(精选3份合集)2020届江苏省苏州市高考数学模拟试卷
2020年江苏苏州高三一模数学试卷
2020年江苏苏州高三一模数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知为虚数单位，复数，则 ．2.已知集合，，若中有且只有一个元素，则实数的值为 ．3.已知一组数据，，，，．则该组数据的方差是 ．4.在平面直角坐标系中，已知双曲线的一条渐近线方程为，则．5.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是 ．6.右图是一个算法的流程图，则输出的的值为 ．开始，输出结束7.“直线：与直线：平行”是“”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8.已知等差数列的前项和为， ，，则 ．9.已知点是曲线上一动点，当曲线在处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 ．10.已知，，则 ．11.如图在矩形中，为边的中点，，．分别以，为圆心，为半径作圆弧，，将两圆弧，及边所围成的平面图形（阴影部分）绕直线旋转一周，所形成的几何体的体积为 ．12.在中，，若角的最大值为，则实数的值是 ．13.若函数（且）在定义域上的值域是，则的取值范围是 ．14.如图，在中，，是的中点，在边上，，与交于点，若，则面积的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分）（1）（2）15.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．求角．已知，，求的面积．（1）（2）16.如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为正三角形，平面平面，为的中点．证明：平面．证明：．（1）（2）17.某地为改善旅游环境进行景点改造，如图，将两条平行观光道和，通过一段抛物线形状的栈道连通（道路不计宽度），和所在直线的距离为（百米），对岸堤岸线，平行于观光道且与相距（百米）（其中为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于，且交于），在堤岸线上的，两处建造建筑物，其中，到的距离为（百米），且恰在的正对岸（即）．在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道的方程．游客（视为点）在栈道的何处时，观测的视角（）最大？请在（）的坐标系中，写出观测点的坐标．18.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且经过点，，分别为椭圆的左、右顶点，过左焦点的直线交椭圆于，两点（其中在（1）（2）轴上方）．xyO求椭圆的标准方程．若与的面积比为，求直线的方程．（1）（2）19.已知函数的导函数．若函数存在极值，求的取值范围．设函数（其中为自然对数的底数），对任意，若关于的不等式在上恒成立，求正整数的取值集合．（1）12（2）20.已知数列，，数列满足，．若，，求数列的前项和．若数列为等差数列，且对任意，恒成立．当数列为等差数列，求证：数列，的公差相等．数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由．为奇数为偶数三、选做题（本大题共3小题，选做2道，共20分）21.已知矩阵，，且二阶矩阵满足，求的特征值及属于各特征值的一个特征向量．（1）（2）22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的普通方程．求曲线和曲线的公共点的极坐标．23.已知正数，，满足（为常数），且的最小值为，求实数的值．【答案】解析:，∴．四、必做题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）（1）（2）24.某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满元，有一次抽奖机会（即满元可以抽奖一次，满元可以抽奖两次，依次类推）．抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为，，，，的个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如，，），则获得一等奖，奖金元；若摸得的小球编号一次比一次小（如，，1），则获得二等奖，奖金元；其余情况获得三等奖，奖金元．某人抽奖一次，求其获奖金额的概率分布和数学期望．赵四购物恰好满元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为元的概率．（1）（2）25.已知抛物线（为大于的质数）的焦点为，过点且斜率为的直线交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点．抛物线在点，处的切线相交于点．记四边形的面积为．求点的轨迹方程．当点的横坐标为整数时，是否为整数？若是，请求出所有满足条件的的值；若不是，请说明理由．1.故答案为：．2.解析:∵，，又∵中有且只有一个元素，∴，．故答案为：．3.解析:∵数据，，，，的平均数，∴该组数据的方差为．故该组数据的方差为．4.解析:双曲线，，，双曲线的渐近线方程为，∴，∴．故答案为：．5.解析:“两人下成和棋”与“乙获胜”两事件互斥，由互斥事件的概率公式可得，乙不输的概率．解析:第一次循环，，，，，不满足，；第二次循环，，，，，不满足，；第三次循环，，，，，满足退出循环，输出．故答案为．解析:∵直线 ：与直线 ：平行，∴ ，解得，易知，“”为“”的必要不充分条件，∴“直线：与直线：平行”是“”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件．解析:数列为等差数列，∴，，∴，，．解得．∴．6.必要不充分7.8.9.解析:由曲线可知，，，∴ 切线斜率：，当且仅当，即时等号成立，当时，，即切点坐标为，∴ 切线方程为，即．10.解析:∵、，∴，，∵，∴，∴，∴，．11.解析:图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体为圆柱去掉两个半径为的半球，两个半球的体积为： .圆柱的底面半径为，高为，∴圆柱的体积为，∴该几何体的体积为故答案为：．12.解析:∵，∴，即，化简得，则，当且仅当，即时等号成立，又角的最大值为，则的最小值为，∴，化简得，即，解得或，又，故的值是．13.解析:时，在单调递增，则，即，∴，令，，令，，在上单调递增，上单调递减，，∴，∴，当时，在单调递减，则，即，又∵，∴，而，∴无解，同理无解，∴不成立，综上．14.解析:如图，建系，则，，，设，则：，，则，，：，则，（1）（2）（1），，，．化简得，的最大值为．解析:在中，由正弦定理得．因为，所以，从而，所以，所以．因为，，，所以，，，所以的面积．解析:连结交于，因为为平行四边形，所以为的中点．连结，在中，因为是的中点，所以．又因为平面，平面，所以平面．（1）．（2）．15.（1）证明见解析．（2）证明见解析．16.（2）（1）（2）因为为正三角形，是的中点，所以．又因为平面平面，平面平面，且，平面，所以平面．因为平面，所以，又因为，且，平面，平面，所以平面．因为平面，所以．解析:以为原点，所在直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意可知 ，，设抛物线方程为：（）,则，解得：，所以栈道的方程为，（）．过点作于点，设，其中，（1），（）．（2），观测的视角最大．17.则，设 ， ，则，所以，，所以，令，则，当且仅当，即时取等号，因为且，所以，因为在上单调递减，所以当最大时，最大，即最大，此时，，即，所以点的坐标为，观测的视角最大．（1）（2）（1）解析:由椭圆，则，将代入椭圆，，解得：，，故椭圆的方程．由（）可知，，则，则，，设，，，，∴，，由，则即①，由题可知直线斜率不为，可设直线方程为，联立得，∴，∴②，③，由①②③可解得或，经检验，当时，在轴下方不符，∴，即直线方程为：即．解析:，所以，所以，①当时，即或时，恒成立，所以在上递增，故无极值；②当时，即时，有两个根，（不妨设）.（1）．（2）．18.（1）．（2）．19.（2）（1）列表如下：极大值极小值满足题意．综上所述，．因为，所以对任意，在上恒成立，即对任意，在上恒成立，所以在上恒成立，即对任意恒成立．记，所以，因为，所以在上单调递增且连续不间断，而，，所以在上存在惟一零点.极小值所以，其中， 且，所以，所以，又因为，所以由得对任意恒成立，由题意知，因为，且，所以，，即正整数的取值集合为．解析:因为，，（1）．12（2）证明见解析．数列不能为等比数列．20.12（2）则，．所有．设数列的公差为，的公差为，因为数列是递增数列，所以，，即，，所以，，由（Ⅰ）得：对恒成立，所以，由（Ⅱ）得：对恒成立，所以，所以，即数列，的公差相等．数列不能为等比数列，若存在数列为等比数列，设数列的公差为，数列的公比为，因为数列是递增数列，所以，所以．又因为，则当时，，所以必存在正奇数，有，所以，即，所以，即．因为，所以．记，则，因为，，所以对，有成立．设，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，为奇数为偶数（Ⅰ）（Ⅱ）（1）所以对，有，从而时，，因为，所以，，所以，即．从而对，．因为，所以，所以，所以对，．而上式不成立，所以数列不能为等比数列．解析:设，则，所以，解得，所以，令的特征多项式，得，所以的特征值为，设属于特征值的特征向量为，则由，得，所以，所以，所以的属于特征值的一个特征向量为．解析:因为，所以，所以，即，所以曲线的直角坐标方程为．的特征值为，属于特征值的一个特征向量为．21.（1）．（2）极坐标为．22.（2）（1）曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的直角坐标方程为，由，得，所以（舍）或，故曲线和曲线的公共点的直角坐标为，其极坐标为．（注：答案不唯一）解析:由柯西不等式．当且仅当时取等号，此时，，，解得，，，所以的最小值为，因为的最小值为，所以，又因为，所以解得．解析:个球中摸三个球情况有，其中编号一次比一次大的情况有，．23.（1）的概率分布列如下：数学期望为．（2）．24.（2）（1）（2）编号一次比一次小的情况有．∴一等奖概率为，二等奖概率为，三等奖概率为，X的可能取值为，，．∴；；．分布列如下：∴期望．赵四抽奖三次，获得奖金为的情况共两种，第一种：一次一等奖，两次三等奖，这种概率；第二种：三次二等奖，这种概率；∴总共概率．解析:由题意得，直线的方程为：，设，，由，消去整理得，所以，由，可得，所以在点的切线方程为：，即①，同理可得在处的切线方程为：②，联立①②可得，即，所以点的轨迹方程为（且为大于的质数）．设的中点为，连接，，（1）（且为大于的质数）．（2）不是整数；证明见解析．25.由，，得，所以，因为，所以，所以，因为，所以平行于轴，所以，又因为，所以≌，所以，所以．又因为，且，所以．由题意得为整数，设，所以．假设为整数，则，即，所以，所以只能为整数．设，则，所以，所以或或或或．因为，，所以只能，但当时，，与矛盾，不符合题意．综上所述，不是整数．21。
2020年江苏省苏州市高考数学(3月份)模拟试卷 含解析
2020年高考数学（3月份）模拟试卷一、填空题.1．已知A＝{1，3，4}，B＝{3，4，5}，则A∩B＝．2．若复数z满足（1+2i）z＝﹣3+4i（i是虚数单位），则|z|＝．3．执行如图所示的算法流程图，输出的S的值是．4．若数据2，x，2，2的方差为0，则x．5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是．6．先把一个半径为5，弧长为6π的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的铁球融化为铁水倒入此圆锥内（假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗），正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥，则此球的半径为．7．若双曲线的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为．8．在△ABC所在的平面上有一点P，满足，则＝．9．已知直线y＝kx﹣2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为．10．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），直线y＝b与椭圆C交于A，B两点，若OA⊥OB，则椭圆离心率的值等于．11．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a12＝2，且当n≥2时，为S n和S n﹣1的等差中项，则S32的值为12．设α，θ为锐角，tanθ＝a tanα（a＞1），若θ﹣α的最大值为，则实数a的值为．13．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4上两个动点，且AB＝2．若直线l：y＝﹣x上存在点P，使得+＝，则实数a的取值范围为．14．已知函数f（x）＝e x，若函数g（x）＝（x﹣2）2f（x）﹣+2a|x﹣2|有6个零点，则实数a的取值范围为．二、解答题：共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin（A﹣B）+sin C＝1．（1）求sin A cos B的值；（2）若a＝2b，求sin A的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F （1，0），并且点在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为k（k为常数）的直线l与椭圆交于A，B两点，交x轴于点P（m，0），Q为直线x＝2上的任意一点，记QA，QB，QP的斜率分别为k1，k2，k0．若k1+k2＝2k0，求m的值．18．（16分）如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为L．（1）①设∠ACO＝θ，求出L关于θ的函数关系式L（θ）；②设AB＝2x米，求出L 关于x的函数关系式L（x）．（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．19．（16分）设f（x）＝ae x﹣a，g（x）＝ax﹣x2（a为与自变量x无关的正实数）．（1）证明：函数f（x）与g（x）的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线；（2）是否存在实数k，使得对任意的恒成立，若存在，求出k的取值范围，否则说明理由．20．（16分）定义：对于一个项数为m（m≥2，m∈N*）的数列{a n}，若存在k∈N*且k＜m，使得数列{a n}的前k项和与剩下项的和相等（若仅为1项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”．例如：因为3＝2+1，所以数列3，2，1是“等和数列”．请解答以下问题：（1）判断数列2，﹣4，6，﹣8是否是“等和数列”，请说明理由；（2）已知等差数列{a n}共有r项（r≥3，且r为奇数），a1＝1，{a n}的前n项和S n满足nS n+1＝（n+1）S n+n（n+1）（n≤r﹣1）．判断{a n}是不是“等和数列”，并证明你的结论．（3）{b n}是公比为q项数为m（m∈N*，m≥3）的等比数列{b n}，其中q≥2．判断{b n}是不是“等和数列”，并证明你的结论．三、【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换] 21．在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2＝0在矩阵A＝对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2＝0，求矩阵A．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数）．求直线l与曲线C交点P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数，且，求证：x+4y+9z≥10．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，且AC＝AD＝1，AB＝2，E为BD的中点．（1）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣CE﹣B的余弦值．25．在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kP n（k）＝n P n﹣1（k），并求出kP n（k）的值．参考答案一、填空题：共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．已知A＝{1，3，4}，B＝{3，4，5}，则A∩B＝{3，4}．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．解：∵A＝{1，3，4}，B＝{3，4，5}，∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}2．若复数z满足（1+2i）z＝﹣3+4i（i是虚数单位），则|z|＝．【分析】先利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，化简复数z到最简形式，再利用复数的模的定义求出|z|．解：因为复数z满足（1+2i）z＝﹣3+4i（i是虚数单位），∴z＝＝＝1+2i；∴|z|＝＝；故答案为：．3．执行如图所示的算法流程图，输出的S的值是7．【分析】这是一个递推问题，因为只需算到n＝3，所以可以逐项列举计算．解：n＝1时，S＝2×0+1＝1n＝2时，S＝2×1+1＝3n＝1时，S＝2×3+1＝7因为n≤3时停止循环．故S＝7．故答案为：74．若数据2，x，2，2的方差为0，则x＝2．【分析】由已知利用方差公式得到关于x的方程解之．解：因为数据2，x，2，2的方差为0，由其平均数为，得到＝0，解得x＝2；故答案为：2．5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有C52种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为3或6，可以列举出所有的事件共有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有C52＝10种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为3或6，可以列举出所有的事件：1，2；1，5；2，4，共有3种结果，根据古典概型概率公式得到P＝，故答案为：6．先把一个半径为5，弧长为6π的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的铁球融化为铁水倒入此圆锥内（假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗），正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥，则此球的半径为．【分析】由已知先求出圆锥的底面半径及高，求出圆锥的体积即为球的体积，然后根据球体积公式即可求解．解：由题意可知，圆锥的底面周长6π＝2π•OA，OA＝5，所以OA＝3，PO＝＝4，所以圆锥的体积V＝＝12π，设球的半径r，则＝12π，所以r＝．故答案为：7．若双曲线的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为6．【分析】由双曲线方程求得左焦点坐标，代入抛物线的准线方程求解p．解：由双曲线，得a2＝5，b2＝4，则，则双曲线的左焦点为（﹣3，0），抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，则，p＝6．故答案为：6．8．在△ABC所在的平面上有一点P，满足，则＝．【分析】由可得，则．即可求解＝﹣．解：由可得，则．＝||||cos∠APB，＝||||cos（π﹣∠APB）＝﹣2||||cos∠APB 则＝﹣．故答案为：﹣．9．已知直线y＝kx﹣2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为1+ln2．【分析】设切点为（x0，x0lnx0），对y＝xlnx求导数得y′＝lnx+1，从而得到切线的斜率k＝lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y＝（lnx0+1）x﹣x0，对照已知直线列出关于x0、k的方程组，解之即可得到实数k的值．解：设切点为（x0，x0lnx0），对y＝xlnx求导数，得y′＝lnx+1，∴切线的斜率k＝lnx0+1，故切线方程为y﹣x0lnx0＝（lnx0+1）（x﹣x0），整理得y＝（lnx0+1）x﹣x0，与直线y＝kx﹣2比较，得：，故k＝1+ln2，故答案为：1+ln2．10．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），直线y＝b与椭圆C交于A，B两点，若OA⊥OB，则椭圆离心率的值等于．【分析】直线与椭圆的方程联立求出A，B的坐标，由OA⊥OB可得＝0，求出a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出离心率．解：联立方程组可得＝，所以x＝a，所以A（﹣a，），B（，），因为OA⊥OB，所以＝0，所以﹣a a+（）2＝0，可得a2＝2b2，所以离心率e＝＝＝故答案为：11．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a12＝2，且当n≥2时，为S n和S n﹣1的等差中项，则S32的值为8【分析】运用等差数列的中项性质和等差数列的定义、通项公式可得S n2，进而得到S n，即可得到所求值．解：正项数列{a n}的前n项和为S n，a12＝2，且当n≥2时，为S n和S n﹣1的等差中项，可得S n+S n﹣1＝＝，即为S n2﹣S n﹣12＝2，可得{S n2}是首项、公差均为2的等差数列，即有S n2＝2n，由题意可得S n＝，n∈N*，则S32＝＝8，故答案为：8．12．设α，θ为锐角，tanθ＝a tanα（a＞1），若θ﹣α的最大值为，则实数a的值为．【分析】由题意利用两角和差的的三角公式解：tan（θ﹣α）＝＝＝＝，因为α，为锐角，所以（当且仅当时，取等号），因为a＞1，所以≤，所以tan（θ﹣α）最大值为，又因为θ﹣α的最大值为，所以tan＝，即2＝a﹣1，解得a＝3+2，故答案为：3+2．13．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4上两个动点，且AB＝2．若直线l：y＝﹣x上存在点P，使得+＝，则实数a的取值范围为．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4的圆心C（a，2），半径r＝2，求出圆心C到AB的距离为1，设P（x，﹣x），由向量等式可得AB的中点M的坐标，再由|CM|＝1列关于x的方程，由直线l上存在点P，使得+＝，利用判别式大于等于0求得实数a的取值范围．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（，），圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4的圆心C（a，2），半径r＝2，圆心C（a，2）到AB的距离|CM|＝，直线l：y＝﹣x上存在点P，使得+＝，设P（x，﹣x），则（x1﹣x，y1+x）+（x2﹣x，y2+x）＝（a，2），∴，得，即M（x+，﹣x+1），∴|CM|＝，整理，得2x2+（2﹣a）x+，∵直线l：y＝﹣x上存在点P，使得+＝，∴△＝≥0，解得．故答案为：．14．已知函数f（x）＝e x，若函数g（x）＝（x﹣2）2f（x）﹣+2a|x﹣2|有6个零点，则实数a的取值范围为．【分析】可以先对e x|x﹣2|整体换元，转化为一元二次方程首先有两个正根t1，t2，然后令，转化为y＝ti与y＝e x|x﹣2|各有三个交点的问题．解：对于g（x）＝0，令t＝|x﹣2|e x，∴t2+2at﹣a＝0①有两个正根t1，t2．做出t＝|x﹣2|e x的图象如右图：（∵，∴，∴x≥2时，t′＞0；1＜x＜2时，t′＜0；x＜1时，t′＞0．∴该函数在（﹣∞，1）递增，在（1，2）上递减，在（2，+∞）递增，且t＞0恒成立．且当y＝t i与t＝|x﹣2|e x各有三个交点时，满足题意，据图可知方程①在（0，e）上有两个不等实根时即可，令h（t）＝t2+2at﹣a，∴，解得．故答案为：．二、解答题：共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin（A﹣B）+sin C＝1．（1）求sin A cos B的值；（2）若a＝2b，求sin A的值．【分析】（1）利用三角形内角和定理与两角和与差的正弦公式，即可求出sin A cos B的值；（2）利用正弦定理把a＝2b化为sin A＝2sin B，再利用（1）的结论求出B的值，从而求出sin A的值．解：（1）△ABC中，A+B+C＝π，∴sin（A﹣B）+sin C＝sin（A﹣B）+sin（A+B）＝（sin A cos B﹣cos A sin B）+（sin A cos B+cos A sin B）＝2sin A cos B＝1，∴sin A cos B＝；（2）△ABC中，a＝2b，∴sin A＝2sin B，∴sin A cos B＝2sin B cos B＝sin2B＝，∴2B＝或2B＝，∴B＝或B＝；∴sin B＝或sin B＝，∴sin A＝2sin B＝或sin A＝2sin B＝（不合题意，舍去）．综上，sin A＝．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．【分析】（1）取AB的中点P，连结PM、PB1推导出四边形PMNB1是平行四边形，从而MN∥PB1，由此能证明MN∥平面ABB1A1．（2）推导出BB1⊥面A1B1C1，从而面ABB1A1⊥面A1B1C1推导出B1C1⊥B1A1，从而B1C1⊥面ABB1A1，进而B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B，连结AB1，推导出AB1⊥A1B，从而A1B ⊥面AB1N，由此能证明A1B⊥AN．【解答】证明：（1）取AB的中点P，连结PM、PB1，因为M、P分别是AB，AC的中点，所以PM∥BC且PM＝BC，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，BC＝B1C1，又因为N是B1C1的中点，所以PM∥B1N，且PM＝B1N．…所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MN∥PB1，…而MN⊄平面ABB1A1，PB1⊂平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1．