004一元二次不等式的解法
一元二次不等式解题步骤三步
一元二次不等式解题步骤三步嘿，咱今儿就来唠唠一元二次不等式的解题步骤这码事儿。
你可别小瞧了这三步，就跟那孙悟空的三根救命毫毛似的，关键时刻那可老有用啦！咱先说第一步，那就是把一元二次不等式化成标准形式。
就好比你要去参加个派对，总得先把自己收拾得整整齐齐的吧！把那些个式子都摆好，该在左边的放左边，该在右边的放右边，一个都别乱套。
你想想，要是式子都乱糟糟的，那还怎么解题呀，那不就跟那一团乱麻似的，找不着头也找不着尾。
第二步呢，就是求根啦！这就好比是在茫茫人海中找那几个关键人物。
通过求解方程，找到那些能让式子等于零的根。
这可重要啦，这些根就像是一个个的里程碑，指引着你解题的方向呢。
第三步，根据二次函数的图像来确定解集。
这就好比是看着地图找路一样。
二次函数的图像就像是一张地图，那些根就是地图上的标记点，你根据图像的走势，就能清楚地知道解集在哪些地方啦。
比如说图像在上面，那解集就在上面那一块儿；要是图像在下面，那解集自然就在下面啦。
你说这三步简单不？其实啊，只要你用心去学，就跟那吃饭睡觉一样自然。
就好比你学会了骑自行车，一开始可能摇摇晃晃的，但一旦掌握了技巧，那还不是骑得呼呼生风呀！学一元二次不等式的解题步骤也是这样，刚开始可能会觉得有点难，但只要你多练几遍，多琢磨琢磨，就会发现其实也没那么难嘛。
你想想，要是你连这都能搞定，那以后再遇到什么难题，那还不都小菜一碟呀！咱可别害怕犯错，谁还没个犯错的时候呀。
就跟走路似的，偶尔摔个跤那也是正常的。
只要咱能爬起来，拍拍身上的土，继续往前走，那肯定能走到目的地。
所以呀，同学们，别犹豫，别退缩，大胆地去学，去练。
一元二次不等式的解题步骤就在那儿等着你去征服呢！加油吧，相信自己，你一定能行！这三步看似简单，实则暗藏玄机，就看你能不能参透其中的奥秘啦！。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法[学习目标]1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2.掌握图像法解一元二次不等式[教学过程]一、一元二次不等式的概念思考下列不等式是一元二次不等式的有________．①x2＞0；②－3x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④ax2－5y＜0(a为常数)；⑤ax2＋bx ＋c＞0.答案①②解析①②是，符合定义；③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；④不是，当a＝0时，它是一元一次不等式，当a≠0时，它含有两个变量x，y；⑤不是，当a＝0时，不符合一元二次不等式的定义．二、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系＞＞有两个不相等的实有两个相等的实数思考一元二次不等式解集的端点(非无穷大的一侧)与对应一元二次方程的根________．(填“相同”或“不相同”)答案相同三、一元二次不等式的解法利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤：(1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．四、例题分析解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－4x 2＋18x －814≥0； (3)－2x 2＋3x －2＜0； (4)－12x 2＋3x －5＞0.解 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为{x |x ＞－12或x ＜－3}．(2)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝94.(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R .(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅.反思与感悟 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图像与x 轴的相关位置写出不等式的解集．跟踪训练 解下列不等式：(1)x 2－5x －6＞0；(2)(2－x )(x ＋3)＜0；(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．解(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知，原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}．(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0.方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图像知，原不等式的解集为{x|x＜－3或x＞2}．(3)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2.∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0.解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝2 3 .结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图像知，原不等式的解集为{x|x≠23 }．五、课堂小结由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图像的简图；③由图像得出不等式的解集．。
一元二次不等式的解法6种常见考法归类(原卷版)
2.2.3 一元二次不等式的解法6种常见考法归类1、一元二次不等式的概念一般地，形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式称为一元二次不等式，其中a ，b ，c 是常数，而且a ≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．注：一元二次不等式的二次项系数a 有a >0和a <0两种，注意aa <0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．2、一元二次不等式的解法（1）用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x 1<x 2，则不等式(x －x 1)(x －x 2)<0的解集是(x 1，x 2)，不等式(x －x 1)(x －x 2)>0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞).①这种方法只有在一元二次不等式左边能够因式分解(一般用十字相乘法)时才能使用，简记为“小于零取中间，大于零取两边”．②因式分解法就是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来求解．依据是：ab >0当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0 ；ab <0当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b >0 或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b <0.（2）用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)通过配方总是可以变为(x －h )2>k 或(x －h )2<k 的形式，然后根据k 的正负等知识，就可以得到不等式的解集．注：(1)因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集．(2)用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧．3、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系4、简单分式不等式的解法分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式称为分式不等式．注：当分式不等式等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意．5、求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程：6、一元二次不等式的解法：(1)图像法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：∪确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；∪画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；∪由图像得出不等式的解集．