第九章双变量相关与回归分析
合集下载
医学统计学双变量回归和相关
直线关系
样本 ？
b≠0
回归方程（回归系数）的假设检验
H0：=0，即两变量无直线关系 H1：0，即两变量有直线关系 =0.05
检验方法 F检验 t检验 用同一份资料相关系数的假设检验代替， 手工计算时最为简便。
统计结论
1.方差分析：应变量总变异的分解
P (X,Y)
Y
Y
（Y Y） （Y Y）
小插曲：为什么叫”回归“？
“回归”这个词是由英国统计学家F.Galton创立 的。他在研究父子身高（1078对数据）关系 时发现，高个子的父亲常生高个子的儿子， 但儿子身高超过父亲的概率要小于低于父亲 的概率；同样矮个子的父亲常生矮个子的儿 子，但儿子身高比父亲更矮的概率要小于比 父亲高的概率。也就是说不可能无限制的一 代比一代高，或一代比一代矮。后代的高度 有向平均高度回归的趋势；离开均值越远， 所受到回归的压力也越大。“回归”这个词 就由此而来。
b 回归系数
(regression coefficient, slope)
a 截距
(intercept，constant)
截距a
几何意义 a >0: 回归线与纵轴交点在原点上方。 a <0: 回归线与纵轴交点在原点下方。 a =0: 回归线通过原点。 统计学意义 a 表示自变量X取值为0时相应Y条件均数的估
直线回归概念示意图
Y X：给X定 时Y的条件均数
YX X
直线回归方程
总体
YX X
样本
Yˆ abX
“Y hat”表示估计值，给定x时y的条件均数的 估计值。
直线回归方程
Yˆ abX
Y 应变量，响应变量 (dependent variable, response variable)
样本 ？
b≠0
回归方程（回归系数）的假设检验
H0：=0，即两变量无直线关系 H1：0，即两变量有直线关系 =0.05
检验方法 F检验 t检验 用同一份资料相关系数的假设检验代替， 手工计算时最为简便。
统计结论
1.方差分析：应变量总变异的分解
P (X,Y)
Y
Y
（Y Y） （Y Y）
小插曲：为什么叫”回归“？
“回归”这个词是由英国统计学家F.Galton创立 的。他在研究父子身高（1078对数据）关系 时发现，高个子的父亲常生高个子的儿子， 但儿子身高超过父亲的概率要小于低于父亲 的概率；同样矮个子的父亲常生矮个子的儿 子，但儿子身高比父亲更矮的概率要小于比 父亲高的概率。也就是说不可能无限制的一 代比一代高，或一代比一代矮。后代的高度 有向平均高度回归的趋势；离开均值越远， 所受到回归的压力也越大。“回归”这个词 就由此而来。
b 回归系数
(regression coefficient, slope)
a 截距
(intercept，constant)
截距a
几何意义 a >0: 回归线与纵轴交点在原点上方。 a <0: 回归线与纵轴交点在原点下方。 a =0: 回归线通过原点。 统计学意义 a 表示自变量X取值为0时相应Y条件均数的估
直线回归概念示意图
Y X：给X定 时Y的条件均数
YX X
直线回归方程
总体
YX X
样本
Yˆ abX
“Y hat”表示估计值，给定x时y的条件均数的 估计值。
直线回归方程
Yˆ abX
Y 应变量，响应变量 (dependent variable, response variable)
双变量回归和相关
3.60
3.40
3.20
尿
3.00
酐肌
2.80
2.60
2.40
4
6
8
10
12
14
年龄
图9-1 8名儿童的年龄与其尿肌酐含量散点图
研究的两个指标之间存在依存关系，对指标进 行观测，观测结果作散点图，若绘出的点在一条直 线附近，则表示这两个指标之间可能存在着线性依 从关系。
两个指标之间的线性依从关系可以通过直线回 归方程来表示。
b=0.1392，Sb=0.0304，t0.05/2,6=2.447
