高一下学期数学练习题(8)(解三角形)
2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章 立体几何初步(章节专练解析版)
第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。
解三角形中的最值范围、多边形问题-专题课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
cos B cos c 2sin A ．
b
c
3 sin c
（1）求角 B 的大小和边长 b 的值；
3
（2）求 ABC 周长和面积的取值范围．
（∴2）12 cossBinaA
23ssinicnCBs1inb，Bsin23(B1
，)
6
1
，
B
6
2k ，k Z
2
，
B 为锐角， B ，
3
∵ cos B cos c 2sin A ，由2正余弦定理可得 a2 c2 b2 a2 b2 c2 2a ，
解三角形中的最值范围、多边形问题
1:在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， bsin A a cos(B ) ．
6
（1）求角 B 的大小；（2）若 b 2 3 ，求 ABC 面积的最大值
【解析】（1）由正弦定理得 sin Bsin A sin Acos(B ) ，由于 0 A ， sin A 0 ，
（1）在 ACD 中，设 AD x(x 0) ，由余弦定理得 7=x2 4x2 2x 2x cos 2 ，整理 3
得 7x2 7 ，解得 x 1 .所以 AD 1,CD 2.
（由2正）弦由定已理知得得sSinADBCDCAC4SAsCinAD C23，所，以解12得AsBinADCACsinB721A.C
从而 S 1 casin 3 3 ，所以 ABC 的面积取得最大值3 3 ．
2
3
（问：在（2）的基础上面积范围怎么求？周长范围怎么求？中线范围呢？） （问：在（2）的基础上附加一个“锐角三角形”条件，面积和周长范围怎么求？）
2：在锐角 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 cosB 3 sinB 2，
解三角形小题综合 解析版--高一下学期备战期末专题训练
期末专题04解三角形小题综合一、单选题1(2022春·江苏常州·高一校联考期末)在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断【答案】C【分析】根据余弦定理可得cos B<0，进而得∠B为钝角，即可求解.【详解】在△ABC中,由余弦定理以及AB=5，BC=6，AC=8可知:cos B=AB2+BC2-AC22AB⋅BC=25+36-64 2×5×6=-120<0,故∠B为钝角，因此△ABC是钝角三角形故选：C2(2022春·江苏连云港·高一统考期末)在锐角三角形ABC中，a=2b sin A，则B=()A.π6B.π4C.π3D.7π12【答案】A【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】解：在锐角三角形ABC中，0<B<π2，由正弦定理得asin A=bsin B，又a=2b sin A，所以sin B=12，且0<B<π2，故B=π6.故选：A.3(2022春·江苏泰州·高一统考期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2a= 3b sin A，则sin B=()A.63B.33C.23D.13【答案】A【分析】运用正弦定理边化角直接计算即可.【详解】由题意，2a=3b sin A，∴2sin A=3sin B sin A，∵sin A≠0,∴sin B=23=63；故选：A.4(2022春·江苏淮安·高一统考期末)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=c cos B，则△ABC的形状()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】B【分析】根据余弦定理边角互化并整理即可得答案.【详解】因为a=c cos B，cos B=a2+c2-b2 2ac，所以a=c⋅a2+c2-b22ac，整理得a2+b2=c2，所以三角形的形状是直角三角形.故选：B5(2022春·江苏淮安·高一统考期末)在△ABC 中，B =45°，点D 是边BC 上一点，AD =5，AC =7，DC =3，则边AB 的长是()A.46B.1036 C.562D.26【答案】C【分析】由余弦定理求得cos C ，由正弦定理求得AB ．【详解】△ACD 中cos C =AC 2+CD 2-AD 22AC ⋅CD=49+9-252×7×3=1114，所以sin C =1-1114 2=5314，△ABC 中，由正弦定理AB sin C =AC sin B 得AB =AC sin C sin B =7×5314sin45°=562．故选：C ．6(2022秋·江苏南京·高一南京市第九中学校考期末)中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分(如图2)，经测量知AB =CD =4，BC =3，AD =7，则该玉佩的面积为()A.496π-934B.493π-932C.496π D.493π【答案】A【分析】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，根据相似三角形的性质求出BO =3，AO =7，进而得出△OAD 为等边三角形，利用扇形的面积和三角形的面积公式即可求出结果.【详解】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，由BC ⎳AD ，得△OBC ∼△OAD ，所以BC AD =BOAO，又AB =CD =4，BC =3，AD =7,所以37=BO BO +AB=BO BO +4，解得BO =3，所以AO =7，所以△OAD 为等边三角形，则∠AOB =π3，故S 扇形=12αr 2=12×π3×72=496π，S △BOC =12OB ×OC ×sin π3=12×3×3×32=934，所以玉佩的面积为496π-934.故选：A7(2022秋·江苏南通·高一统考期末)图1是南北方向、水平放置的圭表(一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成)示意图，其中表高为h ，日影长为l .图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A 处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻(太阳直射点的纬度为南纬23°26 )在某地利用一表高为2dm 的圭表按图1方式放置后，测得日影长为2.98dm ，则该地的纬度约为北纬( )(参考数据：tan34°≈0.67，tan56°≈1.49)A.23°26B.32°34C.34°D.56°【答案】B【分析】由题意有tan α=22.98≈0.67，可得∠MAN ，从而可得β【详解】由图1可得tan α=22.98≈0.67，又tan34°≈0.67，所以α=34°，所以∠MAN =90°-34°=56°，所以β=56°-23°26 =32°34 ，该地的纬度约为北纬32°34 ，故选：B ．8(2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末)设f x =sin x cos x -cos 2x +π4，在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f A2 =0，a =1，则△ABC 面积的最大值为()A.2+33B.3+33C.2+34D.3+34【答案】C【分析】先用三角恒等变换得到f x =sin2x -12，从而根据f A 2 =0求出A =π6，再结合余弦定理基本不等式求出bc ≤2+3，根据面积公式求出最大值.【详解】f x =sin x cos x -cos 2x +π4 =12sin2x -121+cos 2x +π2 =sin2x -12，则f A 2 =sin A -12=0，所以sin A =12，因为△ABC 为锐角三角形，所以A =π6，由余弦定理得：cos A =b 2+c 2-12bc=32，所以b 2+c 2=3bc +1，由基本不等式得：b 2+c 2=3bc +1≥2bc ，当且仅当b =c 时等号成立，所以bc ≤2+3，S △ABC =12bc sin A =14bc ≤2+34故选：C9(2022春·江苏扬州·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列各组条件中，使得△ABC 恰有一个解的是()A.a =2,b =4,A =π3B.a =13,b =4,A =π3C.a =23,b =4,A =2π3D.a =32,b =4,A =2π3【答案】D【分析】利用正弦定理逐项判断.【详解】A . 因为a =2,b =4,A =π3，由正弦定理得a sin A=b sin B ，则sin B =b sin A a =4×sin π32=3>1，无解；B . 因为a =13,b =4,A =π3，由正弦定理得a sin A=b sin B ，则sin B =b sin Aa =4×sin π313=23913，又32<23913<1，则π3<B <2π3，有两解，故错误；C . 因为a <b ,A =2π3，则B >A ，所以无解，故错误；D . 因为a =32,b =4,A =2π3，由正弦定理得a sin A =b sin B ，则sin B =b sin A a =4×sin π332=63，又12<63<1，且a >b ，所以π6<B <π2，故有一解，故正确. 故选：D10(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知△ABC 为锐角三角形，AC =2，A =π6，则BC 的取值范围为()A.1,+∞B.1,2C.1,233D.233,2【答案】C【分析】根据锐角三角形得出角B 的范围，再利用正弦定理及三角函数的性质即可求解.【详解】因为△ABC 为锐角三角形，所以A =π60<B <π20<5π6-B <π2,解得π3<B <π2,所以32<sin B <1.在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B =BC sin A，即BC =AC ⋅sin A sin B =2×sin π6sin B =1sin B ,由32<sin B <1，得1<1sin B<233，即1<BC <233.所以BC 的取值范围为1,233.故选：C .11(2022春·江苏镇江·高一统考期末)已知A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，且测得点B 对点A 和点C 的张角为120°，则点B 到AC 的距离为( )km ．A.2077B.10217C.20217D.1077【答案】B【分析】由余弦定理求出AC ，再由面积等积法求解.【详解】由余弦定理可得：AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos120°=102+202-2×10×20×-12=700，即AC =107，所以S △ABC =12AB ⋅BC sin120°=12⋅AC ⋅h ，解得h =AB ⋅BC ⋅sin120°AC =1003107=10217.故选：B12(2022春·江苏无锡·高一统考期末)设△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b =2，a 2sin C =6sin A ，则△ABC 面积的最大值为()A.3B.5C.6D.3【答案】B【分析】由a 2sin C =6sin A 结合正弦定理可得ac =6，再利用余弦定理可求得cos B ≥23，则可得sin B ≤53，从而可求出△ABC 面积的最大值【详解】因为a 2sin C =6sin A ，所以由正弦定理可得a 2c =6a ，得ac =6，由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，4=a 2+c 2-12cos B ，所以4+12cos B =a 2+c 2≥2ac =12，当且仅当a =c 时取等号，所以cos B ≥23，所以sin B =1-cos 2B ≤1-49=53，所以12ac sin B ≤12×6×53=5，当且仅当a =c 时取等号，所以△ABC 面积的最大值为5，故选：B13(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)△ABC 中，A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，则()A.若a <b <c ，则cos B <sin CB.∃A ,B 使得sin (A +B )=sin A +sin BC.∀B ,C 都有tan (B +C )=tan B +tan C1-tan B ⋅tan CD.若sin A +cos A =32，则A 是钝角【答案】D【分析】特殊值法判断A 、C ；B 由题设有sin A (cos B -1)=sin B (1-cos A )，进而有cos B =cos A =1即可判断；D 由已知得sin A +π4 =64<22，结合0<A <π即可判断.【详解】A ：由题设A <B <C ，若C =150°，B =20°，A =10°，此时cos B =sin π2-B >sin C ，错误；B ：若sin (A +B )=sin A +sin B ，则sin A (cos B -1)=sin B (1-cos A )，而sin A ,sin B >0，所以cos B =cos A =1，又0<A +B <π，故不存在这样的A ,B ，错误；C ：当B =C =π4时tan (B +C )=tan B +tan C1-tan B ⋅tan C不成立，错误；D ：由sin A +cos A =2sin A +π4 =32，故sin A +π4 =64<22，而0<A <π，所以5π4>A +π4>3π4，即π>A >π2，正确.故选：D14(2022春·江苏南通·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若ac =8,sin B +2sin C cos A =0，则△ABC 面积的最大值为()A.1B.3C.2D.4【答案】C【分析】根据sin B +2sin C cos A =0利用三角恒等变换和正余弦定理得到2b 2=a 2-c 2，再根据余弦定理和基本不等式可得cos B 的范围，由此得B 的范围，从而得到sin B 的最大值，从而根据S △ABC =12ac sin B 可求△ABC 面积的最大值．【详解】∵sin B +2sin C cos A =0，∴sin A +C +2sin C cos A =0，即sin A cos C +cos A sin C +2sin C cos A =0，即sin A cos C +3cos A sin C =0，则a ⋅b 2+a 2-c 22ab +3×b 2+c 2-a 22bc×c =0，整理得2b 2=a 2-c 2，∴cos B =a 2+c 2-b22ac=a 2+c 2-a 2-c222ac=a 2+3c 24ac ≥23ac 4ac =32，当且仅当a 2=3c 2⇔c =83,a =83时取等号，∴B ∈0，π6，∴sin B ≤12，则S △ABC =12ac sin B ≤12×8×12=2．故选：C ．15(2022春·江苏扬州·高一期末)△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p=(a +c ，b )，q =(b -a ，c -a )，若p ∥q，则角C 的大小为()A.π6B.π3C.π2D.2π3【答案】B【分析】因为p ⎳q ，所以a +c c -a -b b -a =0，再根据余弦定理化简即得解.【详解】因为p ⎳q，所以a +c c -a -b b -a =0，所以c 2-a 2-b 2+ab =0,∴a 2+b 2-c 2=ab ，所以2ab cos C =ab ,∴cos C =12,∵0<C <π，所以C =π3.故选：B .16(2022春·江苏苏州·高一校考期末)如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为()A.206海里B.406海里C.20(1+3)海里D.40海里【答案】A【分析】分别在△ACD 和△BCD 中利用正弦定理计算AD ,BD ，再在△ABD 中利用余弦定理计算AB 即可【详解】由题意可知CD =40,∠ADC =105°,∠BDC =45°,∠BCD =90°,∠ACD =30°，所以∠CAD =45°,∠ADB =60°，在△ACD 中，由正弦定理得AD sin30°=40sin45°，得AD =202，在Rt △BCD 中，因为∠BDC =45°,∠BCD =90°，所以BD=2CD=402，在△ABD中，由余弦定理得AB=AD2+BD 2-2AD⋅BD cos∠ADB=800+3200-2×202×402×12=2400=206，故选：A17(2022春·江苏苏州·高一统考期末)已知锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，且b2-c2⋅sin B=2S，若a=kc，则k的取值范围是()A.1,2B.0,3C.1,3D.0,2【答案】A【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到c=a-2c cos B，结合正弦定理得到B=2C，由△ABC为锐角三角形，求出B∈π3,π2，从而求出cos B=a-c2c=12k-12∈0,12，求出k的取值范围.【详解】因为S=12ac sin B，所以b2-c2⋅sin B=2S=ac sin B，即b2-c2=ac，所以ac+c2=a2+c2-2ac cos B，整理得：ac=a2-2ac cos B，因为a>0，所以c=a-2c cos B，由正弦定理得：sin C=sin A-2sin C cos B，因为sin A=sin B+C=sin B cos C+cos B sin C，所以sin C=sin B cos C-cos B sin C=sin B-C，因为△ABC为锐角三角形，所以B-C为锐角，所以C=B-C，即B=2C，由B∈0,π2C=B2∈0,π2A=π-B2-B∈0,π2，解得：B∈π3,π2，因为a=kc，所以cos B=a-c2c=12k-12∈0,12，解得：k∈1,2，故选：A【点睛】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.二、多选题18(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)在△ABC中，下列结论中，正确的是()A.若cos2A=cos2B，则△ABC是等腰三角形B.若sin A>sin B，则A>BC.若AB2+AC2<BC2，则△ABC为钝角三角形D.若A=60°，AC=4，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是(23,+∞)【答案】ABC【分析】根据cos2A=cos2B及角A、B的范围，可判断A的正误；根据大边对大角原则，可判断B的正误；根据条件及余弦定理，可判断C的正误；根据正弦定理，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于选项A，因为cos2A=cos2B，且A，B∈(0，π)，所以A=B，所以△ABC是等腰三角形，所以选项A正确；对于选项B，由sin A>sin B，则a<b且A，B∈(0，π)，可得A>B，所以选项B正确；对于选项C，由AB2+AC2<BC2，以及余弦定理可得cos A<0，即△ABC为钝角三角形，所以选项C正确；对于选项D，由A=60°，AC=4，以及正弦定理可得sin B=ACBCsin A=23BC<1，解得BC>23，且由大边对大角B>A，可得AC>BC，即BC<4，所以BC长的取值范围是(23，4)，所以选项D 错误；故选：ABC.19(2022春·江苏南京·高一统考期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=45°,c =2，下列说法正确的是()A.