…（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥面A1B1C1，又因为BB1⊂面ABB1A1，所以面ABB1A1⊥面A1B1C1，…又因为∠ABC＝90°，所以B1C1⊥B1A1，面ABB1A1∩面A1B1C1＝B1A1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以B1C1⊥面ABB1A1，…又因为A1B⊂面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B，连结AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，AB＝AA1，所以AB1⊥A1B，又因为NB1∩AB1＝B1，且AB1，NB1⊂面AB1N，所以A1B⊥面AB1N，…而AN⊂面AB1N，所以A1B⊥AN．…17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F （1，0），并且点在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为k（k为常数）的直线l与椭圆交于A，B两点，交x轴于点P（m，0），Q为直线x＝2上的任意一点，记QA，QB，QP的斜率分别为k1，k2，k0．若k1+k2＝2k0，求m的值．【分析】（1）根据焦点坐标可得c＝1，利用椭圆定义可得，结合a2＝b2+c2，解出b即可；（2）设直线l：y＝k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（2，y0），与椭圆方程联立，结合Q不在直线l上，可整理得到2x1x2﹣（2+m）（x1+x2）+4m＝0，利用根与系数关系，带入即可计算出m的值．解：（1）因为椭圆C的两个焦点为F1（﹣1，0）和F2（1，0），点在此椭圆上．所以，所以，所以椭圆方程为；（2）由已知直线l：y＝k（x﹣m），设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（2，y0），由得（1+2k2）x2﹣4mk2x+2k2m2﹣2＝0．所以．因为且k1+k2＝2k0，所以，整理得，因为点Q（2，y0）不在直线l上，所以2k﹣km﹣y0≠0，所以，整理得2x1x2﹣（2+m）（x1+x2）+4m＝0，将，代入上式解得m＝1，所以m＝1．18．（16分）如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为L．（1）①设∠ACO＝θ，求出L关于θ的函数关系式L（θ）；②设AB＝2x米，求出L 关于x的函数关系式L（x）．（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．【分析】（1）①根据正弦定理和解直角三角形即可求出L关于θ的函数关系式L（θ）；②利用三角形相似，即可得到x﹣20x＝20y，整理化简即可，（2）选择（1）中的第一个函数关系式，以L（θ）＝2AC＝，其中θ∈（0，），利用导数求出函数的最小值即可．解：（1）①在Rt△CDO中，∠ACO＝θ，所以CO＝，所以CG＝+20，在Rt△AGC中，AC＝＝＝，所以L（θ）＝2AC＝，其中θ∈（0，），②设AC＝y，则在Rt△AGC中，CG＝，由Rt△AGC和Rt△CDO相似可得＝，即＝，即x﹣20x＝20y，即x＝20（x+y）即x＝20，即x2（y﹣x）＝400（x+y），化简可得AC＝y＝，L（x）＝．其中x∈（20，+∞）；（2）选择（1）中的第一个函数关系式，以L（θ）＝2AC＝，其中θ∈（0，），在L′（θ）＝[cos2θsinθ﹣（1+sinθ）（cos2θ﹣sin2θ）]，＝（1+sinθ）[（1﹣sinθ）sinθ﹣（cos2θ﹣sin2θ）]，＝（1+sinθ）（sin2θ+sinθ﹣1），令L′（θ）＝0，解得sinθ＝，令sinθ0＝，当θ（0，θ0）时，L′（θ）＜0，函数L（θ）单调递减，当θ（θ0，）时，L′（θ）＞0，函数L（θ）单调递增，∴当sinθ＝时，L（θ）取得最小值，新建道路造价最少19．（16分）设f（x）＝ae x﹣a，g（x）＝ax﹣x2（a为与自变量x无关的正实数）．（1）证明：函数f（x）与g（x）的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线；（2）是否存在实数k，使得对任意的恒成立，若存在，求出k的取值范围，否则说明理由．【分析】（1）由f（0）＝g（0）＝0，及f'（0）＝g'（0）＝a，即可得证；（2）先假设存在，则k＜e x﹣xlnx﹣x对任意的恒成立，构造函数，接下来只需要利用导数判断函数h（x）在上是否存在最小值即可．解：（1）证明：因为f（0）＝ae0﹣a＝0，g（0）＝0，所以f（x）＝ae x﹣a，g（x）＝ax﹣x2的图象存在一个公共的定点O（0，0）．因为f'（x）＝ae x，g'（x）＝a﹣2x，所以f'（0）＝a，g'（0）＝a，所以在定点O（0，0）处有一条公切线，为直线y＝ax．（2）假设存在实数k，使得对任意的恒成立，即存在实数k使得k＜e x﹣xlnx﹣x对任意的恒成立．令，则，令，则，因为x＞0，e x＞0，且y＝x，y＝e x在上单调递增，所以y＝xe x在上单调递增，因为，所以存在唯一实数，使得，即m'（x0）＝0，且，所以h'（x）在x0处取得最小值＝，所以h（x）＝e x﹣xlnx﹣x在上单调递增，所以，因为k＜e x﹣xlnx﹣x对任意的恒成立，所以，所以存在使得对任意的恒成立．20．（16分）定义：对于一个项数为m（m≥2，m∈N*）的数列{a n}，若存在k∈N*且k＜m，使得数列{a n}的前k项和与剩下项的和相等（若仅为1项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”．例如：因为3＝2+1，所以数列3，2，1是“等和数列”．请解答以下问题：（1）判断数列2，﹣4，6，﹣8是否是“等和数列”，请说明理由；（2）已知等差数列{a n}共有r项（r≥3，且r为奇数），a1＝1，{a n}的前n项和S n满足nS n+1＝（n+1）S n+n（n+1）（n≤r﹣1）．判断{a n}是不是“等和数列”，并证明你的结论．（3）{b n}是公比为q项数为m（m∈N*，m≥3）的等比数列{b n}，其中q≥2．判断{b n}是不是“等和数列”，并证明你的结论．【分析】（1）四项数列举例即可．（2）由nS n+1＝（n+1）S n+n（n+1）构造数列{}，进而求出S n＝n2，再由“等和数列”的定义检验即可．（3）由等比数列与等和数列的公式和定义找出成立，即2q k ﹣1＝q m再由q，k，m的范围和大小关系判断即可．解：（1）∵2+（﹣4）＝6+（﹣8），∴数列2，﹣4，6，﹣8是“等和数列”．（2）由，两边除以n（n+1），得，即，所以，数列为等差数列且，，所以，，假设存在k使得数列{a n}的前k项和与剩下项的和相等，即S k＝S r﹣S k，所以2S k＝S r∴2k2＝r2*在*中，因为r为奇数，所以等式的右边一定是奇数；而等式的左边2k2一定是偶数，所以*不可能有解，从而假设错误，{a n}不是“等和数列”．（3）设B n为{b n}的前n项和，假设{b n}是“等和数列”，则存在k∈N*且k＜m，使得B k＝B m﹣B k成立，即2B k＝B m于是成立，即2q k﹣1＝q m因为q≥2，所以2q k﹣1＜2q k≤q k+1，又m＞k，即m≥k+1，所以q k+1≤q m，所以2q k﹣1＜q m，与2q k﹣1＝q m产生矛盾．所以假设不成立，即{b n}不是“等和数列”．三、【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换] 21．在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2＝0在矩阵A＝对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2＝0，求矩阵A．【分析】设直线上任意一点，算出其在变换下对应的点，代入直线方程，与直线对应，求出参数，可得．解：设P（x，y）是直线x+y﹣2＝0上任意一点，其在矩阵A＝对应的变换下得到，对应的点为（x+ay，bx+2y）仍在直线上，所以得x+ay+bx+2y﹣2＝0，与x+y﹣2＝0比较得，解得，故A＝．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数）．求直线l与曲线C交点P的直角坐标．【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和曲线的位置关系式的应用，建立方程组，进一步求出交点的坐标．解：直线l的极坐标方程为（ρ∈R），转换为直角坐标方程为．曲线C的参数方程为（α为参数），整理得，转换为直角坐标方程为x2＝2y．所以，整理得，解得x＝0或2，①当x＝0时，y＝0，②当x＝2时，y＝6，所以直线与曲线的交点的坐标为P（0，0）和P（2，6）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数，且，求证：x+4y+9z≥10．【分析】由x，y，z均为正数，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证；【解答】证明：因为x，y，z均为正数，所以x+1，y+1，z+1均为正数，由柯西不等式得，当且仅当（x+1）2＝4（y+1）2＝9（z+1）2时，等式成立．因为，所以，所以x+4y+9z≥10．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，且AC＝AD＝1，AB＝2，E为BD的中点．（1）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣CE﹣B的余弦值．【分析】以A为坐标原点，分别以AC，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（1）分别求出，的坐标，由两向量所成角的余弦值可得异面直线AE与BC所成角的余弦值；（2）分别求出平面AEC与平面BEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣CE﹣B的余弦值．解：如图，以A为坐标原点，分别以AC，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∵AC＝AD＝1，AB＝2，E为BD的中点，∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），E（0，1，），（1），，∵cos＜＞＝＝，∴异面直线AE与BC所成角的余弦值为；（2），．设平面AEC与平面BEC的一个法向量分别为，．由，取z1＝﹣2，可得；由，取z2＝﹣2，可得．∴cos＜＞＝＝．由图可知，二面角A﹣CE﹣B为钝二面角，∴二面角A﹣CE﹣B的余弦值为﹣．25．在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kP n（k）＝n P n﹣1（k），并求出kP n（k）的值．【分析】（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，即可得出；（2）类比（1）即可得出；（3）：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则，可得，利用，即可得出．【解答】（1）解：∵数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，∴P3（1）＝3；（2）解：＝；（3）证明：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k 个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则有，故，又∵，∴．令，则a n＝na n﹣1，且a1＝1．于是a2a3a4…a n﹣1a n＝2a1×3a2×4a3×…×na n﹣1，左右同除以a2a3a4…a n﹣1，得a n＝2×3×4×…×n＝n!∴．。
2020年高考江苏(专用)全真模拟 数学试题(附答案与全解全析)
2020年高考江苏（专用）全真模拟试题数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．定义一种集合运算(){|AB x x A B =∈⋃，且()}x A B ∉⋂}，设{}|22M x x =-<<，{}|13N x x =<<，则MN 所表示的集合是________.2．已知复数z 满足(1)13i z i +=+，则z =________.3．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28sin()a a +=________ 4．函数()f x =的定义域为_______. 5．已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.6．如图，在ABC V 中，若AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v，线段AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ma nb =+u u u v v v，则m n +=_____．7．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________.8．设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝x i －1(i ＝1，2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为______．9．在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，若其外接球的表面积为16π，则异面直线1BD 与1CC 所成的角的余弦值为__________．10．曲线()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距是_______. 11．定义在R 上的奇函数()f x ，若()1f x +为偶函数，且()12f -=，则()()1213f f +的值等于______.12．根据如图所示算法流程图，则输出S 的值是__．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，圆222:O x y a +=与双曲线的渐近线在第二象限相交于点M （O 为坐标原点），若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的离心率为______. 14．已知偶函数满足，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos sin 0b A a B -=. （1）求角A 的大小； （2）已知b =ABC ∆的面积为1，求边a .16．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，1PA AB ==，AD =，F 是PB 中点，点E在BC 边上．()f x []2(2)(),1,0()f x f x x f x x -=∈-=且当时，[]13-，()()()log 2a g x f x x =-+a（1）求三棱锥E PAD -的体积； （2）求证：AF PE ⊥；（3）若//EF 平面PAC ，试确定E 点的位置．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过定点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.18．已知函数()2ln 1f x x x kx =+--.（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，求证：()()210f x f x <<. 19．已知数列{}n a 中，11a =, 且()21232,1n n n na a n n n N n -*-=+≥∈-g . （1）求23,a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）令()13n n nb n N a -*=∈, 数列{}n b 的前n 项和为n S , 试比较2nS 与n 的大小；（3）令()11n n a c n N n *+=∈+, 数列()221n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T , 求证: 对任意n N *∈, 都有2n T <. 20．如图所示，某镇有一块空地OAB ∆，其中3OA km =，OB =，AOB 90∠=o 。
2020年江苏省高考数学模拟试卷(5)
22．（ 10 分） 在直角坐标系
xoy 中， 点
P（
0，﹣
1），曲线
??1：
{
??= ??=
?-1???+???????????（??t?为??参数），
其中 0≤α＜π，在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： ρ+ρcos2θ＝
8sinθ．
（Ⅰ）若
??=
??，求 4
C1 与
??= 6 ∴ a+b＝﹣ 2．
故答案为：﹣ 2．
2．（ 5 分）已知全集 U ＝ {1 ， 2， 3， 4} ，集合 A＝ {2 ， 3} ，集合 B＝ {1 ， 3} ，则 A∩（ ? UB） ＝ {2}
【解答】 解：∵全集 U＝ {1 ， 2， 3， 4} ，集合 A＝ {2 ， 3} ，集合 B＝ {1 ， 3} ，
﹣ ANC 与四棱锥 P﹣ ABCD 的体积的比值为
．
9．（ 5 分）已知点 P（ 2，2 √2）为抛物线 y2＝ 2px 上一点，那么点 P 到抛物线准线的距离是
．
10．（ 5 分）已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为
48π，则圆柱的
侧面积为
．
11．（ 5 分）设 [ x]表示不超过 x 的最大整数，如 [ π] ＝ 3，[ ﹣ 3.2] ＝﹣ 4，则 [ lg1]+[ lg2]+[ lg3]+ …
1 ．
4
【解答】 解：设平行四边形 ABCD 的面积为 2S，则三角形 ABC 的面积为 S；设四棱锥 P
﹣ ABCD 的高为 2h，则三棱锥 N﹣ ABC 的高为 h，
∵ N 为线段 PB 的中点，
2020年江苏省高考数学模拟试卷含答案解析
2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为．7．若函数是偶函数，则实数a的值为．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为．14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？2020年江苏省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=（﹣1，0] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中的一元二次不等式的解集，确定出集合B，由全集R，求出集合B的补集，求出集合A与集合B的补集的交集即可【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），∴C u B=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴A∩∁U B=（﹣1，0]，故答案为：（﹣1，0]．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．【考点】复数求模．【分析】根据复数与它的共轭复数的模相等，即可求出结果．【解答】解：复数，则z的共轭复数的模为||=|z|====．故答案为：．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【考点】等可能事件的概率．【分析】求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可求值得解．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，所以S=S=++…+=×（1﹣+﹣…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程和准线方程，由题意可得=，=，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，由题意可得=，=，又a2+b2=c2，解得a=2，b=，即有所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为﹣2．【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得a≤f（x）的最小值，运用单调性，可得f（0）取得最小值，即可得到a的范围，进而得到a的最大值．【解答】解：由，可得0≤x≤4，由f（x）=﹣，其中y=在[0，4]递增，y=﹣在[0，4]递增，可得f（x）在[0，4]递增，可得f（0）取得最小值﹣2，可得a≤﹣2，即a的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．7．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为20．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出底面中心到边的距离，棱锥的高，然后求解棱锥的体积．【解答】解：设正五棱锥高为h，底面正五边形的角为108°，底面正五边形中心到边距离为：tan54°，h=，则此正五棱锥体积为：×=20．故答案为：20．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，3）．【考点】分段函数的应用．【分析】判断f（x）在R上递增，由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解不等式即可得到所求解集．【解答】解：当x＜3时，f（x）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，即有f（x）递增；故f（x）在R上单调递增．由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解得或，即为1＜x≤或＜x＜3，即1＜x＜3．即有解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为[，1）．【考点】余弦定理．【分析】设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．由于⊥，可得•=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．利用函数的单调性即可得出．【解答】解：设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．∴•=（t﹣）•（﹣）=﹣t2+（+1）•﹣2．∵⊥，∴•=﹣t2+（+1）•﹣2=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，∴f（0）≤f（t）≤f（1），即：≤f（t）≤，即：≤cosA≤，∵A∈（0，π），∴cosA＜1，∴cosA的取值范围是：[，1）．故答案为：[，1）．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（0，1）∪[3，+∞）．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由题意作平面区域，从而结合图象可知y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，且当0＜a＜1时，一定成立；故答案为：（0，1）∪[3，+∞）．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是{a|a≤﹣4或a≥0} ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点⇔函数f（x）在（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（01，）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值⇔函数f（x）=x2+2x+alnx 在区间（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）内恒成立．由f′（x）=2x+2≥0在（0，1）内恒成立⇔a≥（﹣2x﹣2x2）max，x∈（0，1）．即a≥0，由f′（x）=2x+2≤0在（0，1）内恒成立⇔a≤（﹣2x﹣2x2）min，x∈（0，1）．即a≤﹣4，故答案为：a≤﹣4或a≥0．故答案为：{a|a≤﹣4或a≥0}．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为（2，4）．【考点】全称命题；特称命题．【分析】由①可得当x≤﹣1时，g（x）＜0，根据②可得g（1）=a（1﹣a+3）＞0，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：∵已知函数，根据①∀x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．由f（x）≥0，求得x≤﹣1，即当x≤﹣1时，g（x）＜0恒成立，故，解得：a＞2；根据②∃x∈（﹣1，1），使f（x）•g（x）＜0成立，∴g（1）=a（1﹣a+3）＞0，解得：0＜a＜4，综上可得：a∈（2，4），故答案为：（2，4）14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为64或65．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，则2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论后求得满足条件的正整数A的值．【解答】解：依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，∴2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：2t≤A＜2t+1，2t+d﹣3≤A＜2t+d﹣2，，故max{}≤A＜min{}，由以下关系：2t+d﹣3＜2t+1，，得d＜4，∵d为正整数，∴d=1，2，3．当d=1时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=2时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=3时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＞2t，适合题意．此时2t≤A＜，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．∵b3=10，∴4≤t≤7，∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．