含0) Z ：整数集 Q ：有理数集 R ：实数集7. 空集（∅）：把没有元素的集合叫做空集，记作∅。
8. 集合的表示方法：列举法、描述法、区间表示列举法：将集合中元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，用花括号{ }括起来。
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。
如： 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
区间表示：设a 、b 是两个实数，且a<b ，规定：① 满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合, 叫作闭区间，记作 [a,b]； ② 满足不等式a<x<b 的实数x 的集合, 叫作开区间，记作 （a,b ）；③ 满足不等式a ≤x<b 或a<x ≤b 的实数x 的集合, 叫作半开半闭区间，分别记作{}|10x R x ∈<{}|∈一般符号范围共同特征练习：一、说法正确的是( )1. 接近于0的数的全体构成一个集合2. 棱柱的全体构成一个集合3. 未来世界的高科技产品构成一个集合4. 不大于3的所有自然数构成一个集合5. 漂亮的花6. 正三角形全体二、集合{1，2}与集合{（1，2）}是否相等？集合{(1，2)，(2，1)}与集合{(2，1)，（1，2）}是否相等？ 三、⑴ 0 ∅ ⑵ {0} ∅四、用列举法表示下列集合：(1) 方程x x =2 的所有实数根组成的集合； (2) 方程0)1(2=-x 的所有实数根组成的集合； (3) 由1～20以内的所有质数组成的集合。
1.1.1 集合的含义与表示
下列能构成集合的是（ B ） A.中央电视台著名节目主持人 B.2010年广州亚运会中的志愿者 C.2010年上海世博园中所有漂亮的展馆 D.世界上的高楼
2.集合的相等：
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集 合是相等的。
注：
我们通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合，用小写拉丁 字母a,b,c,…表示集合中的元素。
A {0,1,2,3,,999}
(2)设方程 x 2 1的实根组成的集合为B，则
B {1,1}
(3)设全体负整数组成的集合为C，则
C {1,2,3,4,}
例7：写出关于x的方程 x 2 (a 1) x a 0 的解集
2 解:由 x (a 1) x a 0 ，得 ( x a)( x 1) 0
例３：已知 A {x | 3 3x 0}，则下列各式正确的是（
）
A.3 A C.0 A
解析：A {x | x 1} 由于 3 1,1 1,0 1,1 1 则有 3 A,1 A,0 A,1 A 答案：C
B.1 A D. 1 A
例4：含有两个实数的集合A可以表示为{a 3,2a 1} ，求实数a满 足的条件 解：因为A {a 3,2a 1} 中含有两个元素，由集合中元素的互异 性，可得：
解：设方程 x 2 2 0 的实数根为x，并且满足条件 x 2 2 0 ，因 此，用描述法表示为： A {x R | x 2 2 0} 方程 x 2 2 0 有两个实数根 2 , 2 ，因此用列举法表示为：
A { 2 , 2}
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合：
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集）， 记作N
人教版高中必修一 111 《集合的含义与表示》 课件
新知探索
例题讲解
例1、用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程x²=x的所有实数根组成的集合； （3 ) 小于100的所有奇数．
注意：由于元素具有无序性， 集合A还有其它列举方法哦，
动手试一试吧！
【解析】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么 A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
为__-_1_. （3）若A= {x²+x-6=0},则3___∉_____A.
巩固练习
3、判断下列说法是否正确：
(1) {x2,3x+2,5x3-x}即{5x3-x,x2,3x+2} .
(2) 若4x=3,则 x N. (3) 若x Q,则 x R .
(4)若X∈N,则x∈N+.
（ √） （√ ） （×） （× ）
巩固练习
4、已知集合A={x | ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R}只有一个元素， 求a的值和这个元素．
解析：当a=0时，x=-1； 当a≠ 0 时，由于集合只有一个元素，所以 =0，则x=-2.
拓展应用
5、设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，a∈A且3a∈A，求a的值.