若a=3,△ABC有两解B.若a=3,△ABC有两解C.若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2,22)D.若△ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(0,2)【答案】AC【分析】根据三角形的构成，可判断三角形有几个解所要满足的条件，即c sin A<a<c，△ABC有两解，a>c或a=c sin A，△ABC有一解，a<c sin A，△ABC有0解，根据直角三角形的情况，便可得出△ABC为锐角或钝角三角形时，b的取值范围.【详解】A选项，∵c sin A<a<c，∴△ABC有两解，故A正确；B选项，∵a>c，∴△ABC有一解，故B错误；C选项，∵△ABC为锐角三角形，∴c cos A<b<cc cos A，即2<b<22，故C正确；D选项，∵△ABC为钝角三角形，∴0<b<c cos A或b>cc cos A，即0<b<2或b>22，故D错误.故选：AC20(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)在三角形△ABC中，∠A=π3，若三角形有两解，则ca的可能取值为()A.223B.1.1 C.233D.1.01【答案】BD【分析】根据正弦定理可知三角形有两解，则满足32c <a <c ，即可求解.【详解】若三角形有两解，则满足32c <a <c ，故1<c a <233，故选：BD 21(2022春·江苏南通·高一统考期末)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c =2b ，B =30°，则角A 可能为()A.135°B.105°C.45°D.15°【答案】BD【分析】由正弦定理求角．【详解】解：正弦定理得c sin C=bsin B ，又c =2b ，B =30°，sin C =22，c >b ，则C >B ，0°<C <180°，故C =45°或135°，A =105°或15°故选：BD ．22(2022春·江苏苏州·高一校联考期末)在△ABC 中，角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c ，设向量m=c ,a +b ,n =a ,c ，且m ⎳n，则下列选项正确的是()A.A =2BB.C =2AC.1<ca<2D.若△ABC 的面积为c 24，则C =π2【答案】BC【分析】根据向量平行得到c 2=a 2+ab ，结合余弦定理转化为cos C =-12+b 2a，进而利用正弦定理得到cos C =-12+sin B 2sin A，化简整理即可判断A 、B 选项；利用正弦定理及二倍角公式将ca 转化为2cos A ，然后求出角A 的范围，进而求出值域即可判断C 选项；利用S =12ab sin C =c 24，结合正弦定理及二倍角公式化简整理可求得角A ，进而可以求出角C ，从而可以判断D 选项.【详解】因为向量m =c ,a +b ,n =a ,c ，且m ⎳n，所以c 2=a a +b ，即c 2=a 2+ab ，结合余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab ，cos C =-ab +b 22ab，cos C =-12+b 2a ，再结合正弦定理得cos C =-12+sin B2sin A，2sin A cos C =-sin A +sin B ，又因为sin B =sin A +C =sin A cos C +cos A sin C ,所以2sin A cos C =-sin A +sin A cos C +cos A sin C ，sin A cos C -cos A sin C =-sin A ，sin A -C =-sin A ，sin A -C =sin -A ，所以A -C =-A ，故C =2A ，所以B 正确，A 错误；c a =sin C sin A =sin2A sin A =2sin A cos A sin A，因为sin A ≠0，所以c a =2cos A ，又因为0°<A<180°0°<2A<180°0°<180°-3A<180°，所以0°<A<60°，所以12<cos A<1，即1<2cos A<2，因此1<ca<2，故C正确；因为S=12ab sin C=c24，结合正弦定理12sin A sin B sin C=14sin2C，即sin A sin B=12sin C，则sin A sin180°-3A=12sin2A,sin A sin3A=12sin2A,sin A sin3A=sin A cos A，sin3A=cos A ，sin3A=sin A+90°则3A+A+90°=180°，或3A=A+90°，故A=22.5°或A=45°，故C=45°或C=90°，故D错误.故选：BC.23(2022春·江苏泰州·高一统考期末)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若b=6，c=2，3sin A3+cos A3=2cos C，则下列说法正确的有()A.A+3C=πB.sin C=64C.a=2 D.S△ABC=154【答案】AD【分析】利用三角恒等变换可得出cos C=cosπ3-A3，结合余弦函数的单调性可判断A选项；利用正弦定理、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系可判断B选项；利用正弦定理可判断C 选项；利用三角形的面积公式可判断D选项.【详解】因为2cos C=2cos A3cosπ3+sinπ3sin A3=2cosπ3-A3，即cos C=cosπ3-A3，因为0<A<π，0<C<π，则0<π3-A3<π3且余弦函数y=cos x在0,π上递减，所以，C=π3-A3，所以，A+3C=π，A对；因为A+3C=π=A+B+C，则B=2C，所以，0<2C<π，可得0<C<π2，由正弦定理bsin B=csin2C，即62sin C cos C=2sin C，所以，cos C=64，则sin C=1-cos2C=104，B错；由二倍角公式可得sin2C=2sin C cos C=154，cos2C=2cos2C-1=-14，所以，sin A=sin3C=sin C cos2C+cos C sin2C=104×-14+64×154=108，由正弦定理asin A=csin C可得a=c sin Asin C=1，C错；S△ABC=12ab sin C=12×1×6×104=154，D对.故选：AD.24(2022春·江苏扬州·高一统考期末)如图所示，△ABC中，AB=3，AC=2，BC=4，点M为线段AB 中点，P 为线段CM 的中点，延长AP 交边BC 于点N ，则下列结论正确的有( )．A.AP =14AB +12ACB.BN =3NCC.|AN |=193D.AP 与AC 夹角的余弦值为51938【答案】AC【分析】对A ，根据平面向量基本定理，结合向量共线的线性表示求解即可；对B ，根据三点共线的性质，结合AP =14AB +12AC 可得AN =13AB +23AC ，进而得到BN=2NC判断即可；对C ，根据余弦定理可得∠BAC ，再根据B 中AN =13AB +23AC两边平方化简求解即可；对D ，在△ANC 中根据余弦定理求解即可【详解】对A ，AP =12AM +12AC =14AB +12AC，故A 正确；对B ，设AP =λAN ，则由A ，λAN =14AB +12AC ，故AN =14λAB +12λAC，因为B ,N ,C 三点共线，故14λ+12λ=1，解得λ=34，故AN =13AB +23AC ，故AB +BN =13AB +23AB +23BC ，所以BN =23BN +23NC ，即BN =2NC ，故B 错误；对C ，由余弦定理，cos ∠BAC =32+22-422×3×2=-14，由B 有AN =13AB +23AC ，故AN 2=19AB2+49AC 2+49AB ⋅AC ⋅-14 ，即AN 2=1+169-23=199，所以|AN |=193，故C 正确；对D ，在△ANC 中AN =193，AC =2，NC =13BC =43，故cos ∠NAC =AN 2+AC 2-NC 22AN ⋅AC=199+4-1692⋅193⋅2=131976，故D 错误；故选：AC25(2022春·江苏徐州·高一统考期末)已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下结论中正确的是()A.若A >B ，则sin A >sin BB.若a =2，b =5，B =π3，则该三角形有两解C.若a cos A =b cos B ，则△ABC 一定为等腰三角形D.若sin 2C >sin 2A +sin 2B ，则△ABC 一定为钝角三角形【答案】AD【分析】对A ，根据正弦定理判断即可；对B，根据正弦定理求解sin A判断即可；对C，根据正弦定理结合正弦函数的取值判断即可；对D，根据正弦定理边角互化，再根据余弦定理判断即可【详解】对A，由三角形的性质，当A>B时，a>b，又由正弦定理asin A=bsin B>0，故sin A>sin B，故A正确；对B，由正弦定理asin A=bsin B，故2sin A=532，故sin A=155，因为a<b，故A<π3，故该三角形只有1解，故B错误；对C，由正弦定理，sin A cos A=sin B cos B，故sin2A=sin2B，所以A=B或2A+2B=π，即A+B =π2，所以△ABC为等腰或者直角三角形，故C错误；对D，由正弦定理，c2>a2+b2，又余弦定理cos C=a2+b2-c22ab<0，故C∈π2,π，故△ABC一定为钝角三角形，故D正确；故选：AD26(2022春·江苏无锡·高一统考期末)△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是()A.若sin A>sin B，则A>BB.若a2+b2-c2>0，则△ABC是锐角三角形C.若a cos B+b cos A=a，则△ABC是等腰三角形D.若asin A =bcos B=ccos C，则△ABC是等边三角形【答案】AC【分析】A由正弦定理及大边对大角判断；B由余弦定理知C为锐角；C正弦边角关系及三角形内角和性质得A=C；D由正弦定理及三角形内角性质得B=C=45°.【详解】A：由sin A>sin B及正弦定理知：a>b，根据大边对大角有A>B，正确；B：由余弦定理cos C=a2+b2-c22ab>0，只能说明C为锐角，但不能确定△ABC是锐角三角形，错误；C：sin A cos B+sin B cos A=sin(A+B)=sin C=sin A，则a=c，故△ABC是等腰三角形，正确；D：由asin A =bcos B=ccos C=bsin B=csin C，则sin B=cos B,sin C=cos C，且0<A,B,C<π，故B=C=45°，即△ABC是等腰直角三角形，错误.故选：AC27(2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是()A.c=a cos B+b cos AB.若a cos A=b cos B，则△ABC为等腰或直角三角形C.若a2tan B=b2tan A，则a=bD.若a3+b3=c3，则△ABC为锐角三角形【答案】ABD【分析】由余弦定理判断A，利用正弦定理和正弦函数性质判断B，由正弦定理，切化弦及正弦函数性质判断C ，由余弦定理判断D ．【详解】解：由余弦定理a cos B +b cos A =a ×a 2+c 2-b 22ac +b ×b 2+c 2-a 22bc=c ，A 正确；a cos A =b cos B ，由正弦定理得sin A cos A =sin B cos B ，sin2A =sin2B ，A ,B 是三角形内角，所以2A =2B 或2A +2B =π，即A =B 或A +B =π2，三角形为等腰三角形或直角三角形，B 正确；由a 2tan B =b 2tan A 得sin 2A ×sin B cos B =sin 2B ×sin Acos A，sin2A =sin2B ，同上得a =b 或a 2+b 2=c 2，C 错；若a 3+b 3=c 3，所以a c 3+b c 3=1，因此0<a c <1,0<bc<1，所以a c 2+b c 2>a c 3+b c 3=1，即a 2+b 2>c 2，cos C =a 2+b 2-c 22ab >0，C ∈(0,π)，所以C 为锐角，显然c 边最大，C 角最大，所以△ABC 为锐角三角形，D 正确．故选：ABD ．28(2022春·江苏苏州·高一校考期末)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，下列说法正确的是()A.若a cos A =b cos B ，则△ABC 是等腰三角形B.若AB =22,B =45°,AC =3，则满足条件的三角形有且只有一个C.若△ABC 不是直角三角形，则tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan CD.若AB ⋅BC<0，则△ABC 为钝角三角形【答案】BC【分析】对于A 利用正弦边角关系及三角形内角性质可得A =B 或A +B =π2判断；对于B 应用余弦定理求BC 即可判断；对于C 由三角形内角性质及和角正切公式判断．对于D 由向量数量积定义判断；【详解】对于A ：由正弦定理得sin A cos A =sin B cos B ，则sin2A =sin2B ，则△ABC 中A =B 或A +B =π2，故A 错误；对于B ：由cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =BC 2-142BC=22，则BC 2-4BC -1=0，可得BC =2±5，故BC =2+5，满足条件的三角形有一个，故B 正确；对于C ：由△ABC 不是直角三角形且A =π-(B +C )，则tan A =-tan (B +C )=-tan B +tan C1-tan B tan C，所以tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ，故C 正确；对于D :AB ⋅BC =|AB ||BC |cos (π-B )=-|AB ||BC |cos B <0，即|AB ||BC|cos B >0，∠B 为锐角，故△ABC 不一定为钝角三角形，故D 错误；故选：BC三、填空题29(2022春·江苏连云港·高一统考期末)曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA 在水平位置OB 时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB 按顺时针方向旋转角α时，P 和Q 之间的距离是xcm ，若OA =3cm ，AP =7cm ，α=120°，则x 的值是．【答案】5【分析】根据余弦定理解决实际问题，直接计算即可.【详解】如下图，在△APO中，由余弦定理可知49=OP2+9-2×3⋅OP⋅cos∠AOP⇒OP=5cm，另外，由图可知，在点A与点B重合时，OQ=AP+OA=10cm,∴PQ=OQ-OP=10-5=5cm,故答案为：530(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如图)．若A船的航行速度为40nmile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距nmile．【答案】202【分析】利用正弦定理求AB的长度即可.【详解】由题设，CA=40nmile且∠ABC=135°，正弦定理有ABsin∠BCA=CAsin∠ABC°，则ABsin30°=40sin135°，可得AB=202nmile.故答案为：20231(2022春·江苏无锡·高一统考期末)△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知C=60°，a =1，c=7，则b=.【答案】3【分析】利用余弦定理求解即可【详解】因为在△ABC中，C=60°，a=1，c=7，所以由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos C，所以7=1+b2-2b cos60°，b2-b-6=0，(b+2)(b-3)=0，得b=-2(舍去)，或b=3，故答案为：332(2022春·江苏扬州·高一期末)《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机．外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现在相距120km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北75°方向，若A地地动仪正东方向的铜丸落下，B地地动仪东南方向的铜丸落下，则地震的位置距离B地km【答案】603+60【分析】由题意作图后由正弦定理求解【详解】作图如下，由题意得A=75°，B=60°，C=45°，AB=120，故BCsin A=ABsin C，BC=120sin45°⋅sin75°，而sin75°=sin(45°+30°)=6+24，得BC=603+60故答案为：603+6033(2022春·江苏泰州·高一统考期末)如图所示，该图由三个全等的△BAD 、△ACF 、△CBE 构成，其中△DEF 和△ABC 都为等边三角形.若DF =2，∠DAB =π12，则AB =.【答案】6+2##2+6【分析】设AF =BD =x ，在△ABD 中，利用正弦定理求出x 的值，再利用正弦定理可求得AB 的长.【详解】由已知△ABD ≌△CAF ，所以，AF =BD ，设AF =x ，在△ABD 中，∠ADB =2π3，∠BAD =π12，则∠ABD =π4，sin ∠BAD =sin π12=sin π3-π4 =sin π3cos π4-cos π3sin π4=6-24，由正弦定理BD sin π12=AD sin π4，即x 6-24=x +222，解得BD =AF =x =233，由正弦定理BD sin π12=ABsin 2π3得AB =BD sin 2π3sin π12=233×326-24=6+ 2.故答案为：6+ 2.34(2022春·江苏常州·高一统考期末)在△ABC 中，AB =22，BC =3，B =45°，点D 在边BC 上，且cos ∠ADC =1717，则tan ∠DAC 的值为.【答案】67【分析】首先由余弦定理求出b ，再求出sin ∠ADC ，由正弦定理求出AD ，再由余弦定理求出BD ，最后在△ADC 中由正弦定理求出sin ∠DAC ，最后由同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为AB =22，BC =3，B =45°，由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即b 2=9+8-2×3×22×22=5，所以b =5，因为cos ∠ADC =1717，所以sin ∠ADC =1-cos 2∠ADC =41717，所以sin ∠ADB =sin π-∠ADC =sin ∠ADC =41717由正弦定理AB sin ∠ADB=AD sin B ，所以AD =172，再由余弦定理AD 2=BD 2+AB 2-2AB ⋅BD cos B ，即4BD 2-16BD +15=0，解得BD =32或BD =52，又BC =3，∠ADC ∈0,π2 ，所以BD =32，则DC =32，在△ADC 中由正弦定理AC sin ∠ADC =DCsin ∠DAC ，即541717=32sin ∠DAC，所以sin ∠DAC =68585，又AD >DC ，所以cos ∠DAC =1-sin 2∠DAC =78585，所以tan ∠DAC =sin ∠DAC cos ∠DAC=67；故答案为：6735(2022春·江苏南通·高一统考期末)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a =6，b =2，要使△ABC 为钝角三角形，则c 的大小可取(取整数值，答案不唯一)．【答案】5(填7也对，答案不唯一)【分析】利用三角形两边和与差点关系，求出4<c <8，再分别讨论a 和c 为钝角时，边c 的取值范围，根据题意即可得到答案.【详解】首先由a ，b ，c 构成三角形有4=a -b <c <a +b =8，若c 为钝角所对边，有c 2>a 2+b 2=40，c >40，若a 为钝角所对边，有36=a 2>b 2+c 2=4+c 2，c <32，由b <a ，b 不可能为钝角所对边，综上，c 的取值范围是4，32 ∪40,8 , 由题意，c 取整数值，故c 的大小可取5或7.故答案为：5(填7也对，答案不唯一).36(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC 中，以AB ，BC ，CA 为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D ，E ，F ，若∠BAC =30°,DF =4，利用拿破仑定理可求得AB +AC 的最大值为．【答案】46【分析】结合拿破仑定理求得AD ,AF ，利用勾股定理列方程，结合基本不等式求得AB +AC 的最大值.【详解】设BC =a ，AC =b ，AB =c ，如图，连接AF ，BD ，AD ．由拿破仑定理知，△DEF 为等边三角形．因为D 为等边三角形的中心，所以在△DAB 中，AD =12⋅AB sin60°=c 3，同理AF =b3．又∠BAC=30°,∠CAF=30°,∠BAD=30°，所以∠DAF=∠BAD+∠BAC+∠CAF=90°．在△ADF中，由勾股定理可得DF2=AD2+AF2，即16=c23+b23，化简得b+c2=2bc+48，由基本不等式得b+c2≤2⋅b+c22+48，解得b+c≤46(当且仅当b=c=26时取等号)，所以AB+ACmin=46．故答案为：46。