∵f（3）=27A，b3=10，∴210≤27A＜211，∴≤A＜．当t=4时，24≤A＜，∴无解．当t=5时，25≤A＜，∴无解．当t=6时，26≤A＜，∴64≤A＜．当t=7时，27≤A＜，∴无解．则26≤A＜．∵A∈N*，∴A=64或A=65．综上：A=64或65．故答案为：64或65．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）利用已知条件求出sin（）与cos（），然后利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．（2）求出正切函数的二倍角的值，利用两角和的正切函数化简求解即可．【解答】解：（1）角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，可得sin（）=，cos（）=，sin（2）=2sin（）cos（）==，cos（2）=2×=．=sin（2﹣）=sin（2）cos﹣sin cos（2）==．（2）∵，∴tan（2α+2β）===．sin（2）=，cos（2）=．tan（2）=．tan（2α+2β）=tan[（）+（2）]==，解得=．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，从而BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，得AC ⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．（2）由四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD与AB有交点P，从而直线l∩平面ABCD=P，由此得到直线l不能与平面ABCD平行．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊥PA，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）直线l不能与平面ABCD平行．理由如下：∵四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，∴CD与AB有交点P，∴P∈l，∴直线l∩平面ABCD=P，∴直线l不能与平面ABCD平行．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求轨迹方程；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理，点满足直线方程，再由过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，求得M，N的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到直线AM与直线BN斜率之和为定值0．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，即有•=﹣，化为+=1；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，可得（2+m2）y2+2my﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣，x1=my1+，x2=my2+，由题意可得，过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，解得M（﹣，），N（，﹣），可得k AM+k BN=+，通分后的分子=x2y1﹣x2﹣y1+x1y2+x1+y2+=2my1y2+（y1+y2）+（x1﹣x2）+（y2﹣y1）+=﹣﹣+（y1﹣y2）+（y2﹣y1）+=0．即有直线AM与直线BN斜率之和为定值0．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；（2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件；（3）求出圆锥内切球的半径，与0.5比较大小．【解答】解：（1）由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=3α，∴r=，∴圆锥的高h===．∴V==．（2）V==≤=2．当且仅当4π2﹣α2=即α=时，取等号．∴当α=时，体积V取得最大值．（3）当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r=．设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R，如图所示，则OD=R，CD=CE=，AC=3，∴AE=，AD=3﹣．由△AOD∽△ACE得，∴，解得R=3≈0.8．∵0.8＞0.5，∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比关系的确定．=1作差可知a n+1=3a n（n≥2），进而可知数列{a n}【分析】（1）通过S n+1﹣3S n=1与S n﹣3S n﹣1是首项为1、公比为3的等比数列；（2）通过（1）可知a n=3n﹣1、S n=（3n﹣1），假设存在满足题意的项a k，则3k﹣1=S r+t﹣S t，进而化简可知不存在r满足3r﹣x﹣=2，进而可得结论；（3）通过（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，通过化简可知q=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），利用当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0可知当p≥3时不满足题意，进而验证当p=2时是否满足题意即可．【解答】（1）证明：∵S n+1﹣3S n=1，=1，∴当n≥2时，S n﹣3S n﹣1两式相减得：a n+1=3a n，又∵S n+1﹣3S n=1，a1=1，∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3满足上式，∴数列{a n}是首项为1、公比为3的等比数列；（2）解：结论：不存在满足题意的项a k；理由如下：由（1）可知a n=3n﹣1，S n==（3n﹣1），假设数列{a n}中存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和，则3k﹣1=S r+t﹣S t=（3r+t﹣1）﹣（3t﹣1）=（3r+t﹣3t）=•3t（3r﹣1），于是（3r﹣1）=3x（其中x为大于1的自然数），整理得：3r﹣x﹣=2，显然r无解，故假设不成立，于是不存在满足题意的项a k；（3）解：结论：存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意；理由如下：由（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，则2b p=b1+b q，即2=+，整理得：2p•3q﹣p=3q﹣1+q，∴q=2p•3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），∵当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0，∴当p≥3时不满足题意，当p=2时，2=+即为：=+，整理得：=，解得：q=3，综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．【解答】解：（1）若ax＞lnx恒成立，则a＞，在x＞0时恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得1﹣lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，由h′（x）＜0得1﹣lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）==．即a＞．（2）设f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），则f′（x）=，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），则切线斜率k=，则过原点且与f（x）相切的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m）=x﹣1，即y=x﹣1+lnm，∵g（x）=ax，∴，得m=e，a=．即当a＞时，ax＞lnx恒成立．当a=时，当x0≥时，要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．当0＜a＜时，f（x）与g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．∴∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结OD、AD，证出△ADB≌△ODC，得到AB=CO，从而证出结论．【解答】证明：如图示：，连结OD、AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，AB=2AO，∵DC是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴△ADB≌△ODC，∴AB=CO，即2OA=OA+CA，∴CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：由得，即5≤x≤7，由平方得y2=x﹣5+7﹣x+2=2+2，∵5≤x≤7，∴当x=6时，函数y2=2+2取得最大值为y2=2+2=4，当x=5或7时，函数y2=2+2取得最小值为y2=2，即2≤y2≤4，则≤y≤2，即函数的最大值为2．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AP=AB=AD=2BC=2，则P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），=（2，1，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线PC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为．（2）=（2，0，﹣2），=（2，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（1，2，2），设钝二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣，∴θ=135°，∴钝二面角B﹣PC﹣D的大小为135°．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？【考点】归纳推理．【分析】（1）若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得a7，a10中一个为1，一个为0，进而得到答案；（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，且a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，进而得到答案．【解答】解：（1）若第二层的两个数为0或1，则a1=a2+a3，由a1为奇数，可得第二层的两个数有2种不同的取法；若第三层的三个数为0或1，则a1=a4+2a5+a6，由a1为奇数，可得第三层的三个数有4种不同的取法；若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得第四层的四个数有8种不同的取法；（2）根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，则a1=a56+2（a57+a58+…+a65）+a66，若a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，即a57，a58，…，a65中有2个1或2个0，则第十一层十一个数共有=144种不同取法．2020年8月12日。
2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷07(解析版)
直线 AB 的方程为____________．
答案：x＋y－3＝0
解析：设圆心为 C，由题知 kAB·kCP＝－1，又 kCP＝2－1＝1，∴ kAB＝－1，∴ 直线 AB 的方程为 y＝ 1－0
－(x－1)＋2，即 x＋y－3＝0.
11. 在△ABC 中，BC＝2，A＝2π，则A→B·A→C的最小值为________． 3
抛物线 y2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案： y＝± 3x 解析：由题设知a2＝1，又易知双曲线焦点在 x 轴上，且 a＝1，所以 b2＝c2－a2＝3，从而双曲线方程为
c2
x2－y2＝1，所以双曲线渐近线方程为 y＝± 3x. 3
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(m，1)到直线 4x－3y－1＝0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x＋y≥3 表示的平面区域内，则 m＝________． 答案：6 解析：由题知|4m－4|＝4，得 m＝6 或－4，∴ P(6，1)或 P(－4，1)．又 2x＋y≥3，∴ m＝6. 5
11
＝
a
[π
－ 1 x4＋4x3－12x2 25 3
＋12×104]，(10
分)
11
令 f(x)＝－ 1 x4＋4x3－12x2，则 25 3
f′(x)＝－
4
x3＋4x2－24x＝－4x
1 x2－x＋6 25
.
25
由 f′(x)＝0，解得 x＝0(舍去)或 x＝10 或 x＝15，(12 分)
列表如下：
a
a
14. 已知等比数列{an}的首项为4，公比为－1，其前 n 项和为 Sn，若 A≤Sn－ 1 ≤B 对 n∈N*恒成立，则 B
【2020年数学高考】江苏省苏州市2020届高三第一次模拟考试 数学.doc
2020届高三年级第一次模拟考试(五)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知i 为虚数单位，复数z ＝32－32i 的模为________． 2. 已知集合A ＝{1，2a}，B ＝{－1，1，4}，且A ⊆B ，则正整数a ＝________．3. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y2＝－8x 的焦点坐标为________．4. 苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为________．5. 已知4a ＝2，logax ＝2a ，则正实数x ＝________．6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．下面的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n ，x 的值分别为3，3，则输出v 的值为________．(第6题) (第9题) 7. 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，x ＋y≥0，x －y ＋3≤0，则z ＝2x －3y 的最大值为________．8. 已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，且S6S3＝－198，a4－a2＝－158，则a3的值为________． 9. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)10. 如图，两座建筑物AB ，CD 的高度分别是9 m 和15 m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角∠CAD ＝45°，则这两座建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD ＝________m.(第10题) (第13题)11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A(2，－1)的圆C 和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的标准方程为________．12. 已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝1，1a ＋b ＋1c＝1，则c 的取值范围是________． 13. 如图，△ABC 为等腰三角形，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝4，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 与点E ，F ，P 是劣弧EF ︵上的一点，则PB →·PC →的取值范围是________．14. 已知直线y ＝a 分别与直线y ＝2x －2，曲线y ＝2ex ＋x 交于点A ，B ，则线段AB 长度的最小值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝(3cosx ＋sinx)2－23sin2x.(1) 求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x 的取值集合；(2) 若x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，求函数f(x)的单调增区间．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E ，F ，G ，H 分别是A1D1，B1C1，D1D ，C1C 的中点．求证：(1) EF ∥平面ABHG ；(2) 平面ABHG ⊥平面CFED.17. (本小题满分14分)如图，B ，C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B ，C 之间的距离为100km ，海岛A 在城市B 的正东方向50 km 处．从海岛A 到城市C ，先乘船按北偏西θ角(α<θ≤π2，其中锐角α的正切值为12)航行到海滨公路P 处登陆，再换乘汽车到城市C.已知船速为25 km/h ，车速为75 km/h.(1) 试建立由A 经P 到C 所用时间与θ的函数解析式；(2) 试确定登陆点P 的位置，使所用时间最少，并说明理由．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M(0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．已知各项是正数的数列{an}的前n 项和为Sn.(1) 若Sn ＋Sn －1＝a2n ＋23(n ∈N*，n ≥2)，且a1＝2. ①求数列{an}的通项公式；②若Sn ≤λ·2n ＋1对任意n ∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；(2) 数列{an}是公比为q(q>0，q ≠1)的等比数列，且{an}的前n 项积为10Tn.若存在正整数k ，对任意n ∈N*，使得T （k ＋1）n Tkn为定值，求首项a1的值．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －ax ， x ≥0. (1) 当a ＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2) 若方程f(－x)＋f(x)＝ex －3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围；(3) 若存在实数m ，n ∈[0，2]，且|m －n|≥1，使得f(m)＝f(n)，求证：1≤a e －1≤e.2020届高三年级第一次模拟考试(三)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB ，AC 与圆O 分别切于点B ，C ，P 为圆O 上异于点B ，C 的任意一点，PD ⊥AB ，垂足为D ，PE ⊥AC ，垂足为E ，PF ⊥BC ，垂足为F.求证：PF2＝PD·PE.B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，求M4β.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin2θ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知a ，b ，c ∈R ，a2＋b2＋c2＝1，若|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c)2对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，其交线为AB ，且AB ＝BP ＝2，AD ＝AE ＝1，AE ⊥AB ，且AE ∥BP.(1) 求平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角的余弦值；(2) 线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．23. (本小题满分10分)在正整数集上定义函数y ＝f(n)，满足f(n)[f(n ＋1)＋1]＝2[2－f(n ＋1)]，且f(1)＝2.(1) 求证：f(3)－f(2)＝910； (2) 是否存在实数a ，b ，使f(n)＝1a ⎝⎛⎭⎫－32n －b ＋1，对任意正整数n 恒成立，并证明你的结论．2020届苏州高三年级第一次模拟考试数学参考答案 1. 3 2. 2 3. (－2，0) 4. 110 5. 12 6. 48 7. －9 8. 949. 30π 10. 18 11. (x －1)2＋(y ＋2)2＝2 12. ⎝⎛⎦⎤1，4313. [－11，－9] 14. 3＋ln2215. 解析：(1) f(x)＝(3cosx ＋sinx)2－23sin2x＝3cos2x ＋23sinxcosx ＋sin2x －23sin2x＝3（1＋cos2x ）2＋1－cos2x 2－3sin2x(2分) ＝cos2x －3sin2x ＋2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2.(4分) 当2x ＋π3＝2k π＋π，即x ＝k π＋π3(k ∈Z)时，f(x)取得最小值0, 此时自变量x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π3，k ∈Z .(7分) (2) 由(1)知f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2. 令π＋2k π≤2x ＋π3≤2π＋2k π(k ∈Z)，(8分) 解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z)，(10分) 又x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，令k ＝－1，x ∈[－π2，－π6]，令k ＝0，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2， 所以函数f(x)在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调增区间是⎣⎡⎦⎤－π2，－π6和⎣⎡⎦⎤π3，π2.(14分) 16. 解析：(1) 因为E ，F 是A1D1，B1C1的中点，所以EF ∥A1B1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1∥AB ，所以EF ∥AB.(3分)又EF ⊄平面ABHG ，AB ⊂平面ABHG ，所以EF ∥平面ABHG.(6分)(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD ⊥平面BB1C1C ，又BH ⊂平面BB1C1C ，所以BH ⊥CD.(8分)设BH∩CF ＝P ，易知△BCH ≌△CC1F ，所以∠HBC ＝∠FCC1.因为∠HBC ＋∠PHC ＝90°，所以∠FCC1＋∠PHC ＝90°.所以∠HPC ＝90°，即BH ⊥CF.(11分)又DC∩CF ＝C ，DC ，CF ⊂平面CFED ，所以BH ⊥平面CFED.又BH ⊂平面ABHG ，所以平面ABHG ⊥平面CFED.(14分)17. 解析：(1) 由题意，轮船航行的方位角为θ，所以∠BAP ＝90°－θ，AB ＝50，则AP ＝50cos （90°－θ）＝50sin θ，BP ＝50tan(90°－θ)＝50sin （90°－θ）cos （90°－θ）＝50cos θsin θ， 所以PC ＝100－BP ＝100－50cos θsin θ.(4分) 由A 到P 所用的时间为t1＝AP 25＝2sin θ， 由P 到C 所用的时间为t2＝100－50cos θsin θ75＝43－2cos θ3sin θ，(6分) 所以由A 经P 到C 所用时间与θ的函数关系为f (θ)＝t1＋t2＝2sin θ＋43－2cos θ3sin θ＝6－2cos θ3sin θ＋43，(8分) 函数f(θ)的定义域为⎝⎛⎦⎤α，π2，其中锐角α的正切值为12. (2) 由(1)知f(θ)＝6－2cos θ3sin θ＋43，θ∈⎝⎛⎦⎤α，π2， 所以f′(θ)＝6（1－3cos θ）9sin2θ. 令f′(θ)＝0，解得cos θ＝13.(10分) 设θ0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使cos θ0＝13. 当θ变化时，f ′(θ)，f (θ)的变化情况如下表：(12分)所以当θ＝θ0时函数f(θ)取得最小值，此时BP ＝50cos θ0sin θ0＝2522≈17.68(km)． 故在BC 上选择距离B 为17.68km 处为登陆点，所用时间最少．(14分)18. 解析：(1) 由题意知c a ＝22，所以a ＝2c.(1分) 又椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)，所以a －c ＝32－3，(2分) 解得c ＝3，a ＝32，所以b2＝a2－c2＝9，(4分)所以椭圆C 的标准方程为x218＋y29＝1.(6分) (2) 当直线l 的斜率为0时，令y ＝－1，则x ＝±4，此时以AB 为直径的圆的方程为x2＋(y ＋1)2＝16；(7分)当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为x2＋y2＝9.(8分)联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋（y ＋1）2＝16，x2＋y2＝9，解得x ＝0，y ＝3，即两圆过点T(0，3)．猜想：以AB 为直径的圆恒过定点T(0，3)．