b t / 2 , S b 0 . 1 3 9 2 2 . 4 4 7 0 . 0 3 0 4 ( 0 . 0 6 4 8 , 0 . 2 1 3 6 )
所以，总体回归系数β的95%可信区间为： （0.0648，0.2136）
例9-2 检验例9-1数据得到的直线回归方程是否成立？
① 建立假设并确定检验水准
H0：β=0 H1：β≠0
α=0.05
② 计算统计量F
S S 回 归 lX 2 YlX X 5 .8 4 5 24 2 0 .8 1 3 4 1
S S 残 差 S S 总 S S 回 归 1 . 0 4 6 2 0 . 8 1 3 4 0 . 2 3 2 8 n 2 8 2 6
在直线回归中对回归系数进行假设检验，t检验 和F检验等价，t2=F
（二）总体回归系数β的可信区间
总体回归系数β的可信度为1-α的可信区间：
b t /2, Sb
Sb
SY X lXX
SYX
MS残差
9 第九章 回归与相关
估计。
一）、加权最小二乘估计 假定各观测值的权重为Wi，求解回归方 程就要使得以下加权后的残差平方和最小
ss残W Wi Yi aw bw X
2
bw
aW
WX WY WXY W l l WX WX W WY b WX Y b W
二、直线回归方程的求法 直线方程为： a为Y轴上的截距；b为斜率，表示X 每改变一个单位，Y的变化的值，称为回 归系数； 表示在X值处Y的总体均数 估计值。为求a和b两系数，根据数学上 的最小二乘法原理，可导出a和b的算式 如下：
例9-1 某地方病研究所调查了8名正常 儿童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表91。估计尿肌酐含量（Y）对其年龄（X） 的关系。
表14，rs界值表，P<0.01,故可认为当地居 民死因的构成和各种死因导致的潜在工作损 失年数WYPLL的构成呈正相关。 二、相同秩次较多时rs的校正 当X及Y中，相同秩次个数多时，宜用下式校 正
第四节
加权直线回归
在一些情况下，根据专业知识考虑 并结合实际数据，某些观察值对于估计 回归方程显得更“重要”，而有些不 “重要”，此时可以采用加权最小二乘
lYY的分析 如图9－4，p点的纵坐标被回归直线与均数 截成三个线段：
图9－4
平方和划分示意图
第一段 第二段
第三段
上述三段代数和为：
移项：
p点是散点图中任取一点，将所有的点子都
按上法处理，并将等式两端平方后再求和，
则有：
它们各自的自由度分别为： 可计算统计量F：
SS回 SS 残
2
F
回 残
表9-3某省1995年到1999年居民死因构成与WYPLL构成
第九章 相关与回归分析
第9章相关与回归分析【教学内容】相关分析与回归分析是两种既有区别又有联系的统计分析方法。
本章阐述了相关关系的概念与特点;相关关系与函数关系的区别与联系;相关关系的种类;相关关系的测定方法(直线相关系数的含义、计算方法与运用);回归分析的概念与特点;回归直线方程的求解及其精确度的评价;估计标准误差的计算。
【教学目标】1、了解相关与回归分析的概念、特点和相关分析与回归分析的区别与联系；2、掌握相关分析的定性和定量分析方法；3、掌握回归模型的拟合方法、对回归方程拟合精度的测定和评价的方法。
【教学重、难点】1、相关分析与回归分析的概念、特点、区别与联系；2、相关与回归分析的有关计算公式和应用条件。
第一节相关分析的一般问题一、相关关系的概念与特点（一）相关关系的概念在自然界与人类社会中,许多现象之间是相互联系、相互制约的,表现在数量上也存在着一定的联系。
这种数量上的联系和关系究其实质,可以概括为两种不同类型,即函数关系与相关关系。
相关关系:是指现象之间客观存在的,在数量变化上受随机因素的影响,非确定性的相互依存关系。
例如,商品销售额与流通费用率之间的关系就是一种相关关系。
（二）相关关系的特点1、相关关系表现为数量相互依存关系。
2、相关关系在数量上表现为非确定性的相互依存关系。