高考数学最新真题专题解析—解三角形(全国通用)
高考数学最新真题专题解析—解三角形（全国通用）考向一 正余弦定理及三角形面积公式 【母题来源】2022年高考北京卷【母题题文】 在ABC 中，sin 23C C =．（1）求C ∠； （2）若6b =，且ABC 的面积为3ABC 的周长． 【试题解析】【小问1详解】解：因为()0,C π∈，则sin 0C >32sin cos C C C =，可得3cos C =，因此，6C π=.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得13sin 6322ABCSab C a ===，解得43a =由余弦定理可得22232cos 4836243612c a b ab C =+-=+-⨯=，23c ∴=所以，ABC 的周长为636a b c ++=.【命题意图】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，重点考查正余弦定理、三角恒等变形及三角形面积公式等. 【得分要点】（1）一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系； （2）应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用；（3）注意边或角的限制范围. 考向二 正余弦定理的综合应用【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．（1）若2A B =，求C ； （2）证明：2222a b c =+ 【试题解析】【小问1详解】由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =． 【小问2详解】由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得： 2222a b c =+，故原等式成立．【命题意图】本题考查三角形内角和定理及两角差的正弦公式.【命题方向】这类试题在考查题型多以解答题形式出现，多为中档题，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）正弦定理及其变形；（2）余弦定理及其变形；（3）三角形面积公式；（4）正余弦定理的综合应用. 【得分要点】（1）一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系； （2）应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用； （3）注意边或角的限制范围. 真题汇总及解析 一、单选题1．（北京市西城区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题）在ABC 中，若222a b c kab +-=，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()2,2- B ．()1,1-C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．0,1【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理及已知条件可得(1,1)2k ∈-，即可求k 的取值范围. 【详解】由222cos (1,1)22kab a b C c ==∈+--，故()2,2k ∈-. 故选：A2．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =，1c =，()1cos 2A C +=-，则b =（ ） A 7B 13C ．3D 19【答案】A 【解析】 【分析】先求得B 的余弦值，再根据余弦定理可求得b 的值. 【详解】()1cos cos(π)cos 2A C B B +=-=-=-，∴2222191cos 226a cb b B ac +-+-===，∴27,7b b ==故选：A.3．（2022·河南·模拟预测（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为33π3A =，43b c +==a （ ） A ．23B ．5 C ．8 D ．22【答案】A 【解析】 【分析】由三角形的面积和A 计算出bc 的值，再根据余弦定理求出2a 的值，即可得到答案 【详解】 由题意可知，1sin 332ABCSbc A ==，得12bc = 43b c +=12bc =由余弦定理可得：22222cos ()22cos =+-=+--a b c bc A b c bc bc A 整理得：212a = ，3a ∴=故选：A4．（2022·甘肃白银·三模（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22230,43=︒+-=A b c a ABC 的面积为（ ） A ．12 B 3C ．1 D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理可求得4bc =，再根据三角形的面积公式1sin 2bc A ，即可求出结果. 【详解】因为22230,43=︒+-=A b c a所以2cos 343bc A bc ==，所以4bc =，所以ABC 的面积为1sin 12bc A =.故选：C.5．（2022·四川遂宁·模拟预测（文））在△ABC 中，“222sin sin sin A B C +>”是“△ABC 是锐角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由222sin sin sin A B C +>不能得到ABC 是锐角三角形，但ABC 是锐角三角形,则222sin sin sin A B C +>，根据必要不充分条件的定义，即可求解.【详解】由正弦定理可知，222222sin sin sin cos 0A B C a b c C +>⇔+>⇔>，222sin sin sin A B C +>不能得到ABC 是锐角三角形,但ABC 是锐角三角形,则222sin sin sin A B C +>.故“222sin sin sin A B C +>”是“ABC 是锐角三角形”的必要不充分条件， 故选:B ．6．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（理））已知ABC 三边a ，b ，c 及对角A ，B ，C ，周长为5，且满足22(sin sin )sin sin 7sin A B A B B +=+，若1b =，则ABC 的面积S =（ ） A 15B ．78C 15D 15 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理化边为角，得出2a b =，结合已知求出,a c ，然后求出等腰三角形底边上的高，由面积公式计算面积． 【详解】因为22(sin sin )sin sin 7sin A B A B B +=+，由正弦定理得22()7a b ab b +=+，所以2a b =（3a b =-舍去），三角形周长为5，1b =，则2a =，2c =，由等腰三角形性质知AC 边上的高为221152()2h =-=所以三角形面积为1151512S =⨯= 故选：A ．7．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知锐角ABC ，其外接圆半径为2，3C π=，AB 边上的高的取值范围为（ ）.A ．(0,3]B ．(0,3)C ．(2,3]D ．(2,3)【答案】C 【解析】 【分析】设AB 边上的高为h ，根据题意得62A ππ<<，再结合条件得2sin 216h A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再分析求值域即可. 【详解】因为ABC 为锐角三角形，3C π=，设AB 边上的高为h ，所以022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<< 由正弦定理可得，4sin sin sin 3a b cA B π===，所以4sin a A =，4sin b B =，23c =11sin 223S ch ab π==，所以323124sin sin 4sin sin 32h A A A A A c π⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223sin cos 2sin 3sin 21cos 22sin 216A A A A A A π⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭因为62A ππ<<，所以52666A πππ<-<，所以1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭， 所以22sin 2136A π⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭，所以高的取值范围为(2,3].故选：C.8．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E 、H 、G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为h ，EG 为测量标杆问的距离，记为d ，GC 、EH 分别记为,a b ，则该山体的高AB =（ ）A ．hdh a b+- B ．hdh a b-- C ．hdd a b+- D ．hdd a b-- 【答案】A 【解析】 【分析】根据所给数据，利用解直角三角形先求出BM ，即可得解. 【详解】连接FD ，并延长交AB 于M 点，如图，因为在Rt BMD △中tan hBDM b∠=，所以||||||tan BM BM b MD BDM h ==∠；又因为在Rt BMF △中tan hBFM a ∠=，所以||||||tan BM BM a MF BFM h ==∠，所以||||||||BM a BM bMF MD d h h-=-=， 所以||hd BM a b =-，即||hdAB BM h h a b=+=+-， 故选：A ． 二、填空题9．（2022·浙江湖州·模拟预测）若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设1()2p a b c =++，则该三角形的面积()()()S p p a p b p c ---这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若ABC 的三边长分别为5，6，7，则该三角形的面积为_____________． 【答案】66 【解析】 【分析】将三边长分别代入公式即可求解. 【详解】 解：由题意得11()(567)922p a b c =++=⨯++=()()()9(95)(96)(97)66ABCSp p a p b p c ∴---⨯---故答案为：6610．（2022·全国·模拟预测（文））若a ，b ，c 分别是ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，4C π，且32c a =，则B =________．【答案】12π或512π 【解析】 【分析】利用正弦定理求出3A π=或23A π=，即得解. 【详解】32c a =，可得sin s 3in 2A C a c ==4C π，所以33s in in 2A C =c a <，所以C A <，所以3A π=或23A π=， 所以53412B ππππ=--=或23412B ππππ=--=． 故答案为：12π或512π 11．（2022·河南安阳·模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足22230,sin()2sin --=+=b c ac A B A ，则tan C =___________． 3【解析】 【分析】由正弦定理角化边，即可得到2c a =，从而得到7b a =，再由余弦定理求出cos C ，最后由同角三角函数的基本关系计算可得； 【详解】解：因为sin()2sin A B A +=，即sin 2sin C A =，由正弦定理可得2c a =， 又22230b c ac --=，即22221220b a a --=，即7b a =，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，即222222227cos 227a b c C ab a+-== 所以221sin 1cos 7C C， 所以21sin 37tan cos 27C C C ===； 312．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）ABC 的内角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，且1,cos sin a b C c A ==-，则ABC 的外接圆半径为__________. 2【解析】 【分析】利用正弦定理可得sin sin cos sin sin B A C C A =-，进而可得34A π=，即得. 【详解】1a =，则cos sin b a C c A =-，由正弦定理，得sin sin cos sin sin B A C C A =-，故()sin sin cos sin sin A C A C C A +=-， 展开化简得：cos sin sin sin A C C A =-，()0,C π∈，sin 0C ≠，故cos sin A A =-，()0,A π∈，即34A π=，∴外接圆直径2R 2sin a A =22. 三、解答题13．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,x ∈π. (1)求()f x 的单调递增区间；(2)在锐角ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1a =，求ABC面积的最大值. 【答案】(1)0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3,4π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦23+【解析】 【分析】（1）化简()1sin 22f x x =-，结合0x π≤≤与正弦函数的单调性令022x π≤≤或3222x ππ≤≤，求解即可； （2）结合锐角三角形及02Af ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得6A π=，利用余弦定理可得2231b c bc +=，再根据基本不等式求得bc 的范围，进而由三角形面积公式求解.(1)由题意，()111sin 2cos 21sin 22222f x x x x ⎛π⎫⎛⎫=-++=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0x π≤≤，所以022x π≤≤， 由正弦函数的单调性可知，当022x π≤≤或3222x ππ≤≤，即04x π≤≤或34x ππ≤≤时，函数1sin 22y x =-递增，所以()f x 的单调递增区间是0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3,4π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦. (2)由题意，1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以1sin 2A =，因为锐角ABC ，则0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故6A π=，由余弦定理，2222cos b c bc A a +-=，故2231b c bc +=， 由基本不等式，222b c bc +≥，故23bc ≤，当b=c 时等号成立 因此，123sin 2ABCSbc A +=，当b c =时，ABC 23+. 14．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()cos2cos 0C A B -+=.(1)求角C 的值； (2)若7,2sin 3sin c A B ==，求ABC 的面积. 【答案】(1)3C π=33【解析】 【分析】（1）由三角形的内角和结合二倍角公式可得出答案.（2）由正弦定理可得32a b =，再由余弦定理代入可求出,a b 的值，最后由三角形的面积公式可求出答案.(1)由()cos2cos 0C A B -+=得: 22cos cos 10C C +-=， 解得：1cos 2C =或cos 1C =-.又因为()0,C π∈，所以1cos 2C =，则3C π=.(2)由正弦定理及已知条件可得，23a b =，即32a b =， 由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-， 得：2229317724224b b b b b =+-⨯⨯⨯=，所以2b =，所以332a b ==， 所以11333sin 3222ABCSab C ==⨯⨯15．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+. (1)求角C 的值；(2)若2a +b =6，且ABC 3ABC 的周长.