对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p ＜q 时，若(x －p)(x －q)＞0，则x ＞q 或x ＜p ；若(x －p)(x －q)＜0，则p ＜x ＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．7、含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数； (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．8、三个“二次”之间的关系一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∪，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．9、简单的分式不等式的解法对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．注：设A 、B 均为含x 的多项式 （1）00>⇔>A AB B （2）00<⇔<AAB B（3）000≥⎧≥⇔⎨≠⎩AB A B B （4）000≤⎧≤⇔⎨≠⎩AB AB B 10、解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．考点一 解不含参数的一元二次不等式 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 考点三 利用不等式的解集求参数考点四 简单的分式不等式的解法 考点五 一元二次不等式的恒成立有解问题 考点六 一元二次不等式的实际应用考点一 解不含参数的一元二次不等式1．（2023秋·安徽合肥·高二校考学业考试）不等式(1)(2)0x x -+>的解集为（ ） A ．{2x x <-或1}x >B ．{21}x x -<<C ．{12}x x <<D ．{1x x <或2}x >2．（2023秋·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式： (1)23710x x -≤； (2)2104x x -+<； (3)2340x x -+>．3．（2023·上海·高一专题练习）解下列不等式： （1）22310x x -+-<； （2）()2160x -->；（3）2260340x x x x ⎧--≤⎨+-<⎩4．（2023秋·高一校考课时练习）解下列不等式： （1）22320x x --> （2）2350x x -+>（3）2620x x --+≥ （4）2414x x -≥-5．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）不等式24410x x -+<的解集为 A ．1(,]2-∞B ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．∅6．【多选】（2023秋·江苏淮安·高一校考阶段练习）下列四个不等式中，解集为∅的是（ ） A ．210x x -++≤ B ．22340x x -+<C ．2690x x ++≤D ．2440(0)x x a a a ⎛⎫-+-+>> ⎪⎝⎭考点二 含参数的一元二次不等式的解法7．（2023·全国·高一假期作业）若01a <<，解不等式()10a x x a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭->．8．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->9．（2023秋·高一校考课时练习）解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.10．（2023秋·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式()2110ax a x -++>.11．（2023秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设a ∈R ，解关于x 的不等式：()2330ax a x -++≤．12．（2023秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知222()(1)2(1)f x ax a x a =-+++，a ∈R ，求关于x 的不等式()0f x ≥的解集.考点三 利用不等式的解集求参数13．（2023秋·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式20x ax b ++<的解集是{}24x x -<<，则a b +=（ ）A ．-10B ．-6C ．0D ．214．（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于x 的不等式220x x a -+<的解集是{|2}x b x <<，则a b += （ ）A ．1-B ．152-C ．92-D ．9-15．【多选】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则下列选项中正确的是（ ）A ．a<0B ．不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞16．（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()3,1-，则不等式20bx ax c ++<的解集为（ ）A ．()1,2?B ．1,2C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭17．（2023秋·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于x 的不等式mx n >的解集是{}<2x x ，则关于x 的不等式()()30mx n x +->的解集是（ ）A ．{|2x x <或3}x >B ．{}2<<3x xC ．{|2x x <-或3}x >D ．{}2<<3x x -18．（2023秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考期中）已知函数()243f x ax x =++.(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集是(),1b ，求,a b 的值. (2)若0a >，求关于x 的不等式()1f x ax >--的解集.19．（2023秋·湖南永州·高二统考阶段练习）若不等式20x x c +-≤的解集为[]2,1-，则c = .20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式()210x a x a -++≤的解集是[]4,3-的子集，则a 的范围是（ ）A ．[－4，3]B ．[－4，2]C ．[－1，3]D ．[－2，2]21．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x 的不等式22(12)20ax a x a +--<的解集中恰有3个正整数解，则a 的值可以为（ ）A ．1-B ．32C ．74D ．2考点四 简单的分式不等式的解法22．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式302x x +>+的解集是 ．23．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）不等式102xx-≥+的解集为 ． 24．（2023秋·河南商丘·高一统考期中）不等式3102x x +≤- 的解集是 ． 25．（2023·全国·高三对口高考）已知集合3442x P xx ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则P = ． 26．（2023秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）解不等式： (1)2450x x -++>； (2)2221x ax a -≤-+； (3)132x x+≥-. 考点五 一元二次不等式的恒成立有解问题27．（2023秋·高一单元测试）设()()212=--+-∈y x a x a a R .(1)若不等式()2122--+-≥-x a x a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)解关于x 的不等式()2120--+-<x a x a .28．