高中数学选修几个常用函数的导数

解：y′＝(x2)′＝2x，设切点 M(x0，y0)， 则 y′|x＝x0 ＝2x0. 因为 PQ 的斜率 k＝42－＋11＝1，又切线平行于 PQ，
所以 k＝2x0＝1，即 x0＝12，所以切点 M(12，14)． 所以所求切线方程为 y－41＝x－12， 即 4x－4y－1＝0.
1.函数 y＝f(x)＝c 的导数为 y′＝0.y′＝0 的几何意义为 函数 y＝c 图象上每一点处的切线的斜率都为 0.若 y＝c 表示 路程关于时间的函数，则 y′＝0 可以解释为某物体的瞬时 速度始终为 0，即一直处于静止状态．
答案：B
6．在下列四个命题中，真命题的个数为( ) ①曲线 y＝x3 在原点处没有切线；
②若函数 f(x)＝ x，则 f′(0)＝0；
③加速度是动点位移函数 s(t)对时间 t 的导数； ④函数 y＝x5 的导函数的值恒非负．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：y＝x3 在(0,0)处的切线为 y＝0；f(x)＝ x在 x＝0
由①②解得：x0＝2＋ 5或 x0＝2－ 5. 当 x0＝2＋ 5时，切线斜率 k＝2x0＝4＋2 5. 此时切线方程为 y＋1＝(4＋2 5)(x－2)， 即(4＋2 5)x－y－9－4 5＝0. 当 x0＝2－ 5时，切线斜率 k＝2x0＝4－2 5， 此时切线方程为 y＋1＝(4－2 5)(x－2)， 即(4－2 5)x－y－9＋4 5＝0. ∴满足条件的切线方程为：
x；④若 y′＝3，则 y＝3x.
其中正确的有( )
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
解析：①②正确． 答案：B
4．已知函数 f(x)＝x3 的切线的斜率等于 1，则这样的切 线有( )
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．不确定
解析：本题切线的条数是由切点的个数来决定的，设切
点为(x0，x30)，∵y′＝3x2，∴3x20＝1，∴x0＝± 33，即切点 有两个，故斜率为 1 的切线有两条．
其判别式 Δ＝1＋4m＝0，∴m＝－14，
∴直线 l 的方程为 x－y－14＝0， 由两平行线间的距离公式得所求的最短距离
d＝|－2＋2 41|＝78
2 .
解法三：设点(x，x2)是抛物线 y＝x2 上任意一点，则该
点到直线
x－y－2＝0
的距离
d＝|x－x22－2|＝|x2－x2＋2|＝
2 2
|x2－x＋2|＝ 22(x－12)2＋782，
§3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数
理解各个公式的证明过程，掌握常用函数的导数公式， 并能灵活运用公式求某些函数的导数．重点是：掌握常用函 数的导数公式，并会运用公式求简单函数的导数．难点是： 常用函数的导数的正确应用.
1.用导数的定义求函数 y＝f(x)的导数的步骤：
(1)求增量 Δy＝__f_x_＋__Δ__x_－___f_x___；
解析：由y＝1x， 得交点 A 的坐标为(1,1)． y＝x2，
由 y＝x2 得 y′＝2x， ∴y＝x2 在点 A(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)， 即 y＝2x－1.
由 y＝1x得 y′＝－x21， ∴y＝x1在点 A(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2，如右图所示， S△＝21×32×1＝34.
[分析] 要求 x 的值，需利用导数的定义求出 f′(x)、 g′(x)，然后解方程．
[解] 由导数的定义知， f′(x)＝Δlixm→0ΔΔxf ＝Δlixm→0x＋ΔΔxx2－x2＝2x， g′(x)＝Δlixm→0ΔΔgx＝Δlixm→0x＋ΔΔxx3－x3＝3x2. 因为 f′(x)＋1＝g′(x)，所以 2x＋1＝3x2. 即 3x2－2x－1＝0，解得 x＝1 或 x＝－13.
[点拨] 本题将求导数与解方程联系在一起．
练 2 已知函数 f(x)＝x2＋2xf′(1)，则 f(1)与 f(－1)的 大小关系是( )
A．f(1)＝f(－1) B．f(－1)<f(1) C．f(－1)>f(1) D．无法确定
[解析] 由导数的定义知，
f′(1)＝lim x→1
fxx－－f11＝lxi→m1 x2＋2xf′x1－－11－2f′1
[分析] 与直线 x－y－2＝0 平行的抛物线 y＝x2 的切线 对应的切点到直线 x－y－2＝0 的距离最短，故可用导数的 几何意义求出切点坐标，再用点到直线的距离公式求出最短 距离，也可用函数知识解决．
[解] 解法一：依题意知与直线 x－y－2＝0 平行的抛物
线 y＝x2 的切线的切点到直线 x－y－2＝0 的距离最短，设切
提示：由 f′(x)＝c′＝0 可解释为：某物体的瞬时速度 始终为 0，即一直处于静止状态．
由 f′(x)＝(x)′＝1 可解释为：某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动．
1.已知函数 f(x)＝35，则 f′(x)＝( )
A．3
B．5
C．0
D．不存在
解析：∵f(x)＝35＝243 为一个常数， ∴f′(x)＝0.故选 C.