【答案】(1)π3C = (2)6或513+【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合πA B C ++=，代换整理得sin 2sin C C =，再结合倍角公式整理；（2）根据面积公式1sin 2ABCSab C =代入整理得4ab =，结合题意可得22a b =⎧⎨=⎩或14a b =⎧⎨=⎩，分情况讨论处理． (1)∵()()sin sin a A B C c B C +-=+，则()sin sin π2sin sin A C C A -= ∵0π,sin 0A A <<≠∴sin 2sin C C =，即2sin cos sin C C C = ∵0π,sin 0C C <<≠，则1cos 2C =∴π3C =(2)∵△ABC 的面积为3，则1sin 32ab C =，∴4ab = 根据题意得426ab a b =⎧⎨+=⎩，则22a b =⎧⎨=⎩或14a b =⎧⎨=⎩若22a b =⎧⎨=⎩，则△ABC 为等边三角形，ABC 的周长为6； 若14a b =⎧⎨=⎩，则2222cos 13c a b ab C =+-=，即13c =，ABC 的周长为513+ ∴ABC 的周长为6或513+16．（2022·上海虹口·二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD 的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以DCB ∠和DAB ∠为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD 相切.(1)若437AD =337AB =37BD =（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；(2)若扇形的半径为10米，圆心角为135︒，则BDA ∠多大时，平行四边形绿地ABCD 占地面积最小？【答案】(1)72π (2)22.5︒ 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可得A ∠的大小，再根据正弦定理可得sin ABD ∠，进而求得扇形的半径，从而得到种植花卉区域的面积（2）设BDA θ∠=，根据直角三角形中的关系可得,AD AB 关于θ的表达式，从而()2sin 2451θ+-，从而根据三角函数的最值求解即可(1)由余弦定理，222222169371cos 22422437337AD AB BD A AD AB +-+-====-⋅⨯⨯，故120A =，又由正弦定理有sin120sin BD AD ABD =∠，故23sin sin12037AD ABD BD ∠==，所以扇形的半径23sin 3376337r AB ABD =⋅∠==(2122637223S ππ=⨯⨯⨯=(2)设BDA θ∠=，则18013545ABD θθ∠=--=-，故10sin AD θ=，()10sin 45AB θ=-，故平行四边形绿地ABCD 占地面积()()21101021002sin1352sin sin cos sin sin 452sin cos sin S θθθθθθθθ=⋅⋅⋅⋅==--⋅-()200sin 2cos 212sin 2451θθθ==+-+-，因为()0,45θ∈，故要ABCD 面积最小，则当()sin 2451θ+=，即24590θ+=，22.5θ=时ABCD 面积取得最小值，即22.5BDA ∠=多大时，平行四边形绿地ABCD 占地面积最小。
高一数学下学期期末模拟试卷7 及答案
高一数学下学期期末模拟试卷7 姓名：___________1．(终边相同角问题) 的值为( )B.D.2．（向量计算）已知则与的夹角为 ()A.B.C.D .3π3．（数列基本概念）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，则1225是数列{a n }中的第( )项． A.49 B. 50 C. 51 D. 52 4（不等式的性质）设a <b ，则下列不等式中一定成立的是( )A.1a >1bB. 22a b <C. 33a b < D. a b < 5．（三角变换求值）已知2sin 3α=，则()cos 32πα-等于( ) A.3-B.19C.19-D.3/5已知3sin cos 8x x =,且(,)42x ππ∈,则cos sin x x -=_________.6．（平面区域问题）设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ，则y x z 25+=的最大值是( )A. 50B. 60C. 70D. 1007．（三角函数线）设0≤α＜2π,若sin α＞cos α,则α的取值范围是（ ） A. (,)42ππ B. (,)4ππ C. 3(,)44ππ D. 5(,)44ππ sin 585︒8.等差数列基本计算）已知{}n a 是公差为2的等差数列，且317111a a a +++是与的等比中项, 则数列{}n a 的通项公式；（ ）A. 21n -B. 21n +C. 2nD. 32n + 9．（向量坐标形式计算）设,,x y ∈R 向量(,1),(1,),(a x b y c a c bc ab===-⊥+且则（ ）A B C ．D ．1010．（图象变换）把函数=()y sin x x R ∈的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) A 、=(2-),R 3y sin x x π∈ B 、=(+),R 26x y sin x π∈ C 、=(2+),R 3y sin x x π∈ D 、 2=(2+),R 3y sin x x π∈ 11．（三角函数图象）函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示.( )A. ()sin(2)12f x x π=+B. ()sin()6f x x π=+C. ()sin(2)3f x x π=+D. ()sin(2)6f x x π=+12(解三角形与三角变换）在∆ABC 中,A,B,C 为内角,且sin cos sin cos A A B B =,则∆ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形二,填空题(每题3分,共18分) 13．(已知三角函数值求角) 边长为的三角形的最大角与最小角的和是________14．(利用基本不等式求最值)求已知xy y x R y x ，则，且14,=+∈+的最大值为 15．(向量计算) 若向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2且a 与b 的夹角为3π,则|a +b |=______ 16．(三角函数性质) 关于函数()x x x f 2cos 2sin -=有下列命题： ①函数()x f y =的周期为π；②直线4π=x 是()x f y =的一条对称轴； ③点⎪⎭⎫⎝⎛0,8π是()x f y =的图象的一个对称中心； ④将()x f y =的图象向左平移4π个单位，可得到x y 2sin 2=的图象.其中真命题的序号是______.（把你认为真命题的序号都写上） 17 (等差数列前n 项和问题) 在等差数列中，912162a a =+，则数列的前11项和S 11等于_______18(解三角形与三角变换) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若45a ==︒，则角A= 。
河南省大联考2022-2023学年高一下学期阶段性测试(三)数学试题
绝密★启用前大联考2022—2023学年高一年级阶段性测试（三）数 学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．PA BC BA +-=（ ） A ．PBB ．CPC ．ACD ．PC2．已知向量a ，b 的夹角为π3，3a b ⋅=，2b =，则a =（ ） A ．2B ．3C ．6D ．123．已知向量a 与b 的方向相反，()2,3b =-，213a =，则a =（ ） A ．()6,4-B ．()4,6-C ．()4,6-D ．()6,4-4．已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =12b =，60B =︒，则A =（ ） A ．30°B ．45°C ．150°D ．30°或150°5．已知在ABC △中，5AB =，4BC =，4cos 5B =，则cos A =（ ）A ．35B ．34CD ．256．如图，在ABC △中，π3ABC ∠=，E 为AB 边的中点，F 为BC 边上的点，且34BF BC =，2AB =，4BC =，则AC EF ⋅=（ ）A ．6B ．9C ．10D ．197．如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上靠近点A 的三等分点，F 为AB 边上靠近点B 的四等分点，且线段EF 交AC 于点P ．若AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则AP =u u u r（ ）A ．3344a b +r rB ．331313a b +r rC ．51142a b +r rD ．19416a b +r r8．已知锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若()2c o s c o sc o s 3s i nA B C B +=，a =r6bc =，则b c +=（ ）A ．9B ．8C ．5D ．4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知向量()2,1a =r ，()2,4b =-r，则（ ）A．a =rB ．14a a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∥r r rC ．a b ⊥r rD ．a b a b +=+r r r r10．下列说法中正确的有（A ．若AB u u u r 与CD u u ur 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上B ．若向量()1,3a =r ，()1,3a b -=--r r ，则a b ∥r rC ．若平面上不共线的四点O ，A ，B ，C 满足320OA OB OC -+=u u u r u u u r u u u r，则2AB BC=u u u r u u u rD ．若非零向量a r ，b r 满足a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +r r 的夹角是π311．已知向量a r ，b r 的夹角为π6，3a =r ，1b =r ，t ∈R ，则（ ）A ．b r 在a r方向上的投影向量的模为2B．a +r 在a r方向上的投影向量的模为2C ．ta b +r r 的最小值为14D ．ta b +r r 取得最小值时，()a tab ⊥+r r r12．已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin sin a A B c C b B -=-，则下列说法正确的是（ ） A ．π6C =B ．若ABC △c 的最小值为2B ．若1a =，5π12B =，则ABC △的面积为38+D ．若3b =，c =ABC △有且仅有一个三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()1,3a =-，(),0b x =，()2,1c =，若()c a b ⊥+，则实数x 的值为______．14．已知14AB BC =，且BA mAC =，则实数m =______． 15．如图所示，向量OA 与OB 的夹角为5π6，向量OP 与OB 的夹角为π6，2OA OP ==，4OB =，若OP mOA nOB =+，（m ，n ∈R ），则m n +=______．16．已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π4A =，22222b a c =+，则sin C =______． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知向量()1,2a =r ，()1,b t =r（t ∈R ）．（Ⅰ）若()()a b a b +-∥r r r r，求t 的值；（Ⅱ）若1t =，a r 与a mb +r r的夹角为锐角，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知1e u r ，2e u u r 为单位向量，且1e u r ，2e u u r 的夹角为120°，向量122a e e =+r u r u u r ，21b e e =-r u u r u r ．（Ⅰ）求a b ⋅r r ；（Ⅱ）求a r 与b r的夹角．19．（12分）已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin2sin B B =． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若a c >，且a c +=，证明：2a c =． 20．（12分）已知ABC △的外心为点O ，且()CO CA CB λ=+u u u r u u u r u u u r（λ∈R ），P 为边AB 的中点．（Ⅰ）求证：CP AB ⊥； （Ⅱ）若514λ=，求ACB ∠的余弦值． 21．（12分）已知E 为ABC △内一点，F 为AC 边的中点．（Ⅰ）若30EA EB EC ++=u u u r u u u r u u u r ，求证：52BE BF =u u u r u u u r；（Ⅱ）若230EA EB EC ++=u u u r u u u r u u u r，EBC △，ABC △的面积分别为S '，S ，求证：6S S '=．22．（12分）如图，已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222sin sin sin sin sin 3A CB A BC +-=-⋅．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2223a c c b ++=，152BA BC ⋅=-u u u r ，点D 在边AC 上，且BD u u u r 在BC u u u r 和BA u u u r 上的投影向量的模相等，求线段BD 的长．2022—2023学年高一年级阶段性测试（三）数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．答案 D命题意图 本题考查向量的线性运算．解析 PA BC BA PA AC PC +-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．2．答案 B命题意图 本题考查向量的数量积运算．解析 由题意知π1cos 2332a b a b a a ⋅==⋅==r r r r rr ．3．答案 C命题意图 本题考查向量的坐标运算．解析 ∵a r 与b r 的方向相反，∴a b λ=r r （0λ<）．设(),a x y =r ，则()(),2,3x y λ=-，于是2,3.x y λλ=-⎧⎨=⎩由a =r 2252x y +=，即222491352λλλ+==，∴24λ=，∴2λ=-，∴()4,6a =-r ．4．答案 A命题意图 本题考查正弦定理．解析因为a =12b =，60B =︒，所以由正弦定理可得sin 12sin 122a BA b===，所以30A =︒或150°．因为b a >，所以B A >，所以30A =︒． 5．答案 A命题意图 本题考查余弦定理．解析 由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，解得3AC =，则在Rt ABC △中，3cos 5AC A AB ==． 6．答案 B命题意图 本题考查向量的数量积运算．解析 ()()()3142AC EF BC BA BF BE BC BA BC BA ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r223131512242424BC BA BC BA BC BA BA BC =-⋅-⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r 5π5114cos 142494342BA BC =-⋅⋅=-⨯⨯⨯=u u u r u u u r ．7．答案 B命题意图 本题考查平面向量基本定理．解析 ∵E 为AD 边上靠近点A 的三等分点，F 为AB 边上靠近点B 的四等分点，∴13AE AD =u u u r u u u r ，34AF AB =u u u r u u u r ．设()433AP AC AB AD AF AE λλλ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，∵E ，F ，P 三点共线，∴4313λλ+=，解得313λ=， 于是()()333131313AP AB AD AB AD a b λ=+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r． 8．答案 C命题意图 本题考查解三角形．解析 ∵()2cos cos cos A B C B +=，πA B C ++=，∴()2cos cos 2cos πA B A B B +--=，()2cos cos 2cos A B A B B -+=，∴2sin sin A B B =．∵ABC △为锐角三角形，∴sin 0B ≠，∴sin A =．而π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π3A =． 由余弦定理可得222π2cos 3a b c bc =+-，∴2276b c =+-，∴2213b c +=， 则5b c +====．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．答案 AC命题意图 本题考查平面向量的模及向量垂直的定义．解析 因为()2,1a =r ，所以a =r 故A 正确；由题可知13,242a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭r r ，因为322102⨯-⨯≠，所以ar 与14a b +r r 不共线，故B 错误；因为()()2,12,40a b ⋅=⋅-=r r ，所以a b ⊥r r ，故C 正确；因为a r 与b r的方向不相同，所以a b a b +≠+r r r r，故D 错误．10．答案 BC命题意图 本题考查共线向量的定义及向量的运算．解析 AB u u u r 与CD u u ur 是共线向量，也可能是AB CD ∥，故A 错误；设(),b x y =r ，∵()1,3a =r ，()1,3a b -=--r r ，∴11,33,x y -=-⎧⎨-=-⎩解得2,6,x y =⎧⎨=⎩∴()2,6b =r ，又∵16320⨯-⨯=，∴a b ∥r r，故B 正确；由已知得()()220OA OB OC OB BA BC -+-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ，∴2AB BC =u u u r u u u r，∴2AB BC=u u u ru u u r ，故C 正确；由()22a a b =-r r r 整理可得22b a b =⋅r r r ，设a r 与a b +r r的夹角是θ，则()22221322cos a a a a a ba ab θ+⋅+====⋅+r r r r r r r r r r ，∴a r 与a b +r r 的夹角是π6，故D 错误． 11．答案 ACD命题意图 本题考查平面向量的投影向量的定义、向量的模及向量垂直的定义．解析 因为b r 在a r方向上的投影向量的模为πcos 62b =r ，故A 正确；因为a +r 在a r方向上的投影向量的模为()22π331cos 9632a a a a a a+⨯⨯+⋅+⋅===r r r rr r，故B 错误；222222212921919264ta b t a ta b b tt t t t ⎛+=+⋅+=+⨯+=++=++ ⎝⎭r r r r r r，当t =ta b +r r 取得最小值14，此时()2990a ta b ta a b t ⎛⋅+=+⋅=+=⨯+= ⎝⎭r r r r r r ，所以()a tab ⊥+r r r ，故C ，D 正确． 