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设()()212f x ax a x a =+-+-． (1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()()1R f x a a <-∈．29．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数()()()2124f x m x mx m m =+-+-∈R ．(1)若不等式()0f x <的解集为R ，求m 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()f x m ≥．30．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设2(1)2y ax a x a =+-+-． (1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()2(1)10R ax a x a +--<∈．31．（2023·高一课时练习）已知函数()()2322f x x a x a b =+-+++，a ，b ∈R .(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集为{4x x <-或}2x >，求实数a ，b 的值； (2)若关于x 的不等式()f x b ≤在[]1,3x ∈上有解，求实数a 的取值范围；(3)若关于x 的不等式()12f x b <+的解集中恰有3个整数，求实数a 的取值范围．考点六 一元二次不等式的实际应用32．（2023秋·高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P （单位：元/件）与月销售量x （单位：件）之间的关系为1602P x =-，生产x 件的成本（单位：元）50030R x =+.若每月获得的利润y （单位：元）不少于1300元，则该厂的月销售量x 的取值范围为（ ）A ．()20,45B ．[)20,45C ．(]20,45D ．[]20,4533．（2023·全国·高一假期作业）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中()50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量x 的取值范围是（ ）.A ．{}2030,N x x x +≤≤∈B ．{}2045,N x x x +≤≤∈C ．{}1530,N x x x +≤≤∈D ．{}1545,N x x x +≤≤∈34．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少52t 万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t 的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．[]2,4C ．[]3,5D ．[]4,635．（2023秋·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m )。
一元二次不等式的解法步骤
解一元二次不等式可以用配方法比较简单：首先将方程二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方。
公式法可以解所有的一元二次方程，公式法不能解没有实数根的方程（也就是b²-4ac<0的方程）。
求根公式：x=-b±√(b^2-4ac)/2a。
数轴穿根解一元二次不等式步骤：
1）把二次项系数变成正的；
2）画数轴，在数轴上从小到大依次标出所有根；
3）从右上角开始，一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含X 的项是奇次幂就穿过，偶次幂就跨过)；
4）注意看看题中不等号有没有等号，没有的话还要注意舍去使不等式为0的根。
一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解：通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。
求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。
解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。
一元二次不等式解的口诀
一元二次不等式解的口诀在这个数学的世界里，一元二次不等式就像一块美味的蛋糕，虽然看上去有点复杂，但其实只要掌握了窍门，轻松吃掉它不在话下。
什么是一元二次不等式呢？其实就像是你家里的那张沙发，总是有点不太舒服，时不时就得调整一下。
这种不等式通常写成(ax^2 + bx + c > 0) 或者 (ax^2 + bx + c < 0)。
你可能会想，哎呀，这可怎么解呀！别急，咱们慢慢来，一步步教你撇清这个头绪。
先说说求解这个不等式的第一步。
找到它的根，这可就像是找出你朋友圈里最能捣蛋的人。
用求根公式，记住哦，根就是(frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a)。
听起来有点拗口，但不怕，咱们可以一边做一边聊。
只要心里有数，根就是我们接下来的方向。
然后把这根带入数轴上，给它们标个记号，就像是给你的宠物取个名字一样，记住它们的存在。
要考虑不等式的符号。
就像你在选择衣服时，要知道哪种颜色适合自己。
要么是向上开口的抛物线，要么是向下开口的。
这一步要特别小心，搞错了可就糟了。
比如说，如果 (a > 0)，那么抛物线是向上的，根之间的区间就是不等式成立的地方；反之，如果 (a < 0)，抛物线向下，那么根之间的地方就是不成立的。
真是好比人生的选择，有时候高兴的地方未必就是最好的选择。
好啦，接着咱们来深入探讨一下这些区间。
其实这些区间就像是你走在马路上，左转和右转，各有各的风景。
要仔细看清楚。
根据根的性质，把数轴分成几个部分。
要分别试探每个部分的值，看看哪个部分能让不等式成立。
举个例子，如果你试着带入一个小于两个根的值，看看它能不能让不等式成立，这就是一种检验。
试试这个值，发现它符合了，就像找到了一张大奖券，心里美滋滋的。
汇总一下结果。
记得把这些解清清楚楚地写出来，就像是给你自己写的一封信，提醒你下次怎么处理类似的问题。
写得清晰，才能在后续的学习中如鱼得水。
这不，数学不就是一个个小窍门的积累嘛，掌握了这些，就能在考试中游刃有余。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一元二次不等式是指一个未知数的二次函数与一个数之间的关系式，其形式为ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0。
解一元二次不等式的关键是找到其解集，即满足不等式的所有实数解。
本文将介绍两种常用的一元二次不等式的解法：图像法和区间法。
一、图像法1. 将一元二次不等式的左边移至右边，得到一个一元二次函数的对称形式。
例如，将ax² + bx + c > 0移至右边，得到ax² + bx + c = 0。
2. 绘制出对应一元二次函数的图像，并标出顶点。
对于一元二次函数y = ax² + bx + c，其图像是一个抛物线。
顶点的横坐标为-x₀ = -b/2a，纵坐标为y₀ = f(-x₀) = f(-b/2a)。
3. 根据一元二次不等式的符号确定解集。
若a > 0，表示抛物线开口向上，此时对应不等式的解集是(x < x₀) ∪ (x > x₁)。
若a < 0，表示抛物线开口向下，此时对应不等式的解集是(x₀ < x < x₁)。
二、区间法1. 将一元二次不等式的左边移至右边，得到一个一元二次函数的对称形式。
例如，将ax² + bx + c > 0移至右边，得到ax² + bx + c = 0。
2. 求出一元二次函数的判别式Δ = b² - 4ac的值，并根据Δ的正负确定解集。
若Δ > 0，则对应不等式的解集是(-∞, x₁) ∪ (x₂, +∞)。
若Δ = 0，则对应不等式的解集是(-∞, x) ∪ (x, +∞)。
若Δ < 0，则对应不等式的解集为空集。
需要注意的是，使用图像法和区间法时必须要了解一元二次函数的图像特征和判别式的意义。
另外，在求解过程中，可以运用一些常用的数学知识，如因数分解、配方法等，以便更快地得到解集。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一元二次不等式是指包含一个未知数的二次函数不等式，其解的范围通常是实数集合中的某个区间。
解决一元二次不等式问题需要运用一些基本的数学原理和方法。
本文将介绍几种常见的一元二次不等式的解法。
1. 图形法解一元二次不等式图形法是解决一元二次不等式的一种直观方法。
我们可以通过绘制一元二次函数的图像来观察其解的范围。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）绘制该二次函数的图像，并标出函数图像上的关键点，如顶点、交点等；3）根据函数图像的特征，确定不等式的解的范围。