二、相关关系的种类1、相关关系按变量的多少,可分为单相关和复相关2、相关关系从表现形态上划分,可分为直线相关和曲线相关3、相关关系从变动方向上划分,可分为正相关和负相关4、按相关的密切程度分,可分为完全相关、不完全相关和不相关三、相关分析的内容相关分析是对客观社会经济现象间存在的相关关系进行分析研究的一种统计方法。
其目的在于对现象间所存在的依存关系及其所表现出的规律性进行数量上的推断和认识,以便为回归分析提供依据。
相关分析的内容和程序是:(1)判别现象间有无相关关系(2)判定相关关系的表现形态和密切程度第二节相关关系的判断与分析一、相关关系的一般判断（一）定性分析对现象进行定性分析,就是根据现象之间的本质联系和质的规定性,运用理论知识、专业知识、实际经验来进行判断和分析。
第九章双变量相关与回归分析PPT资料50页共52页文档
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、资 料50页
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
45、资 料50页
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
第九章双变量线性回归与相关
1 ( X X )2 SYˆ SY .X n ( X X )2
当X
X时，SYˆ
SY X n
Syˆ 是 Yˆ 的标准误。
例 计算当X0=150时， yˆ 95%可信区间。 yˆ 的95%可信区间为：
（46.52, 51.75）Kg
其含义是：当身高为150cm时，15岁男童的体重
的总体均数为49.135kg（点值估计），95%可信区 间为：（46.52, 51.75）Kg （区间估计）。
男性：身高(cm)-105＝标准体重(kg) 女性：身高(cm)-100＝标准体重(kg)
北方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+50(kg) 南方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+48(kg)
回归与相关是研究变量之间相互关系的统计分 析方法，它是一类双变量或多变量统计分析方法 （本章主要介绍双变量分析方法），在实际之中有 着广泛的应用。
如年龄与体重、年龄与血压、身高与体重、体 重与肺活量、体重与体表面积、毒物剂量与动物死 亡率、污染物浓度与污染源距离等都要运用回归与 相关方法对资料进行统计分析。
变量之间的关系： （１）直线关系（线性 关系）； （２）曲线关系（非线 性关系）。 在回归与相关分析中， 直线回归与相关是最简单 的一种，是本章主要内容。
变量间的关系 函数关系： 确定的关系。 例如园周长与半径：y=2πr 。
回归关系：不确定的关系（随机的关系）。 例如血压和年龄的关系，称为直线 回归 (linear regression)。
北方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+50(kg)
变量间的回归关系 由于生物间存在变异，故两相关变量之间的关 系具有某种不确定性，如同性别、同年龄的人，其 肺活量与体重有关，肺活量随体重的增加而增加， 但体重相同的人其肺活量并不一定相等。因此，散 点呈直线趋势，但并不是所有的散点均在同一条直 线上，肺活量与体重的关系与严格对应的函数关系 不同，它们之间是一种回归关系，称直线回归。这 种关系是用直线回归方程来定量描述。
医学统计学：第九章 双变量回归与相关
统计意义：
当X变化1/5/11
27
第九章 直线相关与回归
例9-1 回归线
根据已求得的回归方程，取两点(X1，^Y1)和 (X2，^Y2)用直线连接。
在X实测值的范围内取X1(较小值)和X2(较大值)； 把X1和X2代入回归方程，求出^Y1和^Y2； 将 (X1，^Y1)和 (X2，^Y2) 3.6