8．曲线 y＝31x3 在点(1，13)处的切线与直线 x＋y－3＝0 的夹角为________．
解析：∵y′＝x2，y′|x＝1＝1， ∴切线的斜率为 1，又已知直线的斜率为－1， ∴两直线垂直，故两直线的夹角为 90°.∴应填 90°.
答案：90°
9．曲线 y＝x1和 y＝x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所 围成的三角形的面积是________．
答案：B
5．曲线 y＝x3 在点 P 处切线的斜率为 k，当 k＝3 时，P
点坐标为( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8)
D．(－12，－18)
解析：设 P(x0，y0)，则 f′(x0)＝3x20，即 3x20＝3，所以 x0＝1 或 x0＝－1，代入 y＝x3 有 P(1,1)或(－1，－1)．.
当 x＝12时，d 有最小值782，即所求的最短距离为782.
练 3 设直线 l1 与曲线 y＝ x相切于 P，直线 l2 过 P 且 垂直于 l1，若 l2 交 x 轴于 Q 点，又作 PK 垂直于 x 轴于 K 点， 求 KQ 的长．
[解]
设
P(x0，y0)，则
kl1＝y′| x＝x0
＝ 2
)
1 A. 2
C．0
解析：常数的导数是 0. 答案：C
B．1 D. 2
2．若 y＝ x，则 y′等于( )
1
2
A. x
B. x
1 C.2 x
D．不存在
解析：y′＝( x)′＝21x. 答案：C
3．给出下列命题：
①若 y＝π，则 y′＝0；②若 y＝3x，则 y′＝3；③若 y
＝
1 ，则 x
y′＝－12
答案：34
三、解答题 10．已知曲线 y＝5 x，求曲线上与直线 y＝2x－4 平行 的切线的方程．
解：设切点为(x0，y0)，由 y＝5
x得，y′|
x＝x0
＝ 2
5 .
x0
∵切线与 y＝2x－4 平行，
Hale Waihona Puke ∴ 25x0＝2，解得
x0＝2156.
∴y0＝245，∴所求切线方程为
y－245＝2(x－2156)，
即 2x－y＋285＝0，即 16x－8y＋25＝0.
11．试求过点 P(2，－1)且与曲线 y＝x2 相切的直线的方 程．
解：点 P(2，－1)不是曲线 y＝x2 上的点， 设切点为 M(x0，y0)，则 y0＝x20① y′＝2x，∴y′|x＝x0 ＝2x0. 又 kPM＝xy00＋－12， ∴2x0＝xy00＋－12②
点坐标为(x0，x20)．
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，
切点坐标为(12，14)．
∴所求的最短距离
d＝|12－142－2|＝7
8
2 .
解法二：设与抛物线 y＝x2 相切且与直线 x－y－2＝0 平行的
直线 l 的方程为 x－y＋m＝0(m≠－2)．
由xy＝－xy＋2，m＝0， 得 x2－x－m＝0，
4．函数 y＝f(x)＝1x的导数为 y′＝－x12. 5.函数 y＝f(x)＝ x的导数 y′＝21 x.
求切线方程 例 1 求曲线 y＝1x在点 M(3，31)处的切线方程．
[分析] 利用(1x)′＝－x12求出切线的斜率， 然后写出方程．
[解] 因为 y′＝(x1)′＝－x12，所以 y′|x＝3＝－19. 所以过(3，13)点斜率为－91的切线方程为 y－31＝－19(x－3)， 即 y＝－19x＋23.
[点拨] 由导数的几何意义求出切线的斜率，再代入点 斜式即可求出切线方程．
练 1 求曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线方程．
[解] ∵y′＝(x2)′＝2x， ∴y′|x＝1＝2，即所求切线的斜率为 2. ∴所求切线的方程为 y－1＝2(x－1)， 即 2x－y－1＝0.
与导数有关的方程问题 例 2 已知 f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合 f′(x)＋1＝g′(x) 的 x 值．
2.函数 y＝f(x)＝x 的导数为 y′＝1.y′＝1 表示函数 y＝ x 图象上每一点处的切线的斜率都为 1，若 y＝x 表示路程关 于时间的函数，则 y′＝1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动．
3.函数 y＝x2 的导数为 y′＝2x.y′＝2x 表示函数 y＝x2 图象上点(x，y)处的斜率为 2x，说明随着 x 的变化，切线的 斜率也在变化．若 y＝x2 表示路程关于时间的函数，则 y′＝ 2x 可以解释当某物体做变速运动时，它在时刻 x 的瞬时速度 为 2x.
＝lxi→m1 x－1x＋1x＋－21f′1x－1