2. 因式分解法解一元二次不等式因式分解法是解决一元二次不等式的常用方法之一。
通过将不等式转化为因式的形式，可以更方便地确定解的范围。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）将二次函数因式分解为一元一次函数的乘积，得到因式表达式；3）根据因式表达式的性质，确定不等式的解的范围。
3. 完全平方式解一元二次不等式完全平方式也是解决一元二次不等式的一种常用方法。
通过完全平方式，可以将不等式转化为平方形式，从而更容易确定解的范围。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）将一元二次函数利用完全平方式转化为平方（二次）表达式；3）根据平方表达式的性质，确定不等式的解的范围。
4. 配方法解一元二次不等式配方法是解决一元二次不等式的另一种有效方法。
通过进行配方法，可以将一元二次不等式转化为二次函数的平方差形式，从而简化求解过程。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）运用配方法，将二次函数转化为平方差的形式；3）根据平方差的性质，确定不等式的解的范围。
综上所述，一元二次不等式的解法包括图形法、因式分解法、完全平方式和配方法等多种方法。
在具体解题过程中，可以根据实际情况选择合适的解法。
学习技巧掌握解一元二次不等式的完整步骤
学习技巧掌握解一元二次不等式的完整步骤学习技巧：掌握解一元二次不等式的完整步骤解一元二次不等式是数学中的重要知识点，掌握其解题方法和技巧对于学生的学习和应试都具有重要意义。
本文将介绍解一元二次不等式的完整步骤，并提供一些学习技巧，帮助读者更好地掌握这个知识点。
一、一元二次不等式的定义和性质首先，我们来回顾一下一元二次不等式的定义和性质。
一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中a、b、c 为实数且a≠0。
一元二次不等式的解即是满足不等式的x的取值范围。
在解一元二次不等式时，我们需要注意以下性质：1. 若a>0，则一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）表示的是一个开口向上（或向下）的抛物线所围成的区域。
2. 若a<0，则一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）表示的是一个开口向下（或向上）的抛物线所围成的区域。
3. 一元二次不等式的解可以用区间表示，例如(x1, x2)表示的是解集合[x1, x2]内的所有实数。
二、解一元二次不等式的步骤接下来，我们将介绍解一元二次不等式的完整步骤。
步骤1：将一元二次不等式转化成标准形式首先，将一元二次不等式转化成标准形式，即将不等式右侧移到左侧，得到ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）。
步骤2：确定一元二次函数的图像形状根据一元二次不等式的性质，确定一元二次函数的图像形状是开口向上还是开口向下，以及开口的方向。
步骤3：求出一元二次函数的零点将一元二次函数ax^2+bx+c=0转化成一元二次方程，求出其根或零点。
此处注意：一元二次不等式的解集是以零点为界限的某个区间。
步骤4：根据图像形状和零点确定解集根据一元二次函数的图像形状和零点，确定不等式的解集。
注意，需要考虑到原不等式的等号部分（大于、小于或等于）对解集的影响。
步骤5：将解集用区间表示最后，将解集用区间的形式表示出来，即得到不等式的解。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次不等式，通常形式为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
解一元二次不等式的方法主要有以下几种：图像法、代数法和判别法。
一、图像法1. 绘制一元二次函数的图像：根据不等式的形式，确定二次函数的开口方向（a的正负），以及顶点的横坐标、纵坐标（b和c的值）。
2. 根据不等式的符号（大于或小于），确定图像与x轴的关系，即求解函数值大于0或小于0的区间。
3. 根据求解得到的区间，直观地表示出不等式的解集。
二、代数法1. 化简一元二次不等式：通过合并同类项、配方等方法，将二次不等式化简为标准形式，即ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0。
2. 求解方程：将不等式转化为等式，即ax^2+bx+c=0，并求解得出方程的根。
3. 利用根的性质：通过根的位置和值的正负判断方程在不等式中的取值情况，从而确定不等式的解集。
三、判别法1. 计算判别式：根据二次不等式的形式，计算出判别式Δ=b^2-4ac。
2. 根据判别式的值判断解集：a) 当Δ>0时，二次不等式有两个不同的实数根，根据系数的正负关系，可得出不等式的解集；b) 当Δ=0时，二次不等式有且仅有一个实数根，根据系数的正负关系，可得出不等式的解集；c) 当Δ<0时，二次不等式没有实数根，根据系数的正负关系，可得出不等式的解集。
综上所述，一元二次不等式的解法包括图像法、代数法和判别法。
根据具体情况，选择合适的方法求解可以快速得到一元二次不等式的解集。
通过掌握这些解法，我们能够更加灵活地处理和求解各种形式的一元二次不等式，提高数学问题的解决能力。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0 (或ax^2 + bx + c < 0)的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
要解一元二次不等式，需要通过一系列的步骤来确定其解集。
步骤一：将一元二次不等式的左边转化为一个二次函数f(x)。
根据一元二次不等式的形式，我们可以将其左边的项看作是二次函数f(x) = ax^2 + bx + c。
这个二次函数的图像可能是一个抛物线开口向上，也可能是开口向下。
步骤二：求出二次函数f(x)的零点。
为了求出二次函数f(x)的零点，我们需要将其转化为标准形式。
标准形式是指f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。
步骤三：根据二次函数f(x)的开口方向，确定一元二次不等式的解集。
如果二次函数f(x)开口向上，即a > 0，那么一元二次不等式的解集是抛物线上方的区域。
如果二次函数f(x)开口向下，即a < 0，那么一元二次不等式的解集是抛物线下方的区域。
步骤四：根据一元二次不等式的形式，找出它的解集。
通过分析图像和零点，我们可以进一步确定一元二次不等式的解集。
例如，考虑不等式x^2 - 3x + 2 > 0。
首先，我们将不等式左边的项转化为二次函数f(x) = x^2 - 3x + 2，然后求出其零点。
将f(x)转化为标准形式可以得到f(x) = (x - 1)(x - 2)，则它的零点是x = 1和x = 2。
这意味着抛物线与x轴相交于点(1, 0)和(2, 0)。
由于a = 1 > 0，我们知道抛物线开口向上。
因此，不等式的解集是抛物线上方的区域。
我们可以通过测试f(x)在零点以及零点左右的取值来进一步确定解集。
当x < 1时，抛物线在x轴上方，因此f(x) > 0；当1 < x < 2时，抛物线在x轴下方，因此f(x) < 0；当x > 2时，抛物线再次在x轴上方，因此f(x) > 0。
求解一元二次不等式解集步骤详解
求解一元二次不等式解集步骤详解在求解一元二次不等式时，我们实际上并不是直接求解不等式的“根”，因为不等式没有“根”这个概念，而是求解对应的一元二次方程的根。
这些根会帮助我们确定不等式的解集。
以下是如何求解一元二次方程ax2+bx+c=0的根，并据此确定一元二次不等式解集的步骤：1. 求解一元二次方程对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a≠0），我们可以使用求根公式来求解其根：x=−b±√b2−4ac2a这里，b2−4ac被称为判别式，记作Δ。
●如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数根，分别对应求根公式中的“+”和“-”号。
●如果Δ=0，则方程有一个重根，即两个相等的实数根，此时只取“+”号（或“-”号，结果相同）即可。
●如果Δ<0，则方程没有实数根，但有两个共轭复数根，这在求解不等式时通常不直接考虑。
2. 确定不等式的解集一旦我们找到了一元二次方程的根（或确定了根的存在性），我们就可以根据这些根来确定不等式的解集。
●对于不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，我们首先观察a的符号，因为它决定了二次函数的开口方向（a>0时开口向上，a<0时开口向下）。
●然后，我们根据方程的根在数轴上的位置来划分区间，并测试每个区间内的点是否满足不等式。
●或者，更简便地，我们可以直接利用数轴标根法：将根按从小到大的顺序标在数轴上，然后根据不等式的符号和二次函数的开口方向来确定解集。