(9分) 对一般情况证明如下：设过点M(0，－1)的直线l 的方程为y ＝kx －1，与椭圆C 交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x2＋2y2＝18， 消去y ，整理得(1＋2k2)x2－4kx －16＝0， 所以x1＋x2＝4k 1＋2k2，x1x2＝－161＋2k2.(12分) 因为TA →·TB →＝(x1，y1－3)·(x2，y2－3)＝x1x2＋y1y2－3(y1＋y2)＋9＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1)－3(kx1－1＋kx2－1)＋9＝(k2＋1)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝－16（k2＋1）1＋2k2－16k21＋2k2＋16＝－16（1＋2k2）1＋2k2＋16＝0，所以TA ⊥TB.所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0，3)．(16分) 19. 解析：(1) ①当n≥2时，Sn ＋Sn －1＝a2n ＋23，所以Sn ＋1＋Sn ＝a2n ＋1＋23，两式相减得an ＋1＋an ＝13(a2n ＋1－a2n )，即an ＋1－an ＝3，n ≥2；(2分)当n ＝2时，S2＋S1＝a22＋23，即a22－3a2－10＝0，解得a2＝5或a2＝－2(舍)，所以a2－a1＝3，即数列{}an 为等差数列，且首项a1＝2， 所以数列{}an 的通项公式为an ＝3n －1.(5分) ②由①知an ＝3n －1，所以Sn ＝n （3n －1＋2）2＝3n2＋n2.由题意可得λ≥Sn2n ＋1＝3n2＋n 2n ＋2对一切n ∈N*恒成立，记cn ＝3n2＋n 2n ＋2，则cn －1＝3（n －1）2＋（n －1）2n ＋1，n ≥2，所以cn －cn －1＝－3n2＋11n －42n ＋2，n ≥2.(8分)当n>4时，cn<cn －1；当n ＝4时，c4＝1316，且c3＝1516，c2＝78，c1＝12，所以当n ＝3时，cn ＝3n2＋n 2n ＋2取得最大值1516，所以实数λ的取值范围为⎣⎡⎭⎫1516，＋∞.(11分)(2) 由题意，设an ＝a1qn －1(q>0，q ≠1)，a1·a2·…·an ＝10Tn ，两边取常用对数，得 Tn ＝lga1＋lga2＋…＋lgan.令bn ＝lgan ＝nlgq ＋lga1－lgq ，则数列{}bn 是以lga1为首项，lgq 为公差的等差数列．(13分)若T （k ＋1）n Tkn 为定值，令T （k ＋1）nTkn ＝μ，则（k ＋1）nlga1＋（k ＋1）n[（k ＋1）n －1]2lgqknlga1＋kn （kn －1）2lgq＝μ，即{[(k ＋1)2－μk 2]lgq}n ＋[(k ＋1)－μk]·⎝⎛⎭⎫lg a21q ＝0对n ∈N*恒成立， 因为q>0，q ≠1，所以问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧（k ＋1）2－μk 2＝0，（k ＋1）－μk ＝0或a21＝q.将k ＋1k＝μ代入(k ＋1)－μk ＝0，解得μ＝0或μ＝1. 因为k ∈N*，所以μ>0，μ≠1，所以a21＝q. 又an>0，所以a1＝q.(16分)20. 解析：(1) 当a ＝－2时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －2x ， x ≥0，当x<0时，f(x)＝－x3＋x2，f ′(x)＝－3x2＋2x ＝－x(3x －2)， 令f′(x)＝0，解得x ＝0或x ＝23(舍)，所以当x<0时，f ′(x)<0,所以函数f(x)在区间(－∞，0)上为减函数；(2分) 当x≥0时，f(x)＝ex －2x ，f ′(x)＝ex －2， 令f′(x)＝0，解得x ＝ln2，所以当0<x<ln2时，f ′(x)<0；当x>ln2时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在区间(0，ln2)上为减函数，在区间(ln2，＋∞)上为增函数，且f(0)＝1>0.(4分) 综上，函数f(x)的单调减区间为(－∞，0)和(0，ln2)，单调增区间为(ln2，＋∞)．(5分) (2) 设x>0，则－x<0，所以f(－x)＋f(x)＝x3＋x2＋ex －ax.由题意，x3＋x2＋ex －ax ＝ex －3在区间(0，＋∞)上有解，等价于a ＝x2＋x ＋3x 在区间(0，＋∞)上有解．(6分)记g(x)＝x2＋x ＋3x(x>0)，则g′(x)＝2x ＋1－3x2＝2x3＋x2－3x2＝（x －1）（2x2＋3x ＋3）x2，(7分)令g′(x)＝0，因为x>0，所以2x2＋3x ＋3>0，故解得x ＝1.当x ∈(0，1)时，g ′(x)<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)>0，所以函数g(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增， 故函数g(x)在x ＝1处取得最小值g(1)＝5.(9分)要使方程a ＝g(x)在区间(0，＋∞)上有解，当且仅当a≥g(x)min ＝g(1)＝5， 综上，满足题意的实数a 的取值范围为[5，＋∞)．(10分) (3) 由题意知f′(x)＝ex －a.当a≤0时，f ′(x)>0，此时函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，由f(m)＝f(n)，可得m ＝n ，与条件|m －n|≥1矛盾，所以a>0.(11分) 令f′(x)＝0，解得x ＝lna.当x ∈(0，lna)时，f ′(x)<0；当x ∈(lna ，＋∞)时，f ′(x)>0， 所以函数f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna ，＋∞)上单调递增． 若存在m ，n ∈[0，2]，f(m)＝f(n)，则lna 介于m ，n 之间，(12分) 不妨设0≤m<lna<n ≤2.因为f(x)在(m ，lna)上单调递减，在(lna ，n)上单调递增，且f(m)＝f(n)， 所以当m≤x≤n 时，f (x)≤f(m)＝f(n)，由0≤m<n≤2，|m －n|≥1，可得1∈[m ，n]， 所以f(1)≤f(m)＝f(n)．又f(x)在(m ，lna)上单调递减，且0≤m<lna ，所以f(m)≤f(0)， 所以f(1)≤f(0)．同理f(1)≤f(2)，(14分)即⎩⎪⎨⎪⎧e －a≤1，e －a≤e2－2a ，解得e －1≤a≤e2－e ， 所以1≤a e －1≤e.(16分)21. A ．解析：连结PB ，PC.因为∠PCF ，∠PBD 分别为同弧BP 上的圆周角和弦切角， 所以∠PCF ＝∠PBD.(2分) 因为PD ⊥BD ，PF ⊥FC ， 所以△PDB ∽△PFC ，所以PD PF ＝PBPC.(5分) 同理∠PBF ＝∠PCE. 又PE ⊥EC ，PF ⊥FB ，所以△PFB ∽△PEC ，所以PF PE ＝PBPC .(8分)所以PD PF ＝PFPE ，即PF2＝PD·PE.(10分)B. 解析：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.(2分)令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，所以属于λ1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于λ2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(5分)令β＝mα1＋nα2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤17＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，m －n ＝7，解得m ＝4，n ＝－3.(7分)所以M4β＝M4(4α1－3α2)＝4(M4α1)－3(M4α2)＝4(λ41α1)－3(λ42α2)＝4×34⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤321327.(10分)C. 解析：由题意知曲线C 的直角坐标方程是y2＝2x ，(2分) 直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(4分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝x －4，解得A(2，－2)，B(8，4)，所以AB ＝62，(7分)因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|2＝22，所以S △AOB ＝12×62×22＝12.(10分)D. 解析：因为a ，b ，c ∈R ，a2＋b2＋c2＝1， 所以由柯西不等式得(a －b ＋c)2≤(a2＋b2＋c2)·(1＋1＋1)＝3.(4分)因为|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c)2对一切实数a ，b ，c 恒成立，所以|x －1|＋|x ＋1|≥3.当x<－1时，－2x≥3，即x≤－32；当－1≤x≤1时，2≥3不成立；当x>1时，2x ≥3，即x≥32.综上所述，实数x 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(10分) 22. 解析：(1) 因为平面ABCD ⊥平面ABEP ，平面ABCD∩平面ABEP ＝AB ，BP ⊥AB ，所以BP ⊥平面ABCD.又AB ⊥BC ，所以直线BA ，BP ，BC 两两垂直， 以B 为原点，分别以BA ，BP ，BC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则P(0，2，0)，B(0，0，0)，D(2，0，1)，E(2，1，0)，C(0，0，1)．因为BC ⊥平面ABPE ，所以BC →＝(0，0，1)为平面ABPE 的一个法向量．(2分) PD →＝(2，－2，1)，CD →＝(2，0，0)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n·CD →＝0，n·PD →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0，2x －2y ＋z ＝0，令y ＝1，则z ＝2，故n ＝(0，1，2)．(4分)设平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角为θ，则cos θ＝n·BC →|n|·|BC →|＝21×5＝255，显然0<θ<π2，所以平面PCD 与平面ABPE 所成二面角的余弦值为255.(6分)(2) 设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25.设PN →＝λPD →＝(2λ，－2λ，λ)(0≤λ≤1)，BN →＝BP →＋PN →＝(2λ，2－2λ，λ)．(7分) 由(1)知平面PCD 的一个法向量为n ＝(0，1，2)， 所以cos 〈BN →，n 〉＝BN →·n |BN →|·|n|＝25×9λ2－8λ＋4＝25，即9λ2－8λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－19(舍去)．(9分)当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25.(10分)23. 解析：(1) 因为f(n)[f(n ＋1)＋1]＝2[2－f(n ＋1)]，所以f(n ＋1)＝4－f （n ）f （n ）＋2.由f(1)＝2，代入得f(2)＝4－22＋2＝12，f(3)＝4－1212＋2＝75，所以f(3)－f(2)＝75－12＝910.(2分)(2) 由f(1)＝2，f(2)＝12，可得a ＝－45，b ＝15.(3分)以下用数学归纳法证明： 存在实数a ＝－45，b ＝15，使f(n)＝1－45⎝⎛⎭⎫－32n －15＋1成立．①当n ＝1时，显然成立；(4分)②当n ＝k 时，假设存在a ＝－45，b ＝15，使得f(k)＝1－45⎝⎛⎭⎫－32k －15＋1成立，(5分)那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝4－f（k）f（k）＋2＝4－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－45⎝⎛⎭⎫－32k－15＋11－45⎝⎛⎭⎫－32k－15＋1＋2＝125⎝⎛⎭⎫－32k＋85125⎝⎛⎭⎫－32k－25＝1＋165⎝⎛⎭⎫－32k－15＝1－45⎝⎛⎭⎫－32k＋1－15＋1，即当n＝k＋1时，存在a＝－45，b＝15，使得f(k＋1)＝1－45⎝⎛⎭⎫－32k＋1－15＋1成立．(9分)由①②可知，存在实数a＝－45，b＝15，使f(n)＝1a⎝⎛⎭⎫－32n－b＋1对任意正整数n恒成立．(10分)。
江苏省苏州市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷含解析
江苏省苏州市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1- B ．1C ．i -D ．i【答案】A 【解析】 【分析】由虚数单位i 的运算性质可得1z i =-，则答案可求. 【详解】 解：∵41i =，∴202045051i i ⨯==，201945043i i i ⨯+==-， 则202020191z i i ⋅=+化为1z i =-， ∴z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查了虚数单位i 的运算性质、复数的概念，属于基础题.2．已知关于x sin 2x x m π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,1【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6y x π=+，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 【详解】cos x x m +=，2sin()6m x π=+，作出2sin()6y x π=+的图象，又由12x x π-≥易知01m ≤<． 故选：C. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题. 3．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（ ） A ．4πB ．38π C ．2π D ．58π 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得平移后的函数()sin 224g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据sin 22sin 244x x ππϕ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求ϕ的最小值. 【详解】根据题意，()f x 的图象向左平移ϕ个单位后，所得图象对应的函数()sin 2()sin(22)sin(2)444g x x x x πππϕϕ⎡⎤=+-=+-=+⎢⎥⎣⎦，所以22,44k k Z ππϕπ-=+∈，所以,4k k Z πϕπ=+∈．又0ϕ>，所以ϕ的最小值为4π． 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC ，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A．210B．2613C．1313D．1310【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1A E与AF所成角的余弦值.【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设AB的中点为O，建立空间直角坐标系如下图所示.所以()()()()10,2,8,0,2,4,0,2,0,23,0,6A E A F---，所以()()10,4,4,23,2,6A E AF=-=-u u u r u u u r.所以异面直线1A E与AF所成角的余弦值为118242642213A E AFA E AF⋅-==⨯⋅u u u r u u u ru u u r u u u r.故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.5．已知双曲线2222:1(0,0)x ya ba bΓ-=>>的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．173B ．32C ．53D ．102【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故10e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】C【解析】 【分析】由M N M ⋂=得出M N ⊆，利用集合的包含关系可得出实数a 的取值范围. 【详解】{}12M x x =<≤Q ，{}N x x a =<且M N M ⋂=，M N ∴⊆，2a ∴>.因此，实数a 的取值范围是()2,+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 7．已知i 是虚数单位，若1zi i=-，则||z =（ ）A B ．2C D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 直接将1zi i=-两边同时乘以1i -求出复数z ，再求其模即可. 【详解】 解：将1zi i=-两边同时乘以1i -，得 ()11z i i i =-=+z =故选：A 【点睛】考查复数的运算及其模的求法，是基础题.8．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-， B ．[42]-， C ．[0]2， D ．2[3]e -，【答案】B 【解析】 【分析】由题意，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域，求解即得解. 【详解】 由题意可知，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域， 当[2,1),[4,0)t S ∈-∈-； 当2[1,],[0,2]t e S ∈∈综上：[]42S ∈-，. 故选：B 【点睛】本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 9．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图程序运算即可得. 【详解】 依程序运算可得：4602520460603460604046040，，，；，，，；，，，；r i m n r i m n r i m n ============205402006，，，；，r i m n r i ======，故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程.10．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===o 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u v u u u v的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A 【解析】【分析】 【详解】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD V 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅u u u v u u u v分拆，设(01)DE tDC t =≤≤u u u v u u u v，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。
【精品高考数学】[2020年江苏高考仿真模拟卷-数学]+答案
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2020年江苏高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟一、填空题1．（5分）已知集合M ＝{x |x ＞2}，集合N ＝{x |x ≤1}，则M ∪N ＝__________． 2．（5分）已知复数z 满足z +2z =6+i ，则z 的实部为__________．3．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是__________． 4．（5分）函数f （x ）＝lg （4x ﹣2x +1）的定义域为__________．5．（5分）将100粒大小一样的豆子随机撒入图中长3cm ，宽2cm 的长方形内，恰有30粒豆子落在阴影区域内，则阴影区域的面积约为__________cm 26．（5分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为__________．7．（5分）已知双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，则双曲线的离心率为__________．8．（5分）公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，则S 9的值为__________．9．（5分）下面四个命题：其中所有正确命题的序号是__________． ①函数y ＝sin|x |的最小正周期为π；②在△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则△ABC 一定是钝角三角形； ③函数y ＝2+log a （x ﹣2）（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（3，2）；④若命题“∃x ∈R ，x 2+x +a ＜0”是假命题，则实数a 的取值范围为[14，+∞)；⑤y ＝cos x ﹣sin x 的图象向左平移π4个单位，所得图象关于y 轴对称．10．（5分）四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，若∠SAB ∈[π3，2π3]，则四棱锥S ﹣ABCD 的体积的取值范围为__________．11．（5分）若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为__________． 12．（5分）设关于x 的不等式ax +b ＞0的解集为{x |x ＜2}，则关于x 的不等式ax+bx −5x−6≥0的解集为__________．13．（5分）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝3，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且DN →•ME →=−1，则cos A ＝__________．14．（5分）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2.1，2]，其图象如图所示，且f （﹣2.1）＝﹣0.96． （1）若函数y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，则k ＝__________．（2）已知函数g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，y ＝g [f （x ）]有__________个不同的零点．二、解答题15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别是AD，PB的中点．（1）求证：PE⊥CD；（2）求证：EF∥平面PCD；（3）求证：平面P AB⊥平面PCD．16．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2＝2a2﹣2，a3＝a4﹣2a2．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4；数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．17．（14分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强．现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统．设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为p（0＜p ＜1），且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立．（Ⅰ）当p=12时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（Ⅱ）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元．现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由．18．（16分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1、F 2，左右顶点分别为A 、B ，上顶点为T ，且△TF 1F 2为等边三角形． （1）求此椭圆的离心率e ；（2）若直线y ＝kx +m （k ＞0）与椭圆交与C 、D 两点（点D 在x 轴上方），且与线段F 1F 2及椭圆短轴分别交于点M 、N （其中M 、N 不重合），且|CM |＝|DN |． ①求k 的值；②设AD 、BC 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1k 2的取值范围．19．（16分）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=12•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2，g （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1）．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）求函数g （x ）的单调区间；（3）给出定义：若s ，t ，r 满足|s ﹣r |＜|t ﹣r |，则称s 比t 更接近于r ，当x ≥1时，试比较ex和e x﹣1+3哪个更接近Inx ，并说明理由．20．（16分）设数列{a n }，{b n }，{c n }的前n 项和分别为A n ，B n ，∁n ，且对任意的都有A n ＝B n +∁n ，已知A n =n2（a n +1）（n ∈N *），数列{b n }和{c n }是公差不为0的等差数列，且各项均为非负整数． （1）求证：数列{a n }是等差数列；（2）若数列{a n }的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，求所有满足条件的数列{a n }； （3）若a 2＝4，且B n ＞∁n ，n ∈N *，求数列{b n }，{c n }的通项公式．