解析：因为a∈A且3a∈A， a＜6,
合是不么定义呢的？那概你么念能，，举集数一合学些的家有很含难关义回集是答合什。 一的天例，子他吗看到？牧民正在向羊圈里赶羊，
等到牧民把羊全赶进羊圈并关好门，数学家 突然灵机一动，兴奋地告诉牧民：“这就是 集合”。
新知探索
探究1 集合的含义
观察下面例子，它们有什么共同特征？ （1）1～20以内的所有偶数； （2）我国古代四大发明 （3）所有的长方形； （4）到直线的距离等于定长d的所有的点； （5）方程x²+3x-2=0的所有实数根； （6）我国从2001～2018年的15年内所发射的所有卫星。
高中数学第一章集合与函数概念11集合111集合的含义与表示课后导练1
1。
1。
1 集合的含义与表示课后导练基础达标1.给出的对象不能构成集合的是（)A。
直角坐标系中横纵坐标互为相反数的点B.平方后不等于9的实数C。
无限靠近2的实数xD。
方程x+y=3的解解析：C中元素不满足确定性。
答案：C2。
下列集合中，不是方程(x—1）x（x+1)=0解集的集合是（）A。
{1，0,—1｝ B.｛0,—1，1｝C。
{x|x（x+1)（x—1）=0} D。
{（-1,0，1）｝解析：｛(—1,0,1）}表示是一个有序数组的集合，该集合只含一个元素,不是方程（x—1）x(x+1)=0的解集。
答案：D3。
下列表示的关系中正确的个数有（)①0∉N ②3.14∉Q ③π∈R ④32∈{x｜x≤17}A.1个B.2个C。
3个D。
4个解析：①0∈N，②3。
14是有理数,∴3.14∈Q，③π∈R显然正确，④32=18，∴32∉{x｜x≤17},∴正确命题只有③。
答案:A4。
集合｛x ｜x=a a ||+||b b ｝中元素的个数有…（ ） A.2个 B 。
3个 C.4个 D 。
无法说清 解析：当a 〉0,b 〉0时,x=2；当a 〉0，b<0时，x=1-1=0；当a 〈0,b>0时，x=0；当a<0,b 〈0时，x=-1-1=-2，∴集合中含有3个元素,故选B.答案:B5.用列举法写出与集合A 、B 相等的集合.A={x ∈N|x ≥1且x ≤2}=________________;B={x ｜x=1或x=2}=__________________。
答案：{1，2｝ {1，2｝6.集合M=｛x ∈N|x=5—m,m ∈N ｝中元素的个数为_________________。
答案：67。
用描述法表示在自然数中被7除余2的数为__________________。
答案:｛x ｜x=7m+2，m ∈N}8.若1∈A=｛x ｜x 2-a=0｝，则B={y ｜y=x+1，x ∈A ｝=___________________。
111-1集合的含义及其表示
1.1.1 集合地含义及其表示方法<1）教案【教学目标】1. 通过实例了解集合地含义,体会元素与集合地“属于”关系,能选择集合不同地语言形式描述具体地问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容地意识.2. 了解集合元素地确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题地能力,培养学生地应用意识.【教学重难点】教学重点:集合地基本概念与表示方法.教学难点:选择恰当地方法表示一些简单地集合.【教学过程】一、导入新课军训前学校通知:8 月15 日8 点,高一年级学生到操场集合进行军训. 试问这个通知地对象是全体地高一学生还是个别学生？在这里,集合是我们常用地一个词语,我们感兴趣地是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三>对象地总体,而不是个别地对象,为此,我们将学习一个新地概念——集合.二、提出问题①请我们班地全体女生起立！接下来问：咱班地所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在 1.75 以上地男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有地汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中地实际例子呢?请你给出集合地含义.④如果用A 表示高一(3＞班全体学生组成地集合,用a 表示高一(3＞班地一位同学,b是高一(4＞班地一位同学，那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？⑤世界上最高地山能不能构成一个集合？⑥世界上地高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中地元素具有什么性质？⑧由实数1、2、3、 1 组成地集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中地元素具有什么性质？