示例考虑不等式x2−4x+3<0。
1.求解对应的一元二次方程x2−4x+3=0，得到根x1=1和x2=3。
2.因为a=1>0，所以二次函数开口向上。
3.使用数轴标根法，将x1=1和x2=3标在数轴上，并测试区间(−∞,1)，(1,3)和(3,+∞)内的点。
4.由于二次函数开口向上，且x1和x2是方程的根，因此不等式x2−4x+3<0的解集是两根之间的区间，即1<x<3。
一元二次不等式的解法是什么
一元二次不等式的解法是什么一元二次不等式怎么解，解答的步骤是什么？不知道的小伙伴看过来，下面由小编为你精心准备了“一元二次不等式的解法是什么”仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的内容!一元二次不等式的解法是什么一元二次不等式解法有配方法、公式法、数轴穿根、一元二次函数图象进行求解4种方法。
公式法可以解所有的一元二次方程，公式法不能解没有实数根的方程(也就是b²-4ac<0的方程)。
数轴穿根：用穿根法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从X轴的右端上方起，依次穿过这些零点，大于零的不等式的解对应这曲线在X轴上方部分的实数X的值的集合，小于零的则相反。
这种方法叫做序轴穿根法，又叫“穿根法”。
口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶不穿。
”一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。
通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。
求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。
解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。
拓展阅读：一元二次不等式知识点总结1、解不等式的有关理论(1) 若两个不等式的解集相同,则称它们是同解不等式;(2) 一个不等式变形为另一个不等式时,若两个不等式是同解不等式,这种变形称为不等式的同解变形;(3) 解不等式时应进行同解变形;(4) 解不等式的结果,原则上要用集合表示.2、高次不等式解法尽可能进行因式分解,分解成一次因式后,再利用数轴标根法求解(注意每个因式的最高次项的系数要求为正数)3、分式不等式的解法分子分母因式分解,转化为相异一次因式的积和商的形式,再利用数轴标根法求解;4、重难点突破1.重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;熟练掌握一元二次不等式的解法.2.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系.求解简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式3.重难点：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式.(1)解简单的指数不等式和对数不等式关键在于通过同解变形转化为一般的不等式(组)来求解。
一元二次不等式的解法过程
一元二次不等式的解法过程一元二次不等式是指含有一个未知数的二次函数，其解的集合为一段数轴上的区间。
解一元二次不等式的步骤如下：1. 将一元二次不等式转化为标准形式：将不等式中的所有项都移到一边，使不等式的右边为零。
例如，对于不等式3x^2 - 4x + 1 < 0，将其转化为3x^2 - 4x + 1 - 0 < 0。
2. 求解一元二次方程：将不等式中的等号改为不等号，即求解3x^2 - 4x + 1 = 0的解。
使用求根公式或配方法求得方程的解，得到x1和x2。
3. 根据一元二次函数的图像判断不等式的解集：a) 如果a > 0（a为二次项的系数），则抛物线开口向上。
当x在x1和x2之间时，函数的值小于零，即解集为(x1, x2)。
b) 如果a < 0，则抛物线开口向下。
当x在x1和x2之间时，函数的值大于零，即解集为(-∞, x1)并(x2, +∞)。
c) 如果a = 0，则不是一元二次不等式。
4. 检验解的有效性：将不等式中的x值代入原始不等式中，验证不等式的成立性。
若成立，则解有效；若不成立，则解无效。
5. 表示解集：根据步骤3和4得到的解，将解集用数轴上的区间表示。
例如，解集为(x1, x2)时，在数轴上用一个开区间表示。
下面以一个具体的例子来说明一元二次不等式的解法过程：例题：解不等式x^2 - 5x + 6 > 0。
解法如下：1. 将不等式转化为标准形式：x^2 - 5x + 6 - 0 > 0。
2. 求解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
通过因式分解或求根公式得到x1 = 2和x2 = 3。
3. 根据一元二次函数的图像判断解集：由于a = 1 > 0，抛物线开口向上。
当x在2和3之间时，函数的值小于零，即解集为(2, 3)。
4. 检验解的有效性：将x = 2.5代入不等式x^2 - 5x + 6 > 0中，得到2.5^2 - 5(2.5) + 6 = 2.25 - 12.5 + 6 = -4.25，小于零，验证了解的有效性。
一元二次不等式方程解
一元二次不等式方程解由一元二次不等式，解决复杂问题具有十分重要的地位，因此，今天就着重介绍一些关于一元二次不等式解法的相关内容，希望能够为大家的学习生活带来一份清新的灵感。
一元二次不等式的解法偏重于应用数学定理去处理方程式，其本质是物理问题转化为数学表达，从而搜索最优解。
基本上，一元二次不等式的方法有三种:（1）因式分解法（2）公式解法，（3）图形解法。
这三种解法都有其固定的模式和方法来处理方程式，可以根据实际情况选择合适的解法。
首先说明一下如何使用因式分解法来解决一元二次不等式。
首先，可将一元二次不等式改写为等式，其次则可用因式分解法，比如将左边的多项式拆分成两个互为因式的多项式，最后再将相乘的两个因式单独等于右边的系数，这样就可以得到解了。
其次是公式解法，该方法基本上和因式分解法相似，都是将一元二次不等式化为两个不等式。
不同的是，公式解法以一元二次不等式的一般解法作为根据，用特定的方程式，求出一元二次不等式的两个解，不过由于一般解法的复杂度较高，故很多情况下此方法不是很有效。
最后介绍一下图形解法，此方法就是把一元二次不等式转化为它的图像，而此时此方法有可能更简单易懂。
这个解法的关键点就是把一元二次不等式看成一个二次方程，而把它的图形看成一个椭圆，椭圆的形状会随着不等式的参数而变化，据此，可以计算出图形的两个焦点和它的长轴和短轴，从而获得解的范围。
可以看出，处理一元二次不等式可以采取因式分解法，公式解法以及图形解法，每种方法都有其不同之处，根据实际去针对性选择最合适的解法，毕竟拥有多种解法，可以适时调整变换解决缩小解的范围，最终得出我们最优的解法。
总的来说，虽然一元二次不等式的解法可能会有所复杂，但是无论是采用因式。
解一元二次不等式的基本步骤
解一元二次不等式的基本步骤1. 认识一元二次不等式一元二次不等式，这个名字听起来就像是一道复杂的数学题，但其实，咱们可以把它拆开来看，就像拆解一份大礼物，里面的东西并没有那么复杂。
简单来说，一元二次不等式就是形如 ( ax^2 + bx + c > 0 ) 或者 ( ax^2 + bx + c leq 0 ) 的不等式，其中的( a )、( b )、( c ) 是常数，( x ) 是你要解决的未知数。
这种不等式的特点是，变量 ( x )的最高次方是2，这就是“二次”这个词的由来。
看吧，记住这个结构，你就离破解它更近一步了。
2. 解一元二次不等式的步骤2.1 找到一元二次方程的根首先，你得找到那个二次方程的根。
这一步就像在挖掘宝藏，要找出方程的“秘密位置”。
你需要解方程 ( ax^2 + bx + c = 0 )，这个方程是它的“标准形”。
可以用公式法，公式是这样的：( x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a )。
你只要把 ( a )、( b )、( c ) 代进去，算出来的就是方程的根了。
如果你用的是平方根法或者配方法，算出来的也一样。
2.2 判断不等式的解集找到了根之后，接下来的步骤就是判断不等式的解集。
简单点说，就是你需要知道哪些 ( x ) 的值会让不等式成立。
想象一下，一条直线把数轴分成了几个区域，你的任务就是找出不等式在哪些区域里成立。
要做到这一点，你可以选择一个测试点，代入到不等式中，看看它的值是符合要求的还是不符合的。
3. 绘制图像并总结解集3.1 绘制抛物线为了更直观地理解不等式的解集，绘制抛物线是个好主意。
二次方程的图像是一条抛物线，开口朝上还是朝下取决于 ( a ) 的符号。
把根标在图像上，然后看一下哪些区域是在不等式成立的区域。
这就像是看电影的时候，你要留意剧情的发展，找到那个让你感到满意的结局。
3.2 总结解集最后，你要总结解集。
这个步骤就像是在电影结束后的讨论，你要把所有的信息整理好，把“好”的区域记录下来。