有曲线趋势，应进一步拟合曲线关系。
2021/5/11
13
第九章 直线相关与回归
散点图
大部分观测值有直线趋势，模型不正确
有一离群点(outlier)，会对分析结果带来了严重
的影响，应对该离群点进行认真核查与深入分
析。
参阅P159(2. 进行相关、回归分析前应绘制散点
2021/5/11
14
第九章 直线相关与回归
编号
12345678
年龄X
13 11 9 6 8 10 12 7
尿肌酐含量Y 3.54 3.01 3.09 2.48 2.56 3.36 3.18 2.65
2021/5/11
6
第九章 直线相关与回归
散点图
绘制散点图
以横轴为年龄X，纵 轴为尿肌酐Y，将随 机样本的n对变量值 (X1,Y1)，…，(Xn,Yn)， 即(13,3.54)， (11,3.01)，…，
两坐标点描绘在散点图中； 3.4
用直线连接这两个坐标 3.2 点，得到方程的回归直线。3.0
绘图时注意，两坐标点 2.8
尿肌酐
之间要隔开一定的距离， 2.6
以减少回归线的误差。 2.4 6 7 8 9 10 11 12 13
年龄
2021/5/11
28
第九章 直线相关与回归
第九章双变量回归与相关
例9-4 用例9-1所得直线回归方程，计算当
X0 = 12时，µ Y |X0 的95％可信区间和相应个
体 Y 值的95％预测区间。
由例9-1得到回归方程 Y = 1.6617+0.1392X, X = 9.5 , lxx = 42 ; 由例9-2得到
t0.05 / 2, 6 = 2.447
X0=12时尿肌酐含量总体均数的95％可信区间:
在图9-5中，这是两条比实曲线之间范围 更宽的虚曲线，也是中间窄、两头宽， 同样在 X0 = X 处最窄。
给定 X = X0 时，相应 Y 的均数的可信区间与其个体 Y 值的预测区间的含义不同： 可信区间: 在固定的 X0 处，如果反复抽样100次， 可算出100个相应 Y 的总体均数的可信区间，平均 有100×(1－α)个可信区间包含总体均数。 预测区间：一个预测值的取值范围，即预测100个 个体值中平均将有100×(1－α)个个体值在求出的 范围内。
统计学意义, 可计算 F 统计量。
MS回: 回归均方; MS残: 残差均方。 F 服从自由度为 回， 残 的 F 分布。 求 F 值后, 查 F 界值表, 得 P 值, 按所取检验 水准作出推断结论。
实际计算的两种方法： ① 将 Xi 依次代入回归方程求得 再求 SS残 与 SS回 ; ② 直接求 SS回 ，再得到 SS残 。 ,
2. t 检 验
β = 0 是否成立 ?
b0 t , n 2 Sb Sb SY
SY.X
SY
X
SY l XX
X
X
SS残 n2
回归的剩余标准差 (standard deviation of residuals)
Sb 样本回归系数标准误，扩大自变量的取值范围可 减小Sb ，使回归系数的估计更稳定。
第九章双变量回归与相关PPT课件
第九章
两变量回归 与相关
主要目的：
对两个随机变量间 的关系作量化研究
第一节 直线回归 一、直线回归的概念
直线回归研究的是双变量的数量关系， 有两种情况： （1）一个变量是选定变量；
另一变量是随机变量。 （2）两个变量都是随机的。
回归关系
描述变量间的依存关系
首先，在直角坐标系中绘制散点图，观 察是否有直线趋势，但并不是要求所有的点 都在一条直线上。
表 9-3 某省居民死因构成与 WYPLL 构成
死因 构成 WYPLL 构成 XPYQ
d d2 PQ
0.03
1
0.05
10 0 1
0.14
2
0.34
20 0 4
0.20
3 0.93
6 -3 9 18
0.43
4
0.69
4 0 0 16
0.44
5 0.38
3 2 4 15
0.45
6 0.79
5 1 1 30
Y 1.6617 0.1392X
三、直线回归中的统计推断
（一）假设检验
1.方差分析
Y Y (Y Y ) (Y Y )