⑩由实数1、2、3 组成地集合记为M, 由实数3、1、2 组成地集合记为N,这两个集合中地元素相同吗？这说明集合中地元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？讨论结果：①能.②能.③我们把研究地对象统称为“元素”那,么把一些元素组成地总体叫“集合”.④a是集合A地元素,b不是集合A地元素•学生得出元素与集合地关系有两种:属于和不属于.⑤能,是珠穆朗玛峰.⑥不能.⑦确定性•给定地集合，它地元素必须是明确地，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合地确定性.⑧3个.⑨互异性•一个给定集合地元素是互不相同地，即集合中地元素是不重复出现地，这就是集合地互异性.⑩集合M和N相同.这说明集合中地元素具有无序性，即集合中地元素是没有顺序地.可以发现：如果两个集合中地元素完全相同，那么这两个集合是相等地.结论：1、一般地，指定地某些对象地全体称为集合，标记： A , B, C, D，…集合中地每个对象叫做这个集合地元素，标记：a, b, c, d,…2、元素与集合地关系a是集合A地元素，就说a属于集合A, 记作a€ A ,a不是集合A地元素，就说a不属于集合A,记作a A3、集合地中元素地三个特性：<1) •元素地确定性：对于一个给定地集合，集合中地元素是确定地，任何一个对象或者是或者不是这个给定地集合地元素<2.)元素地互异性：任何一个给定地集合中，任何两个元素都是不同地对象，相同地对象归入一个集合时，仅算一个元素•比如：book中地字母构成地集合＜3）•元素地无序性：集合中地元素是平等地，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们地元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样.集合元素地三个特性使集合本身具有了确定性和整体性3、阅读课本P3中:数学中一些常用地数集及其记法•快速写出常见数集地记号.活动：先让学生阅读课本，教师指定学生展示结果•学生写出常用数集地记号后，教师强调：通常情况下,大写地英文字母N、Z、Q、R 不能再表示其他地集合，这是专用集合表示符号，.以后,我们会经常用到这些常见地数集，要求熟练掌握.结论：常见数集地专用符号.N:非负整数集（或自然数集＞（全体非负整数地集合＞；N*或N+:正整数集（非负整数集N内排除0地集合＞;Z:整数集（全体整数地集合＞;Q:有理数集（全体有理数地集合＞;R:实数集（全体实数地集合＞.三、例题例题1•下列各组对象不能组成集合地是（＞A.大于6地所有整数B.高中数学地所有难题C.被3除余2地所有整数D.函数y二」图象上所有地点分析：学生先思考、讨论集合元素地性质，教师指导学生此类选择题要逐项判断•判断一组对象能否构成集合，关键是看是否满足集合元素地确定性.在选项A、C、D中地元素符合集合地确定性；而选项B中,难题没有标准，不符合集合元素地确定性，不能构成集合.答案：B变式训练11•下列条件能形成集合地是（D＞A.充分小地负数全体B.爱好足球地人C.中国地富翁D.某公司地全体员工例题2.下列结论中，不正确地是（＞A.若a€ N,则-a NB. 若a€乙贝卩a2€ ZC.若a€ Q,贝,a|€ QD.若a€ R,贝卩而分析：（1＞元素与集合地关系及其符号表示；（2＞特殊集合地表示方法；答案：A变式训练2判断下面说法是否正确、正确地在（＞内填“/，错误地填“X”（1＞所有在N中地元素都在N*中＜X ）（2＞所有在N中地元素都在Z中（V ＞（3＞所有不在N*中地数都不在Z中＜X）（4＞所有不在Q中地实数都在R中＜V ）个人收集整理- 仅供参考（5＞由既在R中又在N*中地数组成地集合中一定包含数0＜X）（6＞不在N中地数不能使方程4x= 8成立＜V ）四、课堂小结1、集合地概念2、集合元素地三个特征，其中“集合中地元素必须是确定地”应理解为：对于一个给定地集合，它地元素地意义是明确地.“集合中地元素必须是互异地”应理解为：对于给定地集合，它地任何两个元素都是不同地.3、常见数集地专用符号.【板书设计】一、集合概念1. 定义2. 三要素二、常用集合三、典型例题例1：例 2 ：【作业布置】预习下一节学案.1.1.1 集合地含义及其表示方法＜1）课前预习学案一、预习目标：初步理解集合地含义，了解属于关系地意义，知道常用数集及其记法二、预习内容：阅读教材填空：1 、集合：一般地，把一些能够对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象地全体构成地< 或）•构成集合地每个对象叫做这个集合地<或）.2、集合与元素地表示：集合通常用来表示，它们地元素通常用来表示.3、元素与集合地关系：如果a是集合A地元素，就说，记作，读作.如果a不是集合A地元素，就说，记作，读作.4•常用地数集及其记号：<1）自然数集：，记作.