一元二次不等式的解法口诀
一元二次不等式的解法口诀一元二次不等式是高中数学中的重要内容, 掌握好一元二次不等式的解法, 对学习高中及以后的数学课程至关重要。
下面, 本文将为大家介绍一元二次不等式的解法口诀。
口诀一、列出一元二次不等式的标准形式一元二次不等式的标准形式为 ax²+bx+c>0 或者 ax²+bx+c<0, 其中 a、b、c 是实数, 且 a≠0。
口诀二、求出一元二次不等式的根一元二次不等式的解法与二次方程的解法类似, 先求出一元二次不等式的根。
求根的公式为 x=[-b±√(b²-4ac)]/2a。
口诀三、用根来判定解的情况接下来根据根的情况, 决定这个一元二次不等式的解集。
具体有以下三种情况:情况一、当 a>0 时①当方程的两根都小于0时, 即 x1<0,x2<0 时, 方程无解；②当方程的根为一个小于0, 一个大于0时, 即x1<0,x2>0或者x1>0,x2<0 时, 方程的解集为(-∞, x1)∪(x2, +∞)；③当方程的两根都大于0时, 即x1>0,x2>0 时, 方程的解集为(x1, x2)。
情况二、当 a<0 时①当方程的两根都小于0时, 即 x1<0,x2<0 时, 方程的解集为(-∞,x1)∪(x2, +∞)；②当方程的根为一个小于0, 一个大于0时, 即x1<0,x2>0或者x1>0,x2<0时, 方程的解集为(-∞, x1]∪[x2, +∞)；③当方程的两根都大于0时, 即x1>0,x2>0时, 方程的解集为(-∞, x1]∪[x2, +∞)。
情况三、当 a=0 时当 a=0 时, 该不等式为一元一次不等式。
如果 b>0, 则不等式的解集为(-∞, +∞), 如果b<0, 则不等式的解集为∅。
口诀四、简单例题的解法例1: 2x²-5x+2>0解: 首先, 求出这个一元二次不等式的根, 得出x1=1/2, x2=2。
第九讲一元二次不等式及其解法
第九讲 一元二次不等式及其解法基础梳理1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aR ax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}∅∅一个技巧一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集的确定受a 的符号、b 2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2，(x 1＜x 2)(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．两个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． 双基自测1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为 ．2．不等式2x 2－x －1＞0的解集是 ．3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是 ．4．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝ ．5．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________．考向一 一元二次不等式的解法【例1】►已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．【训练1】 函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．考向二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】►求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.考向三 不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.【训练3】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．考向四 求解含参数不等式的恒成立问题 【例4】►设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R . (1)若x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0,3e]，恒有f (x )≤4e 2成立． 注：e 为自然对数的底数．本题考查函数极值的概念，导数的运算法则，导数的应用，不等式的基础知识，考查学生推理论证能力．分析问题，解决问题的能力．难度较大，做好此类题目，一要有信心，二要结合题意进行恰当地转化，化难为易，化陌生为熟悉．【试一试】 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，求实数a 的值．基础检测1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．2．若存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b ＜0成立，则b 的取值范围是________．3．若关于x 的不等式(2ax －1)·ln x ≥0 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的值为________．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．5．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．6．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．第2讲一元二次不等式及其解法【2013年高考会这样考】1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型．2．考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题．3．以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．【复习指导】1．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．2．熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值不等式、高次不等式、指数不等式和对数不等式的解法．基础梳理1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅一个技巧一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．两个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．双基自测1．(人教A版教材习题改编)不等式x2－3x＋2＜0的解集为()．解析∵(x－1)(x－2)＜0，∴1＜x＜2.故原不等式的解集为(1,2)．2．(2011·广东)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )． 解析 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0，∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )． 解析 ∵9x 2＋6x ＋1＝(3x ＋1)2≥0，∴9x 2＋6x ＋1≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－13.4．(2012·许昌模拟)若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )．解析 ∵x ＝－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝(－2)×14＝－12，－b a ＝－74，∴a ＝4，b ＝7.∴ab ＝28.5．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解析 当a ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当a ≠0时，须⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a 2－4a ≤0.∴0＜a ≤1，综上0≤a ≤1.考向一 一元二次不等式的解法 【例1】►已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.[审题视点] 对x 分x ≥0、x ＜0进行讨论从而把f (x )＞3变成两个不等式组．解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}．