21．（10分）已知a ，b ∈R ，向量α→=[−12]是矩阵A =[a 1−1b ]的属于特征值﹣1的一个特征向量．（1）求a ，b 的值；（2）若曲线C 1：x ﹣2y +3＝0在矩阵A 对应变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．23．（选做题）已知a ，b ，c ∈（0，+∞），且1a+2b+3c=2，求a +2b +3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．24．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD =12AB ＝1，点E 、M 分别在线段AB 、PC 上，且AE AB=PM PC=λ，其中0＜λ＜1，连接CE ，延长CE 与DA 的延长线交于点F ，连接PE ，PF ，ME ． （Ⅰ）求证：ME ∥平面PFD ；（Ⅱ）若λ=12时，求二面角A ﹣PE ﹣F 的正弦值；（Ⅲ）若直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值为√55时，求λ值．25．（10分）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出奇数点，则棋子向前跳动一站；若掷出偶数点，则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）．（1）求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；（2）求证：{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率．2020年江苏高考仿真模拟卷数学2020.4满分：150分考试时间：120分钟一、填空题1．（5分）已知集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，则M∪N＝__________．【解析】∵M＝{x|x＞2}，N＝{x|x≤1}，∴M∪N＝{x|x≤1或x＞2}．故答案为：{x|x≤1或x＞2}．2．（5分）已知复数z满足z+2z=6+i，则z的实部为__________．【解析】设z＝a+bi，（a，b∈R）．∵复数z满足z+2z=6+i，∴3a﹣bi＝6+i，可得：3a＝6，﹣b＝1，解得a＝2，b＝1．则z的实部为2．故答案为：2．3．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是__________．【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：x=15×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）＝5.2，∴该组数据的方差为：S2=15×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]＝0.1．故答案为：0.1．4．（5分）函数f（x）＝lg（4x﹣2x+1）的定义域为__________．【解析】函数f（x）＝lg（4x﹣2x+1），令4x﹣2x+1＞0，即（2x）2﹣2•2x＞0，解得2x＞2，即x＞1，所以f（x）的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．5．（5分）将100粒大小一样的豆子随机撒入图中长3cm，宽2cm的长方形内，恰有30粒豆子落在阴影区域内，则阴影区域的面积约为__________cm2【解析】设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，30100=x2×3，解得x＝1.8．故答案为：1.8．6．（5分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为__________．【解析】模拟执行伪代码，可得：S ＝0+11×2+12×3+⋯+110×11=（1−12）+（12−13）+…+（110−111）＝1−111=1011．故答案为：1011．7．（5分）已知双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，则双曲线的离心率为__________． 【解析】双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，所以双曲线的渐近线的倾斜角为30°和150°，所以√3=√33，所以b ＝1，所以双曲线的离心率为：e =ca =3=2√33． 故答案为：2√33． 8．（5分）公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，则S 9的值为__________．【解析】公差d 不为零的等差数列{a n }，若a 3是a 2与a 6的等比中项， 可得a 2a 6＝a 32，即（a 1+d ）（a 1+5d ）＝（a 1+2d ）2，化为d ＝﹣2a 1，又S 3＝3，可得3a 1+3d ＝3，解得a 1＝﹣1，d ＝2，则S 9＝9a 1+36d ＝﹣9+72＝63， 故答案为：63．9．（5分）下面四个命题：其中所有正确命题的序号是__________． ①函数y ＝sin|x |的最小正周期为π；②在△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则△ABC 一定是钝角三角形； ③函数y ＝2+log a （x ﹣2）（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（3，2）；④若命题“∃x ∈R ，x 2+x +a ＜0”是假命题，则实数a 的取值范围为[14，+∞)； ⑤y ＝cos x ﹣sin x 的图象向左平移π4个单位，所得图象关于y 轴对称．【解析】对于①，函数y ＝sin|x |={sinx ，x ≥0−sinx ，x ＜0，该函数不是周期函数，①错误；对于②，△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则∠ABC 的外角是锐角， 所以∠ABC 是钝角，△ABC 是钝角三角形，②正确； 对于③，令x ﹣2＝1，解得x ＝3，此时y ＝2+log a 1＝2；所以函数y ＝2+log a （x ﹣2）（a ＞0且a ≠1）的图象必过点（3，2），③正确； 对于④，命题“∃x ∈R ，x 2+x +a ＜0”是假命题时，它的否命题“∀x ∈R ，x 2+x +a ≥0”是真命题，所以△＝1﹣4a ≤0，解得a ≥14， 所以实数a 的取值范围是[14，+∞），④正确；对于⑤，y ＝cos x ﹣sin x =√2cos （x +π4），y 的图象向左平移π4个单位，得y =√2cos （x +π2）=−√2sin x 的图象，所得图象不关于y 轴对称，⑤错误． 综上知，正确的命题序号是②③④． 故答案为：②③④．10．（5分）四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，若∠SAB ∈[π3，2π3]，则四棱锥S ﹣ABCD 的体积的取值范围为__________．【解析】如图，分别取AD 与BC 的中点M 、N ，连接MS ，MN ． 由题意知AD ⊥平面SMN ，作SO ⊥MN ，垂足为O ．则SO ⊥AD ． 由AD ∩MN ＝M ，∴SO ⊥平面ABCD ，即四棱锥S ﹣ABCD 的高为SO ，过O 作OE ∥AD 交AB 于点E ，连接SE ．由题意知∠SEA ＝90°，其中SA =√2． 当∠SAB ∈[π3，2π3]时，sin ∠SAB ∈[√32，1]，SE ＝SA ，sin ∠SAB ∈[√62，√2]，EO ＝1． ∴SO =√SE 2−1∈[√22，1]，∴V S ﹣ABCD =13×4×SO∈[2√23，43]．故答案为：[2√23，43]．11．（5分）若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为__________．【解析】设切点为（x 0，lnx 0+1），则切线为y =1x 0(x −x 0)+lnx 0+1=1x 0x +lnx 0，所以1x 0=a ，lnx 0＝b ，则ab =lnx 0x 0，令g （x ）=lnx x ，所以g ′（x ）=1−lnxx 2， 所以g （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减， 则g(x)max =g(e)=1e ，即ab 的最大值为1e，故答案为：1e．12．（5分）设关于x 的不等式ax +b ＞0的解集为{x |x ＜2}，则关于x 的不等式ax+bx 2−5x−6≥0的解集为__________．【解析】∵不等式ax +b ＞0的解集为{x |x ＜2}，∴2是方程ax +b ＝0的解，且a ＜0， ∴2a +b ＝0（a ＜0），ax+b x 2−5x−6≥0⇒ax−2ax 2−5x−6≥0⇒a （x ﹣2）（x ﹣6）（x +1）≥0且x ≠6，x ≠﹣1由标根法得x ＜﹣1或2≤x ＜6．∴原不等式的解集为：{x |x ＜﹣1或2≤x ＜6}． 故答案为：{x |x ＜﹣1或2≤x ＜6}．13．（5分）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝3，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且DN →•ME →=−1，则cos A ＝__________．【解析】以边BC 所在直线为x 轴，以边BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设A （0，b ），B （﹣a ，0），C （a ，0），且D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点， ∴D(−a 3，2b 3)，E(−2a 3，b 3)，M(a 3，2b 3)，N(2a 3，b3)，∴DN →=(a ，−b 3)，ME →=(−a ，−b3)，且DN →⋅ME →=−1， ∴−a 2+b29=−1①，又AC ＝3，∴a 2+b 2＝9②，联立①②得，a 2=95，在△ABC 中，由余弦定理得，cosA =9+9−4a 22×3×3=18−36518=35．故答案为：35．14．（5分）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2.1，2]，其图象如图所示，且f （﹣2.1）＝﹣0.96． （1）若函数y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，则k ＝__________．（2）已知函数g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，y ＝g [f （x ）]有__________个不同的零点．【解析】（1）∵y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，∴y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点． y ＝f （x ）的图象如图：∴k ＝4或k ＝0． （2）∵g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，当x ≤0时，2x +1＝0，得x =−12；此时f （x ）=−12，由图可知有一个解；当x ＞0时，g （x ）＝x 3+2x ﹣16单调递增， ∵g （2）＝﹣4，g （3）＝17，∴g （x ）在（2，3）有一个零点x 0，即f （x ）＝x 0∈（2，3） 由图可知有三个解，∴共有四个解． 故答案为4或0；4．二．解答题15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别是AD，PB的中点．（1）求证：PE⊥CD；（2）求证：EF∥平面PCD；（3）求证：平面P AB⊥平面PCD．【解析】（1）∵P A＝PD，E是AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴PE⊥CD．（2）取BC中点G，连结EG，FG，∵E，F分别是AD，PB的中点，∴FG∥PC，EF∥DC，∵FG∩EG＝G，∴平面EFG∥平面PCD，∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面PCD．（3）∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD，由（1）得CD⊥PE，又AD∩PE＝E，∴CD⊥平面P AD，∵AP⊂平面P AD，∴CD⊥AP，∵P A⊥PD，PD∩CD＝D，∴P A⊥平面PCD，∵P A⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面PCD．16．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2＝2a2﹣2，a3＝a4﹣2a2．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4；数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．【解析】（1）等比数列{a n}中有a3＝a4﹣2a2，则q2﹣q﹣2＝0，所以q＝2或﹣1，因为S2＝2a2﹣2，所以a1+a2＝2a2﹣2，所以a1＝a1q﹣2，当q＝2时，a1＝2，此时a n=2n；当q＝﹣1时，a1＝﹣1，此时a n=(−1)n；（2）因为数列{a n}为递增数列，所以a n=2n，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4，公差设为d，则有b4﹣b2＝2d＝4﹣2＝2，所以d＝1，所以b n＝b2+（n﹣2）d＝2+（n﹣2）×1＝n，即b n＝n，所以a n b n=n⋅2n，所以T n=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n，2T n=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1，两式相减得−T n=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1，−T n=2−2n+11−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，即T n=(n−1)⋅2n+1+2．17．（14分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强．现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统．设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为p（0＜p ＜1），且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立．（Ⅰ）当p=12时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（Ⅱ）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元．现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由．【解析】（Ⅰ）∵某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为C 32(12)3+C 33(12)3=12，某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为C 31(12)3[1−(12)2]=932，∴某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为12+932=2532；（Ⅱ）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500，∵P(X =1500)=C 31p(1−p)2，P(X =900)=1−C 31p(1−p)2，∴E(X)=900×[1−C 31p(1−p)2]+1500×C 31p(1−p)2=900+1800p （1﹣p ）2，令g （p ）＝p （1﹣p ）2，p ∈（0，1），则g '（p ）＝（1﹣p ）2﹣2p （1﹣p ）＝（3p ﹣1）（p ﹣1）， 当p ∈(0，13)时，g '（p ）＞0，g （p ）在(0，13)上单调递增； 当p ∈(13，1)时，g '（p ）＜0，g （p ）在上(13，1)单调递减， ∴g （p ）的最大值为g(13)=427，∴实施此方案，最高费用为100+9000×(900+1800×427)×10−4=1150（万元）， ∵1150＜1200，故不会超过预算． 18．（16分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1、F 2，左右顶点分别为A 、B ，上顶点为T ，且△TF 1F 2为等边三角形． （1）求此椭圆的离心率e ；（2）若直线y ＝kx +m （k ＞0）与椭圆交与C 、D 两点（点D 在x 轴上方），且与线段F 1F 2及椭圆短轴分别交于点M 、N （其中M 、N 不重合），且|CM |＝|DN |． ①求k 的值；②设AD 、BC 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1k 2的取值范围．【解析】（1）设x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，由△TF 1F 2为等边三角形．得a ＝2c ，即椭圆的离心率e =ca =12；（2）①设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），由y ＝kx +m ，可知M(−mk ，0)，N （0，m ）， 联立y ＝kx +m 与x 2a 2+y 2b 2=1，整理得（a 2k 2+b 2）x 2+2kma 2x +a 2m 2﹣a 2b 2＝0，其中△＝4a 2b 2（a 2k 2+b 2﹣m 2）＞0， 易值，x 1+x 2＝x M +x N ，即−2kma 2a 2k 2+b2=−mk，解得k 2=b 2a2=1−e 2=34，因为，k ＞0，所以k =√32，②由M 在线段F 1F 2，且M ，N 不重合， 可知，x M =−m k =−amb ∈[−c ，0)∪(0，c]， 从而m ∈[−bc a ，0)∪(0，bca ]， 即k 1=y 2x 2+a ，k 1=y1x 1−a，并结合在曲线上，则有， 所以k 12k 22=y 22y 12⋅(x 1−a)2(x 2+a)2=a 2−x 22a−x 12⋅(x 1−a)2(x 2+a)2=(x 1−a )(x 2−a )(x 1+a )(x 2+a )=x 1x 2−a (x 1+x 2)+a 2x 1x 2+a (x 1+x 2)+a 2=(m+b)2(m−b)2，从而可得，k 1k 2=−m+b m−b =−1−2b m−b∈[a−c a+c ，1)∪(1，a+ca−c]， 所以k 1k 2的取值范围为[13，1)∪(1，3]．19．（16分）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=12e2•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2，g （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1）．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）求函数g （x ）的单调区间；（3）给出定义：若s ，t ，r 满足|s ﹣r |＜|t ﹣r |，则称s 比t 更接近于r ，当x ≥1时，试比较ex和e x﹣1+3哪个更接近Inx ，并说明理由．【解析】（1）∵f （x ）=12e2•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2， ∴f ′（x ）＝f '（1）•e 2x ﹣2﹣2f （0）+2x ，令x ＝1可得，f ′（1）＝f '（1）﹣2f （0）+2，可得f （0）＝1， 由f （x ）=12e 2•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2，可得f （0）=12e 2•f '（1）＝1， ∴f ′（1）＝2e 2，∴f （x ）＝e 2x ﹣2x +x 2，（2）∵g （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1）．∴g ′（x ）＝e x ﹣a ，①当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，②当a＞0时，当x＞lna，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＜lna，g′（x）＜0，g（x）单调递减，（3）设p（x）=ex−lnx，q（x）＝e x﹣1﹣lnx+3，易得p（x）在[1，+∞）上单调递减，故当e≥x≥1时，p（x）≥p（e）＝0，当x＞e时，p（x）＜0，而q′（x）=e x−1−1 x，q′′（x）=e x−1+12＞0，故q′（x）在[1，+∞）单调递增，q′（x）≥q′（1）＝0，则q（x）在[1，+∞）上单调递增，q（x）≥q（1）＝4＞0，①1≤x≤e时，|p（x）|﹣|q（x）|＝p（x）﹣q（x）=e x−e x−1−3=m（x），∴m′（x）=−ex2−e x−1＜0，故m（x）单调递减，m（x）≤m（1）＝e﹣4＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|即ex比e x﹣1+3更接近lnx，②x＞e时，|p（x）|﹣|q（x）|＝﹣p（x）﹣q（x）=−e x−e x−1−3+2lnx＜﹣e x﹣1+2lnx﹣3＝n（x），∴n′（x）＝﹣e x﹣1+2x，n′′（x）＝﹣e x﹣1−2x2＜0，∴n′（x）单调递减，n′（x）＜n′（e）＜0，故n（x）单调递减，n（x）＜n（e）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，即ex比e x﹣1+3更接近lnx，综上可得，当x≥1时，ex比e x﹣1+3更接近lnx，20．（16分）设数列{a n}，{b n}，{c n}的前n项和分别为A n，B n，∁n，且对任意的都有A n＝B n+∁n，已知A n=n2（a n+1）（n∈N*），数列{b n}和{c n}是公差不为0的等差数列，且各项均为非负整数．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若数列{a n}的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，求所有满足条件的数列{a n}；（3）若a2＝4，且B n＞∁n，n∈N*，求数列{b n}，{c n}的通项公式．【解析】（1）∵A n=n2（a n+1），①∴A n+1=n+12(a n+1+1)，②②﹣①得：2a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n+1，即（n﹣1）a n+1＝na n﹣1，③na n+2＝（n+1）a n+1﹣1，④④﹣③得：2na n+1＝na n+2+na n，即2a n+1＝a n+2+a n，∵n∈N*，∴数列{a n }是等差数列；（2）解：在A n =n 2（a n +1）中，令n ＝1，得a 1＝1， 设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝1+（n ﹣1）d ，∵数列{a n }的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，∴有：①若删去a 1或a 4，剩下的三项连续，若成等比数列，则d ＝0，则数列的通项公式为a n ＝1；②若删去a 2，即a 1，a 3，a 4成等比数列，则（1+2d ）2＝1×（1+3d ），解得d ＝0或d =−14， 则数列{a n }的通项公式为a n ＝1或a n =5−n4； ③若删去a 3，即a 1，a 2，a 4成等比数列，则（1+d ）2＝1×（1+3d ），解得d ＝0或d ＝1． 则数列{a n }的通项公式为a n ＝1或a n ＝n ． 综上所述，满足条件的数列{a n }有a n ＝1或a n =5−n4或a n ＝n ； （3）解：A 2=a 1+a 2=a 1+4=22×(4+1)，则a 1＝1，a n ＝3n ﹣2， ∵对任意n ∈N *，都有A n ＝B n +∁n ，∴对任意n ∈N *，都有a n ＝b n +c n ， 设数列{b n }，{c n }的公差分别为d 1，d 2，则 b 1+（n ﹣1）d 1+c 1+（n ﹣1）d 2＝3n ﹣2，n ∈N *， ∴{d 1+d 2=3b 1+c 1−d 1−d 2=−2，即{d 1+d 2=3b 1+c 1=1，① ∵对任意n ∈N *，都有B n ＞∁n ，∴nb 1+n(n−1)2d 1＞nc 1+n(n−1)2d 2， 整理得：d 1−d 22n 2+(b 1−c 1−d 1−d 22)n ＞0，n ∈N *，∴d 1−d 22≥0，且由n ＝1可得b 1﹣c 1＞0，②由数列{b n }和{c n }的各项均为非负整数， ∴由②得d 1≥d 2＞0，b 1＞c 1≥0，③ 由①③得{b 1=1c 1=0且{d 1=2d 2=1．∴b n ＝2n ﹣1，c n ＝n ﹣1．21．（10分）已知a ，b ∈R ，向量α→=[−12]是矩阵A =[a 1−1b ]的属于特征值﹣1的一个特征向量．（1）求a ，b 的值；（2）若曲线C 1：x ﹣2y +3＝0在矩阵A 对应变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．【解析】（1）由向量α→=[−12]是矩阵A =[a 1−1b ]的属于特征值﹣1的一个特征向量，得[a 1−1b ] [−12]=−1×[−12]，所以﹣a +2＝1，1+2b ＝﹣2，解得a ＝1，b =−32； （2）由（1）得A =[11−1−32]， 设点P （x ，y ）为曲线C 1的任意一点，点P 在矩阵A 的变换下得到点P ′（x 0，y 0）， 则[11−1−32] [x y ]=[x +y −x −32y ]=[x 0y 0]，所以x ＝3x 0+2y 0，y ＝﹣2x 0﹣2y 0，代入C 1得7x 0+6y 0+3＝0， 即有C 2：7x +6y +3＝022．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 【解析】（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①．直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0． 