<2）正整数集：，记作.<3 ）整数集：，记作.<4）有理数集：，记作.<5 ）实数集：，记作.三、提出疑惑同学们，通过你地自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面地表格中课内探究学案一、学习目标1. 通过实例了解集合地含义，体会元素与集合地属于”关系，能选个人收集整理- 仅供参考择集合不同地语言形式描述具体地问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容地意识.2. 了解集合元素地确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题地能力,培养学生地应用意识.学习重点:集合地基本概念与表示方法.学习难点:选择恰当地方法表示一些简单地集合.二、学习过程1、核对预习学案中地答案2、思考下列问题①请我们班地全体女生起立！接下来问：咱班地所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在 1.75 以上地男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有地汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中地实际例子呢?请你给出集合地含义.④如果用A 表示高一(3＞班全体学生组成地集合,用a 表示高一(3＞班地一位同学,b是高一(4＞班地一位同学，那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？⑤世界上最高地山能不能构成一个集合？⑥世界上地高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中地元素具有什么性质？⑧由实数1、2、3、1组成地集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中地元素具有什么性质？⑩由实数1、2、3组成地集合记为M,由实数3、1、2组成地集合记为N,这两个集合中地元素相同吗？这说明集合中地元素具有什么性质？由此类比实数相等，你发现集合有什么结论？3、集合元素地三要素是、、4、例题例题1•下列各组对象不能组成集合地是（＞A.大于6地所有整数B.高中数学地所有难题C.被3除余2地所有整数D.函数y= |图象上所有地点变式训练11•下列条件能形成集合地是（＞A.充分小地负数全体B.爱好足球地人C.中国地富翁D.某公司地全体员工例题2.下列结论中，不正确地是（＞A.若a€ N,则-a NB. 若a€Z，贝卩a2€ ZC若a€ Q,贝，a |€ Q D.若a€ R,贝变式训练2判断下面说法是否正确、正确地在（＞内填“/，错误地填“X”（1＞所有在N中地元素都在N*中＜）（2＞所有在N中地元素都在Z中（＞(3＞所有不在N*中地数都不在Z中＜)(4＞所有不在Q中地实数都在R中＜)(5＞由既在R中又在N*中地数组成地集合中一定包含数0＜)(6＞不在N中地数不能使方程4x= 8成立＜)5、课堂小结三、当堂检测1、你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成地集合？并说明理由.你能否确定，你所在班级中，最高地3位同学构成地集合？2、 _____ I＜1 ) -3N ; ＜2 ) 3.14Q; ＜3 ) Q; ＜4) 0①；＜5) Q; ＜6) _ R; ＜7) 1N+; ＜8) R.课后练习与提咼1•下列对象能否组成集合：(1＞数组1、3、5、7;(2＞到两定点距离地和等于两定点间距离地点；(3＞满足3x-2＞x+3地全体实数；(4＞所有直角三角形；(5＞美国NBA地著名篮球明星；(6＞所有绝对值等于6地数；(7＞所有绝对值小于3地整数；(8＞中国男子足球队中技术很差地队员；(9>参加2008年奥运会地中国代表团成员2.(口答〉说出下面集合中地元素：(1>｛大于3小于11地偶数｝;(2>｛平方等于1地数｝；(3>｛15地正约数｝.3•用符号€或填空4•判断正误：(1>所有属于N地元素都属于N*.(>(2>所有属于N地元素都属于乙(>(3>所有不属于N*地数都不属于乙(>(4>所有不属于Q地实数都属于R .(>(5>不属于N地数不能使方程4x=8成立.(>参考答案1:(1>(2>(3>(4>(6>(7>(9>能组成集合，V5) <8)不能组成集合2: <1)其元素为4, 6, 8, 10<2)其元素为-1, 1<3)其元素为1, 3, 5, 15 3: <1)€€ ???个人收集整理- 仅供参考V2)€€€ ??V3)€€€€ ?V4)€€€€€4: <1)x <2)V <3)x <4)V <5)V申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
1.1.1 集合的含义与表示
A .