12．答案 BC命题意图 本题考查解三角形．解析 ∵()sin sin sin sin a A B c C b B -=-，∴由正弦定理可得()22a abc b -=-，即222a b c ab +-=，由余弦定理可得2221cos 22a b c C ab +-==，∵0πC <<，∴π3C =，故A 错误；由题可知1sin 24ab C ==4ab =， 由余弦定理可得222222cos 24c a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+-≥-==，∴2c ≥，当且仅当2a b ==时等号成立，故c 的最小值为2，故B 正确；由题可知π4A =，由正弦定理得sin sin a c A C =，∴sin sin 2a C c A ===， ∴ABC △的面积为115π3sin 122212448ac B +=⨯⨯=⨯=C 正确； 由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即2793a a =+-，3320a a -+=，解得1a =或2a =，故D 错误．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案 12-命题意图 本题考查向量的坐标运算．解析 由题可知()1,3a b x +=-r r ，由()c a b ⊥+r r r 知210x +=，∴12x =-．14．答案 15-命题意图 本题考查向量的运算．解析 ∵()1144BA AB BC BA AC =-=-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴15BA AC mAC =-=u u u r u u u r u u u r ，∴15m =-．15．答案12+命题意图 本题考查向量的运算．解析 以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 且向上的方向为y 轴建立平面直角坐标系，则()4,0B ．设()11,P x y ，()22,A x y，于是1π2cos6x ==1π2sin 16y ==，且25π2cos 6x ==25π2sin 16y ==．由OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r得)()()4,0m n =+，∴4,1,n m =+=⎪⎩解得1,2m n =⎧⎪⎨=⎪⎩∴1m n +=+． 16．答案5命题意图 本题考查正弦定理与余弦定理的应用．解析 由22222b a c =+得2222c a b =-，而π4A =，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即22222c b b c -=+，整理可得b =．所以222222952828c c a b c c =-=-=，于是a c =正弦定理可得sin sin a A c C ==πsin 5C ==．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．命题意图 本题考查平面向量共线及向量的夹角的定义．解析 （Ⅰ）由题可知()()()1,21,2,2a b t t +=+=+r r，()()()1,21,0,2a b t t -=-=-r r．∵()()a b a b +-∥r r r r ，∴()220t -=，∴2t =．（Ⅱ）若1t =，则()1,1b =r，()1,2a mb m m +=++r r ．∵a r 与a mb +r r的夹角为锐角，∴()0a a mb ⋅+>r r r ，且a r 与a mb +r r 不共线，∴()()1220,212,m m m m +++>⎧⎪⎨+≠+⎪⎩解得53m >-且0m ≠，∴m 的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭．18．命题意图 本题考查向量的数量积及夹角的求解．解析 （Ⅰ）∵1e u r ，2e u u r 为单位向量，且1e u r ，2e u u r的夹角为120°，∴12111cos1202e e ⋅=⨯⨯︒=-u r u u r ．∴()()12212a b e e e e ⋅=+⋅-r r u r u u r u u r u r 1221221e e e e =⋅-+--u r u u r u u r u r 1312122=--++=-．（Ⅱ）设a r 与b r的夹角为θ．∵a ====rb ====r∴31cos 22a b a bθ⋅==-⨯=-⋅r rr r ．又∵[]0,180θ∈︒︒，∴120θ=︒，∴a r 与b r 的夹角为120°． 19．命题意图解析 （Ⅰ）因为sin2sin B B =，即2sin cos sin B B B =， 所以1cos 2B =．因为()0,πB ∈，所以π3B =． （Ⅱ）由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，所以222122a c b ac+-=，即222ac a c b =+-．①因为a c +=，所以b =．② 将②代入①，得()2222123ac a c a ac c =+-++， 整理得()()220a c a c --=．因为a c >，所以2a c =． 20．命题意图 本题考查向量的运算． 解析 （Ⅰ）如图，连接OB ，OC ，OP ，CP ．∵ABC △的外心为点O ，P 为边AB 的中点，∴OP AB ⊥．∵2CA CB CP +=u u u r u u u r u u u r，∴()2CO CA CB CP λλ=+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴C ，O ，P 三点共线，∴CP AB ⊥． （Ⅱ）由（Ⅰ）知CP AB ⊥．又P 为边AB 的中点，∴CA CB =，∴PCA PCB ∠=∠．∵OB OC =，∴PCB OBC ∠=∠，∴2POB PCB ACB ∠=∠=∠．∵cos OP OP POB OB OC ∠==，514λ=，∴()5577CO CP CO OP ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2577CO OP =u u u r u u u r ，即25CO OP =u u u r u u u r ，∴25OP OC =，即2cos 5ACB ∠=． 21．命题意图 本题考查向量的运算．解析 （Ⅰ）∵30EA EB EC ++=u u u r u u u r u u u r r ，∴3EA EC EB +=-u u u r u u u r u u u r ． 又F 为AC 边的中点，∴233EF EB BE =-=u u u r u u u r u u u r．∵BE EF BF +=u u u r u u u r u u u r，∴32BE BE BF +=u u u r u u u r u u u r ，∴52BE BF =u u u r u u u r ．（Ⅱ）如图，设BC 边的中点为P EF ，EP ．∵230EA EB EC ++=u u u r u u u r u u u r r，∴()2EA EC EB EC +=-+u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴24EF EP =-u u u r u u u r ，即2EF EP =-u u u r u u u r，∴F ，E ，P 三点共线．设点E ，F 到BC 的距离分别为1d ，2d ，则12:1:3d d =． 设点A 到BC 的距离为3d ．∵F 是AC 的中点，∴23:1:2d d =， ∴13:1:6d d =，∴13::1:6S S d d '==，即6S S '=． 22．命题意图 本题考查解三角形．解析（Ⅰ）∵222sin sin sin sin sin 3A CB A BC +-=-，∴由正弦定理可得222sin 3a cb ac B +-=-． 由余弦定理可得222cos 2a c b B ac+-=，∴2cos sin 3ac B B =-，即tan B =()0,πB ∈，∴2π3B =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知2π3ABC ∠=， ∴2222cos ac ABC ac a c b ∠==-=+-．又2223a c c b ++=，∴()22223ac a c a c c -=+-++，解得3a =．∵152BA BC ⋅=-u u u r u u u r ， ∴15cos 22ac ac ABC ∠=-=-，可得5c =． 由2223a c c b ++=可得292515b ++=，解得7b =．∵BD u u u r 在BC u u u r 和BA u u u r 上的投影向量的模相等，∴BD 为ABC ∠的平分线． 由角平分线的性质知AD c b AD a=-， 即573AD AD =-，解得358AD =． 在ABC △中，由正弦定理可得sin sin a b A ABC ==∠，∴sin 14A =． 在ABD △中，π3ABD ∠=， 由正弦定理可得sin sin BD AD A ABD =∠35=，解得158BD =．。
2023 届高考数学复习：精选好题专项(三角函数与解三角形解答题)练习(附答案)
2023届高考数学复习：精选好题专项(三角函数与解三角形)练习 题组一 三角函数及其性质1‐1、（江苏省盐城市四校2023届高三年级第一学期联考）17．已知函数cos sin ()()()s x x x x f x =∈R ．(1)求()f x 的最小正周期和单调增区间；(2)在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若22B f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，6b =，求ABC 的面积的最大值． 题组二 正余弦定理的运用2‐1、（江苏新高考2023年第三次大联考）记ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知1cos sin 3cos sin A A B B+=-. （1）证明：3b c a +=；（2）若,53C a π==，求ABC 的面积.2‐2、（江阴市普通高中2022‐2023年学期高三阶段测试卷）（本题满分10分）已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，且交BC 于D ．（1）用正弦定理证明：AB BD AC DC=；（2）若120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，求BD ．2‐3、（襄州一中2023届高三下学期开学考试数学试题）在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ､B ､C 的对边，()22cos cos c a B b A a b bc+=-+.（1）求A ；（2）若角A 的平分线AD 交BC 于D ，且BD =2DC ，AD =a .2‐4、（山东省潍坊市2022‐2023高三上学期期末试卷）在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()cos sin cos sin C A B B C A -=-.（1）求tan A 的最小值；（2）若tan 2A =，a =，求c .（12分）2-5、（2022～2023学年泰州高三年级模拟试卷）. (本小题满分10分)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A sin C ＋sin C sin A ＝2cos B ＋1.(1) 求证：b 2＝ac ；(2) 若b 2a 2＋c 2 ＝25 ，求cos B 的值．2-6、（江苏南通2022～2023学年高三年级模拟试卷）18. (本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且3cos C ＝2sin A sin B.(1) 求sin C sin A sin B 的最小值；(2) 若A ＝π6 ，a ＝7 ，求c 及△ABC 的面积．2‐7、（盐城市、南京市2022‐2023学年度第一学期期末调研测试） 在ABC 中，2AC =，π3BAC ∠=，P 为ABC 内的一点，满足AP CP ⊥，2π3APB ∠=.（1）若AP PC =，求ABC 的面积；（2）若BC =AP .2‐8、（河北省石家庄市2022‐2023学年度第一学期期末联考调研测试） 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 02A A +=，且2,4AD DB AE EC == . （1）求A 的大小；（2）若7,a DE ==，求ABC 的面积.2‐9、（江山东济南市2023年高三下学期开学考试）已知ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin a b A B b C +-=．（1）证明：A ＝2B ；（2）若a ＝3，b ＝2，求ABC 的面积．.3‐3、（江苏省扬州市2022‐2023学年度上学期期末考试题）记锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A C B A C +=+．(1)求B ；(2)求()2a c ab -的取值范围．3‐4、（2022‐2023学年 江苏常州市高级中学 高三年级1月月考 数学试卷）．在①4sin cos =a B A ，②222sin sin ()sin +=+b B c C b c A ，cos +=+b a A A a b ．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．（7分）问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 3C =，________． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．3‐5、（广东省高考研究会2023届高三阶段性检测）在①),2(b c a m -=,)cos ,(cos B C n =,n m //；②6cos(sin π-=B a A b ;③c c a b a b a )())((-=-+ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足 .(1)求B ∠;(2)若2=b ，求ABC ∆周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．3‐6、（2023届湖北省十七所重点中学高三第一次联考数学）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2c=． （1）求cos C的最小值；（2）证明：π6C A-≤．参考答案题组一 三角函数及其性质1‐1、（江苏省盐城市四校2023届高三年级第一学期联考）17．已知函数cos sin ()()()s x x x x f x =∈R ．(1)求()f x 的最小正周期和单调增区间；(2)在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c．若22B f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，6b =，求ABC 的面积的最大值． 【答案解析】：（1）211cos 2()cos sin sin 222x f x x x x x +==1πsin 22sin 223x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．∴()f x 的周期πT =， 由πππ2π22π232k x k -+≤-≤+，Z k ∈，得π5πππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈ 所以()f x 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎣⎦，Z k ∈． （2）∵πsin 23B f B ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 03B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又(0,π)B ∈，∴π3B =，由正弦定理有6sin sin sin sin 3a cb A C B π====，∴1122sin sin sin ABC B A C A C S ac B ==⋅⋅=△221sin πsin 18sin cos 322A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 2π9sin 2226A A A -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭ ∵2π03A <<，∴ππ72π666A -<-<，∴()max ABC S = 当ππ2,62A -= 即π3A =时取得最大值.另解：∵πsin 2322B f B ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 03B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,πB ∈，∴π3B =， 由余弦定理知：22222222cos 362cos 23b a c ac B a c ac a c ac ac ac ac π=+-⇒=+-=+-≥-=，即36ac ≤，当且仅当6a c ==时，等号成立．∴1sinB 2ABC S ac ==≤△6a c ==时，()max ABC S = 题组二 正余弦定理的运用 2‐1、（江苏新高考2023年第三次大联考）记ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知1cos sin 3cos sin A A B B+=-. （1）证明：3b c a +=；（2）若,53C a π==，求ABC 的面积.【答案解析】（1）因为1cos sin 3cos sin A A B B+=-，所以sin cos sin 3sin sin cos B A B A A B +=-， 因为()A B C π=-+，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin sin 3sin B C A +=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得3b c a +=. （2）由①得15b c +=，①由余弦定理，得22222cos 255c a b ab C b b =+-=+-，②由①②解得8,7b c ==. 所以ABC的面积为11sin 58222ab C =⨯⨯⨯=2‐2、（江阴市普通高中2022‐2023年学期高三阶段测试卷）（本题满分10分）已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，且交BC 于D ．（1）用正弦定理证明：AB BD AC DC=； （2）若120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，求BD ．【答案解析】（1）在ABD △和ACD △中，分别由正弦定理,sin sin ,sin sin AB BD ADB BAD AC CD ADC CAD⎧=⎪⎪∠∠⇒⎨⎪=⎪∠∠⎩①② ∵sin sin ADB ADC ∠=∠，由AD 平分BAC BAD CAD ∠⇒∠=∠， ∴ AB BD AC DC⇒=①②． （2）∵2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，∴BC ==， ∵AD 平分BAC ∠，由（1）知2BD AB DC AC ==，∴233BD BC ==． 