设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =|√3cosθ+sinθ−6|2=|2sin(θ+π3)−6|√2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =82=4√2． 23．（选做题）已知a ，b ，c ∈（0，+∞），且1a+2b +3c=2，求a +2b +3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．【解析】由于(1a +2b +3c )(a +2b +3c )=[(√1a)2+(√2b)2+(√3c)2][(√a)2+(√2b)2+(√3c)2]≥(√1a √a +√2b √2b +√3c √3c)2=36（5分） 又1a +2b +3c=2，∴a +2b +3c ≥18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立当a ＝b ＝c ＝3时，a +2b +3c 取得最小值18 （10分）24．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD =12AB ＝1，点E 、M 分别在线段AB 、PC 上，且AEAB=PM PC=λ，其中0＜λ＜1，连接CE ，延长CE 与DA 的延长线交于点F ，连接PE ，PF ，ME ． （Ⅰ）求证：ME ∥平面PFD ；（Ⅱ）若λ=12时，求二面角A ﹣PE ﹣F 的正弦值； （Ⅲ）若直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值为√55时，求λ值．【解析】（Ⅰ）在线段PD 上取一点N ，使得PN PD=λ，∵PN PD=λ=PM PC，∴MN ∥DC 且MN =1λDC ，∵AEAB=λ，∴AE =1λAB ，AB ∥DC 且AB ＝DC ，∴且AE ＝MN ，∴四边形为平行四边形，∴ME ∥AN ， 又∵AN ⊂平面PFD ，ME ⊄平面PFD ，∴ME ∥平面PFD ．（Ⅱ）以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A （0，0，0），P （0，0，1），B （0，2，0），C （﹣1，2，0），D （﹣1，0，0）， ∵λ=12，∴E （0，1，0），F （1，0，0）设平面PEA 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， PE →=(0，1，−1)，AP →=(0，0，1)，{n →⋅PE →=y −z =0n →⋅AP →=z =0，令z ＝1，∴y ＝1，∴m →=(0，1，1)， 设平面PEF 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，PE →=(0，1，−1)，PF →=(1，0，−1)，{m →⋅PE →=y −z =0m →⋅PF →=x −z =0， 令z ＝1，∴x ＝1，y ＝1，∴m →=(1，1，1)，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=2⋅3=√33，sin ＜m →，n →＞=√1−cos 2＜m →，n →＞=√63，二面角A ﹣PE ﹣F 的正弦值为√63．（ III ）令E （0，h ，0），0≤h ≤2，PE →=(0，ℎ，−1)，设平面PEA 的一个法向量为n 1→=(x ，y ，z)，PB →=(0，2，−1)，BC →=(−1，0，0)，{n 1→⋅PB →=2y −z =0n 1→⋅PB →=−x =0，令y ＝1，∴z ＝1，∴n 1→=(0，1，2)由题意可得：|cos ＜PE →，n 1→＞|=|PE →⋅n 1→||PE →|⋅|n 1→|=|ℎ−2|√ℎ+1⋅√5=√55，∴ℎ=34，∴AE =34，λ=AE AB =38．25．（10分）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为P n ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出奇数点，则棋子向前跳动一站；若掷出偶数点，则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）．（1）求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；（2）求证：{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率．【解析】（1）根据题意，棋子跳到第n站的概率为p n，则p0即棋子跳到第0站的概率，则p0＝1，p1即棋子跳到第1站的概率，则p1=1 2，p2即棋子跳到第2站的概率，有两种情况，即抛出2次奇数或1次偶数，则p2=12p0+12p1=34；故跳到第n站p n有两种情况，①在第n﹣2站抛出偶数，②在第n﹣1站抛出奇数；所以p n=12p n−1+12p n−2；（2）证明：∵p n=12p n−1+12p n−2，∴p n−p n−1=−12(p n−1−p n−2)，又∵p1−p0=−1 2；∴数列{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是以−12为首项，−−12为公比的等比数列．（3）玩游戏获胜即跳到第99站，由（2）可得p n−p n−1=(−12)n（1≤n≤100），∴p1−p0=−1 2，p2−p1=14，p3−p2=−18，p99−p98=(−12)99，∴p99−p0=(−12)×[1−(−12)99]1−(−12)，∴p99=23[1−(12)100]．。
2020年江苏省高考数学模拟试卷(3)
2020年江苏省高考数学模拟试卷（3）一．填空题（共14小题，满分70分，每小题5分）1．（5分）若集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩B ＝ ． 2．（5分）复数1+i 3+4i的共轭复数为 ．3．（5分）运行如图所示的伪代码，其结果为 ．4．（5分）甲、乙两人各参加了5次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图．已知甲、乙二人得分的平均数相同，则m ＝ ；s 2甲 s 2乙．（填＞，＜，＝）5．（5分）如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的结果有 种．6．（5分）已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 分别与两条渐近线交于A ，B 两点，若F 1B →•F 2B →=0，F 1A →=λAB →，则λ＝ ．7．（5分）若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的母线长为 ． 8．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 ．9．（5分）若f （x ）＝2sin （2x +φ）（φ＞0）的图象关于直线x =π12对称，且当φ取最小值时，∃x 0∈(0，π2)，使得f （x 0）＝a ，则a 的取值范围是 ．10．（5分）在正项等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5=3π，sin （log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 7）的值为 ．11．（5分）如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两个三等分点，AB →⋅AD →=2AC →⋅AE →，则cos B 的最小值为 ．12．（5分）已知P （x 0，y 0）为直线y ＝k （x +2）上的一个动点，若在圆O ：x 2+y 2＝1上存在点Q ，使得∠OPQ =π4，则实数k 的取值范围为 ．13．（5分）钝角△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，c ＝1，B =π3，则a 的取值范围是 ．14．（5分）设函数f(x)={3x −a+2x +1，x ＞0x 3+x 2−2x ，x ≤0的图象上存在两点P 、Q ，其中点P 在y 轴右侧，且线段PQ 与y 轴的交点恰好是线段PQ 靠近点P 的一个三等分点．若OP 和OQ 斜率之和等于﹣3，则实数a 的取值范围是 ． 二．解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，AB ＝2，AA 1=√2，点N 为A 1B 1中点，点M 在边AB 上（1）当点M 为AB 中点时，求证：C 1N ∥平面A 1CM ； （2）试确定点M 的位置，使得AB 1⊥平面A 1CM ．16．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin A sin B +b cos 2A ＝2a ，（Ⅰ）求ab 的值；（Ⅱ）若c =√2b ，求sin(2C −π3)的值．17．（14分）某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元．（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ （2）问捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？ 18．（16分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b 3，设过点F 2的直线l 与被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点M （0，m ），（﹣b ＜m ＜b ），过点M 的任一直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，y 轴上是否存在点N （0，n ）使∠ANM ＝∠BNM 恒成立？若存在，判断m 、n 应满足关系；若不存在，说明理由．（3）在（2）条件下m ＝1时，求△ABN 面积的最大值． 19．（16分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax ．（a ∈R ） （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若a ＝3，f （x ）的图象与y 轴交于点A ，求y ＝f （x ）在点A 处的切线方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当x ＞0时，f （x ）＞x 2﹣3x +1恒成立． 20．（16分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2+kn +k ． （1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 三．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）21．（10分）已知矩阵A =[2132]，列向量X →=[x y ]，B →=[47]，且A X →=B →．（1）求矩阵A 的逆矩阵A ﹣1；（2）求x ，y 的值．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）23．（10分）为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据．已知该质量指标值对应的产品等级如下： 质量指标值 [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45] 等级次品二等品一等品二等品三等品次品根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，其中a ＞0）． 质量指标值 频数 [15，20） 2 [20，25） 18 [25，30） 48 [30，35） 14 [35，40）16[40，45] 2 合计100（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元．一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X 元，用频率估计概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．24．（10分）如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P （1，12）到抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的准线的距离为54．点M （t ，1）是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q （m ，n ）在直线OM 上． （1）求曲线C 的方程及点M 的坐标； （2）记d （m ）=√1+4m ，求弦长AB （用m 表示）；并求d 的最大值．2020年江苏省高考数学模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．填空题（共14小题，满分70分，每小题5分）1．（5分）若集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝{x|0＜x＜1}．【解答】解：∵集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．2．（5分）复数1+i3+4i 的共轭复数为725+125i．【解答】解：∵1+i3+4i =(1+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=725−125i，∴z=725+125i．故答案为：725+125i．3．（5分）运行如图所示的伪代码，其结果为17．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+1+3+5+7的值，所以S＝1+1+3+5+7＝17．故答案为：17．4．（5分）甲、乙两人各参加了5次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图．已知甲、乙二人得分的平均数相同，则m＝6；s2甲＜s2乙．（填＞，＜，＝）【解答】解：甲得分：76，78，80，82，84．平均数是80， 乙得分：77，70+m ，82，82，83；平均分为15×（77+70+m +82+82+83）＝80，解得m ＝6；甲的方差为15×[（76﹣80）2+（78﹣80）2+（80﹣80）2+（82﹣80）2+（84﹣80）2]＝8；乙得分的方差为15×[（77﹣80）2+（76﹣80）2+（82﹣80）2+（82﹣80）2+（83﹣80）2]＝8.4． ∴s 2甲＜s 2乙． 故答案为：6，＜．5．（5分）如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的结果有 14 种．【解答】解：设事件A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”， ①若甲模仿“扶”，则A 包含1×A 33=6个基本事件；②若甲模仿“捡”或“顶”则A 包含2×2×A 22=8个基本事件， 综上A 包含6+8＝14个基本事件， 故答案为：146．（5分）已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 分别与两条渐近线交于A ，B 两点，若F 1B →•F 2B →=0，F 1A →=λAB →，则λ＝ 1 ．【解答】解：双曲线C ：x 2−y 2=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，BO ＝c ＝OF 2，双曲线C ：x 2−y 23=1的渐近线y =±√3x ，∴∠BOF 2＝60°，∴△BF 2O 为等边三角形，故∠BF 2O ＝60°，所以F 2B ∥OA ，∴A 为F 1B 的中点，即λ＝1． 故答案为：1．7．（5分）若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的母线长为 2 ． 【解答】解：∵圆锥的底面积为π，∴圆锥的底面半径为r ，满足πr 2＝π，解得r ＝1 又∵圆锥的侧面积为2π，∴设圆锥的母线长为l ，可得πrl ＝2π，π•1•l ＝2π，解之得l ＝2 故答案为：28．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 9 ．【解答】解：∵函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，∴f （18）＝f （3×5+3）＝f （3）＝32＝9． 故答案为：9．9．（5分）若f （x ）＝2sin （2x +φ）（φ＞0）的图象关于直线x =π12对称，且当φ取最小值时，∃x 0∈(0，π2)，使得f （x 0）＝a ，则a 的取值范围是 （−√3，2] ． 【解答】解：f （x ）＝2sin （2x +φ）（φ＞0）的图象关于直线x =π12对称， 所以2×π12+φ=kπ+π2（k ∈Z ），解得φ=kπ+π3， 当k ＝0时，φ=π3． 所以f （x ）＝2sin （2x +π3）． 由于∃x 0∈(0，π2)， 所以π3＜2x 0+π3＜4π3，所以−√3＜f （x 0）≤2， 即a 的范围为（−√3，2]． 故答案为：（−√3，2]．10．（5分）在正项等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5=3π，sin （log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 7）的值为√32． 【解答】解：在正项等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5=3π=a 43，∴a 4=3π3．∴sin （log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 7）＝sin （log 3a 1a 2…a 7）＝sin （log 3a 47）＝sin （log 337π3）＝sin7π3=sinπ3=√32， 故答案为：√32． 11．（5分）如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两个三等分点，AB →⋅AD →=2AC →⋅AE →，则cos B 的最小值为4√39．【解答】解：∵AB →⋅AD →=2AC →⋅AE →， ∴AB →⋅(AB →+BD →)=2AC →⋅(AC →+CE →)， ∴AB →⋅(AB →+13AC →)=2AC →⋅(AC →−13BC →)，∴AB →⋅[AB →+13(AC →−AB →)]=2AC →[AC →−13(AC →−AB →)]，∴AB →⋅(13AC →+23AB →)=2AC →⋅(23AC →+13AB →)，∴13AB →⋅AC →+23AB →2=43AC →2+23AC →⋅AB →，∴23AB →2=43AC →2+13AC →⋅AB →，∴2AB →2=4AC →2+AC →⋅AB →，∴在△ABC 中，2c 2＝4b 2+bc cos ∠BAC ， ∴2c 2＝4b 2+bcb 2+c 2−a 22bc，∴b 2=19a 2+13c 2，∴cos B =a 2+c 2−b 22ac =a 2+c 2−(19a 2+13c 2)2ac =89a 2+23c 22ac =49a c +13c a ≥2√49a c ×13c a =4√39（当且仅当49a c=13c a时，取“＝”），故cos B 的最小值是：4√39． 故答案为：4√39． 12．（5分）已知P （x 0，y 0）为直线y ＝k （x +2）上的一个动点，若在圆O ：x 2+y 2＝1上存在点Q ，使得∠OPQ =π4，则实数k 的取值范围为 [﹣1，1] ． 【解答】解：设点O 到直线PQ 的距离为d ，则要存在满足条件的点Q ， 必须有d ≤1，∴OP ≤√2，即O 到直线y ＝k （x +2）的最小值小于等于√2． 则√k 2+1≤√2，解得k ∈[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．13．（5分）钝角△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，c ＝1，B =π3，则a 的取值范围是 (0，12)∪(2，+∞) ．【解答】解：由正弦定理，有a =csinA sinC =sin(2π3−C)sinC =√32tanC +12．∵△ABC 为钝角三角形，B =π3，∴当A 为钝角时，A =2π3−C∈(π2，2π3)，∴C ∈(0，π6)； 当C 为钝角时，C ∈(π2，2π3)，∴△ABC 为钝角三角形，C ∈(0，π6)∪(π2，2π3)． ∴tan C ∈(0，√33)∪(−√3，0)， ∴√32tanC +12∈(0，12)∪(2，+∞)，故答案为：(0，12)∪(2，+∞)．14．（5分）设函数f(x)={3x−a+2x+1，x＞0x3+x2−2x，x≤0的图象上存在两点P、Q，其中点P在y轴右侧，且线段PQ与y轴的交点恰好是线段PQ靠近点P的一个三等分点．若OP和OQ 斜率之和等于﹣3，则实数a的取值范围是（﹣2，+∞）．【解答】解：设Q（m，m3+m2﹣2m）（m＜0），由题意，点P的横坐标为−m2，故P(−m2，2−3m 2+2(a+2)m)，∵OP和OQ斜率之和等于﹣3，∴m2+m−2+2−3m2+2(a+2)m−m2=−3，化简得，m4+m3+4m2﹣2m＝4（a+2），设g（m）＝m4+m3+4m2﹣2m（m＜0），则g′（m）＝4m3+3m2+8m﹣2，g''（m）＝12m2+6m+8＝2（6m2+3m+4）＞0，∴g′（m）在（﹣∞，0）上为增函数，则g′（m）＜g′（0）＝﹣2＜0，∴g（m）在（﹣∞，0）上为减函数，作草图如下，由题意及图象可知，4（a+2）＞0，解得a＞﹣2．故答案为：（﹣2，+∞）．二．解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AB＝2，AA1=√2，点N为A1B1中点，点M在边AB上（1）当点M为AB中点时，求证：C1N∥平面A1CM；（2）试确定点M的位置，使得AB1⊥平面A1CM．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中， 点N 为A 1B 1中点，M 为AB 中点， ∴C 1N ∥CM ，∵C 1N ⊄平面A 1CM ，CM 平面A 1CM ， ∴C 1N ∥平面A 1CM ．解：（2）当点M 是AB 中点时，使得AB 1⊥平面A 1CM ． 证明如下：∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，AB ＝2，AA 1=√2， 点N 为A 1B 1中点，点M 是AB 中点， ∴AA 1⊥CM ，AB ⊥CM ，∵AA 1∩AB ＝A ，∴CM ⊥平面AA 1B 1B ， ∵A 1M ⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1M ⊥CM ，∵A 1M =√12+(√2)2=√3，AB 1=√22+(√2)2=√6， ∴A 1M AB 1=AA 1AB，∴△AA 1M ∽△BAB 1，∴∠AA 1M ＝∠BAB 1，∠AMA 1＝∠AB 1B ， ∴AB 1⊥A 1M ，∵A 1M ∩CM ＝M ，∴AB 1⊥平面A 1CM ．16．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin A sin B +b cos 2A ＝2a ，（Ⅰ）求ab 的值；（Ⅱ）若c =√2b ，求sin(2C −π3)的值． 【解答】（本小题满分13分）解：（I ）由正弦定理得：sin A sin A sin B +sin B cos 2A ＝2sin A ，………………（1分）得：sin B （sin 2A +cos 2A ）＝2sin A ，………………（2分） ∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，即ab=12．………………（4分）（II ）∵c =√2b ，∴cosC =a 2+b 2−c 22ab=(12b)2+b 2−2b2b2=−34，………………（5分）∵C ∈（0，π），∴sinC =√1−916=√74，………………（7分） ∴sin2C =2sinCcosC =−3√78，………………（9分） cos2C =2cos 2C −1=18，………………（11分） ∴sin(2C −π3)=sin2Ccos π3−cos2Csin π3=−3√7−√316．………………（13分） 17．（14分）某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元．（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ （2）问捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？ 【解答】解：（1）设船捕捞n 年后的总盈利为y 万元，则 y ＝50n ﹣98﹣[12×n +n(n−1)2×4]＝﹣2（n ﹣10）2+102．（5分） 所以，当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．（6分） （2）年平均利润为yn =−2（n +49n ）+40≤﹣28+40＝12．（10分）当且仅当n =49n，即n ＝7时，上式取等号．（11分） 所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．（12分） 18．（16分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b 3，设过点F 2的直线l 与被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点M （0，m ），（﹣b ＜m ＜b ），过点M 的任一直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，y轴上是否存在点N （0，n ）使∠ANM ＝∠BNM 恒成立？若存在，判断m 、n 应满足关系；若不存在，说明理由．（3）在（2）条件下m ＝1时，求△ABN 面积的最大值．【解答】解：（1）由内切圆的性质，得12×2c ×b =12×（2a +2c ）×b3，得ca=12．将x ＝c 代入x 2a 2+y 2b 2=1，得y ＝±b 2a，所以2b 2a=3．又a 2＝b 2+c 2，所以a ＝2，b =√3，故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．（2）①当AB ⊥x 轴时，可知∠ANM ＝∠BNM ＝0，②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx +m ．联立方程{y =kx +m x 24+y 23=1消去y 得，（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0．