三、集合中元素的性质
• 确定性
• 互异性
• 无序性
四、集合的分类
1.按集合中元素的个数 有限集 无限集 空集 2.按集合中元素的种类 数集 点集
五、常见的数集及其记法
实数集 正实数集 有理数集 整数集 自然数集 正整数集
R
R＋
Q
Z
N
N＋或N*
六、集合的表示方法
1.列举法
1,2,3,4,5
2.描述法
x | x 2k 1, k z
1.1.1 集合的含义与表示
一、集合的含义
一般地，一定范围内某些确定的不同的对象
的全体构成一个集合，集合中的每一个对象称为
该集合元素
a 是集合 A
中的元素，就说元素 a 属
于集合 A ，记作 a A .
2.元素 b 不是集合 A 中的元素，就说元素 b 不 属于集合 A ，记作 b
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§1.1.1集合的含义与表示
一. 教学目标：
l.知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
(2)知道常用数集及其专用记号；
(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；
(4)会用集合语言表示有关数学对象；
(5)培养学生抽象概括的能力.
2. 过程与方法
(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.
(2)让学生归纳整理本节所学知识.
3. 情感.态度与价值观
使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.
二. 教学重点.难点
重点：集合的含义与表示方法.
难点：表示法的恰当选择.
三. 学法与教学用具
1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.
2. 教学用具：投影仪.
四. 教学思路
(一)创设情景，揭示课题
1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.
2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.
（二）研探新知
1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：
(1)1—20以内的所有质数；
(2)我国古代的四大发明；
(3)所有的正方形；
(4)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；
(5)到一个角的两边距离相等的所有的点；
(6)方程2
560x x -+=的所有实数根；
(7)不等式30x ->的所有解；
(8)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.
2．教师组织学生分组讨论：这8个实例的共同特征是什么?
3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出8个实例的特征，并给出集合的含义.
一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）(简称为集)。
4.教师指出：集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示，元素常用小写字母,,,a b c d …表示.
(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维
1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答
学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.
2．教师组织引导学生思考以下问题：
判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
(1)大于3小于11的偶数；
(2)我国的小河流.
让学生充分发表自己的建解.
3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.
4.教师提出问题，让学生思考
如果用A 表示高—(3)班全体学生组成的集合，用a 表示高一(3)班的一位同学，b 是高一(4)班的一位同学，那么,a b 与集合A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.
如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈.
如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.
5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.
6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题：
(1)要表示一个集合共有几种方式?
(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?
(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?
使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
五．典例剖析
例1. 用例举法表示集合{|18}A x N x =∈≤< 答案： {1,2,3,4,5,6,7}
例2.下列命题：(1)若a A -∉，则a A ∈； (2){0}表示只有一个元素0的集合；
(3)方程212x x +=的解的集合可表示成{1,1}；其中正确的命题个数是（ 1 ）答案：(2) 例3．已知2{2,25,12}a a a -+,且3A -∈，求实数a 的值。
解：3,23A a -∈∴-=-或2253a a +=-。
1a ∴=-或32
a =-。
但1a =-时，23a -=-，2253a a +=-与集合中元素的互异性矛盾，32
a ∴=- 六． 随堂练习
1．已知集合{,,}A x y z =中的三个元素可成为ABC ∆的三边长，
那么ABC ∆一定不是 答案：D_
.A 锐角三角形 .B 直角三角形 .C 钝角三角形 .D 等腰三角形
2．设,a b 都是非零实数，a b ab y a b ab
=++可能取的值组成的集合是{3,1}-
3．已知22{1,251,1}A a a a a =-+++，且2A -∈，则a 的值为3
2- 4．对于集合{2,4,6}A =，若a A ∈，则6a A -∈，那么a 的值为__2或4_
5
{},0.5,22,3,R Q +∉∈其中正确的个数是_2
6．集合{(2,2),2,2}M =--，则集合A 中元素的个数是 3
7．设集合{(1,2)}M =，则下列关系是成立的是__(3)_
(1)1M ∈ (2)2M ∈ (3)(1,2)M ∈ (4)(2,1)M ∈
七．归纳整理，整体认识
在师生互动中，让学生了解或体会下例问题：
1．本节课我们学习过哪些知识内容?
2．你认为学习集合有什么意义？
3．选择集合的表示法时应注意些什么?
八．承上启下，留下悬念
1．课后书面作业：第5页1，2题。
2. 元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？。