解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．【训练1】 函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的定义域为[1,3)．答案 [1,3)考向二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】►求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．[审题视点] 先求方程12x 2－ax ＝a 2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集． 解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.解 由(1－ax )2＜1，得a 2x 2－2ax ＜0，即ax (ax －2)＜0， 当a ＝0时，x ∈∅.当a ＞0时，由ax (ax －2)＜0，得a 2x ⎝⎛⎭⎫x －2a ＜0， 即0＜x ＜2a .当a ＜0时，2a＜x ＜0.综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a ＞0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ＜2a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a＜x ＜0. 考向三 不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． [审题视点] 化为标准形式ax 2＋bx ＋c ＞0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0.解 原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＞0，Δ＝42－4(a ＋2)(a －1)＜0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞－2，(a －2)(a ＋3)＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，a ＜－3或a ＞2， 所以a ＞2.故a 的取值范围是(2，＋∞)．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.【训练3】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解 法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立， 只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]．法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0.解得－3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]．规范解答12——怎样求解含参数不等式的恒成立问题【问题研究】 含参数的不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于新课标对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势.对含有参数的不等式恒成立问题，破解的方法主要有：分离参数法和函数性质法.【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题.【示例】►(本题满分14分)(2011·浙江)设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R . (1)若x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0,3e]，恒有f (x )≤4e 2成立． 注：e 为自然对数的底数．本题对于(1)问的解答要注意对于结果的检验，因为f ′(x 0)＝0，x 0不一定是极值点；对于(2)问的解答可以采用分离参数求最值的方法进行突破，这样问题就转化为单边求最值，相对分类讨论求解要简单的多．[解答示范] (1)求导得f ′(x )＝2(x －a )ln x ＋(x －a )2x ＝(x －a )(2ln x ＋1－ax)．(2分)因为x ＝e 是f (x )的极值点，所以f ′(e)＝(e －a )⎝⎛⎭⎫3－ae ＝0，解得a ＝e 或a ＝3e.经检验，符合题意，所以a ＝e 或a ＝3e.(4分)(2)①当0＜x ≤1时，对于任意的实数a ，恒有f (x )≤0＜4e 2成立．(5分)②当1＜x ≤3e 时，由题意，首先有f (3e)＝(3e －a )2ln(3e)≤4e 2，解得3e －2e ln (3e )≤a ≤3e ＋2eln (3e )(6分)由(1)知f ′(x )＝x －a ⎝⎛⎭⎫2ln x ＋1－ax .(8分) 令h (x )＝2ln x ＋1－ax，则h (1)＝1－a ＜0，h (a )＝2ln a ＞0，且h (3e)＝2ln(3e)＋1－a3e ≥2 ln(3e)＋1－3e ＋2eln (3e )3e ＝2⎝⎛⎭⎫ln 3e －13ln 3e ＞0.(9分)又h (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h (x )在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x 0，则1＜x 0＜3e,1＜x 0＜a .从而，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.即f (x )在(0，x 0)内单调递增，在(x 0，a )内单调递减，在(a ，＋∞)内单调递增． 所以要使f (x )≤4e 2对x ∈(1,3e]恒成立，只要 ⎩⎪⎨⎪⎧f (x 0)＝(x 0－a )2ln x 0≤4e 2，(1)f (3e )＝(3e －a )2ln (3e )≤4e 2，(2)成立．(11分) 由h (x 0)＝2ln x 0＋1－ax 0＝0，知a ＝2x 0ln x 0＋x 0.(3)将(3)代入(1)得4x 20ln 3x 0≤4e 2.又x 0＞1，注意到函数x 2ln 3x 在(1，＋∞)内单调递增，故1＜x 0≤e. 再由(3)以及函数2x ln x ＋x 在(1，＋∞)内单调递增，可得1＜a ≤3e.由(2)解得，3e －2e ln (3e )≤a ≤3e ＋2eln (3e ).所以3e －2eln (3e )≤a ≤3e.(13分)综上，a 的取值范围为3e －2eln (3e )≤a ≤3e.(14分)．本题考查函数极值的概念，导数的运算法则，导数的应用，不等式的基础知识，考查学生推理论证能力．分析问题，解决问题的能力．难度较大，做好此类题目，一要有信心，二要结合题意进行恰当地转化，化难为易，化陌生为熟悉．【试一试】 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，求实数a 的值．[尝试解答] (1)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )＝1＞0恒成立．(2)若x ＞0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，∴g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减．∴g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4. (3)若x ＜0，即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x3.设h (x )＝3x 2－1x 3，则h ′(x )＝3(1－2x )x 4，∴h (x )在[－1,0)上单调递增． ∴h (x )min ＝h (－1)＝4，从而a ≤4. 综上所述，实数a 的值为4.基础检测1．(2014·苏州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞2x ，1－x 2＞0，解得－1＜x ＜－1＋ 2.答案：()－1，－1＋22．(2014·南通期末)若存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b ＜0成立，则b 的取值范围是________．解析：本题是存在性命题，只要满足Δ＝16b 2－12b ＞0即可，解得b ＜0或b ＞34.3．(2013·南京、淮安二模)若关于x 的不等式(2ax －1)·ln x ≥0 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的值为________．