（−√3＜m ＜√3，）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8km 3+4k2，x 1x 2=4m 2−123+4k2．假设存在N （0，n ） 则k AN +k BN =y 1−n x 1+y 2−n x 2=kx 1+m−n x 1+kx 2+m−n x 2=2kx 1x 2+(m−n)(x 1+x 2)x 1x 2=1x 1x 2(2k(4m 2−12)3+4k2−8km(m−n)3+4k2)=1x 1x 2(8km 2−24k−8km 2+8kmn3+4k2)=1x 1x 28k(mn−3)3+4k 2=0．（*），对任意k ∈R 恒成立． 所以mn ＝3且m ≠0．m ＝0时由（*）式知不存在点N 符合题意，综上：m ＝0时不存在，−√3＜m ＜√3．m ≠0时存在点N （0，n ）．mn ＝3． （3）由（2）得n ＝3M （0，1）、N （0，3）设直线AB 的方程为y ＝kx +1． 由{y =kx +1x 24+y 23=1⇒（3+4k 2）x 2+8kx ﹣8＝0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8k 3+4k2，x 1x 2=−83+4k2．S △ABN =12|MN|⋅|x 1−x 2|=|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(8k 3+4k 2)2+323+4k2=√962k 2+1(3+4k 2)2，令t＝2k2+1，则t≥1，S△ABN=4√6√t4t2+4t+1=4√6√14t+1t+4≤4√63，当且仅当t＝1，k＝0时取的最大值．所以△ABN面积的最大值为4√6 3．19．（16分）已知函数f（x）＝e x﹣ax．（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＝3，f（x）的图象与y轴交于点A，求y＝f（x）在点A处的切线方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当x＞0时，f（x）＞x2﹣3x+1恒成立．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f'（x）≥0恒成立，所以f（x）在R上单调递增，当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝lna．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：x（﹣∞，lna）lna（lna，+∞）f'（x）﹣0+f（x）减极小值增所以a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（Ⅱ）令x＝0，得y＝1，则A（0，1），因为f'（x）＝e x﹣3，所以f'（0）＝1﹣3＝﹣2，所以在A点处的切线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣0），即y＝﹣2x+1．（Ⅲ）证明：令g（x）＝f（x）﹣（x2﹣3x+1）＝e x﹣x2﹣1，则g'（x）＝e x﹣2x．令h（x）＝e x﹣2x，则h'（x）＝e x﹣2，当0＜x＜ln2时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞ln2时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；所以h（x）≥h（ln2）＝e ln2﹣2ln2＝2﹣2ln2＞0，即g'（x）＞0恒成立．所以g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（0）＝1﹣0﹣1＝0，所以e x﹣x2﹣1＞0，即当x＞0时，f（x）＞x2﹣3x+1恒成立．20．（16分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2+kn+k．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（1）由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则 S n =d2n 2+（a 1−d2）n ＝2n 2+kn +k ． 故{ d2=2a 1−d 2=k k =0，解得{a 1=2d =4k =0． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2+4（n ﹣1）＝4n ﹣2． （2）由（1）知，b n =1a n a n+1=1(4n−2)(4n+2)=18•（12n−1−12n+1）．故T n ＝b 1+b 2+…+b n=18•（1−13）+18•（13−15）+⋯+18•（12n−1−12n+1）=18•（1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1） =18•（1−12n+1） =n4(2n+1)．三．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）21．（10分）已知矩阵A =[2132]，列向量X →=[x y ]，B →=[47]，且A X →=B →．（1）求矩阵A 的逆矩阵A ﹣1；（2）求x ，y 的值．【解答】解：（1）由A =[2132]，det （A ）＝2×2﹣3×1＝1≠0，所以A 可逆，设A ﹣1=[a bcd ]，则[2132]•[a bc d]=[1001]，则2a +c ＝1，2b +d ＝0，3a +2c ＝0，3b +2d ＝1， 解得a ＝2，b ＝﹣1，c ＝﹣3，d ＝2， ∴A −1=[2−1−32]．（2）由AX ＝B 得到X ＝A ﹣1B =[2−1−32][47]=[12]，∴{x =1y =2．，（也可由AX ＝B 得到[2132][x y ]=[47]，即{2x +y =43x +2y =7， 解得{x =1y =2）．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①． 直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0． 设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =√3cosθ+sinθ−6|√2=|2sin(θ+π3)−6|√2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =√2=4√2． 五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）23．（10分）为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据．已知该质量指标值对应的产品等级如下： 质量指标值 [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45]等级 次品 二等品 一等品 二等品 三等品 次品根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，其中a ＞0）． 质量指标值 频数 [15，20） 2 [20，25） 18 [25，30） 48 [30，35） 14 [35，40） 16 [40，45] 2 合计100（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元．一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X 元，用频率估计概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．【解答】解：（Ⅰ）由（a +0.020+0.022+0.028+0.042+0.080）×5＝1， 解得a ＝0.008，所以甲企业的样本中次品的频率为（a +0.020）×5＝0.14，即从甲企业生产的产品中任取一件，该件产品为次品的概率是0.14； （Ⅱ）由图表知，乙企业在100件样本中合格品有96件，则一等品的概率为4896=12，二等品的概率为18+1496=13，三等品的概率为1696=16，由题意知，随机变量X 的可能取值为：120，150，180，210，240；且P （X ＝120）=16×16=136，P （X ＝150）=C 21×13×16=19，P （X ＝180）=C 21×12×16+13×13=518， P （X ＝210）=C 21×12×13=13，P （X ＝240）=12×12=14，∴随机变量X 的分布列为：X 120150180210240P136195181314所以X 的数学期望为E （X ）＝120×136+150×19+180×518+210×13+240×14=200； （Ⅲ）答案不唯一，只要言之有理便可得分，参考如下；①以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较， 由图表可知，甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率， 所以认为乙企业的食品生产质量更高．②以产品次品率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较也可得出结论． ③以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较，根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为0.4，乙企业产品中一等品的概率约为0.48，即一企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高．④根据第（Ⅱ）问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，从而比较甲、乙两个企业产品的优劣．24．（10分）如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P （1，12）到抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的准线的距离为54．点M （t ，1）是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q （m ，n ）在直线OM 上． （1）求曲线C 的方程及点M 的坐标； （2）记d （m ）=|AB|√1+4m ，求弦长AB （用m 表示）；并求d 的最大值．【解答】解：（1）∵y 2＝2px （p ＞0）的准线为x =−p 2， ∴1﹣（−p 2）=54，∴p =12， ∴抛物线C 的方程为y 2＝x ．又点M （t ，1）在曲线C 上，∴t ＝1． 故M （1，1）．（2）由（1）知，点M （1，1）， 从而m ＝n ，即点Q （n ，m ），依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的斜率为k （k ≠0），且A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．， 由{y 12=x 1y 22=x 2，得（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）＝x 1﹣x 2．，故k •2m ＝1， 所以直线AB 的方程为y ﹣m =12m (x −m)， 即x ﹣2my +2m 2﹣m ＝0．由{x −2my +2m 2−m =0y 2=x ，消去x ， 整理得y 2﹣2my +2m 2﹣m ＝0，所以△＝4m ﹣4m 2，y 1+y 2=2m ，y 1y 2=2m 2−m ． 从而AB =√1+1k2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+4m 2⋅√4m −4m 2=2√(1+4m 2)(m −m 2)． ∴d =AB√1+4M=2√m(1−m)≤m +1﹣m ＝1，当且仅当m ＝1﹣m ，即m =12时，上式等号成立， 又m =12满足△＝4m ﹣4m 2＞0．∴d 的最大值为1．。
2020江苏省高考数学全真模拟试卷含答案
一、选择题（本大题共12小题；第每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若非空数集A = {x ｜2a + 1≤x ≤3a －5 }，B = {x ｜3≤x ≤22 }，则能使B A ⊆成立的所有a 的集合是 A ．{a ｜1≤a ≤9} B ．{a ｜6≤a ≤9} C ．{a ｜a ≤9} D ．φ2.已知二个不共线向量,a brr ，且2,56,72,AB a b BC a b CD a b =+=-+=-u u u r u u u r u u u r r r r r r r则一定共线的三点是 A. A 、B 、D B. A 、B 、C C. B 、C 、D D. A 、C 、D3.已知函数)3x (f y +=是偶函数, 则函数)x (f y =图象的对称轴为直线A. 3x -=B. 0x =C. 3x =D. 6x =4.从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为A.πB.2πC.4πD.6π5.命题p ：若a 、b ∈R ，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件；命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞)，则A.“p 或q ”为假B.“p 且q ”为真C. p 真q 假D. p 假q 真 6.若x ，y 是正数，则22)x21y ()y 21x (+++的最小值是 A ．3B ．27C ．4D ．29 7.在R 上定义运算⊗：)y 1(x y x -=⊗.若不等式1)a x ()a x (<+⊗-对任意实数x 成立，则 A ．1a 1<<- B ．2a 0<< C ．23a 21<<- D ．21a 23<<-8. 已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k(cosx －1)的最小值是(A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋19.设函数)x (f |,x 3sin |x 3sin )x (f 则+=为A ．周期函数，最小正周期为3πBC ．周期函数，最小正周期为π2D 10.锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边. 设B=2A ，则ab 的取值范围是A ．（－2，2）B ．（0，2）C ．（2，2）D ．（3,2）11.设1()f x -是函数)1a )(a a (21)x (f x x >-=-的反函数，则使1()1f x ->成立的x 的取值范围为 A.21(,)2a a-+∞ B.21(,)2a a--∞C.21(,)2a a a- D. (,)a +∞ 12．经济学中的“蛛网理论”（如图），假定某种商品的“需求—价格”函数的图象为直线l 1,“供给—价格”函数的图象为直线l 2，它们的斜率分别为k 1、k 2，l 1与l 2的交点P 为“供给—需求”均衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的“蛛网”路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达于均衡点P ，与直线l 1、 l 2的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达于均衡点P 的条件为A.k 1+k 2>0B.k 1+k 2=0C.k 1+k 2<0D.k 1+k 2可取任意实数二．填空题(本大题共6小题；每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.) 13.在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为___▲____． 14.已知向量|b a |).k ,5(b ),2,2(a +=-=若不超过5，则k 的取值范围是 ▲ . 15.已知α、β均为锐角，且αβαβαtan ),sin()cos(则-=+= ▲ .16. 若正整数m 满足m 5121m 10210<<-，则m = ▲ .)3010.02(lg ≈ 17．若函数0n )(a 2x x (log )x (f 22n >++=，)1≠n 是奇函数，则a = ▲ .18.ω是正实数，设[]{}是奇函数)x (cos )x (f |S θωθω+==，若对每个实数a ，)1a ,a (S +I ω的元素不超过2个，且有a 使)1a ,a (S +Iω含2个元素，则ω的取值范围是___▲ ___.三、解答题(本大题共5小题；共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)19.（本小题满分12分）设函数|1x ||1x |2)x (f --+= ,求使f(x)≥22的x 取值范围.20. （本小题满分12分）已知△ABC 的面积S 满足3S 3≤≤,且6BC AB =⋅, AB 与BC 的夹角为θ.(I) 求θ的取值范围;(II)求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(f +⋅+=的最小值.21.（本小题满分14分）某公司生产的A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售，第一年商场为吸引厂家，决定免收该年的管理费，因此，该年A 型商品定价为每件70元，销售量为11.8万件；第二年商场开始对该商品征收比率为p%的管理费（即每销售100元要征收p 元），于是该商品的定价上升为每件%p 170-元，预计年销售量将减少p万件.(Ⅰ)将第二年商场对商品征收的管理费y 万元表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；(Ⅱ)要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p%的范围是多少？(Ⅲ)第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售额，则p 应为多少？22.（本小题满分14分）设)x (f 是定义域为),0()0,(+∞-∞Y 的奇函数，且它在区间)0,(-∞上是增函数.(I)用定义证明)x (f 在区间),0(+∞上是增函数；(II) 若0)1(f =，解关于x 的不等式：0]1)x 1([log f 2a >+-.（其中0>a 且1≠a ）23.（本题满分14分） 对于函数 )x (f ，若存在R x 0∈，使 00x )x (f = 成立，则称0x 为)x (f 的“滞点”.已知函数f ( x ) =2x 2x 2-.(I)试问)x (f 有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由；(II)已知数列{}n a 的各项均为负数，且满足1)a 1(f S 4nn =⋅,求数列{}n a 的通项公式；(III)已知n n n 2a b ⋅=,求{}n b 的前项和n T .总分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)13. 14.15. 16. 17. 18. 三、解答题（本大题共5小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）一、选择题1. B2. A3. C4. B5. D6. C7. C8. A9. B 10. D 11. A 12. A 二、填空题13. 216 14.[-6,2] 15. 1 16. 15517. 2a =± 18.]2,(ππ三、解答题19. 解：由于2xy =在R上是增函数，所以，()f x ≥3|1||1|2x x +--≥ ①………………………………………(2分)（1）当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，所以①式恒成立. …………………(4分)（2）当11x -<<时，|1||1|2x x x +--=，①式化为322x ≥，即314x ≤<.…(8分)（2）当1x ≤-时，|1||1|2x x +--=-，①式无解，……………………(10分)综上，x 的取值范围是3[,)4+∞.…………………………………………(12分)20. 解:(1)由题意知,BC AB ⋅|BC ||AB |⋅=6cos =⋅θ, ………………①21S =||||⋅)sin(θ-π⋅21=||||⋅θ⋅sin ,…………②………(2分)由②÷①, 得θtan 216S =, 即.S tan 3=θ由,3S 3≤≤得3tan 33≤≤θ, 即1tan 33≤≤θ.……………(4分)又θ为AB 与BC 的夹角, ∴],0[π∈θ , ∴]4,6[ππθ∈.……………(6分)(2)θθθθθθθ222cos 22sin 1cos 3cos sin 2sin )(f ++=+⋅+=),42sin(222cos 2sin 2πθθθ++=++=……………(9分)∵]4 ,6[ππθ∈, ∴]43 ,127[42πππθ∈+.……………(10分) ∴4342ππθ=+, 即4πθ=时, )(f θ的最小值为3. ……………(12分)21. 解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8-p ）万件，年销售收入为)p 8.11(%p 170--万元， 则商场该年对该商品征收的总管理费为%p )p 8.11(%p 170--万元，……(2分)故所求函数为p )p 10118(p1007y --=.…………(4分)由11.8-p>0及p>0得定义域为}559p 0|x {<<.…………(6分)（2）由14≥y 得14p )p 10118(p1007≥--.…………(8分)化简得020p 12p 2≤+-，即0)10p )(2p (≤--，解得10p 2≤≤.………(9分) 故当比率在[2%，10%]内时，商场收取的管理费将不少于14万元. …………(10分)（3）第二年，当商场的管理费不少于14万元时，厂家的销售收入为)10p 2)(p 8.11(%p 170)p (g ≤≤--=，…………(12分) 因为)100p 88210(700)p 8.11(%p 170)p (g -+=--=在区间]10,2[上为减函数，所以700)2(g )p (g max ==万元. …………(13分)故当比率为2%时，厂家销售额最大，且商场收管理费又不少于14万元. ………(14分)22. 解：(I)证明：在),0(+∞上任取两数21,x x ，且21x x <， 则)x (f )x (f 11--=,)x (f )x (f 22--=且21x x 0->->，…………(2分) ∵)(x f 在)0,(-∞上是增函数，∴)x (f )x (f 21->-即)x (f )x (f 21->-，∴)x (f )x (f 21<.即)(x f 在区间),0(+∞上是增函数. …………(4分) (II) ∵0)1(=f ，∴0)1(=-f …………(6分) 当01)x 1(log 2a >+-时，有11)x 1(log 2a >+-，∴0)x 1(log 2a >-,…(8分)① 当1>a 时，0,1122<>-x x ,无解，…………(9分) 当10<<a 时，00,1122≠∴><-x x x .…………(10分) ② 当01)x 1(log 2a <+-时，有01)x 1(log 12a <+-<-， 即1)x 1(log 22a -<-<-.当1>a 时，2222a 11x a 11,a 1x 1a 1-<<-∴<-<，∴2a11x a 11-<<-或a 11x a 112--<<--；…………(12分)当10<<a 时，1a 1,a1x 1a 122><-<Θ而φ∈∴<-x x ,112…………(13分)综上所述，当10<<a 时，原不等式的解集为R x x ∈|{且}0≠x 当1>a 时，原不等式的解集为2a11x a 11|x {-<<-或}a 11x a 112--<<--………(14分)23. 解：（I ）由)1x (2x )x (f 2-=令,)(x x f = 分2ΛΛΛ,022=-x x 得解得2,0==x x 或即f(x)存在两个滞点0和2 分4ΛΛΛ （II ）由题得)1a 1(2)a 1(S 4n2nn -=⋅，ΛΛΛ22nn n a a S -=∴①分5ΛΛΛ故ΛΛΛ21112+++-=n n n a a S ②由②-①得221112n n n n n a a a a a +--=+++，0)1)((11=+-+∴++n n n n a a a a0<n a Θ11-=-∴+n n a a ，即{}n a 是等差数列，且1-=d 分9ΛΛΛ当n=1时，由122112111-==-=a a a a S 得n a n -=∴ 分11ΛΛΛ(III)ΛΛΛΘn n n T 223222132⋅--⋅-⋅-⋅-=③ΛΛΛ1n n 432n 2n 2)1n (232221T 2+⋅-⋅---⋅-⋅-⋅-=∴④由④-③得1n n 32n 2n 2222T +⋅-++++=Λ1n 1n 1n n 2n 222n 21)21(2+++⋅--=⋅---= 分14ΛΛΛ。
2020届江苏省苏州市吴中区高三高考模拟数学试题(带答案解析)
如图所示，正四棱锥 ， 为底面的中心，点 为 的中点，
则 ，设 ，
， ， ，
，
，
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查棱锥的侧面积和体积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
5．甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_________.
6．函数 的定义域为_____________.
7．已知双曲线 的右准线与渐近线的交点在抛物线 上，则实数 的值为___________.
8．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为 ，侧面积为 ，则该棱锥的体积为__________．
（1）试将通道 的长 表示成 的函数，并指出定义域；
（2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？
19．已知函数 ， .
（1）当 时，
①求函数 在点 处的切线方程；
②比较 与 的大小;
（2）当 时，若对 时， ，且 有唯一零点，证明： ．
20．若数列 满足：对于任意 ， 均为数列 中的项，则称数列 为“ 数列”．
22．以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线 为参数）与圆 的位置关系．
23．[选修4—5：不等式选讲]
已知函数 ， ，若存在实数 使 成立，求实数 的Байду номын сангаас值范围.
24．如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，且 .
（1）求棱 与 所成的角的大小；
（2）在棱 上确定一点 ，使二面角 的平面角的余弦值为 .