2‐3、（襄州一中2023届高三下学期开学考试数学试题）在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ､B ､C 的对边，()22cos cos c a B b A a b bc+=-+.（1）求A ； （2）若角A 的平分线AD 交BC 于D ，且BD =2DC，AD =a .【答案解析】（1）解：因为()22cos cos c a B b A a b bc +=-+， 所以()22sin sin cos sin cos sin sin sin sin C A B B A A B B C +=-+,， 即222sin sin sin sin sin C A B B C =-+，即222c b a bc +-=， 所以2221cos 22c b a A bc +-==， 因为()0,A π∈， 所以3A π=；（2）因为角A 平分线AD 交BC 于D ，且BD =2DC ，由角平分线定理得：c =2b ,又ABC ABD ACD S S S =+ ， 即111sin 60sin 30sin 30222bc c AD b AD =⋅⋅+⋅⋅ ， 所以AD b c ==+ ()2bc b c =+， 所以 3,6b c ==，由余弦定理得：2222cos 27a c b bc A =+-=，所以a =.2‐4、（山东省潍坊市2022‐2023高三上学期期末试卷）在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()cos sin cos sin C A B B C A -=-.（1）求tan A 的最小值；（2）若tan 2A =，a =，求c .（12分） 的解：（1）由已知得()()cos sin cos cos sin cos sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，整理得2cos sin cos cos sin C A B A A =，因为sin 0A >，所以2cos cos cos C B A =，……2分 又因为()cos cos cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+，所以sin sin 3cos cos B C C B =， 即tan tan 3B C =，……4分()tan tan tan tantan tan tan tan 12B C B C A B C B C ++=-+==≥=-，当且仅当tan tan B C ==tan A .……6分（2）因为tan 2A =，从而tan tan 4B C +=，又因为tan tan 3B C =，所以tan 1C =或tan 3C =，8分当tan 1C =时，sin 2C =，由正弦定理得sin sin a c C A==10分当tan 3C =时，sin 10C =，由正弦定理得sin sin a c C A ==.综上，c =或.……12分2-5、（2022～2023学年泰州高三年级模拟试卷）. (本小题满分10分)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A sin C ＋sin C sin A ＝2cos B ＋1.(1) 求证：b 2＝ac ；(2) 若b 2a 2＋c 2 ＝25 ，求cos B 的值．【答案解析】 (1) 证明：由正弦定理知sin A sin C ＋sin C sin A ＝a c ＋c a ，由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，(3分)所以a c ＋c a ＝2ꞏa 2＋c 2－b 22ac ＋1，化简得b 2＝ac .(5分)(2) 解：因为b 2a 2＋c 2 ＝25 ，b 2＝ac ，所以a 2＋c 2ac ＝52 .(7分) 由(1)知a 2＋c 2ac ＝2cos B ＋1，所以2cos B ＋1＝52 ，即cos B ＝34 .(10分)2-6、（江苏南通2022～2023学年高三年级模拟试卷）18. (本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且3cos C ＝2sin A sin B.(1) 求sin C sin A sin B 的最小值；(2) 若A ＝π6 ，a ＝7 ，求c 及△ABC 的面积．【答案解析】：(1) 因为3cos C ＝2sin A sin B ，所以－3(cos A cos B －sin A sin B )＝2sin A sin B ，即sin A sin B ＝3cos A cos B .因为cos A cos B >0，所以tan A tan B ＝3.(2分)所以sin C sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B sin A sin B ＝tan A ＋tan B tan A tan B ＝1tan A ＋1tan B ≥21tan A ꞏ1tan B ＝233 ，(4分)当且仅当tan A ＝tan B ＝3 时，等号成立，所以sin C sin A sin B 的最小值为233 .(6分)(2) 因为A ＝π6 ，由(1)得，tan B ＝3tan A ＝33 .因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝32114 ，cos B ＝714 ，(8分) 所以sin C ＝sin (B ＋π6 )＝3 sin B ＋12 cos B ＝5714 .由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin Csin A ＝5，(10分)所以△ABC 的面积为12 ac sin B ＝12 ×7 ×5×32114 ＝1534 .(12分)2‐7、（盐城市、南京市2022‐2023学年度第一学期期末调研测试） 在ABC 中，2AC =，π3BAC ∠=，P 为ABC 内的一点，满足AP CP ⊥，2π3APB ∠=.（1）若AP PC =，求ABC 的面积；（2）若BC =AP .【答案解析】【小问1详解】解：在APC △中，因为AP CP ⊥，且AP CP =，所以π4CAP ∠=.由2AC =，可得πsin 4AP AC == 又π3BAC ∠=，则πππ3412BAP ∠=-=.在APB △中，因为2π3APB ∠=，π12BAP ∠=，所以2ππππ3124ABP ∠=--=，则2ππsin sin 34AB=，解得AB =，从而113sin 22222ABC S AB AC BAC ∠=⋅⋅⋅=⨯= . 【小问2详解】解：ABC 中，由2742AB AB =+-，解得3AB =或1AB =-（舍去）.令CAP α∠=，则在APC △中2cos AP α=.在ABP 中，π3BAP α∠=-，所以2πππ33ABP αα⎛⎫∠=---= ⎪⎝⎭， 则sin sin AB AP APB ABP =∠∠，即32cos 2πsin sin 3αα=，得tan 3α=. 因为π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π6α=，从而22AP =⨯=. 2‐8、（河北省石家庄市2022‐2023学年度第一学期期末联考调研测试）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 02A A +=，且2,4AD DB AE EC == . （1）求A 的大小；（2）若7,a DE ==，求ABC 的面积.【答案解析】【要点分析】（1）根据二倍角公式将cos cos 02A A +=化简可得1cos 22A =即可求得A 的大小；（2）分别在ABC 和ADE V 中利用余弦定理联立方程组可解得3,5c b ==即可求得ABC 的面积.【小问1详解】 由cos cos 02A A +=得22cos cos 1022A A +-=， 即2cos 1cos 1022A A ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得1cos 22A =或cos 12A =-（舍去） 因为π0,22A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π23A =，则2π3A =. 所以A 的大小2π3A =. 【小问2详解】 在设,DB x EC y ==，则3,5AB c x AC b y ====，在ABC 中，由余弦定理可知222222cos 2591549a b c bc A y x xy =+-=++=，在ADE V 中，由余弦定理可知22222(2)(4)224cos 164828DE x y x y A y x xy =+-⨯⨯=++=；即22427y x xy ++=联立22222591549427y x xy y x xy ⎧++=⎨++=⎩解得1,1x y ==； 所以3,5c b ==故ABC的面积为1sin 24S bc A ==2‐9、（江山东济南市2023年高三下学期开学考试）已知ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin a b A B b C +-=．（1）证明：A ＝2B ；（2）若a ＝3，b ＝2，求ABC 的面积．.【答案解析】【要点分析】(1)利用正弦定理化边为角，结合余弦定理可得2cos a B b c =+，再化边为角结合三角恒等变换即可证明；(2)结合(1)求得c ，由余弦定理求cos C ，再求sin C ，利用面积公式即可求解.【小问1详解】因为()(sin sin )sin a b A B b C +-=，所以()()a b a b bc +-=，即22a b bc -=，222cos 22a c b b c B ac a+-+==， 2sin cos sin sin A B B C =+，()2sin cos sin sin A B B A B =++，()sin sin A B B -=，所以2ππA B B k -+=+或2πA B B k --=，Z k ∈，又(),0,πA B ∈，所以2A B =；【小问2详解】由(1) 22a b bc -=，又a ＝3，b ＝2， 所以52c =， 由余弦定理可得22222253292cos 223216a b c C ab ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⨯⨯， 因为()0,πC ∈，所以sin 16C ==， 所以ABC的面积11sin 32221616S ab C ==⨯⨯⨯=2-10、（江苏海安2022-2023年期末考试）已知四边形ABCD 内接于圆O ，AB ＝3，AD ＝5，∠BAD ＝120°，AC 平分∠BAD .(1) 求圆O 的半径；(2) 求AC 的长．【答案解析】(1) 设圆O 的半径为R .在△ABD 中，由余弦定理BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ꞏAD ꞏcos ∠BAD ，得BD 2＝32＋52－2×3×5×(－12 )＝49，所以BD ＝7.(3分)在圆O 的内接△ABD 中，由正弦定理，得2R ＝BD sin ∠BAD＝7sin 120° ＝1433 ， 故R ＝733 ，所以圆O 的半径为733 .(6分)(2) 因为四边形ABCD 内接于圆O ，所以∠BAD ＋∠BCD ＝180°.又∠BAD ＝120°，故∠BCD ＝60°.因为AC 平分∠BAD ，所以∠BAC ＝60°.(8分)(解法1)因为AC 平分∠BAD ，所以BC ＝CD ，所以BC ＝CD .又因为∠BCD ＝60°，所以△BCD 为正三角形，所以BC ＝BD ＝7.(10分)(解法2)在圆O 的内接△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠BAC＝2R . 所以BC ＝2R ꞏsin 60°＝1433 ×32 ＝7.(10分)在△ABC 中，由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ꞏAC ꞏcos ∠BAC ，得72＝32＋AC 2－2×3×AC ×cos 60°，即AC 2－3AC －40＝0，解得AC ＝8或AC ＝－5，因为AC ＞0，所以AC ＝8，所以AC 的长为8.(12分)题组三 正余弦定理的综合运用（1）由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，又()0,C π∈，所以sin 0C ≠， 所以1cos 2C =，故3C π=. （2）由正弦定理，得sin ,sin c A a A b B C ===， 所以ABC的周长)sin sin 2L a b c A B =++=++21sin sin 24sin cos 2322A A A A π⎛⎫⎤⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎥ ⎪⎝⎭⎦⎝⎭ 4sin 26A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 由ABC 为锐角三角形可知，0,220,32A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩得62A ππ<<， 所以2363A πππ<+<，所以sin ,162A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 所以ABC的周长的取值范围为(2⎤+⎦.3‐3、（江苏省扬州市2022‐2023学年度上学期期末考试题）记锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A C B A C +=+．(1)求B ；(2)求()2a c a b -的取值范围． 【答案解析】（1）因为sin sin tan cos cos A C B A C +=+，即sin sin sin cos cos cos B A C B A C+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin B A B C B A B C +=+， 即sin cos cos sin cos sin sin cos B A B A B C B C -=-，所以sin()sin()B A C B -=-，因为0πA <<，0πB <<，所以ππB A -<-<，同理得ππC B -<-<，所以B A C B -=-或()()πB A C B -+-=±（不成立），所以2B A C =+，结合πA B C ++=得π3B =．（2）由余弦定理2221cos 22a c b B ac+-==得，222ac a c b =+-， 所以222ac a c b -=-，则2222222()1a c a ac a c b c b b b b ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭，由正弦定理得，sin sin c C C b B ==， 因为π3B =，2π3A C +=，π02A <<，π02C <<，所以ππ62C <<，1sin 12C <<，所以c b ∈⎝⎭，2()2133a c a b -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，．3‐4、（2022‐2023学年 江苏常州市高级中学 高三年级1月月考 数学试卷）．在①4sin cos =a B A ，②222sin sin ()sin +=+b B c C b c A ，cos +=+b a A A a b ．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．（7分）问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 3C =，________． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案解析】选①：因为4sin cos =a B A ，由正弦定理得4sin sin cos =A B A B ，所以(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以4sin cos =A A ，sin 22A =， 又(0,)A π∈，2(0,2)A π∈，所以23=A π或23π，即6A π=或3π．因为1cos 3C =，(0,)C π∈，所以sin 3C ==． 当6A π=时，cos cos()B A C =-+11cos 623236C π⎛⎫⎛⎫=-+=--⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当3A π=时，cos cos()B A C =-+11cos 3233C π⎛⎫⎛⎫=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此cos B ． 选②：因为222sin sin ()sin +=+b B c C b c A ，由正弦定理得332()+=+b c b c a ，因为0b c +>，所以222b c bc a +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 因为(0,)A π∈，所以3A π=．因为1cos 3C =，(0,)C π∈，所以sin 3C ==， 所以cos cos()B A C =-+11cos 323C π⎛⎛⎫=-+=-⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，因此cos B 的值16．选③cos +=+b a A A a b ，所以2sin 6b a A a b π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为22sin 26b a A a b π⎛⎫≥+=+≥= ⎪⎝⎭， 于是2b a a b +=，即a b =；且2sin 26A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 注意到(0,)A π∈，7,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 因此62A ππ+=，即3A π=，于是ABC 为等边三角形， 因此1cos 2C =与1cos 3C =相矛盾，故ABC 不存在．3‐5、（广东省高考研究会2023届高三阶段性检测）在①),2(b c a m -=,)cos ,(cos B C n =,n m //；②6cos(sin π-=B a A b ;③c c a b a b a )())((-=-+ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足 .(1)求B ∠;(2)若2=b ，求ABC ∆周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案解析】(1)若选①因为),2(b c a m -=，n m B C n //),cos ,(cos =，所以0cos cos )2(=--C b B c a ……………………………………………1分 由正弦定理得0cos sin cos )sin sin 2(=--C B B C A …………………………………2分 即0)cos sin cos (sin cos sin 2=+-C B B C B A ，所以A C B B A sin )sin(cos sin 2=+=，………………………………4分因为0sin ),,0(=/∈A A π 所以3,21cos π==B B ……………………………………5分 若选② 由正弦定理得)6cos(sin sin sin π-=B A A B ，…………………………………………1分B A B A B B A A B sin sin 21cos sin 23)sin 21cos 23(sin sin sin +=+=，……………2分 因为0sin ),,0(=/∈A A π 所以0)3sin(cos 23sin 21=-=-πB B B ， ……………………………………4分 所以3π=B ，……………………………………………………………………………………5分若选③由c c a b a b a )())((-=-+得ac b c a =-+222，…………………………………………1分 由余弦定理得：2122cos 222==-+=ac ac ac c b a B ， ………………………………………4分 因为),0(π∈B ，所以3π=B ………………………………………………………………5分 (2)由(1)可知，3π=B ，ac b c a =-+222 又2=b ，所以ac ac c a 2422≥+=+，所以4≤ac ，当且仅当2==c a 时，等号成立. …………………………………………7分 又164342)(22≤+=+++=+ac ac c a c a ，即40≤+<c a ，又2>+c a ，所以42≤+<c a …………………………………9分所以64≤++<c b a即ABC ∆周长的取值范围是]6,4( …………………………………………10分 3‐6、（2023届湖北省十七所重点中学高三第一次联考数学）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知2c =． （1）求cos C 的最小值；（2）证明：π6C A -≤． 【答案解析】【要点分析】（1）结合余弦定理、基本不等式求得cos C 的最小值. （2）结合正弦定理、基本不等式求得1sin()2C A -≤，进而证得π6C A -≤. 【小问1详解】由余弦定理，222222cos 12222a b c ab c ab C ab ab ab +---=≥==-， 当且仅当a b =，即::a b c =时等号成立．【小问2详解】方法一：当C A ≤时，π06C A -≤<． 当C A >时，设线段AC 的中垂线交AB 于点D ．()222222222,2cos c a c b b c AD DB c AD A b c ab c a -===-=+-+-． 在CDB △中，由正弦定理，sin sin()B CD AD C A DB DB==-．22222AD b DB b =≥=⎛⎫ ⎪⎝⎭，当且仅当,2a a a b =-=时等号成立. 故sin 1sin()22B C A -≤≤， 由（1）cos 102C ≥->．故π02C A C <-<<．。