(YY)2YY2Y
Y
2
SS 总＝SS 回＋SS 残
(9-6)
H0:β=0, H1:β≠0,α=0.05
l l SS 回=
2/
XY
XX =5.8452/42=0.8134
Sb
42
l XX
t=b/Sb=0.1392/0.0304=4.579 t 0.005/2,6=4.317<4.579<5.208=t 0.002/2,6 0.002<P<0.005,…
两变量回归 与相关
主要目的：
对两个随机变量间 的关系作量化研究
第一节 直线回归 一、直线回归的概念
直线回归研究的是双变量的数量关系， 有两种情况： （1）一个变量是选定变量；
另一变量是随机变量。 （2）两个变量都是随机的。
回归关系
描述变量间的依存关系
首先，在直角坐标系中绘制散点图，观 察是否有直线趋势，但并不是要求所有的点 都在一条直线上。
表 9-3 某省居民死因构成与 WYPLL 构成
死因 构成 WYPLL 构成 XPYQ
d d2 PQ
0.03
1
0.05
10 0 1
0.14
2
0.34
20 0 4
0.20
3 0.93
6 -3 9 18
0.43
4
0.69
4 0 0 16
0.44
5 0.38
3 2 4 15
0.45
6 0.79
5 1 1 30
Y 1.6617 0.1392X
三、直线回归中的统计推断
（一）假设检验
1.方差分析
Y Y (Y Y ) (Y Y )
(YY)2YY2Y
Y
2
SS 总＝SS 回＋SS 残
(9-6)
H0:β=0, H1:β≠0,α=0.05
l l SS 回=
2/
XY
XX =5.8452/42=0.8134
Sb
42
l XX
t=b/Sb=0.1392/0.0304=4.579 t 0.005/2,6=4.317<4.579<5.208=t 0.002/2,6 0.002<P<0.005,…
第九章双变量回归与相关
**第四节
应用直线相关 与回归的注意事项
1.作相关回归要有实际意义，不要把无关的两个事 物用来作相关与回归。 2.首先绘制散点图。 3.在回归分析中，由x推算y与由y推算x的回归方程 不同，不可混淆。 4.相关与回归仅适用与原数值的范围，不可任意外 推。 5.如果有两个不同质的子群，可能产生实际上不存 在的相关与回归，也可能忽视了确实存在的相关 与回归。
l yy y 2 ( y) 2 / n 72.2683 23.872 / 8 1.0462
lxy xy ( x)( y) / n 232.61 76 23.87 / 8 5.8450
b=5.8450/42=0.1392
ˆ 1.6617 0.1392 x y
a y bx
l xy n 2 ( x) l xx 2 n
直线过（x , y）点
输入x a
b
r
输入y
例9-1 P141。 8名正常儿童的年龄与尿肌酐含量的关系
x x / n 76 / 8 9.5
y y / n 23.87 / 8 2.9838
lxx x 2 ( x) 2 / n 764 762 / 8 42
ˆ t Y ˆ 0 / 2, SY
0
标准误
2．个体值的预测区间
SY0 SY
X
1 ( X 0 X )2 1 n ( X X )2
ˆ t Y 0 / 2, SY0
标准差
可信区间和预测区间 5
尿肌酐含量 y
4 3 2 1 0 5 6 7 8 9 10 11 年龄（岁）x 12 13 14
1、t检验法 2、直线回归的方差分析（F检验）
双变量回归与相关
Yˆ 2＝
Y
Y
2
X X Y Y X X 2
2
公式可写成：
(Y Yˆ )2＝ (Y Y ) 2－ (Yˆ Y )2
SS剩
SS总
－ SS回
SS总＝lYY
SS回＝
l
2 XY
l XX
blXY
b2lXX
SY . X
(Y Yˆ )2 n2
SS剩 ＝ n2
MS剩
F检验（见教材P153）
联系
1.方向一致: r 与 b 的正负号一致。 2.假设检验等价: tr=tb
3.