解析：若x ＝1，则原不等式恒成立，此时a ∈R ；若x ＞1，则ln x ＞0，于是2ax －1≥0，即a ≥⎝⎛⎭⎫12x max ，所以a ≥12；若0＜x ＜1，则ln x ＜0，于是2ax －1≤0，即a ≤⎝⎛⎭⎫12x min ，所以a ≤12.综上所述，a ＝12.4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.5．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________． ．解析：∵不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立， ∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1. ∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4.由二次函数的性质可知：当2x ＝2， 即x ＝1时，y 取得最小值0，∴实数a 的取值范围为(－∞，0]． 6．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以－4<m ≤0.(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6， x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，则0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67， 所以只需m <67即可． 所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·连云港模拟)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＜0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________．4．(2014·泰州质检)设实数a ≥1，使得不等式x |x －a |＋32≥a 对任意的实数x ∈[1,2]恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是________．1．解析：由题意可得：Δ＝a 2－8a >0， 得a <0或a >8.当a <0时，对称轴x 0＝a 2<0，且f (0)＝2a <0. 故A 中两个整数只能为－1,0.故f (－1)＝1＋3a <0，f (－2)＝4＋4a ≥0，得－1≤a <－13. 当a >8时，x 0＝a 2>4，设A ＝(m ，n )．由于集合A 中恰有两个整数n －m ≤3.即a 2－8a ≤3，即a 2－8a ≤9.得8<a ≤9故对称轴4<a 2<5， 又f (2)＝4>0，f (3)＝9－a ≥0故A 中的两个整数为4和5.故f (4)<0，f (5)<0，f (6)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧ 25－3a <016－2a <036－4a ≥0，解得253<a ≤9. 综上a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎦⎤253，9. 答案：⎣⎡⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎦⎤253，9 4．解析：(1)当1≤a ≤32时，显然符合题意． (2)当a ≥2时，原不等式可化为x (a －x )≥a －32. 取x ＝1，成立．当x ∈(1,2]时，a ≥x 2－32x －1＝x ＋1－12(x －1). 而函数f (x )＝x ＋1－12(x －1)在(1,2]上单调递增，故a ≥f (2)＝52. (3)当32＜a ＜2时，原不等式可化为 ①⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤a ，x (a －x )≥a －32或 ②⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤x ≤2，x (x －a )≥a －32.参照(2)的过程解不等式组①得a ≥a ＋1－12(a －1)， 解得1＜a ≤32，矛盾，舍去； 由不等式组②得a ≤x 2＋32x ＋1＝x －1＋52(x ＋1). 同上可得－1≤a ≤32，矛盾，舍去． 综上所述，1≤a ≤32或a ≥52. 答案：⎣⎡⎦⎤1，32∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞。
一元二次不等式的解法【精】
一元二次不等式及其解法
1、 一元二次不等式
（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
（2）一般形式：（a ≠0）
02>++c bx ax 、02<++c bx ax 、02≥++c bx ax 和02≤++c bx ax .
2、 一般的一元二次不等式的解法
（1）一元二次不等式：02>++c bx ax 或02<++c bx ax （0>a ） 的解集
（从上面的例子，得出“三个二次”间的关系，以此为基础探究一般的一元二次不等式的解法.）
抛物线 =y c bx ax ++2（0>a ）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 c bx ax ++2=0的判别式ac b 42-=∆三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分三种情况讨论.
一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：
设相应的一元二次方程
()002≠=++a c bx ax 的ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：
（2）当0<a 时，不等式两边同时乘以“-1”，转化为0>a .。
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高一数学学案 序号_004_ 高一 年级 9班 教师 梁恩军 _ 学生 ____ 课 题 一元二次不等式的解法
学习目标：1、会解一元二次不等式；
2、正确理解并掌握一元二次方程、二次函数与对应一元二次不等式的联系
学习重点：一元二次不等式的解法
难点：一元二次方程、二次函数与对应一元二次不等式的联系
学习过程 一、知识呈现
1、一元二次方程、二次函数与对应的一元二次不等式： 若关于x 的一元二次方程2
0(0)ax
bx c a ++=>有两根1212x x x x <、且
x 轴有两个
不同的交点（ ， ）、（ ， ）（如右图）， 那么对应的一元二次不等式2
0ax bx c ++>的解为 ；
20ax bx c ++<的解为 .二、典例解析
例1：画出函数342+-=x x y 的图像，利用图像观察出下列不等式的解： （1）0342
<+-x x ； （2）0342
≥+-x x
变式1：:画出函数
2
44y x x =-+的图像，再从图像中观察出不等式 2
(1)440x x -+>
2(2)440x x -+< 2(3)440x x -+
≤ 2
(4)440x x -+-≤的解
例2：求下列不等式的解集。
（1）022>-x x （2）0342
<+-x x
变式2：（1）42
≤x （2）022
>++-x x
例3：不等式042
>+-ax ax 的解集为全体实数，求实数a 的取值范围.
变式：不等式2
40ax ax -+<的解集为全体实数，求实数a 的取值范围.
课后作业：
1、已知抛物线y x x =--+2462
，则其和x 轴的交点坐标是A （ ），B （ ）（A 在B 的左侧），当x 取_______________时，y >0；当x 取_______________时，y ≤0。
2、若ax 2＋bx －1＜0的解为－1＜x ＜2，则a ＝________，b ＝________．
3、不等式(2)(1)0x x +->的解集是（ ）
A. 21x x <->或
B. 21x -<<
C. 12x x <->或
D. 12x -<<
4、若关于x 的不等式
)0(02≠<++a c bx ax 的解为无解，那么（ ） A ．a 〈0且判别式大于0 B ．a 〉0且判别式大于0 C ．a 〉0 且判别式大于等于0 D ．a 〉0且判别式小于等于0
4、若0,a <则关于x 的不等式2
2
450x ax a -->的解集是
5、若不等式2
20ax bx ++>的解集为11
23
x -
<<，则a b +等于（ ） A.10- .14B - .10C .14D
6、解下列不等式 （1）2
233312x x x -+>- （2）21
1(1)3
x x x x -+>-
7、已知关于x 的不等式2
0ax bx c ++<的解集是2x <-或12
x >-，求不等式2
0ax bx c -+>的解。