湖北省武汉市育才高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题(解析版)
湖北省武汉市育才高中2023～2024学年4月月考高一数学试题一、单选题1. cos1,sin1,tan1的大小关系是 A. sin1cos1tan1<< B. tan1sin1cos1<< C. cos1tan1sin1<< D. cos1sin1tan1<<【答案】D 【解析】 【分析】在单位圆中作出1弧度角的正弦线、余弦线、正切线，由图可观察出它们的大小．【详解】如图所示,作出1弧度角的正弦线､余弦线､正切线分别为MP ,OM ,AT,由图知sin10>,cos10>,tan10>,且cos1sin1tan1<<,所以cos1sin1tan1<<.故选：D.【点睛】本题考查三角函数线的应用．三角函数线可能用来求三角函数值，解三角不等式，比较三角函数式的大小等．2. 若a ∈R ，则“1a =”是“2(i)a +为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】【分析】先求出2(i)a +为纯虚数的实数a 的值，再判断以“1a =”与“2(i)a +为纯虚数”分别为题设、结论和结论、题设的两个命题真假即可得解.【详解】因222i i)1(a a a =−++，则2(i)a +为纯虚数，当且仅当21020a a −= ≠ ， 即1a =−或1a =，于有1a =⇒2(i)a +为纯虚数，而2(i)a +为纯虚数 1a =， 所以“1a =”是“2(i)a +为纯虚数”的充分非必要条件. 故选：A3. 已知()0,θπ∈，3cos 5θ=−，则sin 2θ=（ ） A. 1225−B. 2425−C. 45−D.45【答案】B 【解析】【分析】根据cos θ求出sin θ，根据sin 22sin cos θθθ=求值. 【详解】3cos 5θ=−，()0,θπ∈， 4sin 5θ∴=，24sin22sin cos 25θθθ∴==−.故选：B.4. 如图所示的矩形ABCD 中，E ，F 满足BE EC =，2CF FD =，G 为EF 的中点，若AG AB AD λµ=+，则λµ的值为（ ）A.12B. 3C.34D. 2【答案】A 【解析】【分析】以,AB AD为基底，根据平面向量线性运算即可求解. 【详解】因为BE EC =，2CF FD =，G 为EF 的中点，所以()()11112222AG AE AF AB BE AD DF ++++ 1111111122232223AB BC AD DC AB AD AD AB =+++=+++是2334AB AD +， 所以23,34λµ==，所以231342λµ=×=.故选：A5. 已知向量(2,0)a =，sin b α= ，若向量b 在向量a 上的投影向量1,02c =，则||a b +=（ ）A.B.C. 3D. 7【答案】B 【解析】【分析】根据已知结合投影向量的概念得出1sin 2α=，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，b 在a 上的投影向量为2sin (2,0)(sin ,0)|||22|a b a a a αα⋅⋅==×， 又b 在a 上的投影向量1,02c =，所以1sin 2α=，所以1(2b =，所以5(2a b =+ ，所以||a b += .故选：B.6. 如图是某人设计的产品图纸，已知四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 在某圆上，且AD BC ∥，AD CD ⊥，4=AD ，3BC =，1CD =，则该圆的面积为（ ）．A.13π2B.17π2C. 9πD.5π4【答案】B 【解析】【分析】先根据直角三角形求出AC ,再利用余弦定理求出AB ,结合正弦定理可得圆的半径，然后可得面积. 【详解】连接AC ，在ACD 中，4=AD ，1CD =，AD CD ⊥，则AC =，所以sin CD CAD AC ∠=，AD CAD AC ∠= 因为AD BC ∥，所以ACB CAD ∠=∠，所以cos cos ACB CAD ∠=∠，sin sin ACB CAD ∠=∠所以2222cos 17932AB AC BC AC BC ACB =+−⋅⋅∠=+−=，所以AB =，设该圆的半径为R，则2sin ABR ACB==∠，所以该圆的面积为2217πππ2R =． 故选：B ．7. 折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB ，其半径为3，150AOB ∠=°，点E ，F 分别在 AB ， CD上，且2FE OF = ，则AF OE ⋅的取值范围是（ ）A. 156,2−B. 3C. 3,32−D. 6,3−+【答案】D 【解析】【分析】利用向量的运算及数量积的定义求出数量积，结合余弦函数的值域即可求解范围.【详解】设AOE θ∠=，则0150θ≤≤，因为13AF AO OF AO OE =+=+，所以2111()33cos(180)99cos 3333AF OE AO OE OE AO OE OE θθ⋅=+⋅=⋅+=××−+×=−+ ， 又0150θ≤≤，所以cos 1θ≤≤，所以69cos 33θ−≤−+≤，所以AF OE ⋅的取值范围是6,3 − .故选：D8. 在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=−，则1tan 2tan()C B C +−的最小值为（ ）A.B. 2C. 1D.【答案】A 【解析】 【分析】的222sin()S A C b c+=−结合面积公式，可得出22b c ac =+，由余弦定理得出2cos a c B c −=，再用正弦定理化边为角，得出2B C =，把所求式子用角C 表示，并求出角C 范围，最后用基本不等式求最值. 【详解】因为222sin()SA C b c +=−，即222sin S B b c=−， 所以22sin sin ac BB b c =−，因为sin 0B ≠，所以22b c ac =+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+−，可得2cos a c B c −=，再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C −=，因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C −=+−=−， 所以sin()sin B C C −=，所以B C C −=或B C C π−+=，得2B C =或B π=（舍去）.因为ABC ∆是锐角三角形，所以02022032C C C ππππ<<<<<−<，得64C ππ<<，即tan C ∈，所以11tan tan 2tan()2tan C C B C C+=+≥−当且仅当tan C =，取等号. 故选:A【点睛】本题考查考查用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查基本不等式求最值，属于较难题.二、多选题9. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）．A. ()0f =B. 在区间π,03−上单调递增 C. 将()f x 的图象向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数 D. ()2π3f x f x=−−【答案】ABD 【解析】【分析】先根据图象求出()f x 的解析式，进而根据三角函数的图象和性质求解ABD ，根据三角函数图象平移法则判断C.【详解】由图象可知，2A =7ππ3π1264−−= ， 所以函数最小正周期2ππT ω==，所以2ω=，又7π7π2sin 221212f ϕ =×+=− ，即7πsin 16ϕ+=− ， 所以7π3π2π,62k k ϕ++∈Z ，所以π2π,3k k ϕ=+∈Z ，由π2ϕ<，得π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x =+，所以()π02sin 3f ==，A 选项正确；当π,03x∈−时，πππ2,333x +∈− ，因为函数sin y x =在ππ,33 − 上单调递增，所以()f x 在区间π,03−上单调递增，B 选项正确；将()f x 的图象向左平移π6个单位，得函数()ππ2π2sin 22sin 2633g x x x=++=+的图象，其中()2π02sin 3g ==y 轴不是函数图象的对称轴，所以()g x 不是偶函数，C 选项错误；2π2ππ5π2sin 22sin 23333f x x x−=−+=− ()ππ2sin 2π22sin 233x x f x =−+=−+=−，所以()2π3f x f x=−−，D 选项正确. 故选：ABD10. 对于ABC 中，有如下判断，其中正确的判断是（ ）． A. 若8a =，10c =，60A =°，则符合条件的ABC 有两个 B. 若222sin sin sin A B C +>，则ABC 是锐角三角形 C. 若2sin ABC S a A = ，则cos A 的最小值为34D. 若点P 在ABC 所在平面且2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ + =++，[)0,λ∈+∞，则点P 的轨迹经过ABC 的外心． 【答案】CD 【解析】【分析】利用正弦定理解三角形可判断A 选项；利用余弦定理可判断B 选项；利用三角形的面积公式可得出，利用余弦定理结合基本不等式可判断C 选项；BC 的中点为D ，利用平面向量数量积证明DP BC ⊥，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由正弦定理可得sin sin c a C A=，则sin sin 1c A C a ==>， 故ABC 不存在，A 选项错误；对于B 选项，222sin sin sin A B C +>，由正弦定理得222a b c +>，则222cos 02a b c C ab+−=>，只能说明C 是锐角，另外两个角不一定是锐角，所以B 选项错误；对于C 选项，因为21sin sin 2ABC S a A bc A == ，因为()0,πA ∈，则sin 0A >，则212a bc =，由余弦定理可得22222112322cos 2224b c bc bc bcb c a A bc bc bc +−−+−==≥=， 当且仅当b c =时取等号，故cos A 的最小值为34，C 选项正确；对于D 选项，设线段BC 的中点为D ，连接PD ，由BD DC =，可得OD OB OC OD −=− ，所以，2OB OC OD +=， 由2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ + =++ ， 可得cos cos AB AC DP OP OD AB B AC C λ =−=+， 所以，cos cos cos cos AB BCAC BC BA BCCA CB DP BC AB B AC C AB BAC C λλ ⋅⋅⋅⋅⋅=+=−+()cos cos 0cos cos BA BC B CA CB C CB CB AB B CA C λλ ⋅⋅ =−+=−+=， 即DP BC ⊥，所以，点P 的轨迹经过ABC 的外心，D 选项正确． 故选：CD ．11. 圆O 半径为2，弦2AB =，点C 为圆O 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）．A. AB AC ⋅的最大值为6B. []0,4OC AB AO −+∈C. 6AC BC ⋅>−D. 满足0AB AC ⋅=的点C 仅有一个【答案】AB 【解析】【分析】根据题意建立适当的平面直角坐标系，设()2cos ,2sin C αα，分别写出AB ，AC，的坐标，利用向量数量积的坐标表示可判断A ；先写出OC AB AO −+的坐标，再将向量的模转化为求三角函数的值域可判断B ；根据极化恒等式可判断C ；令0AB AC ⋅=，得到1cos 2α=−可判断D. 【详解】由题意，以O 为原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，()0,0O ，(1,A −，(1,B ，设()2cos ,2C sin αα， 0,2πα ，对于A ，()(2,02cos 1,2sin 4cos 2AB AC ααα⋅=⋅++=+，∵ 0,2πα ，∴[]cos 1,1α∈−，∴[]4cos 22,6AB AC α⋅=+∈−， ∴AB AC ⋅的最大值为6，故A 正确；对于B ，()()((2cos ,2sin 2,02cos 1,2sin OC AB AO αααα−+=−+−+∴OC AB AO −+=∵ 0,2πα ，∴[]πsin 1,16α−∈，∴[]0,4OC AB AO −+∈ ，故B 正确；对于C ，取AB 的中点为E ，则2221AC BC AC BC CE AD CE ⋅=⋅=−=− ，故C 错误； 对于D ，当0AB AC ⋅=时，即4cos 20α+=，解得2cos 3α=−， ∵ 0,2πα ，∴2π3α=或4π3α=，即符合条件的点C 有两个，故D 错误． 故选：AB ．【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.三、填空题12. 复数z 满足12i z =+，①|z |=2i 1z =−；③复数z 的虚部为2i ；④x z =是方程2250x x −+=在复数范围内的一个解．则以上四个结论中正确序号为_______．【答案】①④ 【解析】【分析】根据复数的几何意义计算进而判断①；根据共轭复数的概念判断②；根据复数的实部、虚部概念判断③；将x z =代入方程计算验证即可判断④. 【详解】因为12z i =+，则||z ==12i z =−，故选项②错误；复数z 的虚部为2，故选项③错误；因为22(12i)2(12i)514i 4i 24i 50+−++=++−−+=，故x z =是方程2250x x −+=在复数范围内的一个解，故选项④正确． 故答案为：①④．13. “丹凤朝阳敬英雄，马踏飞燕谁争锋！”2023年5月21日上午7:30分， 2023唐山马拉松在唐山抗震纪念碑广场鸣枪开跑，来自国内外的20000名选手齐聚于此，在奔跑中感受唐山这座英雄城市的魅力，用不断前行的脚步挑战极限、超越自我！唐山抗震纪念碑建在纪念碑广场内，建成于1986年纪念唐山抗震10周年之际.由主碑和副碑组成.纪念碑主碑和副碑建在一个大型台基座上，台基四面有四组台阶，踏步均为4段，每段7步，共28步，象征“七·二八”这一难忘时刻（如图1）.唐山二中某数学兴趣小组为测量纪念碑的高度MN ，如图2，在纪念碑的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为16.5m ，在地面上点C 处（B C N ，，三点共线）测得建筑物顶部A ，纪念碑顶部M 的仰角分别为30°和45°，在A 处测得纪念碑顶部M 的仰角为15°，则纪念碑的高度约为_____米．【答案】33 【解析】【分析】由题意只需求出MN 的长，在AMC 中运用正弦定理求解即可. 【详解】由题意，MNC 为等腰直角三角形，设MN x =，则CN x =，MC =，在Rt ABC △中，33sin 30ABAC ==， 在AMC 中，105ACM ∠= ，45CAM ∠= ，则30CMA ∠= ，33sin 30=，解得33x =，即为纪念碑高度. 故答案为：3314. 定义平面非零向量之间的一种运算“※”，记cos sin b a b a θθ=+※，其中θ是非零向量a、b的夹角，若1e ，2e 均为单位向量，且1245e e ⋅=− ，则向量21e e ※ 与()12e e −※ 的夹角的余弦值为__________， 【答案】220221【解析】【分析】由向量的新定义结合数量积的运算律求解即可.【详解】因为1245e e ⋅=− ，所以124cos ,5e e =− ，则123sin ,5e e = ， 所以12124355e e e e =−+※，()21214355e e e e −=−※ ， 设向量21e e ※ 与()12e e −※的夹角为α，因为14355e −+=，13455e −+=， 22121211224334121255552525e e e e e e e e −+⋅−+=−⋅+12412442552525++， 则1212121243345555cos 43345555e e e e e e e e α −+⋅−+=−+⋅−+4422025221221125=， 故答案为：220221. 四、解答题15. 已知向量()1,2a =，()()1,bt t ∈R .（1）若()()a b a b +⊥−，求t 的值；（2）若1t =，a与a mb +的夹角为锐角，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2t =− （2）()5,00,3 −∪+∞【解析】【分析】（1）求出向量a b − 、a b +的坐标，根据这两个向量均为非零向量可得出2t ≠，再由()()0a b a b +⋅−=，结合平面向量数量积的坐标运算可求得实数t 的值；（2）当1t =时，求出向量a mb + 的坐标，由题意可知，()0a a mb ⋅+> 且a 与a mb +不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数m 的取值范围. 