r b l XX lYY
4 .用回归 解释相关
决定系数(coefficient of determination)
r2
l
2 XY
l
2 XY
l XX
SS回 SS总－SS剩
l XX lYY
lYY
SS总
SS总
5 .相关分析是回归分析的基础和前提；回归分析 是相关分析的深入和继续。只有当变量之间存在着 高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式 才有意义。
无法用 X 解释的部分。SS 剩越小，回归效果越好。 n 2
SS 回＝ (Yˆ Y )2 ，为回归平方和(regression sum of squares)，
由于 X 与Y 的直线关系而使Y 变异减小的部分,即总变异中，
可以用 X 解释的部分。SS 回越大，回归效果越好。 1
再看公式
Y
原则：最小二乘法(least sum of squares)，即可保证各实 测点至直线的纵向距离的平方和最小
最小二乘法原则(least square method)：使各散点到直线的纵向
医学统计学：双变量回归与相关
样本
Y
Y
总体
YX
(Y的条件均数)
根据 t 分布原理：
1 (XX)2
Yt/2,n2sYt/2,n2sY.X Y
n
(XX)2
X=12时，求Y X 的95%可信区间
s X =9.5，lXX=42， Y . X =0.1970
当X=12
时，
Y
=1.6617+0.1392 12＝3.3321
SYˆ
相关分析的任务：
两变量间有无相关关系？
两变量间如有相关关系，相关的方向？ 相关的程度？
相关分析时，两数值变量之间出现如下情况：当一个 变量增大，另一个也随之增大(或减少)，我 们称这种现象为共变，也就是有相关关系。
若两个变量同时增加或减少，变化趋势是同 向的，则两变量之间的关系为正相关 (positive correlation)；若一个变量增加时， 另一个变量减少，变化趋势是反向的，则称 为负相关(negative correlation)。 ——相关的方向
相关系数的计算
r XXYY lXY XX2YY2 lXXlYY
相关系数
相关的方向：
r>0：正相关 r<0：负相关 r=0：零相关 相关的密切程度：
样本含量n足够大时，r绝对值越接近1。相关越 密切。
0
1
0.4
0.7
低度相关 中度相关 高度相关
三、相关系数的统计推断
（一）相关系数的假设检验
（二）总体回归系数 的可信区间
总体 YX X
样本
Yˆ abX
总体
β
根据 t 分布原理估计可信区间：
bt/2,n2sb 样本
b
总体回归系数 的可信区间
[经济学]第九章双变量回归与相关
![[经济学]第九章双变量回归与相关](https://img.taocdn.com/s3/m/a8bab0f484254b35eefd34df.png)
病人住院天数（天） X
例9-14数据散点图
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 10 20 30
lnY 预 后 指 数
ˆ 4.037 0.038X ln Y ˆ 56.66 e 0.038X Y
40
50
60
70
病人住院天数（天） X
例9-14数据对Y作对数变换散点图
0
a=0 a>0 X Y a<0
2. b为回归系数，即直线的斜率。
b>0 ， 直 线 从 左 下 方 走向右上方，Y 随 X 增大而增大； b<0 ，直线从左上方 走向右下方，Y 随 X 增大而减小； b=0，表示直线与 X 轴平行，X 与Y 无直 线关系。
0
Y b>0
b=0
b<0 X
0﹤R2﹤1
Y的总变异中回归关系所能解释的百分比
年龄可解释尿肌酐含量变异性的77.75% 22.25%的变异不能用年龄来解释。 越接近于1：相关的实际效果越好
五、直线回归与相关应用的注意事项
1.根据分析目的选择变量及统计方法
相关：X与Y没有主次，为双向。 回归：Y依X变化而变化，为单向。 自变量的选择： 原因、容易测量、变异小 要有实际意义。
23
例9-13 以不同剂量的标准CRF刺激离体培养 的大鼠垂体前叶细胞，监测其垂体合成分泌 肾上腺激素的量。
标准 CRF(X)刺激大鼠垂体前叶细胞分泌 ACTH(Y)测定结果 编号 1 2 3 4 5 合计 X 0.005 0.050 0.500 5.000 25.000 — Y 34.11 57.99 94.49 128.50 169.98 485.07