故概率为 ，
故答案为 ．
【点睛】
本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题
江苏省2020届高考数学模拟试卷
高考数学模拟试题注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生必须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
满分150分, 考试时间120分钟。
参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =13Sh 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式 台体的体积公式S = 4πR 2 1()11223V h S S S S =+球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,V =43πR 3h 表示台体的高 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．已知全集=R U ,集合{}0|>=x x A ，{}10|<<=x x B ，则()=B A C U ( ▲ ) A ．{}1|<x x B ． {}10|<<x x C ．{}0|≤x x D ．R 2．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则(12)z i ⋅+的共轭复数为( ▲ ) A ．2i + B ．43i + C ．43i - D ．43i -- 3．已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内．则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的( ▲ )A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ▲ ) A ． 3π B ．83π C ． 103π D ． 113π 5．记()()()77017211x a a x a x -=+++++，则0126a a a a +++的值为( ▲ )A ． 1B ． 2C ． 129D ． 21886．已知不等式组210,2,10,x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，若函数|1|y x m =-+的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是( ▲ )A ． [2,1]-B ． 1[2,]2-C ． 1[0,]2D ． 3[1,]2-7．甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有( ▲ ) A ． 18种 B ． 12种 C ． 36种 D ． 24种8．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ,椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ▲ )1]1,1)A B C D9．已知函数()()1ln 1,1{21,1x x x f x x -->=+≤，则方程()()()3204f f x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为( ▲ )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 610．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA , 1BB , 1CC 分别交于三点M , N , Q ,若MNQ ∆为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( ▲ )A ． 2B ． 4C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题, 多空题每小题6分，单空题每小题4分, 共36分．11．双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为___▲__，设双曲线过点(4,1),且与C 具有相同渐近线,则C 的方程为 ▲ ． 12． 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=．{}n a 的通项n a = ▲ ，数列的21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项和是 ▲ ． 13．随机变量X 的分布列如下：MA BCQDX －10 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝ ▲ ，方差的最大值是 ▲ ．14． 函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,π0)A ωϕ>>-<<的部分图像如图所示，则ϕ= ▲ ，为了得到()cos g x A x ω=的图像，需将函数()y f x =的图象最少向左平移 ▲ 个单位． 15．若实数,x y 满足114422xy xy ，则22xy S的取值范围是 ▲ ．16．已知24y x =抛物线，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，则2AF BF-的最小值为 ▲ ． 17．如图，在四边形ABCD 中， 1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则()·PQ AB DC -的值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题, 共74分。
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案
江苏省2020届高三第三次调研测试1. 已知集合” ={一1,0,2,3}, A = {0,3},则C Z M= A ・2. 已知复数z =(i 是虚数单位)是纯虚数•则实数a 的值为 ▲・1 + 31---------3. 右图是一个算法流程图・若输岀y 的值为4,则输入*的值为 ▲・4. 已知一组数据6, 6, 9, x, y 的平均数是8,且= 90,则该组数据的方差 为▲.5. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球.从 中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为 ▲・6.已知函数f(x) = \x2；2Xt“左①则不等式f(x) >f(-x)的解集为 ▲一疋 一 2x,x<0,»7. 已知{①}是等比数列，前畀项和为S”.若@-冬=4, 5=16,则S,的值为 ▲& 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线4-4 = 1(“>0">0)的右准线与两条渐近线分别交于A,B / lr 两点.若△川阳的而积为晋，则该双曲线的离心率为 ▲.9. 已知直角梯形個S 中，AB// CD, ABA.BC,月灰3 cm, BOX cm, CX2 cm.将此直角梯形绕曲边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 A cm\10. 在平而直角坐标系x6>y 中，若曲线y = sin2x 与y = |tan.r12. 如图，有一壁画，最髙点A 处离地而6 m,最低点3处离地而m.若从离地髙2 m 的C 处观赏它，则离墙▲ m 时,视角8最大.13. C 知函数 f(x) = x 2 -2x + 3a , ^(x) = —|-r ・若对任意 e [0,3] t 总存在x 2 e [2,3],使得 |/(xj| Wg(xJ)•X 1成立，则实数d 的值为▲・值为 ▲ ・11.如图，正六边形 中，若 7L D = AAC^^AE (2, “ e R ),则人+ “的值 为▲・ (第11题)(第12題)在倚，兀)上交点的横坐标为a ,贝ijsin2a 的(第3题)14 •在平而四边形個S 中，ZBAD = 90。
2020届江苏省高三高考全真模拟考试(二)数学试卷及解析
2020届江苏省高三高考全真模拟考试（二）数学试卷★祝考试顺利★(解析版)数学Ⅰ试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页,均为非选择题（第1题~第20题共20题）．本卷满分为160分,考试时间为120分钟,考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符．4．作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其他位置作答律无效．5．如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条符号等须加黑、加粗．一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合{}1U x x =>,{}2A x x =>,则U A ________． 【答案】{}12x x <≤【解析】直接根据补集的定义进行计算,即可得答案； 【详解】{}1U x x =>,{}2A x x =>,∴12U A x x , 故答案为：12x x . 2.已知复数z 满足2020(1)i z i +=（i 为虚数单位）,则z 在复平面内对应的点位于第________象限．【答案】四【解析】根据复数的次幂运算和除法运算,化简复数,再根据复数的几何意义,即可得答案；【详解】20202(111)1i z i i z i -⇒==++=, ∴z 在复平面内对应的点位于第四象限,故答案为：四.3.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的方差为________ 【答案】53【解析】先计算平均数,再利用方差公式求解即可. 【详解】该组数据平均数46587666x +++++==. 故方差()()()()()()222222214666568676666s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦ ()1540141063=+++++=. 故答案为：534.已知向量(1,2)a =, (2,1)b =-,则()a ab ⋅-的值为________．【答案】5【解析】利用向量数量积的坐标运算,即可得答案；【详解】(1,3)a b -=-, ∴()(1,2)(1,3)5a a b ⋅-=⋅-=, 故答案为：5.5.执行如图所示的伪代码,则输出的S 的值为________．。
江苏省苏州市吴中区2020届高三高考数学模拟试卷
江苏省苏州市吴中区2020届高三高考数学模拟试卷一、填空题（共14题；共14分）1.已知，为虚数单位，且，则=________.2.已知集合，，则________．3.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为________．4.执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是________.5.甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为________.6.函数的定义域为________.7.已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为________.8.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面积为，则该棱锥的体积为________．9.公比为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为________．10.在平面直角坐标系中，已知圆，圆．直线与圆相切，且与圆相交于，两点，则弦的长为________11.将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上的值域为________．12.己知函数，若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是________.13.如图，己知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为________.14.记实数中的最大数为，最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长，若，则的取值范围是________.二、解答题（共11题；共100分）15.已知中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积为，，求．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD ，E ，F分别是棱AB，PC的中点.求证：（1）EF //平面PAD；（2）平面PCE⊥平面PCD ．17.如图,设点为椭圆的右焦点，圆过且斜率为的直线交圆于两点，交椭圆于点两点，已知当时，（1）求椭圆的方程.（2）当时，求的面积.18.如图为某大江的一段支流，岸线与近似满足∥，宽度为．圆为江中的一个半径为的小岛，小镇位于岸线上，且满足岸线，．现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的水上通道（图中粗线部分折线段，在右侧），为保护小岛，段设计成与圆相切．设．（1）试将通道的长表示成的函数，并指出定义域；（2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？19.已知函数，.（1）当时，①求函数在点处的切线方程；②比较与的大小;（2）当时，若对时，，且有唯一零点，证明：．20.若数列满足：对于任意，均为数列中的项，则称数列为“ 数列”．（1）若数列的前项和，，试判断数列是否为“ 数列”？说明理由；（2）若公差为的等差数列为“ 数列”，求的取值范围；（3）若数列为“ 数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．21.已知变换将平面上的点，分别变换为点，．设变换对应的矩阵为．（1）求矩阵；（2）求矩阵的特征值．22.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线（为参数）与圆的位置关系．23.已知函数，，若存在实数使成立，求实数的取值范围.24.如图，在三棱柱中，平面，，且.（1）求棱与所成的角的大小；（2）在棱上确定一点，使二面角的平面角的余弦值为.25.设，，其中．（1）当时，求的值；（2）对，证明：恒为定值．答案解析部分一、填空题1.【答案】42.【答案】{1}3.【答案】854.【答案】85.【答案】6.【答案】7.【答案】8.【答案】9.【答案】5610.【答案】11.【答案】12.【答案】[-4,0]13.【答案】814.【答案】二、解答题15.【答案】解：（I）∵，，，∴，∴，即，又∵，∴，又∵，∴．（Ⅱ）∵，∴，又，即，∴，故16.【答案】（1）解：如图，取的中点，连接，，是棱的中点，底面是矩形，，且，又，分别是棱，的中点，，且，，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面（2）解：，点是棱的中点，，又，，平面，平面，，底面是矩形，，平面，平面，且，平面，又平面，，，，又平面，平面，且，平面，又平面，平面平面17.【答案】（1）解：因为直线过点，且斜率.所以直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离为，又因为，圆的半径为，所以，即，解之得，或（舍去）.所以，所以所示椭圆的方程为（2）解：由(1)得，椭圆的右准线方程为，离心率，则点到右准线的距离为，所以，即，把代入椭圆方程得，，因为直线的斜率，所以，因为直线经过和，所以直线的方程为，联立方程组得，解得或，所以，所以的面积18.【答案】（1）解：以为原点，直线为轴建立如图所示的直角坐标系．设，则，，．因为，所以直线的方程为，即，因为圆与相切，所以，即，从而得，在直线的方程中，令，得，所以，所以当时，，设锐角满足，则，所以关于的函数是，定义域是（2）解：要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即最小．令，得，设锐角，满足，得．列表：减极小值增所以时，，所以建造此通道的最少费用至少为百万元．19.【答案】（1）解：①当时，，，，又，切线方程为，即；②令，则，在上单调递减．又，当时，，即；当时，，即；当时，，即（2）证明：由题意，，而，令，解得．，，在上有唯一零点．当时，，在上单调递减，当，时，，在，上单调递增．．在恒成立，且有唯一解，，即，消去，得，即．令，则，在上恒成立，在上单调递减，又，，．在上单调递增，20.【答案】（1）解：当时，又，所以．所以当时，，而，所以时，不是数列中的项，故数列不是为“ 数列”（2）解：因为数列是公差为的等差数列，所以．因为数列为“ 数列”所以任意，存在，使得，即有．①若，则只需，使得，从而得是数列中的项．②若，则．此时，当时，不为正整数，所以不符合题意．综上，（3）解：由题意，所以，又因为，且数列为“ 数列”，所以，即，所以数列为等差数列．设数列的公差为，则有，由，得，整理得，①．②若，取正整数，则当时，，与①式对应任意恒成立相矛盾，因此．同样根据②式可得，所以．又，所以．经检验当时，①②两式对应任意恒成立，所以数列的通项公式为21.【答案】（1）解：设，则，，即，解得，则（2）解：设矩阵的特征多项式为，可得，令，可得或22.【答案】解：把直线方程化为普通方程为．将圆化为普通方程为，即．圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.23.【答案】解：存在实数使成立，等价于的最大值大于，因为，由柯西不等式：，所以，当且仅当时取“ ”，故常数的取值范围是24.【答案】（1）解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，.，故与棱所成的角是（2）解：为棱中点，设，则.设平面的法向量为，，则，故而平面的法向量是，则，解得，即为棱中点，其坐标为25.【答案】（1）解：当时，，又，所以.（2）解：即，由累乘可得，又，所以．即恒为定值1．。
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2021届新高考化学模拟试卷一、单选题（本题包括15个小题，每小题4分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．水的电离平衡曲线如图所示，下列说法中，正确的是A．图中A、B、D三点处Kw的大小关系：B>A>DB．25℃时，向pH=1的稀硫酸中逐滴加入pH=8的稀氨水，溶液中c(NH4+)／c(NH3·H2O)的值逐渐减小C．在25℃时，保持温度不变，在水中加人适量NH4Cl固体，体系可从A点变化到C点D．A点所对应的溶液中，可同时大量存在Na+、Fe3+、Cl-、SO42—【答案】B【解析】【详解】A、K w的影响因素为温度，水的电离吸热，升高温度K w增大，A、D在同一等温线上，故图中A、B、D三点处Kw的大小关系为B>A=D，A错误；B、25℃时，向pH=1的稀硫酸中逐滴加入pH=8的稀氨水，c(OH-)逐渐增大，c(OH-) •c(NH4+) ／c(NH3·H2O)的值不变，故c(NH4+) ／c(NH3·H2O)逐渐减小，B正确；C、在25℃时，保持温度不变，在水中加人适量NH4Cl固体，体系不能从A点变化到C点，体系从A点变化到C点，可采用加热的方法，C错误；D、A点所对应的溶液呈中性，Fe3+因水解生成氢氧化铁沉淀不能大量存在，D错误。
故选B。
2．短周期元素W、X、Y、Z的原子序数依次增加，Y和W、Y和Z分别相邻，且W、Y和Z三种元素的原子最外层电子数之和为19，x原子的电子层数与最外层电子数相等。
下列说法错误的是A．单质的沸点：Y>W>Z B．离子半径：X<YC．气态氢化物的稳定性：W>Y D．W与X可形成离子化合物【答案】A【解析】【分析】X原子的电子层数与最外层电子数相等，X应为Al，Y和W、Y和Z分别相邻，且W、Y和Z三种元素的原子最外层电子数之和为19，则W为O、Y为S，Z为Cl元素。
【详解】A．氯气的相对分子质量比氧气大，沸点比氧气高，故A错误；B ．X 为Al 、Y 为S 、硫离子比铝离子多一个电子层，离子半径较大，故B 正确；C ．非金属性O ＞S ，元素的非金属性越强，对应的氢化物越稳定，气态氢化物的稳定性：H 2O>H 2S ，故C 正确；D ．O 的非金属性较强，与铝反应生成的氧化铝为离子化合物，熔融状态下可导电，故D 正确。
故选A 。
3．化学方便了人类的生产与生活，下列说法不正确的是 A ．氢氧化铝可用于中和人体过多的胃酸 B ．碘是人体必需的微量元素，应该适量服用I 2 C ．葡萄糖可以用于食品加工和合成葡萄糖酸钙 D ．漂白粉中的有效成分是Ca(ClO)2 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】A ．胃酸的主要成分为HCI ，Al(OH)3与HCI 反应达到中和过多胃酸的目的，正确，A 不选；B ．碘元素是人体必需微量元素，不能摄入过多，而且微量元素碘可以用无毒IO 3－或I －补充，而I 2有毒不能服用，错误，B 选；C ．葡萄糖是食品添加剂，也可直接服用，同时葡萄糖通过氧化成葡萄糖酸之后，可以用于制备补钙剂葡萄糖酸钙，正确，C 不选；D ．漂白粉含Ca(ClO)2和CaCl 2，其中有效成分Ca(ClO)2具有强氧化性，能够氧化有色物质，起到漂白的作用，正确，D 不选。
答案选B 。
4．mg 铁粉与含有H 2SO 4的CuSO 4溶液完全反应后，得到mg 铜，则参与反应的CuSO 4与H 2SO 4的物质的量之比为 A ．8:7 B ．1:7C ．7:8D ．7:1【答案】D 【解析】 【详解】ag 铁粉的物质的量为56a mol ，agCu 的物质的量为64a mol ，根据氧化还原顺序 Fe 先与4CuSO 反应，再与 24H SO 反应，因为5664a a mol mol ， 所以4CuSO 反应完全，剩余Fe 与 反应24H SO ， 所以参加反应的4CuSO 的物质的量为64amol ，参加反应的24H SO 的物质的量为 5664aa mol ⎛⎫-⎪⎝⎭， 参加反应的CuSO 4与H 2SO 4的物质的量之比为:7:1565664a a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 答案选D 。
5．下列由实验操作得到的实验现象或结论不正确．．．的是A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】A. 向某溶液中加入稀硫酸，生成淡黄色沉淀和有刺激性气味的气体，原溶液中可能含有S 2-和SO 32-，且SO 32-过量，加入稀硫酸时发生反应2-2-+322S +SO +6H =3S +3H O ↓，2-+322SO +2H =SO +H O ↑，S 单质是淡黄色沉淀，二氧化硫是有刺激性气味气体，故A 错误；B. 氧化还原反应中，氧化剂的氧化性大于氧化产物的氧化性，溶液呈蓝色，说明有碘单质生成，Br 2能氧化I -生成I 2，Br 2是氧化剂、I 2是氧化产物，则Br 2的氧化性比I 2的强，故B 正确；C. 元素的非金属性越弱，其最高价氧化物对应水化物的酸性就越弱，其最高价含氧酸的钠盐的碱性就越强，相同条件下，测定等浓度的Na 2CO 3溶液和Na 2SO 4溶液的pH ，前者呈碱性，后者呈中性，说明碳酸为弱酸、硫酸为强酸，由此得出非金属性S ＞C ，故C 正确；D. 将镁条点燃后迅速伸入集满CO 2的集气瓶，镁条继续燃烧，反应生成MgO 和C ，则集气瓶中产生浓烟（MgO 固体小颗粒）并有黑色颗粒产生，故D 正确； 故选A 。
【点睛】向某单一溶质的溶液中加入稀硫酸，同时生成淡黄色沉淀和有刺激性气味的气体，则该溶液中一定含有S 2O 32-，发生反应2-+2322S O +2H =S ++SO H O ↓↑，这是常考点，经常在元素推断题中出现，也是学生们的易忘点。
6．一定条件下，碳钢腐蚀与溶液pH 的关系如下表。
下列说法错误的是（ ） pH 2 46 6.5813.5 14腐蚀快慢 较快 慢 较快 主要产物Fe 2+Fe 3O 4Fe 2O 3 FeO 2﹣A ．当pH ＜4时，碳钢主要发生析氢腐蚀B ．当pH ＞6时，碳钢主要发生吸氧腐蚀C ．当pH ＞14时，正极反应为O 2+4H ++4e →2H 2OD ．在煮沸除氧气后的碱性溶液中，碳钢腐蚀速率会减缓 【答案】C 【解析】 【分析】在强酸性条件下，碳钢发生析氢腐蚀，在弱酸性、中性、碱性条件下，碳钢发生吸氧腐蚀，据此分析解答。
【详解】A ．当pH ＜4溶液中，碳钢主要发生析氢腐蚀，负极反应式为：Fe-2e -=Fe 2+，正极反应式为：2H ++2e -=H 2↑，故A 正确；B ．当pH ＞6溶液中，碳钢主要发生吸氧腐蚀，负极反应式为：Fe-2e -=Fe 2+，正极反应式为：O 2+2H 2O+4e -=4OH -，因此主要得到铁的氧化物，故B 正确；C ．在pH ＞14溶液中，碳钢发生吸氧腐蚀，正极反应为O 2+2H 2O+4e -=4OH -，故C 错误；D ．在煮沸除氧气后的碱性溶液中，正极上氧气浓度减小，生成氢氧根离子速率减小，所以碳钢腐蚀速率会减缓，故D 正确； 故选C 。
7．硫酸钙是一种用途非常广泛的产品，可用于生产硫酸、漂白粉等一系列物质（见下图）。
下列说法正确的是A ．CO 、SO 2、SO 3均是酸性氧化物B ．工业上利用Cl 2和澄清石灰水反应来制取漂白粉C．除去与水反应，图示转化反应均为氧化还原反应D．用CO合成CH3OH进而合成HCHO的两步反应，原子利用率均为100%【答案】C【解析】【分析】【详解】A．SO2、SO3均是酸性氧化物，CO是不成盐氧化物，A错误；B．工业上利用Cl2和石灰乳反应来制取漂白粉，B错误；C．除去与水反应，图示转化反应中均有元素化合价的升降，故反应均为氧化还原反应，C正确；D．用CO与氢气反应合成CH3OH，反应物完全转化为生成物，原子利用率为100%，甲醇与氧气在催化剂存在时发生反应HCHO和水，所以该步反应中原子利用率不为100%，D错误；故答案选C。
8．下列反应不属于氧化还原反应的是（）A．Cl2 + H2O = HCl + HClO B．Fe + CuSO4 = FeSO4 + CuC．2NaHCO 3 Na2CO3 + H2O + CO2D．Cl2 + 2FeCl2 = 3FeCl3【答案】C【解析】氧化还原反应的特征是元素化合价的升降，可从元素化合价的角度判断反应是否氧化还原反应。
A项，反应物中有单质，生成物中都是化合物，一定有化合价变化，A是氧化还原反应；B项，置换反应都是氧化还原反应，B是氧化还原反应；C项，所有元素的化合价都没有变化，C不是氧化还原反应；D项，有单质参加的化合反应一定是氧化还原反应，是氧化还原反应。
点睛：本题考查氧化还原反应，试题难度不大，注意从元素化合价的角度判断物质的性质，平日学习中注意知识的积累，快速判断。
9．跟水反应有电子转移，但电子转移不发生在水分子上的是A．CaO B．Na C．CaC2D．Na2O2【答案】D【解析】【详解】A.水与氧化钙反应生成氢氧化钙，元素化合价没有发生变化，故A错误；B.钠与水反应生成氢氧化钠和氢气，水中氢元素的化合价降低，得到电子，故B错误；C.碳化钙与水反应生成氢氧化钙和乙炔，化合价没有发生变化，故C错误；D.过氧化钠与水反应生成氢氧化钠和氧气，过氧化钠中的氧元素化合价既升高又降低，水中的元素化合价没有发生变化，故D正确；故选：D。
10．用如图所示装置进行下述实验，下列说法正确的是选项R a b M n m中电极反应式A 导线Fe Cu H2SO4CuSO4Fe－3e－＝Fe3＋B 导线Cu Fe HCl HCl 2H＋－2e－＝H2↑电源，右侧为CCu C CuSO4H2SO4Cu－2e－＝Cu2＋正极电源，左侧为C C NaCl NaCl 2Cl-－2e－＝Cl2↑D正极A．A B．B C．C D．D【答案】D【解析】【详解】A、铁作负极，Fe－2e－＝Fe2＋，故A错误；B、铜作正极，2H＋+2e－＝H2↑，故B错误；C、铜作阴极，溶液中的铜离子得电子，2e－+Cu2＋=Cu，故C错误；D、左侧为阳极，2Cl-－2e－＝Cl2↑，故D正确；故选D。
11．某有机物的结构为，下列说法正确的是（）A．1 mol该有机物最多可以与7 mol H2发生加成反应B．该有机物可以发生取代、加成、氧化、水解等反应C．0.1 mol该有机物与足量金属钠反应最多可以生成3.36L H2D．与该有机物具有相同官能团的同分异构体共有8种（不考虑立体异构）【答案】A【解析】【分析】该物质中含有酚羟基、碳碳双键和羧基，具有酚、烯烃、羧酸性质，能发生加成反应、取代反应、显色反应、加聚反应、酯化反应等。