【小问1详解】解：因为向量()1,2a =，()()1,bt t ∈R ，且()()a b a b +⊥−，则()2,2a bt +=+，()0,20a bt −=−≠，则20t −≠，可得2t ≠，所以，()()()()220a b a b t t +⋅−=+−= ，解得2t =−.【小问2详解】解：当1t =时，()1,1b =，则()()()1,21,11,2a mb m m m +=+=++ ，因为a 与a mb + 的夹角为锐角，则()()122350a a mb m m m ⋅+=+++=+> ，解得53m >−，且a 与a mb +不共线，则()221m m +≠+，可得0m ≠，综上所述，实数m 取值范围是()5,00,3 −∪+∞.16. （1）计算()()20211i 23i 14i 1i + +−+ −； （2）已知()5cos 13αβ−=−，4cos 5β=，π,π2α ∈ ，π0,2β∈，求()cos 2αβ−的值. 【答案】（1）146i +；（2）1665【解析】【分析】（1）利用复数的乘除运算和i 的周期性计算即可； （2）结合角的范围利用同角三角函数基本关系求得3sin 5β=，()12sin 13αβ−=，然后利用两角差的余弦公式求解即可.【详解】（1）因()()()21i 1i2ii 1i 1i 1i 2++===−−+，且4i 1=， 所以()2021505202141i i i i i 1i + ==⋅=− ，所以()()()20211i 23i 14i i 145i 146i 1i + +−+=++=+−. （2）由4cos 5β=且π0,2β∈，可得3sin 5β=，又由π,π2α ∈且π0,2β∈，可得()0,παβ−∈， 因为()5cos 13αβ−=−，可得()12sin 13αβ−=， 又因为()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβαββαββαββ −=−−=−+−的为541231613513565=−×+×=. 17. 已知()sin ,cos a x x ωω=，()cos b x x ωω= ，0ω>，函数()f x a b =⋅的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c，且满足2A f=，a =4b =，角A 的平分线交BC 于D ，求AD 的长. 【答案】（1）5πππ,π1212k k−+，k ∈Z （2）AD = 【解析】【分析】（1）根据数量积的运算律及坐标运算结合三角恒等变换化简函数()f x ，再利用函数()f x 的周期求得解析式，最后利用结论法求得单调递增区间；（2）先求出角A ，再利用余弦定理求得6c =，最后利用面积分割建立方程求解. 【小问1详解】因为()sin ,cos a x x ωω=，()cos b x x ωω= ，则1a ==，()()2sin ,cos cos sin cos a bx x x x x x x ωωωωωωω⋅=⋅+1πsin 22sin 223x x x ωωω+++， 故()πsin 23f x a b a b a b x ω=⋅−=⋅⋅=+， 因为()f x 最小正周期为π，所以2ππ2T ω==，所以1ω=， 故()πsin 23f x x =+， 由πππ2π22π232k x k −+≤+≤+，k ∈Z ，解得5ππππ1212k x k −+≤≤+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k −+，k ∈Z . 【小问2详解】由（1）及2A f =，即ππsin 2sin 233A A ×+=+=， 又()0,πA ∈，所以π2π33A +=，解得π3A =，因为a =4b =，由余弦定理：2222cos a b c bc A =+−可得：6c =或2c =−（舍）,又ABCABD ACD S S S =+ ，所以1π1π1π46sin 4sin 6sin 232626AD AD ×××=×××+×××，所以AD =. 18. 在ABC 中，D 为BC 的中点，O 为AD 的中点，过点O 作一条直线分别交线段AB ，AC 于点M ，N ．（1）若3MO ON =，2AM =1AN =，3MAN π∠=，求AO ； （2）求AMN 与ABC 面积之比的最小值．【答案】（1 （2）14【解析】【分析】（1）先根据题意求得1344AO AM AN =+ ，再结合数量积的运算律即可求解； （2）先设[],,,0,1AM AB AN AC λµλµ==∈，再根据题意求得1144AO AM AN λµ=+ ，再根据平面向量基本定理，基本不等式和三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】依题意可得MO AO AM =− ，NO AO AN =−，又3MO ON =，则3MO NO =−，所以()3AO AM AO AN −=− ，所以1344AO AM AN =+ ， 所以22221311391924416441616AO AM AN AM AM AN AN =+=+××⋅+=，故AO =． 【小问2详解】设[],,,0,1AM AB AN AC λµλµ==∈ ， 由D 为BC 的中点，O 为AD 的中点，则()11111112224444AO AD AB AC AB AC AM AN λµ==×+=+=+， 又,,O M N 三点共线，则11144λµ+=，所以11144λµ=+≥，即14λµ≥，所以14AMN ABC S AM ANS AB AC λµ⋅==≥⋅△△， 当且仅当12λμ==时，等号成立，即min 14AMN ABC S S = △△． 19. 如图，半圆O 的直径为4cm ，A 为直径延长线上的点，4cm OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ．设AOB α∠=．（1）当π3α=时，求四边形OACB 的周长； （2）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy ）所著《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任的意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC 的长取最大值时，求AOC ∠．（3）问：B 在什么位置时，四边形OACB 的面积最大，并求出面积的最大值．【答案】（1）(6cm +； （2）π3；（3）当B 满足5π6AOB ∠=时，四边形OACB 的面积最大，最大值为(28cm + 【解析】【分析】（1）ABO 中，由余弦定理求出AB =OACB 的四条边长都已知，可求周长； （2）由OB AC OA BC AB OC ⋅+⋅≥⋅，得6OC ≤，取等号时πOBC OAC ∠+∠=，由cos cos 0OBC OAC ∠+∠=，由余弦定理求出AB ，再用余弦定理求cos AOC ∠，可得AOC ∠；（3）四边形OACB 的面积为21sin 2AOB ABC S S S OA OB AB α=+=⋅⋅+ ，表示成关于α的函数，结合正弦函数的性质求最大值． 【小问1详解】ABO 中，4OA =，2OB =，π3AOB α∠==， 由余弦定理得22212cos 164242122AB OA OB OA OB α+−⋅⋅+−×××，即AB =，于是四边形OACB 的周长为(26cm OA OB AB ++=+． 【小问2详解】因为OB AC OA BC AB OC ⋅+⋅≥⋅，且ABC 为等边三角形，2OB =，4OA =， 所以OB OA OC +≥，所以6OC ≤，即OC 的最大值为6，取等号时πOBC OAC ∠+∠=， 所以cos cos 0OBC OAC ∠+∠=，不妨设AB x =，则224361636048x x x x +−+−+=，解得x =，所以1636281cos 2462AOC +−∠==××，所以π3AOC ∠=．【小问3详解】在ABO 中，由余弦定理得2222cos 2016cos AB OA OB OA OB αα=+−⋅⋅=−，所以AB=，0πα<<，于是四边形OACB 的面积为21sin 2AOB ABC S S S OA OB α=+=⋅⋅)4sin 2016cos 4sin αααα=−=−+π8sin 3α−+当ππ32α−=，即5π6α=时，四边形OACB 的面积取得最大值为8+，所以，当B 满足5π6AOB ∠=时，四边形OACB 的面积最大，最大值为8+．。
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高一下学期数学练习题（8）（解三角形）班级 姓名 学号一．选择填空1. 在△ABC 中，b = 8，c =38，S △ABC =316，则∠A 等于( )A. 30 ºB. 60ºC. 30º 或 150ºD. 60º 或120º 2. 在△ABC 中，若3a = 2b sin A ，则∠B 为 ( ) A.3π B.6πC.6π或6π5D.3π或3π2 3. △ABC 中，下述表达式：①sin (A + B )+ sin C ；②cos (B + C )+ cos A ； ③cos()sin 22A B C+-，其中表示常数的是 ( ) A. ①和②B. ①和③C. ②和③D. ①②③4. 若△ABC 满足下列条件：① a = 4，b = 10，∠A = 30︒；② a = 6，b = 10，∠A = 30︒； ③ a = 6，b = 10，∠A = 150︒；④ a = 12，b = 10，∠A = 30︒； 则△ABC 存在且恰有一个的是 ( ) A. ①④ B. ③④ C. ④ D. ②④ 5. △ABC 中，若 sin (A + B )sin (A - B )= sin 2 C ，则△ABC 是 ( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 6. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．9B ．18C ．．7. 已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝12，则A ∶B ∶C 等于 ( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶28. 已知△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝k ∶(k ＋1)∶2k(k≠0)，则k 的取值范围为( )A ．(2，＋∞) B．(-∞，0) C ．(12-，0) D ．(12，＋∞) 9. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,A=3π,a=3,b=1，则c=（ ）A1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3 10. 在△ABC 中，若B A sin sin >，则A 与B 的大小关系为（ ）A. B A >B. B A <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定 11. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为 （ ） A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－1412.已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为( )A ．sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C cos(B ＋C ) B ．sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C cos(A ＋C )C ．sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B -2sin A sin B cos CD ．sin 2(A ＋B )＝sin 2A ＋sin 2B -2sin B sinC cos(A ＋B ) 二．填空13. ABC ∆中，若b=2a , B=A+60°,则A=14. 若△ABC 的三内角∠A ，∠B ，∠C 满足 sin A = 2sin C cos B ，则△ABC 为 三角形 15. 已知D ABC 中，=sin :sin :sin 1:2:3A B C ，则::a b c =__________16. 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60处；行驶4 h 后， 船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15处. 这时船与灯塔的距离为 km. 三．解答题17. 在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a b c 222<+，求A 的取值范围。
18．在△ABC 中，a =3，b ，∠B =2∠A .(I)求cos A 的值， (II)求c 的值19.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.20. 在△ABC中，若abAB22tantan，试判断△ABC的形状。
21. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且6,2a c b +==，7cos 9B =. （1）求,a c 的值； （2）求sin （A-B ）的值.22. 设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小； (2)求cos A ＋sin C 的取值范围．高一下学期数学练习题（8）（解三角形）参考答案班级 姓名 学号一．选择填空1. 在△ABC 中，b = 8，c =38，S △ABC =316，则∠A 等于( C ) A. 30 º B. 60º C. 30º 或 150º D. 60º 或120º2. 在△ABC 中，若3a = 2b sin A ，则∠B 为 ( D ) A.3π B.6πC.6π或6π5D.3π或3π2 3. △ABC 中，下述表达式：①sin (A + B )+ sin C ；②cos (B + C )+ cos A ； ③cos()sin 22A B C+-，其中表示常数的是 ( C ) A. ①和②B. ①和③C. ②和③D. ①②③4. 若△ABC 满足下列条件：① a = 4，b = 10，∠A = 30︒；② a = 6，b = 10，∠A = 30︒； ③ a = 6，b = 10，∠A = 150︒；④ a = 12，b = 10，∠A = 30︒； 则△ABC 存在且恰有一个的是 ( C ) A. ①④ B. ③④ C. ④ D. ②④ 5. △ABC 中，若 sin (A + B )sin (A - B )= sin 2 C ，则△ABC 是( B )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 6. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( C )A ．9B ．18C ．．7. 已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝12，则A ∶B ∶C 等于 ( A )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶28. 已知△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝k ∶(k ＋1)∶2k(k≠0)，则k 的取值范围为( D )A ．(2，＋∞) B．(-∞，0) C ．(12-，0) D ．(12，＋∞) 9. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,A=3π,a=3,b=1，则c=（ B ）A1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3 10. 在△ABC 中，若B A sin sin >，则A 与B 的大小关系为（ A ）A. B A >B. B A <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定 11. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为 （ D ）A ．23B ．－23C ．14D ．－1412.已知A、B、C是△ABC的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为( D )A．sin2A＝sin2B＋sin2C＋2sin B sin C cos(B＋C) B．sin2B＝sin2A＋sin2C＋2sin A sin C cos(A＋C) C．sin2C＝sin2A＋sin2B-2sin A sin B cos C D．sin2(A＋B)＝sin2A＋sin2B-2sin B sin C cos(A＋B)高一下学期数学练习题（8）（解三角形）参考答案班级 姓名 学号一．CDCCB CADBA DD 二．填空13. ABC ∆中，若b=2a , B=A+60°,则A= 30o14. 若△ABC 的三内角∠A ，∠B ，∠C 满足 sin A = 2sin C cos B ，则△ABC 为 等腰 三角形15. 已知D ABC 中，=sin :sin :sin 1:2:3A B C ，则::a b c =1:2:316. 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60处；行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15处. 三．解答题17. 在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a b c 222<+，求A 的取值范围。
错解：∵a b c b c a 2222220<++->，∴,∴cos A b c a bc=+->22220，∵()0,180A ∈︒︒,∴90A ︒<<0 辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。
题设是a 为最大边，而错解中只把a 看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。
正解：解：∵a b c b c a 2222220<++->，∴,∴cos A b c a bc=+->22220，∵()0,180A ∈︒︒,∴90A ︒<<︒0……①， 又∵a 为△ABC 中的最大边，且△ABC 为不等边三角形，∴ ,a c a b >>,∴,A C A B >>, ∴2180A B C A >+=︒-,∴60A >︒，∴60180A ︒<<︒……②。
∴由①②可知所求A 的取值范围是（60°，90°）。
18．在△ABC 中，a =3，b ，∠B =2∠A .(I)求cos A 的值， (II)求c 的值【解题指南】（1）由条件可以看出，已知两角关系求角，可以利用正弦定理解决问题；（2）由已知两边和角求第三边，所以应用余弦定理求解。
【解析】（1）由正弦定理可得sin sin a b A B =，即：3sin A =3sin A =，∴cos A =.（2法一：由（1）cos A =0180A ︒<<︒，∴sin 3A ===，∴sin sin 22sin cos 2B A A A ====，221cos cos 22cos 1213B A A ==-=⨯-=⎝⎭∴sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+=sin cos cos sin A B A B +133+=由正弦定理可得：sin sin c aC A =，∴3sin 5sin a C c A===。