第9章 双变量回归与相关改ppt课件
2.求回归系 b和数 截a距
blXY （X-X） Y-Y
lXX
(XX)2
aYbX
3.列出直线回归方程
b5.84/4 5 2 0.1392
a2 .98 (0 3 .183 )9 (.9 5 ) 2 1 .661
Yˆ1.6610.1 73X 92
编号
12345678
年龄X
13 11 9 6 8 10 12 7
尿肌酐含量Y 3.54 3.01 3.09 2.48 2.56 3.36 3.18 2.65
由原始数据及散点图的观察，两变量间呈直线趋势，故 作下列计算：
1 . 计 算 X 、 Y 的 均 数 X 、 Y ， 离 均 差 平 方 和 lXX、lYY与离均差积 lXY和
父子身高散点图
son
180
175
170
165
160
155
150
160
170
180
190
father
双变量的名称种种
因变量(dependent variable)Y 自变量(independent variable)X
反应变量(response variable)Y 解释变量(explanatory variable)X
XX769.5
n8
YY23 .872.9838 n8
lX X
X 2 (
X )2
(7)2 6
76 4 42
n
8
lY Y Y 2 (
Y )2 7.2 26 (2 8.8 3 3 )2 7 1 .0462
n
8
lX Y X Y ( X ) n (Y ) 2.6 3 ( 1 7 2 )2 8 6 ( .8 3 ) 7 5 .8450
医学统计学 两变量间相关与回归分析
=n-2=10-2=8，查附表 2,得 P<0.01，按α = 0.05 水准拒绝 H0，
接受 H1，可认为三岁儿童体表面积与体重间存在直线相关关系。
四、相关分析中应注意的问题
（1） 进行相关分析的资料应有实际意义。 （2）相关系数的计算适用双变量正态分布资料 （3） 进行相关分析前应先绘制散点图。
计算公式
r
X x Y y X x Y y
2
2
lXY lXX lYY
2
lXX = X－x =
2
X X－
2
2
lYY = Y－y =
2
Y Y－
2
n
lXY = X－x Y－y = XY－
散点图
图11-1 两变量相关关系示意图
二、相关系数的定义与计算
相关系数（correlation coefficient）又称为积差 相关系数（coefficient of product moment correlation）、皮尔逊相关系数（Pearson’s correlation coefficient）、简单相关系数 （sim ）等,以符号r表 示样本相关系数，ρ 表示总体相关系数。它说明具有 直线关系的两个变量，相关关系的密切程度与相关方 向的指标。其值为－１≤r≤１。
n ( X)( Y)
n
三、相关分析的步骤
例11-1 某医师测得10名3岁儿童的体表 面积(m2)与体重(kg)原始资料见表11-1第 2、3栏,试分析三岁儿童体表面积与体重间 的相关关系。
表11-1 某地10名三岁儿童体重与体表面积 儿童号 (1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 体重 X （2） 11.0 11.8 12.0 12.3 13.1 13.7 14.4 14.9 15.2 16.0 134.4 体表面积 Y (3) 0.5283 0.5299 0.5358 0.5292 0.5602 0.6014 0.5830 0.6102 0.6075 0.6411 5.7266 X (4) 121.00 139.24 144.00 151.29 171.61 187.69 207.36 222.01 231.04 256.00 1831.24
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正相关
负相关
完全正相关 完全负相关
零相关
相关系数的意义与计算
相关系数：以符号r 表示样本相关系数，符号ρ表示其
总体相关系数。样本相关系数的计算公式为
r X X Y Y
lXY
X X 2 Y Y 2
lXX lYY
相关系数没有单位，其值为-1≤r ≤1。r 值为正表示正 相关，r 值为负表示负相关，r 的绝对值等于1为完全 相关，r =0为零相关。
2、统计分析
（1）散点图的制作
grap图可看出两个变量间不具有直线趋势而是有曲线趋势， 可通过曲线拟合方法来刻画两变量间数量上的依存关系。
（2）曲线拟合的菜单操作
analyze
regression
Curve estimation主对话框
（3）SPSS程 序
SPSS中的相关分析
“Analyze”菜单的“Correlate”子菜单中，该菜单包括 三个部分。①bivariate模块：主要用于两个或多个变 量间的相关分析。如果是多个变量，则给出两两变量 间相关分析的结果。该模块是进行相关分析的最常用 的模块。②partial模块：是专门用于偏相关分析，即 控制了混杂因素或影响因素后得到的两个变量间相关 关系的结果。③distance模块：一般不单独使用，当 数据复杂时，可以用此模块进行数据的初步处理，应 用少。
bivariate
Bivariate correlations主对话框
•③SP主SS要程序输出结果及解释
相关系数的统计推断
相关系数的假设检验 常用统计量t值，计算公式为：
t r 0 Sr
r
,v n2
1 r2
n2
练习题
第二节 直线回归
一、直线回归方程的求法
从散点图中看，求解a、b实际上就是怎样“合理地” 找到一条能最好地代表数据点分布趋势的直线。
Linear regression主对话框
•③SP主SS要程序输出结果及解释
决定系数（R2）
在直线回归与相关中一个重要的统计量，是指回归平 方和与总平方和之比，用R2表示其计算公式为：
R2
SS回
l
2 XY
/ l XX
l
2 XY
SS总
lYY
l XX lYY
R2取值在0和1之间且无单位，其数值大小反映了回归 贡献的相对程度，也就是在Y的总变异中回归关系所能 解释的百分比。如本例R2=0.7775，表示年龄可解释 尿肌酐含量变异性的77.75%，另外约22%的变异不能 用年龄来解释。
直线相关分析的是两变量之间是否存在直线相关关系， 以及相关的方向和程度。直线相关系数又称Pearson 相关系数，使描述两变量线性相关关系程度和方向的 统计量。
作直线相关分析要求资料服从双变量正态分布。对于 不符合双变量正态分布的资料，不能直接计算 Pearson相关系数，可用非参数统计方法，即计算 Kendall相关系数或Spearman相关系数。
练习题
第三节 曲线拟合
适用于两变量间关系为非直线形式，可以通过曲线拟 合方法来刻画两变量间数量上的依存关系。
毒理学动物试验中动物死亡率与给药剂量的关系、细 菌繁殖与培养时间的关系等情况。
例题
SPSS操作分析步骤如 下
1、建立数据文件
•建立两个变量： X变量：住院天数，数值型 Y变量：预后指数，数值型
SPSS操作分析步骤如 下
1、建立数据文件
•建立两个变量： X变量：年龄，数值型 Y变量：尿肌酸含量，数值型
2、统计分析
（1）散点图的制作
graph
scatter
simple
通过散点图可看出两个变量间有直线趋势，可作两因素线关分析。
（2）相关分析操作
①菜单选择
analyze
correlate
第六章 双变量相关与回归分析
例如：为了研究微量元素锰在胆固醇合成中的作用， 探讨大鼠肝脏中胆固醇含量和锰含量之间是否存在直 线关系？这种关系为随着锰含量的增加，胆固醇的含 量是增加还是减少呢?——直线相关问题
第一节 直线相关
直线相关：又称简单相关，是研究两个变量间线性关 系的一种常用统计方法。
•3S、PS主S程要序输出结果及解释
3、主要输出结果及解释
3、主要输出结果及解释
练习题
通常取各点残差平方和最小的直线为所求直线——”最 小二乘法”原则。
方程中常数项和回归系数的求法：
b lXY lXX
X X Y Y
2
X X
a Y bX
lXY
X
X
Y
Y
XY
X Y
n
二、直线回归中的统计推断
回归方程的假设检验：有方差分析和t检验方法。 总体回归系数β的可信区间 利用回归方程进行估计和预测
例题
SPSS操作分析步骤如 下
1、建立数据文件
•建立两个变量： X变量：年龄，数值型 Y变量：尿肌酸含量，数值型
2、统计分析
（1）散点图的制作
graph
scatter
simple
通过散点图可看出两个变量间有直线趋势，可作两因素线关分析。
（2）直线回归分析操作 ①菜单选择
analyze
regression